Geometria espacial

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<p>ESPACIAL</p><p>GEOMETRIA</p><p>ROBERTA PAYE BARA</p><p>GEOM</p><p>ETRIA ESPACIAL</p><p>ROBERTA PAYE BARA</p><p>Código Logístico</p><p>I000383</p><p>ISBN 978-65-5821-086-3</p><p>9 786558 210863</p><p>Geometria Espacial</p><p>Roberta Paye Bara</p><p>IESDE BRASIL</p><p>2021</p><p>Todos os direitos reservados.</p><p>IESDE BRASIL S/A.</p><p>Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200</p><p>Batel – Curitiba – PR</p><p>0800 708 88 88 – www.iesde.com.br</p><p>© 2021 – IESDE BRASIL S/A.</p><p>É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora e do</p><p>detentor dos direitos autorais.</p><p>Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: IESDE BRASIL S/A.</p><p>CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO</p><p>SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ</p><p>B178g</p><p>Bara, Roberta Paye</p><p>Geometria espacial / Roberta Paye Bara. - 1. ed. - Curitiba [PR] :</p><p>IESDE, 2021.</p><p>122 p. : il.</p><p>Inclui bibliografia</p><p>ISBN 978-65-5821-086-3</p><p>1. Geometria espacial. I. Título.</p><p>21-73779 CDD: 516.23</p><p>CDU: 514</p><p>Roberta Paye Bara Doutora e mestra em Engenharia Mecânica e</p><p>licenciada em Matemática pela Universidade</p><p>Federal do Paraná (UFPR). Tem experiência como</p><p>docente na Educação Básica e na Educação Superior</p><p>em instituições públicas e privadas. Atua como</p><p>conteudista desde 2016, produzindo materiais</p><p>didáticos para graduação e pós-graduação. Realiza</p><p>pesquisas nos seguintes temas: metodologias de</p><p>ensino da Educação Superior, limpeza de águas</p><p>contaminadas por óleos e desenvolvimento de sistema</p><p>de detecção de óleos em água.</p><p>Agora é possível acessar os vídeos do livro por</p><p>meio de QR codes (códigos de barras) presentes</p><p>no início de cada seção de capítulo.</p><p>Acesse os vídeos automaticamente, direcionando</p><p>a câmera fotográ�ca de seu smartphone ou tablet</p><p>para o QR code.</p><p>Em alguns dispositivos é necessário ter instalado</p><p>um leitor de QR code, que pode ser adquirido</p><p>gratuitamente em lojas de aplicativos.</p><p>Vídeos</p><p>em QR code!</p><p>SUMÁRIO</p><p>1 Retas e planos 9</p><p>1.1 Conceitos iniciais 9</p><p>1.2 Paralelismo de retas e planos 17</p><p>1.3 Perpendicularidade de retas e planos 27</p><p>1.4 Ângulos 30</p><p>2 Cônicas, semelhança e homotética 35</p><p>2.1 Seções cônicas 35</p><p>2.2 Propriedades óticas 45</p><p>2.3 Semelhança 49</p><p>2.4 Homotética 56</p><p>3 Figuras planas e sólidos 61</p><p>3.1 Polígonos 61</p><p>3.2 Poliedros 67</p><p>3.3 Simetrias 70</p><p>3.4 Sólidos de revolução 73</p><p>3.5 Troncos 77</p><p>4 Sólidos platônicos e teorema de Euler 82</p><p>4.1 Sólidos platônicos 82</p><p>4.2 Euler 91</p><p>4.3 Teorema de Euler 93</p><p>5 Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 99</p><p>5.1 Inscrição de sólidos 99</p><p>5.2 Circunscrição de sólidos 105</p><p>5.3 Translação 111</p><p>5.4 Rotação 114</p><p>Resolução das atividades 118</p><p>Agora é possível acessar os vídeos do livro por</p><p>meio de QR codes (códigos de barras) presentes</p><p>no início de cada seção de capítulo.</p><p>Acesse os vídeos automaticamente, direcionando</p><p>a câmera fotográ�ca de seu smartphone ou tablet</p><p>para o QR code.</p><p>Em alguns dispositivos é necessário ter instalado</p><p>um leitor de QR code, que pode ser adquirido</p><p>gratuitamente em lojas de aplicativos.</p><p>Vídeos</p><p>em QR code!</p><p>Esta obra foi elaborada com o objetivo de apresentar</p><p>as propriedades dos principais conteúdos relacionados à</p><p>geometria espacial, com os objetivos específicos de definir e</p><p>aplicar conceitos, descrever propriedades, resolver problemas</p><p>associados aos conteúdos apresentados e sistematizar</p><p>algumas construções.</p><p>No primeiro capítulo são abordadas as relações entre retas</p><p>e planos. Considerando o sistema cartesiano ortogonal, são</p><p>apresentadas as relações e propriedades do ângulo formado</p><p>entre retas e planos, a distância e os casos particulares, como</p><p>paralelismo e perpendicularismo.</p><p>No segundo capítulo são definidos os conceitos relacionados</p><p>às seções cônicas, às propriedades óticas, à semelhança e</p><p>à homotética, sendo descritas as propriedades óticas, as</p><p>propriedades de seções cônicas, a representação de semelhança</p><p>e a definição de homotética. Esses conteúdos têm aplicações</p><p>no cotidiano, como as seções cônicas presentes na forma de</p><p>antenas de televisão.</p><p>No terceiro capítulo são mostrados os conceitos relacionados</p><p>a polígonos, poliedros, simetrias, sólidos de revolução e troncos.</p><p>São descritos cada um dos elementos e listadas as principais</p><p>propriedades. Esses conteúdos têm aplicações em diversas áreas,</p><p>como na engenharia, no uso de máquinas como impressora em</p><p>três dimensões (3D) e na programação de controle numérico por</p><p>computador (CNC).</p><p>No quarto capítulo são vistos os conceitos relacionados</p><p>aos sólidos de Platão, a vida e obra do matemático Euler e, de</p><p>maneira mais detalhada, o teorema de Euler. Esses conteúdos</p><p>têm diversas aplicações, como na engenharia mecânica e na</p><p>análise da estrutura molecular dos metais que determina a forma</p><p>como o metal será manufaturado para chegar a um produto final,</p><p>por exemplo, na fabricação da lataria de carros por conformação</p><p>ou no estudo dos metais para a fabricação de implantes.</p><p>APRESENTAÇÃOVídeo</p><p>8 Geometria Espacial</p><p>No quinto capítulo são apresentados os conceitos relacionados à inscrição</p><p>e circunscrição de sólidos, à translação e à rotação. Esses conteúdos também</p><p>têm várias aplicações, um exemplo que associa todos eles é o projeto de</p><p>criação e construção de peças de engrenagem de maquinários, como o pistão</p><p>automotivo (necessário para o funcionamento de motores).</p><p>Todos os conceitos contemplados nesta obra se apresentam interligados</p><p>ou associados a situações de aplicação no cotidiano, como na arquitetura,</p><p>no design e nas engenharias civil e mecânica. Os assuntos são estudados</p><p>minuciosamente em cada capítulo, mas é necessário compreender suas</p><p>aplicações no cotidiano, principalmente quando você transmitir essas</p><p>informações para futuros engenheiros, arquitetos, entre outros profissionais</p><p>que talvez nem existam ainda, mas que terão impacto na sociedade.</p><p>Bons estudos!</p><p>Retas e planos 9</p><p>1</p><p>Retas e planos</p><p>Neste capítulo serão abordadas as relações entre retas e planos, con-</p><p>siderando o ângulo formado entre eles, a distância e as propriedades,</p><p>como os casos de paralelismo e perpendicularismo. Os conceitos e as ima-</p><p>gens estão representados conforme as coordenadas cartesianas e com a</p><p>representação gráfica considerando o sistema cartesiano ortogonal.</p><p>A geometria euclidiana tem os elementos fundamentais: ponto, reta</p><p>e plano. Um plano tem infinitas retas e uma reta é formada por infinitos</p><p>pontos, por isso é fundamental iniciarmos pelo estudo do ponto.</p><p>1.1 Conceitos iniciais</p><p>Vídeo O primeiro elemento geométrico com o qual temos contato na vida</p><p>escolar é o ponto, que descreve uma posição específica no sistema carte-</p><p>siano ortogonal, sendo representado por letras latinas maiúsculas e com</p><p>coordenadas entre parênteses. Por exemplo, um ponto P no plano xy (no</p><p>plano ℝ²) é representado por P = (xp, yp) ou P(xp, yp), em que xp é a coorde-</p><p>nada do ponto P no eixo x e yp é a coordenada do ponto P no eixo y.</p><p>Quando se trata da representação do ponto no espaço (ℝ³), consi-</p><p>derando o mesmo sistema de orientação, ou seja, o sistema cartesiano</p><p>ortogonal, acrescentamos a coordenada z. Dessa maneira, a represen-</p><p>tação do ponto P no espaço é P = (xp, yp, zp), com zp sendo a coordenada</p><p>do ponto P no eixo z, conforme a figura a seguir.</p><p>• Assimilar conceitos ini-</p><p>ciais de retas e planos.</p><p>• Descrever e exemplifi-</p><p>car as propriedades de</p><p>retas e planos.</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Figura 1</p><p>Representação</p><p>do ponto no</p><p>plano (es-</p><p>querda) e no</p><p>espaço (direita)</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>10 Geometria Espacial</p><p>Agora que já estudamos o ponto, vamos estudar as retas. Sabe-</p><p>mos que uma reta é formada por infinitos pontos, que é a menor</p><p>distância entre dois pontos, que para defini-la é necessário conhecer</p><p>dois pontos dessa reta e que sua representação é feita pelas letras</p><p>latinas minúsculas.</p><p>Contudo, a definição matemática de reta no plano é: o conjunto</p><p>dos pontos (x, y), de modo que y = ax + b. Essa equação é utilizada em</p><p>vários problemas que envolvem retas, como descrever a equação de</p><p>uma reta com</p><p>coordenadas da nova</p><p>origem O’ do novo sistema cartesiano correspondem a O’ = (3, 2).</p><p>Assim, temos:</p><p>� ��� �</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>x y</p><p>�</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>9</p><p>1</p><p>2 2</p><p>Essa é a equação da elipse transladada, mas também pode ser apre-</p><p>sentada na forma de equação geral, basta desenvolver a equação.</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�x x y y �</p><p>2 26 9</p><p>4</p><p>4 4</p><p>9</p><p>1</p><p>� �</p><p>� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>� ��</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �</p><p>� � � �</p><p>36 6 9</p><p>4</p><p>36 4 4</p><p>9</p><p>36</p><p>2 2x x y y �</p><p>� � � � � � � �� � � �� x x y y9 54 81 4 16 16 36 02 2</p><p>Logo, a equação da elipse e’ é:</p><p>� � � � �� � � � �e x y x y: 9 4 54 16 61 02 2</p><p>Observe, no exemplo anterior, que é como se o centro da figura</p><p>tivesse se deslocado, como um vetor, por isso que no GeoGebra a</p><p>função translação está associada a um vetor 3 , o qual descreve o deslo-</p><p>camento das coordenadas do centro da figura geométrica.</p><p>Para acompanhar o</p><p>Exemplo 8 com o uso do</p><p>GeoGebra, acesse o link</p><p>a seguir.</p><p>Disponível em: https://www.</p><p>geogebra.org/calculator/mep3vtkf.</p><p>Acesso em: 17 set. 2021.</p><p>3</p><p>https://www.geogebra.org/calculator/mep3vtkf</p><p>https://www.geogebra.org/calculator/mep3vtkf</p><p>54 Geometria Espacial</p><p>Na rotação, temos como resultado uma figura semelhante à origi-</p><p>nal, com as mesmas dimensões e com diferentes ângulos em relação</p><p>aos eixos cartesianos. Por esse motivo, na rotação é necessário definir</p><p>o ângulo de rotação de todos os pontos da figura que serão deslocados</p><p>em relação aos eixos cartesianos ou a um ponto específico, como pode</p><p>ser observado na Figura 23, em que o ponto de rotação foi fixado na</p><p>origem do sistema cartesiano, e foi definido o ângulo de rotação de 60°.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Figura 23</p><p>Rotação de 60° em</p><p>relação à origem</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Há, na rotação, um deslocamento angular das coordenadas; é como se</p><p>deslocasse o sistema cartesiano, rotacionando em um ângulo θ, de modo</p><p>a gerar novas variáveis x’ e y’, conforme representado na figura a seguir.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Figura 24</p><p>Representação da</p><p>rotação dos eixos</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 55</p><p>É esse ângulo θ que vamos utilizar para reescrever a equação de</p><p>uma figura geométrica que será rotacionada. Para aplicar a rotação,</p><p>basta substituir x e y por</p><p>x x cos y sen</p><p>y x sen y cos</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>, em que θ é o ângulo</p><p>de rotação do novo sistema cartesiano. Para compreender melhor o</p><p>conceito de rotação, acompanhe o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 9</p><p>Escreva a equação da parábola p’ semelhante à parábola p: y² = 8x,</p><p>sabendo que p’ passou por uma rotação de π</p><p>6</p><p>rad .</p><p>Resolução</p><p>A rotação é de π</p><p>6</p><p>rad , que é 30°, e o sen 30° = 1</p><p>2</p><p>e cos 30° = 3</p><p>2</p><p>.</p><p>Substituindo os valores de sen 30° e cos 30° na fórmula:</p><p>x x cos y sen</p><p>y x sen y cos</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>Temos:</p><p>x x y</p><p>� ��</p><p>�3</p><p>2 2</p><p>e y x y� �</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>Agora, vamos substituir na equação da parábola original p: y² = 8x.</p><p>Assim, vamos desenvolver:</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� � � � �</p><p>x y x y' � � x x y y �</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>8 3</p><p>2 2 4</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>2 2 2</p><p>33 4� ��x y</p><p>Então:</p><p>3</p><p>4 4</p><p>3</p><p>2</p><p>4 3 4</p><p>2 2� �</p><p>� � � �� � � � �</p><p>y � x x y x y</p><p>� � � � � ��</p><p>�</p><p>� � � ��y � x x y x y2</p><p>2</p><p>3</p><p>2 3</p><p>3</p><p>16 3</p><p>3</p><p>16</p><p>3</p><p>A homotetia (ou homotética) é a única transformação que altera</p><p>as dimensões dos lados e das áreas; logo, como não altera os ângulos,</p><p>mantém a forma da figura ampliando, reduzindo ou deixando a mesma</p><p>área. Essa transformação será detalhada na sequência.</p><p>Sabe-se que o planeta</p><p>Terra realiza alguns movi-</p><p>mentos; os mais perceptí-</p><p>veis são a rotação em seu</p><p>próprio eixo e a translação</p><p>em uma trajetória elíptica,</p><p>os quais são representa-</p><p>dos no vídeo Movimentos</p><p>de Rotação e Translação,</p><p>elaborado pelo Instituto</p><p>Federal de Rondônia</p><p>(IFRO) e publicado pelo</p><p>canal IFRO Campus Porto</p><p>Velho Zona Norte.</p><p>Disponível em: https://www.you-</p><p>tube.com/watch?v=CiOezkc0_nA.</p><p>Acesso em: 17 set. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>Em álgebra linear são</p><p>aplicadas transformações</p><p>lineares como rotação e</p><p>translação, por meio do</p><p>produto entre matri-</p><p>zes. Porém, nem toda</p><p>transformação linear ga-</p><p>rante a semelhança, como</p><p>no caso do cisalhamento,</p><p>em que os ângulos</p><p>são alterados.</p><p>Curiosidade</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=CiOezkc0_nA</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=CiOezkc0_nA</p><p>56 Geometria Espacial</p><p>2.4 Homotética</p><p>Vídeo A homotetia ou homotética é uma transformação geométrica que</p><p>preserva a forma, os ângulos e o paralelismo entre os lados. Há um</p><p>ponto denominado centro da homotetia OC, por onde passam as retas</p><p>auxiliares que unem esse centro aos pontos da figura geométrica que</p><p>passará pela transformação, como retrata a figura a seguir.</p><p>Figura 25</p><p>Representação da homotetia</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Observe, na Figura 25, que, com base no polígono ABCD, foram</p><p>geradas duas imagens semelhantes, sendo uma igual, mas inversa</p><p>(A’B’C’D’), e outra maior ( ′ ′ ′ ′A B C D1 1 1 1 ). Essa diferença nas imagens seme-</p><p>lhantes obtidas na homotetia é o resultado da posição do ponto de ho-</p><p>motetia em relação à posição da figura original e da figura semelhante.</p><p>Quando o ponto do centro de homotetia está entre a figura original</p><p>e a figura semelhante, trata-se de uma homotetia inversa. Já quando</p><p>o ponto do centro da homotetia não está entre a figura original e a sua</p><p>semelhante, diz respeito a uma homotetia direta.</p><p>Além da posição do ponto de homotetia, temos outra característi-</p><p>ca dessa transformação, que é a razão de homotetia k, a qual sempre</p><p>será um número real não nulo. A razão de homotetia k descreve se</p><p>a homotetia é direta ou inversa e a razão de proporção da imagem</p><p>semelhante resultante.</p><p>Compreender a homotéti-</p><p>ca e resolver problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 57</p><p>Quando a razão de homotetia é k = 1, temos uma isometria, ou</p><p>seja, temos uma figura igual à original, porém sobre a figura original.</p><p>Já quando a razão de homotetia é k > 0, temos uma homotetia</p><p>direta de razão de proporção k, conforme a figura a seguir.</p><p>Figura 26</p><p>Homotetia k = 3</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Quando a razão de homotetia é k</p><p>em: https://pt-pt.</p><p>khanacademy.org/math/geometry/</p><p>hs-geo-transformations/hs-geo-di-</p><p>lations/v/dilating-points-example.</p><p>Acesso em: 17 set. 2021.</p><p>Site</p><p>As propriedades de</p><p>homotetia podem ser</p><p>encontradas na geração</p><p>de imagens fotográficas</p><p>em câmara escura.</p><p>Disponível em: https://m3.ime.</p><p>unicamp.br/arquivos/1154/</p><p>pelaslentesdamatematica-guia.pdf.</p><p>Acesso em: 17 set. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>https://pt-pt.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-transformations/hs-geo-dilations/v/dilating-points-example</p><p>https://pt-pt.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-transformations/hs-geo-dilations/v/dilating-points-example</p><p>https://pt-pt.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-transformations/hs-geo-dilations/v/dilating-points-example</p><p>https://pt-pt.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-transformations/hs-geo-dilations/v/dilating-points-example</p><p>https://m3.ime.unicamp.br/arquivos/1154/pelaslentesdamatematica-guia.pdf</p><p>https://m3.ime.unicamp.br/arquivos/1154/pelaslentesdamatematica-guia.pdf</p><p>https://m3.ime.unicamp.br/arquivos/1154/pelaslentesdamatematica-guia.pdf</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 59</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>As seções cônicas são a base para entender sólidos geométricos</p><p>obtidos pela revolução delas, denominadas de quádricas. Sua aplicação</p><p>pode ocorrer desde o formato de salgadinho à base de batata, antenas e</p><p>fogão solar até o farol de carro – sendo que, para antenas, espelhos, lentes</p><p>e faróis de carro, há a aplicação das propriedades óticas das cônicas.</p><p>Quando se trata de figuras geométricas, podemos construir figuras</p><p>semelhantes com base nas transformações geométricas, como reflexão,</p><p>translação, rotação e homotetia. No processo de homotetia ou homoté-</p><p>tica, é possível ampliar ou reduzir as figuras geométricas, obtendo uma</p><p>nova figura semelhante à figura original.</p><p>Há circunstâncias em que todos esses assuntos estão reunidos, como</p><p>o movimento do planeta Terra, em sua trajetória elíptica, com o sol em um</p><p>dos focos e com translação e rotação.</p><p>ATIVIDADES</p><p>Atividade 1</p><p>Qual é a relação entre elipse, hipérbole, parábola e circunfe-</p><p>rência? Explique.</p><p>Atividade 2</p><p>Por que em uma antena parabólica o receptor fica no foco?</p><p>Discorra.</p><p>Atividade 3</p><p>O que são transformações geométricas? Especifique.</p><p>Atividade 4</p><p>Qual circunstância do cotidiano reúne cônica, translação e</p><p>rotação? Exemplifique.</p><p>60 Geometria Espacial</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial. São</p><p>Paulo: Atual, 2019. v. 10.</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São</p><p>Paulo: Atual, 2019. v. 9.</p><p>EUCLIDES. Os elementos. São Paulo: Uniesp, 2009. Disponível em: https://ia801604.</p><p>us.archive.org/35/items/Os.Elementos-Euclides/OsElementos-Euclides.pdf. Acesso em: 21</p><p>out. 2021.</p><p>MACHADO, C. P. Fundamentos da geometria. Porto Alegre: Sagah, 2019.</p><p>VENTURI, J. J. Cônicas e quádricas. 10. ed. Curitiba: Livrarias Curitiba, 2019.</p><p>WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.</p><p>Figuras planas e sólidos 61</p><p>3</p><p>Figuras planas e sólidos</p><p>Neste capítulo, estudaremos os conceitos relacionados a polígonos,</p><p>poliedros, simetrias, sólidos de revolução e troncos. Vamos descrever</p><p>cada um dos elementos, listando as principais propriedades e exemplifi-</p><p>cando a aplicação delas na resolução de exercícios.</p><p>Esses conteúdos têm aplicações em diversas áreas ligadas à represen-</p><p>tação gráfica de estruturas – como medicina, topologia, geologia, entre</p><p>outras –, em design de produtos, criação de logotipos e animações, bem</p><p>como na engenharia, em especial a área de manufatura, no uso de máqui-</p><p>nas, por exemplo, impressora em três dimensões (3D) e programação de</p><p>controle numérico por computador (CNC).</p><p>3.1 Polígonos</p><p>Vídeo</p><p>Primeiro, vamos conhecer as linhas poligonais, que são segmentos</p><p>de reta não colineares. Há dois vértices em uma linha poligonal aberta,</p><p>chamados de extremos, onde passa somente um segmento de reta. Em</p><p>uma linha poligonal fechada, por todos os vértices passam dois seg-</p><p>mentos de reta, como representado na Figura 1.</p><p>Figura 1</p><p>Linhas poligonais</p><p>Linha poligonal aberta Linha poligonal fechada</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>As linhas poligonais abertas ou fechadas podem ser simples ou</p><p>não simples. É dita simples a linha poligonal em que os segmentos de</p><p>reta que a compõem não se interceptam. É denominada poligonal não</p><p>• Descrever os principais</p><p>polígonos.</p><p>• Resolver problemas de</p><p>áreas de figuras planas.</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>62 Geometria Espacial</p><p>simples quando há interseção entre os segmentos que compõem a li-</p><p>nha poligonal (pelo menos um ponto de interseção).</p><p>Assim, é possível classificar as linhas poligonais em aberta simples,</p><p>fechada simples, aberta não simples e fechada não simples, como po-</p><p>demos observar na figura a seguir.</p><p>Figura 2</p><p>Classificação das linhas poligonais</p><p>a) Poligonal aberta simples b) Poligonal aberta não simples</p><p>c) Poligonal fechada simples d) Poligonal fechada não simples</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>As linhas poligonais fechadas simples formam as figuras que são</p><p>denominadas polígonos 1 .</p><p>Segundo Machado (2019, p. 152), “um polígono é o conjunto de pon-</p><p>tos que formam uma linha poligonal fechada e todos os seus pontos in-</p><p>teriores. Outro modo de definir polígonos: uma figura plana que possui</p><p>o número de lados igual ao número de ângulos, sendo que nenhum</p><p>dos lados intercepta outro lado”.</p><p>Os polígonos podem ser convexos ou não convexos. Os polí-</p><p>gonos convexos têm todos os seus ângulos internos menores que</p><p>180°. Um polígono é não convexo (ou côncavo) quando pelo menos</p><p>um dos seus ângulos internos é maior que 180°, conforme represen-</p><p>tado na Figura 3.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>A palavra polígono vem do</p><p>grego polloí, que significa</p><p>muitos, e goníes, que signi-</p><p>fica ângulos.</p><p>1</p><p>Figuras planas e sólidos 63</p><p>Figura 3</p><p>Polígonos não convexos e convexos</p><p>Polígono não convexo Polígono convexo</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Quando todos os segmentos de um polígono convexo têm a mesma</p><p>medida, esse polígono é denominado regular. Os polígonos regulares</p><p>são classificados de acordo com o número de ângulos. Você pode ve-</p><p>rificar essa relação entre a nomenclatura do polígono e o número de</p><p>ângulos na figura a seguir.</p><p>Figura 4</p><p>Polígonos regulares mais conhecidos</p><p>Dodecágono</p><p>Decágono</p><p>Eneágono Octógono</p><p>Pentágono Quadrado</p><p>Triângulo</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe no Quadro 1 que, seguindo a ordem crescente de número</p><p>de ângulos, após o quadrado, os nomes são compostos de prefixo re-</p><p>lacionado ao número de ângulos mais o sufixo gono, que vem do grego</p><p>gonies, e significa ângulos. Por exemplo, o octógono é o polígono regu-</p><p>lar com oito lados iguais e oito ângulos iguais.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>64 Geometria Espacial</p><p>Quadro 1</p><p>Classificação dos polígonos</p><p>N. de lados Nome</p><p>3 Triângulo</p><p>4 Quadrado</p><p>5 Pentágono</p><p>6 Hexágono</p><p>7 Heptágono</p><p>8 Octógono</p><p>9 Eneágono</p><p>10 Decágono</p><p>11 Undecágono</p><p>12 Dodecágono</p><p>13 Tridecágono</p><p>14 Tetradecágono</p><p>15 Pentadecágono</p><p>16 Hexadecágono</p><p>17 Heptadecágono</p><p>18 Octadecágono</p><p>19 Eneadecágono</p><p>20 Icoságono</p><p>Fonte: Adaptado de Reis, 2014.</p><p>Os polígonos regulares têm propriedades que definem característi-</p><p>cas e relações entre os elementos que os compõem: ângulos internos,</p><p>ângulos externos e diagonais. Esses elementos estão representados na</p><p>Figura 5.</p><p>Figura 5</p><p>Ângulos internos, externos</p><p>e diagonais de polígonos</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>α Ângulo interno</p><p>β Ângulo externo</p><p>–––– Diagonal</p><p>Reta suporte</p><p>dos lados do polígono.