TEXTOS 5 - PROBLEMAS_TAREFAS

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<p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>1</p><p>TEXTOS 5 – ENSINO BASEADO EM PROBLEMAS</p><p>TAREFAS E ATIVIDADES</p><p>Estes textos parciais e atividades foram retirados da obra MATEMÁTICA NO ENSINO</p><p>FUNDAMENTAL, 6ª ed., de John A. VAN DE WALLE, publicado pela editora Penso, em 2009.</p><p>Esta obra pode ser acessada integralmente de forma eletrônica na Biblioteca Digital Unicesumar</p><p>(BDU).</p><p>Permitir que o sujeito seja problematizador significa possibilitar que os estudantes desejem</p><p>saber por que as coisas são como são, questionar, procurar soluções e solucionar</p><p>incongruências. Significa que tanto o currículo quanto o ensino devem começar propondo</p><p>problemas, dilemas e questões – desafios – para os estudantes.</p><p>Hiebert et. al (1996, p.12)</p><p>“Resolver problemas não é apenas uma meta da aprendizagem matemática, mas também um</p><p>modo importante de fazê-la. A resolução de problemas é uma parte integrante de toda a</p><p>aprendizagem matemática e, portanto, não deve ser apenas uma parte isolada do programa</p><p>de matemática. [...] Em outras palavras, os estudantes devem resolver problemas não para</p><p>aplicar matemática, mas para aprender nova matemática. Quando os alunos se ocupam de</p><p>tarefas bem escolhidas baseadas na resolução de problemas e se concentram nos métodos de</p><p>resolução, o que resulta são novas compreensões da matemática embutida na tarefa.</p><p>Enquanto os estudantes estão ativamente procurando relações, analisando padrões,</p><p>descobrindo que métodos funcionam e quais não funcionam e justificando resultados ou</p><p>avaliando e desafiando os raciocínios dos outros, eles estão necessária e favoravelmente se</p><p>engajando em um pensamento reflexivo sobre as ideias envolvidas.” (VAN DE WALLE, 2009,</p><p>p.57).</p><p>PROBLEMAS E TAREFAS PARA APRENDIZAGEM MATEMÁTICA</p><p>“Um problema é definido aqui como qualquer tarefa ou atividade na qual os estudantes</p><p>não tenham nenhum método ou regra já receitados ou memorizados e nem haja uma</p><p>percepção por parte dos estudantes de que haja um método “correto” específico de solução</p><p>(Hiebert et al., 1997).</p><p>Um problema voltado para aprendizagem matemática também possui estas</p><p>características:</p><p>• O problema deve começar onde os alunos estão. O projeto ou seleção de tarefas deve</p><p>levar em consideração a compreensão atual dos estudantes. Eles devem ter as ideias</p><p>apropriadas para se envolver e resolver o problema e, ainda assim, considerá-lo</p><p>desafiante e interessante. Os estudantes devem considerar a tarefa algo que faça</p><p>sentido.</p><p>• O aspecto problemático ou envolvente do problema deve estar relacionado à</p><p>matemática que os alunos vão aprender. Ao resolver o problema ou fazer a atividade,</p><p>os alunos devem estar preocupados principalmente em dar significado à matemática</p><p>envolvida e, assim, desenvolver sua compreensão sobre essas ideias. Embora seja</p><p>aceitável e até mesmo desejável ter contextos para os problemas que os tornem</p><p>interessantes, esses aspectos não devem ser o foco da atividade. Nem as atividades</p><p>“não matemáticas” (cortar e colar, colorir gráficos, etc.) devem distrair os</p><p>estudantes da matemática envolvida.</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>2</p><p>• A aprendizagem matemática deve requerer justificativas e explicações para as</p><p>respostas e os métodos. Os estudantes devem compreender que a responsabilidade</p><p>para determinar se as respostas estão corretas e porque elas estão corretas também é</p><p>deles. A justificativa deve ser uma parte integrante de suas soluções.”</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.57-58).</p><p>UMA MUDANÇA NO PENSAR SOBRE O ENSINO DA MATEMÁTICA</p><p>“Tradicionalmente, o professor ensinava a matemática e os alunos a praticavam durante</p><p>algum tempo e, então, era esperado que eles usassem as novas habilidades ou ideias na</p><p>resolução de problemas. Esta abordagem, muito enraizada em nossa cultura, raramente</p><p>funciona bem. Primeiro, ela considera que todas as crianças naquele momento possuem as</p><p>ideias requeridas (os ‘blue dots’) para dar significado à explicação do modo que o professor</p><p>acredita ser o melhor. Isso significa que há apenas uma maneira para cada aluno “adquiri-</p><p>lo”. É do modo do professor ou de nenhum modo. Porém, é irreal esperar a existência de um</p><p>conjunto singular de ideias para qualquer turma típica. Embora uma abordagem expositiva</p><p>de “mostrar e dizer”, às vezes, tenha sucesso com algumas crianças, mostrar e dizer depende</p><p>da absorção passiva das ideias e leva a maioria dos estudantes a acreditar que a matemática</p><p>é misteriosa e que está além de sua compreensão.</p><p>A segunda dificuldade com o paradigma “ensinar-então-praticar” é que a resolução de</p><p>problemas está separada do processo de aprendizagem. É improvável que as crianças que</p><p>ficam esperando que o professor lhes apresente as regras, resolvam problemas para os quais</p><p>não foram fornecidos os métodos de solução. Ao separar o ensino da resolução de problemas</p><p>e do confronto com as ideias, a aprendizagem matemática fica separada do fazer matemática.