Fisica_Experimental_Basica_apostila

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<p>Física Experimental</p><p>Básica na Universidade</p><p>Agostinho Aurélio Campos</p><p>Elmo Salomão Alves</p><p>Nivaldo Lúcio Speziali</p><p>1</p><p>Física</p><p>Experimental</p><p>Básica</p><p>na Universidade</p><p>Agostinho Aurélio Campos</p><p>Elmo Salomão Alves</p><p>Nivaldo Lúcio Speziali</p><p>Departamento de Física</p><p>Universidade Federal de Minas Gerais</p><p>Edição Junho/2018</p><p>Belo Horizonte, MG, Brasil</p><p>2</p><p>© 2018, Os Autores</p><p>Esse livro não pode ser comercializado sob qualquer forma sem autorização escrita de todos os Autores.</p><p>Capa: SplashArt Purple Square by Joe Dyer (2012) https://www.flickr.com/photos/69294818@N07/8192652547/</p><p>Attribution (http://creativecommons.or/licenses/by/2.0/)</p><p>Photo Attribution by PhotosForClass.com</p><p>3</p><p>Sumário</p><p>Apresentação ................................................................................................................................ 5</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA ........................................................................... 6</p><p>Avaliação e expressão de medições e de suas incertezas ............................................................. 7</p><p>Apresentação de tabelas e gráficos ............................................................................................. 16</p><p>Ajuste de uma curva aos dados experimentais ........................................................................... 17</p><p>EXPERIMENTOS DE MECÂNICA ................................................................................................ 20</p><p>Movimento retilíneo com aceleração constante ......................................................................... 21</p><p>Movimento de um projétil .......................................................................................................... 24</p><p>Forças impulsivas ....................................................................................................................... 28</p><p>Propriedades elásticas de sólidos................................................................................................ 31</p><p>Constante elástica de molas ........................................................................................................ 33</p><p>Deformação elástica de uma haste: constante de flexão e módulo de flexão ............................ 35</p><p>Movimento harmônico simples: sistema massa-mola ................................................................ 39</p><p>Momento de inércia: movimentos combinados de translação e de rotação .............................. 43</p><p>Colisão inelástica ........................................................................................................................ 49</p><p>Densidade de um líquido ............................................................................................................ 51</p><p>Pêndulo de torção ....................................................................................................................... 53</p><p>Força de atrito estático................................................................................................................ 56</p><p>Deformação inelástica e processo irreversível ........................................................................... 58</p><p>Tensão superficial ....................................................................................................................... 61</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA ................................................................................... 66</p><p>Calor específico da água ............................................................................................................. 67</p><p>Determinação da capacidade térmica de um calorímetro ........................................................... 69</p><p>Gases ideais ................................................................................................................................ 71</p><p>Calibração de um termopar ........................................................................................................ 74</p><p>Calor específico de um gás: determinação de  pelo método de clément-desormes ................. 78</p><p>Calor específico de um gás: determinação de  pelo método de rüchhardt .............................. 81</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO ........................................................................... 84</p><p>Elemento resistivo linear ............................................................................................................ 85</p><p>Resistividade elétrica .................................................................................................................. 88</p><p>Resistência interna de um voltímetro ......................................................................................... 90</p><p>Análise de circuitos elétricos: regras de kirchhoff ..................................................................... 92</p><p>Campo magnético da terra .......................................................................................................... 94</p><p>Circuito rc ................................................................................................................................... 97</p><p>Campo magnético no centro de uma bobina ............................................................................ 100</p><p>4</p><p>Lei de indução de faraday......................................................................................................... 103</p><p>Diodo semicondutor ................................................................................................................. 106</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS ...................................................................................................... 111</p><p>Ondas estacionárias em um meio sólido .................................................................................. 112</p><p>Ondas estacionárias em um tubo .............................................................................................. 116</p><p>Velocidade do som em metais .................................................................................................. 120</p><p>EXPERIMENTOS DE ÓTICA ........................................................................................................ 124</p><p>Interferência e difração da luz .................................................................................................. 125</p><p>Interferômetro de michelson..................................................................................................... 131</p><p>Lentes e espelhos ...................................................................................................................... 135</p><p>Polarização da luz ..................................................................................................................... 139</p><p>APÊNDICES .................................................................................................................................... 143</p><p>Redação de um relatório ........................................................................................................... 144</p><p>Valores de grandezas e constantes físicas ................................................................................ 146</p><p>Código de cores para valores de resistências ........................................................................... 147</p><p>Valor eficaz de tensões e correntes .......................................................................................... 148</p><p>5</p><p>APRESENTAÇÃO</p><p>Embora haja muitos livros de autores nacionais e estrangeiros para o acompanhamento de</p><p>disciplinas teóricas e conceituais de física básica em nível universitário, o mesmo não se pode dizer</p><p>sobre textos para disciplinas de laboratório de física. Por isso, é comum que em cada instituição de</p><p>ensino sejam produzidos textos próprios, geralmente em forma de apostilas, para atender às</p><p>necessidades das disciplinas experimentais ofertadas em uma determinada época.</p><p>movimento harmônico simples é dado por</p><p>k</p><p>m</p><p>T 2 (5)</p><p> Esboce o gráfico de x versus t para um movimento harmônico simples. Identifique, nesse gráfico,</p><p>a amplitude e o período do movimento. Indique que alteração haverá nesse gráfico se a constante</p><p>de fase for modificada.</p><p>Com base nas equações 1 e 3, pode-se escrever o módulo da força resultante sobre o objeto como</p><p>)cos()( max   tFtF (5)</p><p>em que Fmax = m2A é a amplitude dessa força.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Para se estudar experimentalmente o movimento oscilatório de um objeto pendurado em uma</p><p>mola são propostos dois procedimentos. No primeiro, são feitas medições do período de oscilação do</p><p>sistema usando-se um cronômetro. No segundo procedimento, utiliza-se um sistema de aquisição de</p><p>dados para medir a posição x(t) do objeto enquanto ele oscila..</p><p>Objetivos</p><p> Analisar o movimento de um sistema massa-mola oscilante e medir o período e a posição do</p><p>objeto</p><p> Determinar a constante elástica da mola e os parâmetros da equação de movimento desse sistema.</p><p>Sugestão de material</p><p> Mola, cronômetro, objetos de massas diferentes, suportes, sensor de força e computador.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Parte I</p><p>Este experimento consiste em se pendurar objetos de massas diferentes na extremidade de</p><p>uma mola e medir o período de oscilação para cada situação.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>41</p><p> Pendure, na mola, um objeto de massa conhecida e, em seguida, coloque-o para oscilar. Com um</p><p>cronômetro, meça o período desse movimento. Repita esse procedimento variando-se a massa do</p><p>objeto dependurado na mola.</p><p> Tendo como base a equação 5, utilize processos de linearização e de regressão linear para</p><p>determinar a constante elástica da mola.</p><p>Parte II</p><p>Neste experimento, será medida a força que atua em um objeto que oscila na extremidade de</p><p>uma mola, em função do tempo. Para isso, a mola será dependurada em um sensor de força, como</p><p>mostrado na Fig. 3. O sensor de força é conectado, por meio de uma interface, a um computador e</p><p>um programa fará a aquisição das medidas de força F(t) e o seu registro gráfico.</p><p>Figura 3 - Montagem para medir a força exercida</p><p>por uma mola sobre um objeto que oscila</p><p>dependurado na sua extremidade.</p><p> Junto à montagem haverá explicações sobre o uso do sistema de aquisição de dados e dos</p><p>programas utilizados. Procure familiarizar-se com os instrumentos da montagem e com o</p><p>programa de aquisição de dados.</p><p> Escolha uma taxa de aquisição de dados adequada para sua medição, ou seja, quanto pontos</p><p>serão medidos por segundo. Para isso, lembre-se de que o movimento é periódico e você</p><p>deseja ter um número suficiente de pontos medidos por período.Toda informação sobre esse</p><p>movimento está contida em apenas um período, portanto é suficiente registrar apenas alguns</p><p>ciclos do movimento.</p><p> Com o objeto em repouso na extremidade da mola, ajuste a leitura do sensor em zero (tarar o</p><p>sensor). Ponha, então, o objeto para oscilar e, depois, comece a aquisição de medidas da força</p><p>em função do tempo.</p><p> Analisando o gráfico obtido, estime os valores dos parâmetros Fmax ,  e  da equação 5 .</p><p> Em seguida, utilizando um programa de ajuste de dados (instruções anexas à montagem),</p><p>determine os valores dos parâmetros Fmax ,  e  que melhor ajustam a curva descrita pela</p><p>equação (5) aos resultados experimentais F(t). Expresse os valores de Fmax ,  e  com suas</p><p>respectivas incertezas.</p><p> Com o valor da massa do objeto, determine a constante elástica da mola e a sua respectiva</p><p>incerteza. Encontre o valor da amplitude A de oscilação do movimento. Escreva a equação do</p><p>movimento do objeto.</p><p> Determine o valor da constante elástica da mola por algum outro processo e compare-o com</p><p>o valor encontrado anteriormente e com o valor encontrado na parte I desse experimento.</p><p> Repita a aquisição de dados de F(t) com uma maior amplitude de oscilação e compare o</p><p>gráfico obtido com o anterior. O período de oscilação se alterou? Comente.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>42</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>43</p><p>MOMENTO DE INÉRCIA:</p><p>MOVIMENTOS COMBINADOS DE TRANSLAÇÃO E DE ROTAÇÃO</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Movimentos de rotação e translação combinados, chamados de rolamentos, são muito comuns no</p><p>dia-a-dia; as rodas de um veículo, por exemplo, giram – movimento de rotação – ao mesmo tempo</p><p>que se deslocam para frente ou para trás – movimento de translação. A inércia de um objeto para um</p><p>movimento de translação depende de sua massa. Para uma rotação, a inércia depende do momento de</p><p>inércia desse objeto. Essa grandeza leva em conta a distribuição de massa do objeto em relação ao</p><p>eixo em torno do qual ele gira.</p><p>Considere um objeto girando com velocidade angular  em torno de um determinado eixo, como</p><p>ilustrado na Fig. 1. Cada elemento de massa dm desse objeto, localizado a uma distância r do eixo de</p><p>rotação, descreve uma trajetória circular de raio r, com uma velocidade linear v = r e, portanto, com</p><p>uma energia cinética de rotação dK = ½ dm 2 r2. A energia cinética total de rotação K do objeto é</p><p>obtida somando-se as energias de todos esses elementos de massa, ou seja,</p><p> ω</p><p>2</p><p>1 22 dm rK . (1)</p><p>Figura 1 - Um objeto gira com velocidade angular de módulo em torno de um eixo</p><p>perpendicular ao plano da figura, que passa pelo ponto O.</p><p>Considerando que o objeto gira apenas em torno do eixo O (ele não gira em torno de si mesmo),</p><p>a velocidade angular é a mesma para qualquer elemento de massa dm, portanto, o termo 2 pode ser</p><p>colocado fora da integral e o resultado para a energia cinética de rotação é</p><p>ω</p><p>2</p><p>1 ω</p><p>2</p><p>1 222 Idm rK   , (2)</p><p>em que a grandeza 2 dm rI é denominada momento de inércia do objeto.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>44</p><p>Pode-se mostrar que qualquer objeto com distribuição de massa com simetria cilíndrica ou</p><p>esférica em relação ao seu eixo central (objeto em forma de cilindro, disco, anel, casca esférica ou</p><p>esfera maciça), tem um momento de inércia dado por</p><p>2MRI  , (3)</p><p>em que é M é a massa do objeto, R é o seu raio e é um parâmetro que depende apenas da sua simetria.</p><p>Mostra-se que  é igual a 2/5 para uma esfera, igual a 1/2 para um cilindro e igual a 1 para um aro</p><p>ou anel. Mostra-se que para objetos e forma de esfera, cilindro, aro ou anel, esse parâmetro vale,</p><p>respectivamente, esfera= 2/5, cilindro=1/2, aro= anel=1.</p><p>As atividades experimentais aqui abordadas são divididas em duas partes: na primeira, estuda-</p><p>se o movimento de objetos que giram sem deslizamento e,na segunda, com deslizamento. No segundo</p><p>caso, há dissipação de energia e a energia mecânica não se conserva.</p><p>MOVIMENTO DE ROTAÇÃO SEM DESLIZAMENTO</p><p>Considere um objeto de seção circular que desce uma rampa, rolando, sem deslizar, como</p><p>ilustrado na Fig. 2.</p><p>Figura 2 - Vista lateral de um objeto de seção circular descendo um plano inclinado.</p><p>Como não há deslizamento (e desprezando-se o atrito com o ar), a energia mecânica desse sistema</p><p>se conserva, ou seja, em qualquer instante a soma das energias potencial gravitacional, cinética de</p><p>translação e cinética de rotação é constante.</p><p> Com base na conservação da energia mecânica mostre que, se o objeto for colocado para rolar</p><p>sobre a rampa a partir do repouso, após percorrer uma distância x, módulo v de sua velocidade</p><p>será dado por</p><p>x</p><p>g</p><p>v</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>sen22</p><p>, (4)</p><p>em que g é a aceleração da gravidade e é o ângulo de inclinação da rampa. Note que, nessa</p><p>expressão, a velocidade de um objeto de seção circular não depende de sua massa nem de seu raio,</p><p>mas apenas da maneira como essa massa é distribuída, em torno de seu eixo, ou seja, do parâmetro</p><p>.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar, experimentalmente, o parâmetro  para um aro ou cilindro e para uma esfera.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>45</p><p>Sugestão de material</p><p> Rampa com ~1,5m de comprimento, com suporte para elevação de um dos lados da rampa,</p><p>esfera, aro e cilindro, trena, cronômetro.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Eleve uma das extremidades da rampa</p><p>de forma que ela faça um ângulo de cerca de 5o com</p><p>a horizontal. Especifique o ângulo escolhido.</p><p> Antes de iniciar as medidas, familiarize-se com a forma como será feita a medição do tempo</p><p>gasto pelo objeto para percorrer determinada distância desde o instante em que ele é solto.</p><p> Coloque um dos objetos – esfera e aro (ou cilindro) – para rolar sobre a rampa e meça o tempo</p><p>de percurso para diferentes distâncias. Faça isso para, pelo menos, cinco distâncias diferentes</p><p>e, para cada distância, repita a medição do tempo de percurso pelo menos cinco vezes, para a</p><p>minimizar os erros aleatórios. Procure obter essas medidas com desvios percentuais de no</p><p>máximo 2%, pois a determinação do valor de  é bastante sensível a essas medidas.</p><p> Como a rampa é reta e considerando-se que a força de atrito permanece constante durante</p><p>todo o percurso, a força resultante sobre o objeto é constante e, portanto, sua aceleração a</p><p>também. Para um movimento de translação com aceleração constante,</p><p>x =½at2 e v = at.</p><p> A partir das medidas das distâncias percorridas e dos respectivos tempos médios, calcule as</p><p>velocidades do objeto ao final de cada percurso. Com base na equação 4, obtenha, por uma</p><p>análise gráfica, o valor de  (e sua respectiva incerteza) para o objeto utilizado e compare-o</p><p>com o valor esperado.</p><p> Repita os procedimentos e as medições com o outro objeto.</p><p>MOVIMENTO DE ROTAÇÃO DE UM VOLANTE</p><p>A Fig. 4 ilustra o movimento de um pequeno volante que desce, rolando, por uma calha inclinada.</p><p>volante</p><p>calha</p><p>Figura 4 - Um pequeno volante desce rolando por uma calha inclinada.</p><p>Sejam M a massa e R o raio do volante, r o raio de seu eixo e  o ângulo de inclinação da calha</p><p>em relação à horizontal. Durante o movimento desse volante, as forças que atuam nele são o seu peso</p><p>P, a força de atrito fa e a força normal N que a calha exerce em seu eixo. Essas grandezas estão</p><p>representadas na Fig. 5.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>46</p><p>Figura 5 - As forças que atuam no volante são o seu peso P, a força de atrito fa e a força</p><p>normal N exercida pela calha.</p><p>O peso atua no centro de gravidade do volante e a normal, no ponto de contato do eixo do volante</p><p>com a calha. Como essas forças atuam em uma direção que passa pelo eixo do volante, elas não</p><p>produzem torque. Por sua vez, a força de atrito atua a uma distância r desse eixo, e é perpendicular e</p><p>ele, portanto produz o torque que faz o volante girar.</p><p>Dependendo da inclinação da calha e do atrito entre ela e o volante, podem ocorrer dois tipos de</p><p>movimento do volante: com deslizamento ou sem deslizamento.</p><p>MOVIMENTO COM DESLIZAMENTO, SEM ROTAÇÃO</p><p>Se a força de atrito entre o volante e a calha for desprezível, ela não produz torque e o volante</p><p>não gira, mas apenas desliza sobre a calha. Nesse caso, o movimento do volante é idêntico ao de uma</p><p>partícula de mesma massa que ele, localizada no seu centro de massa.</p><p> Mostre que, nessa situação, a aceleração acm do centro de massa do volante é paralela à calha e</p><p>tem módulo</p><p>sengacm  . (1)</p><p>Considere que o volante, inicialmente em repouso, é solto de uma altura h em relação à base da</p><p>calha. Desprezando-se todas as formas de atrito, a energia mecânica se conserva.</p><p> Mostre que, nessa situação, o volante chega ao final da calha com velocidade vcm dada por</p><p>2</p><p>1)2( ghvcm  . (2)</p><p>MOVIMENTO SEM DESLIZAMENTO</p><p>Se a força de atrito fa entre o volante e a calha for menor que a força de atrito estático máxima,</p><p>ou seja, se</p><p>cosa ef Mg  ,</p><p>o volante não deslizará sobre a calha. Nesse caso, há movimentos de translação e de rotação do</p><p>volante – ele gira com velocidade angular  em torno de seu eixo, enquanto seu centro de massa se</p><p>desloca com velocidade</p><p>rv cm ,</p><p>em que r é o raio do eixo do volante, como mostrado na Figura 2.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>47</p><p>Se não houver deslizamento, a energia mecânica do volante é conservada (por que?).</p><p> Mostre, então, que, ao ser solto de uma altura h, o volante chega ao final da calha com velocidade.</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>cm</p><p>cm</p><p>gh</p><p>v</p><p>I</p><p>Mr</p><p> </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>, (3)</p><p>em que Icm é o momento de inércia do volante em relação ao seu eixo.</p><p>Durante a descida, a aceleração do centro de massa do volante é constante (por que?), portanto</p><p>davv cmocm 222  ,</p><p>em que vo= 0 é a velocidade inicial do volante. Assim,</p><p>21</p><p>cm</p><p>cm</p><p>gh</p><p>da</p><p>I</p><p>Mr</p><p></p><p></p><p>. (4)</p><p> Mostre que se r<<R , o momento de inércia do volante é, aproximadamente,</p><p>21</p><p>2cmI MR .</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Medir a aceleração e a velocidade do centro de massa de um volante que desce, rolando, por</p><p>uma calha inclinada.</p><p> Analisar o movimento do volante em duas situações: com deslizamento e sem deslizamento.</p><p>Sugestão de material</p><p> Calha, volante, trena e cronômetro</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Posicione o volante na calha inclinada de aproximadamente 5 em relação à mesa, e, em</p><p>seguida, solte-o. Repita o mesmo procedimento que foi feito com a esfera e com o cilindro</p><p>para determinar a velocidade com que ele chega ao final da calha. Para isso, meça a distância</p><p>percorrida pelo volante e o tempo médio gasto no percurso. Calcule, então, os valores da</p><p>aceleração e da velocidade final do centro de massa do volante, com suas respectivas</p><p>incertezas.</p><p> Considere, então, duas hipóteses: o volante desliza ou ele não desliza enquanto desce pela</p><p>calha. Para cada uma dessas hipóteses, calcule a aceleração e a velocidade final esperadas</p><p>para o volante (não é necessário calcular as incertezas).</p><p> Compare esses resultados com os que foram obtidos experimentalmente e discuta qual das</p><p>duas hipóteses é a mais adequada à situação analisada.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>48</p><p> Agora, ajuste o ângulo de inclinação da calha para aproximadamente 30o e repita os</p><p>procedimentos descritos nos itens anteriores.</p><p> Discuta as diferenças entre os resultados obtidos para as duas inclinações.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>49</p><p>COLISÃO INELÁSTICA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Uma colisão entre dois objetos pode ser classificada considerando-se a energia cinética do sistema</p><p>antes e depois da colisão: quando essa energia se conserva, a colisão é elástica, caso contrário, ela é</p><p>inelástica. Quando os dois objetos permanecem unidos após a colisão, esta é perfeitamente inelástica.</p><p>Considere uma bola de algum material elástico que, ao ser solta de uma altura hi, chega ao chão</p><p>com velocidade vi, como representado na Fig. 1a. Durante o contato com o chão, a bola é comprimida</p><p>e perde parte de sua energia cinética; em seguida, ela sobe com velocidade vj, até atingir uma altura</p><p>hj, como representado na Fig. 1b.</p><p>Figura 1 - (a) Uma bola de borracha, solta de uma altura hi,</p><p>chega ao solo com velocidade vi. (b) Após a colisão com o</p><p>piso, ela sobe com velocidade vj até atingir uma altura hj.</p><p>Na colisão com o chão, a perda de energia cinética da bola é</p><p>   2 2 2 21 1 1</p><p>2 2i j iE m m r       ,</p><p>em que j</p><p>i</p><p>r</p><p></p><p></p><p> é chamado de coeficiente de restituição da colisão.</p><p>Em uma colisão elástica, tem-se r = 1 já que E = 0. Em uma colisão inelástica, parte da energia</p><p>cinética é dissipada e, portanto, r < 1.</p><p>Em cada colisão com o chão, a bola perde parte de sua energia cinética e atinge, sucessivamente,</p><p>alturas cada vez menores. É possível determinar-se o coeficiente de restituição medindo-se as alturas</p><p>hi e hj (veja figura 1). Considerando-se que há conservação de energia mecânica nos intervalos antes</p><p>e após cada colisão, então,</p><p>21</p><p>2 i im mgh  e</p><p>21</p><p>2 j jm mgh </p><p>Portanto o coeficiente de restituição é dado por</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>50</p><p>j j</p><p>i i</p><p>h</p><p>r</p><p>h</p><p></p><p></p><p>  ou</p><p>i</p><p>j</p><p>h</p><p>h</p><p>r 2 .</p><p>Dessa forma, a altura que a bola atinge após colidir-se com o chão é igual à razão entre as alturas</p><p>máximas antes e depois de cada colisão e esse valor independe da altura inicial de que ela caiu.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar o coeficiente de restituição na colisão de uma bola com o chão.</p><p>Sugestão de material</p><p> Fita métrica fixada sobre um suporte ou na parede da sala e bola de material elástico com alto</p><p>coeficiente de restituição.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Solte a bola de uma altura inicial h0  2 m e anote a altura h1 que ela atinge após a primeira</p><p>colisão. Repita essa operação, pelo menos, cinco vezes e determine o valor médio de h1 e o</p><p>desvio h1. Sugestão: treine esse procedimento algumas vezes antes de começar a fazer as</p><p>medidas.</p><p> Em seguida, solte a bola da altura h1 e determine a altura h2 que ela atinge após a colisão; essa</p><p>altura é a mesma que a bola atingiria após duas colisões com o chão, depois de ser solta da</p><p>altura h0. Repita esse procedimento até, pelo menos, a altura h6 e anote os resultados em uma</p><p>tabela. Faça o gráfico de hn em função de n.</p><p> Utilizando a equação 2r =</p><p>0</p><p>1</p><p>h</p><p>h =</p><p>1</p><p>2</p><p>h</p><p>h =</p><p>2</p><p>3</p><p>h</p><p>h</p><p>= . . .</p><p>1n</p><p>n</p><p>h</p><p>h , mostre que nh = 0h nr 2 .</p><p> Com base na equação acima, faça um gráfico e uma regressão linear para determinar o</p><p>coeficiente de restituição e sua respectiva incerteza. Compare o valor de h0 encontrado a partir</p><p>do gráfico com o valor medido.</p><p> Utilizando o valor do coeficiente de restituição encontrado, determine a fração percentual da</p><p>energia cinética dissipada em cada colisão da bola com o chão.</p><p> Qual é o coeficiente de restituição de uma bola que atinge 10% da altura original da queda depois</p><p>de 5 colisões?</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>51</p><p>DENSIDADE DE UM LÍQUIDO</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Um objeto, ao ser mergulhado em um fluido qualquer, fica sujeito a uma força para cima devido</p><p>à diferença entre as pressões nas suas partes superior e inferior. O módulo E dessa força, chamada de</p><p>empuxo, é igual ao peso do fluido deslocado pelo objeto, ou seja,</p><p>E gV</p><p>em que  é a densidade do fluido, g é a aceleração da gravidade e V é o volume do fluido deslocado</p><p>pelo objeto. Esse resultado é conhecido como Princípio de Arquimedes.</p><p>Considere o objeto pendurado em um dinamômetro, como mostrado na Fig. 1a. Nessa situação,</p><p>a leitura no dinamômetro é P. Em seguida, esse objeto é imerso em um líquido e, ao atingir o</p><p>equilíbrio, a leitura no dinamômetro passa a ser P’, como mostrado na Fig. 1b.</p><p> Mostre que, nessa situação,</p><p>P P gV   .</p><p>Então, medindo-se o peso aparente P’ e o volume V submerso do objeto, pode-se determinar a</p><p>densidade do líquido.</p><p>(a) (b)</p><p>Figura 1 - Representação das forças que agem sobre o objeto; Em (a), o dinamômetro</p><p>indica o peso P; em (b), o dinamômetro indica o peso aparente P.’</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>52</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar a densidade de um líquido.</p><p>Sugestão de material</p><p> Cilindro de alumínio graduado, dinamômetro, recipiente transparente contendo líquido de</p><p>densidade desconhecida, haste com suporte e régua.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Utilizando o dinamômetro e a régua, determine o peso e o volume do cilindro de alumínio.</p><p> Mergulhe o cilindro, ainda pendurado no dinamômetro, gradualmente no líquido. Para cada</p><p>graduação do cilindro, registre o valor do peso aparente P’ e o do volume mergulhado V.</p><p> Faça o gráfico de P’ em função de V. A relação linear entre essas grandezas pode ser</p><p>representada pela equação P’ = a + b V . Especifique as grandezas físicas que correspondem</p><p>às constantes a e b.</p><p> Com os resultados obtidos, faça uma regressão linear e determine os valores dessas duas</p><p>constantes.</p><p> Compare os resultados encontrados neste experimento com aqueles mostrados na Tab. 1 e</p><p>veja se é possível identificar o líquido utilizado.</p><p>Tabela 1</p><p>Densidades de alguns líquidos, em g/cm3, à</p><p>temperatura ambiente (~20o C).</p><p>Água 1,00 (1)</p><p>Benzeno 0,90 (1)</p><p>Etanol 0,80 (2)</p><p>Éter 1,49 (1)</p><p>Glicerina 1,26 (1)</p><p>Mercúrio 13,6 (1)</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>53</p><p>PÊNDULO DE TORÇÃO</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Um pêndulo de torção é um exemplo de um oscilador harmônico simples, em que o elemento</p><p>de restituição é o torque produzido pela torção de um fio e o elemento de inércia é um objeto preso</p><p>na extremidade livre do fio. Na Fig.1 apresentam-se exemplos de pêndulos de torção.</p><p>Figura 1 - Alguns exemplos de pêndulos de torção. Em (a) e (b), a torção no fio de</p><p>suspensão proporciona o torque restaurador; em (c), o torque é causado por uma mola</p><p>espiral e um volante – esse tipo de pêndulo é usado como base de tempo em relógios</p><p>mecânicos.</p><p>Se a amplitude de oscilação  for pequena, o torque restaurador  será proporcional ao</p><p>deslocamento angular Lei de Hooke , isto é,</p><p> =  k,</p><p>em que k é uma constante que depende das propriedades do fio comprimento, diâmetro, material  e</p><p>é denominada constante de torção do fio. Chamando de I o momento de inércia do objeto em relação</p><p>ao eixo de rotação, a 2ª Lei de Newton para movimento de rotação estabelece que a aceleração angular</p><p>é proporcional ao torque restaurador, isto é,</p><p>    k I</p><p>d</p><p>dt</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>Assim, a equação de movimento de um pêndulo de torção é</p><p>d</p><p>dt</p><p>k</p><p>I</p><p>2</p><p>2 0   . (1)</p><p>Observa-se uma forte semelhança dessa equação a de um sistema massa-mola. Nesse sistema, a</p><p>força restauradora é</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>54</p><p>F =  Kx ,</p><p>em que K é a constante elástica da mola e x é o seu deslocamento linear. Essa equação pode ser</p><p>reescrita como</p><p>d x</p><p>dt</p><p>K</p><p>m</p><p>x</p><p>2</p><p>2 0  , (2)</p><p>cuja solução é um movimento oscilatório, com um período de oscilação dado por T m</p><p>K</p><p> 2 .</p><p>Por analogia, o período de oscilação de um pêndulo de torção, para pequenas oscilações, é dado</p><p>por</p><p>T</p><p>I</p><p>k</p><p> 2</p><p>(3)</p><p>em que a constante de torção está relacionada com o módulo de cisalhamento  do fio pela equação</p><p>4</p><p>2</p><p>r</p><p>k</p><p></p><p></p><p>, (4)</p><p>em que r é o raio do fio e  é o seu comprimento. O módulo de cisalhamento, que é uma propriedade</p><p>do material foi definido no experimento Propriedades Elásticas de Sólidos.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Determinar a constante de torção e o módulo de cisalhamento de um fio.</p><p> Determinar o momento de inércia de um objeto.</p><p>Sugestão de material</p><p> Suporte, régua, cronômetro, micrômetro, fio de aço, um cilindro e paralelepípedo.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>A montagem utilizada nesse experimento está mostrada na Fig. 2. Girando-se o cilindro de</p><p>um pequeno ângulo, ele oscilará devido à torção no fio de aço.</p><p>O momento de inércia de um cilindro, em relação a um eixo coincidente com a direção do fio,</p><p>como mostrado na Fig. 2, é dado por</p><p>I MRcil </p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>,</p><p>em que M e R são, respectivamente a massa e o raio do cilindro.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>55</p><p>Figura 2 - Um cilindro maciço é pendurado em uma das extremidades de um fio de aço,</p><p>que tem a outra extremidade fixa em um suporte; o pêndulo pode ser modificado</p><p>substituindo-se o cilindro por um paralelepípedo.</p><p> Meça diretamente essas grandezas e determine o momento de inércia do cilindro.</p><p> Produza um pequeno deslocamento angular no cilindro para ele comece a oscilar. Espere até</p><p>que o movimento se estabilize e, então, meça o tempo correspondente a, pelo menos, 10</p><p>oscilações completas. Determine o período de oscilação do pêndulo.</p><p> Determine a constante de torção do fio e seu módulo de cisalhamento com as respectivas</p><p>incertezas.</p><p> Troque o cilindro pelo paralelepípedo e meça o período de oscilação do pêndulo assim</p><p>formado. Com o valor determinado para a constante de torção do fio, obtenha o momento de</p><p>inércia do paralelepípedo. Compare esse resultado com o obtido usando-se a relação</p><p>I</p><p>M</p><p>a bparal  </p><p>12</p><p>2 2( )</p><p>,</p><p>em que a e b são os comprimentos das arestas e M é a massa do paralelepípedo.</p><p> O paralelepípedo possui três arestas diferentes. Justifique a escolha das duas arestas, a e b, para</p><p>o cálculo do momento de inércia.