Caderno de Laboratorio de Fisica - 2023-2 v2

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Instituto de Ciências Exatas e Informática 
 
CADERNO DE ATIVIDADES: 
LABORATÓRIO DE FÍSICA 
 
 
 
 
 
DFQ – Departamento de Física e Química 
Belo Horizonte, 2º semestre de 2023 
 
 
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SUMÁRIO 
 
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA DISCIPLINA............................................................................................. 5 
DETERMINAÇÃO DO TEMPO DE REAÇÃO DE UMA PESSOA ................................................................. 6 
MEDIÇÕES E INCERTEZAS ...................................................................................................................... 10 
MEDIDAS DIRETAS, INDIRETAS E PROPAGAÇÃO DE ERROS ............................................................. 14 
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO 𝝅 ............................................................................................................ 24 
GRÁFICOS E AJUSTES ............................................................................................................................ 26 
MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL .............................................................................................................. 33 
POSIÇÃO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE ........................................................................................ 39 
MOVIMENTO DE PROJÉTIL...................................................................................................................... 44 
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES E EQUILÍBRIO DE FORÇAS ................................................................ 48 
EQUILÍBRIO DE UM MÓVEL EM UM PLANO INCLINADO ....................................................................... 53 
ATRITO ESTÁTICO ................................................................................................................................... 58 
ATRITO CINÉTICO .................................................................................................................................... 61 
CONSTANTE ELÁSTICA DE MOLAS ........................................................................................................ 64 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UMA HASTE ............................................................................................ 69 
HISTERESE MECÂNICA ........................................................................................................................... 72 
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CILINDRO ............................................................................................. 77 
MOVIMENTO COMBINADO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO .................................................................. 80 
ROTAÇÃO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR ........................................................................................ 83 
OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES: SISTEMA MASSA-MOLA ............................................................. 90 
OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES: PÊNDULO SIMPLES .................................................................... 94 
OSCILADOR AMORTECIDO ..................................................................................................................... 97 
ANEXO I: SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES ........................................................................... 109 
ANEXO II: ORIENTAÇÕES GERAIS PARA REDAÇÃO DOS RELATÓRIOS TÉCNICOS ....................... 111 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................................................... 115 
 
 
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CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA DISCIPLINA 
 
Os critérios de avaliação das atividades realizadas nas disciplinas de laboratório de Física, 
ofertadas pelo Departamento de Física e Química nos diversos campi e unidades, são: 
 
1) DISTRIBUIÇÃO DE PONTOS: as disciplinas supracitadas deverão ter a pontuação 
distribuída em duas provas no valor de 30 (trinta) pontos e 40 (quarenta) pontos em 
atividades práticas. 
2) PROVAS: todas as provas devem ser individuais e com consulta apenas aos relatórios e 
cadernos de anotações. 
a. As provas devem conter questões relacionadas às atividades práticas realizadas em 
laboratório: metodologia, análise de dados, e interpretações teóricas. 
3) ATIVIDADES PRÁTICAS: os 40 (quarenta) pontos de atividades práticas devem ser 
distribuídos conforme a seguir: 
a. No mínimo 20 (vinte) pontos devem ser distribuídos em relatórios técnicos: 
i. Devem ser avaliados de 3 a 5 relatórios técnicos (individuais); 
ii. Todos os relatórios técnicos devem seguir o padrão indicado nas “Orientações 
Gerais” anexadas nos cadernos de roteiros; 
iii. Cada professor (a) deve expor claramente aos seus alunos, nos primeiros dias 
de aula, os critérios adotados nas correções de tais relatórios técnicos; 
iv. Os relatórios devem ser devidamente corrigidos e devolvidos aos alunos na 
aula seguinte à data da entrega. 
b. Os 20 pontos restantes podem ser distribuídos à critério do(a) professor(a); 
i. Exemplos: caderno de anotações, vídeos, testes, apresentações e etc. 
 
 
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DETERMINAÇÃO DO TEMPO DE REAÇÃO DE UMA PESSOA 
 
INTRODUÇÃO: 
Cada pessoa reage a um dado estímulo após um certo tempo. O intervalo de tempo entre a 
percepção de um estímulo externo e a resposta (ou reação) motora é chamado de tempo de reação. 
Os estímulos externos podem ser percebidos através do sistema sensorial, responsável pelo tato, 
paladar, visão, olfato e audição. 
Um atleta de natação treina exaustivamente a largada, que é realizada através de um 
estímulo sonoro (em geral é usado um apito). Quanto menor for o tempo entre a percepção do apito 
de largada e a reação muscular para saltar na piscina, maiores serão as chances de o atleta vencer 
a disputa. Já um piloto de Fórmula 1, por exemplo, treina a reação ao estímulo visual pois a largada 
da corrida se dá através de luzes que se apagam em um momento aleatório. 
O tempo de reação de uma pessoa depende do sistema sensorial que está sendo acionado. 
O tempo de reação a um estímulo visual para um piloto de Fórmula 1 provavelmente será menor 
do que o tempo que ele reagiria a um estímulo sonoro, por exemplo. Além disso, o tempo de reação 
depende de fatores fisiológicos, condicionamento físico, idade, sexo, e estado emocional. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivo: Determinar o tempo de reação de um grupo de alunos. 
Material Utilizado: Uma régua milimetrada. 
 
 Esta prática consiste em estimar o tempo de reação de uma pessoa através de um estímulo 
visual. A Figura 1 ilustra como a prática será desenvolvida: a pessoa que terá o tempo de reação 
medido (chamaremos de pessoa A) ficará com a mão na posição horizontal em uma altura 
constante (sugerimos colocar o antebraço apoiado sobre a mesa); uma outra pessoa (B) irá segurar 
a régua com a marca do zero entre o indicador e polegar da pessoa A, como representado na 
Figura 1-a. Em um certo momento, sem dar qualquer comando, a pessoa B irá soltar a régua e a 
pessoa A terá que segurá-la (lembrando de manter o braço sempre no mesmo nível). 
 Quanto mais a pessoa A demorar para reagir e segurar a régua, maior será a distância ℎ 
que a régua irá cair. Considerando que a régua cai sob ação apenas da força gravitacional, então 
a posição vertical do “zero” da régua será dada pela expressão: 
𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 (1) 
7 
 
onde consideramos o eixo 𝑦 positivo para cima, 𝑦0 é a posição no instante inicial, 𝑣0𝑦 é a 
velocidade inicial e 𝑔 = 9,8
𝑚
𝑠2
 é a aceleração gravitacional. 
 Tendo em vista que a posição inicial da marca do “zero” da régua está na linha de referência, 
então 𝑦0 = 0 𝑚. Como a régua foi solta, então 𝑣0𝑦 = 0 𝑚/𝑠 . Logo, a equação que descreve o 
movimento da régua reduz a 
𝑦(𝑡) = −
1
2
𝑔𝑡2 (2) 
 O instante em que a pessoa A segura a régua pode ser considerado como seu tempo de 
reação 𝑡𝑟. Nesse momento, a marca do “zero” da régua caiu por uma distância ℎ abaixo da linha 
de referência, ou seja, sua posição final é𝑦 = −ℎ no instante 𝑡𝑟 (lembre-se que estamos 
considerando o eixo 𝑦 positivo para cima); observe a Figura 1-b. Assim, fazendo 𝑡 = 𝑡𝑟 na equação 
(2), temos: 
𝑦(𝑡𝑟) = −
1
2
𝑔𝑡𝑟
2 
−ℎ = −
1
2
𝑔𝑡𝑟
2, 
isolando 𝑡𝑟 dessa equação, podemos encontrar a seguinte expressão para estimar o tempo de 
reação nesse caso: 
𝑡𝑟 = √
2ℎ
𝑔
 (3) 
 
 
Figura 1: Representação do procedimento para determinação do tempo de reação de uma pessoa 
através de um estímulo visual. 
 
8 
 
 
PROCEDIMENTOS: 
 
1) O aluno B segura uma régua milimetrada em posição vertical de tal maneira que o zero fique 
entre o indicador e o polegar do aluno A. O aluno B abandona inesperadamente a régua e o aluno 
A tenta pegá-la no menor tempo possível. Meça a distância ℎ a partir do zero, como indicado na 
Figura 1-b. Anote esse valor na Tabela 1. 
2) Repita esse procedimento 10 vezes e calcule, usando a equação (3), os respectivos tempos de 
reação para cada ensaio. Anote os valores na Tabela 1. 
3) Calcule o tempo médio de reação através de uma média aritmética dos resultados dos 10 
ensaios: 
𝑡𝑚𝑒𝑑 =
𝑡1 + 𝑡2 +⋯+ 𝑡10
10
 
onde 𝑡1 é o tempo de reação no primeiro ensaio, 𝑡2 é o tempo de reação no segundo ensaio, e 
assim sucessivamente. Anote o resultado na Tabela 2. 
4) Calcule o desvio médio do tempo de reação: 
Δ𝑡 =
|𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡1| + |𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡2| + |𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡3| + ⋯+ |𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡10|
10
 
Anote o resultado na Tabela 2. 
5) Calcule a incerteza relativa percentual de cada medida: 
𝜀 =
Δ𝑡
𝑡𝑚𝑒𝑑
× 100% 
Anote o resultado na Tabela 2. 
 
6) Repita os procedimentos de medidas para todos os integrantes do grupo. 
7) Discuta os resultados com os colegas. Compare a incerteza relativa percentual de cada um e 
identifique qual medida foi a mais precisa. A medida mais precisa foi a da pessoa que teve o menor 
tempo de reação? 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
Tabela 1: Medidas do tempo de reação de cada aluno. 
Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Aluno 5 
ℎ (𝑚) 𝑡 (𝑠) ℎ (𝑚) 𝑡 (𝑠) ℎ (𝑚) 𝑡 (𝑠) ℎ (𝑚) 𝑡 (𝑠) ℎ (𝑚) 𝑡 (𝑠) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 2: Tempo médio de reação, desvio médio e incerteza de cada aluno. 
 𝑡𝑚𝑒𝑑 (𝑠) Δ𝑡 (𝑠) 𝜀 (%) 
Aluno 1 
Aluno 2 
Aluno 3 
Aluno 4 
 
BIBLIOGRAFIA: 
[1] Guia para expressão da incerteza de medição. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT / INMETRO, 2003. 
Prática 2 – Medidas e erros. 
10 
 
MEDIÇÕES E INCERTEZAS 
 
INTRODUÇÃO: 
 
 A Física – assim como todas as outras ciências – apoia-se na observação sistemática dos 
fenômenos naturais para sustentar as teorias que permitem abordar toda uma classe de fenômenos 
semelhantes com as mesmas regras. As regras gerais, ou leis da Física, são as ferramentas 
utilizadas para explicar a dinâmica das grandezas físicas e a relação entre elas (as grandezas 
físicas são as quantidades que podem ser mensuradas). Uma boa fundamentação das leis da 
Física depende de métodos de medição e de procedimentos rigorosos para que os resultados das 
medições tenham reprodutibilidade. 
O resultado de uma medição deve especificar o valor da grandeza, a incerteza e a unidade. 
No Brasil, o sistema legal de unidades é o Sistema Internacional (SI) e as regras para a expressão 
dos resultados e das incertezas nas medições são definidas pela ABNT (Associação Brasileira de 
Normas Técnicas) e pelo INMETRO (Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade 
Industrial) [1]. 
Todas as medições de uma grandeza física são afetadas por uma incerteza, devido ao 
processo de medição, aos equipamentos utilizados, à influência de variáveis que não são medidas 
e, também, ao operador. A incerteza pode ser minimizada pela perícia do operador, mas, jamais 
eliminada, e quanto menor o seu valor mais confiável ou mais preciso é o resultado. Os resultados 
das medições devem ser expressos de modo tal que se possa avaliar a precisão com que foram 
feitas. 
A forma mais comum de se expressar o resultado da medição de uma grandeza 𝑥 é 
(𝑥 ± ∆𝑥) [unidade] (1) 
em que ∆𝑥 é a incerteza, que deve ser escrita com, no máximo, dois algarismos 
significativos1.Existem métodos diferentes para se estimar o valor de ∆𝑥. A escolha do método 
depende dos procedimentos adotados para medição de 𝑥 e se a medição é direta ou indireta. Uma 
medição é direta quando o resultado é lido diretamente no instrumento utilizado e indireta quando 
o resultado é obtido a partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação funcional 
entre elas. 
 
1 Ao contar os algarismos significativos de uma medição, devemos observar que o algarismo 
zero só é significativo se estiver situado à direita de um algarismo significativo. Assim, 
• 0,00082 tem apenas dois algarismos significativos (8 e 2), pois os zeros não são 
significativos. 
11 
 
• 80200 tem cinco algarismos significativos, pois aqui os zeros são significativos. 
• 0,000802 tem três algarismos significativos, pois os zeros à esquerda do algarismo 8 não 
são significativos. 
Nas atividades I e II estudaremos algumas regras relativas à avaliação e à expressão dos 
resultados de uma medição. Optou-se pela apresentação de métodos simplificados, mas que, ainda 
assim, satisfazem os propósitos gerais das disciplinas de Laboratório de Física. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
Objetivo: Determinar o tempo de queda de uma esfera com sua respectiva incerteza e avaliar a 
precisão e a acurácia do resultado. 
 
Material Utilizado: Esfera, cronômetro e régua. 
 
PROCEDIMENTOS: 
 
1) Abandone a esfera de uma altura ℎ e meça o tempo 𝑡 de queda. Como o resultado depende 
muito do reflexo do operador, é aconselhável repetir este procedimento 10 vezes. Anote os 
resultados na Tabela 1. 
 
𝑖 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
𝑡 (𝑠) 
Tabela 1: Tempo de queda de uma esfera medido 10 vezes. 
 
2) Determine o valor mais provável para o tempo de queda através de uma média aritmética: 
𝑡𝑚𝑒𝑑 = ____________________ 
 
3) A incerteza ∆𝑡 da medição é identificada com o desvio padrão definido como 
∆𝑡 = 
1
𝑛
∑|𝑡𝑚𝑒𝑑 − 𝑡𝑖|
𝑛
𝑖=1
 , (2) 
em que 𝑡𝑚𝑒𝑑 é o tempo médio, 𝑛 é o número de medidas e 𝑡𝑖 é a medida de ordem 𝑖. Calcule o 
desvio médio, expresse o resultado como em (1): 
 
∆𝑡 = ____________________ 
 
12 
 
Se o resultado encontrado é, por exemplo, 𝑡 = (0,62 ± 0,11) 𝑠, seria incorreto expressar 
esse resultado em qualquer das formas seguintes: 
 
• (0,62 ± 0,1128) 𝑠 - Nas normas da ABNT, recomenda-se que a incerteza da medição seja 
fornecida com, no máximo, dois algarismos significativos. Assim, mesmo que o processo de 
cálculo do desvio médio tenha fornecido o valor 0,1128, a norma recomenda que ele seja 
escrito como 0,1 ou 0,11. Se o algarismo abandonado for igual ou maior que 5, acrescenta-
se uma unidade ao algarismo que permaneceu. Caso se faça a opção por escrever a 
incerteza com um algarismo significativo, o resultado deve ser escrito na forma 𝑡 =
(0,6 ± 0,1)𝑠. 
 
• (0,6185 ± 0,11) 𝑠 - Mesmo que o processo de cálculo do valor médio tenha fornecido o valor 
0,6185, como a incerteza é de centésimos de segundo, não faz sentido indicar o resultado 
com precisão maior que centésimos de segundo, ou seja, os algarismos 8 e 5 não são 
significativos e não devem ser escritos. 
 
4) Anote, na Tabela 2, os resultados para 𝑡𝑚𝑒𝑑 e ∆𝑡 encontrados pelos grupos. Qual é o resultado 
mais preciso? 
A resposta desta questão é obtida a partir do cálculo do desvio médio percentual, definido 
como 
𝜀 =
∆𝑡
𝑡𝑚𝑒𝑑
 × 100%. 
O resultado com menor desvio médio percentual é o mais preciso. 
 
Tabela 2: Tempo médio, tmed, de cada grupo, com os respectivos valores do desvio médio, ∆t e desvio médio percentual, 
∆t (%). Gravidade, g, obtida com o tempo médio e seu desvio percentual com relação ao valor esperado,∆g (%). 
Grupo tmed (s) ∆t (s) 𝜀 (%) 𝑔 (𝑚/𝑠2) ∆𝑔(%) 
1 
2 
3 
4 
 
5) Qual é o resultado mais acurado, isto é, mais próximo do valor verdadeiro? 
A resposta desta questão pode ser obtida utilizando a expressão matemática que relaciona 
a posição de um corpo em movimento uniformemente acelerado e o tempo, 
13 
 
ℎ = 
𝑔𝑡2
2
. 
Uma vez que temos ℎ e 𝑡 podemos determinar a aceleração da gravidade 𝑔 e o quanto se 
desvia do valor verdadeiro ou convencional (9,8 𝑚/𝑠2) e, assim, verificar qual grupo realizou as 
medidas que fornecem um valor do tempo de queda, e consequentemente 𝑔 , de forma mais 
acurada. 
Calcule o valor de 𝑔 e o desvio percentual com relação ao valor esperado, definido como 
∆𝑔 =
|𝑔 − 9,8|
9,8
 𝑥 100 % 
Anote os resultados na Tabela 2. O resultado com menor desvio percentual com relação ao valor 
esperado é o mais acurado. 
 
 
 
14 
 
MEDIDAS DIRETAS, INDIRETAS E PROPAGAÇÃO DE ERROS 
 
 
INTRODUÇÃO: 
 
Medições Diretas 
 
Imagine que você esteja realizando uma medida do comprimento de um lápis usando uma 
régua conforme a Figura 1. Note que a menor divisão da régua utilizada é de 0,1 𝑐𝑚. Podemos 
observar, portanto, que o comprimento do lápis está entre 3,7 e 3,8 𝑐𝑚. Devido a resolução da 
régua não é possível ter garantia exata sobre a medida do comprimento do lápis, ou seja, não seria 
adequado representar seu comprimento como 3,78 𝑐𝑚 , por exemplo, onde o algarismo 8 (8 
centésimos de centímetro) está sendo avaliado. A informação de medida mais adequada nesse 
caso seria 3,75 𝑐𝑚, pois 0,05 𝑐𝑚 é a metade da menor divisão de escala da régua. 
Observe que estamos seguros em relação aos algarismos 3 e 7 pois eles foram obtidos 
através de divisões inteiras da régua, ou seja, você tem certeza deles. Entretanto, o algarismo 5 foi 
avaliado, isto é, você não tem certeza sobre seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 
4 ou 6, por exemplo. Por isso, esse algarismo avaliado é denominado algarismo duvidoso. 
 
Figura 1: Comprimento 𝐿 de um lápis. O resultado é 𝐿 = (3,75 ± 0,05) 𝑐𝑚 . Os algarismos 3 e 7 são certos e o 
algarismo 5 é duvidoso. A incerteza avaliada nesta medição é 0,05 𝑐𝑚, metade da menor divisão da escala da régua. 
 
A partir deste momento, você pode compreender que duas medidas expressas, por exemplo, 
como 87 𝑐𝑚 e 87,0 𝑐𝑚, não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira, o algarismo 7 
foi avaliado e não se tem certeza sobre o seu valor. Na segunda, o algarismo 7 é certo, sendo o 
zero o algarismo duvidoso. Do mesmo modo, resultados como 2,44 𝑐𝑚 e 2,46 𝑐𝑚, por exemplo, não 
são fundamentalmente diferentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso. 
Quando se realiza uma única medida de uma grandeza, a incerteza pode ser encontrada 
usando-se diferentes procedimentos, mas é sempre importante usar-se o bom senso. Uma regra 
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amplamente difundida é a de que a incerteza de uma medida isolada (erro de leitura) deve ser a 
metade da menor divisão da escala do instrumento de medida. Por exemplo, para se medir o 
comprimento do lápis da Figura 1, alguém poderia considerar como incerteza a metade da menor 
divisão, ou seja, 0,05 𝑐𝑚. Assim, a medida do comprimento do lápis seria escrita como 𝐿 = (3,75 ±
 0,05) 𝑐𝑚 . O resultado escrito dessa maneira indica que há uma incerteza de 0,05 𝑐𝑚 na 
determinação do comprimento do lápis. Entretanto, se essa régua for usada para medir a altura da 
porta da sala de aula, é claro que a incerteza não mais poderá ser de 0,05 𝑐𝑚. O procedimento de 
posicionar a régua várias vezes para completar a medida eleva muito a incerteza que poderá ser 
da ordem de centímetro. Portanto, essa regra tão difundida de que a incerteza é a metade da menor 
divisão da escala deve ser usada com muito cuidado. 
Quando se usa, por exemplo, um voltímetro analógico ou qualquer instrumento com ponteiro, 
tem-se que prestar atenção se a leitura é estável ou se o ponteiro oscila em torno de um valor. Se 
o aparelho indicar um valor fixo, pode-se considerar como incerteza a própria precisão do 
instrumento ou, no caso de não se ter essa informação, usar uma unidade da menor divisão da 
escala utilizada [2]. Se houver oscilação, é mais razoável calcular a incerteza a partir dos limites 
desta oscilação: o resultado de uma medida poderá ser qualquer valor dentro da faixa de oscilação. 
Como exemplo, considere que a única informação que um operador tem sobre uma medição de 
uma grandeza é que seu valor se situa entre os limites 𝑦𝑚𝑖𝑛 e 𝑦𝑚𝑎𝑥. Assim, é aceitável supor que 𝑦 
pode assumir qualquer valor dentro desse intervalo com igual probabilidade (distribuição 
retangular). Nesse caso, o valor mais provável da grandeza é dado por 
𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 + 𝑦𝑚𝑖𝑛
2
, 
e a incerteza padrão, estimada como desvio padrão dessa distribuição, é dada por 
∆𝑦 =
𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛
2√3
. 
O fator √3 decorre da distribuição retangular de probabilidade [2]. 
 
