AULA_04_-_Estado_Plano_de_Deformaes

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<p>RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2</p><p>Estado Plano de Deformações</p><p>Universidade Federal de Catalão</p><p>Faculdade de Engenharia - FENG</p><p>Departamento de Engenharia Civil - DECIV</p><p>1</p><p>Prof. Werley Rafael da Silva</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>2</p><p>✓ O estado geral das deformações em determinado ponto de um</p><p>corpo é representado pela combinação de três componentes de</p><p>deformação normal e três componentes de deformação por</p><p>cisalhamento.</p><p>DEFORMAÇÕES NORMAIS</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>3</p><p>✓ Para compreender o estado geral de deformações,</p><p>primeiramente vamos fixar nossa atenção no estudo do estado</p><p>plano de deformações.</p><p>DEFORMAÇÕES NORMAIS</p><p>✓ Então, as únicas</p><p>deformações que podem</p><p>existir são:</p><p>𝜀𝑧 = 𝛾𝑥𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 0</p><p>✓ Portanto:</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>4</p><p>✓ Deformações variam de acordo com a direção num dado ponto</p><p>da estrutura.</p><p>✓ Extensômetros fornecem a deformação numa direção.</p><p>DEFORMAÇÕES NORMAIS</p><p>EXTENSÔMETROS</p><p>✓ Necessária equações de transformação para saber deformações em</p><p>outras direções</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>5</p><p>Contudo as equações de deformação plana são úteis quando aplicadas</p><p>em transformação das deformações em tensão plana.</p><p>Ou seja, deformação plana não ocorre simultaneamente com tensão</p><p>plana.</p><p>Tensão plana Deformação plana</p><p>Tensão</p><p>Deformação</p><p>0=z</p><p>xyyx e  ,</p><p>0== yzxz </p><p>0== yzxz  0== yzxz </p><p>xyzyx e  ,,</p><p>xyzyx e ,,</p><p>0== yzxz 0=z</p><p>xyyx e ,</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>6</p><p>Equações de transformação para tensão plana podem ser aplicadas</p><p>quando existe , pois ele não afeta as relações em estado plano de</p><p>tensões ( ).</p><p>Portanto, são válidas para tensões em deformações plana. O mesmo</p><p>vale para deformação.</p><p>Obs.: Essas equações independem do material!!!</p><p>Vamos agora, deformar um EVR em EPD e verificar a contribuição de</p><p>cada estado de deformação numa deformação em uma direção x1.</p><p>Depois faremos a superposição de efeitos.</p><p>Equações EPD são válidas quando também existir, pois</p><p>não afeta as relações geométricas xy.</p><p>z</p><p>xyyx e  ,</p><p>z</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>7</p><p>✓ Analisando cada direção isoladamente, temos que na direção x:</p><p>𝛼𝑖 ângulo pequeno</p><p>(i=1,2 3)</p><p>cos 𝜃 =</p><p>𝐿1</p><p>𝜀𝑥𝑑𝑥</p><p>∴ 𝐿1 = 𝜀𝑥𝑑𝑥 cos 𝜃</p><p>dx</p><p>dy</p><p>x</p><p>y</p><p>L1</p><p>ds</p><p>εx dx</p><p>x'</p><p>δx'</p><p>α1</p><p>θ</p><p>θ</p><p>L1 δx'</p><p>εx dx</p><p>sen 𝜃 =</p><p>𝛿𝑥′</p><p>𝜀𝑥𝑑𝑥</p><p>∴ 𝛿𝑥′ = 𝜀𝑥𝑑𝑥 sen 𝜃</p><p>y'</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>8</p><p>✓ Na direção y:</p><p>𝛼𝑖 