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>56</p><p>FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A força de atrito estático fe entre duas superfícies em contato pode ter estes valores:</p><p>e ef N , (1)</p><p>em que e é o coeficiente de atrito estático e N é o módulo</p><p>da força normal às superfícies. O valor de</p><p>e depende da natureza das superfícies e é praticamente independente da área de contato entre elas.</p><p>Quando uma força externa F é aplicada na direção do movimento, essa equação é válida até</p><p>imediatamente antes de as superfícies começarem a se mover. Nessa situação, o módulo dessa força</p><p>é igual ao valor máximo da força de atrito estático, ou seja,</p><p>maxe eF f N  .</p><p>Um método simples para se medir o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies está</p><p>representado na Fig. 1. Um objeto é colocado sobre uma superfície inclinada em relação à horizontal.</p><p>Em seguida, aumenta-se a inclinação da superfície até que o bloco comece a se mover quando o</p><p>ângulo é e.</p><p> Mostre que, nessa situação, o coeficiente de atrito estático é dado por</p><p>e tan . (2)</p><p>Lâmina</p><p>Bloco</p><p>Figura 1 - Um bloco é colocado sobre uma superfície plana, que é inclinada até que ele</p><p>comece a deslizar.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Determinar o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies.</p><p> Analisar a dependência do coeficiente de atrito estático com a rugosidade, com a área de uma</p><p>superfície e com a força normal a ela.</p><p>Sugestão de material</p><p> Base, transferidor, três lâminas de diferentes materiais, bloco de metal polido em forma de</p><p>paralelepípedo, quatro objetos com suporte para fixar-se um no outro e pedaço de flanela.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>57</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Fixe uma das lâminas na base e coloque o bloco sobre ela, como mostrado na Fig. 1. Em</p><p>seguida, incline a base, lentamente, até que o bloco esteja prestes a se mover. Meça o valor</p><p>do ângulo de inclinação e, utilizando a equação 2, determine o coeficiente de atrito estático</p><p>entre as superfícies do bloco e da lâmina. Repita esse procedimento para obter um valor médio</p><p>de e.</p><p> Repita o mesmo procedimento utilizando lâminas de materiais diferentes e determine os</p><p>coeficientes de atrito entre a superfície de cada uma delas e a do bloco. Verifique se os valores</p><p>obtidos, comparativamente, correspondem à sua expectativa.</p><p> Em seguida, analise a influência da área de contato sobre a força de atrito. Para isso, determine</p><p>o coeficiente de atrito estático entre uma das lâminas e cada face de diferente área do bloco.</p><p>Verifique se o resultado encontrado é compatível com a equação 1.</p><p> Agora, analise a dependência do coeficiente de atrito estático com a força normal à superfície.</p><p>Para variar essa força, coloque, gradativamente, objetos de massa conhecida sobre a</p><p>superfície. Verifique se o resultado encontrado é compatível com a equação 1.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>58</p><p>DEFORMAÇÃO INELÁSTICA E PROCESSO IRREVERSÍVEL</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Duas características observadas no comportamento elástico de um sólido são a linearidade e a</p><p>reversibilidade. A linearidade relaciona-se à proporcionalidade entre a força aplicada ao sólido e a</p><p>consequente deformação deste. A reversibilidade significa que, aplicando-se uma força crescente e,</p><p>em seguida, decrescente em um sólido, este se alonga e, depois, volta à situação inicial pelo mesmo</p><p>caminho, isto é, por uma mesma curva em um gráfico de força versus alongamento. Do ponto de vista</p><p>das energias envolvidas, em um processo reversível, o sólido, ao retornar ao seu estado inicial, realiza</p><p>sobre o agente aplicador da força o mesmo trabalho que este realizou sobre ele para alongá-lo.</p><p>Existem sistemas que não apresentam essas características; em alguns casos, a dependência entre</p><p>força e alongamento pode, até mesmo, não ter uma expressão analítica, podendo ser conhecida apenas</p><p>experimentalmente. O trabalho realizado nesses sistemas, além de produzir deformações mecânicas,</p><p>é utilizado para promover reações químicas, modificações estruturais, transformações moleculares e</p><p>aquecimento, entre outros. Assim, não é possível ao sistema devolver toda a energia cedida ao agente</p><p>aplicador da força e o processo de deformação é irreversível.</p><p>Um exemplo simples de uma situação desse tipo ocorre com uma gominha de borracha ao ser</p><p>esticada. Nesse caso, observa-se uma não-linearidade entre a força aplicada e o alongamento</p><p>produzido e, também, uma irreversibilidade do processo.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Estudar a deformação produzida em gominhas de borracha.</p><p>Sugestão de material</p><p> Duas gominhas de borracha, base, haste de sustentação, régua milimetrada, suporte e objetos</p><p>com massas de, aproximadamente, 50 g.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Alongamento de uma gominha em função do tempo</p><p> Nesta parte do experimento, será aplicada uma força constante em uma gominha e serão feitas</p><p>medidas de seu alongamento em função do tempo. Pendure uma gominha na haste de</p><p>sustentação e coloque, na extremidade oposta, o suporte para os objetos, como mostrado na</p><p>Fig. 1.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>59</p><p>Figura 1 – Objetos de massas conhecidas são pendurados na extremidade de uma gominha.</p><p> Coloque um objeto de, aproximadamente, 500 g no suporte, segurando-o para que a gominha</p><p>não se estique. Deixe que o suporte desça lentamente até ele se equilibrar sozinho, e faça,</p><p>imediatamente, a leitura do comprimento inicial yo da gominha, nessas condições. Nesse</p><p>momento, dispare o cronômetro. Faça leituras do comprimento y da gominha, a cada 20 s, até</p><p>180 s.</p><p> Esboce do gráfico do alongamento y = y – yo da gominha em função do tempo.</p><p>Alongamento da gominha em função da força aplicada durante a carga e a descarga</p><p> Agora, utilizando a outra gominha, faça medidas de seu alongamento y em função da força</p><p>aplicada. Observando o gráfico obtido na etapa anterior, estime o tempo que se deve aguardar</p><p>entre o instante em que cada objeto é colocado no suporte e a leitura do alongamento</p><p>correspondente. (Observação: ao acrescentar os objetos, segure o suporte para evitar que a</p><p>gominha oscile e relaxe.) Para fazer as medidas, acrescente os objetos, um a um, até atingir a</p><p>carga máxima de 700 g.</p><p> Inicie, então, o processo de descarga, retirando os objetos, um a um, e medindo o alongamento</p><p>correspondente.</p><p> Responda se no processo de descarga, há necessidade de aguardar algum tempo entre a retirada</p><p>de um objeto e a leitura do alongamento.</p><p> Faça o gráfico da força aplicada em função do alongamento da gominha para os processos de</p><p>carga e descarga. Observe o gráfico e comente o resultado em termos de linearidade e</p><p>reversibilidade.</p><p>O trabalho de uma força F aplicada na direção do deslocamento x de um objeto é dado por</p><p>dxFW  .</p><p>Assim, os valores do trabalho da força sobre a gominha, durante os processos de carga e de</p><p>descarga, podem ser determinados calculando-se as áreas sob as curvas no gráfico F versus y.</p><p> Calcule o trabalho líquido realizado depois de um ciclo de carga e descarga e dê uma</p><p>interpretação física para ele. Considerando a precisão que se pode ter nas medidas de força e</p><p>alongamento, estime a incerteza no valor do trabalho.</p><p> Compare o valor encontrado para o trabalho com o valor de trabalho e/ou energia envolvidos</p><p>em algum fenômeno de seu conhecimento.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>60</p><p> A gominha de borracha é constituída por um conjunto de cadeias poliméricas com uma</p><p>estrutura fibrilar central e ramificações laterais. O fato de o trabalho total realizado no ciclo</p><p>ser diferente de zero, deve-se à ruptura de ligações químicas entre as cadeias de moléculas da</p><p>gominha no processo de carga; ao se reverter esse processo, fazendo-se a descarga, as ligações</p><p>não se refazem. Pode-se estimar a energia necessária para romper uma dessas ligações como</p><p>se segue.</p><p>O material da gominha tem ponto de fusão em temperaturas de ~ 400 K (~ 130 oC). A essa</p><p>temperatura, a energia cinética média por grau de liberdade é de (1/2) kT, em que k é a</p><p>constante de Boltzmann (k = 1,38 x 1023 J/K) e T é a temperatura em Kelvin. Essa energia</p><p>cinética média é da mesma ordem de grandeza da energia necessária para romper uma ligação</p><p>química entre as cadeias do polímero que constitui a gominha.</p><p>Partindo desse raciocínio, estime</p><p>o número de ligações químicas que foram rompidas na</p><p>gominha, neste experimento. Compare o resultado com o número de Avogrado NA</p><p>(6,02 x 1023 /mol).</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>61</p><p>TENSÃO SUPERFICIAL</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Fenômenos de superfície têm interesse multidisciplinar e são importantes tanto para a Física</p><p>quanto para a Química, a Biologia e as Engenharias. Além disso, há vários efeitos observados no dia-</p><p>a-dia, que estão relacionados às propriedades da interface entre duas fases – por exemplo, grãos de</p><p>areia, clipes de papel e outros objetos pequenos podem flutuar sobre a superfície da água, mesmo</p><p>sendo mais densos que ela; algumas espécies de insetos conseguem andar sobre a superfície da água</p><p>sem se molhar; na extremidade de um conta-gotas, um líquido sai na forma de gotas, e não como um</p><p>filete contínuo.</p><p>Para entender esses fenômenos, considere a interface de um líquido com seu próprio vapor ou</p><p>com o ar, como representado na Figura 1. Cada molécula no interior do líquido é atraída pelas demais</p><p>moléculas igualmente, em todas as direções, enquanto as moléculas que estão na superfície são</p><p>atraídas para o interior do líquido mais fortemente que em direção ao ar. Ocorre, então, uma contração</p><p>espontânea da superfície. No interior do líquido, as forças de coesão atuam no sentido de estabilizar</p><p>o sistema, reduzindo a energia potencial de cada molécula. Porém, por não ter o mesmo número de</p><p>vizinhas, uma molécula na superfície apresenta maior energia potencial que as no interior do líquido.</p><p>Portanto, para aumentar a superfície de um líquido, devem-se transferir moléculas de seu interior para</p><p>a interface, e isso requer certa energia.</p><p>FIGURA 1 - Uma molécula no interior do líquido é atraída pelas demais moléculas,</p><p>igualmente, em todas direções, enquanto as moléculas, na superfície são atraídas para o</p><p>interior do líquido mais fortemente que em direção ao ar.</p><p>Define-se a tensão superficial  como a razão entre o trabalho externo W, necessário para</p><p>aumentar de A a área da interface do líquido, e essa área, ou seja,</p><p>A</p><p>W</p><p>. (1)</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>62</p><p>As forças na interface de um líquido são semelhantes àquelas que mantêm películas elásticas</p><p>de sólidos esticadas, por exemplo, em membranas e balões de borracha. No entanto, como a tensão</p><p>superficial independe da área da superfície do líquido, esses sistemas são muito diferentes de películas</p><p>elásticas sólidas. Quando a área dessas películas é modificada, o número de moléculas na superfície</p><p>permanece constante, no entanto, as forças e as distâncias entre as moléculas se alteram. Por outro</p><p>lado, uma alteração na área de uma interface ocorre por meio da variação do número de moléculas,</p><p>mas a distância média entre elas e a força permanecem praticamente constantes.</p><p>A existência de forças na superfície de um líquido pode ser demonstrada com o dispositivo</p><p>representado na Figura 2, em que um laço de linha fina tem suas extremidades amarradas a um arame</p><p>dobrado em forma de anel. Mergulhando-se esse conjunto em uma solução de água com sabão, forma-</p><p>se uma película na parte interna do anel onde o laço de linha flutua livremente, sem forma definida.</p><p>Nessa situação, as moléculas do líquido, tanto na parte interna quanto na parte externa do laço,</p><p>exercem forças sobre a linha, permitindo que ela fique em equilíbrio. Quando a película na parte</p><p>interna do laço é destruída, o laço assume uma forma circular. Isso ocorre devido às forças radiais</p><p>exercidas pelas moléculas sobre a superfície da película.</p><p>FIGURA 2 - Em (a), forma-se uma película em um anel mergulhado em uma solução de</p><p>água com sabão e um laço de linha, preso no anel, flutua nessa película; em (b), removendo-</p><p>se a película do interior do laço, este assume uma forma circular.</p><p>A tensão superficial de um líquido pode ser determinada medindo-se a força por unidade de</p><p>comprimento necessária para aumentar a área da superfície desse líquido. Considere, por exemplo,</p><p>um fio dobrado em forma de U, sobre o qual um outro fio, de comprimento , pode deslizar sem</p><p>atrito, como mostrado na Figura 3.</p><p>FIGURA 3. Em (a), o fio móvel é mantido em equilíbrio pela</p><p>força F, de mesmo módulo e com sentido oposto à força exercida</p><p>pelas moléculas do interior do líquido; em (b), o trabalho</p><p>realizado sobre o fio aumenta a área de cada face da película de</p><p>x.</p><p>fio</p><p>película</p><p>fio</p><p>móvel</p><p>F</p><p>F</p><p>x</p><p>a)</p><p>b)</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>63</p><p>Esse conjunto é imerso em uma solução de água com sabão e, em seguida, retirado. Deslocando-</p><p>se o fio móvel, forma-se uma película de água com sabão, como mostrado na Figura 3. Se esse fio</p><p>for solto, observa-se que ele é puxado pelo líquido devido à tensão superficial que tende a minimizar</p><p>a superfície do líquido. Seja F a força necessária para deslocar o fio de x com velocidade constante.</p><p>Nessa situação, a energia para mover as moléculas do interior do líquido para a superfície da película</p><p>é igual ao trabalho realizado pela força externa sobre o fio. Como a película tem duas superfícies, o</p><p>aumento de sua área é de 2x. Utilizando-se a equação 1, obtém-se</p><p>2</p><p>F x</p><p>x</p><p> </p><p></p><p>ou</p><p>2</p><p>F . (2)</p><p>Esse resultado é utilizado, atualmente, nos principais métodos para se medir a tensão superficial</p><p>de líquidos. Neste experimento, será utilizado o Método de Du Nouy, também conhecido como</p><p>Método do Anel. Nele, um anel metálico circular é suspenso em uma balança de precisão –</p><p>dinamômetro de torção –, e uma base de altura ajustável é usada para levantar o líquido a ser medido</p><p>até que entre em contato com o anel. Em seguida, o recipiente é novamente abaixado para esticar a</p><p>película de líquido que se forma em torno do anel, como mostrado no detalhe da Fig. 4a. O módulo</p><p>F da força que o líquido faz sobre esse anel, devido à tensão superficial, é dado por</p><p>2 (2 )cosF r   ,</p><p>em que 2r é o perímetro do anel,  é o ângulo de contato do líquido e o fator 2 se deve às duas</p><p>películas que se formam – uma na parte interna e outra na parte externa do anel, como representado</p><p>na Figura 4a.</p><p>Quando o anel está em equilíbrio, a balança exerce uma força sobre ele, cujo módulo F é</p><p>4 cosF r P P    ,</p><p>em que P é o peso do anel e P é o peso do líquido que é levantado junto com ele. Na Figura 4b, essa</p><p>força está representada em função do deslocamento do anel a partir da superfície do líquido.</p><p>FIGURA 4 - Em (a) apresenta-se o método utilizado a se medir a tensão superficial de um</p><p>líquido: um anel circular é imerso no líquido e, em seguida, retirado lentamente; nesse caso,</p><p>a tensão superficial é calculada a partir da medição da força máxima para levantar o anel;</p><p>em (b) apresenta-se o gráfico da força exercida sobre o anel em função de sua distância até</p><p>a superfície do líquido.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>64</p><p>Quando o módulo dessa força é máximo, Fmax, ela tem direção vertical; nesse momento, o ângulo</p><p>de contato  = 0o. Desprezando-se o peso P do líquido que fica retido no anel e tarando-se a balança</p><p>para descontar o peso do anel, a tensão superficial é, então, dada por</p><p>max</p><p>4</p><p>F</p><p>r</p><p></p><p></p><p></p><p>. (3)</p><p>Na Tabela 1, estão relacionados os valores da tensão superficial de alguns líquidos em contato</p><p>com o ar.</p><p>Tabela 1.</p><p>Tensão superficial de alguns líquidos no ar.</p><p>Líquido Temperatura</p><p>(oC)</p><p>Tensão superficial </p><p>(103 N/m)</p><p>Álcool etílico 20 22,3</p><p>Glicerina 20 63,1</p><p>Mercúrio 20 465</p><p>Água 0 75,6</p><p>Água 20 72,8</p><p>Água 60 66,2</p><p>Água 100 58,9</p><p>Oxigênio -193 15,7</p><p>Hélio -269 0,12</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar a tensão superficial da água e de uma solução de água com sabão.</p><p>Sugestão de material</p><p> Dinamômetro de torção com sensibilidade de 104 N, anel metálico com diâmetro de ~2,0 cm,</p><p>base elevatória, recipiente para líquido com diâmetro maior que 10 cm, água destilada, álcool,</p><p>paquímetro, detergente.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Meça o diâmetro do anel e calcule seu perímetro. Em seguida, limpe-o, cuidadosamente, com</p><p>álcool para</p><p>remover qualquer resíduo de gordura existente nele, enxágue-o com água destilada</p><p>e seque-o com uma toalha de papel limpa. Isso feito, não toque mais no anel.</p><p> Lave o recipiente com água corrente, limpe-o com uma toalha de papel embebida em álcool,</p><p>enxágue-o e seque-o bem.</p><p> Pendure o anel no dinamômetro e, em seguida, tare a balança – ou seja, ajuste sua leitura em</p><p>zero, de forma a eliminar o peso do anel na medida de força.</p><p> Coloque o recipiente com água destilada sobre a base elevatória e ajuste sua altura para que o</p><p>anel fique completamente submerso. Em seguida, abaixe-a, lenta e gradualmente, e, ao mesmo</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>65</p><p>tempo, nivele o braço do dinamômetro a cada passo. Faça isso até o instante em que o anel se</p><p>desprende da superfície do líquido. Nessa situação, a leitura, na balança, é igual à força</p><p>máxima da água sobre o anel, dada pela equação 3.</p><p> Repita essa medida várias vezes e determine o melhor valor dessa força, com sua respectiva</p><p>incerteza. Determine, então, a tensão superficial da água, também com a respectiva incerteza.</p><p> Em seguida, deve-se medir a tensão superficial de uma solução de água com sabão. Para isso,</p><p>acrescente 5 a 10 gotas de detergente à água do recipiente. Homogeneíze a mistura obtida e</p><p>repita o procedimento descrito para se medir a força máxima do líquido sobre o anel.</p><p> Calcule, então, a tensão superficial da solução de água com detergente, com sua respectiva</p><p>incerteza.</p><p> Compare os resultados obtidos com aqueles mostrados na Tabela 1.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>66</p><p>E X P E R I M E N T O S D E</p><p>T E R M O D I N Â M I C A</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>67</p><p>CALOR ESPECÍFICO DA ÁGUA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>O Efeito Joule consiste na dissipação de energia elétrica sob forma de energia térmica em um</p><p>condutor, no qual se estabelece uma corrente. Esse efeito tem aplicação prática, por exemplo em</p><p>aquecedores elétricos.</p><p>A energia E dissipada em um aquecedor elétrico, em um intervalo de tempo t, é dada por</p><p>E = I V t,</p><p>em que V é a tensão elétrica e I é a corrente no aquecedor, sendo ambas mantidas constantes.</p><p>A situação ilustrada na Fig. 1 apresenta um calorímetro, que consiste de um recipiente</p><p>termicamente isolado que contém um aquecedor elétrico e um termômetro. O aquecedor é alimentado</p><p>com uma tensão V, estabelecendo-se, assim, uma corrente elétrica I. O calorímetro contém uma massa</p><p>m de água.</p><p>Figura 1 - Aquecedor ligado à rede elétrica aquecendo uma quantidade de água de massa</p><p>m.</p><p>A energia transferida para o calorímetro é responsável pela elevação da temperatura T do sistema.</p><p>A quantidade de calor Q absorvida é</p><p>Q = CS T,</p><p>em que CS é a capacidade térmica do sistema (calorímetro + água) e T é a consequente variação de</p><p>temperatura. Desprezando-se a capacidade térmica do calorímetro, tem-se</p><p>CS = m c,</p><p>em que m e c são, respectivamente, a massa e o calor específico da água.</p><p> Demonstre que, nas condições descritas, ligando-se o aquecedor durante um certo tempo, a</p><p>temperatura da água é dada por</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>68</p><p>t</p><p>mc</p><p>IV</p><p>TT o </p><p>, (1)</p><p>em que To é a temperatura inicial (em t = 0) e T, a temperatura medida no tempo t.</p><p>Portanto, mantendo-se V e I constantes, a temperatura do sistema cresce linearmente com o tempo.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar o calor específico da água.</p><p>Sugestão de Material</p><p> Miliamperímetro, recipiente termicamente isolado, água, aquecedor, misturador, cronômetro</p><p>e termômetro.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Este experimento consiste em fornecer energia elétrica a um aquecedor enquanto se mede a</p><p>temperatura T da água em função do tempo t. Para isso, usa-se a montagem mostrada na Fig. 1</p><p> Meça a temperatura inicial da água. Depois, ligue o aquecedor à rede elétrica e comece a</p><p>marcar o tempo. Anote o valor da corrente no circuito. Meça a temperatura da água em função</p><p>do tempo até que a temperatura fique cerca de 10 oC acima da temperatura inicial. Durante o</p><p>aquecimento, mexa a água para homogeneizar sua temperatura. Construa o gráfico de</p><p>T versus t.</p><p> Tendo como base a equação 1, utilize o processo de regressão linear para obter o calor</p><p>específico da água e sua temperatura inicial. Considere 1,00 cal = 4,18 J.</p><p> Que alteração se poderia esperar na medida do calor específico da água se a capacidade</p><p>térmica do calorímetro não tivesse sido desprezada?</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>69</p><p>DETERMINAÇÃO DA CAPACIDADE TÉRMICA DE UM CALORÍMETRO</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Quando um sistema absorve calor, pode haver um aumento em sua temperatura, dependendo do</p><p>processo termodinâmico envolvido. Define-se capacidade térmica Cs de um sistema como sendo a</p><p>razão entre a quantidade de calor Q que ele recebe e a consequente variação de temperatura T, ou</p><p>seja,</p><p>OTT</p><p>Q</p><p>T</p><p>Q</p><p>Cs </p><p></p><p></p><p></p><p>em que TO e T são as temperaturas inicial e final no processo, respectivamente.</p><p>A capacidade térmica por unidade de massa é chamada calor específico do sistema.</p><p>A determinação da capacidade térmica é feita, em geral, com o uso de um calorímetro, que é um</p><p>sistema fechado que não permite troca de calor com o ambiente. O procedimento é, então, de fornecer</p><p>uma quantidade de energia conhecida e medir a consequente variação da temperatura.</p><p>Uma maneira prática de fornecer energia é com o uso de um sistema elétrico. Ao se aplicar a um</p><p>aquecedor elétrico uma tensão elétrica V aparecerá nele uma corrente I. A energia E liberada por</p><p>esse aquecedor, em um intervalo de tempo t, é dada por</p><p>E = V I t .</p><p> Para um sistema que não perde energia para a vizinhança, mostre que sua temperatura final T,</p><p>após o aquecedor ficar ligado durante um tempo t, será dada pela equação:</p><p>o</p><p>s</p><p>VI</p><p>T T t</p><p>C</p><p> </p><p>   </p><p> </p><p>(1)</p><p>em que To é a temperatura inicial e Cs, a capacidade térmica do sistema.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Medir a capacidade térmica de um calorímetro.</p><p>Sugestão de material</p><p> Voltímetro, amperímetro, ebulidor, termômetro, cronômetro, fonte de tensão, recipiente</p><p>termicamente isolado, agitador, água, cabos para ligações elétricas.</p><p>Com um ebulidor convencional, recomenda-se utilizar 200 ml de água, voltímetro com escala</p><p>de até ~20 V e amperímetro, de até ~5 A.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>70</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Monte o circuito esquematizado na Fig. 1. Peça ao professor que confira as ligações. Valores</p><p>da tensão elétrica a ser utilizada e a corrente correspondente devem estar indicados na</p><p>montagem.</p><p>Figura 1 - Esquema experimental para se medir a capacidade térmica Cs do sistema</p><p>calorímetro com a água.</p><p>Meça a temperatura da água T em função do tempo t em que o aquecedor ficou ligado.</p><p>Baseando-se na Eq. 1, faça um gráfico e, a partir dele, determine a capacidade térmica Cs do</p><p>sistema com sua respectiva incerteza. Sugestão para a coleta de dados: anote os tempos a cada</p><p>instante em que a temperatura da água varia de 1 grau, até cerca de 10 °C acima da temperatura</p><p>ambiente.</p><p> Sabendo-se que Cs = Ccalorímetro + Cágua e que o calor específico da água é</p><p>c = (4,18  0,01)J/(g °C), calcule a capacidade térmica do calorímetro com sua respectiva</p><p>incerteza. Discuta seus resultados.</p><p> Baseando-se no resultado obtido, discuta se o processo sugerido e a instrumentação utilizada</p><p>foram adequados para se medir a capacidade térmica do calorímetro.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>71</p><p>GASES IDEAIS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Gases são fluidos em que a interação entre suas moléculas é bastante fraca e as moléculas não</p><p>apresentam organização espacial. Em escala macroscópica, um gás pode ocupar todo o volume finito</p><p>do recipiente que o confina. O estado termodinâmico de uma certa quantidade de um gás fica</p><p>determinado quando se especificam sua temperatura Kelvin T, sua pressão p e seu volume V. Um gás</p><p>é chamado ideal quando essas grandezas macroscópicas, denominadas variáveis de estado, estão</p><p>relacionadas de acordo com a equação</p><p>pV = nRT, (1)</p><p>em que n é o número</p><p>de moles e R = 8,3145 J/(mol.K) é a constante universal dos gases. Em baixas</p><p>densidades, um gás real tem um comportamento próximo ao de um gás ideal. Também, quando se</p><p>tem pequenas variações de p, V ou T , um gás real tem comportamento aproximado pela equação</p><p>(1).</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Verificar a validade da equação de estado dos gases ideais para uma certa quantidade de ar.</p><p>Sugestão de material</p><p>Os procedimentos indicados baseiam-se no equipamento representado na Fig. 1.</p><p>1. bulbo contendo o gás a ser analisado;</p><p>2. câmara externa ao bulbo por onde passa um</p><p>fluxo de água para manter a temperatura do</p><p>gás no valor desejado</p><p>3. entrada e saída do fluxo de água</p><p>4. coluna de mercúrio</p><p>5. termômetro</p><p>6. reservatório móvel de mercúrio</p><p>7. mangueira flexível</p><p>8. tampa do reservatório de mercúrio</p><p>9. banho térmico, com circulador de água e</p><p>controlador de temperatura</p><p>Figura 1 - O dispositivo utilizado neste experimento, que permite variar e medir a pressão, o volume</p><p>e a temperatura de uma certa quantidade de gás, é composto por 9 itens, como descritos acima.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>72</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>O equipamento necessário para este experimento permite variar-se a pressão, o volume e a</p><p>temperatura de uma certa quantidade fixa de gás. Este experimento é constituído de três etapas</p><p>distintas e, em cada uma delas mantém-se constante uma das variáveis de estado p, V ou T, enquanto</p><p>se observa o comportamento das outras duas. Nas descrições que se seguem, os números apresentados</p><p>entre colchetes referem-se aos itens assinalados na Fig. 1. Para a obtenção das medidas de</p><p>temperatura, volume e pressão, deve-se considerar que:</p><p> os valores da temperatura T usados nas equações são na escala Kelvin.</p><p> o volume de ar a ser medido é o volume interno do tubo [1], limitado pela coluna de mercúrio</p><p>[4]. Especificações para o cálculo deste volume – como, por exemplo, o diâmetro do tubo –</p><p>devem acompanhar a montagem.</p><p> para variar a pressão do ar no tubo [1], deve-se mover o reservatório de mercúrio [6] para</p><p>cima ou para baixo. Inicialmente, é preciso remover a tampa do reservatório móvel [8] para</p><p>que a pressão na superfície do mercúrio, neste reservatório, seja igual à pressão atmosférica</p><p>local.</p><p>A pressão do ar no tubo [1] é dada por</p><p>p = po + gh (2)</p><p>em que po é a pressão atmosférica local,  = (13,59 ± 0,01) g/cm3 é a densidade do mercúrio, g é a</p><p>aceleração da gravidade local e h é a diferença de altura entre os níveis do mercúrio em [4] e em [6].</p><p>Deve ser observado que, nesse experimento, não é necessário que se conheça o valor da pressão</p><p>atmosférica local, pois será medida a variação da pressão do gás, dada pelo termo gh da equação 2.</p><p>Dessa forma, a análise de variação da pressão deve ser feita com a equação</p><p>op</p><p>V</p><p>nRT</p><p>gh </p><p>, (3)</p><p>que resulta da combinação das equações 1 e 2.</p><p>Medição da pressão de um gás em função de seu volume, mantendo-se a temperatura constante</p><p>Nessa parte do experimento, a temperatura do ar dentro do tubo [1] deve ser mantida constante</p><p>pelo banho térmico [2] e [9]. Essa temperatura é medida com o termômetro [5] e poderá ser a própria</p><p>temperatura ambiente.</p><p> Varie a altura do reservatório [6] de mercúrio para obter um conjunto de dados que relacionem</p><p>a variação de pressão gh com o volume V de ar no tubo.</p><p> Faça o gráfico de gh versus V e, por meio de um processo de linearização (ou ajuste direto</p><p>da curva obtida), verifique a validade da equação 3 para descrever o comportamento desse</p><p>gás.</p><p> A partir da análise desse gráfico, determine:</p><p>o a pressão atmosférica local (compare o valor encontrado com o valor medido com um</p><p>barômetro, no laboratório) e</p><p>o o número de moles de ar na amostra analisada.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>73</p><p>Considerando que, nas condições normais de temperatura e pressão, 1 mol de gás ocupa um</p><p>volume de 22,4 litros avalie se o resultado encontrado corresponde ao esperado.</p><p>Medição do volume de um gás em função de sua temperatura, mantendo-se a pressão constante</p><p>Nessa parte do experimento, a pressão constante pode ser escolhida como sendo a pressão</p><p>atmosférica local. Para isso, as colunas de mercúrio no bulbo [1] e no reservatório [6] devem ser</p><p>mantidas no mesmo nível.</p><p>Para manter constante a temperatura do gás no tubo [1], utiliza-se o banho térmico [9], com o</p><p>controlador de temperatura e uma bomba que faz a água circular pela câmara [2].</p><p> Ajuste a temperatura do banho térmico [9] próxima à temperatura ambiente e faça a água</p><p>circular pela câmara [2]. Meça a temperatura e o volume correspondente do gás. Em seguida,</p><p>varie a temperatura de 5 ºC em 5 ºC, até cerca de 80º C e, para cada situção, registre os valores</p><p>de V e T. Antes de cada registro, verifique se a pressão do gás está constante, ajustando a</p><p>altura do reservatório [6] para nivelar as colunas de mercúrio. Antes de cada medida, espere</p><p>o tempo necessário para que a temperatura da água se estabilize.</p><p> Faça o gráfico de V versus T e verifique se, nesse caso, a dependência entre essas duas</p><p>grandezas corresponde ao previsto na equação 1.</p><p>Medição da pressão de um gás em função da temperatura, mantendo-se o volume constante.</p><p> Varie a temperatura do ar, como descrito no item anterior, e meça a variação de pressão gh</p><p>com a temperatura T do ar no tubo [1). Note que, para manter o volume do gás constante, o</p><p>nível da coluna [4) de mercúrio no tubo [1) deverá estar na mesma posição para todas as</p><p>leituras de pressão e temperatura.</p><p> Faça o gráfico de gh versus T e verifique se, nesse caso, a dependência entre p e T</p><p>corresponde ao previsto na equação 1.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>74</p><p>CALIBRAÇÃO DE UM TERMOPAR</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Termopares são termômetros bastante utilizados, na indústria e em laboratórios de pesquisa, para</p><p>medições em uma ampla faixa de temperatura, podendo cobrir de ~70 a ~2000 K (aproximadamente</p><p>de -200 a 1700 ºC). Por se basear na medição de uma diferença de potencial, um termopar apresenta</p><p>facilidade de leitura e de monitoramento de temperatura à distância e é de fácil adaptação em sistemas</p><p>de controle e automação. Sabe-se que um campo elétrico pode produzir uma corrente elétrica em</p><p>sólidos. Da mesma forma, variações de temperaturas também podem produzir correntes elétricas.</p><p>Considere, por exemplo, um fio de metal cujas extremidades são mantidas em temperaturas</p><p>diferentes, por meio de contato térmico com reservatórios de calor. Nessa situação, a densidade de</p><p>elétrons livres é diferente nas duas extremidades, o que dá origem a um campo elétrico ao longo do</p><p>fio; um outro campo elétrico é produzido pelo gradiente de temperatura no metal. Aparecerá nas</p><p>extremidades do fio uma diferença de potencial elétrico. A conversão de diferença de temperatura em</p><p>tensão elétrica e vice-versa é chamada de efeito termoelétrico. O funcionamento de um termopar</p><p>baseia-se em um desses efeitos, conhecido como Efeito Seebeck.</p><p>Para mostrar o Efeito Seebeck e o modo como medi-lo, considere dois fios de metais diferentes,</p><p>ligados um ao outro, como representado na Figura 1. Cada junção é colocada em contato térmico com</p><p>um reservatório de calor; os reservatórios estão a temperaturas são T1 e T2. Um voltímetro ideal é</p><p>ligado entre dois pontos de um dos fios, ambos à temperatura T0. Como o circuito formado pelos fios</p><p>está aberto, a corrente elétrica, nele, é nula. Nessa situação, surge uma força eletromotriz nas</p><p>extremidades livres, que depende do material dos fios e da variação de temperatura entre as junções.