No caso de aparelhos digitais, a avaliação do desvio deverá ser feita como no caso anterior, 
através dos limites de oscilação, se houver oscilação, ou através da própria precisão do 
instrumento, se não houver oscilação. No caso de não se ter a informação da precisão do 
instrumento, pode-se considerar 3%. 
O desvio relativo é a razão entre a incerteza ∆𝑦 e o valor médio de y, 
∆𝑦
𝑦
. 
O desvio percentual é o desvio relativo expresso em percentual, 
∆𝑦
𝑦
× 100%. 
16 
 
 Os desvios percentuais permitem comparar as precisões das medidas. 
 
Medições Indiretas 
 
É muito comum não ocorrer a medição direta de uma grandeza y. Nesses casos, o valor da 
grandeza é obtido a partir das medições de N outras grandezas físicas e da relação funcional𝑦 =
𝑓(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑁) . Ao se expressar o resultado de 𝑦 obtido indiretamente a partir de cálculos, é 
importante apresentar qual é a incerteza associada a esse resultado, ou seja, qual é a 
consequência da propagação das incertezas. Abaixo segue um resumo de algumas regras úteis 
para determinação do desvio de uma grandeza medida indiretamente [2]. 
 
(i) Se y é a soma ou subtração de grandezas a, b, c,… então: 
∆𝑦 = ∆𝑎 + ∆𝑏 + ∆𝑐 + ⋯ 
(ii) Se y é a multiplicação de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 = 𝑘 ∆𝑎. 
(iii) Se y é a divisão de uma grandeza a por uma constante k então: 
∆𝑦 =
∆𝑎
𝑘
. 
(iv) Se y é a multiplicação ou divisão de grandezas a, b, c, … então: 
∆𝑦
𝑦
=
∆𝑎
𝑎
+ 
∆𝑏
𝑏
+ 
∆𝑐
𝑐
+ … 
(v) Se y é a potência n de uma grandeza a, então 
∆𝑦
𝑦
= 𝑛
∆𝑎
𝑎
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivos: (i) Realizar medidas diretas e indiretas, (ii) expressar os resultados com suas 
respectivas incertezas e (iii) conhecer o paquímetro, micrômetro, dinamômetro e o transferidor. 
Material Utilizado: Régua, paquímetro, micrômetro, dinamômetro, transferidor, bloco de madeira. 
 
Paquímetro: Frequentemente utilizam-se para a medição de comprimento na indústria o 
paquímetro, algumas vezes chamado de calibre, e o micrômetro também chamado de Palmer ou 
parafuso micrométrico. 
17 
 
Figura 2: Paquímetro de precisão 0,05 𝑚𝑚. Estimativa de um comprimento 𝑙 = 24,75 𝑚𝑚. Partes: 1) encostos; 2) 
orelhas; 3) haste de profundidade; 4) escala inferior (graduada em milímetros); 5) escala superior (graduada em 
polegadas); 6) nônio ou vernier inferior (𝑚𝑚); 7) nônio ou vernier superior (polegada); 8) trava. Figura adaptada de 
[4]. 
O paquímetro faz uso de uma escala auxiliar, chamada nônio ou vernier inferior, cujo 
comprimento é de 9 vezes a menor divisão da escala principal, subdividida em 10 partes. A imagem 
principal mostra as partes principais de um paquímetro. Ao fazer uma estimativa de um dado 
comprimento 𝑙 lê-se a quantidade de milímetros na escala principal. Em seguida, procura-se qual 
subdivisão do nônio coincide exatamente ao número de décimos de milímetro do comprimento 
medido. Examine o detalhe da figurae observe que o comprimento 𝑙 medido é 24,75 𝑚𝑚. Como 
precisão do paquímetro é 0,05 𝑚𝑚 , então a medida deve ser apresentada como 𝑙 = 24,75 ±
0,05 𝑚𝑚. 
Micrômetro: A Figura 3 mostra as partes principais de um micrômetro. Para cada avanço 
de 1 𝑚𝑚 do deslocamento axial do tambor na escala da bainha, o tambor gira 1 volta. Dividindo-se 
a circunferência 2𝜋𝑅 do tambor em 100 partes, cada divisão da escala do tambor será de 0,01 𝑚𝑚. 
Portanto, a resolução do micrômetro da Figura 3 é de 0,01 𝑚𝑚. 
18 
 
 
Figura 3: Micrômetro de 0,01 𝑚𝑚 de resolução. Figura adaptada de [5]. 
O dinamômetro é um instrumento usado para medir força. Os modelos mais usuais 
apresentam uma estrutura tubular, chamados dinamômetros tubulares, como o exemplo da Figura 
4. Esses dinamômetros possuem escalas com divisões de 1/100 (um centésimo) de sua 
capacidade máxima de carga (geralmente indicada no início do tubo da escala). Antes da utilização 
do dinamômetro é necessário ajustá-lo através do parafuso liberador da capa, de modo a nivelar o 
referencial (extremidade do tubo) com a marcação inicial da escala. 
 
Figura 4: Dinamômetro tubular de carga máxima de 2,00 𝑁 e incerteza de 0,01 𝑁. 
 
 Observe que no exemplo da Figura 4, a menor escala de medida é de 0,02 𝑁. Sendo assim, 
a carga máxima suportada por esse instrumento é de 2,00 𝑁. Além disso, suas medidas possuem 
incerteza de 0,01 𝑁. Ou seja, a leitura indicada no exemplo seria, portanto, de 1,10 ± 0,01 𝑁. 
 
19 
 
Atenção: seguem algumas recomendações importantes para manutenção e conservação 
do dinamômetro: 
➢ Nunca utilize o dinamômetro além da capacidade máxima indicada! 
➢ Nunca solte o dinamômetro bruscamente quando ele estiver distendido! 
 
A Figura 5 mostra um diagrama de um transferidor semicircular (de 180º), que é um 
instrumento usado para medir ou construir um ângulo de uma dada medida. Existem transferidores 
circulares, de 360º. Observe que em geral esses instrumentos possuem duas escalas de ângulos. 
No exemplo da Figura 5, a escala interna é usada para medir ângulos no sentido horário e a escala 
externa para medições no sentido anti-horário. 
 
Figura 5: Esquema de um transferidor de 180º. 
 
A Figura 6 mostra um exemplo de medida de ângulo entre as retas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵, que estão centradas 
na origem ou vértice do transferidor (𝑂 ). Como de praxe, antes de realizar qualquer medida é 
necessário verificar a menor escala do instrumento, que neste caso é de 1°. Portanto, a incerteza 
da medida será de 0,5°. Observe que a reta 𝑂𝐴 está alinhada entre o vértice do transferidor e o 
ângulo de 0°. A reta 𝑂𝐵 está alinhada entre o vértice e um ângulo de aproximadamente 58°. Como 
não é possível ter certeza absoluta do valor medido devido a escala do transferidor, então podemos 
dizer que neste caso o ângulo entre as retas é de 𝜃 = (58,0 ± 0,5)°. 
 
20 
 
 
Figura 6: Diagrama com a indicação de medida do ângulo entre as retas 𝑂𝐴 e 𝑂𝐵. 
 
 
 
 
Procedimento 1: 
 
1) Com a régua meça o comprimento (A) e a largura (B) de uma folha de papel A4. Para medir a 
espessura (C) da folha utilize o paquímetro. Como é impossível medir diretamente a espessura de 
uma única folha com o paquímetro, meça inicialmente a espessura de diversas folhas e divida o 
resultado pelo número de folhas. 
Escreva os resultados com as incertezas. 
 
A = ________________________ 
 
B = ________________________ 
 
C = ________________________ 
 
2) Tente medir diretamente a espessura da folha com o micrômetro. Compare o resultado com 
aquele encontrado com o paquímetro. 
3) Determine o volume da folha e escreva o resultado com a incerteza. 
 
Procedimento 2: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do dinamômetro e determine sua incerteza. 
21 
 
2) Fixe o bloco de madeira na extremidade do dinamômetro (suspenso verticalmente no tripé) e 
determine o valor do peso do bloco. 
 
Procedimento 3: 
 
1) Identifique o valor da menor divisão da escala do transferidor e determine sua incerteza. 
2) Determine o valor do ângulo 𝜃 da figura abaixo: 
 
 
 
Procedimento 4 (opcional) 
 
1) Meça as dimensões A, B e C da caixa, conforme ilustrado na Figura 8. Utilize primeiro a régua 
graduada em decímetro, depois em centímetro e finalmente em milímetro. Anote os resultados na 
Tabela 1. 
 
Figura 8: Caixa de dimensões 𝐴, 𝐵 e 𝐶. 
 
 
 
 
22 
 
 
Tabela 1: Dimensões 𝐴, 𝐵 e 𝐶 da caixa. 
MEDIDAS 𝐴 𝐵 𝐶 
𝑑𝑚 
𝑐𝑚 
𝑚𝑚 
 
Questões: 
a) Todas as medidas foram expressas com o mesmo número de algarismos significativos? 
b) Você introduziu algum algarismo para expressar alguma medida? Em caso afirmativo, isto 
ocorreu com todas as réguas? 
 
No presente caso, é permitido “acrescentar” um algarismo além dos que temos certeza ou que 
nos informa a régua, mesmo que isto seja praticamente impossível para a resolução de nossa 
visão. Desta maneira, o valor por nós expresso carregará consigo um erro (desvio) devido a nossa 
aproximação e à precisão do instrumento utilizado. Como expressar, então, o valor de nossas 
medidas e informar qual o erro (desvio) cometido? As grandezas serão expressas acrescentando-
se ao valor encontrado ± a metade da menor divisão do aparelho (desvio avaliado). Exemplo: 
(48,6 ± 0,5) 𝑐𝑚. 
 
c) Qual das réguas mediu com maior precisão? Por quê? 
d) Qual das grandezas (A, B ou C) está expressa com maior precisão, se medidas em 
milímetros? Para respondermos esta questão é importante entendermos o conceito de 
desvio relativo e/ou desvio percentual que é uma maneira de expressar de forma mais 
clara o quanto se “erra” ao especificar o valor medido de uma grandeza e de certa forma 
especificar a qualidade de um produto. O desvio relativo é o desvio avaliado dividido pelo 
valor medido (∆𝑥/𝑥) e o desvio percentual é o desvio relativo vezes cem p: 
∆𝑥
𝑥
× 100%. Sendo 
assim, determine o desvio percentual das grandezas 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 , medidas na escala 
milímetros. 
e) Calcule o volume da caixa e determine o desvio percentual e absoluto. Faça isso para as 
três escalas e anote os resultados na Tabela 2. 
 
 
 
23 
 
 
Tabela 2: Volume da caixa e seu desvio absoluto e percentual. 
Medidas / Unidades Volume Desvio absoluto (Δ𝑉) ∆𝑉/𝑉 (%) 
𝑑𝑚3 
𝑐𝑚3 
𝑚𝑚3 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] Guia para expressão da incerteza de medição. 3 ed. Rio de Janeiro: ABNT / INMETRO, 2003. 
[2] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[3] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
[4] PAQUÍMETRO. Wikipédia. Disponível em <https://pt.wikipedia.org/wiki/Paqu%C3%ADmetro>. 
Acesso em 17 de Julho de 2023. 
[5] STEFANELLI, E. Micrômetro em milímetro centesimal – uso, leitura e interpretação. Disponível 
em <https://www.stefanelli.eng.br/micrometro-milimetro-centesimal-leitura-uso/ >. Acesso em 17 de 
Julho de 2023. 
 
 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Paqu%C3%ADmetro
https://www.stefanelli.eng.br/micrometro-milimetro-centesimal-leitura-uso/
24 
 
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO 𝝅 
 
INTRODUÇÃO: 
Um dos números que despertam grande curiosidade é o famoso número “pi”, para o qual usa-se 
como símbolo a letra grega 𝜋. Ele é um número irracional, ou seja, sua representação em formato 
decimal não é definido ou limitado (como 3/4 = 0,75 ) e não é repetitivo ou cíclico (como 1/3 =
 0,333333…). Seu valor até a nona casa decimal é dado por 
𝜋 = 3,141592654 (1) 
Existem vários métodos e análises nas quais pode-se obter uma estimativa do número 𝜋. Nesta 
atividade iremos usar o fato de que a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu 
diâmetro é dado por 𝜋. Ou seja, para uma circunferência de comprimento 𝐶 e diâmetro 𝐷, o 
número 𝜋 pode ser obtido da seguinte maneira: 
𝜋 =
𝐶
𝐷
 
Daí, obtém-seuma relação linear entre o comprimento e o diâmetro de qualquer círculo: 
𝐶 = 𝜋𝐷 (2) 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
Objetivo: estimar o valor da constante 𝜋 através de uma análise gráfica. 
 
Material necessário: 
- 04 objetos em formato circular de diferentes diâmetros; 
- 01 fita métrica ou barbante e régua 
 
Procedimentos: 
1) Ordene os objetos em ordem crescente de diâmetro; 
25 
 
2) Meça o comprimento da circunferência e o diâmetro de cada objeto. Anote os respectivos 
valores na Tabela 1. 
 
Tabela 1: Medidas de circunferência e diâmetro de diferentes objetos circulares. 
Circunferência (cm) Diâmetro (cm) 
 
 
 
 
 
3) Plote um gráfico do comprimento em função do diâmetro. Observe o formato do gráfico e faça 
um ajuste linear. Com base na equação da reta que melhor se ajusta às medidas, determine a 
estimativa do número 𝜋 com sua respectiva incerteza. 
4) Calcule a diferença relativa percentual entre a estimativa do número 𝜋 e seu valor exato 
(considerando o mesmo número de algarismos da estimativa experimental). Discuta o resultado. 
𝜀 =
|𝜋 − 𝜋𝑒𝑥𝑝|
𝜋
× 100% 
 
 
 
 
 
 
26 
 
GRÁFICOS E AJUSTES 
 
INTRODUÇÃO: 
 
 Um dos principais objetivos de um experimento é relacionar como uma certa grandeza, 𝑌, 
se comporta com a variação de outra grandeza, 𝑋. Sendo assim, é fundamental organizar essas 
informações em tabelas. 
 Toda tabela deve conter: i) legenda iniciada com a palavra “Tabela” seguida pelo seu número 
que identifica sua ordem no texto; deve conter uma descrição sucinta do conteúdo da tabela 
apresentada, assim como variáveis, símbolos e abreviações (caso não estejam no texto); ii) 
cabeçalho na primeira linha da tabela apresentando os nomes e/ou símbolos das grandezas com 
suas respectivas unidades de medidas e incertezas (se necessário); iii) conteúdo organizado em 
linhas e colunas apresentando os resultados; em caso de dados numéricos, esses devem conter o 
número adequado de algarismos significativos. 
 Considere um experimento onde mediu-se a posição em diferentes instantes de tempo de 
um objeto, que se move ao longo de uma direção. A Tabela 1 mostra um exemplo. 
 
Tabela 1: Medidas de posição, 𝑥, em função do tempo, 𝑡, para um objeto que se move em uma 
direção. 
𝑥 (𝑚) 𝑡 (𝑠) 
0,0 1,0 
0,5 2,9 
1,0 2,7 
1,5 0,7 
2,0 −2,6 
2,5 −6,6 
3,0 −9,9 
3,5 −10,6 
4,0 −5,4 
4,5 11,3 
5,0 48,4 
 
 Observando atentamente os resultados apresentados na Tabela 1 é praticamente impossível 
compreender como a posição varia com o tempo. Para compreender o comportamento funcional 
da posição em relação ao tempo faz-se necessário usar um recurso gráfico para analisar o 
27 
 
movimento. A Figura 1 apresenta o gráfico das medidas realizadas na Tabela 1. 
 
 
Figura 1: Gráfico da posição em diferentes instantes de tempo de um objeto que realiza um 
movimento unidimensional. 
 
 Assim como as tabelas, os gráficos devem possuir: i) legenda, iniciando-se com “Gráfico” ou 
“Figura” seguida pelo número que identifica sua ordem no texto, bem como deve conter uma 
descrição do conteúdo apresentado, inclusive das variáveis, símbolos e abreviações não 
apresentadas no texto; ii) eixos com nomes e/ou símbolos das grandezas com as respectivas 
unidades de medidas; os eixos devem possuir uma escala adequada, permitindo a visualização 
clara de todas as medidas. 
 Para descobrir a relação funcional entre as grandezas medidas, é necessário fazer um ajuste 
de curva adequado para descobrir a função analítica que melhor descreve o comportamento 
experimental observado. No exemplo apresentado na Tabela 1 e Figura 1, é razoável pensar que 
uma curva que melhor se ajustaria aos dados experimentais seria algum tipo de polinômio. Ou seja, 
a posição em função do tempo deveria ser uma função do tipo 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑡𝛼 + 𝐵𝑡𝛽 + 𝐶𝑡𝛾, por exemplo, 
onde os parâmetros 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝛼, 𝛽 e 𝛾 poderiam ser determinados através de um método numérico 
de ajuste não-linear por mínimos quadrados. Em geral, esse procedimento é feito através de 
algoritmos computacionais. Destacamos também que os valores estimados através de métodos 
numéricos dos parâmetros em questão possuem incertezas. 
 
Regressão linear ou ajuste linear 
 
 Quando se observa que os dados experimentais em um gráfico têm um comportamento 
28 
 
linear, então lançamos mão de uma regressão linear para determinar qual é a equação da reta do 
tipo 𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵 que melhor se ajusta aos dados. A Figura 2-a mostra um exemplo no qual a posição 
varia de forma linear para um objeto que se move em uma direção. 
 
 
Figura 2: Gráficos de posição em função do tempo em um movimento unidimensional. (a) Os 
dados experimentais apresentam um comportamento aproximadamente linear. (b) Foi feita uma 
regressão linear para determinar a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos. 
 
 A Figura 1-b mostra uma reta que foi melhor representa o comportamento dos dados 
experimentais da posição em relação ao tempo. Se, por exemplo, os parâmetros dessa reta do tipo 
𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵 (1) 
são 𝐴 = 0,35 ± 0,12 e 𝐵 = 0,11 ± 0,05 e tendo em vista que, com base nos dados experimentais, a 
aceleração deve ser nula, então pela teoria de cinemática devemos ter 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 (2) 
 Comparando diretamente as equações (1) e (2) vemos que o eixo “𝑌” do gráfico corresponde 
fisicamente à posição (𝑌 ↔ 𝑥); o eixo “𝑋” do gráfico corresponde fisicamente ao tempo (𝑋 ↔ 𝑡); 
consequentemente a inclinação da reta 𝐴 corresponde à velocidade (𝐴 ↔ 𝑣0) e o coeficiente linear 
da reta 𝐵 corresponde à posição inicial (𝐵 ↔ 𝑥0), conforme o diagrama esquemático da Figura 3. 
 
Figura 3: Diagrama esquemático representando o significado físico da equação da reta da 
regressão linear dos dados experimentais. 
 
 Ou seja, podemos concluir que posição inicial do objeto era de 𝑥0 = (0,11 ± 0,05) 𝑚 e sua 
velocidade era 𝑣0 = (0,35 ± 0,12) 𝑚/𝑠. Assim, tendo em vista a equação (2), podemos escrever 
explicitamente que sua posição em qualquer instante de tempo será dada por (usando apenas os 
29 
 
valores médios dos parâmetros): 
𝑥(𝑡) = 0,11 + 0,35𝑡 (3) 
 
Regressão polinomial de segunda ordem 
 
 Outro caso muito comum que iremos lidar nos experimentos ao longo deste livro, é quando 
os dados experimentais apresentam um comportamento parabólico entre si. A Figura 4 mostra um 
exemplo desse tipo de situação. 
 
 
Figura 4: Gráficos de posição em função do tempo em um movimento unidimensional. (a) Os 
dados experimentais apresentam um comportamento aproximadamente parabólico. (b) Foi feita 
uma regressão polinomial de segunda ordem para determinar a equação da curva que melhor se 
ajusta aos pontos. 
 
 É notório pela Figura 4-a que a relação entre a posição e o tempo não é linear. O 
comportamento funcional em questão é aproximadamente uma função polinomial de segundo grau. 
Ou seja, o ajuste de curva adequado para esse exemplo seria um ajuste polinomial de segunda 
ordem do tipo 
𝑌 = 𝐴 + 𝐵𝑋 + 𝐶𝑋2 (4) 
para determinar os valores dos parâmetros 𝐴 , 𝐵 e 𝐶 que melhor se ajustam aos dados 
experimentais. 
 Esse exemplo é característico de um movimento com aceleração constante, no qual, pela 
teoria, a posição varia com o tempo da seguinte forma 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 (5) 
onde 𝑥0 e 𝑣0 são a posição e velocidade inicial, respectivamente, e 𝑎 é a aceleração. Comparando 
diretamente as equações (4) e (5) podemos concluir que: 𝐴 ↔ 𝑥0, 𝐵 ↔ 𝑣0 e 𝐶 ↔
1
2
𝑎. Por exemplo, 
30 
 
se 𝐴 = 9,9 ± 0,2, 𝐵 = 0,1 ± 0,1 e 𝐶 = 2,5 ± 0,3, então podemos ver que a posição inicial do objeto 
era 𝑥0 = (9,9 ± 0,2) 𝑚, sua velocidade inicial era de 𝑣0 = (0,1 ± 0,1) 𝑚/𝑠 e sua aceleração 𝑎 = 2𝐶 
→ 𝑎 = (5,0 ± 0,6) 𝑚/𝑠2. Assim, a posição em qualquer instante de tempo seria dada substituindo 
esses valores médios na equação (5): 
𝑥(𝑡) = 9,9 + 0,1𝑡 +
1
2
(5,0)𝑡2 
𝑥(𝑡) = 9,9 +0,1𝑡 + 2,5𝑡2 (6) 
 
Linearização 
 
 Há diversas circunstâncias nas quais as grandezas medidas não se comportam de forma 
linear, como foi possível ver no exemplo da Figura 4. Nesses casos é possível fazer algumas 
mudanças de variáveis na relação teórica entre as grandezas de tal forma que o gráfico se 
transforme em uma reta. 
O processo de linearização se inicia sempre do ponto de vista analítico, observando a 
relação funcional entre as grandezas do ponto de vista matemático, e propondo substituições de 
variáveis adequadas para chegar na desejada relação linear. Porém, não existem regras para se 
fazer uma linearização. Há diversas possibilidades nesse tipo de processo. A experiência e o bom 
senso acabam nos guiando em direção à abordagem mais conveniente para cada caso. 
 