</p><p>Isso simplesmente não faz sentido algum.</p><p>As lições eficazes começam onde os alunos estão, e não onde os professores estão. Isto é,</p><p>ensinar deve começar com as ideias que as crianças já possuem – as que serão usadas para</p><p>criar novas ideias. Envolver os alunos requer tarefas ou atividades que sejam fundamentadas</p><p>em problemas e um pensamento ativo. Os estudantes aprendem matemática como resultado</p><p>da resolução de problemas. As ideias matemáticas são os resultados da experiência de</p><p>resolução de problemas em vez de elementos que devem ser ensinados antes de resolver</p><p>problemas. Além disso, o processo de resolver problemas está, agora, completamente</p><p>entrelaçado com a aprendizagem; as crianças estão aprendendo matemática fazendo</p><p>matemática!”</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.58).</p><p>O VALOR DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO</p><p>“Não há dúvida de que ensinar por resolução de problemas é difícil. As tarefas devem</p><p>ser planejadas ou selecionadas a cada dia e a compreensão atual dos alunos e as</p><p>necessidades curriculares devem ser levadas em consideração. Em geral, é difícil planejar</p><p>com muita antecedência. Se você adotar um livro de ensino tradicional, será necessário fazer</p><p>modificações. Contudo, há boas razões para prosseguir neste esforço.</p><p>• A resolução de problemas concentra a atenção dos alunos sobre as ideias e em</p><p>dar sentido às mesmas.</p><p>• A resolução de problemas desenvolve nos alunos a convicção de que eles são</p><p>capazes de fazer matemática e de que a matemática faz sentido.</p><p>• A resolução de problemas fornece dados contínuos para a avaliação que podem</p><p>ser usados para tomar decisões educacionais, ajudar os alunos a ter bom</p><p>desempenho e manter os pais informados.</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>3</p><p>• A resolução de problemas possibilita um ponto de partida para uma ampla gama</p><p>de alunos.</p><p>• Uma abordagem de resolução de problemas envolve os estudantes de modo que</p><p>ocorrem menos problemas de disciplina.</p><p>• A resolução de problemas desenvolve o ‘Potencial Matemático’.</p><p>• É Muito Divertida!”</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.59)</p><p>UM FORMATO DE AULA EM TRÊS FASES</p><p>Os professores norte-americanos usam uma pequena parte de uma aula explicando ou</p><p>revisando uma ideia e então entram no modo de “prática de exercícios” onde os alunos</p><p>vagueiam por um conjunto de exercícios. As lições organizadas nesse modelo “explicar-</p><p>então-praticar” os condicionam a se concentrar sobre os procedimentos para que possam</p><p>terminar os exercícios. Os professores caminham de escrivaninha em escrivaninha</p><p>reensinando e reexplicando. Isso está em forte e significativo contraste com uma lição</p><p>construída ao redor de um único problema, a abordagem típica para lições baseadas em</p><p>resolução de problemas e centradas nos alunos.</p><p>É útil pensarmos em uma lição como</p><p>consistindo em três fases simples: antes, durante e</p><p>depois. (Veja Figura 4.2.) Para a maioria das</p><p>lições, essas</p><p>três fases de lição são construídas ao</p><p>redor de um único problema ou tarefa para os</p><p>estudantes. Se o tempo for dividido para cada</p><p>fase, é bastante fácil dedicar cerca de uma hora</p><p>ou uma aula completa a um problema. Haverá</p><p>momentos em que uma tarefa não mereça uma</p><p>aula inteira; nesse caso uma atividade de</p><p>matemática mental é um bom exemplo. Até mesmo</p><p>aqui, é útil manter em mente os mesmos três</p><p>componentes de uma lição.</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.61-62)</p><p>A FASE ANTES DA LIÇÃO</p><p>Há três objetivos relacionados à fase ‘antes’ de uma lição:</p><p>1. Verificar se os alunos compreenderam o problema de modo que você não precise</p><p>esclarecer ou explicar depois individualmente a lição.</p><p>Essa ação não é opcional! Você sempre deve estar seguro de que os alunos</p><p>compreenderam o problema antes de deixá-los trabalhar. Lembre-se de que a</p><p>perspectiva deles é diferente da sua</p><p>2. Esclarecer aos estudantes quais são as suas expectativas antes de eles começarem a</p><p>trabalhar no problema. Isso inclui tanto como eles irão trabalhar (individualmente,</p><p>em duplas ou em pequenos grupos) quanto o que você espera que eles produzam</p><p>além de uma resposta. Quando trabalham sozinhos, os estudantes não têm ninguém</p><p>para conversar sobre alguma ideia ou sobre algum modo de começar se estiverem</p><p>bloqueados. Por outro lado, quando trabalham em grupos, sempre há a possibilidade</p><p>de alguns não contribuírem ou de um aluno dominador conduzir os demais. Uma boa</p><p>solução é uma abordagem por etapas em que eles primeiro trabalham sozinhos</p><p>(refletem) e depois conversam e trocam ideias com um parceiro. O compartilhar</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>4</p><p>[com a turma] é realizado durante a aula de discussão. Buschman (2003) sugere o</p><p>modelo “pensar e escrever, conversar em dupla e compartilhar”, acrescentando que</p><p>os alunos devem, primeiro, escrever suas soluções para o problema antes de formar</p><p>uma dupla com um parceiro.