</p><p>O Apêndice F apresenta uma descrição detalhada do Efeito Seebeck.</p><p>Figura 1 - Dois fios – A e B –, de materiais diferentes, ligados um ao</p><p>outro para formar as junções 2 e 3. Quando as temperaturas dessas</p><p>junções são diferentes, uma força eletromotriz  é produzida nas</p><p>extremidades 1 e 4, que estão a uma mesma temperatura T0.</p><p>O dispositivo esquematizado na Fig, 1 é a base de um termopar utilizado como termômetro. Para</p><p>isso,</p><p>uma das junções é colocada em contato térmico com o objeto cuja temperatura T se deseja</p><p>determinar, enquanto a outra é mantida em uma temperatura constante, chamada de temperatura de</p><p>referência TR, como representado na Figura 2. Usualmente, utiliza-se a temperatura do gelo em fusão</p><p>como referência.</p><p>Para pequenas diferenças de temperatura entre as junções, a força eletromotriz  é proporcional a</p><p>essa diferença, ou seja, é dada por</p><p> =  (T – TR). (3)</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>75</p><p>em que , chamado de coeficiente Seebeck,5 depende do material dos fios e da temperatura.</p><p>Conhecido o coeficiente Seebeck, a temperatura do objeto pode ser determinada por meio da</p><p>medição da força eletromotriz que é gerada.</p><p>FIGURA 2 - Diagrama esquemático de um</p><p>termopar, constituído de dois fios – A e B – de</p><p>materiais diferentes. Uma das junções dos fios é</p><p>mantida a uma temperatura TR, e a outra deve estar</p><p>em contato térmico com o objeto cuja temperatura</p><p>se deseja determinar; um voltímetro mede a força</p><p>eletromotriz  então produzida.</p><p>O valor do coeficiente Seebeck é muito pequeno para os termopares típicos, ou seja, a força</p><p>eletromotriz gerada é pequena mesmo para grandes variações de temperatura. Na Fig. 3, representa-</p><p>se esse coeficiente em função da temperatura para alguns tipos de termopares comerciais; na Tab. 1,</p><p>estão listados valores do coeficiente Seebeck para a temperatura de 20º C.</p><p>FIGURA 3 - Coeficiente de Seebeck em função</p><p>da temperatura de alguns termopares comerciais.</p><p>As letras E, K, J, .... identificam o tipo de cada</p><p>termopar.</p><p>TABELA 1</p><p>Coeficiente de Seebeck de alguns termopares comerciais, a 20º C.</p><p>Tipo do</p><p>termopar Metais ou ligas da junção</p><p>Coeficiente Seebeck em</p><p>T = 20º C (V/º C)</p><p>E Cromel/Constantan 62</p><p>J Fe/Constantan 51</p><p>K Cromel/Alumel 40</p><p>R Pt/Pt + 13% Rd 7</p><p>S Pt/Pt + 10% Rd 7</p><p>T Cu/Constantan 40</p><p>5 Alguns autores chamam este coeficiente de potência termoelétrica.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>76</p><p>Neste experimento, serão vistos o princípio de funcionamento de termopares e o modo como eles</p><p>são construídos e calibrados.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Calibrar um termopar.</p><p>Sugestão de material utilizado</p><p> Termopar, voltímetro com sensibilidade mínima de 10 V, termômetro de referência,</p><p>ebulidor, agitador de água, recipiente para água, recipiente refratário, nitrogênio líquido,</p><p>fósforo, isqueiro ou vela.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>O processo de calibração de um termopar consiste em fazer medições da força eletromotriz gerada</p><p>para diversos valores conhecidos de temperatura da junção de medida. Para determinação dessa</p><p>temperatura, deve-se utilizar um termômetro de referência, já calibrado.</p><p> Faça a montagem representada na Fig. 2. Diferentemente da situação mostrada na Fig. 2, a</p><p>junção de referência será mantida à temperatura ambiente, cujo valor deve ser previamente</p><p>medido com o termômetro de referência.</p><p> No recipiente refratário, aqueça cerca de 200 ml de água com o ebulidor, até que o termômetro</p><p>de referência indique uma temperatura entre 90 oC e 100 oC.</p><p> Mergulhe a junção de medida do termopar na água. Feito isso, meça, com o voltímetro, a</p><p>diferença de potencial e, com o termômetro de referência, a temperatura da água. Mantenha a</p><p>ponta do termopar próxima ao bulbo do termômetro para garantir que ambos estejam à mesma</p><p>temperatura.</p><p> Em seguida, deve-se medir a diferença de potencial no termopar para diversos valores de</p><p>temperatura da água. Para isso, aos poucos, adicione água fria à água quente contida no</p><p>recipiente e repita as medidas feitas na etapa anterior.</p><p> Faça o gráfico da diferença de potencial no termopar em função da temperatura da água. Com</p><p>base nesse gráfico, verifique se o coeficiente Seebeck desse termopar é constante na faixa de</p><p>temperatura observada. Nesse caso, faça uma regressão linear dos resultados das medições e</p><p>determine o valor desse coeficiente. Escreva, então, a equação de calibração (T) do termopar.</p><p>Determine o valor da temperatura de referência TR encontrado a partir da regressão linear.</p><p> Agora que o termopar está calibrado, utilize-o para medir a temperatura ambiente e a</p><p>temperatura de uma pessoa. Meça essas temperaturas, também, com o termômetro de</p><p>referência e compare os valores obtidos em cada caso.</p><p> Utilize o termopar para medir a temperatura do nitrogênio líquido e da chama de fogo. Sabe-</p><p>se que a temperatura do nitrogênio líquido é de –196 oC. Avalie e comente os resultados</p><p>obtidos nessas medições.</p><p> O que você observa com relação ao valor de  quando o termopar é colocado em uma chama?</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>77</p><p>APÊNDICE: O EFEITO SEEBECK</p><p>Pode-se mostrar que em uma amostra metálica isotrópica e homogênea, um gradiente de</p><p>temperatura e um campo elétrico E produzem uma densidade de corrente elétrica J dada por</p><p>dT</p><p>J E</p><p>T dx</p><p> </p><p>,</p><p>em que  é a condutividade elétrica do metal e  é uma constante. Por simplicidade, supôs-se uma</p><p>amostra unidimensional.</p><p>Quando a amostra do metal está em um circuito aberto, J = 0 e, nesse caso, o campo elétrico é</p><p>dado por</p><p>dT dT</p><p>E Q</p><p>T dx dx</p><p></p><p></p><p> </p><p>,</p><p>em que Q é chamada de potência termoelétrica do metal e depende da temperatura.</p><p>Considere o circuito mostrado na Fig. 1 do roteiro. A força eletromotriz nesse circuito é dada pela</p><p>integral de E ao longo do comprimento do fio, ou seja,</p><p> 2</p><p>1</p><p>2 3 4</p><p>1 2 3</p><p>2 3</p><p>3 2</p><p>.</p><p>B A B</p><p>B A</p><p>T</p><p>A BT</p><p>E dx E dx E dx</p><p>dT dT</p><p>Q dx Q dx</p><p>dx dx</p><p>Q Q dT</p><p></p><p></p><p></p><p>  </p><p> </p><p> </p><p>  </p><p> </p><p></p><p>Portanto a força eletromotriz, nesse circuito, é uma função da diferença de temperatura das duas</p><p>junções e da diferença entre as potências termoelétricas dos dois metais. Esse resultado é conhecido</p><p>como Efeito Seebeck.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>78</p><p>CALOR ESPECÍFICO DE UM GÁS:</p><p>DETERMINAÇÃO DE  PELO MÉTODO DE CLÉMENT-DESORMES</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Processos termodinâmicos em que não há troca de calor são denominados adiabáticos. Esses</p><p>processos podem ocorrer em sistemas termicamente isolados ou em transformações rápidas, em que</p><p>não há tempo para o sistema trocar calor com a vizinhança – por exemplo, durante uma compressão</p><p>ou uma expansão rápida de um gás.</p><p>A relação entre pressão p e volume V de um gás durante um processo adiabático é dada por</p><p>constante,pV γ </p><p>em que  = cp / cV é a razão entre os calores específicos molares a pressão constante cp e a volume</p><p>constante cV do gás. A Teoria Cinética dos Gases prevê que  = 1,67 para gases monoatômicos,  =</p><p>1,4 para gases diatômicos, e  = 1,33 para gases poliatômicos.</p><p>Clément e Desormes propuseram um método simples para se determinar , como descrito a seguir.</p><p>Considere um gás ideal que passa pelas duas transformações representadas no diagrama pV</p><p>mostrado na Fig. 1.</p><p>Figura 1. Um gás está à temperatura ambiente, no estado</p><p>inicial i, e expande-se, adiabaticamente, até o estado a;</p><p>em seguida, ele retorna à temperatura ambiente,</p><p>mantendo seu volume constante. Nesse processo, sua</p><p>pressão aumenta e o gás chega ao estado f. A linha</p><p>tracejada representa a isoterma correspondente à</p><p>temperatura ambiente Tamb.. VVi Vf</p><p>i</p><p>a</p><p>f</p><p>p</p><p>pi</p><p>p0</p><p>pf Tamb</p><p>Inicialmente, esse gás está no estado i, à temperatura ambiente, com volume Vi e à pressão pi, um</p><p>pouco acima da pressão atmosférica p0. Em seguida, o gás expande-se, rapidamente, até um volume</p><p>Vf e sua pressão chega à pressão atmosférica. Nesse processo – representado no diagrama pela curva</p><p>ia –, a temperatura do gás reduz-se para um valor ligeiramente abaixo da temperatura ambiente.</p><p>Considerando-se esse processo como adiabático e quase estático, pode-se escrever</p><p></p><p>fii VpVp 0</p><p>. (1)</p><p>Posteriormente, o gás retorna à temperatura ambiente, mantendo-se seu volume constante. Nesse</p><p>processo – af –, a pressão do gás aumenta até o valor pf.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>79</p><p>Uma vez que as temperaturas do gás nos estados i e f são iguais, pode-se escrever</p><p>fii VpVp 0</p><p>. (2)</p><p>Eliminando-se Vi e Vf das equações 1 e 2, tem-se que</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>f</p><p>ii</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>f</p><p>i</p><p>i</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>ln</p><p>ln</p><p>0 (3)</p><p>Assim,  pode ser determinado medindo-se as pressões p0, pi e pf.</p><p>Considere que essas pressões sejam determinadas utilizando-se um manômetro de tubo em forma</p><p>de U, como mostrado na Fig. 2. Nesse dispositivo, mede-se a pressão por meio da diferença de altura</p><p>entre os níveis do líquido no tubo em U. Sejam hi e hf esses valores correspondentes respectivamente</p><p>às pressões pi e pf . Então,</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>0 1e1</p><p>p</p><p>gh</p><p>pp</p><p>p</p><p>gh</p><p>pp f</p><p>f</p><p>i</p><p>i</p><p></p><p>, (4)</p><p>em que  é a densidade do líquido e g é a aceleração da gravidade.</p><p> Considerando-se que ghi << po, ghf << po e que ln(1 + x)  x para x <<1, mostre que</p><p>fi</p><p>i</p><p>hh</p><p>h</p><p></p><p></p><p>. (5)</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar a razão = cp /cv entre os calores específicos à pressão e à volume constantes do</p><p>ar.</p><p>Sugestão de material</p><p>O procedimento utilizado, neste experimento, para medir a relação entre os calores</p><p>específicos de um gás é conhecido como Método de Clément-Desormes e a instrumentação</p><p>utilizada está mostrada na Fig.2.</p><p>Figura 2. Montagem para determinação da razão cp/cv</p><p>de um gás pelo método de Clément-Desormes.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>80</p><p>O aparelho consiste em um balão de vidro tampado com uma rolha de borracha que contém duas</p><p>saídas. Uma delas (B) é conectada a uma bomba para se injetar gás no balão, aumentando sua pressão;</p><p>ela possui uma válvula de alívio que possibilita a expansão rápida do gás. A outra saída (A) é</p><p>conectada a um manômetro de óleo (M). No caso de o gás ser o próprio ar, é recomendável a</p><p>colocação de material secante – por exemplo, sílica – dentro do balão, para absorver qualquer</p><p>umidade nele presente.</p><p> Procedimento</p><p> Usando uma bomba manual, injete um pouco de ar no balão, provocando um aumento de</p><p>pressão caracterizado pelo deslocamento h da coluna de óleo. (O desnível h não deve</p><p>ultrapassar 30 cm.)</p><p> Isole a bomba do sistema, usando, se necessário, uma pinça na mangueira e aguarde o bulbo</p><p>entrar em equilíbrio térmico com o ambiente, ou seja, até a diferença entre as colunas de óleo</p><p>se estabilizar. Anote o valor hi indicado no manômetro.</p><p>Nessa situação a pressão no interior do balão será</p><p>pi = po + ghi (5)</p><p>em que po é a pressão atmosférica local,  é a densidade do óleo e g é a aceleração da gravidade.</p><p> Abra a válvula de alívio (B) por um tempo suficiente para ocorrer uma expansão adiabática</p><p>do ar no balão – neste experimento este tempo fica entre 1 e 2 segundos e pode ser monitorado</p><p>observando-se o nível das colunas de óleo; elas ficam praticamente niveladas após a expansão.</p><p>Aguarde até que o ar atinja novamente a temperatura ambiente – estabilidade do desnível</p><p>entre as colunas de óleo – e anote o desnível hf registrado pelo manômetro. Nessa situação, a</p><p>pressão no interior do balão será</p><p>pf = po + ghf (6)</p><p> Repita o procedimento usando, pelo menos, seis valores diferentes da pressão inicial do ar no</p><p>balão.</p><p> Com base em um gráfico de hf em função de hi e do resultado obtido na equação 5, obtenha</p><p>o valor de  com sua respectiva incerteza.</p><p> Compare o valor encontrado com os valores determinados pela Teoria Cinética dos Gases e,</p><p>considerando a composição do ar, avalie se o resultado corresponde ao esperado.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>81</p><p>CALOR ESPECÍFICO DE UM GÁS:</p><p>DETERMINAÇÃO DE  PELO MÉTODO DE RÜCHHARDT</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Processos termodinâmicos em que não há troca de calor são denominados adiabáticos. Esses</p><p>processos podem ocorrer em sistemas termicamente isolados ou em transformações rápidas, nas quais</p><p>não há tempo para o sistema trocar calor com a vizinhança – por exemplo, durante uma compressão</p><p>ou uma expansão rápida de um gás.</p><p>A relação entre pressão p e volume V de um gás durante um processo adiabático é dada por:</p><p>pV γ = constante (1)</p><p>em que γ = cp /cv = razão entre os calores específicos molares, a pressão constante cp e a volume</p><p>constante cv do gás. A Teoria Cinética dos Gases, considerando os graus de liberdade de cada</p><p>molécula, prevê que para gases monoatômicos tem-se γ = 1,67, para gases diatômicos γ = 1,4 e, para</p><p>gases poliatômicos γ = 1,33.</p><p>Rüchhardt propôs um método simples para se determinar γ, como descrito a seguir.</p><p>A Fig. 1 mostra um cilindro de volume V e seção transversal A, preenchido com um gás; na parte</p><p>superior do cilindro há um êmbolo de massa m. A pressão do gás dentro do cilindro é dada por</p><p>A</p><p>mg</p><p>pp o </p><p>(2)</p><p>em que po é a pressão atmosférica.</p><p>Figura 1: Um êmbolo de massa m e seção reta de área A</p><p>confina um volume V de gás em um cilindro. Dentro do cilindro</p><p>a pressão de equilíbrio p é igual à pressão atmosférica po mais</p><p>a pressão devida ao peso do êmbolo, mg/A. Ao se liberar o</p><p>êmbolo, após fazer um deslocamento y , este oscila em torno</p><p>da posição de equilíbrio executando um movimento harmônico</p><p>amortecido.</p><p>Considere yo = 0 como sendo a posição de equilíbrio do êmbolo. Ao pressioná-lo ligeiramente e</p><p>liberá-lo, o êmbolo oscilará com um período T. Devido ao atrito, após algumas oscilações o êmbolo</p><p>para na sua posição yo. Deslocando-se o êmbolo y para cima, o volume do gás irá aumentar de V</p><p>dado por:</p><p>V = Ay (3)</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>82</p><p>Este deslocamento provoca uma pequena diminuição p na pressão. A força F resultante sobre</p><p>o êmbolo é, desprezando-se o atrito, igual a Ap, ou seja</p><p>A</p><p>F</p><p>p</p><p></p><p></p><p>(4)</p><p>Observe que para y positivo, p é negativo. Consequentemente F é uma força restauradora,</p><p>linearmente proporcional a y, o que implica em uma oscilação harmônica do êmbolo.</p><p>Considerando que este processo seja adiabático, pode-se usar a equação (1) que, fazendo-se a</p><p>diferencial, leva à relação</p><p> p V  –1 V + V  p = 0 (5)</p><p>Substituindo (3) e (4) em (5), e usando yo = 0 e Fo = 0 na situação de equilíbrio, chega-se à relação:</p><p>2</p><p>y</p><p>V</p><p>Ap</p><p>F </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(6)</p><p>que é a equação de um oscilador harmônico, com constante elástica igual a ( p A/V</p><p>Mostre que</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> ²²</p><p>²γ 4</p><p>pA</p><p>mV</p><p>(7)</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Determinar o coeficiente γ de um gás ideal.</p><p> Determinar se o gás é monoatômico, diatômico ou poliatômico.</p><p>Sugestão de material</p><p> Cilindro com êmbolo de diâmetro d e massa m, sensor de baixa pressão.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Para se utilizar o método de Rüchhardt para determinação do γ de um gás utiliza-se uma</p><p>montagem como a ilustrada na figura 2.</p><p>EXPERIMENTOS DE TERMODINÂMICA</p><p>83</p><p>(a)</p><p>0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0</p><p>-8</p><p>-6</p><p>-4</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>4</p><p>6</p><p>8</p><p>Pr</p><p>es</p><p>sã</p><p>o</p><p>(k</p><p>Pa</p><p>)</p><p>tempo (s)</p><p>Oscilação da pressão dentro do cilindro</p><p>(b)</p><p>Figura 2 – (a) Dispositivo que permite registrar a oscilação da pressão, quando se faz uma</p><p>pequena perturbação no êmbolo dentro do cilindro. (b) Registro gráfico da pressão em</p><p>função do tempo; constata-se o movimento harmônico amortecido.</p><p>A pressão no interior do cilindro é medida por um sensor que, por meio de uma interface,</p><p>transmite os valores para um computador. É importante que a aquisição dos dados seja feita em</p><p>frequência alta ( ~1000 Hz) pois o período de oscilação é bem pequeno.</p><p> Procure familiarizar-se com os instrumentos e com o programa de aquisição de dados.</p><p>(Instruções adicionais devem estar disponíveis juntamente com a montagem.)</p><p> Escolha um volume inicial. Desloque o êmbolo de sua posição de equilíbrio fazendo uma</p><p>pressão sobre ele. Solte-o e registre sua oscilação em um gráfico usando o programa de</p><p>aquisição de dados.</p><p> Determine o período de oscilação do sistema a partir de uma média dos valores do período no</p><p>gráfico.</p><p> Repita o procedimento com pelo menos 8 diferentes volumes iniciais. Para cada valor de</p><p>volume, faça algumas medições do período.</p><p> A partir de uma análise gráfica, obtenha</p><p>o valor de γ com sua respectiva incerteza, tendo como</p><p>base a equação (7).</p><p> Compare o valor encontrado com os valores determinados pela Teoria Cinética dos Gases e,</p><p>considerando a composição do ar, avalie se o resultado corresponde ao esperado.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>84</p><p>E X P E R I M E N T O S D E</p><p>E L E T R O M A G N E T I S M O</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>85</p><p>ELEMENTO RESISTIVO LINEAR</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Quando um componente de um circuito elétrico é submetido a uma diferença de potencial V,</p><p>aparece nele uma corrente I. A resistência elétrica R desse elemento é definida pelo quociente entre</p><p>a diferença de potencial aplicada e a corrente resultante:</p><p>R = V / I.</p><p>O comportamento de I em função de V depende das características do componente elétrico.</p><p>Quando a relação V / I é constante para qualquer valor de V, o elemento é chamado de resistor linear.</p><p>Essa situação corresponde à Lei de Ohm, segundo a qual a corrente em um resistor é diretamente</p><p>proporcional à diferença de potencial, ou tensão elétrica, aplicada nele. Os resistores lineares são,</p><p>também, chamados de resistores ôhmicos.</p><p>A associação de resistores em série e em paralelo é comumente encontrada em circuitos. Sabe-se</p><p>que a resistência R equivalente a vários resistores R1, R2, ... Rn é dada por,</p><p>associação em série: 1 2 ... nR R R R   ,</p><p>associação em paralelo:</p><p>1 2</p><p>1 1 1 1...</p><p>nR R R R</p><p>   ,</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Encontrar o valor da resistência de resistores em circuitos puramente resistivos.</p><p> Praticar a utilização de um multímetro digital.</p><p>Sugestão de material</p><p> Fonte de tensão contínua, multímetro digital, miliamperímetro analógico, resistor R1 com</p><p>código de cores, resistor R2 “desconhecido”, painel para ligações, cabos para conexões e</p><p>tabela com código de cores.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Utilização de um multímetro</p><p>Medições de tensão, corrente e resistência elétricas são usualmente feitas com multímetros, que</p><p>são aparelhos em que se pode selecionar a função voltímetro, amperímetro ou ohmímetro. Para usar</p><p>um multímetro analógico ou digital, devem-se observar as seguintes regras básicas:</p><p> com a chave seletora do aparelho, escolha o tipo de medida a ser feita;</p><p> caso o aparelho não tenha escala automática, escolha a escala apropriada para a medição;</p><p> conecte corretamente os cabos ao multímetro:o conector COM é comum para todos os tipos</p><p>de medição e é o polo negativo para medidas de corrente contínua.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>86</p><p>Para medições de tensão o multímetro, na função voltímetro, deve-se ligado em paralelo</p><p>com o elemento cuja tensão deseja-se medir (Fig. 1a). Para utilizá-lo como amperímetro, deve-se</p><p>ligá-lo em série com o elemento (Fig. 1b).</p><p>I</p><p>R</p><p>V</p><p>I</p><p>R</p><p>A</p><p></p><p>(a) (b)</p><p>Figura 1 - Circuito constituído de uma fonte de tensão elétrica , um resistor R e um</p><p>multímetro. Em (a), o multímetro, na função voltímetro, está conectado em paralelo com o</p><p>resistor; em (b), o multímetro, na função amperímetro, está conectado em série com o</p><p>resistor</p><p>Determinação da resistência elétrica de um resistor</p><p>Nessa parte do experimento, você deverá determinar a resistência de um resistor, R1, e sua</p><p>respectiva incerteza de três maneiras diferentes:</p><p>i. lendo o valor da resistência fornecido pelo fabricante por meio do código de cores;</p><p>ii. medindo-a diretamente com um multímetro na função ohmímetro;</p><p>iii. medindo valores de corrente para diferentes tensões aplicadas no resistor.</p><p> Faça as etapas i e ii.</p><p> Para a etapa iii, monte o circuito mostrado na Figura 2.</p><p>Atenção: Antes de iniciar as medidas, peça ao professor que confira o circuito.</p><p>R</p><p>I</p><p>V</p><p>A</p><p>Figura 2 - Circuito constituído de uma fonte de tensão , um resistor R, um multímetro</p><p>utilizado como voltímetro V e um miliamperímetro analógico A.</p><p> Varie a tensão da fonte e obtenha pares de valores V, I. Atenção: não exceda o limite de</p><p>corrente estabelecido! Trace o gráfico V x I com os dados obtidos. Faça uma regressão linear</p><p>para determinar a equação da reta que melhor se ajusta a esses pontos. A partir dos valores</p><p>obtidos na regressão linear, especifique o valor da resistência do resistor com sua respectiva</p><p>incerteza.</p><p> Compare e comente, do ponto de vista de confiabilidade e precisão, os valores da resistência</p><p>desse primeiro resistor encontrados nos três processos. Indique o melhor resultado para o valor</p><p>da resistência.</p><p>Determinação da resistência elétrica de uma associação de resistores em série ou em paralelo</p><p> Conecte os dois resistores, R1 e R2, em série no painel de ligações. Com o multímetro na</p><p>posição ohmímetro, meça o valor da resistência Rs do conjunto. Conecte, agora, os resistores</p><p>em paralelo e meça o valor da resistência Rp do conjunto.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>87</p><p> Use as equações de associação de resistores para determinar a resistência do resistor</p><p>“desconhecido” R2, com sua respectiva incerteza. Em seguida, meça essa resistência com o</p><p>ohmímetro. Indique o melhor resultado.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>88</p><p>RESISTIVIDADE ELÉTRICA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A aplicação de uma diferença de potencial elétrico V em um fio faz aparecer, nele, uma corrente</p><p>elétrica i. A resistência elétrica R entre dois pontos quaisquer de um condutor é definida pela equação</p><p>I</p><p>V</p><p>R </p><p>(1)</p><p>A resistência R é uma característica do fio como um todo, ou seja, depende do comprimento, da</p><p>espessura e do material de que ele é feito. Por outro lado, a grandeza resistividade ( é uma</p><p>propriedade específica dos materiais e depende de características microscópicas intrínsecas. Ou seja,</p><p>pode-se lidar com fios de diferentes tamanhos e espessuras de um mesmo metal, cada um deles</p><p>apresentando um valor diferente de resistência, porém, com a mesma resistividade. Essa grandeza</p><p>informa como é a resposta microscópica do meio, ou seja, qual é a densidade de corrente J quando o</p><p>meio é sujeito a um campo elétrico E. Matematicamente, tem-se esta relação microscópica:</p><p>J</p><p>E</p><p>(2)</p><p>Como, no Sistema Internacional de Unidades (SIU) as unidades de E são V/m (Volt/metro) e de</p><p>J são A/m2 (Ampère/metro quadrado),  é dado em m (ohm versus metro).</p><p>No caso de um fio uniforme de comprimento l e seção reta de área A, tem-se</p><p>l</p><p>V</p><p>E  e</p><p>A</p><p>I</p><p>J  (3)</p><p>Combinando-se as equações 2 e 3, chega-se a uma relação entre a resistência e a resistividade de</p><p>um fio uniforme, dada por</p><p>A</p><p>l</p><p>R </p><p>(4)</p><p>Medindo-se a resistência de um fio uniforme e homogêneo em função de seu comprimento, pode-</p><p>se determinar a resistividade do material de que ele é feito. Para isso, basta conhecer a área da seção</p><p>reta do fio.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Determinar a resistividade elétrica de um fio de metal.</p><p>Sugestão de material</p><p> Fio preso a um suporte, cabos para contatos elétricos, régua e ohmímetro.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>89</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Observe a montagem representada na Fig. 1.</p><p>Usando um multímetro na função ohmímetro, meça a resistência R de um trecho do fio de</p><p>comprimento l, entre o ponto de contato fixo P1 e um outro ponto variável P2. Obtenha pares</p><p>de valores para R e l em número suficiente para definir experimentalmente a relação entre essas</p><p>duas grandezas.</p><p> Faça um gráfico de R versus l e, tendo como base a equação 4, faça uma regressão linear para</p><p>obter a resistividade do fio. A área da seção reta do fio utilizado está indicada na montagem.</p><p>Figura 1 - Esquema da montagem a ser utilizada para medir a resistência R em função do</p><p>comprimento l de um fio; ao deslizar, o cursor P2 determina diferentes comprimentos l do</p><p>fio, que correspondem a diferentes valores de resistência lida no ohmímetro.</p><p>A título de ilustração, na Tabela 1, estão relacionados valores da resistividade de alguns materiais,</p><p>à temperatura ambiente.</p><p>Tabela 1. Exemplos de valores da resistividade de alguns</p><p>materiais</p><p>Material Resistividade  (10-8 .m)</p><p>Esse livro tem como base um conjunto de roteiros que vinham sendo elaborados, aprimorados há</p><p>vários anos por alguns professores do Departamento de Física da Universidade Federal de Minas</p><p>Gerais, entre os quais, os autores dessa obra. Esses textos tiveram seus conteúdos, figuras e formato</p><p>modificados, adaptados e atualizados pelos autores. Deve-se registrar, também, a participação de</p><p>monitores de graduação que contribuíram para a viabilização de vários dos experimentos propostos</p><p>nesse livro.</p><p>Em todos os experimentos, considera-se que o estudante tenha domínio dos conceitos de Física</p><p>no nível do Ensino Médio. Nos experimentos mais complexos, exige-se algum conhecimento de</p><p>Cálculo, mas, ainda assim, procura-se usar um formalismo matemático tão simplificado quanto</p><p>possível.</p><p>Esse livro apresenta um texto introdutório em que são apresentadas para o estudante informações</p><p>básicas sobre medições, avaliação de incertezas, construção e análise de gráficos, para que ele possa</p><p>apresentar os resultados na forma de relatórios com um mínimo de qualidade e rigor científico.</p><p>Os experimentos propostos estão agrupados em quatro temas: Mecânica, Termodinâmica,</p><p>Eletromagnetismo e Ondas e Óptica. Procura-se, em todos os roteiros, apresentar textos auto</p><p>consistentes de forma que os experimentos possam ser feitos mesmo por estudantes que não tenham</p><p>visto o conteúdo em uma disciplina teórica. Em algum experimento em que um formalismo mais</p><p>detalhado foi considerado mais interessante para o aluno, o conteúdo correspondente foi colocado em</p><p>um Apêndice ou indicado em uma referência bibliográfica. Dessa forma, os experimentos podem ser</p><p>realizados sem os pré-requisitos de disciplinas teóricas de conteúdo correspondente. Embora aulas</p><p>expositivas e de laboratório sejam complementares no processo de aprendizagem de um tema, a</p><p>exposição teórica não precisa, necessariamente, preceder a atividade prática. Se, por um lado, uma</p><p>exposição teórica prévia prepara o aluno para melhor compreender o conteúdo abordado em um</p><p>experimento, por outro, a realização do experimento antes da abordagem do conteúdo em uma aula</p><p>expositiva ressalta os aspectos fenomenológicos e prepara o aluno para o seu estudo formal ao</p><p>envolvê-lo com a aplicação das leis físicas relacionadas.</p><p>A primeira edição desse livro foi impressa e publicada pela Editora UFMG, em 2007, e a segunda</p><p>edição revisada, em 2009. Depois de 2014, ele passou a ser divulgado como um e-book, na internet.</p><p>Belo Horizonte, Junho de 2018</p><p>Os Autores</p><p>6</p><p>I N T R O D U Ç Ã O A O</p><p>L A B O R A T Ó R I O D E</p><p>F Í S I C A</p><p>AVALIAÇÃO E EXPRESSÃO DE MEDIÇÕES E DE SUAS INCERTEZAS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A Física – assim como todas as outras ciências – é baseada em observações qualitativas e</p><p>quantitativas e resultados das observações experimentais e das medições são a base para formulação</p><p>ou para a comprovação de teorias. São as medições realizadas em um experimento que indicam se</p><p>uma teoria é satisfatória ou não e se ela deve ser reformulada. Portanto, medições precisas são</p><p>fundamentais para o estabelecimento das leis da Física.</p><p>Medir é um procedimento experimental em que o valor de uma grandeza é determinado em termos</p><p>do valor de uma unidade que foi estabelecida por meio de um padrão. O resultado desse procedimento</p><p>– a medida da grandeza – deve conter as seguintes informações: o valor da grandeza, a incerteza</p><p>da medição e a unidade. Além disso, para que qualquer indivíduo saiba avaliar a qualidade e</p><p>reproduzir uma medição, é importante qualificar a incerteza que foi indicada, bem como descrever</p><p>como foi feita a medição. No Brasil, o sistema legal de unidades é o Sistema Internacional, ou SI (ver</p><p>Apêndice A), e as regras para a expressão dos resultados e das incertezas nas medições são definidas</p><p>pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) e pelo INMETRO (Instituto Nacional de</p><p>Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial). Neste texto, é apresentado um resumo dessa</p><p>terminologia, adaptada para ser utilizada em um laboratório de ensino.</p><p>RESULTADO E INCERTEZA DE UMA MEDIÇÃO</p><p>Não se pode medir uma grandeza física com precisão absoluta, ou seja, toda medição está sujeita</p><p>a incertezas intrínsecas que podem ser devidas ao processo de medição, aos equipamentos utilizados,</p><p>à influência de variáveis que não estão sendo medidas e, também, ao operador. É importante expressar</p><p>o resultado de uma medição de forma que outras pessoas o entendam e saibam com que precisão o</p><p>resultado foi obtido; ou seja, é importante dar uma indicação quantitativa da qualidade do resultado.</p><p>Considere-se, por exemplo, a situação em que um grupo de alunos deseja determinar o valor da</p><p>aceleração da gravidade g, medindo o tempo de queda de um objeto, de uma altura h = 20,0m. Em</p><p>uma primeira etapa, cada aluno usou um cronômetro digital, com precisão de 0,01s, que ele próprio</p><p>acionava no início, ao largar o objeto, e no final, quando o objeto tocar o chão. Eles repetem esse</p><p>procedimento muitas vezes, independentemente uns dos outros, e verificam que os valores obtidos,</p><p>em cada medição, diferem entre si. Na Figura 1, apresenta-se a distribuição dos resultados dessas</p><p>medições. Nessa distribuição, o valor obtido em cada medição está representado na abscissa e cada</p><p>barra vertical representa o número de vezes que esse valor foi encontrado (esse número é, de fato,</p><p>uma média entre o número de valores em cada intervalo de tempo considerado no eixo das abscissas;</p><p>por isto ele não é inteiro). A variação nos valores obtidos para a medida de uma grandeza é intrínseca</p><p>ao processo experimental e pode depender de vários fatores.</p><p>No exemplo dado, a variação nos valores medidos depende de como cada aluno marca o início e</p><p>final do movimento de queda do objeto e da variação na posição inicial em que o objeto foi solto.</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>8</p><p>Pode-se observar que os resultados das medições estão distribuídos em torno de ~2,02 s e que eles</p><p>variam, aproximadamente, de 1,90 s a 2,10 s. Observa-se também que há um grande número de</p><p>resultados de medidas próximos ao do valor de maior incidência e que valores mais afastados são</p><p>menos frequentes. Sempre que se efetua uma série de medições de uma grandeza, as medidas</p><p>apresentam essas características. Isso é inerente ao processo de medição.</p><p>Figura 1. Distribuição dos resultados das medições</p><p>do tempo de queda de um objeto.</p><p>Figura 2. Distribuição dos resultados das medições</p><p>do tempo realizadas com um sensor de final da queda</p><p>do objeto.</p><p>Em uma segunda etapa, os alunos modificaram o procedimento de medição do tempo de queda e</p><p>utilizaram um dispositivo que inicia automaticamente a medição do tempo no momento em que o</p><p>objeto é solto e a interrompe quando o objeto atinge um sensor sobre o solo. Com esse sistema, a</p><p>precisão das medidas melhora significativamente. Os resultados dessas medidas estão mostrados na</p><p>Figura 2, onde se observa uma dispersão bem menor dos valores obtidos. Os alunos poderiam afirmar</p><p>que, com esse processo de medição, o tempo de queda está entre 1,97 s e 2,03 s.