Linearização de polinômio de segundo grau 
 
 Vamos considerar o exemplo dos dados experimentais representados na Figura 4-a, através 
dos quais poderíamos considerar que o movimento foi realizado com aceleração constante, tal que 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 (7) 
Caso seja conhecido que o experimento foi realizado com o objeto partindo do repouso, então 𝑣0 =
0 𝑚/𝑠 na equação (7), que se reduz a 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 +
1
2
𝑎𝑡2 (8) 
Naturalmente, ao plotar um gráfico de 𝑥 𝑣𝑠. 𝑡, com base na equação (8), vamos obter uma 
parábola como a da Figura 4-a. Observe que a curva tem um comportamento parabólico justamente 
pelo fato de o tempo estar ao quadrado no lado direito da equação (8). Assim, se substituirmos 𝑡2 
por uma nova variável, 𝑧, então 𝑡2 ≡ 𝑧 e a equação (8) poderá ser reescrita em função dessa nova 
variável 𝑧: 
𝑥(𝑧) = 𝑥0 +
1
2
𝑎𝑧 (9) 
31 
 
 Pela relação da equação (9) a posição 𝑥 varia linearmente com 𝑧. Quando plotamos o gráfico 
de 𝑥 𝑣𝑠. 𝑡 encontramos uma parábola (Figura 4-a), mas se plotarmos um gráfico de 𝑥 𝑣𝑠. 𝑧 devemos 
encontrar um comportamento linear como da Figura 5. É importante destacar também que como o 
eixo 𝑧 se refere aos dados do tempo ao quadrado, então no eixo horizontal do gráfico deve-se 
atentar também à unidade de medida (que estará ao quadrado). 
 
 
Figura 5: Gráficos de posição em função do tempo ao quadrado em um movimento 
unidimensional. Esse é o resultado de uma linearização. (a) Os dados experimentais apresentam 
um comportamento aproximadamente linear. (b) Foi feita uma regressão linear para determinar a 
equação da reta que melhor se ajusta aos pontos. 
 
 Tendo em vista que o comportamento da Figura 5-a é aproximadamente linear, então pode-
se realizar um ajuste linear para determinar os parâmetros da reta do tipo 
𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵 (10) 
que melhor se ajustam aos dados experimentais. Comparando diretamente as equações (9) e (10) 
podemos concluir que 𝐴 =
1
2
𝑎 → 𝑎 = 2𝐴 e 𝐵 = 𝑥0. 
 É importante destacar que os resultados da aceleração e posição inicial obtidos através de 
um processo de linearização não necessariamente serão iguais aos que seriam obtidos por um 
ajuste parabólico, tendo em vista a equação (7). Porém, os resultados seriam próximos dentro de 
uma margem de erro. Por exemplo, através do processo de linearização poderíamos obter que 𝐴 =
2,52 ± 0,10 → 𝑎 = (5,04 ± 0,20) 𝑚/𝑠² e 𝑥0 = 𝐵 = (10,2 ± 0,3) 𝑚. 
 
PROCEDIMENTOS: 
 
1) A Tabela 2 abaixo mostra a posição, 𝑥, em função do tempo, 𝑡, de uma partícula em movimento uniforme 
sobre uma superfície horizontal. 
32 
 
 
 
 
Tabela 2: Posição em função do tempo em um movimento uniforme. 
𝑥 (𝑚) 0,00 0,34 0,67 0,98 1,38 1,63 
𝑡 (𝑠) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 
 
a) Construa o gráfico 𝑥 versus 𝑡 usando o software SciDAVis. 
Observação: o SciDAVis pode ser baixado pelo link a seguir: https://sourceforge.net/projects/scidavis/ . 
b) Faça um ajuste linear e determinar os valores dos coeficientes angular A e linear B da reta do tipo Y=AX+B 
que melhor se ajusta aos dados. O valor de B é a ordenada do ponto onde a reta corta o eixo y e o valor de 
A é a inclinação da reta. 
c) Qual é o significado físico das constantes A e B? 
 
2) Uma partícula, em um plano horizontal, parte do repouso em um movimento com aceleração constante. 
A Tabela 3 mostra a posição 𝑥 em função do tempo 𝑡. 
 
Tabela 3: Posição em função do tempo em um movimento uniformemente acelerado. 
𝑥 (𝑚) 0,00 0,21 0,44 0,83 1,23 1,81 2,42 3,17 
𝑡 (𝑠) 0,0 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 
 
a) Com auxílio do programa SciDAVis, construa o gráfico 𝑥 versus 𝑡. Esse gráfico é linear? 
 
Em um movimento com aceleração constante, a posição varia no tempo através da relação: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 
Como, inicialmente, a partícula estava em repouso (𝑣0 = 0), podemos escrever: 
𝑥 = 𝑥0 +
1
2
𝑎𝑡2 
b) Faça uma linearização da função anterior e construa um gráfico linear com os novos dados. Qual é o 
significado físico dos coeficientes angular A e linear B? Determine-os através de uma regressão linear. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
[1] CORRADI, Wagner; et al. Física Experimental. Belo Horizonte, ed. UFMG, 2008. 
[2] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
[3] CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física: volume 1. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos 
e Científicos, 2006. 
https://sourceforge.net/projects/scidavis/
33 
 
MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 
 
INTRODUÇÃO: 
A descrição de um movimento (cinemática) é um problema fundamental em física. Para 
descrever um movimento unidimensional precisamos em primeiro lugar definir um referencial, que 
nesse caso é simplesmente uma reta orientada (definindo sentidos positivo e negativo) com escala, 
em que se escolhe uma origem, onde se marca a posição zero, como na figura abaixo: 
 
 
Figura 1: Registros de posição em diferentes instantes de tempo de uma garota 
andando de patinete ao longo da direção 𝑥. 
 
Nas discussões de cinemática tratamos todos os corpos como uma partícula, ou seja, suas 
dimensões são desconsideradas, de modo que sua posição é determinada pela posição do centro 
de massa do em relação a origem. A garota da Figura 1 pode se mover livremente ao longo da reta, 
de forma que sua posição muda com o passar do tempo. 
Como a posição 𝑥 da garota varia em função do tempo, 𝑡 , escrevemos que 𝑥 = 𝑥(𝑡) . 
Podemos representar os registros desse movimento em uma tabela, como indicado na Tabela 1. 
 
Tabela 1: Posição da garota em diferentes instantes de tempo. 
𝑡 (𝑠) 𝑥 (𝑚) 
0 15 
10 0 
20 -5 
30 5 
40 10 
50 15 
60 30 
 
Como foi discutido na prática de “Gráficos e ajustes”, diversos fenômenos podem ser melhor 
interpretados quando são realizadas análises gráficas, relacionando as variáveis de interesse. 
Nesse caso, a posição da garota em função do tempo pode ser representada graficamente como 
indicado na Figura 3. Os pontos marcados no gráfico são justamente as posições em cada instante 
de tempo medidas. Entretanto, é importante ressaltar que a curva que liga os pontos é apenas uma 
representação para auxiliar na análise do movimento, uma vez que não há informações suficientes 
para dizer quais são as posições nos instantes diferentes dos registrados na Tabela 1. 
 
34 
 
 
Figura 3: Gráfico da posição do carro em função do tempo. 
 
Vemos claramente nesse exemplo que a posição da garota varia em função do tempo. 
Definimos, então, a taxa de variação temporal da posição é a velocidade: 
 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
onde 𝑥 = 𝑥(𝑡) é a função posição que descreve o movimento. 
Pela definição matemática de derivada, como sendo a inclinação da reta tangente em um 
ponto, é notável que a garota tem diferentes velocidades em diferentes instantes, como mostrado 
na Figura 4, onde consideramos que a curva tracejada é de fato a função 𝑥(𝑡). 
 
Figura 4: Gráfico da posição do carro em função do tempo com registro da inclinação 
da reta tangente da curva 𝑥(𝑡) nos instantes. 
 
 
Como a inclinaçãoda reta tangente à curva 𝑥(𝑡) varia de ponto a ponto, então podemos 
concluir que a velocidade varia em relação ao tempo. Definimos a taxa de variação temporal da 
velocidade como aceleração: 
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
 
 Nesta prática iremos realizar a análise do movimento de um móvel que se move ao longo de 
35 
 
um plano inclinado, ou seja, ao longo de uma reta. O movimento será com aceleração constante 
(normalmente denominado “movimento retilíneo uniformemente variado”), de modo que sua 
posição é dada por 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 + 
1
2
𝑎𝑡2 
 
onde 𝑥0 e 𝑣0 são a posição e velocidade inicial, respectivamente, e 𝑎 é a aceleração (constante) do 
móvel. Pela definição de velocidade instantânea, como a derivada da posição em relação ao tempo, 
temos: 
 
𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎𝑡 
 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivos: Caracterizar o movimento unidimensional com aceleração constante; analisar o 
movimento através de gráficos de posição e velocidade 
 
Material Utilizado: Plano inclinado com sensores e cronômetro. 
 
Procedimentos 1: Movimento Retilíneo Uniforme 
1) Monte o equipamento, conforme Figura 5-a, com uma inclinação de 150. 
 
 
 
 (a) (b) 
Figura 5: Esfera em um tubo inclinado com fluido viscoso (fonte: www.cidepe.com.br). 
 
2) Com auxílio do imã posicione a esfera, que está no interior do tubo com meio viscoso, a 20 
mm antes da marca 0 mm da escala – Figura 5-b. 
3) Libere a esfera e meça o intervalo de tempo transcorrido para deslocamentos de 100 em 
100 𝑚𝑚. Anote os dados em uma tabela. 
4) Com o auxílio do programa SciDAVis, construa o gráfico de 𝑥 𝑣𝑠 𝑡. 
5) Este gráfico é linear? Qual o significado físico da inclinação da reta (coeficiente angular)? 
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cidepe.com.br/assets/img/content/products/plano_inclinado_kersting_eq001f_001.jpg&imgrefurl=http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/arquitetura/todos/plano-inclinado-kersting-eq001f&h=331&w=640&tbnid=A0OPf0cQN7f9mM:&zoom=1&docid=Z8lpsILIKwOmsM&ei=GG7eVMO_MoaxyASxu4LAAQ&tbm=isch&ved=0CCgQMygLMAs
http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.cidepe.com.br/assets/img/content/products/plano_inclinado_kersting_eq001f_004.jpg&imgrefurl=http://www.cidepe.com.br/pt/produtos/engenharia/fenomenos-de-transporte/plano-inclinado-kersting-eq001f&h=450&w=640&tbnid=1DI6xGY5a7DifM:&zoom=1&docid=3fO-ccZAq0IPgM&itg=1&ei=GG7eVMO_MoaxyASxu4LAAQ&tbm=isch&ved=0CCwQMygPMA8
36 
 
6) Determine, através do gráfico de 𝑥(𝑡), o módulo da velocidade da esfera. 
7) No movimento retilíneo uniforme a velocidade é constante e a função posição em função do 
tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣𝑡 . Então, escreva esta função para o movimento da esfera e 
determine a posição que a esfera deveria ocupar após 10 𝑠 de movimento. 
 
Procedimentos 2: Movimento Retilíneo Acelerado (Apenas para os laboratórios do Coração 
Eucarístico) 
1) Monte o equipamento, conforme a Figura 6, com uma inclinação de aproximadamente 2°. 
2) Libere a esfera do repouso, na calha lateral do plano inclinado, em 𝑥0 = 0 𝑚𝑚 e meça o 
intervalo de tempo de 50 em 50 𝑚𝑚 até a esfera chegar ao final da rampa. 
 
Figura 6: Esfera metálica no plano inclinado (fonte: www.cidepe.com.br) 
 
3) Construa o gráfico de 𝑥 𝑣𝑠 𝑡. 
4) Qual é o significado físico da inclinação da reta tangente a um ponto da curva 𝑥(𝑡)? 
5) O que acontece com a inclinação da reta tangente a cada ponto da curva 𝑥(𝑡) à medida que 
o tempo passa? 
6) Aceleração do movimento é zero ou diferente de zero? 
 
No movimento retilíneo uniformemente variado a aceleração é constante e a função posição em 
função do tempo é 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2. Nesse experimento a esfera partiu do repouso, então 
a sua posição em função do tempo se reduz a 
 𝑥(𝑡) = 𝑥0 +
1
2
𝑎𝑡2 
Discuta com seu grupo de trabalho e seu professor procedimentos simples para determinar 
experimentalmente a aceleração da esfera a partir do gráfico. 
 
Procedimentos 3: Movimento Retilíneo Acelerado (Atividade para os laboratórios das 
unidades Contagem, Praça da Liberdade e São Gabriel) 
Monte o plano inclinado com um sensor posicionado aproximadamente no meio da rampa, e coloque a cerca 
ativadora de 10 intervalos sobre o móvel, como indicado na Figura 7. 
 
37 
 
 
Figura 7: Montagem para o experimento. 
 
Procedimentos: 
 
A cerca ativadora possui 10 espaçamentos iguais de 18 mm de comprimento, de modo que o sensor 
é acionado a cada 18 mm. De acordo com o esquema indicado na Figura 8, o cronômetro inicia a contagem 
quando o ponto A passa pelo sensor e registra o tempo “t0,1” (tempo que o carro levou para percorrer o 
primeiro deslocamento, ou seja, 18 mm) quando o ponto B corta o feixe do sensor fotoelétrico. O tempo 
“t0,2” é o tempo que o carro leva para percorrer 36 mm (dois espaçamentos), entre os pontos A e C, e assim 
sucessivamente, até que o ponto E passa pelo sensor fotoelétrico, registrando o tempo “t0,10”, que o carro 
leva para percorrer 180 mm, entre os pontos A e E. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Diagrama esquemático da cerca ativadora. 
 
 
1) Regule o plano inclinado com ângulo de 5º, e selecione a função F3 (10 pass 1 sens) do cronômetro. 
2) Posicione o carro de modo que o início da cerca ativadora fique bem próximo ao ponto de ativação do 
sensor; 
3) Solte o carro, e anote na Tabela 2 os 10 tempos registrados de acordo com os respectivos deslocamentos. 
4) Plote um gráfico de x vs. t. Esse é o padrão esperado? Por quê? 
5) Calcule a velocidade média entre os sucessivos deslocamentos: 
 
𝑣𝑖
𝑚𝑒𝑑 =
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1
 
38 
 
onde 𝑖 = 1,⋯ ,10, 𝑥0 = 0 𝑚 e 𝑡0 = 0 𝑠. 
 
Anote as velocidades médias na Tabela 2. 
 
6) Plote um gráfico de vmed vs. t. O resultado é o esperado? Por quê? 
 (i) Faça uma regressão linear e determine os parâmetros A e B da reta. Quais são os significados 
físicos desses parâmetros? Estime o valor da aceleração, a1, do carro. 
 (ii) Usando o SciDavis, calcule a integral de entre vmed t0 e t10 e explique o significado desse 
resultado. 
7) Plote um gráfico de x vs. t². Faça uma regressão linear e determine os parâmetros A e B da reta. Qual é 
o significado físico do parâmetro A? Estime o valor da aceleração, a2, do carro. 
 
 
 
 
Tabela 2: medidas de tempo para cada espaçamento, e velocidades médias entre sucessivos 
deslocamentos. 
 𝑥 (𝑚) 𝑣𝑚𝑒𝑑 (𝑚/𝑠) 𝑡 (𝑠) 
0 0 0 0 
1 0,018 
2 0,036 
3 0,054 
4 0,072 
5 0,090 
6 0,108 
7 0,126 
8 0,144 
9 0,162 
10 0,180 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. 
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
[2] CIDEPE Livro de atividades experimentais – Física Experimental Mecânica – Plano inclinado. 
[3] www.cidepe.com.br (consultado em 13 de fevereiro de 2015) 
[4] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume 1: 
mecânica. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos, 2012. 
 
 
 
http://www.cidepe.com.br/
39 
 
POSIÇÃO, DESLOCAMENTO E VELOCIDADE 
 
INTRODUÇÃO: 
 
Em Física é fundamental estudar o movimento de uma partícula e o estudo do movimento 
só é possível a partir do conceito de localização da partícula em relação a um ponto considerado 
como origem de um sistema de coordenadas escolhido por nós. No nosso caso iremos trabalhar 
com o sistema de coordenadas cartesianas, mas poderíamos trabalhar com outro sistema de 
coordenadas se achássemos mais interessante. A partir da localização da posição da partícula em 
relação à origem do sistema de coordenadas, podemos dizer se sua posição se mantém fixa e a 
partícula está em repouso ou se a posição varia ao longo do tempo, indicando que a partícula está 
em movimento. Como a posição pode variar ao longodo tempo, para estudar o movimento 
precisamos também de um ou mais cronômetros para medir intervalos de tempo. Em uma trajetória 
retilínea a localização da partícula é feita com apenas uma coordenada, normalmente a coordenada 
𝑥 ( no movimento de queda livre normalmente usamos a coordenada 𝑦. Quando a trajetória da 
partícula ocorre no espaço de três dimensões precisamos das coordenadas cartesianas 𝑥, 𝑦 e 𝑧, 
como foi estudado na disciplina Geometria Analítica. Cada ponto 𝑃 do espaço onde a partícula está, 
num determinado instante t, é representado através das 𝑥, 𝑦 e 𝑧 . Assim criamos uma associação 
biunívoca entre pontos do espaço e números reais. O ponto 𝑃 está associado ao trio de números 
reais 𝑥, 𝑦 e 𝑧 e vice-versa, sendo essa associação representada como 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) . Quando a 
partícula se move ao longo do tempo podemos escrever as coordenadas como funções do tempo, 
𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡), sendo o instante de tempo t uma variável comum a todas as coordenadas, sendo 
chamado de parâmetro. O conjunto de pontos do espaço tridimensional por onde a partícula passa 
determina a trajetória da partícula, sendo que a cada ponto da trajetória localizamos a posição da 
partícula através de um vetor posição 
𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ + 𝑧�̂� 
 
Para dois pontos quaisquer A e B da trajetória a localização desses pontos é feita através dos 
vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐴𝑖̂ + 𝑦𝐴𝑗̂ + 𝑧𝐴�̂� e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑥𝐵𝑖̂ + 𝑦𝐵𝑗̂ + 𝑧𝐵�̂�. Para estudar o quando a partícula se 
desloca entre A e B, definimos o vetor deslocamento da partícula entre esses pontos como sendo 
 
∆𝑟 = 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ ou ∆𝑟 = (∆𝑥)𝑖̂ + (∆𝑦)𝑗̂ + (∆𝑧)�̂� 
 
40 
 
A partir do conceito de deslocamento e do intervalo de tempo para ocorrer o deslocamento, 
podemos definir o vetor velocidade média da partícula entre os pontos A e B. O vetor velocidade 
média é definido como 
�⃗�𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑟
∆𝑡
 
 
mas também pode ser escrito como 
�⃗�𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑥
∆𝑡
𝑖̂ +
∆𝑦
∆𝑡
𝑗̂ +
∆𝑧
∆𝑡
�̂� 
 
De acordo com essa definição, o vetor �⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅 possui a mesma direção e sentido do vetor 
deslocamento ∆𝑟. Há também o conceito de velocidade escalar média, definida como a razão entre 
a distância percorrida pela partícula e o intervalo de tempo necessário para percorrer essa distância 
𝑣𝑒𝑚 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 
 
O velocímetro dos carros e motos medem a velocidade escalar média, que é a velocidade 
independente da direção e do sentido. Embora os dois conceitos sejam úteis, o vetor velocidade 
média é mais utilizado na teoria. A partir de sua definição podemos definir o vetor velocidade 
instantânea e também trabalhar com os conceitos de vetores aceleração média e aceleração 
instantânea, assim como trabalhar com forças que atuam sobre uma ou mais partícula que são 
grandezas vetoriais. Nesta prática vamos aprender a trabalhar com os dois conceitos de 
velocidade, a vetorial e escalar. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivo: Aprender a construir os vetores posição de uma partícula como uma combinação linear 
de vetores unitários, calcular os vetores deslocamento e velocidade média e calcular a velocidade 
escalar media. 
 
Material Utilizado: Esfera, cronômetro, rampa e trena. 
 
PROCEDIMENTOS: 
1) Escolha de um sistema de coordenadas cartesianas: Usando uma das extremidades da 
mesa como origem de um sistema de coordenadas cartesianas, estabeleça o sentido para os eixos 
coordenados 𝑥, 𝑦 e 𝑧. É a partir da escolha de um ponto de referência como sendo a origem e da 
41 
 
orientação dos eixos que as coordenadas cartesianas de qualquer ponto da trajetória são 
encontradas. Veja a Figura 1 como referência. 
 
Figura 1: Diagrama esquemático do experimento. 
 
2) Encontrando as coordenadas: Utilizando uma trena meça os valores das coordenadas 
𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴 e 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵, 𝑧𝐵 para dois pontos A e B da rampa, como sugerido na figura acima. Os valores 
medidos serão as coordenadas dos pontos A e B, 
3) Construção dos vetores posição: Os vetores posição associados aos pontos A e B são, 
respectivamente, 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐴𝑖̂ + 𝑦𝐴𝑗̂ + 𝑧𝐴�̂� e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑥𝐵𝑖̂ + 𝑦𝐵𝑗̂ + 𝑧𝐵�̂� . Substitua as coordenadas 
encontradas acima e encontre os vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ . 
4) Verificação dos valores das coordenadas encontradas: Com as coordenadas dos pontos A 
e B podemos encontrar o módulo dos vetores posição 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ através do cálculo 
|𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ | = √𝑥𝐴2 + 𝑦𝐴2 + 𝑧𝐴2 e |𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ | = √𝑥𝐵2 + 𝑦𝐵2 + 𝑧𝐵2 
 
Calcule os módulos dos vetores posição acima e verifique, usando a trena, se os resultados obtidos 
são coincidentes com as distâncias entre a origem e o ponto A e entre a origem e o ponto B. 
5) Construção do Vetor deslocamento: Com os vetores 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ e 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ podemos construir o vetor 
deslocamento ∆𝑟 , com origem no ponto A e extremidade no ponto B, como mostra a figura abaixo. 
Como ∆𝑟 = 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ , construa o vetor 
∆𝑟 = (∆𝑥)𝑖̂ + (∆𝑦)𝑗̂ + (∆𝑧)�̂� 
6) Verificação do vetor deslocamento obtido: Calcule o módulo do vetor deslocamento |∆ 𝑟 | =
√∆𝑥2 + ∆𝑦2 + ∆𝑧2. O resultado do módulo deve ser igual ao comprimento do segmento de reta 
que liga os pontos A e B, como mostra a Figura 1. Usando a trena, verifique essa igualdade. 
 
