PontesI_Apostila3 (1)

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<p>See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/331346375</p><p>PONTES EM CONCRETO (Apostila 3)</p><p>Technical Report · February 2019</p><p>DOI: 10.13140/RG.2.2.26870.86081</p><p>CITATIONS</p><p>0</p><p>READS</p><p>680</p><p>1 author:</p><p>Ricardo A. M. Silveira</p><p>Universidade Federal de Ouro Preto</p><p>270 PUBLICATIONS   756 CITATIONS</p><p>SEE PROFILE</p><p>All content following this page was uploaded by Ricardo A. M. Silveira on 26 February 2019.</p><p>The user has requested enhancement of the downloaded file.</p><p>https://www.researchgate.net/publication/331346375_PONTES_EM_CONCRETO_Apostila_3?enrichId=rgreq-d72938e3b6df37a20bd40ac9f75b1c94-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMTM0NjM3NTtBUzo3MzA1MDkwNjc5NjAzMzBAMTU1MTE3ODM0MjQ5NA%3D%3D&el=1_x_2&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/publication/331346375_PONTES_EM_CONCRETO_Apostila_3?enrichId=rgreq-d72938e3b6df37a20bd40ac9f75b1c94-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMTM0NjM3NTtBUzo3MzA1MDkwNjc5NjAzMzBAMTU1MTE3ODM0MjQ5NA%3D%3D&el=1_x_3&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/?enrichId=rgreq-d72938e3b6df37a20bd40ac9f75b1c94-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMTM0NjM3NTtBUzo3MzA1MDkwNjc5NjAzMzBAMTU1MTE3ODM0MjQ5NA%3D%3D&el=1_x_1&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Ricardo-Silveira-3?enrichId=rgreq-d72938e3b6df37a20bd40ac9f75b1c94-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMTM0NjM3NTtBUzo3MzA1MDkwNjc5NjAzMzBAMTU1MTE3ODM0MjQ5NA%3D%3D&el=1_x_4&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Ricardo-Silveira-3?enrichId=rgreq-d72938e3b6df37a20bd40ac9f75b1c94-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMTM0NjM3NTtBUzo3MzA1MDkwNjc5NjAzMzBAMTU1MTE3ODM0MjQ5NA%3D%3D&el=1_x_5&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/institution/Universidade_Federal_de_Ouro_Preto?enrichId=rgreq-d72938e3b6df37a20bd40ac9f75b1c94-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMTM0NjM3NTtBUzo3MzA1MDkwNjc5NjAzMzBAMTU1MTE3ODM0MjQ5NA%3D%3D&el=1_x_6&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Ricardo-Silveira-3?enrichId=rgreq-d72938e3b6df37a20bd40ac9f75b1c94-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMTM0NjM3NTtBUzo3MzA1MDkwNjc5NjAzMzBAMTU1MTE3ODM0MjQ5NA%3D%3D&el=1_x_7&_esc=publicationCoverPdf</p><p>https://www.researchgate.net/profile/Ricardo-Silveira-3?enrichId=rgreq-d72938e3b6df37a20bd40ac9f75b1c94-XXX&enrichSource=Y292ZXJQYWdlOzMzMTM0NjM3NTtBUzo3MzA1MDkwNjc5NjAzMzBAMTU1MTE3ODM0MjQ5NA%3D%3D&el=1_x_10&_esc=publicationCoverPdf</p><p>PONTES EM CONCRETO</p><p>Apostila 3</p><p>Prof. Ricardo A.M. Silveira</p><p>Departamento de Engenharia Civil</p><p>Escola de Minas</p><p>Universidade Federal de Ouro Preto</p><p>Colaboração:</p><p>Mestranda Aparecida Mucci Castanheira</p><p>PROPEC/Deciv/EM/UFOP</p><p>I</p><p>ÍNDICE</p><p>1 Conceitos Gerais ....................................................................................... 1</p><p>1.1 Plantas ..................................................................................................................... 2</p><p>1.2 Considerações Iniciais ............................................................................................ 4</p><p>1.3 Pré-dimensionamento ............................................................................................. 5</p><p>1.4 Carga Permanente ................................................................................................... 5</p><p>1.5 Carga Móvel ......................................................................................................... 16</p><p>1.6 Tabela de Envoltória Final .................................................................................... 41</p><p>2 Dimensionamento das Seções do Vigamento Principal ...................... 42</p><p>2.1 Considerações Gerais ............................................................................................ 42</p><p>2.2 Dimensionamento a Flexão .................................................................................. 43</p><p>2.3 Dimensionamento ao Esforço Cortante ................................................................ 49</p><p>3 Transversinas de Pontes ........................................................................ 53</p><p>3.1 Considerações Iniciais .......................................................................................... 53</p><p>3.2 Cargas ................................................................................................................... 54</p><p>3.3 Resumo ................................................................................................................. 55</p><p>4 Lajes de Pontes ....................................................................................... 56</p><p>4.1 Introdução ............................................................................................................. 56</p><p>4.2 Solicitações nas Lajes Isotrópicas ......................................................................... 56</p><p>4.3 Campo de Influência ............................................................................................. 59</p><p>4.4 Exemplo de Aplicação .......................................................................................... 61</p><p>5 Aparelhos de Apoio: Projeto e Cálculo ................................................ 73</p><p>5.1 Considerações Iniciais .......................................................................................... 73</p><p>5.2 Apoios de Concreto .............................................................................................. 79</p><p>5.3 Apoios Metálicos .................................................................................................. 82</p><p>5.4 Apoios Elastoméricos ........................................................................................... 85</p><p>II</p><p>5.5 Dimensionamento ................................................................................................. 94</p><p>6 Pilares de Pontes ..................................................................................... 99</p><p>6.1 Introdução ............................................................................................................. 99</p><p>6.2 Tipos Construtivos de Pilares de Pontes ............................................................. 100</p><p>6.3 Processos Construtivos de Pilares....................................................................... 102</p><p>6.4 Esforços Atuantes nos Pilares ............................................................................. 103</p><p>6.5 Solicitação nos Pilares de Pontes de Estrado Contínuo ...................................... 104</p><p>6.6 Exemplo de Aplicação ........................................................................................ 112</p><p>7 Tabuleiros Celulares ............................................................................ 123</p><p>7.1 Introdução ........................................................................................................... 123</p><p>7.2 Exemplo de Aplicação – Parte 1 ......................................................................... 126</p><p>7.3 Exemplo de Aplicação – Parte 2 ......................................................................... 131</p><p>8 Provas .................................................................................................... 134</p><p>Prova 1999/1 ........................................................................................................... 135</p><p>Prova 1999/2 ........................................................................................................... 141</p><p>Prova 2000/1 ........................................................................................................... 144</p><p>Prova 2000/2 ........................................................................................................... 149</p><p>Prova 2001/1 ........................................................................................................... 153</p><p>Prova 2001/2 ........................................................................................................... 159</p><p>Prova 2002/1 ...........................................................................................................</p><p>da VIGA INTERMED.</p><p>mais solicitada:</p><p>Vq = 1,225 x (7,84 + 0,79 x 25 /2) = 21,7 tf</p><p>• Tensão de cisalhamento:</p><p>2</p><p>w m/tf55,42</p><p>7,1x3,0</p><p>7,21</p><p>dbw</p><p>Vq</p><p>≅==τ</p><p>5. Tensões cisalhantes máximas (E. cortante + M. torsor)</p><p>• Septos verticais EXTERNOS (vigas laterais):</p><p>2</p><p>twr m/tf7,5614x7,093,46 ≅+=τ+τ=τ</p><p>• Septos verticais INTERMEDIÁRIOS (vigas intermediárias):</p><p>2</p><p>twr m/tf53,434,1x7,055,42 ≅+=τ+τ=τ</p><p>133</p><p>Prova 1999/1 pg 135</p><p>Prova 1999/2 pg 141</p><p>Prova 2000/1 pg 144</p><p>Prova 2000/2 pg 149</p><p>Prova 2001/1 pg 153</p><p>Prova 2001/2 pg 159</p><p>Prova 2002/1 pg 162</p><p>Prova 2002/2 pg 166</p><p>8. PROVAS</p><p>PONTES I</p><p>Deciv / EM / UFOP</p><p>134</p><p>135</p><p>,Deciv - ESCOLA DE MINAS - UFOP</p><p>Pontes I - PROVA 2 - Prof. Ricardo Silveira - Data: 14/07/99</p><p>PROBLEMA: (10.0)</p><p>Para a ponte CLASSE 30 mostrada na Figura 1 a seguir, pede-se:</p><p>1. Trem-tipo de anteprojeto - VIGA PRINCIPAL VP1; (0,5)</p><p>2. CARGA MÓVEL – VP1 (Trem-Tipo de):</p><p>a. Momentos Fletores (máximo positivo e negativo): (2,0)</p><p>• Seção: 12</p><p>b. Esforços Cortante (máximo): (1,0)</p><p>• Seção: 20e</p><p>c. Reação de apoio (máxima positiva e negativa) (2,0)</p><p>• Seção: 20.</p><p>3. Dimensionamento da viga VP1:</p><p>a. Seção 12: Md12 = γg Mg12 + γq ϕ Mq12 (momento negativo); (0,75)</p><p>b. Seção 20e: Vd20e = γg Vg20e + γq ϕ V20e (0,75)</p><p>(ver informações adicionais)</p><p>4. Transversina T2:</p><p>a. Máximo momento positivo (0,5)</p><p>b. Cortante máximo (0,5)</p><p>(ver informações adicionais)</p><p>5. Laje L3:</p><p>a. Momento máximo negativo: Mdye (carga permanente + carga móvel) (1,5)</p><p>b. Dimensionamento: cálculo da armadura (0,5)</p><p>(ver informações adicionais)</p><p>INFORMAÇÕES ADICIONAIS:</p><p>A. Momento Fletor - Carga móvel: Áreas</p><p>y 2</p><p>A = 0 .8 y 2 a</p><p>a b</p><p>L</p><p>y 1</p><p>A = 1 /2 b y 1</p><p>y e</p><p>y dx</p><p>o n d e :</p><p>x =</p><p>y e</p><p>y e + y d</p><p>0 .1 L</p><p>136</p><p>B. Esforço Cortante - Carga Móvel: Áreas</p><p>A = a (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>A = 0 .8 y3 L</p><p>y3</p><p>3</p><p>a/2</p><p>C. Esforço Cortante - Carga Móvel: Áreas</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y3</p><p>y2</p><p>y1</p><p>A = a/3 [2-(y1+y2)]</p><p>1</p><p>a</p><p>D. Tabela de Influência de Momentos (M = - 10 na Seção 0)</p><p>Seção 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>Mom. -10.0 -8.77 -7.55 -6.32 -5.09 -3.86 -2.64 -1.41 -0.18 1.05 2.27</p><p>Seção 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>Mom. 2.27 2.05 1.82 1.59 1.36 1.14 0.91 0.68 0.45 0.23 0.00</p><p>E. Dimensionamento da viga:</p><p>• TAB-30</p><p>• Mg12 = - 3,52 tfm; Vg20e = - 18,83 tf</p><p>• γg = 1,35 e γq = 1,5</p><p>• fyk = 5000 kgf/cm2 e fck = 220 kgf/cm2</p><p>• d (altura útil) = 1,45 m</p><p>• Coef. Impacto: ϕ = − ≥14 0 7% 1. . L</p><p>• γc = 1,4; γs = 1,15</p><p>• Cortante:</p><p>1. c/fckf:ondef25,0 cdcdwd γ=≤τ ; τwd = Vd/(d bw)</p><p>2. s/fykf:ondebw</p><p>f</p><p>4015,1</p><p>A yd</p><p>yd</p><p>wd</p><p>90s γ=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −τ</p><p>= (obs. τwd → tf/m2; bw → m; fyd → tf/cm2)</p><p>F. Considere para a Laje 3:</p><p>• Engastada nas transversinas e apoiada nas vigas principais</p><p>• γc= 2,5 tf/m3; γrev= 1,5 tf/m3</p><p>• h = 0,25m ; d (altura útil) = 0.20 m</p><p>• γg = 1,35 e γq = 1,5</p><p>• fyk = 5000 kgf/cm2 e fck = 220 kgf/cm2</p><p>• Espessura média do revestimento: hrev = 0.05 m</p><p>• TAB-30 para o dimensionamento</p><p>• Parâmetros de entrada nas Tabelas de Lajes: t/a e Lx/a; onde, t = largura da roda (0.45 m) + duas</p><p>vezes a distância entre a pista e o plano médio da laje; a = espaçamento entre as rodas do veículo</p><p>(2 m)</p><p>• Tabela de Rüsch:</p><p>137</p><p>Tabela de Rüsch</p><p>1. Carga Permanente: M g lg x= κ 2</p><p>onde: κ é o coeficiente extraído da</p><p>tabela em função da relação</p><p>2. Carga M óvel: ( )Mq PM pM p ML p p= + +ϕ ϕ</p><p>,</p><p>,</p><p>onde: ϕ = coef. de impacto; P = carga concentrada p/ roda</p><p>p = carga dist. - f. principal; p’= carga dist. - f. secundária</p><p>ML, Mp e Mp’ = valores extraídos da tabela</p><p>laje</p><p>asfalto</p><p>45o 45o</p><p>t</p><p>Roda</p><p>G. Considere para a Tranversina 3:</p><p>• Peso própio + Reação da Laje (regra do trapézio - θ = 45o) + Carga Móvel [NORMA]</p><p>• Norma: “Para o cálculo das CORTINAS e TRANSVERSINAS, solidárias às lajes, o</p><p>carregamento (carga móvel), na ausência de justificativa teórica mais precisa, deve ser o de um</p><p>único eixo isolado, com o peso total do veículo correspondente à classe da ponte, acrescido</p><p>ainda do respectivo coeficiente de impacto”</p><p>• Ltransv = 5 m</p><p>H. VISTA LONGITUDINAL</p><p>0 1 0 2 0</p><p>1 02 1 2</p><p>P i la r</p><p>P i la rP i la r</p><p>I. VISTA INFERIOR</p><p>Viga Principal 1</p><p>Viga Principal 2</p><p>T1 T3T2 L3L2L1</p><p>Armadura a ser</p><p>determinada</p><p>5 m</p><p>Mdye</p><p>J. VISTA TRANSVERSAL</p><p>barreira</p><p>lateral</p><p>0.25</p><p>1.25</p><p>5</p><p>Revestimento</p><p>7 m</p><p>VP1 VP2</p><p>0.5</p><p>0.2</p><p>0.4</p><p>Transversina</p><p>1.0 1.0</p><p>hrev = 0.05 m</p><p>K. DETALHE DA TRANSVERSINA 2</p><p>b = 0,25</p><p>h = 1,25</p><p>Laje</p><p>Viga Principal</p><p>Transversina</p><p>141</p><p>Deciv - Escola de Minas - UFOP</p><p>Pontes I - PROVA 2 - Prof. Ricardo Silveira - Data: 01/12/99</p><p>PROBLEMA: (10.0)</p><p>Para a ponte CLASSE 45 mostrada na página seguinte, pede-se:</p><p>1. CARGA PERMANENTE – VP1:</p><p>a. Momento fletor - Seção: 35 (1,0)</p><p>b. Esforço cortante - Seção: 17 (1,0)</p><p>c. Reação de apoio - Seção: 0 (1,0)</p><p>2. Trem-tipo de anteprojeto - VIGA PRINCIPAL VP1 (0,5)</p><p>Obs. Hipótese de Cálculo: Sistema estrutural em GRELHA, com as transversinas apresentando rigidez</p><p>bastante elevada.</p><p>Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA): i2</p><p>i</p><p>i x</p><p>x</p><p>eP</p><p>n</p><p>P</p><p>P</p><p>∑</p><p>±=</p><p>onde: n = número de vigas principais; e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade</p><p>das vigas principais); xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas</p><p>principais; Pi = carga atuante na viga genérica (i)</p><p>3. CARGA MÓVEL – VP1 (Trem-tipo de anteprojeto):</p><p>a. Momento fletor (máximo positivo e negativo) - Seção: 35 (2,0)</p><p>b. Esforço cortante (máximo positivo e negativo) - Seção: 17 (2,0)</p><p>c. Reação de apoio (máxima positiva e negativa) - Seção: 0 (2,0)</p><p>4. Envoltória de solicitações (considere ϕ = 1) (0,5)</p><p>INFORMAÇÕES ADICIONAIS:</p><p>A. Momentos de engastamento:</p><p>q tf/m</p><p>M1</p><p>A</p><p>B ;</p><p>Mb M2</p><p>M</p><p>qL</p><p>1</p><p>8</p><p>2</p><p>= − ; M</p><p>M b</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>B. Coeficientes de distribuição:</p><p>BCBA</p><p>BA</p><p>BA</p><p>L</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>L</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>L</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>d</p><p>+</p><p>=</p><p>BCBA</p><p>BC</p><p>BC</p><p>L</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>L</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>L</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>d</p><p>+</p><p>=</p><p>C. Esforço cortante - carga móvel: Áreas</p><p>A = a (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>A = 0 .8 y3 L</p><p>y3</p><p>3</p><p>a /2</p><p>142</p><p>D. Esforço cortante - carga móvel: Áreas</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y3</p><p>y2</p><p>y1</p><p>A = a/3 [2-(y1+y2)]</p><p>1</p><p>a</p><p>E. Tabela de influência de momentos (M = - 10 na Seção 0)</p><p>Seção 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>Mom. -10 -8.75 -7.50 -6.25 -5.00 -3.75 -2.50 -1.25 0.0 1.25 2.50</p><p>Seção 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>Mom. 