Trigonometria no Triângulo Retângulo

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<p>A Trigonometria no triângulo retângulo</p><p>Matemática</p><p>3º bimestre - Aula 06 – Sequência de atividade 3</p><p>Ensino Médio</p><p>● Razões trigonométricas no</p><p>triângulo retângulo.</p><p>● Entender o que é trigonometria no</p><p>triângulo retângulo;</p><p>● Conhecer as principais razões</p><p>trigonométricas no triângulo</p><p>retângulo;</p><p>● Resolver e elaborar problemas com</p><p>as principais razões trigonométricas</p><p>no triângulo retângulo.</p><p>• Uma melhoria comum é o uso de</p><p>rampas na entrada dos</p><p>estabelecimentos.</p><p>• Essas rampas têm o perfil de um</p><p>triângulo retângulo e uma</p><p>inclinação a ser respeitada.</p><p>• Nessa aula veremos um pouco mais</p><p>sobre esses assuntos.</p><p>O que pode ser feito para</p><p>melhorar a acessibilidade nos</p><p>estabelecimentos?</p><p>Fonte: Currículo em Ação (p. 61, 2022).</p><p>Todas as</p><p>mãos5 MINUTOS</p><p>CONTINUA</p><p>• Quanto mais inclinada é uma rua, mais</p><p>difícil é para um carro subir, ou seja, mais</p><p>difícil é o uso das rampas.</p><p>• Por isso, a inclinação máxima de uma</p><p>rampa de acesso é de 8,33%, ou seja, o</p><p>desnível máximo deve ser de 1 m a cada</p><p>12 m de deslocamento horizontal.</p><p>• Observe que</p><p>Rampas e triângulos retângulos</p><p>1</p><p>12</p><p>= 0,833. . . ≅ 8,33%</p><p>A inclinação de uma rampa geralmente é dada na</p><p>forma de porcentagem, sendo a razão entre o desnível</p><p>e o comprimento horizontal da rampa.</p><p>Elementos do triângulo retângulo:</p><p>• AB: Hipotenusa</p><p>• BC: Cateto</p><p>• AC: Cateto</p><p>Porque ABC é classificado como triângulo</p><p>retângulo?</p><p>Por conta do ângulo reto (90º)</p><p>• Trigonometria: do grego trigono (três ângulos) e metria (medida), é</p><p>um ramo da Matemática que surgiu há mais de dois mil anos para</p><p>lidar com as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.</p><p>• Na trigonometria, são estudadas as relações entre as medidas dos</p><p>ângulos internos e lados de um triângulo retângulo.</p><p>• Um cateto pode ser classificado como oposto ou adjacente,</p><p>dependendo do ângulo ao qual se refere.</p><p>Relações trigonométricas</p><p>no triângulo retângulo</p><p>Por exemplo, o cateto BC é oposto ao ângulo α, mas</p><p>adjacente ao ângulo β.</p><p>CONTINUA</p><p>Certo é certo</p><p>10 MINUTOS</p><p>Para qualquer ângulo agudo do triângulo retângulo, valem as</p><p>relações:</p><p>Relações trigonométricas no triângulo retângulo</p><p>Ca e o opos o</p><p>Seno =</p><p>Hipotenusa</p><p>t t t</p><p>Ca e o adjacente</p><p>Cosseno =</p><p>Hipotenusa</p><p>t t</p><p>Ca e o oposto</p><p>angente =</p><p>Ca e o adjacente</p><p>t t</p><p>T</p><p>t t</p><p>No triângulo ABC:</p><p>Os ângulos de 30°, 45° e 60° são utilizados com frequência na trigonometria e conhecidos</p><p>pelo homem desde os tempos antigos, sendo, por isso, conhecidos como ângulos notáveis.</p><p>As relações trigonométricas desses ângulos notáveis estão apresentadas na tabela a seguir:</p><p>Valores notáveis no triângulo retângulo</p><p>Ângulo 30° 45° 60°</p><p>Seno 1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>Cosseno 3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>Tangente 3</p><p>3</p><p>1 3</p><p>Os valores de seno, cosseno e tangente dos demais ângulos podem ser obtidos na tabela trigonométrica.</p><p>Faça agora</p><p>Um bombeiro sobe uma escada de 15 m de</p><p>comprimento que forma um ângulo de 60°</p><p>com o solo.