 
 
42 
 
7) Medida do intervalo de tempo: Um dos nossos objetivos é determinar o vetor velocidade média 
da esfera entre os pontos A e B. Para isso precisamos medir o intervalo de tempo necessário para 
que a esfera percorra a trajetória entre esses pontos. Para medir esse intervalo de tempo libere a 
esfera do ponto A e simultaneamente, acione o cronômetro. Quando a esfera passar pelo ponto B, 
pare o cronômetro. A leitura no cronômetro será o valor de t. O intervalo de tempo t é uma medida 
que não se reproduz se a medida for feita mais de uma vez (iremos ver esse tipo de medida e como 
trabalhar com ela na prática da próxima semana). Pelo fato de haver um valor diferente para cada 
medida do intervalo de tempo, iremos repetir a medida 10 vezes e escolher o valor de t como 
sendo o valor médio. Preencha a tabela abaixo e na última coluna complete com o valor 
∆𝑡𝑚é𝑑𝑖𝑜 =
1
10
∑∆𝑡𝑖
10
𝑖=1
 
 
Tabela 1: Medidas dos intervalos de tempo. 
∆𝑡1 ∆𝑡2 ∆𝑡3 ∆𝑡4 ∆𝑡5 ∆𝑡6 ∆𝑡7 ∆𝑡8 ∆𝑡9 ∆𝑡10 ∆𝑡𝑚é𝑑𝑖𝑜 
 
 
8) Vetor velocidade média: Conhecendo o vetor deslocamento ∆𝑟 e o intervalo de t, que 
calculamos no item anterior, podemos calcular o vetor velocidade média a partir da equação 
�⃗�𝑚𝑒𝑑 =
∆𝑟
∆𝑡
=
∆𝑥
∆𝑡
𝑖̂ +
∆𝑦
∆𝑡
𝑗̂ +
∆𝑧
∆𝑡
�̂� 
Faça os cálculos e escreva o vetor �⃗�𝑚𝑒𝑑 em termos dos vetores unitários 𝑖̂, 𝑗̂ 𝑒 �̂� 
9) Módulo da velocidade média: Agora que temos o vetor velocidade média podemos encontrar 
o módulo desse vetor, ou seja o valor da velocidade média através da equação 
|�⃗�𝑚𝑒𝑑| = √(
∆𝑥
∆𝑡
)
2
+ (
∆𝑦
∆𝑡
)
2
+ (
∆𝑧
∆𝑡
)
2
 
 
10) Velocidade escalar média: Podemos agora calcular a velocidade escalar média e comparar o 
resultado com o valor obtido com o módulo da velocidade média calculado acima. Com a trena 
meça o comprimento 𝑠𝐴𝐵 da curva entre os pontos A e B. O valor da velocidade escalar média é 
calculado por 
𝑣𝐸𝑀 =
𝑠𝐴𝐵
∆𝑡
 
Compare os resultados de |�⃗⃗⃗�𝒎𝒆𝒅| e de 𝑣𝐸𝑀. 
 
 
 
43 
 
Questões: 
a) Compare o valor do módulo da velocidade média |�⃗�𝑚𝑒𝑑| calculado acima com o resultado da 
fração |∆𝑟|/∆𝑡 , sendo que o valor de |∆𝑟| foi calculado no item 6 e Δ𝑡 no item 7. Os valores de 
|�⃗�𝑚𝑒𝑑| e |∆𝑟|/∆𝑡 são iguais ou diferentes? O que você esperava obter e por quê? 
b) Mostre que a igualdade ∆𝑟 = 𝑟𝐴⃗⃗⃗⃗ − 𝑟𝐵⃗⃗ ⃗⃗ é obtida a partir da regra do paralelogramo que foi estudada 
em Geometria Analítica. 
44 
 
MOVIMENTO DEPROJÉTIL 
 
INTRODUÇÃO: 
Quando um objeto se move em um plano, para que sua posição seja completamente descrita, 
é necessário determinar as componentes de sua posição na direção 𝑥 e 𝑦, conforme a Figura 1. O 
vetor posição (em função do tempo) da partícula no plano 𝑥𝑦 será representado da seguinte forma: 
 
𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑖̂ + 𝑦(𝑡)𝑗̂ 
onde 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) são componentes da posição na direção 𝑥 e 𝑦, respectivamente, no instante 𝑡; 𝑖̂ e 
𝑗̂ são os vetores unitários que indicam o sentido positivo dos eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente. 
 
Figura 1: Coordenadas da posição de uma partícula que se move ao longo de uma trajetória 
no plano 𝑥𝑦. 
Define-se que o vetor velocidade da partícula será dado por 
�⃗�(𝑡) =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
e sua aceleração será 
�⃗�(𝑡) =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑟
𝑑𝑡2
 
 
 Um tipo de movimento bidimensional que é amplamente estudado em física é o movimento 
de um projétil, no qual a partícula está sujeita à uma aceleração constante �⃗� = −𝑔𝑗̂, onde 𝑔 =
9,8 𝑚/𝑠² é a aceleração gravitacional. Como esse é um movimento com aceleração constante, 
então as componentes 𝑥 e 𝑦 da posição são dadas por: 
 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑥𝑡 (1) 
 
45 
 
𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑣0𝑦𝑡 −
1
2
𝑔𝑡2 (2) 
 
onde 𝑣0𝑥 e 𝑣0𝑦 são as componentes da velocidade inicial ao longo dos eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente; 
𝑥0 e 𝑦0 são as componentes da posição inicial ao longo dos eixos 𝑥 e 𝑦, respectivamente. 
 As componentes da velocidade em função do tempo serão: 
𝑣𝑥(𝑡) = 𝑣0𝑥 (3) 
𝑣𝑦(𝑡) = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 (4) 
onde 𝒗𝒙(𝒕) e 𝒗𝒚(𝒕) são a velocidade na direção 𝒙 e 𝒚, respectivamente, em relação ao 
tempo. 
 
PARTE EXPERIMENTAL 
 
Objetivo: Comparar as características dos movimentos ao longo dos eixos 𝑥 e 𝑦, ou seja, verificar 
se o movimento do projétil é descrito pelas equações (1) e (2). 
 
Material Utilizado: Uma esfera de metal, uma rampa de altura ajustável, uma trena e um 
cronômetro. 
 
 Observe a montagem indicada na Figura 2. A rampa na qual a esfera irá descer, a partir do 
ponto 𝐴 (sempre com a mesma altura em relação a mesa) deve ser montada de tal maneira que a 
esfera passe pelo ponto 𝐵, saindo da superfície da mesa, com velocidade na direção horizontal. A 
esfera irá colidir com um anteparo móvel no ponto 𝐶. 
 
Figura 2: Uma esfera parte do repouso no ponto A e abandona uma superfície horizontal ao passar 
pelo ponto B. A esfera percorre uma distância horizontal x, com velocidade horizontal constante, 
até chocar-se com um anteparo. 
46 
 
 
 Entre os pontos 𝐵 e 𝐶 a esfera realizará um movimento de projétil, de tal forma que as 
equações que descrevem as componentes de sua posição em função do tempo serão justamente 
as equações (1) e (2); considerando o sistema de coordenadas indicado na Figura 2. 
 
PROCEDIMENTOS: 
1) Abandone a esfera no topo da rampa, sempre à mesma altura em relação a mesa. 
2) Posicione o anteparo a uma distância horizontal de 10,0 𝑐𝑚 do ponto 𝐵. 
3) Meça o tempo do movimento da esfera, a partir do momento em que deixa a rampa (ponto 
𝐵) até se chocar com o anteparo (ponto 𝐶). 
4) Meça a distância vertical 𝑦 que a esfera percorre da posição 𝐵 até se chocar com o anteparo 
(𝐶). 
5) Repita os procedimentos (1) a (4) aumentando a distância do anteparo de 10 em 10 𝑐𝑚. 
Anote todos os resultados na Tabela 1. 
 
Tabela 1: Relação entre as posições horizontal, 𝑥, e vertical, 𝑦, do projétil e o tempo, 𝑡. 
𝑥 (𝑚) 𝑦 (𝑚) 𝑡 (𝑠) 
0,100 
0,200 
0,300 
0,400 
0,500 
0,600 
0,700 
0,800 
 
ANÁLISE DOS DADOS: 
 
a) Movimento na direção 𝑥: construa o gráfico 𝑥 em função de 𝑡, com auxílio do programa 
SciDAVis. Faça uma análise gráfica e determine a componente horizontal 𝑣0𝑥 da 
velocidade de lançamento, com sua respectiva incerteza, comparando a equação empírica 
obtida com a equação (1). 
b) Movimento na direção 𝑦: 
i. construa o gráfico 𝑦 em função de 𝑡, com auxílio do programa SciDAVis. 
Utilizando um ajuste polinomial de segunda ordem, determine os valores de 
47 
 
𝑦0 , 𝑣0𝑦 e de 𝑔, com suas respectivas incertezas, comparando a equação 
empírica obtida com a equação (2). 
ii. Construa o gráfico 𝑦 em função de 𝑡2, com auxílio do programa SciDAVis. 
Faça a regressão linear e, considerando que 𝑣𝑜𝑦 = 0, determine novamente 
os valores de 𝑦0 e 𝑔. Os valores obtidos são compatíveis com os valores 
estimados no item anterior? 
c) Com os resultados experimentais de 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑣0𝑥 , 𝑣0𝑦 e 𝑔 , escreva explicitamente as 
equações para as componentes 𝑥 e 𝑦 da posição e velocidade em relação ao tempo. Ou 
seja, substitua os valores numéricos obtidos para esses parâmetros nas equações (1) a 
(4). 
d) Calcule a diferença relativa entre a estimativa experimental da aceleração da gravidade, 
𝑔𝑒𝑥𝑝, e seu valor teórico: 
Δ𝑔 =
|𝑔𝑒𝑥𝑝 − 9,8|
9,8
× 100% 
e) Escreva a equação para a trajetória da esfera, que deve ser uma parábola (quando se 
despreza a resistência do ar). 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. 
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
[2] CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física: volume 1. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros 
Técnicos e Científicos, 2006. 
 
48 
 
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES E EQUILÍBRIO DE FORÇAS 
 
INTRODUÇÃO: 
Força pode ser definida como a grandeza vetorial capaz de romper a inércia de um corpo. 
Pela segunda lei de Newton, um objeto terá seu estado de movimento alterado apenas se houver 
uma força resultante sobre ele. Ou seja, se um objeto está em repouso ou se movimentando com 
velocidade constante, essa velocidade pode ser alterada apenas se uma força resultante for 
aplicada: 
∑�⃗� = 𝑚�⃗� (1) 
onde ∑ �⃗� ≡ �⃗�𝑅 é a força resultante sobre o corpo de massa 𝑚 que possui aceleração �⃗�. 
 Quando um sistema está em repouso ou com velocidade constante, sua aceleração é nula. 
Nesse caso, dizemos que o sistema está em equilíbrio. Portanto, 
∑�⃗� = 0 (2) 
Se houver, por exemplo, três forças atuando sobre um sistema em equilíbrio: 
�⃗�1 + �⃗�2 + �⃗�3 = 0 (3) 
 
Decomposição de vetor 
Todo vetor pode ser representado em um diagrama em um sistema de coordenadas 
conveniente ao caso em estudo. Vamos analisar a representação e características de um vetor no 
plano cartesiano. A Figura 1 mostra um vetor �⃗� cujo módulo (ou intensidade), |�⃗�| ≡ 𝐹, é indicado 
pelo tamanho da flecha, cujo sentido indica o sentido do vetor e o ângulo de referência, 𝜃, indica a 
direção do mesmo. Um vetor é definido pelo seu módulo, direção e sentido. 
49 
 
 
Figura 1: Representação de um vetor no plano cartesiano. 
Observe que na Figura 1 existem dois vetores 𝑖̂ e 𝑗̂. Eles são chamados vetores unitários 
(pois possuem módulo unitário, ou seja |𝑖̂| = 1 e |𝑗̂| = 1) e apontam no sentido positivo do eixo 𝑥 e 
𝑦, respectivamente. A seguir, vamos ver como representar o vetor �⃗� na base dos vetores unitários 
cartesianos. 
Imagine que a flecha do vetor na Figura 1 seja um objeto real. Ao jogar uma luz sobre esse 
objeto no sentido perpendicular ao eixo 𝑥 podemos observar que haverá uma sombra da flecha �⃗� 
sendo projetada sobre o eixo 𝑥, como ilustrado na Figura 2-a. Essa projeção do vetor �⃗� na direção 
𝑥 é o que chamamos de componente em 𝑥 do vetor �⃗� , e a denotamos como �⃗�𝑥 . De maneira 
análoga, se a flecha do vetor �⃗� for iluminada no sentido perpendicular ao eixo 𝑦 poderemos 
observar uma sombra ao longo do eixo 𝑦, como pode ser visto na Figura 2-b. Essa projeção do 
vetor �⃗� na direção 𝑦 é chamada de componente em 𝑦 do vetor �⃗�, e a denotamos como �⃗�𝑦. 
 
Figura 2: Representação das componentes de um vetor. 
50 
 
Dizemos que o vetor �⃗� (Figura 3-a) é o resultado da soma de suas projeções nas direções 
𝑥 e 𝑦, ou seja 
�⃗� = �⃗�𝑥 + �⃗�𝑦 (4) 
que são representados na Figura 3-b. Observe que naFigura 2-b a componente �⃗�𝑦 foi desenhada 
sobre o eixo 𝑦 enquanto na Figura 3-b ela foi desenhada paralela ao eixo 𝑦 – ambas 
representações estão corretas, uma vez que qualquer vetor é invariante sob uma translação; em 
ambos os casos �⃗�𝑦 possui o mesmo tamanho e aponta na mesma direção e sentido. A 
representação como na Figura 3-b é muito conveniente, pois conseguimos relacionar o vetor e suas 
componentes com os lados de um triângulo retângulo e, assim, usar relações trigonométricas para 
calcular o valor das componentes, por exemplo. 
 
Figura 3: Representação de um vetor e suas componentes. 
 
Pela Figura 3-b é possível notar que as componentes �⃗�𝑥 e �⃗�𝑦 são maiores que os vetores 
unitários 𝑖̂ e 𝑗̂ (|𝑖̂| = 1 e |𝑗̂| = 1). Ou seja, �⃗�𝑥 e �⃗�𝑦 são múltiplos de 𝑖̂ e 𝑗̂, respectivamente. Pelo 
exemplo da Figura 4 podemos ver que �⃗�𝑥 é quatro vezes maior que 𝑖̂ enquanto �⃗�𝑦 é três vezes 
maior que 𝑗̂. Assim, podemos escrever explicitamente as componentes �⃗�𝑥 e �⃗�𝑦 na base dos vetores 
unitários: �⃗�𝑥 = 4𝑖̂ e �⃗�𝑦 = 3𝑗̂. Consequentemente, tendo em vista a equação (4), o vetor �⃗� pode ser 
representado na base dos vetores unitários cartesianos como: 
�⃗� = 4𝑖̂ + 3𝑗 ̂
51 
 
 
Figura 4: Relação entre as componentes de um vetor com os respectivos vetores unitários. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivos: Desenhar diagrama de forças; realizar decomposição de vetores; analisar a condição 
de equilíbrio de um sistema de forças. 
Material Utilizado: Painel de forças, dois dinamômetros de fixação magnética; dinamômetro; 
conjunto de massas aferidas com gancho, escala de ângulos de fixação magnética (transferidor), 
régua e transferidor acrílico. 
 
 Monte o painel de forças como indicado na Figura 5. Coloque três massas aferidas no 
gancho e posicione-o com os dois dinamômetros de forma que o ponto de junção das cordas 
(ponto 𝑃) fique no centro do painel, como indicado na Figura 5-b. Ajuste os dinamômetros para 
que suas respectivas cordas formem um ângulo de 60° com a direção vertical. 
 
 
Figura 5: (a) Montagem da prática. (b) Detalhe da montagem. Figura adaptada de [1]. 
52 
 
 
 
PROCEDIMENTOS: 
1) Faça a leitura nos dinamômetros e meça os valores dos módulos das forças 𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ e 𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ : 
𝐹1 = ________________𝑁 
𝐹2 = ________________𝑁 
2) Use a régua e o transferidor para fazer um desenho em escala do diagrama de forças 
aplicadas no ponto 𝑃, conforme a Figura 5-b. 
3) Calcule o valor das componentes em 𝑥 e 𝑦 das forças 𝐹1 e 𝐹2: 
 
𝐹1𝑥 = ________________𝑁, 𝐹1𝑦 = ________________𝑁 
𝐹2𝑥 = ________________𝑁, 𝐹2𝑦 = ________________𝑁 
Escreva os vetores �⃗�1 e �⃗�2 na base dos vetores unitários cartesianos. 
4) Calcule a diferença relativa percentual entre 𝐹1𝑥 e 𝐹2𝑥: 
𝜀 =
(𝐹1𝑥 − 𝐹2𝑥)
𝐹1𝑥
× 100% 
É possível confirmar que o sistema está em equilíbrio na direção 𝑥? 
5) Tendo em vista que o sistema está em equilíbrio na direção 𝑦, determine o módulo de 𝐹3. 
6) Compare o valor da força 𝐹3 com o peso das massas aferidas no gancho. 
7) Discuta os resultados. 
 
Bibliografia: 
[1] CIDEPE Livro de atividades experimentais- Física Experimental-Mecânica- Painel de Forças. 
53 
 
EQUILÍBRIO DE UM MÓVEL EM UM PLANO INCLINADO 
 
INTRODUÇÃO: 
 Você já deve ter observado que quando uma pessoa quer elevar um objeto a uma certa 
altura, em vez de suspendê-lo diretamente na direção vertical, é comum lançar mão de uma rampa 
para empurrá-lo até o destino final, conforme a Figura 1. Por exemplo, quando há uma obra e os 
trabalhadores querem jogar entulhos em uma caçamba, é comum vê-los subindo com os entulhos 
em um carrinho de mão, empurrando-o ao longo de uma rampa. 
Uma rampa que possui uma inclinação 𝜃 em relação à horizontal, é comumente chamada 
de plano inclinado – um tipo de máquina simples amplamente utilizada, que em geral facilita o 
esforço necessário para elevar uma carga. Acredita-se, inclusive, que os egípcios tenham 
construído suas pirâmides usando recursos de planos inclinados para levar os grandes blocos de 
pedra aos pontos mais altos; mas isso é um mistério. 
 
 
Figura 1: Carga sendo elevada a uma altura 𝐻 através de uma rampa de comprimento 𝐿 e 
inclinação 𝜃. 
 
 Há uma razão para o fato de planos inclinados serem vastamente utilizados. Os planos 
inclinados possuem um fator chamado vantagem mecânica, que é definido como a razão entre a 
força motora (força que o carregador exerce sobre o refrigerador da Figura 1, por exemplo) e a 
força resistente (peso do refrigerador): 
𝑉𝑀 ≡
𝐹𝑀
𝐹𝑅
 
 
Essa vantagem mecânica depende basicamente do ângulo de inclinação da rampa. Se o 
carregador da Figura 1 quisesse suspender verticalmente o refrigerador, ele teria que exercer uma 
força motora no mínimo igual ao peso do refrigerador. Porém, lançando mão de uma rampa com 
54 
 
inclinação 𝜃, ele poderá exercer uma força (motora) menor que o peso da carga. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivos: identificar as forças que atuam sobre um móvel em um plano inclinado, representando-
as através de um diagrama de forças; calcular a vantagem mecânica de um plano inclinado; estudar 
como a força motora varia com a inclinação do plano. 
 
Material necessário: 
Carro com pêndulo orientador de força acoplado; balança; dinamômetro; transferidor e régua. 
 
Montagem: 
 
Usando o dinamômetro, determine o peso do móvel formado pelo conjunto do móvel com 
seu pêndulo orientador de força acoplado. 
Prenda a cabeceira do dinamômetro entre os dois fixadores, de modo que o dinamômetro 
fique paralelo à rampa. Atenção para verificar o “zero” no dinamômetro antes de prendê-lo ao carro. 
Coloque o móvel sobre o plano e conecte-o ao dinamômetro, de modo que o pêndulo de orientação 
fique na vertical, como na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Esquema de montagem da prática. Retirado de [2]. 
 
 
 
55 
 
 
Procedimento 1: 
 
1) Ajuste o manípulo do fuso de modo a inclinar o plano com ângulo de θ=30º. 
2) Prenda o móvel pela conexão flexível ao dinamômetro. Atenção para que o indicador de 
orientação da força gravitacional atuando no carrinho não toque na base do conjunto. Procure 
manter o dinamômetro e a corda que prende o carrinho paralelos ao plano da rampa (eixo 𝑥 – 
Figura 3). 
3) Usando o transferidor e régua, desenhe um esquema do plano inclinado com o objeto, como 
indicado na figura abaixo. Atenção para desenhar o esquema do plano com mesmo ângulo da 
montagem da prática. 
 
 
Figura 3: Diagrama esquemático da montagem. 
 
