Cálculo de Limites e Continuidade

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Instituto de Matemática - UFRJ
Cálculo 1 - Semipresencial
Aula 4 – Cálculo de limites e continuidade
Este material foi produzido no âmbito do projeto “Elaboração de material para disciplinas na
modalidade semi-presencial”, do Departamento de Matemática do IM/UFRJ.
Equipe:
Coordenação: Paulo Amorim
Participantes: Bruno Telch, Rafael Lobosco, Leonardo Damasceno
Nesta aula vamos começar por ver como calcular limites usando propriedades facilitadoras.
A ideia é deduzir como calcular limites de funções mais complicadas a partir do limite
de funções mais simples. Comecemos com as seguintes propriedades, relativas às funções
mais simples posśıveis:
Se C é uma constante e a P R, então
a) lim
xÑa
C “ C,
b) lim
xÑa
x “ a.
As propriedades acima tornam-se fáceis de entender quando pensamos nas definições
informais de limite, dadas na aula anterior. De fato, dizer que lim
xÑa
C “ C é dizer que
quando x se aproxima de a, os valores de C se aproximam... de C. Mas isso é verdade,
pois o valor de C é sempre C!
Já na segunda propriedade, estamos afirmando que, quando x se aproxima de a, então os
valores de x se aproximam de a. Esperamos que o leitor possa convencer-se facilmente
que essa afirmação é verdadeira.
Leis do limite
Sejam fpxq e gpxq funções, e C uma constante. Então,
a) lim
xÑa
`
fpxq ˘ gpxq
˘
“ lim
xÑa
fpxq ˘ lim
xÑa
gpxq, (Limite da soma)
b) lim
xÑa
pCfpxqq “ C lim
xÑa
fpxq,
c) lim
xÑa
`
fpxqgpxq
˘
“ lim
xÑa
fpxq ¨ lim
xÑa
gpxq, (Limite do produto)
d) lim
xÑa
fpxq
gpxq
“
lim
xÑa
fpxq
lim
xÑa
gpxq
, desde que lim
xÑa
gpxq ‰ 0. (Limite do quociente)
Exemplo: Calcule
lim
xÑ5
p2x2 ´ 3x` 4q.
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Temos
lim
xÑ5
p2x2 ´ 3x` 4q “ lim
xÑ5
2x2 ´ lim
xÑ5
3x` lim
xÑ5
4 ø paq
“ 2 lim
xÑ5
x2 ´ 3 lim
xÑ5
x` 4 ø pbq
“ 2 lim
xÑ5
x ¨ lim
xÑ5
x´ 3 ¨ 5` 4 ø pcq
“ 2 ¨ 5 ¨ 5´ 15` 4 “ 39.
Exemplo: Calcule
lim
xÑ´2
x3 ` 2x2 ´ 1
5´ 3x
.
Temos
lim
xÑ´2
x3 ` 2x2 ´ 1
5´ 3x
“
lim
xÑ´2
px3 ` 2x2 ´ 1q
lim
xÑ´2
p5´ 3xq
ø (d), pois lim
xÑ´2
5´ 3x ‰ 0
“
´1
11
. ø de modo semelhante ao exemplo anterior
Repare que em ambos os exemplos anteriores, teŕıamos obtido o mesmo resultado subs-
tituindo simplesmente o valor onde estamos tentando calcular o limite, na expressão da
função. Por exemplo, no primeiro caso, se fpxq “ x3 ` 2x2 ´ 1, então verificamos que
lim
xÑ5
fpxq “ fp5q. Funções com esta propriedade chamam-se funções cont́ınuas:
Funções cont́ınuas
Dizemos que uma função fpxq é cont́ınua em a se
lim
xÑa
fpxq “ fpaq.
Note que esta definição requer implicitamente três coisas:
a) f está definida em a (ou seja, a pertence ao domı́nio de f)
b) lim
xÑa
fpxq existe, e
c) lim
xÑa
fpxq é igual a fpaq.
Caso falhe alguma destas três condições, fpxq não será cont́ınua em a.