</p><p>Determine a altura aproximada que o</p><p>bombeiro está do solo quando atinge o topo</p><p>da escada. Dado: sen(60°) = 0,87.</p><p>Atividade 1 (p. 148, 2024) –</p><p>SARESP - Adaptado</p><p>Na prática</p><p>5 MINUTOS</p><p>Um bombeiro sobe uma escada de 15 m de comprimento</p><p>que forma um ângulo de 60° com o solo.</p><p>Determine a altura aproximada que o bombeiro está do solo</p><p>quando atinge o topo da escada. Dado: sen(60°) = 0,87.</p><p>A altura da escada (h) é o cateto oposto ao ângulo de 60° e a</p><p>hipotenusa mede 15 m. Assim, tem-se:</p><p>Logo, a altura aproximada que o bombeiro está do solo</p><p>quando atinge o topo da escada é de 13,05 m.</p><p>Correção</p><p>Atividade 1 (p. 149, 2024) – SARESP - Adaptada</p><p>Na prática</p><p>( )60 0,87 15 0,87 13,05</p><p>15 15</p><p>h h</p><p>sen h m =  =  =  =</p><p>Observe o triângulo ABC a seguir e determine os valores de x e y:</p><p>Atividade 2</p><p>Na prática</p><p>Virem e</p><p>conversem</p><p>5 MINUTOS</p><p>Observe o triângulo ABC a seguir e determine os valores de x e y:</p><p>Correção</p><p>Atividade 2</p><p>Na prática</p><p>Deve-se aplicar as relações trigonométricas</p><p>para o ângulo de 60°.</p><p>Tangente:</p><p>( )60 3 1,4 3 m</p><p>1,4</p><p>AC x</p><p>tg x</p><p>BC</p><p> =  =  =</p><p>Cosseno:</p><p>( )</p><p>1 1,4</p><p>cos 60 1,4 · 2 2,8 m</p><p>2</p><p>BC</p><p>y</p><p>AB y</p><p> =  =  = =</p><p>Rampas e trigonometria</p><p>De acordo com a ABNT (Associação</p><p>Brasileira de Normas Técnicas) na norma</p><p>sobre acessibilidade:</p><p>•</p><p>Em grupos, faça o que se pede:</p><p>• Indique a relação trigonométrica usada no</p><p>cálculo da inclinação das rampas;</p><p>• Calcule o comprimento horizontal da rampa</p><p>para as inclinações de 4% e 8%;</p><p>• Esboce os perfis das rampas no item</p><p>anterior na situação de desnível máximo.</p><p>Inclinação da rampa Desnível máximo</p><p>Até 5% 1,50 m</p><p>Entre 5% e 6,25% 1,00 m</p><p>De 6,25% a 8,33% 0,80 m</p><p>A inclinação da rampa é medida</p><p>entre o solo e a parte inclinada.</p><p>10 MINUTOS</p><p>Discussão</p><p>disciplinada</p><p>Correção</p><p>Rampas e trigonometria</p><p>• Indique a relação trigonométrica</p><p>usada no cálculo da inclinação das</p><p>rampas</p><p>A tangente, dada pela razão entre a</p><p>medida do cateto oposto (desnível) e</p><p>do cateto adjacente (comprimento</p><p>horizontal).</p><p>No exemplo do início da aula, o ângulo de inclinação α</p><p>tinha a tangente igual a 1 : 12 (dada pela razão entre o</p><p>desnível de 1 m e o comprimento horizontal de 12 m).</p><p>( )tg 0,83 </p><p>CONTINUA</p><p>Correção</p><p>Rampas e trigonometria</p><p>• Calcule o comprimento horizontal da</p><p>rampa para as inclinações de 4% e 8%.</p><p>Para 4%:</p><p>( )</p><p>1,50 1,50</p><p>0,04 37,5 m</p><p>0,04</p><p>tg x x</p><p>x</p><p> = =  =  =</p><p>Para 8%:</p><p>( )</p><p>0,80 0,80</p><p>0,08 10,0 m</p><p>0,08</p><p>tg y y</p><p>y</p><p> = =  =  =</p><p>• Esboce os perfis das rampas no item anterior na</p><p>situação de desnível máximo.</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>ENEM 2018 – Adaptada: A figura apresenta o projeto de uma rampa de acesso a uma garagem</p><p>residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento. Nessa</p><p>cidade, a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial deve ser de 20%.</p><p>Para atender às normas técnicas do município, mantendo o comprimento, o nível da garagem deverá ser</p><p>elevado em 40 cm.</p><p>rebaixado em 50 cm.</p><p>rebaixado em 40 cm.</p><p>mantido no mesmo nível.</p><p>elevado em 50 cm.