4) Usando a régua, faça o diagrama de forças que atuam sobre o móvel. 
5) Usando o transferidor, anote o ângulo 𝜃′ que a força gravitacional faz com a sua componente 𝑦; 
𝜃′ = ______ 
6) Com base no valor do ângulo 𝜃′, calcule o valor da componente 𝑥 da força gravitacional, 
𝑃𝑥 = __________ 
- Faça a leitura no dinamômetro e anote o valor da força, 𝐹𝐷, que o dinamômetro exerce sobre o 
móvel: 𝐹𝐷 = _______________ 
 
- Calcule o erro relativo percentual entre a força exercida pelo dinamômetro, 𝐹𝐷, e a componente 
𝑃𝑥 da força gravitacional: 
 
𝜀 =
|𝐹𝐷 − 𝑃𝑥|
𝑃𝑥
× 100% 
 
- Considerando uma tolerância de 10%, é possível dizer as duas forças são iguais? Isso era 
esperado? Justifique! 
56 
 
 
7) Calcule o valor da componente 𝑦 da força gravitacional, 𝑃𝑦 = ____________ 
 
- Aplique a segunda lei de Newton sobre o bloco na direção 𝑦 e determine o valor da força normal 
atuando sobre o móvel, 𝑁 = _______________ 
 
8) A força que o dinamômetro exerce, 𝐹𝐷, para deixar o móvel em equilíbrio é o valor mínimo 
necessário para movimentá-lo para cima ao longo do plano. Essa força é chamada de força 
motora, 𝐹𝑀; já a força gravitacional é a força resistente, 𝐹𝑅. Define-se como vantagem mecânica 
do plano inclinado, 𝑉𝑀, a razão entre a força motora e a força resistente: 
 
𝑉𝑀 ≡
𝐹𝑀
𝐹𝑅
 
 
- Calcule a vantagemmecânica desse plano inclinado. 
 
Procedimento 2 (opcional): 
1) Meça a massa do móvel; 
2) Tendo em vista que, pelo equilíbrio de forças na direção 𝑥, a força exercida pelo dinamômetro é 
igual à componente 𝑃𝑥 da força peso, ou seja, 
𝐹𝐷 = 𝑃𝑥 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 
varie o ângulo do plano e anote os valores correspondentes da força exercida pelo dinamômetro, 
por leitura direta no aparelho, preenchendo a Tabela 1. 
 
Tabela 1: Força exercida pelo dinamômetro em função da inclinação do plano. 
 𝜃 (°) 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹𝐷 (𝑁) 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
 
3) Plote um gráfico de 𝐹𝐷 vs. 𝑠𝑒𝑛𝜃 e faça uma regressão linear. Qual o significado físico do 
57 
 
parâmetro 𝐴 (coeficiente linear) fornecido pela regressão linear? 
4) Estime o valor da aceleração da gravidade. Calcule o erro relativo entre essa estimativa e o 
valor exato, 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠². 
5) Qual seria o valor da força exercida pelo dinamômetro caso o plano fosse inclinado em 90°? 
6) Demonstre que a vantagem mecânica do plano inclinado é 
 
𝑉𝑀 =
𝐹𝑀
𝐹𝑅
= 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
BIBLIOGRAFIA: 
[1] SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. 
São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
[2] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Plano 
inclinado com sensores e multicronômetro de rolagem de dados. 
 
 
58 
 
ATRITO ESTÁTICO 
 
INTRODUÇÃO: 
 
 A força de atrito estático, 𝑓𝑒, atua em um corpo em repouso em relação a uma superfície, 
sempre que o mesmo tende a deslizar sobre esta superfície. Essa força varia desde zero, quando 
não há tendência de movimento do corpo relativo à superfície, até o valor máximo, quando o corpo 
estiver na iminência de se mover relativamente à superfície, ou seja: 
 
0 ≤ 𝑓𝑒 ≤ 𝑓
𝑚á𝑥 
Experimentalmente observa-se que a força de atrito estático máxima é 
𝑓𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑒𝑁 
onde 𝜇𝑒 é o coeficiente de atrito estático (depende basicamente da natureza das superfícies e é 
praticamente independente da área de contato entre elas) e 𝑁 a força que a superfície exerce sobre 
o corpo, sempre normal ao ponto ou região de contato. 
 Nesta prática serão estudadas duas maneiras simples de se determinar o coeficiente de 
atrito estático entre duas superfícies. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
Objetivo: Determinar o coeficiente de atrito estático entre duas superfícies. 
 
Material necessário: 
- 01 plano inclinado com escala de 0 a 45º; 
- 01 rampa auxiliar; 
- 01 corpo de prova de madeira com uma face esponjosa; 
- 01 cilindro maciço; 
- 01 dinamômetro; 
- 01 balança digital. 
 
Procedimento 1: determinação de µ𝒆 usando dinamômetro 
 
- Determine a massa do corpo de prova: 
1) Com o plano inclinado na horizontal, coloque o bloco sem carga com a face de madeira sobre a 
rampa auxiliar, conectado ao dinamômetro paralelo à superfície, conforme a Figura 1. 
 
59 
 
 
Figura 1: Montagem da prática. 
 
Aumente gradativamente a força aplicada através do dinamômetro. 
2) Registre o valor aproximado da menor força aplicada capaz de iniciar o movimento entre as 
superfícies (não se esqueça da incerteza): 
- Desenhe um diagrama de forças atuando sobre o bloco. Determine o valor da força normal, 𝑁, 
entre a mesa e o bloco. 
- Como 
𝑓𝑒,𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
 
determine o valor do coeficiente de atrito estático entre as duas superfícies. 
 
 
3) Repita todo o procedimento colocando uma carga (cilindro maciço) de massa 𝑚 = ___________𝑘𝑔 
sobre o bloco. 
 
Responda e justifique as questões abaixo: 
 
- Por que as forças externas aplicadas inicialmente, dentro de um certo limite, não foram suficientes 
para movimentar o bloco? 
 
- Há diferença na estimativa da força mínima para iniciar o movimento nos dois casos (com e sem 
carga sobre o bloco)? E em relação à força normal agindo sobre o bloco nos dois casos? 
 
- Houve diferença na estimativa do coeficiente de atrito estático entre as superfícies nos dois casos? 
 - Haveria alguma diferença se a face esponjosa do bloco estivesse em contato com a rampa 
auxiliar? 
 
 
 
60 
 
Procedimento 2: determinação de µ𝒆 usando plano inclinado 
 
- Monte o plano inclinado com a rampa auxiliar (que deve estar limpa antes de começar o 
experimento). Coloque o corpo de prova com a face de madeira em contato com a rampa auxiliar, 
com pequeno ângulo de inclinação, de modo que o bloco fique estático. 
- Desenhe um diagrama de corpo livre do bloco na rampa. 
- Demonstre que quando o objeto está na iminência de se mover, na inclinação crítica θc, o 
coeficiente de atrito estático é dado por 
𝜇𝑒 = 𝑡𝑎𝑛𝜃𝑐 
1) Eleve com a mão a inclinação da rampa lentamente, até que o objeto esteja prestes a se mover. 
Anote o valor desse ângulo crítico na Tabela 2, e estime o correspondente valor de µe; 
2) Diminua a inclinação da rampa, e repita o procedimento (1) por cinco vezes. 
3) Calcule o valor médio e o desvio médio de 𝜃𝑐 e 𝜇𝑒. 
 
Tabela 2: medidas do ângulo crítico e coeficiente de atrito estático 
Ensaios 
Face de madeira 
𝜃𝑐 𝜇𝑒 
1 
2 
3 
4 
5 
Média 
Desvio médio 
 
- Considerando uma tolerância de 10%, as estimativas de 𝜇𝑒 entre os procedimentos 1 (sem carga) 
e 2 são diferentes? Se sim, explique porque, já que as superfícies são as mesmas. 
 
 
61 
 
ATRITO CINÉTICO 
 
INTRODUÇÃO: 
 
 A força de atrito cinético é aquela que age sobre um corpo quando em movimento relativo à 
superfície de apoio. Em se tratando de superfícies sólidas, a experiência tem mostrado que a força 
de atrito é praticamente constante e depende apenas das superfícies e da força normal que uma 
superfície exerce sobre a outra. A força de atrito cinético é dada por: 
 
𝑓𝑐 = 𝜇𝑐𝑁 
 
onde 𝜇𝑐 é o coeficiente de atrito cinético e 𝑁 é a força normal que a superfície exerce sobre o corpo, 
sempre normal ao ponto ou região de contato. O coeficiente de atrito é uma quantidade 
adimensional e deve ser determinado experimentalmente. Seu valor depende das propriedades do 
corpo e da superfície em que este está em contato. Em geral, o coeficiente de atrito cinético é 
menor que o coeficiente de atrito estático. Portanto, a intensidade da força de atrito cinético é menor 
do que a intensidade máxima da força de atrito estático que age sobre o corpo em repouso. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
Objetivos: Determinar o coeficiente de atrito cinético entre um objeto e uma superfície. 
 
Material necessário: 
 
- 01 plano inclinado com escala de 0 a 45º com dois sensores e cronômetro; 
- 01 rampa auxiliar acrílica; 
- 01 corpo de prova de madeira com uma face esponjosa; 
- 01 balança; 
 
Procedimentos: 
1) Meça a massa do corpo de prova: 𝑚 = _____________𝑘𝑔 
2) Deixe a rampa com inclinação, θ = _______ , fixa em relação a horizontal de modo a garantir que 
o objeto deslize ao ser colocado na rampa (com a superfície de madeira em contato). Ver Figura 3. 
62 
 
 
Figura 3: Diagrama esquemático da montagem. 
 
3) Abandone o objeto sobre a superfície inclinada para que o objeto desça em movimento 
acelerado. 
4) Meça o tempo para o objeto percorrer 5,0 𝑐𝑚. Anote o resultado na Tabela 1. 
5) Repita os procedimentos, soltando o bloco do alto da rampa, e meça os respectivos tempos que 
ele leva para percorrer distâncias de 5,0 em 5,0 𝑐𝑚 até chegar ao final da rampa. 
 
Tabela 1: Medidas de tempo para cada deslocamento ao longo do plano. 
 𝑥 (𝑚) 𝑡 (𝑠) 
1 0,05 
2 0,10 
3 0,15 
4 0,20 
5 0,25 
6 0,30 
7 0,35 
8 0,40 
 
 
Análise dos dados: 
a) Construa o gráfico da posição em função do tempo com auxílio do programa SciDAVis. 
Tendo em vista que em um movimento com aceleração constante, partindo do repouso, a 
posição varia com o tempo de acordo com a expressão 
63 
 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 +
1
2
𝑎𝑡2 (2) 
o resultado obtido pelo gráfico está de acordo com o esperado? 
b) Linearizeo gráfico com base na equação (2) e determine a aceleração do objeto ao longo da 
rampa. Ou, se preferir, faça um ajuste polinomial de segunda ordem usando o SciDAVis e compare 
a equação da curva com a equação (2) para determinar a aceleração. 
c) Desenhe um diagrama de corpo livre, indicando todas as forças que atuam sobre o objeto. 
Sugestão: considere o sistema de coordenadas da Figura 3. 
d) Calcule o valor da componente da força gravitacional atuando sobre o objeto ao longo do plano 
inclinado (componente em 𝑥 da força gravitacional). 
e) Aplique a segunda lei de Newton sobre o bloco e, com base nos resultados dos itens (c) e (d), 
calcule o valor da força de atrito cinético atuando sobre o bloco. 
f) Calcule o valor da força normal atuando sobre o objeto. 
g) Determine o coeficiente de atrito cinético entre o objeto e a superfície. 
 
REFERÊNCIAS: 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: volume 1: 
gravitação, ondas e termodinâmica. 9ª ed. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e Científicos, 2012. 
 
SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
 
 
64 
 
CONSTANTE ELÁSTICA DE MOLAS 
 
INTRODUÇÃO: 
Sob a ação de uma força de tração ou de compressão, todo objeto deforma-se. Se, ao cessar 
a atuação dessa força, o corpo recupera sua forma primitiva, diz-se que a deformação é elástica. 
Em geral, existe um limite para o valor da força a partir do qual acontece uma deformação 
permanente do corpo. Dentro do limite elástico, há uma relação linear entre a força aplicada e a 
deformação, linearidade esta que expressa uma relação geral conhecida como Lei de Hooke. O 
sistema clássico utilizado para ilustração dessa lei é o sistema massa-mola que é apresentado a 
seguir em situações de equilíbrio. 
A Figura 1 mostra uma mola helicoidal, de massa desprezível, pendurada por uma de suas 
extremidades. Um objeto de massa 𝑚, colocado na outra extremidade, produz uma deformação 𝑑 
na mola. 
 
Figura 1: Em (a), a mola não está deformada. Em (b) está alongada por uma distância 𝑥 = 𝐿 −
𝐿0, devido ao peso de um objeto de massa 𝑚, que está em equilíbrio. 
 
Pela lei de Hooke, uma mola ideal ao ser deformada reage aplicando uma força que é 
proporcional à deformação e no sentido contrário à deformação, 𝑥, definida por 
𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 = −𝑘𝑥 (1) 
onde 𝑘 é a constante elástica que caracteriza a mola. 
No equilíbrio a segunda lei de Newton estabelece que a resultante de forças é zero 
65 
 
∑�⃗� = 0 
Como pode ser visto na Figura 1 (b) atuam no objeto a força gravitacional e a força devido a 
mola. Assim, ao longo da direção vertical (cujo sentido é considerado positivo para cima): 
𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 −𝑚𝑔 = 0 
logo 
𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 = 𝑚𝑔 (2) 
Associando-se duas molas, a constante elástica do conjunto passa a ter outro valor que 
depende da maneira como foi feita a associação. Na Figura 2, está representado um objeto 
suspenso por duas molas associadas em série e em paralelo. Alongar as molas associadas em 
série é “mais fácil” do que alongar as molas associadas em paralelo. Podemos demonstrar esse 
comportamento das molas em série e paralelo considerando que: 
a) Na associação em série as duas molas atuam como se fossem uma única mola de constante 
elástica 𝑘𝑒𝑞, O alongamento 𝑥 dessa única mola será igual à soma dos alongamentos de 
cada uma das molas, 
𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 
A massa 𝑚 fica em equilíbrio estático quando seu peso 𝑃 se iguala à força elástica 𝐹 =
𝑘𝑒𝑞 𝑥, tal que 
𝑃 = 𝑘𝑒𝑞(𝑥1 + 𝑥2) 
Como 
𝑥1 =
𝐹1
𝑘1
 ; 𝑥2 =
𝐹2
𝑘2
 
temos 
𝑃 = 𝐾𝑒𝑞 (
𝐹1
𝑘1
+
𝐹2 
𝑘2 
) 
 
Com a massa em equilíbrio, temos 𝑃 = 𝐹1 , 𝑃 = 𝐹2 e obtemos 
1
𝑘𝑒𝑞
=
1
𝑘1
+
1 
𝑘2 
 
Observação: No caso de termos 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘, obtemos 𝑘𝑒𝑞 =
𝑘
2
, indicando que as molas em 
série se comportam com uma mola mais macia. 
b) Na associação em paralelo, quando a massa está em equilíbrio, a força peso é igual à soma 
das forças nas duas molas, de modo que o alongamento seja o mesmo, 
66 
 
𝑃 = 𝑘1𝑥 + 𝑘2𝑥 
Nesse caso podemos escrever 
𝑃
𝑥
= (𝑘1 + 𝑘2) 
A razão 𝑃/𝑥 no lado esquerdo é igual a constante elástica equivalente, 𝑘𝑒𝑞 = 𝑃/𝑥. Portanto, 
temos 
𝑘𝑒𝑞 = (𝑘1 + 𝑘2) 
Observação: No caso de termos 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘, obtemos 𝑘𝑒𝑞 = 2𝑘 , indicando que as molas 
em paralelo se comportam como uma mola mais dura. 
 
 
 
Figura 2: A associação de duas molas pode ser feita (a) em série, com uma na extremidade da outra, ou (b) em 
paralelo, com uma ao lado da outra. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivos: Determinar a constante elástica de uma mola, de um arranjo em série e de um arranjo 
em paralelo de duas molas. 
 
Material Utilizado: Duas molas, massas aferidas, balança digital, suporte e trena. 
 
PROCEDIMENTOS: 
 
O experimento consiste em aplicar várias forças (pesos) a uma mola vertical e medir as 
deformações produzidas preenchendo a Tabela 1. 
67 
 
 
1) Suspenda uma das molas e pendure o suporte em sua extremidade livre. Meça o 
comprimento original do sistema, 𝐿0, conforme ilustrado na Figura 1-a. 
2) Pendure uma massa, meça o novo comprimento da mola, 𝐿, e calcule a deformação da mola, 
𝑥 = 𝐿 − 𝐿0. Anote os respectivos valores de força e deformação da mola na Tabela 1. 
3) Repita o procedimento (2) adicionando outras massas na extremidade da mola, até a última 
massa aferida ser utilizada. 
4) Ao término das medidas, retire as massas do conjunto e monte o sistema com duas molas 
em paralelo. Repita as etapas (2) e (3). 
5) Ao término das medidas com as molas em paralelo, repita os procedimentos acima com as 
duas molas em série. 
 
Tabela 1: Deformação, 𝑥 (𝑚), de uma mola, de uma associação de duas molas em paralelo e em série, em função da 
força 𝐹 (𝑁) aplicada. 
Uma mola Duas molas em paralelo Duas molas em série 
𝐿0(𝑚) = __________ 𝐿0(𝑚) = __________ 𝐿0(𝑚) = __________ 
𝑥(𝑚) 𝐹(𝑁) 𝑥(𝑚) 𝐹(𝑁) 𝑥(𝑚) 𝐹(𝑁) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DOS DADOS: 
i) Construa, com auxílio do programa SciDAVis, os gráficos de |𝐹| 𝑣𝑠 𝑥 para a primeira mola e para cada 
uma das duas combinações, em paralelo e em série. Com base em uma análise gráfica, determine o valor 
da constante elástica de uma mola e de cada arranjo de molas. 
ii) Escreva o valor da constante elástica equivalente e sua respectiva incerteza, para cada um dos arranjos. 
 
𝑘1 = ________________________; 𝑘𝑠é𝑟𝑖𝑒 = ________________________; 𝑘𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 = ________________________ 
 
68 
 
iii) É possível mostrar pela teoria que as constantes elásticas equivalentes em arranjos de 𝑁 molas em série 
e paralelo são dadas, respectivamente, por: 
{
 
 
 
 1
𝑘𝑒𝑞.
𝑠é𝑟𝑖𝑒
=∑
1
𝑘𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑘𝑒𝑞.
𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜
=∑𝑘𝑖
𝑁
𝑖=1
 
 
onde 𝑘𝑖 é o valor da constante elástica de cada mola no arranjo. 
Considerando que as molas são iguais [𝑘𝑖 = 𝑘1, medido no procedimento (i)], calcule o valor teórico 
da constante elástica equivalente em cada arranjo. Calcule os respectivos erros relativos percentuais entre 
valores teóricos e experimentais para cada arranjo: 
 
𝜀 =
|𝑘𝑒𝑞.
𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑘𝑒𝑞.
𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟.
|
𝑘𝑒𝑞
𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜
× 100 
Considerando uma tolerância de 10%, o que é possível dizer sobre a comparação entre os valores 
experimentais, e o modelo teórico? Os valores são compatíveis? Quais as possíveis causas dos erros? 
 
REFERÊNCIAS: 
[1] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
 
69 
 
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UMA HASTE 
 
INTRODUÇÃO: 
 
 Observa-se que todo material de qualquer estrutura pode sofrer deflexão quando submetidos 
a alguma carga. Essa deflexão depende do formato do elemento da estrutura, assim comodepende 
de como a carga está sendo aplicada no mesmo. 
No exemplo da Figura 1-a temos uma haste de comprimento 𝑥, largura 𝑙 e espessura, 𝑒. 
Essa haste está presa por uma de suas extremidades em um ponto fixo no suporte vertical. 
Podemos observar que sem ação de qualquer força sobre a haste (desconsiderando, inclusive, a 
força gravitacional sobre a mesma) ela se mantém plana na direção horizontal. 
Ao aplicar uma força na extremidade livre da haste, colocando, por exemplo, um objeto de 
massa 𝑚 em sua extremidade, pode-se observar que ela sofre uma flexão, 𝑦 (Figura 1-b). Dentro 
do limite elástico de deformação da haste, a flexão 𝑦 está diretamente relacionada à força aplicada, 
𝐹, tal que 
𝐹 = 𝑘𝑓𝑦 (1) 
onde 𝑘𝑓 é a constante de flexão da haste. 
 Para uma haste estruturada como na Figura 1-a, a constante de flexão pode ser modelada 
como 
𝑘𝑓 =
𝐸𝑙𝑒3
𝑥3
 (2) 
onde 𝐸 é o módulo de Young da haste, que é uma propriedade mecânica intrínseca do material 
que relaciona o quanto um objeto se deforma sob ação de uma força de compressão ou tensão. 
 
 
Figura 1: (a) Haste de comprimento 𝑥, largura 𝑙 e espessura 𝑒 presa por uma de suas extremidades a um suporte fixo. 
(b) Vista lateral da haste ao ser submetida a uma força em sua extremidade a haste sofre uma flexão 𝑦. 
70 
 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
Objetivos: Determinar o módulo de Young, 𝐸, de um material. 
 
Material Utilizado: Haste de aço, prendedor, suporte, massas aferidas, balança digital, trena e 
paquímetro. 
 
Procedimentos: 
 
1) Meça as dimensões da haste: 
𝑥 = __________________𝑚 
𝑙 = __________________𝑚 
𝑒 = __________________𝑚 
 
2) Mantendo uma das extremidades da haste fixa, coloque uma massa aferida na 
extremidade da haste e meça sua flexão, 𝑦, quando o sistema estiver no equilíbrio. 
Calcule o valor da força aplicada e anote os respectivos valores na Tabela 1. 
 
3) Repita o procedimento anterior aumentando o valor da carga aplicada. 
 
Tabela 1: Flexão 𝑦 (𝑚) de uma haste metálica em função da força 𝐹 (𝑁) aplicada na sua extremidade. 
𝑦 (𝑚) 𝐹 (𝑁) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
ANÁLISE DOS DADOS: 
a) Construa o gráfico 𝐹 em função de 𝑦, com auxílio do programa SciDAVis. Faça uma análise 
gráfica e determine a constante de flexão 𝑘𝑓 e sua respectiva incerteza, comparando a 
equação empírica obtida com a equação (1). 
b) Calcule o valor do módulo de Young com base na equação (2). 
c) Pesquise para encontrar o valor do módulo de Young do aço registrado na literatura e 
compare com o valor obtido no experimento. Discuta os resultados. 
 