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00</p><p>F. VISTA LONGITUDINAL</p><p>0 10 20 30</p><p>10</p><p>2</p><p>2</p><p>5040</p><p>101010 10106</p><p>22</p><p>2</p><p>junta de dilatação</p><p>G. MODELO ESTRUTURAL – VP1</p><p>3,5 tf</p><p>0 10 20 30 40 50</p><p>rótulas</p><p>3 tf3 tf3 tf 3 tf3 tf3 tf3 tf3 tf</p><p>q = 3,5 tf/m</p><p>3,5 tf</p><p>H. SEÇÃO TRANSVERSAL</p><p>VP1 VP2 VP3</p><p>0,8</p><p>0,2</p><p>2,0</p><p>5,0 m 5,0 m</p><p>hr(média) = 0,05 m revestimento</p><p>pilar</p><p>0,3</p><p>0,15</p><p>indicador de</p><p>simetria</p><p>0,3 0,3</p><p>pilarpilar</p><p>Transversina Transversina</p><p>144</p><p>Deciv - Escola de Minas - UFOP</p><p>Pontes I - PROVA 2 - Prof. Ricardo Silveira - Data: 21/06/00 (1o semestre/2000)</p><p>PROBLEMA: (10,0)</p><p>Para a ponte metálica CLASSE 30 mostrada na página seguinte, pede-se:</p><p>1. CARGA PERMANENTE – VP2 (viga com escoramento):</p><p>a. Momento fletor - Seção: 23 (1,0)</p><p>b. Esforço cortante - Seção: 23 (1,0)</p><p>c. Reação de apoio - Seção: 20 (1,0)</p><p>Obs. Usar as linhas de influência para a determinação desses esforços.</p><p>2. Trem-tipo de anteprojeto - VIGA PRINCIPAL VP2 (1,5)</p><p>Hipótese de Cálculo: Sistema estrutural em GRELHA (TABELAS DE HOMBERG). São dados:</p><p>80,0</p><p>)CentralViga(J</p><p>)LateralViga(J</p><p>m</p><p>m ≅ → 80,0:0,1:80,0r:r:r cba =</p><p>5,0</p><p>I</p><p>I</p><p>a2</p><p>L</p><p>Z Q</p><p>3</p><p>≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= ; )Iperfil(</p><p>IG</p><p>IE</p><p>a8</p><p>L</p><p>Z</p><p>T</p><p>Q</p><p>t ∞== ; ∫=</p><p>xf</p><p>xi</p><p>dxy)área(A , onde y = ax2 + bx + c</p><p>3. CARGA MÓVEL – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto):</p><p>a. Momento fletor (máximo positivo) - Seção: 23 (1,5)</p><p>b. Esforço cortante (máximo) - Seção: 23 (1,5)</p><p>c. Reação de apoio (máxima positiva) - Seção: 20 (1,5)</p><p>4. Laje L3. Momento máximo positivo: MXm (carga permanente + carga móvel) (1,0)</p><p>INFORMAÇÕES</p><p>ADICIONAIS:</p><p>A. Esforço cortante - carga móvel: Áreas</p><p>A = a (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>A = 0 .8 y3 L</p><p>y3</p><p>3</p><p>a /2</p><p>B. Esforço cortante - carga móvel: Áreas</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y3</p><p>y2</p><p>y1</p><p>A = a/3 [2-(y1+y2)]</p><p>1</p><p>a</p><p>C. Tabela de influência de momentos (M = - 10 na Seção 0)</p><p>Seção 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>Coef.</p><p>-8,75 -7,51 -6,26 -5,02 -3,77 -2,53 -1,28 -0,04 1,21</p><p>Seção 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19</p><p>Coef. 2,46 2,14 1,83 1,52 1,21 0,89 0,58 0,27 -0,04 -0,36</p><p>Seção 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29</p><p>Coef. -0,67 -0,60 -0,54 -0,47 -0,40 -0,33 -0,27 -0,20 -0,13 -0,07</p><p>145</p><p>D. Laje:</p><p>• Engastada nas vigas principais. Laje 3: Ly/Lx = 18/7,5 → ∞</p><p>• γc= 2,5 tf/m3; γrev= 1,0 tf/m3 ; hlaje = 0,25m; Esp.média do revestimento: hrev = 0,15 m</p><p>• Parâmetros de entrada nas Tabelas de Lajes: t/a e Lx/a; onde, t = largura da roda (0.45 m) + duas vezes</p><p>a distância entre a pista e o plano médio da laje; a = espaçamento entre as rodas do veículo (2 m)</p><p>• Tabela de Rüsch:</p><p>Tabela de Rüsch</p><p>1. Carga Permanente: M g lg x= κ 2</p><p>onde: κ é o coeficiente extraído da</p><p>tabela em função da relação</p><p>2. Carga M óvel: ( )Mq PM pM p ML p p= + +ϕ ϕ</p><p>,</p><p>,</p><p>onde: ϕ = coef. de impacto; P = carga concentrada p/ roda</p><p>p = carga dist. - f. principal; p’= carga dist. - f. secundária</p><p>ML, Mp e Mp’ = valores extraídos da tabela</p><p>laje</p><p>asfalto</p><p>45o 45o</p><p>t</p><p>Roda</p><p>E. VISTA LONGITUDINAL - MODELO ESTRUTURAL – VP2</p><p>5 tf</p><p>0 10 20</p><p>q = 3,0 tf/m</p><p>5 tf</p><p>30</p><p>0 10</p><p>3</p><p>3020</p><p>15 15183</p><p>VP2: Carga permanente A + B (viga escorada)</p><p>simetria</p><p>F. VISTA INFERIOR</p><p>7,5 mL1</p><p>L2</p><p>L3</p><p>L4</p><p>L5</p><p>L6</p><p>VP1</p><p>VP2</p><p>VP3</p><p>G. SEÇÃO TRANSVERSAL</p><p>VP1</p><p>VP2</p><p>VP3</p><p>7,5 m 7,5 m</p><p>hr(média) = 0,15 m revestimento</p><p>pilar</p><p>indicador de</p><p>simetria</p><p>pilarpilar</p><p>Transv. Interm. Transv. Interm.</p><p>149</p><p>Deciv - Escola de Minas - UFOP</p><p>Pontes I - PROVA 2 - Prof. Ricardo Silveira - Data: 09/12/00 (2o semestre/2000)</p><p>PROBLEMA: (10,0)</p><p>Para a ponte mista CLASSE 45 mostrada na página seguinte, pede-se:</p><p>1. Modelo estrutural, indicando a carga permanente atuante, para cálculo da VP1 (1,0)</p><p>Hipótese de Cálculo: PONTE ESCORADA. Sistema estrutural em GRELHA (TABELAS DE HOMBERG).</p><p>2. CARGA PERMANENTE – VP1:</p><p>a. Momento fletor - Seção: 15 (1,0)</p><p>b. Esforço cortante - Seção: 20d (1,0)</p><p>c. Reação de apoio - Seção: 0 (1,0)</p><p>Obs. Usar as linhas de influência para a determinação desses esforços.</p><p>3. Trem-tipo de anteprojeto - VIGA PRINCIPAL VP1 (2,0)</p><p>São dados: 20,1</p><p>)CentralViga(J</p><p>)LateralViga(J</p><p>m</p><p>m</p><p>≅ → 20,1:0,1:20,1r:r:r cba =</p><p>0,1</p><p>I</p><p>I</p><p>a2</p><p>L</p><p>Z Q</p><p>3</p><p>≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= ; )Iperfil(</p><p>IG</p><p>IE</p><p>a8</p><p>L</p><p>Z</p><p>T</p><p>Q</p><p>t ∞== ; ∫=</p><p>xf</p><p>xi</p><p>dxy)área(A , onde y = ax2 + bx + c</p><p>4. CARGA MÓVEL – VP1 (Trem-tipo de anteprojeto):</p><p>a. Momento fletor (máximos positivo e negativo) - Seção: 15 (1,0)</p><p>b. Esforço cortante (máximos positivo e negativo) - Seção: 20d (1,0)</p><p>c. Reação de apoio (máximas positiva e negativa) - Seção: 0 (1,0)</p><p>5. Tabela de envoltória incluindo a influência do coeficiente de impacto (1,0).</p><p>INFORMAÇÕES ADICIONAIS:</p><p>A. Carga permanante (A + B): Ver seção transversal abaixo</p><p>q1 (peso próprio - laje) = e(espessura) γconc. ≅ 0,65 tf/m2</p><p>q2 (revestimento - laje) = e(espessura) γrevest. ≅ 0,12 tf/m2</p><p>Ppróprio (VP1 = VP3) = 0,25 tf/m; Ppróprio (VP2) = 0,2 tf/m</p><p>VP1 VP2 VP3</p><p>4,5 m 4,5 m</p><p>hr(média) = 0,05 m revestimento</p><p>pilar</p><p>indicador de</p><p>simetria</p><p>pilarpilar</p><p>Transv. Interm. Transv. Interm.</p><p>Barreira</p><p>lateral</p><p>Barreira</p><p>lateral</p><p>2,4 m</p><p>2,5 m</p><p>0,2 0,2</p><p>q1 + q2 = 0,77 tf/m2</p><p>2,4 m</p><p>2,5 m</p><p>4,5 m 4,5 m</p><p>P = 0,6 tf/m P = 0,6 tf/m</p><p>Pp(VP1) = 0,25 tf/mPp(VP1) = 0,25 tf/m Pp(VP2) = 0,2 tf/m Pp(VP3) = 0,25 tf/m</p><p>q1 + q2 = 0,77 tf/m2</p><p>150</p><p>B. Esforço cortante: Áreas</p><p>A = a (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>3</p><p>a/2</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>A = lb y/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>L</p><p>C. Esforço cortante: Áreas</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y2</p><p>y1</p><p>A = a/3 [2-(y1+y2)]</p><p>1</p><p>a</p><p>--</p><p>-</p><p>A = lb y/2</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>L</p><p>a/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>D. Tabela de influência de momentos (M = - 10 na Seção 0)</p><p>Seção 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>Coef. -10.0 -8.75 -7.50 -6.25 -5.00 -3.75 -2.50 -1.25 0.00 1.25 2.50</p><p>Seção 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>Coef. 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00</p><p>E. Vista Longitudinal - Modelo Estrutural – VP1</p><p>0 10</p><p>q = (a ser determinada) tf/m</p><p>20</p><p>0 10</p><p>3</p><p>3020</p><p>20 203</p><p>VP1: Carga permanente A + B (viga escorada)</p><p>simetria</p><p>153</p><p>Pontes I - PROVA 2 - Prof. Ricardo Silveira - Data: 06/06/01 (1o semestre/2001)</p><p>Deciv - Escola de Minas - UFOP</p><p>Para a ponte de concreto CLASSE 45 mostrada a seguir, pede-se:</p><p>1. Modelo estrutural indicando a carga permanente atuante para cálculo da VP3 (0,5)</p><p>2. CARGA PERMANENTE – VP3:</p><p>a. Momento fletor - Seção: 20 (1,0)</p><p>b. Reação de apoio - Seção: 20 (1,0)</p><p>Obs. Usar as linhas de influência para a determinação desses esforços.</p><p>3. Trem-tipo de anteprojeto - VP3 (1,0)</p><p>Obs. Desprezar a influência das transversinas</p><p>4. CARGA MÓVEL – VP3 (Trem-tipo de anteprojeto):</p><p>a. Momento fletor (máximos positivo e negativo) - Seção: 20 (1,0)</p><p>b. Reação de apoio (máximos positivo e negativo) - Seção: 20 (1,0)</p><p>5. Cálculo da Laje L9</p><p>Pede-se: Momento máximo positivo (y): Mym = Mgym + Mqym (carga permanente + carga móvel) (1,5)</p><p>6. Dimensionamento do aparelho de apoio de neoprene localizado no Pilar P13. (1,0)</p><p>Obs. Pede-se determinar a dimensão a, sendo b = 25 cm (ver figura); considere como restrição apenas as</p><p>tensões cisalhantes devido a compressão simples.</p><p>7. Força longitudinal atuante no Pilar P13 devido: aceleração (ou frenagem), empuxo diferencial (carga</p><p>móvel; altura da cortina = 1,5 m; larg. da cortina = larg. da ponte = 14,4 m; KA = 1/3) e comp.</p><p>longitudinal do vento. (2,0)</p><p>INFORMAÇÕES ADICIONAIS:</p><p>A. Carga permanente: γγγγconc = 2.5 tf/m3; γγγγrev = 2.0 tf/m3</p><p>B. Aceleração (ou frenagem):</p><p>a. 30% VT (veículo tipo); b. 5% carga móvel aplicada no tabuleiro</p><p>C. Vento:</p><p>a. Ponte descarregada: 0.15 tf/m2;</p><p>b. Ponte carregada: 0.1 tf/m2 (altura do veículo = 2 m);</p><p>c. Componente longitudinal: c1. Vento na superestrutura: 25%; c2. Vento na carga móvel: 40%.</p><p>D. Esforço cortante e Reações de apoio: Áreas</p><p>A = a (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>3</p><p>a/2</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>A = lb y/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>L</p><p>E. Esforço cortante e Reações de apoio: Áreas</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y2</p><p>y1</p><p>A = a/3 [2-(y1+y2)]</p><p>1</p><p>a</p><p>--</p><p>-</p><p>A = lb y/2</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>L</p><p>a/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>154</p><p>F. Tabela de influência de momentos (M = - 10 na Seção 0)</p><p>Seção 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>Mom. -10.0 -8.73 -7.46 -6.20 -4.93 -3.66 -2.39 -1.12 0.14 1.41 2.68</p><p>Seção 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>Mom. 2.68 2.34 2.00 1.66 1.32 0.98 0.64 0.30 -0.04 -0.37 -0.71</p><p>Seção 20 21 22 22 24 25 26 27 28 29 30</p><p>Mom. -0.71 -0.62 -0.54 -0.45 -0.36 -0.27 -0.18 -0.09 0.00 0.09 0.18</p><p>Seção 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40</p><p>Mom. 0.18 0.16 0.14 0.12 0.11 0.09 0.07 0.05 0.04 0.02 0.0</p><p>G. Considere para a Laje L9:</p><p>• Todos os bordos engastados</p><p>• Espessura da laje: h = 0,20m; espessura média do revestimento: hrev = 0.1 m</p><p>• Parâmetros de entrada nas Tabelas de Lajes: t/a e Lx/a; onde, t = largura da roda (0.45 m) + duas vezes</p><p>a distância entre a pista e o plano médio da laje; a = espaçamento entre as rodas do veículo (2 m)</p><p>laje</p><p>asfalto</p><p>45o 45o</p><p>t</p><p>Roda</p><p>Tabela de Rüsch:</p><p>1. Carga permanente: 2</p><p>xg lgM κ=</p><p>onde: g é a carga atuante; lx é o menor vão; e κ é o coeficiente extraído da tabela.</p><p>2. ( ),p</p><p>,</p><p>pL MppMPMMq +ϕ+ϕ= ; com ϕ = − ≥14 0 7% 1. . L ,</p><p>onde: ϕ = coeficiente de impacto; P = carga concentrada p/ roda; p = carga distribuída - faixa principal</p><p>p’= carga distribuída - faixa secundária; ML, Mp e Mp’ = valores extraídos da tabela</p><p>H. Considere para o Neoprene (Pilar P13):</p><p>( )</p><p>n</p><p>n</p><p>cc</p><p>c G3</p><p>hba2</p><p>ba</p><p>5,1</p><p>.f.F</p><p>5,1 ≤</p><p>+</p><p>×</p><p>σ</p><p>=</p><p>σ</p><p>=τ</p><p>onde:</p><p>ba</p><p>R</p><p>c =σ ; R = Rg + ϕ Rq; b = 25 cm; hn = 1,2 cm; n = 2; G = 10 kgf/cm2; ϕ = − ≥14 0 7% 1. . L .</p><p>a</p><p>I. Considere para o Pilar P13:</p><p>Distribuição da força resultante: F</p><p>K</p><p>K</p><p>F</p><p>i</p><p>i</p><p>i ∑</p><p>= ; onde:</p><p>3i</p><p>L</p><p>EI3</p><p>K</p><p>= ou</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>δ+δ</p><p>=</p><p>NN</p><p>N</p><p>3</p><p>NP</p><p>i</p><p>AG</p><p>H</p><p>EI3</p><p>L</p><p>11</p><p>K</p><p>no caso: E = 2,1 x 106 tf/m2 (todos os pilares); Ii = π d4/64 = π 14/64 = 4,91 x 10-2 m4 (todos os pilares);</p><p>HN = 2 x 1,2 = 2,4 cm = 0,024 m; GN = 10 kgf/cm2 = 100 tf/m2; AN = a x b</p><p>153</p><p>G. Vista Longitudinal – Vista inferior - Modelo Estrutural p/ VP3 – Seção Transversal</p><p>0 10 20 30</p><p>15</p><p>40</p><p>3 35 15 15 15</p><p>P1 P5</p><p>P4P3P2</p><p>L (P1) = L(P5) = 5 m</p><p>L (P2) = L (P3) = L(P4) = 7 m</p><p>7</p><p>2 tf 2 tf2 tf</p><p>q (tf/m) = ? q (tf/m) = ?q (tf/m) = ?</p><p>1,5</p><p>VP1</p><p>VP5</p><p>VP4</p><p>VP3</p><p>VP2</p><p>P25P21</p><p>P20</p><p>P6</p><p>P1</p><p>P15</p><p>P2 P4</p><p>P16</p><p>P11</p><p>P3 P5</p><p>P7 P9P8 P10</p><p>P23</p><p>P18</p><p>P13</p><p>T1 T5T4T3T2</p><p>L9</p><p>2 tf2 tf</p><p>co</p><p>rt</p><p>in</p><p>a</p><p>co</p><p>rt</p><p>in</p><p>a</p><p>VP3</p><p>3</p><p>Neoprene (P3, P8, P13, P18, P23)</p><p>VP1 VP5VP4VP3VP2</p><p>3 m3 m 3 m3 m3 m1,0 m 1,0 m</p><p>1,5 m</p><p>0,8 m</p><p>0,2 m</p><p>0,1 m</p><p>0,3 m</p><p>14,4 m</p><p>0,2 m</p><p>Área de influência de VP4</p><p>1,5</p><p>155</p><p>159</p><p>Pontes I - PROVA 2 - Data: 20 / 04 / 2002 (2o semestre/2001) - Prof. Ricardo Silveira</p><p>Deciv - Escola de Minas - UFOP</p><p>PROBLEMA: (10.0)</p><p>Para a ponte mista escorada CLASSE 45 mostrada na página seguinte, pede-se:</p><p>1. CARGA PERMANENTE – VP2:</p><p>a. Modelo estrutural indicando o valor de q (0,5)</p><p>b. Momento fletor - Seção: 2 (1,0)</p><p>c. Esforço cortante - Seção: 15 (1,0)</p><p>d. Reação de apoio - Seção: 10 (1,0)</p><p>2. Trem-tipo de anteprojeto - VIGA PRINCIPAL VP2 (1,0)</p><p>Obs. Hipótese de Cálculo: GRELHA, com as transversinas apresentando rigidez elevada.</p><p>3. CARGA MÓVEL – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto):</p><p>a. Momento fletor (máximos positivo e negativo) - Seção: 2 (1,5)</p><p>b. Esforço cortante (máximos positivo e negativo) - Seção: 15 (1,5)</p><p>c. Reação de apoio (máximas positiva e negativa) - Seção: 10 (2,0)</p><p>4. Envoltória de solicitações (considere ϕ = 1) (0,5)</p><p>INFORMAÇÕES ADICIONAIS:</p><p>A. Carga permanante: Ver seção transversal</p><p>q1 (peso próprio da laje) = e(espessura) γconc. ≅ 0,6 tf/m2</p><p>q2 (revestimento) = e(espessura) γrevest. ≅ 0,2 tf/m2</p><p>Ppróprio (VP1 = VP2 = VP3) = 0,3 tf/m</p><p>Barreira lateral: 0,5 tf/m</p><p>B. Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA):</p><p>i2</p><p>i</p><p>i x</p><p>x</p><p>eP</p><p>n</p><p>P</p><p>P</p><p>∑</p><p>±=</p><p>onde: n = número de vigas principais</p><p>e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade das vigas principais)</p><p>xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas principais</p><p>Pi = carga atuante na viga genérica (i).</p><p>C. Momentos de engastamento:</p><p>q tf/m</p><p>M1</p><p>A</p><p>B</p><p>M</p><p>qL</p><p>1</p><p>8</p><p>2</p><p>= − ;</p><p>Mb M2</p><p>M</p><p>M b</p><p>2</p><p>2</p><p>=</p><p>D. Coeficientes de distribuição: dBA = dBC = 0,5</p><p>E. Esforço cortante e Reações de apoio: Áreas</p><p>A = a (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>3</p><p>a/2</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>A = lb y/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>L</p><p>160</p><p>F. Esforço cortante e Reações de apoio: Áreas</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y2</p><p>y1</p><p>A = a/3 [2-(y1+y2)]</p><p>1</p><p>a</p><p>--</p><p>-</p><p>A = lb y/2</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>L</p><p>a/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>G. Tabela de influência de momentos (M = - 10 na Seção 0)</p><p>Seção 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>Mom. -10 -8.75 -7.50 -6.25 -5.00 -3.75 -2.50 -1.25 0.0 1.25 2.50</p><p>Seção 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>Mom. 