</p><p>Com trabalho escrito para compartilhar, os dois alunos têm algo sobre o que falar.</p><p>Embora apropriado a todos os estudantes, o método de “pensar e escrever –</p><p>conversar em dupla – compartilhar” é especialmente útil para crianças da educação</p><p>infantil à 1a série que geralmente ainda não sabem como discutir uma solução ou até</p><p>mesmo como trabalhar em equipe.</p><p>Ensinar pela resolução de problemas requer que os alunos mudem o foco de sua</p><p>atenção do obter apenas as respostas para os processos e argumentos de como eles</p><p>obtiveram as respostas. É necessário dizer a eles o que é esperado deles além de uma</p><p>resposta simples, de modo que eles estejam claramente preparados para a fase de</p><p>discussão da lição. É sempre uma boa ideia fazer os alunos escreverem toda a</p><p>explicação para sua solução. Redigindo um relatório, todos os alunos estarão</p><p>preparados para a discussão que se seguirá.</p><p>3. Preparar os estudantes mentalmente para trabalhar no problema e pensar sobre os</p><p>conhecimentos prévios que eles possuem que serão mais úteis. O elemento da agenda</p><p>de trabalho aqui é ativar o conhecimento anterior específico relacionado ao</p><p>problema de hoje. Qual a forma que esta atividade de preparação pode ter irá variar</p><p>com o problema ou tarefa e, de fato, muitas vezes, nenhuma tarefa ou atividade</p><p>preparatória é necessária. Por exemplo, uma simples história-problema pode</p><p>requerer nada além de ser completamente compreendida e de esclarecer as</p><p>expectativas. Em outros momentos, o problema pode requerer uma breve revisão ou</p><p>outra ação que prepare os alunos.</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.62-64)</p><p>A FASE DURANTE DE UMA LIÇÃO</p><p>Embora esta seja a fase da lição quando os alunos trabalham sozinhos ou com parceiros,</p><p>existe uma agenda de trabalho clara que você deve acompanhar:</p><p>1. Vamos lá! Dê aos alunos uma chance de trabalharem sem sua orientação ou</p><p>direção. Evite antecipar ou resolver suas batalhas mentais. Uma vez que seus alunos</p><p>estejam preparados para trabalhar na tarefa, é o momento de deixá-los caminhar.</p><p>Demonstre confiança e respeito pelas habilidades deles. Coloque-os para trabalhar</p><p>com a expectativa de que eles resolverão o problema. Você tem que deixá-los</p><p>caminhar! Muitos professores são tentados a caminhar lado a lado e ajudá-los,</p><p>“colocando a carroça à frente dos bois” e fornecendo instruções inconvenientes.</p><p>Tenha confiança em seus alunos! Deixe-os resolver o problema. Isto pode ser muito</p><p>difícil para você, pois provavelmente escolheu ensinar para “ajudar” os alunos.</p><p>Agora você precisa deixá-los caminhar sozinhos.</p><p>Deixar caminhar também significa permitir que eles cometam erros. Quando você</p><p>observa um erro ou pensamento incorreto, não o corrija imediatamente. Os alunos</p><p>têm de aprender desde o início que os seus erros podem ser úteis (Boaler e</p><p>Humphries, 2005). As melhores discussões acontecem quando há discordâncias. Se</p><p>você corrigir todo pensamento incorreto, você terá menos debates, reduzirá a</p><p>segurança dos alunos em seu próprio pensamento e terá menos ideias para uma</p><p>discussão rica e proveitosa.</p><p>2. Escute ativamente os seus estudantes. Ocupe esse tempo em descobrir como os</p><p>diferentes alunos estão pensando, que ideias estão usando e como estão abordando o</p><p>problema. Esse é um momento para observação e avaliação – e não para</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>5</p><p>transmissão ou informação! Você pode se sentar com um grupo e simples-mente</p><p>escutar durante algum tempo, pode pedir a eles para ex-plicar o que estão fazendo ou</p><p>pode tomar notas. Se você quiser informação adicional, experimente dizer, “Me</p><p>conte o que você está fazendo”, ou “Você começou a multiplicar esses números, pode</p><p>me dizer por que você está multiplicando?”. Você deseja concretizar um interesse</p><p>verdadeiro pelo que os alunos estão fazendo e pensando. Esse não é o momento para</p><p>julgar ou contar a eles como resolver o problema.</p><p>“É fácil. Deixe-me ajudá-lo”. Essas duas frases simples enviam duas mensagens</p><p>desastrosas ao aluno que as escuta. Para quem está pedindo ajuda, não é fácil! Além</p><p>da reação do aluno – se manter silencioso, é claro – é mais provável que ele esteja</p><p>concluindo: “Se é fácil e eu não consigo fazer isso, devo ser burro”. A segunda frase</p><p>é igualmente devastadora. Ela diz: “Você não é capaz de fazer isso por conta</p><p>própria. Eu tenho que te ajudar e fazer para você”.