REFERÊNCIA: 
 [1] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
 
 
72 
 
HISTERESE MECÂNICA 
 
INTRODUÇÃO: 
 
Nas práticas “Constante elástica de molas” e “Deformação elástica de uma haste” foi 
possível observar o comportamento linear entre a força aplicada e a deformação da mola e da haste, 
respectivamente. Era possível notar que a mola e a haste retornavam ao estado inicial quando a 
força tensora era retirada. Nesse caso, diz-se que o material sofreu uma deformação elástica: ele 
armazena energia durante a deformação sob ação de uma força (de compressão ou tensão) e 
libera essa energia quando a força é cessada. Esse tipo de processo em deformações elásticas é 
chamado de processo reversível. 
Em alguns casos, entretanto, quando um material é deformado além de seu limite elástico, 
ele sofre uma deformação e não retorna ao seu estado original de imediato – pode levar um certo 
tempo para o material retornar ao estado inicial (relaxando e liberando a energia armazenada) ou 
pode simplesmente ficar deformado permanentemente, caracterizando um processo irreversível. 
Esse efeito é chamado de histerese mecânica. 
Sabemos que uma força, �⃗�, aplicada sobre um sistema pode realizar trabalho (que é um 
processo de transferência de energia) sobre o sistema, 𝑑𝑊 ≡ �⃗� ∙ 𝑑𝑟, onde 𝑑𝑟 é o deslocamento. 
Se a força e o deslocamento estão no mesmo sentido, então o trabalho realizado é positivo e diz-
se que a força forneceu energia ao sistema. Caso a força e o deslocamento estejam em sentidos 
opostos, o trabalho realizado pela força é negativo e diz-se que a força retirou energia do sistema. 
A Figura 1 mostra um exemplo de curva de histerese mecânica. Durante o processo de 
aplicação de carga sobre o objeto (curva contínua 𝐴𝐵), o trabalho realizado pela força aplicada 
fornece energia ao sistema. Ao retirar gradativamente a carga (curva tracejada 𝐵𝐶), a força retira 
energia do sistema. Porém, a energia retirada durante o processo de descarga foi menor do que a 
energia recebida durante o processo de carga. Esse é o fenômeno de histerese mecânica, que 
representa a energia dissipada ao longo de todo o processo 𝐴𝐵𝐶 . A histerese é um fenômeno 
complexo e depende da resposta da estrutura molecular dos materiais às forças externas. 
 
73 
 
 
Figura 1: Gráfico da histerese mecânica relacionando a força aplicada em função da 
deformação do objeto. A curva 𝐴𝐵 representa o processo de carregamento enquanto a curva 
𝐵𝐶 representa o processo de descarregamento. A diferença entre as coordenadas dos pontos 
𝐴 e 𝐶 representa a deformação permanente do material. 
 
 Nesta prática vamos estudar como a deformação de um elástico se relaciona a força 
de tensão. Será possível observar uma diferença significativa entre o comportamento do 
elástico em relação a mola: a deformação do elástico não varia linearmente com a força 
aplicada. Ou seja, poderemos observar o fenômeno de histerese mecânica. 
 
PARTE EXPERIMENTAL 
 
Objetivo: Estudar a deformação produzida em um elástico ao sofrer deformação permanente, 
analisando a histerese mecânica do sistema. 
Material Utilizado: Um elástico, tripé, haste de sustentação, suporte, trena, massas aferidas e 
balança digital. 
 
Procedimentos: 
 
 A Figura 2 mostra o esquema da montagem do experimento. 
 
Processo de carga: 
 
1) Pendure o elástico no suporte e meça seu comprimento inicial: 𝐿0 = _______________𝑚. 
2) Coloque uma massa aferida na extremidade do elástico, meça sua deformação, Δ𝐿, e calcule 
o valor da força aplicada na extremidade do elástico. Anote os respectivos valores na Tabela 
74 
 
1. 
3) Aumente o valor da carga aplicada no elástico e repita o procedimento anterior, anotando os 
respectivos valores de força e deformação na Tabela 1. 
 
 
Figura 2: Esquema de montagem do experimento. 
 
Processo de descarga: 
 
4) Nesse processo, a Tabela 1 deve ser preenchida no sentido contrário em relação ao 
processo de carga. Ou seja, a primeira medida do processo de descarga será a última 
medida do processo de carga: esse valor de deformação deve ser registrado na última linha 
da Tabela 1 referente ao processo de descarga. 
5) Retire uma massa aferida (será correspondente ao penúltimo valor de força aplicada no 
processo de carga) e meça a deformação do elástico. Anote esse valor na Tabela 1. 
6) Repita o procedimento anterior até retirar a última carga do elástico e anote sua deformação 
na Tabela 1. 
 
Análise gráfica: 
 
i. Gráfico do processo de carga: com auxílio do programa SciDAVis, construa um gráfico da 
força aplicada em função da deformação do elástico durante o processo de carga. Observe 
o gráfico e compare com os resultados obtidos nas práticas onde foram analisadas a 
75 
 
deformação de uma mola e de uma haste de aço. 
ii. Gráfico do processo de descarga: 
a. Sem fechar a janela do SciDAVis, abra uma nova tabela (vá em File > New > New 
Table) e insira os valores correspondentes de força e deformação para o processo de 
descarga. 
b. Clique na janela do gráfico que já foi plotado e em seguida vá em Graph > 
Add/Remove curve. Selecione os dados da “Table 2” e adicione-os ao conteúdo do 
gráfico como indicadona Figura 3. 
 
 
Figura 3: Como inserir dados de outra tabela em um mesmo gráfico no SciDAVis. 
 
iii. Selecione o gráfico e uso o recurso de integração numérica (vá em Analysis > Integrate) 
para calcular a área entre as curvas. Discuta sobre o significado físico dessa área entre as 
curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
Tabela 1: Força 𝐹 aplicada em elástico e a sua deformação ∆𝐿, nos processos de carga e 
descarga. 
𝐹 (𝑁) Δ𝐿 (𝑚) [carga] Δ𝐿 (𝑚) [descarga] 
0,0 0,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
[1] CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
experimental básica na universidade. Belo Horizonte: Ed. UFMG, 2007. 
 
77 
 
MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CILINDRO 
 
INTRODUÇÃO: 
 
O momento de inércia de um sólido em relação a um eixo fixo é obtido teoricamente pela 
equação: 
𝐼 =∑𝑟𝑖
2𝑚 = ∫𝑟2𝑑𝑚. 
Este somatório é obtido por integração e muitos exemplos são desenvolvidos na teoria. Se o corpo 
não tem forma geométrica simples ou densidade constante, o cálculo da integral pode se tornar 
sumamente difícil, e é necessário utilizar um método experimental. 
Se o corpo tem apenas movimento de translação, sua energia cinética é dada por: 
𝐸𝑐
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
=
𝑚𝑣2
2
, 
Sendo 𝑚 sua massa e 𝑣 a velocidade de translação do centro de massa. Por outro lado, se o corpo 
tem apenas movimentação de rotação, sua energia cinética é dada por: 
𝐸𝑐
𝑟𝑜𝑡𝑎çã𝑜
=
𝐼𝜔2
2
 
onde 𝐼 é o seu momento de inércia em relação ao eixo de rotação e ω é a velocidade angular em 
relação ao mesmo eixo. 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
Objetivo: Determinar experimentalmente o momento de inércia de um disco. 
 
Material Utilizado: Cilindro preso em torno de dois mancais de atrito desprezível, barbante ou fio 
de nylon, esfera com gancho e cronômetro. 
 
PROCEDIMENTOS: 
 
O corpo do qual vai ser determinado o momento de inércia é um cilindro que pode girar 
livremente em torno de dois mancais de atrito desprezível. Um fio de nylon ou barbante é enrolado 
no cilindro e preso no extremo um peso 𝑃. O sistema se acha inicialmente em repouso, com o fio 
inteiramente enrolado. A Figura 1 é uma representação esquemática do experimento. 
 
78 
 
 
Figura 1: Objeto de massa 𝑚 na extremidade de um fio enrolado em um disco de massa 𝑀 e raio 𝑅. 
 
1) Abandone a esfera e meça o tempo necessário para desenrolar completamente o fio. Repita 
cinco vezes esta experiência e determine o tempo médio. Anote os resultados na Tabela 1. 
 
Ensaios 𝑡 (𝑠) 
1 
2 
3 
4 
5 
Tempo médio = 
Desvio médio = 
Tabela 1: Valores do tempo 𝑡 obtidos em cinco repetições do experimento e o seu valor médio. 
 
A energia mecânica inicial 𝐸𝑀𝑖 do sistema (cilindro e esfera) é 
𝐸𝑀𝑖 = 𝑀𝑔ℎ +𝑚𝑔ℎ 
em que 𝑀 e 𝑚 são as massas do cilindro e da esfera, respectivamente, 𝑔 é a aceleração da 
gravidade e ℎ é a altura em que a esfera se encontra na posição mais baixa (quando o fio está 
completamente desenrolado). A energia mecânica final do sistema, quando a esfera está na sua 
posição mais baixa é 
𝐸𝑀𝑓 = 𝑀𝑔ℎ + 
𝐼𝜔2
2
+ 
𝑚𝑣2
2
 
79 
 
em que 𝐼 é o momento de inércia do cilindro, 𝜔 é a velocidade angular do cilindro e 𝑣 é a velocidade 
de translação da esfera. Considerando que a energia mecânica do sistema se conserva durante o 
movimento, podemos escrever 
𝑚𝑔ℎ =
𝐼𝜔2
2
+
𝑚𝑣2
2
. (1) 
Considerando que a corda desenrola do disco sem deslizar, então 
𝜔 = 
𝑣
𝑅
. (2) 
Assumindo que o movimento da esfera, que parte do repouso, será com aceleração constante, 𝑎, 
temos que no instante final: 
ℎ =
1
2
𝑎𝑡2 (3) 
𝑣 = 𝑎𝑡 (4) 
Isolando 𝑎 da equação (3) e levando em (4), encontramos que 
𝑣 = 
2ℎ
𝑡
 . (5) 
Nas relações acima consideramos que 𝑡 é o tempo do movimento do sistema até a esfera chegar 
à sua posição mais baixa. Substituindo as equações (2) e (5) em (1), e isolando para 𝐼, conclui-se 
que: 
𝐼 = 𝑚𝑅2 (
𝑔𝑡2
2ℎ
− 1) (6) 
2) Meça 𝑅, 𝑚 e ℎ e determine o momento de inércia do cilindro com sua incerteza. 
 
𝑅 (𝑚) 𝑚 (𝑘𝑔) ℎ (𝑚) 𝐼 ( 𝑘𝑔.𝑚2) 
 
 
3) Qual é o significado físico do momento de inércia? 
4) Qual é o momento de inércia do cilindro obtido pela teoria? 
5) Quais as razões da diferença entre o resultado teórico e o experimental? 
6) Como se pode aumentar o momento de inércia de um corpo sem variar sua massa? 
 
REFÊNCIAS: 
SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
 
80 
 
MOVIMENTO COMBINADO DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO 
 
INTRODUÇÃO: 
 
Considere uma esfera rígida rolando para baixo de um plano inclinado perfeitamente rígido, 
como mostrado na Figura 1(a). Se o movimento ocorre sem deslizamento, o ponto da esfera que 
está em contato com a superfície permanece instantaneamente em repouso, sem escorregar. 
Assim, a força de atrito estático entre a esfera e a superfície não realiza trabalho e a energia 
mecânica do sistema se conserva. 
Conforme se pode ver na Figura 1-a, a linha de ação da força normal e da força peso passa 
pelo centro da esfera, de modo que o torque realizado por essas forças é zero. Portanto, o 
rolamento (rotação mais translação) sem deslizamento ocorre devido ao torque realizado apenas 
pela força de atrito estático. 
 
Figura 1: (a) Uma esfera perfeitamente rígida rolando para baixo de um plano inclinado perfeitamente rígido. (b) Uma 
esfera rígida rolando sobre uma superfície deformada. Figura adaptada de [1]. 
 
A Figura 1-b mostra uma situação mais realista, na qual a superfície se deforma na parte 
frontal da esfera e a esfera passa por uma depressão. Por causa dessa deformação, as forças de 
contato sobre a esfera não mais atuam sobre um único ponto, porém sobre uma área; as forças 
são concentradas sobre a parte frontal da esfera conforme indicado. Como resultado, a força normal 
agora exerce um torque que se opõe à rotação. Além disso, existe certo deslizamento da esfera 
sobre a superfície por causa da deformação, produzindo uma perda de energia mecânica. A 
combinação desses dois efeitos origina o fenômeno do atrito de rolamento. O atrito de rolamento 
também ocorre quando o corpo é deformável tal como o pneu de automóvel. Quando o corpo que 
81 
 
rola e a superfície são rígidos o atrito de rolamento é desprezível, mas, caso contrário, o atrito de 
rolamento sempre provocará uma redução da energia mecânica. 
A energia cinética do movimento de rolamento é 
𝐸𝑐 = 
𝑚𝑣2
2
+ 
𝐼𝜔2
2
 (1) 
em que 𝑚 é a massa do corpo,𝑣 é a velocidade de translação do centro de massa, 𝐼 é o momento 
de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação e 𝜔 é a velocidade angular em relação ao mesmo 
eixo. 
 O momento de inércia de uma esfera maciça, obtido pela teoria é 
𝐼 = ∫𝑟2𝑑𝑚 = 
2
5
𝑚𝑅2, (2) 
onde 𝑚 é a massa da esfera e 𝑅 o seu raio. Se o rolamento ocorre sem deslizamento, a velocidade 
angular é dada por 
𝜔 = 
𝑣
𝑅
 (3) 
Como exercício, substitua as relações (2) e (3) na equação (1) para mostrar que, no caso do 
rolamento sem deslizamento, 
𝐸𝑐 = 
7
10
 𝑚𝑣2. 
PARTE EXPERIMENTAL: 
Objetivo: Verificar se o movimento de uma esfera sobre uma superfície inclinada ocorre com ou 
sem deslizamento, investigando se há ou não conservação da energia mecânica. 
 
Material Utilizado: Esfera, uma superfície inclinada, uma régua e um cronômetro. 
 
PROCEDIMENTOS: 
Uma esfera parte do repouso do ponto A, a uma altura h em relação ao ponto B, e desce 
uma rampa executando um movimento combinado de rotação mais translação, Figura 2. No ponto 
A, a esfera tem, em relação ao ponto B, energia potencial gravitacional 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ. Ao passar pelo 
ponto B a esfera, que tem energia cinética de rotação e translação, liga um cronômetro que é 
desligado ao chegarem C. Como no ponto B a velocidade é horizontal seu valor é dado por 𝑣 =
𝑑/𝑡, onde 𝑑 é a distância horizontal de B ao anteparo e 𝑡 o tempo gasto neste movimento. 
 
82 
 
 
Figura 2: Uma esfera sobre uma rampa parte do repouso, no ponto A, e abandona a superfície horizontal ao passar 
pelo ponto B. A esfera percorre uma distância horizontal 𝑑, com velocidade horizontal constante, até chocar-se com 
um anteparo. 
 
1) Posicione o anteparo a uma distância 𝑑 = 0,10 𝑚 do ponto B. 
2) Abandone a esfera sobre a rampa, em um ponto situado a uma altura ℎ em relação ao nível 
horizontal de referência, e meça o tempo que ela gasta para atingir o anteparo após 
abandonar a rampa. 
3) Varie a altura ℎ, conforme Tabela 1, e repita o procedimento anterior. 
4) Complete a Tabela 1 com os valores de 𝑣, 𝑈 e 𝐸𝑐. 
5) Compare os valores da energia 𝑈 no ponto A com a energia 𝐸𝑐 no ponto B. 
6) Houve conservação da energia mecânica? O rolamento foi com ou sem deslizamento? 
 
Tabela 1: Medidas para verificação de conservação da energia mecânica. 
ℎ ( 𝑚 ) 𝑡 (𝑠) 𝑣 (𝑚/𝑠) 𝑈 (𝐽) 𝐸𝑐 (𝐽) 
0,100 
0,150 
0,200 
0,250 
 
BIBLIOGRAFIA: 
[1] SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. 
Física I: mecânica. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. 
 
83 
 
ROTAÇÃO, TORQUE E MOMENTO ANGULAR 
 
INTRODUÇÃO: 
 
Rotação: 
 
 Considere um disco girando em torno de um eixo com velocidade angular, �⃗⃗⃗�. A Figura 1-a mostra um 
esquema do uso da “regra da mão direita” para determinar o sentido do vetor velocidade angular: se os 
dedos acompanham o sentido de rotação, então o polegar indica o sentido do vetor velocidade angular, �⃗⃗⃗�. 
 
Figura 1: (a) Regra da mão direita para determinar o sentido do vetor velocidade angular. (b) Corpo 
rígido girando em torno do eixo que passa por O. Figura adaptada de [1]. 
 
Analisando o movimento de uma partícula, P (a uma distância 𝑟 do eixo de rotação, O) constituinte 
de um corpo rígido que gira com velocidade �⃗⃗⃗� no plano x-y, vemos que sua aceleração é dada por 
�⃗� = �⃗�𝑡 + �⃗�𝑟 
com 
{
�⃗�𝑡 = 𝛼𝑟 �̂�𝜃
�⃗�𝑟 = −𝜔
2𝑟�̂�𝑟
 
onde �⃗�𝑡 e �⃗�𝑟 são as componentes tangencial e radial da aceleração, respectivamente, 𝛼 =
𝑑𝜔
𝑑𝑡
 é a aceleração 
angular; �̂�𝜃 e �̂�𝑟 são os vetores unitários na direção tangencial e radial, respectivamente. Observe que a 
componente radial da aceleração está direcionada para o eixo de rotação, O. Nese caso, essa componente 
é chamada de aceleração centrípeta, �⃗�𝑐. 
Em geral, se uma partícula de massa 𝑚 rotaciona num plano com velocidade angular 𝜔 em torno de 
um eixo fixo, O, sofre ação de uma força direcionada ao eixo de rotação, chamada de força centrípeta: 
�⃗�𝑐 = 𝑚�⃗�𝑐 = −𝑚𝜔
2𝑟�̂�𝑟 
Porém, do ponto de vista de um referencial não-inercial racionando junto com o corpo rígido, a partícula está 
em equilíbrio. Concluímos, do ponto de vista desse referencial não-inercial, que atua sobre ela uma força de 
84 
 
inércia (ou força inercial) �⃗�𝑖𝑛 tal que 
�⃗�𝑐 + �⃗�𝑖𝑛 = 0 ⇒ �⃗�𝑖𝑛 = −�⃗�𝑐 
Portanto 
�⃗�𝑖𝑛 = 𝑚𝜔
2𝑟�̂�𝑟 
Essa força inercial que só aparece no referencial em rotação é chamada de força centrífuga e aponta 
radialmente para fora. 
 
 
Torque, momento de inércia e momento angular: 
 
A Figura 2-a mostra uma partícula P se movendo no plano x-y, que está à uma posição 𝑟 (em relação 
a um eixo fixo em O) e sofre ação de uma força �⃗� (que também está no plano x-y, e faz um ângulo 𝜙 com o 
vetor 𝑟). Define-se como torque, 𝜏: 
 
𝜏 = 𝑟 × �⃗�. 
Observe que torque é uma quantidade vetorial cujo módulo é |𝜏| ≡ 𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜙 . Nesse caso, devido à 
definição de produto vetorial, o torque estará paralelo ao eixo 𝑧, apontando na direção positiva desse eixo. 
A Figura 2-b mostra uma representação da “regra da mão direita” para determinar a direção e sentido do 
produto vetorial resultante, 𝐶, entre dois vetores 𝐴 e �⃗⃗�. 
 
Figura 2: (a) Torque sobre uma partícula P, rotacionando num plano x-y. (b) Resultado do produto vetorial 
entre A⃗⃗⃗ e B⃗⃗⃗, que estão no mesmo plano. Figura adaptada de [1]. 
 
Seja o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo fixo 
 
𝐼 = ∫𝜌𝑟2𝑑𝑉 
85 
 
onde 𝜌 é a densidade volumétrica, 𝑑𝑉 é o volume de uma porção infinitesimal a uma distância 𝑟 do eixo de 
rotação. Então o momento angular desse corpo rígido girando com velocidade angular �⃗⃗⃗� é dado por 
 
�⃗⃗� = 𝐼�⃗⃗⃗�. 
Pode-se mostrar que o torque externo total atuando sobre o sistema é igual à taxa de variação temporal do 
momento angular, ou seja, 
∑𝜏𝑒𝑥𝑡 =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
 
 
Portanto, se o torque total externo é nulo, então 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
= 0 ⇒ �⃗⃗�𝑓 = �⃗⃗�𝑖 
onde �⃗⃗�𝑓 e �⃗⃗�𝑖 são os vetores momentos angulares final e inicial, respectivamente. Pela equação acima 
concluímos que há conservação do momento angular quando o torque externo total é nulo. Assim, 
pela definição de momento angular: 
𝐼𝑓 �⃗⃗⃗�𝑓 = 𝐼𝑖 �⃗⃗⃗�𝑖 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
Objetivo: Compreender os efeitos de forças atuantes em sistemas em rotação; verificar a 
conservação do momento angular e a relação entre torque e momento angular no movimento de 
um giroscópio. 
Material utilizado: banco giratório; plataforma giratória, cuba acrílica com água e corante; dois 
discos iguais; halteres; giroscópio; rampa com trilho; cilindro oco; cilindro maciço; esfera; 
 
Atividade 1: fluido em uma cuba 
 
Montagem: nivele a base da plataforma giratória. Coloque água até a metade da cuba transparente. 
 
 
 
Figura 3: Plataforma giratória com cuba de água. 
 