Podemos também definir a noção de continuidade à esquerda e à direita, usando limites
laterais. Assim, dizemos que fpxq é cont́ınua à esquerda em a quando
lim
xÑa´
fpxq “ fpaq,
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e que fpxq é cont́ınua à direita em a se
lim
xÑa`
fpxq “ fpaq.
Portanto, uma função f é cont́ınua em a se e somente se for cont́ınua à esquerda e à
direita.
Seja I um intervalo de R, aberto ou fechado. Dizemos que f é cont́ınua no intervalo
I se ela for cont́ınua em todos os pontos de I. No caso de algum extremo do intervalo
ser fechado, então f deverá ser cont́ınua à direita (no caso de um extremo esquerdo do
intervalo) ou à esquerda (no caso de um extremo direito).
As funções cont́ınuas possuem muitas propriedades simpáticas, entre elas o fato de que
o cálculo do limite num ponto de uma função cont́ınua se resumir à substituição desse
ponto na fórmula da função. Além disso, como veremos mais à frente, funções cont́ınuas
são úteis pois certos teoremas importantes são válidos para elas.
Uma maneira útil de pensar nas funções cont́ınuas é dizer que elas são aquelas em que se
pode desenhar o gráfico sem levantar o lápis do papel.
Exemplo:
Considere a função fpxq ilustrada no gráfico:
-2
-1
0
1
2
3
4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
Vemos que ela é descont́ınua em x “ 1. De fato, ela não tem limite lim
xÑ1
fpxq, pois os seus
limites laterais nesse ponto são diferentes. Então, não tendo limite, ela não poderá ser
cont́ınua em x “ 1. Observe, mesmo assim, que em qualquer ponto x ‰ 1 ela é cont́ınua.
Além disso, ela é cont́ınua à direita em x “ 1, pois
lim
xÑ1`
fpxq “ 3 “ fp3q,
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porém não é cont́ınua à esquerda em x “ 1, pois
lim
xÑ1´
fpxq “ 2 ‰ fp3q.
Exemplo: Considere fpxq “
x2 ´ 1
x´ 1
. Comecemos por observar que o domı́nio de f é
Rzt1u. Por essa razão, fpxq não é cont́ınua em x “ 1. Mas, neste caso, isso não impede
que calculemos o seu limite em x “ 1:
lim
xÑ1
x2 ´ 1
x´ 1
“ lim
xÑ1
px´ 1qpx` 1q
x´ 1
“ lim
xÑ1
px` 1q “ 2.
(Note que neste exemplo, não podeŕıamos usar a regra pdq das leis do limite, pois o limite
do denominador quando x Ñ 1 é zero. Ao tentarmos substituir x por 1 na expressão,
obteŕıamos 0
0
, que não está definido). Pelo cálculo acima, vemos que fpxq na verdade é a
função que para x ‰ 1 vale x` 1 (escrita de uma forma mais complicada), mas não está
definida em x “ 1.
Enunciamos agora, sem justificação, dois fatos importantes sobre funções cont́ınuas.
As seguintes funções são cont́ınuas em seus domı́nios: Polinômios, funções raci-
onais (isto é, quociente de dois polinômios), ráızes, potências, funções trigonométricas,
exponenciais e logaritmos.
A composição de duas funções cont́ınuas é cont́ınua. Isto significa que, se gpxq
é cont́ınua em a e fpxq é cont́ınua no ponto gpaq, então pf ˝ gqpxq “ fpgpxqq é cont́ınua
em x “ a. Em particular, atendendo à definição de continuidade, podemos afirmar que o
limite pode “trocar” com uma função cont́ınua, ou seja,
lim
xÑa
fpgpxqq “ f
´
lim
xÑa
gpxq
¯
.
Exemplo: Considere fpxq “
?
x2 ` 1. Então,
lim
xÑ2
?
x2 ` 1 “
b
lim
xÑ2
px2 ` 1q “
?
5.