</p><p>3. Cuidadosamente, ofereça sugestões adequadas – mas apenas sugestões baseadas</p><p>nas ideias dos estudantes e nos seus modos de pensamento. Tenha muito cuidado</p><p>para não sugerir que você detém o método correto de resolver o problema. Se um</p><p>grupo ou aluno está procurando um lugar por onde começar, uma sugestão pode ser</p><p>apropriada. Você pode sugerir que eles tentem usar um modelo interativo particular,</p><p>desenhar uma figura ou fazer uma tabela se uma dessas ideias parecer apropriada.</p><p>Observe que essas sugestões não são diretivas [receitas], mas funcionam como</p><p>pontos de partida e disparadoras de ideias. Até mesmo aqui, a escolha de uma</p><p>sugestão é realizada melhor após ouvir cuidadosamente o que o estudante tem</p><p>tentado fazer ou pensado. Depois de oferecer uma sugestão, caia fora. Não fique</p><p>rondando ou o aluno vai ficar esperando por mais orientação sem fazer qualquer</p><p>esforço pessoal.</p><p>Quando lhe perguntarem se um resultado ou método está correto, responda dizendo,</p><p>“Como você pode decidir?” ou “Por que você pensa que isso estaria certo?” ou “Eu</p><p>entendi o que você fez. Como você pode conferir isso?”. Até mesmo se não lhe</p><p>pedirem uma opinião, pergunte “Como nós podemos dizer se isso faz sentido?”.</p><p>Lembre os alunos que respostas sem explicações não são aceitáveis.</p><p>4. Forneça atividades adequadas aos alunos que terminarem mais rápido. Os que</p><p>completam as atividades mais rápido geralmente podem ser desafiados de alguma</p><p>maneira conectada ao problema recém resolvido. Como alternativa, projetos de</p><p>extensão devem ser usados como outra parte de seu programa de matemática. Os</p><p>alunos que terminam cedo podem usar esse tempo para trabalhar em seus projetos.</p><p>Muitos problemas bons são superficialmente simples. As extensões que são</p><p>desafiadoras. A tarefa da área e do perímetro é um exemplo. Muitos proporão uma</p><p>ou duas soluções rapidamente. “Eu vi que você encontrou uma maneira de fazer isso.</p><p>Existe outra solução? Alguma solução é diferente ou mais interessante que as</p><p>outras? Qual das formas que você encontrou com um perímetro de 18 unidades é a</p><p>maior e qual a menor? O perímetro sempre muda quando você adiciona outro</p><p>ladrilho?”</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.64-66)</p><p>A FASE DEPOIS DE UMA LIÇÃO</p><p>“Na fase depois de uma lição, os alunos trabalharão como uma comunidade de</p><p>aprendizes, discutindo, justificando e desafiando as várias soluções para o problema no qual</p><p>todos acabaram de trabalhar. Aqui é onde a maior parte da aprendizagem acontecerá</p><p>enquanto os alunos refletem individual e coletivamente sobre as ideias que eles criaram e</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>6</p><p>investigaram. O erro mais fácil de cometer aqui é falhar no planejamento do tempo suficiente</p><p>para uma discussão ou permitir que a fase durante se estenda muito.</p><p>1. Envolva a turma em uma discussão produtiva e ajude-os a trabalhar juntos como</p><p>uma comunidade de aprendizes. Esteja certo de planejar um amplo tempo para esta</p><p>fase da lição e, assim, preservar o tempo necessário. Vinte minutos ou mais não é</p><p>demasiado para uma boa discussão e troca de ideias na turma. Não é necessário que</p><p>todos os alunos tenham terminado. Este não é o momento de conferir ou corrigir as</p><p>respostas, mas para a turma realmente compartilhar suas ideias. Com o passar do</p><p>tempo, você fará sua turma se transformar em uma comunidade de aprendizes de</p><p>matemática, onde os alunos se sentem confortáveis em se arriscar e compartilhar</p><p>ideias; onde alunos e professor respeitam as ideias uns dos outros mesmo quando</p><p>discordam, onde as hipóteses são defendidas e desafiadas respeitosamente, e onde o</p><p>raciocínio lógico ou matemático é estimado acima de tudo. Essa atmosfera não se</p><p>desenvolverá fácil nem rapidamente. Você precisará orientar seus alunos sobre suas</p><p>expectativas durante esta fase e como interagir com os seus colegas. Devido às</p><p>necessidades e habilidades das crianças serem diferentes, é necessário habilidade e</p><p>prática para gerir uma discussão de grande grupo [toda turma] equilibrada e que</p><p>inclua todas as crianças.</p><p>2. Escute ativamente sem julgar. Aproveite essa segunda oportunidade para descobrir</p><p>como os alunos estão pensando e como eles estão abordando o problema. Avaliar os</p><p>métodos e soluções é dever dos estudantes na fase de discussão. Sendo um facilitador</p><p>e não um avaliador, os alunos desejarão compartilhar mais as suas ideias durante as</p><p>discussões. Esta é a janela para os seus pensamentos. Escute cuidadosamente a</p><p>discussão sem muita interferência. Você pode usar essa informação para planejar a</p><p>próxima lição e, em geral, decidir em que direção conduzir sua unidade atual. Tente</p><p>apresentar uma posição neutra com respeito a todas as respostas. Resista à tentação</p><p>de julgar a correção de uma resposta. Você pode formular questões de</p><p>esclarecimento de respostas corretas e errôneas. Mas quando diz, “Denis, isso está</p><p>correto”, não haverá mais nenhum motivo para os colegas avaliarem a resposta dele.