86 
 
 
Procedimento: 
 
1) Posicione a cuba com água sobre a plataforma giratória, de modo que a borda da cuba fique 
sobre o centro da escala, como indicado na Figura 3-a. 
2) Antes de a plataforma começar a girar, você imagina o que vai acontecer com o líquido 
durante a rotação? 
3) Coloque a plataforma em rotação, impulsionando-a de forma gradativa. Observe e desenhe 
a forma assumida pela superfície livre da água na cuba. Lentamente suspenda a rotação. 
4) Reposicione a cuba de modo a deixá-la no centro da plataforma, como indicado na Figura 
3-b, e repita o procedimento 2. 
5) Explique os fenômenos ocorridos nos procedimentos (2) e (4). Você já teve a sensação de 
sentir uma força lhe empurrando para fora de uma trajetória circular quando está dentro de 
um veículo fazendo curva, por exemplo? Quê força é essa? Alguém está aplicando essa 
força em você? Por quê ela surgiu? 
 
Atividade 2: pequenos discos girando em diferentes posições radiais 
 
 Retire a cuba com água da plataforma e posicione dois pequenos e idênticos discos em 
diferentes posições radiais sobre a plataforma, como indicado na Figura 4. 
 
Figura 4: Vista superior da plataforma giratória com dois discos idênticos posicionados em diferentes posições 
radiais. 
 
1) Coloque a plataforma para girar lentamente. Por quê os discos permanecem em repouso em 
relação à superfície da plataforma? Você consegue imaginar o quê deve ocorrer se aumentar 
a velocidade angular de rotação da plataforma? 
87 
 
2) Aumente a velocidade angular de rotação de forma gradativa até observar o deslizamento 
de um disco. Por quê esse disco deslizou primeiro? Por quê devemos aumentar a velocidade 
de rotação para que o outro também deslize? 
3) Discuta esse fenômeno. Você já observou que quando um veículo está em uma estrada e 
vai fazer uma curva, ele deve reduzir sua velocidade? O quê deve ocorrer se um veículo 
entrar em uma curva com uma velocidade muito elevada? Por quê as curvas em circuitos de 
Fórmula Indy, por exemplo, são inclinadas em relação a direção horizontal? 
 
 
Atividade 3: plataforma giratória com halteres 
 
Na montagem da Figura 5 você poderá realizar várias experiências que lhe permitirão 
verificar a conservação do momento angular. Em primeiro lugar, procure lembrar-sedo caráter 
vetorial desta grandeza e em que condições ela se conserva. 
 
 
 (a) (b) 
Figura 5: Rotação na plataforma giratório com halteres em diferentes posições. 
Figura adaptada de [3] 
 
1) Se você se assentar sobre a plataforma, e um colega lhe colocar a girar, como será o vetor que 
representa em módulo, direção e sentido o momento angular adquirido por você? 
2) Carregue nas mãos o par de halteres que está sobre a mesa e sentado na plataforma, mantenha 
os halteres juntos ao corpo, como na Figura 5-a, e peça a um colega para lhe comunicar a rotação. 
Em seguida afaste os halteres, como na Figura 5-b. O que acontece com sua velocidade angular? 
Explique! 
3) Mantenha os braços encolhidos durante uma ou duas voltas completas e em seguida afaste-os 
novamente por uma ou duas voltas; repita essa dinâmica por algumas vezes. Verifique o que vai 
acontecer e dê uma explicação para os fatos. (Você provavelmente já observou bailarinos, 
88 
 
patinadores e nadadores que saltam em trampolim, lançarem mão destes efeitos para variarem 
suas velocidades de rotação.) 
 
Atividade 4: giroscópio na plataforma giratória 
 
Figura 6: Análise de momento angular com plataforma giratória e giroscópio. Figura adaptada de [3]. 
 
1) Sobre a plataforma em repouso, tome em suas mãos uma roda de bicicleta e segure-a como 
eixo horizontal. Peça a um colega para girar fortemente a roda, conforme a Figura 6-a. 
2) Com a roda girando, posicione o eixo verticalmente, inclinando a roda para a direita, como 
indicado na Figura 6-b. Descreva o que acontece com a plataforma. Explique! 
3) Pare e repita o procedimento (1). Com a roda girando, posicione o eixo verticalmente, 
inclinando a roda para a esquerda, conforme a Figura 6-c. Explique o que acontece, e 
compare com o procedimento (2). Descreva o que acontece com a plataforma. Explique! 
 
Atividade 5: o giroscópio 
 
 
Figura 7: Roda suspensa pela corda, com eixo horizontal. Figura adaptada de [3]. 
 
1) Segure a roda pelo cordão, deixando-a pendurada com o eixo na vertical. 
2) Peça a um colega para girar a roda, de modo a obter um forte giro. 
3) Com a roda girando fortemente, peça a um colega para posicionar a roda com eixo horizontal, 
como na Figura 7, e solte-a. Descreva e explique o movimento realizado pela roda. 
89 
 
 
Atividade 6: rolamento de corpo rígido 
 
Monte um plano inclinado e coloque sobre ele um cilindro oco, um cilindro maciço e uma 
esfera, todos com mesmo diâmetro e mesma massa. Deixe-os rolar ao longo do plano. 
 
1) O tempo de queda é igual para todos? 
2) Qual deles terá maior energia cinética de rotação na base do plano e qual terá maior energia 
cinética de translação? Justifique. 
3) Se o plano fosse liso e os corpos caíssem escorregando, o tempo de queda seria o mesmo 
para os três? Justifique. 
4) Um disco de aço rola entre dois trilhos inclinados, apoiados em um eixo de raio pequeno, 
conforme a Figura 8. Observe o que acontece quando o disco chega à base dos trilhos, no 
momento em que toca a superfície horizontal. A velocidade de translação do disco variou? 
Explique o que você observou. 
 
Figura 8: Disco de aço desce rolando entre dois trilhos inclinados. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
[1] SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. São Paulo: 
Pioneira Thomson Learning, 2005. 
[2] CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto interativo 
para dinâmica de rotações II. 
[3] Rotating plataform. Disponível em <http://www.inds.co.uk/physics/product.php?itemcode=PH135232 
Acesso em 24 de junho de 2015. 
[4] Rotation and Gyroscopic Precession. Disponível em 
<http://demoweb.physics.ucla.edu/content/experiment-7-rotation-and-gyroscopic-precession >. Acesso em 
24 de junho de 2015. 
 
http://www.inds.co.uk/physics/product.php?itemcode=PH135232
http://demoweb.physics.ucla.edu/content/experiment-7-rotation-and-gyroscopic-precession
90 
 
OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES: SISTEMA MASSA-MOLA 
 
INTRODUÇÃO: 
 
Seja uma mola “ideal” em repouso pendurada na vertical, como indicado na Figura 1 (a). Após 
prender um objeto de massa 𝑚 na extremidade livre, a mola dilata por 𝑥0 até que o sistema fique na posição 
de equilíbrio, ou seja, o somatório das forças atuando sobre o bloco é nulo. Assim (considerando o sentido 
positivo para baixo), 
𝑚𝑔 + 𝐹𝑚 = 0 (1) 
onde 𝐹𝑚 = −𝑘𝑥 é a força exercida pela mola sobre o bloco (lei de Hooke), 𝑥 é o deslocamento da mola em 
relação a seu comprimento original. Nesse caso, 𝑥 = 𝑥0, então a Eq. (1) fornece: 
𝑚𝑔 − 𝑘𝑥0 = 0 
∴ 𝑘𝑥0 = 𝑚𝑔 (2) 
Daí encontramos a posição de equilíbrio desse sistema massa-mola: 
𝑥0 =
𝑚𝑔
𝑘
 (3) 
 
Figura 1: Movimento oscilatório de um objeto preso a extremidade de uma mola de constante elástica 𝑘, 
em torno da posição de equilíbrio, 𝑥0. 
 
Ao deslocar o sistema por uma distância 𝑥 = 𝑥′ + 𝑥0 em relação a posição da mola livre, como 
indicado na Figura 1 (c), o bloco irá oscilar em torno da posição de equilíbrio 𝑥0. Assim, aplicando a segunda 
lei de Newton sobre o bloco, temos: 
91 
 
−𝑘𝑥 +𝑚𝑔 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
−𝑘(𝑥′ + 𝑥0) + 𝑚𝑔 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
−𝑘𝑥′ − 𝑘𝑥0 +𝑚𝑔 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
Tendo em vista a Eq. (2), a equação acima fica: 
−𝑘𝑥′ = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 (4) 
Como 𝑥 = 𝑥′ + 𝑥0 , e sendo 𝑥0 constante, então 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
=
𝑑2𝑥′
𝑑𝑡2
 . Portanto, a Eq. (4) nos leva a equação de 
movimento: 
−𝑘𝑥′ = 𝑚
𝑑2𝑥′
𝑑𝑡2
 
∴
𝑑2𝑥′
𝑑𝑡2
= −
𝑘
𝑚
𝑥′ 
Para fins didáticos, e sem perder a essência do problema, iremos reescrever a equação diferencial 
acima substituindo 𝑥′ por 𝑥, tal que: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −
𝑘
𝑚
𝑥 (5) 
Uma das soluções dessa equação de movimento é 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙), (6) 
onde 𝐴 é a amplitude do movimento, definimos a frequência angular 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 (7) 
 e 𝜙 é uma constante de fase. 
A interpretação da constante 𝜔 é dada como se segue. Como o movimento do bloco é periódico, com 
período 𝑇, então podemos dizer que 
𝑥(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 𝑇). 
Assim, pela Eq. (6), temos 
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝜙] 
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑡 + 𝜔𝑇 + 𝜙] 
ou 
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜙) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝜔𝑇] (8) 
Levando em consideração que 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 2𝜋), vemos claramente que a Eq. (8) só é satisfeita se 
𝜔𝑇 = 2𝜋. 
Portanto 
92 
 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 (9) 
 Levando a equação (7) em (9) pode-se verificar que o período é uma constante de movimento e 
depende apenas da massa e da constante elástica da mola: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 (10) 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivos: Determinar a constante elástica de uma mola. 
Material utilizado: trena, cronômetro, tripé como suporte, massas aferidas e balança digital. 
 
PROCEDIMENTOS: 
Atividade 1: 
1) Monte o experimento conforme a Figura 1 (centro), colocando apenas uma massa aferida na 
extremidade da mola. 
2) Meça o comprimento 𝑦0 e preencha a Tabela 1. 
3) Acrescente as demais massas aferidas, um por vez, e meça o comprimento 𝑦0, preenchendo a Tabela 1. 
 
Tabela 1: Valores das massas colocadas na extremidade da mola, e os respectivos valores da força elástica pela 
mola, 𝐹𝑚, e deformação, 𝑥0. 
𝑚 (𝑘𝑔) 0 
𝐹𝑚 (𝑁) 0 
𝑥0 (𝑚) 0 
 
4) Construa um gráfico de 𝐹𝑚 vs. 𝑥0 com o auxílio do programa SciDAVis. Faça uma regressão linear e, 
com base na equação da reta 𝑌 = 𝐴𝑋 + 𝐵, determine a constante elástica da mola. 
 
Atividade 2: 
1) Deixe a montagem com apenas uma massa aferida na extremidade da mola, conforme a Figura 1 
(centro). Dê um pequeno deslocamento vertical e meça o período de oscilação. 
Dica: meça o tempo de 10 oscilações e divida esse tempo total por 10, para obter o valor mais provável do 
período. 
2) Acrescente as outras massas aferidas,uma por vez, e repita o passo anterior. Anote os resultados na 
93 
 
Tabela 2. 
Tabela 2: Período de oscilação, 𝑇, e frequência angular, 𝜔, em função da massa 𝑚. 
𝑚 (𝑘𝑔) 
𝑇 (𝑠) 
 
3) Observe a Eq. (10) e pense qual gráfico linear deve ser construído para que a inclinação da reta nos 
forneça a constante elástica da mola, 𝑘. Construa esse gráfico com auxílio do SciDAVis e determine o valor 
da constante elástica. 
4) Compare os valores das constantes elásticas obtidos em cada procedimento, 1 e 2, calculando a diferença 
relativa entre as duas estimativas. 
 
REFERÊNCIA: 
 
[1] TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: volume 1: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2009. 
 
 
94 
 
OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES: PÊNDULO SIMPLES 
 
INTRODUÇÃO: 
O pêndulo simples é um exemplo de oscilador harmônico simples no qual a força de retorno 
está associada à gravitação e não às propriedades elásticas de um fio ou de uma mola. O pêndulo 
simples é composto por uma partícula de massa 𝑚 suspensa por uma das extremidades de um fio 
inextensível, de massa desprezível e comprimento 𝑙, cuja outra extremidade está fixa, como na 
Figura 1. 
 
Figura 1: Diagrama de forças sobre uma partícula de massa 𝑚 presa a uma corda inextensível 
de comprimento 𝑙. 
 
As forças que agem sobre a partícula de massa 𝑚 são a tração, 𝑇, exercida pelo fio e a força 
gravitacional 𝑃 , como mostra a Figura 1, onde o fio faz um ângulo 𝜃 com a vertical. A força 
gravitacional possui uma componente radial 𝑃𝑟 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 e uma componente transversal 𝑃𝜃 =
𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 que é tangente à trajetória da partícula. A componente transversal sempre age no sentido 
oposto ao do deslocamento angular, tendendo a levar a massa 𝑚 de volta à posição de equilíbrio, 
𝜃 = 0°. 
Aplicando a segunda lei de Newton na direção tangencial, temos: 
 
95 
 
∑𝐹𝜃 = 𝑚𝑎𝜃 
−𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
 
Como 𝑠 = 𝑙𝜃, então 
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
= 𝑙
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 (pois assumimos 𝑙 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒). Assim, a equação acima fica: 
−𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑙
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑔
𝑙
𝑠𝑒𝑛𝜃 (1) 
Para simplificar a solução da equação de movimento acima, consideramos apenas pequenas 
oscilações (𝜃 ≲ 10° ≈ 0,174 𝑟𝑎𝑑), de modo que podemos lançar mão da seguinte aproximação: 
𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃. Assim, a equação de movimento se reduz a uma equação diferencial linear de segunda 
ordem com coeficientes constantes: 
 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
= −
𝑔
𝑙
𝜃. (2) 
A solução geral dessa equação de movimento pode ser escrita como 
 
𝜃(𝑡) = 𝜃𝑀 cos(𝜔𝑡 + 𝜑), (3) 
onde definimos a frequência angular 
𝜔 ≡ √
𝑔
𝑙
 (4) 
e 𝜑 é uma constante de fase. 
 
Exercício: Como 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 (5) 
utilizando as Eq. (4) e (5), demonstre a seguinte relação: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
 (6) 
 
 
 
96 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
Objetivos: Determinar a aceleração da gravidade. 
Material utilizado: Barbante fino, esfera com gancho, cronômetro e trena. 
 
PROCEDIMENTOS: 
O experimento consiste em se medir o período do pêndulo em função de seu comprimento. 
Para isso você deve usar uma montagem como a representada na Figura 1. 
1) Meça o período de oscilação para diferentes comprimentos, variando-os de 10 em 10 𝑐𝑚. Anote 
os resultados na Tabela 1. 
 Observação: é aconselhável que a amplitude de oscilação seja pequena, e que você meça o 
tempo de 5 oscilações e divida por 5 para obter o período médio. 
Tabela 1: Período de um pêndulo simples em função de seu comprimento. 
𝑙 (𝑚) 
𝑇𝑚𝑒𝑑 (𝑠) 
 
2) Faça uma linearização da equação (6), isto é, pense qual gráfico linear deve ser construído para 
que a inclinação nos forneça uma informação para determinarmos o valor de 𝑔. Construa o gráfico 
com auxílio do programa SciDAVis. Faça uma análise gráfica para determinar o valor experimental 
da aceleração gravitacional. 
3) Calcule a diferença relativa entre o valor obtido da aceleração da gravidade e seu valor conhecido 
da literatura, 𝑔 = 9,8 𝑚/𝑠². Discuta o resultado e as possíveis causas de erros. 
 
REFERÊNCIA: 
 
[1] SERWAY, Raymond A; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 2: oscilações, ondas e 
termodinâmica. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
 
 
97 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
INTRODUÇÃO: 
Oscilador harmônico simples: 
Vimos na prática “Oscilador harmônico simples: sistema massa-mola” que a equação 
diferencial que descreve o movimento de um corpo sujeito o à ação apenas de uma mola ideal, 
sem considerar qualquer tipo de amortecimento, é 
 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
= −
𝑘
𝑚
𝑥, 
cuja solução é do tipo 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑), 
onde 𝐴 é a amplitude do movimento (constante), 
𝜔 ≡ √
𝑘
𝑚
=
2𝜋
𝑇
 
é a frequência angular e 𝜑 é uma constante de fase. 
 
Oscilador harmônico amortecido: sistema massa-mola: 
Como vimos acima, um sistema “ideal” oscila com amplitude constante. Porém, um modelo 
mais realista do problema inclui o atrito ou amortecimento além da força da mola, o que leva a uma 
variação da amplitude com o passar do tempo, como podemos ver na Figura 1. 
 
 (a) (b) 
Figura 1: Exemplo de oscilação amortecida. (a) Bloco oscilando em sob ação da força de uma mola e de uma força 
98 
 
de atrito viscoso. (b) Representação gráfica do movimento. Figuras adaptada de [1]. 
 
Considere, portanto, o sistema representado na Figura 1-a: um bloco de massa 𝑚 está 
sujeito a força de uma mola ideal 
𝐹𝑚 = −𝑘𝑥, (1) 
onde 𝑘 é a constante elástica da mola e 𝑥 é seu deslocamento além da posição de equilíbrio. Como 
o bloco está imerso em um fluido, atuará sobre ele uma força de atrito viscoso 
𝐹𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 = −𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
, (2) 
onde 𝑏 é o coeficiente de viscosidade (depende do meio em que o objeto está imerso – água ou ar, 
por exemplo; e também da área da seção transversal ao longo da direção do movimento) e o sinal 
negativo indica que a força de atrito sempre atuará no sentido oposto do movimento (sinal oposto 
da velocidade). 
Aplicando a segunda lei de Newton sobre o bloco, temos 
 
𝐹𝑚 + 𝐹𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜 = 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
−𝑘𝑥 − 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+
𝑏
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑥 = 0 (3) 
A solução dessa equação diferencial é 
 
𝑥(𝑡) = 𝐴0𝑒
−𝛾𝑡 cos(𝜔𝑡 + 𝜑), (4) 
onde definimos 
𝜔 ≡ √𝜔0
2 − 𝛾2 =
2𝜋
𝑇
, (5) 
𝜔0 ≡ √
𝑘
𝑚
, (6) 
𝛾 ≡
𝑏
2𝑚
. (7) 
Observe pela Eq. (4) que a amplitude, 𝐴(𝑡), decai exponencialmente com o tempo: 
𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒
−𝛾𝑡. (8) 
 
99 
 
 
 
Pêndulo de torção ideal: 
Nesta prática vamos utilizar novamente o pêndulo de torção. Na prática anterior vimos que 
desconsiderando a dissipação de energia, principalmente devido a resistência do ar, o pêndulo 
oscila eternamente com amplitude constante e o ângulo de rotação é função do tempo 𝜃(𝑡) 
expressa por 
𝜃(𝑡) = 𝜃0cos (𝜔0𝑡 + 𝜑0) (9) 
Essa solução descreve o movimento angular de um pêndulo que não dissipa energia e que oscila 
eternamente com amplitude 𝜃0 constante e frequência angular 𝜔0 constante. Nesta função, o 
termo 𝜑0 é chamado de constante de fase do movimento. Seu valor está relacionado com a 
posição angular do pêndulo no instante de tempo t = 0. 
Pêndulo de torção amortecido: 
Nos problemas de engenharia não podemos evitar a dissipação de energia, principalmente 
devido à resistência de um líquido como a água. Sabemos na prática que o pêndulo oscila em 
torno de seu eixo, mas eventualmente irá parar. O pêndulo real é amortecido e a força de 
resistência da água irá sempre exercer um torque contrário ao movimento. Geralmente esse 
torque é proporcional à velocidade angular de rotação 𝜔 =
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 . Portanto vamos escrever 
𝜏 = −𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (10) 
 
Agora temos sobreo pêndulo, dois torques, um do fio e outro da água. O torque total é 
𝜏 = −𝜅𝜃 − 𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 (11) 
Mas como 
𝜏 = 𝛪
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 (12) 
 
Podemos obter a equação de movimento para esse pêndulo real passa a ser 
100 
 
𝛪
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝜅𝜃 = 0 (13) 
 
cuja solução pode ser escrita como 
 
𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡cos (𝜔1𝑡 + 𝜑0) (14) 
 
Amplitude e frequência angular de movimento: 
A função (14) mostra que à medida que a haste oscila o ângulo 𝜃 varia com o tempo 𝑡 de um 
modo mais complicado do que no pêndulo ideal. No pêndulo amortecido a amplitude possui um 
decaimento exponencial e a função cosseno descreve o movimento de oscilação com uma 
frequência angular 𝜔1. Na equação 
𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡 cos(𝜔1𝑡 + 𝜑0) (15) 
o termo 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡 descreve a amplitude do pêndulo que decresce de acordo com a exponencial 
negativa, sendo  uma constante calculada por 
𝛾 =
𝑏
2Ι
 (16) 
onde 𝑏 uma constante que depende do meio onde o pêndulo está imerso, água neste caso, e 𝛪 
é o momento de inércia do pêndulo. O termo cos (𝜔1𝑡 + 𝜑0) é a parte da função que descreve 
a oscilação da haste que ocorre com frequência 𝜔1. Portanto, a rapidez com que a amplitude 
diminui depende do meio, através do valor da constante 𝑏 e do momento de inércia 𝐼 do 
conjunto. A frequência angular é calculada por 
𝜔1 = √
𝜅
Ι
− 𝛾2 = √𝜔0
2 − 𝛾2 (17) 
Observe que o valor da frequência de oscilação do pêndulo depende da constante , que é uma 
característica do meio em que a haste está imersa. Assim a haste poderá oscilar com frequências 
diferentes se estiver imerso no ar ou na água, por exemplo. Apesar disso, a relação entre o 
período de oscilação e a frequência ω1 não muda, continua sendo 
𝑇 =
2𝜋
𝜔1
 (18) 
Podemos escrever 
101 
 
𝑇 =
2𝜋
√𝜔𝑜2 − 𝛾2
 (19) 
 
PARTE EXPERIMENTAL: 
 
OPÇÃO 1: SISTEMA MASSA-MOLA 
 
Objetivos: analisar o movimento harmônico amortecido, plotando seu gráfico. 
Material utilizado: mola, 02 massas aferidas de 50 g, tripé, haste, trena e cronômetro. 
 
