Resistência dos Materiais

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<p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>PROF. ME. LUCAS NIRO</p><p>REITORIA:</p><p>Dr. Roberto Cezar de Oliveira</p><p>PRÓ-REITORIA:</p><p>Profa. Ma. Gisele Colombari Gomes</p><p>DIRETORIA DE ENSINO:</p><p>Profa. Dra. Gisele Caroline Novakowski</p><p>EQUIPE DE PRODUÇÃO DE MATERIAIS:</p><p>Diagramação</p><p>Revisão textual</p><p>Produção audiovisual</p><p>Gestão</p><p>WWW.UNINGA.BR</p><p>33WWW.UNINGA.BR</p><p>UNIDADE</p><p>01</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................5</p><p>1 TENSÃO ....................................................................................................................................................................6</p><p>1.1 TENSÃO NORMAL .................................................................................................................................................8</p><p>1.2 TENSÃO DE CISALHAMENTO ............................................................................................................................ 10</p><p>1.3 TENSÃO DE ESMAGAMENTO ............................................................................................................................ 12</p><p>1.4 TENSÃO ADMISSÍVEL ........................................................................................................................................ 12</p><p>1.5 PROJETO DE ACOPLAMENTOS SIMPLES ........................................................................................................ 13</p><p>2 DEFORMAÇÃO ....................................................................................................................................................... 18</p><p>2.1 DEFORMAÇÃO NORMAL .................................................................................................................................... 18</p><p>2.2 DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO.............................................................................................................. 19</p><p>2.3 COMPONENTES CARTESIANOS DA DEFORMAÇÃO .......................................................................................20</p><p>TENSÃO, DEFORMAÇÃO E</p><p>PROPRIEDADES DOS MATERIAIS</p><p>PROF. ME. LUCAS NIRO</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>4WWW.UNINGA.BR</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS ................................................................................................24</p><p>3.1 ENSAIO E DIAGRAMA DE TRAÇÃO E COMPRESSÃO ......................................................................................24</p><p>3.2 O DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO ............................................................................................................25</p><p>3.3 LEI DE HOOKE ....................................................................................................................................................27</p><p>3.4 COEFICIENTE DE POISSON ..............................................................................................................................27</p><p>3.5 O DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO PARA CISALHAMENTO ....................................................................28</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................33</p><p>5WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Bem-vindo(a) à disciplina de Resistência dos Materiais. Nela, você aprenderá os conceitos</p><p>básicos sobre o dimensionamento de vigas, colunas, eixos, vasos de pressão, dentre outros.</p><p>Utilizar-se-ão conceitos de mecânica vetorial, sendo indispensável uma revisão dos</p><p>conteúdos de Mecânica Geral.</p><p>Nesta apostila, serão utilizadas duas casas após a vírgula para solucionar os exemplos.</p><p>Se a terceira casa for um número maior ou igual a cinco, ele será arredondado para cima (por</p><p>exemplo: 3,545 será arredondado para 3,55; 2,678 será arredondado para 2,68); se menor do que</p><p>cinco, será arredo ndado para baixo (por exemplo: 5,984 será arredondado para 5,98; 8,721 será</p><p>arredondado para 8,71).</p><p>A Unidade I desta disciplina abordará: tensão, deformação e propriedade mecânica dos</p><p>materiais. As tensões são tratadas no tópico 1 e aplicadas no dimensionamento de corpos sujeitos</p><p>a forças axiais e tangenciais. No tópico 2, são apresentados os modos de deformação. No tópico</p><p>3, são discutidas as principais propriedades dos materiais, tais como módulo de elasticidade e</p><p>coe� ciente de Poisson, além de se apresentar o ensaio de tração.</p><p>Revisar-se-ão os conceitos de equilíbrio de um ponto material e corpo rígido nos tópicos</p><p>3, 4 e 5, de Hibbeler (2012), além de uma revisão também de Hibbeler (2010) no tópico 1.1.</p><p>Bons estudos!!!</p><p>6WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1 TENSÃO</p><p>Para introduzir o conceito de tensão, é dada uma estrutura sujeita à força externa de</p><p>30kN, aplicada no ponto B (Figura 1), com o objetivo de dimensionar o membro BC.</p><p>Figura 1 – Estrutura. Fonte: Beer et al. (2015).</p><p>Dada a estrutura, é necessário encontrar as forças atuantes nas barras AB e BC. Para</p><p>isso, as forças são representadas em um Diagrama de Corpo Livre (doravante, DCL) no ponto</p><p>material B. Logo, no ponto B, tem-se a força de 30kN e as forças aplicadas na barra AB e BC,</p><p>conforme a Figura 2.</p><p>Figura 2 – DCL da estrutura. Fonte: Beer et al. (2015).</p><p>Aplicando as condições de equilíbrio em B, e , é possível encontrar as</p><p>duas incógnitas e . É necessário decompor nas coordenadas x e y.</p><p>Utilizando , a força é dada por:</p><p>Fazendo , obtém-se que é:</p><p>7WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Sendo assim, foram encontradas as forças aplicadas na estrutura, com intensidade de</p><p>50kN na barra BC e 40kN na barra AB.</p><p>Agora, suponha que se corta a barra BC ao meio em um ponto arbitrário D (Figura 3).</p><p>Como a barra foi seccionada, para se manter o equilíbrio, é necessário aplicar a força interna</p><p>e, em cada seção, essa força tem intensidade d e 50kN. O mesmo ocorrerá na barra AB, com força</p><p>interna de 40kN.</p><p>Figura 3 - Barra seccionada. Fonte: Beer et al. (2015).</p><p>De acordo com Beer et al. (2015), a análise realizada até então não é su� ciente para concluir</p><p>se o corpo irá, ou não, suportar a carga. Para isso, é necessário encontrar qual é a área transversal</p><p>e de� nir o material a ser utilizado. A força interna representa a resultante das forças elementares,</p><p>que se encontram distribuídas em toda a área transversal (Fig ura 4). Essa distribuição é de� nida</p><p>como tensão e pode ser calculada pela divisão da força pela área transversal.</p><p>Figura 4 - De� nição de tensão. Fonte: Beer et al. (2015).</p><p>Para dimensionar a barra BC, é necessário que a tensão do material seja maior do que a</p><p>tensão aplicada pelo carregamento externo.</p><p>A tensão não ocorre apenas na direção normal da superfície, mas, também, nas direções</p><p>do plano. Na Figura 5, é possível veri� car que a força resultante do corpo pode ser decomposta</p><p>nas direções x, y e z.</p><p>Há outras formas de se resolver o problema estático da Figura 1. Verifi que no livro</p><p>Mecânica dos Materiais, de Beer et al., em que os autores apresentam outras duas</p><p>formas para solucionar o equilíbrio de forças.</p><p>8WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 5 - Estado geral de tensão. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Decompondo em coordenadas retangulares , e , a força é perpendicular</p><p>à área e causará tensão normal ao corpo, enquanto e agem no plano da área e exercem</p><p>tensão cisalhante (HIBBELER, 2010). Dividindo-se cada uma das forças pela área aplicada, têm-</p><p>se as equações 1, 2 e 3 para a tensão:</p><p>(1)</p><p>(2)</p><p>(3)</p><p>1.1 Tensão Normal</p><p>Sempre que uma força agir perpendicularmente à área , ocorrerá uma tensão normal</p><p>ao plano. Conforme se vê na Figura 6, nem sempre a tensão será distribuída de forma uniforme,</p><p>o que resulta</p><p>Fórmula da Flexão</p><p>A fórmula da � exão relaciona a distribuição de tensão longitudinal com o momento</p><p>� etor interno. Veri� que, por meio da Figura 4a, que ocorre uma variação linear na deformação</p><p>norma e, por consequência, há uma variação linear da tensão normal (Figura 4b). Então, tanto a</p><p>tensão quanto a deformação variam de um valor zero, no eixo neutro, até um valor máximo, que</p><p>ocorrerá em c, que é a distância mais afastada do eixo neutro.</p><p>69WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 4 - (a) Distribuição de deformação; (b) distribuição de tensão. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A fórmula de � exão é dada por:</p><p>(1)</p><p>tensão normal máxima.</p><p>momento interno resultante.</p><p>distância perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado do eixo neutro.</p><p>momento de inércia da área na seção transversal.</p><p>A equação 1 apresenta sempre a maior tensão normal causada por � exão. Uma alternativa</p><p>é a equação 2, que calcula a tensão por � exão em qualquer distância y da linha neutra.</p><p>(2)</p><p>Como se pode ver nas equações 1 e 2, o cálculo da � exão é relativamente simples; porém,</p><p>os termos M e I requerem uma atenção especial. O termo M é o momento � etor interno do corpo.</p><p>Para se obtê-lo, utilizar-se-á neste livro do método das áreas. Existem outros métodos, como o</p><p>das seções. Utilize o método com que você tem mais a� nidade. A convenção de sinais para força</p><p>cortante e momento � etor é apresentada na Figura 5.</p><p>Figura 5 - Convenção de sinal para força cortante e momento � etor. Fonte: Hibbeler (2011).</p><p>70WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Basicamente, o método das áreas relaciona a força cortante com carga aplicada (equações</p><p>3 e 4) e força cortante com momento � etor (equações 5 e 6):</p><p>(3)</p><p>(4)</p><p>(5)</p><p>(6)</p><p>O termo I é o momento de inércia da área da seção transversal e, para o seu cálculo, será</p><p>utilizada a Figura 6, que traz as formas geométricas mais comuns. É possível resolver problemas</p><p>com � guras compostas, que são a junção dessas formas geométricas. O método será apresentado</p><p>nos exemplos, tendo em vista que é prático.</p><p>Figura 6 - Momentos de inércia da área transversal. Fonte: Hibbeler (2011).</p><p>O site www.aprenderengenharia.com.br/viga-online é uma ferra-</p><p>menta muito útil: resolve vigas, apresenta o método detalhado das</p><p>seções, o diagrama de esforço cortante e momento fl etor.</p><p>71WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 1</p><p>Determine a tensão de � exão máxima absoluta no eixo de 30 mm de diâmetro, que está</p><p>sujeito às forças concentradas. Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais.</p><p>Figura 7 - Exemplo 1. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para encontrar as reações de apoio, são utilizadas as condições de equilíbrio em um</p><p>diagrama de corpo livre (Figura 8).</p><p>Figura 8 - Diagrama de corpo livre (exemplo 1). Fonte: O autor.</p><p>Agora, será realizado o diagrama de esforço cortante. Começa-se do lado esquerdo, indo</p><p>para o lado direito. O corpo será analisado em 3 seções: a primeira, antes de ; a segunda,</p><p>entre e ; e, por último, após . Na primeira seção, a única força aplicada é a de -600N. Na</p><p>segunda seção, tem-se a força de -600N e , a força resultante é de 200N. Na última seção, tem-</p><p>se a soma de -600N, e , com intensidade de 400N.</p><p>72WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 9 - Diagrama esforço cortante (exemplo 1). Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Agora, deve-se encontrar o diagrama de momento � etor. Para isso, será utilizada a</p><p>equação 6, que, apesar de parecer complexa, não se faz necessário calcular a integral já que se</p><p>pode calcular a área do esforço cortante da seção analisada.</p><p>Começa-se do lado esquerdo (antes de ). Como não há nenhum momento aplicado</p><p>na extremidade esquerda, pode-se dizer que . E a variação do momento é dada pela área</p><p>azul da Figura 9.</p><p>Como a integral de uma constante é uma reta, o momento � etor, na primeira seção, é</p><p>uma reta que vai de até .</p><p>Fazendo o mesmo procedimento para a segunda seção, agora, a área que se calcula é a</p><p>área alaranjada da Figura 9.</p><p>Novamente, como o esforço cortante era uma constante, o resultado do momento � etor é</p><p>uma reta que decresce de até .</p><p>73WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para a última seção, o mesmo procedimento é aplicado. Veri� que que, como não há</p><p>nenhum momento aplicado na extremidade direita, o momento deve ser zero.</p><p>Aplicando-se todas essas informações, constrói-se o diagrama apresentado na Figura 10.</p><p>Figura 10 - Diagrama de momento � etor (exemplo 1). Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>O momento de inércia para um círculo é dado por:</p><p>Aplicando a equação 1 para encontrar a tensão por � exão máxima, utilizando o momento</p><p>� etor máximo de 480N:</p><p>Exemplo 2</p><p>A viga é composta por três tábuas de madeira pregadas, como mostra a Figura 11. Se o</p><p>momento que age na seção transversal for M = 1,5 kN.m, determine a tensão de � exão máxima</p><p>na viga. Faça um rascunho de uma vista tridimensional da distribuição de tensão que age na</p><p>seção transversal.</p><p>74WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 11 – Exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Nesse caso, tem-se uma viga composta assimétrica em relação ao eixo y. Para encontrar</p><p>o seu centroide e momento de inércia, a viga é dividida em três formas geométricas conhecidas,</p><p>como apresenta a Figura 12.</p><p>Figura 12 - Viga composta (exemplo 2). Fonte: O autor.</p><p>75WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>A Tabela 1, com a base e a altura de cada um desses retângulos, é formada com dados da</p><p>Figura 12.</p><p>Peça 1 2 3</p><p>b 0,15 0,025 0,25</p><p>h 0,038 0,3 0,038</p><p>Tabela 1 - Bases e alturas (exemplo 2). Fonte: O autor.</p><p>A Tabela 2 é realizada para determinar o centroide da viga. Ela deve conter a área de cada</p><p>� gura, ỹ que é a distância entre uma linha de referência até o centroide da forma geométrica</p><p>analisada e o produto de ỹ.A.</p><p>Peça A (Área m²) ỹ (m) ỹ.A</p><p>1 5,70E-03 1,90E-02 1,08E-04</p><p>2 7,50E-03 1,88E-01 1,41E-03</p><p>3 9,50E-03 3,57E-01 3,39E-03</p><p>TOTAL 2,27e-02 4,91e-03</p><p>Tabela 2 - Cálculo de centroide (exemplo 2). Fonte: O autor.</p><p>Finalmente, para se obter o momento de inércia da peça, a Tabela 3 é realizada, agora com</p><p>, que é o momento de inércia de cada uma das peças (nesse caso, em todas as componentes,</p><p>foi utilizado o momento de inércia para o retângulo), d que é o módulo da distância entre o</p><p>centroide da � gura completa ( ) menos o centroide de cada peça ( ), o produto e � nalmente</p><p>. Somando-se todos esses termos, chega-se ao momento de inércia da viga.</p><p>Peça A (Área m²)</p><p>,</p><p>d(|ӯ-ỹ |) d².A Iyy+d².A</p><p>1 5,70E-03 6,86E-07 1,97E-01 2,22E-04 2,23E-04</p><p>2 7,50E-03 5,63E-05 2,83E-02 6,00E-06 6,23E-05</p><p>3 9,50E-03 1,14E-06 1,41E-01 1,88E-04 1,89E-04</p><p>Total 2,27e-02 4,74E-04</p><p>Tabela 3 - Cálculo de momento de inércia (exemplo 2). Fonte: O autor.</p><p>O momento de inércia da viga é . Aplicando a equação 1 para</p><p>encontrar a tensão máxima, a linha neutra se encontra no centroide em , a maior distância</p><p>c é de :</p><p>76WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 3</p><p>Se a viga da Figura 13 tiver a seção transversal mostrada na Figura 14, determine a tensão</p><p>de � exão máxima absoluta na viga.</p><p>Figura 13 - Exemplo 3. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Figura 14 - Per� l viga (exemplo 3). Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Realizando o diagrama de corpo livre para a viga, chega-se à Figura 15:</p><p>Figura 15 - Diagrama de corpo livre (exemplo 3). Fonte: O autor.</p><p>77WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Resolvendo as condições de equilíbrio:</p><p>Agora, é realizado o diagrama de</p><p>esforço cortante. O corpo é dividido em três seções: até</p><p>o apoio A, entre A e C, e de C até B. Agora, como há uma carga distribuída na primeira seção, é</p><p>necessário utilizar a equação 4. Como não há nenhuma força na extremidade esquerda da viga,</p><p>, e a variação é igual à área da carga, ou seja, 30000 vezes a distância de 1,5:</p><p>Na segunda seção, não há cargas distribuídas; somente a resultante do carregamento e a</p><p>reação . Portanto , que se mantém até o início do carregamento na</p><p>seção três.</p><p>Na última seção, o procedimento é análogo ao primeiro. Veri� que que a relação está</p><p>na extremidade direita da viga; sendo assim, o esforço cortante deve ser igual a .</p><p>78WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 16 - Diagrama de esforço cortante (exemplo 3). Fonte: O autor.</p><p>Finalmente, constrói-se o diagrama de momento � etor. Começa-se do lado esquerdo</p><p>(primeira seção). Como não há nenhum momento aplicado na extremidade esquerda, pode-se</p><p>dizer que . E a variação do momento é dada pela área azul da Figura 16.</p><p>Como a integral de uma reta é uma parábola, o momento � etor na primeira seção é uma</p><p>parábola que vai de até .</p><p>Fazendo o mesmo procedimento para a segunda seção, agora, a área que se calcula é a</p><p>área alaranjada da Figura 6.</p><p>Como o esforço cortante é uma constante, o resultado do momento � etor é uma reta que</p><p>decresce de até .</p><p>79WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para a última seção, o mesmo procedimento é aplicado. Veri� que que, como não há</p><p>nenhum momento aplicado na extremidade direita, o momento deve ser zero. O problema é</p><p>que o esforço cortante agora é dividido em dois triângulos menores. Para calcular essa área, é</p><p>necessário encontrar a distância x que separa ambos. Para tal:</p><p>Utilizando a equação de variação do momento:</p><p>Como a força cortante é uma reta, o momento deve ser uma parábola. Ocorre que</p><p>houve uma mudança de sinal na força cortante, o que signi� ca que há um ponto de máximo</p><p>ou de mínimo, e esse ponto ocorre justamente em . Para encontrá-lo, basta utilizar a</p><p>equação de variação do momento no primeiro triângulo; logo:</p><p>Com todas as informações, o diagrama de momento � etor é dado pela Figura 17.</p><p>O resultado não dá zero devido à aproximação utilizada. Perceba que, se mais ca-</p><p>sas decimais forem utilizadas, como 0,41666, o resultado já é bem mais próximo</p><p>de zero.</p><p>Sempre que ocorre uma mudança de sinal no esforço cortante, como se vê na</p><p>região verde da Figura 16, tem-se um ponto de máximo e mínimo do momento</p><p>fl etor. Isso ocorre, pois o esforço cortante é a derivada do momento fl etor e, pela</p><p>defi nição de cálculo, um ponto máximo ocorre sempre que .</p><p>80WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 17 - Diagrama de momento � etor (exemplo 3). Fonte: O autor.</p><p>A viga em corte pode ser separada, conforme a Figura 18.</p><p>Figura 18 - Viga dividida (exemplo 3). Fonte: O autor.</p><p>Os comprimentos das bases e das alturas estão na Tabela 4. Como o corpo é simétrico em</p><p>y, o centroide é exatamente no centro da viga, ou seja, em .</p><p>Peça 1 2 3</p><p>b 0,1 0,006 0,1</p><p>h 0,012 0,168 0,012</p><p>Tabela 4 - Base e altura (exemplo 3). Fonte: O autor.</p><p>81WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Realizando a Tabela 5 do momento de inércia, chega-se em:</p><p>Peça A (Área m²) Iyy d(|ӯ-ỹ |) d².A Iyy+d².A</p><p>1 1,20E-03 1,44E-08 9,00E-02 9,72E-06 9,73E-06</p><p>2 1,01E-03 2,37E-06 1,39E-17 1,94E-37 2,37E-06</p><p>3 1,20E-03 1,44E-08 9,00E-02 9,72E-06 9,73E-06</p><p>Total 3,41E-03 2,18E-05</p><p>Tabela 5 - Cálculo de momento de inércia (exemplo 3). Fonte: O autor.</p><p>O momento de inércia em relação a y é . Após todos os cálculos, o</p><p>momento máximo da viga é 30000N e a distância c é 96mm.</p><p>2 CISALHAMENTO TRANSVERSAL</p><p>2.1 Cisalhamento em Elementos Retos</p><p>Vigas geralmente suportam carga por momento � etor e por cisalhamento. O cisalhamento</p><p>é resultado da distribuição de tensões que agem na área transversal do corpo (Figura 19).</p><p>Entretanto, se um elemento for analisado, além da tensão de cisalhamento transversal, também</p><p>ocorre tensão na direção longitudinal devido à propriedade complementar do cisalhamento.</p><p>Figura 19 - Tensão de cisalhamento. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para exempli� car como ocorre o cisal hamento longitudinal, é aplicada uma carga P em</p><p>uma viga composta por três tabuas lisas soltas (Figura 19a). A carga P fará com que a viga sofra</p><p>de� exão e com que as tábuas deslizem umas sobre as outras. Repetindo-se o mesmo experimento,</p><p>mas com tábuas coladas (Figura 19b), a tensão de cisalhamento longitudinal impedirá que uma</p><p>superfície deslize sobre a outra.</p><p>82WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 20 - (a) Cisalhamento em tábuas soltas; (b) cisalhamento em tábuas coladas. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Como resultado da tensão de cisalhamento, ocorrerá o desenvolvimento de tensões de</p><p>deformação, e a seção transversal distorcerá de maneira complexa. Isso pode ser visto quando,</p><p>dado um corpo não deformado (Figura 21a), aplicando-se a ele uma carga de cisalhamento,</p><p>acontecerá a deformação (Figura 21b). Essa distribuição não uniforme resulta em uma seção</p><p>transversal não plana.</p><p>Figura 21 - (a) Corpo não deformado; (b) corpo deformado por cisalhamento. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Quando vigas são submetidas à � exão, uma das hipóteses era justamente considerar que</p><p>a área da seção transversal é plana. Porém, como foi visto, quando há � exão e cisalhamento,</p><p>ocorrerá a distorção da seção. Mas, na maioria dos casos, pode-se considerar que as distorções</p><p>são pequenas e podem ser desprezadas.</p><p>2.2 A Fórmula do Cisalhamento</p><p>Para os casos de carga axial, torção e � exão, foram desenvolvidas fórmulas simples</p><p>para cada um dos casos. Porém, a análise do cisalhamento transversal, por vezes, pode ser bem</p><p>complexa. A equação do cisalhamento, de forma mais compacta, é dada por:</p><p>(7)</p><p>tensão de cisalhamento no elemento, no ponto localizado a uma distância y’ do eixo</p><p>neutro.</p><p>força de cisalhamento interna resultante.</p><p>momento de inércia da área transversal inteira.</p><p>largura da área da seção transversal do elemento.</p><p>sendo A’ a porção superior (ou inferior) da área da seção</p><p>transversal do elemento, de� nido pela seção, em que t é medida e é a distância até o centr oide</p><p>de A’, medido em relação ao eixo neutro.</p><p>83WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.3 Tensões de Cisalhamento em Vigas de Seção Transversal Retangular</p><p>Para melhorar a percepção sobre a fórmula de cisalhamento, será estudada a viga de</p><p>seção transversal retangular que possua uma altura h e largura b. O termo Q será analisado. Para</p><p>isso, a viga é dividida ao meio, e o cisalhamento será calculado em uma altura arbitrária y.</p><p>A área A’ é calculada pela área formada acima da distância y . É a distância</p><p>do eixo neutro até o centroide de A’; então, . Portanto, o termo Q é escrito por:</p><p>Figura 22 - (a) Viga de seção retangular; (b) área de cisalhamento. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Substituindo o Q na equação 7, I pelo momento de inércia da Figura 6 e t = b, chega-se</p><p>no cisalhamento para vigas de seção transversal:</p><p>Simpli� cando, obtém-se a distribuição da tensão de cisalhamento na seção transversal:</p><p>(8)</p><p>A distribuição varia de zero até à maior distância do eixo neutro possível, em que se tem</p><p>o máximo valor de Q. Para esse caso, . Substituindo na equação 8, obtém-se</p><p>a tensão de cisalhamento máxima, que é dada por:</p><p>(9)</p><p>84WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.4 Tensões de Cisalhamento para Eixos Maciços</p><p>Um equacionamento de cisalhamento para um eixo maciço é obtido pelas equações da</p><p>área e centroide de um semicírculo da Figura 6. Para se obter o coe�</p><p>ciente Q:</p><p>O momento de inércia para uma circunferência é obtido na Figura 6, e a espessura da</p><p>seção é . Substituindo na equação 7:</p><p>Simpli� cando, obtém-se a distribuição da tensão de cisalhamento máximo na seção</p><p>transversal para o eixo maciço:</p><p>(10)</p><p>Exemplo 4</p><p>Se a viga de abas largas for submetida a um cisalhamento V = 125 kN, determine a tensão</p><p>de cisalhamento máxima na viga.</p><p>Figura 23 - Exemplo 4. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>85WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Dividindo-se o corpo em seções (Figura 24):</p><p>Figura 24 - Viga (exemplo 4). Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Como a � gura é simétrica no eixo y, a centroide se encontra exatamente em seu centro.</p><p>Na tabela 6 a seguir, são apresentadas as bases e as alturas de cada peça.</p><p>Peça 1 2 3</p><p>b 0,2 0,025 0,2</p><p>h 0,025 0,25 0,025</p><p>Tabela 6 - Bases e alturas (exemplo 4). Fonte: O autor.</p><p>O momento de inércia da viga composta é obtido pela Tabela 7:</p><p>Peça A (Área m²) Iyy d(|ӯ-ỹ |) d².A Iyy+d².A</p><p>1 5,00E-03 2,60E-07 1,38E-01 9,45E-05 9,48E-05</p><p>2 6,25E-03 3,26E-05 2,78E-17 4,81E-36 3,26E-05</p><p>3 5,00E-03 2,60E-07 1,38E-01 9,45E-05 9,48E-05</p><p>Total 1,63E-02 2,22E-04</p><p>Tabela 7 - Cálculo de momento de inércia (exemplo 4). Fonte: O autor.</p><p>Para se obter o valor de Q , o procedimento é o mesmo do cálculo do centroide.</p><p>Mas, agora, a viga é seccionada ao meio, na linha neutra (Figura 25).</p><p>86WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 25 - Viga secionada. Fonte: O autor.</p><p>A Tabela 8 apresenta as bases e as alturas para cada uma das peças:</p><p>Peça 1 2</p><p>b 0,025 0,2</p><p>h 0,125 0,025</p><p>Tabela 8 - Bases e alturas (exemplo 4). Fonte: O autor.