</p><p>Tendo alunos que discordaram com a resposta apresentada, eles não se aventurarão</p><p>mais a desafiá-la pois você já disse que estava correta. Em vez disso, eles vão</p><p>covardemente esconder suas ideias e você não terá a chance de ouvir e aprender com</p><p>eles. Você pode apoiar o pensamento dos estudantes sem julgar. “Alguém tem uma</p><p>ideia diferente ou quer fazer um comentário sobre o que o Daniel acabou de dizer?”</p><p>Use elogios cuidadosamente. Os elogios, oferecidos às soluções corretas, ou a</p><p>excitação em torno de ideias interessantes sugerem que os alunos fizeram algo</p><p>incomum ou inesperado. Isso pode ser uma retroalimentação negativa para aqueles</p><p>que não foram elogiados. Comentários tais como “Bom trabalho!” e “Excelente</p><p>trabalho!” saltam para fora da língua com muita facilidade. Porém, há evidências</p><p>sugerindo que deveríamos ter cuidado com expressões de elogio, em especial com</p><p>respeito aos produtos e soluções dos alunos (Kohn, 1993; Schwartz, 1996). Elogios</p><p>não só apoiam os sentimentos dos alunos, mas também os avaliam. “Bom trabalho!”</p><p>quer dizer também “Sim, você fez isso corretamente”.</p><p>3. Sintetize as principais ideias e identifique problemas para futuras explorações.</p><p>Quando você estiver satisfeito com a discussão sobre a resposta e a resolução para o</p><p>problema, resuma os pontos principais da discussão e verifique se todos os alunos</p><p>compreenderam. Tente usar a terminologia usada pelos estudantes. Quando as ideias</p><p>forem bem-desenvolvidas, introduza os termos, as definições ou o simbolismo</p><p>apropriado. As “etiquetas” (nomenclaturas) vêm após o estabelecimento das ideias,</p><p>e não antes.</p><p>Em geral, alguém fará uma generalização ou uma observação em que acredita muito,</p><p>mas que não pode justificar completamente. Essas ideias sempre devem ser escutadas</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>7</p><p>com muito interesse, até mesmo se estiverem incorretas. As ideias não testadas</p><p>podem ser escritas acima do quadro como a “Hipótese de André”. Explique o</p><p>significado da hipótese como uma ideia que pode ou não ser verdadeira. Testar a</p><p>hipótese pode se tornar o problema em um outro dia, ou a hipótese simplesmente</p><p>pode ser mantida no quadro até evidências adicionais surgirem que a apoiem ou</p><p>contestem. Até mesmo quando os estudantes não sugerirem hipóteses, as discussões</p><p>geralmente levantam questões interessantes que podem ser usadas proveitosamente</p><p>nas tarefas de ajudar a esclarecer uma ideia que esteja emergindo.”</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.66-68)</p><p>PLANEJAR E SELECIONAR TAREFAS EFICAZES</p><p>“Um elemento-chave para o ensino com resolução de problemas é a seleção de</p><p>problemas ou tarefas apropriados. Uma tarefa é eficaz quando ajuda os alunos a aprender as</p><p>ideias que você quer que eles aprendam. Deve ser a matemática na tarefa que a torna</p><p>problemática para os estudantes de modo que as ideias matemáticas sejam as suas</p><p>preocupações básicas. Então, o primeiro e mais importante a considerar ao selecionar</p><p>qualquer tarefa para sua turma deve ser a matemática. Dito isso, onde procurar por tarefas?</p><p>USANDO LIVROS DIDÁTICOS</p><p>Adote uma perspectiva ampla de unidade. Evite pensar que toda lição e ideia na unidade</p><p>requerem atenção. Examine um capítulo ou unidade do princípio ao fim, e identifique de duas</p><p>a quatro Ideias importantes, a matemática essencial no capítulo. (As “Ideias importantes”</p><p>são listadas no início de cada capítulo na Seção 2 deste livro. Elas podem ser úteis como uma</p><p>referência.) Temporariamente ignore as subideias menores que em geral preenchem toda</p><p>lição.</p><p>Agora, com as Ideias importantes da unidade em mente, você pode fazer duas coisas: (1)</p><p>adaptar as melhores ou as mais importantes lições no capítulo para um formato de resolução</p><p>de problemas e (2) criar ou encontrar tarefas no manual do professor e outros recursos que</p><p>abordem as Ideias importantes. Esta combinação lhe proporcionará uma ampla provisão de</p><p>tarefas.</p><p>A Figura 4.4 mostra uma página de um livro didático da 1a série. A lição aborda um</p><p>conceito importante: a conexão entre a adição e a subtração. A abordagem nessa página é</p><p>boa. Uma figura de dois conjuntos de contadores é usada para sugerir uma adição e uma</p><p>equação de subtração, para então conectar esses conceitos. Porém, como é típico dos livros</p><p>didáticos tradicionais da 2a série, há espaços em branco para serem preenchidos com</p><p>respostas corretas muito específicas. A atenção do aluno volta-se quase imediatamente para</p><p>como obter os números certos para os espaços em branco.</p><p>É fácil cair em um modo “como”</p><p>[receita] que enfoca mais os espaços em branco do que</p><p>a relação entre a adição e a subtração. Convertamos essa lição para uma tarefa orientada</p><p>por problemas. Como as crianças podem ser desafiadas a investigar essa ideia?