Atividade 1: Estudo do período em relação a amplitude 
 
1) Pendure a mola no suporte e prenda as duas massas aferidas em sua extremidade livre. Deixe 
o sistema na posição de equilíbrio. 
2) Cuidadosamente puxe as massas ~50 mm abaixo da posição de equilíbrio e solte-as, acionando 
ao mesmo tempo o cronômetro. Meça o período de uma oscilação e anote na Tabela 1. Utilize 03 
algarismos significativos. 
3) Interrompa o movimento e deixe o sistema na posição de equilíbrio novamente. Cuidadosamente 
puxe as massas ~50 mm abaixo da posição de equilíbrio e solte-as, acionando ao mesmo tempo o 
cronômetro. Meça o período médio de duas oscilações (tempo total divido pelo número de 
oscilações) e anote na Tabela 1. 
4) Repita o procedimento (3) até completar 10 oscilações. 
 
Tabela 1: Variação do período com o número de oscilações. 
𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
𝑇 (𝑠) 
 
5) Calcule o valor médio dos períodos, o desvio e o desvio relativo. Discuta se o período variou com 
o número de oscilações (e consequentemente com a amplitude) e se esse resultado era o esperado. 
 
 
102 
 
Atividade 2: Estudo do decaimento da amplitude em função do tempo 
 
1) Deixe o sistema na posição de equilíbrio. Anote o comprimento inicial do sistema com base na 
escala da régua fixada na haste. 
𝐿0 = _______________________𝑚𝑚 
2) Tendo em vista que o período médio do sistema já foi calculado no Procedimento 1, calcule a 
frequência angular de oscilação do sistema: 
𝜔 = ______________________ 
3) Cuidadosamente desloque o conjunto de massas ~60 mm abaixo da posição de equilíbrio e 
solte (sem puxar ou empurrar), acionando ao mesmo tempo o cronômetro. 
4) Anote na Tabela 2 o tempo decorrido cada vez que a amplitude diminuir de ~10 em 10 mm, até 
que a amplitude seja ~10 mm. 
5) Com auxílio do SciDAVis, plote o gráfico da amplitude em função do tempo, 𝐴 (𝑚𝑚) × 𝑡(𝑠). 
Discuta se o gráfico obtido tem o padrão esperado. 
6) Ainda no gráfico criado no item (5), faça um ajuste exponencial de primeira ordem e obtenha o 
valor da constante de amortecimento: 
𝛾 = ______________________ 
 
Tutorial: Clique no menu “Analysis > Quick Fit > Fit Exponential Decay > First Order”. Na janela 
que se abre, altere o parâmetro “Decay time” para “1.1”, conforme a imagem abaixo: 
 
 
Clique em “Fit”. 
 
DICA: Na janela “Result log”, que fornecem os parâmetros ajustados, observe a função que o 
SciDAVis usa para fazer o ajuste exponencial e os respectivos parâmetros e variáveis. Identifique, 
103 
 
então, qual é a constante equivalente ao “𝛾” do nosso problema, tendo em vista a Eq. (8). 
7) Tendo em visa a Eq. (4), adicione a função do oscilador harmônico amortecido no gráfico 
(considere 𝜑 = 0). 
 
Tutorial: Selecione a janela do gráfico aberto e clique no menu “Graph > Add Function”. Na janela 
que se abre, insira a equação do movimento [Eq. (4)] com os respectivos valores das constantes 
obtidas (obs.: “x” é o tempo). Veja o exemplo abaixo: 
 
 
-Coloque o limite máximo do eixo “x” igual ao tempo final do movimento (ver Tabela 2). 
-Use “500” no campo “Points”. 
-Clique em “Ok”. 
- Edite o gráfico com os nomes correspondentes aos eixos e as legendas apropriadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
104 
 
Tabela 2: Amplitude em função do tempo. 
𝐿 (𝑚𝑚) 𝐴 = 𝐿 − 𝐿0 (𝑚𝑚) 𝑡(𝑠) 
 
 
 
 
 
 
OPÇÃO 2: PÊNDULO DE TORÇÃO: 
 
Objetivo: Entender o movimento amortecido, obter a função 𝜃(𝑡) que descreve o movimento, plotar 
e analisar seu gráfico. 
Material: Pêndulo de torção com acessórios, cronômetro, régua, recipiente com água. 
Procedimento: Vamos utilizar o pêndulo de torção para estudar oscilações amortecidas. 
 
Atividade 1: período em função da amplitude: A equação (19) mostram que o período 
independe da amplitude de movimento. É o queremos verificar nesta parte. Vamos medir o 
período de oscilação à medida que a amplitude diminui e analisar se há influência no valor do 
período. Para isso consideramos a resistência da água sobre a haste. 
 
Atenção: É muito importante que você evite que a haste vibre durante a rotação. O correto 
seria a haste apenas girar sem vibrar. Quanto maior a vibração, maior é a possibilidade dos 
resultados a seguir serem influenciados pela vibração 
 
(a) Leve a haste para sua posição máxima e solte-a sem puxar ou empurrar. 
(b) Para cada oscilação anote o período medido pelo cronômetro utilizando duas casas 
após a vírgula, preenchendo a tabela abaixo. Queremos verificar o que acontece com 
o período enquanto a amplitude de oscilação diminui. Ao final calcule e anote o tempo 
médio utilizando a equação 
105 
 
𝑇𝑚𝑒𝑑 =
1
𝑛
∑ 𝑡𝑖
𝑛
1
 
(19) 
 
Tabela 3: Períodos de oscilação usando a água como meio de 
amortecimento. 
𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑇𝑚𝑒𝑑 (𝑠) 
𝑡𝑖 (𝑠) 
 
 
 
Atividade 2: Comportamento da amplitude de oscilação com o tempo 
 Agora vamos determinar o comportamento da amplitude com o tempo. Nessa parte vamos 
continuar utilizando apenas a haste sendo o meio de amortecimento a água. 
a) Leitura da posição inicial: Ligue o laser na base do pêndulo e observe onde a luz 
refletida pelo espelho atinge a régua. A haste oscila um pouco por isso evite 
encostar na mesa e na montagem. Após observar que a luz refletida está 
aproximadamente parada, anote a posição inicial x0. 
𝑥0 = _______________ 
b) Gire e segura a barra de modo que a luz refletida na régua atinja uma posição fixa 
escolhida por você (gire de modo que 𝑥 > 𝑥0). 
Observação: estamos considerando φ0 = 0 na equação (15) 
c) Libere a haste e sucessivamente anote os valores de x para todos os pontos de 
retorno enquanto ela oscila (pode ser necessário que um aluno anote as posições 
à esquerda e outro à direita). 
 
 
106 
 
Tabela 4: Estudo da posição 𝑥 do reflexo da luz sobre a régua 
Medidas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
𝒙(cm) 
 
 
d) Meça a distância L, em centímetros, entre o espelho e a régua. 
e) Agora podemos calcular o ângulo máximo de deslocamento angular 𝜃 para cada 
posição 𝑥 obtida acima. Utilizando a equação (20) abaixo, calcule o ângulo e anote 
na segunda linha da Tabela 5. Deverá haver valores negativos e positivos para 𝜃. 
𝜃 =
1
2
arctan (
𝑥 − 𝑥0
𝐿
) 
(20) 
 
f) Na Tabela 3 calculamos a média do período 𝑇𝑚𝑒𝑑 e o consideramos como sendo o 
período de oscilação. Conhecendo o período podemos calcular os instantes em 
que a haste assume os valores de 𝜃 calculados. Complete a terceira linha da 
Tabela 4 com os valores correspondentes de t, que são múltiplos de 𝑇𝑚𝑒𝑑 2⁄ . 
 
Tabela 5: Estudo da amplitude 𝜃 = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡 com o tempo. 
Medidas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
𝜃 (𝑟𝑎𝑑) 
 
𝑡 (𝑠) 0 
 
 
Envoltória da curva 𝜽(𝒕) 
Pelos resultados obtidos vimos que a amplitude 𝜃 decresce com o tempo. Há uma curva que 
intercepta todos os valores de 𝜃, positivos ou negativos. Ela é formada por todos os pontos de 
retorno em que a haste está momentaneamente em repouso. 
Essa curva é chamada de envoltória e sua equação é 𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡. Podemos obter a equação 
da envoltória mas para isso precisamos determinar os valores de 
𝜃0 e 𝛾 . Copie da Tabela 5 para a segunda linha e para a terceira linha da Tabela 4 apenas os 
107 
 
valores positivos de 𝜽 e os tempos t correspondentes. Para cada valor de 𝜃 calcule 𝑙𝑛𝜃 e 
preencha a última linha da Tabela 6 abaixo. 
Tabela 6: Somente valores positivos de 𝜃 
Medidas 1 2 3 4 5 6 7 8 
𝜽(𝒓𝒂𝒅) 
 
𝒕(𝒔) 0 
 
𝒍𝒏𝜽 
 
 
Gráficos e análise de dados 
Vamos utilizar o programa SciDAVis para fazer os gráficos a seguir: 
1. Gráfico 𝜽 𝒗𝒔. 𝒕 : Utilizando os dados da Tabela 5 plote o gráfico 𝜃 em função de t. 
2. Gráfico 𝒍𝒏𝜽 𝒗𝒔 𝒕: trace o gráfico com os dados de 𝑙𝑛𝜃 e 𝑡 obtidos na Tabela 6. Utilize a 
regressão linear para encontrar os valores dos coeficientes angular 𝑎 e linear 𝑏. 
3. Os coeficientes angular e linear obtidos acima nos permitem obter os valores de 𝛾 e 𝜃0, pois 
𝛾 = 𝑎 e 𝑏 = 𝑙𝑛𝜃0. Desta última equação podemos obter que 𝜃0 = 𝑒
𝑏. 
 
𝛾 = __________________ 
𝜃0 = ___________________ 
 
Sugestão de exercícios a serem feitos em sala ou para entregar juntamente com o relatório: 
Equação de movimento: 
O pêndulo de torção que estamos utilizando é um exemplo de oscilador harmônico 
amortecido que oscila de acordo com a equação 
 𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡cos (𝜔1𝑡 + 𝜑0) 
Na tabela 3, obtivemos o valor de 𝑇𝑚𝑒𝑑 e agora podemos calcular a frequência ω1 utilizando 
𝜔1 =
2𝜋
𝑇𝑚𝑒𝑑
 
 
108 
 
Da Tabela 5 temos os valores de 𝛾 e 𝜃0. Escreva a função 𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡cos (𝜔1𝑡) substituindo 
os valores de 𝛾,𝜃0, 𝜔1 na prática. 
1) Equação da envoltória: Com os valores de 𝛾 e 𝜃0 obtenha escreva a função f(𝑡) = 𝜃0𝑒
−𝛾𝑡 
2) Gráficos: Utilize o programa SciDAVis para traçar os gráficos das funções 𝜃(𝑡), 𝑓(𝑡) . Plote 
o gráfico dessas funções juntamente com os dados da Tabela 5 (no SciDAVis clique com o 
mouse em GRAPH + ADD FUNCTION ...) e verifique se sua função está correta e ajustada 
aos dados da Tabela 3 obtidos na prática. 
 
 
109 
 
ANEXO I: SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 
 
 Em 1960 um comitê internacional estabeleceu um conjunto padrão para as quantidades 
fundamentais da ciência. O Sistema Internacional de Unidades (SI) estabelece que as unidades 
fundamentais de comprimento, massa e tempo são metro (m), quilograma (kg) e segundo (s), 
respectivamente. Outras unidades-padrão fundamentais e derivadas podem ser encontradas no site do 
Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM) http://www.bipm.org/en/measurement-units/. 
Múltiplos décimos e submúltiplos dessas unidades são amplamente usados, e recebem uma notação 
padrão de prefixos. A Tabela 1 mostra alguns prefixos com seus respectivos nomes e ordens de grandeza. 
 
Tabela 1: símbolos, nomes e ordens de grandeza de alguns prefixos. 
Símbolo Nome Valor 
𝑝 pico 10−12 
𝑛 nano 10−9 
𝜇 micro 10−6 
𝑚 mili 10−3 
𝑐 centi 10−2 
𝑑 deci 10−1 
𝑑𝑎 deca 101 
ℎ hecto 102 
𝑘 quilo 103 
𝑀 mega 106 
𝐺 giga 109 
𝑇 tera 1012 
 
Exemplos de conversão de unidades de medidas: 
 
A dica geral para realizar a conversão de qualquer múltiplo ou submúltiplo de uma unidade de medid 
é lançar mão dos respectivos valores dos prefixos, conforme a Tabela 1. Veja os exemplos a seguir. 
 
• Exemplo 1 – Converter 2 𝑐𝑚2para 𝑚2: 
 
Pela Tabela 1 tem-se que 𝑐 = 10−2, então a conversão pode ser realizada como se segue: 
2 𝑐𝑚2 = 2 (𝑐𝑚)2 = 2 (10−2𝑚)2 = 2 × 10−4 𝑚2 
 
• Exemplo 2 – Converter 5 𝑐𝑚2 para 𝑚𝑚2: 
 
 Podemos multiplicar e dividir a medida pela unidade que queremos representá-la: 
http://www.bipm.org/en/measurement-units/
110 
 
 
5 𝑐𝑚2 = 5 [
 𝑚𝑚2
 𝑚𝑚2
] 𝑐𝑚2 
Naturalmente isso não altera o valor da medida, uma vez que o fator dentro dos colchetes é igual a um. 
Como deseja-se permanecer com a unidade 𝑚𝑚2 no numerador, então transformamos o 
denominador da fração ( 𝑚𝑚2) e o fator 𝑐𝑚2utilizando os respectivos valores de seus prefixos 
(𝑚 = 10−3 e 𝑐 = 10−2): 
5 𝑐𝑚2 = 5 [
 𝑚𝑚2
 (10−3𝑚)2
] (10−2𝑚)2 
Reorganizando a equação: 
5 𝑐𝑚2 = 5(
10−4𝑚2
10−6𝑚2
) 𝑚𝑚2 
Simplificando a fração dentro dos parênteses: 
 
5 𝑐𝑚2 = 5 × 102 𝑚𝑚2 
 
Observação: note que a medida 5 𝑐𝑚2 possui apenas um algarismo significativo. Por isso a 
conversão final foi escrita como 5 𝑐𝑚2 = 5 × 102 𝑚𝑚2 (que também possui um algarismo 
significativo). Portanto, o resultado da conversão não poderia ser representado como 500 𝑚𝑚2, que 
possui três algarismos significativos. 
 
 
Nota: 
 
Esses exemplos são simplesmente uma demonstração básica de como converter qualquer unidade 
de medida entre seus múltiplos e submúltiplos, sem a necessidade de decorar qualquer “regra” ou “tabela 
de conversões”. Observe que apenas é necessário saber o valor dos prefixos, e então fazer as operações 
adequadas. 
 
 
111 
 
ANEXO II: ORIENTAÇÕES GERAIS PARA REDAÇÃO DOS 
RELATÓRIOS TÉCNICOS 
 
a) São individuais; 
b) Podem ser entregues no início da aula de laboratório seguinte ao experimento realizado; 
c) Somente alunos que participaram da aula é que podem entregar o relatório; 
d) A nota final de cada relatório será baseada em dois fatores: (1) participação do aluno nas 
atividades e (2) avaliação do relatório em si. 
 
RELATÓRIO: 
 
 O relatório de uma atividade experimental consiste basicamente de três partes, as quais são 
descritas a seguir: 
 
Parte 1: Título, objetivos e introdução 
 
Deve conter uma capa contendo: 
• Nome da instituição, departamento/instituto e curso; 
• Título do experimento; 
• Nome do autor(es); 
• Nome do professor; 
• Data e local da realização do experimento; 
 
Em outra folha: 
 
• Objetivos: descreva o que se pretende verificar, medir e aprender com o experimento. 
• Introdução: explique claramente os conceitos teóricos e hipóteses que servirão de base ao 
experimento, reforçando no final os objetivos. Apresente de forma simplificada, no último 
parágrafo, o que será feito na prática. 
 
 
 
 
112 
 
Parte 2: Desenvolvimento: 
 
• Materiais: Liste todos os equipamentos e materiais de consumo utilizados. 
• Método: Faça uma breve introdução ao tema do experimento e relate detalhadamente todos 
os procedimentos realizados durante o experimento, os métodos de medidas e os cálculos 
envolvidos. 
• Resultados e análises: Apresente de forma clara os resultados obtidos, os quais devem 
ser destacados no texto com suas respectivas incertezas e unidades. Possíveis limitações 
da prática e/ou métodos devem ser discutidas. 
 
Caso alguma interpolação de dados tenha sido realizada na construção de gráficos, os dados 
da interpolação devem ser descritos no texto (como correto número de algarismos significativos e 
incertezas); tais dados devem ser relacionados às quantidades físicas e equações pertinentes. 
 
Discuta os resultados obtidos e responda as questões propostas no texto da atividade. 
 
Dados: 
 
Toda tabela deve conter: i) legenda iniciada com a palavra “Tabela” seguida pelo seu número 
que identifica sua ordem no texto; deve conter uma descrição sucinta do conteúdo da tabela 
apresentada, assim como variáveis, símbolos e abreviações (caso não estejam no texto); ii) 
cabeçalho na primeira linha da tabela apresentando os nomes e/ou símbolos das grandezas com 
suas respectivas unidades de medidas e incertezas (se necessário); iii) conteúdo organizado em 
linhas e colunas apresentando os resultados; em caso de dados numéricos, esses devem conter o 
número adequado de algarismos significativos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
113 
 
A Tabela 1 a seguir mostra um conjunto de medidas organizadas em um modelo de tabela. 
 
Tabela 1: Medidas de posição, 𝑥, em função do tempo, 𝑡, para um objeto que se move em uma direção. 
𝑥 (𝑚) 𝑡 (𝑠) 
0,0 1,0 
0,5 2,9 
1,0 2,7 
1,5 0,7 
2,0 −2,6 
2,5 −6,6 
3,0 −9,9 
3,5 −10,6 
4,0 −5,4 
4,5 11,3 
5,0 48,4 
 
Observando atentamente os resultados apresentados na Tabela 1 é praticamente impossível 
compreender como a posição varia com o tempo. Para compreender o comportamento funcional 
da posição em relação ao tempo faz-se necessário usar um recurso gráfico para analisar o 
movimento. A Figura 1 apresenta o gráfico das medidas realizadas na Tabela 1. 
 
 
Figura 1: Gráfico da posição em diferentes instantes de tempo de um objeto que realiza um movimento 
unidimensional. 
 
114 
 
 Assim como as tabelas, os gráficos devem possuir: i) legenda, iniciando-se com “Gráfico” ou 
“Figura” seguida pelo número que identifica sua ordem no texto, bem como deve conter uma 
descrição do conteúdo apresentado, inclusive das variáveis, símbolos e abreviações não 
apresentadas no texto; ii) eixos com nomes e/ou símbolos das grandezas com as respectivas 
unidades de medidas; os eixos devem possuir uma escala adequada, permitindo a visualização 
clara de todas as medidas. 
 
Parte 3: Conclusão 
 
Tenha como referência os objetivos iniciais e faça um resumo do que foi feito na prática. 
Discuta se os resultados estão de acordo com o esperado, tendo em vista os objetivos; também é 
válido discutir as qualidades dos resultados no que diz respeito a erros e incertezas, e os possíveis 
motivos de tais erros e discrepâncias. 
 
Referências bibliográficas: Registre todas as referências utilizadas, seguindo alguma norma de 
citação bibliográfica formal. Por exemplo, as normas vigentes da Associação Brasileira de Normas 
Técnicas (ABNT) NBR 6023:2002. 
 
 
 
115 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
AZEHEB – Laboratórios de Física. Manual de Instruções e Guia de Experimentos: Trilho de Ar. 
 
CAMPOS, Agostinho Aurélio Garcia; ALVES, Elmo Salomão; SPEZIALI, Nivaldo Lúcio. Física 
Experimental Básica na Universidade. Belo Horizonte: ed. UFMG, 2007. 
 
CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Plano 
inclinado com sensores e multicronômetro de rolagem de dados. 
 
CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
interativo para dinâmica de rotações II. 
 
CIDEPE, Livro de Atividades Experimentais: Física Experimental – Mecânica – Conjunto 
lançador com sensores e software. 
 
CHAVES, Alaor; SAMPAIO, J. F. Física Básica: Mecânica. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos 
e Científicos, 2007. 
 
CUTNELL, John D.; JOHNSON, Kenneth W. Física: volume 1. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros 
Técnicos e Científicos, 2006. 
 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física: volume 1: 
mecânica. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2006. 
 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de física básica: volume 1: mecânica. 4. ed. rev. São Paulo: E. 
Blücher, 2002. 
 
PIACENTINI, João J.; GRANDI, Bartira C. S.; HOFMAN, Márcia P.; LIMA, Flávio; ZIMERMAN, Erika. 
Introdução ao Laboratório de Física. 2 ed. Florianópolis: Ed. UFSC, 2001. 
 
SEARS, Francis Weston; ZEMANSKY, Mark Waldo; YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. 
Física I: mecânica. 12. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. 
 
SERWAY, Raymond A.; JEWETT, John W. Princípios de Física: volume 1: mecânica clássica. São 
116 
 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. 
 
TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros: volume 1: mecânica, 
oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 
c2009. 
 
TREFIL, James S.; HAZEN, Robert M. Física viva: Uma Introdução à Física Conceitual. Volume 
1. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2006. 
. ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, c2006.