Esta é a maneira “correta” de calcular este limite, usando o fato que a função
?
x é
cont́ınua, e o fato que já sabemos calcular o limite de x2 ` 1. O que acontece na verdade
é que o limite “entra” dentro da raiz, como indicado — mas com a prática, omitimos esse
passo.
Exerćıcio: Considere a função
fpxq “
$
’
&
’
%
2´ x, x ă ´1,
ax` b, ´ 1 ď x ă 1,
px` 1q2, x ě 1,
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Determine a e b de modo que fpxq seja cont́ınua em todos os pontos.
Primeiramente, vemos que se x ‰ ˘1, então f é cont́ınua, por ser polinomial. Então,
temos de garantir a continuidade em x “ ˘1. Temos
lim
xÑ´1´
fpxq “ lim
xÑ´1´
p2´ xq “ 3,
e
lim
xÑ´1`
fpxq “ lim
xÑ´1`
pax` bq “ ´a` b.
Então, necessariamente ´a` b “ 3. Por outro lado,
lim
xÑ1`
fpxq “ lim
xÑ1`
px` 1q2 “ 4,
e
lim
xÑ1´
fpxq “ lim
xÑ1´
pax` bq “ a` b.
Logo, devemos também ter a` b “ 4. Assim, obtemos
#
b´ a “ 3
a` b “ 4
ðñ
#
b “ 3` a
2a` 3 “ 4
ðñ
#
b “ 7{2
a “ 1{2.
Assim, fpxq tem limite em x “ ˘1, pois os limites laterais são iguais. Além disso, o valor
do limite é igual ao valor da função em x “ ˘1. Logo, f é cont́ınua em todos os pontos.
O gráfico de f fica:
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
2´ x
x{2` 7{2
px` 1q2
Sabendo que muitas das funções que aparecem usualmente são cont́ınuas nos seus domı́-
nios, exploremos agora algumas técnicas de cálculo de limites.
Exemplo: Calcule
lim
xÑ0
p3` xq2 ´ 9
x
.
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Temoslim
xÑ0
p3` xq2 ´ 9
x
“ lim
xÑ0
9` 6x` x2 ´ 9
x
“ lim
xÑ0
6x` x2
x
“ lim
xÑ0
p6` xq “ 6.
Exemplo: Calcule
lim
xÑ1`
3x´ 1
x´ 1
.
Aqui, vemos que ao substituir x por 1, obteŕıamos 2
0
, o que sugere que o limite será
infinito. Apenas precisamos saber se será `8 ou ´8: Quando x se aproxima de 1` (ou
seja, de 1 por valores maiores que 1), x´ 1 é pequeno e positivo, mas 3x´ 1 aproxima-se
de 2. Logo podemos afirmar que
lim
xÑ1`
3x´ 1
x´ 1
“
3
0`
“ `8.
Assim, vemos em particular que a função 3x´1
x´1
tem uma asśıntota vertical em x “ 1.
Exemplo: Calcule
lim
xÑ0
?
x2 ` 9´ 3
x2
.
Aqui, substituindo x por zero também não resulta, pois obtemos 0
0
. Podemos no entanto
multiplicar e dividir pelo conjugado,
?
x2 ` 9` 3:
lim
xÑ0
?
x2 ` 9´ 3
x2
“ lim
xÑ0
?
x2 ` 9´ 3
x2
¨
?
x2 ` 9` 3
?
x2 ` 9` 3
“ lim
xÑ0
x2 ` 9´ 9
x2p
?
x2 ` 9` 3q
“ lim
xÑ0
x2z
x2z p
?
x2 ` 9` 3q
“ lim
xÑ0
1
?
x2 ` 9` 3
“
1
b
lim
xÑ0
px2 ` 9q ` 3
“ 1{6 ø
?
x é uma função cont́ınua.
Exemplo: Mostre que lim
xÑ0
|x| “ 0.
Como a função |x| está definida por partes, temos de calcular os limites laterais em x “ 0.
Temos
lim
xÑ0`
|x| “ lim
xÑ0`
x “ 0,
e
lim
xÑ0´
|x| “ lim
xÑ0´
´x “ 0.