</p><p>Uma opção seria fornecer um conjunto de talvez oito contadores e fazê-los separarem o</p><p>conjunto em duas partes. A tarefa dos estudantes é escrever equações de adição e de</p><p>subtração que contêm como eles separaram os contadores. Eles devem desenhar uma figura</p><p>para mostrar as duas partes do conjunto. As crianças podem ser desafiadas a descobrir de</p><p>quantos modos diferentes elas podem separar os oito contadores. Outra ideia é criar um</p><p>enredo – uma história, cenário ou contexto – no qual há duas quantidades, como carros de</p><p>brinquedo, em duas estantes diferentes. Na loja de brinquedos, havia 11 carros, 4 na estante</p><p>de cima e 7 na de baixo. Faça os alunos criarem duas histórias-problema sobre os 11 carros,</p><p>uma que seja uma história de adição e outra que seja uma história de subtração.</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>8</p><p>Em cada caso, os estudantes farão um ou dois exemplos em vez dos oito que estão nessa</p><p>página e na outra face. Mas nas fases durante e depois de ambas as lições modificadas,</p><p>haverá uma oportunidade muito maior dos estudantes desenvolverem uma conexão entre a</p><p>adição e a subtração. Esse conceito será o foco da discussão e não o preencher os espaços</p><p>em branco.</p><p>A Figura 4.5 é a segunda página de uma lição de geometria de um livro para 6a série. O</p><p>conteúdo envolve classificação de triângulos por comprimento relativo de lados e pelo</p><p>tamanho relativo dos ângulos, mas observe o quanto da lição está simplesmente fornecendo</p><p>definições. Aqui a pergunta no topo da página (Como você pode desenhar e classificar</p><p>triângulos?) é a essência de uma boa tarefa de resolução de problemas. Reflita sobre o que</p><p>você poderia fazer.</p><p>Para torná-la uma tarefa de classificação, os estudantes precisam de alguns triângulos</p><p>em todas as seis categorias, com dois ou três triângulos por categoria. Você poderia</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>9</p><p>preparar um conjunto de triângulos, reproduzi-los e fazer os alunos recortá-los, ou poderia</p><p>usar geoplanos se eles estiverem disponíveis. Determinado o conjunto de triângulos, a tarefa</p><p>é descobrir dois modos para agrupar os triângulos em três grupos separados. Você poderia</p><p>fazer isso primeiro com uma regra sobre os lados e então uma regra sobre os ângulos, ou</p><p>deixar os estudantes desenvolverem seus próprios esquemas de classificação. Na fase</p><p>durante, você pode fornecer sugestões que ajudarão a garantir que alguns alunos criem as</p><p>categorias que você quer. Depois de criarem as categorias, você pode fornecer o vocabulário</p><p>apropriado.</p><p>Uma das vantagens de uma abordagem de resolução de problemas é que ela pode ajudar</p><p>a acomodar a diversidade de alunos em toda sala de aula. Uma abordagem de resolução de</p><p>problemas não dita como uma criança tem de pensar sobre um problema para resolvê-lo.</p><p>Quando uma ideia é apresentada, o que é dito essencialmente aos alunos é: “Use as ideias</p><p>que você possui para resolver esse problema”. Uma vez abandonado o pensamento de que há</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>10</p><p>apenas um modo para resolver um problema, não é muito difícil desenvolver bons problemas</p><p>disparadores ou problemas com múltiplos pontos de partida. Embora a maioria dos</p><p>problemas tenha respostas corretas singulares, em geral há muitos modos para se chegar lá.</p><p>Os problemas apresentados nesse capítulo quase todos têm múltiplos pontos de partida.</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.68-71)</p><p>A LITERATURA INFANTO-JUVENIL</p><p>O uso da literatura infanto-juvenil é suficientemente importante como fonte de problemas</p><p>que merece um pouco de atenção específica. As histórias infanto-juvenis podem ser usadas de</p><p>numerosas maneiras para criar tarefas reflexivas em todas as séries e há muitos livros</p><p>excelentes para lhe ajudar nesta área.</p><p>Como um exemplo, o livro infantil muito popular, The doorbell rang (Tocaram a</p><p>Campainha, Hutchins, 1986), pode ser usado para explorar conceitos diferentes em várias</p><p>séries. A história é um conto sequencial de crianças que compartilham 12 biscoitos. Em cada</p><p>página, mais crianças vêm para a cozinha e os 12 biscoitos devem ser redistribuídos. Essa</p><p>história simples, mas atraente pode levar à exploração de maneiras de formar partes iguais</p><p>de quase qualquer número para crianças da 2a e a divisão na 3a série do EF. Este é um</p><p>trampolim para a multiplicação e 4a explorar conceitos de fração de 4a séries. E também</p><p>pode ser usado para a 6a séries.