</p><p>Figuras planas e sólidos 65</p><p>Na Figura 5, à esquerda, está representado um heptágono com seus</p><p>ângulos internos e as diagonais que passam pelo vértice G; à direita,</p><p>está representado um heptágono e seus ângulos externos.</p><p>Polígonos regulares são objetos de estudos há muitos</p><p>séculos, como no</p><p>Japão, no século XVII, em que placas, conhecidas como Sangaku, com desa-</p><p>fios matemáticos sobre geometria eram colocadas em frente aos templos.</p><p>Margarida Matias Pinto aborda esse assunto no artigo Sangaku: desafios</p><p>matemáticos nos templos do Japão.</p><p>Acesso em: 1º out. 2021.</p><p>http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=346</p><p>Artigo</p><p>Ao considerar um polígono de n lados, são válidas as seguintes</p><p>propriedades:</p><p>I. A diagonal é o segmento de reta que une dois vértices não</p><p>consecutivos.</p><p>II. O número de diagonais D de um polígono é D</p><p>n n� �</p><p>�</p><p>�� �3</p><p>2 .</p><p>III. A soma dos ângulos internos é Si = (n – 2) · 180°.</p><p>IV. A soma do ângulo interno com o seu respectivo ângulo externo é 180°.</p><p>V. A soma dos ângulos externos de um polígono é 360°.</p><p>Acompanhe o exemplo a seguir, em que uma dessas propriedades</p><p>é aplicada.</p><p>Exemplo 1</p><p>Qual o valor do ângulo interno do octógono?</p><p>Resolução</p><p>Para resolver esse problema, é necessário primeiro identificar o nú-</p><p>mero de ângulos internos do polígono, para, depois, aplicar a fórmula</p><p>da soma dos ângulos internos e encontrar o valor de um ângulo interno.</p><p>O octógono tem oito lados e oito ângulos internos iguais. A soma</p><p>dos ângulos internos Si de um polígono regular é</p><p>Si = (n – 2) · 180° ⟹ Si = (8 – 2) ∙ 180° = 6 ∙ 180° = 1.080°.</p><p>Para encontrar o valor de um ângulo interno do octógono, devemos</p><p>dividir a soma dos ângulos internos do polígono pelo número total de</p><p>66 Geometria Espacial</p><p>ângulos. Assim, encontramos o valor de um ângulo interno do octógo-</p><p>no, que é 1 080</p><p>8</p><p>135. �</p><p>� �.</p><p>Com a teoria abordada até o momento, conseguimos resolver pro-</p><p>blemas sobre o número de diagonais de um polígono regular, como no</p><p>exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 2</p><p>Quantas diagonais tem um icoságono?</p><p>Resolução</p><p>Um icoságono é um polígono regular de 20 lados, então n = 20. Para</p><p>encontrar o número de diagonais de um icoságono, é necessário utili-</p><p>zar a fórmula que define o número de diagonais de um polígono regu-</p><p>lar: D</p><p>n n</p><p>�</p><p>�� �3</p><p>2</p><p>.</p><p>D20</p><p>20 20 3</p><p>2</p><p>20 17</p><p>2</p><p>10 17 170�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>Logo, o icoságono tem 170 diagonais.</p><p>Com base na definição dos vértices dos polígonos regulares, é possível</p><p>construir outras figuras geométricas, chamadas de polígonos estrelados.</p><p>Estes consistem em unir os vértices não consecutivos, com a possibilidade</p><p>de “pular” um ou mais vértices consecutivos. Observe a Figura 6, em que</p><p>estão representados dois polígonos estrelados a partir do heptágono.</p><p>I. II. Figura 6</p><p>Heptágono estrelado</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Em parceria com a Uni-</p><p>camp foi criado o software</p><p>SuperLogo, que pode ser</p><p>baixado gratuitamente.</p><p>Esse software tem recur-</p><p>sos digitais para explorar</p><p>a construção de polígonos</p><p>e outras figuras planas.</p><p>Disponível em: https://projetologo.</p><p>webs.com/slogo.html. Acesso em:</p><p>1º out. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>https://projetologo.webs.com/slogo.html</p><p>https://projetologo.webs.com/slogo.html</p><p>Figuras planas e sólidos 67</p><p>Na Figura 6, estão representados os vértices de dois heptágonos;</p><p>à esquerda (I), os segmentos de reta ligam os vértices no sentido anti-</p><p>-horário, “pulando” um vértice consecutivo. Enquanto à direita (II), os</p><p>segmentos de reta foram inseridos no sentido anti-horário, “pulando”</p><p>dois vértices consecutivos.</p><p>Observe que não é possível construir um heptágono estrelado com</p><p>segmentos de reta “pulando” três vértices no sentido anti-horário, pois</p><p>acaba recaindo na imagem II da Figura 6.</p><p>Isso ocorre porque ao “pular” três vértices no sentido anti-horário,</p><p>vamos ligar o primeiro vértice ao quarto, o que coincide com o polígo-</p><p>no estrelado construído no sentido contrário, “pulando” dois vértices</p><p>consecutivos.</p><p>Os polígonos estrelados são objetos de estudo em diversas áreas,</p><p>como profissionais que atuam em engenharia do produto, designers e</p><p>artes plásticas.</p><p>Quantos tipos de octógo-</p><p>nos estrelados podem ser</p><p>construídos?</p><p>Experimente fazer o dese-</p><p>nho desse polígono, ma-</p><p>nual ou digital (pode usar</p><p>o software GeoGebra).</p><p>Faça uma análise, primei-</p><p>ro “pulando” um vértice,</p><p>depois “pulando” dois, e</p><p>assim sucessivamente, até</p><p>quando não for possível.</p><p>Faça cada polígono estre-</p><p>lado com uma cor para</p><p>facilitar a comparação.</p><p>Desafio</p><p>3.2 Poliedros</p><p>Vídeo</p><p>A palavra poliedro deriva das palavras gregas: poli (muitos) e hedra</p><p>(faces). Os poliedros são sólidos geométricos cujas faces são polígonos</p><p>regulares ou linhas poligonais fechadas, de modo que a reunião das</p><p>faces gera a superfície do polígono.</p><p>Segundo Elias (2020, p. 59, grifo nosso), “poliedros são sólidos geo-</p><p>métricos formados por faces poligonais, de modo que os segmentos</p><p>que unem as faces poligonais são denominados arestas de um polie-</p><p>dro, e a interseção dessas arestas é o vértice”. Observe esses elemen-</p><p>tos na figura a seguir.</p><p>Figura 7</p><p>Elementos de um poliedro</p><p>Vértices ABCDEFGH Arestas Face</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Descrever os principais</p><p>poliedros e resolver</p><p>problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>68 Geometria Espacial</p><p>Um poliedro pode ser convexo ou côncavo (não convexo). Segundo</p><p>Machado (2019, p. 197),</p><p>se existir pelo menos um segmento de reta, com extremos nas</p><p>faces do poliedro, em que parte dos pontos deste segmento</p><p>de reta estão externos ao poliedro, então se trata de um po-</p><p>liedro côncavo (não convexo). Caso não exista nenhum seg-</p><p>mento com nenhum ponto externo ao poliedro, então é um</p><p>poliedro convexo.</p><p>Observe essas propriedades na figura a seguir.</p><p>Figura 8</p><p>Poliedro côncavo e poliedro convexo</p><p>Poliedro côncavo Poliedro convexo</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>O matemático Euler definiu a relação entre vértices, faces e arestas</p><p>de um poliedro convexo.</p><p>Relação de Euler</p><p>De acordo com Dolce e Pompeo (2013, p. 121), “para todo po-</p><p>liedro convexo, vale a relação: V – A + F = 2. Sendo V o número</p><p>de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro”.</p><p>Essa relação de Euler vale para todos os poliedros convexos, inclu-</p><p>sive os que têm faces de diferentes formatos. Acompanhe o exemplo a</p><p>seguir, em que aplicamos a relação de Euler.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Figuras planas e sólidos 69</p><p>Exemplo 3</p><p>Quantas faces tem um poliedro convexo, com 14 vértices e</p><p>21 arestas?</p><p>Resolução</p><p>Como se trata de um poliedro convexo, então vale a relação de</p><p>Euler, que relaciona arestas, vértices e faces: V – A + F = 2.</p><p>Por hipótese, temos V = 14 e A = 21. Substituindo na relação</p><p>14 – 21 + F = 2 ⟹ –7 + F = 2 ⟹ F = 2 + 7 = 9.</p><p>Logo, esse poliedro tem 9 faces.</p><p>Como a relação de Euler se aplica a todos os poliedros convexos,</p><p>podem surgir problemas com poliedros cujas faces têm formas dife-</p><p>rentes. Acompanhe o próximo exemplo em que isso ocorre.</p><p>Exemplo 4</p><p>Quantas arestas e quantos vértices tem um poliedro convexo que</p><p>apresenta seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares?</p><p>Resolução</p><p>Pelo enunciado, esse poliedro tem 11 faces: 6 triangulares + 5 qua-</p><p>drangulares. As 6 faces triangulares correspondem a 6 · 3 = 18 arestas.</p><p>Enquanto as 5 faces quadrangulares correspondem a 5 · 4 = 20 arestas.</p><p>Como cada aresta é comum a duas faces, o número de arestas é</p><p>A � �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>20 18</p><p>2</p><p>38</p><p>2</p><p>19</p><p>Agora, para determinar o número de vértices, é necessário aplicar</p><p>a relação de Euler:</p><p>V – A + F = 2 ⟹ V – 18 + 11 = 2 ⟹ V – 7 = 2 ⟹ V = 9.</p><p>Logo, esse poliedro tem 9 vértices.</p><p>70 Geometria Espacial</p><p>A soma dos ângulos internos entre as faces de um poliedro obedece</p><p>a um mesmo padrão em função do número de vértices do poliedro.</p><p>Um poliedro de vértices V, terá a soma dos ângulos internos entre as</p><p>faces SiF, cuja fórmula é:</p><p>SiF = (V – 2) · 360°.</p><p>Acompanhe o exemplo a seguir, em que essa propriedade da soma</p><p>dos ângulos internos entre as faces de um poliedro é aplicada.</p><p>Exemplo 5</p><p>Qual é o número de vértices de um poliedro cuja soma dos ângulos</p><p>das faces é 2.160°?</p><p>Resolução</p><p>Para encontrar o número de vértices sem saber informações das</p><p>faces e das arestas, dispondo somente da soma dos ângulos entre as</p><p>faces, será necessário aplicar a relação</p><p>SiF = (V – 2) ·</p><p>360°.</p><p>Pela hipótese, temos que SiF = 2.160º, então</p><p>2 160 2 360 2 2 160</p><p>360</p><p>2 6 8. .</p><p>� � �� � � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � �V V � V V</p><p>Logo, esse poliedro tem 8 vértices.</p><p>Entre os poliedros convexos, há aqueles em que todas as faces têm</p><p>a mesma forma, chamados de poliedros regulares.</p><p>3.3 Simetrias</p><p>Vídeo</p><p>Quando é possível traçar um eixo em uma figura onde ela é dividida</p><p>em partes iguais rebatidas, então ela é denominada simétrica. Imagem</p><p>rebatida é como uma imagem espelhada, como se o espelho fosse po-</p><p>sicionado no eixo de simetria.</p><p>Segundo Huyer, Lücke e Cornetet (2018, p. 21), “a partir de um eixo</p><p>definido por dois pontos, as formas são rebatidas em ambos os lados</p><p>desse eixo, formando uma simetria bilateral, sendo que esse rebati-</p><p>O site Uma Pletora de</p><p>Poliedros, vinculado à</p><p>Universidade Federal</p><p>Fluminense, aborda algu-</p><p>mas aplicações cotidianas</p><p>dos poliedros, como na</p><p>representação gráfica</p><p>na criação de malhas</p><p>poliédricas para definir</p><p>superfícies.</p><p>Disponível em: http://www.cdme.</p><p>im-uff.mat.br/pdp/pdp-html/pdp-</p><p>br.html. Acesso em: 1º ou. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>Na obra Materiais mani-</p><p>pulativos para o ensino</p><p>de sólidos geométricos,</p><p>as autoras Kátia Stocco</p><p>Smole e Maria Ignez Diniz</p><p>exploram o entendi-</p><p>mento das propriedades</p><p>relacionadas aos sólidos</p><p>geométricos baseados na</p><p>construção e manipulação</p><p>desses sólidos. O livro é di-</p><p>recionado para professo-</p><p>res de Matemática e</p><p>todos os entusiastas que</p><p>gostam de criar e apro-</p><p>fundar o conhecimento</p><p>sobre esse tema.</p><p>SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Porto</p><p>Alegre: Penso, 2016.</p><p>Livro</p><p>Descrever os principais</p><p>conceitos relacionados</p><p>à simetria e resolver</p><p>problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>http://www.cdme.im-uff.mat.br/pdp/pdp-html/pdp-br.html</p><p>http://www.cdme.im-uff.mat.br/pdp/pdp-html/pdp-br.html</p><p>http://www.cdme.im-uff.mat.br/pdp/pdp-html/pdp-br.html</p><p>Figuras planas e sólidos 71</p><p>mento pode ocorrer simultaneamente entre mais eixos, formando</p><p>uma simetria radial”.</p><p>São três tipos de simetria:</p><p>I. Simetria bilateral: tem um eixo de simetria que divide a imagem</p><p>em duas partes iguais.</p><p>II. Simetria axial: também conhecida como radial, tem vários eixos</p><p>de simetria que dividem a imagem em partes iguais.</p><p>III. Simetria rotacional: também conhecida como simetria central,</p><p>em vez de um eixo, tem um ponto que é o centro de simetria.</p><p>Esse ponto é suporte para rotação da figura. O centro de simetria</p><p>fica no ponto médio do segmento que une os pontos simétricos</p><p>da figura.</p><p>A figura a seguir representa esses três tipos de simetria.</p><p>Figura 9</p><p>Tipos de simetria</p><p>Bilateral Axial Rotacional</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Nos tipos de simetria em que há eixo de simetria (bilateral e axial),</p><p>ao ligar dois pontos simétricos por um segmento de reta, o eixo de si-</p><p>metria dividirá esse segmento de reta em duas partes iguais.</p><p>Para praticar esse conceito, acompanhe o próximo exemplo.</p><p>Exemplo 6</p><p>Seja o ponto A = (1, 4). Qual a coordenada do simétrico A’, sabendo</p><p>que o eixo de simetria é a reta bissetriz do primeiro quadrante do sis-</p><p>tema cartesiano?</p><p>Para saber mais sobre</p><p>geomática, como definição,</p><p>linhas de pesquisa e</p><p>publicações, acesse os sites</p><p>das pós-graduações em</p><p>Geomática da Universidade</p><p>Federal do Paraná (UFPR) e</p><p>da Universidade Federal do</p><p>Rio de janeiro (UFRJ).</p><p>Disponível em: http://www.</p><p>geomatica.ufpr.br/portal/. Acesso</p><p>em: 1 out. 2021.</p><p>Disponível em: http://www.</p><p>geomatica.eng.uerj.br/. Acesso em:</p><p>1 out. 2021.</p><p>Site</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>http://www.geomatica.ufpr.br/portal/</p><p>http://www.geomatica.ufpr.br/portal/</p><p>http://www.geomatica.eng.uerj.br/</p><p>http://www.geomatica.eng.uerj.br/</p><p>72 Geometria Espacial</p><p>Resolução</p><p>Nesse problema, você precisa visualizar os elementos geométricos</p><p>envolvidos: o eixo de simetria, que é a bissetriz, e a posição do ponto</p><p>A. Para encontrar o simétrico, é necessário lembrar-se da propriedade</p><p>que o eixo de simetria divide ao meio o segmento de reta que une os</p><p>pontos simétricos. Ou seja, o segmento de reta que une os pontos si-</p><p>métricos é perpendicular ao eixo de simetria.</p><p>Então, o simétrico do ponto A, nesse caso, é o mesmo que inverter</p><p>o ponto A. Para facilitar a resolução, você pode fazer um rascunho para</p><p>ajudar na visualização do problema. Observe a representação do pro-</p><p>blema na figura a seguir.</p><p>Figura 10</p><p>Representação do ponto A e seu simétrico A’</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Logo, o simétrico de A é A’ = (4, 1).</p><p>Com base em uma figura não simétrica, podemos criar réplicas</p><p>dessa figura inicial e o resultado é uma imagem simétrica final. Essas</p><p>réplicas podem ser formadas com a utilização de transformações geo-</p><p>métricas, como translação, rotação, inversão e espelhamento. Ou,</p><p>ainda, pode ser aplicada a combinação de mais de uma transformação</p><p>geométrica; por exemplo, na elaboração do projeto arquitetônico de</p><p>uma escada caracol, em que são aplicadas rotação e translação, resul-</p><p>tando na estrutura helicoidal.</p><p>O Departamento de Mate-</p><p>mática da Universidade</p><p>Federal do Rio de Janeiro</p><p>tem uma página sobre</p><p>simetria. Você poderá re-</p><p>forçar os conceitos apre-</p><p>sentados neste capítulo</p><p>e explorar os recursos</p><p>digitais para criação de</p><p>figuras simétricas.</p><p>Disponível em: http://www.dmm.</p><p>im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/</p><p>sala/conteudo/capitulos/cap21s3.</p><p>html. Acesso em: 1º out. 2021.</p><p>Site</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Quais tipos de simetrias</p><p>podemos criar com uma</p><p>folha de papel e tesoura?</p><p>Experimente dividir uma</p><p>folha de sulfite ao meio,</p><p>formando um retângulo.</p><p>Dobre ao meio uma das</p><p>metades. Na outra, dobre</p><p>ao meio e dobre ao meio</p><p>novamente, formando um</p><p>retângulo menor. Corte</p><p>aleatoriamente a borda</p><p>das folhas, sem cortar</p><p>a dobra. Depois abra</p><p>e compare as imagens</p><p>formadas.</p><p>Desafio</p><p>http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html</p><p>http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html</p><p>http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html</p><p>http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap21s3.html</p><p>Figuras planas e sólidos 73</p><p>Em arquitetura, é considerado mais um tipo de simetria, a simetria</p><p>reflexiva, que ocorre com o reflexo da natureza na água.</p><p>A simetria está presente em diversas aplicações do cotidiano, como</p><p>na arquitetura, no estudo das moléculas, na espectroscopia, na enge-</p><p>nharia e na medicina. A geomática é uma área que aplica conceitos</p><p>e propriedades de geometria no processamento de dados de imagens</p><p>e gerenciamento de dados espaciais.</p><p>3.4 Sólidos de revolução</p><p>Vídeo Sólidos de revolução são estruturas tridimensionais obtidas após</p><p>girar uma figura plana ao redor de um eixo de rotação, enquanto su-</p><p>perfícies de revolução são obtidas rotacionando linhas ao redor de um</p><p>eixo. A revolução completa ocorre ao girar 360° ao redor do eixo de</p><p>revolução e.</p><p>Segundo Dolce e Pompeo (2013, p. 322), “considere um semiplano</p><p>que possui uma linha g (geratriz) e um eixo e. Ao girar o semiplano ao</p><p>redor do eixo e, a linha g cria uma superfície de revolução”.</p><p>Observe as linhas e figuras planas representadas na figura a seguir.</p><p>Figura 11</p><p>Linhas e eixos de revolução</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>As linhas representadas na Figura 11, ao serem rotacionadas 360°</p><p>ao redor dos eixos de simetria, formam superfícies de revolução que</p><p>estão representadas na figura a seguir.</p><p>Descrever volumes e</p><p>áreas de sólidos de</p><p>revolução e resolver</p><p>problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>74 Geometria Espacial</p><p>Figura 12</p><p>Superfícies de revolução</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>As superfícies de revolução são ocas por dentro, como uma casca.</p><p>Para obter essas mesmas estruturas preenchidas, ou seja, sólidos de</p><p>revolução, é necessário fazer alterações nas estruturas que serão ro-</p><p>tacionadas, substituindo as linhas por figuras planas, conforme repre-</p><p>sentado na Figura 13.</p><p>Figura 13</p><p>Figuras planas e eixos de revolução</p><p>Cone de duas folhas Cilindro Esfera</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe que a esfera também pode ser obtida pela</p><p>revolução de</p><p>um semicírculo.</p><p>Figuras planas e sólidos 75</p><p>Para calcular a área da superfície obtida pela revolução ou o volume</p><p>do sólido obtido pela revolução, é necessário ter os dados da linha ou</p><p>da figura plana que será submetida à revolução. Vamos lembrar a se-</p><p>guir algumas propriedades sobre cone, cilindro e esfera.</p><p>Quadro 1</p><p>Propriedades dos sólidos</p><p>Sólido Elementos Área da superfície Volume</p><p>Cone</p><p>r – raio da base do cone</p><p>g – geratriz</p><p>h – altura do cone</p><p>Soma da área da base</p><p>com a área da super-</p><p>fície lateral</p><p>Acone = πr(g + r)</p><p>V r hcone �</p><p>1</p><p>3</p><p>� ²</p><p>Cilindro</p><p>r – raio da base do cilindro</p><p>h – altura do cilindro</p><p>Acilindro = 2πr(h + r) Vcilindro = πr2h</p><p>Esfera r – raio da esfera Asup. esfera = 4πr² V resfera �</p><p>4</p><p>3</p><p>� ³</p><p>Fonte: Elaborado pela autora.</p><p>Essas fórmulas são utilizadas para calcular as superfícies de revo-</p><p>lução e o volume dos sólidos de revolução. Acompanhe o exemplo a</p><p>seguir, que aborda o cálculo da área de uma superfície de revolução.</p><p>Exemplo 7</p><p>Qual é a área da superfície esférica gerada pela revolução do semi-</p><p>círculo de diâmetro 6?</p><p>Resolução</p><p>Nesse problema, temos por hipótese que o diâmetro é igual a 6,</p><p>logo o raio é igual a 3. Não foi mencionada unidade de medida, então</p><p>calculamos como unidade adimensional (u.a.).</p><p>A área da superfície esférica é Asup esfera = 4πr², então basta subs-</p><p>tituir os valores.</p><p>Asup esfera = 4π(3)2 = 4· π · 9 = 36π u.a.</p><p>Observe a Figura 14, que representa o semicírculo que gerou a su-</p><p>perfície esférica.</p><p>76 Geometria Espacial</p><p>Figura 14</p><p>Semicírculo gerador da superfície esférica</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Além da área das superfícies obtidas pela revolução, conseguimos</p><p>resolver problemas sobre o volume dos sólidos de revolução. Acompa-</p><p>nhe o exemplo a seguir, que mostra como é possível calcular o volume</p><p>do sólido de revolução com base nos dados do polígono de revolução.</p><p>Exemplo 8</p><p>Qual é o volume do cone obtido na revolução do triângulo retângulo</p><p>de catetos de 8 e 6 cm, sabendo que o eixo de rotação coincide com o</p><p>cateto de 8 cm?</p><p>Resolução</p><p>Como 8 e 6 são as medidas dos catetos, esses dois lados formam</p><p>90°. O raio da base do cone corresponde ao cateto de 6 cm, e a altura</p><p>do cone corresponde ao cateto de 8 cm.</p><p>Como o problema pede para calcular o volume do cone de revolu-</p><p>ção, V r hcone �</p><p>1</p><p>3</p><p>� ² , não é necessário calcular a geratriz. Portanto,</p><p>V r h V</p><p>� �</p><p>�cmcone cone� � � � � �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>6 8</p><p>36 8</p><p>3</p><p>12 8 962 2� �</p><p>�</p><p>� � ³</p><p>Logo, o volume do cone obtido pela revolução do triângulo é</p><p>96π cm³.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Figuras planas e sólidos 77</p><p>O eixo de revolução está do lado do triângulo, que mede 8 cm, como</p><p>representado na figura a seguir.</p><p>Figura 15</p><p>Cone gerado pela revolução do triângulo</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Caso o problema anterior solicitasse a área da superfície, seria ne-</p><p>cessário calcular a geratriz g, que é a hipotenusa do triângulo retângulo:</p><p>g² = 8² + 6² ⟹ g² = 64 + 36 = 100 ⟹ g = 10.</p><p>Para resolver os problemas envolvendo sólidos de revolução, você</p><p>terá que analisar a figura que será utilizada na revolução, para identifi-</p><p>car os dados e a estrutura tridimensional que será criada na revolução.</p><p>No estudo de cálculo, uma</p><p>das aplicações da integral</p><p>definida é o cálculo do</p><p>volume de sólidos de revo-</p><p>lução. O texto Aplicações da</p><p>integral definida, vinculado</p><p>ao Instituto de Matemática</p><p>da Universidade Federal</p><p>do Rio de Janeiro, aborda</p><p>os conceitos relacionados</p><p>a esse tema, incluindo</p><p>exemplos e exercícios.</p><p>Disponível em: http://www.im.ufrj.</p><p>br/waldecir/calculo1/calculo1html/</p><p>cap3_5.html. Acesso em: 1º out. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Vamos criar alguns sólidos</p><p>de revolução?</p><p>Utilizando um barbante e</p><p>cartolina, recorte figuras</p><p>geométricas planas,</p><p>como triângulo isósceles,</p><p>parábola e círculo. Cole</p><p>o barbante no centro,</p><p>formando um eixo central</p><p>e deixe uma sobra de</p><p>barbante dos dois lados.</p><p>Depois de seco, segure as</p><p>pontas do barbante e gire.</p><p>Desafio</p><p>3.5 Troncos</p><p>Vídeo Troncos são estruturas tridimensionais obtidas pelo corte de pirâ-</p><p>mides ou cones. Esse corte é paralelo à base, então o tronco não tem</p><p>o vértice da estrutura original. Além disso, esse corte gera uma seção</p><p>plana semelhante à figura plana que define a base, porém em tamanho</p><p>menor. Temos, assim, a base maior B e a base menor b, que correspon-</p><p>de à seção do corte.</p><p>Também são elementos dos troncos:</p><p>• a altura h do tronco de pirâmide;</p><p>• o apótema M da base maior do tronco;</p><p>• o apótema m da base menor do tronco;</p><p>• o apótema m’ do tronco.</p><p>Descrever os sólidos defi-</p><p>nidos como troncos.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1html/cap3_5.html</p><p>http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1html/cap3_5.html</p><p>http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1html/cap3_5.html</p><p>78 Geometria Espacial</p><p>Esses elementos estão representados na figura a seguir.</p><p>Figura 16</p><p>Tronco de pirâmide</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe que a lateral do tronco de pirâmide é um trapézio, isso</p><p>vai ocorrer para qualquer formato de base do tronco. Esse trapézio</p><p>tem base maior representada por L (porque é o lado da base maior</p><p>do tronco) e a base menor do trapézio é l – de lado da base menor do</p><p>tronco.</p><p>Agora que os elementos foram definidos, vamos para as fórmu-</p><p>las da área lateral e do volume do tronco de pirâmide (Quadro 2).</p><p>Com os valores dos lados das bases, maior e menor, é possível ob-</p><p>termos os perímetros de cada base, de modo que 2P é o perímetro</p><p>da base maior do tronco e 2p o perímetro da base menor do tronco.