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00</p><p>H. VISTA LONGITUDINAL e MODELO ESTRUTURAL – VP2</p><p>0 10 3020</p><p>20 m 20 m 20 m 20 m 5 m7,5 m</p><p>2,5 m</p><p>q = (a ser determinada) tf/m</p><p>VP2: Carga permanente (viga escorada)</p><p>5 m</p><p>2,5 m</p><p>junta juntajuntajunta</p><p>2,5 m</p><p>0 10 20 30 40 50AA</p><p>B C D E</p><p>F</p><p>I. SEÇÃO TRANSVERSAL</p><p>1,9 m</p><p>q1 = 0,6 tf/m2</p><p>1,9 m</p><p>P = 0,5 tf/m P = 0,5 tf/m</p><p>Pp(VP1) = 0,3 tf/m</p><p>q1 = 0,6 tf/m2</p><p>6,0 m6,0 m</p><p>VP1 VP3VP2</p><p>6,0 m</p><p>revestimento</p><p>pilar</p><p>simetria</p><p>pilarpilar</p><p>Transv. Interm. Transv. Interm.</p><p>Barreira</p><p>lateral</p><p>Barreira</p><p>lateral</p><p>2,0 m</p><p>0,2 0,2</p><p>2,0 m</p><p>Pp(VP2) = 0,3 tf/m Pp(VP3) = 0,3 tf/m</p><p>q2 = 0,2 tf/m2 q2 = 0,2 tf/m2</p><p>6,0 m</p><p>162</p><p>Pontes I - PROVA 2 - Data: 16 / 09 / 2002 (1o semestre / 2002) - Prof. Ricardo Silveira</p><p>Deciv - Escola de Minas - UFOP</p><p>PROBLEMA: (10.0)</p><p>Para a ponte de concreto armado CLASSE 12 mostrada na página seguinte, pede-se:</p><p>1. CARGA PERMANENTE – VP2:</p><p>a. Modelo estrutural indicando o valor da carga distrubuída q e cargas concentradas P (0,5)</p><p>Obs. Usar LI para obtenção dos esforços solicitantes abaixo:</p><p>b. Momento fletor - Seção: 10 (1,5)</p><p>c. Esforço cortante - Seção: 20d (1,5)</p><p>d. Reação de apoio - Seção: 20 (1,5)</p><p>2. Trem-tipo de anteprojeto - VP2 (1,0)</p><p>3. CARGA MÓVEL – VP2 (Trem-tipo de anteprojeto):</p><p>a. Momento fletor (máximos positivo e negativo) - Seção: 10 (1,0)</p><p>b. Esforço cortante (máximos positivo e negativo) - Seção: 20d (1,0)</p><p>c. Reação de apoio (máximas positiva e negativa) - Seção: 20 (1,5)</p><p>4. Envoltória de solicitações (considere ϕ = 1) (0,5)</p><p>INFORMAÇÕES ADICIONAIS:</p><p>A. Carga permanante (ver seção transversal): γconc. ≅ 2,5 tf/m3; γrevest. ≅ 2,0 tf/m3</p><p>B. Esforço cortante e Reações de apoio: Áreas</p><p>A = a (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>3</p><p>a/2</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>A = lb y/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>L</p><p>C. Esforço cortante e Reações de apoio: Áreas</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y2</p><p>y1</p><p>A = a/3 [2-(y1+y2)]</p><p>1</p><p>a</p><p>--</p><p>-</p><p>A = lb y/2</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>L</p><p>a/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>D. Tabela de influência de momentos (M = - 10 na Seção 0)</p><p>Seção 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>Mom. -10 -8.75 -7.50 -6.25 -5.00 -3.75 -2.50 -1.25 0.0 1.25 2.50</p><p>Seção 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>Mom. 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 0.75 0.50 0.25 0.00</p><p>163</p><p>E. VISTA LONGITUDINAL e MODELO ESTRUTURAL – VP2</p><p>0 1 0 2 0</p><p>1 5 m 1 5 m 1 5 m</p><p>q = ( a s e r d e t e r m i n a d a ) t f / m</p><p>j u n t a</p><p>1 0 2 0 3 0 4 0</p><p>1 5 m</p><p>0 4 0 5 0</p><p>1 5 m2 m</p><p>T r a n s v e r s i n a s</p><p>PPPPPP2 x PPPPPP</p><p>L / 2</p><p>F. SEÇÃO TRANSVERSAL</p><p>V P 1</p><p>5 m</p><p>1 ,0 m 1 ,0 m</p><p>1 ,5 m</p><p>1 ,0 m</p><p>0 ,2 m</p><p>h m éd (rev ) = 0 ,1 m</p><p>7 ,4 m</p><p>0 ,2 m</p><p>0 ,3 m 0 ,3 m</p><p>sim e tria</p><p>V P 2</p><p>h = 1 ,0 m</p><p>C o rte A -A</p><p>Modelo estrutural: Transversinas</p><p>VP1 VP2</p><p>q</p><p>b = 0,2</p><p>h = 1,0</p><p>Detalhe da</p><p>transversina</p><p>Corte A-A</p><p>166</p><p>Pontes I - PROVA 2 - Data: 26 / 02 / 2003 (2o semestre / 2002) - Prof. Ricardo Silveira</p><p>Deciv - Escola de Minas - UFOP</p><p>PROBLEMA: (10.0)</p><p>Para a ponte de pedestre (passarela) mostrada na página seguinte, pede-se:</p><p>Observações:</p><p>1. Consedere a passarela ESCORADA durante a fase de construção;</p><p>2. Hipótese de Cálculo: GRELHA, com as transversinas apresentando rigidez bastante elevada.</p><p>1. CARGA PERMANENTE – VP1:</p><p>a. Modelo estrutural indicando o valor de q (1,0)</p><p>Obs. Usar LI para obtenção dos esforços solicitantes abaixo:</p><p>b. Momento fletor - Seção: 55 (1,0)</p><p>c. Esforço cortante - Seção: C (1,0)</p><p>d. Reação de apoio - Seção: 20 (1,5)</p><p>2. Trem-tipo - VIGA PRINCIPAL VP1 (1,0)</p><p>3. CARGA MÓVEL – VP1:</p><p>a. Momento fletor (máximos positivo e negativo) - Seção: 55 (1,0)</p><p>b. Esforço cortante (máximos positivo e negativo) - Seção: C (1,0)</p><p>c. Reação de apoio (máximas positiva e negativa) - Seção: 20 (1,5)</p><p>4. Envoltória de solicitações (considere ϕ = 1) (0,5)</p><p>INFORMAÇÕES ADICIONAIS:</p><p>A. Carga permanante (ver seção transversal):</p><p>q1 (peso próprio da laje) = e(espessura) γconc. ≅ 0,5 tf/m2</p><p>q2 (revestimento) = e(espessura) γrevest. ≅ 0,1 tf/m2</p><p>Ppróprio (VP1 = VP2 = VP3) = 0,2 tf/m</p><p>Barreira lateral: 0,2 tf/m</p><p>B. Distribuição transversal da carga no tabuleiro (GRELHA):</p><p>i2</p><p>i</p><p>i x</p><p>x</p><p>eP</p><p>n</p><p>P</p><p>P</p><p>∑</p><p>±=</p><p>onde: n = número de vigas principais</p><p>e = excentricidade da carga (medida a partir do centro de gravidade das vigas principais)</p><p>xi = distância de uma viga principal genérica ao centro de gravidade das vigas principais</p><p>Pi = carga atuante na viga genérica (i).</p><p>C. Esforço cortante e Reações de apoio: Áreas</p><p>A = a (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>y2</p><p>a</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>3</p><p>a/2</p><p>+</p><p>+</p><p>+</p><p>A = lb y/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>L</p><p>D. Esforço cortante e Reações de apoio: Áreas</p><p>167</p><p>A = 0.8 y3 L</p><p>y2</p><p>y1</p><p>A = a/3 [2-(y1+y2)]</p><p>1</p><p>a</p><p>--</p><p>-</p><p>A = lb y/2</p><p>y3(maior</p><p>ordenada)</p><p>L</p><p>a/2</p><p>lb</p><p>y</p><p>E. Tabela de influência de momentos (M = - 10 na Seção 0)</p><p>Seção 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</p><p>Mom. -10 -8.75 -7.50 -6.25 -5.00 -3.75 -2.50 -1.25 0.0 1.25 2.50</p><p>Seção 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>Mom. 2.50 2.25 2.00 1.75 1.50 1.25 1.00 0.75 0.50</p><p>0.25 0.00</p><p>F. VISTA LONGITUDINAL e MODELO ESTRUTURAL – VP1</p><p>0 10 3020</p><p>15 m 7 m</p><p>q = (a ser determinada) tf/m</p><p>VP1: Carga permanente (viga escorada)</p><p>3,0 m</p><p>junta juntajuntajunta</p><p>3,0 m</p><p>0 10 20 30 40 50A</p><p>B C</p><p>D</p><p>15 m 15 m15 m15 m15 m15 m7 m</p><p>60</p><p>G. SEÇÃO TRANSVERSAL</p><p>q1 = 0,5 tf/m2</p><p>P(BL) = 0,2 tf/m</p><p>Pp(VP1) = 0,2 tf/m</p><p>q1 = 0,5 tf/m2</p><p>2,5 m2,5 m</p><p>VP1 VP3</p><p>VP2</p><p>revestimento</p><p>pilar</p><p>simetria</p><p>pilarpilar</p><p>Transv. Interm.</p><p>Barreira</p><p>lateral</p><p>Barreira</p><p>lateral</p><p>Pp(VP2) = 0,2 tf/m</p><p>Pp(VP3) = 0,2 tf/m</p><p>q2 = 0,1 tf/m2 q2 = 0,1 tf/m2</p><p>P(BL) = 0,2 tf/m</p><p>View publication stats</p><p>https://www.researchgate.net/publication/331346375</p><p>162</p><p>Prova 2002/2 ........................................................................................................... 166</p><p>PONTES I</p><p>Deciv / EM / UFOP</p><p>Refs.: 1. Pontes de Concreto Armado,Vols. 1 e 2, autor: Walter Pfeil</p><p>2. Pontes em Concreto Armado e Protendido, autor: Jayme Mason</p><p>3. Pontes – Superestruturas, Vols. 1 e 2, autor: Colin O'Connor</p><p>4. Método de Cross, autor: Jayme Ferreira da Silva Júnior</p><p>1. CONCEITOS GERAIS</p><p>1</p><p>1</p><p>.1</p><p>P</p><p>L</p><p>A</p><p>N</p><p>T</p><p>A</p><p>S</p><p>2</p><p>3</p><p>1.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS</p><p>• SEÇÃO TRANSVERSAL DA PONTE: duas vigas T, cada</p><p>uma delas constituída da alma da viga propriamente dita e de</p><p>uma parte da laje</p><p>barreira</p><p>lateral</p><p>revestimento</p><p>VP1 VP2TRANSVERSINA</p><p>LAJE</p><p>• FUNÇÕES ESTRUTURAIS DAS LAJES</p><p>1. Recebe as cargas diretamente aplicadas no tabuleiro,</p><p>transmitindo-as para as vigas</p><p>2. Auxilia a resistência da viga principal, constituindo a mesa da viga T</p><p>• FUNÇÕES ESTRUTURAIS DAS TRANSVERSINAS</p><p>1. Apoio para a laje do tabuleiro</p><p>2. Contribuem para a rigidez dos vigamentos principais</p><p>3. Impedem o tombamento lateral das vigas principais (transversinas de apoio)</p><p>• CARACTERÍSTICAS ESTRUTURAIS DAS VIGAS</p><p>1. As alturas das vigas de pontes de concreto armado são em geral</p><p>tomadas aproximadamente 10% do vão</p><p>(soluções econômicas e suficiente rigidez)</p><p>2. A largura da viga no meio do vão deve ser suficiente para</p><p>acomodar as armaduras positivas</p><p>(cuidado: não aumentar desnecessariamente o peso próprio da estrutura)</p><p>3. Aumentar a largura das vigas próximo aos apoios; motivo:</p><p>• tensões elevadas de cisalhamento (cortante no apoio)</p><p>• tensões elevadas de flexão (momento negativo no apoio)</p><p>4</p><p>1.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO</p><p>• MOTIVO: cálculo aproximado da estrutura, objetivando verificar</p><p>se as dimensões admitidas são satisfatórias</p><p>• GRAU DE SIMPLIFICAÇÃO: depende da finalidade. Para a ponte</p><p>em estudo, o pré-dimensionamento poderia ser feito com os</p><p>seguintes casos de carga:</p><p>1. Carga permanente média (suposta uniformemente distribuída)</p><p>2. Carga móvel atuando separadamente em cada vão</p><p>• ESTUDAM-SE AS SEÇÕES MAIS IMPORTANTES</p><p>1. Seções no meio do vão (momento positivo)</p><p>2. Seções nos apoios (momento negativo)</p><p>3. Seções junto aos apoios (esforço cortante)</p><p>OBSERVAÇÕES</p><p>1. SEÇÃO CORRENTE: SEÇÃO NO MEIO DO VÃO</p><p>2. CARGA DE UMA VIGA: METADE DA PONTE</p><p>3. PESOS ESPECÍFICOS DOS MATERIAIS:</p><p>• Concreto: γ = 2,5 tf/m3</p><p>• Barreira lateral: γ = 2,2 tf/m3</p><p>• Regularização: γ = 2,2 tf/m3</p><p>1.4 CARGA PERMANENTE</p><p>5</p><p>SEÇÃO ESTRUTURAL</p><p>1</p><p>2 3</p><p>4</p><p>1 - VIGA</p><p>2 - LAJE DE BALANÇO</p><p>3 - LAJE ENTRE AS VIGAS</p><p>4 - MÍSULA LONG. DA LAJE</p><p>1 - VIGA:</p><p>A = 0,4 x 2,25 = 0,90 m2</p><p>2 - LAJE DE BALANÇO:</p><p>A = [(0,15 + 0,35)/2] x 3,3 = 0,825 m2</p><p>3 - LAJE ENTRE AS VIGAS:</p><p>A = 0,25 x 3,10 = 0,775 m2</p><p>4 - MÍSULA LONG. DA LAJE</p><p>A = (0,1 x 0,8)/2 = 0,04 m2</p><p>Atotal = 2,54 m2</p><p>6</p><p>BARREIRA LATERAL</p><p>A1</p><p>A2</p><p>A30,4</p><p>0,25</p><p>0,15</p><p>0,2 0,15</p><p>A1 = 0,15 x 0,40 = 0,06 m2</p><p>A2 = [(0,25 + 0,4)/2] x 0,25 = 0,0813 m2</p><p>A3 = [(0,15 + 0,25)/2] x 0,4 = 0,08 m2</p><p>Atotal = 0,221 m2</p><p>0,05</p><p>CAMADA DE REGULARIZAÇÃO</p><p>0,100,04</p><p>A = [(0,04 + 0,10)/2] x 6,4 = 0,448 m2</p><p>7</p><p>PESO PRÓPRIO</p><p>(seção estrutural + barreira lateral + camada de regularização)</p><p>g = 2,54 x 2,5 + (0,221 + 0,448) x 2,2</p><p>g ≅ 7,8 tf/m</p><p>g ≅ 7,8 tf/m</p><p>20 12,55</p><p>ALARGAMENTO DA BASE DA VIGA</p><p>• Apoios Extremos</p><p>A = 0,4 x (2,25 - 0,35) = 0,76 m2</p><p>q = 0,76 x 2,5 ≅ 1,9 tf/m</p><p>• Apoios Intermediários</p><p>A = 0,6 x (2,25 - 0,35) = 1,14 m2</p><p>q = 1,14 x 2,5 ≅ 2,85 tf/m</p><p>g ≅ 7,8 tf/m</p><p>20 12,55</p><p>1,9 tf/m</p><p>2,85 tf/m</p><p>b</p><p>h</p><p>8</p><p>TRANSVERSINAS INTERMEDIÁRIAS</p><p>• Peso Próprio da Transversina</p><p>A = 0,28 x (2,25 - 0,25 - 0,25) = 0,49 m2</p><p>q = 0,49 x 2,5 ≅ 1,225 tf/m</p><p>• Mísula da Laje:</p><p>A = 2 x [(0,5 x 0,1)/2] = 0,05 m2</p><p>q = 0,05 x 2,5 ≅ 0,125 tf/m</p><p>laje</p><p>mísula da</p><p>laje</p><p>mísula da</p><p>laje</p><p>b</p><p>h</p><p>Assim:</p><p>q = 1,35 tf/m</p><p>VP1 VP2</p><p>6,2 (= 6,6 - 0,2 - 0,2)</p><p>R</p><p>R ≅≅≅≅ 4,2 tf</p><p>TRANSVERSINAS DE APOIO</p><p>• Peso Próprio da Transversina</p><p>A = 0,30 x (2,25 - 0,25) = 0,6 m2</p><p>q = 0,6 x 2,5 ≅ 1,5 tf/m</p><p>• Mísula da Laje:</p><p>A = 2 x [(0,5 x 0,1)/2] = 0,05 m2</p><p>q = 0,05 x 2,5 ≅ 0,125 tf/m</p><p>laje</p><p>mísula da</p><p>laje</p><p>mísula da</p><p>laje</p><p>b</p><p>h</p><p>Assim:</p><p>q = 1,625 tf/m</p><p>VP1 VP2</p><p>5,0 (= 7,0 - 1,0 - 1,0)</p><p>R</p><p>R ≅≅≅≅ 4,1 tf</p><p>9</p><p>APOIOS EXTREMOS - Alargamento de 20 cm</p><p>pilar</p><p>viga principal</p><p>mísula da lajemísula da laje</p><p>m</p><p>ísu</p><p>la da la je m</p><p>ís</p><p>u</p><p>la</p><p>d</p><p>a</p><p>la</p><p>je</p><p>tr</p><p>an</p><p>sv</p><p>er</p><p>si</p><p>n</p><p>a</p><p>1 m</p><p>0,2 m</p><p>0,3 m</p><p>• Motivo: acomodar o aparelho de apoio de neoprene</p><p>• Peso do Alargamento:</p><p>P = 0,2 x (1,0 - 0,3) x 2 x 2,5</p><p>P = 0,7 tf</p><p>Volume</p><p>Assim, deve-se considerar nos</p><p>apoios extremos:</p><p>Ptotal = 4,1 + 0,7 = 4,8 tf</p><p>CORTINA DA EXTREMIDADE, MÍSULA DA LAJE E ABAS LATERAIS</p><p>VP</p><p>VPAbas</p><p>Abas</p><p>Cortina</p><p>Mísula da laje</p><p>barr</p><p>eir</p><p>a l</p><p>ate</p><p>ral</p><p>barr</p><p>eir</p><p>a l</p><p>ate</p><p>ral</p><p>10</p><p>• Cortina</p><p>A = 0,25 x 2,25 = 0,5625 m2</p><p>q1 = 0,5625 x 2,5 ≅ 1,406 tf/m</p><p>• Mísula da Laje:</p><p>A = (0,5 x 0,1)/2 = 0,025 m2</p><p>q2 = 0,025 x 2,5 ≅ 0,0625 tf/m</p><p>• Abas Laterais:</p><p>V = [(0,5 + 2,25)/2] x 2,5 x 0,25 = 0,859 m3</p><p>P = 0,859 x 2,5 ≅ 2,15 tf</p><p>q = 1,469 tf/m</p><p>VP1 VP2</p><p>6,6</p><p>R R ≅≅≅≅ 9,5 tf</p><p>3,2 3,2</p><p>FINAL:</p><p>P = 9,5 + 2,15 = 11,65 ≅≅≅≅ 12 tf</p><p>Modelo Estrutural: CARGA PERMANENTE</p><p>7,8 tf/m</p><p>20 m 25 m 5 m5 m 20 m</p><p>4,8tf 12tf12tf 4,8tf4,2tf 4,2tf4,1tf 4,1tf4,2tf</p><p>2,85tf/m 2,85tf/m1,9tf/m 1,9tf/m</p><p>11</p><p>Método de Cross</p><p>MBA BCM</p><p>d BA d BC</p><p>onde:</p><p>M = Momentos de Engastamento Perfeito</p><p>d = Coeficientes de Distribuição</p><p>ij</p><p>ij</p><p>A B CB</p><p>Coeficientes de Distribuição dBA e dBC</p><p>65,0</p><p>L</p><p>EJ2</p><p>L</p><p>EJ3</p><p>L</p><p>EJ3</p><p>d</p><p>BCAB</p><p>AB</p><p>BA ≅</p><p>+</p><p>=</p><p>35,0</p><p>L</p><p>EJ2</p><p>L</p><p>EJ3</p><p>L</p><p>EJ2</p><p>d</p><p>BCAB</p><p>BC</p><p>BC ≅</p><p>+</p><p>=</p><p>12</p><p>Momento de Engastamento MBA</p><p>7.8 tf/m</p><p>2.35 tf/m 2.35 tf/m</p><p>4.2 tf</p><p>20 m</p><p>Mb = 166 tf m</p><p>=</p><p>5 m</p><p>A B</p><p>7.8 tf/m</p><p>M1</p><p>4.2 tf M2</p><p>Mb = 166 tf m M3</p><p>2.35 tf/m M4</p><p>MBA ≅≅≅≅ - 336 tfm</p><p>2.35 tf/m</p><p>M5</p><p>L</p><p>c</p><p>tfm390</p><p>8</p><p>208,7</p><p>8</p><p>qL</p><p>M</p><p>22</p><p>1 −=</p><p>×</p><p>−=−=</p><p>tfm75,15</p><p>16</p><p>202.43</p><p>16</p><p>PL3</p><p>M 2 −=</p><p>××</p><p>−=−=</p><p>tfm83</p><p>2</p><p>166</p><p>2</p><p>M</p><p>M b</p><p>3 ===</p><p>( ) tfm8,4c3L10</p><p>L</p><p>qc</p><p>120</p><p>1</p><p>M</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>4 −=−−=</p><p>( ) tfm05,8c3Lc15L20</p><p>L</p><p>qc</p><p>120</p><p>1</p><p>M</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>5 −=+−−=</p><p>13</p><p>Momento de Engastamento MBC</p><p>MBC ≅≅≅≅ 430 tfm</p><p>tfm25,406</p><p>12</p><p>258,7</p><p>12</p><p>qL</p><p>M</p><p>22</p><p>1 =</p><p>×</p><p>−==</p><p>tfm125,13</p><p>8</p><p>252.4</p><p>8</p><p>PL</p><p>M 2 =</p><p>×</p><p>==</p><p>( ) tfm47,9c3aL10</p><p>L60</p><p>qc</p><p>M 2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 =+=</p><p>7.8 tf/m</p><p>2.85 tf/m</p><p>4.2 tf</p><p>25 m</p><p>=</p><p>5 m</p><p>B C</p><p>2.85 tf/m</p><p>7.8 tf/m</p><p>M1</p><p>4.2 tfM2</p><p>2.85 tf/m</p><p>M3</p><p>L</p><p>c a</p><p>2.85 tf/mM4</p><p>( ) tfm56,0c3L5</p><p>L60</p><p>qc</p><p>M</p><p>2</p><p>3</p><p>4 =−=</p><p>Método de Cross</p><p>-336</p><p>0.65 0.35</p><p>430</p><p>- 61 - 33</p><p>-397 397</p><p>14</p><p>Momentos Fletores (Mg) e Esforços Cortantes (Vg)</p><p>1. Balanço</p><p>5 m</p><p>12 tf</p><p>7,8 tf/m</p><p>1,9 tf/m</p><p>a b 0</p><p>4,8 tf</p><p>Ma = 0</p><p>Mb = - 55,4 tf m</p><p>M0 = - 166 tf m</p><p>7,8 tf/m</p><p>2,35 tf/m</p><p>2,35 tf/m</p><p>4,2 tf</p><p>20 m</p><p>Mb = 166 tfm</p><p>5 m</p><p>A B</p><p>397 tfm</p><p>0</p><p>7531 9</p><p>10</p><p>2. Tramo AB M0 ≅ - 166 tfm</p><p>M1 ≅ - 37 tfm</p><p>M2 ≅ 55 tfm</p><p>M3 ≅ 114 tfm</p><p>M4 ≅ 142 tfm</p><p>M5 ≅ 139 tfm</p><p>M6 ≅ 96 tfm</p><p>M7 ≅ 22 tfm</p><p>M8 ≅ - 84 tfm</p><p>M9 ≅ - 222 tfm</p><p>M10 ≅ - 397 tfm</p><p>Va = - 12 tf</p><p>Vb = - 33 tf</p><p>V0</p><p>e = - 56 tf</p><p>RA’ = 74,42 tf RB’ = 97,53 tf</p><p>V0d ≅ 74 tf</p><p>V1 ≅ 55 tf</p><p>V2 ≅ 38 tf</p><p>V3 ≅ 21 tf</p><p>V4 ≅ 6 tf</p><p>V5e ≅ - 10 tf</p><p>V5d ≅ - 14 tf</p><p>V6 ≅ - 30 tf</p><p>V7 ≅ - 45 tf</p><p>V8 ≅ - 60 tf</p><p>V9 ≅ - 78 tf</p><p>V10e ≅ - 98 tf</p><p>3. Tramo BC</p><p>M10 ≅ - 397 tfm</p><p>M11 ≅ - 162 tfm</p><p>M12 ≅ 15 tfm</p><p>M13 ≅ 142 tfm</p><p>M14 ≅ 220 tfm</p><p>M15 ≅ 250 tfm</p><p>Ve10 ≅ 107 tf</p><p>V11 ≅ 83 tf</p><p>V12 ≅ 61 tf</p><p>V13 ≅ 41,5 tf</p><p>V14 ≅ 22 tf</p><p>V15e≅ 2 tf</p><p>V15d ≅ - 2 tf</p><p>RB’’ ≅ 107 tf RC’ ≅ 107 tf</p><p>7,8 tf/m</p><p>2,85 tf/m 2,85 tf/m4,2 tf</p><p>25 m</p><p>5 m</p><p>B C</p><p>397 tfm</p><p>10</p><p>17151311 19</p><p>20</p><p>397 tfm</p><p>15</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>1. CLASSE 36 (Norma antiga)</p><p>• Veículo tipo: 36 tf</p><p>• Faixa principal: 0,5 tf/m2</p><p>• Faixa secundária: 0,3 tf/m2</p><p>1.5 CARGA MÓVEL</p><p>2. Momentos Fletores (Mq), Esforços Cortantes (Vq) e</p><p>Reações de Apoio (Rq)</p><p>• Para cada seção da viga principal posiciona-se o TREM-TIPO</p><p>encontrado nas posições mais desfavoráveis</p><p>(OBTENÇÃO DAS ENVOLTÓRIAS)</p><p>• Sendo a viga dimensionada para esses valores das envoltórias,</p><p>a RESISTÊNCIA estará assegurada para qualquer</p><p>posição da carga móvel</p><p>Distribuição Transversal da Carga Móvel</p><p>6.63.1</p><p>Barreira</p><p>Lateral</p><p>Vigas</p><p>Principais</p><p>12.8</p><p>3.1</p><p>Veículo</p><p>Tipo</p><p>Faixa</p><p>SecundáriaFaixa</p><p>Principal</p><p>PP</p><p>P</p><p>0,3 tf/m2</p><p>0,5 tf/m2</p><p>16</p><p>TREM-TIPO</p><p>Passo 1: Continuidade da faixa principal</p><p>Pvt(reduzido)</p><p>= 36 - 0,5 x (3 x 6) = 27 tf</p><p>Pvt(reduzido)/eixo = 27/3 = 9 tf</p><p>Passo 2: Obtenção da LI Reação de VP1</p><p>+</p><p>-</p><p>VP1 VP2</p><p>1</p><p>3,1 m 6,6 m</p><p>• P = 1 em VP1 → RVP1 = 1</p><p>• P = 1 em VP2 → RVP1 = 0</p><p>P = 1</p><p>Passo 3: Contribuição das cargas concentradas do VT</p><p>1,5 m</p><p>VP1</p><p>-</p><p>9 tf</p><p>+</p><p>VP2</p><p>1</p><p>6,6 m</p><p>y ≅1,24</p><p>3,1 m</p><p>RVP1 = 9 x 1,2424 ≅ 11,18 tf</p><p>11,18 tf 11,18 tf 11,18 tf</p><p>1,5 m 1,5 m</p><p>Passo 4: Contribuição das cargas uniformemente distribuídas</p><p>RVP1 = 0,5 x [3 x(1,015+1,47)/2]+</p><p>0,3 x (6,7x1,015/2)</p><p>RVP1 ≅ 2,88 tf/m</p><p>q = 2,88 tf/m</p><p>17</p><p>+</p><p>VP1 VP2</p><p>1</p><p>6,6 m</p><p>y ≅1,47</p><p>3,1 m</p><p>q = 0,5 tf/m2</p><p>q = 0,3 tf/m2</p><p>-</p><p>Passo 5: Definição do Trem-Tipo</p><p>Projeto</p><p>q = 2,88 tf/m</p><p>11,18 tf 11,18 tf 11,18 tf</p><p>1,5 m 1,5 m</p><p>Anteprojeto</p><p>q = 2,88 tf/m</p><p>33,54 tf</p><p>MOMENTOS FLETORES (Mq)</p><p>1. SEÇÕES NO BALANÇO: Trecho Isostático;</p><p>Linhas de Influência → Cálculo</p><p>Direto</p><p>2. SEÇÕES NOS TRAMOS: Trecho Hiperestático;</p><p>TABELAS de Linha de Influência</p><p>18</p><p>Seções no Balanço</p><p>• SEÇÃO b</p><p>a b 0</p><p>LIMba</p><p>b 0</p><p>2,5</p><p>2,5</p><p>q</p><p>y1</p><p>P PP</p><p>1,51,5</p><p>Lb = 5 m</p><p>Mbq = -[11,18 x (2,5 + 1) + 2,88 x 2,5 x 2,5/2]</p><p>Mbq = - 48,13 tfm</p><p>• SEÇÃO 0</p><p>M0q = -[11,18 x (5 + 3,5+ 2) + 2,88 x 5 x 5/2]</p><p>M0q = - 153,4 tfm</p><p>LIM0a</p><p>b 0</p><p>5 y1</p><p>q</p><p>P PP</p><p>1,51,5</p><p>y2</p><p>Lb = 5 m</p><p>19</p><p>LIM (ordenadas x l1)</p><p>Äreas das LI</p><p>L</p><p>inha de Influência: L</p><p>I</p><p>M</p><p>4</p><p>2</p><p>0</p><p>Seções nos Tramos: SEÇÃO 4</p><p>4</p><p>+</p><p>+</p><p>-- -</p><p>Linha de Influência: LIM4</p><p>SEÇÃO 4: Momento Positivo (máximo)</p><p>-- -</p><p>A1</p><p>A2</p><p>qq</p><p>PPP</p><p>y1</p><p>y3</p><p>y2</p><p>M4q</p><p>+(máx) = P(y1 + y2 + y3) + q (A1 + A2), ou</p><p>M4q</p><p>+(máx) = 11,18 (y1 + y2 + y3) + 2,88 (A1 + A2)</p><p>Incógnitas:</p><p>1. Ordenadas: y1, y2 e y3</p><p>2. Áreas: A1 e A2</p><p>21</p><p>• Ordenadas: y1, y2 e y3</p><p>-- -</p><p>A1</p><p>A2</p><p>qq</p><p>PPP</p><p>y1</p><p>y3y2</p><p>4 53</p><p>P PP</p><p>0</p><p>,1</p><p>5</p><p>3</p><p>8</p><p>l</p><p>1</p><p>0</p><p>,1</p><p>6</p><p>4</p><p>0</p><p>l</p><p>1</p><p>1,5 m 1,5 m</p><p>2 m2 m</p><p>y1</p><p>y2 y3</p><p>α</p><p>β</p><p>y1 = 0,2077 l1</p><p>1l1673,02y</p><p>2</p><p>1l1538,01l2077,0</p><p>5,0</p><p>1l1538,02y</p><p>tg</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=α</p><p>1l175,03y</p><p>2</p><p>1l1640,01l2077,0</p><p>5,0</p><p>1l1640,03y</p><p>tg</p><p>=</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>=β</p><p>Ou, de uma forma geral:</p><p>( ) 1l175,01l</p><p>2</p><p>5,1</p><p>1640,02077,02077,03y =</p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>( ) 1l1673,01l</p><p>2</p><p>5,1</p><p>1538,02077,02077,02y =</p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>22</p><p>• Áreas: A1 e A2</p><p>Tabela:</p><p>A1 = 0,0959 l1</p><p>2 (ponto 4)</p><p>A2 = 0,0067 l1</p><p>2 (ponto 26)</p><p>Finalmente:</p><p>M4q</p><p>+(máx) = 11,18 (0,2077 + 0,1673 + 0,175) 20 +</p><p>2,88 (0,0959 +0,0067) 202</p><p>M4q</p><p>+(máx) = 241,2 tfm</p><p>SEÇÃO 4: Momento Negativo (máximo)</p><p>qq</p><p>PP P PP P</p><p>+</p><p>+</p><p>q</p><p>dúvida???</p><p>A1</p><p>A2 A3</p><p>y1 y2 y3</p><p>y1y2 y3</p><p>M4q</p><p>- (máx) = P(y1 + y2 + y3) + q (A1 + A2 + A3), ou</p><p>M4q</p><p>- (máx) = 11,18 (y1 + y2 + y3) + 2,88 (A1 + A2 + A3)</p><p>Incógnitas:</p><p>1. Ordenadas: y1, y2 e y3</p><p>2. Áreas: A1, A2 e A3</p><p>23</p><p>• Ordenadas: y1, y2 e y3</p><p>1. Cargas Concentradas no BALANÇO</p><p>q</p><p>P P P</p><p>y1 y2 y3</p><p>5</p><p>3,5</p><p>2</p><p>bl3528,01y</p><p>5</p><p>5,3</p><p>2y ==</p><p>y1 = 0,504 lb</p><p>bl2016,01y</p><p>5</p><p>2</p><p>3y ==</p><p>2. Cargas Concentradas no TRAMO (seção 10-20)</p><p>y1 + y2 + y3</p><p>=</p><p>5,29</p><p>q</p><p>PP P</p><p>A2y1y2 y3</p><p>( ) 1l0429,01l</p><p>5,2</p><p>5,1</p><p>0423,00437,00437,02y =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>y1 = 0,0437 l1</p><p>( ) 1l0420,01l</p><p>5,2</p><p>5,1</p><p>0408,00437,00437,03y =</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>y1 + y2 + y3</p><p>=</p><p>2,57</p><p>24</p><p>Tabela de Influência do Momento</p><p>• Áreas: A1, A2 e A3</p><p>• A1: y1= 0 ,504 lb</p><p>5</p><p>A1 A1 = 0,504 x 5 x 5/2 = 6,3</p><p>• A2: A2 A2 = 0,034 x 202 = 13,6</p><p>• A3:</p><p>y= 0,027 lb</p><p>5</p><p>A3 A3 = 0,027 x 5 x 5/2 = 0,3375</p><p>Finalmente:</p><p>M4q</p><p>- (máx) = 11,18 x 5,29 + 2,88 (6,3 + 13,6 + 0,3375) = 59,2 + 58,3</p><p>M4q</p><p>-(máx) = 117,5 tfm</p><p>25</p><p>OBSERVAÇÕES</p><p>• PARA AS DEMAIS SEÇÕES DA VIGA, PROCEDE-SE</p><p>COMO INDICADO PARA A SEÇÃO 4</p><p>• CÁLCULOS MANUAIS</p><p>FORMA TABULARFORMA TABULAR</p><p>MONTAGEM DA TABELA</p><p>1. CARGAS CONCENTRADAS - TRAMO</p><p>P PP</p><p>1 ,51 ,5</p><p>y1</p><p>ydye</p><p>0 ,1 L 0 ,1 L</p><p>L IM s</p><p>Expressão Geral: méd1s yP3M l≅</p><p>onde:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−−≅</p><p>s1</p><p>d</p><p>1</p><p>e</p><p>1méd 1,0</p><p>5,1</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>y</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>1yy</p><p>l</p><p>aconcentradaargcaencontraseondevão</p><p>referênciadevão</p><p>s</p><p>1</p><p>=•</p><p>=•</p><p>l</p><p>l</p><p>26</p><p>kqM 2</p><p>1s l=</p><p>2. CARGA DISTRIBUÍDA - TRAMO</p><p>Expressão Geral:</p><p>onde:</p><p>• q = carga uniformemente distribuída (trem-tipo)</p><p>• l1 = vão de referência</p><p>• k = áreas das linhas de influência (ver tabela)</p><p>3. CARGA DISTRIBUÍDA - BALANÇO</p><p>Expressão Geral:</p><p>λ= 2</p><p>bs q</p><p>2</p><p>1</p><p>M l</p><p>onde:</p><p>• q = carga uniformemente distribuída (trem-tipo)</p><p>• lb = vão do balanço</p><p>• λ = coeficiente de influência do momento aplicado</p><p>no ponto 0 (ver tabela) - função da seção estudada</p><p>4. CARGAS CONCENTRADAS - BALANÇO</p><p>Expressão Geral:</p><p>( ) λ++= 321s xxxPM</p><p>onde:</p><p>• P = carga concentrada (trem-tipo)</p><p>• xi = distância da carga concentrada ao apoio</p><p>• λ = coeficiente de influência do momento aplicado</p><p>no ponto 0 (ver tabela) - função da seção estudada</p><p>27</p><p>E</p><p>n</p><p>v</p><p>o</p><p>ltó</p><p>r</p><p>ia</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>M</p><p>o</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>s</p><p>-</p><p>T</p><p>r</p><p>a</p><p>m</p><p>o</p><p>0</p><p>-1</p><p>0</p><p>2</p><p>8</p><p>E</p><p>n</p><p>v</p><p>o</p><p>ltó</p><p>r</p><p>ia</p><p>s</p><p>d</p><p>e</p><p>M</p><p>o</p><p>m</p><p>e</p><p>n</p><p>to</p><p>s</p><p>-</p><p>T</p><p>r</p><p>a</p><p>m</p><p>o</p><p>1</p><p>0</p><p>-2</p><p>0</p><p>2</p><p>9</p><p>Esquema Geral das LIM</p><p>30</p><p>LIM1 a 8</p><p>LIM9</p><p>LIM11, 12</p><p>LIM13 a 15</p><p>LIM10</p><p>OBSERVAÇÕES</p><p>• AS ÁREAS DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA, NOS TRAMOS,</p><p>SÃO OBTIDAS DOS DIAGRAMAS DE MOMENTOS</p><p>FLETORES PARA CADA TRAMO CARREGADO (ver tabela),</p><p>DESDE QUE O TRAMO ESTEJA TOTALMENTE</p><p>CARREGADO</p><p>• PARA A PONTE EM ESTUDO, A L.I. DAS SEÇÕES 9, 11 E 12</p><p>APRESENTAM INVERSÃO DO SINAL NOS TRAMOS</p><p>A QUE PERTENCEM</p><p>ESFORÇOS CORTANTES (Vq)</p><p>• Na tabela de L.I. só são fornecidas as L.I. Esforço Cortante</p><p>nas Seções 0d e 10d</p><p>• Para obtenção da L.I. Esforço Cortante em uma seção qualquer</p><p>do vão l1, por exemplo: seção 4, deve-se somar às ordenadas</p><p>do ponto 0 até o ponto 4 o valor -1 ; do ponto 4 em diante,</p><p>a L.I. é igual a L.I.V0</p><p>d</p><p>• Para obtenção da L.I. Esforço Cortante em uma seção qualquer</p><p>do vão l2, por exemplo: seção 14, deve-se somar às ordenadas</p><p>do ponto 10d até o ponto 14 o valor -1 ; do ponto 14 em diante,</p><p>a L.I. é igual a L.I.V10</p><p>d</p><p>31</p><p>• L.I.Vs: SEÇÕES NO TRAMO 0-10</p><p>LIV4</p><p>0 10 20 304</p><p>= ==</p><p>+</p><p>- -</p><p>+</p><p>LIV8</p><p>0 10 20 30</p><p>+</p><p>-</p><p>+</p><p>==</p><p>- 8</p><p>LIV0d</p><p>0 10 20 30</p><p>+</p><p>-</p><p>+</p><p>1</p><p>• L.I.Vs: SEÇÕES NO TRAMO 10-20</p><p>LIV14</p><p>LIV18</p><p>LIV10d</p><p>0 10 20 30</p><p>+</p><p>+</p><p>1</p><p>-</p><p>0 10 20 30</p><p>++</p><p>1</p><p>-</p><p>0 10 20 30</p><p>++</p><p>1</p><p>-</p><p>14</p><p>== =</p><p>-</p><p>=</p><p>=</p><p>- 18</p><p>32</p><p>Seções no Balanço</p><p>a b 0</p><p>• SEÇÃO a</p><p>a b 0</p><p>-1</p><p>q</p><p>P P P</p><p>Vaq = -[ 11,18 x 1 ]</p><p>Vaq = - 11,18 tf</p><p>• SEÇÃO b</p><p>Vbq = -[ 11,18 x (1+1) + 2,88 x (1 x 2,5) ]</p><p>Vbq = - 29,6 tf</p><p>a b 0</p><p>1</p><p>q</p><p>P P P</p><p>-</p><p>2,5 m</p><p>• SEÇÃO 0e</p><p>V0</p><p>e</p><p>q = -[ 11,18 x (1+1+1) + 2,88 x (1 x 5) ]</p><p>V0</p><p>e</p><p>q = - 48 tf</p><p>a b 0e</p><p>1</p><p>q</p><p>P P P</p><p>-</p><p>5 m 33</p><p>Seções no Tramo: SEÇÃO 4</p><p>Linha de Influência: LIV4</p><p>4</p><p>+ +</p><p>- -</p><p>+</p><p>-</p><p>qq</p><p>P P P</p><p>q</p><p>y1 y2</p><p>y3</p><p>A1</p><p>A2</p><p>A3</p><p>V4q (máx) = P(y1 + y2 + y3) + q (A1 + A2 + A3), ou</p><p>V4q (máx) = 11,18 (y1 + y2 + y3) + 2,88 (A1 + A2 + A3)</p><p>Incógnitas:</p><p>1. Ordenadas: y1, y2 e y3</p><p>2. Áreas: A1, A2 e A3</p><p>34</p><p>• ORDENADAS: y1, y2 e y3</p><p>4</p><p>+ +</p><p>- -</p><p>+</p><p>-</p><p>qq</p><p>P P P</p><p>q</p><p>y1 y2</p><p>y3</p><p>A1</p><p>A2</p><p>A3</p><p>1,5 m 1,5 m</p><p>P P P</p><p>y1</p><p>y</p><p>x</p><p>y2 y3</p><p>4 5 6</p><p>y = ax2 + bx + c</p><p>2 m 2 m</p><p>y' y''</p><p>Vsq (P) = P (y1 + y2 + y3)</p><p>Vsq (P) = 3 P yméd</p><p>Onde:</p><p>( )</p><p>( ) 1y''y5,0'y21y5,1</p><p>L</p><p>15</p><p>''y'y21y</p><p>L</p><p>5,112</p><p>y</p><p>2méd</p><p>+−+−</p><p>++−=</p><p>SEÇÃO 4: P</p><p>1,5 m 1,5 m</p><p>P P P</p><p>y1</p><p>y</p><p>x</p><p>y2 y3</p><p>4 5 6</p><p>y = ax2 + bx + c</p><p>2 m 2 m</p><p>y' y''</p><p>V4q (P) = 3 P yméd</p><p>( )</p><p>( ) 1y''y5,0'y21y5,1</p><p>L</p><p>15</p><p>''y'y21y</p><p>L</p><p>5,112</p><p>y</p><p>2méd</p><p>+−+−</p><p>++−=</p><p>y1 = 0,5193</p><p>y’ = 0,4100</p><p>y’’= 0,3078</p><p>yméd = 0,44</p><p>Vsq (P) = 3 x 11,18 x 0,44 = 14,65 tf</p><p>35</p><p>•</p><p>Á</p><p>R</p><p>E</p><p>A</p><p>S</p><p>4 - --</p><p>A1</p><p>A2</p><p>A3</p><p>A2 = a/3 (y1 + y2)</p><p>y1</p><p>a</p><p>y2</p><p>a/2</p><p>A3 = 0,8 y3 L</p><p>L</p><p>y3</p><p>lb</p><p>A1 = lb y/2</p><p>y</p><p>+</p><p>A1</p><p>A2 A3</p><p>A1 = a/3 [ 2 - (y1 + y2) ]</p><p>y1</p><p>a</p><p>y2</p><p>a/2</p><p>A2 = 0,8 y3 L</p><p>L</p><p>y3</p><p>lb</p><p>A3 = lb y/2</p><p>y</p><p>1</p><p>+ +</p><p>3</p><p>6</p><p>SEÇÃO 4: q</p><p>1. q → Vão 0-10: A2</p><p>V4q (q) = q x A2</p><p>Onde: ( ) ( )</p><p>93,22A</p><p>2143,05193,0</p><p>3</p><p>206,0</p><p>2y1y</p><p>3</p><p>a</p><p>2A</p><p>≅</p><p>+=+≅</p><p>V4q (q) = q x A2 = 2,88 x 2,93 = 8,45 tf Assim:</p><p>2. q → Vão 20-30: A3</p><p>V4q (q) = q x A3</p><p>Onde:</p><p>4097,03A</p><p>20x0257,0x8,0L3y8,03A</p><p>≅</p><p>=≅</p><p>V4q (q) = q x A3 = 2,88 x 0,4097 = 1,18 tf Assim:</p><p>3. q → BALANÇO: A1</p><p>V4q (q) = q x A1</p><p>Onde:</p><p>774,01A</p><p>2</p><p>1</p><p>x</p><p>20</p><p>5x24,1</p><p>x52/ylb1A</p><p>≅</p><p>=≅</p><p>V4q (q) = q x A1 = 2,88 x 0,774 = 2,23 tf Assim:</p><p>Finalmente:</p><p>V4q</p><p>+ (máx) = 14,64 + 8,45 + 1,18 + 2,23</p><p>V4q</p><p>+(máx) = 26,5 tf</p><p>0 10</p><p>lb 0,241lb</p><p>R0 = - R10 =1,24 lb/20</p><p>y</p><p>4</p><p>y</p><p>lb</p><p>A1</p><p>37</p><p>E</p><p>nvoltórias de C</p><p>ortantes -T</p><p>ram</p><p>o 0-10</p><p>3</p><p>8</p><p>E</p><p>nvoltórias de C</p><p>ortantes -T</p><p>ram</p><p>o 10-20</p><p>3</p><p>9</p><p>R</p><p>E</p><p>A</p><p>Ç</p><p>Õ</p><p>E</p><p>S D</p><p>E</p><p>A</p><p>P</p><p>O</p><p>IO</p><p>(R</p><p>q)</p><p>LIR</p><p>0</p><p>e LIR</p><p>10</p><p>4</p><p>0</p><p>1.6 T</p><p>A</p><p>B</p><p>E</p><p>L</p><p>A</p><p>D</p><p>E</p><p>E</p><p>N</p><p>V</p><p>O</p><p>L</p><p>T</p><p>Ó</p><p>R</p><p>IA</p><p>F</p><p>IN</p><p>A</p><p>L</p><p>4</p><p>1</p><p>2. DIMENSIONAMENTO</p><p>DAS SEÇÕES DO</p><p>VIGAMENTO PRINCIPAL</p><p>PONTES I</p><p>Deciv / EM / UFOP</p><p>Ref.: Pontes de Concreto Armado,Vol. 1, autor: Walter Pfeil.</p><p>DIMENSIONAMENTO:</p><p>Determinação das armaduras necessárias para</p><p>cada seção e verificar se as dimensões admitidas</p><p>para estas seções de concreto são satisfatórias</p><p>As SEÇÕES devem atender ainda:</p><p>� Largura suficiente para acomodar as armaduras</p><p>�As fissuras devem ter aberturas pequenas</p><p>�As flechas devem ficar aquém dos valores de norma</p><p>� No caso de armaduras de elevada resistência, as</p><p>flutuações das tensões devem ser limitadas</p><p>2.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS</p><p>42</p><p>�Solicitações:</p><p>� Sd = 1.5 Sg + 1.5 Sq + 1.2 Se (CEB/72)</p><p>� Sd = 1.35 Sg + 1.5 Sq + 1.2 Se (CEB/78)</p><p>�Aços: γs = 1.15</p><p>�Concreto (usinas): γc = 1.4</p><p>�Concreto (obras): γc = 1.5</p><p>DIMENSIONAMENTO do Concreto Armado</p><p>FLEXÃO E CISALHAMENTO</p><p>Estado Limite</p><p>Último</p><p>Estado Limite</p><p>de Projeto</p><p>Observações:</p><p>1. Dimensionamento das seções mais</p><p>representativas do vigamento principal</p><p>2. Materiais:</p><p>� Concreto: fck = 220 kgf/cm2</p><p>� Aço CA-50 (tipo A ou B): fyk = 5000 kgf/cm2</p><p>3. Coeficientes de Segurança:</p><p>� Solicitações: γg = 1.35 e γq = 1.5</p><p>� Concreto: γc = 1.5</p><p>� Aço: γs = 1.15</p><p>2.2 DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO (EXEMPLO DE APLICAÇÃO )</p><p>43</p><p>� Viga T</p><p>� Considerar be (largura efetiva)</p><p>� Análise: SEÇÃO 15</p><p>A. MOMENTOS POSITIVOS</p><p>SEÇÃO 15:</p><p>Momentos Positivos em Serviço:</p><p>Mg = 250 tfm</p><p>Mq = 1.24 x 259.1 = 321 tfm</p><p>Seção:</p><p>h = 2.25 m (d = 2.15 m)</p><p>bw = 4 m (viga T)</p><p>� TABELAS 29 e 30: Walter Pfeil, “Concreto Armado”, vol. 2</p><p>c</p><p>ck</p><p>c</p><p>f</p><p>85.0f</p><p>γ</p><p>=</p><p>s</p><p>yk</p><p>s</p><p>f</p><p>f</p><p>γ</p><p>=</p><p>qqggd MMM γ+γ=</p><p>2</p><p>c</p><p>d</p><p>dbf</p><p>M</p><p>=µ TAB 30: db</p><p>f</p><p>f</p><p>kA</p><p>s</p><p>c</p><p>S =</p><p>TAB 29:</p><p>sd</p><p>d</p><p>S z</p><p>M</p><p>A</p><p>σ</p><p>=</p><p>No caso:</p><p>22</p><p>c m/tf1250cm/kgf125</p><p>5.1</p><p>220</p><p>85.0f ===</p><p>2</p><p>s cm/kgf4350</p><p>15.1</p><p>5000</p><p>f ==</p><p>%9.2</p><p>4350</p><p>125</p><p>f</p><p>f</p><p>s</p><p>c ≅=</p><p>tfm8193215.125035.1Md ≅×+×=</p><p>( )</p><p>035.0</p><p>15.241250</p><p>819</p><p>2</p><p>≅</p><p>××</p><p>=µ</p><p>44</p><p>� Usando-se a TABELA 29:</p><p>2</p><p>S</p><p>sd</p><p>d</p><p>S</p><p>cm39.90A</p><p>35.4083.2</p><p>821</p><p>z</p><p>M</p><p>A</p><p>=</p><p>×</p><p>=</p><p>σ</p><p>=</p><p>m083.2z969.0</p><p>d</p><p>z</p><p>035.0Para ≅→=→=µ</p><p>� Usando-se a TABELA 30:</p><p>2</p><p>S</p><p>s</p><p>c</p><p>S</p><p>cm78.89A</p><p>215400%9.2036.0db</p><p>f</p><p>f</p><p>kA</p><p>=</p><p>×××==</p><p>cm13m13.0y062.0</p><p>d</p><p>y</p><p>==→=</p><p>Note que: y < 0.25 (espessura da laje)</p><p>Dimensionamento Aproximado:</p><p>m025.2z</p><p>2</p><p>25.0</p><p>15.2</p><p>2</p><p>h</p><p>dz f</p><p>≅</p><p>−=−≅</p><p>Assim:</p><p>2</p><p>S</p><p>sd</p><p>d</p><p>S</p><p>cm93A</p><p>35.4025.2</p><p>821</p><p>z</p><p>M</p><p>A</p><p>≅</p><p>×</p><p>=</p><p>σ</p><p>=</p><p>Adotando-se bitola de φ1” = 2.54cm</p><p>[AS = π(2.54)2/4 = 5.07 cm 2]</p><p>19 φ 1” CA 50 = 96 cm2</p><p>hf</p><p>d z</p><p>45</p><p>VALORES ADOTADOS:</p><p>1. Recobrimento: 2.5 cm (ambiente não fortemente agressivo)</p><p>2. Espaçamento entre as barras:</p><p>� 1.2 x o diâmetro máximo do agragado (2 cm)</p><p>� Diâmetro da barra (2.54 cm)</p><p>� Espaçamento mínimo construtivo (2 cm)</p><p>(Obs. Ficar com o maior valor)</p><p>Assim: 2.54 cm</p><p>3. Distribuição das barras:</p><p>Obs. Admitindo: ESTRIBOS φ 3/8” = 0.95 cm, para uma largura de 40</p><p>cm, é possível colocar n barras igual a:</p><p>rec.