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Logo, como os limites laterais em x “ 0 existem e são iguais, conclúımos que lim
xÑ0
|x| “ 0.
Exemplo: Mostre que lim
xÑ0
|x|
x
não existe. Temos que, por um lado,
lim
xÑ0`
|x|
x
“ lim
xÑ0`
x
x
lim
xÑ0`
1 “ 1,
e por outro,
lim
xÑ0´
|x|
x
“ lim
xÑ0´
´x
x
lim
xÑ0´
´1 “ ´1,
Assim, o limite lim
xÑ0
|x|
x
não existe, pois os limites laterais, apesar de existirem, são distintos.
Vemos também que a função |x|
x
pode ser escrita como
|x|
x
“
#
´1, x ă 0,
1, x ą 0,
não estando definida para x “ 0:
-1
-0.5
0
0.5
1
-1 -0.5 0 0.5 1
|x|
x
Teorema do confronto ou do sandúıche.
O teorema do confronto afirma que, se f, g e h são funções tais que
fpxq ď gpxq ď hpxq
e se lim
xÑa
fpxq “ lim
xÑa
hpxq “ L, então tem-se que lim
xÑa
gpxq “ L também.
Assim, consigo encontrar o limite de gpxq desde que esta esteja “ensanduichada” entre
fpxq e hpxq, e estas duas tiverem o mesmo limite.
A conclusão do teorema do confronto continua válida mesmo que a ou L sejam infinitos.
Exemplo: Ache o limite lim
xÑ0
x2 sen
`
1
x
˘
.
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Em primeiro lugar, observe-se que não podemos afirmar que
lim
xÑ0
x2 sen
`1
x
˘
“ lim
xÑ0
x2 ¨ lim
xÑ0
sen
`1
x
˘
, Ð Errado!
pois o segundo limite acima não existe. No entanto, temos que
´1 ď sen
`1
x
˘
ď 1,
e portanto,
´x2 ď x2 sen
`1
x
˘
ď x2.
Assim, pelo teorema do confronto, e como lim
xÑ0
´x2 “ lim
xÑ0
x2 “ 0, conclúımos que
lim
xÑ0
x2 sen
`1
x
˘
“ 0.
A função está ilustrada abaixo:
fpxq “ x2 sen
´1
x
¯
Exerćıcio: Determine as asśıntotas horizontais ao gráfico de fpxq “
x2 ´ 1
x2 ` 1
.
Como vimos na aula anterior, para achar as asśıntotas horizontais, precisamos calcular os
limites em ˘8 da função. Mas, “substituindo x por `8” (o que nem sequer faz sentido,
pois `8 não é um número) obteŕıamos 8
8
, que é uma indeterminação. Isso apenas quer
dizer que ainda não sabemos resolver o limite; temos de achar um outro artif́ıcio para
transformar a fração numa outra, equivalente, que permita o cálculo do limite.
Neste caso, isso é feito pondo x2 em evidência no numerador e no numerador:
lim
xÑ`8
x2 ´ 1
x2 ` 1
“ lim
xÑ`8
x2z p1´ 1
x2
q
x2z p1` 1
x2
q
“ lim
xÑ`8
1´ 1
x2
1` 1
x2
“
1´ lim
xÑ`8
1
x2
1` lim
xÑ`8
1
x2
“
1´ 0
1` 0
“ 1.
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Do mesmo modo, obtemos que o limite quando x Ñ ´8 é 1 também. Assim, a reta
y “ 1 é asśıntota horizontal da função fpxq “
x2 ´ 1
x2 ` 1
.
Exerćıcio: Calcule
lim
xÑ`8
3x2 ´ x´ 2
5x2 ` 4x` 1
.
Colocando x2 em evidência no numerador e denominador,
lim
xÑ`8
3x2 ´ x´ 2
5x2 ` 4x` 1
“ lim
xÑ`8
3´ 1
x
´ 2
x2
5` 4
x
` 1
x2
“
3´ 0
5` 0
“
3
5
,
Exerćıcio: Determine as asśıntotas horizontais de fpxq “
?