</p><p>Em ambos os casos, é razoável afirmar que o valor médio do tempo de queda é o valor de maior</p><p>incidência, ou seja, 2,02 s pois em ambas as figuras os resultados estão distribuídos de maneira</p><p>simétrica em torno desse valor. Claramente, há uma menor dispersão dos valores no segundo caso e</p><p>isso reflete uma melhor precisão devido à forma como a medição foi efetuada.</p><p>O parâmetro associado ao resultado da medição de uma grandeza que caracteriza a dispersão dos</p><p>valores obtidos é chamado de incerteza da medição. Esse parâmetro informa o intervalo de valores</p><p>que poderiam ser atribuídos à grandeza em questão dentro de uma margem de confiança.</p><p>Os critérios e métodos de avaliação e expressão de incertezas em medições são estabelecidos</p><p>internacionalmente sob coordenação do International Committee for Weights and Measures (CIPM)</p><p>do Bureau International des Poids et Mesures (BIPM)1. No Brasil, isso</p><p>Cobre</p><p>Ouro</p><p>Alumínio</p><p>Tungstênio</p><p>Ferro</p><p>Liga cobre-níquel (Cu-Ni)</p><p>Liga níquel-cromo (Ni-Cr)</p><p>Liga Kanthal</p><p>Carbono</p><p>1,72 ± 0,01</p><p>2,44 ± 0,02</p><p>2,82 ± 0,02</p><p>5,6 ± 0,1</p><p>10,0 ± 0,3</p><p>44 ± 1</p><p>100 ± 5</p><p>139 ± 4</p><p> 3.500</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>90</p><p>RESISTÊNCIA INTERNA DE UM VOLTÍMETRO</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Ao se conectar um capacitor C com uma fonte de tensão elétrica contínua ou bateria , há</p><p>transferência de cargas de uma das placas para outra e a tensão em suas placas aumenta com o tempo,</p><p>podendo chegar a ser igual à da fonte, após um tempo suficientemente longo. Por outro lado, se um</p><p>capacitor, inicialmente carregado, é ligado a um resistor R, a carga nele acumulada tende a se escoar</p><p>através do resistor e a tensão elétrica em suas placas diminui com o tempo. Tais situações estão</p><p>ilustradas na Fig.1:</p><p>(a)</p><p>R</p><p>C </p><p>S</p><p>V</p><p>0</p><p>V</p><p>0</p><p>/2</p><p>t420</p><p>V</p><p>(t</p><p>)</p><p>(b)</p><p>R</p><p>C </p><p>S</p><p>4</p><p>V0</p><p>V</p><p>(t</p><p>)</p><p>V0/2</p><p>t20</p><p>Figura 1 – Em (a), a tensão V, em um capacitor C, aumenta com o tempo t quando ele é</p><p>ligado a uma fonte  ; em (b), estando o capacitor carregado, ao se desligar a fonte, ele se</p><p>descarrega através do resistor R; nessa situação a tensão diminui com o tempo t.</p><p>As equações que descrevem o modo como a carga no capacitor varia com o tempo nesses</p><p>processos podem ser deduzidas, aplicando-se regras de análise de circuitos aos circuitos mostrados</p><p>na Fig. 1 – ver experimento “Circuito RC”. No caso da descarga (b), a solução das equações mostra</p><p>que a tensão, nas placas do capacitor, varia com o tempo da seguinte maneira:</p><p>V t V e</p><p>t</p><p>( ) </p><p></p><p>0</p><p></p><p>. (1)</p><p>em que V0 é a tensão inicial no capacitor e c (constante de tempo capacitiva) é igual ao produto dos</p><p>valores da resistência e da capacitância: c = RC.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Determinar a resistência interna de um voltímetro.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>91</p><p>Sugestão de material</p><p> Fonte de tensão contínua, capacitor eletrolítico de alta capacitância (C ~ dezenas de mF) e</p><p>voltímetro analógico.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Nesse experimento, um capacitor é carregado até uma tensão Vo e, em seguida, devem ser</p><p>feitas medições da tensão nele em função do tempo, enquanto ele se descarrega através de um</p><p>resistor que, nesse caso, será a resistência interna do próprio aparelho de medida.</p><p>R</p><p>C</p><p>S</p><p>V</p><p>1</p><p>2</p><p>Figura 2 - O capacitor C é carregado com a tensão da fonte – chave S no ponto 2;</p><p>conectando-se a chave S no ponto 1, a descarga é feita através da resistência interna R do</p><p>aparelho de medida V.</p><p> Monte o circuito mostrado na Fig. 2. Carregue o capacitor com uma tensão compatível com</p><p>o voltímetro e o capacitor fornecidos, conectando a chave S no ponto 1. Em seguida, desligue</p><p>a fonte, mudando a posição da chave S para o ponto 2. Obtenha pares de valores de V e t em</p><p>um número suficiente para definir, experimentalmente, a relação entre essas grandezas. Antes</p><p>de realizar propriamente as medidas, simule o experimento para se acostumar com a taxa do</p><p>decaimento da tensão.</p><p> Tendo como base a equação 1, utilize processos de linearização e regressão linear para</p><p>encontrar a resistência interna do voltímetro.</p><p> Justifique por que este processo não é adequado para se medir a resistência interna de um</p><p>voltímetro digital.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>92</p><p>ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS: REGRAS DE KIRCHHOFF</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Circuitos elétricos simples formados por uma única malha podem ser analisados com base nas</p><p>regras para associações de resistores em série e em paralelo e na relação V = R I. Circuitos mais</p><p>complexos são analisados mais facilmente utilizando-se duas regras – conhecidas como Regras de</p><p>Kirchhoff – que se baseiam nas leis de conservação de energia e de carga elétrica.</p><p>Há duas definições que se fazem necessárias ao se usarem as regras de Kirchhoff: a de nó e a de</p><p>malha em um circuito. Um ponto de um circuito a que três ou mais elementos estão conectados é</p><p>denominado nó e um percurso fechado do circuito é chamado de malha. No circuito mostrado na</p><p>Fig. 1, por exemplo, os pontos B e E são nós e os percursos ABEFA, BCDEB e ABCDEFA são</p><p>malhas.</p><p>A</p><p>F</p><p>C</p><p>D</p><p>B</p><p>E</p><p>1 2</p><p>R1</p><p>2R</p><p>3R</p><p>I2</p><p>1I</p><p>3I</p><p>Figura 1 - Circuito elétrico contendo três malhas – ABEFA, BCDEB e ABCDEFA – e</p><p>dois nós – B e E. Os sentidos das correntes foram atribuídos arbitrariamente.</p><p>As Regras de Kirchhoff são as seguintes:</p><p> A soma das correntes que chegam a um nó qualquer do circuito é igual à soma das correntes</p><p>que saem desse mesmo nó (conservação de carga).</p><p> Em uma malha qualquer de um circuito, a soma das forças eletromotrizes das fontes é igual à</p><p>soma das diferenças de potencial nos demais elementos da malha – resistores, capacitores e</p><p>outros (conservação de energia).</p><p>Para analisar-se um circuito utilizando as Regras de Kirchhoff, é preciso, inicialmente, definir um</p><p>sentido arbitrário para todas as correntes no circuito. Na Fig. 1, estão indicados os sentidos atribuídos</p><p>às correntes I1, I2 e I3 , respectivamente nas resistências R1, R2 e R3.</p><p>Aplicando-se a regra dos nós para os nós B e E, obtém-se</p><p>I1 = I2 + I3. (1)</p><p>Aplicando-se a regra das malhas para as malhas ABEFA e BCDEB obtém-se, respectivamente,</p><p>1 = R1 I1 + R2 I2 e (2)</p><p>2 = – R2 I2 + R3 I3 . (3)</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>93</p><p>Resolvendo-se as equações 1, 2 e 3, obtêm-se as correntes I1, I2 e I3. Se for obtido um valor</p><p>negativo para uma determinada corrente ou para uma força eletromotriz, isso indica que o sentido</p><p>correto para ela é o oposto ao que lhe foi atribuído.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar as correntes e tensões nos resistores de um circuito por meio das regras de</p><p>Kirchhoff.</p><p>Sugestão de material</p><p> Fonte de tensão 1 = 6 VCC (tensão contínua), fonte de tensão 2 = 3 VCC; multímetro; painel</p><p>para conexões; cabo; resistores R1 = R2 = 680  e R3 = 1k.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Com o multímetro, meça as resistências de todos os resistores e as tensões das fontes. Nessas</p><p>medidas, cada elemento deve estar desconectado do circuito.</p><p> Com esses valores medidos, use as regras de Kirchhoff para calcular as correntes I1, I2 e I3 no</p><p>circuito mostrado na Fig. 1. A seguir, calcule as diferenças de potencial V1, V2 e V3 nos</p><p>resistores R1, R2 e R3.</p><p> Monte o circuito mostrado na Fig. 1. Antes de ligar as fontes, chame o professor para conferir</p><p>as ligações.</p><p> Meça as diferenças de potencial e as correntes em cada um dos resistores do circuito. Registre</p><p>essas medidas, com suas respectivas incertezas.</p><p> Compare os valores de correntes e de tensões medidos nos resistores com os valores</p><p>calculados utilizando as regras de Kirchhoff.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>94</p><p>CAMPO MAGNÉTICO DA TERRA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>O estudo do campo magnético da Terra tem interesse prático na navegação, na comunicação, na</p><p>prospecção mineral, entre outros. Esse campo tem uma configuração semelhante à de um grande ímã</p><p>em forma de barra, cujo pólo sul está próximo do pólo norte geográfico da Terra, como representado,</p><p>na Fig. 1, por meio de linhas de campo magnético.</p><p>Figura 1. Representação das linhas de campo</p><p>magnético da Terra, cuja configuração é</p><p>semelhante à de um ímã em forma de barra;</p><p>o eixo de simetria desse campo não coincide</p><p>com o eixo geográfico ou eixo de rotação.</p><p>O módulo do campo magnético da Terra varia de 20 µT a 60 µT e, devido a condições</p><p>geológicas, ele pode diferir bastante do valor esperado para um determinado local. Na maior parte</p><p>dos pontos na superfície da Terra, o campo magnético não é paralelo à superfície. Por isso, em</p><p>geral, ele é especificado por meio de suas componentes horizontal, na direção Norte-Sul, e vertical.</p><p>Pode-se determinar a componente horizontal do campo magnético da Terra em um local</p><p>superpondo-se a ele um campo magnético constante, com módulo e direção conhecidos. A</p><p>componente horizontal do campo da Terra é, então, determinada a partir da medição do campo</p><p>resultante.</p><p>O campo magnético conhecido</p><p>é produzido por duas bobinas circulares, coaxiais, ligadas em</p><p>série e separadas uma da outra por uma distância igual ao seu raio R, como ilustrado na Fig. 2.</p><p>Pode-se mostrar que, nessa configuração – conhecida como Bobina de Helmholtz –, obtém-se um</p><p>campo magnético uniforme na região central equidistante das duas e situado sobre seus eixos, e seu</p><p>módulo é dado por</p><p>R</p><p>NI</p><p>B o</p><p>55</p><p>8</p><p>, (1)</p><p>em que I é a corrente elétrica, N é o número de espiras em cada bobina e µ0 = 1,26  106 Tm/A é a</p><p>permeabilidade magnética do vácuo, que é, aproximadamente, igual à do ar.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>95</p><p>Figura 2. Duas bobinas circulares, coaxiais, ligadas em série</p><p>e separadas por uma distância igual ao seu raio, produzem um</p><p>campo magnético uniforme na região central equidistante das</p><p>duas e situado sobre seus eixos – esse arranjo é conhecido</p><p>como configuração de Helmholtz. A agulha de uma bússola,</p><p>colocada nesta região, orienta-se na direção da soma do</p><p>campo magnético das bobinas com o campo da Terra.</p><p>Considere que a Bobina de Helmholtz é posicionada sobre a mesa com seu eixo orientado na</p><p>direção Leste-Oeste. Nessa situação, o campo magnético B, no centro do arranjo das bobinas, faz um</p><p>ângulo de 90º com o campo magnético BT da Terra, como mostrado, esquematicamente, na Figura 3.</p><p>Se B=0 T, a agulha de uma bússola, colocada no centro das bobinas, orienta-se na direção da</p><p>componente horizontal de BT – a direção Norte-Sul. Para B0 T, a agulha gira de um ângulo  e</p><p>orienta-se na direção do campo resultante BR, como representado na mesma Fig. 3.</p><p>Figura 3. A componente horizontal hTB</p><p>do campo</p><p>magnético da Terra somada ao campo B da Bobina</p><p>de Helmholtz produz o campo resultante BR. A</p><p>agulha de uma bússola orienta-se na direção desse</p><p>campo. (Para facilitar a visualização, somente uma</p><p>das bobinas do arranjo é mostrada.).</p><p>Nessa situação, a componente horizontal</p><p>hTB do campo magnético da Terra pode ser obtida por</p><p>meio da relação</p><p>hT</p><p>B</p><p>tg</p><p>B</p><p> </p><p>, (2)</p><p>em que B é o módulo do campo magnético das bobinas na região onde se encontra a bússola.</p><p>Substituindo a equação 1 em 2, obtém-se</p><p>tg</p><p>C</p><p>B</p><p>I hT</p><p>(3)</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>96</p><p>em que</p><p>R</p><p>N</p><p>C o</p><p>55</p><p>8</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar o valor da componente horizontal do campo magnético da Terra.</p><p>Sugestão de material</p><p> Bússola, bobinas de Helmholtz, amperímetro, fonte de corrente contínua, suporte para bússola</p><p>e fios para ligação.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Para a obtenção de bons resultados nas medições, é importante que as bobinas sejam</p><p>colocadas longe da influência de campos magnéticos perturbadores – por exemplo, aqueles</p><p>produzidos por peças de ferro próximas ao local de medida. Para encontrar o melhor local,</p><p>mova a bússola sobre a mesa – se houver materiais magnéticos próximos, a agulha se desviará</p><p>da direção Norte-Sul.</p><p>Determine o valor médio do raio das bobinas e sua respectiva incerteza.</p><p> Coloque a bússola no centro das bobinas, sobre o suporte, como mostrado na Figura 2; oriente</p><p>a Bobina de Helmholtz para que o seu eixo fique na direção Leste-Oeste.</p><p> Neste experimento, a componente horizontal do campo magnético da Terra será determinada</p><p>variando-se a corrente nas bobinas e medindo-se, para cada valor, o respectivo ângulo  de</p><p>desvio da agulha da bússola. Faça essas medições, atentando para que a corrente máxima</p><p>permitida nas bobinas não seja ultrapassada.</p><p> Por meio de uma análise gráfica, tendo como base a equação 3, obtenha o valor de</p><p>hTB , com</p><p>sua respectiva incerteza.</p><p> Indique qual seria a informação complementar à medição feita, necessária para se determinar a</p><p>componente vertical do campo magnético da Terra.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>97</p><p>CIRCUITO RC</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Considere o circuito representado na Fig. 1 com a chave S na posição intermediária entre A e B</p><p>e o capacitor C inicialmente descarregado. Se a chave S for fechada em A, a fonte  alimentará o</p><p>circuito com uma corrente I, até que a tensão elétrica entre as placas do capacitor seja igual ao valor</p><p>da força eletromotriz da fonte (Vab máximo = ).</p><p>Figura 1. Circuito que contém uma fonte de tensão</p><p>elétrica, um resistor e um capacitor.</p><p>C</p><p>R</p><p>S</p><p></p><p>A</p><p>B</p><p>a</p><p>b</p><p>Enquanto houver corrente no circuito, cargas se acumularão nas placas do capacitor. De acordo</p><p>com a definição da capacitância C de um capacitor, em cada instante essa carga será dada por</p><p>abCVq  ,</p><p>em que Vab é a tensão elétrica entre as placas naquele instante.</p><p> Indique, no circuito, o sinal da carga em cada placa do capacitor.</p><p> Escreva a equação da regra das malhas de Kirchhoff para o circuito mostrado na Fig. 1. (veja a</p><p>introdução do experimento Análise de Circuitos Elétricos: Regras de Kirchhoff.</p><p>Com a chave S na posição A, de acordo com a regra das malhas de Kirchhoff as tensões nos</p><p>elementos do circuito são tais que</p><p>C</p><p>q</p><p>iR  .</p><p>Como i = dq/dt , essa equação pode ser escrita na forma</p><p>oudq q</p><p>R</p><p>dt C</p><p>dq q</p><p>dt RC R</p><p></p><p></p><p> </p><p> </p><p>(1)</p><p>Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para a variável q.</p><p> Mostre que</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>98</p><p> RCteCtq /1)(   , (2)</p><p>é uma solução da equação 1.</p><p>Estando o capacitor carregado, quando a chave S for colocada na posição B, o capacitor passa a</p><p>se descarregar através do resistor R. Nesse caso, com a regra das malhas de Kirchhoff, obtém-se</p><p>0 ou</p><p>0 ,</p><p>q</p><p>iR</p><p>C</p><p>dq q</p><p>dt RC</p><p> </p><p> </p><p>cuja solução é</p><p>/</p><p>/</p><p>( )</p><p>( )</p><p>t RC</p><p>t RC</p><p>o</p><p>q t C e ou</p><p>q t q e</p><p> </p><p></p><p></p><p></p><p>(3)</p><p>em que qo C é a carga inicial armazenada no capacitor.</p><p> Mostre que, no processo de descarga, a variação da tensão elétrica nos terminais do capacitor</p><p>pode ser escrita como</p><p>RC</p><p>t</p><p>oeVtV</p><p>)( , (4)</p><p>em que Vo é a tensão elétrica no capacitor no instante em que ele começa a descarregar (t = 0).</p><p>No processo de carga ou descarga do capacitor, o tempo correspondente a t = RC é chamado de</p><p>constante de tempo capacitiva do circuito e é, geralmente, representado por c.</p><p> Mostre que para esse tempo, num processo de descarga, a tensão elétrica do capacitor cai para</p><p>0,37 de seu valor inicial.</p><p> Mostre que RC tem dimensão de tempo.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Obter curvas de descarga de um capacitor em um circuito RC.</p><p> Determinar as constantes de tempo capacitivas dos circuitos analisados.</p><p>Sugestão de material</p><p> Computador com interface para aquisição de dados, sensor de tensão elétrica, fios,</p><p>capacitor de capacitância C, dois resistores R1 e R2 = 30R1 e fonte de tensão elétrica.</p><p>Valores sugeridos: C ~ 2,2 mF, R1 = 300 , e R2 =10 k e fonte de 7 V (CC).</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Escolhendo-se valores elevados de resistência e de capacitância para os respectivos elementos, a</p><p>medição de tempo pode ser feita com um cronômetro comum. Entretanto, um sistema de aquisição</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>99</p><p>automatizada de dados possibilita a obtenção de um grande número de medidas em um intervalo de</p><p>tempo menor que o possível com um cronômetro. Isso é feito por meio de um medidor de tensão</p><p>elétrica conectado a uma interface e a um computador, cujas instruções de uso devem estar junto da</p><p>montagem.</p><p>Monte o circuito representado na Figura 1 com qualquer um dos resistores. Coloque a fonte na</p><p>posição de tensão elétrica mínima – dial girado completamente no sentido anti-horário – e</p><p>deixe a chave S na posição A (processo de carga do capacitor).</p><p>Atenção: Se for utilizado um capacitor eletrolítico, ligue-o com a polaridade correta, caso</p><p>contrário ele pode explodir.</p><p> Entre no programa de gerenciamento do sistema automático de aquisição de dados.</p><p>Observando as instruções específicas para o sistema, fornecidas à parte, procure se</p><p>familiarizar com a instrumentação e seu programa de gerenciamento.</p><p> Levando-se em conta os valores de R e C utilizados e, a partir da equação 4, estime um tempo</p><p>suficiente para que a tensão elétrica</p><p>caia para cerca de um décimo de seu valor inicial. A partir</p><p>deste valor e considerando que cerca de 200 pontos definem bem seu gráfico, avalie uma</p><p>frequência de medida adequada para seu sistema e ajuste-o para trabalhar nela.</p><p> Conecte o sensor (medidor) de tensão elétrica nas extremidades do capacitor (terminais a e b</p><p>no circuito) e ajuste a saída da fonte para uma tensão elétrica de cerca de 7 V.</p><p> Estando o capacitor carregado, inicie o processo de descarga desconectando a fonte do circuito</p><p>e ligando o capacitor diretamente ao resistor – chave S na posição B. Ao mesmo tempo, inicie</p><p>a aquisição dos dados, de forma a registrar, no computador, a queda da tensão elétrica no</p><p>capacitor em função do tempo. Esse registro deve ser feito em uma tabela e pode ser</p><p>visualizado graficamente.</p><p> Utilizando um programa de construção e análise de gráficos, trace um gráfico com a curva de</p><p>descarga V versus t para o circuito. Faça uma análise dos dados experimentais mediante o</p><p>ajuste de uma curva exponencial que corresponda à equação 4. Uma análise alternativa</p><p>poderia ser feita por meio de uma linearização do gráfico seguida de uma regressão linear.</p><p> A partir dos dados do ajuste constate se a equação 4 descreve bem o processo de descarga do</p><p>capacitor e calcule, com a respectiva incerteza, a constante de tempo capacitiva do circuito.</p><p>Compare o resultado com aquele obtido ao se utilizar diretamente os valores de R e C.</p><p> Repita o procedimento com o segundo resistor. Observe que a mudança no valor da resistência</p><p>pode alterar significativamente a frequência apropriada de medida. Reajuste seu valor se</p><p>necessário.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>100</p><p>CAMPO MAGNÉTICO NO CENTRO DE UMA BOBINA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Sabe-se que uma carga elétrica em movimento ou uma corrente elétrica produz um campo</p><p>magnético em sua vizinhança. Na Figura 1, representa-se uma bobina de comprimento L, formada</p><p>por N espiras de seção reta circular de raio r. Uma corrente Io nas espiras produz um campo magnético</p><p>B cujo módulo, no centro da bobina, é dado por</p><p></p><p></p><p>cos0</p><p>L</p><p>NI</p><p>B </p><p>, (1)</p><p>em que µ é a permeabilidade magnética do meio no interior da bobina e cos  é um fator de correção</p><p>do campo, introduzido pelo fato de o comprimento da bobina ser finito (veja Fig. 1).</p><p>A permeabilidade magnética para o ar é µar  µvácuo = 1,26  10–6 Tm/A.</p><p>A direção desse campo é ao longo do eixo da bobina e seu sentido é dado pela “regra da mão</p><p>direita” (Lei de Ampère).</p><p>Figura 1. Bobina cilíndrica de comprimento L e de raio r, ligada a</p><p>uma fonte de corrente elétrica, que produz um campo magnético em</p><p>seu interior.</p><p>Sabe-se que a força que um campo magnético B exerce sobre um fio reto no qual existe uma</p><p>corrente elétrica I é dada por</p><p>F = I  x B , (2)</p><p>em que  é um vetor dirigido ao longo do fio, no sentido da corrente elétrica, com módulo igual ao</p><p>comprimento  do fio.</p><p>O módulo do campo magnético em uma região pode ser determinado por meio da medição dessa</p><p>força. Para isso, utiliza-se uma balança de corrente, como a que é mostrada na Fig. 2. Ela consiste em</p><p>uma espira retangular de lados a (largura) e  (comprimento), na qual existe uma corrente elétrica I</p><p>(veja detalhe na Fig. 2). Essa espira pode girar em torno de um eixo que está apoiado em dois suportes</p><p>verticais. Fixada nesse eixo, há, também, uma haste sobre a qual um objeto de massa m pode ser</p><p>posicionado, de forma que a espira fique em equilíbrio com o seu plano na horizontal.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>101</p><p>Figura 2 - Balança de corrente utilizada para medir o campo magnético no interior de uma</p><p>bobina. Essa balança consiste em uma espira, que pode girar em torno de um eixo; um</p><p>objeto de massa m produz um torque na haste em sentido oposto ao que é produzido pela</p><p>força magnética na espira.</p><p>Considere que essa espira é colocada no interior de uma bobina de forma que o trecho de tamanho</p><p> fique perpendicular ao campo magnético B nessa região (veja Figura 2). Nessa situação, o campo</p><p>exerce uma força sobre essa parte da espira, cujo módulo é dado por</p><p>F = I  B.</p><p> Explique por que a força magnética sobre as laterais da espira é nula.</p><p> Com base na Figura 2, indique a direção e o sentido da força magnética na espira.</p><p>Essa força produz um torque na espira cujo módulo, em relação ao seu eixo de rotação, é</p><p>= | r x F | = a I  B .</p><p>Para manter-se a espira nivelada horizontalmente, deve-se, então, produzir um outro torque com</p><p>sentido oposto. Isso pode ser feito colocando-se um objeto de massa m sobre a haste da balança a</p><p>uma distância x do eixo de rotação de forma que se satisfaça a relação</p><p>a I  B = m g x. (3)</p><p>Neste experimento, o campo magnético no centro da bobina será determinado por meio de</p><p>medições da corrente I necessária para equilibrar a espira com o objeto em diferentes posições x.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Medir o campo magnético no centro de uma bobina, utilizando-se uma balança de corrente.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>102</p><p>Sugestão de material</p><p> Balança de corrente, bobina de seção reta circular, fonte de tensão contínua para até 2 A, fonte</p><p>de tensão contínua para até 8 A, objeto de massa ~ 0,20 g, 2 amperímetros, fios para ligação</p><p>e um pequeno laser tipo caneta.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Faça a montagem representada na Fig. 2. Escolha as fontes de tensão e os amperímetros para</p><p>a bobina e para a balança de acordo com a corrente máxima permitida a cada um. Ajuste a</p><p>posição da bobina de forma que o trecho da espira com comprimento  fique no seu centro.</p><p> Na balança, há um dispositivo – não mostrado na Fig. 2 – que serve para ajustar a inclinação</p><p>da espira. Utilize-o para colocar a espira na posição horizontal quando não houver torques</p><p>sobre ela, ou seja, quando I = 0 A, e não houver qualquer objeto pendurado na haste da</p><p>balança. Essa posição de equilíbrio da espira deve ser registrada com precisão, pois será</p><p>utilizada posteriormente. Para isso, direcione o feixe de um laser sobre o pequeno espelho</p><p>que está fixado no eixo da balança, como mostrado na Fig. 3. Com a espira na horizontal,</p><p>marque a posição em que o feixe refletido atinge um anteparo o mais afastado possível da</p><p>balança.</p><p>Figura 3 - A rotação do eixo da balança é mais bem</p><p>observada por meio do desvio produzido no feixe de um</p><p>laser, após ser refletido por um espelho fixado nesse</p><p>eixo.</p><p> Ajuste a corrente elétrica I0 na bobina para um valor entre 1,0 e 1,5 A. Essa corrente produz</p><p>um campo magnético homogêneo entorno do centro da bobina.</p><p> Esse campo magnético será determinado por meio de medições da corrente I necessária para</p><p>equilibrar a espira com o objeto em diferentes posições x. Para isso, coloque o objeto de massa</p><p>m sobre a haste, a cerca de 1,0 cm do eixo da balança. Em seguida, ajuste a corrente I na espira</p><p>até que esta retorne à mesma posição de equilíbrio registrada inicialmente. Nessa condição, o</p><p>feixe do laser deve incidir na posição marcada anteriormente no anteparo.</p><p> Repita esse procedimento para diferentes posições do objeto sobre a haste.</p><p> Faça um gráfico de x versus I e, com base na equação 3, determine o melhor valor para o</p><p>campo magnético no centro da bobina, com sua respectiva incerteza.</p><p> Com base na equação 1, calcule o valor previsto para o campo magnético no interior da bobina</p><p>e compare-o com o valor medido neste experimento.</p><p> Caso um medidor de campo magnético – teslâmetro – esteja disponível, meça diretamente o</p><p>campo magnético no centro da bobina e compare com os dois valores já obtidos.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>103</p><p>LEI DE INDUÇÃO DE FARADAY</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A maior parte dos geradores de eletricidade – por exemplo, em usinas hidroelétricas ou</p><p>termoelétricas e em alternadores de automóveis – funciona com base em uma das leis fundamentais</p><p>do eletromagnetismo: a produção de uma força eletromotriz induzida devido à variação do fluxo de</p><p>um campo magnético.</p><p>A força eletromotriz </p><p>que é induzida em torno de um caminho fechado é igual à taxa de variação</p><p>do fluxo de campo magnético na área interceptada por esse caminho. Esse enunciado, conhecido</p><p>como Lei de Faraday, pode ser expresso como</p><p>Bd</p><p>dt</p><p>  </p><p>, (1)</p><p>em que B d  B A é o fluxo magnético através de uma superfície e dA é um vetor que é</p><p>perpendicular a essa superfície e tem módulo dA. Veja a Fig. 1.</p><p>O sinal negativo na equação 1 determina a polaridade da força eletromotriz induzida e tem uma</p><p>interpretação física simples, conhecida como Lei de Lenz: a polaridade da força eletromotriz induzida</p><p>é tal que tende a produzir uma corrente que cria um fluxo magnético para se opor à variação do fluxo</p><p>que a gerou.</p><p>Para o caso especial representado na Figura 1, em que uma superfície plana de área A está em um</p><p>campo magnético uniforme B, que faz um ângulo  com dA, o fluxo magnético através dessa</p><p>superfície é dado por</p><p>B = B A cos .</p><p>Figura 1 - Linhas de campo magnético através de uma superfície plana de área A</p><p>Como exemplo de aplicação da Lei de Faraday, considere as bobinas circulares representadas na</p><p>Figura 2. As duas bobinas maiores são separadas por uma distância igual a seus raios e formam um</p><p>conjunto chamado de Bobina de Helmholtz. Ligando-se a essa bobina uma fonte de corrente</p><p>alternada, produz-se, na sua região central, um campo magnético variável (no tempo) e</p><p>aproximadamente uniforme (no espaço), que pode ser escrito como:</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>104</p><p>0( ) cosB t B t ,</p><p>em que B0 é a amplitude do campo e 2 f  , sendo f a frequência de oscilação da corrente.</p><p>Figura 2 - Uma Bobina de Helmholtz, ligada a uma fonte de corrente alternada, produz</p><p>um fluxo magnético variável em seu interior. Esse fluxo dá origem a uma força eletromotriz</p><p>induzida na outra bobina (menor), cujo valor é medido com o voltímetro</p><p>Esse campo magnético produz na bobina menor, de área A e com N espiras (veja Fig. 2), um fluxo</p><p>magnético variável que é dado por</p><p>tANBt oB  coscos)( </p><p>em que  é o ângulo entre B – vetor campo magnético da Bobina de Helmholtz – e a normal ao</p><p>plano da bobina menor.</p><p> Mostre que será induzida na bobina menor uma força eletromotriz alternada dada por</p><p>0( ) sent t   ,</p><p>em que</p><p>0 0 cosNAB   .</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Verificar a indução de corrente elétrica em uma bobina devido à variação de fluxo magnético.</p><p> Medir a força eletromotriz induzida em uma bobina.</p><p>Sugestão de material</p><p> Microamperímetro analógico com zero central, diodo emissor de luz (LED), ímã, bobina com,</p><p>~1200 espiras, multímetro digital, fonte de corrente alternada, medidor de campo magnético</p><p>com sensibilidade de 0,01 mT, Bobina de Helmholtz com ~100 espiras e diâmetro de ~40 cm,</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>105</p><p>bobina com menor com diâmetro de ~10 cm e N (>3) espiras e, suporte giratório para bobina</p><p>e cabos para conexões elétricas.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Observação da corrente induzida em uma bobina</p><p> Conecte a bobina de 1200 espiras ao microamperímetro analógico. Em seguida, movimente o</p><p>ímã ao longo do eixo da bobina, aproximando-o e afastando-o dela e observe a corrente</p><p>indicada no microamperímetro. Repita esse procedimento, invertendo os polos do ímã e,</p><p>também, variando a velocidade dele em relação à bobina. Descreva suas observações e</p><p>explique-as com base nas leis de Faraday e de Lenz.</p><p> Retire o microamperímetro e conecte a bobina ao LED. Repita o procedimento descrito no</p><p>item anterior e explique o que você observa. Lembre-se de que o LED é um dispositivo que</p><p>permite corrente elétrica apenas em um sentido.</p><p>Medição da força eletromotriz induzida em uma bobina</p><p> Monte o circuito representado na Figura 2. A Bobina de Helmholtz deve ser conectada à fonte</p><p>de corrente alternada e o voltímetro, à bobina menor. Todos os cabos de conexão devem ser</p><p>trançados em pares, como mostrado nessa figura, para evitar campos magnéticos adicionais</p><p>indesejáveis.</p><p> Gire a bobina menor até alinhar o eixo dela com o da Bobina de Helmholtz. Ajuste a tensão</p><p>alternada da fonte para 14 V e, com o voltímetro, observe a força eletromotriz induzida na</p><p>bobina menor. Explique a origem dessa força eletromotriz.</p><p> Meça o valor da força eletromotriz induzida na bobina menor para diferentes ângulos  e</p><p>registre os resultados obtidos em um gráfico. Considere que, em um circuito de corrente</p><p>alternada, o voltímetro mede o valor quadrático médio da força eletromotriz – chamado de</p><p>tensão eficaz –, dado por eficaz 0 2  . (veja Apêndice H)</p><p> Por meio de uma análise gráfica dos dados adquiridos, obtenha o valor da amplitude B0 do</p><p>campo magnético induzido na bobina menor.</p><p> Com o medidor de campo magnético, meça o valor eficaz desse campo no centro da Bobina</p><p>de Helmholtz e compare-o com o valor determinado no item anterior. Observe que, assim</p><p>como no voltímetro, o medidor de campo magnético mede, para campos alternados, o valor</p><p>eficaz do campo, que é dado por eficaz 0 2B B .</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>106</p><p>DIODO SEMICONDUTOR</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Materiais semicondutores são a base de todos os dispositivos eletrônicos. Um semicondutor pode</p><p>ter sua condutividade controlada por meio da adição de átomos de outros materiais, em um processo</p><p>chamado de dopagem. Em geral, os dopantes são inseridos em camadas no cristal semicondutor e,</p><p>assim, diferentes dispositivos podem ser construídos dispondo-se adequadamente as camadas com os</p><p>diferentes dopantes.</p><p>Um diodo semicondutor consiste numa junção de uma camada de semicondutor tipo n com outra</p><p>de semicondutor tipo p. Num semicondutor tipo n, os portadores de carga – ou seja, as partículas que</p><p>participam da condução elétrica – são elétrons livres, enquanto, num semicondutor tipo p, são buracos</p><p>livres, de carga positiva. Em semicondutores dopados, os elétrons e os buracos são provenientes dos</p><p>átomos dopantes. Na junção de um material tipo n com um tipo p, os elétrons próximos à junção</p><p>difundem da região n para a p, enquanto os buracos difundem no sentido oposto. Quando esses</p><p>elétrons e buracos se encontram, eles recombinam-se, deixando, na interface, uma região com os íons</p><p>positivos e negativos dos dopantes. Essa região é desprovida de portadores de carga e é chamada</p><p>região de depleção. Os íons criam um campo elétrico, nessa região, que impede a continuidade da</p><p>difusão de elétrons e de buracos. Essa situação está representada na Fig. 1a.</p><p>Figura 1 - Em (a) representa-se a junção de um semicondutor tipo p com um tipo n.</p><p>Elétrons e buracos difundem-se através da interface, deixando apenas os íons dos dopantes</p><p>nessa região. Esses íons produzem um campo elétrico que impede a continuidade do</p><p>processo de difusão. Em (b) representa-se o símbolo de um diodo</p><p>Ao ser conectada a uma fonte de força eletromotriz, uma junção p-n permite o fluxo de corrente</p><p>apenas em um sentido – da região p para a região n. Considere a situação em que um diodo está</p><p>conectado a uma fonte de forma que a região tipo p está em um potencial mais alto que a tipo n. Essa</p><p>configuração é chamada de polarização direta. A fonte, continuamente, injeta elétrons na região n, ao</p><p>mesmo tempo em que remove outros elétrons – ou, equivalentemente, injeta buracos – na região p.