</p><p>( ) cm4054.21n54.2n95.025.22 ≤×−+×+×+×</p><p>estribos no barras no esp. entre barras</p><p>� Requisitos Construtivos para Colocação dos Ferros na Alma</p><p>1. Espessura do recobrimento</p><p>2. Espaçamento entre barras</p><p>3. Distribuição das barras, de maneira a permitir a entrada de concreto</p><p>n = 6Distribuição das Barras:</p><p>19 φ 1”</p><p>46</p><p>NORMA: w < 6% d</p><p>onde: w é a distância do centro de gravidade da</p><p>armadura até a sua face inferior</p><p>cm75.8w</p><p>19</p><p>54.25.8154.25.64</p><p>54.25.4454.25.24</p><p>2</p><p>54.2</p><p>6</p><p>w</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>××+××+</p><p>××+××+×</p><p>=</p><p>Observe que: 8.75 cm < 6% x 215 = 12.9 cm (ok!)</p><p>OBSERVAÇÃO 1: Verificação se a ALTURA ÚTIL</p><p>arbitrada d é aceitável</p><p>Cálculo de w:</p><p>OBSERVAÇÃO 2: Distância do Centro de Gravidade</p><p>das Armaduras à Face Inferior da Viga</p><p>cm2.12d</p><p>5.295.075.8d</p><p>=</p><p>++=</p><p>Assim, teremos para d:</p><p>m13.2cm213d</p><p>2.12225dhd</p><p>==</p><p>−=−=</p><p>z</p><p>C</p><p>T</p><p>OBSERVAÇÃO 3: Cálculo da Armadura para este</p><p>novo valor de d (CÁLCULO APROXIMADO)</p><p>m005.2</p><p>2</p><p>25.0</p><p>13.2z =−=</p><p>)!ok(cm33.96119cm9.93A</p><p>35.4005.2</p><p>821</p><p>z</p><p>M</p><p>A</p><p>2,,2</p><p>S</p><p>sd</p><p>d</p><p>S</p><p>=φ<≅</p><p>×</p><p>=</p><p>σ</p><p>=</p><p>47</p><p>Parâmetros de Cálculo dos Materiais:</p><p>22</p><p>c m/tf1250cm/kgf125f ==</p><p>2</p><p>s cm/kgf4350f =</p><p>%9.2</p><p>4350</p><p>125</p><p>f</p><p>f</p><p>s</p><p>c ≅=</p><p>B. MOMENTOS NEGATIVOS</p><p>� Seção Retangular</p><p>� Considerar bw (largura da viga)</p><p>� Análise: SEÇÃO 10</p><p>SEÇÃO 10:</p><p>Momentos Negativos em Serviço:</p><p>Mg = − 397 tfm</p><p>Mq = − 1.24 x 241.5 = − 300 tfm</p><p>Seção:</p><p>h = 2.25 m (d = 2.15 m)</p><p>bw = 1 m (alargamento da viga)</p><p>2</p><p>S</p><p>s</p><p>c</p><p>S</p><p>cm8.117A</p><p>215100%9.2189.0db</p><p>f</p><p>f</p><p>kA</p><p>=</p><p>×××==</p><p>� Usando-se a TABELA 29:</p><p>m94.1z903.0</p><p>d</p><p>z</p><p>171.0Para ≅→=→=µ</p><p>2</p><p>S</p><p>sd</p><p>d</p><p>S</p><p>cm8.116A</p><p>35.494.1</p><p>986</p><p>z</p><p>M</p><p>A</p><p>=</p><p>×</p><p>=</p><p>σ</p><p>=</p><p>� Usando-se a TABELA 30:</p><p>)linear.erp(int189.0k =</p><p>tfm9863005.139735.1Md ≅×+×=</p><p>( )</p><p>171.0</p><p>15.211250</p><p>986</p><p>2</p><p>≅</p><p>××</p><p>=µ</p><p>Adotando-se φ φ φ φ 1”: 24 φφφφ1” = 122 cm2 (ok!)</p><p>48</p><p>ETAPAS:</p><p>A. Verificação do NÃO esmagamento do concreto para as diagonais</p><p>comprimidas da treliça que se forma em seu interior</p><p>B. Dimensionamento das armaduras necessárias a absorver as trações que</p><p>surgem na referida treliça, oriundas do esforço cortante (ARMADURAS EM</p><p>BARRAS VERTICAIS OU INCLINADAS)</p><p>Bielas tracionadas</p><p>Bielas comprimidas</p><p>θ θθα α</p><p>P</p><p>2.3 DIMENSIONAMENTO AO ESFORÇO CORTANTE</p><p>Observação 3: Limitação Superior para τwd</p><p>h5bw ≤</p><p>)gcotg(cotsen</p><p>15.1</p><p>2</p><p>wd</p><p>cd</p><p>α+θ</p><p>τ</p><p>=σ</p><p>θα+θ≤τ</p><p>≤σ</p><p>2</p><p>cdwd</p><p>cdcd</p><p>sen2)gcotg(cotf3.0</p><p>ou,f7.0</p><p>θ≤τ 2senf45.0 cdwd</p><p>A. VERIFICAÇÃO DO CONCRETO</p><p>Observação 1:</p><p>Tensão de Compressão na Biela:</p><p>Observação 2: Devido a Experimentação</p><p>49</p><p>2. Para η = 0.6</p><p>�No caso de barras inclinadas a 45o, θ = 23o:</p><p>�No caso de estribos (α = 90o), θ = 23o:</p><p>onde:</p><p>db</p><p>V</p><p>w</p><p>d</p><p>wd =τ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> τ=</p><p>≤τ</p><p>2</p><p>wucd</p><p>wd</p><p>cm/kgf45</p><p>ou</p><p>f25.0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> α+</p><p>≤τ</p><p>cd</p><p>cd</p><p>wd</p><p>f45.0</p><p>ou</p><p>)gcot1(f3.0</p><p>cdwd f31.0≤τ</p><p>cdwd f26.0≤τ</p><p>1. Para η = 1, θ = 45o:</p><p>Casos Particulares:</p><p>A NB1 recomenda para barras com</p><p>e não estando toda a armadura transversal inclinada a 45o,</p><p>adotar as seguintes relações:</p><p>h5b w ≤</p><p>• Treliça de MÖRSCH GENERALIZADA (ver Sussek., pg. 203):</p><p>)gcotg(cotsenfz</p><p>Vs</p><p>A</p><p>yd</p><p>d</p><p>s</p><p>α+θα</p><p>=α</p><p>)cos(senfz</p><p>Vs</p><p>A</p><p>yd</p><p>d</p><p>s</p><p>α+α</p><p>=α</p><p>Observações:</p><p>Para α = 45o:</p><p>Para α = 90o:</p><p>yd</p><p>d</p><p>)45(s fz</p><p>Vs</p><p>2</p><p>2</p><p>A o =</p><p>yd</p><p>d</p><p>)90(s fz</p><p>Vs</p><p>A o =</p><p>B. DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL</p><p>• Treliça de MÖRSCH (θ = 45o) (ver Sussek., pg. 196):</p><p>50</p><p>FLEXÃO SIMPLES:</p><p>FLEXO-COMPRESSÃO:</p><p>FLEXO-TRAÇÃO:</p><p>( )</p><p>( ) α+θ</p><p>α+</p><p>==η</p><p>=θα</p><p>θα</p><p>gcotgcot</p><p>gcot1</p><p>A</p><p>A</p><p>o45s</p><p>s</p><p>wd</p><p>c</p><p>od</p><p>c</p><p>15.1</p><p>11</p><p>τ</p><p>τ</p><p>−=</p><p>τ</p><p>τ</p><p>−=η</p><p>fck1c Ψ=τ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> σ</p><p>+Ψ=τ</p><p>fck</p><p>3</p><p>1fck cmd</p><p>1c</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> σ</p><p>−Ψ=τ</p><p>fck</p><p>9</p><p>1fck tmd</p><p>1c</p><p>OBS. IMPORTANTE: Devemos multiplicar o valor de Asα da</p><p>Treliça Clássica de Mörsch por um fator η dado por</p><p>Note que: η = η(θ,α)</p><p>Experimentalmente, η é:</p><p>onde:</p><p>• FÓRMULA PRÁTICA</p><p>( )</p><p>yd</p><p>d</p><p>90s fz</p><p>V</p><p>A o η=</p><p>θ</p><p>( ) ( ) ooo</p><p>4590s90s</p><p>AA</p><p>=θθ</p><p>η=</p><p>como:</p><p>wd</p><p>c</p><p>wwdd 1;dbV;z15.1d</p><p>τ</p><p>τ</p><p>−=ητ=≅</p><p>( ) w</p><p>yd</p><p>cwd</p><p>90s</p><p>b</p><p>f</p><p>15.1</p><p>A o </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> τ−τ</p><p>=</p><p>θ</p><p>Usando-se: τwd (tf/m2); τc (tf/m2); bw (m); e fyd (tf/cm2)</p><p>Obtém-se: (As90o)θ em cm2/m</p><p>51</p><p>� Resistir aos esforços de tração produzidos</p><p>pelo cisalhamento (principal)</p><p>�Absorver momentos fletores transversais</p><p>transmitidos pela laje do tabuleiro à</p><p>alma da viga</p><p>� Resistir aos esforços decorrentes de</p><p>diferenças de temperatura entre as faces</p><p>da alma da viga, ou entre esta e a</p><p>laje do tabuleiro</p><p>C. FUNÇÕES DAS ARMADURAS TRANSVERSAIS</p><p>52</p><p>3. TRANSVERSINAS DE PONTES</p><p>---- DUAS VIGAS PRINCIPAIS ----</p><p>PONTES I</p><p>Deciv / EM / UFOP</p><p>Refs.: 1. Pontes de Concreto Armado,Vols. 1, autor: Walter Pfeil</p><p>2. Pontes em Concreto Armado e Protendido, autor: Jayme Mason</p><p>3. Pontes – Superestruturas, Vols. 1 e 2, autor: Colin O'Connor</p><p>A. FUNÇÕES ESTRUTURAIS</p><p>�Apoio para a laje do tabuleiro</p><p>�Aumento da rigidez dos vigamentos sujeitos a</p><p>cargas excêntricas</p><p>�Impedem o tombamento lateral das vigas</p><p>principais</p><p>B. CARREGAMENTO NAS TRANSVERSINAS</p><p>INTERMEDIÁRIAS</p><p>• Peso próprio</p><p>• Reações de cargas distribuídas da laje</p><p>• Reações de cargas móveis</p><p>3.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS</p><p>53</p><p>A. Peso Próprio</p><p>b</p><p>h A = b x h (área da seção)</p><p>γ = peso específico do concreto</p><p>B. Reações de Carga Distribuída na Laje</p><p>---- REGRA DO TRAPÉZIO -----</p><p>Situação 2</p><p>Situação 1</p><p>ap</p><p>oi</p><p>o</p><p>si</p><p>m</p><p>pl</p><p>es</p><p>en</p><p>ga</p><p>st</p><p>e</p><p>3.2 CARGAS</p><p>q1 (tf/m) = A(m2) x γ (tf/m3)</p><p>Situação 1</p><p>q2 =</p><p>[A(m2) x e(m) x γ (tf/m3)]/L (m)</p><p>ap</p><p>oi</p><p>o</p><p>si</p><p>m</p><p>pl</p><p>es</p><p>apoio simples</p><p>ap</p><p>oi</p><p>o</p><p>si</p><p>m</p><p>pl</p><p>es</p><p>apoio simples</p><p>θ = 45o</p><p>θ = 45o</p><p>L</p><p>θ = 45o</p><p>θ = 45o</p><p>LA(área de influência)</p><p>e (espessura da laje)</p><p>Situação 2</p><p>L en</p><p>ga</p><p>st</p><p>e</p><p>apoio simples</p><p>en</p><p>ga</p><p>st</p><p>e</p><p>apoio simples</p><p>θ = 60o</p><p>θ = 60o</p><p>L</p><p>θ = 60o</p><p>θ = 60o</p><p>L</p><p>54</p><p>NORMA [Disposição das Cargas, NBR 7188 (1988)]:</p><p>“Para o cálculo das CORTINAS e</p><p>TRANSVERSINAS, solidárias às lajes,</p><p>o carregamento, na ausência de justificativa</p><p>teórica mais precisa, deve ser o de um único</p><p>eixo isolado, com o peso total do veículo</p><p>correspondente à classe da ponte, acrescido</p><p>ainda do respectivo coeficiente de impacto”</p><p>C. Reações de Cargas Móveis</p><p>Esquema Simplificado de Cálculo das Solicitações:</p><p>� Para MOMENTOS POSITIVOS e ESFORÇOS CORTANTES: considera-</p><p>se a transversina como simplesmente apoiada nas vigas principais</p><p>� Na REGIÃO DOS APOIOS: considera-se um momento fletor negativo</p><p>igual a 1/3 e um momento fletor positivo igual a 1/4, respectivamente, do</p><p>maior momento fletor positivo</p><p>L/2 P = ϕ x F</p><p>3.3 RESUMO</p><p>q1 (peso próprio)</p><p>q2 (reação da laje)</p><p>P (carga móvel)</p><p>L/2</p><p>VP1 VP2</p><p>55</p><p>4. LAJES DE PONTES</p><p>PONTES I</p><p>Deciv / EM / UFOP</p><p>Refs.: 1. Pontes de Concreto Armado,Vols. 1, autor:</p><p>Walter Pfeil</p><p>4.1 INTRODUÇÃO</p><p>�LAJES DE PONTES MODERNAS</p><p>♦ Concreto armado</p><p>♦ Contreto protendido</p><p>�CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES</p><p>LAJE ISOTRÓPICA</p><p>4.2 SOLICITAÇÕES NAS LAJES ISOTRÓPICAS</p><p>�UTILIZAÇÃO DA TEORIA ELÁSTICA</p><p>�PRINCIPAIS SOLICITAÇÕES</p><p>CARGAS CONCENTRADAS DAS RODAS DOS VEÍCULOS</p><p>56</p><p>P</p><p>o</p><p>n</p><p>te</p><p>d</p><p>e</p><p>C</p><p>o</p><p>n</p><p>c</p><p>r</p><p>e</p><p>to</p><p>5</p><p>7</p><p>P</p><p>o</p><p>n</p><p>te</p><p>M</p><p>e</p><p>tá</p><p>lic</p><p>a</p><p>5</p><p>8</p><p>Foto: Vigas, Transversina e Laje</p><p>4.3 CAMPO DE INFLUÊNCIA</p><p>� O Campo de Influência de uma solicitação Sm,</p><p>na seção m, é uma superfície tridimensional</p><p>em que a ordenada em um ponto qualquer (a)</p><p>representa a solicitação Sm para uma dada</p><p>carga concentrada unitária aplicada no ponto (a)</p><p>59</p><p>�Os Campos de Influência são geralmente representados pelas Curvas de Nível da</p><p>superfície tridimensional</p><p>60</p><p>TABELAS de H. RÜSCH</p><p>(Norma Alemã de pontes rodoviárias)</p><p>� OS CÁLCULOS NUMÉRICOS DAS CARGAS DE INFLUÊNCIA</p><p>SÃO BASTANTE TRABALHOSOS</p><p>TABELAS PARA CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM LAJE</p><p>Calcular os momentos fletores na laje do</p><p>vão central da ponte rodoviária da figura,</p><p>cujas dimensões são:</p><p>4.4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO</p><p>Obs. A laje é carregada com as cargas rodoviárias da NB-6 (1984)</p><p>lx = 6.6 m e ly = 12.5 m</p><p>Laje a ser calculada</p><p>61</p><p>A. Modelos Estruturais</p><p>ly</p><p>lx</p><p>Mym</p><p>0</p><p>Mxm</p><p>0</p><p>1. Bordos Simplemente Apoiados</p><p>2. Bordos Engastados</p><p>B. Esquema de Cálculo</p><p>lx</p><p>Mym</p><p>1</p><p>Mxm</p><p>1</p><p>Mxe</p><p>1</p><p>Mye</p><p>1</p><p>62</p><p>C. CARGA PERMANENTE</p><p>Admitindo-se:</p><p>h (laje-concreto) = 0.25 m</p><p>h’(revest.-asfalto) = 0.1 m</p><p>g = 0.25 x 2.5 + 0.1 x 2.2 = 0.845 tf/m2</p><p>Tabela de Rüsch:</p><p>2</p><p>xg lgM κ=</p><p>onde: κ é o coeficiente extraído da</p><p>tabela em função da relação</p><p>l</p><p>l</p><p>y</p><p>x</p><p>= = ≈</p><p>1 2 5</p><p>6 6</p><p>1 8 9 2 0</p><p>.</p><p>.</p><p>. .</p><p>63</p><p>C</p><p>A</p><p>R</p><p>G</p><p>A</p><p>P</p><p>E</p><p>R</p><p>M</p><p>A</p><p>N</p><p>E</p><p>N</p><p>T</p><p>E</p><p>-</p><p>L</p><p>aje S</p><p>im</p><p>p</p><p>lesm</p><p>en</p><p>te A</p><p>p</p><p>o</p><p>iad</p><p>a</p><p>( )</p><p>m/tfm68.3)0,0(M</p><p>6.6845.01.0)0,0(M</p><p>lg1.0)0,0(M</p><p>0</p><p>gxm</p><p>20</p><p>gxm</p><p>2</p><p>x</p><p>0</p><p>gxm</p><p>≅</p><p>××=</p><p>=</p><p>( )</p><p>m/tfm21.1)0,0(M</p><p>6.6845.0033.0)0,0(M</p><p>lg033.0)0,0(M</p><p>0</p><p>gym</p><p>20</p><p>gym</p><p>2</p><p>x</p><p>0</p><p>gym</p><p>≅</p><p>××=</p><p>=</p><p>6</p><p>4</p><p>C</p><p>A</p><p>R</p><p>G</p><p>A</p><p>P</p><p>E</p><p>R</p><p>M</p><p>A</p><p>N</p><p>E</p><p>N</p><p>T</p><p>E</p><p>-</p><p>L</p><p>aje E</p><p>n</p><p>g</p><p>astad</p><p>a</p><p>( )</p><p>m/tfm55.1)0,0(M</p><p>6.6845.0042.0)0,0(M</p><p>lg042.0)0,0(M</p><p>1</p><p>gxm</p><p>21</p><p>gxm</p><p>2</p><p>x</p><p>1</p><p>gxm</p><p>≅</p><p>××=</p><p>=</p><p>( )</p><p>m/tfm4.0)0,0(M</p><p>6.6845.0011.0)0,0(M</p><p>lg011.0)0,0(M</p><p>1</p><p>gym</p><p>21</p><p>gym</p><p>2</p><p>x</p><p>1</p><p>gym</p><p>≅</p><p>××=</p><p>=</p><p>MOMENTOS POSITIVOS</p><p>( )</p><p>m/tfm06.3)0,</p><p>2</p><p>l</p><p>(M</p><p>6.6845.0083.0)0,</p><p>2</p><p>l</p><p>(M</p><p>gl083.0)0,</p><p>2</p><p>l</p><p>(M</p><p>x1</p><p>gxe</p><p>2x1</p><p>gxe</p><p>2</p><p>x</p><p>x1</p><p>gxe</p><p>−≅</p><p>××−=</p><p>−=</p><p>( )</p><p>m/tfm1.2)</p><p>2</p><p>l</p><p>,0(M</p><p>6.6845.0057.0)</p><p>2</p><p>l</p><p>,0(M</p><p>gl057.0)</p><p>2</p><p>l</p><p>,0(M</p><p>y1</p><p>gye</p><p>2y1</p><p>gye</p><p>2</p><p>x</p><p>y1</p><p>gye</p><p>−≅</p><p>××−=</p><p>−=</p><p>MOMENTOS NEGATIVOS</p><p>6</p><p>5</p><p>D. CARGA MÓVEL</p><p>Coeficiente de impacto:CLASSE 45</p><p>VEÍCULO TIPO: 45 tf</p><p>Faixa Principal: 0.5 tf/m2</p><p>Faixa Secundária: 0.5 tf/m2</p><p>35.16.6%7.04.1</p><p>lLdoconsideran;L%7.04.1 x</p><p>≅×−=ϕ</p><p>=−=ϕ</p><p>Tabela de Rüsch:</p><p>( ),p</p><p>,</p><p>pL MppMPMMq +ϕ+ϕ=</p><p>onde:</p><p>ϕ = coeficiente de impacto</p><p>P = carga concentrada p/ roda</p><p>p = carga distribuída - faixa principal</p><p>p’= carga distribuída - faixa secundária</p><p>ML, Mp e Mp’ = valores extraídos da tabela</p><p>a = espaçamento entre as rodas do veículo</p><p>(a = 2 m, Norma )</p><p>t = espalhamento da carga concentrada até o</p><p>plano médio da laje</p><p>No caso: t = largura da roda (0.45 m, Norma) +</p><p>duas vezes a distância entre a pista</p><p>e o plano médio da laje</p><p>t = 0.45 + 2 x (0.1 + 0.125)</p><p>t = 0.9 m</p><p>laje</p><p>asfalto</p><p>45o 45o</p><p>t</p><p>Roda</p><p>Assim, calculamos:</p><p>45.0</p><p>2</p><p>9.0</p><p>a</p><p>t</p><p>3.3</p><p>2</p><p>6.6</p><p>a</p><p>l x</p><p>==</p><p>==</p><p>45.0</p><p>2</p><p>9.0</p><p>a</p><p>t</p><p>3.3</p><p>2</p><p>6.6</p><p>a</p><p>l x</p><p>==</p><p>==</p><p>Parâmetros para entrada nas TABELAS:</p><p>66</p><p>C</p><p>A</p><p>R</p><p>G</p><p>A</p><p>M</p><p>Ó</p><p>V</p><p>E</p><p>L</p><p>-</p><p>L</p><p>aje S</p><p>im</p><p>p</p><p>lesm</p><p>en</p><p>te A</p><p>p</p><p>o</p><p>iad</p><p>a</p><p>6</p><p>7</p><p>1a Interpolação Linear</p><p>)25.0(xm)5.0(xm)45.0(xm</p><p>)45.0(xm)5.0(xm)25.0(xm)45.0(xm</p><p>M2.0M8.0M</p><p>45.05.0</p><p>MM</p><p>25.045.0</p><p>MM</p><p>+=</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>2a Interpolação Linear</p><p>)4(xm)3(xm)3.3(xm</p><p>)3.3(xm)4(xm)3(xm)3.3(xm</p><p>M3.0M7.0M</p><p>3.34</p><p>MM</p><p>33.3</p><p>MM</p><p>+=</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>−</p><p>−</p><p>( )</p><p>( )</p><p>M M M M</p><p>M</p><p>M tfm m</p><p>qxm L p p</p><p>qxm</p><p>qxm</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>1 35 7 5 1 35 0 5</p><p>1 35 7 5 0 72 1 35 0 5 1 36 1 8</p><p>9 42</p><p>= × × + × × +</p><p>= × × + × × +</p><p>≅</p><p>. . . .