</p><p>É realizada a Tabela 9 para o cálculo do centroide. O termo Q é a soma total da última</p><p>coluna:</p><p>Peça A (Área m²) ỹ (mm) Q=ỹ.A</p><p>1 3,13E-03 6,25E-02 1,95E-04</p><p>2 5,00E-03 1,38E-01 6,88E-04</p><p>Total 8,13E-03 8,83E-04</p><p>Tabela 9 - Cálculo de Q (exemplo 4). Fonte: O autor.</p><p>A espessura do eixo neutro é de 25mm. Por meio da equação 7, encontra-se o cisalhamento</p><p>aplicado à viga:</p><p>87WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 5</p><p>A viga T está sujeita ao carregamento mostrado na � gura. Determine a tensão de</p><p>cisalhamento transversal máxima na seção crítica da viga.</p><p>Figura 26 - Viga (exemplo 5). Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Figura 27 - Seção transversal (exemplo 5). Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Aplicando-se as condições de equilíbrio no diagrama de corpo livre da Figura 28:</p><p>Figura 28 - Diagrama de corpo livre (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>88WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para realizar o diagrama de esforço cortante, a viga será dividida em três seções: a</p><p>primeira, antes da força de 20kN; a segunda, entre as forças de 20kN e a carga distribuída; e a</p><p>última seção na carga distribuída.</p><p>Na primeira seção, há somente a força , sendo aplicada, então, . Na</p><p>segunda seção, há a soma da força à força de 20kN; portanto, . Na última</p><p>seção, como há carga distribuída, deve-se utilizar a equação 4.</p><p>Construindo o diagrama de esforço corta nte com as informações obtidas, obtém-se:</p><p>Figura 29 - Diagrama de esforço cortante (exemplo 5). Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para calcular o centroide e o momento de inércia da viga, é apresentado o per� l da viga</p><p>(Figura 30).</p><p>89WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 30 - Viga em per� l (exemplo 5). Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>As bases e as alturas são apresentadas na Tabela 10:</p><p>Peça 1 2</p><p>b 0,02 0,1</p><p>h 0,1 0,02</p><p>Tabela 10 - Bases e alturas (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>O centroide é calculado pela Tabela 11:</p><p>Peça A (Área m²) ỹ (mm) ỹ.A</p><p>1 2,00E-03 5,00E-02 1,00E-04</p><p>2 2,00E-03 1,10E-01 2,20E-04</p><p>Total 4,00E-03 3,20E-04</p><p>Tabela 11 - Cálculo do centroide (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>O momento de inércia é obtido pela Tabela 12:</p><p>Peça A (Área m²) Iyy d(|ӯ-ỹ |) d².A Iyy+d².A</p><p>1 2,00E-03 1,67E-06 3,00E-02 1,80E-06 3,47E-06</p><p>2 2,00E-03 6,67E-08 3,00E-02 1,80E-06 1,87E-06</p><p>Total 5,33E-06</p><p>Tabela 12 - Cálculo do momento de inércia (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>90WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Agora, para calcular o elemento do qual o corpo deve ser separado no centroide, é visível</p><p>que o cisalhamento máximo ocorrerá acima do eixo neutro, portanto, cortando a peça:</p><p>Figura 31 - Viga seccionada (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>As bases e alturas são apresentadas na Tabela 13:</p><p>Peça 1 2</p><p>b 0,02 0,1</p><p>h 0,02 0,02</p><p>Tabela 13 - Bases e alturas (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>O elemento Q é calculado pela Tabela 14:</p><p>Peça A (Área m²) ỹ (mm) Q=ỹ.A</p><p>1 4,00E-04 1,00E-02 4,00E-06</p><p>2 2,00E-03 3,00E-02 6,00E-05</p><p>Total 2,40E-03 6,40E-05</p><p>Tabela 14 - Cálculo de Q (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>A espessura do eixo neutro é de 20mm. A força cisalhante máxima tem intensidade de</p><p>. Pela equação 7, encontra-se o cisalhamento aplicado à viga:</p><p>91WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3 CARGAS COMBINADAS</p><p>Neste tópico, discutir-se-á o dimensionamento de vasos de pressão, os quais são utilizados</p><p>em caldeiras, tanques, reservatórios, dentre outros casos nas indústrias.</p><p>3.1 Vasos de Pressão de Paredes Finas</p><p>Quando vasos cilíndricos ou esféricos trabalham sob pressão, o material é submetido a</p><p>cargas de todas as direções, como se visualiza na Figura 32. Uma análise simpli� cada pode ser</p><p>feita utilizando-se a hipótese de que o vaso possua paredes � nas. Considera-se parede � na quando</p><p>o raio interno no vaso é, pelo menos, dez vezes maior do que a espessura da parede ( ).</p><p>Figura 32 - Cargas aplicadas em todas as direções. Fonte: Gere (2003).</p><p>Os tipos mais comuns de vasos de pressão são apresentados na Figura 33: 33a, vaso</p><p>esférico; e 33b e 33c, que são, respectivamente, vasos cilíndricos verticais e horizontais.</p><p>Figura 33 - (a) Vaso esférico; (b) Vaso cilíndrico vertical; (c) Vaso cilíndrico horizontal. Fonte: Gere (2003).</p><p>Para o dimensionamento do vaso de pressão cilíndrico apresentado em 34a, serão</p><p>realizados dois cortes na estrutura, como se vê nas Figuras 34b e 34c.</p><p>92WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 34 - (a) Vaso de pressão cilíndrico; (b) vaso cilíndrico com vista em corte; (c) diagrama de corpo Livre. Fonte:</p><p>Gere (2003).</p><p>A partir da de� nição de tensão e pressão, pode-se chegar às duas tensões; sendo assim,</p><p>tem-se a equação 11, que é a tensão na direção da circunferencial, e a equação 12, que é a tensão</p><p>na direção longitudinal.</p><p>(11)</p><p>(12)</p><p>tensão normal na direção circunferencial.</p><p>tensão normal na direção longitudinal.</p><p>pressão manométrica interna desenvolvida pelo � uido.</p><p>raio interno do cilindro.</p><p>espessura da parede ( ).</p><p>A análise para a esfera é análoga à do cilindro. Como a esfera é uniforme, toda a sua</p><p>tensão será longitudinal; logo, basta utilizar a equação 12.</p><p>Figura 35 - (a) Vaso de pressão esférico; (b) vaso esférico com vista em corte; (c) diagrama de corpo Livre. Fonte:</p><p>Gere (2003)</p><p>93WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 6 (adaptado de Hibbeler (2010))</p><p>Um tanque esférico de gás tem raio interno r = 1,5 m. Se for submetido a uma pressão</p><p>interna p = 300 kPa, determine a espessura exigida para que a tensão normal máxima não</p><p>ultrapasse 12 MPa.</p><p>Aplicando-se a equação 12 para tensões longitudinais:</p><p>Exemplo 7 (adaptado de Hibbeler (2010))</p><p>O tanque do compressor de ar está sujeito a uma pressão interna de 0,63 MPa. Se o diâmetro</p><p>interno do tanque for 550 mm e a espessura da parede for 6 mm, determine as componentes da</p><p>tensão que age no ponto A. Desenhe um elemento de volume do material nesse ponto e mostre</p><p>os resultados no elemento.</p><p>Figura 35 - Exemplo 7. Fonte: Hibbeler 2010.</p><p>Aplicando</p><p>as equações 11 e 12:</p><p>O estado de tensão causado por cargas combinadas pode ser determinado para</p><p>problemas mais complexos. Leia a seção 8.2 de Hibbeler (2010) para exemplos.</p><p>94WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Caro(a) aluno(a), chegamos ao � m da Unidade III. Aprofundamo-nos no estudo de vigas</p><p>e eixos e, para isso, foram desenvolvidas equações para a � exão e o cisalhamento transversal. Ao</p><p>� nal, foram apresentados problemas em que ocorrem cargas combinadas. O estudo na apostila</p><p>� cou restrito ao caso de vasos de pressão, mas procure nas referências mais situações em que</p><p>essas ocorrem.</p><p>9595WWW.UNINGA.BR</p><p>UNIDADE</p><p>04</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................97</p><p>1. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO ..........................................................................................................................98</p><p>1.1 TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO ......................................................................................................98</p><p>1.2 EQUAÇÕES GERAIS DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO ............................................................99</p><p>1.3 TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO ............................................100</p><p>1.4 CÍRCULO DE MOHR – TENSÃO NO PLANO ..................................................................................................... 101</p><p>2. TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO ..............................................................................................................108</p><p>2.1 DEFORMAÇÃO PLANA .......................................................................................................................................108</p><p>2.2 ROSETAS ............................................................................................................................................................ 113</p><p>2.3 RELAÇÃO ENTRE PROPRIEDADES DOS MATERIAIS .................................................................................... 117</p><p>3. CONCENTRADORES DE TENSÃO ....................................................................................................................... 119</p><p>TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO, CRITÉRIO DE</p><p>FALHA E CONCENTRADORES DE TENSÃO</p><p>PROF. ME. LUCAS NIRO</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>96WWW.UNINGA.BR</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3.1 CONCENTRADORES DE TENSÃO PARA CARGAS AXIAIS .............................................................................. 119</p><p>3.2 CONCENTRADORES DE TENSÃO PARA TORÇÃO .......................................................................................... 121</p><p>3.3 CONCENTRADORES DE TENSÃO PARA FLEXÃO ........................................................................................... 121</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................................................................................... 127</p><p>97WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Nesta última unidade, serão apresentadas as transformações de tensão, os critérios de</p><p>falhas e os concentradores de tensão.</p><p>Transformações de tensões possibilitam a mudança de componentes associados a um</p><p>sistema de coordenadas a outro, com orientação diferente. Isso possibilita o desenvolvimento de</p><p>equações para se obterem as tensões normal e de cisalhamento máximas em um ponto e para</p><p>determinar a orientação do elemento em que essas tensões são aplicadas. A análise � cará restrita</p><p>ao estado plano de tensões, que é o mais utilizado na Engenharia.</p><p>Em critérios de falha, serão desenvolvidos métodos para estabelecer quais máximas</p><p>tensões podem ser aplicadas a um determinado material. Serão desenvolvidos dois métodos</p><p>para materiais dúcteis (Critério de Tresca e de Von Mises) e dois métodos para materiais frágeis</p><p>(Teoria da tensão normal máxima e Critério de Mohr).</p><p>Em concentradores de tensões, são analisados problemas de carga axial, torção e � exão,</p><p>quando ocorre uma mudança brusca no per� l do corpo analisado. Os concentradores são</p><p>indispensáveis em projetos com materiais frágeis e projetos com cargas dinâmicas, pois são</p><p>sempre um ponto crítico para falhas.</p><p>Bons estudos!!!</p><p>98WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO</p><p>A transformação de tensão é uma ferramenta muito importante para a Engenharia já</p><p>que, por meio dela, serão desenvolvidas equações para os planos principais de tensão normal e</p><p>de cisalhamento.</p><p>Neste tópico, discutir-se-á o que são tensões no plano, as equações gerais de transformação</p><p>de tensão e de tensões máximas e mínimas.</p><p>1.1 Transformação de Tensão no Plano</p><p>Em um estado geral de tensão, tem-se seis componentes, sendo três componentes de</p><p>tensão normal e três componentes de tensão cisalhante (Figura 1a). Entretanto, esse estado de</p><p>tensão é pouco utilizado na prática já que os projetistas optam por analisar o estado de tensão</p><p>em um único plano. As tensões no plano são denominadas de estado plano de tensões e são</p><p>representadas pela Figura 1b.</p><p>O estado geral de tensão no plano é composto pelas tensões normais e e pela</p><p>tensão de cisalhamento</p><p>O estado geral de tensão no plano é composto pelas tensões normais</p><p>, que são aplicadas nas quatro faces do cubo. Por conveniência, é</p><p>comum representar esse estado no plano x-y (Figura 1c).</p><p>Figura 1 – (a) Estado geral de tensão; (b) estado plano de tensões; (c) estado plano de tensões em x-y. Fonte: Hi-</p><p>bbeler (2010).</p><p>Segundo Hibbeler (2010), um estado plano de tensões em um ponto é de� nido por um</p><p>elemento que possui uma orientação especi� ca e sujeito às três componentes ,</p><p>Segundo Hibbeler (2010), um estado plano de tensões em um ponto é de� nido por um</p><p>e</p><p>Segundo Hibbeler (2010), um estado plano de tensões em um ponto é de� nido por um</p><p>; sendo assim, as componentes das Figuras 2a e 2b, para que ambos sejam equivalentes, são</p><p>diferentes.</p><p>99WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 2 – (a) Plano de tensões; (b) plano de tensões inclinado. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.2 Equações Gerais de Transformação de Tensão no Plano</p><p>É possível encontrar as componentes do plano de tensão utilizando trigonometria. É</p><p>interessante de� nir equações genéricas, que podem ser aplicadas na maioria dos casos. Pelas</p><p>equações 1, 2 e 3, encontram-se, respectivamente, a tensão inclinada no eixo inclinado x (</p><p>interessante de� nir equações genéricas, que podem ser aplicadas na maioria dos casos. Pelas</p><p>),</p><p>no eixo y (</p><p>equações 1, 2 e 3, encontram-se, respectivamente, a tensão inclinada no eixo inclinado x (</p><p>) e a tensão de cisalhamento ( ).</p><p>(1)</p><p>(2)</p><p>(3)</p><p>Para se utilizarem essas equações, é necessário de� nir uma convenção de sinais para</p><p>cada grandeza. Basicamente, as tensões normais são consideradas positivas sempre que apontam</p><p>para fora das faces do cubo e negativas, quando apontam para dentro do cubo. E as tensões</p><p>de cisalhamento são positivas sempre que o vetor da face direita aponta para cima e negativas,</p><p>quando aponta para baixo. A convenção positiva é apresentada na Figura 3a. A grandeza angular</p><p>é de� nida pela regra da mão direita, ou seja, sempre que o plano girar no sentido anti-horário, ele</p><p>é positivo, conforme se visualiza na Figura 3b.</p><p>100WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 3 - (a) Componentes positivas; (b) ângulo positivo. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.3 Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano</p><p>As componentes do estado plano de tensão dependem da inclinação do plano. Sendo</p><p>assim, muitas vezes, é interessante encontrar qual o ângulo que proporciona as maiores e menores</p><p>tensões para o plano.</p><p>Para se obter a tensão normal máxima, basta derivar a equação 1 em relação ao ângulo</p><p>e igualá-la a zero. Logo, obtém-se:</p><p>(4)</p><p>Substituindo a equação 4 na equação 1 e utilizando propriedades trigonométricas, chega-</p><p>se às tensões principais do plano:</p><p>(5)</p><p>As duas soluções da equação 5 são, respectivamente, as tensões normais máxima e mínima</p><p>e</p><p>As duas soluções da equação 5 são, respectivamente, as tensões normais máxima e mínima</p><p>. Essa con� guração é denominada de planos principais de tensão, e nenhuma tensão</p><p>de cisalhamento age nos planos principais de tensão.</p><p>A transformação de um plano de tensões para um plano principal de tensões é apresentada</p><p>na Figura 4.</p><p>Figura 4 - Tensões principais no plano. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>101WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para encontrar a tensão de cisalhamento máxima no plano, os passos são basicamente os</p><p>mesmos: primeiro, deriva-se a equação 3 em relação a</p><p>Para encontrar a tensão de cisalhamento máxima no plano, os passos são basicamente os</p><p>e se iguala o resultado a zero. O ângulo</p><p>que proporciona o cisalhamento máximo e mínimo é dado por:</p><p>(6)</p><p>De acordo com Hibbeler (2010), os planos de tensão de cisalhamento máximo podem ser</p><p>encontrados orientando-se o elemento a 45° do plano principal de tensões.</p><p>Feito isso, basta substituir a equação 6 na equação 3 e, assim, obtém-se a tensão cisalhante</p><p>máxima no plano:</p><p>(7)</p><p>Porém, diferentemente do plano principal de tensão, no plano, além de tensões de</p><p>cisalhamento, há também tensão normal, a qual pode ser encontrada substituindo a equação 6</p><p>na equação 1. O resultado é:</p><p>(8)</p><p>1.4 Círculo de Mohr – Tensão no Plano</p><p>Outra forma de representar as equações de transformação de tensão é utilizar uma</p><p>representação grá� ca: o círculo de Mohr (Figura 5). Esse método permite a visualização de todas</p><p>as posições de tensões presentes no problema, além de ser intuitivo.</p><p>Figura 5 - Círculo de Mohr. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Nesse método, serão utilizadas, basicamente, duas equações: a de tensão média, equação</p><p>8, que indica a posição central do círculo; e a equação do raio, que é dada por:</p><p>102WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(9)</p><p>Hibbeler (2010) apresenta um passo-a-passo para a construção do Diagrama de Mohr;</p><p>para isso, tem-se o plano de tensões apresentado na Figura 6.</p><p>Figura 6 - Plano de tensões. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1 – De� nir um sistema de coordenadas: a abscissa representa a tensão normal ( ) e é</p><p>positiva para a direita; a ordenada representa a tensão de cisalhamento (</p><p>1 – De� nir um sistema de coordenadas: a abscissa representa a tensão normal (</p><p>) e é positiva para</p><p>baixo.</p><p>2 – Marcar o centro do círculo C, que está localizado no eixo , a uma distância 2 – Marcar o centro do círculo C, que está localizado no eixo</p><p>da origem (Figura 7).</p><p>3 – Marcar o ponto de referência A( ). Esse ponto representa as componentes de</p><p>tensão aplicadas no elemento da Figura 6.</p><p>4 – Ligue o ponto A ao centro do círculo C e determine a distância AC por trigonometria.</p><p>Essa distância representa o raio R do círculo (Figura 7).</p><p>5 – Uma vez determinado R, desenhe o círculo.</p><p>Para encontrar as tensões principais:</p><p>1 – As tensões principais são representadas pelos pontos B e D. Esses pontos se encontram</p><p>no eixo</p><p>1 – As tensões principais são representadas pelos pontos B e D. Esses pontos se encontram</p><p>, onde</p><p>1 – As tensões principais são representadas pelos pontos B e D. Esses pontos se encontram</p><p>.</p><p>2 – Essas tensões agem nos planos de� nidos por ângulos e . Elas são medidas</p><p>da linha de referência até às linhas CB e CD, respectivamente. Na Figura 7, o ângulo é</p><p>representado por</p><p>da linha de referência até às linhas CB e CD, respectivamente. Na Figura 7, o ângulo</p><p>.</p><p>3 – Os ângulos podem ser encontrados por trigonometria. Vale ressaltar que é necessário</p><p>encontrar somente um desses ângulos já que eles estão a 90° um do outro.</p><p>Para a tensão de cisalhamento máxima no plano:</p><p>1 – As componentes tensão normal e tensão de cisalhamento máxima no plano são</p><p>determinadas pelos pontos E e F da Figura 7.</p><p>2 –Os ângulos</p><p>determinadas pelos pontos E e F da Figura 7.</p><p>e</p><p>determinadas pelos pontos E e F da Figura 7.</p><p>dão as orientações dos planos que contêm essas componentes.</p><p>Elas são medidas da linha de referência até às linhas CE e CF, respectivamente. Na Figura 7, o</p><p>ângulo</p><p>Elas são medidas da linha de referência até às linhas CE e CF, respectivamente. Na Figura 7, o</p><p>é representado por</p><p>Elas são medidas da linha de referência até às linhas CE e CF, respectivamente. Na Figura 7, o</p><p>.</p><p>103WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para as tensões em um plano arbitrário:</p><p>1 – É possível encontrar qualquer plano de tensões especí� co por meio do círculo de</p><p>Mohr, utilizando trigonometria. Por exemplo, veja o ponto P da Figura 7.</p><p>2 – Para encontrar o ponto P, é necessário utilizar</p><p>Mohr, utilizando trigonometria. Por exemplo, veja o ponto P da Figura 7.</p><p>e deve-se manter a mesma direção.</p><p>Figura 7 - Círculo de Mohr detalhado. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Exemplo 1</p><p>O estado de tensão em um ponto é mostrado no elemento. Determine (a) as tensões</p><p>principais e (b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média no ponto.</p><p>Especi� que a orientação do elemento em cada caso.</p><p>Figura 8 - Exemplo 1. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A letra (a) do exercício pede as tensões principais; deve-se especi� car a orientação do</p><p>elemento. Para encontrar as tensões principais, será utilizada a equação 5.</p><p>104WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Pela Figura 8, obtém-se o sentido das tensões , e Pela Figura 8, obtém-se o sentido das tensões</p><p>. Substituindo na equação:</p><p>Agora, são determinados os ângulos para as tensões principais. Utiliza-se a equação 4:</p><p>Para se obter o segundo ângulo, basta somar 90° ao primeiro; sendo assim, .</p><p>Agora, é necessário descobrir em qual plano as tensões principais são aplicadas, com o ângulo Agora, é necessário descobrir em qual plano as tensões principais são aplicadas, com o ângulo</p><p>e as tensões aplicadas na Figura 8, utiliza-se a equação 1.</p><p>(a) e ;</p><p>, e .</p><p>105WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 9 - Tensões principais. Fonte: O Autor.</p><p>A letra (b) pede a tensão média e a tensão máxima de cisalhamento, utilizando as equações</p><p>7 e 8.</p><p>A inclinação é dada pela equação 6:</p><p>Para encontrar , basta somar 90°; logo, . Agora, para veri� car qual o</p><p>ângulo resulta em um cisalhamento positivo, .</p><p>, basta somar 90°; logo,</p><p>, é aplicado na equação 3.</p><p>106WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(b) e ;</p><p>, e .</p><p>Figura 10 - Tensão de cisalhamento máxima no plano e tensão média. Fonte: O autor.</p><p>Exemplo 2</p><p>Obtenha o círculo de Mohr para cada um dos elementos mostrados.</p><p>Figura 11 - Exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Começando pelo elemento (a), serão aplicadas as equações 8 e 9 para se encontrarem o</p><p>centro do círculo e o raio.</p><p>107WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Marca-se o ponto 100kPa como centro e considera-se o raio de 700kPa. As tensões</p><p>apresentadas na Figura 11a são as tensões principais já que não há cisalhamento; sendo assim,</p><p>e</p><p>apresentadas na Figura 11a são as tensões principais já que não há cisalhamento; sendo assim,</p><p>. O círculo de Mohr para esse elemento é apresentado na Figura 12.</p><p>Figura 12 - Círculo de Mohr para o elemento (a). Fonte: O autor.</p><p>Para o elemento (b), o mesmo procedimento é aplicado.</p><p>O círculo de Mohr para esse elemento é apresentado na Figura 13.</p><p>Figura 13 - Círculo de Mohr para o elemento (b). Fonte: O autor.</p><p>108WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO</p><p>A DISTÂNCIA</p><p>E, � nalmente, para o elemento (c).</p><p>O círculo de Mohr para esse elemento é apresentado na Figura 14.</p><p>Figura 14 - Círculo de Mohr para o elemento (c). Fonte: O autor.</p><p>2. TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO</p><p>As deformações assim como as tensões podem ser representadas por três componentes</p><p>normais e três componentes cisalhantes. Para o problema plano será considerado somente a</p><p>deformação na direção em x e em y, bem como a deformação por cisalhamento nesse plano.</p><p>2.1 Deformação plana</p><p>Para iniciarmos o estudo da deformação plana inicialmente será apresentado o efeito</p><p>de cada uma dessas deformações. A Figura 15a apresenta a deformação causada em relação ao</p><p>eixo x, a Figura 15b apresenta a deformação em relação ao eixo y e a Figura 15c apresenta a</p><p>deformação por cisalhamento.</p><p>109WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 15 – Tipos de deformação a) Deformação em x; b) Deformação em y; c) Deformação por cisalhamento.</p><p>Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Quando são analisadas as deformações aplicadas em um corpo é necessário compreender</p><p>que uma tensão em x não necessariamente causará somente uma deformação em x, uma tensão</p><p>irá causar uma modi� cação no tamanho do volume causando dessa forma irá causar deformação</p><p>nos três eixos como pode ser visualizado no elemento não plano da Figura 16. Isso ocorre devido</p><p>ao coe� ciente de Poisson estudado na Unidade I.</p><p>Figura 16 – Elemento deformado. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para análise do plano de deformações, inicialmente será desenvolvido uma convenção de</p><p>sinal para ser utilizada. As deformações normais são positivas quando aumentam o comprimento</p><p>do corpo e negativa quando diminuem, e as deformações por cisalhamento são positivas quando</p><p>o ângulo resultante é menor do que 90° e negativa quando o ângulo é maior de 90°, em si é a</p><p>mesma regra utilizada na Unidade I. Será considerado um ângulo positivo sempre que ocorrer</p><p>rotação no sentido anti-horário, a Figura 17a resume todos os sentidos positivos para o plano de</p><p>deformações, a Figura 17b apresenta a convecção do eixo de coordenadas.</p><p>110WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 17 – Convenção de sinal para deformação: a) elemento plano; b) eixo de coordenadas. Fonte: Hibbeler</p><p>(2010).</p><p>As equações para determinar as deformações normais (equações 10 e 11) e deformação</p><p>por cisalhamento (equação 12) para um ângulo θ qualquer, são apresentadas a seguir, veja que</p><p>elas são similares as equações de transformação de tensão.</p><p>(10)</p><p>(11)</p><p>(12)</p><p>De forma análoga a realizada para a tensão, é possível determinar as deformações</p><p>principais utilizando a equação (13), a sua inclinação é dada pela equação (14)</p><p>(13)</p><p>(14)</p><p>A deformação por cisalhamento máxima é determinada pela equação (15), a componente</p><p>média pela equação (16) e o ângulo em que ela ocorre pela equação (17)</p><p>(15)</p><p>(16)</p><p>(17)</p><p>Como as equações são muito semelhante é possível utilizar o círculo de Mohr para</p><p>representar todas as deformações aplicadas no corpo, o processo é bem semelhante ao apresentado</p><p>para as tensões, para isso é utilizada a equação 18 para o raio e a equação 19 para a deformação</p><p>média.