</p><p>Quadro 2</p><p>Fórmulas da área e volume do tronco de pirâmide</p><p>Sólido Área da lateral Volume</p><p>Tronco de pirâmide A = (P + p)m′ + PM + pm V h B B b b� � � �� �3</p><p>Fonte: Elaborado pela autora.</p><p>É importante lembrar que B é área da base maior, e b é a área da</p><p>base menor do tronco. Essas fórmulas se aplicam para qualquer forma-</p><p>to de polígono para a base do tronco.</p><p>Também existe o tronco de cone, como representado na Figura 17.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Na fórmula da área da</p><p>superfície do tronco de</p><p>pirâmide, são utilizados os</p><p>valores dos semiperíme-</p><p>tros das bases: P e p.</p><p>Atenção</p><p>Figuras planas e sólidos 79</p><p>Figura 17</p><p>Tronco de cone</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe que h é a altura do tronco de cone; g é a geratriz do tronco;</p><p>r é o raio da base menor; e R é o raio da base maior. Com base nesses</p><p>elementos, é possível enunciar as fórmulas para área e volume do tron-</p><p>co de cone (Quadro 3).</p><p>Quadro 3</p><p>Fórmulas da área e volume do tronco de cone</p><p>Sólido Área da lateral Volume</p><p>Tronco de cone A = π(R + r)g V h R Rr r� � �� ��</p><p>3</p><p>2 ²</p><p>Fonte: Elaborado pela autora.</p><p>Acompanhe o exemplo a seguir, em que esses conceitos são</p><p>aplicados.</p><p>Exemplo 9</p><p>Qual é a área lateral e o volume do tronco de cone, sabendo que</p><p>r = 5 cm, R = 8 cm e h = 4 cm?</p><p>Resolução</p><p>Para obter a área, é necessário ter o valor de g, que é a hipotenusa</p><p>do triângulo retângulo cujos catetos são a altura do tronco e a diferen-</p><p>ça entre os raios das bases. Assim,</p><p>g² = (8 – 5)² + 4², então g² = 9 + 16 = 25 ⟹ g = 5.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>80 Geometria Espacial</p><p>Logo, podemos calcular a área lateral:</p><p>Al = π(R + r)g ⟹ Al = π(8 + 5)5 = π(13)5 = 65π cm².</p><p>Também podemos calcular o volume de tronco de cone:</p><p>V h R Rr r V� � �� � � � � �� � �� �� �</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>8 8 5 52 2 2 2</p><p>� � � �� � � � �� � � � �V � � � �4</p><p>3</p><p>64 40 25 4</p><p>3</p><p>64 40 25 4</p><p>3</p><p>129 516</p><p>3</p><p>Portanto, a área lateral desse tronco de cone é 65π cm², e o volume</p><p>é 516</p><p>3</p><p>π �cm³ .</p><p>O estudo de troncos de cone tem aplicações na engenharia civil, em</p><p>especial na parte que analisa as estruturas, e na engenharia mecânica,</p><p>na parte de manufatura e resistência dos materiais.</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>As propriedades dos polígonos e dos poliedros estão relacionadas,</p><p>uma vez que as faces dos poliedros são polígonos. Da mesma maneira, o</p><p>estudo dos sólidos está relacionado ao estudo dos sólidos de revolução</p><p>e dos troncos.</p><p>Além disso, a simetria está presente no estudo dos polígonos (em es-</p><p>pecial,</p><p>os polígonos regulares), dos poliedros, dos sólidos de revolução e</p><p>dos troncos.</p><p>Todos esses assuntos têm aplicação nas engenharias civil, química e</p><p>mecânica, assim como na arquitetura.</p><p>ATIVIDADES</p><p>Atividade 1</p><p>De que modo é possível encontrar o valor de um ângulo externo</p><p>de um polígono regular, sabendo apenas o número de lados do</p><p>polígono? Descreva o passo a passo.</p><p>Atividade 2</p><p>Qual é a influência do formato das faces de um poliedro com a</p><p>relação de Euler?</p><p>É possível criar troncos</p><p>a partir de sólidos de</p><p>revolução?</p><p>Utilizando um barbante</p><p>e um pequeno pedaço</p><p>de cartolina, recorte um</p><p>pequeno trapézio retân-</p><p>gulo. Cole o barbante no</p><p>lado onde há dois ângulos</p><p>retos, deixando sobra de</p><p>fio dos dois lados. Você</p><p>utilizará essa sobra de fio</p><p>para girar dos dois lados</p><p>e observar a imagem</p><p>formada.</p><p>Desafio</p><p>Figuras planas e sólidos 81</p><p>Atividade 3</p><p>Descreva as diferenças entre os tipos de simetria.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual,</p><p>2013. v. 10. (Geometria espacial: posição e métrica).</p><p>ELIAS, A. P. de. A. J. Fundamentos de matemática. Curitiba: Contentus, 2020.</p><p>HUYER, A.; LÜCKE, S. A.; CORNETET, B. C. Introdução a arquitetura e urbanismo. Porto Alegre:</p><p>Grupo Sagah, 2018.</p><p>MACHADO, C. P. Fundamentos de geometria. Porto Alegre: Grupo Sagah, 2019.</p><p>REIS, A. G. Geometrias plana e sólida: introdução e aplicações em agrimensura. Porto</p><p>Alegre: Bookman, 2014.</p><p>82 Geometria Espacial</p><p>4</p><p>Sólidos platônicos e</p><p>teorema de Euler</p><p>Abordaremos neste capítulo os conceitos relacionados aos sólidos</p><p>de Platão, a vida e obra do matemático Euler e, de maneira mais de-</p><p>talhada, o teorema de Euler. Descreveremos cada um dos elementos,</p><p>listando as principais propriedades e exemplificando a aplicação delas</p><p>na resolução de exercícios.</p><p>Esses conteúdos têm aplicações na arquitetura e nas engenharias</p><p>civil, química e mecânica, especialmente com relação ao formato das</p><p>moléculas, por exemplo, no estudo das estruturas cristalinas dos metais,</p><p>em que a análise da estrutura molecular define características mecâ-</p><p>nicas, como a estrutura cúbica de face centrada e o comportamento</p><p>plástico dos metais. Esse estudo influencia diretamente a caracterização</p><p>dos metais e, consequentemente, a produção de materiais metálicos,</p><p>como na fabricação da lataria de carros por conformação ou no estudo</p><p>dos metais para fabricação de implantes.</p><p>4.1 Sólidos platônicos</p><p>Vídeo Platão (c. 428-347 a.C.) foi um filósofo e matemático da Grécia</p><p>Antiga, que utilizava a representação dos poliedros regulares para</p><p>retratar elementos da natureza, os quais ele considerava como ele-</p><p>mentos fundamentais para o universo, por isso o nome de sólidos</p><p>platônicos para os poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro,</p><p>dodecaedro e icosaedro.</p><p>Sólidos platônicos, também conhecidos como sólidos de Platão, são</p><p>cinco poliedros convexos regulares, ou seja, individualmente todas as</p><p>faces são iguais e os ângulos são iguais e regidos pela relação de Euler</p><p>(o número de vértices menos o número de arestas mais o número de</p><p>faces é igual a dois), conforme representado na figura a seguir.</p><p>• Descrever os sólidos</p><p>platônicos.</p><p>• Resolver os problemas</p><p>de sólidos platônicos.</p><p>Objetivos de aprendizagem</p><p>Sólidos platônicos e teorema de Euler 83</p><p>M</p><p>ar</p><p>co</p><p>Tu</p><p>lio</p><p>/S</p><p>hu</p><p>tte</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>Figura 1</p><p>Poliedros de Platão</p><p>Dolce e Pompeo (2013, p. 127, grifos nossos) definem que:</p><p>um poliedro convexo é chamado de poliedro de Platão se e so-</p><p>mente se:</p><p>a) Todas as faces possuem o mesmo número de arestas;</p><p>b) Todos os ângulos poliédricos possuem o mesmo número</p><p>de faces;</p><p>c) Suas faces são polígonos regulares e congruentes;</p><p>d) Seus ângulos poliédricos são congruentes;</p><p>e) Vale a relação de Euler (V – A + F = 2).</p><p>Os poliedros de Platão são: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, do-</p><p>decaedro e icosaedro. A nomenclatura de cada poliedro está associada ao</p><p>seu número de faces, conforme a tabela a seguir.</p><p>Tabela 1</p><p>Classificação dos sólidos platônicos</p><p>Faces Arestas Vértices</p><p>Tetraedro 4 6 4</p><p>Hexaedro 6 12 8</p><p>Octaedro 8 12 6</p><p>Dodecaedro 12 30 20</p><p>Icosaedro 20 30 12</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Cada poliedro de Platão tem características próprias com relação ao</p><p>ângulo poliédrico e ao formato da face. Esses poliedros são os únicos</p><p>que podem ser inscritos em uma esfera. O nome sólido platônico tem</p><p>origem no fato de que Platão utilizava esses poliedros para representar</p><p>elementos que ele considerava como básicos do universo. O astrônomo</p><p>Euclides, utilizando a</p><p>proposição de a soma</p><p>dos ângulos que incidem</p><p>em um mesmo vértice ser</p><p>inferior a 360°, provou</p><p>que só poderiam existir</p><p>cinco poliedros regulares,</p><p>os quais conhecemos</p><p>como sólidos platônicos ou</p><p>poliedros de Platão.</p><p>Curiosidade</p><p>84 Geometria Espacial</p><p>Johannes Kepler (1571-1630) fez a ilustração dos poliedros de Platão se-</p><p>gundo os elementos básicos, como observamos na figura a seguir.</p><p>W</p><p>at</p><p>ch</p><p>du</p><p>ck</p><p>/W</p><p>iki</p><p>m</p><p>ed</p><p>ia</p><p>C</p><p>om</p><p>m</p><p>on</p><p>s</p><p>Figura 2</p><p>Sólidos platônicos</p><p>conforme os elementos</p><p>básicos do universo</p><p>Para Platão, o tetraedro representava o fogo, o hexaedro a terra, o</p><p>octaedro o ar, o dodecaedro o cosmos (alguns traduziram como espí-</p><p>rito ou universo) e o icosaedro a água (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2010).</p><p>Agora vamos discutir cada um dos sólidos de Platão, suas proprie-</p><p>dades e as fórmulas para calcular a área lateral e o volume de cada</p><p>sólido com exemplos.</p><p>O tetraedro é o polígono convexo regular de quatro faces (lados),</p><p>todas triângulos equiláteros, como observamos na figura a seguir.</p><p>Figura 3</p><p>Tetraedro regular</p><p>Sabendo que a área do triângulo equilátero é A l</p><p>� �</p><p>² 3</p><p>4</p><p>, com l sendo</p><p>o lado do triângulo equilátero, é possível deduzir o valor da área lateral</p><p>do tetraedro, que tem quatro faces triangulares, logo, a área lateral do</p><p>tetraedro é:</p><p>A l � ltetraedro � � �4 3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>A imagem representada</p><p>na Figura 2 faz parte do</p><p>livro Harmonices mundi</p><p>(1619), de Kepler, especi-</p><p>ficamente da página 80.</p><p>O livro pode ser visto na</p><p>íntegra no link a seguir.</p><p>Disponível em: https://</p><p>archive.org/details/</p><p>ioanniskepplerih00kepl/page/n79/</p><p>mode/2up?view=theater. Acesso</p><p>em: 1 out. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>Sh</p><p>ad</p><p>eD</p><p>es</p><p>ig</p><p>n/</p><p>Sh</p><p>ut</p><p>te</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>https://archive.org/details/ioanniskepplerih00kepl/page/n79/mode/2up?view=theater</p><p>https://archive.org/details/ioanniskepplerih00kepl/page/n79/mode/2up?view=theater</p><p>https://archive.org/details/ioanniskepplerih00kepl/page/n79/mode/2up?view=theater</p><p>https://archive.org/details/ioanniskepplerih00kepl/page/n79/mode/2up?view=theater</p><p>Sólidos platônicos e teorema de Euler 85</p><p>Considerando l igual à aresta, denotada por a, temos:</p><p>A atetraedro = 2 3</p><p>E o volume do tetraedro é V a</p><p>tetraedro =</p><p>3 2</p><p>12</p><p>, com a aresta do tetraedro.</p><p>Observe o uso dessas informações sobre o tetraedro no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 1</p><p>Qual é a área lateral de um tetraedro cuja aresta mede 6 cm?</p><p>Resolução</p><p>Primeiro, é importante relacionarmos a aresta com o lado do triân-</p><p>gulo da face, isso porque o tetraedro é formado por quatro triângu-</p><p>los equiláteros, cujos lados são iguais à aresta do poliedro. Como</p><p>A atetraedro = 2 3 e, por hipótese, a aresta mede 6 cm, temos que</p><p>Atetraedro = =6 3 36 32 cm².</p><p>O hexaedro é o poliedro convexo regular de seis faces quadradas,</p><p>também chamado de cubo, como vemos na figura a seguir.</p><p>Figura 4</p><p>Hexaedro regular</p><p>Para calcular a área lateral total e o volume, basta aplicar as fór-</p><p>mulas conhecidas do cubo, ou seja, A = 6a² e V = a³, em que a é</p><p>a aresta do hexaedro. Observe a aplicação dessas informações no</p><p>exemplo a seguir.</p><p>Construir modelos dos</p><p>poliedros de Platão ajuda</p><p>na internalização dos con-</p><p>ceitos, por isso uma alter-</p><p>nativa é construí-los com</p><p>massinha de modelar,</p><p>argila ou papel (aplicando</p><p>a técnica de origami, sem</p><p>cola, apenas encaixes).</p><p>O passo a passo dessa</p><p>construção está no vídeo</p><p>Origami: tetraedro – Instru-</p><p>ções em português BR.</p><p>Disponível em: https://</p><p>www.youtube.com/</p><p>watch?v=UoXZzFMdvZ8. Acesso</p><p>em: 1 out. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>(Continua)</p><p>Sh</p><p>ad</p><p>eD</p><p>es</p><p>ig</p><p>n/</p><p>Sh</p><p>ut</p><p>te</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>Você pode construir o</p><p>hexaedro de diversas</p><p>maneiras usando mate-</p><p>riais modeláveis, como</p><p>massa de EVA ou papel, e</p><p>a técnica de origami. Com</p><p>seis quadrados de papel</p><p>de mesmo tamanho é</p><p>possível construir um</p><p>hexaedro sem cola, ape-</p><p>nas usando essa técnica.</p><p>O passo a passo está</p><p>no vídeo Origami: cubo</p><p>Sonobe – Instruções em</p><p>português PT BR.</p><p>Disponível em: https://www.</p><p>youtube.com/watch?v=sGuDBnjL-</p><p>EM. Acesso em: 1 out. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=UoXZzFMdvZ8</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=UoXZzFMdvZ8</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=UoXZzFMdvZ8</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=sGuDBnjL-EM</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=sGuDBnjL-EM</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=sGuDBnjL-EM</p><p>86 Geometria Espacial</p><p>Exemplo 2</p><p>Qual é a área lateral total e o volume do hexaedro de aresta igual</p><p>a 5 cm?</p><p>Resolução</p><p>Como a área lateral total do hexaedro é A = 6a² e o volume é V = a³,</p><p>em que a é a aresta, e o enunciado informa a medida de 5 cm, a área</p><p>lateral total é:</p><p>A = 6a² ⟹ A = 6 · (5)² ⟹ A = 150 cm²</p><p>E o volume é:</p><p>V = a³ ⟹ V = (5)³ ⟹ 125 cm³</p><p>Como mencionamos no início deste capítulo, há muitas aplicações</p><p>dos conteúdos abordados. O estudo de caso a seguir apresenta o uso</p><p>de um hexaedro aplicado a metais.</p><p>Quando se trata do estudo dos metais, a posição</p><p>das moléculas em uma estrutura cúbica interfere</p><p>nas características mecânicas, como na resistên-</p><p>cia. É possível encontrar estruturas cristalinas</p><p>com a molécula nos vértices do hexaedro, ou</p><p>com a molécula no centro da estrutura cúbica,</p><p>ou ainda com a molécula centralizada nas fa-</p><p>ces. Essa estrutura é conhecida como cúbica de</p><p>face centrada (CFC) ou cúbica de corpo centrado</p><p>(CCC), como representado na figura.</p><p>A estrutura cristalina dos metais analisa a posição das moléculas em um he-</p><p>xaedro, pois isso influencia o comportamento do metal quando submetido a</p><p>forças como tensão, compressão e torção. Quanto maior o fator de empaco-</p><p>tamento (quanto mais moléculas dentro da estrutura cristalina no formato de</p><p>hexaedro), maior a estabilidade mecânica. Para conhecer mais desse estudo,</p><p>visite o site no link a seguir.</p><p>Disponível em: https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6417-estru-</p><p>tura-cubica-de-face-centrada-cfc. Acesso em: 1 out. 2021.</p><p>Sa</p><p>m</p><p>ue</p><p>l D</p><p>up</p><p>ré</p><p>/W</p><p>ik</p><p>im</p><p>ed</p><p>ia</p><p>C</p><p>om</p><p>m</p><p>on</p><p>s</p><p>Estudo de caso</p><p>https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6417-estrutura-cubica-de-face-centrada-cfc</p><p>https://www.cimm.com.br/portal/material_didatico/6417-estrutura-cubica-de-face-centrada-cfc</p><p>Sólidos platônicos e teorema de Euler 87</p><p>O poliedro convexo regular de oito faces é o octaedro, sendo essas</p><p>faces triângulos regulares, ou seja, equiláteros, como vemos na figura</p><p>a seguir.</p><p>Figura 5</p><p>Octaedro regular</p><p>Sabendo que a área do triângulo equilátero é A l</p><p>� �</p><p>² 3</p><p>4</p><p>, com l sendo</p><p>o lado do triângulo equilátero, é possível deduzirmos o valor da área</p><p>lateral do octaedro, que tem oito faces formadas por triângulos equilá-</p><p>teros. Portanto, a área lateral do octaedro é:</p><p>A l � loctaedro � � �8 3</p><p>4</p><p>2 3</p><p>2</p><p>2</p><p>Considerando a aresta, denotada por a, igual ao lado, temos:</p><p>A aoctaedro = 2 32</p><p>O volume do octaedro é V a</p><p>octaedro =</p><p>3</p><p>6</p><p>, em que a é a aresta do</p><p>octaedro, pois corresponde a duas vezes o volume da pirâmide de</p><p>base quadrada. Observe a aplicação dessas informações no exem-</p><p>plo a seguir.</p><p>Exemplo 3</p><p>Qual é o volume do octaedro de aresta igual a 3 cm?</p><p>Resolução</p><p>O octaedro é o poliedro convexo regular de oito faces triangulares,</p><p>cujo volume é V a</p><p>octaedro =</p><p>3</p><p>6</p><p>. Como a aresta é 3 cm, o volume é:</p><p>V a</p><p>octaedro � � � �</p><p>3 3</p><p>6</p><p>3</p><p>6</p><p>27</p><p>6</p><p>9</p><p>2</p><p>cm³</p><p>ON</p><p>YX</p><p>pr</p><p>j/S</p><p>hu</p><p>tte</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>88 Geometria Espacial</p><p>O dodecaedro é o poliedro convexo regular de 12 faces, em que</p><p>cada face é formada por um pentágono regular, como ilustra a figura</p><p>a seguir.</p><p>Figura 6</p><p>Dodecaedro regular</p><p>Considerando a aresta do dodecaedro denotada por a, temos que</p><p>sua área lateral total é:</p><p>A adodecaedro � �3 25 10 52</p><p>E o volume é:</p><p>V adodecaedro � �� �1</p><p>4</p><p>15 7 53</p><p>Observe a aplicação dessas informações no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 4</p><p>Qual é a área lateral total do dodecaedro de aresta igual a 2 cm?</p><p>Resolução</p><p>Considerando a aresta do dodecaedro igual a 2 cm, temos que a sua</p><p>área lateral total é:</p><p>A adodecaedro � �3 25 10 52</p><p>Assim:</p><p>Adodecaedro � � � � � �3 2 25 10 5 12 25 10 52</p><p>cm²</p><p>O icosaedro é o poliedro convexo regular de 20 faces, em que</p><p>cada face é formada por um triângulo equilátero, conforme a figura</p><p>a seguir.</p><p>Sh</p><p>ad</p><p>eD</p><p>es</p><p>ig</p><p>n/</p><p>Sh</p><p>ut</p><p>te</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>Você pode construir um</p><p>dodecaedro com a técnica</p><p>de origami, conforme o</p><p>passo a passo apresenta-</p><p>do no vídeo Como hacer</p><p>um dodecaedro de origami!</p><p>no link a seguir.</p><p>Disponível em: https://</p><p>www.youtube.com/</p><p>watch?v=GBCYqpgtpdQ. Acesso</p><p>em: 1 out. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=GBCYqpgtpdQ</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=GBCYqpgtpdQ</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=GBCYqpgtpdQ</p><p>Sólidos platônicos e teorema de Euler 89</p><p>Figura 7</p><p>Icosaedro regular</p><p>Sabendo que a área do triângulo equilátero é A l</p><p>� �</p><p>² 3</p><p>4</p><p>, é possível de-</p><p>duzirmos o valor da área lateral do icosaedro, que é:</p><p>A l licosaedro � � �20 3</p><p>4</p><p>5 3</p><p>2</p><p>²</p><p>Em que l é o lado (o mesmo que a aresta), logo, considerando a ares-</p><p>ta do icosaedro como a, temos:</p><p>A aicosaedro = 5 3²</p><p>O volume do icosaedro é V aicosaedro � �� � �5</p><p>12</p><p>3 5 ³, em que a é a</p><p>aresta do icosaedro. Agora, observe o uso dessas informações no</p><p>exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 5</p><p>Qual é o valor da aresta do icosaedro com área lateral igual a</p><p>125 3cm²?</p><p>Resolução</p><p>Sabendo que a área lateral do icosaedro é 20 vezes a área do triân-</p><p>gulo equilátero, dado o valor do lado e considerando que ele é o mesmo</p><p>que a aresta do poliedro, temos que a área lateral do icosaedro é:</p><p>A a �= =5 3 125 3² cm²</p><p>Logo, 125 = 5a2 ⟹ a2 = 25 ⟹ a = 5 cm.</p><p>Dessa maneira, é possível construirmos uma tabela que resume as</p><p>fórmulas de área e volume dos poliedros, conforme a tabela a seguir.</p><p>Sh</p><p>ad</p><p>eD</p><p>es</p><p>ig</p><p>n/</p><p>Sh</p><p>ut</p><p>te</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>90 Geometria Espacial</p><p>Tabela 2</p><p>Área e volume dos sólidos platônicos</p><p>Poliedro Faces Área lateral total Volume</p><p>Tetraedro 4 A a 3tetraedro = 2 V a 2</p><p>12tetraedro</p><p>3</p><p>=</p><p>Hexaedro 6 Ahexaedro = 6 · a² Vhexaedro = a³</p><p>Octaedro 8 A 2a 3octaedro</p><p>2= V a</p><p>6octaedro =</p><p>3</p><p>Dodecaedro 12 A = 3a 25 + 10 5dodecaedro</p><p>2 V 1</p><p>4</p><p>a 15 + 7 5dodecaedro</p><p>3� � �</p><p>Icosaedro 20 A 5a² 3icosaedro = V 5</p><p>12</p><p>3 + 5 aicosaedro � � � � ³</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Poliedros estrelados são aqueles em que em cada face do polie-</p><p>dro são construídas pirâmides (a base da pirâmide é a face do po-</p><p>liedro). Eles têm o mesmo nome do poliedro de base com a adição</p><p>da palavra estrelado, como o dodecaedro estrelado representado na</p><p>figura a seguir.</p><p>Figura 8</p><p>Dodecaedro estrelado</p><p>É possível construirmos poliedros estrelados com base em qual-</p><p>quer poliedro convexo, ou seja, poliedro euleriano (aprofundaremos</p><p>esse conceito posteriormente). Isso significa que podemos construir</p><p>poliedros estrelados com base em poliedros convexos com faces de</p><p>diferentes formas de polígonos regulares.</p><p>A2</p><p>56</p><p>98</p><p>75</p><p>/W</p><p>ik</p><p>im</p><p>ed</p><p>ia</p><p>C</p><p>om</p><p>m</p><p>on</p><p>s</p><p>Você pode construir um</p><p>icosaedro estrelado com</p><p>a técnica de origami,</p><p>conforme o passo a passo</p><p>apresentado no vídeo</p><p>Origami: icosaedro triangu-</p><p>lar (Sonobe 30 peças).</p><p>Disponível em: https://www.</p><p>youtube.com/watch?v=QanP_</p><p>yPlhiM. Acesso em: 1 out. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=QanP_yPlhiM</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=QanP_yPlhiM</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=QanP_yPlhiM</p><p>Sólidos platônicos e teorema de Euler 91</p><p>A planificação dos sólidos platônicos (Figura 9) facilita a construção</p><p>desses poliedros, assim como simplifica o cálculo da área lateral total.</p><p>Figura 9</p><p>Sólidos platônicos planificados</p><p>Os sólidos platônicos têm essa beleza estética, que há muitos sécu-</p><p>los instigou a curiosidade de matemáticos, em função da regularidade</p><p>presente nas faces e nos ângulos internos.</p><p>Pe</p><p>te</p><p>r H</p><p>er</p><p>m</p><p>es</p><p>F</p><p>ur</p><p>ia</p><p>n/</p><p>Sh</p><p>ut</p><p>te</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>4.2 Euler</p><p>Vídeo Leonhard Euler (1707-1783) nasceu na Suíça e estudou com</p><p>os fi-</p><p>lhos de Jean Bernoulli (1667-1748) – algumas referências bibliográficas</p><p>grafam Johann Bernoulli –, e dessa convivência descobriu o interesse</p><p>pela matemática. Ele estudou física, teologia, medicina, matemáti-</p><p>ca e línguas orientais, o que contribuiu para a sua mudança para</p><p>a Rússia.</p><p>Aos 26 anos, Euler tornou-se o principal matemático na Academia</p><p>de São Petersburgo e dois anos depois perdeu a visão do olho direito,</p><p>mas isso não o impediu de continuar escrevendo artigos acadêmicos.</p><p>Aos 34 anos, mudou-se para Berlim (a convite de Frederico, o Grande),</p><p>onde ficou durante 25 anos integrando a Academia de Berlim (BOYER;</p><p>MERZBACH, 2012). A figura a seguir é uma pintura a óleo de Euler feita</p><p>por Emanuel Handmann (1718-1781) em 1753.</p><p>Compreender a vida e a</p><p>obra de Euler.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>92 Geometria Espacial</p><p>HANDMANN, J. E. Retrato de Leonhard Euler.</p><p>1753. Óleo sobre tela, color.: 57 x 44 cm. Museu</p><p>das Belas Artes, Suíça.</p><p>Figura 10</p><p>Leonhard Euler</p><p>W</p><p>ar</p><p>s/</p><p>W</p><p>ik</p><p>im</p><p>ed</p><p>ia</p><p>C</p><p>om</p><p>m</p><p>on</p><p>s</p><p>Euler é conhecido por utilizar notações, sendo considerado</p><p>“construtor de notações”, muitas das quais utilizamos até hoje,</p><p>como o número e do estudo dos logaritmos. Outra notação que</p><p>teve a ajuda de Euler foi o uso do π como resultado da divisão do</p><p>comprimento da circunferência pelo diâmetro.</p><p>Euler escreveu vários livros didáticos que se tornaram popula-</p><p>res, o que ajudou a difundir suas notações, incluindo i para -1 e a</p><p>constante de Euler y utilizada em cálculo. Ele contribuiu para nota-</p><p>ções em geometria, com letras latinas minúsculas para representar</p><p>os lados de um triângulo, fazendo a correspondência com a letra</p><p>latina maiúscula do vértice oposto ao lado. Também colaborou para</p><p>o símbolo de somatório Σ e a função f(x) (BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>Euler não participou diretamente da criação das notações de</p><p>derivada e integral, mas grande parte do desenvolvimento dos cálculos</p><p>diferencial e integral ocorreu graças às suas contribuições anteriores.