</p><p>Nessa situação, o campo elétrico da fonte tem sentido oposto ao campo produzido pelos íons na região</p><p>de depleção. Essa região, então, estreita-se, facilitando o fluxo de cargas através da interface.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>107</p><p>Por outro lado, diz-se que um diodo está com polarização reversa quando a região tipo p está em</p><p>um potencial menor que a do tipo n. Nesse caso, a região de depleção alarga-se, reduzindo, então, a</p><p>corrente através do diodo.</p><p>Na Fig. 2, estão mostrados circuitos em que (a) o diodo está polarizado diretamente e (b)</p><p>reversamente. O diodo só conduz quando está com polarização direta e com uma tensão superior a</p><p>uma tensão de corte VF. Quando polarizado reversamente,</p><p>o diodo não conduz.</p><p>-</p><p>i = 0</p><p>D</p><p>V1</p><p>R</p><p>(a) Polarização direta (b) Polarização reversa</p><p>Figura 2 - Quando um diodo está alimentado com polarização direta, como em (a), pode</p><p>haver uma corrente no circuito. Em polarização reversa, como em (b), o diodo comporta-</p><p>se como uma chave aberta e não há corrente</p><p>O gráfico da corrente em um diodo semicondutor em função da tensão aplicada está esboçado na</p><p>Fig. 3.</p><p>Figura 3 - Curva característica do diodo: em polarização reversa (V < 0 no gráfico), a</p><p>corrente é praticamente nula; quando polarizado diretamente com V > VF, o aumento da</p><p>corrente segue aproximadamente uma reta, e o diodo pode ser considerado um resistor de</p><p>pequena resistência em série com uma fonte de tensão</p><p>Teoricamente, a dependência I(V) de um diodo é dada pela equação de Ebers-Moll:</p><p> 1)/(  Ts VVexpII  (1)</p><p>que, para V > 0,1 V, pode ser aproximada por</p><p>)/( Ts VVexpII  (2)</p><p>VF = ponto de</p><p>quebra ou</p><p>“joelho”</p><p>r = inverso da</p><p>inclinação</p><p>rVF</p><p>VVF</p><p>I</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>108</p><p>em que Is é uma pequena corrente, aproximadamente constante, que aparece em polarização reversa</p><p>e  é o chamado “fator de idealidade” que depende da fabricação do diodo (tipo de material, dopagem</p><p>etc.). VT é uma constante de origem térmica dada por</p><p>T</p><p>kT</p><p>V</p><p>q</p><p></p><p>em que k é a constante de Boltzmann, q é a carga do elétron e T é a temperatura absoluta (Kelvin). À</p><p>temperatura ambiente (27 oC  300 K), VT  26 mV.</p><p>Diodo emissor de luz</p><p>Há diversos dispositivos formados a partir de uma junção p-n. Um exemplo muito comum são os</p><p>LED’s, ou diodos emissores de luz (light emitting diodes). Em junções construídas com materiais</p><p>como arseneto de gálio (GaAs) ou nitreto de gálio (GaN), as recombinações de elétrons e buracos</p><p>causam a emissão de radiação eletromagnética na faixa de frequência do visível (ou próximas a ela).</p><p>Este efeito é denominado eletroluminescência e é utilizado nos LED’s, que podem ser fabricados para</p><p>emitir radiação em diferentes cores, desde o infravermelho ao ultravioleta.</p><p>O símbolo e o encapsulamento típico de um LED estão ilustrados na Figura 4.</p><p>Figura 4 - Símbolo e pinagem de um LED: a parte</p><p>superior mostra como ele é simbolizado, e a parte</p><p>inferior mostra o diodo visto por baixo com a</p><p>caracterização do anodo e do catodo.</p><p>A energia dos fótons emitidos por eletroluminescência é dada por E = hf, sendo f a frequência da</p><p>radiação emitida e h a constante Planck. Esta energia é proporcional à tensão de corte do diodo, isto</p><p>é, FVqE  , em que q = 1,6 x 10-19 C é a carga elementar. Desta forma, pode-se relacionar o</p><p>comprimento de onda da luz emitida por um LED com sua tensão de corte através da relação</p><p>FqV</p><p>hc</p><p>hf </p><p> (3)</p><p>em que c é a velocidade da luz.</p><p>A Tab. 1 mostra os elementos semicondutores utilizados, suas tensões de corte (VF) e os</p><p>comprimentos de onda da emissão luminosa predominante () de alguns LED’s. Há variações entre</p><p>os modelos comerciais.</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>109</p><p>Tabela 1. Dados típicos de LED’s comerciais</p><p>Cor Material (nm) VF (V)</p><p>Azul InGaN 470 3,6</p><p>Verde GaP 565 2,1</p><p>Amarelo GaAsP/GaP 585 2,1</p><p>Vermelho GaAIAs 660 1,8</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Observar o comportamento de um LED em polarização direta e reversa e levantar sua curva</p><p>característica I x V.</p><p> Medir o comprimento de onda da luz emitida por um LED e determinar o valor da constante</p><p>de Planck.</p><p>Sugestão de material</p><p> 1 fonte de tensão CC (0 a 25V), 2 multímetros digitais, 1 painel de ligação, cabos, 1 LED, 1</p><p>resistor de 220 , 1 espectrômetro.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Características elétricas de um LED</p><p> Atenção: todo LED tem um valor máximo de corrente permitido. Verifique qual é esse valor</p><p>para não danificar o LED.</p><p> Monte o circuito da Fig. 5 com o voltímetro, inicialmente, sobre a fonte de alimentação.</p><p>Chame o professor para conferir. Ajuste a tensão da fonte (não a do diodo!) para 5 V. Observe</p><p>a leitura do amperímetro e a luminosidade do LED. Inverta o LED no circuito e identifique</p><p>quais são as posições para polarização direta e reversa.</p><p>Figura 5. Circuito para obtenção da curva</p><p>característica do diodo.</p><p> A corrente no circuito da Figura 5 pode ser calculada por I = ( V – VF) / R. Calcule esta</p><p>corrente para os valores sugeridos na montagem da figura e compare com o valor medido para</p><p>a polarização direta.</p><p> Ajuste a fonte para a menor tensão possível e, em seguida, conecte o voltímetro aos terminais</p><p>do LED. Varie a tensão na fonte até que a tensão sobre o LED seja de, aproximadamente,</p><p>1,3 V. Varie lentamente a tensão e registre pares de valores da tensão V sobre o LED e da</p><p>EXPERIMENTOS DE ELETROMAGNETISMO</p><p>110</p><p>corrente I, tendo o cuidado em obter uma boa definição da curva nas proximidades de VF (veja</p><p>Figura 3). Evite registrar pontos para correntes acima de 10 mA.</p><p> Tendo como base a relação aproximada entre I e V (equação 2), obtenha, por meio de uma</p><p>análise gráfica, os valores das constantes Is e , com os respectivos erros e unidades.</p><p> Apenas como uma referência comparativa, a corrente de saturação reversa Is pode estar na</p><p>faixa de 10-4 a 10-17 A e o fator de idealidade, próximo de 2 (LED vermelho).</p><p> Como já foi comentado e ilustrado, para efeito de análise, pode-se considerar que o diodo é</p><p>constituído por uma fonte de tensão VF em série com uma resistência r. Ajuste manualmente</p><p>uma reta sobre a parte aparentemente retilínea da curva I x V e determine os valores de VF</p><p>e de r.</p><p>Determinação da Constante de Planck</p><p>Neste experimento será utilizado um espectrômetro simples, cujo digrama esquemático está</p><p>mostrado na Figura 6, apropriado para medir comprimento de onda de luz visível. A luz a ser</p><p>analisada entra por um orifício e incide em uma rede de difração que separa o feixe original em suas</p><p>componentes de diferentes cores. Ao se olhar dentro do espectrômetro, as raias luminosas são</p><p>visualizadas sobre uma escala pré-calibrada o que permite a leitura dos correspondentes</p><p>comprimentos de onda.</p><p>Figura 6. Espectrômetro. “A” é uma janela para</p><p>entrada de luz. Em “B” há, além de uma abertura</p><p>para observação, uma rede de difração</p><p>(transparente) refletora. Em “C” há uma escala</p><p>calibrada para a leitura do comprimento de onda.</p><p></p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>AB</p><p>C</p><p></p><p> Inicialmente, familiarize-se com o espectrômetro, observando a emissão das lâmpadas</p><p>fluorescentes. Será possível observar raias próximas a 403 nm (violeta), 435 nm (azul), 546</p><p>nm (verde) e 578 nm (amarelo). A resolução das raias pode ser melhorada ajustando-se o</p><p>tamanho do orifício para a entrada de luz.</p><p> Acenda o LED, observe a luz emitida por ele com o espectrômetro e meça o comprimento de</p><p>onda da faixa de luz predominante.</p><p> Utilizando a equação 3, determine o valor da constante de Planck. Compare com o valor</p><p>esperado (h =6,62610-34 J·s).</p><p>BIBLIOGRAFIA</p><p> SZE, S. M. Physics of Semicondutors Devices. 2. ed. New York: John Whiley, 1981. (Capítulo</p><p>12 - LED and Semicondutor Lasers)</p><p>111</p><p>E X P E R I M E N T O S D E</p><p>O N D A S</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>112</p><p>ONDAS ESTACIONÁRIAS EM UM MEIO SÓLIDO</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Ondas estacionárias em uma corda finita</p><p>Em uma corda uniforme de densidade linear de massa , submetida a uma tensão T, um pulso ou</p><p>uma onda transversal se propaga com velocidade de propagação v dada por</p><p></p><p>Tv . (1)</p><p>Para pequenas amplitudes de oscilação, essa velocidade independe da forma e da amplitude da</p><p>onda.</p><p>Duas ondas de mesmo comprimento de onda, propagando-se em direções opostas, dão origem a</p><p>ondas estacionárias. Isso ocorre, por exemplo, quando vibrações são produzidas em uma corda</p><p>esticada com as extremidades fixas, como representado na Figura 1. Nesse caso, as ondas refletidas</p><p>em cada extremidade superpõem-se àquelas que estão se propagando em sentido oposto e produzem</p><p>configurações determinadas pela condição de que, em qualquer instante, a amplitude deve ser nula</p><p>nesses</p><p>dois pontos, ou seja, as duas extremidades devem ser nodos. Para que essa situação ocorra, o</p><p>comprimento  da corda deve satisfazer a relação</p><p>  n</p><p></p><p>2 ,</p><p>em que n = 1, 2, 3,… Portanto, as frequências de oscilação dessa uma corda são dadas por</p><p>2</p><p>vv</p><p>nf </p><p> .</p><p>Figura 1. Representação dos modos n = 1, 2 e 3 das ondas estacionárias em uma corda que</p><p>tem ambas as extremidades fixas.</p><p>Essas ondas estacionárias, mostradas na Fig. 1, são chamadas de modos normais de vibração da</p><p>corda. O modo fundamental corresponde à frequência em que n = 1; o primeiro sobretom, ou segundo</p><p>harmônico, corresponde àquela em que n = 2; e assim, sucessivamente.</p><p>As ondas produzidas por vibrações de uma corda são rapidamente amortecidas, a não ser que seja</p><p>continuamente fornecida energia para manter suas amplitudes constantes. Se a corda for submetida a</p><p>uma força externa, periódica, com frequência igual à de um de seus modos normais, mesmo uma</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>113</p><p>pequena força poderá produzir ondas de grande amplitude. Esse efeito é chamado de ressonância.</p><p>Nesse caso, a força externa fornece energia à corda continuamente, e o amortecimento, causado pelo</p><p>atrito, determina a amplitude das oscilações – se o amortecimento for pequeno, a amplitude das</p><p>oscilações poderá ser muito grande.</p><p>Ondas estacionárias em uma barra</p><p>Em uma barra, podem ser produzidas vibrações tanto longitudinais quanto transversais e, na maior</p><p>parte dos casos, é difícil produzir um tipo de movimento sem o outro. As vibrações longitudinais são</p><p>semelhantes às que ocorrem em uma corda. Para uma barra longa e fina, a velocidade de propagação</p><p>de pulsos ou de ondas longitudinais é dada por</p><p></p><p>Yv</p><p>,</p><p>em que Y é o módulo de Young – uma grandeza característica de cada material – e  é a sua densidade.</p><p>Para vibrações transversais, o consequente aparecimento de torques e de forças de cisalhamento</p><p>torna a análise mais complicada. Ondas transversais de frequências diferentes propagam-se com</p><p>velocidades diferentes, ou seja, uma barra é um meio dispersivo para essas ondas.</p><p>Uma outra situação comum em que ocorre dispersão é a que se verifica na propagação da luz em</p><p>um líquido ou em um sólido – luz de diferentes cores, ou frequências, propaga-se com velocidades</p><p>diferentes e isso dá origem a efeitos como o arco-íris, por exemplo.</p><p> Cite uma evidência experimental de que não ocorre dispersão em ondas sonoras que se propagam</p><p>no ar.</p><p>Pode-se mostrar6 que uma onda transversal de frequência f se propaga em uma barra com</p><p>velocidade</p><p>kcf2v ,</p><p>em que</p><p></p><p>Y</p><p>c  , 12/dk  e d é a espessura da barra.</p><p>Se uma das extremidades da barra está fixa, os modos de vibração permitidos terão frequências</p><p>dadas por7</p><p>)(</p><p>8</p><p>,27,25,2988,2,2194,12 </p><p></p><p>kc</p><p>f</p><p></p><p>em que  é o comprimento da barra.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Produzir ondas estacionárias em uma corda, em uma barra metálica e em um aro de arame.</p><p>6 KINSLER, L. E.; FREY, A. R.; COPPENS, A. B.; SANDERS, J. V. Fundamentals of Acoustics. 3. ed., Nova York,</p><p>John Wiley & Sons, 1982.</p><p>7 Idem.</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>114</p><p> Verificar a relação entre as características desses meios e a frequência e o comprimento de onda</p><p>dessas ondas.</p><p>Sugestão de material</p><p> Gerador de áudio, vibrador, fio elástico, lâminas metálicas, aro metálico e objetos de massas</p><p>diversas.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Ondas estacionárias em uma corda</p><p>Na Fig. 2, representa-se a montagem utilizada neste experimento. Um objeto, de massa conhecida,</p><p>está dependurado em uma das extremidades de um fio elástico; esse fio passa por uma polia e tem</p><p>sua outra extremidade fixada em um vibrador mecânico. Esse vibrador é conectado a um gerador de</p><p>sinais de áudio e produz no elástico, oscilações, cujas frequência e amplitude podem ser variadas.</p><p>Figura 2 - Dispositivo utilizado para produzir ondas estacionárias em uma corda.</p><p> Pendure um objeto na extremidade do fio elástico. Varie, no gerador de áudio, a frequência</p><p>de vibração e anote todos os valores fn em que se observam ressonâncias na corda. Faça uma</p><p>tabela em que se representem um esboço da forma da onda, o índice n associado e a frequência</p><p>de ressonância de cada modo de vibração observado.</p><p> Substitua o objeto por outro de massa, aproximadamente, duas vezes maior ou duas vezes</p><p>menor que a anterior e repita as medidas.</p><p> Mediante uma análise dos gráficos de fn versus n para cada uma das situações anteriores,</p><p>obtenha as velocidades de propagação da onda. Trace as duas curvas no mesmo gráfico.</p><p>Justifique os diferentes valores obtidos com as diferentes massas.</p><p> Determine a densidade linear de massa do elástico por meio a) da equação 1 e, também, b) da</p><p>definição de densidade linear de massa  = m/. Comente sobre os valores encontrados.</p><p>Ondas estacionárias em uma lâmina</p><p> Depois de remover o fio, encaixe no vibrador o conjunto de lâminas metálicas, como ilustrado</p><p>na Fig. 3.</p><p> Varie, no gerador de áudio, a frequência de vibração, enquanto observa as lâminas metálicas.</p><p>Determine as frequências de ressonância de todos os modos normais que você consegue</p><p>observar em cada um dos dois segmentos de lâmina. Faça uma tabela com um esboço das</p><p>formas das ondas estacionárias que são observadas e das respectivas frequências de</p><p>ressonância para cada segmento.</p><p> Compare os resultados obtidos em cada segmento. Indique qual deles apresenta a menor</p><p>frequência de ressonância e explique por quê. As frequências de ressonância obtidas no</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>115</p><p>elástico esticado são múltiplas da frequência do modo fundamental. Verifique se isso é</p><p>observado também nas lâminas.</p><p> Determine, para a lâmina de maior comprimento, as razões fn/f1 entre as frequências de</p><p>ressonância de cada modo e a do modo fundamental f1 e compare-as com os valores previstos</p><p>teoricamente.</p><p>Figura 3. Vibrador mecânico, lâminas e aro metálicos usados para produção de ondas</p><p>estacionárias.</p><p>Ondas estacionárias em uma barra</p><p> Substitua o conjunto de lâminas metálicas do vibrador pelo aro metálico, como ilustrado na</p><p>Fig. 3.</p><p> Aumente, no gerador de áudio, gradativamente, a frequência de vibração, enquanto observa o</p><p>aro. Determine as frequências de ressonância de todos os modos normais que você consegue</p><p>observar. Esboce as formas das ondas estacionárias que são observadas em cada modo.</p><p> Determine a relação entre o comprimento do aro e os comprimentos de onda das ondas</p><p>estacionárias. Verifique se as frequências de ressonância são múltiplas da frequência do modo</p><p>fundamental.</p><p>lâminas metálicas</p><p>aro metálico</p><p>vibrador</p><p>trava</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>116</p><p>ONDAS ESTACIONÁRIAS EM UM TUBO</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A velocidade de propagação de uma onda mecânica depende das propriedades elástica e inercial</p><p>do meio em que a onda se propaga. Para uma onda sonora, a velocidade v de propagação é dada por</p><p>v  B</p><p> , (1)</p><p>em que a propriedade inercial é a densidade  do meio e a propriedade elástica é o seu módulo de</p><p>elasticidade volumar B (veja Apêndice no final do roteiro). A Tab. 1 mostra os valores médios de B,</p><p> e v de diferentes materiais.</p><p>Tabela 1. Valores médios do módulo de elasticidade volumar B, da densidade  e da</p><p>velocidade do som v de alguns materiais (as incertezas são menores que 10%)</p><p>Material</p><p>B</p><p>(107 N/m2)</p><p></p><p>(Kg/m3)</p><p>v</p><p>(m/s)</p><p>Ar 0C,1 atm 0,014 1,29 331</p><p>Ar 20C,1 atm 0,014 1,20 344</p><p>Ar 100C,1 atm 0,0090 0,598 386</p><p>Hélio 0C,1 atm 0,017 0,178 965</p><p>Água destilada 0,22 x 103 1,000 x 103 1497</p><p>Alumínio 7,0 x 103 2,7 x 103 5104</p><p>Ferro ~20 x 103 7,9 x 103 5130</p><p>Vidro pirex 6,2 x 103 2,32 x 103 5170</p><p> Explique por que, apesar de serem mais densos, a velocidade do som em líquidos e sólidos é</p><p>maior que em gases.</p><p>Ao se propagar em um tubo, as ondas sonoras produzem, no interior dele, regiões de compressão</p><p>e de rarefação. Refletidas nas extremidades do tubo, as ondas superpõem-se àquelas que estão se</p><p>propagando em sentido</p><p>oposto e produzem ondas estacionárias. Considere um tubo aberto em uma</p><p>extremidade e fechado na outra. O ar em volta dele comporta-se como um reservatório de pressão</p><p>constante; portanto, na extremidade aberta, há um nó de pressão. Na extremidade fechada do tubo,</p><p>por sua vez, há um antinó de pressão.</p><p>Essa descrição é aproximada, pois as ondas sonoras irradiadas a partir da extremidade aberta</p><p>produzem oscilações periódicas na pressão do ar ao seu redor. Dessa forma, o nó de pressão não está</p><p>localizado exatamente nessa extremidade, mas próximo a ela.</p><p>As configurações de ondas estacionárias são chamadas modos normais e são determinadas pelas</p><p>condições acima descritas e pela frequência da onda em questão. Na Fig. 1, estão representadas ondas</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>117</p><p>estacionárias de pressão formadas em tubos de vários comprimentos, com uma das extremidades</p><p>aberta e a outra fechada.</p><p>Figura 1 - Ondas estacionárias de pressão em um tubo que tem uma das extremidades</p><p>fechada.</p><p>Os modos normais de vibração em um tubo podem ser excitados por uma onda sonora colocada</p><p>próximo à extremidade aberta do tubo. Quando a frequência dessa onda coincidir com uma das</p><p>frequências dos modos normais do tubo, haverá ressonância, e a intensidade da onda no tubo será</p><p>máxima.</p><p>Se a frequência da fonte de onda sonora for mantida fixa, as condições de ressonância podem ser</p><p>satisfeitas variando-se o comprimento da coluna de ar no tubo. Medindo-se esses comprimentos,</p><p>pode-se determinar a velocidade de propagação do som no ar.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Verificar as condições de ressonância em um tubo.</p><p> Determinar a velocidade do som no ar.</p><p>Sugestão de material</p><p> Gerador de sinais de áudio, osciloscópio, tubo com êmbolo, alto-falante e microfone.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>A montagem utilizada neste experimento, mostrada na Fig. 2, consiste de um tubo que tem uma</p><p>das extremidades fechada por um êmbolo. O comprimento da coluna de ar no tubo pode ser alterado</p><p>movimentando-se o êmbolo. Próximo à extremidade aberta desse tubo, há um alto-falante ligado a</p><p>um gerador de sinais de áudio. Um pequeno microfone, ligado a um osciloscópio, está fixado na</p><p>extremidade de uma haste e pode ser posicionado em qualquer lugar no interior do tubo. As ondas</p><p>sonoras captadas pelo microfone são observadas no osciloscópio.</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>118</p><p>Figura 2 - Dispositivo utilizado para produzir ondas estacionárias em um tubo.</p><p> Ajuste o gerador de sinais de áudio para produzir uma onda senoidal com frequência entre</p><p>1,5 kHz e 3 kHz.</p><p> Inicialmente, posicione o microfone próximo ao alto-falante. Conecte o osciloscópio ao</p><p>microfone e ajuste-o de forma que se possa visualizar a onda sonora.</p><p> Em seguida, mova o êmbolo e determine todos os comprimentos da coluna de ar no tubo em</p><p>que se observam ressonâncias.</p><p> Nessa situação, a distância entre duas posições consecutivas do êmbolo corresponde a meio</p><p>comprimento de onda. Considerando as medidas realizadas, determine o melhor valor do</p><p>comprimento de onda da onda sonora e o melhor valor da velocidade de propagação do som</p><p>no ar.</p><p> Indique que dificuldades seriam encontradas para se realizar este experimento com ondas sonoras</p><p>de frequência muito menor ou muito maior que a utilizada.</p><p> Agora, coloque o êmbolo em uma posição em que ocorre ressonância, aproximadamente no</p><p>meio do tubo. Em seguida, mova o microfone no interior do tubo e alguns centímetros para</p><p>fora da boca do tubo e determine as posições dos nós e antinós de pressão. Esboce a forma da</p><p>onda captada pelo microfone. Determine experimentalmente a distância mais próxima da</p><p>extremidade aberta do tubo que se encontra um nó de pressão. Comente se a extremidade</p><p>fechada do tubo é um nó ou um antinó de pressão.</p><p> Utilizando-se o modelo de um gás ideal (veja o Apêndice deste experimento), pode-se</p><p>demonstrar que a velocidade do som nesse gás é dada por</p><p>M</p><p>RTv , (4)</p><p>em que R = 8,31 J/K é a constante universal dos gases;  = cp / cv é a razão entre o calor</p><p>específico medido a pressão e volume constantes, T é a temperatura; e M é a massa molecular</p><p>do gás. Para um gás ideal diatômico,   1,4 e, para o ar seco, M = 28,8 g/mol. Utilizando a</p><p>equação 4, determine a velocidade do som no ar e compare-a com o valor medido</p><p>anteriormente.</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>119</p><p>APÊNDICE: VELOCIDADE DO SOM EM UM GÁS IDEAL</p><p>O módulo de elasticidade volumar B é definido por</p><p>V</p><p>p</p><p>VB</p><p></p><p> , (A1)</p><p>em que  V é a variação no volume de um gás produzida por uma variação  p em sua pressão,</p><p>estando o gás a uma temperatura constante. É igual ao coeficiente de compressibilidade isotérmica.</p><p>Com base nas equações 1 e A1, e sabendo-se que  = m V, obtém-se</p><p> </p><p> pB2</p><p>v</p><p>(A2)</p><p>As compressões e rarefações produzidas por uma onda sonora são muito rápidas e, assim, não há</p><p>tempo para calor se transferir de uma região para outra do gás. Portanto esses processos são</p><p>adiabáticos e, nesse caso, a relação entre a pressão e o volume do gás, antes da compressão (p0,V0)</p><p>e depois dela (p, V) é dada por</p><p></p><p>00VppV </p><p>Essa equação pode ser escrita como</p><p></p><p> </p><p> 0</p><p>0</p><p>0</p><p>0 p</p><p>p</p><p>pp </p><p>.</p><p>Portanto,</p><p>0</p><p>01</p><p>0</p><p>0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>ppp </p><p></p><p> </p><p>,</p><p>em que se usou a aproximação   0 . Substituindo-se esse resultado na equação A2 e usando-se a</p><p>equação de estado de um gás ideal, p0V0 = nRT, obtém-se</p><p>M</p><p>RT</p><p>m</p><p>nRTp </p><p></p><p> </p><p>0</p><p>02</p><p>v</p><p>.</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>120</p><p>VELOCIDADE DO SOM EM METAIS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A propagação de ondas mecânicas em um meio material dá-se pela transmissão de vibrações das</p><p>partículas constituintes do meio, produzidas pela fonte geradora da onda. Quando a vibração é</p><p>paralela à direção de propagação, a onda é chamada de longitudinal. O som é um exemplo de uma</p><p>onda mecânica longitudinal. Uma onda se diz transversal quando produz vibrações perpendiculares</p><p>à direção de propagação. Além de ondas longitudinais e transversais, perturbações mecânicas em um</p><p>sólido podem produzir, também, ondas de torção.</p><p>As propriedades do meio que determinam a velocidade de propagação de uma onda mecânica são</p><p>a inércia e a elasticidade. A elasticidade do meio dá origem a forças restauradoras e a inércia</p><p>determina como o meio responde a tais forças. Em um sólido, a velocidade v de propagação de pulsos</p><p>longitudinais é dada por</p><p></p><p>Yv</p><p>,</p><p>em que Y é o módulo de Young, que caracteriza a elasticidade, e  é a densidade, que caracteriza a</p><p>inércia do meio. A Tab. 1 mostra valores de Y,  e v para alguns metais.</p><p>Tabela 1. Módulo de Young, densidade e velocidade do som para alguns</p><p>metais (as incertezas são menores que 10%)</p><p>Material Y</p><p>(1011 N/m2)</p><p></p><p>(103 kg/m3)</p><p>v</p><p>(km/s)</p><p>Alumínio 0,70 2,70 5,10</p><p>Cobre 1,25 8,96 3,56</p><p>Ferro 2,06 7,86 5,13</p><p>Aço 2,00 7,81 a 7,90 5,13</p><p>Latão 0,90 8,44 a 8,60 3,30</p><p>Nesse experimento, pretende-se medir a velocidade de propagação do som em barras metálicas.</p><p>Soltando-se uma barra verticalmente, observa-se que ela “pula” ao atingir o piso. Esse fato pode ser</p><p>explicado como se segue. Quando a barra se choca contra o piso, é produzido um pulso de compressão</p><p>na sua extremidade inferior. Esse pulso propaga-se ao longo da barra e, ao atingir a extremidade</p><p>superior dela, é refletido, retornando à extremidade inferior. O pulso, ao atingir a extremidade</p><p>inferior, restaura a forma original da barra, que, por sua vez, exerce uma força para baixo sobre o</p><p>piso. O piso, em reação, exerce uma força para cima sobre a barra, fazendo-a saltar. Durante o tempo</p><p>em que o pulso sobe e desce ao longo da barra, esta permanece em contato com o piso.</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>121</p><p>Sendo l o comprimento da barra e tc o intervalo de tempo em que esta fica em contato com o piso,</p><p>a velocidade do pulso é dada por</p><p>ct</p><p>l</p><p>v</p><p>2</p><p>.</p><p>Portanto, medindo-se l e tc, pode-se obter a velocidade do pulso.</p><p>O tempo necessário para um pulso percorrer uma barra metálica de 1 m de comprimento</p><p>é menor</p><p>que um milésimo de segundo (ver Tab. 1). Como não se consegue medir tempos dessa ordem com</p><p>um cronômetro convencional, nesse experimento essa medição será feita com base na medida do</p><p>tempo de descarga de um capacitor através de um resistor8 (veja sobre isso no experimento Circuito</p><p>RC).</p><p>A montagem utilizada nesse experimento está mostrada, esquematicamente, na Fig. 1. Ligando-</p><p>se momentaneamente a chave S, o capacitor carrega-se até atingir a tensão V0 da fonte. Depois de</p><p>solta, a barra atinge a base metálica e, durante o intervalo de tempo em que a barra permanece em</p><p>contato com a base, o capacitor descarrega-se através do resistor R. A tensão elétrica no capacitor é</p><p>indicada pelo voltímetro V.</p><p>Figura 1. Diagrama esquemático da</p><p>montagem e do circuito utilizados para medir</p><p>o tempo de contato entre a barra e a base</p><p>metálicas.</p><p>Durante a descarga, a tensão V(t) no capacitor C decresce com o tempo t de acordo com a equação</p><p>)/(</p><p>0)( teVtV  ,</p><p>em que  = RC é chamado de constante de tempo do circuito. Então, se a barra for solta sucessivas</p><p>vezes, as tensões Vi e Vf , respectivamente, antes e após cada colisão, são tais que</p><p>)/( ct</p><p>if eVV </p><p>.</p><p>8 SPEZIALI, N.L; VEAS LETELIER, E F.O; Ondas Longitudinais: Determinação da Velocidade do Som Em Metais.</p><p>Rev. Ens. de Fis. 8/1, 3-9 (1986).</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>122</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar a velocidade de propagação de um pulso longitudinal em barras de metal.</p><p>Sugestão de material</p><p> Fonte de tensão contínua, capacitor eletrolítico, resistor, multímetro digital, barras metálicas</p><p>e trena.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Nesse experimento, são sugeridas duas formas de se fazer as medições. Você pode escolher uma</p><p>delas, mas deverá argumentar sobre uma possível diferença nos resultados obtidos das duas maneiras.</p><p>Para orientar sua escolha, leia previamente os dois procedimentos.</p><p> Monte o circuito mostrado na Fig. 1.</p><p>Atenção: antes de ligar a fonte, verifique se o capacitor eletrolítico está ligado com a polaridade</p><p>correta e que a tensão da fonte está ajustada para zero volt.</p><p> Para evitar que a ponta da barra se amasse, ela deve ser solta de uma altura de, no máximo,</p><p>15 cm acima da base metálica.</p><p> Ligue a chave S para carregar o capacitor.</p><p>Procedimento I</p><p> Desconecte a chave S, anote o valor da tensão no capacitor e solte, imediatamente, a barra.</p><p>Depois de ela colidir com a base, segure-a no ar, antes que caia novamente, e anote o novo</p><p>valor da tensão. Repita esse procedimento várias vezes, anotando, a cada vez, os valores das</p><p>tensões no capacitor antes e após cada colisão. Se necessário, carregue novamente o capacitor</p><p>para fazer outras medições.</p><p> Esboce o gráfico da tensão no capacitor em função do tempo, desde o instante em que você</p><p>começou as medidas até a quarta colisão da barra com a base. Represente, no gráfico, tanto</p><p>os intervalos de tempo em que a está no ar, quanto aqueles em que ela está em contato com a</p><p>base. Explique o seu esboço.</p><p> Com os valores medidos, faça o gráfico de Vf versus Vi.</p><p>Procedimento II</p><p> Anote o valor inicial da tensão no capacitor.</p><p> Desligue a chave S e solte, imediatamente a barra. Segure-a, no ar, depois de ela colidir com</p><p>a base. Leia e anote, rapidamente, a tensão no capacitor. Solte novamente a barra, segure-a e</p><p>anote a tensão. Repita esse procedimento até que a tensão no capacitor pare de variar.</p><p> Durante cada colisão, a barra fica em contato com a base por um tempo tc. Assim, depois de</p><p>n colisões, o tempo total que a barra ficou em contato com base é ntc. Então, a tensão no</p><p>capacitor na n-ésima colisão é dada por</p><p>)/(</p><p>0</p><p>cnt</p><p>n eVV </p><p>Faça o gráfico de Vn versus n.</p><p>EXPERIMENTOS DE ONDAS</p><p>123</p><p>Análise</p><p> Para qualquer um dos procedimentos escolhidos, analise o gráfico obtido e as equações</p><p>relevantes. Proponha e faça um outro gráfico que lhe permita obter uma relação linear entre</p><p>duas variáveis; por meio de uma regressão linear, determine, então, o tempo tc de contato da</p><p>barra com a base e a velocidade de propagação do som na barra, com sua respectiva incerteza.</p><p>Compare os resultados obtidos experimentalmente com os valores apresentados na Tab. 1 e</p><p>avalie as possíveis causas de erro no resultado.</p><p> Discuta a vantagem ou desvantagem de se determinar o tempo de contato tc da barra por meio</p><p>da regressão linear de um gráfico linearizado ou por meio de um ajuste de curva exponencial.</p><p>EXPERIMENTOS DE ÓTICA</p><p>124</p><p>E X P E R I M E N T O S D E</p><p>Ó T I C A</p><p>125</p><p>INTERFERÊNCIA E DIFRAÇÃO DA LUZ</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A luz é uma onda eletromagnética; portanto é constituída por campos elétrico e magnético que</p><p>oscilam, periodicamente, no tempo e no espaço, perpendiculares entre si. A natureza ondulatória da</p><p>luz fica evidente, quando seu comprimento de onda é comparável às dimensões de obstáculos ou</p><p>aberturas existentes em seu caminho. Fenômenos de interferência e difração da luz são exemplos de</p><p>sua natureza ondulatória.</p><p>O efeito de duas ou mais ondas ao se encontrarem em um ponto do espaço, em certo instante, é</p><p>determinado pelo princípio da superposição. Se elas têm a mesma frequência e encontram-se em fase</p><p>(seus máximos coincidem), elas produzem uma onda resultante, cuja amplitude é igual à soma das</p><p>amplitudes de cada uma – nesse caso, diz-se que ocorre interferência construtiva das ondas. Por outro</p><p>lado, se as ondas, ao se encontrarem, estão fora de fase – ou seja, se o máximo de uma coincide com</p><p>o mínimo da outra –, ocorre interferência destrutiva e a amplitude da onda produzida é igual à</p><p>diferença entre as amplitudes das duas ondas.</p><p>Experiência de Young – interferência em fenda dupla</p><p>O experimento de interferência com a luz, feito pela primeira vez por Thomas Young, em 1801,</p><p>foi determinante para estabelecer-se a natureza ondulatória da luz – somente ondas podem apresentar</p><p>o fenômeno de interferência e/ou difração. Nesse experimento, uma onda plana incide sobre uma</p><p>placa opaca, que tem duas fendas estreitas e difrata-se em cada fenda, divergindo radialmente, como</p><p>mostrado na Fig. 1. As ondas provenientes de cada fenda superpõem-se e interferem construtiva ou</p><p>destrutivamente, em um certo ponto, dependendo da diferença de fase entre elas. Devido a esse efeito,</p><p>observam-se, em um anteparo colocado na frente das fendas, regiões em que a intensidade da luz é</p><p>máxima, alternadas com outras em que a intensidade é mínima, como mostrado, esquematicamente,</p><p>na Fig. 1.</p><p>Figura1. Uma onda plana de luz coerente, de</p><p>comprimento de onda , incide em uma placa, em que há</p><p>duas fendas estreitas; as ondas difratadas pelas fendas</p><p>superpõem-se e produzem, no anteparo, o padrão de</p><p>franjas claras e escuras, alternadas, mostrado</p><p>esquematicamente à direita; as cristas das ondas estão</p><p>representadas por linhas cheias.