</p><p>111WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(18)</p><p>(19)</p><p>Figura 18 – Círculo de Mohr para deformação. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Exemplo 3 (Hibbeler (2010))</p><p>As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente da engrenagem</p><p>são ,</p><p>As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente da engrenagem</p><p>, e</p><p>As componentes do estado plano de deformação no ponto sobre o dente da engrenagem</p><p>. Use as equações de transformação</p><p>da deformação para determinar (a) as deformações principais no plano e (b) a deformação por</p><p>cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média. Em cada caso, especi� que a</p><p>orientação do elemento e mostre como as deformações distorcem o elemento no plano x-y.</p><p>Pela equação (13) é determinado as deformações principais 1 e 2, conforme é apresentado:</p><p>O equacionamento das transformações de deformação são muito semelhantes</p><p>ao equacionamento das transformações de tensão, logo para facilitar a solução,</p><p>você pode implementar somente uma vez a solução em uma calculadora gráfi ca</p><p>ou em um software como o Excel.</p><p>112WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Resolvendo chega-se em e , os ângulos principais</p><p>são determinados pela equação (14).</p><p>Portanto os ângulos principais são 30,18° e 120,18°, utilizando o</p><p>primeiro ângulo na equação 10, veri� ca-se que a deformação de</p><p>principais são 30,18° e 120,18°, utilizando o</p><p>o corre em</p><p>30,18°.</p><p>A deformação por cisalhamento máxima é determinada pela equação (15), sua</p><p>componente média pela equação (16) e os ângulos de cisalhamento pela equação (17):</p><p>Os ângulos de deformação máxima por cisalhamento são portanto -14,82° e 75,18°. As</p><p>Figuras 19 e 20 representam respectivamente o plano inclinado para as deformações principais e</p><p>para a deformação máxima por cisalhamento.</p><p>Figura 19 – Deformações principais. Fonte: O Autor.</p><p>113WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 20 – Deformação por cisalhamento máxima. Fonte: O Autor.</p><p>2.2 Rosetas</p><p>Na de� nição do ensaio tensão deformação, foi apresentado os extensômetros para medir</p><p>a deformação de um corpo. Mas em um de uma carga geral aplicada a um corpo as deformações</p><p>são determinadas por um conjunto de três resistências, seguindo um padrão especí� co, e uma</p><p>vez conhecendo a leitura de cada um dos extensômetros é possível determinar o estado plano de</p><p>deformação.</p><p>A Figura 21 apresenta uma roseta com posições genéricas, dado que as deformações mas</p><p>rosetas são conhecidas bem como as posições angulares das rosetas, chega-se em um sistema</p><p>de equações (21), (22) e (23), resolvendo esse sistema se obtém as componentes do plano de</p><p>deformação.</p><p>Figura 21 – Posições de rosetas genéricas. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>(21)</p><p>(22)</p><p>(23)</p><p>Em geral as rosetas são posicionadas a 45° ou a 60°. A roseta de 45° também denominada</p><p>de retangular é apresentada na Figura 22, resolvendo o sistema das equações (24), (25) e (26)</p><p>chega-se no plano de deformação.</p><p>114WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 22 – Roseta de 45°. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>(24)</p><p>(25)</p><p>(26)</p><p>Outra forma comum de montar as rosetas é utilizando um ângulo de 60° como é</p><p>apresentado na Figura 23. O sistema de equações a ser resolvido é dado pelas equações (27), (28)</p><p>e (29) respectivamente.</p><p>Figura 23 – Roseta de 60°. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>(27)</p><p>(28)</p><p>(29)</p><p>Após determinar o plano de deformação basta utiliza as equações (13) e (15) para</p><p>determinar as deformações principais e a deformação por cisalhamento máxima uma outra</p><p>estratégia é utilizar o círculo de Mohr</p><p>Exemplo 4 (Hibbeler (2010))</p><p>A roseta de deformação a 60º está montada sobre a superfície do suporte. As seguintes</p><p>leituras foram obtidas em cada extensômetro: ∊a = -780(10-6), ∊b = 400(10-6), ∊c = 500(10-6).</p><p>Determine (a) as deformações principais e (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano</p><p>e a deformação normal média associada.</p><p>115WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 24 – Exemplo 4. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Como a roseta é de 60° serão utilizadas as equações (27), (28) e (29) para determinar as</p><p>deformações em x, y e por cisalhamento.</p><p>Encontrado as deformações aplicadas no plano agora é possível determinar as deformações</p><p>principais e a deformação máxima de cisalhamento. Pela equação (13) é determinado as</p><p>deformações principais 1 e 2, conforme é apresentado:</p><p>Resolvendo chega-se em e A deformação por</p><p>cisalhamento máxima é determinada pela equação (15), sua componente média pela equação</p><p>(16).</p><p>116WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 5 (Hibbeler (2010))</p><p>A roseta de deformação a 45° está montada sobre a superfície de uma chapa de alumínio.</p><p>As seguintes leituras foram obtidas em cada extensômetro: ∊a = -200(10-6), ∊b =300(10-6) e ϵc =</p><p>250(10-6). Determine as deformações principais no plano.</p><p>Figura 25 – Exemplo 5. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Utilizando as equações (21), (22) e (23) é possível determinar as deformações em x, y e</p><p>por cisalhamento, os ângulos são respectivamente</p><p>Utilizando as equações (21), (22) e (23) é possível determinar as deformações em x, y e</p><p>,</p><p>Utilizando as equações (21), (22) e (23) é possível determinar as deformações em x, y e</p><p>e</p><p>Utilizando as equações (21), (22) e (23) é possível determinar as deformações em x, y e</p><p>Substituindo os valores chega-se no seguinte sistema linear:</p><p>Veja que utilizando a segunda equação é possível determinar que ,</p><p>determinando cada coe� ciente que acompanha as deformações é possível reduzir o sistema linear,</p><p>veja que agora o sistema possui duas equações e duas incógnitas:</p><p>Para resolver esse sistema basta somar as duas equações e dessa forma se obtém</p><p>e</p><p>Para resolver esse sistema basta somar as duas equações e dessa forma se obtém</p><p>Encontrado as deformações aplicadas no plano agora</p><p>é possível determinar as deformações principais e a deformação máxima de cisalhamento. Pela</p><p>equação (13) é determinado as deformações principais 1 e 2, conforme é apresentado:</p><p>117WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Resolvendo chega-se em e</p><p>2.3 Relação entre propriedades dos materiais</p><p>Agora que as relações de tensão e deformação foram apresentadas, agora é possível</p><p>relacionar a tensão com a deformação, para isso, vamos imaginar o corpo submetido a carga nos</p><p>três eixos apresentado na Figura 26a.</p><p>Figura 26 – Deformação normal em um corpo. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Pela lei de Hooke, é possível relacionar a deformação causada pela tensão no eixo x Pela lei de Hooke, é possível relacionar a deformação causada pela tensão no eixo x</p><p>, o efeito dessa deformação é visualizado na Figura 26b. Porém é preciso ressaltar que</p><p>as tensões em y e em z também irão contribuir com a deformação no eixo x, com o coe� ciente de</p><p>Poisson (Figura 26c e d). Somando o efeito de cada uma dessas deformações é obtida a deformação</p><p>total em relação a x pela equação 30. Repetindo o mesmo procedimento são encontradas as</p><p>deformações para y e z (equação 31 e 32), essas equações são conhecidas como lei de Hooke</p><p>generalizada.</p><p>(30)</p><p>(31)</p><p>(32)</p><p>As deformações por cisalhamento ocorrem somente pelo cisalhamento aplicado no plano,</p><p>o efeito é visualizado na Figura 27. A lei de Hooke generalizada para o cisalhamento portanto é</p><p>apresentado pelas equações (33), (34) e (35).</p><p>118WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 27 - Deformação normal em um corpo. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>(33)</p><p>(34)</p><p>(35)</p><p>Exemplo 6 (Hibbeler (2010))</p><p>A barra é feita de alumínio 2014-T6 (E = 73,1 GPa e ). Se uma força de 700 N</p><p>for aplicada na barra de 20 mm de diâmetro, determine as deformações principais em um ponto</p><p>na superfície da barra.</p><p>Figura 28 - Exemplo 6. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>O primeiro passo é determinar as tensões aplicadas no corpo, veja que no caso só há</p><p>carregamento axial, sendo assim as tensões em y e em z são nulas (</p><p>O primeiro passo é determinar as tensões aplicadas no corpo, veja que no caso só há</p><p>), logo a tensão</p><p>aplicada em x pode ser determinada por:</p><p>Aplicando as equações (30), (31) e (32) é determinado as deformações aplicadas no corpo:Aplicando as equações (30), (31) e (32) é determinado as deformações aplicadas no corpo:</p><p>As deformações principais são portanto e .</p><p>119WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3. CONCENTRADORES DE TENSÃO</p><p>Neste tópico, serão analisados os concentradores de tensões, que podem ser encontrados</p><p>em cargas axiais, torção e � exão. Os concentradores de tensão aparecem principalmente em</p><p>projetos com materiais frágeis e com carregamentos dinâmicos.</p><p>3.1 Concentradores de Tensão para Cargas Axiais</p><p>Existe uma concentração de tensão sempre que há uma mudança brusca no per� l do</p><p>corpo, o que resulta em uma deformação irregular próxima do concentrador de tensões. Essa</p><p>deformação irregular resulta em uma distribuição de tensões não linear, o que é complexo para</p><p>ser determinado.</p><p>Porém, na Engenharia, a distribuição de tensões não é muito relevante, sendo mais</p><p>proveitoso encontrar qual a tensão máxima aplicada no material. Geralmente, para cada tipo</p><p>de mudança de per� l, existe um grá� co que relaciona a tensão média do corpo com a tensão</p><p>máxima aplicada no concentrador de tensões:</p><p>(36)</p><p>Esse fator K é denominado fator de concentração de tensão. Utilizando a de� nição de</p><p>tensão, é possível encontrar a tensão máxima do material utilizando a equação 37:</p><p>(37)</p><p>Os concentradores de tensão devem ser considerados em projetos com materiais frágeis</p><p>já que o limite de ruptura do material é próximo do limite de proporcionalidade; portanto, se o</p><p>carregamento atingir esse valor, ocorrerá uma trinca, o que agravará o concentrador de tensão</p><p>até a ruptura do material. Nos materiais dúcteis, esse efeito geralmente é desprezado já que,</p><p>quando cargas superiores ao limite de proporcionalidade forem aplicadas, o material escoará</p><p>e endurecerá; portanto, esse efeito não é muito relevante. Para carregamentos dinâmicos, os</p><p>concentradores de tensão devem ser levados em consideração para materiais frágeis e dúcteis,</p><p>pois o carregamento cíclico tende a gerar trincas nos concentradores e essa trinca irá propagar</p><p>até a ruptura do material.</p><p>A Figura 29 apresenta um grá� co de concentrador de tensão para um furo em uma</p><p>barra submetida a uma carga axial, tensão máxima pode ser calculada pela equação 38, sendo t</p><p>a espessura.</p><p>Os concentradores de tensão devem ser considerados em mate-</p><p>riais frágeis e carregamentos dinâmicos, tal como é apresentado</p><p>em Ensaio de fadiga quadros, em que quadros de bicicleta são tes-</p><p>tados para cargas dinâmicas. Disponível em https://www.youtube.</p><p>com/watch?v=iuWjc0Aktfc>.</p><p>120WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Outro caso de concentrador de tensão é apresentado na Figura 30, em que se tem uma</p><p>redução na espessura da barra. A tensão máxima pode ser calculada pela equação 39, sendo t a</p><p>espessura.</p><p>(38)</p><p>Figura 29 – Fator de concentrador de tensão para carga axial com furo. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Figura 30 – Fator de concentrador de tensão para carga axial com redução de espessura. Fonte: Budynas e Nisbett</p><p>(2016).</p><p>(39)</p><p>121WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3.2 Concentradores de Tensão para Torção</p><p>Os concentradores de tensão para torção aparecem em acoplamentos para ligar dois</p><p>eixos colineares, em rasgos de chaveta, elemento de máquina utilizado para conectar polias e</p><p>engrenagens a um eixo e � letes de redução utilizados para redução de peso do eixo e obtenção de</p><p>dois diâmetros diferentes. A fórmula de torção com o concentrador de tensão (equação 40) será</p><p>utilizada sempre que o eixo tenha uma mudança brusca em seu diâmetro.</p><p>(40)</p><p>Para analisar o concentrador de tensão para torção, deve-se encontrar o fator de</p><p>concentração de tensão por torção K por meio da Figura 31, além de aplicar a equação 40 de</p><p>cisalhamento máxima.</p><p>Figura 31 - Fator de concentração de tensão por torção. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>3.3 Concentradores de Tensão para Flexão</p><p>Na � exão, também ocorrem os concentradores de tensão; geralmente, são furos para</p><p>� xação ou passagem de outros itens ou outras mudanças abruptas nas dimensões transversais.</p><p>A análise é exatamente a mesma para os casos de concentração de tensão axial e torção:</p><p>primeiro, encontra-se</p><p>o fator de concentração de tensão pelas Figuras 32 e 33 e, então, basta</p><p>aplicar na equação de tensão máxima:</p><p>(41)</p><p>122WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 32 - Fator de concentração de tensão para � exão. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Figura 33 - Fator de concentração de tensão para � exão. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Para ter acesso a mais gráfi cos de concentradores de tensão, verifi que o Apêndice</p><p>A do livro:</p><p>BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 10. ed. Porto</p><p>Alegre: AMGH, 2016.</p><p>123WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 6</p><p>Determine a tensão normal máxima desenvolvida na barra quando sujeita a uma carga</p><p>P = 8 kN.</p><p>Figura 34- Exemplo 6. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Primeiro, analisar-se-á o furo na barra; para isso, . Aplicando essa informação</p><p>na Figura 35, obtém-se o fator k=2,5:</p><p>Figura 35 - Concentrador de tensão para furo. Fonte: Adaptado de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Aplicando na equação 38:</p><p>Fazendo-se o mesmo para o outro concentrador de tensões, e , como</p><p>não há a linha 1,2, neste caso, será escolhido o próximo mais grave, no caso, 1,5; então, K=1,5.</p><p>124WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 36 - Concentrador de tensão do rebaixo. Fonte: Adaptado de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Aplicando na equação 39:</p><p>O ponto mais crítico é o furo, ou seja, a tensão máxima é de .</p><p>Exemplo 7</p><p>O eixo é usado para transmitir 660 W ao girar a 450 rpm. Determine a tensão de</p><p>cisalhamento máxima no eixo. Os segmentos são interligados por um � lete de solda, de raio</p><p>1,875 mm.</p><p>Figura 37 - Exemplo 7. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>O torque pode ser encontrado pela equação apresentada para potência no segundo tópico</p><p>da Unidade II; basta converter a rotação:</p><p>125WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>O momento polar de inércia é calculado por:O momento polar de inércia é calculado por:</p><p>Para analisar o concentrador de tensão, é calculado e . Aplicando na</p><p>Figura 38, o concentrador de tensões é 1,3.</p><p>Figura 38 - Concentrador de tensão (exemplo 7). Fonte: Adaptado de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Aplicando os dados na equação 40:</p><p>Exemplo 8</p><p>A barra está sujeita a um momento M = 20 N.m. Determine a tensão de � exão máxima na</p><p>barra e trace um rascunho que mostre, aproximadamente, a variação da tensão na seção crítica.</p><p>Figura 39 - Exemplo 8. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>126WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>O momento de inércia da seção com rebaixo é calculado por:</p><p>Para calcular a tensão máxima e , aplicando na Figura 40, encontra-</p><p>se um K=1,6. Aplicando na equação 41:</p><p>Figura 40 - Concentrador de tensão (exemplo 8). Fonte: Adaptado de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Apesar dessa unidade parecer extremamente teórica ela é de fundamental impor-</p><p>tância para desenvolver os critérios de falha que serão apresentados na Unidade</p><p>V.</p><p>127WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>4</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Caro(a) aluno(a), nessa última unidade, foram estudadas as transformações de tensões,</p><p>o que consiste em analisar as cargas combinadas aplicadas a um corpo e encontrar as máximas</p><p>tensões. Foram desenvolvidos métodos de avaliar a deformação de um corpo e � nalmente, foram</p><p>analisados casos de concentradores de tensão que ocorrem em materiais dúcteis e em projetos</p><p>dinâmicos.</p><p>128128WWW.UNINGA.BR</p><p>UNIDADE</p><p>05</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................130</p><p>1. CRITÉRIO DE FALHA ............................................................................................................................................ 131</p><p>1.1 TEORIA DA TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA OU CRITÉRIO DE TRESCA .......................................... 131</p><p>1.2 TEORIA DA ENERGIA DE DISTORÇÃO MÁXIMA OU CRITÉRIO DE VON MISES E H. KENCKY ................. 133</p><p>1.3 TEORIA DA TENSÃO NORMAL MÁXIMA ......................................................................................................... 135</p><p>1.4 CRITÉRIO DE FALHA DE MOHR ........................................................................................................................ 136</p><p>2. CRITÉRIOS DE FALHA POR FADIGA .................................................................................................................. 141</p><p>2.1 MÉTODO DE TENSÃO-VIDA .............................................................................................................................. 142</p><p>2.2 O LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA E FATORES MODIFICADORES ........................................................144</p><p>2.2.1 FATOR DE SUPERFÍCIE KA ............................................................................................................................145</p><p>2.2.2 FATOR DE TAMANHO KB ........................................................................................................................................................................................................................... 145</p><p>CRITÉRIO DE FALHA ESTÁTICA, CRITÉRIO DE</p><p>FALHA POR FADIGA E MÉTODOS DE ENERGIA</p><p>PROF. ME. LUCAS NIRO</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>129WWW.UNINGA.BR</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.2.3 FATOR DE CARREGAMENTO KC .................................................................................................................... 146</p><p>2.2.4 FATOR DE TEMPERATURA KD ....................................................................................................................... 146</p><p>2.2.5 FATOR DE CONFIABILIDADE KE .................................................................................................................... 147</p><p>2.2.6 FATOR DE EFEITOS DIVERSOS KF ................................................................................................................ 147</p><p>2.3 ESTIMANDO A VIDA ÚTIL................................................................................................................................. 147</p><p>2.4 CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO E SENSIBILIDADE DE ENTALHE ................................................................... 149</p><p>2.5 CARACTERIZAÇÃO DE TENSÕES FLUTUANTES ............................................................................................ 150</p><p>2.6 CRITÉRIOS DE FALHA POR FADIGA PARA MATERIAIS DÚCTEIS ................................................................ 152</p><p>2.7 RESISTÊNCIA À FADIGA TORCIONAL SOB TENSÕES FLUTUANTES ........................................................... 156</p><p>3. MÉTODOS DE ENERGIA ...................................................................................................................................... 165</p><p>3.1 CONSERVAÇÃO DE ENERGIA ............................................................................................................................ 167</p><p>3.2 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL .............................................................................................................. 169</p><p>3.2.1 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL APLICADO A TRELIÇAS .................................................................... 170</p><p>3.2.2 PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL APLICADO A VIGAS ..........................................................................171</p><p>3.3 TEOREMA DE CASTIGLIANO .............................................................................................................................171</p><p>3.3.1 TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICADO A TRELIÇAS ..................................................................................171</p><p>3.3.2 TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICADO A VIGAS .......................................................................................171</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................181</p><p>130WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Nesta última unidade, serão apresentadas os critérios de falhas estáticos e por fadiga e os</p><p>métodos de energia.</p><p>Em critérios de falha, serão desenvolvidos métodos para estabelecer quais máximas</p><p>tensões podem ser aplicadas a um determinado material. Serão desenvolvidos dois métodos para</p><p>materiais dúcteis (Critério de Tresca e de Von Mises) e dois métodos para materiais frágeis (Teoria</p><p>da tensão normal máxima e Critério de Mohr), esses métodos são aplicados para carregamentos</p><p>estáticos.</p><p>Já na segunda seção, serão apresentados os critérios de falha por fadiga, apresentando</p><p>como determinar a vida útil de um corpo submetido a um carregamento dinâmico, como ler e</p><p>construir um diagrama S-N, como analisar os tipos carregamentos dinâmicos e o cálculo do fator</p><p>de segurança pelos métodos de Gerber, ASME-elíptico, Goodman e de Soderberg, bem como a</p><p>realização dos diagramas para cada um dos métodos</p><p>Na última seção serão apresentados os métodos de energia, sendo eles o princípio do</p><p>trabalho virtual e o Teorema de Castigliano, esses métodos são desenvolvidos para determinar o</p><p>deslocamento em treliças e em vigas e são uma alternativa aos métodos de cálculo convencionais.</p><p>Bons estudos!!!</p><p>131WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1. CRITÉRIO DE FALHA</p><p>Em projetos utilizando materiais especí� cos, é importante estabelecer um limite superior</p><p>para o estado de tensões, o qual de� ne a falha do material. Se o material for dúctil, a falha ocorrerá</p><p>devido ao escoamento, enquanto se for frágil por ruptura. Os modos de falha são de� nidos para</p><p>um elemento sujeito a um estado de tensão uniaxial, pois a análise é mais simples. Em casos</p><p>biaxiais e triaxiais, é mais difícil de� nir um critério de falha.</p><p>Neste tópico, serão de� nidos quatro critérios de falhas, sendo dois para materiais dúcteis</p><p>(Teoria da tensão de cisalhamento máxima e Teoria da energia de distorção máxima) e dois para</p><p>materiais frágeis (Teoria da tensão normal máxima e Critério de falha de Mohr). Vale ressaltar que</p><p>não existe um critério de falha de� nitivo, cabendo ao projetista de� nir qual método ele utilizará.</p><p>1.1 Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou Critério de Tresca</p><p>A principal causa do escoamento de um material dúctil é o deslizamento, que ocorre ao</p><p>longo dos planos de contato dos cristais devido à tensão de escoamento. Esse fenômeno pode ser</p><p>visto na Figura 1. Nela, é apresentada uma tira � na com alto polimento, submetida a um ensaio</p><p>de tração e, devido à tração, são vistas linhas que indicam claramente os planos de deslizamento</p><p>da tira, denominadas de linhas de Lüder. As linhas ocorrem aproximadamente a 45°.</p><p>Figura 1 - Linhas de Lüder. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Um elemento do material apresentado na Figura 2a é submetido a um ensaio de tração</p><p>e está sujeito somente à tensão de escoamento</p><p>Um elemento do material apresentado na Figura 2a é submetido a um ensaio de tração</p><p>. Para esse estado de tensões, é realizado o</p><p>círculo de Mohr, visto na Figura 2b; para esse caso, a tensão de cisalhamento máxima é obtida</p><p>por:</p><p>Todos os cálculos de tensão realizados até agora, juntamente com as transforma-</p><p>ções de tensão e obtenção das tensões principais em um elemento, são a base</p><p>para os critérios de falhas.</p><p>132WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(1)</p><p>A tensão de cisalhamento máxima ocorre a 45° do plano principal de tensões (Figura 2c),</p><p>que coincidem com a direção das linhas de Lüder, indicando que a falha ocorre por cisalhamento.</p><p>Figura 2 - (a) Corpo sujeito à carga axial; (b) círculo de Mohr para o carregamento; (c) plano de tensão principal.</p><p>Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A partir dessa ideia, é formulada a teoria da tensão de cisalhamento máxima ou critério</p><p>de escoamento de Tresca. Essa teoria prevê a falha de um material dúctil sujeito a qualquer tipo</p><p>de falha e que o escoamento somente ocorrerá quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta</p><p>de um material sujeito apenas à tensão axial atingir a tensão de cisalhamento que provoca o</p><p>escoamento.