2x2 ` 1
3x´ 5
.
Temos
lim
xÑ`8
?
2x2 ` 1
3x´ 5
“ lim
xÑ`8
a
x2p2` 1{x2q
xp3´ 5{xq
“ lim
xÑ`8
|x|
a
2` 1{x2
xp3´ 5{xq
ø lembre que
?
x2 “ |x|.
“ lim
xÑ`8
x
a
2` 1{x2
xp3´ 5{xq
ø x ą 0, logo |x| “ x.
“
b
2` lim
xÑ`8
1
x2
3´ lim
xÑ`8
5
x
ø
?
x é uma função cont́ınua.
“
?
2` 0
3´ 0
“
?
2
3
.
Podemos desde já dizer que fpxq tem uma asśıntota horizontal em y “
?
2{3. Vejamos o
limite em ´8. Temos
lim
xÑ´8
?
2x2 ` 1
3x´ 5
“ lim
xÑ´8
a
x2p2` 1{x2q
xp3´ 5{xq
“ lim
xÑ´8
|x|
a
2` 1{x2
xp3´ 5{xq
ø lembre que
?
x2 “ |x|.
“ lim
xÑ´8
´x
a
2` 1{x2
xp3´ 5{xq
ø x ă 0, logo |x| “ ´x.
“
´
b
2` lim
xÑ´8
1
x2
3´ lim
xÑ´8
5
x
ø
?
x é uma função cont́ınua.
“
´
?
2` 0
3´ 0
“
´
?
2
3
.
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Assim, fpxq tem duas asśıntotas horizontais, y “ ˘
?
2{3. A função está representada
abaixo:
-1
-0.5
0
0.5
1
-20 -10 0 10 20
fpxq “
?
2x2`1
3x´5
Exerćıcio: Determine lim
xÑ`8
fpxq com
fpxq “ e
2x2`1
x2´x`3 .
Como a exponencial ex é uma função cont́ınua, temos que
lim
xÑ`8
e
2x2`1
x2´x`3 “ e
lim
xÑ`8
2x2`1
x2´x`3 .
Então, calculamos o limite no interior:
lim
xÑ`8
2x2 ` 1
x2 ´ x` 3
“ lim
xÑ`8
2` 1{x2
1´ 1{x` 3{x2
“ 2.
Assim,
lim
xÑ`8
fpxq “ e
lim
xÑ`8
2x2`1
x2´x`3 “ e2.
Exerćıcio: Determine lim
xÑ`8
e´x´cosx.
Como a exponencial ex é uma função cont́ınua, temos que
lim
xÑ`8
e´x´cosx “ e
´ lim
xÑ`8
px`cosxq
.
Porém, para calcular lim
xÑ`8
px` cosxq não podemos fazer
lim
xÑ`8
px` cosxq “ lim
xÑ`8
x` lim
xÑ`8
cosx, Ð Errado!
pois lim
xÑ`8
cosx não existe. Então, usamos o teorema do confronto. Temos
´1 ď cosx ď 1 ðñ x´ 1 ď x` cosx ď x` 1.
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Como
lim
xÑ`8
px´ 1q “ lim
xÑ`8
px` 1q “ `8,
conclúımos que lim
xÑ`8
px` cosxq “ `8. Logo,
lim
xÑ`8
fpxq “ e´8 “ 0.
Exerćıcio: Calcule lim
xÑ`8
´?
x2 ` 1 ´ x
¯
. Aqui a técnica é multiplicar e dividir pelo
conjugado:
lim
xÑ`8
´?
x2 ` 1´ x
¯
“ lim
xÑ`8
`?
x2 ` 1´ x
˘`?
x2 ` 1` x
˘
?
x2 ` 1` x
“ lim
xÑ`8
x2 ` 1´ x2
?
x2 ` 1` x
“ lim
xÑ`8
1
?
x2 ` 1` x
“
1
`8
“ 0. Ð p‹q
p‹q: usamos a notação
1
`8
para expressar o fato seguinte: como
?
x2 ` 1` x tende para
`8 quando xÑ `8, então o seu inverso, 1?
x2`1`x
, tende para zero.