</p><p>Euler gostava de analisar e pesquisar diversos temas, como as sé-</p><p>ries que renderam correspondências com Gottfried Wilhelm Leibniz</p><p>(1646-1716) e Jacques Bernoulli. Esse tema é objeto de estudo em vá-</p><p>rios artigos e livros de Euler. Ele também cooperou com o aprofun-</p><p>damento do estudo de convergência e divergência de séries, bem</p><p>como com a análise de logaritmos envolvendo números complexos.</p><p>Euler contribuiu na</p><p>criação e difusão de</p><p>muitas notações. Como</p><p>as notações matemáticas</p><p>influenciaram o desen-</p><p>volvimento da matemá-</p><p>tica ao longo dos anos?</p><p>Você já pensou como</p><p>seria estudar matemática</p><p>sem essas notações?</p><p>Por exemplo, como</p><p>seria fazer os exercícios</p><p>deste capítulo usando</p><p>a representação grega</p><p>para números?</p><p>Para refletir</p><p>A família Bernoulli teve</p><p>vários matemáticos brilhan-</p><p>tes, como Bernoulli e seus</p><p>filhos, que eram amigos e</p><p>depois colegas de Euler.</p><p>Para saber mais sobre a</p><p>vida e obra dos Bernoulli,</p><p>acesse o link a seguir da</p><p>Biblioteca Matemática.</p><p>Disponível em: https://www.</p><p>uc.pt/fctuc/dmat/departamento/</p><p>bibliomat/servicos/matematicos/</p><p>Bernoulli-J. Acesso em: 1 out. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Bernoulli-J</p><p>https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Bernoulli-J</p><p>https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Bernoulli-J</p><p>https://www.uc.pt/fctuc/dmat/departamento/bibliomat/servicos/matematicos/Bernoulli-J</p><p>Sólidos platônicos e teorema de Euler 93</p><p>Foi Euler quem verificou e provou que o logaritmo de núme-</p><p>ros negativos são números imaginários puros (BOYER; MERZBACH,</p><p>2012). Lembre-se de que foi ele quem também definiu a notação</p><p>do i para -1, a qual certamente simplificou a análise e o desen-</p><p>volvimento da teoria. Também ajudou na probabilidade, com ar-</p><p>tigos sobre loteria e expectativa de vida, e na teoria dos números</p><p>(BOYER; MERZBACH, 2012).</p><p>Ao longo da história da humanidade as notações foram fun-</p><p>damentais na simplificação de informações e consequentemente</p><p>avanço das teorias matemáticas. A notação “0” para representar</p><p>o zero (assim como os algarismos) são considerados resultado do</p><p>trabalho do matemático Al-Khowarizmi (780-850 d.C.). Bem como a</p><p>notação f’(x) para derivada da função f em relação a x, que foi cria-</p><p>da por Lagrange e as notações de derivada e integral foram criadas</p><p>por Leibniz.</p><p>As contribuições de Euler em geometria são diversas, além do teore-</p><p>ma que relaciona arestas, vértices e faces. Ele foi o primeiro matemático</p><p>a sugerir que seno e cosseno eram funções do ângulo e os definiu funda-</p><p>mentado no círculo unitário (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2010).</p><p>Em vida, Euler publicou mais de 500 obras (entre artigos acadêmi-</p><p>cos e livros), sendo mais de 300 publicadas postumamente (BOYER;</p><p>MERZBACH, 2012). As publicações póstumas são fruto da análise das</p><p>correspondências que Euler manteve com vários matemáticos da época,</p><p>as quais são analisadas até os dias atuais.</p><p>Amigos de Euler afirma-</p><p>vam que era tão fácil</p><p>para ele escrever artigos</p><p>acadêmicos que os</p><p>fazia enquanto brincava</p><p>com os filhos (BOYER;</p><p>MERZBACH, 2012). Euler</p><p>casou-se com Katharina</p><p>Gsell, com quem teve 13</p><p>filhos, dos quais apenas</p><p>cinco sobreviveram. Gsell</p><p>faleceu em 1773, após</p><p>39 anos de casados.</p><p>Três anos depois, Euler</p><p>casou-se com Salome</p><p>Abigail Gsell, irmã de sua</p><p>primeira esposa, com</p><p>quem ficou até falecer</p><p>(FRAZÃO, 2020).</p><p>Curiosidade</p><p>Euler fez contribuições</p><p>fundamentais para a</p><p>geometria espacial e a</p><p>topologia. Para saber mais,</p><p>acesse o conteúdo dispo-</p><p>nível na página Derivando</p><p>a Matemática, projeto da</p><p>Universidade Estadual de</p><p>Campinas (Unicamp).</p><p>Disponível em: http://www.ime.</p><p>unicamp.br/~apmat/teorema-de-</p><p>euler/. Acesso em: 1 out. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>4.3 Teorema de Euler</p><p>Vídeo A relação de Euler aplicada aos poliedros convexos irregulares per-</p><p>mite encontrarmos exemplos de poliedros com mais de um tipo de</p><p>polígono nas faces. Agora vamos nos aprofundar no teorema de Euler</p><p>e aplicá-lo aos poliedros convexos regulares, os sólidos platônicos. Os</p><p>poliedros em que a relação de Euler é verdadeira são chamados de</p><p>poliedros eulerianos.</p><p>Considerando as faces como figuras poligonais, as arestas como os</p><p>lados das faces poligonais, os vértices dessas faces como os vértices do</p><p>poliedro e P como um poliedro que satisfaz às condições:</p><p>Descrever e utilizar o</p><p>teorema de Euler.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>http://www.ime.unicamp.br/~apmat/teorema-de-euler/</p><p>http://www.ime.unicamp.br/~apmat/teorema-de-euler/</p><p>http://www.ime.unicamp.br/~apmat/teorema-de-euler/</p><p>94 Geometria Espacial</p><p>I. não existe plano que contenha duas faces poligonais ao mesmo</p><p>tempo;</p><p>II. cada aresta é comum a duas, e somente duas, faces poligonais;</p><p>III. o plano de cada polígono deixa os demais polígonos em um</p><p>mesmo semiespaço.</p><p>Então, P é uma superfície poliédrica limitada convexa, em que vale a</p><p>relação definida no teorema de Euler.</p><p>Segundo Lima (1985), dois objetos são homotopicamente equiva-</p><p>lentes se for possível serem deformados continuamente um no outro.</p><p>Essa deformação, como um rebatimento, foi utilizada para demons-</p><p>trar o teorema de Euler para o hexaedro, conforme representado na</p><p>figura a seguir.</p><p>Teorema de Euler: em um</p><p>poliedro convexo em que</p><p>F é o número de faces, A</p><p>o número de arestas e V o</p><p>número de vértices vale a</p><p>relação V – A + F = 2.</p><p>Lembrete</p><p>Figura 11</p><p>Demonstração do teorema de Euler</p><p>A B</p><p>CD</p><p>A' B'</p><p>C'D'</p><p>E F</p><p>GH</p><p>E F</p><p>GH</p><p>A' B'</p><p>C'D'</p><p>E F</p><p>GH</p><p>A' B'</p><p>C'D'</p><p>E F</p><p>GH</p><p>A' B'</p><p>C'D'</p><p>B'</p><p>C'</p><p>E F</p><p>GH</p><p>A'</p><p>D'</p><p>A B</p><p>CD</p><p>A' B'</p><p>C'D'</p><p>E F</p><p>GH</p><p>E F</p><p>GH</p><p>A' B'</p><p>C'D'</p><p>E F</p><p>GH</p><p>A' B'</p><p>C'D'</p><p>E F</p><p>GH</p><p>A' B'</p><p>C'D'</p><p>B'</p><p>C'</p><p>E F</p><p>GH</p><p>A'</p><p>D'</p><p>Jo</p><p>se</p><p>m</p><p>an</p><p>ue</p><p>ls</p><p>an</p><p>19</p><p>73</p><p>/</p><p>W</p><p>ik</p><p>im</p><p>ed</p><p>ia</p><p>C</p><p>om</p><p>m</p><p>on</p><p>s</p><p>Essa demonstração considera a existência de um hexaedro for-</p><p>mado de material elástico (suposição), que é inflado sem romper até</p><p>se transformar. Quem se aprofundou nessa transformação como de-</p><p>monstração para o teorema foi Augustin-Louis Cauchy (1789-1857).</p><p>Lembre-se de que há várias maneiras de provar uma teoria</p><p>matema-</p><p>ticamente, seja mostrando que uma propriedade é válida para uma</p><p>sequência de elementos, seja por redução ao absurdo.</p><p>No artigo O teorema de Euler sobre poliedros, publicado na revista Matemática</p><p>Universitária, em 1985, o professor Elon Lages de Lima escreve a demons-</p><p>tração do teorema de Euler, detalhando a relação homotópica equivalente</p><p>entre dois objetos.</p><p>Acesso em: 1 out. 2021.</p><p>https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/elon/Euler-Elon.pdf</p><p>Artigo</p><p>about:blank</p><p>https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/elon/Euler-Elon.pdf</p><p>Sólidos platônicos e teorema de Euler 95</p><p>Todo poliedro convexo satisfaz ao teorema de Euler, do mesmo</p><p>modo que existem casos de poliedros não convexos em que tam-</p><p>bém é satisfeita a relação. A relação de Euler não se aplica a es-</p><p>truturas poliedrais com buracos, como representado na figura</p><p>a seguir.</p><p>Figura 12</p><p>Sólido poliedral com furo</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Como o teorema de Euler relaciona a quantia de vértices com</p><p>arestas e número de faces, tendo duas dessas informações é</p><p>possível encontrarmos o valor da terceira aplicando o teorema.</p><p>Assim, resolvemos problemas que envolvem sólidos platônicos e o</p><p>teorema de Euler, seja descobrindo qual é o poliedro com base no</p><p>número de arestas e vértices, seja misturando com outros assun-</p><p>tos relacionados aos sólidos platônicos, como área lateral, volume,</p><p>planificação e poliedros estrelados. Agora observe o uso dessas</p><p>informações no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 6</p><p>Qual é o poliedro com 30 arestas e 20 vértices?</p><p>Resolução</p><p>Para identificar o poliedro, é necessário calcular o número de fa-</p><p>ces. Como sabemos, para o número de arestas e vértices basta aplicar</p><p>o teorema de Euler:</p><p>V – A + F = 2</p><p>Assim, temos que se F = 2 + A – V, logo:</p><p>F = 2 + 30 – 20 = 12</p><p>Portanto, o poliedro é um dodecaedro.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>96 Geometria Espacial</p><p>Por meio de problemas em que é necessário utilizar o teorema de</p><p>Euler para identificar o poliedro, é possível incorporar outros conceitos,</p><p>como o cálculo da área lateral do poliedro. Observe o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 7</p><p>Qual é a área lateral total do poliedro que tem 8 vértices e 12 arestas</p><p>de 7 cm?</p><p>Resolução</p><p>Para calcular a área lateral total é necessário identificar inicialmente</p><p>qual é o poliedro que tem 12 arestas e 8 vértices. Para isso, basta apli-</p><p>car o teorema de Euler, ou seja, a relação V – A + F = 2.</p><p>Assim, temos que se F = 2 + A – V, então, F = 2 + 12 – 8 = 6. Logo, o</p><p>poliedro é um hexaedro.</p><p>Agora é necessário calcular a área lateral total. Sabemos que a ares-</p><p>ta mede 7 cm e a área lateral do hexaedro corresponde à soma da área</p><p>de seis quadrados. Logo, A = 6a² = 6 · (7)² = 6 · 49 = 294 cm².</p><p>Também podemos resolver exercícios que envolvem o teorema de</p><p>Euler e o cálculo de volume de um poliedro, como exemplificado a seguir.</p><p>Exemplo 8</p><p>Qual é o volume do poliedro que tem 6 vértices e 12 arestas de 5 cm?</p><p>Resolução</p><p>Para calcular o volume é necessário identificar qual é o poliedro que</p><p>tem 12 arestas e 6 vértices. Para isso, basta aplicar o teorema de Euler,</p><p>ou seja, a relação V – A + F = 2.</p><p>Assim, temos que se F = 2 + A – V, então, F = 2 + 12 – 6 = 8. Logo, o</p><p>poliedro é um octaedro. Agora é necessário calcular o volume. Como</p><p>é um octaedro, o volume é a3</p><p>6</p><p>, com a = 5 cm. Portanto, o volume é</p><p>V a</p><p>= =</p><p>3</p><p>6</p><p>125</p><p>6</p><p>cm³.</p><p>É possível criar modelos</p><p>de poliedros de Platão</p><p>com água e sabão?</p><p>Utilize canudos plásticos</p><p>e fio de nylon (pela resis-</p><p>tência mecânica à água)</p><p>para construir poliedros</p><p>de Platão, fazendo ares-</p><p>tas com os canudos.</p><p>Utilize o fio de nylon</p><p>para passar por dentro</p><p>dos canudos (deixe</p><p>o fio bem ajustado) e</p><p>forme os poliedros. Para</p><p>representar as faces,</p><p>basta fazer uma mistura</p><p>de água e sabão líquido</p><p>e mergulhar nela os</p><p>modelos de poliedros</p><p>construídos. Desse</p><p>modo, as faces dos</p><p>poliedros serão como</p><p>bolhas de sabão.</p><p>Desafio</p><p>Sólidos platônicos e teorema de Euler 97</p><p>Outro tipo de problema que podemos resolver é o que utiliza o teo-</p><p>rema de Euler para identificar o poliedro e o número de faces para</p><p>calcular informações necessárias sobre as pirâmides e transformar o</p><p>poliedro convexo regular em um poliedro estrelado.</p><p>Exemplo 9</p><p>Quantas pirâmides e de qual formato deverão ser construídas</p><p>para transformar um poliedro de 30 arestas e 20 vértices em um</p><p>poliedro estrelado?</p><p>Resolução</p><p>Para calcular o número de pirâmides necessário, precisamos identi-</p><p>ficar qual é o poliedro que tem 30 arestas e 12 vértices. Para isso, basta</p><p>aplicar o teorema de Euler (V – A + F = 2).</p><p>Assim, temos que se F = 2 + A – V, então, F = 2 + 30 – 12 = 20. Logo, o</p><p>poliedro é um icosaedro.</p><p>Como as faces do icosaedro são triângulos equiláteros, é necessário</p><p>construir 20 pirâmides de base triangular para anexar às faces do ico-</p><p>saedro e transformá-lo em um icosaedro estrelado.</p><p>É comum encontrarmos problemas em provas de concursos que</p><p>envolvam outros conteúdos com poliedros de Platão, por exemplo,</p><p>equações ou funções na representação das arestas e problemas de</p><p>volume ou área lateral de sólidos que são combinações de poliedros.</p><p>No livro A janela de</p><p>Euclides: a história da geo-</p><p>metria, das linhas paralelas</p><p>ao hiperespaço o autor</p><p>apresenta vários fatos</p><p>históricos de um modo</p><p>interessante e, em alguns</p><p>relatos, até engraçado. É</p><p>uma maneira divertida de</p><p>contemplar como ocorreu</p><p>a construção dos conheci-</p><p>mentos geométricos.</p><p>MLODINOW, L. São Paulo: Geração</p><p>Editorial, 2004.</p><p>Livro</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Os sólidos platônicos eram considerados por Platão como repre-</p><p>sentantes dos elementos fundamentais para o universo: ar, água, terra,</p><p>fogo e cosmos. Por isso, há imagens com essa relação. Até hoje esses</p><p>sólidos são admirados pela sua beleza estética e regularidade, sendo</p><p>utilizados em construções de móveis e objetos de decoração e na ar-</p><p>quitetura e encontrados em elementos da natureza, como na estrutura</p><p>molecular dos metais.</p><p>Do que se tem registro oficial, Euler é o matemático que mais publicou</p><p>artigos e livros na história (inclusive publicações póstumas). Também é</p><p>98 Geometria Espacial</p><p>considerado o matemático que mais criou notações matemáticas que fa-</p><p>cilitaram o desenvolvimento dessa área em diversos contextos.</p><p>O teorema de Euler é uma informação fundamental na análise dos</p><p>poliedros e na resolução de problemas que envolvem poliedros conve-</p><p>xos, incluindo os poliedros regulares conhecidos como sólidos platôni-</p><p>cos. Há problemas que podem envolver o teorema de Euler com outras</p><p>informações, como área lateral tota ou volume do poliedro ou, ainda,</p><p>poliedros estrelados.</p><p>ATIVIDADES</p><p>Atividade 1</p><p>Quantos poliedros convexos regulares existem? Descreva os</p><p>nomes e a forma de suas faces.</p><p>Atividade 2</p><p>Uma professora deseja construir um icosaedro de lado igual a</p><p>4 cm só pelas arestas utilizando canudos. Quantos pedaços de</p><p>canudos de 4 cm ela precisa cortar? Justifique.</p><p>Atividade 3</p><p>Qual é a importância do teorema de Euler? Discorra.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BERLINGHOFF, W. P.;  GOUVÊA, F. G. A matemática através dos tempos. São Paulo:</p><p>Blucher, 2010.</p><p>BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual,</p><p>2013. (Geometria espacial: posição e métrica, v. 10).</p><p>FRAZÃO, D. Leonhard Euler: matemático e cientista suíço. eBiografia, 2020. Disponível em:</p><p>https://www.ebiografia.com/leonhard_euler/. Acesso em: 1 out. 2021.</p><p>LIMA, E. L. O teorema de Euler sobre poliedros. Matemática Universitária, Rio de Janeiro,</p><p>n. 2, p. 57-74, dez. 1985. Disponível em: https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/elon/</p><p>Euler-Elon.pdf. Acesso em: 1 out. 2021.</p><p>https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/elon/Euler-Elon.pdf</p><p>https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/elon/Euler-Elon.pdf</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 99</p><p>5</p><p>Inscrição, circunscrição e</p><p>transformações geométricas</p><p>Neste capítulo estudaremos os conceitos relacionados à inscri-</p><p>ção e circunscrição de sólidos. Também abordaremos conceitos mais</p><p>detalhados</p><p>de translação e rotação e descreveremos cada um dos</p><p>elementos relativos a esses temas, listando e exemplificando as suas</p><p>principais propriedades, com exemplos de exercícios de sua aplicação</p><p>na resolução de problemas.</p><p>Esses conteúdos têm aplicações em diversas áreas ligadas à constru-</p><p>ção civil, à arquitetura, ao design de produto e às engenharias mecânica e</p><p>madeireira, como no estudo de otimização de embalagens para produtos</p><p>e na usinagem de peças de madeira ou metálicas.</p><p>Tanto a inscrição e a circunscrição de sólidos quanto a translação e</p><p>a rotação estão presentes no projeto de criação e construção de peças,</p><p>como engrenagens de maquinários e pistão automotivo (necessário para</p><p>o funcionamento de motores). Outro exemplo de aplicação são os implan-</p><p>tes, como o que substitui a cabeça do fêmur.</p><p>5.1 Inscrição de sólidos</p><p>Vídeo Quando se trata das aplicações de inscrição de sólidos, é possí-</p><p>vel encontrarmos diversas estruturas, como no motor à combustão</p><p>Wankel, que utiliza formas específicas e pouco usuais, diferentemen-</p><p>te do mais comum pistão cilíndrico. Contudo, vamos nos concentrar</p><p>no estudo de sólidos mais usuais, até porque para projetar peças não</p><p>usuais é necessário dominar os conceitos e as propriedades de sólidos</p><p>fundamentais, como esfera, cubo, cilindro, cone, pirâmide e prisma.</p><p>Inclusive, os sólidos fundamentais têm aplicações em diversas áreas.</p><p>Por exemplo, considere a seguinte questão: quais dimensões uma cai-</p><p>xa deve ter para embalar uma bola cheia? Para resolver esse problema</p><p>é necessário compreender a inscrição de esfera em hexágono.</p><p>Sistematizar a inscrição</p><p>de sólidos e resolver</p><p>problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>100 Geometria Espacial</p><p>Na inscrição de uma esfera em um hexaedro é necessário anali-</p><p>sarmos que a aresta a do hexaedro (cubo) é igual ao diâmetro da seção</p><p>transversal da esfera, que tem a forma de um círculo, conforme repre-</p><p>sentado na figura a seguir.</p><p>Figura 1</p><p>Esfera inscrita em um cubo.</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 290.</p><p>Observe que o lado do cubo corresponde a 2r, com r sendo o raio da</p><p>esfera. Esses conceitos são abordados no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 1</p><p>Qual é o volume da esfera inscrita no cubo de lado 2 cm?</p><p>Resolução</p><p>Sabendo que o lado do cubo corresponde a 2r, com r sendo o</p><p>raio da esfera, e que o volume da esfera é V r�</p><p>4</p><p>3</p><p>� ³, temos 2r = 2 cm,</p><p>logo, r = 1 cm e:</p><p>V r V ��V � � � � � � �</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>1 4</p><p>3</p><p>3 3� � �³ cm</p><p>Na inscrição de uma esfera em um octaedro é necessário analisar-</p><p>mos que o raio da esfera inscrita corresponde à altura OH do triângulo</p><p>retângulo AOM, como representado na figura a seguir.</p><p>O engenheiro alemão</p><p>Félix Wankel (1902-1988)</p><p>criou o motor rotativo que</p><p>leva seu nome. A carta</p><p>patente reconhecendo</p><p>a criação foi deliberada</p><p>em 1933. É possível ver</p><p>uma animação com o</p><p>funcionamento do motor</p><p>Wankel e de pistões de</p><p>motores convencionais no</p><p>vídeo Quero saber – Motor</p><p>Wankel|Revista Náutica.</p><p>Disponível em: https://www.</p><p>youtube.com/watch?v=PsvFLXA-</p><p>M4w. Acesso em: 4 out. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=PsvFLXA-M4w</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=PsvFLXA-M4w</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=PsvFLXA-M4w</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 101</p><p>Figura 2</p><p>Esfera inscrita em um octaedro.</p><p>a 3</p><p>2</p><p>a 3</p><p>2</p><p>a 2</p><p>2</p><p>a 2</p><p>2</p><p>a</p><p>2</p><p>a</p><p>2</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 293.</p><p>Como o raio r da esfera corresponde à altura OH, podemos aplicar a</p><p>relação em que o produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto</p><p>dos catetos, sendo a aresta do octaedro, ou seja:</p><p>a r a a r a3</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>6</p><p>6</p><p>� � � � �</p><p>Esses conceitos são usados no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 2</p><p>Sabendo que o volume do octaedro é 32</p><p>3</p><p>cm³, qual é o valor do raio</p><p>da esfera inscrita no octaedro?</p><p>Resolução</p><p>Sabendo que V a</p><p>octaedro =</p><p>3</p><p>6</p><p>, então:</p><p>32</p><p>3 6</p><p>32 2 64 4</p><p>3</p><p>3 3� � � � � � � �</p><p>a a a a cm</p><p>Como o raio da esfera é r a</p><p>=</p><p>6</p><p>6</p><p>, logo, r = =</p><p>4 6</p><p>6</p><p>2 6</p><p>3</p><p>cm.</p><p>102 Geometria Espacial</p><p>Na inscrição de um cilindro em uma esfera de raio R é necessário</p><p>analisarmos o raio r da base do cilindro e a sua altura h, como repre-</p><p>sentado na figura a seguir.</p><p>Figura 3</p><p>Cilindro inscrito em uma esfera.</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 307.</p><p>Observe que há uma relação entre o raio R da esfera, a altura h</p><p>do cilindro e o diâmetro 2r do círculo da base do cilindro, ou seja,</p><p>eles formam um triângulo retângulo, no qual o diâmetro da esfera</p><p>(2R) é a hipotenusa.</p><p>Assim, é válida a relação (2r)² + h² = (2R)². Para compreender melhor</p><p>esses conceitos, acompanhe o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 3</p><p>Qual é o volume do cilindro de raio da base igual a 3 cm que está</p><p>inscrito em uma esfera de raio igual a 5 cm?</p><p>Resolução</p><p>Para calcular o volume do cilindro inscrito nessa esfera, é necessário</p><p>obter a altura dele. Como r = 3 cm, 2r = 6 cm; como R = 5 cm, 2R = 10 cm.</p><p>Além disso, é válida a relação (2r)² + h² = (2R)², então:</p><p>(6)² + h² = (10)² ⟹ h² = 100 – 36 ⟹ h² = 64 ⟹ h = 8 cm</p><p>Agora, para calcular o volume do cilindro (h · π · r²), fazemos:</p><p>8 · π · 9 = 72π cm³</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 103</p><p>Na inscrição de um prisma em um cilindro é necessário analisar-</p><p>mos que o raio da base do cilindro é igual à metade da diagonal do</p><p>prisma, conforme a figura a seguir.</p><p>Figura 4</p><p>Prisma inscrito em um cilindro.</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 300.</p><p>A altura do cilindro é igual à altura do prisma. O exemplo a seguir</p><p>esclarece essa análise.</p><p>Exemplo 4</p><p>Qual é o volume do prisma de base quadrada inscrito no cilindro de</p><p>raio da base igual a 5 cm e altura igual a 10 cm?</p><p>Resolução</p><p>Para calcular o volume do prisma é necessário calcular a área da</p><p>base e multiplicar pela altura; nesse caso, a altura do prisma é igual à</p><p>altura do cilindro, que é 10 cm.</p><p>A base do prisma é um quadrado e sua diagonal é l 2 , em que l é o</p><p>lado do quadrado. Como nesse caso a diagonal do quadrado é igual ao</p><p>diâmetro da base do cilindro, temos:</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2r l l r r r� � � � � cm</p><p>O raio é igual a 5 cm, então, l = 5 2 cm. Assim, o volume desse pris-</p><p>ma é l h2 2</p><p>5 2 10 25 2 10 500� � � � � � � � � cm³.</p><p>Base</p><p>104 Geometria Espacial</p><p>Na inscrição de um cone em uma pirâmide é necessário analisar-</p><p>mos que o raio da base do cone é o apótema 1 da base da pirâmide (apó-</p><p>tema do polígono regular, que é a base da pirâmide). A geratriz do cone é</p><p>o apótema da pirâmide, conforme representado na figura a seguir.</p><p>Figura 5</p><p>Cone inscrito em uma pirâmide.</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 302.</p><p>Também é possível concluir que a altura do cone é igual à altura da</p><p>pirâmide. Para entender melhor, confira o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 5</p><p>Qual é a altura do cone inscrito em uma pirâmide de base hexago-</p><p>nal, sabendo que o raio do cone é 3 cm e o apótema é 5 cm?</p><p>Resolução</p><p>Primeiro, é necessário observarmos que o raio da base do cone é o</p><p>apótema da base da pirâmide e a geratriz do cone é o apótema da pirâ-</p><p>mide. Assim, a altura do cone forma um triângulo retângulo com o raio</p><p>do cone e o apótema da pirâmide, em que a hipotenusa corresponde</p><p>ao apótema da pirâmide.</p><p>Portanto, a altura h está relacionada da seguinte maneira:</p><p>h² + r² = (m’)²</p><p>Apótema do polígono</p><p>é um segmento de reta</p><p>com extremidade no</p><p>ponto médio ao lado do</p><p>polígono regular e no</p><p>centro dele.</p><p>1</p><p>Base</p><p>Um exemplo de aplicação</p><p>de inscrição envolvendo</p><p>sólidos é o funcionamen-</p><p>to de motores à com-</p><p>bustão. Alguns modelos</p><p>podem ser observados</p><p>no vídeo Pistão e válvula</p><p>do motor trabalhando.</p><p>Disponível em: https://www.</p><p>youtube.com/watch?v=t5VU2-</p><p>mUB9o. Acesso em: 4 out. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>(Continua)</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=t5VU2-mUB9o</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=t5VU2-mUB9o</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=t5VU2-mUB9o</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 105</p><p>Sabendo que r = 3 cm e m’ = 5 cm, temos que h² + 9 = 25 ⟹ h² = 16.</p><p>Logo, a altura é 4 cm.</p><p>Há outros casos particulares de inscrição de sólidos, dessa forma,</p><p>tenha ciência de que para resolver problemas que envolvem a ins-</p><p>crição de sólidos é necessário identificar as relações de igualdade,</p><p>base em dois pontos conhecidos. Acompanhe o exemplo</p><p>a seguir, em que resolvemos um problema desse tipo.</p><p>Exemplo 1</p><p>Descreva a equação da reta r, sabendo que os pontos P = (2, 3) e</p><p>Q = (-1, -6) estão contidos nela.</p><p>Resolução</p><p>Como P ∧ Q ∈ r (leia P e Q pertencem a r), podemos escrever que</p><p>para a equação da reta r temos x = 2 para y = 3, que é uma interpre-</p><p>tação e aplicação direta de P = (2, 3) ∧ P ∈ r. Da mesma maneira, para</p><p>x = -1 temos y = -6 (ponto Q).</p><p>Agora basta substituir esses valores na equação da reta</p><p>(y = ax + b) para obter a e b. Logo, considerando Q = (-1, -6), temos:</p><p>y = ax + b → -6 = -a + b → b = -6 + a</p><p>Vamos utilizar a última expressão para substituir o valor de b na</p><p>equação obtida ao considerarmos o ponto P = (2, 3), assim, temos:</p><p>y = ax + b → 3 = a · 2 + b</p><p>Agora, usando a expressão para b da equação anterior, temos:</p><p>3 2 6 3 2 6� � �� � � � � �a - a �� �� a a��·</p><p>� � ��� a��3 6 3</p><p>� ��� a��9 3</p><p>� � ���a 9</p><p>3</p><p>3</p><p>Voltando à expressão b = -6 + a e substituindo por a = 3, temos</p><p>b = -3. Assim, é possível concluir que a equação da reta r é y = 3x – 3,</p><p>conforme representado na figura a seguir.</p><p>Alguns matemáticos defen-</p><p>dem que o sistema carte-</p><p>siano ortogonal deveria se</p><p>chamar sistema fermatiano</p><p>ortogonal, pois foi Pierre de</p><p>Fermat (1601-1665) quem</p><p>utilizou os eixos perpen-</p><p>diculares e orientados no</p><p>sentido positivo.</p><p>Curiosidade</p><p>No livro Os elementos, que</p><p>pode ser considerado o</p><p>mais importante da geo-</p><p>metria, o autor Euclides</p><p>reuniu, sistematizou e</p><p>aprofundou todas as</p><p>informações sobre geo-</p><p>metria. Essa versão foi tra-</p><p>duzida pelo matemático</p><p>Irineu Bicudo (1940-2018)</p><p>em 2009. A obra original,</p><p>com seus 13 volumes,</p><p>data de 300 a.C. As</p><p>contribuições de Euclides</p><p>ainda hoje fundamentam</p><p>o estudo de geometria.</p><p>São Paulo: Unesp, 2009. Disponível</p><p>em: https://ia801604.us.archive.</p><p>org/35/items/Os.Elementos-</p><p>Euclides/OsElementos-Euclides.pdf.</p><p>Acesso em: 16 set. 2021.</p><p>Livro</p><p>https://ia801604.us.archive.org/35/items/Os.Elementos-Euclides/OsElementos-Euclides.pdf</p><p>https://ia801604.us.archive.org/35/items/Os.Elementos-Euclides/OsElementos-Euclides.pdf</p><p>https://ia801604.us.archive.org/35/items/Os.Elementos-Euclides/OsElementos-Euclides.pdf</p><p>Retas e planos 11</p><p>Figura 2</p><p>Representação da reta r</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe que a reta y = 3x – 3 passa pelos pontos P = (2, 3) e Q = (-1, -6).</p><p>No exemplo anterior foi aplicado o conceito de que é suficiente ter</p><p>dois pontos de uma reta para encontrar sua equação. Entretanto, por</p><p>dois pontos também podemos definir um segmento de reta orientado,</p><p>com direção, sentido e módulo. Esse segmento é conhecido como vetor.</p><p>Isso nos dá a percepção inicial de que também podemos encontrar</p><p>a equação de uma reta com base em um vetor que tem a mesma di-</p><p>reção da reta (o vetor pode estar paralelo à reta ou coincidente a ela).</p><p>Quando existe um vetor com a mesma direção que a reta, chamamos</p><p>de vetor diretor, pois caracteriza a direção da reta.</p><p>Lembre-se de que a direção corresponde à inclinação, horizon-</p><p>tal ou vertical, enquanto o sentido é direito ou esquerdo, para</p><p>cima ou para baixo.</p><p>Quando temos um vetor diretor é necessário conhecer as coordena-</p><p>das de pelo menos um ponto da reta para que seja possível descrever a</p><p>equação dela, pois o vetor não descreve uma posição fixa, como em uma</p><p>rodovia, em que pode ter vários carros com a mesma direção, sentido e</p><p>Inicialmente o GeoGebra</p><p>foi criado como um</p><p>software para cons-</p><p>truções geométricas.</p><p>Hoje em dia é possível</p><p>acessá-lo pelo site e usar</p><p>seus diversos recursos</p><p>on-line. Além da constru-</p><p>ção e representação, há</p><p>animações, vídeos, mapas</p><p>conceituais, entre outros</p><p>materiais produzidos</p><p>e compartilhados por</p><p>usuários do GeoGebra.</p><p>É possível utilizar a</p><p>versão on-line, que não</p><p>necessita de instalação.</p><p>Disponível em: https://www.</p><p>geogebra.org/. Acesso em: 16</p><p>set. 2021.</p><p>Site</p><p>https://www.geogebra.org/</p><p>https://www.geogebra.org/</p><p>12 Geometria Espacial</p><p>velocidade, mas ocupando posições geográficas distintas. Por isso, não</p><p>basta ter só o vetor diretor para descrever a equação de uma reta.</p><p>Agora vamos definir a equação de uma reta no espaço, conhecen-</p><p>do um ponto e o vetor diretor dela. Seja uma reta r no espaço (ℝ³), sa-</p><p>bendo que o ponto P = (xp, yp, zp) e o vetor</p><p></p><p>  v x ��y ��zv v v� � �, , , temos que</p><p>a equação geral da reta r é:</p><p>x y z x y z k x y zP P P v v v, , , , , ,� � � � � � � �  </p><p>Com k ∈ ℝ para representar um múltiplo do vetor diretor.</p><p>Um vetor pode ser representado por uma letra minúscula com</p><p>seta ( u ) ou com acento circunflexo (û) em cima, ou pelos</p><p>pontos que são os extremos ( AB</p><p>� ���</p><p>) ou, ainda, pela equação que</p><p>representa o vetor com seus versores x i �y j� �z k1 1 1</p><p> </p><p></p><p>�+ + . Os verso-</p><p>res podem aparecer com o acento circunflexo.</p><p>Isso significa que todos os pontos (x, y, z) pertencentes à reta r são</p><p>iguais às coordenadas do ponto P mais um vetor múltiplo do vetor di-</p><p>retor, conforme representado na figura a seguir.</p><p>Figura 3</p><p>Reta r no espaço</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Um vetor que começa em</p><p>A e termina em B é igual</p><p>a B – A.</p><p>Importante</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Retas e planos 13</p><p>Com base na equação geral da reta, é possível escrevermos outras três</p><p>representações de equações da reta: paramétrica, simétrica e reduzida.</p><p>A equação paramétrica é obtida separando as coor-</p><p>denadas por eixos cartesianos da equação geral da reta r:</p><p>x �y �z x �y �z k x �y �zP P P v v v, , , , , ,� � � � � � � �   , com k ∈ ℝ. Desse modo, temos que</p><p>as equações paramétricas da reta r, com k ∈ ℝ, são:</p><p>x x kx</p><p>y y ky</p><p>z z kz</p><p>P v</p><p>P v</p><p>P v</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p></p><p></p><p></p><p>A essas equações chamamos de paramétricas da reta, pois dependem</p><p>do parâmetro k –, número que representa um múltiplo do vetor diretor.</p><p>Com base nas equações reduzidas da reta é possível escrevermos a</p><p>equação simétrica da reta r. Para isso, basta isolar k em cada uma das</p><p>equações reduzidas e igualar essas expressões, pois k tem o mesmo</p><p>valor nas equações reduzidas de uma mesma reta, ou seja:</p><p>k�=�</p><p>x� �x</p><p>x</p><p>�=�</p><p>y� y</p><p>y</p><p>�=�</p><p>z� �z</p><p>z</p><p>P</p><p>v</p><p>P</p><p>v</p><p>P</p><p>v</p><p>− − −</p><p>  </p><p>As equações reduzidas de uma reta são obtidas a partir da equa-</p><p>ção simétrica, que, considerando a igualdade x� �x</p><p>x</p><p>y� �y</p><p>y</p><p>z� �z</p><p>z</p><p>P</p><p>v</p><p>P</p><p>v</p><p>P</p><p>v</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>  </p><p>,</p><p>separamos em duas:</p><p>x� �x</p><p>x</p><p>z� �z</p><p>z</p><p>P</p><p>v</p><p>P</p><p>v</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p> </p><p>e</p><p>x� �x</p><p>x</p><p>y� �y</p><p>y</p><p>P</p><p>v</p><p>P</p><p>v</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p> </p><p>Assim, é possível isolar y e z da reta nas equações, de modo que</p><p>sejam representados como funções de x, porque (xp, yp, zp) e x y zv v v</p><p>  , ,� �</p><p>são valores numéricos conhecidos, logo, y = f(x) e z = g(x).</p><p>A equação reduzida da reta descreve a forma de qualquer ponto</p><p>que pertença à reta no formato (x, f(x), g(x)). Também é possível deixar</p><p>em função de outra coordenada, como (f(y), y, g(y)) ou (f(z), g(z), z); a</p><p>questão é deixar tudo em função de uma variável.</p><p>Para compreender melhor as três maneiras de representar a equa-</p><p>ção de uma reta, acompanhe o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 2</p><p>Considerando a equação simétrica da reta s: x� � y� � z� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>6</p><p>,</p><p>descreva a equação geral da reta, as equações paramétricas e as equa-</p><p>ções reduzidas em função de x.</p><p>(Continua)</p><p>14 Geometria Espacial</p><p>Resolução</p><p>Como a equação simétrica é x� � y� � z� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>6</p><p>, temos que as</p><p>equações reduzidas de s, com k ∈ ℝ, são:</p><p>x k</p><p>y k</p><p>z k</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1 3</p><p>4 2</p><p>5 6</p><p>Agora vamos escrever a equação geral da reta s, com k ∈ ℝ, como:</p><p>(x, y, z) = (1, 4, 5) + (3, 2, 6)k</p><p>Para elaborar as equações reduzidas, é necessário escrevermos</p><p>duas igualdades a partir da equação simétrica. Assim, fazemos:</p><p>x y z</p><p>x y y</p><p>x</p><p>y x x y</p><p>x</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �1</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>6</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>1 2</p><p>3</p><p>2 2</p><p>3</p><p>4 2 10</p><p>3</p><p>2 ��� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>5</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>5</p><p>1 6</p><p>3</p><p>6 6</p><p>3</p><p>5 6 9</p><p>3</p><p>3 2 3</p><p>3</p><p>x z z</p><p>x</p><p>z x z x x</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>Logo, um ponto Q ∈ s se Q x</p><p>x� �</p><p>x�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��, ,</p><p>2 5</p><p>3</p><p>2 3 , conforme</p><p>buscar formular essas relações e, assim, conseguir resolver os pro-</p><p>blemas de matemática.</p><p>5.2 Circunscrição de sólidos</p><p>Vídeo</p><p>Vamos apresentar as propriedades dos mesmos sólidos retrata-</p><p>dos na inscrição, só que agora analisando as propriedades relacio-</p><p>nadas à circunscrição.</p><p>Na circunscrição de uma esfera em um hexaedro é necessário</p><p>analisarmos que o diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo, con-</p><p>forme representado na figura a seguir.</p><p>Sistematizar a circunscri-</p><p>ção de sólidos e resolver</p><p>problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>Figura 6</p><p>Esfera circunscrita no cubo.</p><p>a 3</p><p>a 2</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 291.</p><p>Observe que, considerando R o raio da esfera, em que a é a aresta</p><p>do hexaedro, podemos expressar:</p><p>2R = a R a3 3</p><p>2</p><p>� �</p><p>106 Geometria Espacial</p><p>Esses conceitos estão especificados no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 6</p><p>Qual é o volume da esfera circunscrita no cubo cuja aresta é 2 cm?</p><p>Resolução</p><p>Como o diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo, consideran-</p><p>do r o raio da esfera, temos que 2r = a r a3 3</p><p>2</p><p>� � . Sabendo que o</p><p>volume da esfera é V r�</p><p>4</p><p>3</p><p>3� , chegamos a:</p><p>V r V� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2 3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>���V � ³�4</p><p>3</p><p>2 3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>�</p><p>� ��V 4</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>�</p><p>� ��V 4</p><p>3</p><p>3 3�</p><p>� ��V �cm4 3� ³</p><p>Na circunscrição de uma esfera em um octaedro é necessário</p><p>analisarmos que o diâmetro da esfera é igual à diagonal do octaedro</p><p>(diagonal da seção transversal em forma de quadrado), conforme re-</p><p>presentado na figura a seguir.</p><p>Figura 7</p><p>Esfera circunscrita no octaedro regular.</p><p>a 2</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 292.</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 107</p><p>Como o diâmetro da esfera é igual à diagonal do quadrado (diagonal</p><p>do octaedro), é possível escrevermos 2 2 2</p><p>2</p><p>R a R a</p><p>� � � , com R sendo o</p><p>raio da esfera. Esses conceitos são abordados no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 7</p><p>A área da superfície esférica é A = 4πR², com R sendo o raio. Qual</p><p>é a área da superfície esférica da esfera circunscrita no octaedro de</p><p>aresta 4 cm?</p><p>Resolução</p><p>Como o diâmetro da esfera é igual à diagonal do octaedro, pode-</p><p>mos expressar 2 2 2</p><p>2</p><p>R a R a</p><p>� � � , com R sendo o raio da esfera. Consi-</p><p>derando a = 4 cm, temos que o raio da esfera é R a</p><p>= = =</p><p>2</p><p>2</p><p>4 2</p><p>2</p><p>2 2 cm.</p><p>Logo, a área da superfície esférica é A R� � � � �4 4 2 2 322 2</p><p>� � � cm².</p><p>Na circunscrição de um cilindro em uma esfera é necessário ana-</p><p>lisarmos que, nesse caso, o cilindro só pode ser equilátero, ou seja, a</p><p>altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera, como na figura a seguir.</p><p>Figura 8</p><p>Cilindro circunscrito em uma esfera.</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 307.</p><p>O raio da base do cilindro é igual ao raio da esfera. Esses conceitos</p><p>são esclarecidos no exemplo a seguir.</p><p>108 Geometria Espacial</p><p>Exemplo 8</p><p>Qual é o volume do cilindro circunscrito na esfera de raio igual a</p><p>2 cm?</p><p>Resolução</p><p>O volume do cilindro é o produto da área da base (π · r²) pela altura</p><p>h. Como o cilindro está circunscrito na esfera, é um cilindro equilátero,</p><p>ou seja, a altura do cilindro é igual ao diâmetro da esfera, e o raio da</p><p>base do cilindro é igual ao raio da esfera. Temos, então, que h = 4 cm,</p><p>assim, o volume do cilindro é V = π · r2 · h = π · 22 · 4 = 16π cm³.</p><p>Na circunscrição de um prisma em um cilindro é necessário anali-</p><p>sarmos que o raio da base do cilindro é o raio da circunferência inscrita</p><p>na base do prisma, com a altura do prisma igual à altura do cilindro,</p><p>como representado na figura a seguir.</p><p>Figura 9</p><p>Prisma circunscrito em um cilindro.</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 300.</p><p>Observe que o raio da base do cilindro é um cateto de um triângulo</p><p>retângulo, em que o outro cateto é a metade do lado do polígono da</p><p>base do prisma, e a hipotenusa é a metade da diagonal do polígono</p><p>da base. Para compreender melhor, exemplificamos a seguir.</p><p>Um dos exemplos de</p><p>aplicação de circunscri-</p><p>ção envolvendo esferas</p><p>é o implante de fêmur,</p><p>especificamente a parte</p><p>que substitui a cabeça</p><p>desse osso no quadril. No</p><p>vídeo Artroplastia total do</p><p>quadril há animações que</p><p>mostram como funciona a</p><p>cirurgia de colocação (não</p><p>há imagens reais).</p><p>Disponível em: https://</p><p>www.youtube.com/</p><p>watch?v=y17mjd65PO8. Acesso</p><p>em: 4 out. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>Base</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=y17mjd65PO8</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=y17mjd65PO8</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=y17mjd65PO8</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 109</p><p>Exemplo 9</p><p>Qual é o volume do cilindro circunscrito em um prisma de base he-</p><p>xagonal de altura 12 cm e lado do hexágono de 4 cm?</p><p>Resolução</p><p>Para encontrar o volume do cilindro é necessário calcular a área do</p><p>círculo da base e multiplicar pela altura, que é 12 cm. Já para calcular a</p><p>área do círculo é necessário encontrar o raio R, que é um dos catetos</p><p>do triângulo retângulo formado pela hipotenusa, que é a metade da</p><p>diagonal do hexágono, e o outro cateto, que é a metade do lado l.</p><p>Como a base do prisma é um hexágono, a metade da diagonal é</p><p>igual ao lado do hexágono. Assim:</p><p>R l l R l l R l R l2</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>2 4</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � � � � �</p><p>Considerando l = 4 cm, temos R = =</p><p>4 3</p><p>2</p><p>2 3 cm. Como a área do</p><p>círculo é π · R², o volume do cilindro é π · R² · h. Sendo a altura 12 cm, o</p><p>volume é � � �2 3 12 4 3 12 144</p><p>2� � � � � � � � cm³.</p><p>Na circunscrição de um cone em uma pirâmide é necessário ana-</p><p>lisarmos que o raio da base do cone é o raio da circunferência circuns-</p><p>crita na base da pirâmide, como ilustrado na figura a seguir.</p><p>Figura 10</p><p>Cone circunscrito em uma pirâmide.</p><p>Fonte: Dolce; Pompeo, 2013, p. 301.</p><p>Base</p><p>110 Geometria Espacial</p><p>Observe que a altura do cone é igual à altura da pirâmide. Esses</p><p>conceitos são esclarecidos no próximo exemplo.</p><p>Exemplo 10</p><p>Qual é a medida do raio da base do cone circunscrito em uma pirâ-</p><p>mide de base hexagonal, em que o lado do hexágono mede 4 cm?</p><p>Resolução</p><p>Como o cone está circunscrito na pirâmide de base hexagonal e o</p><p>hexágono é formado por seis triângulos equiláteros, o raio da base do</p><p>cone é igual ao lado do hexágono, que é 4 cm.</p><p>No exemplo anterior poderia ser solicitado o cálculo do volume do</p><p>cone em função da altura h desconhecida, ou ainda poderia ser solici-</p><p>tado deduzir o valor da altura do cone, que é igual à altura da pirâmide.</p><p>Agora observe no quadro a seguir o resumo de inscrição e circuns-</p><p>crição de sólidos, lembrando que a é a aresta, h a altura, r o raio da</p><p>figura inscrita, e R o raio da figura circunscrita.</p><p>Quadro 1</p><p>Inscrição e circunscrição de sólidos</p><p>Sólidos Inscrição Circunscrição</p><p>Esfera em cubo 2r = a 2R a 3=</p><p>Esfera em octaedro r a 6</p><p>6</p><p>= R a 2</p><p>2</p><p>=</p><p>Cilindro em esfera (2r)² + h² = (2R)² h = 2r</p><p>Prisma em cilindro</p><p>O raio da base do cilindro é</p><p>igual à metade da diagonal</p><p>do prisma.</p><p>O raio da base do cilindro é o</p><p>raio da circunferência inscri-</p><p>ta na base do prisma.</p><p>Cone em pirâmide</p><p>O raio da base do cone é o</p><p>apótema da base da pirâmi-</p><p>de. A geratriz do cone é o</p><p>apótema da pirâmide.</p><p>O raio da base do cone é o</p><p>raio da circunferência circuns-</p><p>crita na base da pirâmide.</p><p>Fonte: Elaborado pela autora.</p><p>Com o quadro anterior ficam mais evidentes as informações</p><p>necessárias para analisar as relações de igualdade entre os elemen-</p><p>tos dos sólidos na inscrição ou na circunscrição.</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 111</p><p>No artigo GeoGebra 3D no Ensino Médio: uma possibilidade para a aprendizagem</p><p>da geometria espacial, um recorte da dissertação de mestrado de Caroline</p><p>Borsoi, publicado no Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em</p><p>Educação Matemática – XX Ebrapem, são apresentadas atividades que podem</p><p>ser aplicadas em sala de aula utilizando o GeoGebra 3D.</p><p>Acesso em: 4 out. 2021.</p><p>http://www.ebrapem2016.ufpr.br/wp-content/uploads/2016/04/gd6_caroline_borsoi.pdf</p><p>Artigo</p><p>Os sólidos inscritos ou circunscritos podem ser combinados com</p><p>outros. Nas aplicações na indústria, na engenharia ou na arquitetura</p><p>podem ocorrer combinações entre mais de dois sólidos, aparecendo</p><p>rotacionados ou transladados.</p><p>5.3 Translação</p><p>Vídeo</p><p>A translação</p><p>dos eixos cartesianos consiste em alterar a orientação</p><p>de pontos do sistema cartesiano em função de novos eixos que corres-</p><p>pondem aos eixos iniciais em que o ponto de origem passou por uma</p><p>translação. Note que o sistema original tem eixos cartesianos x e y com</p><p>origem em O. Esse sistema foi transladado com base em um ponto</p><p>(x0, y0), tendo o novo sistema eixos cartesianos x’ e y’ com origem em O’,</p><p>conforme representado na figura a seguir.</p><p>Figura 11</p><p>Translação de eixos cartesianos</p><p>y’</p><p>x’O’</p><p>O</p><p>y</p><p>x</p><p>yo</p><p>xo</p><p>Fonte: Venturi, 2019, p. 23.</p><p>Empregar as transfor-</p><p>mações geométricas de</p><p>translação e resolver</p><p>problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>112 Geometria Espacial</p><p>Com a translação da origem, ou seja, do ponto no qual os eixos car-</p><p>tesianos se cruzam, as unidades não são alteradas e é possível manter</p><p>uma relação entre a representação de qualquer ponto em função dos</p><p>eixos cartesianos originais e dos eixos cartesianos obtidos após a trans-</p><p>lação, como vemos na figura a seguir.</p><p>Figura 12</p><p>Representação dos pontos nos eixos transladados</p><p>y’</p><p>y’</p><p>x’ x’O’</p><p>O</p><p>P</p><p>y</p><p>y</p><p>x x</p><p>yo</p><p>xo</p><p>Fonte: Venturi, 2019, p. 24.</p><p>Observe que o ponto P permanece imóvel, o que mudou foi a po-</p><p>sição dos eixos cartesianos. A representação de P nos eixos originais</p><p>é (x, y) e nos novos eixos cartesianos (que passaram por translação)</p><p>é (x’, y’), em que (x0, y0) é a coordenada da origem que passou por</p><p>uma translação.</p><p>Desse modo, é possível definir as seguintes relações:</p><p>x = x0 + x’ e y = y0 + y’</p><p>O próximo exemplo esclarece essas relações de translação.</p><p>Exemplo 11</p><p>Qual é a equação correspondente à equação x² + 4y² – 2x – 16y + 5 = 0</p><p>com relação à translação de eixos sabendo que (x0, y0) = (1, 2)?</p><p>Resolução</p><p>Vamos usar as relações x = x0 + x’ e y = y0 + y’ na equação</p><p>x² + 4y² – 2x – 16y + 5 = 0 para (x0, y0) = (1, 2). Assim, temos x = 1 + x’ e</p><p>y = 2 + y’, que vamos aplicar em x² + 4y² – 2x – 16y + 5 = 0. Portanto:</p><p>(1 + x’)² + 4(2 + y’)² – 2(1 + x’) – 16(2 + y’) + 5 = 0</p><p>(Continua)</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 113</p><p>⟹ 1 + 2x’ + x’² + 4(4 + 4y’ + y’²) – 2 – 2x’ – 32 – 16y’ + 5 = 0</p><p>⟹ 1 + 2x’ + x’² + 16 + 16y’ + 4y’² – 2 – 2x’ – 32 – 16y’ + 5 = 0</p><p>⟹ x’² + 4y’² + 22 – 34 = 0</p><p>⟹ x’² + 4y’² = 12</p><p>A equação correspondente à equação x² + 4y² – 2x – 16y + 5 = 0 que,</p><p>após ser transladada, é x’² + 4y’² = 12.</p><p>O exemplo anterior poderia ainda ser estendido com o acréscimo</p><p>da pergunta: qual é a figura geométrica representada por essa transla-</p><p>ção? A resposta é uma elipse.</p><p>Outro modelo de problema seria fornecer a equação após uma</p><p>translação e pedir para encontrar as coordenadas da nova origem O’</p><p>com base na comparação das equações antes e depois da translação.</p><p>Isso porque quando temos uma equação em que foi realizado o qua-</p><p>drado de uma diferença podemos efetuar algumas relações, como na</p><p>equação da circunferência que passa por uma translação:</p><p>(x – a)² + (y – b)² = R² ⟹ x² – 2ax + a² + y² – 2by + b² – R²</p><p>Separando pelos graus das variáveis, temos:</p><p>x y ax by2 2</p><p>2 2 2</p><p>2 2 0� � � � �</p><p>� �</p><p>D</p><p>a b R</p><p></p><p>Vamos ver como isso se aplica em um exemplo.</p><p>Exemplo 12</p><p>Para quais coordenadas foi feita a translação de modo que a</p><p>equação da circunferência x² + y² = 12 tenha se transformado em</p><p>x’² + y’² – 2x’ – 8y’ + 5 = 0?</p><p>Resolução</p><p>Observe que os termos que multiplicam x’ e y’ são resultado do</p><p>desenvolvimento do quadrado das expressões (x0 + x’)² e (y0 + y’)².</p><p>Assim, podemos relacionar a equação com os termos do desenvol-</p><p>vimento da equação:</p><p>(Continua)</p><p>114 Geometria Espacial</p><p>x y' '</p><p>2 2</p><p>2 0 2 0 0</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2</p><p>2 8 5 0� � � � �</p><p>� �</p><p>x y</p><p>x x y y x y R</p><p>' '</p><p>' '</p><p></p><p></p><p></p><p>Portanto:</p><p>2x0x’ = -2x’ ⟹ x0 = -1 e 2y0y’ = -8y’ ⟹ y0 = -4</p><p>Logo, as coordenadas do centro dos eixos transladados são</p><p>(x0, y0) = (-1, -4).</p><p>Observe que poderia ser solicitado o raio da circunferência, pois sa-</p><p>bemos que para esse problema x y R0</p><p>2</p><p>0</p><p>2 2 5� � � . Como (x0, y0) = (-1, -4),</p><p>temos que (-1)² + (-4)² – R² = 5 ⟹ 1 + 16 – 5 = R² ⟹ R = 12 .</p><p>5.4 Rotação</p><p>Vídeo Na rotação o ponto de interseção entre os eixos cartesianos, a ori-</p><p>gem O, fica fixo e os eixos giram no sentido anti-horário, formando</p><p>um ângulo θ com a posição dos eixos originais, como representado</p><p>na figura a seguir.</p><p>Figura 13</p><p>Rotação de eixos</p><p>y’</p><p>x’</p><p>xO ≡ O’</p><p>θ</p><p>θ</p><p>y</p><p>Fonte: Venturi, 2019, p. 25.