</p><p>Se as duas tensões principais no plano tiverem o mesmo sinal, ou seja, se ambas forem de</p><p>tração ou de compressão, a falha ocorrerá fora do plano e pode ser calculada pela equação:</p><p>(2)</p><p>No caso de tensões de sinais opostos, a falha ocorrerá dentro do plano e pode ser calculada</p><p>por:</p><p>(3)</p><p>Segundo Hibbeler (2010), a tensão de cisalhamento máxima para o estado plano de tensão</p><p>pode ser expressa para quaisquer duas tensões principais no plano (</p><p>Segundo Hibbeler (2010), a tensão de cisalhamento máxima para o estado plano de tensão</p><p>e</p><p>Segundo Hibbeler (2010), a tensão de cisalhamento máxima para o estado plano de tensão</p><p>) pelos critérios:</p><p>(4)</p><p>Pela Figura 3, � ca visível que, se as tensões principais ( e ) forem um ponto fora da</p><p>área ou no contorno, o material escoará.</p><p>133WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 3 - Critério de Tresca ou Teoria da tensão de cisalhamento máxima. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.2 Teoria da Energia de Distorção Máxima ou Critério de Von Mises E H.</p><p>Kencky</p><p>Quando um material é deformado, ele tende a armazenar energia internamente em todo</p><p>o seu volume. A densidade de energia de deformação é de� nida pela energia por unidade de</p><p>volume do material e, se o material estiver sujeito a uma carga axial, pode ser calculada por:</p><p>(5)</p><p>A equação 14 está sujeita a somente uma carga axial. Supondo que o material está sujeito</p><p>a três tensões principais (Figura 4a), obtém-se:</p><p>(6)</p><p>Se o material se comportar de maneira linear elástica, a lei de Hooke é válida. Portanto,</p><p>substituindo a lei de Hooke generalizada na equação 6, chega-se a:</p><p>(7)</p><p>Essa densidade de energia é, na verdade, a soma de duas partes. A primeira delas é a</p><p>energia necessária para provocar a mudança do volume no corpo sem mudar a forma do elemento.</p><p>Ela é causada pela aplicação da tensão média</p><p>energia necessária para provocar a mudança do volume no corpo sem mudar a forma do elemento. energia necessária para provocar a mudança do volume no corpo sem mudar a forma do elemento.</p><p>(Figura 4b). A outra</p><p>porção é a energia que distorce o elemento, causada pela tensão remanescente</p><p>(Figura 4b). A outra</p><p>, porção é a energia que distorce o elemento, causada pela tensão remanescente</p><p>e</p><p>porção é a energia que distorce o elemento, causada pela tensão remanescente</p><p>(Figura 4c).</p><p>134WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 4 - (a) Elemento sujeito a três componentes principais; (b) deformação causada pela tensão média; (c) defor-</p><p>mação distorcendo o elemento. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Por experimentos, � cou constatado que os materiais não escoam quando submetidos a</p><p>uma tensão média. Sendo assim, M. Huber propôs que um material dúctil escoa quando a energia</p><p>de distorção é igual ou ultrapassa as condições de escoamento de um ensaio de tração simples.</p><p>Para obter a energia de distorção por unidade de volume, basta substituir (</p><p>de distorção é igual ou ultrapassa as condições de escoamento de um ensaio de tração simples.</p><p>por Para obter a energia de distorção por unidade de volume, basta substituir (</p><p>,</p><p>Para obter a energia de distorção por unidade de volume, basta substituir (</p><p>e</p><p>Para obter a energia de distorção por unidade de volume, basta substituir (</p><p>na equação 6. Simpli� cando a equação resultante</p><p>e assumindo um caso de tensão no plano ou biaxial, tem-se:</p><p>(8)</p><p>A região de� nida pela equação 8 é uma elipse (Figura 5). Se as tensões principais ( e</p><p>) estiverem fora da região demarcada ou sobre o contorno, o material falhará.</p><p>Figura</p><p>5 – Critério de Von Mises. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Uma comparação entre o Critério de Tresca e de Von Mises é apresentada na Figura 6. Em</p><p>ambas as teorias, os resultados são os mesmos: as tensões principais são as mesmas ou quando</p><p>uma das tensões principais for igual a zero. Por outro lado, quando o corpo for submetido a</p><p>cisalhamento puro, ocorrem as maiores diferenças. Nessa região, o critério de Von Mises é 15%</p><p>mais preciso.</p><p>135WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 6 - Comparação critério de Tresca e de Von Mises. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.3 Teoria da Tensão Normal Máxima</p><p>Os materiais frágeis são aqueles que se rompem sem um escoamento aparente. Em um</p><p>ensaio de tração, a ruptura ocorre quando a tensão normal atinge o limite de resistência (Figura</p><p>7a). Para a torção, a ruptura é helicoidal e acontece devido à tração máxima desde que o elemento</p><p>esteja a 45° em relação à direção de cisalhamento (Figura 7b).</p><p>Figura 7 - (a) Ruptura por tração em um material frágil; (b) ruptura por torção em um material frágil. Fonte: Hi-</p><p>bbeler (2010).</p><p>O método de Columb-Mohr para materiais dúcteis pode ser encontrado em:</p><p>BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 10. ed. Porto</p><p>Alegre: AMGH, 2016. p. 245.</p><p>136WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Sendo assim, a teoria da tensão normal média a� rma que um material frágil falhará</p><p>sempre que a tensão principal aplicada no material atingir o valor do lim ite de resistência à</p><p>tração. Logo, se o material estiver sujeito a um plano de tensões:</p><p>(9)</p><p>A representação grá� ca da equação 9 é apresentada na Figura 8. Se as tensões principais</p><p>( e</p><p>A representação grá� ca da equação 9 é apresentada na Figura 8. Se as tensões principais</p><p>) estiverem fora ou no contorno, o material se romperá. Esse critério é válido para</p><p>materiais frágeis, cujo comportamento para tração é semelhante ao de compressão.</p><p>Figura 8 - Critério da tensão normal máxima. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.4 Critério de Falha de Mohr</p><p>Em alguns materiais frágeis, as propriedades para tração e compressão são diferentes.</p><p>Quando isso ocorre, é necessário utilizar o critério de falha de Mohr, que consiste em realizar três</p><p>ensaios e construir um círculo de Mohr para cada um. A Figura 9 apresenta os três círculos de</p><p>Mohr, sendo A o ensaio de compressão, B o ensaio de tração e C o ensaio de torção. Então, liga-se</p><p>uma linha tangencial aos três círculos; sendo assim, se as tensões estiverem no contorno ou fora</p><p>do envelope de falha, o material se romperá.</p><p>Figura 9 - Envelope de falha. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>137WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Outra forma de representar o critério de falha de Mohr é apresentar um grá� co de</p><p>tensões principais (Figura 10). Novamente, se as tensões estiverem no contorno ou fora da região</p><p>sombreada, o material romperá.</p><p>Figura 10 - Critério de falha de Mohr. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Ambos os métodos de falha para os materiais frágeis podem ser utilizados na prática.</p><p>Porém, em geral, quando submetidos à tração, esses materiais podem vir a falhar repentinamente</p><p>devido a concentradores de tensões ou, até mesmo, imperfeições no material. Por outro lado,</p><p>quando sujeitas à compressão, as trincas e imperfeições do material tendem a se fechar.</p><p>Exemplo 1</p><p>As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço</p><p>estrutural A-36 (</p><p>As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço</p><p>) são mostradas na Figura 11. (a) Determine se ocorreu falha</p><p>(escoamento) com base na teoria de cisalhamento máxima. (b) Determine se ocorreu falha</p><p>(escoamento) com base na teoria da energia de distorção máxima.</p><p>Figura 11 - Exemplo 1. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>138WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Neste problema, é necessário veri� car os critérios de falha de Tresca e de Von Mises.</p><p>Basicamente, encontram-se as tensões principais pelas equações apresentadas na Unidade IV:</p><p>Como os sinais são opostos, para não falhar, a seguinte condição deve ser veri� cada:</p><p>(a) Chega-se à conclusão de que , ou seja, as tensões aplicadas</p><p>são maiores do que a tensão de escoamento do material; logo, o material falhará.</p><p>Para a letra (b), como já se têm as tensões principais, basta utilizar o critério de Von</p><p>Mises:</p><p>(b) Para o critério de Von Mises, as tensões aplicadas no material são inferiores à tensão</p><p>de escoamento do material, ou seja, ele não escoará.</p><p>Como apresentado, com mesmo carregamento, houve duas respostas diferentes. Isso</p><p>porque o critério de Tresca é mais conservador do que o critério de Von Mises, conforme a</p><p>comparação dos métodos (Figura 6).</p><p>Exemplo 2</p><p>O estado de tensão que age em um ponto crítico sobre uma chave de porca é mostrado na</p><p>� gura. Determine a menor tensão de escoamento para o aço que poderia ser selecionado para a</p><p>fabricação da ferramenta com base na teoria da energia de distorção máxima.</p><p>139WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 12 - Exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para encontrar a menor tensão de escoamento, o procedimento é o mesmo utilizado no</p><p>Exemplo 1: primeiro, serão calculadas as tensões principais e, então, aplicar-se-á o critério de</p><p>Von Mises.</p><p>Aplicando o critério de Von Mises:</p><p>A tensão de escoamento mínima do material é de .</p><p>Exemplo 3</p><p>O pequeno cilindro de concreto com diâmetro de 50 mm está sujeito a um torque de 500</p><p>N.m e a uma força de compressão axial de 2kN. Determine se ele falhará de acordo com a teoria</p><p>da tensão normal máxima. O limite de resistência do concreto é</p><p>N.m e a uma força de compressão axial de 2kN. Determine se ele falhará de acordo com a teoria</p><p>.</p><p>140WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 13 - Exemplo 3. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Nesse problema, é necessário montar o plano de tensões vez que o corpo está sujeito à</p><p>compressão e à torção. Então:</p><p>Figura 14 - Plano de tensões. Fonte: O autor.</p><p>141WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Utilizando a teoria da tensão normal máxima equação 9:</p><p>O material não falhará de acordo com o critério da tensão normal máxima.</p><p>2. CRITÉRIOS DE FALHA POR FADIGA</p><p>As condições estáticas são aquelas em que estão sujeitos grande parte dos membros</p><p>estruturais e de máquinas, porém existem diversas aplicações em que as tensões aplicadas são</p><p>variáveis, repetidas, alternadas ou � utuantes essas são as chamadas condições dinâmicas que</p><p>é onde ocorre a fadiga. Um exemplo clássico de uma tensão que varia, é um eixo submetido a</p><p>� exão acoplado a um motor, imagine que uma determinada região em determinado momento irá</p><p>sofrer tração, já em outro instante sofrerá compressão.</p><p>Veri� ca-se que frequentemente membros de máquina submetidas a tenções repetidas ou</p><p>� utuante falham, e ao realizar uma análise é constatado que as tensões aplicadas estão bem abaixo</p><p>da tensão última do material, e comumente abaixo até da tensão de escoamento do material. A</p><p>característica mais clara dessa falha é que o membro é submetido a tensões cíclicas um grande</p><p>número de vezes, por isso esse tipo de falha é chamada de fadiga.</p><p>Quando um membro de uma máquina ou estrutura falha devido a um carregamento</p><p>estático, essa irão sofrer de� exões muito grandes sendo visível que o material irá romper, porém</p><p>a fadiga é súbita, ou seja o material se rompe de uma vez, portanto é muito perigosa.</p><p>A falha por fadiga se assemelha muito a falha de um material frágil, uma vez que a</p><p>superfície é plana e não há estricção. Porém a forma que as falhas ocorrem são bem diferentes. A</p><p>fratura por fadiga ocorre em três estágios. O primeiro estágio é a inicialização de microtrincas,</p><p>devido a devido a</p><p>em uma análise mais complexa.</p><p>9WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 6 - Distribuição de forças em uma área. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Nesta abordagem, suporemos que os materiais são homogêneos (têm as mesmas</p><p>propriedades físicas e mecânicas) e isotrópicos (têm as mesmas propriedades em todas as</p><p>direções). Sendo assim, a distribuição de t ensão ocorrerá de forma uniforme ideal em qualquer</p><p>seção arbitrária, conforme a Figura 7.</p><p>Figura 7 - Distribuição uniforme ideal da tensão. Fonte: Beer et al. (2015).</p><p>Utilizando o conceito de tensão, que é força sobre área, chega-se à equação 4:</p><p>(4)</p><p>em qu e:</p><p>tensão normal média em qualquer ponto na área da seção transversal.</p><p>força normal interna resultante, que é aplicada no centroide da área da seção</p><p>transversal. P é a componente normal da força.</p><p>área da seção transversal.</p><p>10WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>A tensão por tração é positiva, e a tensão por compressão é negativa, conforme apresentado</p><p>na Figura 8.</p><p>Figura 8 - Tensão de tração e compressão. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A unidade resultante entre a divisão de uma força por uma área [ é Pascal [ ].</p><p>Geralmente, a tensão é um número grande; portanto, é comum utilizar múltiplos dessa unidade,</p><p>como: quilopascal [ ], megapascal [ ] e gigapascal [ ].</p><p>1.2 Tensão de Cisalhamento</p><p>A tensão de cisalhamento é aquela que ocorre no plano da área (Figura 9a). Se o corpo for</p><p>rígido, a força F irá cisalhar o corpo nos planos AB e CD. No di agrama de corpo livre (Figura 9b),</p><p>a força F é equilibrada por duas forças cortantes V, que cortarão cada um dos planos, formando</p><p>duas regiões de cisalhamento (Figura 9c).</p><p>Um aprofundamento maior em relação às suposições é apresentado em:</p><p>- HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice</p><p>Hall, 2010. p. 16.</p><p>- BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo:</p><p>Pearson Makron Books, 1995. p. 8.</p><p>11WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 9 - (a) Efeito de cisalhamento; (b) diagrama de corpo livre; (c) tensão média cisalhante. Fonte: Hibbeler</p><p>(2010).</p><p>Segundo Beer et al. (2015), a tensão de cisalhamento ocorre geralmente em parafusos,</p><p>rebites, pinos e em o utros elementos de máquinas, sendo de� nida pela equação 5:</p><p>(5)</p><p>em que:</p><p>tensão de cisalhamento média na seção transversal.</p><p>força de cisalhamento interna resultante.</p><p>área da seção transversal.</p><p>Existem dois casos de cisalhamento que aparecem com frequência em problemas de</p><p>Engenharia: o simples e o duplo. O cisalhamento simples ocorre em juntas sobrepostas (Figura</p><p>10a), sendo a força cortante igual à força aplicada (Figura 10b e Figura 10c). Ver equação 6.</p><p>Figura 10 - (a) Juntas sobrepostas; (b) diagrama de corpo livre; (c) força cortante. Fonte: Beer et al. (2015).</p><p>(6)</p><p>Quando a junta é construída conforme a Figura 11a , duas superfícies de cisalhamento</p><p>devem ser consideradas. Por meio do diagrama de corpo livre (Figura 11b e Figura 11c), é possível</p><p>constatar que a força cortante é metade da força F (equação 7).</p><p>12WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 11 - (a) Juntas duplas de superposição; (b) diagrama de corpo livre; (c) força cortante. Fonte: Beer et al.</p><p>(2015).</p><p>(7)</p><p>1.3 Tensão de Esmagamento</p><p>De acordo com Beer et al. (2015), as tensões de esmagamento são causadas por parafusos,</p><p>pinos e rebites na superfície de contato entre o parafuso e a barra. Para exempli� car, veja a Figura</p><p>12a: a barra exerce uma força F no parafuso, que exerce uma força P na barra. O esmagamento é</p><p>aplicado no semicilindro de espessura t e diâmetro d (Figura 12b).</p><p>Figura 12 - (a) Tensão de esmagamento; (b) área de esmagamento. Fonte: Beer et al. (2015).</p><p>Conforme a Figura 12b, a tensão de esmagamento é calculada por:</p><p>(8)</p><p>1.4 Tensão Admissível</p><p>No projeto de uma estrutura mecânica ou máquina, o engenheiro deve estar ciente de que</p><p>nem sempre ele terá todas as informações do projeto em mãos, além de que sobrecargas podem</p><p>ocorrer. Por isso, ele deve trabalhar com uma tensão admissível de projeto, que restringe a tensão</p><p>atuante no material a um nível seguro.</p><p>13WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Uma forma de restringir a tensão atuante em um projeto é utilizar um fator de segurança,</p><p>que é a relação entre a tensão de escoamento, ou ruptura do material, pela tensão admissível.</p><p>A tensão admissível é a tensão máxima considerada no projeto, a qual pode ser calculada pelo</p><p>quociente da tensão de ruptura pelo fator de segurança, seja para força (equação 9), para tensão</p><p>normal (equação 10) ou para tensão de cisalhamento (equação 11):</p><p>(9)</p><p>(10)</p><p>(11)</p><p>1.5 Projeto de Acoplamentos Simples</p><p>Para dimensionar acopladores simples submetidos à tração, compressão ou cisalhamento,</p><p>basta encontrar a área transversal do elemento, a qual pode ser calculada pela divisão da força</p><p>aplicada pela tensão admissível. Para tensão normal, utiliza-se a equação 12 e, para tensões de</p><p>cisalhamento, a equação 13.</p><p>(12)</p><p>(13)</p><p>Exemplo 1, adaptado de Hibbeler (2010):</p><p>Dado um bloco de concreto com as dimensões apresentadas na Figura 13, se uma força P</p><p>de 5 kN for aplicada ao bloco, determine a tensão normal média aplicada no material.</p><p>Figura 13 - Exemplo 1. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>14WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>A força é de 5kN ou 5000N, e a área é calculada por:</p><p>Utilizando-se da equação 4, de tensão normal média:</p><p>Sendo assim, a tensão normal média aplicada ao material é de 0,153MPa.</p><p>Exemplo 2, adaptado de Hibbeler (2010):</p><p>Dado o problema de cisalhamento duplo, encontre (a) a tensão de cisalhamento e (b) a</p><p>tensão de esmagamento. Sabe-se que o diâmetro do parafuso é de 15 mm e que cada uma das</p><p>chapas possui espessura de 25 mm.</p><p>Figura 14 - Exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A área transversal de cada parafuso pode ser calculada por:</p><p>Como há um par de parafusos, a força aplicada em cada um é de 40kN. Utilizando-se da</p><p>equação 7, chega-se à tensão de cisalhamento.</p><p>(a)</p><p>A tensão de esmagamento é encontrada pela equação 8:</p><p>(b)</p><p>15WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 3, adaptado de Hibbe ler (2010):</p><p>Se uma força de 8kN for aplicada no anel B, encontre o diâmetro mínimo para cada haste.</p><p>A tensão de escoamento do material é de 300Mpa. Utilize um fator de segurança de 1,5. .</p><p>Figura 15 - Exemplo 3. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>O primeiro passo consiste em encontrar as forças aplicadas no ponto B. Para tanto,</p><p>realiza-se o diagrama de corpo livre (Figura 16a). A força FBC é decomposta nas direções x e y</p><p>(Figura 16b).</p><p>Figura 16 - (a) Diagrama de corpo livre (exemplo 3); (b) decomposição do vetor FBC. Fonte: Adaptado de Hibbeler</p><p>(2010).</p><p>Aplicando as condições de equilíbrio em B:</p><p>16WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Pela equação 8, é obtida a tensão admissível do material:</p><p>A área mínima é encontrada para a barra BC:</p><p>O diâmetro para a barra BC é obtido pela área da circunferência:</p><p>Fazendo o mesmo procedimento para a barra AB:</p><p>Exemplo 4, de Hibbeler (2010)</p><p>O conjunto de pendural é usado para suportar um carregamento distribuído</p><p>. (a) Determine: a tensão de cisalha mento média no parafuso de 10 mm de diâmetro em A; a</p><p>tensão de tração média na haste AB, com diâmetro de 12 mm; e a tensão de esmagamento na</p><p>viga de 15 mm de espessura. Se a tensão de escoamento por cisalhamento para o parafuso for</p><p>, a tensão de escoamento por tração para a haste</p><p>deformação cíclica (Ponto A da Figura 15). No segundo estágio as microtrincas</p><p>progridem para macrotrincas, devido à natureza cíclica do carregamento começam a surgir as</p><p>chamadas marcas de praia no material que podem ser vistos no ponto B da Figura 15. O estágio</p><p>3 é a falha propriamente dita quando o material restante não consegue suportar a carga aplicada,</p><p>ocorrendo de forma rápida e repentina (Ponto C da Figura 15).</p><p>Figura 15 - Falha em um parafuso devido a � exão unidirecional repetida. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>142WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.1 Método de Tensão-Vida</p><p>Além do método de tensão-vida, existem mais dois métodos de determinar a vida de</p><p>um material sujeito a fadiga, que são o deformação-vida e o método da mecânica da fratura,</p><p>nesse material será abordado o método tensão-vida já que é o mais tradicional e mais fácil de ser</p><p>aplicado. Esse é o menos preciso dos três principalmente para fadiga de baixo ciclo, porém como</p><p>o enfoque do projeto na maioria das vezes é em alto ciclo este apresenta resultados adequados.</p><p>Para se avaliar a resistência de um material a fadiga, deve-se submeter um corpo de prova</p><p>a forças repetidas até a ruptura deste. O ensaio mais comum é a máquina de viga rotativa de alta</p><p>velocidade proposta por R. R. Moore, em que um corpo de prova (FIGURA 16) é submetido</p><p>a � exão pura sem cisalhamento transversal. Há outros ensaios para cargas axiais, torção entre</p><p>outros.</p><p>Figura 16 - Corpo de prova para ensaio de viga rotativa. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Para estabelecer a resistência à fadiga de um material, são necessários vários ensaios</p><p>devido à natureza estatística da fadiga. Inicialmente se aplica a tensão última do material e</p><p>registra-se o valor de ciclos e a tensão, após isso é reduzida a tensão, o processo é continuado até</p><p>se obter a curva S-N (Figura 17), os círculos pretos indicam cada um dos testes realizados. Vale</p><p>ressaltar que para o mesmo material pode ocorre diferenças no diagrama S-N.</p><p>Assista o vídeo apresentado no link: https://www.youtube.com/</p><p>watch?v=LhUclxBUV_E&list=PLkw79HTo36Cfl rql7R4ACd0iWIhIi-</p><p>x2MH . Além a de apresentar o conceito de fadiga é apresentado</p><p>uma máquina de teste de fadiga de compressão e de tração, repa-</p><p>re que por volta do minuto cinco do vídeo é possível ver a trinca</p><p>iniciar até a ruptura.</p><p>143WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 17 - Típico Diagrama S-N para aços. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Para aços ocorre um joelho no diagrama, que abaixo desse valor o material não se romperá</p><p>não importa o número de ciclos, essa linha horizontal é chamada de limite de endurança (ou</p><p>limite de resistência a fadiga), abaixo dessa linha ocorre a vida in� nita, essa região ocorre por</p><p>volta de 106 a 107 ciclos. Já em materiais não ferrosos ou ligas, não haverá esse limite, como por</p><p>exemplo o S-N no alumínio apresentado na Figura 18, veja que a resistência a fadiga é um valor</p><p>especí� co, que no caso do alumínio é 5. 108, e outro fator interessante visualizado na Figura 18,</p><p>é que independente do material o processo de fabricação e o acabamento super� cial altera a</p><p>resistência a fadiga devido a rugosidade super� cial.</p><p>Figura 18 - Curvas S-N para alumínio. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>144WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.2 O Limite de Resistência a Fadiga e Fatores Modificadores</p><p>Para determinar a resistência à Fadiga, os autores Budynas e Nisbett (2016), apresentam a</p><p>Figura 19 que relaciona a tensão última do material com o limite de endurança, e veri� ca-se que</p><p>o limite de endurança varia em torno de 40 a 60%.</p><p>Figura 19 - Relação entre limite de endurança por tensão última do material. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Portanto uma forma bem rápida e simples de determinar o limite de endurança de espécie</p><p>de testes da viga rotativa para aços é apresentado na equação 10.</p><p>(10)</p><p>A estimativa dada pela equação (21) é extremamente útil em análises realizadas em</p><p>laboratório, onde todas as variáveis são controladas. Mas quando se imagina um membro</p><p>mecânico ou estruturais, existem algumas diferenças como: Material, Manufatura, Ambiente,</p><p>Projeto entre outros.</p><p>Com isso Marin (1962), identi� cou alguns fatores que in� uenciam no imite de endurança</p><p>e propôs multiplicar o resultado da equação (10) por esses fatores. Sendo assim, é possível</p><p>determinar o limite de endurança nas condições de uso através da equação (11):</p><p>(11)</p><p>Além do método tensão-vida existem métodos mais complexos e mais precisos,</p><p>alguns desse métodos são abortados em Norton (2006) e Budynas e Nisbett</p><p>(2016).</p><p>145WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>= fator de modi� cação de condição de superfície;</p><p>=fator de modi� cação de tamanho;</p><p>=fator de modi� cação de carga;</p><p>= fator de modi� cação de temperatura;</p><p>=fator de con� abilidade;</p><p>= fator de modi� cação por efeitos variados;</p><p>= limite de endurança de espécime de teste da viga rotativa;= limite de endurança de espécime de teste da viga rotativa;</p><p>=limite de endurança no local crítico de uma peça de máquina na geometria e</p><p>condição de uso.</p><p>Cada um desses fatores devem ser calculados individualmente, e serão debatidos a seguir.</p><p>2.2.1 Fator de superfície ka</p><p>O corpo de prova utilizado nos laboratórios são extremamente polidos para retirar</p><p>qualquer risco do corpo de prova, fato que não ocorre em uma peça peças de máquinas. O fator</p><p>de superfície vai depender principalmente do acabamento super� cial da peça, para determinar o de superfície vai depender principalmente do acabamento super� cial da peça, para determinar o</p><p>, é necessário utilizar a equação (12) com os dados apresentados na Tabela 1.