ângulo pequeno</p><p>(i=1,2 3)</p><p>sen 𝜃 =</p><p>𝐿2</p><p>𝜀𝑦𝑑𝑦</p><p>∴ 𝐿2 = 𝜀𝑦𝑑𝑦 sen 𝜃</p><p>dx</p><p>dy</p><p>x</p><p>y</p><p>L2</p><p>ds</p><p>εy dy</p><p>x'</p><p>δy'</p><p>α2</p><p>θ</p><p>θ</p><p>L2</p><p>δy'</p><p>εy dy</p><p>cos 𝜃 =</p><p>𝛿𝑦′</p><p>𝜀𝑦𝑑𝑦</p><p>∴ 𝛿𝑦′ = 𝜀𝑦𝑑𝑦 cos 𝜃</p><p>y'</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>9</p><p>✓ Analisando distorção no plano xy:</p><p>𝛼𝑖 ângulo pequeno</p><p>(i=1,2 3)</p><p>sen 𝜃 =</p><p>𝑑</p><p>𝑥′</p><p>∴ 𝑑 = 𝛾𝑥𝑦 𝑑𝑦 sen 𝜃</p><p>dx</p><p>dy</p><p>x</p><p>y</p><p>L3</p><p>ds</p><p>x'</p><p>x'</p><p>δx'</p><p>α3</p><p>θ</p><p>θ</p><p>L3</p><p>x'</p><p>d</p><p>cos 𝜃 =</p><p>𝐿3</p><p>𝑥′</p><p>∴ 𝐿3 = 𝛾𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃</p><p>y'</p><p>ϒxy</p><p>𝑡𝑎𝑛 𝛾𝑥𝑦 =</p><p>𝑥′</p><p>𝑑𝑦</p><p>∴ 𝑥′ = 𝛾𝑥𝑦 𝑑𝑦</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>10</p><p>✓ Desta forma, somando o alongamento da diagonal devido as</p><p>deformações e distorção temos:</p><p>✓ Aplicando:</p><p>✓ Conhecendo as identidades trigonométricas, temos que:</p><p>✓ Finalmente, temos que:</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>11</p><p>✓ Na direção y’:</p><p>✓ Avaliando a distorção, temos que:</p><p>tan𝛼1 =</p><p>𝛿𝑥′</p><p>𝑑𝑠</p><p>∴ 𝛼1 =</p><p>𝛿𝑥′</p><p>𝑑𝑠</p><p>α1</p><p>δx'ds</p><p>Sentido Horário</p><p>✓ Na direção x:</p><p>𝛼1=𝜀𝑥</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑑𝑠</p><p>sen 𝜃 = 𝜀𝑥 cos 𝜃 sen 𝜃</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>12</p><p>✓ Na direção y’:</p><p>α2</p><p>δy'</p><p>ds</p><p>tan𝛼2 =</p><p>𝛿𝑦′</p><p>𝑑𝑠</p><p>∴ 𝛼2 =</p><p>𝛿𝑦′</p><p>𝑑𝑠</p><p>Sentido Anti-Horário</p><p>𝛼2=𝜀𝑦</p><p>𝑑𝑦</p><p>𝑑𝑠</p><p>cos 𝜃 = 𝜀𝑦 sen 𝜃 cos 𝜃</p><p>tan𝛼3 =</p><p>𝑑</p><p>𝑑𝑠</p><p>∴ 𝛼3 =</p><p>𝛾𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝜃</p><p>𝑑𝑠</p><p>Sentido Horário</p><p>𝛼3=𝛾𝑥𝑦 𝑠𝑒𝑛2𝜃</p><p>α3</p><p>dds</p><p>✓ Na distorção x’y’:</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>13</p><p>✓ Então a distorção resultante no sentido anti-horário é:</p><p>✓ O ângulo β:</p><p> sen</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>sen</p><p>d</p><p>d</p><p>s</p><p>y</p><p>xy</p><p>s</p><p>y</p><p>y</p><p>s</p><p>x</p><p>x −+−=−+−= cos321</p><p>( )  2cos sensen xyyx −−−=</p><p>encontrado com rotacionado no lugar, sendo positivo</p><p>no sentido horário</p><p>  º90+ </p><p>Sendo e e( )  sen−=+ º90cos ( )  cosº90 =+sen ( )  22 cosº90 =+sen</p><p>( )  2coscos xyyx sen +−−=</p><p>ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO</p><p>14</p><p>✓ Então a distorção resultante final é:</p><p>( ) ( ) 22</p><p>11 coscos2 sensen xyyxyx −+−−=+=</p><p>( ) ( )</p><p></p><p></p><p></p><p>2211</p><p>cos</p><p>2</p><p>cos</p><p>2</p><p>sensen</p><p>xy</p><p>yx</p><p>yx</p><p>−+−−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 2</p><p>2</p><p>2cos</p><p>22</p><p>1 sen</p><p>xyyxyx</p><p>x +</p><p>−</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> 2cos</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>)(</p><p>11</p><p>xyyx</p><p>yx sen +</p><p>−</p><p>−=</p><p>✓ Se