</p><p>Sabendo que a origem antes da rotação coincide com a origem</p><p>após a rotação, podemos concluir que seja qualquer ponto no plano,</p><p>a distância desse ponto até a origem será a mesma com os eixos car-</p><p>Aplicar a transformação</p><p>geométrica de rotação e</p><p>resolver problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 115</p><p>tesianos originais e os eixos rotacionados, conforme representado</p><p>na figura a seguir.</p><p>Figura 14</p><p>Representação do ponto P nos eixos rotacionados</p><p>y’</p><p>y’</p><p>x’</p><p>x’</p><p>x</p><p>P</p><p>xO ≡ O’</p><p>θ</p><p>θ</p><p>y</p><p>y</p><p>Fonte: Venturi, 2019, p. 26.</p><p>As coordenadas do ponto P relacionam-se da seguinte maneira:</p><p>x = x’ · cosθ – y’ · senθ e y = x’ · senθ – y’ · cosθ</p><p>Essa relação entre as coordenadas de P nos eixos originais e nos</p><p>eixos rotacionados é conhecida como fórmulas de rotação. Esses con-</p><p>ceitos são abordados no exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 13</p><p>Como fica a equação x + y = 1 após sofrer uma rotação de π</p><p>4</p><p>rad?</p><p>Resolução</p><p>Primeiro, é necessário descobrirmos qual é o ângulo θ de rota-</p><p>ção, que, nesse caso, foi dado em radianos. Em seguida, converte-</p><p>mos para graus: como π rad = 180°, então, π</p><p>4</p><p>rad = 180</p><p>4</p><p>° , que é o</p><p>mesmo que 45°.</p><p>Agora, ao substituir os valores de seno e cosseno de 45° nas equa-</p><p>ções de rotação, ou seja, cos45° = 2</p><p>2</p><p>� e sen45° = 2</p><p>2</p><p>� , obtemos:</p><p>x x' � � �y'�� � �� �· ·2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>e y x' � � �y' �</p><p>� � � �</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>(Continua)</p><p>116 Geometria Espacial</p><p>Aplicando essas equações de rotação na equação x + y = 1:</p><p>x' ��� � �y' ��� � � x' �� � � �y' � �· · · ·2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�� �� 1</p><p>� � �2 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>1x' � � y' � �· ·</p><p>� � �x'�� �y'��· ·2 2 1</p><p>A dedução das fórmulas de rotação utiliza o conceito de versor, que</p><p>é o vetor unitário em relação a cada eixo cartesiano. Assim,</p><p></p><p>i é o ver-</p><p>sor do eixo x e</p><p></p><p>j é o versor do eixo y, aplicando conceitos de produto</p><p>vetorial e desenvolvendo a relação (P – O) = (P – O’).</p><p>artística aplicando rotação e translação?</p><p>É possível criar uma representação</p><p>Billio</p><p>n P</p><p>ho</p><p>tos</p><p>/S</p><p>hu</p><p>tte</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>Bi</p><p>lli</p><p>on</p><p>P</p><p>ho</p><p>to</p><p>s/</p><p>Sh</p><p>ut</p><p>te</p><p>rs</p><p>to</p><p>ck</p><p>Na prática</p><p>Utilizando uma folha quadriculada e um</p><p>lápis (pode ser lápis de cor com as co-</p><p>res de sua preferência), faça um desenho</p><p>no centro da folha ocupando quatro quadrados dela. Você pode pintar</p><p>metade de um quadrado, contornar ou desenhar dentro dele ou f a z e r</p><p>qualquer representação artística.</p><p>Depois, copie a imagem rotacionando em 90° no sentido</p><p>horário (repita essa etapa mais duas vezes, sempre re-</p><p>produzindo e rotacionando a última imagem desenhada).</p><p>Você verá que formará um desenho simétri-</p><p>co, com simetria radial de dimensões 8x8</p><p>quadrados da malha quadriculada. Agora,</p><p>reproduza essa imagem 8x8 como se es-</p><p>tivesse a transladando e repita até preen-</p><p>cher a totalidade da folha quadriculada.</p><p>Assim, você terá formado um mosaico!</p><p>A translação e a rotação</p><p>fazem parte das trans-</p><p>formações geométricas</p><p>e estão presentes em</p><p>obras de arte. É possível</p><p>ver algumas imagens</p><p>desses conceitos em fotos,</p><p>cerâmicas, trançados de</p><p>fibra natural e pinturas no</p><p>material Transformações</p><p>geométricas nos programas</p><p>de Matemática do Ensino</p><p>Básico e Secundário.</p><p>Disponível em: http://www.</p><p>mat.uc.pt/~mat0829/</p><p>Transformacoesgeometricas-2.pdf.</p><p>Acesso em: 4 out. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>Uma aplicação que en-</p><p>volve rotação, translação,</p><p>inscrição e circunscrição</p><p>de sólidos é a criação de</p><p>produtos no design de</p><p>projeto. No livro Design:</p><p>história, teoria e prática</p><p>do design de produtos</p><p>são abordados desde os</p><p>detalhes do projeto do</p><p>Palácio de Cristal (1852),</p><p>em Londres, até os mais</p><p>atuais produtos utiliza-</p><p>dos na medicina, como</p><p>implantes.</p><p>BÜRDEK,</p><p>B. E. 2. ed. São Paulo:</p><p>Blucher, 2010.</p><p>Livro</p><p>http://www.mat.uc.pt/~mat0829/Transformacoesgeometricas-2.pdf</p><p>http://www.mat.uc.pt/~mat0829/Transformacoesgeometricas-2.pdf</p><p>http://www.mat.uc.pt/~mat0829/Transformacoesgeometricas-2.pdf</p><p>Inscrição, circunscrição e transformações geométricas 117</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Na maioria dos problemas envolvendo inscrição e circunscrição de só-</p><p>lidos é necessário calcular o volume ou a área lateral total de um dos</p><p>sólidos. A informação de inscrição e circunscrição de sólidos fornece da-</p><p>dos para identificar ou calcular os valores dos elementos utilizados para</p><p>determinar o volume ou a área lateral total.</p><p>A translação e a rotação de eixos permitem reescrever equações sim-</p><p>plificando termos, o que facilita a resolução de alguns problemas. Estu-</p><p>damos esses conceitos separadamente, pois cada caso tem uma relação</p><p>de equação que os difere. Porém, há problemas em que podem aparecer</p><p>juntos, como uma translação seguida de uma rotação, ou ocorrer de ma-</p><p>neira concomitante, como na aplicação em motores à combustão.</p><p>ATIVIDADES</p><p>Atividade 1</p><p>Como você explicaria o que é inscrição de sólidos para alguém</p><p>leigo nesse assunto? Disserte.</p><p>Atividade 2</p><p>Qual é a relação entre inscrição e circunscrição de sólidos?</p><p>Atividade 3</p><p>É possível relacionar a inscrição e a circunscrição de sólidos à</p><p>rotação e à translação? Exemplifique.</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos da matemática elementar. 7. ed. São Paulo: Atual,</p><p>2013. (Geometria espacial: posição e métrica, v. 10).</p><p>VENTURI, J. J. Cônicas e quádricas. 10. ed. Curitiba: Livrarias Curitiba, 2019.</p><p>WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.</p><p>Resolução das atividades</p><p>1 Retas e planos</p><p>1. Qual é o sistema de orientação mais utilizado para descrever pontos,</p><p>retas, planos, equações e outros elementos geométricos? Especifique.</p><p>É o sistema cartesiano ortogonal, que tem eixos perpendiculares entre</p><p>si, orientados no sentido positivo (a seta fica na extremidade do eixo,</p><p>apontando para o lado no qual os valores aumentam). No plano há os</p><p>eixos x e y, e quando se trata de informações no espaço, há o eixo z,</p><p>que é perpendicular ao plano xy. Os eixos encontram-se no ponto O,</p><p>chamado de origem. O ponto O também corresponde à coordenada</p><p>zero, separando os valores positivos dos valores negativos dos eixos.</p><p>2. Qual é a relação entre distância entre dois pontos e paralelismo</p><p>entre retas e planos? Esclareça.</p><p>Um dos caminhos para verificar se uma reta e um plano são</p><p>estritamente paralelos ou se a reta está contida no plano é verificar</p><p>a distância entre a reta e o plano, que recai no cálculo da distância</p><p>entre dois pontos – um ponto na reta e outro no plano. Quando essa</p><p>distância é zero e já sabemos que a reta é paralela ao plano, é possível</p><p>concluir que a reta está contida no plano.</p><p>3. Quando há dois pontos A e B, qual é a diferença entre o segmento</p><p>de reta AB e o vetor AB</p><p>� ���</p><p>?</p><p>A principal diferença é que o vetor AB</p><p>� ���</p><p>é um segmento de reta</p><p>orientado que começa em A e termina em B, por isso há uma seta em</p><p>B, para indicar o sentido “para B”. Já o segmento de reta AB não tem</p><p>sentido de orientação, só a mesma direção do vetor AB</p><p>� ���</p><p>e o mesmo</p><p>tamanho, que corresponde ao módulo do vetor, ou seja, |AB|</p><p>� ���</p><p>.</p><p>4. Em vários problemas utilizamos o conceito de vetor, mas qual é</p><p>a importância da álgebra vetorial no estudo de retas e planos na</p><p>geometria espacial?</p><p>Utilizamos as propriedades da álgebra vetorial, em especial o produto</p><p>interno, o produto externo e a multiplicidade, para descobrir a posição</p><p>relativa entre retas e planos.</p><p>118 Geometria Espacial</p><p>2 Cônicas, semelhança e homotética</p><p>1. Qual é a relação entre elipse, hipérbole, parábola e circunferência?</p><p>Explique.</p><p>Todas são figuras geométricas que podem ser obtidas por seções,</p><p>cortes em um cone de duas folhas (o mesmo que dois cones unidos</p><p>pelo vértice). Assim, a elipse é obtida pela seção de um plano que</p><p>corta uma das folhas do cone, com um ângulo agudo em relação</p><p>ao plano da base do cone, mas sem interceptar essa base. Já a</p><p>hipérbole é obtida pelo corte de um plano paralelo ao eixo central</p><p>do cone de duas folhas, interceptando essas duas folhas. Por fim,</p><p>a parábola é obtida pelo corte de um plano que intercepta a base</p><p>de um dos cones.</p><p>2. Por que em uma antena parabólica o receptor fica no foco? Discorra.</p><p>Porque todas as ondas que incidem na parábola são refletidas para o</p><p>foco, concentrando o sinal recebido. Assim, o receptor, na posição do</p><p>foco da parábola, terá maior leitura dos sinais enviados (como aqueles</p><p>enviados pelos satélites), resultando em uma melhor apresentação</p><p>das informações recebidas. Por essa razão, a imagem é melhor nas</p><p>televisões com antenas parabólicas.</p><p>3. O que são transformações geométricas? Especifique.</p><p>Transformações geométricas são processos biunívocos que</p><p>podem ser aplicados em figuras geométricas, de modo que as</p><p>transformam em outra figura geométrica igual ou equivalente à</p><p>figura original – como na reflexão, na translação e na rotação, em que</p><p>a figura geométrica permanece igual, mas com outras coordenadas</p><p>(ocupando outra posição no espaço), ou, ainda, na homotetia, em</p><p>que a figura geométrica pode ser ampliada ou reduzida.</p><p>4. Qual circunstância do cotidiano reúne cônica, translação e rotação?</p><p>Exemplifique.</p><p>O movimento do planeta Terra reúne rotação, translação e</p><p>propriedades da elipse. O planeta Terra realiza alguns movimentos</p><p>astronômicos, mas os mais perceptíveis são a rotação e a translação.</p><p>A rotação, em seu próprio eixo, define o dia e a noite. Já a translação</p><p>influencia as estações do ano e dura um ano (com algumas horas</p><p>extras, que se tornam o dia 29 de fevereiro nos anos bissextos). Logo,</p><p>a translação ocorre ao longo de uma trajetória elíptica, com o sol na</p><p>posição de um dos focos.</p><p>Resolução das atividades 119</p><p>3 Figuras planas e sólidos</p><p>1. De que modo é possível encontrar o valor de um ângulo externo</p><p>de um polígono regular, sabendo apenas o número de lados do</p><p>polígono? Descreva o passo a passo.</p><p>Ao saber o número de lados de um polígono regular, é possível</p><p>encontrar o valor de um ângulo externo, pois o número de ângulos</p><p>externos é igual ao número de ângulos internos, que é o mesmo</p><p>que o número de lados. Com base na fórmula da soma dos ângulos</p><p>internos, podemos obter o valor de um ângulo interno do polígono</p><p>regular (dividindo o resultado da soma dos ângulos internos pelo</p><p>número de ângulos internos). Por fim, o valor de um ângulo externo</p><p>mais seu respectivo ângulo interno é igual a 180°, por isso é suficiente</p><p>diminuir de 180° o valor de um ângulo interno para obter o valor de</p><p>um ângulo externo.</p><p>2. Qual a influência do formato das faces de um poliedro com a</p><p>relação de Euler?</p><p>O formato das faces influencia o número de arestas e, consecutivamente,</p><p>o número de vértice e faces. Isso porque, para definir o número de</p><p>arestas, é necessário identificar os polígonos que compõem o poliedro,</p><p>pois cada lado do polígono corresponde a uma aresta.</p><p>É importante lembrar que cada aresta é comum a duas faces. Essa</p><p>influência ocorre porque a relação de Euler (V – A + F = 2) mostra que</p><p>há um vínculo entre os números de arestas (A), vértices (V) e faces (F),</p><p>isso para poliedros regulares ou não.</p><p>3. Descreva as diferenças entre os tipos de simetria.</p><p>A simetria bilateral tem um eixo de simetria que divide a imagem em</p><p>duas partes iguais, sendo um dos lados a versão rebatida da outra.</p><p>A simetria axial (ou radial) apresenta mais de um eixo de simetria, e</p><p>as imagens se repetem entre os eixos. Já na simetria rotacional (ou</p><p>central) não há eixos de simetria, e sim um ponto, que é o centro da</p><p>simetria rotacional.</p><p>4 Sólidos platônicos e teorema de Euler</p><p>1. Quantos poliedros convexos regulares existem? Descreva os</p><p>nomes e a forma de suas faces.</p><p>Existem somente cinco poliedros convexos regulares, também</p><p>conhecidos como poliedros de Platão: tetraedro, hexaedro,</p><p>120 Geometria Espacial</p><p>octaedro, dodecaedro e icosaedro. O tetraedro</p><p>tem quatro faces</p><p>triangulares, o hexaedro seis faces quadradas, o octaedro oito</p><p>faces triangulares, o dodecaedro doze faces pentagonais e o</p><p>icosaedro vinte faces triangulares.</p><p>2. Uma professora deseja construir um icosaedro de lado igual a 4 cm</p><p>só pelas arestas utilizando canudos. Quantos pedaços de canudos</p><p>de 4 cm ela precisa cortar? Justifique.</p><p>Para calcular a quantia de pedaços de canudos é necessário</p><p>identificar o polígono regular da face e calcular o número de arestas.</p><p>O icosaedro tem 20 faces triangulares, assim, temos que F = 20. Cada</p><p>face tem três arestas, sendo cada aresta comum a duas faces, dessa</p><p>forma, o número total de arestas do icosaedro é 20 3</p><p>2</p><p>30�</p><p>� . Logo, a</p><p>professora precisará cortar 30 pedaços de 4 cm.</p><p>3. Qual é a importância do teorema de Euler? Discorra.</p><p>O teorema de Euler é importante, pois define uma relação entre</p><p>arestas, vértices e faces de poliedros convexos, independentemente</p><p>de serem regulares ou não. Isso facilita a análise e resolução de</p><p>diversos problemas com poliedros convexos – desde que não tenham</p><p>furos –, incluindo problemas com sólidos platônicos.</p><p>5 Inscrição, circunscrição e transformações geométricas</p><p>1. Como você explicaria o que é inscrição de sólidos para alguém leigo</p><p>nesse assunto? Disserte.</p><p>Inscrição de sólidos é quando um sólido está dentro de outro, não</p><p>havendo espaço entre eles, de modo que estão encostados. Assim, é</p><p>possível relacionar elementos de um sólido com outro, como altura e</p><p>figuras planas que formam as bases dos sólidos.</p><p>2. Qual é a relação entre inscrição e circunscrição de sólidos?</p><p>Depende do referencial para analisar qual sólido está inscrito e qual</p><p>está circunscrito. Por exemplo, um cilindro inscrito na esfera, ou</p><p>seja, dentro dela, é o mesmo que a esfera circunscrita no cilindro,</p><p>pois, nesse caso, o cilindro também está dentro da esfera. Por isso,</p><p>é importante analisar qual sólido está inscrito ou circunscrito em</p><p>relação a outro sólido.</p><p>Resolução das atividades 121</p><p>3. É possível relacionar a inscrição e a circunscrição de sólidos à</p><p>rotação e à translação? Exemplifique.</p><p>Sim, pois, no contexto de sólidos dentro de sólidos (inscrição</p><p>ou circunscrição), movimento rotacional e movimento linear</p><p>(translação), temos algo que relaciona translação, rotação,</p><p>inscrição e circunscrição, como nos motores à combustão, com o</p><p>funcionamento do pistão e das engrenagens (que juntos realizam os</p><p>movimentos de translação e rotação).</p><p>122 Geometria Espacial</p><p>ESPACIAL</p><p>GEOMETRIA</p><p>ROBERTA PAYE BARA</p><p>GEOM</p><p>ETRIA ESPACIAL</p><p>ROBERTA PAYE BARA</p><p>Código Logístico</p><p>I000383</p><p>ISBN 978-65-5821-086-3</p><p>9 786558 210863</p><p>verifica-</p><p>mos na figura a seguir.</p><p>Figura 4</p><p>Reta s: x� � y� � z� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>5</p><p>6</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>(Continua)</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Retas e planos 15</p><p>Observe que a reta s passa pelo ponto (1, 4, 5), como descrito nas</p><p>equações da reta, seja na forma simétrica, seja na forma reduzida</p><p>Q x</p><p>x� �</p><p>x�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��, ,</p><p>2 5</p><p>3</p><p>2 3 .</p><p>É importante sabermos quais informações são necessárias para</p><p>conseguirmos descrever uma reta na equação geral, simétrica, pa-</p><p>ramétrica ou reduzida.</p><p>Para obter a equação de uma reta, basta conhecer dois pontos</p><p>que pertencem a essa reta ou um ponto dela e um vetor diretor</p><p>(vetor com a mesma direção da reta).</p><p>Agora vamos definir o plano: três pontos não colineares, ou seja,</p><p>que não estão na mesma linha reta, descrevem um plano (Figura 5).</p><p>Todo plano é representado por letras gregas minúsculas.</p><p>Figura 5</p><p>Plano no ℝ³</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe que três pontos não colineares formam um triângulo, ou</p><p>três retas concorrentes entre si ou, ainda, duas retas concorrentes.</p><p>Retas e planos podem assumir algumas posições relativas. As retas</p><p>r e s podem assumir as seguintes posições relativas: paralelas, coin-</p><p>cidentes, concorrentes, perpendiculares, ortogonais e reversas, como</p><p>mostra a figura a seguir.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>16 Geometria Espacial</p><p>Figura 6</p><p>Posição relativa entre duas retas</p><p>Paralelas</p><p>Perpendiculares Ortogonais Reversas</p><p>Coincidentes Concorrentes</p><p>s</p><p>s</p><p>s ss</p><p>s = r</p><p>r r</p><p>r rr</p><p>π πβ</p><p>β</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Segundo Venturi (2015), as retas paralelas têm mesma direção,</p><p>mas não têm nenhum ponto em comum, isto é, os pontos das re-</p><p>tas r e s são equidistantes. Já as retas coincidentes têm a mesma</p><p>direção e todos os pontos são comuns às duas retas. As retas con-</p><p>correntes têm direções diferentes e um único ponto em comum</p><p>(ponto de interseção). As retas ortogonais estão em planos distin-</p><p>tos, não há ponto em comum, mas formam um ângulo de 90°. Por</p><p>fim, as retas reversas têm direções diferentes, não há ponto em</p><p>comum e cada reta está em um plano distinto (é similar às retas</p><p>concorrentes, mas, por estarem em planos distintos, essas retas</p><p>não se encontram).</p><p>Dois planos α e β podem ser paralelos ou concorrentes (Figura 7).</p><p>Se paralelos, podem ser não coincidentes, quando não há ponto</p><p>em comum, ou coincidentes, quando todos os pontos são comuns</p><p>aos dois planos. Se concorrentes, a interseção entre os planos,</p><p>que podem ser oblíquos ou perpendiculares, formando um ângulo</p><p>de 90° entre eles, forma uma reta.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Figura 7</p><p>Posição relativa de dois planos</p><p>Paralelos</p><p>Coincidentes Não coincidentes Oblíquos</p><p>Perpendiculares</p><p>Concorrentes</p><p>β</p><p>β β</p><p>α = β</p><p>α</p><p>α α</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Retas e planos 17</p><p>Agora analise a posição relativa entre uma reta e um plano. Uma</p><p>reta r em relação a um plano α ou a um plano β pode ser paralela</p><p>ou concorrente – algumas referências bibliográficas usam o termo</p><p>secante –, conforme observamos na figura a seguir.</p><p>Figura 8</p><p>Posição relativa a uma reta e a um plano</p><p>Paralelas</p><p>Estritamente</p><p>paralelas</p><p>Contidas no plano Oblíquas Perpendiculares</p><p>Concorrentes</p><p>β βα α</p><p>r</p><p>r r</p><p>r</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>No paralelismo entre reta e plano, a reta pode estar contida no pla-</p><p>no, quando todos os pontos da reta pertencem ao plano, ou ser estrita-</p><p>mente paralela, quando a reta pertence a um plano paralelo.</p><p>Agora, considerando as retas concorrentes ao plano, a reta pode</p><p>ser perpendicular ou oblíqua. Quando o ângulo formado entre a reta e</p><p>o plano é igual a 90°, é considerada perpendicular ao plano; quando o</p><p>ângulo formado por uma reta concorrente ao plano é diferente de 90°,</p><p>é considerada oblíqua.</p><p>Os problemas de paralelismo e perpendicularidade entre retas e</p><p>planos merecem destaque, por suas aplicações em problemas de geo-</p><p>metria, como os que abordam polígonos e poliedros.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>1.2 Paralelismo de retas e planos</p><p>Vídeo Quando as retas têm a mesma direção, podem ser coincidentes ou</p><p>paralelas (também denominadas de estritamente paralelas).</p><p>Duas retas são coincidentes quando têm a mesma direção e to-</p><p>dos os pontos em comum. Na prática, se duas retas têm um ponto</p><p>em comum e a mesma direção, ou seja, o vetor diretor de uma das retas</p><p>é múltiplo do vetor diretor da outra, podemos concluir que são</p><p>retas coincidentes. Para provar que duas retas têm a mesma direção,</p><p>basta mostrar que o vetor diretor de uma das retas é múltiplo do</p><p>vetor diretor da outra.</p><p>Acompanhe o exemplo a seguir para compreender melhor a posi-</p><p>ção relativa entre retas.</p><p>Descrever as proprieda-</p><p>des de paralelismo de</p><p>retas e planos.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>18 Geometria Espacial</p><p>Exemplo 3</p><p>Verifique qual é a posição relativa entre as retas r e s, sabendo que</p><p>s x� � y� �: �</p><p>�</p><p>�1</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>e r x� � y� �: �</p><p>�</p><p>�4</p><p>6</p><p>6</p><p>4</p><p>.</p><p>Resolução</p><p>Primeiro é necessário verificar se as retas têm a mesma direção, ou</p><p>seja, se ou vetores diretores são múltiplos. Na equação simétrica de</p><p>uma reta, as coordenadas do vetor diretor estão nos denominadores,</p><p>por isso é fácil identificar o vetor diretor da reta s como</p><p></p><p>v �s � � �3 2, e o</p><p>vetor diretor da reta</p><p></p><p>w �r � � �6 4, .</p><p>Observe que</p><p> </p><p>w vr s= 2 ( wr é múltiplo de</p><p></p><p>vs ), logo, as retas têm a</p><p>mesma direção. Para verificar se são coincidentes, é necessário investi-</p><p>gar se existe um ponto em comum, ou seja, obter a equação reduzida</p><p>da reta r (só existe uma equação reduzida, pois não há equação para</p><p>a coordenada z) em função da variável x. Ao substituir x = 2, y deve ser</p><p>igual a 4. Observe que na equação simétrica da reta as coordenadas do</p><p>ponto estão com sinal contrário no numerador.</p><p>Vamos calcular a equação reduzida de:</p><p>r x� � y� � y</p><p>x� �</p><p>y x� � y x� �: �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>4</p><p>6</p><p>6</p><p>4</p><p>6</p><p>4 4</p><p>6</p><p>2 8</p><p>3</p><p>6 2 10</p><p>3</p><p>Sabemos que o ponto (1, 4) pertence à reta s. Agora vamos verificar</p><p>se ele também pertence à reta r.</p><p>Após calcular a equação reduzida, é possível afirmar que um ponto</p><p>genérico da reta r tem a forma x � x� �, 2 10</p><p>3</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� . Na reta r, para x = 1 temos</p><p>y</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>2 1 10</p><p>3</p><p>12</p><p>3</p><p>4 , logo, o ponto (1, 4) pertence às duas retas, por</p><p>isso é possível afirmar que as retas são coincidentes.</p><p>Observe que no exemplo anterior não havia uma equação para a</p><p>coordenada z, assim, as retas estão no plano xy, ou seja, todas as coor-</p><p>denadas de z são 0.</p><p>Para que duas retas sejam paralelas, é necessário que tenham a</p><p>mesma direção e nenhum ponto em comum. Também é possível pro-</p><p>Retas e planos 19</p><p>var que duas retas são paralelas quando têm a mesma direção e seus</p><p>pontos são equidistantes. Na prática, basta provar que um ponto de</p><p>uma delas tem uma distância diferente de 0 da outra reta e que as duas</p><p>retas têm a mesma direção.</p><p>Considerando os vetores diretores v e w de duas re-</p><p>tas distintas, em que v l m n � � �1 1 1, , e w l m n � � �2 2 2, , , se</p><p>l</p><p>l</p><p>m</p><p>m</p><p>n</p><p>n</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= = , então, as retas são paralelas.</p><p>Agora observe os pontos distintos A e B no plano cartesiano.</p><p>A distância entre esses dois pontos está representada na figura a seguir.</p><p>Figura 9</p><p>Distância entre dois pontos</p><p>d2 = (x1 – x0)</p><p>2 + (y1 – y0)</p><p>2</p><p>Distância entre dois pontos</p><p>1</p><p>10–1–2–3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5y1</p><p>y0 (x0, y0)</p><p>6</p><p>7</p><p>y</p><p>d</p><p>x</p><p>A</p><p>B</p><p>E</p><p>F</p><p>G</p><p>DC</p><p>8</p><p>(x1, y1)</p><p>Fonte: Sanez, 2021.