</p><p>(12)</p><p>Tabela 1 - Parâmetros para o fator de modi� cação de superfície. Fonte: Adaptado de</p><p>Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Para valores de em MPa utilizar</p><p>Acabamento Super� cial Fator a Fator b</p><p>Reti� cado 1,58 -0,085</p><p>Usinado ou laminado a frio 4,51 -0,265</p><p>Laminado a quente 57,7 -0,718</p><p>Forjado 272 -0,995</p><p>2.2.2 Fator de tamanho kb</p><p>O diâmetro do eixo também irá in� uenciar através do fator de tamanho, para milímetros</p><p>os resultados para � exão e torção são obtidos através da equação (13), já para carregamentos</p><p>axiais o fator de tamanho é</p><p>os resultados para � exão e torção são obtidos através da equação (13), já para carregamentos</p><p>:</p><p>(13)</p><p>A equação (13) apresenta é válida somente para eixos cilíndricos rotativos, para eixos</p><p>mão rotativos e outas formas não rotativas deve-se utilizar os diâmetros efetivos de, apresentados</p><p>na Figura 20.</p><p>146WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 20 - Diâmetro efetivos para formas estruturais não rotativas. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>2.2.3 Fator de carregamento kc</p><p>A equação (10), apresenta uma estimativa para o limite de endurança obtida para ensaios</p><p>de � exão alternada completamente. Com outros ensaios, se obtém uma outra relação entre a</p><p>tensão última do material e o limite de endurança, o fator de carregamento (equação 14) relaciona</p><p>outros tipos de carregamento com o de � exão.</p><p>(14)</p><p>Utilize o fator de tensão apenas quando ocorrer torção pura sem � exão, caso a torção</p><p>esteja carregada com � exão por exemplo, utilize o valor de 1 para o fator de carregamento.</p><p>2.2.4 Fator de temperatura kd</p><p>O método mais simples de determinar o fator de temperatura é através da equação (15),</p><p>veri� que que ela é a relação entre a resistência a tração do aço na temperatura de trabalho pela</p><p>resistência a tração a temperatura ambiente, para se obter esse valor basta interpolar os valores</p><p>dados pela Tabela 2.</p><p>(15)</p><p>147WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Tabela 2 - Relação entre a resistência a tração do aço (St) pela resistência a tração a</p><p>temperatura</p><p>ambiente (Srt). Fonte: Adaptado de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Temperatura °C Temperatura °C</p><p>20 1,000 350 0,943</p><p>50 1,010 400 0,900</p><p>100 1,020 450 0,843</p><p>150 1,025 500 0,768</p><p>200 1,020 550 0,672</p><p>250 1,000 600 0,549</p><p>300 0,975</p><p>2.2.5 Fator de confiabilidade ke</p><p>Os fatores de con� abilidade mais usuais estão dispostos na Tabela 3, em função da</p><p>porcentagem de con� abilidade requerida.</p><p>Tabela 3 - Tabela de Fator de con� abilidade em função da con� abilidade requerida.</p><p>Fonte: Adaptado de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Con� abilidade, % Fator de con� abilidade Con� abilidade, % Fator de con� abilidade</p><p>50 1,000 99,9 0,753</p><p>90 0,897 99,99 0,702</p><p>95 0,868 99,999 0,659</p><p>99 0,814 99,9999 0,620</p><p>2.2.6 Fator de efeitos diversos kf</p><p>O fator de efeitos diversos é reservado para efeitos não descritos anteriormente, ele</p><p>também é proposto como um lembrete para diversos fenômenos que as informações nem sempre</p><p>estão disponíveis. Alguns desse fatores são a corrosão, tensões residuais devido a algum processo</p><p>de fabricação, frequência cíclica entre outros.</p><p>2.3 Estimando a Vida Útil</p><p>Uma forma de estimar o diagrama S-N (em escalas log-log), é separar o diagrama em</p><p>duas regiões, a de baixo e a de alto ciclo. Para o baixo ciclo, será estimada uma reta que é de� nida</p><p>pela equação (16), o termo f(Para ser conservativo, utilize f = 0,9 para aços com</p><p>duas regiões, a de baixo e a de alto ciclo. Para o baixo ciclo, será estimada uma reta que é de� nida</p><p>)</p><p>é obtido pela Figura 23:</p><p>(16)</p><p>148WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 23 - Fração de resistência a fadiga. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Essa região ocorre entre ciclos, substituindo esses pontos na equação (16),</p><p>é possível determinar o ponto inicial e � nal da reta, que será:</p><p>Já para a fase de alto ciclo existem duas condições possíveis, a primeira é para materiais</p><p>que possuem limite de endurança (Figura 24a), veri� que que ocorrerá uma reta de</p><p>Já para a fase de alto ciclo existem duas condições possíveis, a primeira é para materiais</p><p>(Tensão</p><p>de transição de baixo ciclo para alto ciclo) até o valor de</p><p>que possuem limite de endurança (Figura 24a), veri� que que ocorrerá uma reta de</p><p>, e então o diagrama se torna constate.</p><p>Já para os materiais que não possuem limite de endurança há uma reta de</p><p>, e então o diagrama se torna constate.</p><p>até o valor de</p><p>tensão calculado por</p><p>Já para os materiais que não possuem limite de endurança há uma reta de</p><p>(Figura 24b).</p><p>Figura 24 - Diagrama S-N para alto ciclo a) materiais com limite de endurança b) materiais sem limite de endurança.</p><p>Fonte:Norton (2013).</p><p>Em ambos os casos a metodologia para obter a equação da reta é a mesma, basta utilizar</p><p>a equação (17), calculando os termos a e b pelas equações (18) e (19).</p><p>(17)</p><p>(18)</p><p>149WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(19)</p><p>O cálculo é da equação (17) é muito importante para os casos de vida � nita para determinar</p><p>o número de ciclos que o material irá falhar. Uma outra forma de determinar o número de ciclos</p><p>é através da equação (20), porém ela só é válida para tensões totalmente reversas (</p><p>o número de ciclos que o material irá falhar. Uma outra forma de determinar o número de ciclos</p><p>).</p><p>(20)</p><p>2.4 Concentração de Tensão e Sensibilidade de Entalhe</p><p>Quando existe um concentrador de tensão em um corpo esse deve ser considerado no</p><p>projeto, os concentradores de tensão de fadiga, podem ser escritos pela relação entre a tensão</p><p>máxima no corpo com entralhe pela tensão máxima do corpo sem entralhe, equação (21):</p><p>(21)</p><p>Então a tensão máxima que ocorre no corpo é determinada pela multiplicação do</p><p>concentrador de tensão de fadiga pela tensão nominal aplicada no corpo, equação (22) e (23):</p><p>(22)</p><p>(23)</p><p>Para determinar o concentrador de tensão de fadiga ( e , será utilizado os</p><p>concentradores de tensão para cargas estáticas ( e , é conveniente pensar que e</p><p>são como fatores reduzidos de</p><p>concentradores de tensão para cargas estáticas (</p><p>e</p><p>concentradores de tensão para cargas estáticas (</p><p>, por causa da reduzida sensitividade a entalhos, que</p><p>pode ser de� nida pelas equações (24) e (25):</p><p>(24)</p><p>(25)</p><p>Isolando os concentradores de tensão de fadiga nas equações (26) e (27) chega-se em:</p><p>(26)</p><p>(27)</p><p>As sensitividade a entalhos ( e ) podem ser encontradas pelas Figuras</p><p>(25) e (26), os grá� cos de concentradores de tensão estão disponíveis no Anexo da apostila.</p><p>150WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 25 - Sensitividade a entalhos q: Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Figura 26 - Sensitividade a entalhos . Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>2.5 Caracterização de Tensões Flutuantes</p><p>As tensões � utuantes geralmente apresentam um padrão senoidal, devido a característica</p><p>rotativa de grande parte das máquinas. Porém vários padrões irregulares já foram registrados.</p><p>Para padrões periódicos, o formato de onda não é muito relevante mas sim os pontos de máximo</p><p>(</p><p>Para padrões periódicos, o formato de onda não é muito relevante mas sim os pontos de máximo</p><p>e mínimo (</p><p>Para padrões periódicos, o formato de onda não é muito relevante mas sim os pontos de máximo</p><p>, esse pontos são utilizados para caracterizar o padrão de forças.</p><p>Através de e , é determinada uma componente média e uma componente alternada</p><p>(equação 28 e 29):</p><p>(28)</p><p>(29)</p><p>151WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>De mesma forma é possível de� nir as tensões médias e alternadas (equação 30 e 31),</p><p>outros fatores importantes como a razão de tensão e a razão de amplitude são de� nidas pelas</p><p>equações (32) e (33).</p><p>(30)</p><p>= (31)</p><p>(32)</p><p>(33)</p><p>A Figura 27 apresenta alguns padrões de tensão � utuante, outras tensões podem ser</p><p>visualizadas mais especi� camente na Figura 20d, veri� que que a tensão estática é causada por</p><p>um carga � xa ou pré-aplicada e pode ter qualquer valor entre</p><p>visualizadas mais especi� camente na Figura 20d, veri� que que a tensão estática é causada por</p><p>e</p><p>visualizadas mais especi� camente na Figura 20d, veri� que que a tensão estática é causada por</p><p>, não confundir</p><p>com</p><p>um carga � xa ou pré-aplicada e pode ter qualquer valor entre</p><p>.</p><p>Tensão mínima Tensão média</p><p>Tensão máxima Variação de tensão</p><p>Componente de amplitude</p><p>Variação de tensão</p><p>Tensão estática ou estável</p><p>(a)</p><p>(d)</p><p>(b) (e)</p><p>(c) (f)</p><p>Figura 27 - Tensões � utuantes a) Tensão � utuante com ondulação de alta frequência; b) e c) Tensão � utuante não</p><p>senoidal; d) Tensão � utuante senoidal; e) Tensão Repetida e f) Tensão senoidal completamente reversa. Fonte: Bu-</p><p>dynas e Nisbett (2016).</p><p>152WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.6 Critérios de Falha Por Fadiga Para Materiais Dúcteis</p><p>Agora será apresentado os critérios de fadiga para os materiais dúcteis, para dar início será</p><p>descrito o seguinte experimento, a ideia é relacionar o carregamento alternado pelo carregamento</p><p>médio, para isso foi realizado um grá� co (Figura 28) com as seguintes informações na ordenada</p><p>foi relacionada o quociente entre a resistência alternada (</p><p>médio, para isso foi realizado um grá� co (Figura 28) com as seguintes informações na ordenada</p><p>) e o limite de endurança</p><p>médio, para isso foi realizado um grá� co (Figura 28) com as seguintes informações na ordenada</p><p>)</p><p>quando na abcissa é o quociente entre a resistência média</p><p>foi relacionada o quociente entre a resistência alternada (</p><p>) e a resitência última do material</p><p>(</p><p>quando na abcissa é o quociente entre a resistência média</p><p>). Pode-se veri� car que a tensão média aplicada pouco importa para a compressão enquanto</p><p>para a tração há uma grande contribuição.</p><p>Os critérios de falha são baseados na região de tração já que existe in� uencida da tensão</p><p>média, a partir do ensaio descrito na Figura 28, foram desenvolvidos alguns modelos, como o</p><p>de Gerber que consiste propõe uma parábola do ponto B para C e o Critério de Goodman que</p><p>proponta a linha reta de B até C.</p><p>Figura 28- Grá� co de falhas por fadiga. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Com base da seção de tração da Figura 28, é apresentado na Figura 29 cinco critérios</p><p>de falha para a fadiga esses critérios são o de Gerber, ASME-elíptica, Goodman modi� cado, o</p><p>de Soderberg e o escoamento. Critérios de Gerber e ASME-elíptica são bons ajustes para curvas</p><p>experimentais, o critério de Goodman é mais conservador e é o mais utilizado. Veri� que que</p><p>somente o de Soderberg se resguarda contra qualquer escoamento porém ela é extremamente</p><p>conservadora e tendenciosa para baixo. E por último o critério de primeiro ciclo de Langer é</p><p>usado em conexão com a curva de fadiga. É realizada uma linha de carregamento para determinar</p><p>o ponto limitante de carga, nesse caso para o critério de Goodman, foi determinado o ponto A</p><p>para a linha de carregamento</p><p>o ponto limitante de carga, nesse caso para o critério de Goodman, foi determinado o ponto A</p><p>.</p><p>153WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 29 - Diagrama de fadiga com cinco critérios de falha. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Os critérios de falha são apresentados na segunda coluna da Tabela 4, enquanto a terceira</p><p>coluna apresenta os critérios de falha utilizando uma fator de segurança ao critério.</p><p>Tabela 4 - Critérios de Falha de Fadiga. Fonte: Adaptado de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Nome Equação do Critério de Falha Critério de Falha para Projetos</p><p>Soderberg</p><p>Goodman</p><p>Gerber</p><p>ASME-elíptica</p><p>Langer escoamento</p><p>Somente calculando o fator de segurança já é su� ciente para veri� car se o carregamento</p><p>atende ou não o critério de falha. Será apresentada também a forma grá� ca para apresentar um</p><p>diagrama semelhante ao apresentado na Figura 29.</p><p>Para realizar o grá� co primeiramente é necessário fazer o eixo de coordenadas, anotando</p><p>no eixo y, os pontos limite de enduraça e</p><p>Para realizar o grá� co primeiramente é necessário fazer o eixo de coordenadas, anotando</p><p>limite de escoamento, e no eixo x anotando os</p><p>valores de</p><p>no eixo y, os pontos</p><p>limite de escoamento e tensão última do material (Figura 30).</p><p>154WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 30 - Tensão Alternante pela Tensão Média. Fonte: O Autor</p><p>Para desenhar os critérios de Soderberg basta ligar uma reta entre o ponto do eixo y</p><p>e do eixo x. Para os outros métodos primeiramente deve-se desenhar uma reta de</p><p>do eixo y</p><p>do eixo</p><p>y a</p><p>do eixo x. Para os outros métodos primeiramente deve-se desenhar uma reta de</p><p>do eixo x, para de� nir a linha de escoamento e então para o ASME-elíptica realizar uma</p><p>elipse de a</p><p>do eixo x, para de� nir a linha de escoamento e então para o ASME-elíptica realizar uma</p><p>, para o método de Goodman realizar uma reta de (eixo y) até (eixo y)</p><p>e por � m o método de Gerber que é uma parábola entre os pontos</p><p>, para o método de Goodman realizar uma reta de</p><p>(eixo y) até</p><p>(eixo y) até</p><p>(eixo y).</p><p>Para ilustrar melhor será utilizado o método de Goodman, veja na Figura 31 para o</p><p>material não falhar as cargas aplicadas devem estar abaixo das linhas azuis, veja que há três regiões</p><p>que o material pode falhar, sendo na região A por fadiga, na região B por escoamento e na região</p><p>C pela combinação dos dois fatores, a linha de carregamento de transição no ponto C é chamada</p><p>de</p><p>C pela combinação dos dois fatores, a linha de carregamento de transição no ponto C é chamada</p><p>. A linha de carregamento apresentada em vermelho é determinada por</p><p>C pela combinação dos dois fatores, a linha de carregamento de transição no ponto C é chamada</p><p>, e</p><p>dependendo de sua inclinação a falha ocorrerá na região A, B ou C.</p><p>Figura 31 - Diagrama de Falha de Fadiga com o método de Goodman e de Langer combinados. Fonte: O Autor.</p><p>155WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para determinar a resistência alternada máxima ( ) e resistência média máxima (</p><p>para uma determinada linha de carreamento ( ) é utilizada as equações na coluna de</p><p>Coordenada de interseção das Tabelas 5 para o método de Goodman. As Tabelas 6 e 7, traz as</p><p>mesmas informações para os métodos de Gerber e ASME-elíptico respectivamente.</p><p>Tabela 5 - Critério de Fadiga de Goodman e Escoamento de Langer. Fonte: Adaptado de</p><p>Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Equação de interseção Coordenada de intersecção</p><p>Critério de Fadiga</p><p>de Goodman</p><p>Linha de carregamento:</p><p>Critério Estático de</p><p>Langer</p><p>Linha de carregamento:</p><p>Interseção do</p><p>critério de fadiga e</p><p>de escoamento</p><p>Fator de Segurança</p><p>Tabela 6 - Critério de Fadiga de Gerber e Escoamento de Langer. Fonte: Adaptado de</p><p>Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Equação de interseção Coordenada de intersecção</p><p>Critério de Fadiga de</p><p>Gerber</p><p>Linha de carregamento:</p><p>Critério Estático de</p><p>Langer</p><p>Linha de carregamento:</p><p>156WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Interseção do critério</p><p>de fadiga e de</p><p>escoamento</p><p>Fator de Segurança</p><p>Tabela 7 - Critério de Fadiga ASME-elíptico e Escoamento de Langer. Fonte: Adaptado</p><p>de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Equação de interseção Coordenada de intersecção</p><p>Critério de Fadiga de</p><p>Gerber</p><p>Linha de carregamento:</p><p>Critério Estático de</p><p>Langer</p><p>Linha de carregamento:</p><p>Interseção do</p><p>critério de fadiga e</p><p>de escoamento</p><p>Fator de Segurança</p><p>2.7 Resistência à fadiga torcional sob tensões flutuantes</p><p>Deve-se trocar por e utilizar as mesmas equações para o critério de</p><p>falha, substituir por e</p><p>e utilizar as mesmas equações para o critério de</p><p>por</p><p>e utilizar as mesmas equações para o critério de</p><p>, veri� car o escoamento que</p><p>se dá pela equação (34):</p><p>(34)</p><p>157WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Caso seja constando vida � nita com torção � utuante, é necessário encontrar uma tensão</p><p>completamente alternada equivalente, para isso é utilizada a equação (35) para o critério de</p><p>Goodlman:</p><p>(35)</p><p>O número de ciclos é determinado pela equação (36), em que a e b são determinados</p><p>pelas equações (18) e (19):</p><p>(36)</p><p>Exemplo 4 (Budynas e Nisbett (2016))</p><p>Uma barra sólida redonda, com 25 mm de diâmetro, tem sulco de profundidade 2,5</p><p>mm com um raio de 2,5 mm usinado nela. A barra é feita de aço AISI 1020 CD (estirado a</p><p>frio) (</p><p>mm com um raio de 2,5 mm usinado nela. A barra é feita de aço AISI 1020 CD (estirado a</p><p>e sujeita a um torque puramente reverso de 200 N.m</p><p>(200000 N.mm). Para a curva desse material, considere f = 0,9.</p><p>a) Calcule o número de ciclos até a falha.</p><p>b) Se a barra for colocada para operar em um ambiente de 400°C, calcule o número de</p><p>ciclos até a falha.</p><p>Para um sulco de 2,5 mm com torção se tem o seguinte concentrador de tensão. Deve-se</p><p>calcular D/d e r/d para obter Kts.</p><p>Aplicando as informações no diagrama, chega-se ao valor aproximado de Kts = 1,4.</p><p>Figura 32 - Concentrador de Tensão Para Torção com Sulco. Fonte: Budynas e Nisbett (2016).</p><p>158WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Agora deve-se calcular o fator de entalhe utilizando a equação (27) referente a torção. O</p><p>fator de entralhe é determinado pela Figura 26, utilizando os valores de Sut e do entalhe do corpo</p><p>analisado. A Figura 33 apresenta a determinação de</p><p>fator de entralhe é determinado pela Figura 26, utilizando os valores de S</p><p>, que é aproximadamente</p><p>0,81.</p><p>Figura 33 - Sensibilidade do Entalhe Exemplo 3. Fonte: Adaptado de Budynas e Nisbett (2016).</p><p>Substituindo as informações na equação (27), chega-se em:Substituindo as informações na equação (27), chega-se em:</p><p>Para determinar a tensão de cisalhamento por torção será utilizada a equação de Torção</p><p>para o concentrador de tensão. Como há um entalhe a equação é multiplicada pelo fator Kfs.</p><p>Como a torção é completamente</p><p>reversa não há componente média somente alternada algo</p><p>semelhante ao que ocorre na Figura 27f:</p><p>Para determinar o limite de endurança será utilizando os fatores de modi� cação ,</p><p>e</p><p>Para determinar o limite de endurança será utilizando os fatores de modi� cação</p><p>, o outros fatores são desprezíveis e serão considerados 1. Inicialmente é utilizada a</p><p>equação (12) para encontrar</p><p>, o outros fatores são desprezíveis e serão considerados 1. Inicialmente é utilizada a</p><p>, a Tabela 1 junto com a equação (14) para material usinado</p><p>para encontrar</p><p>equação (12) para encontrar</p><p>, a equação (24) para o diâmetro d = 20 mm para</p><p>, a Tabela 1 junto com a equação (14) para material usinado</p><p>e a equação (15) para</p><p>a condição de torção pura para determinar</p><p>, a equação (24) para o diâmetro d = 20 mm para</p><p>, e então � nalmente é utilizada a equação (13)</p><p>para determinar o limite de endurança :</p><p>159WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Como só há torção, será determinada a resistência de escoamento por cisalhamento e a</p><p>resistência última ao cisalhamento:</p><p>Para o caso de torção reversível é utilizado a equação (36) com os fatores (18) e (19),</p><p>substituindo por</p><p>Para o caso de torção reversível é utilizado a equação (36) com os fatores (18) e (19),</p><p>:</p><p>a)</p><p>A estimativa é de , como é uma estimativa, não faz sentido utilizar mais</p><p>do que duas casas após a vírgula.</p><p>Para a letra b) deve-se considerar a temperatura de operação de 400°C, pela Tabela 2</p><p>chega-se que o</p><p>Para a letra b) deve-se considerar a temperatura de operação de 400°C, pela Tabela 2</p><p>, repetindo a equação (15), o novo limite de enduraça é calculado</p><p>apenas alterando esse valor:</p><p>Repetindo as equações (36), (18) e (19) para o novo limite de endurança chega-se em:Repetindo as equações (36), (18) e (19) para o novo limite de endurança chega-se em:</p><p>b)</p><p>Somente com a introdução do fator de temperatura, a vida útil do eixo reduziu 14000</p><p>ciclos, uma pequena mudança na carga resulta também em uma grande alteração no número de</p><p>ciclos.</p><p>A análise realizada até aqui já é su� ciente para responder qual é a vida útil</p><p>do eixo, será apresentado o S-N somente para ilustrar a representação grá� ca do</p><p>método descrito na seção 2.6. Para isso basta fazer a linha de baixo ciclo de dos pontos</p><p>p</p><p>método descrito na seção 2.6. Para isso basta fazer a linha de baixo ciclo de dos pontos</p><p>,</p><p>método descrito na seção 2.6. Para isso basta fazer a linha de baixo ciclo de dos pontos</p><p>. Do ponto se faz</p><p>uma reta até , e após esse ponto a curva se mantém constate. Através</p><p>do grá� co basta marcar o ponto de tensão aplicada e encontrar a vida útil, veri� que a estimativa</p><p>pode se tornar bem imprecisa.</p><p>160WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 34 - Diagrama S-N para o exemplo 4 item b). Fonte: O Autor.</p><p>Exemplo 5 (Budynas e Nisbett (2016))</p><p>Um eixo de diâmetro de 40 mm foi usinado de uma barra de aço AISI 1050 (Um eixo de diâmetro de 40 mm foi usinado de uma barra de aço AISI 1050 (</p><p>), repuxada a frio. Essa peça deve aguentar uma carga axial de</p><p>tração � utuante variando de 0 a 70 kN. Por causa das extremidades e do raio de arredondamento,</p><p>o fator de concentrador de tensão de fadiga</p><p>tração � utuante variando de 0 a 70 kN. Por causa das extremidades e do raio de arredondamento,</p><p>é 1,85 para vida de ou maior. Encontre</p><p>e</p><p>o fator de concentrador de tensão de fadiga</p><p>e o fator de segurança que resguarde de fadiga e escoamento de primeiro ciclo, usando a) a</p><p>linha de Soderberg. b) a linha de fadiga de Goodman, c) a linha de Fadiga de Gerber, d) a linha</p><p>de Fadiga ASME-elíptica.</p><p>Para determinar o limite de endurança será utilizando os fatores de Marin , e .</p><p>Será determinado</p><p>Para determinar o limite de endurança será utilizando os fatores de Marin</p><p>pela equação (12), para , a Tabela 1 junto com a equação (14) para</p><p>material usinado, a equação (15) para</p><p>pela equação (12), para</p><p>e</p><p>pela equação (12), para</p><p>para condição de carregamento axial e então</p><p>� nalmente é utilizada a equação (13) para determinar o limite de endurança :</p><p>Inicialmente será determinada as forças alternadas e médias aplicadas no eixo, utilizando</p><p>as equações (28) e (29):as equações (28) e (29):</p><p>161WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Como o carregamento é de tração, a tensão pode ser calculada pela de� nição, tanto para</p><p>a tensão média quanto para a tensão alternada multiplicada pelo fator de segurança:</p><p>A linha de carga pode ser determinada por:A linha de carga pode ser determinada por:</p><p>Determinada as cargas aplicadas, agora serão avaliados os critérios de fadiga, inicialmente</p><p>será aplicada o critério de Soderberg (Tabela 4).</p><p>a)</p><p>O critério de Soderberg é o mais conservador dos métodos, sendo assim o fator de</p><p>segurança será maior do que 1,0 para todos os outros casos, a Figura 35 apresenta o diagrama</p><p>de fadiga para o critério de Soderberg. O ponto A indica as tensões aplicadas e o ponto B as</p><p>tensões máximas que podem ser aplicadas para essa linha de carga, para determinar esses pontos</p><p>é possível utilizar as coordenadas de intersecção do critério de Goodman (Tabela 5), alterando</p><p>por</p><p>é possível utilizar as coordenadas de intersecção do critério de Goodman (Tabela 5), alterando</p><p>.</p><p>Figura 35 - Critério de Soderberg. Fonte: O Autor</p><p>Para os outros métodos, inicialmente é veri� cado o critério de escoamento de Langer,</p><p>utilizando a equação apresentada na Tabela 2:</p><p>162WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>É possível veri� car que o material não irá escoar, agora será veri� cado o fator de segurança</p><p>para o critério de Goodman (Tabela 5):</p><p>A coordenada de intersecção para a Fadiga pode ser determinada utilizando a Tabela 5:A coordenada de intersecção para a Fadiga pode ser determinada utilizando a Tabela 5:</p><p>Para determinar a coordenada de intersecção para a falha por escoamento basta utilizar e</p><p>equação da segunda linha das Tabelas 5, 6 ou 7, veri� que que será a mesma coordenada para os</p><p>três métodos, portanto será calculado uma vez:</p><p>Para determinar a linha de carregamento crítica é utilizada a última linha da Tabela: 5:Para determinar a linha de carregamento crítica é utilizada a última linha da Tabela: 5:</p><p>Todos os pontos são apresentados na Figura 36, sendo A as tensões aplicadas, o ponto B as</p><p>tensões máximas que podem ser aplicadas pelo critério de fadiga, o ponto C as tensões máximas</p><p>para o escoamento do material, como é veri� cado na Figura 36 e no cálculo dos coe� cientes de</p><p>segurança a falha irá ocorrer primeiro, e pôr � m a linha de carregamento crítica.