</p><p>. . . . . . .</p><p>. /</p><p>,</p><p>( )</p><p>( )</p><p>M M M M</p><p>M</p><p>M tfm m</p><p>q y m L p p</p><p>q y m</p><p>q y m</p><p>0</p><p>0</p><p>0</p><p>1 3 5 7 5 1 3 5 0 5</p><p>1 3 5 7 5 0 4 1 3 5 0 5 0 2 3 0 6</p><p>4 6 1</p><p>= × × + × × +</p><p>= × × + × × +</p><p>≅</p><p>. . . .</p><p>. . . . . . .</p><p>. /</p><p>,</p><p>CARGA MÓVEL - Laje Simplesmente Apoiada</p><p>68</p><p>C</p><p>A</p><p>R</p><p>G</p><p>A</p><p>M</p><p>Ó</p><p>V</p><p>E</p><p>L</p><p>-</p><p>L</p><p>aje E</p><p>n</p><p>g</p><p>astad</p><p>a: M</p><p>1</p><p>q</p><p>x</p><p>m</p><p>, M</p><p>1</p><p>q</p><p>y</p><p>m</p><p>e M</p><p>1</p><p>q</p><p>x</p><p>e</p><p>6</p><p>9</p><p>C</p><p>A</p><p>R</p><p>G</p><p>A</p><p>M</p><p>Ó</p><p>V</p><p>E</p><p>L</p><p>-</p><p>L</p><p>aje E</p><p>n</p><p>g</p><p>astad</p><p>a: M</p><p>1</p><p>q</p><p>y</p><p>e</p><p>7</p><p>0</p><p>MOMENTOS POSITIVOS</p><p>( )</p><p>m/tfm84.9M</p><p>22.1305.05.035.187.05.735.1M</p><p>1</p><p>qxe</p><p>1</p><p>qxe</p><p>−≅</p><p>+××−××−=</p><p>( )</p><p>m/tfm49.12M</p><p>105.2945.05.035.103.15.735.1M</p><p>1</p><p>qye</p><p>1</p><p>qye</p><p>−≅</p><p>+××−××−=</p><p>MOMENTOS NEGATIVOS</p><p>( )</p><p>m/tfm93.4M</p><p>7.045.05.035.141.05.735.1M</p><p>1</p><p>qxm</p><p>1</p><p>qxm</p><p>≅</p><p>+××+××=</p><p>( )</p><p>m/tfm51.2M</p><p>34.0074.05.035.122.05.735.1M</p><p>1</p><p>qym</p><p>1</p><p>qym</p><p>≅</p><p>+××+××=</p><p>E. RESULTADO FINAL</p><p>OBSERVAÇÕES</p><p>1. Prepoderância dos momentos produzidos</p><p>pela carga móvel</p><p>2. ENGASTAMENTO ELÁSTICO</p><p>� 60% do engaste total</p><p>� Para Mye: 80% do engaste total</p><p>(continuidade da laje)</p><p>71</p><p>m/tfm73.6M</p><p>93.46.042.94.0M</p><p>m/tfm4.2M</p><p>55.16.068.34.0M</p><p>qxm</p><p>qxm</p><p>gxm</p><p>gxm</p><p>≅</p><p>×+×≅</p><p>≅</p><p>×+×=</p><p>m/tfm35.3M</p><p>51.26.061.44.0M</p><p>m/tfm72.0M</p><p>4.06.021.14.0M</p><p>qym</p><p>qym</p><p>gym</p><p>gym</p><p>≅</p><p>×+×=</p><p>≅</p><p>×+×=</p><p>Resultado Final: MOMENTOS POSITIVOS</p><p>Resultado Final: MOMENTOS NEGATIVOS</p><p>m/tfm9.5M</p><p>84.96.0M</p><p>m/tfm84.1M</p><p>06.36.0M</p><p>qxm</p><p>qxe</p><p>gxe</p><p>gxe</p><p>−≅</p><p>×−=</p><p>−≅</p><p>×−=</p><p>m/tfm0.10M</p><p>49.128.0M</p><p>m/tfm7.1M</p><p>1.28.0M</p><p>qym</p><p>qye</p><p>gye</p><p>gye</p><p>−≅</p><p>×−=</p><p>−≅</p><p>×−=</p><p>72</p><p>5. APARELHOS DE APOIO:</p><p>PROJETO E CÁLCULO</p><p>PONTES I</p><p>Deciv / EM / UFOP</p><p>Ref.: Pontes de Concreto Armado,Vol. 2, autor: Walter Pfeil.</p><p>5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS</p><p>�DEFINIÇÃO</p><p>São peças de transição entre os vigamentos principais</p><p>e os pilares e os encontros</p><p>�OBJETIVO</p><p>Transmitir as reações de apoio, permitindo, ao mesmo</p><p>tempo, os inevitáveis movimentos das vigas</p><p>�CLASSIFICAÇÃO</p><p>1. FIXOS</p><p>2. MÓVEIS</p><p>3. ELASTOMÉRICOS</p><p>73</p><p>MOVIMENTOS DAS VIGAS</p><p>A. APARELHOS DE APOIO FIXOS</p><p>�CONCRETO DE ALTA QUALIDADE</p><p>�PERMITEM MOVIMENTOS DE ROTAÇÃO,</p><p>PORÉM IMPEDEM OS DE TRANSLAÇÃO�OBRAS DE CONCRETO: APOIOS FIXOS</p><p>(LÂMINA ESTREITA: 1. largura: 10 a 20 cm</p><p>2. Altura: 2 cm)</p><p>�ANTIGAMENTE: LÂMINA DE CHUMBO</p><p>74</p><p>APARELHOS DE APOIO FIXOS</p><p>APARELHOS DE APOIO FIXOS</p><p>75</p><p>B. APARELHOS DE APOIO MÓVEIS</p><p>�PERMITEM MOVIMENTOS</p><p>DE ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO</p><p>�TIPOS: PÊNDULOS; ROLOS;</p><p>DISPOSITIVOS DE DESLIZAMENTO EM BRONZE OU TEFLON</p><p>�APOIOS PENDULARES:</p><p>movimento horizontal → inclinação do pêndulo → componente horizontal</p><p>da reação</p><p>�APOIOS DE ROLOS:</p><p>movimento horizontal → rolamento sobre as placas → não introduz comp.</p><p>horiz. reação</p><p>�NO CASO DE DOIS ROLOS:</p><p>usar rótula superior para garantir distribuição da carga entre os rolos</p><p>�NO CASO DE MAIS DE DOIS ROLOS:</p><p>distribuição da carga indeterminada</p><p>APARELHOS DE APOIO MÓVEIS</p><p>76</p><p>APARELHOS DE APOIO MÓVEIS</p><p>C. APOIOS ELASTOMÉRICOS</p><p>�CONSTIUÍDOS POR LÂMINAS DE MATERIAIS</p><p>ELÁSTICOS: ELASTOMÉRICOS</p><p>�O MAIS CONHECIDO DOS ELASTÔMEROS:</p><p>NEOPRENE OU BORRACHA SINTÉTICA</p><p>�PERMITEM PEQUENOS</p><p>MOVIMENTOS HORIZONTAIS:</p><p>Até cerca de 2/3 da soma das espessuras do neoprene de apoio</p><p>� PERMITEM ROTAÇÕES</p><p>�QUANDO OS DESLOCAMENTOS PREVISTOS ULTRAPASSAM</p><p>A CAPACIDADE DE DEFORMAÇÃO DO NEOPRENE:</p><p>Usar camada de teflon associada ao elastômero</p><p>77</p><p>APOIOS ELASTOMÉRICOS</p><p>78</p><p>5.2 APOIOS DE CONCRETO</p><p>�LÂMINAS ESTREITAS DE CONCRETO DE ALTA RESISTÊNCIA</p><p>�APRESENTAM GRANDE RESISTÊNCIA AO ESMAGAMENTO DEVIDO</p><p>AO EFEITO DE CINTAMENTO PROPICIADO PELAS MASSAS DE</p><p>CONCRETO JUNTO DELAS</p><p>�FORMA CIRCULAR: PEQUENAS ROTAÇÕES EM QUALQUER DIREÇÃO</p><p>�INTRODUZIDOS PELO ENG. FRANCÊS EUGENE FREYSSINET</p><p>�DIMENSIONAMENTO DAS RÓTULAS: TENSÕES EM SERVIÇO DA</p><p>ORDEM DE 100 kgf/cm2 a 150 kgf/cm2</p><p>�ÂNGULO ADMISSÍVEL PARA AS</p><p>RÓTULAS (tiras alongadas -</p><p>concreto de alta resistência):</p><p>oo/15:condição</p><p>fckba</p><p>N</p><p>8.0</p><p>fck</p><p>8.0:onde</p><p>2</p><p>1</p><p>o</p><p>oo</p><p>co</p><p>qg</p><p>≤α</p><p>=</p><p>σ</p><p>=α</p><p>α=α+α</p><p>APOIOS DE CONCRETO</p><p>79</p><p>�</p><p>T</p><p>E</p><p>N</p><p>S</p><p>Õ</p><p>E</p><p>S</p><p>D</p><p>E</p><p>C</p><p>O</p><p>M</p><p>P</p><p>R</p><p>E</p><p>S</p><p>S</p><p>Ã</p><p>O</p><p>N</p><p>A</p><p>S</p><p>R</p><p>Ó</p><p>T</p><p>U</p><p>L</p><p>A</p><p>S</p><p>8</p><p>0</p><p>�NORMAS FRANCESAS:</p><p>- bo ≅ 10cm</p><p>- Tensões de compressão: 200 kgf/cm2 e 2 fck (carga máxima)</p><p>�RÓTULA CIRCULAR:</p><p>- bo ≅ 0.6 ao</p><p>- ao = diâmetro</p><p>�GRANDES CONCENTRAÇÕES DE TENSÕES</p><p>�</p><p>ARMADURA DE FENDILHAMENTO</p><p>�</p><p>controlar a fissuração do concreto</p><p>�AS RÓTULAS DE CONCRETO PODEM ABSORVER</p><p>ESFORÇOS TRANSVERSAIS ATÉ 0.25 DO ESFORÇO</p><p>NORMAL ATUANTE</p><p>APOIOS DE CONCRETO: armadura de fendilhamento</p><p>81</p><p>5.3 APOIOS METÁLICOS</p><p>�GERALMENTE SÃO APOIOS MÓVEIS</p><p>�FORMADOS POR:</p><p>- ROLOS</p><p>- PÊNDULOS</p><p>82</p><p>�DIMENSIONAMENTO DOS ROLOS:</p><p>A. Tensão de contato entre o rolo e a placa:</p><p>E591.0</p><p>da</p><p>ER</p><p>591.0 mH σ==σ</p><p>onde: R = Reação de apoio da estrutura</p><p>E = Módulo de elasticidade do aço</p><p>a = Comprimento da superfície de contato</p><p>d = Diâmetro da superfície cilíndrica</p><p>B. Tensão média diametral:</p><p>da</p><p>R</p><p>m =σ</p><p>onde: R = Reação de apoio da estrutura</p><p>a = Comprimento da superfície de contato</p><p>d = Diâmetro da superfície cilíndrica</p><p>C. TENSÕES ADMISSÍVEIS</p><p>83</p><p>D. NORMA AMERICANA:</p><p>1. Diâmetro até 25”:</p><p>)cm/kgf(42</p><p>1400</p><p>910f</p><p>)psi(600</p><p>20000</p><p>13000f</p><p>2y</p><p>m</p><p>y</p><p>m</p><p>−</p><p>=σ</p><p>−</p><p>=σ</p><p>2. Diâmetro de 25” a 125”:</p><p>)cm,cm/kgf(</p><p>d</p><p>7.334</p><p>1400</p><p>910f</p><p>)in,psi(</p><p>d</p><p>3000</p><p>20000</p><p>13000f</p><p>2y</p><p>m</p><p>y</p><p>m</p><p>−</p><p>=σ</p><p>−</p><p>=σ</p><p>�EXEMPLO DE APLICAÇÃO:</p><p>DIMENSIONAR UM APOIO METÁLICO MÓVEL DE UM ROLO</p><p>PARA OS SEGUINTES ESFORÇOS:</p><p>a. Reação de cargas principais (g+ϕq) 150 tf</p><p>b. Reação de cargas suplementares</p><p>(vento, impacto lateral, frenagem) 20 tf</p><p>c. Esforço horizontal transversal 10 tf</p><p>OBS. Admitir:</p><p>a. Rolo de diâmetro 25 cm</p><p>b. Aço AR 350 (fy =350 Mpa)</p><p>SOLUÇÃO</p><p>1. Comprimento do rolo:</p><p>- Cargas principais: cm63</p><p>9525</p><p>150000</p><p>b =</p><p>×</p><p>=</p><p>- Cargas principais + suplementares: cm43</p><p>16025</p><p>170000</p><p>b =</p><p>×</p><p>=</p><p>2. Adotar b = 65 cm</p><p>84</p><p>3. Verificar o efeito do esforço transversal (10 tf):</p><p>a. Momento fletor: cmkgf0003003010000M =×=</p><p>2</p><p>22m cm/kgf2.14</p><p>6530</p><p>3000006</p><p>bd</p><p>M6</p><p>=</p><p>×</p><p>×</p><p>=</p><p>×</p><p>×</p><p>=σ</p><p>b. Tensão diametral:</p><p>4. Tensão diametral para cargas principais e suplementares:</p><p>2</p><p>m</p><p>2</p><p>m</p><p>cm/kgf160</p><p>cm/kgf1192.14</p><p>6525</p><p>170000</p><p><σ</p><p>=+</p><p>×</p><p>=σ</p><p>5.4 APOIOS ELASTOMÉRICOS</p><p>�UMA ÚNICA CAMADA DE NEOPRENE SIMPLES, OU DIVERSAS</p><p>CAMADAS, INTERCALADAS COM CHAPAS METÁLICAS</p><p>� OBSERVAÇÕES:</p><p>1. PRODUTO SINTÉTICO</p><p>2. TEM AS MESMAS PROPRIEDADES ELÁSTICAS DA BORRACHA</p><p>3. RESISTENTE À CORROSÃO</p><p>4. RESISTENTE AO ENVELHECIMENTO</p><p>85</p><p>APOIOS ELASTOMÉRICOS</p><p>APOIOS ELASTOMÉRICOS</p><p>86</p><p>� PROPRIEDADES DO NEOPRENE:</p><p>1. DUREZA</p><p>2. FLUÊNCIA</p><p>3. MÓDULO DE ELASTICIDADE</p><p>4. MÓDULO DE CISALHAMENTO</p><p>1. DUREZA DO NEOPRENE: Escala Shore</p><p>� MEDIDA PELA PROFUNDIDADE DE PENETRAÇÃO</p><p>DE UMA AGULHA NO MATERIAL, NUMA ESCALA DE</p><p>0 A 90 (escala shore)</p><p>� MEDIDAS COM UMA TOLERÂNCIA DE +/- 5</p><p>�A DUREZA DO NEOPRENE AUMENTA COM A REDUÇÃO</p><p>DA TEMPERATURA DO MATERIAL</p><p>2. FLUÊNCIA DO NEOPRENE</p><p>� INCREMENTO DA DEFORMAÇÃO COM O TEMPO,</p><p>SOB AÇÃO DE UMA CARGA CONSTANTE</p><p>� O FENÔMENO DE FLUÊNCIA NO NEOPRENE</p><p>INDEPENDE DA SUA IDADE</p><p>87</p><p>3. MÓDULO DE ELASTICIDADE DO NEOPRENE</p><p>� VARIA COM A FORMA DA PLACA</p><p>� FATOR DE FORMA DE UMA LÂMINA DE NEOPRENE</p><p>( ) nhba2</p><p>ba</p><p>.f.F</p><p>+</p><p>×</p><p>=</p><p>onde: b = Largura da lâmina de neoprene</p><p>a = Comprimento da da lâmina de neoprene</p><p>hn = altura da lâmina de neoprene</p><p>88</p><p>� DEFORMAÇÃO DA LÂMINA DE NEOPRENE,</p><p>SOB AÇÃO DE UM ESFORÇO HORIZONTAL H</p><p>nnnn AG</p><p>H</p><p>Gh</p><p>tg =</p><p>τ</p><p>=</p><p>∆</p><p>=γ≅γ</p><p>4. MÓDULO DE CISALHAMENTO DO NEOPRENE</p><p>� MEDE A DEFORMABILIDADE DO MATERIAL</p><p>SOB AÇÃO DE TENSÕES DE CISALHAMENTO</p><p>� DEPENDE DA DUREZA E DA TEMPERATURA DO MATERIAL</p><p>�A REDUÇÃO DE TEMPERAT. PROVOCA AUMENTO NO M.C.</p><p>Dureza Shore</p><p>Gn a 20o C</p><p>50 60 70</p><p>8 11 15</p><p>SH</p><p>Kgf/cm2</p><p>Temperatura</p><p>Acréscimo do Gn ,</p><p>referido ao valor a 20o C</p><p>-7oC</p><p>10%</p><p>-18oC</p><p>25%</p><p>-30oC</p><p>90%</p><p>� COMPORTAMENTO DOS APARELHOS DE APOIO DE NOPRENE:</p><p>1. DEFORMAÇÃO SOB COMPRESSÃO SIMPLES</p><p>2. TENSÕES INTERNAS PROVOCADAS POR COMPRESSÃO SIMPLES</p><p>3. DEFORMAÇÃO SOB ESFORÇOS TRANSVERSAIS</p><p>4. TENSÕES INTERNAS PROVOCADAS POR ESFORÇO TRANSVERSAIS</p><p>5. TENSÕES INTERNAS PROVOCADAS POR UMA ROTAÇÃO DE APOIO</p><p>6. FLAMBAGEM</p><p>89</p><p>1. DEFORMAÇÃO SOB COMPRESSÃO SIMPLES</p><p>� RECALQUE VERTICAL ∆1 DE UMA LÂMINA</p><p>E NEOPRENE, DE ALTURA hn E LARGURA b</p><p>2</p><p>n</p><p>n</p><p>c</p><p>c</p><p>n</p><p>1</p><p>2</p><p>n</p><p>n</p><p>c</p><p>c</p><p>n</p><p>1</p><p>b</p><p>h</p><p>G3</p><p>k</p><p>h</p><p>b</p><p>h</p><p>E</p><p>k</p><p>h</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>σ</p><p>=</p><p>∆</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>σ</p><p>=</p><p>∆</p><p>( )</p><p>nn</p><p>nn</p><p>G3E5.0Para.Obs</p><p>G12E:onde</p><p>=→=ν</p><p>ν+=</p><p>90</p><p>2. TENSÕES INTERNAS PROVOCADAS POR COMPRESSÃO</p><p>� NEOPRENE:</p><p>1. Tensões internas de cisalhamento: τc</p><p>2. Compressão lateral: σn</p><p>� CHAPAS METÁLICAS:</p><p>1. Tensões internas de tração: σt</p><p>91</p><p>3. DEFORMAÇÕES SOB ESFORÇOS TRANSVERSAIS</p><p>� ESFORÇOS TRANSVERSAIS H:</p><p>� As lâminas de neoprene se deformam individualmente</p><p>(neoprene fretado)</p><p>� ÂNGULO DE DEFORMAÇÃO</p><p>nn</p><p>n</p><p>nnnn</p><p>GA</p><p>hH</p><p>GA</p><p>H</p><p>Gh</p><p>tg</p><p>∑</p><p>∑</p><p>=∆</p><p>=</p><p>τ</p><p>=</p><p>∆</p><p>=γ≅γ Obs. Para apoio fretado com</p><p>n lâminas de espessura individual</p><p>hn, sendo α o ângulo total, o ângulo</p><p>por lâmina será α1 = α/n</p><p>4. TENSÕES INTERNAS PROVOCADAS POR ESFORÇOS TRANSVERSAIS</p><p>� ESFORÇOS TRANSVERSAIS H:</p><p>� Tensões internas de cisalhamento: τ</p><p>92</p><p>� ROTAÇÃO α (neoprene fretado):</p><p>� Tensões cisalhantes: τ</p><p>α</p><p>5. TENSÕES INTERNAS PROVOCADAS POR UMA ROTAÇÃO DE APOIO</p><p>� MOMENTO M, QUE PROVOCA UMA ROTAÇÃO α</p><p>1</p><p>,</p><p>NA LÂMINA DE ESPESSURA hn</p><p>13</p><p>n</p><p>5</p><p>nb</p><p>h</p><p>ab</p><p>EkM α=</p><p>onde: b = Largura da lâmina de neoprene</p><p>a = Comprimento da da lâmina de neoprene</p><p>hn = altura da lâmina de neoprene</p><p>93</p><p>6. FLAMBAGEM DO APARELHO DE APOIO</p><p>5.5 DIMENSIONAMENTO</p><p>A. COMPRESSÃO</p><p>1. Tensão média atuante sobre a almofada de neoprene</p><p>2c</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>150</p><p>ba</p><p>N</p><p>≤=σ</p><p>2. Tensão de cisalhamento entre o neoprene e a placa</p><p>( )</p><p>n</p><p>n</p><p>cc</p><p>c G3</p><p>hba2</p><p>ba.f.F</p><p>5.1 ≤</p><p>+</p><p>×</p><p>σ</p><p>=</p><p>σ</p><p>=τ</p><p>B. ESFORÇOS TRANSVERSAIS</p><p>1. Tensão de cisalhamento no elastômero:</p><p>∑</p><p>∆</p><p>===τ</p><p>n</p><p>n</p><p>n h</p><p>G</p><p>ba</p><p>H</p><p>A</p><p>H</p><p>2. Ação de longa duração</p><p>5.0</p><p>G</p><p>tg</p><p>n</p><p>ld</p><p>ld ≤</p><p>τ</p><p>=γ</p><p>3. Ação de longa duração e</p><p>Efeitos dinâmicos</p><p>7.0</p><p>G</p><p>5.0</p><p>tgtg</p><p>n</p><p>dinld</p><p>dinld ≤</p><p>τ+τ</p><p>=γ+γ</p><p>94</p><p>C. ROTAÇÃO IMPOSTA</p><p>n1</p><p>2</p><p>n</p><p>n G5.1tg</p><p>h</p><p>b</p><p>2</p><p>G</p><p>≤α</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=τα</p><p>1. Tensão de cisalhamento no elastômero - 1 lâmina</p><p>n</p><p>2</p><p>n</p><p>n G5.1</p><p>n</p><p>tg</p><p>h</p><p>b</p><p>2</p><p>G</p><p>≤</p><p>α</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=τα</p><p>2. Tensão de cisalhamento no elastômero - n lâmina</p><p>D. MÓDULO DE CISALHAMENTO</p><p>1. DUREZA: 60 +/- 5</p><p>2. Gn ≅ 10 kgf/cm2 = 1 MPa</p><p>E. FLAMBAGEM DO APARELHO DE APOIO</p><p>5</p><p>h</p><p>b</p><p>n</p><p>≥</p><p>∑</p><p>F. SEGURANÇA CONTRA DESLIZAMENTO</p><p>baH )mín(cσµ<</p><p>)mín(c</p><p>2c</p><p>2c</p><p>)mín(c</p><p>2</p><p>12.0:)atritodeecoeficient(.2</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>30:aco/apoio</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>20:concreto/apoio</p><p>.1</p><p>:onde</p><p>σ</p><p>+=µµ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=σ−</p><p>=σ−</p><p>σ</p><p>95</p><p>�EXEMPLO DE APLICAÇÃO</p><p>VERIFICAR O DIMENSIONAMENTO DO APARELHO</p><p>DE APOIO DA FIGURA ABAIXO</p><p>SOLICITAÇÕES</p><p>a. Carga vertical (Ng + ϕNq) 270 tf</p><p>b. Esforço longitudinal</p><p>1. Frenagem 3.3 tf</p><p>2. Ações de longa duração 7.7 tf</p><p>c. Esforço transversal 3.4 tf</p><p>d. Rotação da viga no apoio 0.012 rad</p><p>96</p><p>SOLUÇÃO</p><p>1. Dimensões de cálculo do neoprene</p><p>- b = 25 - 0.6 = 24.4 cm</p><p>- a = 90 - 0.6 = 89.4 cm</p><p>- hn = 12 mm = 1.2 cm</p><p>- n = 2</p><p>An = a x b = 89.4 x 24.4 = 2181.4 cm2</p><p>Gn = 10 kgf/cm2</p><p>2. Compressão Simples</p><p>A. Tensão média atuante sobre a almofada de neoprene:</p><p>2c</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>150124</p><p>4.2184</p><p>270000</p><p>ba</p><p>N</p><p>≤===σ</p><p>B. Tensão de cisalhamento entre o neoprene e a placa</p><p>( ) ( )</p><p>30</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>23</p><p>2.14.244.892</p><p>4.244.89</p><p>124</p><p>hba2</p><p>ba.f.F</p><p>5.1 2</p><p>n</p><p>cc</p><p>c ≤=</p><p>+</p><p>×</p><p>=</p><p>+</p><p>×</p><p>σ</p><p>=</p><p>σ</p><p>=τ</p><p>97</p><p>3. Esforços Transversais</p><p>A. Ação de longa duração</p><p>5G5.0</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>5.3</p><p>4.2181</p><p>7700</p><p>n2ld =≤==τ</p><p>B. Ação de longa duração e efeitos dinâmicos</p><p>7G7.0</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>3.4</p><p>4.2181</p><p>3300</p><p>5.05.3tg5.0tg n2dinld =≤=+=γ+γ</p><p>4. Rotação Imposta</p><p>15G5.1</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>4.12</p><p>2</p><p>012.0</p><p>2.1</p><p>4.24</p><p>2</p><p>10</p><p>n2</p><p>2</p><p>=≤=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=τα</p><p>Tensão de cisalhamento no elastômero - 2 lâminas</p><p>5. Solicitações Combinadas</p><p>50G5</p><p>cm</p><p>kgf</p><p>7.394.128.05.3235.0 n2dinldc =≤=+++=τ+τ+τ+τ α</p><p>6. Flambagem do Aparelho de Apoio</p><p>510</p><p>2.12</p><p>4.24</p><p>h</p><p>b</p><p>n</p><p>≥=</p><p>×</p><p>=</p><p>∑</p><p>CONCLUSÃO</p><p>AS DIMENSÕES ADOTADAS PARA O APARELHO</p><p>DE APOIO SÃO SATISFATÓRIAS</p><p>98</p><p>6. PILARES DE PONTES</p><p>PONTES I</p><p>Deciv / EM / UFOP</p><p>Ref.: Pontes de Concreto Armado, Vol. 2, autor: Walter Pfeil.