</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.71-72)</p><p>http://alfabetizacaocefaproponteselacerda.blogspot.com/2014/01/historia-tocaram-campainha.html</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>11</p><p>UM GUIA PARA A SELEÇÃO DE TAREFAS</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.72-73)</p><p>A IMPORTÂNCIA DA ESCRITA DO ESTUDANTE</p><p>É útil fazer os estudantes escreverem uma explicação de seu processo de resolução como</p><p>parte da resolução do problema. Isso é tão importante que vale a pena esclarecer qual o</p><p>valor da escrita do estudante. Há várias vantagens, independente da série:</p><p>• O ato da escrita é um processo reflexivo. Conforme os estudantes se esforçam para</p><p>explicar seus raciocínios e defender suas respostas, eles passarão um período mais</p><p>concentrado pensando nas ideias envolvidas;</p><p>• Um relatório escrito é um ensaio para o momento de discussão. É difícil para o aluno</p><p>explicar como resolveu um problema 15 minutos depois de acabar de fazê-lo. Os</p><p>estudantes sempre podem se referir a um relatório escrito quando lhes for pedido que</p><p>compartilhem suas ideias. Até mesmo uma criança na creche pode mostrar uma</p><p>figura e falar sobre ela. Quando todos os estudantes escreveram sobre suas soluções,</p><p>você não precisará pedir voluntários para compartilhar suas ideias;</p><p>• Um relatório escrito também é um registro escrito que permanece quando a lição</p><p>acaba. Os relatórios podem ser colecionados e revistos posteriormente. A informação</p><p>pode ser usada para planejar, para descobrir quem precisa de ajuda ou</p><p>oportunidades para estender o seu conhecimento e para avaliação e conferências do</p><p>professor.</p><p>Há uma diferença significante entre “Mostrar como você conseguiu sua resposta” e</p><p>“Explicar por que você acredita que sua resposta está correta”. Com a primeira orientação,</p><p>os alunos podem simplesmente registrar os seus passos (“Primeiro nós fizemos..., e então...”)</p><p>ou apresentar seu trabalho como auto evidente.</p><p>Para auxiliar a explicitar melhor as explicações, temos aqui dois possíveis tipos de</p><p>orientações para você considerar:</p><p>• Oriente os alunos a começar seus relatórios desse modo: “Eu (Nós) pensamos que a</p><p>resposta é _____, porque __________ ”.</p><p>• Use palavras, figuras e números para explicar como você conseguiu sua resposta e</p><p>porque acredita que sua resposta faz sentido e está correta”.</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>12</p><p>A Figura 4.7 mostra o trabalho de dois alunos na 1a série que resolveram um problema</p><p>mais difícil do que os tipicamente apresentados nesta série. A maioria dos estudantes usou</p><p>materiais concretos para resolver os problemas e então escreveu sobre suas soluções. Há</p><p>uma diferença clara entre as duas soluções e a compreensão dos alunos de números de dois</p><p>algarismos. Polly está usando grupos de dez. Austin provavelmente contou cada número</p><p>pelas unidades.</p><p>(VAN DE WALLE, 2009, p.73-75)</p><p>PERGUNTAS MAIS FREQUENTES (VAN DE WALLE, 2009, p.76-77)</p><p>A seguir, temos algumas questões que os professores levantaram sobre a abordagem de resolução de</p><p>problemas no ensino de matemática.</p><p>1. Como posso ensinar todas as habilidades básicas necessárias? Muitos</p><p>professores, em especial</p><p>aqueles que estão sofrendo as pressões dos programas de testes estaduais, recorrem a precária</p><p>“lista de exercícios” para ensinar “habilidades básicas.” Há uma tendência em acreditar que o</p><p>domínio dos fundamentos básicos é incompatível com uma abordagem de resolução de</p><p>problemas. Contudo, as evidências sugerem o contrário. Primeiro, as abordagens orientadas</p><p>para exercícios nas salas de aula norte-americanas têm produzido resultados fracos (Battista,</p><p>1999; Kamii e Dominick, 1998; O’Brien, 1999). Os ganhos a curto prazo em habilidades de</p><p>baixo nível podem ser o resultado dos exercícios, mas até mesmo os programas de testes</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>13</p><p>estaduais requerem mais do que isso. Segundo, os dados das pesquisas indicam que os</p><p>estudantes de programas baseados em abordagem de resolução de problemas têm resultados tão</p><p>bons ou quase tão bons quanto os de programas tradicionais nas habilidades bási-cas medidas</p><p>pelos testes unificados (Campbell, 1995; Carpenter, Franke, Jacobs, Fennema, e Empson, 1998;</p><p>Hiebert, 2003; Hiebert e Weame, 1996; Silver e Stein, 1996; Riordan e Noyce, 2001). Qualquer</p><p>déficit no desenvolvimento de habilidades é compensado em valor pela habilidade em conceitos e</p><p>resolução de problemas. Finalmente, as habilidades tradicionais, tais como o domínio de fatos e</p><p>computações básicas, podem ser efetivamente ensinados em uma abordagem de resolução de</p><p>problemas (por exemplo, Campbell, Rowan e Suarez, 1998; Huinker, 1998).</p><p>2. Por que é certo que os alunos “contem” ou “expliquem”, mas não para o professor? Primeiro,</p><p>os alunos questionarão seus colegas quando uma explicação não faz sentido para eles, enquanto</p><p>normalmente as explicações do professor são aceitas sem escrutínio (e, deste modo, sem</p><p>compreensão). Segundo, quando os estudantes são responsáveis pela explicação, os membros da</p><p>turma desenvolvem uma sensação de orgulho e confiança de que podem entender coisas e podem</p><p>dar sentido à matemática. Eles têm potencial e habilidade.