</p><p></p><p>Onda plana incidente</p><p>126</p><p>Para se obter esse padrão de interferência, com franjas claras e escuras, as ondas provenientes de</p><p>cada fenda devem ser monocromáticas – ou seja, de mesma frequência – e coerentes – ou seja, a</p><p>diferença de fase entre elas deve permanecer constante no tempo. A luz de um laser tem essa</p><p>característica tornando-se assim adequada para a obtenção de padrões de interferência.</p><p>Na Fig. 2, está representada uma onda plana que incide em uma placa com duas fendas. Nessa</p><p>figura estão indicadas a separação d entre as fendas, a distância D da placa ao anteparo e o</p><p>comprimento de onda  da luz. Considere o ponto P, situado no anteparo, em uma posição</p><p>determinada pelo ângulo . Para atingir esse ponto, as ondas provenientes de cada fenda percorrem</p><p>distâncias diferentes. Se a diferença entre essas distâncias é igual a um número inteiro de</p><p>comprimentos de onda, essas ondas chegam em fase em P e a intensidade da luz, nesse ponto, será</p><p>máxima. Se, por outro lado, a diferença entre essas distâncias é igual a um número ímpar de meios</p><p>comprimentos de onda, as ondas chegam fora</p><p>de fase em P e a intensidade, nesse ponto, será mínima.</p><p>Figura 2. A separação entre as fendas F e F’ é d e a placa</p><p>está a uma distância D do anteparo; o resultado da</p><p>interferência no ponto P depende da diferença entre as</p><p>distâncias FP e F’P.</p><p>Se D >> d, as retas FP e F’P são praticamente paralelas e a diferença entre esses dois percursos</p><p>é, aproximadamente, dsen. Assim, as condições para haver um máximo ou um mínimo de</p><p>interferência em P são:</p><p>máximos d sen = m , m = 0, 1, 2, ...</p><p>(1)</p><p>mínimos d sen = (m + ½) ,</p><p>Difração em fenda simples</p><p>Na Fig. 3, está representada uma onda plana que incide sobre uma fenda em uma placa opaca. Se</p><p>a largura dessa fenda é da ordem do comprimento de onda da luz, observam-se, no anteparo, regiões</p><p>claras alternadas com regiões escuras. Esse efeito pode se analisado de acordo com o modelo de</p><p>Huygens – cada porção da fenda atua como uma fonte de luz. As ondas provenientes de cada ponto</p><p>da fenda podem chegar ao anteparo em fase ou fora de fase, produzindo regiões respectivamente</p><p>claras ou escuras.</p><p>Considere o ponto P, situado no anteparo, em uma posição indicada pelo ângulo . Pode-se</p><p>mostrar que a condição para haver um mínimo de difração nesse ponto é dada por</p><p>a sen = m , m = 1, 2, 3, ... (2)</p><p>127</p><p>em que a intensidade I da luz no anteparo em função de  é dada por</p><p> </p><p>2</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>a</p><p>a</p><p>sen</p><p>II m , (3)</p><p>em que a é a largura da fenda e Im é a intensidade máxima observada no padrão de difração.</p><p> Verifique, com base na equação 3, que o centro do padrão de difração,  = 0, é um ponto de</p><p>intensidade máxima. Com o modelo de Huygens, tente explicar, fisicamente, por que isso ocorre.</p><p>Figura 3. Uma onda plana incide sobre uma fenda</p><p>de uma placa opaca; as ondas provenientes de cada</p><p>ponto da fenda atingem o ponto P em um anteparo</p><p>distante.</p><p>Princípio de Babinet</p><p>O padrão de difração observado quando a luz incide sobre uma abertura de qualquer forma é o</p><p>mesmo obtido quando a luz incide sobre um objeto que é o complemento da abertura: essa é uma das</p><p>formas de se enunciar o chamado princípio de Babinet. Isso quer dizer, por exemplo, que, se for</p><p>recortada uma parte de uma placa opaca, deixando uma abertura de qualquer forma, tanto a placa</p><p>quanto a parte removida, individualmente, produzirão o mesmo padrão de difração. Essa situação está</p><p>representada esquematicamente na Fig. 4. Esse resultado não se aplica a pontos situados na região</p><p>central do anteparo – sombra geométrica do objeto.</p><p>Figura 4 - Princípio de Babinet: a figura de</p><p>difração produzida por uma abertura é a mesma</p><p>que a produzida por seu complemento em</p><p>qualquer ponto P, situado fora da região central.</p><p>P</p><p>P</p><p>128</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Analisar padrões de difração e de interferência da luz.</p><p> Determinar a largura e a separação entre fendas a partir dos padrões de interferência e de</p><p>difração produzidos por elas.</p><p> Determinar a espessura de um fio de cabelo por meio do padrão de difração que ele produz.</p><p>Sugestão de material</p><p> Laser de He-Ne, lâmina com fendas e orifícios de várias dimensões, suporte para lâmina,</p><p>anteparo, trena, detector de luz, computador com interface para aquisição de dados.</p><p>A montagem utilizada nesse experimento está mostrada na Fig. 5. A luz emitida por um laser</p><p>passa por uma determinada abertura em uma lâmina e produz um padrão de interferência/difração</p><p>sobre um anteparo. A lâmina consiste de um filme fotográfico que contém fendas e orifícios de</p><p>diversas dimensões, como mostrado na Fig. 6. O feixe de laser pode ser direcionado para a fenda</p><p>escolhida.</p><p>Figura 5 – Montagem utilizada para os</p><p>experimentos de interferência e de difração.</p><p>a</p><p>r n = 4 n = 82 r</p><p>d = 2 a</p><p>2 a</p><p>d = 3 a</p><p>3 a</p><p>d = 4 a</p><p>4 a</p><p>?</p><p>Figura 6. Reprodução ampliada da lâmina</p><p>utilizada nos experimentos de interferência e de</p><p>difração.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>ATENÇÃO: nunca olhe diretamente para o feixe do laser, pois isso poderá causar danos sérios</p><p>e permanentes na sua retina.</p><p>Determinação da largura de uma fenda retangular</p><p> Faça a montagem ilustrada na Fig. 5. Coloque o suporte das fendas próximo ao laser e o</p><p>anteparo, no lado oposto. Meça a distância da fenda ao anteparo. Direcione o feixe do laser</p><p>para a fenda identificada com um "a" na lâmina mostrada na Fig. 6.</p><p> Prenda uma folha de papel sobre o anteparo e, cuidadosamente, copie nela a figura de difração</p><p>observada. Todas as análises posteriores serão feitas com base nas anotações contidas nessa</p><p>folha, portanto faça-as com cuidado e atenção.</p><p>129</p><p> Posicione a fenda identificada como “2a” na frente do feixe do laser. Para registrar a figura</p><p>observada na mesma folha de papel, desloque a folha verticalmente, de cerca de 2 cm, e copie</p><p>nela a figura de difração observada.</p><p> Compare as duas figuras de difração registradas no papel e discuta as seguintes questões:</p><p>o Qual das fendas produz uma figura de difração com o máximo central mais largo? Por</p><p>que?</p><p>o Considerando a tendência observada nas figuras registradas, como deverá ser a figura de</p><p>difração se a fenda for mais estreita? E, se ela for mais larga? Verifique se suas conclusões</p><p>estão de acordo com a equação 2.</p><p> Na figura de difração que você desenhou para a fenda “a”, meça as distâncias dos quatro</p><p>primeiros mínimos de intensidade ao centro do padrão de difração ( = 0). Sugestão: Para</p><p>minimizar erros, meça a distância entre dois mínimos simétricos em relação a  = 0 e calcule</p><p>a média desses valores. Em uma tabela, anote essas medidas e os índices m correspondentes</p><p>a cada mínimo (veja equação 2). Com base nesses resultados, determine o melhor valor para</p><p>largura da fenda “a”.</p><p>Interferência em fenda dupla</p><p> Direcione o feixe do laser para a fenda dupla identificada na lâmina como “d = 2a” (veja</p><p>Fig. 6). Prenda novamente a mesma folha sobre o anteparo e, cuidadosamente, copie nela,</p><p>abaixo das figuras de difração, a figura de interferência observada.</p><p> Posicione a fenda dupla identificada como “d = 3a” na frente do feixe do feixe de laser.</p><p>Desloque a folha de papel e copie, abaixo da figura anterior, a figura de interferência</p><p>observada.</p><p> Qual das duas fendas duplas produz um padrão com os máximos de intensidade mais</p><p>próximos um do outro? Por que isso acontece?</p><p> Como as fendas têm uma certa largura, a figura observada no anteparo consiste de um padrão</p><p>de difração superposto com um padrão de interferência. O primeiro depende da largura das</p><p>fendas e o segundo, da separação entre elas. Para verificar isso, compare as duas figuras de</p><p>interferência com a figura de difração que foi obtida com a fenda simples "a".</p><p> Identifique, nas figuras de interferência, os mínimos de intensidade que são devidos à</p><p>difração.</p><p> Para o padrão de interferência obtido com a fenda dupla “d = 2a”, meça as distâncias dos três</p><p>primeiros mínimos de intensidade ao centro do padrão de interferência (=0). Em uma tabela,</p><p>anote essas medidas e os índices m correspondentes (veja equação 1). Com base nesses</p><p>resultados, determine o melhor valor para a separação entre as fendas.</p><p>Medida da espessura de um fio de cabelo por meio do padrão de difração produzido por ele</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Substitua o suporte para as fendas por outro a que possa prender um fio de cabelo.</p><p> Prenda um fio de cabelo ao suporte; alinhe-o adequadamente com o laser até observar um</p><p>padrão de difração no anteparo.</p><p>130</p><p> Na folha em que foram traçados os padrões anteriores, registre o padrão de difração produzido</p><p>pelo fio de cabelo.</p><p> Determine o diâmetro do fio de cabelo.</p><p>131</p><p>INTERFERÔMETRO DE MICHELSON</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A luz é constituída de campos elétrico e magnético oscilantes se propagam no espaço como ondas.</p><p>Quando duas ondas de luz se encontram no espaço, esses campos eletromagnéticos se superpõem e o</p><p>campo resultante é determinado pela soma vetorial dos campos de cada onda. Essa</p><p>superposição de</p><p>ondas é chamada de interferência.</p><p>Quando as duas ondas se originam de uma mesma fonte, pode haver uma correlação entre as fases</p><p>dos campos oscilantes e, nesse caso, em determinados pontos do espaço as ondas podem se superpor</p><p>em fase – crista com crista ou vale com vale –, produzindo uma onda resultante com amplitude igual</p><p>à soma das amplitudes de cada onda. Esses pontos aparecem mais brilhantes para um observador. Em</p><p>outros pontos do espaço, essas ondas podem se encontrar fora de fase – crista com vale. Nesses</p><p>pontos, a amplitude é igual à diferença entre as amplitudes das duas ondas e a região correspondente</p><p>será escura ou menos brilhante.</p><p>O fenômeno de interferência é uma evidência da natureza ondulatória da luz e os dispositivos que</p><p>permitem observar esse efeito são chamados de interferômetros. Alguns desses dispositivos são</p><p>usados para medir o comprimento de onda da luz ou para medir distâncias extremamente pequenas,</p><p>menores que o comprimento de onda da luz. Em 1881, Albert A. Michelson construiu um</p><p>interferômetro para testar a existência do éter – um meio hipotético em que a luz se propagaria. Seus</p><p>trabalhos foram cruciais para demonstrar que essa hipótese não era viável, contribuindo, assim, para</p><p>consolidar a posição, hoje aceita, de que a luz é uma onda que não necessita de um meio para se</p><p>propagar.</p><p>Neste experimento, o interferômetro de Michelson, mostrado na Fig. 1 será utilizado para medir</p><p>o comprimento de onda da luz de um laser e o índice de refração do ar. Nesse dispositivo, o feixe de</p><p>luz de um laser incide sobre um divisor de feixe com um ângulo de 45º. Esse divisor consiste de um</p><p>espelho semitransparente, que reflete metade da intensidade da luz incidente e transmite o restante.</p><p>O feixe que é refletido se propaga em direção ao espelho E1 e o outro, que foi transmitido, se propaga</p><p>em direção ao espelho E2. Esses espelhos refletem os feixes de volta ao divisor de feixe onde,</p><p>novamente, metade da intensidade da luz proveniente do espelho E1 é transmitida em direção ao</p><p>anteparo e a outra metade, proveniente do espelho E2, é refletida também em direção ao anteparo. A</p><p>superposição desses feixes no anteparo produze um ponto brilhante ou escuro dependendo de se eles</p><p>chegam, respectivamente, em fase ou fora de fase. Como os dois feixes se originam de uma mesma</p><p>fonte, inicialmente, eles estão em fase. Ao se superporem em qualquer ponto da tela, a diferença de</p><p>fase entre eles depende da diferença entre os caminhos percorridos por cada um até a tela.</p><p>132</p><p>Figura 1 - Interferômetro de Michelson. O feixe de luz de um laser incide sobre um divisor</p><p>de feixe e se divide em dois: o feixe transmitido vai em direção ao espelho móvel E1,</p><p>enquanto o feixe refletido vai em direção ao espelho fixo E2. Nesses espelhos, os dois feixes</p><p>são refletidos de volta ao divisor de feixe para, então, se superporem sobre o anteparo,</p><p>produzindo anéis circulares de interferência.</p><p>Colocando-se uma lente divergente na frente do laser, o feixe de luz se expande na forma de um</p><p>cone de luz, que dá origem a um padrão de anéis claros e escuros sobre a tela, como mostrado na Fig.</p><p>1.</p><p>No interferômetro, o espelho E1 pode ser deslocado perpendicularmente ao feixe incidente, por</p><p>meio de um micrômetro e, dessa forma, é possível alterar a distância percorrida pelo feixe de luz até</p><p>esse espelho. Sejam L1 e L2, respectivamente, as distâncias dos espelhos E1 e E2 ao divisor de feixe.</p><p>Depois de passar pelo divisor, cada feixe de luz percorre essas distâncias duas vezes. Portanto, a</p><p>diferença de caminho percorrido pelos dois feixes é d = 2(L1  L2). Quando essa diferença for igual a</p><p>um número inteiro m de comprimentos de onda , as duas ondas chegarão ao centro do anteparo em</p><p>fase e produzirão uma franja brilhante, ou seja,</p><p>2d = m , m = 0,1,2,...</p><p>é a condição para uma interferência construtiva.</p><p>Então, deslocando-se gradativamente o espelho E1 observa-se que as franjas sobre o anteparo se</p><p>alternam, sucessivamente, de claro para escuro. Cada vez que uma franja clara se torna escura e clara</p><p>novamente, o espelho terá se deslocado de 2d. Dessa forma, medindo-se d e contando-se o número</p><p>de vezes que as franjas se alternam, o comprimento de onda da luz pode ser determinado.</p><p>O interferômetro de Michelson também pode ser usado para se determinar o índice de refração</p><p>de um gás em função da sua pressão. Isso pode ser feito colocando-se no caminho de um dos feixes</p><p>uma câmara transparente preenchida com o gás, como mostrado na Fig. 2.</p><p>133</p><p>Figura 2. Uma câmara transparente é colocada no caminho de um dos feixes do</p><p>interferômetro.</p><p>Nesse caso, a luz que atravessa a câmara tem o seu caminho ótico alterado em relação ao feixe</p><p>que percorre a mesma distância fora da câmara. Isso acontece se o gás contido na câmara for diferente</p><p>do ar ou, mesmo sendo ar, se sua pressão for diferente. Isso acontece porque o índice de refração de</p><p>um gás também varia com a pressão.</p><p>Considere que o comprimento de onda da luz no gás à pressão p é (p). Mostre que o índice de</p><p>refração n do gás à pressão p é dado por</p><p>0( )</p><p>( )</p><p>n p</p><p>p</p><p></p><p></p><p></p><p>em que 0 é o comprimento de onda da luz no vácuo.</p><p>O feixe de luz passa duas vezes através da câmara, que tem espessura d. Então, o número de</p><p>comprimentos de onda contidos na distância 2d é</p><p>0</p><p>2 2 ( )</p><p>( )p</p><p>d d n p</p><p>m</p><p>p </p><p> </p><p>.</p><p>Portanto, uma alteração na pressão do gás na câmara que está em um dos ramos do interferômetro</p><p>produz um efeito semelhante ao de se alterar a diferença de caminho entre os feixes. Considere que,</p><p>ao variar a pressão do gás na câmara, um número de franjas m se alterna de claro-escuro-claro,</p><p>devido à variação n no índice de refração. Então,</p><p>0</p><p>2</p><p>m</p><p>n</p><p>d</p><p>  </p><p>.</p><p>Considere, também, que o índice de refração do gás varia linearmente com a pressão, ou seja,</p><p> 0 0( ) ( ) n</p><p>n p n p p p</p><p>p</p><p>  </p><p> .</p><p>Para p0 = 0, n(0) = 1, que é o índice de refração do vácuo, portanto</p><p>( ) 1</p><p>2</p><p>o m</p><p>n p p</p><p>d p</p><p>  </p><p> .</p><p>134</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar o comprimento de onda da luz de um laser.</p><p> Determinar o índice de refração do ar em função da pressão.</p><p>Sugestão de material</p><p> Laser de He-Ne, interferômetro de Michelson, câmara transparente e bomba de vácuo.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Atenção: Nesse experimento, são utilizados componentes óticos muito delicados. Os espelhos são</p><p>metalizados na superfície frontal e podem ser facilmente danificados se tocados.</p><p>NÃO toque e nem tente limpar a superfície de nenhum dos componentes!</p><p>Medição do comprimento de onda da luz de um laser</p><p> O interferômetro deve estar montado como mostrado na Fig. 3. Identifique, na montagem,</p><p>todos os componentes mostrados nessa figura. Nesse experimento, a câmara de vácuo não é</p><p>necessária e deve ser removida. Ligue o laser e verifique se aparecem os anéis de interferência</p><p>sobre o anteparo. Se não forem observados anéis, deverá ser feito o realinhamento dos</p><p>componentes óticos do interferômetro. As instruções para isso devem estar junto ao</p><p>equipamento.</p><p> Para deslocar o espelho E1, gire, lentamente, o tambor do micrômetro. Descreva o que você</p><p>observa. Meça o deslocamento do espelho E1 que é necessário para se observar a passagem</p><p>de 100 franjas de interferência por uma marca feita sobre o anteparo. Com esse resultado,</p><p>determine o comprimento de onda da luz do laser e sua respectiva incerteza. Compare o valor</p><p>obtido com o que é especificado pelo fabricante do laser.</p><p>Medição do índice de refração do ar em função da pressão</p><p> Coloque a câmara transparente no percurso do feixe de luz entre o divisor de feixe e um dos</p><p>espelhos, como mostrado na Fig. 3. Caso não esteja especificada, meça a espessura da câmara.</p><p> Utilizando a bomba de vácuo, retire, lentamente, o ar do interior da câmara. Explique o que</p><p>você observa com relação às franjas de interferência sobre o anteparo.</p><p> Preencha a câmara novamente com ar. Lentamente, bombeie o ar para fora, enquanto conta</p><p>é estabelecido pelo o</p><p>INMETRO, que traduziu o documento produzido pelo BIPM, Évaluation des données de mesure –</p><p>Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure – GUM 2. O GUM trata o problema de incertezas</p><p>1 Ver www.bipm.org/en/committees/cipm/.</p><p>2 Guia para Expressão da Incerteza de Medição, 3ª Ed. Brasileira, ABNT, INMETRO, Rio de Janeiro, 2003,</p><p>www.inmetro.gov.br/inovacao/publicacoes/gum_final.pdf.</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>9</p><p>de uma maneira bastante rigorosa e completa e é um documento de grande importância para</p><p>laboratórios de metrologia. O rigor descrito no GUM deve ser respeitado sempre que for necessário</p><p>preencher uma ou mais das condições seguintes:</p><p> manter o controle da qualidade e a garantia da qualidade na produção;</p><p> respeitar e fazer cumprir leis e regulamentos;</p><p> conduzir pesquisa básica, pesquisa aplicada e desenvolvimento na ciência e na engenharia;</p><p> calibrar padrões e instrumentos e executar ensaios no contexto de um sistema nacional de</p><p>medição de forma a obter rastreabilidade a padrões nacionais;</p><p> desenvolver, manter e comparar padrões físicos de referência, nacionais e internacionais,</p><p>incluindo materiais de referência.</p><p>Dependendo do método utilizado para expressar o valor da incerteza de uma medição, ela pode</p><p>ser qualificada, de maneira resumida, em duas categorias:</p><p>Incerteza tipo A: a incerteza é avaliada por meio de uma análise estatística de muitas medidas;</p><p>Incerteza tipo B: a incerteza é avaliada por meio de métodos não estatísticos, quando não se</p><p>dispõe de observações repetidas.</p><p>Avaliação da Incerteza tipo A</p><p>Nessa avaliação, a incerteza é calculada com base em um grande número de valores obtidos em</p><p>medições de uma mesma grandeza. Considere que uma medição foi repetida n vezes, nas mesmas</p><p>condições, obtendo-se os valores x1, x2, ... xn. Nesse caso, estabelece-se que a melhor estimativa para</p><p>a medida é dada pela média aritmética x dos valores obtidos, ou seja,</p><p>1</p><p>1 n</p><p>i</p><p>i</p><p>x x</p><p>n </p><p> </p><p>,</p><p>e a incerteza padrão da medição é definida como o desvio padrão u da média das medidas, dado por</p><p> </p><p>1</p><p>22</p><p>1</p><p>1</p><p>( 1)</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>u x x</p><p>n n </p><p> </p><p>   </p><p></p><p>.</p><p>Exemplo 1</p><p>Considere que um aluno fez um conjunto</p><p>de 8 medições do tempo t de queda de um</p><p>objeto. Os valores obtidos estão mostrados na</p><p>tabela bem como o valor da média do tempo e</p><p>a média do valor absoluto da diferença entre</p><p>cada medida e a média.</p><p>medida ti (s) |ti - <t>| (s)</p><p>1 2,06 0,0425</p><p>2 1,96 0,0575</p><p>3 2,00 0,0175</p><p>4 2,03 0,0125</p><p>5 2,05 0,0325</p><p>6 2,04 0,0225</p><p>7 1,99 0,0275</p><p>8 2,01 0,0075</p><p>média 2,0175 0,0275</p><p>O valor médio t é a média aritmética dos valores observados</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>10</p><p> 2,01 + 1,99 + 2,04 + 2,05 + 2,03 + 2,00 + 1,96 + 2,06</p><p>8</p><p>11</p><p>1</p><p> </p><p></p><p>n</p><p>i</p><p>itn</p><p>t = 2,0175 s</p><p>A incerteza u(t) no tempo de queda é igual ao desvio padrão da média,</p><p> </p><p>1</p><p>2 2</p><p>1</p><p>1 0,01191</p><p>( 1)</p><p>n</p><p>i</p><p>i</p><p>u t s</p><p>n n </p><p> </p><p>     </p><p></p><p>Portanto, o valor do tempo de queda do objeto deve ser escrito como 3</p><p>t = (2,02 ± 0,01) s.</p><p>Avaliação da Incerteza Tipo B</p><p>Quando o número de medições realizadas é pequeno e, portanto, não é possível se estimar a</p><p>incerteza com base em um cálculo estatístico, a determinação da incerteza deve ser feita assumindo</p><p>uma distribuição de valores possíveis com base em todo conhecimento e informações que possam</p><p>contribuir para avaliar a variação da quantidade medida. Assim, para a estimativa da incerteza, uma</p><p>pessoa pode usar dados de medições anteriores, o conhecimento sobre os instrumentos e materiais</p><p>utilizados, as especificações do fabricante e os dados de calibração dos instrumentos. Portanto, essa</p><p>avaliação tem uma certa subjetividade. Em alguns casos, essas informações podem permitir ao</p><p>operador inferir uma distribuição aproximada para as medidas, cujo desvio padrão aproximado deve</p><p>ser usado como uma estimativa para a incerteza padrão da medição.</p><p>Exemplo 2</p><p>Considere que um objeto de massa m foi colocado sobre uma balança que apresentou uma leitura</p><p>de 93 g. A única informação disponível sobre a balança era “erro máximo = 4g”.</p><p>Nessa situação, o resultado da medição da massa do objeto pode ser</p><p>m = (93 ± 4)g .</p><p>Há casos em que a única informação que se tem sobre a medição de uma grandeza x é que o seu</p><p>valor se situa entre os limites x e x+. Nesse caso, é aceitável supor que x pode assumir qualquer</p><p>valor dentro desse intervalo com igual probabilidade, ou seja, a chance de se medir o valor de x no</p><p>intervalo entre x– e x+ é um e será zero fora desse intervalo, que corresponde a uma distribuição</p><p>retangular.</p><p>Em casos como este, o valor mais provável da grandeza x é a média das medidas e a incerteza</p><p>pode ser o desvio padrão dessa distribuição retangular, dados respectivamente por</p><p>2</p><p>x x</p><p>x    e</p><p>2 3</p><p>x x</p><p>u   </p><p>3 Conforme detalhado posteriormente, a incerteza deve ser escrita com apenas um algarismo significativo e ela</p><p>determina o número de algarismos da medida.</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>11</p><p>Exemplo 3</p><p>Na Figura 3, está mostrado um voltímetro analógico</p><p>usado para medir uma tensão elétrica. Devido a flutuações</p><p>na tensão, observa-se que o ponteiro do aparelho oscila,</p><p>aproximadamente, entre V = 12,5V e V+ = 14,0V. Usando-</p><p>se esses valores como limites para uma avaliação da</p><p>incerteza Tipo B, obtém-se</p><p>2</p><p>V V</p><p>V    13,25 V, e</p><p>0,43V</p><p>2 3</p><p>V V</p><p>u   </p><p>Assim, o resultado da medição dessa tensão é (13,3  0,4)V.</p><p>Figura 3. Voltímetro analógico durante a</p><p>medição de uma tensão elétrica.</p><p>Exemplo 4</p><p>Na Figura 4, está mostrado um</p><p>osciloscópio sendo usado para medir a tensão</p><p>elétrica em um indutor. Devido a ruídos no</p><p>circuito, a amplitude do sinal registrado não é</p><p>estável. Observando-se o sinal na tela, pode-se</p><p>estimar que a tensão pico-a-pico está entre</p><p>4,3 divisões e 5,5 divisões (cada divisão vale</p><p>0,1 V). Usando-se esses valores como limites</p><p>para uma avaliação da incerteza Tipo B</p><p>obtém-se</p><p>5,5 4,3 0,1V 0,49 V</p><p>2 divisão</p><p>V</p><p>  </p><p>e</p><p>5,5 4,3 0,1V 0,035V</p><p>divisão2 3</p><p>u</p><p>  </p><p>Portanto, o resultado da medição dessa tensão</p><p>pico-a-pico é de (0,49  0,04) V.</p><p>Figura 4. Sinal observado na tela de um osciloscópio.</p><p>Devido a ruídos, a tensão pico a pico do sinal oscila entre</p><p>os limites indicados pelas barras brancas.</p><p>Como escrever o resultado de uma medição</p><p>Em toda medição é importante se expressar o resultado com o número correto de algarismos</p><p>significativos. Inicialmente, é preciso lembrar as seguintes regras sobre algarismos significativos:</p><p> os algarismos zeros escritos à esquerda do primeiro algarismo não nulo não são significativos.</p><p>Exemplo: 0,0034 m = 3,4 mm. Em cada uma dessas medidas há apenas dois algarismos</p><p>significativos (3 e 4).</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>12</p><p> todo algarismo zero escrito à direita de um algarismo não nulo é significativo.</p><p>Exemplo: 0,003400 m = 3,400 mm. Em cada uma dessas medidas há quatro algarismos</p><p>significativos (3 e 4 e os dois últimos zeros).</p><p> quando utilizada em uma medida, a potência de 10 não altera o número de algarismos</p><p>significativos.</p><p>Exemplo: 0,0034 m = 3,4 mm = 3,4103 m = 3,4103 µm</p><p>Em cada uma dessas medidas há apenas dois algarismos significativos (3 e 4).</p><p>Para se apresentar corretamente o resultado de uma medição devem ser observadas estas três</p><p>regras:</p><p> A incerteza deve ser arredondada de forma a ter apenas um algarismo significativo.</p><p> A incerteza incide sobre o último algarismo significativo da medida, ou seja, é a incerteza que</p><p>determina o número de algarismos significativos de uma medida.</p><p> O resultado de uma medição deve ser escrito na forma (veja outras formas no exemplo que</p><p>segue):</p><p>(valor da grandeza  incerteza da medição) [unidade]</p><p>No Exemplo 1, depois de realizadas as várias medições, obteve-se o tempo médio de queda do</p><p>objeto de 2,0175 s com</p><p>o</p><p>número m de franjas que passam pela marca de referência em função da pressão p do gás na</p><p>câmara. Faça o gráfico de m em função de p. Determine a equação de n (p) e, em seguida, o</p><p>valor do índice de refração do ar à pressão atmosférica, com sua respectiva incerteza.</p><p>135</p><p>LENTES E ESPELHOS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A luz é uma onda eletromagnética e interage com a matéria por meio de seus campos elétrico e</p><p>magnético. Nessa interação, podem ocorrer alterações na velocidade, na direção de propagação, na</p><p>intensidade e na polarização da luz. Esses fenômenos são descritos pelas equações de Maxwell, mas,</p><p>em muitas situações, uma análise baseada nesse formalismo pode ser bastante complexa. Alguns</p><p>fenômenos associados à propagação da luz podem ser descritos, de forma mais simples, pela óptica</p><p>geométrica.</p><p>Nesse escopo, fenômenos tais como a refração e a reflexão são descritos usando-se o conceito de</p><p>raios de luz – linhas perpendiculares às frentes de onda, que indicam a direção de propagação da luz.</p><p>A óptica geométrica é válida somente em situações em que as dimensões dos objetos com que a luz</p><p>interage – por exemplo, lentes, espelhos ou anteparos – são muito maiores que o comprimento de</p><p>onda da luz.</p><p>O tipo e a posição da imagem de um objeto, formada por um espelho esférico de pequena abertura,</p><p>é determinada pela equação</p><p>1 1 1</p><p>o i f</p><p>  , (1)</p><p>em que f é a distância focal do espelho e o e i são, respectivamente as distâncias dele ao objeto e à</p><p>imagem. Por essa mesma equação, determinam-se, também, o tipo e a posição da imagem de um</p><p>objeto formada por uma lente fina. Para a utilização dessa equação, devem-se observar as seguintes</p><p>convenções de sinais:</p><p>i > 0 – para imagens reais,</p><p>i < 0 – para imagens virtuais,</p><p>f > 0 – para espelhos côncavos e para lentes convergentes,</p><p>f < 0 – para espelhos convexos e para lentes divergentes.</p><p>É comum caracterizar-se uma lente por seu grau, ou dioptria, que é dado pelo inverso de sua</p><p>distância focal em metros. Assim, uma lente de grau +5 , ou +5 dioptrias, é uma lente cuja distância</p><p>focal é igual a (1/5)m = 0,2 m, ou 20 cm.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar a distância focal de espelhos e lentes.</p><p>136</p><p>Sugestão de material</p><p> Trilho para montagem dos elementos ópticos; fonte de luz com objeto; duas lentes</p><p>convergentes e uma lente divergente; espelhos plano, côncavo e convexo; anteparo; suportes</p><p>para lentes, espelhos e anteparo.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Neste experimento, serão analisadas as imagens de um objeto formadas por alguns elementos</p><p>ópticos e determinadas as distâncias focais de lentes e de espelhos. O objeto pode ser uma abertura</p><p>de qualquer forma em um material opaco, ou um desenho em uma folha transparente, iluminado por</p><p>uma lâmpada. As lentes, espelhos e anteparo são montados em suportes que podem ser deslocados</p><p>horizontalmente, ao longo de um trilho.</p><p>Atenção: Nesse experimento, são utilizados componentes óticos muito delicados.</p><p>Entre os elementos ópticos fornecidos, procure identificar, apenas pela observação, os espelhos</p><p>côncavo e convexo e as lentes divergente e convergente.</p><p>NÃO toque e nem tente limpar a superfície de nenhum dos componentes!</p><p>Determinação da distância focal de uma lente convergente usando diretamente a equação 1</p><p> Represente, em um diagrama, um objeto, uma lente convergente, os raios luminosos e a</p><p>imagem em uma situação em que ela é real.</p><p> Coloque a lente convergente de maior distância focal fornecida no suporte, sobre o trilho;</p><p>alinhe-a com o objeto e com o anteparo. Inicialmente, posicione o objeto na maior distância</p><p>possível do anteparo. Mova a lente entre os dois, até obter uma imagem nítida no anteparo.</p><p>Registre os valores das distâncias imagem–lente (i) e objeto–lente (o) obtidos. Repita essa</p><p>operação para diferentes distâncias objeto–anteparo e registre os respectivos valores de i e de</p><p>o.</p><p> Mediante a análise de um gráfico de 1/i versus 1/o, determine a distância focal da lente</p><p>utilizada. Compare o valor obtido com o que está indicado na lente.</p><p>Determinação da distância focal de uma lente convergente pelo método de Bessel</p><p>Na Fig. 1, estão representados, esquematicamente, um objeto luminoso, a uma distância D de um</p><p>anteparo, e uma lente convergente, de distância focal f. Para uma mesma distância objeto–anteparo,</p><p>existem duas posições da lente em que se observa uma imagem real, nítida, sobre o anteparo, como</p><p>mostrado na Fig. 1.</p><p>Pode-se mostrar que a separação d entre essas posições é dada por</p><p>d D D f ( )4 . (2)</p><p> Determine a menor distância que deve haver entre o objeto e o anteparo a partir da qual se poderá</p><p>obter apenas uma imagem real nítida do objeto.</p><p>137</p><p>Figura 1 - Diagrama esquemático em que se mostra a</p><p>formação da imagem de um objeto por uma lente</p><p>convergente em duas posições distintas.</p><p> Utilizando a mesma lente da etapa anterior e mantendo o objeto e o anteparo fixos, mova a</p><p>lente entre eles e determine as duas posições dela em que se observam imagens nítidas.</p><p>Utilizando a equação 2, determine a distância focal dessa lente.</p><p>Determinação da distância focal de uma lente divergente</p><p> Explique por que os dois métodos, descritos anteriormente, para se medir a distância focal de uma</p><p>lente convergente, não podem ser usados para uma lente divergente.</p><p>Pode-se mostrar que duas lentes finas, de distâncias focais f1 e f2, separadas por uma distância d,</p><p>são equivalentes a uma lente de distância focal F dada por</p><p>2121</p><p>111</p><p>ff</p><p>d</p><p>ffF</p><p></p><p>. (3)</p><p> Considere duas lentes finas – uma convergente (f > 0) e outra divergente (f < 0) – colocadas muito</p><p>próximas uma da outra (d ~ 0). Determine qual deve ser, nessa situação, a relação entre as</p><p>distâncias focais das duas lentes para que a lente composta equivalente seja convergente.</p><p> Escolha uma lente divergente cuja distância focal deseje determinar. Em um mesmo suporte,</p><p>junte a ela uma lente convergente, de distância focal conhecida, para formar uma lente</p><p>composta convergente.</p><p> Determine a distância focal dessa lente composta empregando um dos dois métodos descritos</p><p>anteriormente. Utilize, então, a equação 3 para determinar a distância focal da lente</p><p>divergente.</p><p>Determinação da distância focal de um espelho côncavo</p><p> Trace um diagrama de formação de imagem para um objeto colocado no centro de curvatura de</p><p>um espelho côncavo. Indique, nesse diagrama a posição em que a imagem será formada.</p><p> Escolha um espelho côncavo cuja distância focal deseje determinar e coloque-o em um</p><p>suporte, sobre o trilho, na frente do objeto. Em seguida, mova esse espelho até obter uma</p><p>imagem nítida do objeto na mesma posição em que o objeto se encontra. Determine, então, a</p><p>distância focal do espelho.</p><p>138</p><p>Medida da distância focal de um espelho convexo</p><p> Explique por que o método, descrito anteriormente, para se medir a distância focal de um espelho</p><p>côncavo não pode ser usado para um espelho convexo.