</p><p>� PILARES: MESOESTRUTURA DAS PONTES</p><p>� OBJETIVO: TRANSMITIR AS CARGAS DA SUPERESTRUTURA (estrado)</p><p>PARA A INFRAESTRUTURA (fundações)</p><p>� ESCOLHA DO NÚMERO DE PILARES</p><p>� Largura do Estrado</p><p>� Altura dos Pilares</p><p>� Natureza da Fundação</p><p>� REAÇÕES TRANSMITIDAS POR APARELHOS DE APOIO</p><p>6.1 INTRODUÇÃO</p><p>99</p><p>6.2 TIPOS CONSTRUTIVOS DE PILARES DE PONTES</p><p>• Os pilares de pontes são quase sempre de concreto armado</p><p>• Tipos de pilares de pontes usados em pontes com várias vigas principais:</p><p>• Tipos de pilares de pontes usados em pontes com vigas principais caixões:</p><p>• Tipo de pilar de pontes estaiadas:</p><p>Ponte Lanaye,</p><p>Bélgica, 1985100</p><p>Ponte Chandoline,</p><p>Suíca, 1990</p><p>Ponte da Prata,</p><p>Espanha</p><p>Lumberjack Candle Bridge,</p><p>Finlândia, 1990</p><p>101</p><p>� CONCRETAGENS: SUCESSIVAS OU CONTÍNUAS</p><p>� TIPOS DE FORMAS</p><p>� FORMAS CONVENCIONAIS</p><p>s Tipo mais empregado</p><p>s Econômico para pilares de pequena altura (10 m)</p><p>� FORMAS SALTANTES</p><p>s Painéis desmontáveis metálicos ou madeirit (h = 3 m)</p><p>s Econômico para pilares de altura média (10 m a 30</p><p>m)</p><p>�FORMAS DESLIZANTES</p><p>s Painéis desmontáveis metálicos ou madeirit (h = 1 m)</p><p>s Econômico para pilares de grande altura (> 30 m)</p><p>6.3 PROCESSOS CONSTRUTIVOS DE PILARES</p><p>Processo de formas saltantes</p><p>Processo de formas deslizantes</p><p>102</p><p>A. ESFORÇOS VERTICAIS</p><p>s Reação da carga permanente - Rg</p><p>s Reação da carga móvel - Rq</p><p>s Peso próprio do Pilar</p><p>s Reação do vigamento transversal</p><p>s Efeito de tombamento do vento atuando na superestrutura</p><p>V</p><p>6.4 ESFORÇOS ATUANTES NOS PILARES</p><p>B1. FORÇAS LONGITUDINAIS</p><p>; Frenação ou aceleração</p><p>; Empuxo de terra e sobrecarga nas cortinas</p><p>; Componente longitudinal do vento</p><p>B. ESFORÇOS HORIZONTAIS</p><p>B2. FORÇAS TRANSVERSAIS</p><p>� Vento</p><p>� Força centrífuga (pontes em curva)</p><p>� Impacto lateral (pontes ferroviárias)</p><p>� Componente transversal do empuxo nas cortinas (pontes esconsas)</p><p>C. ESFORÇOS INTERNOS</p><p>• Variação de temperatura do vigamento principal</p><p>• Retração do concreto do vigamento principal</p><p>D. ESFORÇOS QUE ATUAM DIRETAMENTE SOBRE OS PILARES</p><p>8 Empuxo de terra</p><p>8 Pressão do vento</p><p>8 Pressão da água</p><p>103</p><p>Observação: COMBINAÇÃO DOS ESFORÇOS</p><p>1. A reação máxima da carga móvel é combinada com o maior valor da força</p><p>longitudinal no estrado e com a ação do vento sobre a ponte carregada</p><p>2. A reação mínima da carga móvel se associa à frenação correspondente ao</p><p>veículo isolado ou à carga parcial do estrado, e à ação do vento sobre a ponte</p><p>descarregada ou parcialmente carregada</p><p>3. Simplificação das possíveis combinações (Pontes Rodoviárias):</p><p>associa-se a reação mínima de apoio com a força longitudinal devida à frenação</p><p>do veículo-tipo (30% de seu peso) e com o vento sobre a ponte descarregada</p><p>6.5 SOLICITAÇÃO NOS PILARES DE PONTES</p><p>DE ESTRADO CONTÍNUO</p><p>DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS HORIZONTAIS</p><p>PROBLEMA ESTATICAMENTE INDETERMINADO</p><p>SOLUÇÃO</p><p>CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE DE</p><p>DEFORMAÇÃO</p><p>104</p><p>A. DISTRIBUIÇÃO, ENTRE OS PILARES, DOS ESFORÇOS</p><p>LONGITUDINAIS QUE ATUAM NO ESTRADO</p><p>F</p><p>K</p><p>K</p><p>F</p><p>i</p><p>i</p><p>i</p><p>∑</p><p>=</p><p>onde:</p><p>F = Força longitudinal total atuante no tabuleiro</p><p>Fi = Força longitudinal atuante no pilar i</p><p>Ki = Coeficiente de rigidez de cada pilar</p><p>B. RIGIDEZ DOS PILARES SUJEITOS A UM ESFORÇO</p><p>HORIZONTAL NA EXTREMIDADE</p><p>F</p><p>∆</p><p>1</p><p>δ</p><p>K</p><p>1</p><p>Mét. Forças:</p><p>∆ = δ F</p><p>Mét. Deslocamentos</p><p>F = K ∆</p><p>onde:</p><p>∆ = Deslocamento horizontal no topo do pilar</p><p>F = Força atuante no pilar</p><p>δ = Coeficiente de flexibilidade</p><p>K = Coeficiente de rigidez</p><p>105</p><p>Relacionando as equações anteriores:</p><p>δ</p><p>=</p><p>1</p><p>K</p><p>OBSERVAÇÕES:</p><p>1. Pilar com inércia constante:</p><p>2. Pilar com inércia variável:</p><p>3L</p><p>EI3</p><p>K =</p><p>dx</p><p>0</p><p>EI</p><p>MM</p><p>L</p><p>∫=δ</p><p>(método da</p><p>carga unitária)</p><p>3L</p><p>EI12</p><p>K =</p><p>3. Pilares bi-engastados:</p><p>4. Pilares com uma variação linear da dimensão transversal (na direção do esforço H):</p><p>106</p><p>C. RIGIDEZ DOS PILARES COM APOIO DE NEOPRENE</p><p>DEFORMAÇÃO TOTAL: NPT δ+δ=δ</p><p>onde:</p><p>δT = deformação total</p><p>δP = deformação no pilar</p><p>δN = deformação no neoprene</p><p>ANÁLISE DE δN</p><p>AN = a b</p><p>γ = ∆N/hN = τ/GN NN</p><p>N</p><p>N AG</p><p>hF</p><p>=∆</p><p>hN</p><p>a</p><p>b</p><p>∆N ∆N</p><p>γ</p><p>F</p><p>γ</p><p>NN</p><p>N</p><p>N AG</p><p>hF</p><p>=∆</p><p>NN</p><p>N</p><p>N AG</p><p>h</p><p>=δ</p><p>Assim:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>δ+δ</p><p>=</p><p>NN</p><p>N</p><p>3</p><p>NP</p><p>AG</p><p>h</p><p>EI3</p><p>L</p><p>11</p><p>K</p><p>D. DISTRIBUIÇÃO, ENTRE OS PILARES, DOS ESFORÇOS</p><p>TRANSVERSAIS ATUANTES NO ESTRADO</p><p>� Estrado da ponte sob ação dos esforços transversais</p><p>DISCO SOBRE APOIOS ELÁSTICOS</p><p>� Ponte Esconsa</p><p>� Vento</p><p>� Empuxo</p><p>� Ponte Curva</p><p>� Vento</p><p>� Empuxo</p><p>� Força centrífuga</p><p>� Forças resultantes em um certo ponto do plano horizontal</p><p>� Rres</p><p>� Mres</p><p>107</p><p>PONTE CURVA</p><p>w</p><p>E E</p><p>FC</p><p>PONTE ESCONSA</p><p>E</p><p>E</p><p>w</p><p>DESLOCAMENTO PROVOCADO NO PILAR Pi,</p><p>POR UMA ROTAÇÃO α EM TORNO</p><p>DO CENTRO INSTANTÂNEO 0</p><p>Xi</p><p>α</p><p>α Xi</p><p>0</p><p>Pi</p><p>1. Se só atua Mres</p><p>res</p><p>2</p><p>iiii M</p><p>i</p><p>xK;0</p><p>i</p><p>xK =α=α ∑∑</p><p>onde:</p><p>α = ângulo de giro do estrado</p><p>xi = distância de cada pilar i ao ponto 0</p><p>Ki = rigidez de cada pilar</p><p>FLEXÃO SIMPLES</p><p>2. Se atuam Rres e Mres FLEXÃO COMPOSTA x</p><p>I</p><p>M</p><p>A</p><p>F resres ±=σ , ou</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>±=</p><p>∑∑</p><p>x</p><p>i</p><p>xK</p><p>e</p><p>i</p><p>K</p><p>1</p><p>FKF</p><p>2</p><p>iii</p><p>resii</p><p>∑=</p><p>i</p><p>iKA</p><p>onde, 2</p><p>i</p><p>i</p><p>ixKI ∑=</p><p>res</p><p>res</p><p>F</p><p>M</p><p>e =</p><p>108</p><p>1. CADA ÁREA ELEMENTAR É REPRESENTADA PELA</p><p>RIJEZA K; ASSIM, O ESFORÇO F, NO MESMO PILAR, É</p><p>DADO PELO PRODUTO σ K</p><p>2. OBSERVAR QUE A RIGIDEZ TRANSVERSAL</p><p>DOS PILARES PODE SER DIFERENTE DA RIGIDEZ</p><p>LONGITUDINAL. EM GERAL, ELA É CALCULADA</p><p>LEVANDO-SE EM CONTA A AS LIGAÇÕES</p><p>TRANSVERSAIS DOS FUSTES DOS PILARES,</p><p>FORMANDO QUADROS</p><p>OBSERVAÇÕES</p><p>E. DISTRIBUIÇÃO, ENTRE OS PILARES, DOS ESFORÇOS</p><p>DECORRENTES DE DEFORMAÇÕES INTERNAS DO</p><p>ESTRADO</p><p>1. RETRAÇÃO DO CONCRETO ENCURTAMENTO</p><p>DO ESTRADO</p><p>ENCURTAMENTO OU ALONGAMENTO</p><p>DO ESTRADO</p><p>OBS. EXISTE UM PLANO PERPENDICULAR À DIREÇÃO</p><p>LONGITUDINAL ONDE NÃO SE PROCESSAM</p><p>DESLOCAMENTOS</p><p>(obs. assimilada a uma variação de temperatura)</p><p>2. TEMPERATURA</p><p>OBSERVAÇÕES</p><p>� DESLOCAMENTO DE CADA PILAR: xβ=δ onde: x = distância do pilar ao plano indeslocável</p><p>β = constante de proporcionalidade</p><p>� ESFORÇO EM CADA PILAR: xKKF β=δ= TT∆α=β</p><p>onde: αT = coeficiente de dilatação térmica (10-5)</p><p>∆T = variação de temperatura (+/- 25o)</p><p>xTKF T ∆α=</p><p>onde:</p><p>109</p><p>F. EMPUXO DE TERRA NOS PILARES</p><p>1. APARELHOS DE APOIO</p><p>MÓVEIS (ROLOS OU</p><p>PÊNDULOS)</p><p>Os empuxos de terra que</p><p>recebem devem ser</p><p>resistidos pelos próprios</p><p>pilares</p><p>2. RÓTULAS OU</p><p>APOIO DE BORRACHA</p><p>(NEOPRENE)</p><p>O empuxo de terra provoca</p><p>reação horizontal na ligação</p><p>do pilar com a superestrutura</p><p>DISTRIBUIÇÃO DO EMPUXO ENTRE OS PILARES</p><p>E</p><p>- R1</p><p>A.</p><p>C.</p><p>B. E</p><p>R 1</p><p>110</p><p>� FORÇA ATUANTE EM CADA PILAR: 1</p><p>i</p><p>i R</p><p>K</p><p>K</p><p>F</p><p>∑</p><p>=</p><p>� REAÇÃO EFETIVA NO PILAR P1:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>∑K</p><p>K</p><p>1RR 1</p><p>1ef1</p><p>( )</p><p>3</p><p>N</p><p>NN</p><p>N</p><p>NN</p><p>1</p><p>PN</p><p>N</p><p>1</p><p>*</p><p>L</p><p>EI3</p><p>h</p><p>AG</p><p>h</p><p>AG</p><p>R</p><p>KK</p><p>K</p><p>RR</p><p>1</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>� Reação R1 no topo do pilar - APOIO DE NEOPRENE</p><p>� Reação efetiva no pilar P1 - APOIO DE NEOPRENE</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>∑K</p><p>K</p><p>1RR 1**</p><p>1ef1</p><p>G. PRESSÃO DE VENTO E ÁGUA NOS PILARES (Direção Transversal)</p><p>� MODELO ESTRUTURAL: considera-se cada conjunto de</p><p>pilares como um pórtico transversal engastado na fundação</p><p>e elasticamente apoiado na superestrutura</p><p>� PÓRTICOS TRANSVERSAIS: dimensionados para resistir</p><p>aos esforços transversais de vento e pressão de água neles</p><p>aplicados</p><p>111</p><p>6.6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO</p><p>Cálculo dos esforços horizontais (longitudinais e transversais) nos pilares</p><p>de uma ponte de estrado contínuo.</p><p>Característica da ponte de estrado contínuo:</p><p>• Pilares engastados na seção de transição do pilar para o tubulão (Hipót. simplificadora)</p><p>• Largura da pista de rolamento: b = 12,8 m</p><p>• Comprimento longitudinal da ponte: L = 75 m</p><p>• Classe da ponte: 36 (NB6/1960)</p><p>Veículo tipo: 36 tf; Faixa principal: 0,5 tf/m2; Faixa secundária: 0,3 tf/m2</p><p>112</p><p>CÁLCULOS NECESSÁRIOS</p><p>• Forças Longitudinais</p><p>3 Aceleração e Frenagem</p><p>3 Vento</p><p>3 Empuxo (cortina)</p><p>• Forças Transversais</p><p>Vento</p><p>• Esforços nos pilares devido</p><p>a uma Variação de Temperatura de ± 25oC</p><p>• Esforços nos pilares devido</p><p>ao Empuxo de Terra nos pilares P1 e P4</p><p>A. ACELERAÇÃO E FRENAGEM</p><p>Aceleração: para o estrado com a carga uniformemente distribuída</p><p>Fac = 5% (0,5 x 3 + 0,3 x 9,8) x 75 = 16,65 tf</p><p>Frenagem: para o estrado com a carga do veículo-tipo isolado</p><p>Ffr = 30% 36 = 10,8 tf</p><p>Observação: para dimensionamento ficamos com</p><p>Fac = 16,65 tf</p><p>113</p><p>B. VENTO</p><p>1. Componente transversal</p><p>Hipóteses:</p><p>1. Ponte descarregada:</p><p>• Altura da viga: 2,25 m</p><p>• Altura da barreira: 0,80 m</p><p>• Norma: p = 0,15 tf/m2</p><p>Fvt = 0,15 x (2,25 + 0,8) x 75 ≅ 34,3 tfFvt = 0,15 x (2,25 + 0,8) x 75 ≅ 34,3 tf</p><p>2. Ponte carregada:</p><p>• Altura da viga: 2,25 m</p><p>• Altura do revestimento: 0,10 m</p><p>• Altura do veículo: 2,0 m</p><p>• Norma: p = 0,10 tf/m2</p><p>Fvt = 0,1 x (2,25 + 0,1+ 2) x 75 ≅ 32,6 tfFvt = 0,1 x (2,25 + 0,1+ 2) x 75 ≅ 32,6 tf</p><p>2. Componente longitudinal</p><p>AASHTO (American Association of State Highway and transportation Officials):</p><p>• Vento na superestrutura: 25 %</p><p>• Vento na carga móvel: 40 %</p><p>Hipóteses:</p><p>1. Ponte descarregada:</p><p>• Altura da viga: 2,25 m</p><p>• Altura da barreira: 0,80 m</p><p>• Norma: p = 0,15 tf/m2</p><p>Fvl = 0,25 x 0,15 x (2,25 + 0,8) x 75 ≅ 8,6 tf</p><p>2. Ponte carregada:</p><p>• Altura da viga: 2,25 m</p><p>• Altura do revestimento: 0,10 m</p><p>• Altura do veículo: 2,0 m</p><p>• Norma: p = 0,10 tf/m2</p><p>Fvl = 0,25 x 0,1 x (2,25 + 0,1) x 75 + 0,4 x 0,1 x 2,0 x 75 ≅ 10,4 tf</p><p>114</p><p>C. EMPUXO: cortinas</p><p>1. Empuxo de Terra</p><p>Expressão Geral (Teoria de Rankine):</p><p>onde: EA = Empuxo ativo do solo; KA = Coeficiente de empuxo ativo;</p><p>ϕ = Ângulo de atrito interno do solo; γ = Peso específico do solo</p><p>b = Largura da superfície de contato; h = Altura da superfície de contato</p><p>222</p><p>AA hb)</p><p>2</p><p>45(tg</p><p>2</p><p>1</p><p>hbK</p><p>2</p><p>1</p><p>E γ</p><p>ϕ</p><p>−=γ= 222</p><p>AA hb)</p><p>2</p><p>45(tg</p><p>2</p><p>1</p><p>hbK</p><p>2</p><p>1</p><p>E γ</p><p>ϕ</p><p>−=γ=</p><p>No caso: KA ≅ 1/3; γ ≅ 1,8 tf/m3; b = 13,0 m; e h = 2,25 m</p><p>Assim: tf20)25,2(x13x8,1x</p><p>3</p><p>1</p><p>x</p><p>2</p><p>1</p><p>hbK</p><p>2</p><p>1</p><p>E 22</p><p>AA ≅=γ= tf20)25,2(x13x8,1x</p><p>3</p><p>1</p><p>x</p><p>2</p><p>1</p><p>hbK</p><p>2</p><p>1</p><p>E 22</p><p>AA ≅=γ=</p><p>2. Empuxo devido à CARGA MÓVEL</p><p>q</p><p>h</p><p>b</p><p>Ka q</p><p>EA = KA q h b EA = KA q h b Expressão Geral:</p><p>EA = 1/3 x (0,5 x 3 + 0,3 x 9,8) x 2,25</p><p>EA ≅ 3,3 tf</p><p>EA = 1/3 x (0,5 x 3 + 0,3 x 9,8) x 2,25</p><p>EA ≅ 3,3 tf</p><p>No caso: KA ≅ 1/3; b = 12,8 m; e h = 2,25 m</p><p>Assim:</p><p>Observação:</p><p>No caso da ponte não apresentar juntas de</p><p>dilatação no estrado, é usual considerar que os empuxos</p><p>devidos aos aterros se equilibram, adotando-se para o</p><p>cálculo dos pilares apenas o empuxo diferencial devido</p><p>a carga móvel aplicada sobre o aterro, em um dos</p><p>extremos da ponte, no caso, EA = 3,3 tf</p><p>115</p><p>D. DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS LONGITUDINAIS</p><p>ENTRE OS PILARES</p><p>Forças longitudinais:</p><p>• Aceleração: Fac = 16,65 tfFac = 16,65 tf</p><p>• Empuxo diferencial: EA = 3,3 tfEA = 3,3 tf</p><p>• Vento: FVL = 10,4 tfFVL = 10,4 tf</p><p>F</p><p>K</p><p>K</p><p>F</p><p>i</p><p>i</p><p>i ∑</p><p>= F</p><p>K</p><p>K</p><p>F</p><p>i</p><p>i</p><p>i ∑</p><p>=EXPRESSÃO GERAL:</p><p>Força resultante: F = 30,35 tf</p><p>onde:</p><p>3</p><p>i</p><p>i</p><p>iL</p><p>IE3</p><p>K = ou</p><p>]</p><p>AG</p><p>h</p><p>EI3</p><p>L</p><p>[</p><p>1</p><p>K</p><p>NN</p><p>N</p><p>i</p><p>3i</p><p>i</p><p>+</p><p>=</p><p>CÁLCULO DA RIGIDEZ DE CADA PILAR</p><p>• Pilar P2:</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2L</p><p>IE3</p><p>K = onde: L2 = 10 m; d = 1 m;</p><p>E = 2,1 x 106 tf/m2; e</p><p>I2 = π d4/64 = π 14/64 = 4,91 x 10-2 m4</p><p>Assim:</p><p>m/tf3,309</p><p>10</p><p>10x91,4x10x1,2x3</p><p>K</p><p>3</p><p>26</p><p>2 ≅=</p><p>−</p><p>• Pilar P3:</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3L</p><p>IE3</p><p>K = onde: L3 = 8 m; d = 1 m;</p><p>E = 2,1 x 106 tf/m2; e</p><p>I3 = π d4/64 = π 14/64 = 4,91 x 10-2 m4</p><p>Assim:</p><p>m/tf2,604</p><p>8</p><p>10x91,4x10x1,2x3</p><p>K</p><p>3</p><p>26</p><p>3 ≅=</p><p>−</p><p>116</p><p>• Pilar P1:</p><p>onde: L1 = 8 m; d = 1 m;</p><p>E = 2,1 x 106 tf/m2; e</p><p>I1 = π d4/64 = π 14/64 = 4,91 x 10-2 m4</p><p>An = 2181,4 cm2 = 2181,4 x 10-4 m2</p><p>hn = 2 x 1,2 = 2,4 cm = 0,024 m</p><p>Gn = 10 kgf/cm2 = 100 tf/m2</p><p>Assim:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>NN</p><p>N</p><p>1</p><p>31</p><p>AG</p><p>h</p><p>EI3</p><p>L</p><p>1</p><p>K</p><p>1</p><p>m/tf9,362</p><p>10x4,2181x100</p><p>024,0</p><p>10x91,4x10x1,2x3</p><p>8</p><p>1</p><p>K</p><p>426</p><p>31 ≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>−−</p><p>• Pilar P4:</p><p>onde: L4 = 5 m</p><p>Assim:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>NN</p><p>N</p><p>4</p><p>34</p><p>AG</p><p>h</p><p>EI3</p><p>L</p><p>1</p><p>K</p><p>4</p><p>m/tf8,664</p><p>10x4,2181x100</p><p>024,0</p><p>10x91,4x10x1,2x3</p><p>5</p><p>1</p><p>K</p><p>426</p><p>34 ≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+</p><p>=</p><p>−−</p><p>Pilar Ki (tf/m) ∑ i</p><p>i</p><p>K</p><p>K</p><p>Fi (tf)</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>362,9</p><p>309,3</p><p>604,2</p><p>664,8</p><p>0,19</p><p>0,16</p><p>0,31</p><p>0,34</p><p>1∑ 30,35</p><p>Fi (tf)/fuste</p><p>5,77</p><p>4,86</p><p>9,41</p><p>10,31</p><p>2,89</p><p>2,43</p><p>4,71</p><p>5,16</p><p>1941,2 15,18</p><p>Observações:</p><p>• Os