</p><p>Mostre-me 5 MINUTOS</p><p>CONTINUA</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>E</p><p>A</p><p>Correção</p><p>ENEM 2018 – Adaptada: A figura apresenta o projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial</p><p>cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento. Nessa cidade, a</p><p>inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial deve ser de 20%. Para atender às</p><p>normas técnicas do município, mantendo o comprimento, o nível da garagem deverá ser</p><p>elevado em 40 cm.</p><p>rebaixado em 50 cm.</p><p>rebaixado em 40 cm.</p><p>mantido no mesmo nível.</p><p>elevado em 50 cm.</p><p>CONTINUA</p><p>Vimos que a inclinação está relacionada com a tangente:</p><p>Correção:</p><p>ENEM 2018 – Adaptada: A figura apresenta o projeto de uma rampa de acesso a uma garagem</p><p>residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento. Nessa</p><p>cidade, a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma garagem residencial deve ser de 20%.</p><p>Para atender às normas técnicas do município, mantendo o comprimento, o nível da garagem deverá ser</p><p>Aprofundando</p><p>Assim, tem-se:</p><p>( ) 0,20 8 0,20 1,60</p><p>8</p><p>1,60 m</p><p>x</p><p>tg x</p><p>x</p><p> = =  =  = </p><p>=</p><p>Como o nível da rua não pode ser</p><p>alterado, o nível da garagem deverá</p><p>ser elevado em 40 cm.</p><p>(2 𝑚 − 1,6 𝑚 = 40 𝑐𝑚)</p><p>Aprofundando</p><p>(Unisinos – RS) Um avião levanta voo sob um</p><p>ângulo constante de 30°. Após percorrer 1.000</p><p>metros em linha reta, qual será a altura atingida</p><p>pelo avião, aproximadamente?</p><p>(Utilize: sen 30° = 0,5; cos 30° = 0,87 e tg 30° =</p><p>0,58)</p><p>a) 482 m</p><p>b) 500 m</p><p>c) 522 m</p><p>d) 580 m</p><p>e) 595 m</p><p>Mostre-me</p><p>5 MINUTOS</p><p>(Unisinos – RS) Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30°. Após percorrer 1.000</p><p>metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, aproximadamente?</p><p>(Utilize: sen 30° = 0,5; cos 30° = 0,87 e tg 30° = 0,58)</p><p>𝑠𝑒𝑛30° =</p><p>𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜</p><p>ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎</p><p>=</p><p>0,5 =</p><p>ℎ</p><p>1000</p><p>ℎ = 500 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠</p><p>Logo, a altura atingida pelo avião é 500 metros.</p><p>Aprofundando</p><p>Correção</p><p>Alternativa b</p><p>● Entendemos o que é trigonometria no</p><p>triângulo retângulo;</p><p>● Conhecemos as principais razões</p><p>trigonométricas no triângulo retângulo;</p><p>● Resolvemos e elaboramos problemas</p><p>com as principais razões</p><p>trigonométricas no triângulo retângulo.</p><p>Fonte: Freepik</p><p>ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9050: Acessibilidade a</p><p>edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. Rio de Janeiro, 2004.</p><p>Disponível em:</p><p>https://www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/secretarias/upload/nbr_%2009050_acessibilida</p><p>de%20-%202004%20-%20acessibilidade_a_edificacoes_mobiliario_1259175853.pdf .</p><p>Acesso em: 29 maio 2024.</p><p>LEMOV, Doug. Aula Nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula.</p><p>Porto Alegre: Penso, 2023.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo em Ação, 2022. Caderno do</p><p>Estudante, 1º semestre, parte 1. Disponível em:</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/01/2série-</p><p>Estudante-1sem-parte1.pdf. Acesso em: 29 maio 2024</p><p>.