Se quisermos, em vez de p‹q, podemos terminar o exerćıcio de duas maneiras alternativas:
lim
xÑ`8
1
?
x2 ` 1` x
“ lim
xÑ`8
1
x
¨
1
a
1` 1{x2 ` 1
“ lim
xÑ`8
1
x
¨ lim
xÑ`8
1
a
1` 1{x2 ` 1
“ 0 ¨
1
2
“ 0,
ou ainda, observando que
0 ď
1
?
x2 ` 1` x
ď
1
x
,
e portanto, pelo teorema do confronto, lim
xÑ`8
1?
x2`1`x
“ 0.
Teorema do Valor Intermediário
O Teorema do Valor Intermediário (TVI) é mais um resultado útil que é válido para
funções cont́ınuas. Ele é o equivalente matemático de dizer que, se eu for subir na pedra
da Gávea (que tem 842 metros de altura) partindo da praia, então necessariamente em
algum momento eu vou estar a, por exemplo, 500 metros de altura. Dito de outra forma,
dada qualquer altitude de N metros entre 0 e 842 metros, então existiu pelo menos um
momento em que a minha altitude foi N .
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Teorema 1 (Teorema do Valor Intermediário). Suponha que f é uma função cont́ınua em
um intervalo fechado ra, bs, e seja N um número qualquer entre fpaq e fpbq. Então, existe
algum ponto c em pa, bq tal que fpcq “ N .
Ilustração:
fpaq
N
fpbq
a c b
fpxq
Exemplo: Mostre que a equação
4x3´ 6x2 ` 3x´ 2 “ 0
tem pelo menos uma ráız entre 1 e 2.
A função fpxq “ 4x3´6x2`3x´2 é cont́ınua em todo o R, por ser um polinômio. Portanto,
é cont́ınua no intervalo fechado r1, 2s. Temos que fp1q “ ´1 ă 0 e fp2q “ 12 ą 0. Assim,
pelo TVI, dado qualquer número N entre ´1 e 12, temos a garantia que existirá c entre
1 e 2 tal que fpcq “ N . Em particular, como zero está entre ´1 e 12, então existe algum
c entre 1 e 2 tal que fpcq “ 0.
Exemplo: Mostre que existe algum x onde cosx “ x.
Seja fpxq “ cosx´ x. Então, achar uma solução de cosx “ x é equivalente a achar x tal
que fpxq “ 0. f é uma função cont́ınua em R, por ser soma de duas funções cont́ınuas.
Em particular, é cont́ınua em qualquer intervalo fechado. Então, apenas precisamos de
encontrar um valor a onde fpaq e fpbq tenham sinais contrários. Podemos tomar a “ 0
e b “ 10 (por exemplo). De fato, fp0q “ 1 ą 0, e fp10q “ cos 10 ´ 10. Temos que
´1 ď cos 10 ď 1, e portanto ´11 ď cos 10 ´ 10 ď ´9. Ou seja, fp10q ă 0. Aplicando o
TVI, conclúımos que existe algum c entre 1 e 10 onde fpcq “ 0, como queŕıamos. Observe
que podeŕıamos ter escolhido outros a e b.
É muito instrutivo pensar sobre o que acontece quando alguma das hipóteses do TVI não
é verificada. Nesses casos, a conclusão pode não ser válida. Por exemplo, tome a função
definida em r0, 1s
fpxq “
#
1, 0 ă x ď 1,
0, x “ 0.
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Cálculo 1 - Semipresencial
Aula 4 – Cálculo de limites e continuidade
fpxq é cont́ınua apenas em p0, 1s, mas não em r0, 1s. Portanto não tenho garantia que
o resultado do TVI seja verdadeiro, pois f não respeita a hipótese de ser cont́ınua num
intervalo fechado. E de fato, dado qualquer valor N entre fp0q “ 0 e fp1q “ 1 (por
exemplo, 1{2), não existe nenum ponto onde f tome esse valor.
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