</p><p>É possível calcularmos a distância entre dois pontos no plano, pois a</p><p>diferença entre as coordenadas x e a diferença entre as coordenadas y</p><p>dos pontos são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é</p><p>exatamente a distância entre os dois pontos. Por isso, podemos definir</p><p>a distância entre os pontos A e B no plano, com suas coordenadas sen-</p><p>do, respectivamente, (xA, yA) e (xB, yB), como:</p><p>d AB x x y yB A B A� � � �� � � �� �2 2</p><p>20 Geometria Espacial</p><p>Agora vamos analisar a distância entre os pontos A e B no espaço,</p><p>representados na figura a seguir.</p><p>Figura 10</p><p>Distância entre</p><p>ponto e reta</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>A</p><p>B</p><p>xB</p><p>x</p><p>z</p><p>y</p><p>zB</p><p>yB</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe que a distância entre os pontos A e B no espaço é a hipo-</p><p>tenusa do triângulo retângulo, em que um dos catetos é a diferença</p><p>das coordenadas z e o outro é a hipotenusa do triângulo formado no</p><p>plano xy. Sejam dois pontos distintos A = ( x y z A A A, , ) e B = ( x y z B B B, , ). A</p><p>distância entre os pontos A e B no espaço é:</p><p>d AB x x y y z zB A B A B A� � � �� � � �� � � �� �2 2 2</p><p>Quando se trata de analisar a distância entre um ponto e uma</p><p>reta, temos que calcular a menor distância entre eles, como se cons-</p><p>truíssemos uma reta suporte que passasse pelo ponto e que fosse</p><p>perpendicular à reta da qual se deseja calcular a distância, conforme</p><p>representado na figura a seguir.</p><p>Figura 11</p><p>Distância entre ponto e uma reta</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>aA</p><p>CBr</p><p>hA</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe que uma reta r e um ponto A externo à reta r formam um</p><p>plano, pois consideramos os pontos B e C contidos na reta r, de modo</p><p>que a distância do ponto A até a reta r corresponde à altura relativa ao</p><p>Retas e planos 21</p><p>ponto A do triângulo formado por A, B e C. Isso significa que a distância</p><p>pode ser calculada por meio da fórmula:</p><p>d A r</p><p>A� �B � � C� �B</p><p>C� �B</p><p>,� � �</p><p>�� � � �� �</p><p>�� �</p><p>Para calcular essa distância do ponto A até a reta r é necessário</p><p>compreendermos o produto entre vetores, pois a diferença entre coor-</p><p>denadas é um vetor, visto ser assim que definimos um vetor com ex-</p><p>tremos em dois pontos. Quando se trata de vetores, há dois tipos de</p><p>produtos: o interno e o externo.</p><p>O produto interno também é denominado de produto escalar, já que</p><p>o resultado é um valor escalar (um número) representado por ⋅ . Assim,</p><p>temos que o produto interno entre</p><p></p><p>  u x �y �zu u u� � �, , e</p><p></p><p>  v x �y �zv v v� � �, , ,</p><p>com 0°</p><p>b</p><p>c</p><p>c</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= =</p><p>Isso porque n a i b j c k�</p><p>��� � � �</p><p>� � �1 1 1 é o vetor normal do plano γ e</p><p>n a i b j c k�</p><p>��� � � �</p><p>� � �2 2 2 , conforme representado na Figura 14. Lembre-se de</p><p>que um vetor normal a uma superfície é perpendicular a essa superfície.</p><p>Figura 14</p><p>Dois planos paralelos e seus vetores normais</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>nβ</p><p>nγ</p><p>γ</p><p>β</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Observe que se os vetores normais dos planos tiverem a mesma</p><p>direção um será múltiplo do outro, assim, será possível afirmar que os</p><p>planos são paralelos. No exemplo a seguir aprenderemos a comprovar</p><p>se dois planos são paralelos.</p><p>26 Geometria Espacial</p><p>Exemplo 6</p><p>Verifique se os planos γ e β são paralelos, com γ: 2x + 3y – z + 10 = 0</p><p>e β: -4x – 6y + 2z + 4 = 0.</p><p>Resolução</p><p>Primeiro, vamos identificar os vetores normais aos planos γ e β.</p><p>Para o plano γ, temos o vetor normal n i j k�</p><p>� �� � � �</p><p>� � �2 3 e, para o plano β,</p><p>temos o vetor normal n i j k�</p><p>��� � � �</p><p>� � � �4 6 2 .</p><p>Definidos os vetores normais dos planos, vamos verificar a razão:</p><p>n</p><p>n - -</p><p>-1�</p><p>�</p><p>���</p><p>��� � � �</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>6 2</p><p>Como n n� �</p><p>��� ���</p><p>� 2 , o plano γ é paralelo ao plano β. Observe que inicial-</p><p>mente os sinais negativos permanecem no denominador para destacar</p><p>o deslocamento no sentido negativo do vetor nas coordenadas x e y do</p><p>vetor normal do plano β.</p><p>Agora que já conseguimos analisar a relação de paralelismo entre</p><p>planos e planos, fica mais fácil deduzir como é possível verificar a</p><p>condição de paralelismo entre reta e plano, conforme representado</p><p>na figura a seguir.</p><p>Figura 15</p><p>Uma reta paralela a um plano</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>nβ</p><p>r</p><p>β</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Conforme representado anteriormente, uma reta r paralela a um</p><p>plano β terá o seu vetor diretor perpendicular ao vetor normal ao pla-</p><p>no. Por isso, se o produto interno entre o vetor diretor da reta e o vetor</p><p>normal do plano é igual a zero, a reta é paralela ao plano.</p><p>Retas e planos 27</p><p>Dessa maneira, temos que, se</p><p></p><p>v l m n � � �1 1 1, , é o vetor diretor da reta</p><p>r e n a i b j c k�</p><p>��� � � �</p><p>� � �2 2 2 é o vetor normal ao plano β, a reta r será paralela</p><p>ao plano β se l1 ⋅ a2 + m1 ⋅ b2 + n1 ⋅ c2 = 0.</p><p>O exemplo a seguir esclarece esses conceitos.</p><p>Exemplo 7</p><p>Verifique se a reta r é paralela ao plano β, sabendo que</p><p>β: -4x – 6y + 2z + 4 = 0 e r: (x, y, z) = (-3, 5, 1) + (2, 1, 7)k, com k ∈ ℝ.</p><p>Resolução</p><p>Vamos identificar o vetor normal ao plano e o vetor diretor da reta.</p><p>Note que a reta está representada na forma de equação geral, ou seja,</p><p>nesse formato os valores múltiplos de k correspondem ao vetor diretor</p><p>da reta. Agora é necessário realizar o produto interno:</p><p>(-4, -6, 2) ∙ (2, 1, 7) = (-4) ∙ (2) + (-6) ⋅ (1) + (2) ∙ (7) = -8 – 6 + 14 = 0</p><p>Logo, a reta r é paralela ao plano β.</p><p>Observe que no paralelismo entre retas analisamos o paralelismo</p><p>dos vetores diretores; no paralelismo entre planos também verifica-</p><p>mos o paralelismo entre os vetores normais; e no paralelismo entre</p><p>reta e plano verificamos se o vetor diretor da reta é perpendicular ao</p><p>vetor normal ao plano.</p><p>1.3 Perpendicularidade de retas e planos</p><p>Vídeo Quando duas retas têm direções diferentes, se encontrarão em</p><p>algum ponto, ou seja, serão concorrentes e terão um ponto em</p><p>comum. Quando duas retas são concorrentes, podem formar um</p><p>ângulo de 90°. Nesse caso em particular, elas são denominadas de</p><p>retas perpendiculares.</p><p>Para verificar se duas retas são perpendiculares, vamos utilizar o con-</p><p>ceito de produto interno dos vetores diretores das retas e o fato de que</p><p>o cos 90° = 0. Lembre-se de que o produto interno entre dois vetores é:</p><p>   </p><p>     u v u v �cos x x � �y y z zu v u v u v� � � � �· � · · ·�</p><p>Descrever as proprieda-</p><p>des de perpendiculari-</p><p>dade de retas e planos e</p><p>resolver problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>28 Geometria Espacial</p><p>Isso significa que, se ao fazer o produto interno dos vetores direto-</p><p>res de duas retas (  u v⋅ ) o resultado for zero, é possível afirmar que as</p><p>retas são perpendiculares.</p><p>Para compreender como verificar se duas retas são perpendicula-</p><p>res, acompanhe o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 8</p><p>Verifique se as retas r e s são perpendiculares, sabendo que</p><p>r x� � y� � z� �: �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�1</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>e s -x� � y� � z� �: �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�4</p><p>6</p><p>6</p><p>4</p><p>6</p><p>2</p><p>.</p><p>Resolução</p><p>É necessário identificarmos quais são os valores dos vetores dire-</p><p>tores de cada uma das retas. Observe que a equação de s pode ser</p><p>reescrita como s</p><p>x� �</p><p>-</p><p>y� � z� �: �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�4</p><p>6</p><p>6</p><p>4</p><p>6</p><p>2</p><p>, pois nesse formato fica evidente</p><p>o valor negativo da coordenada x do vetor diretor da reta s.</p><p>Vamos chamar de</p><p></p><p>w o vetor diretor da reta s e de</p><p></p><p>v o vetor diretor</p><p>da reta r. Assim, temos</p><p></p><p>v = (1, 1, 1) e w - � �� � �6 4 2, , . Agora vamos calcu-</p><p>lar o produto interno:</p><p> </p><p>v w - -� � � � � � � � � �1 6 1 4 1 2 6 4 2 0· · ·</p><p>Logo, as retas r e s são perpendiculares.</p><p>Assim como no paralelismo, na verificação da perpendicularida-</p><p>de entre retas será analisada a relação entre os vetores diretores</p><p>dessas retas.</p><p>Considerando dois vetores diretores v e w de duas re-</p><p>tas distintas, em que v l m n� � �1 1 1, , e</p><p></p><p>w l m n� � �2 2 2, , , se</p><p>l1 · l2 + m1 · m2 + n1 · n2 = 0, então, as retas são perpendiculares.</p><p>Da mesma maneira, se dois planos são perpendiculares, os vetores</p><p>normais dos planos também serão perpendiculares entre si (Figura 16).</p><p>Retas e planos 29</p><p>Figura 16</p><p>Dois planos perpendiculares e seus vetores normais</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>nα</p><p>nβ</p><p>β</p><p>α</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Sejam dois planos α e β, com α: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e</p><p>β: a2x + b2y + c2z + d2 = 0, em que n a i b j c k�</p><p>� �� � � �</p><p>� � �1 1 1 é o vetor normal ao</p><p>plano α e n a i b j c k�</p><p>��� � � �</p><p>� � �2 2 2 é o vetor normal ao plano β, temos que α</p><p>é perpendicular a β se a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 0.</p><p>Já quando se trata de analisar se uma reta e um plano são perpendi-</p><p>culares, o vetor diretor da reta será paralelo ao vetor normal ao plano,</p><p>como é possível verificar na representação da figura a seguir.</p><p>Figura 17</p><p>Uma reta perpendicular a um plano</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>r</p><p>nβ</p><p>β</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Dessa maneira, temos que, se</p><p></p><p>v l m n� � �1 1 1, , é o vetor diretor da reta</p><p>r e n a i b j c k�</p><p>��� � � �</p><p>� � �2 2 2 é o vetor normal ao plano β, a reta r será perpen-</p><p>dicular ao plano β se</p><p></p><p>v for múltiplo de nβ</p><p>���</p><p>, ou seja, se:</p><p>l</p><p>a</p><p>m</p><p>b</p><p>n</p><p>c</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>= =</p><p>Finalizamos o estudo da perpendicularidade entre retas e planos. É im-</p><p>portante identificarmos os vetores em uma equação, seja o vetor diretor</p><p>na equação de uma reta, seja o vetor normal ao plano, para usarmos esses</p><p>vetores para analisar a posição relativa entre retas e planos.</p><p>30 Geometria Espacial</p><p>1.4 Ângulos</p><p>Vídeo Ângulo é o valor da abertura entre dois segmentos de reta que têm</p><p>um ponto em comum, denominado de vértice do ângulo. É utilizado</p><p>como unidade de medida de ângulo o grau ou os radianos, em que a</p><p>relação entre essas medidas é 180° = π radianos.</p><p>Dessa maneira, é possível analisarmos o ângulo entre retas</p><p>concorrentes, planos concorrentes e uma reta que intercepta um pla-</p><p>no. Vamos utilizar o vetor diretor das retas e o vetor normal aos planos</p><p>e utilizar a relação do produto interno entre vetores para calcular o</p><p>ângulo formado entre retas (Figura 18) e planos.</p><p>Figura 18</p><p>Ângulo entre duas retas</p><p>s</p><p>r</p><p>u</p><p>v</p><p>θ</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Sejam</p><p></p><p>  u x ��y ��zu u u� � �, , e</p><p></p><p>  v x �y �zv v v� � �, , vetores diretores das retas r</p><p>e s, respectivamente, temos que    </p><p>     u v u v �cos x x y y z zu v u v u v� � � � �· · · ·� ,</p><p>logo:</p><p>cos � u v</p><p>u �� v</p><p>� �</p><p>�</p><p> </p><p> </p><p>·</p><p>Após calcular o cosseno, precisamos encontrar o seu ângulo. Nos</p><p>dispositivos eletrônicos, como calculadoras, é a função arco cosseno</p><p>(arc cos), que pode aparecer no modo da função cos–1. O botão cos–1</p><p>aparece nas calculadoras semicientíficas e nas versões on-line, indican-</p><p>do o arco cosseno.</p><p>Acompanhe o exemplo a seguir para compreender como fazer</p><p>esse cálculo.</p><p>Compreender as proprie-</p><p>dades sobre ângulos.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Retas e planos 31</p><p>Exemplo 9</p><p>Calcule o ângulo entre as retas r e s, sabendo que</p><p></p><p>u � � �1, ,�1 �4 é o</p><p>vetor diretor da reta s e</p><p></p><p>v � �� �� �1 2 2, , é o vetor diretor da reta r.</p><p>Resolução</p><p>Vamos aplicar os valores dos vetores diretores na equação:</p><p>cos u v</p><p>u �� v</p><p>� �</p><p>�</p><p> </p><p> </p><p>·</p><p>Assim, fazemos:</p><p>cos u v</p><p>u �� v</p><p>-</p><p>-</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � � �</p><p>� � � � � � �</p><p>�</p><p>� �</p><p> </p><p> </p><p>· ² ²</p><p>1 1 1 2 4 2</p><p>1 1 4 1 2 2</p><p>9</p><p>3 22 2 2 2 ��</p><p>�</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>Com o arc�cos 2</p><p>2</p><p>45� � , temos que o ângulo entre as retas r e s</p><p>é 45°.</p><p>No estudo do ângulo entre planos, para verificar o ângulo entre dois</p><p>planos distintos α e β, analisamos as equações desses planos. Sejam</p><p>dois planos α e β, com α: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e β: a2x + b2y + c2z + d2 = 0, em</p><p>que n a i b j c k�</p><p>� �� � � �</p><p>� � �1 1 1 é o vetor normal do plano α e n a i b j c k�</p><p>��� � � �</p><p>� � �2 2 2</p><p>é o vetor normal ao plano β, conforme representado na figura a seguir.</p><p>Figura 19</p><p>Ângulo entre dois planos</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>anβ</p><p>β</p><p>nα</p><p>α</p><p>θ</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>32 Geometria Espacial</p><p>Temos que o ângulo entre α e β é θ. Para encontrar o ângulo θ, uti-</p><p>lizamos a relação:</p><p>cos</p><p>n n</p><p>n n</p><p>a a b b c c</p><p>a b c a</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � �</p><p>� � �</p><p>� �� ���</p><p>� �� ���</p><p>·</p><p>1 2 1 2 1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2� �b c</p><p>Já no estudo do ângulo entre uma reta r e um plano β, vamos utilizar</p><p></p><p>v l m n� � �1 1 1, , como o vetor diretor da reta r e n a i b j c k�</p><p>��� � � �</p><p>� � �2 2 2 como o</p><p>vetor normal ao plano β.</p><p>Diferentemente dos casos anteriores, usaremos o produto inter-</p><p>no para encontrar o ângulo entre a reta e o vetor normal. Chamare-</p><p>mos esse ângulo de θ1, como é possível observar a representação da</p><p>figura a seguir.</p><p>Figura 20</p><p>Ângulo entre uma reta e um plano</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>θ2 θ2</p><p>θ1</p><p>β</p><p>r</p><p>nβ</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Temos que o ângulo entre a reta r o plano β é igual a θ2, de modo</p><p>que θ2 + θ1 = 90°. Para obter θ1, precisamos calcular o arc cosθ1:</p><p>cos</p><p>v n</p><p>v ��n</p><p>l a m b n c</p><p>l m n a</p><p>� �</p><p>�</p><p>1</p><p>1 2 1 2 1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � �</p><p>� � � �</p><p>� ���</p><p>� ���</p><p>· bb c2</p><p>2</p><p>2</p><p>2�</p><p>Já para achar o ângulo θ2 entre a reta r e o plano β, é necessário</p><p>considerarmos que θ2 = 90° – θ1.</p><p>Acompanhe o exemplo a seguir, em que esclarecemos esses concei-</p><p>tos e aplicamos as fórmulas.</p><p>Exemplo 10</p><p>Sabendo que</p><p></p><p>v � �� � �0 1 1, , é o vetor diretor da reta r e</p><p></p><p>n� � � �1 2 1, , � é o</p><p>vetor normal ao plano β, qual é o ângulo entre a reta r e o plano β?</p><p>O livro Álgebra vetorial e</p><p>geometria analítica, de</p><p>Jacir J. Venturi, tem uma</p><p>abordagem descontraída</p><p>associada à matemática</p><p>formal e sistematizada,</p><p>uma combinação perfeita</p><p>para aprofundar a com-</p><p>preensão do estudo de</p><p>vetores e suas aplicações</p><p>nas retas e nos planos.</p><p>10. ed. Curitiba: Livrarias Curitiba,</p><p>2015. Disponível em: https://www.</p><p>geometriaanalitica.com.br/copia-</p><p>indice1. Acesso em: 16 set. 2021.</p><p>Livro</p><p>(Continua)</p><p>https://www.geometriaanalitica.com.br/copia-indice1</p><p>https://www.geometriaanalitica.com.br/copia-indice1</p><p>https://www.geometriaanalitica.com.br/copia-indice1</p><p>Retas e planos 33</p><p>Resolução</p><p>Vamos calcular o ângulo θ1 entre a reta e o vetor normal:</p><p>cos</p><p>v n</p><p>v n</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 2 2 2 2 2 2</p><p>0 1 1 2 1 1</p><p>0 1 1 1 2 1</p><p>3</p><p>2 3</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � �</p><p>� � � � �</p><p>� �</p><p>� ���</p><p>� ���</p><p>·</p><p>33</p><p>2</p><p>Assim, temos que θ1 é o arc cos� 3</p><p>2</p><p>30= o. Agora para encon-</p><p>trar o ângulo θ2 entre a reta r e o plano β, é necessário calcularmos</p><p>θ2 = 90°– θ1 = 90°– 30°. Logo, o ângulo θ2 entre a reta r e o plano β é 60°.</p><p>Lembre-se de que a função arco cosseno é representada nas calcu-</p><p>ladoras por cos–1.</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>As relações entre retas e planos, sejam de paralelismo, sejam de</p><p>perpendicularismo, dependem do entendimento do conceito de vetor</p><p>(o vetor diretor de uma reta ou o vetor normal a um plano). Com base</p><p>nas propriedades de produto interno e produto externo entre vetores, é</p><p>possível analisarmos a posição relativa entre retas, planos e retas e planos</p><p>e até obtermos o ângulo entre esses elementos.</p><p>ATIVIDADES</p><p>Atividade 1</p><p>Qual é o sistema de orientação mais utilizado para descrever</p><p>pontos, retas, planos, equações e outros elementos geométri-</p><p>cos? Especifique.</p><p>Atividade 2</p><p>Qual é a relação entre distância entre dois pontos e paralelismo</p><p>entre retas e planos? Esclareça.</p><p>Atividade 3</p><p>Quando há dois pontos A e B, qual é a diferença entre o segmen-</p><p>to de reta AB e o vetor AB?</p><p>34 Geometria Espacial</p><p>Atividade 4</p><p>Em vários problemas utilizamos o conceito de vetor, mas qual é</p><p>a importância da álgebra vetorial no estudo de retas e planos na</p><p>geometria espacial?</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São</p><p>Paulo: Atual, 2019. v. 9.</p><p>MACHADO, C. P. Fundamentos da geometria. Porto Alegre: Sagah, 2019.</p><p>SANEZ, P. Distância entre dois pontos. GeoGebra, 2021. Disponível em: https://www.</p><p>geogebra.org/m/wb3e3n3q. Acesso em: 16 set. 2021.</p><p>VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 10. ed. Curitiba: Unificado, 2015.</p><p>https://www.geogebra.org/m/wb3e3n3q</p><p>https://www.geogebra.org/m/wb3e3n3q</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 35</p><p>2</p><p>Cônicas, semelhança e homotética</p><p>Você verá neste capítulo os conceitos relacionados às seções cônicas,</p><p>às propriedades óticas, à semelhança e à homotética. Vamos descrever</p><p>as propriedades óticas, as propriedades de seções cônicas, representar</p><p>semelhança, definir homotética, bem como resolver problemas sobre se-</p><p>ções cônicas e sobre semelhança e homotética.</p><p>Esses conteúdos têm aplicações no cotidiano; as seções cônicas, por</p><p>exemplo, estão presentes desde a forma encontrada em antenas até a de</p><p>petiscos de batata, que têm a aparência de um paraboloide hiperbólico –</p><p>formato obtido pela rotação de uma parábola.</p><p>2.1 Seções cônicas</p><p>Vídeo</p><p>Seções cônicas é o nome dado às formas geométricas obtidas ao</p><p>interceptar com um plano uma estrutura conhecida como cone de duas</p><p>folhas, o que você pode observar na Figura 1.</p><p>Figura 1</p><p>Seções cônicas</p><p>ElipseParábola Hipérbole</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Apreender as proprieda-</p><p>des de seções cônicas e</p><p>resolver problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>36 Geometria Espacial</p><p>A parábola é obtida na interseção do cone com um plano que corta</p><p>a base desse cone; já a elipse, na interseção do cone com um plano</p><p>concorrente ao plano da base desse cone (mas sem cortar a base do</p><p>cone). Por fim, a hipérbole é obtida com a interseção de um plano pa-</p><p>ralelo ao eixo central do cone de duas folhas, interceptando as bases e</p><p>sendo perpendicular aos planos das bases.</p><p>Quando o plano intercepta um dos cones, de modo que corta o pla-</p><p>no da base de um deles, temos que essa interseção do plano e do cone</p><p>tem o formato de uma parábola (Figura 2).</p><p>Figura 2</p><p>Seção cônica parábola</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>A parábola é uma seção cônica que tem reta diretriz d, vértice V e</p><p>foco F, em que a reta que divide a parábola em duas partes iguais é</p><p>denominada de eixo de simetria, e o parâmetro p é a distância entre o</p><p>foco e a reta diretriz. O vértice da parábola fica exatamente no meio</p><p>do segmento que une o foco com a reta diretriz, ou seja, a distância do</p><p>vértice até o foco é p</p><p>2</p><p>, assim como a distância entre o vértice e a reta</p><p>diretriz é p</p><p>2</p><p>, conforme se pode observar na figura a seguir.</p><p>Eixo de simetria</p><p>d</p><p>V F</p><p>Figura 3</p><p>Elementos da parábola</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>p</p><p>A circunferência é obtida</p><p>quando o cone de duas</p><p>folhas é interceptado por</p><p>um plano paralelo ao</p><p>plano da base desse cone;</p><p>porém, a circunferência</p><p>não é considerada uma</p><p>seção cônica, e sim uma</p><p>cônica degenerada.</p><p>Curiosidade</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 37</p><p>A parábola é o lugar geométrico dos pontos que são equidistantes</p><p>da reta diretriz e do foco. Assim, podemos</p><p>equacionar a parábola</p><p>representada em um sistema cartesiano ortogonal, como indicado</p><p>na figura a seguir.</p><p>Figura 4</p><p>Parábola y2 = 8x</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Na descrição da equação da parábola, temos y2 = 2px quando o vértice</p><p>está na origem do sistema cartesiano, o eixo de simetria coincidente com</p><p>o eixo x e a concavidade para direita (para a concavidade para esquerda</p><p>y2 = -2px). Contudo, quando o eixo de simetria é coincidente com o eixo y,</p><p>temos um valor de y para dois valores de x, por isso a equação da parábo-</p><p>la com vértice na origem do sistema cartesiano e concavidade para cima</p><p>é x2 = 2py (para a concavidade para baixo x2 = -2py). As representações</p><p>gráficas dessas equações podem ser observadas na figura a seguir.</p><p>Figura 5</p><p>Equação da parábola com vértice na origem</p><p>y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>38 Geometria Espacial</p><p>Problemas envolvendo parábolas podem exigir interpretação dos</p><p>elementos foco, vértice, diretriz e eixo de simetria, seja para calcular a</p><p>distância entre a reta diretriz e o foco (que é a medida do parâmetro p),</p><p>seja para obter a equação da parábola quando se conhece dois pontos</p><p>da curva (formando um sistema com duas equações). Dessa maneira,</p><p>acompanhe o exemplo a seguir para compreender como resolver um</p><p>problema desse tipo.</p><p>Exemplo 1</p><p>Calcule a equação da parábola, sabendo que a coordenada do foco</p><p>é F = (0, 3) e a equação da reta diretriz é d: y = -3.</p><p>Resolução</p><p>Observe que o foco está na parte positiva do eixo y e a reta diretriz</p><p>na parte negativa. Logo, a concavidade da parábola é para cima e a</p><p>equação é do formato x2 = 2py. Como p é a distância entre a reta dire-</p><p>triz e o foco – que, nesse caso, é 6 –, então a equação dessa parábola</p><p>é x2 = 12y.</p><p>Quando o plano intercepta um dos cones, formando um ângulo</p><p>agudo com o plano da base, mas sem interceptá-la, temos a forma de-</p><p>nominada elipse na interseção entre o plano e o cone.</p><p>Figura 6</p><p>Seção cônica elipse</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>A elipse tem um centro, dois focos (distância focal igual a 2c), quatro</p><p>vértices (dois para cada eixo), um eixo maior 2a (onde ficam os focos) e</p><p>um eixo menor 2b, conforme representado na figura a seguir.</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 39</p><p>Figura 7</p><p>Elementos da elipse</p><p>O</p><p>a2 = b2 + c2</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Há uma relação entre o semieixo maior a, o semieixo menor b e a</p><p>metade da distância focal c, uma vez que formam um triângulo retân-</p><p>gulo, com o semieixo maior a sendo a hipotenusa, e por isso temos a</p><p>relação a2 = b2 + c². Quando se trata de descrever a equação da elip-</p><p>se no sistema cartesiano ortogonal, temos que analisar a posição do</p><p>eixo maior 2a, observando se é paralelo ao eixo cartesiano x ou ao y.