esforços calculados atuam longitudinalmente em cada par de</p><p>pilares; para dimensionamento de cada fuste dos pilares, toma-se-</p><p>á a metade do esforço</p><p>• Os pilares deverão ser verificados para o empuxo de terra</p><p>unilateral na cortina extrema, cujo efeito pode ser combinado</p><p>apenas com as cargas permanentes da estrutura</p><p>117</p><p>E. DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS TRANSVERSAIS ENTRE OS PILARES</p><p>Observações:</p><p>• Neste exemplo, o único esforço transversal atuante é o vento:</p><p>• É considerado que a rijeza transversal de cada pórtico é proporcional</p><p>à rijeza relativa de seus pilares (simplificação)</p><p>Passos:</p><p>1. Tomar um dos pilares como origem das abscissas</p><p>2. Calcular a distância do centro de gravidade do tabuleiro ao pilar de referência</p><p>3. Calcular a excentricidade e da ação do vento em relação ao</p><p>C.G. G das rijezas</p><p>4. Calcular os coeficientes de influência</p><p>5. Calcular as forças</p><p>Fvt ≅ 34,3 tfFvt ≅ 34,3 tf</p><p>1. Tomando o pilar P3 como origem das abscissas</p><p>x</p><p>k1 k2 k4k3</p><p>G</p><p>xg</p><p>Pilar k x</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>0,19</p><p>0,16</p><p>0,31</p><p>0,34</p><p>1∑ 5,75</p><p>Distância ao</p><p>ponto G</p><p>8,55</p><p>4,00</p><p>0,00</p><p>-6,80</p><p>39,25</p><p>19,25</p><p>-5,75</p><p>-25,75</p><p>Distância</p><p>ao pilar P3</p><p>45,0</p><p>25,0</p><p>0,0</p><p>-20,0</p><p>620,75</p><p>Rijeza</p><p>relativa k k x2</p><p>384,75</p><p>100,00</p><p>0,00</p><p>136,00</p><p>Passos</p><p>118</p><p>2. Distância do centro de gravidade do tabuleiro G ao pilar P3</p><p>75,5</p><p>1</p><p>75,5</p><p>k</p><p>xk</p><p>xg ===</p><p>∑</p><p>∑</p><p>3. Calcular a excentricidade e da ação do vento em relação ao Centro de Gravidade G das rijezas</p><p>e =12,5 - xg = 12,5 - 5,75</p><p>e = 6,75 m</p><p>No caso: Fres = Fvt</p><p>4. Calcular a força transversal em cada pórtico</p><p>ires2</p><p>iii</p><p>iresi Fx</p><p>i</p><p>xK</p><p>e</p><p>i</p><p>K</p><p>1</p><p>KFF</p><p>i</p><p>ϕ=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>±=</p><p>ϕ</p><p>∑∑</p><p>���� ����� ��</p><p>28,025,39</p><p>7,587</p><p>75,6</p><p>119,01 ≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=ϕ</p><p>24,075,25</p><p>7,587</p><p>75,6</p><p>134,04 ≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=ϕ</p><p>20,025,19</p><p>7,587</p><p>75,6</p><p>116,02 ≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+=ϕ</p><p>29,075,5</p><p>7,587</p><p>75,6</p><p>131,03 ≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=ϕ</p><p>tf6,93,34x28,0FF vt11 ≅=ϕ=</p><p>tf9,63,34x20,0FF vt22 ≅=ϕ=</p><p>tf0,103,34x29,0FF vt33 ≅=ϕ=</p><p>tf2,83,34x24,0FF vt44 ≅=ϕ=</p><p>Observação:</p><p>Distribuição do esforço total de forma proporcional aos</p><p>comprimentos dos vãos (CRITÉRIO SIMPLIFICADO, usado no caso</p><p>de uma ponte com superestrutura isostática):</p><p>tf9,63,34x20,0FF%20m151051P vt11 ≅=ϕ=→→=+</p><p>tf3,103,34x30,0FF%30m5,225,12102P vt22 ≅=ϕ=→→=+</p><p>tf3,103,34x30,0FF%30m5,225,12103P vt33 ≅=ϕ=→→=+</p><p>tf9,63,34x20,0FF%20m151054P vt44 ≅=ϕ=→→=+</p><p>119</p><p>F. ESFORÇOS NOS PILARES DEVIDO A UMA</p><p>VARIAÇÃO DE TEMPERATURA DE ±±±± 25O C</p><p>onde: αT = coeficiente de dilatação térmica (10-5)</p><p>∆T = variação de temperatura (±±±± 25o)</p><p>xi = distância do pilar i ao C.G.</p><p>iTii xTKF ∆α=Esforço em cada pilar:</p><p>Pilar</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>∑</p><p>Distância ao</p><p>C.G.</p><p>39,25</p><p>19,25</p><p>-5,75</p><p>-25,75</p><p>Ki (tf/m)</p><p>362,9</p><p>309,3</p><p>604,2</p><p>664,8</p><p>1941,2</p><p>Fi (tf)</p><p>3,6</p><p>1,5</p><p>- 0,9</p><p>- 4,3</p><p>-0,1</p><p>G. ESFORÇOS NOS PILARES DEVIDO AO EMPUXO DE TERRA ATUANTE</p><p>DIRETAMENTE NOS PILARES</p><p>Observações:</p><p>1. P1 e P4 estão sujeitos ao empuxo de terra dos taludes de acessos</p><p>2. Considerar:α = ϕ; δ = 0; KA = 1</p><p>4. Largura majorada do pilar (Norma Alemã): bi = 3 x 1,0 = 3 m</p><p>Empuxo ativo nos pilares P1 e P4: 222</p><p>AA hb)</p><p>2</p><p>45(tg</p><p>2</p><p>1</p><p>hbK</p><p>2</p><p>1</p><p>E γ</p><p>ϕ</p><p>−=γ= 222</p><p>AA hb)</p><p>2</p><p>45(tg</p><p>2</p><p>1</p><p>hbK</p><p>2</p><p>1</p><p>E γ</p><p>ϕ</p><p>−=γ=</p><p>tf2,434x3x8,1x1x</p><p>2</p><p>1</p><p>E 2</p><p>1 ≅= tf2,434x3x8,1x1x</p><p>2</p><p>1</p><p>E 2</p><p>1 ≅=• P1:</p><p>tf3,243x3x8,1x1x</p><p>2</p><p>1</p><p>E 2</p><p>4 ≅= tf3,243x3x8,1x1x</p><p>2</p><p>1</p><p>E 2</p><p>4 ≅=• P4:</p><p>3. Considerar:γ = 1,8 tf/m3</p><p>120</p><p>Análise do Pilar P1</p><p>( )</p><p>tf46,3</p><p>8</p><p>0491,0x10x1,2x3</p><p>024,0</p><p>814,21</p><p>024,0</p><p>814,21</p><p>76,5</p><p>L</p><p>EI3</p><p>h</p><p>AG</p><p>h</p><p>AG</p><p>R</p><p>KK</p><p>K</p><p>RR</p><p>3</p><p>6</p><p>3</p><p>N</p><p>NN</p><p>N</p><p>NN</p><p>1</p><p>PN</p><p>N</p><p>1</p><p>*</p><p>1</p><p>≅</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>� Como o pilar está apoiado elasticamente no APOIO DE NEOPRENE:</p><p>� Reação efetiva no topo do pilar P1:</p><p>[ ] tf80,219,0146,3</p><p>K</p><p>K</p><p>1RR 1**</p><p>1ef1</p><p>≅−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>∑</p><p>[ ] tf80,219,0146,3</p><p>K</p><p>K</p><p>1RR 1**</p><p>1ef1</p><p>≅−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p>∑</p><p>Momento fletor na base do pilar:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>2</p><p>2</p><p>b</p><p>L</p><p>a</p><p>6,0</p><p>L</p><p>a</p><p>25,22</p><p>3</p><p>aE</p><p>M</p><p>No caso:</p><p>tfm9,25</p><p>8</p><p>5</p><p>6,0</p><p>8</p><p>5</p><p>25,22</p><p>3</p><p>5x2,43</p><p>M</p><p>2</p><p>2</p><p>b ≅</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−=</p><p>Assim, a reação R1 é dada por (REAÇÃO FICTÍCIA):</p><p>tf76,5</p><p>8</p><p>9,25</p><p>8</p><p>1</p><p>x</p><p>3</p><p>5</p><p>x2,43R1 ≅−=</p><p>121</p><p>tfm6,498x8,2</p><p>3</p><p>5x2,43</p><p>Mb ≅−=</p><p>Assim, o momento fletor na base do pilar vale:</p><p>Esforços nos pilares intermediários:</p><p>tf5,016,0x8,2</p><p>K</p><p>K</p><p>RF2P 2*</p><p>2 ef1</p><p>≅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∑</p><p>tf5,016,0x8,2</p><p>K</p><p>K</p><p>RF2P 2*</p><p>2 ef1</p><p>≅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∑</p><p>tf9,031,0x8,2</p><p>K</p><p>K</p><p>RF3P 3*</p><p>3 ef1</p><p>≅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∑</p><p>tf9,031,0x8,2</p><p>K</p><p>K</p><p>RF3P 3*</p><p>3 ef1</p><p>≅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∑</p><p>tf95,034,0x8,2</p><p>K</p><p>K</p><p>RF4P 4*</p><p>4 ef1</p><p>≅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∑</p><p>tf95,034,0x8,2</p><p>K</p><p>K</p><p>RF4P 4*</p><p>4 ef1</p><p>≅=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>∑</p><p>H. QUADRO RESUMO DOS ESFORÇOS NOS TOPOS DOS PILARES</p><p>Pilar</p><p>∑</p><p>P1 P2 P3 P4</p><p>Frenagem + Emp. Diferencial +</p><p>Vento longitudinal</p><p>2,89 2,43 4,71 5,16</p><p>Variação de temperatura 3,6 1,5 0,9 4,3</p><p>Empuxo de terra (P1 e P4) 2,8 0,5 0,9 *</p><p>9,3 4,4 6,5 *Hlong por fuste de pilar</p><p>Htransv por pórtico</p><p>(vento)</p><p>9,6 6,9 10,0 8,2</p><p>(*) Fazer a análise do pilar 4 para o empuxo de terra</p><p>122</p><p>7. TABULEIROS CELULARES</p><p>PONTES I</p><p>Deciv / EM / UFOP</p><p>Ref.: Pontes de Concreto Armado,Vol. 1, autor: Walter Pfeil</p><p>7.1 INTRODUÇÃO</p><p>• As partes inferiores das vigas principais são ligadas por uma laje</p><p>• SEÇÃO CELULAR: simples, dupla ou múltipla</p><p>• As seções celulares tem grande resistência à torção, o que permite</p><p>uma distribuição transversal quase uniforme dos carregamentos</p><p>excêntricos</p><p>• Os vigamentos celulares de pontes possuem também transversinas</p><p>(cheias ou vazadas): impedem deformações angulares relativas entre as</p><p>paredes da célula</p><p>123</p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL DA CARGA</p><p>• SEÇÃO DE CONCRETO NÃO-FISSURADA: A carga excêntrica</p><p>é distribuída igualmente entre as vigas principais</p><p>(grande rigidez à torção)</p><p>• SEÇÃO DE CONCRETO FISSURADA: A carga excêntrica</p><p>é distribuída de forma desigual entre as vigas principais</p><p>• CONCRETO PROTENDIDO → As seções permanecem não</p><p>fissuradas → A carga excêntrica é distribuída igualmente</p><p>entre as vigas principais</p><p>• CONCRETO ARMADO → O cálculo da distribuição transversal</p><p>da carga pode ser feita com a teoria de grelha com torção</p><p>[J(fissurada) ≅≅≅≅ 0,7 J(não-fissurada)]</p><p>• As normas fornecem fórmulas empíricas, de origem experimental,</p><p>para calcular as solicitações atuantes nos vigamentos principais</p><p>• SOLUÇÃO DO PROBLEMA: Forma Aproximada</p><p>Grelha plana</p><p>sem torção</p><p>Seção celular</p><p>não-fissurada</p><p>Interpolação</p><p>Linear</p><p>125</p><p>7.2 EXEMPLO DE APLICAÇÃO - Parte 1</p><p>Uma ponte rodoviária com vigamento celular tem largura de pista de 8,20 m e um</p><p>vão de 25 m. Pede-se para calcular as tensões nominais elásticas de cisalhamento</p><p>provocadas pelos esforços cortantes e momentos de torção, devido à carga móvel,</p><p>com tabuleiro totalmente carregado, admitindo-se as cargas CLASSE 36</p><p>(NB6/1960), e supondo as seções não-fissuradas.</p><p>Observações</p><p>• Devido a grande rigidez à torção → cálculo aproximado →</p><p>transferência das cargas para o eixo da ponte</p><p>• Os esforços verticais são distribuídos igualmente entre as vigas;</p><p>o momento de torção é absorvido pela seção celular</p><p>• No projeto deve-se prever transversinas ou quadros de</p><p>enrijamento que impeçam a deformação da caixa por</p><p>flexão transversal dos septos</p><p>126</p><p>Solução</p><p>1. Faixa principal de tráfego sem interrupções:</p><p>Pvt = 36 - 0,5 x (6 x 3) = 27 tf</p><p>2. Carga vertical resultante:</p><p>• Carga concentrada: P = 27 tf</p><p>• Carga distribuída: q = 0,5 x 3 + 0,3 x 5,2 = 3,06 tf/m</p><p>3. Momento de torção resultante:</p><p>• Momento concentrado: T = 27 x 2,6 = 70,2 tfm</p><p>• Momento distribuído: t = 0,5 x 3 x 2,6 + 0,3 x 5,2 x 1,5 = 1,56 tfm/m</p><p>4. Trem-tipo:</p><p>• Cargas verticais:</p><p>• Momentos de torção:</p><p>q = 3,06 tf/m</p><p>P = 27 tf</p><p>T = 70,2 tfm</p><p>t = 1,56 tfm/m</p><p>127</p><p>5. Coeficiente de impacto: L = 25 m</p><p>ϕ = 1,4 - 0,7% 25 = 1,225</p><p>6. Esforço cortante junto ao apoio</p><p>Vq = 1,225 x (27 + 3,06 x 25 /2) = 79,9 tf</p><p>Observações:</p><p>• Para cada septo vertical V’q = 79,9/4 ≅ 20 tf</p><p>• Tensão de cisalhamento: 2</p><p>w m/tf22,39</p><p>7,1x3,0</p><p>20</p><p>dbw</p><p>q'V</p><p>≅==τ</p><p>7. Momento de torção junto ao apoio</p><p>Tq = 1,225 x (70,2 + 1,56 x 25 /2) = 110 tfm</p><p>Observações:</p><p>• Obtenção dos FLUXOS DE TORÇÃO</p><p>• Condições a serem obedecidas (ver Sussek., pgs 58 a 60, Vol II, concreto):</p><p>1. Equilíbrio estático: O somatório de Ti, para cada célula,</p><p>de ser igual a T, ou seja:</p><p>)</p><p>Ae2</p><p>T</p><p>t(Ae2TT t</p><p>i i</p><p>iii =τ=φφ== ∑ ∑</p><p>2. Compatibilidade de deformações: O ângulo dϕi de deformação</p><p>(rotação) por torção deve ser o mesmo para todas as células, ou seja:</p><p>∫∫∫</p><p>φ</p><p>==</p><p>φ</p><p>=</p><p>φ</p><p>===ϕ==ϕ=ϕ</p><p>t</p><p>ds</p><p>Ae2t</p><p>ds</p><p>Ae2t</p><p>ds</p><p>Ae2</p><p>ou,</p><p>GJ</p><p>dxT</p><p>GJ</p><p>dxT</p><p>GJ</p><p>dxT</p><p>ou,ddd</p><p>n</p><p>n</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>Tn</p><p>n</p><p>2T</p><p>2</p><p>1T</p><p>1</p><p>n21</p><p>…</p><p>……</p><p>∫</p><p>=</p><p>φ=</p><p>t</p><p>ds</p><p>Ae4</p><p>J</p><p>Ae2T</p><p>2</p><p>i</p><p>Ti</p><p>iii</p><p>128</p><p>Assim:</p><p>1. Equilíbrio estático:</p><p>( )</p><p>554,52,7</p><p>x8,1x3x8,1x2x22110Ae2TT</p><p>21</p><p>21</p><p>i i</p><p>iii</p><p>=φ+φ</p><p>φ+φ=→φ==∑ ∑</p><p>2. Compatibilidade de deformações:</p><p>21</p><p>21</p><p>n</p><p>n</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>908,0</p><p>ou,</p><p>1,0</p><p>3</p><p>17,0</p><p>3</p><p>3,0</p><p>8,1x2</p><p>8,1x3x21,0</p><p>2</p><p>17,0</p><p>2</p><p>3,0</p><p>8,1x2</p><p>8,1x2x2</p><p>ou,</p><p>t</p><p>ds</p><p>Ae2t</p><p>ds</p><p>Ae2t</p><p>ds</p><p>Ae2</p><p>φ=φ</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++</p><p>φ</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>++</p><p>φ</p><p>φ</p><p>==</p><p>φ</p><p>=</p><p>φ</p><p>∫∫∫ …</p><p>Finalmente:</p><p>m/tf61,4</p><p>m/tf18,4</p><p>2</p><p>1</p><p>=φ</p><p>=φ</p><p>φ</p><p>1</p><p>=</p><p>4</p><p>,1</p><p>8</p><p>t</p><p>f/</p><p>m</p><p>φ2 = 4,61 tf/m</p><p>φ2 - φ1 = 0,43 tf/m</p><p>φ2 = 4,61 tf/m</p><p>φ</p><p>1</p><p>=</p><p>4</p><p>,1</p><p>8</p><p>t</p><p>f/</p><p>m</p><p>129</p><p>• Tensões cisalhantes provocadas pelo momento de torção:</p><p>1. Septo vertical EXTERNO (viga lateral):</p><p>21</p><p>tt m/tf14</p><p>3,0</p><p>18,4</p><p>t</p><p>t ≅=</p><p>φ</p><p>=τ→τ=φ</p><p>2. Septo vertical INTERMEDIÁRIO (viga intermediária):</p><p>212</p><p>tt m/tf43,1</p><p>3,0</p><p>43,0</p><p>t</p><p>t ≅=</p><p>φ−φ</p><p>=τ→τ=φ</p><p>τt</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>t</p><p>f/</p><p>m</p><p>2</p><p>τt</p><p>=</p><p>1</p><p>4</p><p>t</p><p>f/</p><p>m</p><p>2</p><p>τt= 24,6 tf/m2 τt= 27 tf/m2</p><p>τt= 42 tf/m2 τt= 46 tf/m2</p><p>τt= 24,6 tf/m2</p><p>τt= 42 tf/m2</p><p>τt= 1,4 tf/m2 τt= 1,4 tf/m2T = 110 tfm</p><p>8. Tensões cisalhantes máximas (E. cortante + M. torsor)</p><p>• Septos verticais EXTERNOS (vigas laterais):</p><p>2</p><p>twr m/tf2,531422,39 ≅+=τ+τ=τ</p><p>• Septos verticais INTERMEDIÁRIOS (vigas intermediárias):</p><p>2</p><p>twr m/tf6,404,122,39 ≅+=τ+τ=τ</p><p>130</p><p>7.3 EXEMPLO DE APLICAÇÃO - Parte 2</p><p>Uma ponte rodoviária com vigamento celular tem largura de pista de 8,20 m e um</p><p>vão de 25 m. Pede-se para calcular as tensões nominais elásticas de cisalhamento</p><p>provocadas pelos esforços cortantes e momentos de torção, devido à carga móvel,</p><p>com tabuleiro totalmente carregado, admitindo-se as cargas CLASSE 36</p><p>(NB6/1960), e considerando o efeito da seção fissurada sobre a distribuição das</p><p>cargas.</p><p>Observações</p><p>• Seção fissurada: redução da resistência à torção</p><p>• Solução do problema: forma aproximada</p><p>Grelha plana</p><p>sem torção</p><p>Seção celular</p><p>não-fissurada</p><p>Interpolação</p><p>Linear</p><p>131</p><p>Solução</p><p>1. Momento de torção resultante:</p><p>(admitindo-se um coef. de interpolação de 70%,</p><p>e viga celular não-fissurada)</p><p>• Momento concentrado: T = 0,7 x 70,2 = 49,14 tfm</p><p>• Momento distribuído: t = 0,7 x 1,56 = 1,09 tfm/m</p><p>2. Carga vertical resultante:</p><p>(admitindo-se grelha plana sem torção,</p><p>considerando-se a carga atuando no eixo da ponte,</p><p>e 30% das solicitações de torção)</p><p>i2</p><p>i</p><p>i x</p><p>x</p><p>eP</p><p>n</p><p>P</p><p>P</p><p>∑</p><p>±=Expressão geral:</p><p>2. Carga vertical resultante:</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+</p><p>±==</p><p>tf21,4P</p><p>tf29,9P</p><p>5,3</p><p>5,35,12</p><p>6,2x27x3,0</p><p>4</p><p>27</p><p>)P(P</p><p>1</p><p>1</p><p>2241</p><p>• Viga Lateral:</p><p>Carga concentrada:</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+</p><p>±==</p><p>m/tf71,0q</p><p>m/tf82,0q</p><p>5,3</p><p>5,35,12</p><p>56,1x3,0</p><p>4</p><p>06,3</p><p>)q(q</p><p>1</p><p>1</p><p>2241Carga distribuída:</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+</p><p>±==</p><p>tf66,5P</p><p>tf84,7P</p><p>5,1</p><p>5,35,12</p><p>6,2x27x3,0</p><p>4</p><p>27</p><p>)P(P</p><p>2</p><p>2</p><p>2232</p><p>• Viga Intermediária:</p><p>Carga concentrada:</p><p>( ) </p><p></p><p></p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+</p><p>±==</p><p>m/tf74,0q</p><p>m/tf79,0q</p><p>5,1</p><p>5,35,12</p><p>56,1x3,0</p><p>4</p><p>06,3</p><p>)q(q</p><p>2</p><p>2</p><p>2232Carga distribuída:</p><p>i2</p><p>i</p><p>i x</p><p>x</p><p>eP</p><p>n</p><p>P</p><p>P</p><p>∑</p><p>±=</p><p>132</p><p>3. ESFORÇO CORTANTE, junto ao apoio, da VIGA LATERAL</p><p>mais solicitada:</p><p>Vq = 1,225 x (9,29 + 0,82 x 25 /2) = 23,94 tf</p><p>• Tensão de cisalhamento: 2</p><p>w m/tf93,46</p><p>7,1x3,0</p><p>94,23</p><p>dbw</p><p>Vq</p><p>≅==τ</p><p>4. ESFORÇO CORTANTE, junto ao apoio,</p>