</p><p>3. É certo ajudar os alunos que têm dificuldades em resolver um problema? É claro que você quer</p><p>ajudar os alunos que estão lutando com ideias matemáticas novas. Porém, como Buschman</p><p>(2003) sugere, em vez de sugerir como resolver um problema, uma abordagem melhor é tentar</p><p>descobrir por que o estudante está tendo dificuldade. Se você jogar sua ajuda sobre ele, você</p><p>pode nem mesmo estar abordando o motivo real que está atrapalhando o raciocínio do aluno. O</p><p>motivo pode ser tão simples quanto não compreender o problema ou tão complexo quanto uma</p><p>falta de compreensão de um conceito fundamental. “Me conte o que você está pensando” é um</p><p>bom começo. Relembre as consequências desastrosas dessas duas frases simples: “É fácil!</p><p>Deixe-me ajudá-lo!”. Em vez disso, tente construir a partir do conhecimento do aluno. Não</p><p>roube dos estudantes o sentimento de realização e o verdadeiro desenvolvimento da</p><p>compreensão, oriundos de resolverem um problema sozinhos.</p><p>4. Como vou achar tempo para cobrir tudo? A Matemática é muito mais conectada e integrada do</p><p>que os objetivos específicos encontrados em muitas listas de “padrões” estaduais podem sugerir.</p><p>Para lidar com o problema de cobertura, a primeira sugestão é ensinar com a meta de</p><p>desenvolver as “Ideias importantes”, os conceitos principais em uma unidade ou capítulo. A</p><p>maioria das habilidades e ideias em sua lista de objetivos será abordada conforme você</p><p>prosseguir. Se você focar separadamente cada item na lista, então as grandes ideias e conexões e</p><p>a essência da compreensão provavelmente não serão desenvolvidas. Segundo, passamos muito</p><p>tempo reensinando porque os alunos não retêm as ideias. O tempo gasto para ajudá-los a</p><p>desenvolver redes significativas de ideias reduz drasticamente a necessidade de reensinar e de</p><p>recuperação, criando, assim, tempo a longo prazo.</p><p>5. Quanto tempo é necessário para que os alunos se tornem uma comunidade de aprendizes e</p><p>realmente comecem a discutir e compartilhar suas ideias? Isso pode demorar mais tempo do</p><p>que planejamos e as discussões podem parecer enfadonhas ou não produtivas a princípio. Os</p><p>alunos das séries iniciais se adaptarão muito mais depressa do que os nas séries finais, pois eles</p><p>já desenvolveram uma convicção firme de que na aula de matemática devem se sentar quietos e</p><p>seguir as regras [sem questionar]. Você pode esperar que se leve pelo menos seis semanas antes</p><p>dos estudantes começarem a assumir a responsabilidade de dar significado à matemática.</p><p>6. Eu posso usar uma combinação de abordagens de ensino centrada nos alunos e na resolução</p><p>de problemas com uma abordagem centrada no professor? Não. Intercalar métodos confunde os</p><p>alunos sobre o que se espera deles e os faz pensar que as suas próprias ideias realmente não</p><p>importam porque o professor lhes dirá o “modo certo” de resolver o problema (Mokros, Russell</p><p>e Economopoulos, 1995). Para que os alunos sejam investidos em uma abordagem de resolução</p><p>de problemas, eles têm de acreditar que as suas ideias são importantes. Se eles acreditam que o</p><p>professor vai lhes mostrar um método preferido depois, por que eles deveriam arriscar os seus</p><p>pescoços, expondo os seus erros?</p><p>7. Existe algum espaço para listas de exercícios e prática? Certamente! Mas o erro trágico é</p><p>acreditar que os exercícios são um método de desenvolver ideias. Exercícios são apropriados</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>14</p><p>apenas quando (a) os conceitos desejados foram significativamente desenvolvidos, (b) foram</p><p>desenvolvidos procedimentos flexíveis e úteis e (c) são necessárias velocidade e precisão.</p><p>Observe as crianças que exercitam fatos básicos que estão contando com os seus dedos ou estão</p><p>usando algum outro método ineficiente. O que eles podem estar melhorando é a sua habilidade</p><p>de contar depressa. Eles não estão aprendendo novas relações sobre os fatos. Muitas crianças</p><p>ainda contam nos dedos nas séries finais do EF porque os exercícios não lhes ajudaram a</p><p>desenvolver estratégias eficientes. Quando você aceita que os exercícios não produzem</p><p>compreensão, você descobre que realmente não há muitos tópicos além do domínio de fatos</p><p>básicos que algum dia possam requerer exercícios.</p><p>8. O que devo fazer quando uma tarefa não der certo? Acontecerá, embora não com tanta</p><p>frequência quanto você imagina, que os alunos simplesmente não saibam o que fazer com um</p><p>problema que você propôs, independente de quantas sugestões e dicas você lhes ofereça. Não</p><p>ceda à tentação de lhes “dizer o que fazer”. Coloque o problema de lado no momento. Pergunte</p><p>a si mesmo por que não funcionou. Os alunos tinham o conhecimento prévio de que precisavam?</p><p>A tarefa estava muito avançada? Geralmente nós precisamos nos reorganizar e oferecer uma</p><p>tarefa relacionada mais simples para prepará-los para a que se mostrou muito difícil. Quando</p><p>você sentir que uma tarefa não está levando a lugar algum, reorganize! Não gaste dias</p><p>esperando que algo maravilhoso aconteça. Se você escutar seus alunos, você saberá para onde ir</p><p>em seguida.</p><p>TEXTOS e ATIVIDADES – METODOLOGIA DA MATEMÁTICA</p><p>Prof.º Carlos Rosa</p><p>15</p><p>VAN DE WALLE, J.A. Matemática no Ensino Fundamental:</p><p>formação de professores e aplicação em sala de aula. 6ª ed.</p><p>Porto Alegre: Penso, 2009.</p>