</p><p>163WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 36 - Critério de Goodman. Fonte: O Autor</p><p>Repetindo o processo apresentado para o critério de Goodman, agora é utilizado as</p><p>equações da Tabela 6 para o critério de Gerber, primeiro é calculado o fator de segurança:</p><p>As tensões máximas para Fadiga para a linha de carregamento:As tensões máximas para Fadiga para a linha de carregamento:</p><p>E agora é determinada a linha de carregamento crítica:E agora é determinada a linha de carregamento crítica:</p><p>Os resultados são apresentados na Figura 37:</p><p>164WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 37 - Critério de Gerber. Fonte: O Autor</p><p>O último critério é o ASME-elíptico, agora são utilizadas as equações da Tabela 7: O último critério é o ASME-elíptico, agora são utilizadas as equações da Tabela 7:</p><p>Os pontos críticos para fadiga:Os pontos críticos para fadiga:</p><p>A linha de carregamento crítica:A linha de carregamento crítica:</p><p>E por � m a Figura 38 apresenta todos os itens calculados:</p><p>165WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 38- Critério de ASME-elíptico.</p><p>Fonte: O Autor</p><p>3. MÉTODOS DE ENERGIA</p><p>Para de� nirmos os métodos de energia, incialmente será retomado a ideia de trabalho</p><p>estudado em mecânica. O trabalho ocorre quando uma força externa desloca um corpo na</p><p>mesma direção em que ela é aplicada, logo a de� nição de trabalho é dado pela equação (37):</p><p>(37)</p><p>Agora vamos imaginar um corpo submetido a uma força axial, apresentado na Figura 39a,</p><p>a força varia de 0 até um valor P e causa um deslocamento � nal de</p><p>Agora vamos imaginar um corpo submetido a uma força axial, apresentado na Figura 39a,</p><p>, se esse corpo se comporta</p><p>de maneira elástica, a força é proporcional ao deslocamento. Aplicando essas informações na</p><p>equação (37) e integrando chega-se na equação (38):</p><p>(38)</p><p>Agora vamos veri� car a Figura 39b, nesse caso há uma pré-carga axial aplicada, sendo</p><p>assim quando formos calcular o trabalho para esse caso devemos tomar cuidado, pois parte do</p><p>trabalho será realizado pela pré-carga e o restante pela variação da nova força P’ aplicada.</p><p>Figura 39 – a) Carregamento axial para P b) Carregamento axial com pré-carga. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>166WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Uma forma mais fácil de visualizar o cálculo dos trabalhos é utilizar a Figura 40 que</p><p>basicamente é um diagrama de Força por deslocamento. Em um primeiro momento é aplicada</p><p>a pré-carga P, essa irá realizar um trabalho na forma de um triângulo (azul claro). Quando é</p><p>aplicada uma força P’ variável, a força P irá realizar trabalho na forma de um retângulo (azul</p><p>escuro) e a força P’ irá realizar o trabalho do triângulo menor (cinza). O trabalho total aplicado</p><p>no corpo é o triângulo resultante apresentado na Figura 40.</p><p>Figura 40 - Diagrama de trabalho. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Da mesma força podemos de� nir o trabalho para um momento, a grande diferença é que</p><p>o deslocamento será angular nesse caso, sendo assim o trabalho causado por um momento pode</p><p>ser calculado por:</p><p>(39)</p><p>Integrando para um corpo elástico em que M é proporcional ao deslocamento e que M</p><p>varia de 0 a M, chega-se em:</p><p>(40)</p><p>Todo o trabalho aplicado por uma força externa irá ser convertida em trabalho interno,</p><p>que é denominado de energia de deformação. Essa energia é sempre positiva, e é armazenada</p><p>pelo corpo devido as tensões aplicadas. Podemos calcular essa energia interna para uma tensão</p><p>normal pela equação (41) e para uma tensão de cisalhamento pela a equação (42):</p><p>(41)</p><p>(42)</p><p>Bem agora podemos resolver as equações (41) e (42) para qualquer tipo de carregamento,</p><p>o primeiro carregamento a ser resolvido é o carregamento axial, para o carregamento axial chega-</p><p>se na equação (43):</p><p>(43)</p><p>167WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>O caso mais comum é que a força seja constante e a seção de área transversal também,</p><p>logo a equação (43) se torna:</p><p>(44)</p><p>Para a torção, chega-se na equação (45). Para uma torção constante e uma seção de área</p><p>transversal constante chega-se na equação (46):</p><p>(45)</p><p>(46)</p><p>Realizando o procedimento para um momento � etor aplicado chega-se na equação (47),</p><p>veja que para aplicar a equação é necessário conhecer o momento em função do comprimento x:</p><p>(47)</p><p>E � nalmente para um carregamento de cisalhamento é utilizada a equação (48), a</p><p>constante fs é chamada de fator de forma e pode ser calculada pela equação (49):</p><p>(48)</p><p>(49)</p><p>Geralmente o efeito de cisalhamento é desprezado já que a contribuição é muito pequena</p><p>quando comparada ao momento.</p><p>3.1 Conservação de Energia</p><p>Todos os métodos de energia baseiam-se no equilíbrio, aqui nesse caso será utilizadas</p><p>somente a energia mecânica, logo energias como calor, reações químicas entre outras serão</p><p>desprezadas. Se considerarmos que a força aplicada for muito lenta, podemos também desprezar</p><p>o efeito de energia cinética, logo todo o trabalho externo é convertido em trabalho externo como</p><p>é apresentado na equação (50):</p><p>(51)</p><p>Essa ideia apesar de simples é bastante limitada e deve agir somente uma força interna ou</p><p>momento interno no elemento, logo o deslocamento só pode ser determinado para uma única</p><p>força externa aplicada, no ponto e direção dessa mesma força ou momento.</p><p>168WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 6 (Hibbeler 2010)</p><p>Determine o deslocamento vertical do ponto C. Considere Determine o deslocamento vertical do ponto C. Considere</p><p>Despreze o efeito do cisalhamento.</p><p>Figura 41 – Exemplo 6. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Primeiro vamos determinar as reações nos apoios A e B. Resolvendo as condições de</p><p>equilíbrio:</p><p>Agora, é necessário determinar a equação de momento � etor para a seção AC e para a</p><p>seção BC. Utilizando a Figura 42 que secciona a via em C, é são determinadas as duas equações</p><p>dos momentos pelo método das seções.</p><p>Figura 42 – Seções Exemplo 6. Fonte: O Autor.</p><p>Aplicando a equação de equilíbrio para os momentos no corte em C, chega-se nas</p><p>equações de momento para a seção da esquerda e da direita respectivamente.</p><p>169WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Através da equação (47) é obtida a energia interna aplicada na viga:Através da equação (47) é obtida a energia interna aplicada na viga:</p><p>Resolvendo a integral chega-se a:Resolvendo a integral chega-se a:</p><p>A energia interna é determinada pela equação (38):A energia interna é determinada pela equação (38):</p><p>Veja que a incógnita persiste, aplicando a equação (51), é possível determinar o</p><p>deslocamento:</p><p>Logo o deslocamento encontrado no ponto C é de 13,3 mm.</p><p>3.2 Princípio do Trabalho Virtual</p><p>Como dito anteriormente, os métodos de energia geralmente partem do pressuposto da</p><p>conservação de energia e que é necessário satisfazer as condições de equilíbrio e compatibilidade.</p><p>Para satisfazer a condição de equilíbrio se aplicada uma força externa P irá ocorrer uma</p><p>força interna u, e para a compatibilidade quando ocorrer um deslocamento externo</p><p>Para satisfazer a condição de equilíbrio se aplicada uma força externa P irá ocorrer uma</p><p>por</p><p>consequência haverá o deslocamento interno</p><p>força interna u, e para a compatibilidade quando ocorrer um deslocamento externo</p><p>, dessa forma quando os deslocamentos externos</p><p>forem conhecidos, os internos correspondente estarão de� nidos pela equação (52) para corpos</p><p>contínuos:</p><p>(52)</p><p>A ideia do trabalho virtual é aplicar uma força virtual unitária (uma força imaginaria)</p><p>no ponto em que se deseja conhecer o deslocamento, dessa forma inicialmente será analisado o</p><p>corpo na condição virtual e então na condição real. A equação (52) apresenta que variação de</p><p>trabalho virtual externo é igual a variação de trabalho virtual interno. De maneira semelhante é</p><p>determinado o deslocamento angular para um momento virtual apresentado na equação (53):</p><p>∆ (53)</p><p>(54)</p><p>A Tabela 8 apresenta o cálculo do trabalho virtual para cada um dos carregamentos</p><p>apresentados anteriormente.</p><p>170WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Tabela 8 - Trabalho virtual para carregamentos. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2010).</p><p>,</p><p>Deformação Causada por: Energia de deformação Trabalho virtual interno</p><p>Carga Axial N</p><p>Cisalhamento V</p><p>Momento Fletor M</p><p>Momento de Torção T</p><p>Agora será desenvolvido em cada uma das seções a seguir um método para aplicar o</p><p>trabalho virtual a treliças para determinar os deslocamentos, bem como uma metodologia</p><p>aplicada a vigas.</p><p>3.2.1 Princípio do Trabalho Virtual Aplicado a Treliças</p><p>Para desenvolver as equações para treliça, vamos visualizar a Figura 43, inicialmente</p><p>todos os elementos da treliça estão submetidos a carga axial, logo será utilizada a primeira linha</p><p>da Tabela 8. A treliça apresentada na esquerda da Figura 43 apresenta somente uma força virtual</p><p>aplicada no ponto em que se deseja encontrar o deslocamento, enquanto a Figura da direita</p><p>apresenta o carregamento real aplicado na treliça.</p><p>Figura 43 - Principio do trabalho virtual para treliças. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Aplicando a equação em todos os elementos da treliça, considerando a força virtual em</p><p>A, o deslocamento pode ser determinado pela equação (55):</p><p>(55)</p><p>171WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3.2.2 Princípio do Trabalho Virtual Aplicado a Vigas</p><p>De forma análogo ao que foi feito para as treliças, veja a viga apresentada na Figura 44</p><p>para um carregamento real, caso se queira determinar o deslocamento no ponto A é necessário</p><p>aplicar uma força virtual nesse ponto, considerando somente a � exão chega-se no deslocamento</p><p>para uma viga.</p><p>(56)</p><p>Figura 44 - Principio do trabalho virtual para vigas. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A inclinação é obtida de forma semelhante utilizando a equação (57):A inclinação é obtida de forma semelhante utilizando a equação (57):</p><p>(57)</p><p>Caso os efeitos de torção e cisalhamento aplicados na viga não sejam desprezíveis é</p><p>necessário somar os efeitos apresentados na Tabela 8.</p><p>3.3 Teorema de Castigliano</p><p>O Teorema de Castigliano a� rma que que o deslocamento em um ponto é igual a derivada</p><p>parcial de primeira ordem da energia de deformação no corpo em relação a uma força e que a</p><p>inclinação da tangente em um ponto é a derivada de primeira ordem da energia de deformação</p><p>em relação a um momento aplicado no ponto.</p><p>Assim como � zemos para o trabalho virtual, iremos aplicar o teorema de Castigliano em</p><p>treliças e em vigas, para uma análise mais simpli� cada.</p><p>3.3.1 Teorema de Castigliano Aplicado a Treliças</p><p>Como as treliças são submetidas somente a cargas axiais, o deslocamento pode ser</p><p>determinado utilizando a equação (58), veja que aqui deveremos escrever as forças internas N</p><p>em função das forças externas P para conseguir realizar a derivada parcial.</p><p>(58)</p><p>3.3.2 Teorema de Castigliano Aplicado a Vigas</p><p>Para avaliar o deslocamento e a inclinação de uma viga somente para o caso de � exão são</p><p>utilizadas as equações (59) e (60) respectivamente, veja que novamente é necessário escrever os</p><p>momentos internos em função dos momentos externos para cada caso.</p><p>172WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(59)</p><p>(60)</p><p>As equações (59) e (60) só levam em consideração a � exão aplicada em uma viga, a</p><p>equação (59) pode ser generalizada considerando, torção, cisalhamento � exão e carga axial pela</p><p>equação (61):</p><p>(61)</p><p>Agora para � nalizar o capítulo iremos resolver um problema de treliça e de viga utilizando</p><p>o método de trabalho virtual e o Teorema de Castigliano.</p><p>Exemplo 7 (Hibbeler 2010)</p><p>Determine o deslocamento horizontal e vertical respectivamente no nó C e D a) Pelo método</p><p>do trabalho virtual e b) Pelo Teorema de Castigliano. Considere</p><p>Determine o deslocamento horizontal e vertical respectivamente no nó C e D a) Pelo método</p><p>Figura 45 - Principio do trabalho virtual para vigas. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>O primeiro passo é representar as forças virtuais aplicadas no ponto C e no ponto D, as</p><p>representações são apresentadas na Figura 46:</p><p>Figura 46 - Forças Virtuais Exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2010)</p><p>173WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Pelo métodos dos nós serão determinadas as forças internas virtuais causadas pelas forças</p><p>virtuais apresentadas na Figura 6. Primeiro para a força virtual em C:</p><p>Nó D Nó C</p><p>Nó A</p><p>Agora realizando o mesmo procedimento para a força virtual em D:</p><p>Nó D Nó C</p><p>Nó A</p><p>Agora será aplicado o método dos nós para o carregamento real apresentado na Figura</p><p>45:</p><p>Nó D Nó C</p><p>Nó A</p><p>Agora devemos utilizar a equação (55), para facilitar o cálculo é construído uma Tabela</p><p>9, conforme apresentada a seguir. A Tabela 9 apresenta o deslocamento para a força virtual em C</p><p>e a Tabela 10 apresenta o deslocamento para a força virtual em D.</p><p>174WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Tabela 9 - Cálculo de deslocamento para o ponto C. Fonte: O Autor.</p><p>Elo n (N) N (N) L (m) nNL</p><p>DC 0 10000 2 0</p><p>DA 0 0 1,5 0</p><p>CA 0 12500 2,5 0</p><p>CB 1 12500 1,5 18750</p><p>AB 0 10000 2 0</p><p>∑ 18750</p><p>Agora sim aplicando a equação (55):Agora sim aplicando a equação (55):</p><p>Tabela 10 - Cálculo de deslocamento para o ponto D. Fonte: O Autor.</p><p>Elo n (N) N (N) L (m) nNL</p><p>DC 1 10000 2 20000</p><p>DA 0 0 1,5 0</p><p>CA 1,25 12500 2,5 390625</p><p>CB 0,75 12500 1,5 14062,5</p><p>AB 1 10000 2 20000</p><p>∑ 93125</p><p>Agora sim aplicando a equação (55):Agora sim aplicando a equação (55):</p><p>Dessa forma determinamos o deslocamento pelo método do trabalho virtual, agora</p><p>iremos utilizar o Teorema de Castigliano, a ideia é muito semelhante só que aqui iremos colocar</p><p>a força P como uma incógnita no ponto em que desejamos determinar o deslocamento, sendo</p><p>assim o treliça será resolvida pelo método dos nós seguindo a Figura 47.</p><p>175WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 47 – Diagrama de forças Exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2010)</p><p>Pelo métodos dos nós serão determinadas as forças internas em função das forças externas</p><p>para o caso apresentado na Figura 47.</p><p>Nó D Nó C</p><p>Nó A</p><p>Agora devemos utilizar a equação (58), para facilitar o cálculo é construído uma Tabela</p><p>11, conforme apresentada a seguir. A Tabela 11 apresenta o Teorema de Castigliano, para será</p><p>considerado P2 = 10 kN, pois se quer investigar o deslocamento em P1.</p><p>Tabela 11 - Cálculo de deslocamento para o ponto C. Fonte: O Autor.</p><p>Elo N</p><p>(N)</p><p>N (P1 = 5KN) L (m)</p><p>N L</p><p>DC 10000 0 0 2 0</p><p>DA 0 0 0 1,5 0</p><p>CA 12500 0 0 2,5 0</p><p>CB 7500+P1 1 12500 1,5 18750</p><p>AB 0 0 0 2 0</p><p>∑ 18750</p><p>176WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Agora sim aplicando a equação (58):</p><p>Para o segundo deslocamento será considerado P1 = 5KN e P2 como uma variável, a</p><p>Tabela 12.</p><p>Tabela 12 - Cálculo de deslocamento para o ponto D. Fonte: O Autor.</p><p>Elo N</p><p>(N)</p><p>N (P1 = 10KN) L (m)</p><p>N L</p><p>DC P2 1 10000 2 20000</p><p>DA 0 0 0 1,5 0</p><p>CA 1,25P2 1,25 12500 2,5 39062,5</p><p>CB 0,75P2+5000 0,75 12500 1,5 14062,5</p><p>AB P2 1 10000 2 20000</p><p>∑ 93125</p><p>Agora sim aplicando a equação (58):Agora sim aplicando a equação (58):</p><p>Exemplo 8 (Hibbeler 2010)</p><p>Determine o deslocamento na polia B a) Pelo método do trabalho virtual e b) Pelo</p><p>Teorema de Castigliano. Considere</p><p>Determine o deslocamento na polia B a) Pelo método do trabalho virtual e b) Pelo</p><p>Figura 48 - Exemplo 8. Fonte: Hibbeler (2010)</p><p>177WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para iniciar vamos determinar as reações nos apoios A e C para o carregamento real.</p><p>Resolvendo as condições de equilíbrio:</p><p>Agora, é necessário determinar a equação de momento � etor o eixo será dividido em 4</p><p>seções sendo, sendo dividido em cada força aplicada no corpo. As seções são apresentadas na</p><p>Figura 49, veja que para cada seção será apresentada uma variável x independente de 0 até o valor</p><p>� nal do comprimento da seção.</p><p>Figura 49 – Seções Exemplo 8. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Agora iremos resolver cada uma das seções:</p><p>Seção 1 Seção 2</p><p>Seção 3 Seção 4</p><p>178WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Inicialmente será aplicada uma força no virtual no ponto B, e então será determinada a</p><p>reação virtual em A e em C. O esquemático é apresentado pela Figura 50.</p><p>Figura 50 - Diagrama de corpo livre para a força virtual. Fonte: O Autor.</p><p>Agora será apresentado os momentos � etores virtuais para a força virtual aplicada,</p><p>utilizando as mesmas seções do carregamento real.</p><p>Seção 1 Seção 2</p><p>Seção 3 Seção 4</p><p>Agora é aplicada a equação (56) para determinar o deslocamento da viga.</p><p>Distribuindo os termos chega-se a:Distribuindo os termos chega-se a:</p><p>Realizando a integração da equação chega-se em:</p><p>179WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Substituindo os valores e utilizando o teorema fundamental</p><p>do cálculo:</p><p>O deslocamento da viga é , pelo método do princípio do trabalho virtual.</p><p>Agora para � nalizar iremos utilizar o Teorema de Castigliano, a equação (59). Agora para � nalizar iremos utilizar o Teorema de Castigliano, a equação (59).</p><p>Aqui devemos determinar as equações dos momentos � etores em função de uma força P</p><p>aplicada no local desejado, e então determinar as derivadas parciais dos momentos em relação as</p><p>forças. Iremos basicamente repetir o cálculo das reações e dos momentos � etores, só que agora</p><p>com a força P no local da polia. Na Figura 51 é apresentado o diagrama de corpo livre, e então</p><p>são determinadas as reações.</p><p>Figura 51 - D.C.L. para o Teorema de Castigliano. Fonte: O Autor.</p><p>Resolvendo as condições de equilíbrio:Resolvendo as condições de equilíbrio:</p><p>Agora iremos seccionar a viga de forma análoga ao que foi realizada na Figura 49, as</p><p>seções são apresentadas na Figura 52. E abaixo são determinadas as equações para o momento</p><p>� etor e suas derivadas parciais.</p><p>180WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 52 - Seções Exemplo 3. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Seção 1</p><p>E a derivada parcial da função M1 chega-se em:</p><p>Para P = 2000 N, chega-se na função:</p><p>Seção 2</p><p>E a derivada parcial da função M2 chega-se em:</p><p>Para P = 2000 N, chega-se na função:</p><p>Seção 3</p><p>E a derivada parcial da função M3 chega-se em:</p><p>Para P = 2000 N, chega-se na função:</p><p>Seção 4</p><p>E a derivada parcial da função M4 chega-se em:</p><p>Para P = 2000 N, chega-se na função:</p><p>Depois de determinado a equação dos momentos � etores e suas derivadas parciais, para</p><p>� nalizar iremos utilizar o Teorema de Castigliano, a equação (59).</p><p>181WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>5</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Veja que chegamos em uma equação muito parecida com a equação para a força virtual,</p><p>podemos resolver de mesma maneira as integrais chegando em:</p><p>O deslocamento da viga é , pelo Teorema de Castigilano. Repare que</p><p>ambos os métodos convergem para o mesmo resultado.</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Caro(a) aluno(a), chegamos ao � nal da disciplina de resistência dos materiais. Nessa</p><p>última unidade, foram estudadas os critérios de falha estática e por fadiga, ambos são de extrema</p><p>importância para as etapas de projeto para avaliar e veri� car o dimensionamento. Além dos</p><p>critérios de falha nessa unidade foram apresentados os métodos de energia que são aplicados</p><p>para determinar os deslocamentos de treliças e deslocamentos e inclinação de vigas.</p><p>Esperamos que você tenha conseguido absorver o máximo de conteúdo presente neste</p><p>livro e que consiga aplicar todos os conceitos em casos práticos. Por � m, não se esqueça de que,</p><p>se quiser se aprofundar mais no conteúdo, procure os livros trazidos nas referências.</p><p>182WWW.UNINGA.BR</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 7. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill, 2015.</p><p>BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: Estática. 3. ed. São</p><p>Paulo: McGraw-Hill, 1980.</p><p>BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron</p><p>Books, 1995.</p><p>BOTELHO, M.H.C. Resistência dos materiais: para entender e gostar. 4ª ed. São Paulo: Blücher,</p><p>2008.</p><p>BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley. 10. ed. Porto Alegre:</p><p>AMGH, 2016.</p><p>GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. São Paulo: � omson, 2003.</p><p>HIBBELER, R. C. Estática. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2011.</p><p>HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.</p><p>HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2019.</p><p>MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia: Estática. 7. ed. São Paulo: LTC, 2016.</p><p>MOTT, R. L. Elementos de máquinas em projeto mecânicos. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2015.</p><p>NORTON, R. L. Projeto de máquinas. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.</p><p>SHAMES, I. H. Estática: Mecânica para Engenharia. 4. ed. Rio de Janeiro: Pearson, 2002. v. 1.</p><p>for e a tensão</p><p>de esmagamento da viga for , (b) determine o fator de segurança em relação ao</p><p>escoamento em cada caso.</p><p>Figura 17 - Exemplo 4. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>17WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>O carregamento de forças uniformemente distribuído pode ser substituído por uma força</p><p>local izada em seu centro. Essa força é calculada por , sendo o carregamento aplicado</p><p>e L, o comprimento do carregamento. Então:</p><p>O diagrama de corpo livre do problema é representado por:</p><p>Figura 18 - Exemplo 4 (DCL). Fonte: O autor.</p><p>O ângulo pode ser encontrado por trigonometria, utilizando-se os lados do triângulo</p><p>da Figura 17:</p><p>Aplicando a somatória dos momentos em C, chega-se à força :</p><p>Determinado-se agora a área do pino e a área da haste:</p><p>18WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Pelas equações 4, 7 e 8, serão calculadas as tensões aplicadas no corpo, respondendo o</p><p>item (a):</p><p>(a)</p><p>Pela equações 10 e 11, encontra-se o fator de segurança para cada tensão:</p><p>(b)</p><p>2 DEFORMAÇÃO</p><p>Quando forças são aplicadas a um corpo, ele tende a mudar de fo rma. Tal mudança é</p><p>visível em um elástico, mas praticamente imperceptível em metais e estruturas, sendo necessários</p><p>equipamentos próprios para se realizar a medição (HIBBELER, 2010).</p><p>Serão considerados dois tipos de deformação: as normais, que ocorrem no comprimento</p><p>de segmentos de retas; e as cisalhantes, que são as deformações angulares.</p><p>2.1 Deformação Normal</p><p>A deformação normal ocorre quando há alongamento ou contração de um segmento</p><p>de reta. Veja a Figura 19a: a distância inicial entre A e B é , no segmento de reta n. Após a</p><p>deformação (Figura 19b), os pontos A e B são deslocados para A’ e B’, e a reta passa a ser uma</p><p>curva .</p><p>19WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 19 - (a) Corpo não deformado; (b) corpo deformado. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A deformação normal média é calculada por:</p><p>(14)</p><p>Se B � ca mais próximo de A, por consequência, B’ também � ca mais próximo de A’. Logo,</p><p>se , então . Sendo assim, pela equação 15, é possível encontrar a deformação</p><p>normal em um ponto A arbitrário:</p><p>(15)</p><p>Se a deformação for conhecida para um segmento de reta curto, é possível estimar qual</p><p>será o comprimento � nal da reta pela equação 16:</p><p>(16)</p><p>Por isso, se o comprimento aumentar, a deformação será considera positiva e, se o</p><p>comprimento diminuir, será negativa. A deformação ( ) é um número adimensional, que é a</p><p>razão entre dois comprimentos. No SI, é comum utilizar m/m (metro por metro); porém, na</p><p>prática, essa razão pode ser expressa em: porcentagem, mm/m (milímetros por metro), mm/mm</p><p>(milímetro por milímetro), (micrômetros por metro), dentre outras formas.</p><p>2.2 Deformação por Cisalhamento</p><p>A deformação por cisalhamento é a mudança angular entre dois segmentos de reta que ,</p><p>inicialmente, eram perpendiculares entre si (Figura 20a) para dois segmentos não perpendiculares</p><p>(Figura 20b).</p><p>20WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 20 - (a) Corpo não deformado; (b) deformação por cisalhamento. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A deformação por cisalhamento é a diferença entre a posição inicial ( ) e a posição</p><p>� nal ( ). Sendo ’ a soma da deformação em relação ao eixo n e t, a equação 17 apresenta a</p><p>deformação por cisalhamento:</p><p>(17)</p><p>A Figura 21 apresenta a convenção de sinal para a deformação por cisalhamento.</p><p>Figura 21 - Convenção de sinal para a deformação por cisalhamento. Fonte: Hibbeler (2019).</p><p>2.3 Componentes Cartesianos da Deformação</p><p>As deformações vistas até aqui podem ser representadas em um corpo tridimensional,</p><p>como o cubo da Figura 22a. Inicialmente, ele possui todos os lados do mesmo tamanho e</p><p>perpendiculares entre si. Após a deformação, é possível encontrar os novos comprimentos e</p><p>ângulos utilizando-se as equações 16 e 17 (Figura 22).</p><p>21WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 22 - (a) Cubo não deformado; (b) cubo deformado. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Exemplo 5, de Hibbeler (2010)</p><p>A forma original da peça de borracha é retangular. A partir disso: (a) determine a</p><p>deformação por cisalhamento média (em radianos) se os cantos B e D forem submetidos a</p><p>deslocamentos que provoquem a distorção da borracha, mostrada pelas linhas; e (b) determine a</p><p>deformação normal média ao longo da diagonal DB e do lado AD, tracejados em mm/mm.