</p><p> Escolha uma lente convergente de distância focal conhecida e coloque-a no suporte, entre o</p><p>objeto e o anteparo. Ajuste a posição da lente para obter uma imagem nítida e não muito</p><p>grande no anteparo. Em seguida, coloque o espelho convexo, cuja distância focal será</p><p>determinada, entre a lente e o anteparo, como mostrado, esquematicamente, na Fig. 2. Mova</p><p>o espelho até obter uma imagem nítida do objeto na mesma posição em que o objeto se</p><p>encontra. (Se necessário, gire muito levemente a lente até que a imagem se forme ao lado do</p><p>objeto e possa ser visualizada.)</p><p>Figura 2 - Diagrama esquemático do método</p><p>utilizado para se medir a distância focal de um</p><p>espelho convexo.</p><p>Para que a imagem do objeto se forme na mesma posição em que este se encontra, os raios de luz</p><p>dele provenientes, após passarem pela lente, devem incidir perpendicularmente sobre a superfície do</p><p>espelho, como mostrado na Fig. 2. Dessa forma, a imagem formada pela lente atua como um objeto</p><p>virtual, localizado no centro de curvatura</p><p>do espelho convexo. Com base nessas informações,</p><p>determine a distância focal do espelho convexo.</p><p>139</p><p>POLARIZAÇÃO DA LUZ</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Uma onda eletromagnética é formada por campos elétricos e magnéticos que variam no tempo e</p><p>no espaço, perpendicularmente um ao outro, como representado na Figura 1. A direção de polarização</p><p>de uma onda eletromagnética é definida como a direção do campo elétrico E dessa mesma onda. Por</p><p>exemplo, a onda mostrada na Fig. 1 é linearmente polarizada ao longo da direção y.</p><p>Figura 1 - Representação dos campos elétrico E e magnético B de uma onda</p><p>eletromagnética que se propaga na direção x.</p><p>No caso da luz produzida por lâmpadas comuns e pelo Sol, as ondas são originadas de um grande</p><p>número de irradiadores independentes, que emitem ondas polarizadas em direções aleatórias; essa luz</p><p>é não-polarizada.</p><p>Ondas eletromagnéticas polarizadas podem ser obtidas, no momento da emissão – por exemplo,</p><p>ondas de rádio e de televisão são produzidas por oscilações de cargas elétricas nas antenas e, em</p><p>geral, são linearmente polarizadas ao longo da direção paralela à antena – ou posteriormente a ela,</p><p>pela absorção seletiva das ondas de um feixe de luz não-polarizada.. Há vários processos para se</p><p>produzirem ondas de luz polarizadas a partir de luz não-polarizada. Dois desses processos são</p><p>discutidos a seguir.</p><p>Polarização por absorção seletiva</p><p>Um tipo comum de polarizador – dispositivo usado para produzir luz polarizada – consiste em</p><p>uma placa feita com um material que só deixa passar as componentes de campo elétrico da luz que</p><p>estão em uma determinada direção. Um desses materiais, o polaróide, é constituído de longas cadeias</p><p>de moléculas orientadas em uma direção. Essas cadeias são boas condutoras elétricas e absorvem luz</p><p>incidente, cujo campo elétrico é paralelo a elas e transmite luz cujo campo elétrico é perpendicular.</p><p>Na Fig. 2, está representado um feixe de luz não-polarizada que incide sobre uma lâmina de</p><p>polaróide, cujo eixo de transmissão está na direção vertical. A luz transmitida através dessa primeira</p><p>lâmina – chamada de polarizador – é linearmente polarizada nessa direção. Na mesma figura também</p><p>se mostra uma segunda lâmina de polaróide – chamada de analisador –, cujo eixo de transmissão está</p><p>girado um ângulo  em relação ao eixo do polarizador. Ao incidir no analisador, uma onda de luz que</p><p>140</p><p>tem a componente do campo elétrico E perpendicular ao eixo do analisador é absorvida. O analisador</p><p>permite a passagem da componente do campo que é paralela ao seu eixo, cujo módulo é E cos. Como</p><p>a intensidade de uma onda eletromagnética é proporcional ao quadrado de sua amplitude, ou seja, do</p><p>valor máximo do campo elétrico, a intensidade I da luz transmitida através do analisador é dada por</p><p>2</p><p>max cosII  , (1)</p><p>em que Imax é a intensidade da luz polarizada que incide no analisador. Essa expressão é conhecida</p><p>como lei de Malus.</p><p>Figura 2. Um feixe de luz incide em um</p><p>polarizador e sai polarizado na direção vertical;</p><p>em (a), o feixe polarizado é absorvido ao incidir</p><p>em um outro polarizador, que tem o eixo de</p><p>polarização perpendicular ao primeiro, e, então,</p><p>nenhuma luz é transmitida; em (b) o eixo de</p><p>polarização do segundo polaróide está girado</p><p>um ângulo  em relação ao primeiro e parte da</p><p>luz incidente é transmitida.</p><p>Polarização por reflexão</p><p>Quando luz não-polarizada incide na interface que separa dois meios, a luz refletida, na mesma</p><p>interface, pode ser parcial ou completamente, polarizada, dependendo do ângulo de incidência e da</p><p>relação entre os índices de refração dos meios. Na Fig. 3, está representado um feixe de luz não-</p><p>polarizada que incide em uma superfície. Nessa figura, as componentes do campo elétrico da luz,</p><p>paralelas à superfície, estão representadas por pontos e as componentes perpendiculares, por setas.</p><p>Observa-se que a componente paralela à superfície é refletida mais intensamente que a outra.</p><p>Figura 3. Quando um feixe de luz não-polarizada</p><p>incide sobre uma superfície que separa dois meios</p><p>com um ângulo p , o feixe refletido é</p><p>completamente polarizado na direção paralela à</p><p>superfície.</p><p>Utilizando-se as equações de Maxwell, pode-se mostrar que, quando o ângulo entre os feixes</p><p>refletido e refratado é de 90º, como mostrado na Fig. 3, o feixe refletido é completamente polarizado</p><p>141</p><p>na direção paralela à superfície. Nessa situação, o ângulo de incidência p é chamado de ângulo de</p><p>Brewster.</p><p> Com base na lei de Snell (n1 sen 1 = n2 sen2), demonstre que, quando um feixe de luz,</p><p>propagando-se no ar, incide sobre a superfície de um material que tem índice de refração n, o</p><p>ângulo de Brewster é dado por</p><p>np tan</p><p>.</p><p> Suponha que um feixe de luz que incide em uma superfície esteja polarizado em um plano</p><p>perpendicular a essa superfície. Nessa situação, qual é a intensidade da luz refletida quando o</p><p>ângulo de incidência for igual ao ângulo de Brewster?</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Analisar, qualitativamente, a polarização da luz emitida por diferentes fontes.</p><p> Verificar a Lei de Malus.</p><p> Determinar o índice de refração do acrílico por meio de polarização por reflexão – ângulo de</p><p>Brewster.</p><p>Sugestão de material</p><p> Laser não-polarizado, fotômetro, placa plana de acrílico, transferidor, polarizadores com</p><p>medidor de ângulo, suportes e base.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p> Com um polarizador na frente dos olhos, observe a luz emitida por uma lâmpada</p><p>incandescente ou fluorescente. Em seguida, gire o polarizador em torno da direção</p><p>perpendicular ao seu plano. Descreva o que foi observado e explique.</p><p> Agora, observe a mesma lâmpada através de dois polarizadores paralelos. Mantenha um deles</p><p>fixo e gire o outro. Descreva o que acontece com a intensidade da luz que você observa e</p><p>explique o que ocorre.</p><p> Observe, através de um polarizador, a luz refletida por uma superfície qualquer. Gire o</p><p>polarizador. Descreva o que acontece com a intensidade da luz que você observa e explique.</p><p>Lei de Malus</p><p>Atenção: Nesse experimento, será utilizado um laser. Nunca olhe diretamente para o feixe do laser,</p><p>pois isso poderá causar danos sérios e permanentes à retina de seus olhos.</p><p>Na Fig. 4, mostra-se a montagem a ser utilizada nesta parte do experimento. Um feixe de luz de</p><p>um laser, não-polarizado, passa através de dois polarizadores e, em seguida, incide em um fotômetro.</p><p>142</p><p>Figura 4. Montagem para medir a intensidade</p><p>do feixe de um laser em função do ângulo entre</p><p>as direções de polarização do feixe e a de um</p><p>polarizador.</p><p> Faça a montagem mostrada na Fig. 4 e direcione o feixe do laser para a abertura do fotômetro.</p><p>Inicialmente, ajuste o ângulo entre os eixos dos polarizadores de forma que a intensidade da</p><p>luz transmitida seja máxima. Em seguida, mantendo um polarizador fixo, gire o outro e meça</p><p>a intensidade I da luz em função do ângulo  entre os polarizadores. Por meio de uma análise</p><p>gráfica das variáveis I e  , verifique se seus resultados estão de acordo com a Lei de Malus.</p><p>Polarização por reflexão</p><p>Na Fig. 5 está mostrado um feixe de laser que, após atravessar um polarizador, incide sobre uma</p><p>placa de acrílico. Esta placa pode girar em torno de um eixo paralelo à sua superfície. Com um</p><p>transferidor pode-se medir o ângulo entre o feixe e a placa.</p><p>Figura 5 - Dispositivo para medir o ângulo de</p><p>Brewster.</p><p> Monte o laser, o polarizador e o transferidor com a placa de acrílico, como mostrado na Fig.</p><p>5. Posicione o polarizador, de forma que o feixe, do laser, após passar por ele, esteja</p><p>polarizado verticalmente. Observe a luz refletida pela placa de acrílico sobre a base de apoio</p><p>dos componentes da montagem.</p><p> Em seguida, gire, lentamente, a placa de acrílico até o ângulo em que a luz refletida</p><p>desaparece. Nessa situação, o ângulo de incidência é igual ao Ângulo de Brewster. Meça esse</p><p>ângulo e, a partir dele, determine o índice de refração do acrílico, com a respectiva incerteza.</p><p>APÊNDICES</p><p>143</p><p>A P Ê N D I C E S</p><p>APÊNDICES</p><p>144</p><p>APÊNDICE A</p><p>REDAÇÃO DE UM RELATÓRIO</p><p>Os resultados de um trabalho técnico ou científico são usualmente apresentados na forma de</p><p>artigos ou relatórios. Para os experimentos deste livro, também se sugere os resultados sejam</p><p>apresentados na forma de um relatório para que o aluno aprenda a usar a linguagem científica, relatar</p><p>os resultados de forma correta e discutir os seus significados e relevâncias.</p><p>Um relatório não deve ser uma cópia do roteiro; ele deve ser redigido de forma que outro aluno</p><p>que não tenha feito o experimento e não conheça o roteiro possa entender o que foi feito. Um bom</p><p>relatório não deve ser apenas uma apresentação de dados, mas deve demonstrar a compreensão dos</p><p>conceitos relacionados com os resultados obtidos e com as medições feitas.</p><p>Não há uma forma rígida para a redação de um relatório, mas ele deve conter, pelo menos, as</p><p>seguintes informações:</p><p>Título da experiência</p><p>Autores e data</p><p>Introdução</p><p>Deve ser apresentado um resumo da teoria e das equações que o leitor deve saber para</p><p>entender o contexto do experimento. Nessa parte, também se descreve os objetivos do</p><p>experimento, o que se pretende verificar e/ou aprender.</p><p>Parte experimental e discussão</p><p>Este é o item mais importante do relatório, em que são descritos os procedimentos</p><p>efetivamente realizados e não como supostamente deveriam acontecer. Os métodos de</p><p>medida, os aparelhos utilizados e os cálculos envolvidos devem ser apresentados de forma</p><p>concisa e organizada. Os resultados obtidos devem ser apresentados na forma de tabelas e</p><p>gráficos, com legendas que descrevam o que cada um mostra. A interpretação e discussão dos</p><p>resultados deve demonstrar a compreensão do aluno sobre o tema.</p><p>Se houver questões propostas no texto, elas devem subsidiar e serem respondidas na discussão</p><p>dos resultados.</p><p>Conclusões</p><p>Em uma conclusão, apresenta-se um resumo do que foi feito no experimento e dos</p><p>resultados obtidos, tendo os objetivos iniciais como referência.</p><p>OUTRAS OBSERVAÇÕES</p><p> Os resultados de medidas devem ser sempre apresentadas em tabelas.</p><p> Os resultados finais devem ser apresentados com suas respectivas incertezas e as unidades</p><p>devem ser, preferencialmente, as do Sistema Internacional de Unidades.</p><p> Cada gráfico ou tabela deve ser acompanhado de uma legenda que descreve o que está sendo</p><p>apresentado. Cada eixo de um gráfico deve ter o nome ou símbolo da variável com sua</p><p>APÊNDICES</p><p>145</p><p>respectiva unidade e deve ter uma escala adequada para que as curvas ocupem toda a região</p><p>do gráfico. Quando houver mais de uma curva no mesmo gráfico, deve-se adicionar uma</p><p>legenda.</p><p> As etapas intermediárias de um cálculo não devem ser mostradas. É suficiente que se</p><p>apresentem as equações utilizadas, os valores de todas as variáveis envolvidas, e o resultado</p><p>obtido.</p><p>APÊNDICES</p><p>146</p><p>APÊNDICE B</p><p>VALORES DE GRANDEZAS E CONSTANTES FÍSICAS</p><p>Símbolo Descrição valor</p><p>g Aceleração da gravidade no DF/UFMG (9,784  0,005) m/s2</p><p>G Constante gravitacional 6,674 J/mol K</p><p>e Carga do elétron 1,602  1019 C</p><p>me Massa de repouso do elétron 9,109  1031 kg</p><p>mp Massa de repouso do próton 1,673  1027 kg</p><p>R Constante universal dos gases ideais 8,314 J/mol K</p><p>NA Constante de Avogadro 6,022  1023 mol1</p><p>k Constante de Boltzmann 1,381  1023 J/K</p><p>h Constante de Planck 6,626  1034 Js</p><p>0 Permissividade elétrica no vácuo 8,854  1012 F/m</p><p>o Permeabilidade magnética do vácuo 4 x 10-7 Tm/A</p><p>c Velocidade da luz no vácuo 3,000  108 m/s</p><p>PREFIXOS</p><p>Símbolo Nome valor</p><p>m mili 103</p><p> micro 106</p><p>n nano 109</p><p>p pico 1012</p><p>k quilo 103</p><p>M mega 106</p><p>G giga 109</p><p>T terá 1012</p><p>APÊNDICES</p><p>147</p><p>APÊNDICE C</p><p>CÓDIGO DE CORES PARA VALORES DE RESISTÊNCIAS</p><p>O valor da resistência de um resistor é, tipicamente, indicado com um código de cores, como</p><p>mostrado a seguir. Os tipos mais comuns de resistores apresentam quatro ou cinco faixas de cores.</p><p>Uma das faixas é mais afastada da anterior e indica a tolerância (%) no valor da resistência e, também,</p><p>a ordem em que as demais faixas devem ser lidas. As primeiras faixas representam os dígitos d e a</p><p>última faixa, o multiplicador m, com o valor em ohms.</p><p>Cor Dígito</p><p>d</p><p>Multiplicador</p><p>m</p><p>Tolerância</p><p>Preto 0 100 Ω dourada: 5%</p><p>Marrom 1 101 Ω prateada: 10%</p><p>Vermelho 2 102 Ω sem faixa: 20%</p><p>Laranja 3 103 Ω = kΩ</p><p>Amarelo 4 104 Ω</p><p>Verde 5 105 Ω</p><p>Azul 6 106 Ω = MΩ</p><p>violeta 7 107 Ω</p><p>cinza 8 108 Ω</p><p>branco 9 109 Ω = GΩ</p><p>ouro 10-1 Ω</p><p>prata 10-2 Ω</p><p>Exemplos</p><p>Resistor com 4 faixas:</p><p>cinza, vermelho, laranja, ouro = 82 kΩ  5%</p><p>Resistor com 5 faixas:</p><p>verde, vermelho, marrom, preto, vermelho = 521 Ω  2%</p><p>APÊNDICES</p><p>148</p><p>APÊNDICE D</p><p>VALOR EFICAZ DE TENSÕES E CORRENTES</p><p>Considere uma tensão alternada senoidal ( ) (2 )oV t V sen f t , com amplitude V0 e frequência f ,</p><p>aplicada em um resistor R. A potência instantânea p(t) dissipada no resistor é dada por</p><p> 2</p><p>2</p><p>0 )2sen()( ft</p><p>R</p><p>V</p><p>tp </p><p>O valor médio Pmed dessa potência é obtido integrando-se p(t) no intervalo de um período T =1/f,</p><p>ou seja,</p><p>2 2</p><p>20</p><p>0</p><p>1 (2 )</p><p>2</p><p>T</p><p>o</p><p>med</p><p>V V</p><p>P sen ft dt</p><p>T R R</p><p> </p><p>.</p><p>Define-se o valor eficaz Vef de uma tensão alternada como igual ao valor de uma tensão contínua</p><p>que, aplicada no mesmo resistor R, produz a mesma potência dissipada. A potência P dissipada por</p><p>um resistor R sujeito a uma tensão contínua Vef é dada por</p><p>2</p><p>efV</p><p>P</p><p>R</p><p></p><p>.</p><p>Assim, igualando as duas equações para a potência tem-se</p><p>R</p><p>V</p><p>R</p><p>Veficaz</p><p>2</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p></p><p>ou</p><p>0</p><p>2ef</p><p>V</p><p>V </p><p>.</p><p>De uma forma geral, o valor eficaz xef de uma grandeza periódica x(t) com período T é dado por</p><p>2</p><p>0</p><p>1 ( )</p><p>T</p><p>efx x t dt</p><p>T</p><p> </p><p>.</p><p>O valor eficaz xef de uma grandeza é também conhecido como valor quadrático médio ou valor RMS,</p><p>xRMS (do inglês, root mean square).</p><p>um desvio padrão da média de 0,0275 s. A incerteza é obtida arredondando-</p><p>se o desvio padrão para ficar com um algarismo significativo, ou seja, u = 0,03 s. Como essa incerteza</p><p>incide sobre o segundo algarismo após a vírgula da medida, esta deve ser arredondada e truncada</p><p>nesta casa. Portanto, o resultado dessa medição deve ser apresentado em uma dessas formas:</p><p>t = (2,02  0,03) s</p><p>t = 2,02 (3) s</p><p>t = 2,02 (0,03) s</p><p>Seria INCORRETO expressar esse resultado em qualquer das formas seguintes.</p><p>(2,0175  0,03) s Como a incerteza é de 0,03 s, não faz sentido</p><p>indicar o resultado com precisão maior que</p><p>esse valor, ou seja, os algarismos 7 e 5 não são</p><p>significativos e não devem ser escritos.</p><p>(2  0,03) s A incerteza deve incidir sobre o último</p><p>algarismo significativo, portanto, faltam dois</p><p>algarismos significativos no resultado, ou seja</p><p>(2,02 ± 0,03) s.</p><p>(2,0175  0,0275 ) s A incerteza deve ter apenas um algarismo</p><p>significativo, portanto deve ser arredondada</p><p>para 0,03 s.</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>13</p><p>É importante observar que o número de algarismos significativos no resultado é determinado</p><p>apenas pela incerteza, e não pelo instrumento utilizado. A incerteza é inerente ao processo de</p><p>medição. Por exemplo, se forem feitas muitas medições do diâmetro de uma moeda utilizando-se</p><p>uma régua milimetrada, obtém-se, facilmente, uma incerteza da ordem de décimos de milímetros. No</p><p>entanto, utilizando-se essa mesma régua milimetrada para se medir o comprimento de um automóvel,</p><p>com certeza não se obterá uma incerteza da mesma ordem (a incerteza poderá ser de até um</p><p>centímetro).</p><p>O resultado final de uma medição deve ter sempre um número de algarismos significativos</p><p>consistentes com a incerteza. No entanto, para se evitar erros de arredondamento, todos os cálculos</p><p>intermediários – cálculos da média, desvio padrão, etc. – devem ser feitos com todos os algarismos</p><p>disponíveis.</p><p>Propagação de incertezas</p><p>Nem sempre é possível se fazer a medição direta de uma grandeza. Muitas vezes, o valor da</p><p>grandeza deve ser determinado por meio de medições de outras grandezas relacionadas com ela.</p><p>Nesse caso, em que a medição é indireta, a incerteza o valor a ser determinado depende das incertezas</p><p>de todas as medições feitas. Esse cálculo é conhecido como propagação de incertezas.</p><p>Considere uma grandeza Y, que não pode ser medida diretamente, mas que é uma função f de N</p><p>outras grandezas X1, X2, ... XN , ou seja,</p><p>1 2( , , , )NY f X X X  .</p><p>Se resultados das medições de X1, X2, ... XN forem iguais a x1  u(x1), x2  u(x2), ... xn  u(xN), então o</p><p>resultado y da medição da grandeza Y depende de todas essas medições, ou seja,</p><p>1 2( , , , )Ny f x x x  .</p><p>A incerteza padrão da medição de uma grandeza obtida por meio de uma medição indireta é</p><p>chamada de incerteza padrão combinada uc, e é dada por</p><p>2</p><p>2 2</p><p>1</p><p>( ) ( )</p><p>N</p><p>c i</p><p>i i</p><p>f</p><p>u y u x</p><p>x</p><p>    </p><p></p><p>,</p><p>ou seja, a incerteza padrão combinada4 da grandeza y é igual à raiz quadrada da soma dos</p><p>quadrados das incertezas das medições das outras grandezas, ponderadas pelo termo</p><p>2</p><p>i</p><p>f</p><p>x</p><p> </p><p>  </p><p>. Esse</p><p>termo avalia o quanto o resultado da medição varia com a mudança em cada grandeza xi.</p><p>Observação: a equação anterior é válida apenas para o caso em que todas as grandezas de entrada (xi)</p><p>sejam independentes umas das outras. Para efeito de simplificação, o caso em que elas são</p><p>correlacionadas não será tratado aqui.</p><p>4 Esse cálculo para a incerteza padrão combinada é válido apenas se todas as grandezas xi forem independentes umas</p><p>das outras. O caso, mais complexo, em que elas são correlacionadas não será tratado neste texto.</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>14</p><p>Exemplo 5</p><p>Deseja-se medir a potência elétrica P dissipada por um resistor ligado à rede elétrica. Para isso,</p><p>foram feitas várias medições da resistência elétrica R do resistor e da tensão elétrica V da rede.</p><p>Determinou-se, então, os valores médios e as incertezas padrão dessas grandezas. Os resultados</p><p>obtidos são</p><p>R = (2,5  0,3)  e V = (127  1) V .</p><p>Então, a potência elétrica dissipada no resistor é dada por</p><p>2 2</p><p>4127</p><p>,</p><p>6 51</p><p>2 5</p><p>,6 WV</p><p>P</p><p>R</p><p> </p><p>Como P depende de V e de R, a incerteza padrão combinada uc(P) da potência é dada por</p><p>2 2</p><p>2 2( ) ( ) ( )c</p><p>P P</p><p>u P u V u R</p><p>V R</p><p>             .</p><p>Como,</p><p>2V</p><p>P</p><p>R</p><p></p><p>, então</p><p>2P V</p><p>V R</p><p> </p><p> ,</p><p>2</p><p>2</p><p>P V</p><p>R R</p><p>  </p><p> .</p><p>Substituindo na equação os valores de u(V)=1V e u(R)=0,3, tem-se que</p><p>22 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2 127 127( ) (1) (0,3) 781W</p><p>2,5 2,5cu P</p><p>        </p><p>   </p><p>Portanto, a maneira correta de escrever o valor da potência é</p><p>P = (6,4  0,8)103 W</p><p>Na Tabela 1, estão mostrados exemplos de cálculos da incerteza padrão combinada para alguns</p><p>casos em que a grandeza que se deseja medir depende das demais grandezas por meio de relações</p><p>simples.</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>15</p><p>Tabela 1 – Exemplos de expressões para a incerteza padrão combinada</p><p>1 2( , , , )Ny f x x x  Incerteza padrão combinada uc(y)</p><p>1 2y ax bx  </p><p>em que a, b,... são constantes)</p><p>2 2 2 2</p><p>1 2( ) ( ) ( ) ...cu y a u x b u x  </p><p>1 2</p><p>1 2 ... Npp p</p><p>Ny ax x x</p><p>2</p><p>1</p><p>1 1</p><p>22 2</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )( ) ( ) ...</p><p>N</p><p>c</p><p>i</p><p>i</p><p>c N</p><p>N</p><p>N</p><p>u y u x</p><p>p</p><p>y x</p><p>u y u xu x u x</p><p>p p p</p><p>y x x x</p><p></p><p> </p><p>  </p><p> </p><p>    </p><p>        </p><p>     </p><p></p><p>A incerteza padrão combinada relativa é igual à raiz</p><p>quadrada positiva da soma dos quadrados das incertezas</p><p>padrão relativas das grandezas, ponderadas pelos</p><p>quadrados dos respectivos expoentes.</p><p>lny a x ( )( )c</p><p>u x</p><p>u y a</p><p>x</p><p></p><p>xaey  )()( xuaeyu x</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>16</p><p>APRESENTAÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS</p><p>Os resultados de medições são comumente apresentados em tabela e gráficos, tanto para registrar</p><p>as informações obtidas quanto para mostrar comportamentos e tendências das grandezas medidas em</p><p>relação a outras.</p><p>TABELAS</p><p>As tabelas devem ser numeradas para serem referenciadas no texto. Uma tabela deve conter</p><p>as seguintes partes.</p><p>Legenda: colocada acima da tabela, deve conter a referência (por exemplo, Tabela 1) seguida</p><p>por uma descrição sucinta do seu conteúdo e, quando necessário, das variáveis,</p><p>símbolos e abreviações não incluídas no texto.</p><p>Cabeçalho: é a primeira linha da tabela, que deve conter os nomes ou símbolos das grandezas</p><p>listadas nas colunas, com suas respectivas unidades e, caso necessário, incertezas.</p><p>Conteúdo: os resultados que se pretende apresentar; se forem medidas, devem ter o número</p><p>correto de algarismos significativos.</p><p>GRÁFICOS E FIGURAS</p><p>Um gráfico é um recurso extremamente útil para a apresentação de resultados experimentais, pois</p><p>permite uma visualização ampla dos resultados e da dependência existente entre as grandezas</p><p>representadas. Um gráfico deve conter:</p><p>Legenda: colocada abaixo da figura, deve conter a referência (por exemplo, Figura 1), seguida</p><p>de uma descrição sucinta do seu conteúdo e, quando necessário, das variáveis,</p><p>símbolos e abreviações não incluídas no texto.</p><p>Eixos: no caso de gráficos, cada eixo deve conter o nome ou símbolo da grandeza</p><p>correspondente, com suas respectivas unidades. As escalas devem ser ajustadas para</p><p>permitir que os dados ocupem todo a área do gráfico. Podem ser lineares ou</p><p>logarítmicas para ressaltar a dependência entre as grandezas.</p><p>Exemplo 6</p><p>Tabela 2. Tensão elétrica V e a corrente</p><p>elétrica I no resistor de resistência R=(500 </p><p>3) .</p><p>V (V)  0,1V I (mA)</p><p>11,3 22,5 0,3</p><p>15,8 31,8 0,4</p><p>19,5 40,0 0,5</p><p>22,7 44,4 0,5</p><p>29,1 59,2 0,6</p><p>38,4 76,1 0,6</p><p>42,3 83,8 0,7</p><p>50,0 99,3 0,8</p><p>0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100</p><p>0</p><p>10</p><p>20</p><p>30</p><p>40</p><p>50</p><p>V</p><p>(V</p><p>)</p><p>I (mA)</p><p>Figura 5. Tensão elétrica V versus corrente elétrica I</p><p>em um resistor de resistência R=(500  3) . A reta é</p><p>descrita pela equação V = aI + b, em que</p><p>a = (506  5)  e b = ( 0,3  0,3)</p><p>V foram obtidos</p><p>por uma regressão linear.</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>17</p><p>AJUSTE DE UMA CURVA AOS DADOS EXPERIMENTAIS</p><p>Em muitas das análises de dados de experimentos de Física, deseja-se determinar uma expressão</p><p>analítica ou um modelo matemático que melhor descreva a relação entre as grandezas medidas. Para</p><p>isso, há métodos para se encontrar os parâmetros de uma equação ou de uma curva que melhor se</p><p>ajusta a um conjunto de dados. Esse procedimento é conhecido como ajuste de curva.</p><p>Considere um conjunto de n pontos (xi, yi), em que i = 1, 2, ..., n que podem, por exemplo, terem</p><p>sido obtidos medindo-se uma grandeza y enquanto se varia outra grandeza x. Deseja-se determinar</p><p>os m parâmetros aj de uma função f (xi, aj) que melhor se ajusta ao conjunto de pontos, ou seja, de</p><p>forma que a função f (xi, aj) gere um valor bastante próximo de yi para todos os pontos.</p><p>A melhor maneira de se determinar esses parâmetros por meio do método de mínimos</p><p>quadrados. Esse método estabelece que os parâmetros aj que melhor ajustam uma função aos dados</p><p>são aqueles que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores medidos yi e os</p><p>correspondentes valores de f (xi, aj). Essa soma é dada por</p><p>2</p><p>1</p><p>( , )</p><p>n</p><p>i i j</p><p>i</p><p>S y f x a</p><p></p><p>    .</p><p>Então, os parâmetros aj, com j =1, 2, ..., m, que minimizam S são as soluções do sistema de equações</p><p>dado por</p><p>1</p><p>0</p><p>0</p><p>m</p><p>S</p><p>a</p><p>S</p><p>a</p><p>  </p><p></p><p>  </p><p></p><p></p><p>A solução do problema de mínimos quadrados pode ser complicada e, dependendo da função f,</p><p>esse problema só é resolvido por meio de algoritmos numéricos. Quando a função f é linear em relação</p><p>aos parâmetros aj que se deseja ajustar, esse sistema de equações tem solução analítica. Por exemplo,</p><p>a função 2( )f x a bx cx   é linear nos parâmetros a, b¸ e c, portanto, o sistema de equações acima</p><p>tem solução analítica. Quando a função f não é linear nos parâmetros a serem determinados, os</p><p>parâmetros são determinados utilizando-se algoritmos iterativos que já estão desenvolvidos em vários</p><p>programas de computador, tanto comerciais quanto de domínio público. Esse procedimento é</p><p>conhecido como ajuste não linear por mínimos quadrados.</p><p>Regressão linear</p><p>Na Física, é comum que a relação entre as grandezas seja linear, ou seja, são descritas pela</p><p>equação de uma reta. Nesse caro, deseja-se, então, determinar a reta que melhor se ajusta a um</p><p>conjunto de pontos (xi, yi). Esse é um exemplo de ajuste linear de mínimos quadrados ou regressão</p><p>linear.</p><p>Considere a reta descrita pela equação</p><p>( )f x ax b  .</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>18</p><p>Os parâmetros a e b que melhor ajustam essa reta aos pontos (xi, yi) são os que minimizam a soma</p><p> 2( )i iS y ax b   . Portanto, esses parâmetros são as soluções das equações</p><p> S 2 0i i iy ax b x</p><p>a</p><p>     </p><p> </p><p>e</p><p> S 2 0i iy ax b</p><p>b</p><p>     </p><p> </p><p>.</p><p>A solução desse sistema de equações é simples e dela se obtém a inclinação a e o coeficiente</p><p>linear b da reta ajustada; também podem ser obtidas suas respectivas incertezas padrão u(a) e u(b):</p><p> 22</p><p>i i i i</p><p>i i</p><p>n x y x y</p><p>a</p><p>n x x</p><p>  </p><p> </p><p>, 2</p><p>2 2( )</p><p>( 2) ( )</p><p>xS iu a</p><p>n n x xi i</p><p></p><p></p><p>  </p><p>,</p><p>i iy a x</p><p>b</p><p>n</p><p>  ,</p><p> 22</p><p>( )</p><p>( 2) i i</p><p>S</p><p>u b</p><p>n n x x</p><p></p><p>  </p><p>,</p><p>Há situações em que é possível utilizar o método de regressão linear para ajustar uma função que</p><p>não é linear, desde que seja possível expressá-la em termos de outras variáveis de forma a obter uma</p><p>função linear. Veja o exemplo a seguir.</p><p>Exemplo 7</p><p>Sabe-se que durante o resfriamento de um objeto, a sua temperatura T decresce</p><p>exponencialmente com o tempo t, ou seja, esse processo é descrito por uma equação do tipo</p><p>ktT ce . Considere que em um experimento foi medida a temperatura desse objeto em diferentes</p><p>instantes de tempo, obtendo-se os pontos (Ti, ti) que estão representados na Figura 6(a). Nesse</p><p>gráfico, também está plotada a função ( ) ktf t ce . Nesse caso, a determinação dos parâmetros c e</p><p>k da função f que melhor se ajusta ao conjunto de dados (Ti, ti) não pode ser feita por uma regressão</p><p>linear, pois a função não é linear em k.</p><p>0 100 200 300 400 500</p><p>0</p><p>5</p><p>10</p><p>15</p><p>20</p><p>25</p><p>30</p><p>f (x) = ce kt</p><p>T</p><p>(o C)</p><p>t (s)</p><p></p><p>i</p><p>= y</p><p>i</p><p>f (x</p><p>i</p><p>)</p><p>(a)</p><p>0 100 200 300 400 500</p><p>0</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>ln</p><p>(T</p><p>/o C)</p><p>t (s)</p><p>(b)</p><p>Figura 6. Temperatura T de um objeto em função do tempo t, enquanto ele se esfria. (a) gráfico de T versus t,</p><p>(b) gráfico de lnT versus t.</p><p>INTRODUÇÃO AO LABORATÓRIO DE FÍSICA</p><p>19</p><p>No entanto, é possível reescrever essa função de forma a se obter uma equação linear. Isso pode</p><p>ser feito, calculando-se o logaritmo de ambos os termos da função, obtendo-se</p><p>ln ln( )T c kt </p><p>Percebe-se, então, que lnT varia linearmente com t, ou seja, o gráfico de lnT  t é o de uma reta</p><p>cuja inclinação a = k e tem coeficiente linear b = ln(c), como mostrado na Figura 6(b).</p><p>Assim, ao invés de se fazer um ajuste não-linear por mínimos quadrados da função exponencial</p><p>ktT ce aos dados (Ti, ti), que é um cálculo aproximado, é melhor fazer uma regressão linear</p><p>com os dados (lnTi, ti).</p><p>Dessa regressão linear obtêm-se a inclinação a e o coeficiente linear b da reta que melhor se</p><p>ajusta aos dados:</p><p>a =  (6,64  0,07) s1 e</p><p>b= (3,31  0,03)</p><p>Com estes valores, calcula-se, então, k e c</p><p>k = a = (6,64  0,07) s1 e</p><p> 27, 4 0,08 Cb oc e   .</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>20</p><p>E X P E R I M E N T O S D E</p><p>M E C Â N I C A</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>21</p><p>MOVIMENTO RETILÍNEO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>A 2ª lei de Newton estabelece que a força resultante F sobre um objeto é igual ao produto da</p><p>massa inercial m do objeto pela aceleração a adquirida por ele, ou</p><p>aF m .</p><p>Como exemplo de aplicação dessa lei,</p><p>considere o sistema mostrado na Fig. 1. Um objeto</p><p>de massa m1 está sobre uma superfície horizontal,</p><p>sem atrito, e é ligado por uma corda a outro objeto</p><p>de massa m2, que está suspenso na extremidade da</p><p>corda. A corda inextensível e de massa desprezível</p><p>passa por uma polia, também de massa</p><p>desprezível, que gira sem atrito. Na figura também</p><p>estão mostradas as forças que atuam sobre cada</p><p>objeto: os pesos P1 e P2 dos objetos de massas m1 e</p><p>m2, respectivamente, forças T da corda sobre cada</p><p>objeto e a força N que a superfície faz sobre m1.</p><p> Os módulos das forças que a corda faz sobre cada objeto são iguais. Por que?</p><p> Os módulos das acelerações dos dois objetos são iguais. Por que?</p><p>Considere a1 a aceleração do objeto sobre a superfície horizontal e a2 a aceleração do objeto</p><p>dependurado. No objeto sobre a superfície horizontal atuam a força normal à superfície N, seu peso</p><p>P1 e a tensão da corda T. De acordo com a 2ª lei de Newton, as equações para as componentes x e y</p><p>dessas forças são</p><p>1 1 1</p><p>1 1 1 1</p><p>e</p><p>0</p><p>x x</p><p>y y</p><p>F m a T</p><p>F m a N m g</p><p> </p><p>   </p><p></p><p></p><p>Para o objeto dependurado na corda só existem forças na direção y, sendo possível escrever</p><p>gmTamF yy 2222 </p><p>Como a corda é inextensível, os módulos das acelerações serão iguais para os dois objetos, porém</p><p>terão sinais contrários: um deslocamento de m1 no sentido de x positivo causa um deslocamento de</p><p>m2 no sentido negativo de y; ou seja, a1x = – a2y = a . Eliminando T nas equações em y e em x, tem-se</p><p>g</p><p>mm</p><p>m</p><p>a</p><p>21</p><p>2</p><p></p><p></p><p>. (1)</p><p>Figura 1. Diagrama de forças que atuam em dois</p><p>objetos presos por uma corda inextensível, de</p><p>massa desprezível. O objeto de massa m1 desliza</p><p>sobre uma superfície horizontal, sem atrito.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>22</p><p> Considerando que o movimento do objeto sobre a superfície horizontal é na direção x, mostre, a</p><p>partir das definições de velocidade v=dx/dt e aceleração a=dv/dt, que a equação do movimento</p><p>do objeto é dada por</p><p>2</p><p>2</p><p>1)( attvxtx oo </p><p>, (2)</p><p>em que xo e vo são, respectivamente, a posição e a velocidade iniciais do objeto.</p><p> Esboce os gráficos da distância, da velocidade e da aceleração</p><p>do objeto de massa m1 em função</p><p>do tempo, a partir do instante em que ele começa a se movimentar.</p><p>Considere, agora, uma situação um pouco</p><p>diferente, em que o objeto de massa m1 está sobre um</p><p>plano inclinado de um ângulo  em relação à</p><p>horizontal, como representado na Fig. 2.