</p><p>Também é importante saber as coordenadas do centro O da elipse,</p><p>pois assim temos dois tipos de equações dessa seção cônica, conforme</p><p>a posição do eixo maior da elipse. Observe, na Figura 8, a alteração da</p><p>equação devido à posição do eixo maior em relação aos eixos cartesianos.</p><p>Figura 8</p><p>Equação da elipse</p><p>( ) ( )x x</p><p>a</p><p>y y</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>( ) ( )y y</p><p>a</p><p>x x</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>40 Geometria Espacial</p><p>Quando o centro da elipse coincide com o centro do sistema carte-</p><p>siano ortogonal, temos o que é chamado de equação reduzida da elipse</p><p>(ou equação canônica), com:</p><p>•</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>²</p><p>²</p><p>²</p><p>²</p><p>� � 1 para elipses com eixo maior sobre o eixo cartesiano x;</p><p>•</p><p>y</p><p>a</p><p>x</p><p>b</p><p>²</p><p>²</p><p>²</p><p>²</p><p>� � 1 para elipses com o eixo maior sobre o eixo cartesiano y.</p><p>Os problemas envolvendo elipse abordam a obtenção da equação, a</p><p>relação trigonométrica dos semieixos a2 = b2 + c² e a excentricidade ε. A</p><p>excentricidade descreve o quanto uma elipse será mais arredondada</p><p>ou mais estreita e é definida por � �</p><p>c</p><p>a</p><p>. Agora, vamos para um exemplo</p><p>de exercício.</p><p>Exemplo 2</p><p>Descreva a equação da elipse e a excentricidade, sabendo que o</p><p>eixo maior paralelo ao eixo cartesiano y mede 10, o eixo menor mede 6</p><p>e o vértice está na origem do sistema cartesiano.</p><p>Resolução</p><p>Primeiro, vamos descrever a equação da elipse, depois aplicar a rela-</p><p>ção a2 = b2 + c² para obter o valor de c e, então, calcular a excentricidade.</p><p>Como, por hipótese (está descrito no enunciado), o eixo maior é pa-</p><p>ralelo ao eixo cartesiano y, então a equação é do formato:</p><p>y� �y</p><p>a</p><p>x� �x</p><p>b</p><p>o o�� �</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>²</p><p>²</p><p>²</p><p>²</p><p>1</p><p>Ainda, como o vértice está na origem do sistema cartesiano, temos:</p><p>y x � �e�y x²</p><p>²</p><p>²</p><p>²</p><p>² ²</p><p>5 3</p><p>1</p><p>25 9</p><p>1� � � � �</p><p>Isso porque a = 5 e b = 3.</p><p>Agora, vamos aplicar a relação:</p><p>a2 = b2 + c2 → 25 = 9 + c2 → c2 = 25 – 9 → c = 4</p><p>Assim, a excentricidade é � � �</p><p>c</p><p>a</p><p>4</p><p>5</p><p>.</p><p>Quando o plano intercepta as duas folhas do cone, de maneira pa-</p><p>ralela ao eixo central dos cones e perpendicular às bases dos cones, é</p><p>formada, na interseção do plano com os cones, a seção cônica denomi-</p><p>nada hipérbole (Figura 9).</p><p>A palavra hipérbole tem</p><p>origem grega e faz refe-</p><p>rência às palavras excesso</p><p>e exagero.</p><p>Curiosidade</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 41</p><p>Figura 9</p><p>Seção cônica hipérbole</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>A hipérbole tem um eixo real 2a (também chamado de eixo</p><p>transverso), um eixo imaginário 2b (também denominado de eixo conju-</p><p>gado), dois focos (distância focal igual a 2c) e um centro O da hipérbole,</p><p>conforme podemos observar na figura a seguir.</p><p>Figura 10</p><p>Elementos da hipérbole</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>c a b2 2 2� �</p><p>A relação entre os semieixos é c2 = a2 + b². Veja que na hipérbole a</p><p>hipotenusa é a metade da distância focal.</p><p>Assim como na elipse, quando se trata da equação da hipérbole é</p><p>possível encontrar essa seção cônica com o centro O fora do centro do</p><p>sistema cartesiano. Também vamos considerar a qual eixo cartesiano</p><p>o eixo real da hipérbole está paralelo (Figura 11).</p><p>42 Geometria Espacial</p><p>Figura 11</p><p>Equação da hipérbole</p><p>( ) ( )x x</p><p>a</p><p>y y</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>( ) ( )y y</p><p>a</p><p>x x</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�0</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Sempre vamos representar a equação da hipérbole como os valores</p><p>relacionados ao eixo real menos os valores relacionados ao eixo imagi-</p><p>nário dela. O eixo 2b é chamado de eixo imaginário, pois não intercepta</p><p>nenhum ponto da hipérbole.</p><p>Na hipérbole, também temos a excentricidade, que é � �</p><p>c</p><p>a . Contudo,</p><p>a hipérbole é a única seção cônica que tem assíntotas. As assíntotas</p><p>são duas retas das quais a hipérbole se aproxima e correspondem às</p><p>diagonais do quadrilátero de centro no centro da hipérbole e de la-</p><p>dos correspondentes ao eixo real e ao eixo imaginário dessa hipérbole,</p><p>conforme você pode ver na figura a seguir.</p><p>Figura 12</p><p>Assíntotas</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 43</p><p>As assíntotas são descritas por suas equações, ou seja, pelas equa-</p><p>ções das retas que são as diagonais do quadrilátero de lados eixo real</p><p>e eixo imaginário da hipérbole. Na Figura 12, as assíntotas são y b</p><p>a</p><p>x1 =</p><p>e y b</p><p>a</p><p>x -2 = – observe que essas são as equações das assíntotas para</p><p>hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano e eixo real</p><p>no eixo x.</p><p>A excentricidade � � c</p><p>a</p><p>é descrita da mesma maneira para a</p><p>elipse e para a hipérbole, e o valor está diretamente associado</p><p>à forma dessas seções cônicas, se estarão mais estreitas ou</p><p>mais arredondadas.</p><p>Os problemas com hipérbole envolvem a equação que descreve a</p><p>seção cônica, a relação c² = a² + b², a excentricidade e as equações das</p><p>assíntotas. Acompanhe, a seguir, um exemplo desses problemas.</p><p>Exemplo 3</p><p>Descreva a equação da hipérbole de centro na origem do sistema</p><p>cartesiano e, também, as assíntotas, sabendo que F1 = (5, 0) e A1 = (4, 0).</p><p>Resolução</p><p>Pelas coordenadas descritas no enunciado, o eixo real está no eixo</p><p>cartesiano x, e podemos afirmar que c = 5 e a = 4. Para escrever a equa-</p><p>ção dessa hipérbole, precisamos encontrar b. Com base em c² = a² + b²,</p><p>temos 5² = 4² + b² → 25 = 16 + b² → b² = 25 – 16 → b = 3.</p><p>Então, podemos escrever a equação da hipérbole com eixo real no</p><p>eixo cartesiano x, ou seja:</p><p>x� �x y� �y</p><p>� �x y0�� �</p><p>�</p><p>�� �</p><p>� � � �</p><p>²</p><p>²</p><p>²</p><p>4 3</p><p>1</p><p>16 9</p><p>10</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>Agora, vamos descrever a equação das assíntotas dessa hipérbole,</p><p>y x1</p><p>3</p><p>4</p><p>= e y x-2</p><p>3</p><p>4</p><p>= .</p><p>44 Geometria Espacial</p><p>Em suma, para você obter a equação das assíntotas de uma</p><p>hipérbole, basta pegar a equação geral da reta y = ax + b e dois pontos</p><p>dessa reta e montar um sistema de duas equações e duas incógnitas</p><p>(a e b). Utilize o ponto que é o centro da hipérbole (isto é, a interseção</p><p>das assíntotas) e, como outro ponto, o vértice do quadrilátero de lado</p><p>2b e 2a. Para compreender melhor, veja o próximo exemplo.</p><p>Exemplo 4</p><p>Calcule a equação das assíntotas da hipérbole, que é:</p><p>y x²</p><p>64 36</p><p>1</p><p>2</p><p>� �</p><p>Resolução</p><p>Pela equação, pode-se deduzir que o centro da hipérbole coincide</p><p>com o do sistema cartesiano, bem como que o eixo real está sobre o eixo</p><p>cartesiano y. Então, o ponto (0, 0) é um ponto comum às duas assíntotas.</p><p>Além disso, pela equação da hipérbole, podemos concluir que</p><p>a = 8 e b = 6, logo dois vértices do quadrilátero são (6, 8) e (-6, 8). Vamos</p><p>chamar a assíntota que passa pelo primeiro e pelo terceiro quadrante</p><p>de y1 e a outra assíntota de y2. Assim, temos os dois pontos (0, 0) e (6, 8)</p><p>da reta y1 e os pontos (0, 0) e (-6, 8) da reta y2.</p><p>Agora, vamos montar e resolver o sistema de equações, lembrando</p><p>que a equação da reta é y = ax + b.</p><p>y</p><p>a b b</p><p>a b� a</p><p>1</p><p>0 0 0</p><p>8 6 8</p><p>6</p><p>4</p><p>3</p><p>:</p><p>·� � � �</p><p>� � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>y</p><p>a b� b</p><p>a b� �a</p><p>- - -2</p><p>0 0 0</p><p>8 6 8</p><p>6</p><p>4</p><p>3</p><p>:</p><p>·� � � �</p><p>� � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>Logo, as assíntotas são y x1</p><p>4</p><p>3</p><p>= e y x- .2</p><p>4</p><p>3</p><p>=</p><p>Observe que as equações das assíntotas para hipérboles com centro</p><p>na origem do sistema cartesiano são equações de reta sem o coeficiente</p><p>linear (o b da equação y = ax + b). Por isso, basta calcular o coeficien-</p><p>te angular das retas – que é o cateto oposto sobre o cateto adjacente</p><p>– do ângulo que a reta da assíntota forma com o eixo cartesiano x.</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 45</p><p>2.2 Propriedades óticas</p><p>Vídeo Quando se trata de propriedades óticas, o objeto de estudo é a</p><p>aplicação das cônicas como lentes ou objetos refletores, por exemplo,</p><p>antenas e espelhos. Observe a imagem da antena parabólica instalada</p><p>na Alemanha (Figura 13).</p><p>Figura 13</p><p>Antena parabólica na Alemanha</p><p>Ri</p><p>ch</p><p>ar</p><p>d</p><p>Ba</p><p>rtz</p><p>/W</p><p>ik</p><p>im</p><p>ed</p><p>ia</p><p>C</p><p>om</p><p>m</p><p>on</p><p>s</p><p>Na prática, a antena parabólica da Figura 13 é uma quádrica, um só-</p><p>lido obtido pela revolução de uma parábola que se chama paraboloide.</p><p>Existem outros tipos de quádricas, obtidas por outros tipos de revolução</p><p>de seções cônicas.</p><p>Na seção “Teoria da reflexão” da obra Os elementos (EUCLIDES, 2009)</p><p>Euclides tratou de descrever e reunir informações da época sobre os</p><p>raios refletidos e a geometria envolvida. Com o avanço de tecnologias</p><p>no último século, foi possível construir e testar muitas teorias relacio-</p><p>nadas à reflexão.</p><p>Para entender as propriedades óticas, é necessário compreender</p><p>primeiro o conceito de reflexão, que trata da reflexão de uma reta em</p><p>uma curva (no caso, as curvas cônicas), sendo que essa reta pode ser</p><p>um feixe de luz, uma onda sonora ou uma onda eletromagnética. As</p><p>propriedades reflexivas nas cônicas são específicas para cada uma das</p><p>curvas: parábola, elipse e hipérbole.</p><p>Assimilar as proprieda-</p><p>des óticas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>A primeira antena pa-</p><p>rabólica data de 1887 e</p><p>foi construída pelo físico</p><p>Heinrich Hertz. Sim! Esse</p><p>mesmo Hertz que você</p><p>está pensando, o que</p><p>nomeia a unidade interna-</p><p>cional de frequência.</p><p>Curiosidade</p><p>Uma quádrica mundial-</p><p>mente conhecida é o</p><p>paraboloide hiperbólico</p><p>na forma de salgadinho</p><p>à base de batata. Esse</p><p>formato da batata foi</p><p>escolhido exatamente</p><p>para garantir o melhor</p><p>encaixe dentro da</p><p>embalagem cilíndrica</p><p>com tampa de plásti-</p><p>co, a fim de reduzir os</p><p>danos no transporte.</p><p>Para saber mais sobre</p><p>o assunto, acesse o</p><p>endereço e selecione, no</p><p>seu navegador, a tradução</p><p>para o português.</p><p>Disponível em: https://www.</p><p>elespanol.com/ciencia/20180612/</p><p>milagro-patata-ayudaron-ma-</p><p>tematicas-quimica-crear-prin-</p><p>gles/314469835_0.html. Acesso</p><p>em: 17 set. 2021.</p><p>Saiba mais</p><p>http:////www.elespanol.com/ciencia/20180612/milagro-patata-ayudaron-matematicas-quimica-crear-pringles/314469835_0.html</p><p>http:////www.elespanol.com/ciencia/20180612/milagro-patata-ayudaron-matematicas-quimica-crear-pringles/314469835_0.html</p><p>http:////www.elespanol.com/ciencia/20180612/milagro-patata-ayudaron-matematicas-quimica-crear-pringles/314469835_0.html</p><p>http:////www.elespanol.com/ciencia/20180612/milagro-patata-ayudaron-matematicas-quimica-crear-pringles/314469835_0.html</p><p>http:////www.elespanol.com/ciencia/20180612/milagro-patata-ayudaron-matematicas-quimica-crear-pringles/314469835_0.html</p><p>46 Geometria Espacial</p><p>Na parábola, um feixe que incide perpendicularmente na diretriz</p><p>(que é o mesmo que afirmar que incide paralelamente no eixo de si-</p><p>metria da parábola) se reflete no foco da parábola, conforme podemos</p><p>observar na figura a seguir.</p><p>Figura 14</p><p>Propriedade óptica de reflexão na parábola</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Outro exemplo de aplicação de propriedades ópticas da parábola</p><p>é o farol de carro, que é um paraboloide (a seção transversal é uma</p><p>parábola) com a lâmpada no foco.</p><p>Já um feixe linear que incide em uma elipse passando por um dos</p><p>focos será refletido no outro foco, como podemos observar na Figura 15.</p><p>Figura 15</p><p>Propriedade óptica de reflexão na elipse</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Qualquer ponto P que pertence à elipse terá uma distância do</p><p>foco F1 e uma distância do foco F2, de modo que a soma dessas duas</p><p>distâncias sempre será igual a 2a, ou seja, na elipse, d PF d PF a1 2 2� � � � � � .</p><p>Problemas sobre essa relação também podem exigir conhecimento relati-</p><p>vo à equação da elipse e à relação a² = b² + c², como no exemplo a seguir.</p><p>O vídeo Fogão solar</p><p>utiliza sucata para energia</p><p>renovável, disponibiliza-</p><p>do pelo canal da TV da</p><p>Universidade Federal do</p><p>Amazonas (TV UFAM)</p><p>em 2016, apresenta um</p><p>fogão solar que aplica as</p><p>propriedades óticas da</p><p>parábola, concentrando</p><p>os raios solares no foco</p><p>para, assim, conseguir</p><p>cozinhar com a irradiação</p><p>do sol.</p><p>Disponível em: https://www.you-</p><p>tube.com/watch?v=C8B1uE4ORug.</p><p>Acesso em: 17 set. 2021.</p><p>Vídeo</p><p>No livro Cônicas e quádri-</p><p>cas, o autor detalha as</p><p>propriedades e as equa-</p><p>ções de cônicas e quádri-</p><p>cas, com vários exemplos</p><p>e exercícios para fixação</p><p>dos conteúdos.</p><p>VENTURI, J. J. 6. ed. Curitiba:</p><p>Livrarias Curitiba, 2019. Disponível</p><p>em: https://www.geometriaana-</p><p>litica.com.br/copia-av. Acesso em:</p><p>17 set. 2021.</p><p>Livro</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=C8B1uE4ORug</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=C8B1uE4ORug</p><p>https://www.geometriaanalitica.com.br/copia-av</p><p>https://www.geometriaanalitica.com.br/copia-av</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 47</p><p>Exemplo 5</p><p>Qual é a distância do vértice A1 até o foco F2 na elipse cuja equação</p><p>é x y² ²</p><p>100 64</p><p>1� � ?</p><p>Resolução</p><p>Para calcular a distância, precisamos das coordenadas dos pontos</p><p>do vértice A1 e do foco F2 e do valor da distância 2a. A medida 2a é igual</p><p>a 20, pois, pela equação, temos que a² = 100, logo a = 10. Podemos,</p><p>ainda, considerar a coordenada do vértice A1 como (10, 0) ou (-10, 0),</p><p>porque temos que o centro da elipse está no centro do sistema carte-</p><p>siano e o eixo maior está sobre o eixo cartesiano x.</p><p>Falta definir a coordenada do foco; para isso, precisamos achar a</p><p>medida c baseada na relação a² = b² + c², portanto c = 6. Os pontos com</p><p>subíndice iguais estão no mesmo lado, então, se considerarmos o vérti-</p><p>ce A1 = (10, 0), o foco F2 estará em (-6, 0), assim como, se considerarmos</p><p>A1 = (-10, 0), o foco F2 estará em (6, 0).</p><p>Como o vértice A1 pertence à elipse, ele é como o ponto P descri-</p><p>to na definição de elipse e, por isso, podemos aplicar a relação</p><p>d PF d PF a1 2 2� � � � � � . Então, A F d A F a1 1 1 2 2� � � � � � ; como o foco F1 esta-</p><p>rá em (6, 0), a distância dele até A1 é 4. Assim, temos 4 201 2� � � �d A F ,</p><p>logo d A F1 2 16� � � .</p><p>Quando um feixe linear</p><p>incide em uma hipérbole, na direção</p><p>de um dos focos, o feixe é refletido na direção do outro foco, como</p><p>representado na figura a seguir.</p><p>Figura 16</p><p>Propriedade óptica de</p><p>reflexão na hipérbole</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>48 Geometria Espacial</p><p>Qualquer ponto P que pertence à hipérbole terá uma distância do</p><p>foco F1 e uma distância do F2, de modo que o módulo da diferença</p><p>entre essas duas distâncias sempre será igual à segunda, ou seja, na</p><p>hipérbole d PF d PF a1 2 2� � � � � � . Problemas de geometria que utilizam</p><p>essa relação podem, também, exigir o domínio sobre a equação da hi-</p><p>pérbole, os elementos da hipérbole e a relação c² = a² + b², como no</p><p>exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 6</p><p>Qual é a distância do ponto P até o foco F2 na hipérbole cuja</p><p>equação é x y² ²</p><p>36 64</p><p>1� � , sabendo que a coordenada x de P é igual à</p><p>coordenada x do F1?</p><p>Resolução</p><p>Para facilitar a compreensão e a visualização das informações, você</p><p>sempre pode fazer um rascunho da figura geométrica. Pelo enunciado,</p><p>sabemos que o eixo real está no eixo cartesiano x, que o centro da</p><p>hipérbole está no centro do sistema cartesiano, que a² = 36 e b² = 64</p><p>e que o ponto P tem mesma coordenada x que o foco F1 (Figura 17).</p><p>É indiferente se você irá colocar o F1 na parte positiva ou na negativa,</p><p>desde que não se esqueça de que F2 ficará no lado contrário.</p><p>Figura 17</p><p>Representação da hipérbole x y² ²</p><p>36 64</p><p>1� � e do ponto P</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>(Continua)</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 49</p><p>Observe que o foco F1 está à esquerda do eixo cartesiano y, assim as</p><p>coordenadas dos focos são F1 = (-10, 0) e F2 = (10, 0). Logo, P = (-10, y). Para</p><p>achar a coordenada y do ponto P, basta substituir o valor de x do ponto P</p><p>na equação da hipérbole – isso vale para qualquer ponto que pertence a</p><p>qualquer figura geométrica, em que apenas substituir a coordenada co-</p><p>nhecida na equação já é o suficiente. Descobriremos o valor de y para x =</p><p>-10; inclusive, esse valor de y é igual à distância do ponto P até F1.</p><p>Agora, vamos encontrar y para x y² ²</p><p>36 64</p><p>1� � , então:</p><p>- -y � � y � � y � �y ��</p><p>10</p><p>36 64</p><p>1 25</p><p>9 64</p><p>1</p><p>64</p><p>1 25</p><p>9 64</p><p>9 25</p><p>9</p><p>2 2 2 2 2� �</p><p>� � � � � � � � � � �</p><p>�</p><p>��</p><p>y y2 64 16</p><p>9</p><p>32</p><p>3</p><p>10 66667� � � � � � ,</p><p>Vamos arredondar para y = 11. Assim, temos P = (-10, 11), 2a = 12</p><p>e d PF1 11� � � . Dessa forma, d PF d PF a� � d PF1 2 22 11 12� � � � � � � � � � � ,</p><p>logo d PF2 23� � � .</p><p>Nos problemas envolvendo hipérbole, você terá que aplicar a defi-</p><p>nição dessa cônica identificando o eixo real, irá interpretar a equação</p><p>(como obter a equação de um ponto que pertence à hipérbole) e po-</p><p>derá aplicar tanto a relação c² = b² + a² quanto a condição de que o</p><p>módulo da diferença entre as distâncias de um ponto P até os focos</p><p>é igual a 2a.</p><p>Quando se trata da distância de um ponto da curva até os focos:</p><p>na hipérbole, o módulo da diferença entre as distâncias é igual a</p><p>2a, enquanto na elipse é a soma das distâncias que é 2a.</p><p>Essas propriedades ópticas das seções cônicas podem ser aplicadas</p><p>em receptores de sinais, transmissão de dados e lentes.</p><p>Na navegação marítima,</p><p>são utilizados sistemas</p><p>hiperbólicos, ou seja,</p><p>sistemas de sinais que</p><p>usam as propriedades</p><p>óticas da hipérbole – por</p><p>exemplo, o sistema de</p><p>ondas contínuas para</p><p>observação e precisão</p><p>(sistema Lorac), o sistema</p><p>de baixíssima frequência</p><p>(sistema Radux) e o</p><p>sistema de localização de</p><p>radar ou rádio (sistema</p><p>Loran e sistema DECCA).</p><p>Curiosidade</p><p>2.3 Semelhança</p><p>Vídeo A semelhança entre figuras geométricas ocorre quando duas figu-</p><p>ras têm a mesma forma, ou seja, o valor dos ângulos é igual, sendo que</p><p>os lados e as áreas são proporcionais ou iguais (Figura 18).</p><p>50 Geometria Espacial</p><p>Quando as medidas dos lados, os ângulos e as áreas são iguais, as</p><p>figuras são denominadas de isométricas.</p><p>Figura 18</p><p>Figuras semelhantes</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Você deve se lembrar do estudo de semelhança de triângulos de</p><p>quando cursou a educação básica, em que é analisada a correspondência</p><p>entre dois triângulos, isto é, se os ângulos correspondentes são</p><p>congruentes e se os lados correspondentes são proporcionais.</p><p>Há problemas que afirmam na hipótese que os triângulos são se-</p><p>melhantes e, baseando-se nisso, é necessário calcular as dimensões de</p><p>um dos triângulos ou obter a constante de proporcionalidade, como no</p><p>exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 7</p><p>Os triângulos ∆ABC e ∆DEF, representados na Figura 19, são seme-</p><p>lhantes. Calcule x e y.</p><p>Figura 19</p><p>Triângulos ∆ABC e ∆DEF semelhantes</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Entender semelhança e</p><p>resolver problemas.</p><p>Objetivo de aprendizagem</p><p>(Continua)</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 51</p><p>Resolução</p><p>Primeiro, é necessário encontrar a relação de proporcionalida-</p><p>de que será obtida pela razão entre os valores numéricos dos lados</p><p>correspondentes – no caso, CB e EF :</p><p>CB</p><p>EF</p><p>= =</p><p>9</p><p>12</p><p>3</p><p>4</p><p>Agora, vamos utilizar essa razão de proporcionalidade para determinar</p><p>x e y. Para x, temos x � x</p><p>7</p><p>3</p><p>4</p><p>21</p><p>4</p><p>� � � e, para y, temos y � y</p><p>10</p><p>3</p><p>4</p><p>30</p><p>4</p><p>� � � .</p><p>O estudo de semelhança entre figuras geométricas se inicia com</p><p>triângulos, pela facilidade de relacionar os elementos, já que são três</p><p>ângulos e três lados, mas pode ser aplicada em outras figuras geomé-</p><p>tricas (regulares ou não). Qualquer figura geométrica pode passar</p><p>por uma transformação geométrica e resultar em uma nova figura</p><p>semelhante à inicial.</p><p>Transformações geométricas podem aumentar, reduzir ou mudar a</p><p>posição que a figura ocupa no plano. São transformações geométricas:</p><p>a reflexão, a rotação, a translação e a homotetia.</p><p>A reflexão pode ser de um ponto em relação a uma reta – é como</p><p>um rebatimento, uma projeção em um espelho, como você pode ob-</p><p>servar na figura 1 a seguir.</p><p>Figura 20</p><p>Reflexão em relação a uma reta</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Para elaborar a Figura 20,</p><p>foi utilizada a função</p><p>reflexão em relação a</p><p>uma reta no GeoGebra.</p><p>1</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>52 Geometria Espacial</p><p>Na translação, temos como resultado uma figura semelhante</p><p>à original, com as mesmas dimensões e o mesmo ângulo em</p><p>relação aos eixos cartesianos, como representado na figura 2</p><p>a seguir.</p><p>Figura 21</p><p>Translação por um vetor</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Com relação aos problemas envolvendo semelhança, também po-</p><p>dem surgir situações em que você precisará reescrever equações de</p><p>figuras geométricas após a aplicação de uma transformação linear.</p><p>Uma vez que na translação há um deslocamento linear das coorde-</p><p>nadas, é como se ocorresse o deslocamento do centro do sistema car-</p><p>tesiano para um novo ponto, com novas variáveis x’ e y’. É essa nova</p><p>coordenada do centro do novo sistema cartesiano que utilizaremos para</p><p>reescrever a equação de uma figura geométrica que será transladada.</p><p>Para aplicar a translação, basta substituir x e y por</p><p>x x x</p><p>y y y</p><p>0</p><p>0</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>, em</p><p>que (x0, y0) são as coordenadas do novo centro do novo sistema carte-</p><p>siano, conforme mostra a figura a seguir.</p><p>Cr</p><p>ea</p><p>te</p><p>d</p><p>by</p><p>G</p><p>eo</p><p>Ge</p><p>br</p><p>a</p><p>Figura 22</p><p>Representação</p><p>da translação dos</p><p>eixos cartesianos</p><p>Fonte: Elaborada pela autora.</p><p>Para elaborar a Figura 21,</p><p>foi utilizada a função</p><p>translação por um vetor</p><p>no GeoGebra.</p><p>2</p><p>Cônicas, semelhança e homotética 53</p><p>A translação pode ser aplicada da mesma maneira na equação de</p><p>figuras geométricas – por exemplo, nas cônicas, em que basta aplicar</p><p>as equações de translação nas variáveis da sua equação, resultando</p><p>em uma nova equação que representa uma nova cônica semelhante à</p><p>original, mas transladada. O exemplo a seguir esclarece esse conceito.</p><p>Exemplo 8</p><p>Qual é a equação da elipse e’ semelhante à elipse e: x y² ²</p><p>4 9</p><p>1� � , sa-</p><p>bendo que a elipse e’ sofreu uma translação, com o novo centro do</p><p>sistema cartesiano igual a O’ = (3, 2)?</p><p>Resolução</p><p>Para chegar na equação da elipse e’, basta substituir x = x’ + 3 e</p><p>y = y’ + 2 na equação da elipse e. Isso porque as</p>