</p><p>Figura 23 – Exemplo 5. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Primeiro, realiza-se um esquemático do corpo antes e após a deformação (Figura 24).</p><p>Como a deformação ocorre de maneira uniforme, as arestas AB’ e D’C’ são paralelas, assim como</p><p>AD’ e B’C’. Portanto, a deformação por cisalhamento no ponto B é igual à em D, que é a soma dos</p><p>ângulos e . De acordo com a convenção apresentada na Figura 21, a deformação é negativa.</p><p>22WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 24 - Esquemático (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>Então:</p><p>Os ângulos e são obtidos por trigonometria pelos triângulos A-D-D’ e A-B-B’, da</p><p>Figura 24.</p><p>A deformação total é de . Convertendo-se para radianos:</p><p>rad.</p><p>(a)</p><p>Agora, devem-se calcular as deformações normais para as arestas AD’ e B’D’. Para se</p><p>obter o alongamento AD’, basta aplicar Pitágoras no triangulo ADD’. Logo:</p><p>Para encontrar a distância B’D’, será aplicada a lei dos cossenos no triângulo AD’B’ (Figura</p><p>25).</p><p>23WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 25 - Esquemático 2 (exemplo 5). Fonte: O autor.</p><p>Para encontrar o comprimento AB’, faz-se o mesmo procedimento de AD’:</p><p>Pela Figura 25, , então . Nesse caso, a lei</p><p>dos cossenos é dada por:</p><p>A deformação normal para AD’ é encontrada pela equação 14:</p><p>O comprimento original de BD é 500 mm. A deformação para o lado B’D’ é:</p><p>(b) e</p><p>24WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS</p><p>De� nidas tensão e deformação, agora será apresentado o ensaio mecânico que relaciona</p><p>ambas. O ensaio de tração proporciona o diagrama de tensão-deformação, que é de suma</p><p>importância para a Engenharia.</p><p>3.1 Ensaio e Diagrama de Tração e Compressão</p><p>A resistência de um material é a capacidade de suportar uma carga sem que haja deformação</p><p>excessiva ou ruptura. Essa propriedade pode ser avaliada por meio de um ensaio de tração ou</p><p>compressão (HIBBELER, 2010). Embora outras características possam ser determinadas por esse</p><p>ensaio, sua principal função é a de relacionar a tensão normal média e a deformação normal</p><p>média.</p><p>No ensaio, utiliza-se um corpo de prova com forma e tamanho padronizados (Figura 26).</p><p>Figura 26 - Corpo de prova para ensaio de tração e compressão. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Estabelece-se um comprimento inicial e um diâmetro inicial . Os valores e são</p><p>padronizados por normas especí� cas. Um extensômetro é acoplado ao corpo de prova e mede</p><p>diretamente sua deformação.</p><p>O corpo é � xado em uma máquina de teste, semelhante à apresentada na Figura 27. A</p><p>máquina alonga o corpo de prova a uma taxa muito lenta e constante até atingir o ponto de</p><p>ruptura. O resultado desse ensaio é o diagrama tensão-deformação.</p><p>Figura 27 - Máquina de ensaio de tração. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>25WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3.2 O Diagrama Tensão-Deformação</p><p>Existem duas representações do diagrama tensão-deformação. A primeira delas é</p><p>o diagrama tensão-deformação convencional, ou tensão-deformação de Engenharia. Nele,</p><p>considera-se que a área inicial do corpo de prova se mantém constante. A outra representação</p><p>é o diagrama de tensão-deformação</p><p>real, que utiliza o comprimento e a área no instante em que</p><p>a carga é medida (HIBBELER, 2010).</p><p>A diferença entre ambos pode ser vista na Figura 28, que apresenta um diagrama tensão-</p><p>deformação para um aço. Note que as maiores diferenças entre os dois diagramas ocorrem</p><p>na região plástica. Como a maioria dos projetos de Engenharia está situada dentro da região</p><p>elástica (zona em que a distorção do material é baixa e os materiais geralmente são metais), o</p><p>erro associado entre o diagrama tensão-deformação convencional e real varia em torno de 0,1%.</p><p>Devido a isso, o diagrama tensão-deformação convencional é o mais utilizado e, por isso, suas</p><p>características serão apresentadas.</p><p>As equações de tensão e de deformação apresentadas anteriormente também são válidas,</p><p>com algumas pequenas diferenças.</p><p>A tensão é calculada pela equação 18:</p><p>(18)</p><p>E a deformação é calculada pela equação 19. Há uma mudança de nomenclatura para as</p><p>variáveis, sendo:</p><p>(19)</p><p>deformação de Engenharia.</p><p>alongamento ( ).</p><p>comprimento inicial do corpo de prova.</p><p>Figura 28 - Diagrama tensão-deformação. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>26WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Na primeira região, corre o comportamento elástico, capacidade de retornar à forma</p><p>original após a carga ser removida. Na região elástica apresentada na Figura 28, a relação entre</p><p>tensão e deformação é linear até o limite de proporcionalidade . O material continua a ter um</p><p>comportamento elástico até o limite de elasticidade .</p><p>O escoamento ocorre quando uma tensão um pouco superior ao limite de elasticidade</p><p>é aplicada, e o material continua a se deformar sem aumentar a carga. Esse ponto é conhecido</p><p>como tensão de escoamento . A deformação nessa região é plástica, ou seja, o material se</p><p>deformará permanentemente.</p><p>Após o término do escoamento, a tensão volta a aumentar até o limite de resistência .</p><p>Durante todo o ensaio, conforme o corpo se alonga, a seção transversal do material é reduzida</p><p>uniformemente até ao limite de resistência.</p><p>Na estricção, a redução da seção transversal não ocorre mais uniformemente no corpo</p><p>todo, mas, sim, em uma região localizada. Por consequência, a área começa a diminuir até à</p><p>tensão de ruptura do material . A estricção pode ser visualizada na Figura 29a e ocorre até à</p><p>ruptura do material (Figura 29b).</p><p>Figura 29 - (a) Estricção; (b) ruptura de um material dúctil. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>O ensaio de um corpo de prova pode ser visto por meio do link:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=wgoU-UJpj90.</p><p>27WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>3.3 Lei de Hooke</p><p>Como se apresentou no diagrama tensão-deformação, para a maioria dos materiais</p><p>ocorre uma relação linear entre a tensão e a deformação até o limite de proporcionalidade. A lei</p><p>de Hooke, equação 20, é dada por:</p><p>(20)</p><p>A constante de proporcionalidade é denominada de módulo de elasticidade ou de</p><p>módulo de Young. É uma das propriedades mais importantes em resistência dos materiais,</p><p>devendo ser utilizada apenas na região elástica até o limite de proporcionalidade.</p><p>3.4 Coeficiente de Poisson</p><p>Quando um corpo é submetido a uma tração, ele se alonga no comprimento e se contrai</p><p>lateralmente (Figura 30a). E, quando o corpo é sujeito à compressão, ele é comprimido e se</p><p>expande lateralmente (Figura 30b).</p><p>Com isso, o cientista francês S.D. Poisson percebeu que, dentro da faixa elástica, a relação</p><p>entre as deformações é proporcional – o que é denominado de coe� ciente de Poisson. Isso é</p><p>válido apenas para materiais homogêneos e isotrópicos (HIBBELER, 2010).</p><p>Figura 30 - (a) Deformação para tração; (b) deformação para compressão. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Existem diferenças críticas entre materiais dúcteis e frágeis. Em Hibbeler (2010,</p><p>p. 60), são apresentadas as principais características dos materiais no ensaio de</p><p>tração e compressão.</p><p>E em Hibbeler (2010, p. 64), são apresentadas as equações de energia de defor-</p><p>mação, que serão utilizadas em critérios de falhas, no tópico 11.</p><p>28WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>O coe� ciente de Poisson é calculado pela equação 21:</p><p>(21)</p><p>O sinal de negativo se dá, pois uma deformação lateral positiva resulta em uma deformação</p><p>longitudinal negativa, assim como o caso reverso. Os valores do coe� ciente de Poisson são</p><p>encontrados na faixa de . Para a maioria dos metais, o valor está entre 0,25 e 0,35.</p><p>3.5 O Diagrama Tensão Deformação para Cisalhamento</p><p>De forma análoga ao diagrama de tensão-deformação para tração, há, também, o diagrama</p><p>tensão-deformação de cisalhamento. Ambos os diagramas são muito parecidos (Figura 31), bem</p><p>como a nomenclatura das variáveis obtidas por eles.</p><p>Figura 31 - Tensão-deformação de cisalhamento. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Como no diagrama tensão-deformação para tração existe uma região linear, a lei de</p><p>Hooke para o cisalhamento é dada pela equação 22:</p><p>(22)</p><p>Tensão de cisalhamento.</p><p>Módulo de rigidez.</p><p>deformação por cisalhamento.</p><p>É possível relacionarem-se o módulo de elasticidade, módulo de rigidez e coe� ciente de</p><p>Poisson pela equação 23.</p><p>(23)</p><p>As propriedades de alguns materiais, como tensão de escoamento e módulo de elasticidade,</p><p>podem ser encontradas ao � nal dos livros de resistência dos materiais.</p><p>29WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 6 (HIBBELER, 2010)</p><p>A Figura 32 apresenta o diagrama tensão-deformação para um aço-liga com 12 mm de</p><p>diâmetro original e comprimento de referência 50 mm. Determine os seguintes valores para o</p><p>material: (a) o módulo de rigidez; (b) a carga aplicada ao corpo de prova que causa escoamento;</p><p>e (c) a carga máxima que o corpo de prova suportará.</p><p>Figura 32 – Exemplo 6. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Na parte de baixo do diagrama tensão-deformação, a Figura 32 apresenta a região elástica</p><p>do material. Para encontrar seu módulo de rigidez, marca-se um ponto no grá� co (Figura 33, em</p><p>vermelho) e aplica-se a ele a equação 20.</p><p>Figura 33 – Pontos utilizados para análise. Fonte: Adaptado de Hibbeler (2010).</p><p>30WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(a)</p><p>Como o corpo é cilíndrico:</p><p>A carga de escoamento ocorre na tensão máxima da região elástica (Figura 33, em</p><p>vermelho), e a tensão de ruptura é o ponto máximo do grá� co (Figura 33, em verde). Aplicando-</p><p>se a equação 4 para esses pontos:</p><p>(b)</p><p>(c)</p><p>Exemplo 7 (HIBBELER, 2010)</p><p>A haste plástica de acrílico tem 200 mm de comprimento e 15 mm de diâmetro. Se uma</p><p>carga axial de 300 N for aplicada a ela, determine (a) a mudança em seu comprimento e (b) em</p><p>seu diâmetro. , .</p><p>Figura 34 - Exemplo 7. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>31WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para determinar o alongamento do corpo, será calculada a tensão no material:</p><p>Aplicando-se a Lei de Hooke (equação 20), é possível encontrar a deformação do corpo:</p><p>.</p><p>Pela de� nição de deformação (equação 14), chega-se à resposta do item (a):</p><p>(a)</p><p>Para encontrar a deformação no diâmetro, é utilizado o coe� ciente Poisson (equação 21):</p><p>Novamente, pela de� nição de deformação (equação 14), chega-se ao item (b):</p><p>(b)</p><p>Exemplo 8</p><p>A Figura 35 mostra a porção elástica do diagrama tensão-deformação para uma liga de</p><p>alumínio. O corpo de prova usado para o ensaio tem comprimento de referência de 50 mm e 12,5</p><p>mm de diâmetro. Quando a carga aplicada for 45 kN, o novo diâmetro do corpo de prova será</p><p>12,48375 mm. Calcule o módulo de cisalhamento para o alumínio.</p><p>32WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 35 –Exemplo 8. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para utilizar</p><p>a equação 23, é necessário encontrar o módulo de elasticidade e o coe� ciente</p><p>do Poisson. Utilizando-se a Lei de Hooke (equação 20) na Figura 35, chega-se ao módulo de</p><p>elasticidade:</p><p>Para se determinar o coe� ciente de Poisson, deve-se encontrar a deformação longitudinal</p><p>e latitudinal. Para determinar a deformação longitudinal, são aplicadas a de� nição de tensão</p><p>(equação 4) e a Lei de Hooke (equação 20):</p><p>Aplicando a de� nição de deformação , chega-se a:</p><p>O coe� ciente de Poisson é cálculado pela equação 21:</p><p>Pela equação 23, obtém-se o módulo de rigidez do material:</p><p>33WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>1</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Caro(a) aluno(a), chegamos ao � m da Unidade I. Os conceitos vistos aqui são a base para</p><p>as próximas unidades. É fundamental que você tenha entendido o que é tensão, deformação e a</p><p>análise de diagramas tensão-deformação com vistas a se obterem informações deles. Lembre-se</p><p>de que o conteúdo é contínuo e, caso você não tenha entendido algo, faça a releitura do tópico ou</p><p>procure os livros-texto apresentados nas referências.</p><p>3434WWW.UNINGA.BR</p><p>UNIDADE</p><p>02</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................36</p><p>1 CARGA AXIAL .........................................................................................................................................................37</p><p>1.1 PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT ..........................................................................................................................37</p><p>1.2 DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM ELEMENTO SUBMETIDO À CARGA AXIAL ..............................................38</p><p>1.3 PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO ........................................................................................................................40</p><p>1.4 ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADA .........................................................41</p><p>2 TORÇÃO ..................................................................................................................................................................47</p><p>2.1 DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM EIXO CIRCULAR ...................................................................................47</p><p>2.2 A FÓRMULA DA TORÇÃO ...................................................................................................................................49</p><p>2.3 TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA ..........................................................................................................................50</p><p>2.4 PROJETO DE UM EIXO .......................................................................................................................................50</p><p>CARGA AXIAL, TORÇÃO E FLAMBAGEM</p><p>PROF. ME. LUCAS NIRO</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>35WWW.UNINGA.BR</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.5 ÂNGULO DE TORÇÃO .........................................................................................................................................51</p><p>2.6 ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS CARREGADOS COM TORQUE ...................................52</p><p>3 FLAMBAGEM .........................................................................................................................................................56</p><p>3.1 CARGA CRÍTICA ...................................................................................................................................................56</p><p>3.2 COLUNA IDEAL COM APOIOS DE PINOS.........................................................................................................58</p><p>3.3 COLUNAS COM VÁRIOS TIPOS DE APOIO ......................................................................................................59</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................64</p><p>36WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Nesta unidade, serão abordados os conceitos de carga axial, torção e � ambagem. A partir</p><p>das propriedades dos materiais e das de� nições de tensões e deformações, desenvolver-se-ão</p><p>equações para analisar cada um desses itens.</p><p>No primeiro tópico, é desenvolvida uma equação para o alongamento de um corpo</p><p>baseado no princípio de Saint-Venant. Essa equação é utilizada para determinar deformações e</p><p>resolver problemas estaticamente indeterminados.</p><p>Em máquinas rotativas, é comum o uso de eixos que transmitem potência, o que resulta</p><p>em um torque aplicado, causador de torção. A torção tende a cisalhar o corpo e é utilizada para o</p><p>dimensionamento de eixos. Outra propriedade a ser vista é o ângulo de torção, que corresponde,</p><p>basicamente, à deformação helicoidal causada pela torção.</p><p>Por � m, realizar-se-á a análise para a � ambagem, a qual acontece em colunas e pode levar</p><p>uma estrutura inteira ao colapso. Desenvolver-se-á a equação para a carga crítica suportada por</p><p>uma coluna, sem que ocorra a � ambagem.</p><p>Bons estudos !!!</p><p>37WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1 CARGA AXIAL</p><p>Na Unidade I, foram de� nidas tensão e deformação aplicadas em um corpo. Além disso,</p><p>foi apresentada a lei de Hooke para a fase elástica de um material. Utilizando-se dessas três</p><p>informações, apresentar-se-á o princípio de Saint-Venant.</p><p>1.1 Princípio de Saint-Venant</p><p>Imagine uma barra retangular engastada na parte inferior e com uma carga P aplicada na</p><p>sua extremidade superior, como apresentado na Figura 1. Note que a Figura 1 apresenta o corpo</p><p>já deformado devido à carga e que as regiões próximas à cara e ao engaste apresentam as maiores</p><p>deformações.</p><p>Figura 1 - Deformação em um corpo carregado axialmente. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Esse efeito pode ser constatado de maneira mais clara por meio da Figura 2, a qual traz</p><p>as seções a-a, b-b e c-c da Figura 1 de forma mais detalhada. É possível veri� car que, assim que</p><p>as seções se distanciam da carga P, mais constante é a deformação, sendo possível a� rmar que a</p><p>seção c-c está distante o su� ciente da carga P e, logo, a deformação localizada causada pela carga</p><p>é desprezível.</p><p>Figura 2 - Deformação em relação à proximidade de carga. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>38WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Geralmente, pode-se dizer que a distância mínima entre a carga e a deformação uniforme</p><p>é a maior dimensão da seção transversal, fenômeno que se observou a partir de dados empíricos.</p><p>O fato de a tensão e a deformação se comportarem de tal maneira é denominado de</p><p>princípio de Saint-Venant, segundo o qual a tensão e a deformação produzidas em pontos de</p><p>um corpo su� cientemente distantes da região da aplicação de carga serão iguais a quaisquer</p><p>carregamentos aplicados que possuam a mesma resultante. Ou seja, veja o caso da Figura 3: de</p><p>acordo com o princípio de Saint-Venant, a tensão e a deformação em uma região su� cientemente</p><p>afastada são a mesma em ambos os casos já que possuem a mesma carga resultante.</p><p>Figura 3 - Tensões e deformações equivalentes. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.2 Deformação Elástica de um Ele mento Submetido à Carga Axial</p><p>Agora, será desenvolvida uma equação de deformação elástica para um corpo submetido</p><p>a uma carga axial. Para tanto, serão utilizadas as equações de tensão e deformação, além da lei</p><p>de Hooke. Para generalizar a equação, será utilizado o corpo apresentado na Figura 4a, o qual</p><p>apresenta uma área variável, duas forças externas, além de um carregamento aplicado. A equação</p><p>de deformação será desenvolvida em uma região su� cientemente distante das deformações</p><p>causadas pelas cargas.</p><p>Para desenvolver a equação, será analisado o elemento diferencial apresentado na Figura</p><p>4b. E, nesse elemento, são aplicadas as equações</p><p>de tensão e deformação.</p><p>Figura 4 - (a) Corpo submetido à carga axial; (b) elemento diferencial. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para esse elemento, há um carregamento axial, e a área varia com a posição. Sendo assim,</p><p>a carga e a área são funções da posição; logo, tem-se P(x) e A(x), portanto, a tensão desse elemento</p><p>pode ser calculada pela equação 1.</p><p>39WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(1)</p><p>Como está sendo analisado um elemento diferencial, a deformação do corpo é calculada</p><p>pelo alongamento in� nitesimal pelo comprimento in� nitesimal do elemento, como se vê na</p><p>equação 2.</p><p>(2)</p><p>As equações 1 e 2 podem ser relacionadas pela lei de Hooke:</p><p>Substituindo as equações 1 e 2 na lei de Hooke, chega-se a:</p><p>(3)</p><p>Rearranjando a equação e a integrando, obtém-se:</p><p>(4)</p><p>sendo:</p><p>deslocamento de um ponto na barra relativo a um outro ponto.</p><p>distância original entre os pontos (comprimento do corpo).</p><p>força axial interna na seção, localizada à distância x de uma extremidade.</p><p>área da seção transversal da barra, expressa em função de x.</p><p>módulo de elasticidade do material.</p><p>Em muitos casos, a barra terá uma área transversal constante, o material será homogêneo</p><p>e há somente forças externas constantes aplicadas ao corpo. Sendo assim, pode-se considerar</p><p>A(x), E e P(x) como constantes, como se vê na Figura 5:</p><p>Figura 5 - Carga axial constante, aplicada a um corpo de seção transversal constante. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>40WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Com as simpli� cações apresentadas, a equação 4 pode ser integrada de forma bastante</p><p>simples, obtendo-se a equação 5:</p><p>(5)</p><p>Se a barra for submetida a várias forças axiais diferentes ou se ocorrer uma mudança</p><p>repentina na área da seção transversal, a equação 5 pode ser aplicada a cada um dos segmentos</p><p>da barra. Logo, o deslocamento total é a soma de cada um dos segmentos desde que, neles, as</p><p>quantidades P, A e E sejam constantes. Assim, chega-se à equação 6:</p><p>(6)</p><p>Tendo em vista a soma apresentada na equação 6, é necessário utilizar uma convenção</p><p>de sinal para somar o deslocamento. Será considerado positivo quando ocorrer tração e o corpo</p><p>se alongar; será considerado negativo quando ocorrer compressão e o corpo se contrair. Por</p><p>exemplo, na Figura 6, em ambos os casos, o corpo se alonga: na Figura 6a, o corpo se alonga para</p><p>a direita, enquanto na Figura 6b, o corpo se alonga para a esquerda.</p><p>Figura 6 - Convenção de sinal para deslocamento. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.3 Princípio da Superposição</p><p>O princípio da superposição é uma ferramenta utilizada para solucionar carregamentos</p><p>complexos. A ideia é separar o carregamento agindo em cada elemento, analisar a tensão e a</p><p>deformação envolvida e, então, a tensão e o deslocamento resultantes do corpo são dados pela</p><p>soma da contribuição de cada elemento.</p><p>Algumas condições devem ser válidas para se aplicar o método:</p><p>1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou a deformação a ser</p><p>determinada.</p><p>2. A carga não pode modi� car signi� cativamente a geometria ou a con� guração original</p><p>do corpo.</p><p>41WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1.4 Elemento com Carga Axial Estaticamente Indeterminada</p><p>Quando um corpo está submetido a uma carga axial, e ambas as extremidades possuem</p><p>reações axiais desconhecidas, o corpo se encontra estaticamente indeterminado. Veja, por</p><p>exemplo, a Figura 7a. Aplicando-se as condições de equilíbrio no diagrama de corpo livre da</p><p>Figura 7b, chega-se a:</p><p>Figura 7 – (a) Corpo estaticamente indeterminado sujeito à carga axial; (b) diagrama de corpo livre. Fonte: Hibbeler</p><p>(2010).</p><p>Veri� que que as condições de equilíbrio não são su� cientes para encontrar as reações,</p><p>pois o que se tem são uma equação e duas incógnitas. Logo, faz-se necessária uma equação</p><p>adicional que resolva o problema e que considere a geometria da deformação.</p><p>Essa equação indica o deslocamento do corpo e é denominada de condição de contabilidade</p><p>ou condição cinemática. Como ambas as extremidades são � xas, o deslocamento do corpo deve</p><p>ser igual a zero, chegando-se a:</p><p>(7)</p><p>Outro método de solução de problemas estaticamente indeterminados é apresen-</p><p>tado em Hibbeler (2010, p. 100). Esse método é a análise de força para elementos</p><p>carregados axialmente.</p><p>42WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 1</p><p>O eixo de cobre está sujeito às cargas axiais mostradas na Figura 8. Determine o</p><p>deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D se os diâmetros de cada segmento</p><p>forem , e . Considere .</p><p>Figura 8 - Exemplo 1. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Como o corpo é composto de três seções e será dividido em AB, AC e AD, a Figura 9</p><p>apresenta cada uma das seções:</p><p>Figura 9 - Diagrama de corpo livre (exemplo 1). Fonte: Adaptado de Hibbeler (2010).</p><p>Pelo diagrama de corpo livre, encontram-se as forças aplicadas em cada seção. É possível</p><p>ver que, na primeira seção (Figura 9a), acontece compressão, enquanto as outras são de tração.</p><p>Calculando a área de cada uma das seções:</p><p>Agora, aplicando-se a equação 6 para um corpo composto, preste atenção nos sinais: a</p><p>primeira seção é negativa devido à compressão; as outras são positivas.</p><p>43WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 2</p><p>O conjunto é composto por três hastes de titânio e uma barra rígida AC. A área da seção</p><p>transversal de cada haste é dada na Figura 10. Se uma força vertical P = 20 kN for aplicada ao anel</p><p>F, determine o deslocamento vertical do ponto F. .</p><p>Figura 10 - Exemplo 2. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>É necessário apresentar um diagrama de corpo livre para se aplicarem as condições de</p><p>equilíbrio (Figura 11).</p><p>Figura 11 - Diagrama de corpo livre (exemplo 2). Fonte: O autor.</p><p>44WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Aplicando a somatória dos momentos no ponto A e a somatória das forças em y, chega-se a:</p><p>Os alongamentos das barras AB, CD e EF podem ser encontrados por meio da equação 5:</p><p>Para encontrar o deslocamento, além do de , há o deslocamento de EE’ (Figura 12).