</p><p> Represente, em um diagrama, as forças que atuam</p><p>sobre os objetos mostrados na Fig. 2. Mostre que,</p><p>nesse caso, os objetos se movem com uma</p><p>aceleração dada por</p><p>g</p><p>mm</p><p>senmm</p><p>a</p><p>21</p><p>12</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>(3)</p><p>Verifique que para  = 0 esse resultado é mesmo da equação 1.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Analisar o movimento de um objeto que se desloca sob a ação de uma força constante.</p><p>Sugestão de material</p><p> Computador, interface, sensor de movimento, trilho de ar, objetos com massas m1 e m2 5m1),</p><p>suporte (ms  m1 ), carrinho (mc  8m1 ), fio inextensível e trena.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Observação: O processo de aquisição automática de dados e posterior tratamento dessas</p><p>informações com uso de computador é específico a cada experimento e depende dos instrumentos e</p><p>programas utilizados. Explicações detalhadas sobre o uso do sistema de aquisição e dos programas,</p><p>assim como os parâmetros adequados ao experimento, deverão estar disponíveis junto à montagem.</p><p>Neste experimento, é utilizada a montagem representada na Fig. 3, para analisar o movimento de</p><p>um objeto sujeito a uma força constante. Um carrinho desliza puxado por um fio que passa por uma</p><p>roldana e em cuja extremidade está dependurado um suporte onde são colocados objetos de massas</p><p>conhecidas. Ar sob pressão sai através de orifícios dispostos sobre o trilho e permite que o carrinho</p><p>Figura 2. Um objeto de massa m1 desliza sobre</p><p>uma superfície inclinada de um ângulo  .</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>23</p><p>se desloque praticamente sem atrito. A roldana é parte de um sensor que, ligado a um computador,</p><p>permite que se determine a posição do objeto em cada instante.</p><p>Inicialmente, será estudado o movimento do carrinho com o trilho na horizontal e, posteriormente,</p><p>com o trilho inclinado.</p><p>Figura 3 – Um carrinho se move sem atrito sobre um trilho de ar.</p><p>Análise do movimento do carrinho com o trilho na horizontal</p><p> Ligue o compressor de ar e, em seguida, alinhe o trilho na horizontal. Para isso, com o o</p><p>carrinho solto sobre o trilho, ajuste os parafusos localizados nos pés do trilho até que o</p><p>carrinho fique em equilíbrio e não tenha um movimento preferencial em qualquer direção.</p><p> Procure se familiarizar com os instrumentos e com o programa de aquisição de dados. Você</p><p>deverá obter gráficos de posição versus tempo, de velocidade versus tempo e de aceleração</p><p>versus tempo referente ao movimento do carrinho. Faça algumas medições preliminares com</p><p>diferentes valores de massas colocadas sobre o suporte e procure entender as mudanças</p><p>observadas em cada gráfico.</p><p> Use uma balança para medir a massa dos objetos, caso elas não tenham sido previamente</p><p>medidas. Escolha uma razão conveniente entre as massas m1 do carrinho e m2 do suporte com</p><p>objetos e obtenha os gráficos de posição, velocidade e aceleração versus tempo.</p><p> Faça um ajuste da equação do movimento com os dados de distância versus tempo obtidos</p><p>experimentalmente. Isso é feito no programa com a opção de ajuste de curvas pelo método de</p><p>mínimos quadrados. A partir dos parâmetros obtidos desse ajuste, calcule a aceleração do</p><p>carrinho.</p><p> Essa aceleração também pode ser calculada de duas outras formas:</p><p>por meio do cálculo da inclinação do gráfico de velocidade versus tempo e por meio do cálculo</p><p>do seu valor médio no gráfico de aceleração versus tempo. Compare os valores da aceleração</p><p>determinados por esses três métodos.</p><p> Calcule o valor esperado para a aceleração (equação 1) e compare com aqueles obtidos</p><p>experimentalmente. Procure justificar as eventuais diferenças observadas.</p><p>Análise do movimento do carrinho com o trilho inclinado</p><p> Com os calços fornecidos, incline o trilho (no máximo até cerca 5 graus). Se necessário,</p><p>modifique a razão entre as massas que possibilitem as medições. Obtenha, então, os gráficos</p><p>de x x t, de v x t e de a x t.</p><p> Meça o ângulo de inclinação do trilho e compare o valor medido da aceleração com o valor</p><p>esperado, dado pela equação 3. Discuta esses resultados.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>24</p><p>MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Conforme proposto por Galileu no seu livro Diálogos sobre novas ciências, o movimento de um</p><p>projétil na superfície da Terra pode ser analisado, separadamente, nas direções horizontal e vertical.</p><p>Desprezando-se as forças de atrito, a única força que atua em um projétil é o seu peso e, portanto, ele</p><p>se move com velocidade constante na direção horizontal, e com aceleração constante, na vertical.</p><p>Isso resulta em uma trajetória parabólica.</p><p>Considere a trajetória de um objeto lançado na superfície da Terra com uma velocidade vo que</p><p>faz um ângulo  com a horizontal, como representada na Fig. 1. Nessa figura, também estão</p><p>representados os eixos cartesianos, com origem no ponto de lançamento. Nessa situação, as</p><p>coordenadas x e y da posição do objeto, em função do tempo, são dadas por</p><p>x(t) = vo cos t e y(t) = vo sem t –</p><p>½ g t2 (1)</p><p> Demonstre que a trajetória do objeto é</p><p>parabólica, ou seja, é descrita por uma função</p><p>y(x) = x2+x+. Especifique as constantes ,</p><p>e em função de vo ,  e g.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Neste experimento, são sugeridos dois procedimentos para se obter a trajetória de um projétil: no</p><p>primeiro, as medições são feitas manualmente, e, no segundo, por meio da aquisição de imagens com</p><p>uma câmera de vídeo e posterior tratamento das imagens. A escolha de um ou de outro depende da</p><p>disponibilidade ou não de uma câmera de vídeo. A análise dos dados é semelhante para os dois</p><p>procedimentos.</p><p>Objetivos</p><p> Registrar e analisar a trajetória de um projétil.</p><p> Determinar o ângulo de lançamento, a velocidade inicial e ponto de contato com o chão.</p><p>Figura 1–Trajetória de um projétil lançado com</p><p>velocidade vo em uma direção, cujo ângulo com a</p><p>horizontal é .</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>25</p><p>REGISTRO DA TRAJETÓRIA DO PROJÉTIL SOBRE UMA FOLHA DE PAPEL</p><p>Sugestão de material</p><p> Canaleta para lançamento, esfera, anteparo, folha de papel em branco, folha de papel-carbono,</p><p>régua, trena e transferidor.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Na Fig. 2, apresenta-se uma maneira simples de se obter a trajetória descrita por uma esfera que</p><p>é lançada como um projétil. Depois de deslizar por uma canaleta, uma esfera sai com uma velocidade</p><p>vo em uma direção que faz um ângulo  com a horizontal e atinge um anteparo que é posicionado</p><p>perpendicularmente ao plano da trajetória da esfera. Sobre esse anteparo, é fixada uma folha de papel</p><p>branco e, sobre esta, uma folha de papel carbono. Quando a esfera se choca com o anteparo, fica</p><p>registrada sua posição sobre a folha de papel. No instante do choque, a distância do anteparo à</p><p>extremidade da canaleta corresponde à coordenada x da posição da esfera; a coordenada y</p><p>corresponde à altura da marca feita no papel. Para se obter registros da trajetória da esfera, ela é solta</p><p>na canaleta, repetidas vezes, de uma mesma altura. Inicialmente, o anteparo é colocado encostado na</p><p>extremidade da canaleta. Após cada lançamento, o anteparo deve ser deslocado de uma mesma</p><p>distância nas direções x e –z.</p><p>Figura 2. Montagem utilizada para registrar a trajetória de uma esfera; se a cada vez que</p><p>o anteparo for afastado da canaleta uma distância x, ele também for deslocado, da mesma</p><p>distância, na direção -z, as marcas dos impactos registrarão as coordenadas x e y da esfera;</p><p>desse modo, a trajetória real do projétil é transferida para a folha, no anteparo.</p><p> Faça alguns lançamentos preliminares para determinar de que altura a esfera deve ser solta na</p><p>canaleta para gerar uma parábola de tamanho compatível com o do anteparo.</p><p> Para o registro de cada marca, solte a esfera três vezes a fim de</p><p>minimizar erros aleatórios</p><p>inerentes ao processo. Obtenha a primeira marca com o anteparo encostado na canaleta. Dessa</p><p>forma, a extremidade da canaleta corresponde à origem (0,0) do sistema de coordenadas.</p><p>Visando ao registro completo da trajetória, após cada registro, desloque o anteparo 2,0 cm nas</p><p>direções x e –z.</p><p> Retire, então, o papel e trace nele os eixos das coordenadas x e y com origem na primeira</p><p>marca produzida pela esfera. Utilizando uma régua milimetrada, meça as coordenadas médias</p><p>de cada ponto e construa uma tabela com os valores obtidos.</p><p> Analise os dados como descrito no final desse roteiro.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>26</p><p>REGISTRO DA TRAJETÓRIA DO PROJÉTIL COM UMA CÂMERA DE VÍDEO</p><p>Sugestão de material</p><p> Canaleta para lançamento, esfera, régua, transferidor, papel carbono, câmara tipo “webcam”,</p><p>computador com programas adequados para aquisição e tratamento de imagens e dados.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>OBS. O processo de aquisição automática de dados e posterior tratamento dessas informações com uso de</p><p>computador é específico a cada experimento e depende da instrumentação e dos programas utilizados.</p><p>Explicações detalhadas sobre o uso do sistema de aquisição e dos programas, assim como os parâmetros</p><p>adequados ao experimento, deverão estar disponíveis junto à montagem.</p><p>Na Fig. 3, está mostrada a montagem para se obter a trajetória de um projétil utilizando uma</p><p>câmera de vídeo. Uma esfera, depois de ser solta de determinada altura em uma canaleta, é lançada</p><p>com uma velocidade vo, que faz um ângulo θ com a horizontal. A câmera registra a trajetória da esfera</p><p>por meio de imagens que são capturadas a uma determinada taxa. Uma escala deve ser colocada no</p><p>plano da trajetória da esfera para permitir, na análise dos dados, determinação das coordenadas da</p><p>esfera em cada imagem.</p><p>Figura 3 – Montagem utilizada para se registrar a</p><p>trajetória de uma esfera usando uma câmera de vídeo.</p><p> Posicione a câmera perpendicularmente ao plano da trajetória da esfera. No programa</p><p>utilizado para capturar as imagens, ajuste a taxa de aquisição de imagens e outros parâmetros</p><p>necessários para o registro da trajetória da esfera. Faça testes até ter certeza de que o processo</p><p>de aquisição está correto.</p><p> Uma vez feito o registro adequado das imagens da trajetória da esfera, use um programa de</p><p>computador para determinar as coordenadas (x, y) da esfera em cada imagem.</p><p>Análise dos dados</p><p> Utilizando um programa de computador, construa o gráfico y versus x. Em seguida, determine</p><p>os parâmetros , e  da função y(x) =  x2+ x+ que melhor se ajustam aos dados</p><p>experimentais obtidos.</p><p> Determine, então, o ângulo  e o módulo da velocidade de lançamento da esfera. Compare o</p><p>valor desse ângulo com o que foi medido no registro da trajetória da esfera e, também, com o</p><p>valor do ângulo de inclinação da canaleta no ponto de lançamento da esfera.</p><p> Para verificar a validade da equação obtida para a trajetória da esfera, calcule a posição em</p><p>que a esfera atingirá o piso do laboratório, depois de ser lançada com a extremidade da</p><p>canaleta posicionada na borda da mesa. Em seguida, marque esse ponto sobre uma folha de</p><p>papel colocada sobre o piso. Cubra essa folha com uma folha de papel-carbono e, em seguida,</p><p>solte a esfera pela canaleta, da mesma altura em que ela foi solta anteriormente. Repita esse</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>27</p><p>procedimento pelo menos três vezes. Compare o resultado medido com o calculado segundo</p><p>a equação do movimento.</p><p> Considere a energia potencial gravitacional da esfera na posição inicial em que a esfera foi</p><p>solta na canaleta. Com base no princípio de conservação da energia mecânica, determine o</p><p>módulo da velocidade da esfera no instante em que ela deixa a canaleta. Compare esse valor</p><p>com o obtido anteriormente. Comente os resultados.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>28</p><p>FORÇAS IMPULSIVAS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Há várias situações em que a força resultante que atua sobre um objeto varia com o tempo e, em</p><p>algumas delas, essa variação pode ocorrer em um intervalo de tempo muito curto. Isso acontece, por</p><p>exemplo, durante colisões.</p><p>De acordo com a segunda lei de Newton, d dtF p , ou seja, a variação do momentum de uma</p><p>partícula é igual à força resultante F que atua sobre ela. Considere que o momentum de uma partícula</p><p>muda de pi, no instante ti, para pf, no instante tf. A variação p no momentum dessa partícula é,</p><p>portanto,</p><p>f</p><p>i</p><p>f i</p><p>t</p><p>t</p><p>dt    p p p F . (1)</p><p>Define-se o vetor impulso I de uma força F que atua sobre uma partícula durante o intervalo de</p><p>tempo de ti a tf como</p><p>f</p><p>i</p><p>t</p><p>t</p><p>dt I F . (2)</p><p>Assim, o impulso da força resultante F que atua sobre uma partícula é igual à variação do</p><p>momentum da partícula, ou seja, I = p. Esse resultado é conhecido como Teorema do impulso-</p><p>momentum.</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Neste experimento, será estudado como a força de tração em um fio varia com o tempo quando</p><p>ele é esticado bruscamente. Esse estudo será feito com fios de materiais diferentes.</p><p>Objetivo</p><p> Medir e analisar a força de tração sobre um fio ao ser esticado bruscamente.</p><p>Sugestão de material</p><p> Computador, interface, sensor de força, suporte, fios de nylon e de algodão, objeto com</p><p>gancho para ser preso ao fio e régua.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>OBS. O processo de aquisição automática de dados e posterior tratamento dessas informações com</p><p>uso de computador é específico a cada experimento e depende da instrumentação e dos</p><p>programas utilizados. Explicações detalhadas sobre o uso do sistema de aquisição e dos</p><p>programas, assim como os parâmetros adequados ao experimento, deverão estar disponíveis</p><p>junto à montagem.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>29</p><p>A montagem utilizada neste experimento está mostrada na Fig. 1. Uma das extremidades de um</p><p>fio está presa em um sensor de força, ou transdutor, e um objeto está preso na outra extremidade. O</p><p>sensor de força é um dispositivo que converte a força exercida nele em um sinal elétrico. Esse sensor</p><p>é conectado a um computador por meio de uma interface. Um programa no computador monitora a</p><p>aquisição dos dados transmitidos pela interface e registra-os em um gráfico.</p><p>Ao ser solto de uma determinada altura, o objeto tem sua queda interrompida, bruscamente,</p><p>quando o fio é esticado. Neste experimento, será obtido o gráfico da tensão no fio em função do</p><p>tempo, durante esse processo.</p><p> Esboce o gráfico da tensão no fio em função do tempo, desde o instante em que o objeto é solto</p><p>até o instante em que ele fica em equilíbrio. Explique por que você espera que esse gráfico seja</p><p>dessa forma.</p><p>Figura 1 - Ao ser solta de uma certa altura,</p><p>uma esfera é freada, bruscamente, quando o fio</p><p>é esticado. A força que atua no fio, e é medida</p><p>pelo sensor, é registrada, em função do tempo,</p><p>em um gráfico no computador.</p><p> Procure familiarizar-se com os instrumentos e com o programa de aquisição de dados a ser</p><p>utilizado. A força que vai ser medida atua no sensor durante alguns centésimos de segundo.</p><p>Para obter um número suficiente de medidas nesse intervalo, deve-se escolher uma taxa de</p><p>aquisição de dados adequada – número de pontos a serem coletados por unidade de tempo.</p><p>No programa de aquisição de dados, escolha uma taxa de aquisição suficientemente alta para</p><p>registrar a variação da força durante o movimento a ser estudado.</p><p> Inicialmente, utilize, na montagem, um fio de algodão com cerca de 30 cm de comprimento.</p><p>Segure o objeto de forma que a tensão, no fio, seja nula e pressione o botão de tarar que se</p><p>encontra no próprio sensor para ajustar a leitura da força em zero. Então, posicione o objeto</p><p>a uma altura de, aproximadamente, 20 cm acima de sua posição mais baixa (esse valor deve</p><p>ser medido, pois será utilizado posteriormente). Inicie a aquisição de dados e, logo em</p><p>seguida, solte o objeto. Observe, na tela do computador, o gráfico da tensão no fio em função</p><p>do tempo.</p><p> Repita o experimento utilizando um fio de nylon.</p><p> Observe que, nos gráficos obtidos,</p><p>há vários picos associados aos intervalos de tempo em que</p><p>o fio está esticado. Você irá analisar apenas o intervalo correspondente ao primeiro pico. Com</p><p>um programa adequado, calcule a área sob os picos obtidos para os dois fios.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>30</p><p> Faça um diagrama das forças que atuam no objeto enquanto o fio é esticado e indique qual</p><p>força o sensor mede. Lembre-se de que, na equação 1, F é a força resultante sobre o objeto e</p><p>o sensor mede a tensão no fio. Com base nessas informações e no valor da área sob o primeiro</p><p>pico no gráfico, calcule o impulso da força resultante sobre o objeto.</p><p> Durante o movimento de queda livre do objeto, ou seja, do instante em que ele é solto até</p><p>imediatamente antes de ser puxado pelo fio, sua energia mecânica é conservada. Com base</p><p>nessa lei de conservação, calcule a velocidade do objeto imediatamente antes de o fio ser</p><p>tensionado. Com o valor do impulso da força resultante, determine a velocidade do objeto no</p><p>instante em que o fio deixa de exercer força sobre ele. Lembre-se de que o momentum final e</p><p>o inicial têm sentidos opostos. Calcule, então, a perda percentual de energia nesse processo.</p><p> Para os fios utilizados, compare os valores obtidos para a perda percentual de energia, a tensão</p><p>máxima no fio e o tempo de interação deste com o objeto e tente explicar as diferenças entre</p><p>eles. As formas das curvas F versus t são diferentes? Elas são simétricas? Por que?</p><p> Suponha que você vai saltar de uma determinada altura, preso a uma corda que vai sustentar seu</p><p>corpo para que você não atinja o solo. As curvas I e II do gráfico apresentado a seguir mostram</p><p>como varia a tensão em duas cordas em função do tempo, quando elas são tensionadas</p><p>bruscamente.</p><p>I</p><p>F</p><p>t</p><p>II</p><p>Apenas com base nesse gráfico, escolha com qual dessas cordas você acharia mais conveniente</p><p>saltar. Justifique sua escolha. Esboce o gráfico que você considera que seria o da tensão de uma</p><p>corda utilizada para saltos em bungee jumping.</p><p>BIBLIOGRAFIA</p><p> “Entendendo a Física do bungee jump”, A. Heck, P Uylings e E. Kedzierska, Physics</p><p>Education vol. 45, pág. 63 (2010).</p><p> A compreensão sobre dissipação de energia durante colisões é importante para a fabricação</p><p>de automóveis mais seguros. Procure sobre esse assunto na internet buscando termos como</p><p>“teste de colisão” ou “vehicle crash test”.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>31</p><p>PROPRIEDADES ELÁSTICAS DE SÓLIDOS</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Sob a ação de uma força externa, todo objeto deforma-se, ou seja, tem a sua forma e/ou dimensão</p><p>alterada. A razão entre essa força e uma determinada área de seção reta do objeto é chamada de</p><p>tensão. Diferentes tipos de deformação podem ocorrer dependendo do material, das dimensões do</p><p>objeto e do tipo de tensão a que ele é submetido. Se o objeto recupera sua forma primitiva após cessar</p><p>a atuação da força, essa deformação é elástica. Em geral, para pequenas deformações, a tensão é</p><p>proporcional à deformação e a constante de proporcionalidade é chamada de módulo de elasticidade.</p><p>O módulo de elasticidade depende do material de que é feito o objeto e do tipo de deformação</p><p>produzida; ele caracteriza o material quanto à rigidez ou flexibilidade: quanto maior o seu valor,</p><p>maior a rigidez do material (menor flexibilidade).</p><p>Uma tensão que atua perpendicularmente à superfície do objeto no sentido de puxá-la ou empurrá-</p><p>la, é chamada, respectivamente, de tração ou compressão. Considere a haste de comprimento x e área</p><p>da seção reta A, mostrada na Fig.1a, que é esticada de x por uma força F, perpendicular à superfície</p><p>da haste. Nesse caso, a tensão e a deformação são definidas por</p><p>F</p><p>tensão</p><p>A</p><p></p><p>e</p><p>x</p><p>deformação</p><p>x</p><p></p><p>,</p><p>e o módulo de elasticidade F A</p><p>Y</p><p>x x</p><p></p><p></p><p>é chamado de módulo de Young. Esse módulo é uma</p><p>propriedade do material que mede a resistência do sólido a tensões de tração. Esse resultado é</p><p>conhecido como lei de Hooke e é comumente expresso na forma</p><p>F k x </p><p>em que YA</p><p>k</p><p>x</p><p> é a constante de deformação elástica.</p><p>Na Fig. 1b, uma força F atua paralelamente à superfície de área A de um objeto, fazendo-a</p><p>deslocar-se de x em relação a outro plano paralelo, situado a uma distância y.</p><p>Nesse caso, a deformação e a tensão, são chamadas de cisalhamento e são definidas por</p><p>F</p><p>tensão decisalhamento</p><p>A</p><p></p><p>e</p><p>x</p><p>deformação decisalhamento</p><p>y</p><p></p><p></p><p>,</p><p>e o módulo de elasticidade F A</p><p>G</p><p>x y</p><p></p><p> </p><p>, chamado de módulo de cisalhamento, está associado à</p><p>resistência do material a tensões de cisalhamento.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>32</p><p>(a) (b)</p><p>Figura 1. Em (a), uma força F, aplicada perpendicularmente a uma das faces do bloco</p><p>produz uma deformação de tração. Em (b), se aplicada paralelamente a uma das faces, a</p><p>força produz uma deformação de cisalhamento.</p><p>Há outros módulos definidos para outros tipos de deformações de sólidos, mas que não serão</p><p>discutidos aqui.</p><p>Na Tabela 1, estão apresentados os valores médios dos módulos de Young e de cisalhamento de</p><p>alguns materiais.</p><p>Tabela 1</p><p>Valores aproximados dos módulos de</p><p>Young Y e de cisalhamento G de alguns</p><p>materiais.</p><p>Material Y (GPa) G (GPa)</p><p>Aço 200 a 207 76 a 83</p><p>Alumínio 69 26</p><p>Cobre 117 45</p><p>Ferro 170 a 200 75</p><p>Madeira (pinho) 11 4</p><p>Vidro (SiO2) 94 26</p><p>Nos experimentos que seguem, serão determinadas as constantes de deformação elástica e os</p><p>módulos de elasticidade de alguns materiais.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>33</p><p>CONSTANTE ELÁSTICA DE MOLAS</p><p>Na Fig. 2a, se vê uma mola helicoidal, de massa desprezível, pendurada por uma de suas</p><p>extremidades, em equilíbrio. Na Fig. 2b, um objeto de massa m está suspenso, em equilíbrio, na outra</p><p>extremidade da mola. O peso do objeto produz um alongamento x na mola e é equilibrado por uma</p><p>força F = kx exercida pela mola no objeto, em que k é a constante elástica da mola.</p><p>(a) (b)</p><p>Figura 2 - Mola em duas situações de equilíbrio:</p><p>em (a) a mola não está alongada e em (b) a mola</p><p>está alongada de x devido ao peso do objeto de</p><p>massa m.</p><p>(b) (b)</p><p>Figura 3. Associação de duas molas a) em</p><p>série e b) em paralelo.</p><p>Para pequenas deformações, a constante elástica da mola é dada por</p><p>F mg</p><p>k</p><p>x x</p><p> </p><p>(1)</p><p>em que g é a aceleração da gravidade.</p><p>Uma mola helicoidal com voltas bem juntas e com um diâmetro médio D muito maior que o</p><p>diâmetro d do fio, é deformada por uma força de torção no seu fio. Para esse tipo de mola, sua</p><p>constante elástica é dada por [P. Mohazzabi e J.P. McCrickard, Am. J. Phys. 57, pag. 639 (1989)]</p><p>4</p><p>38</p><p>Gd</p><p>k</p><p>ND</p><p></p><p>, (2)</p><p>em que N é o número de voltas da mola e G é o módulo de cisalhamento do material do fio.</p><p>Duas situações simples e interessantes de serem estudadas são os casos de associação de duas</p><p>molas em série e em paralelo, como mostrado na Fig. 3.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>34</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivos</p><p> Determinar a constante elástica de uma mola.</p><p> Determinar a constante elástica de uma associação de molas.</p><p> Determinar o módulo de cisalhamento do material de uma mola.</p><p>Material utilizado</p><p> Duas molas, objetos para serem pendurados na mola, suporte e régua milimetrada.</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>Este experimento consiste em se aplicar várias forças a uma mola vertical e medir os respectivos</p><p>alongamentos produzidos.</p><p> Pendure o suporte para os objetos na extremidade da mola, como ilustrado na Fig. 2. Coloque</p><p>um objeto de cada vez no suporte e anote, para cada um, a massa e o respectivo alongamento</p><p>produzido na mola.</p><p> Retire todos os objetos do suporte. A mola volta à sua posição inicial? O que se pode afirmar</p><p>sobre esse tipo de deformação?</p><p> Associe as duas molas em série, como mostrado na Fig. 3a. Repita o procedimento anterior</p><p>com este novo arranjo.</p><p> Associe, a seguir, as duas molas em paralelo, como mostrado na Fig. 3b e, depois, repita o</p><p>procedimento anterior com este arranjo.</p><p> Faça os gráficos de F versus x com os dados obtidos com uma mola, com as duas molas</p><p>associadas em série e com elas associadas</p><p>em paralelo.</p><p> Por meio de uma regressão linear, determine o valor da constante elástica e sua respectiva</p><p>incerteza, para cada uma das situações.</p><p> Sejam k1 e k2 as constantes elásticas, respectivamente, da primeira e da segunda molas. Com</p><p>o valor obtido para a constante elástica da associação de molas em série (ou em paralelo),</p><p>determine o valor de k2.</p><p> Explique por que na associação de molas em série o conjunto ficou “mais macio” do que com</p><p>cada mola individualmente e, na associação em paralelo, ficou “mais duro”.</p><p> Com um paquímetro, meça o diâmetro médio da primeira mola e, com um micrômetro, meça</p><p>o diâmetro do seu fio. Determine, então, o módulo de cisalhamento do fio da mola e comente</p><p>sobre o resultado obtido.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>35</p><p>DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UMA HASTE:</p><p>CONSTANTE DE FLEXÃO E MÓDULO DE FLEXÃO</p><p>Considere a situação em que uma haste, presa por uma de suas extremidades (Fig. 4), é flexionada</p><p>por uma força vertical aplicada na extremidade livre. Essa flexão depende do valor da força aplicada,</p><p>do material e da forma geométrica da haste. No regime elástico, o comportamento da haste será</p><p>análogo ao de uma mola, ou seja, o módulo F da força aplicada é diretamente proporcional à flexão</p><p>y produzida na haste – lei de Hooke –, ou seja,</p><p>F = kf y , (3)</p><p>em que kf é a constante de flexão da haste.</p><p>Figura 4 - Deformação de flexão y de uma haste</p><p>produzida pelo peso de um objeto pendurado na haste a</p><p>uma distância x do ponto em que ela está fixa.</p><p>A constante de flexão kf depende do material, do comprimento x, da largura l e da espessura e da</p><p>haste. No caso de uma haste muito comprida em relação às suas largura e espessura, pode-se mostrar</p><p>que</p><p>3</p><p>34f</p><p>Yle</p><p>k</p><p>x</p><p></p><p>(4)</p><p>PARTE EXPERIMENTAL</p><p>Objetivo</p><p> Determinar a constante de flexão e o módulo de Young de uma haste, no regime elástico.</p><p>Sugestão de material</p><p> Uma haste ou mais, prendedor, suporte, objetos de massa (mi ± mi), régua e paquímetro.</p><p>Como haste, pode-se usar uma lâmina de serra (“segueta”) de aço ou uma régua de madeira,</p><p>plástico ou de outro material.</p><p>São sugeridos dois procedimentos diferentes para se determinar a constante de flexão e o módulo</p><p>de Young da haste, ambos com base na montagem representada na Fig. 4 e nas equações 3 e 4. No</p><p>primeiro, a distância x entre o ponto de fixação da haste e a sua extremidade livre será mantida</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>36</p><p>constante e serão feitas medidas da flexão y para diferentes forças aplicadas na extremidade livre. No</p><p>segundo procedimento, a força aplicada na extremidade da haste é mantida constante, enquanto varia-</p><p>se a distância x (que é equivalente a reduzir o comprimento da haste).</p><p>PROCEDIMENTO</p><p>PARTE I</p><p> Com uma das extremidades da haste fixa no suporte, pendure, gradativamente, objetos na</p><p>extremidade livre e meça a flexão y correspondente a cada força aplicada.</p><p> Trace o gráfico de F versus y e, por meio de uma regressão linear, determine o valor da</p><p>constante de flexão da haste e sua respectiva incerteza.</p><p> Meça as dimensões da haste e calcule o valor do módulo de Young do material da haste e sua</p><p>respectiva incerteza. Comente o resultado obtido.</p><p>PARTE II</p><p> Com um objeto pendurado na extremidade da haste, varie a distância entre o ponto de fixação</p><p>e a extremidade livre da haste. Meça os valores correspondentes da flexão y para cada</p><p>comprimento x. Informe-se sobre o valor máximo que a haste pode ser deformada para</p><p>permanecer no regime elástico. Trace o gráfico de y versus x e, por meio de uma regressão</p><p>linear, determine o valor do módulo de Young do material da haste e sua respectiva incerteza.</p><p>Justifique o alto valor encontrado para a incerteza ∆E.</p><p> Compare o resultado encontrado com o valor médio do módulo de flexão para diferentes tipos</p><p>de aço, que é de (1,9 ± 0,2) x 1011 N/m2.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>37</p><p>APÊNDICE: CONSTANTE ELÁSTICA DE MOLAS EM SÉRIE E EM PARALELO</p><p>Considere duas molas de massas desprezíveis e de constantes elásticas k1 e k2, associadas em</p><p>série, como mostrado na Fig. A1(a).</p><p> Mostre que uma força de módulo F, aplicada na extremidade desse conjunto, atua igualmente em</p><p>cada uma das molas.</p><p>Os alongamentos produzidos em cada mola por essa força são dados por:</p><p>1</p><p>1</p><p>F</p><p>x</p><p>k</p><p> e 2</p><p>2</p><p>F</p><p>x</p><p>k</p><p></p><p>(a) (b)</p><p>Figura A1 – (a) Na associação de duas molas em série, a força F atua nas duas e o</p><p>alongamento de uma é independente do da outra. (b) Na associação de duas molas em</p><p>paralelo, a força aplicada é distribuída nas duas e o alongamento de uma é igual ao da outra.</p><p>O alongamento total do conjunto é dado por</p><p>xsérie = x1 + x2 =</p><p>sériek</p><p>F</p><p>,</p><p>e, então,</p><p>1k</p><p>F +</p><p>2k</p><p>F =</p><p>sériek</p><p>F </p><p>sériek</p><p>1 =</p><p>1</p><p>1</p><p>k</p><p>+</p><p>2</p><p>1</p><p>k</p><p>Com um raciocínio análogo, é fácil chegar-se à equação para n molas associadas em série:</p><p>sériek</p><p>1 =</p><p>1</p><p>1</p><p>k</p><p>+</p><p>2</p><p>1</p><p>k</p><p>. . . +</p><p>nk</p><p>1 .</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>38</p><p>Na associação mostrada na Fig. A1(b), com as duas molas de constantes elásticas k1 e k2</p><p>associadas em paralelo, a força F é aplicada no conjunto de forma a manter horizontal a haste que</p><p>une as molas. Portanto, quando em equilíbrio, as molas estarão alongadas de uma mesma quantidade</p><p>x e as forças exercidas F1 e F2 em cada uma se somam para anular a força F , ou seja,</p><p>F = F1 + F2 .</p><p>Da equação anterior, tem-se que</p><p>F = kparal. x = k1 x + k2 x = ( k1 + k2) x</p><p>em que k paral. é a constante elástica dessa associação.</p><p>Então,</p><p>k paral. = k1 + k2</p><p>Analogamente, chega-se a uma expressão para a constante elástica de n molas associadas em</p><p>paralelo:</p><p>k paral. = k1 + k2 + . . . + kn.</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>39</p><p>MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES: SISTEMA MASSA-MOLA</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Existem na natureza muitos fenômenos que apresentam um comportamento periódico, ou seja,</p><p>que se repetem em intervalos iguais de tempo. Variações periódicas de uma grandeza podem ser</p><p>descritas por uma soma de funções senoidais. Dos movimentos periódicos, um muito importante é o</p><p>que é produzido quando a força resultante sobre um objeto é proporcional e contrária ao seu</p><p>deslocamento. Esse movimento é chamado de harmônico simples e ocorre, por exemplo, no</p><p>movimento de oscilação de um objeto preso a uma mola.</p><p>Na Fig. 1, está mostrada uma montagem em que um objeto de massa m está em equilíbrio,</p><p>pendurado na extremidade de uma mola. Nessa situação, a resultante das forças que atuam nele é nula</p><p>e o sistema está parado na posição que será considerada x = 0. Se o objeto for deslocado verticalmente</p><p>de x, a partir dessa posição, e, em seguida, solto, ele passa a se mover sob a ação de uma força</p><p>resultante dada por</p><p>kxF  , (1)</p><p>em que k é a constante elástica da mola. Essa força é contrária ao sentido do deslocamento (por isso,</p><p>o sinal negativo) e, portanto, tende a levar o objeto de volta à sua posição de equilíbrio. Forças desse</p><p>tipo são chamadas de forças restauradoras.</p><p>Figura 1. Sistema massa-mola na vertical em que atuam no objeto de</p><p>massa m o seu peso P e a força elástica F da mola. Vê-se a posição do</p><p>objeto ao se deslocar x de sua posição de equilíbrio xo = 0.</p><p>Considerando-se a 2ª lei de Newton, pode-se escrever</p><p>2</p><p>2</p><p>( ) ( )d x t</p><p>m kx t</p><p>dt</p><p> </p><p>, (2)</p><p>em que x(t) é a equação do movimento, ou seja, descreve a posição do objeto em um instante t</p><p>qualquer.</p><p>A solução dessa equação diferencial é</p><p>Experimentos de Mecânica</p><p>40</p><p>)cos()(   tAtx , (3)</p><p>em que A é a amplitude do deslocamento,  = 2 /T é a frequência angular, T é o período, 1f T</p><p>é a frequência, e  é a constante de fase do movimento do objeto. A constante de fase do movimento</p><p>pode ser determinada a partir das condições iniciais do movimento do objeto, ou seja, conhecendo-se os valores</p><p>da sua posição e velocidade no instante t = 0.</p><p> Mostre que, para a equação 3 ser uma solução da equação 2, a frequência angular tem de ser dada</p><p>por</p><p>m</p><p>k . (4)</p><p>Portanto, o período de um</p>