</p><p>https://www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/secretarias/upload/nbr_%2009050_acessibilidade%20-%202004%20-%20acessibilidade_a_edificacoes_mobiliario_1259175853.pdf</p><p>https://www.prefeitura.sp.gov.br/cidade/secretarias/upload/nbr_%2009050_acessibilidade%20-%202004%20-%20acessibilidade_a_edificacoes_mobiliario_1259175853.pdf</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/01/2série-Estudante-1sem-parte1.pdf</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2023/01/2série-Estudante-1sem-parte1.pdf</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista, 2019. Disponível</p><p>em:</p><p>http://www.escoladeformacao.sp.gov.br/portais/portals/84/docs/pdf/curriculo_paulista_2</p><p>6_07_2019.pdf. Acesso em: 29 maio 2024.</p><p>SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre, 2024. Caderno do</p><p>Aluno, Língua Portuguesa e Matemática, 2o ano, Ensino Médio, v.2. Disponível em:</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/10/EM-2a-</p><p>Série-Vol-2-Ebook_credito-novo.pdf. Acesso em: 29 maio 2024.</p><p>.</p><p>http://www.escoladeformacao.sp.gov.br/portais/portals/84/docs/pdf/curriculo_paulista_26_07_2019.pdf</p><p>http://www.escoladeformacao.sp.gov.br/portais/portals/84/docs/pdf/curriculo_paulista_26_07_2019.pdf</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/10/EM-2a-Série-Vol-2-Ebook_credito-novo.pdf</p><p>https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2022/10/EM-2a-Série-Vol-2-Ebook_credito-novo.pdf</p><p>Lista de Imagens e Vídeos</p><p>Slides 4 a 6 e 13 e 14 – Elaborado pelo autor para fins didáticos.</p><p>Slides 15 a 17 – Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) 2018.</p><p>Slide 18 – Freepik. Disponível em: https://www.freepik.com/free-vector/wheelchair-ramp-</p><p>concept-illustration_72490576.htm. Acesso em: 29 maio 2024.</p><p>https://www.freepik.com/free-vector/wheelchair-ramp-concept-illustration_72490576.htm</p><p>https://www.freepik.com/free-vector/wheelchair-ramp-concept-illustration_72490576.htm</p><p>Slide 1</p><p>Slide 2</p><p>Slide 3: O que pode ser feito para melhorar a acessibilidade nos estabelecimentos?</p><p>Slide 4: Rampas e triângulos retângulos</p><p>Slide 5: Relações trigonométricas no triângulo retângulo</p><p>Slide 6: Relações trigonométricas no triângulo retângulo</p><p>Slide 7: Valores notáveis no triângulo retângulo</p><p>Slide 8: Atividade 1 (p. 148, 2024) – SARESP - Adaptado</p><p>Slide 9: Correção Atividade 1 (p. 149, 2024) – SARESP - Adaptada</p><p>Slide 10: Atividade 2</p><p>Slide 11: Correção Atividade 2</p><p>Slide 12: Rampas e trigonometria</p><p>Slide 13: Correção Rampas e trigonometria</p><p>Slide 14: Correção Rampas e trigonometria</p><p>Slide 15: ENEM 2018 – Adaptada: A figura apresenta o projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento. Nessa cidade, a inclinação máxima de uma rampa de acesso a uma g</p><p>Slide 16: Correção ENEM 2018 – Adaptada: A figura apresenta o projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento. Nessa cidade, a inclinação máxima de uma rampa de aces</p><p>Slide 17: Correção: ENEM 2018 – Adaptada: A figura apresenta o projeto de uma rampa de acesso a uma garagem residencial cuja base, situada 2 metros abaixo do nível da rua, tem 8 metros de comprimento. Nessa cidade, a inclinação máxima de uma rampa de ace</p><p>Slide 18</p><p>Slide 19: (Unisinos – RS) Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 30°. Após percorrer 1.000 metros em linha reta, qual será a altura atingida pelo avião, aproximadamente? (Utilize: sen 30° = 0,5; cos 30° = 0,87 e tg 30° = 0,58) s e n 30 graus é i</p><p>Slide 20</p><p>Slide 21</p><p>Slide 22</p><p>Slide 23</p><p>Slide 24</p>