</p><p>Essa distância pode ser calculada por . Para encontrar o deslocamento x, utiliza-se</p><p>semelhança de triângulo na Figura 12.</p><p>Figura 12 - Esquemático (exemplo 2). Fonte: O autor.</p><p>Desse modo:</p><p>45WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Somando-se todos os deslocamentos, chega-se ao alongamento � nal do ponto F:</p><p>Exemplo 3</p><p>O tubo de aço A-36 tem raio externo de 20 mm e raio interno de 15 mm. Se ele se ajustar</p><p>exatamente entre as paredes � xas antes de ser carregado, determine a reação nas paredes quando</p><p>for submetido à carga mostrada.</p><p>Figura 13 - Exemplo 3. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Realizando um diagrama de corpo livre do problema (Figura 14):</p><p>Figura 14 - Diagrama de corpo livre (exemplo 3). Fonte: Adaptado de Hibbeler (2010).</p><p>Aplicando a condição de equilíbrio na direção x, obtém-se (1):</p><p>(1)</p><p>Igualando a deformação de ambas as barras, chega-se a (2):</p><p>(2)</p><p>46WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>As forças são encontradas substituindo-se (2) em (1):</p><p>Exemplo 4</p><p>O parafuso AB tem diâmetro de 20 mm e passa por uma luva com diâmetro interno de 40</p><p>mm e diâmetro externo de 50 mm. O parafuso e a luva são feitos de aço A-36 ( e estão</p><p>presos aos apoios rígidos, como mostra a Figura 15. Se o comprimento do parafuso for 220 mm</p><p>e o comprimento da luva for 200 mm, determine a tração no parafuso quando for aplicada uma</p><p>força de 50 kN aos apoios.</p><p>Figura 15 - Exemplo 4. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>As áreas transversais do parafuso e da luva</p><p>são calculadas por:</p><p>Figura 16 - Diagrama de corpo livre (exemplo 4). Fonte: Adaptado de Hibbeler (2010).</p><p>Aplicando-se o equilíbrio na direção x, no diagrama de corpo livre da Figura 16:</p><p>(1)</p><p>Igualando as deformações:</p><p>47WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(2)</p><p>Substituindo-se (2) em (1):</p><p>2 TORÇÃO</p><p>A torção aparece, principalmente, em eixos de máquinas e em tubulações. Neste tópico,</p><p>desenvolver-se-á a equação para torção, assim como o ângulo de torção.</p><p>2.1 Deformação por Torção de um Eixo Circular</p><p>Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal.</p><p>A torção pode ser visualizada por meio de um elemento � exível, como uma borracha. Veja a</p><p>Figura 17a: inicialmente, um quadrado branco é colado na borracha; após um torque ser aplicado,</p><p>o quadrado se distorce, conforme se vê na Figura 17b.</p><p>Figura 17 - (a) Elemento não deformado pela torção; (b) elemento deformado pela torção. Fonte: Hibbeler (2019).</p><p>Outra forma de se analisar o efeito da torção é por meio das linhas longitudinais do</p><p>corpo. A Figura 18a apresenta o corpo não deformado � xo a uma extremidade; após o torque ser</p><p>aplicado (Figura 18b), perceba que o corpo se deforma na forma de uma hélice e que o efeito da</p><p>torção é menor na extremidade � xa.</p><p>48WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 18 - (a) Corpo não deformado pela torção; (b) corpo deformado pela torção. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A deformação é apresentada na forma do ângulo de torção, que depende da distância da</p><p>extremidade � xa. Veri� que, na Figura 19, que o ângulo de torção aumenta conforme a distância</p><p>entre o eixo longitudinal e o comprimento.</p><p>Figura 19 - Ângulo de torção. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Além disso, a deformação do corpo varia também conforme o raio: quanto mais próximo</p><p>da linha central, menor é a deformação; sendo assim, a deformação máxima sempre ocorrerá no</p><p>lado oposto à extremidade � xa, na superfície do corpo.</p><p>A Figura 20 apresenta um elemento diferencial do corpo. Por meio dele, é possível</p><p>demonstrar a deformação angular.</p><p>49WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 20 - Deformação angular. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>A deformação angular para o corpo pode ser calculada pela equação 8. Note que a</p><p>grandeza c é o raio do corpo e uma distância radial; a deformação máxima ocorre quando é</p><p>igual a c:</p><p>(8)</p><p>2.2 A Fórmula da Torção</p><p>Quando um torque externo é aplicado a um eixo, um torque interno correspondente</p><p>ocorre no eixo. Tendo em vista que o material trabalha na região elástica, há uma variação linear</p><p>entre a deformação e a tensão. Logo, a equação 8 pode ser reescrita como:</p><p>(9)</p><p>Utilizando-se a de� nição de tensão de cisalhamento e de torque com a equação 9, é</p><p>possível demostrar a fórmula da torção, que é dada pela equação 10. Nela, é possível encontrar a</p><p>tensão de cisalhamento máxima causada por torção.</p><p>(10)</p><p>a tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na superfície externa.</p><p>torque interno resultante, que age na seção transversal.</p><p>raio externo do eixo.</p><p>momento polar de inércia de área.</p><p>Uma variação da equação 10 é apresentada pela equação 11: ao invés de se utilizar o raio</p><p>c do raio externo do eixo, utiliza-se , que é uma distância intermediária do raio.</p><p>50WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>(11)</p><p>Os corpos sujeitos à torção geralmente são circulares, maciços ou vazados. O momento</p><p>polar de inércia para esses casos é: para o eixo maciço, é dado pela equação 12; e, para o eixo</p><p>vazado, pela equação 13.</p><p>(12)</p><p>(13)</p><p>2.3 Transmissão de Potência</p><p>Eixos circulares geralmente são utilizados para transmitir potência de uma máquina ou</p><p>de um redutor para uma aplicação. Nessas aplicações, o torque desenvolvido nos eixos depende</p><p>da potência da máquina e da velocidade angular do eixo. A relação entre torque e potência é</p><p>utilizada em, basicamente, qualquer dimensionamento de máquinas rotativas. Tal relação é</p><p>descrita pelas equações 14 e 15:</p><p>(14)</p><p>(15)</p><p>2.4 Projeto de um Eixo</p><p>A partir da equação de tensão de cisalhamento máximo por torção, é possível dimensionar</p><p>um eixo sujeito à torção pura: basta encontrar o raio c, determinado pela a equação 16.</p><p>(16)</p><p>O dimensionamento de um eixo maciço é bem simples e pode ser feito de forma direta;</p><p>porém, quando se trabalha com eixos vazados, é necessário escolher um valor arbitrário para o</p><p>raio interno ou raio externo.</p><p>Para um maior aprofundamento em relação à demonstração das fórmulas de tor-</p><p>ção, leia as seções 5.1 e 5.2 de Hibbeler (2010).</p><p>51WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>2.5 Ângulo de Torção</p><p>Neste tópico, será desenvolvida uma equação para o cálculo do ângulo de torção. Em</p><p>alguns projetos, além de se levarem em consideração o torque e a velocidade angular, há, também,</p><p>restrições quanto ao ângulo de torção.</p><p>A demonstração da equação é similar ao que foi realizado na equação do alongamento no</p><p>tópico 2.4. Sendo assim, novamente, será considerado um corpo de área transversal e cujo torque</p><p>interno dependa do comprimento, como se mostra na Figura 21a.</p><p>Figura 21 - (a) Corpo de seção variável sujeito a torque; (b) elemento diferencial. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Considerando o elemento diferencial mostrado na Figura 21b e aplicando trigonometria,</p><p>é possível encontrar a relação entre o ângulo de torção e a deformação, como se apresenta na</p><p>equação 17:</p><p>(17)</p><p>Substituindo-se a equação 11 na lei de Hooke para o cisalhamento, obtém-se:</p><p>(18)</p><p>Substituindo-se a equação 16 em 17 e integrando em todo o comprimento L, obtém-se a</p><p>equação do ângulo de torção do eixo inteiro:</p><p>(19)</p><p>ângulo de torção de uma extremidade em relação à extremidade � xa, medido em</p><p>radianos.</p><p>torque interno, expresso em função da posição.</p><p>momento polar de inércia do eixo, expresso em função da posição.</p><p>módulo de rigidez.</p><p>52WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Como geralmente se trabalha com materiais homogêneos, com torque e seção transversal</p><p>constantes, pode-se integrar a equação 19. O resultado é dado por:</p><p>(20)</p><p>A equação 20 também pode ser aplicada a vários segmentos de um corpo, quando se tem</p><p>vários torques diferentes ou uma mudança abrupta de área transversal. Sendo assim, o ângulo de</p><p>torção é dado pela soma de todas as seções. Chega-se a:</p><p>(21)</p><p>Para utilizar a equação 21, é importante � car atento à convenção de sinais. Para isso, será</p><p>utilizada a regra da mão direita: sempre que o dedão estiver apontado para fora do eixo, o sinal</p><p>será positivo e, quando o dedão apontar para dentro do eixo, o sinal será negativo. A Figura 22</p><p>apresenta casos em que a torção e o ângulo de torção são positivos.</p><p>Figura 22 - Convenção de sinais para torção e ângulo de torção. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>2.6 Elementos Estaticamente Indeterminados Carregados com Torque</p><p>Um eixo carregado com torque pode ser classi� cado como estaticamente indeterminado.</p><p>Isso ocorre quando há dois momentos desconhecidos nas extremidades, aplicados em torno da</p><p>linha central do eixo, como pode ser visto na Figura 23a.</p><p>Figura 23 - (a) Eixo estaticamente indeterminado para torque; (b) diagrama de corpo livre. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>53WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Aplicando as condições de equilíbrio estático na Figura 23b, chega-se a:</p><p>Para solucionar esse tipo de problema, é necessária uma condição de compatibilidade.</p><p>Ela é baseada no ângulo de torção. Como ambas as extremidades são � xas, o ângulo de torção</p><p>deve ser igual</p><p>a zero. A condição de compatibilidade é dada pela equação 22:</p><p>(22)</p><p>Exemplo 5</p><p>O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às</p><p>engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo.</p><p>Figura 24 - Exemplo 5. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para solucionar o problema, deve-se encontrar o torque máximo aplicado no sistema,</p><p>tendo em vista que a área da seção transversal é a mesma. Realizando o seccionamento do eixo,</p><p>vê-se, pela Figura 25, que o maior torque ocorre entre D e B.</p><p>Um ensaio para fadiga é visto em Máquina de Ensaio de Torção –</p><p>Biopdi.</p><p>Disponível em:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=wPcJ4Wqe4Lo.</p><p>54WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 25 - Torque x posição. Fonte: O autor.</p><p>Como o eixo é maciço, é utilizado o momento de inércia polar da equação 12:</p><p>Aplicando-se os resultados na equação 10:</p><p>Exemplo 6</p><p>Para o exercício, determine o ângulo de torção da engrenagem C em relação à engrenagem</p><p>D. O eixo de aço A-36( ) tem diâmetro de 40 mm.</p><p>Como o diâmetro foi mudado para 40 mm, o momento de inércia polar deve ser</p><p>recalculado:</p><p>O torque aplicado na seção CD é de 200N.m (Figura 25), aplicando-se a equação 20:</p><p>55WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Exemplo 7</p><p>O tubo de bronze C86100 tem diâmetro externo de 37,5 mm e espessura de 3 mm. A</p><p>conexão em C está sendo apertada com uma chave de torque. Se for aplicada uma força F = 100</p><p>N, determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo.</p><p>Figura 26 - Exemplo 7. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Primeiro, será calculado o momento de inércia. Pela equação do tubo 13, o raio externo</p><p>é e o raio interno é</p><p>Aplicando-se a equação de equilíbrio para os momentos atuando no eixo longitudinal:</p><p>(1)</p><p>Utilizando-se o ângulo de torção (equação 20) e supondo que os ângulos das duas seções</p><p>devem ser iguais:</p><p>(2)</p><p>56WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Substituindo-se (2) em (1):</p><p>Para encontrar a tensão máxima, é utilizada a equação 10:</p><p>3 FLAMBAGEM</p><p>No tópico 1, foi apresentada a equação para tensão por compressão; porém, nos elementos</p><p>estruturais sujeitos à compressão axial, denominados colunas, ocorre uma de� exão lateral,</p><p>que pode levar a uma falha catastró� ca. Essa de� exão lateral é denominada de � ambagem. E,</p><p>neste tópico, serão apresentados métodos para que as colunas possam suportar as cargas com</p><p>segurança, sem que sofram � ambagem.</p><p>3.1 Carga Crítica</p><p>A princípio, será de� nida a carga crítica , que é a carga máxima que a coluna suportará</p><p>sem que ocorra a � ambagem, como é o caso da Figura 27a. Na Figura 27b, a carga aplicada é</p><p>superior à carga crítica, resultando na � ambagem da coluna.</p><p>Figura 27 - (a) Coluna sem sofrer � ambagem; (b) � ambagem. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>57WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Para exempli� car a � ambagem e de� nir a equação de carga crítica, veja o caso da Figura</p><p>28a, na qual duas barras verticais são � xadas por um pino em suas extremidades. Nesse pino, há</p><p>uma mola. No mecanismo, é aplicada uma carga P na barra superior.</p><p>Agora, suponha que a posição de A é deslocada um pouco para a direita ( ), como</p><p>apresentado na Figura 28b. Com a inclinação das barras, a força P, que, antes, era vertical, agora</p><p>possui uma componente horizontal, como se vê no diagrama de corpo livre da Figura 28c. A</p><p>força desenvolvida pela mola pode ser calculada pela lei de Hooke, que é .</p><p>Figura 28 – (a) Mecanismo de duas barras horizontais; (b) mecanismo deformado; (c) diagrama de corpo livre.</p><p>Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Baseado no diagrama de corpo, visto na Figura 28c, assumindo que o ângulo é pequeno,</p><p>pode-se dizer que ; logo e e, por consequência, a força da mola é</p><p>.</p><p>Agora, suponha três cenários possíveis: no primeiro, a força exercida pela mola é maior</p><p>do que as forças horizontais causadas pela força P, ( , ou seja, a mola é adequada para</p><p>levar o mecanismo à sua posição original. Aplicando essa condição no eixo x:</p><p>Logo, chega-se à equação 23. Essa condição é de equilíbrio estável, ou seja, enquanto P</p><p>for menor do que , a mola sempre irá restaurar o corpo para a posição vertical, compensando</p><p>o deslocamento inicial .</p><p>(23)</p><p>58WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>No segundo cenário, as forças horizontais são maiores do que a força exercida pela mola</p><p>( ). Chega-se, assim, à equação 24. Essa condição é de equilíbrio instável, ou seja, o</p><p>mecanismo tenderá a sair do equilíbrio e não retorna à sua posição original.</p><p>(24)</p><p>Por � m, no último cenário, a força da mola é su� ciente para equilibrar o sistema ( ),</p><p>o qual manterá a de� exão inicial, não aumentando e nem diminuindo. Essa condição é chamada</p><p>de condição neutra e é dada pela equação 25:</p><p>(25)</p><p>3.2 Coluna Ideal com Apoios de Pinos</p><p>Agora, será apresentada a equação para uma coluna apoiada por pinos, conforme se</p><p>apresenta na Figura 29a. Como exposto no tópico 3.1, pode-se dimensionar uma coluna evitando</p><p>o equilíbrio instável, visto na Figura 29b. Logo, o cenário crítico é o equilíbrio neutro (Figura</p><p>29c), quando a coluna está na iminência de ocorrer a � ambagem.</p><p>Figura 29 - (a) Coluna apoiada por pinos; (b) coluna em equilíbrio instável apoiada por pinos; (c) coluna em equi-</p><p>líbrio neutro apoiada por pinos. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Logo, a carga crítica para o equilíbrio neutro para uma coluna apoiada por pinos pode</p><p>ser de� nida por:</p><p>(26)</p><p>59WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>carga crítica axial máxima na coluna.</p><p>módulo de elasticidade do material.</p><p>menor momento de inércia para a área de seção transversal.</p><p>comprimento da coluna sem apoios.</p><p>E a tensão crítica para essa coluna pode ser calculada pela equação 27. Nela, o termo</p><p>é denominado índice de esbeltez.</p><p>(27)</p><p>tensão crítica.</p><p>módulo de elasticidade do material.</p><p>menor raio de giração da coluna, determinado por , sendo o menor</p><p>momento de inércia para a área de seção transversal.</p><p>comprimento da coluna sem apoios.</p><p>3.3 Colunas com Vários Tipos de Apoio</p><p>A equação 26 apresenta a solução para uma coluna apoiada por pinos. Ao invés de se</p><p>de� nir uma equação para cada tipo de apoio, as equações são baseadas em uma coluna apoiada</p><p>por pinos.</p><p>Para isso, é de� nido o comprimento efetivo da coluna , que depende do fator de</p><p>comprimento efetivo ( ). Esse fator pode ser encontrado na Figura 30. O comprimento efetivo</p><p>é dado por:</p><p>(28)</p><p>Figura 30 - (a) Coluna presa por pinos; (b) uma extremidade engastada à outra, livre; (c) extremidades engastadas;</p><p>(d) extremidades engastadas e presas por pinos. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>60WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Logo, para se encontrar a carga crítica, basta substituir o comprimento da coluna ( ) pelo</p><p>comprimento efetivo ( ) na equação (24). Chega-se, então, à equação generalizada:</p><p>(29)</p><p>O mesmo pode ser feito em relação à tensão crítica:</p><p>(30)</p><p>O termo ( ) é de� nido por índice de esbeltez efetivo.</p><p>Exemplo 8</p><p>O elemento estrutural W200 × 100 ( , ,</p><p>) é usado como uma coluna de aço estrutural A-36(</p><p>. Podemos considerar que a base dessa coluna está engastada e que o topo está preso por um pino.</p><p>Determine a maior força axial P que pode ser aplicada sem provocar � ambagem.</p><p>Figura 31 - Exemplo 8. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Um ensaio para fadiga é visto em Ensaio de Compressão para Tra-</p><p>balho de Flambagem (Resistência dos Materiais II).</p><p>Disponível em:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=0YyK-jy8qKo.</p><p>61WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO</p><p>A DISTÂNCIA</p><p>Para determinar a carga crítica, será utilizada a equação 29. Como uma superfície é</p><p>engastada, e outra é presa por pinos K=0,7, pela Figura 30, o momento de inércia é sempre o</p><p>menor. Então:</p><p>Veri� cando a tensão crítica:</p><p>Como a tensão crítica é menor do que a tensão de escoamento do material, a coluna não</p><p>sofrerá � ambagem ( .</p><p>Exemplo 9</p><p>Determine se a estrutura pode suportar uma carga P = 20 kN caso o fator de segurança</p><p>para � ambagem do elemento estrutural AB seja FS = 3. Considere que AB é feito de aço e que suas</p><p>extremidades estão presas por pinos para � ambagem no eixo x-x e engastadas para � ambagem</p><p>no eixo y-y. , .</p><p>Realize uma análise dimensional da carga crítica. Se fosse utilizado o SI, quais</p><p>mudanças deveriam ser feitas? Para tanto, é necessário converter o momento</p><p>de inércia para m4; assim, deve-se dividir 36,6.106 mm4 por mil à quarta potência</p><p>(10004). O momento de inércia é 3,66.10-5 m4, e o cálculo seria:</p><p>62WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 32 - Exemplo 9. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Para determinar a carga que causa � exão, é apresentado o diagrama de corpo livre (Figura</p><p>33).</p><p>Figura 33 - Diagrama de corpo livre (exemplo 9). Fonte: O autor.</p><p>Aplicando-se as condições de equilíbrio:</p><p>63WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>A força que irá comprimir a barra AB é a força . Como há dois tipos de apoios,</p><p>um para o eixo x-x e outro para o eixo y-y, serão calculados os dois momentos de inércia. Uma</p><p>� gura com os momentos de inércia mais conhecidos será apresentada no tópico sobre � exão na</p><p>Unidade III.</p><p>Flambagem no eixo x-x: extremidades presas por pinos k =1.</p><p>Flambagem no eixo y-y: extremidades engastadas k =0,5.</p><p>Como a força aplicada é de 10kN, e o fator de segurança é 3, a carga aplicada pode chegar</p><p>até 30kN. Ocorrerá � ambagem no eixo x-x.</p><p>64WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>2</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS</p><p>Caro(a) aluno(a), chegamos ao � m da Unidade II. Os conceitos da Unidade I foram</p><p>utilizados aqui para desenvolver equações para carga axial, torção e � ambagem. Carga axial e</p><p>� ambagem são determinantes no dimensionamento de colunas, enquanto a torção está presente</p><p>em eixos. Ressaltemos, mais uma vez, que o conteúdo é contínuo e, caso você não tenha entendido</p><p>algo, faça a releitura do tópico ou procure os livros-texto apresentados nas referências.</p><p>6565WWW.UNINGA.BR</p><p>UNIDADE</p><p>03</p><p>SUMÁRIO DA UNIDADE</p><p>INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................66</p><p>1 FLEXÃO ...................................................................................................................................................................67</p><p>1.1 DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO DE UM ELEMENTO RETO ..................................................................................67</p><p>1.2 A FÓRMULA DA FLEXÃO ....................................................................................................................................68</p><p>2 CISALHAMENTO TRANSVERSAL .........................................................................................................................81</p><p>2.1 CISALHAMENTO EM ELEMENTOS RETOS .......................................................................................................81</p><p>2.2 A FÓRMULA DO CISALHAMENTO ....................................................................................................................82</p><p>2.3 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS DE SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR ................................83</p><p>2.4 TENSÕES DE CISALHAMENTO PARA EIXOS MACIÇOS .................................................................................84</p><p>3 CARGAS COMBINADAS ........................................................................................................................................91</p><p>3.1 VASOS DE PRESSÃO DE PAREDES FINAS ........................................................................................................91</p><p>CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................................................................94</p><p>FLEXÃO, CISALHAMENTO E</p><p>CARGAS COMBINADAS</p><p>PROF. ME. LUCAS NIRO</p><p>ENSINO A DISTÂNCIA</p><p>DISCIPLINA:</p><p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS</p><p>66WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Na Unidade III, serão apresentados a � exão, o cisalhamento e as cargas combinadas.</p><p>Novamente, as ideias apresentadas na Unidade I são a base para o desenvolvimento das equações</p><p>e sua aplicação.</p><p>A � exão ocorre em elementos estruturais e mecânicos importantes, como vigas e eixos. A</p><p>� exão, juntamente com a torção, são fundamentais no dimensionamento de eixos e eixos-árvore,</p><p>e a sua principal aplicação é no dimensionamento de vigas. É fundamental uma revisão de como</p><p>calcular e construir os diagramas de esforços cortantes e momento � etor. Leia os tópicos 6.1 e 6.2</p><p>de Hibbeler (2010) ou o tópico 7 de Hibbeler (2012). Além disso, o cálculo de propriedades de</p><p>área, como centroide e momento de inércia, também será utilizado; portanto, leia os tópicos 9 e</p><p>10 de Hibbeler (2012).</p><p>Além da � exão, a tensão de cisalhamento é amplamente aplicada a projetos e análise</p><p>de Engenharia. Serão apresentados métodos de cálculo para uma viga de seção transversal</p><p>prismática, feita de material homogêneo que se comporta de maneira linear elástica. A partir dos</p><p>exemplos, será apresentado o cálculo para outros tipos de seções.</p><p>Cargas combinadas são a junção de duas ou mais tensões diferentes desenvolvidas no</p><p>mesmo problema. Essa análise � cará restrita a tensões desenvolvidas em vasos de pressão de</p><p>paredes � nas.</p><p>Bons estudos!!!</p><p>67WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>1 FLEXÃO</p><p>Neste tópico, serão desenvolvidas as equações para a � exão, a qual pode ser visualizada</p><p>utilizando-se um elemento prismático reto de um elemento � exível como a borracha (Figura 1a).</p><p>Nesse corpo, são marcados dois quadrados. Quando aplicado um momento � etor, o corpo se</p><p>deforma, e ambos os quadrados têm sua forma alterada (Figura 1b).</p><p>Figura 1 - (a) Corpo não deformado; (b) corpo deformado por � exão. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.1 Deformação por Flexão de um Elemento Reto</p><p>Para ilustrar esse efeito, um corpo prismático foi dividido em vários quadrados (Figura</p><p>2a). Após a aplicação de um momento � etor, o corpo se deforma (Figura 2b). As linhas que,</p><p>antes, eram horizontais, tornam-se curvas, e as linhas verticais sofrem rotação.</p><p>Assim como foi apresentado na Figura 1, existe uma região que se alonga, uma que se</p><p>contrai, e outra que se mantém. Essa superfície é denominada de superfície neutra já que não</p><p>sofre deformações.</p><p>Um ensaio para fadiga é visto em Materiais Brasil - Ensaio de Flexão.</p><p>Disponível em:</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=-FMkGQfn8ug.</p><p>68WWW.UNINGA.BR</p><p>RE</p><p>SI</p><p>ST</p><p>ÊN</p><p>CI</p><p>A</p><p>DO</p><p>S</p><p>M</p><p>AT</p><p>ER</p><p>IA</p><p>IS</p><p>| U</p><p>NI</p><p>DA</p><p>DE</p><p>3</p><p>EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA</p><p>Figura 2 - (a) Corpo não deformado; (b) corpo deformado por � exão. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>Três suposições são realizadas para a análise do problema de � exão: a primeira é que</p><p>o eixo longitudinal x (Figura 3a) não sofre nenhuma mudança de comprimento; a segunda é</p><p>que todas as seções transversais da viga permanecem planas e perpendiculares ao longo do eixo</p><p>longitudinal; e a última suposição é que qualquer deformação da seção transversal dentro do</p><p>próprio plano é desprezada (deformações semelhantes à mudança de per� l na extremidade</p><p>direita da Figura 3b). E o eixo z, que se encontra no plano da seção transversal e em torno do</p><p>qual a seção transversal gira, é denominado de eixo neutro.</p><p>Figura 3 - (a) Eixo não � exionado; (b) eixo � exionado. Fonte: Hibbeler (2010).</p><p>1.2 A</p>