usarmos ( ) 2cos1</p><p>2</p><p>1</p><p>cos 2 += ( ) 2cos1</p><p>2</p><p>12 −=sen  2</p><p>2</p><p>1</p><p>cos sensen =</p><p>EXEMPLO 01</p><p>15</p><p>01 - Um elemento diferencial está sujeito a um estado plano de</p><p>deformação dado por: εx = 500x10^-6, εy = -300x10^-6, ϒxy=</p><p>200x10^-6, que tende a distorcer o elemento como mostra a</p><p>Figura. Determine as deformações equivalentes que agem sobre</p><p>um elemento orientado no ponto a 30° no sentido horário em</p><p>relação à posição original</p><p>Círculo de Mohr no Estado Plano</p><p>de Deformações (EPD)</p><p>Universidade Federal de Catalão</p><p>Faculdade de Engenharia - FENG</p><p>Departamento de Engenharia Civil - DECIV</p><p>CÍRCULO DE MORH NO EPD</p><p>17</p><p>✓ Todas as observações feitas para tensão plana têm</p><p>contrapartida na deformação plana</p><p>DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS</p><p>yxyx  +=+ 11</p><p>yxyx  +=+ 11 Tensão Plana</p><p>yx</p><p>xy</p><p>ptg</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=2</p><p>yx</p><p>xy</p><p>ptg</p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=2 Tensão Plana</p><p>22</p><p>2,1</p><p>222 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>xyyxyx </p><p></p><p>02,1 =</p><p>CÍRCULO DE MORH NO EPD</p><p>18</p><p>✓ Deformações de cisalhamento máximas</p><p>✓ Estão a 45º dos eixos principais.</p><p>✓ A deformação de cisalhamento mínima tem o mesmo</p><p>valor da máxima, porém é de sinal negativo.</p><p>✓ Nas direções de deformação de cisalhamento máxima as</p><p>deformações normais são:</p><p>22</p><p>222 </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>=</p><p>xyyxmáx</p><p></p><p>2</p><p>yx</p><p>med</p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>CÍRCULO DE MORH NO EPD</p><p>19</p><p>Sentido positivo</p><p>Análogo ao EPT!</p><p>CÍRCULO DE MORH NO EPD</p><p>20</p><p>✓Obs.: Um EVR em tensão plana com orientação de tensão</p><p>principal não possui tensões de cisalhamento, portanto não há</p><p>deformações de cisalhamento o que implica que este elemento</p><p>possui deformações normais que são principais.</p><p>✓CONCLUSÃO: As deformações principais e as tensões principais</p><p>ocorrem na mesmas direções.</p><p>EXEMPLO 02</p><p>21</p><p>02 – O estado de deformação no ponto A sobre o suporte na Figura</p><p>(a) é medido por meio da roseta de deformação mostrada na</p><p>Figura (b). Devido às cargas aplicadas, as leituras dos</p><p>extensômetros dão εa=60x10^-6, εb = 135x10^-6 e εc = 264x10^-6.</p><p>Determine as deformações principais no plano no ponto e as</p><p>direções nas quais elas agem</p><p>EXEMPLO 03</p><p>22</p><p>03 – A roseta de deformação a 60° está montada sobre a superfície</p><p>do suporte. As seguintes leituras foram obtidas em cada</p><p>extensômetro: εa=-780x10^-6, εb = 400x10^-6 e εc = 500x10^-6.</p><p>Determine (a) as deformações principais e (b) a deformação por</p><p>cisalhamento máxima no plano e a deformação normal média</p><p>associada. Em cada caso, mostre o elemento distorcido devido a</p><p>essas deformações.</p>