AP1-Métodos Determinísticos 1 - 2024-2 - Gabarito

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<p>Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro</p><p>AP1 – Métodos Determińısticos I – 2/2024</p><p>Código da disciplina EAD06075</p><p>Nome: Matŕıcula:</p><p>Polo: Data:</p><p>Atenção!</p><p>• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os</p><p>respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em</p><p>negrito) e o número da folha.</p><p>PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS</p><p>� Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!</p><p>� Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula,</p><p>Polo e Data.</p><p>� Não é permitido o uso de calculadora.</p><p>� Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-</p><p>cador.</p><p>� Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul</p><p>ou preta para registro das resoluções nas Folhas de</p><p>Respostas.</p><p>� Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas,</p><p>pois isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.</p><p>� As Folhas de Respostas serão o único material con-</p><p>siderado para correção. Quaisquer anotações feitas</p><p>fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,</p><p>serão ignoradas.</p><p>� Justifique cuidadosamente suas soluções.</p><p>(Este texto é comum às questões 1 a 5 e a seguir.)</p><p>Uma agência de viagem vendeu pacotes para 112 clientes de um cruzeiro. Os clientes poderiam contratar separada-</p><p>mente pacote Alimentação Livre, pacote Bebidas Inclusive, ou, obviamente, contratar ambos os pacotes.</p><p>Somente os que contrataram ambos os pacotes, também poderiam contratar o pacote Festas Exclusivas, para ter</p><p>acesso a eventos especiais na área da piscina.</p><p>Sabe-se ainda que:</p><p>i. o número de clientes que poderiam ter contratado o pacote Festas Exclusivas é o dobro do número dos que de</p><p>fato o contrataram.</p><p>ii. metade dos clientes que contrataram o pacote Alimentação Livre também contrataram o pacote Bebidas</p><p>inclusive.</p><p>iii. o número de clientes que contrataram o pacote Bebidas Inclusive é o triplo do número de clientes que não o</p><p>contratou.</p><p>iv. todo cliente contratou pelo menos um dos pacotes.</p><p>Métodos Determińısticos I AP1 2</p><p>Questão 1 [0,5 pt] Represente a situação por meio de um diagrama de Venn, denotando por A o conjunto dos</p><p>clientes que contrataram o pacote Alimentação Livre, por B os contratantes do pacote Bebidas Inclusive e por F</p><p>o conjunto dos contratantes do pacote Festas Exclusivas.</p><p>Solução: Como só podem contratar Festas Exclusivas os clientes que contrataram Alimentação Livre e Bebidas In-</p><p>clusive, temos que o conjunto F está contido na interseção de A com B. Observe que não é necessário representar</p><p>um conjunto universo U que contenha os conjuntos A, B e F , visto que não há elementos fora da união de P e G,</p><p>pois todo cliente contratou pelo menos um dos pacotes. Representamos então, abaixo, a situação por meio de um</p><p>diagrama de Venn:</p><p>Questão 2 [0,5 pt] Chame de x o número de clientes que contrataram Festas Exclusivas. Escreva, em função</p><p>de x, o número de clientes que contrataram ambos os pacotes Alimentação Livre e Bebidas Inclusive mas não</p><p>contrataram Festas Exclusivas. Justifique através do uso das informações dadas, indicando qual informação</p><p>estiver sendo utilizada.</p><p>Solução: De acordo com i, o número de clientes que poderiam contratar Festas Exclusivas é o dobro dos x que de</p><p>fato contrataram. Lembrando que só podem contratar Festas Exclusivas os clientes na interseção A ∩ B entre os</p><p>conjuntos A e B.</p><p>Como o número de elementos do conjunto F é igual a x, o número de elementos na interseção A ∩ B é 2x, temos</p><p>que o número de elementos do conjunto A ∩B − F é</p><p>2x− x = x.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I AP1 3</p><p>Questão 3 [1,0 pt] Escreva, em função de x, a quantidade de clientes que contrataram apenas Alimentação Livre.</p><p>Justifique através do uso das informações dadas, indicando qual informação estiver sendo utilizada.</p><p>Solução: Vamos agora chamar de a o número de elementos do conjunto A, isto é, o número de clientes que</p><p>contrataram Alimentação Livre. De acordo com ii, temos que metade dos elementos de A também estão em B, ou</p><p>seja, estão em A ∩B. Como o número de elementos de A ∩B é 2x, temos</p><p>1</p><p>2 · a = 2x ∴ a = 4x.</p><p>Queremos agora o número de clientes que contrataram apenas Alimentação Livre, ou seja, o número de elementos</p><p>do conjunto A−B, que será dado por a− x = 4x− 2x = 2x.</p><p>Questão 4 [1,0 pt] Escreva, em função de x, a quantidade de clientes que contrataram apenas Bebidas Inclusive.</p><p>Justifique através do uso das informações dadas, indicando qual informação estiver sendo utilizada.</p><p>Solução: Vamos chamar de b o número de elementos do conjunto B, isto é, o número de clientes que contrataram</p><p>Bebidas Inclusive. De acordo com iii, temos que o número de elementos de B é o triplo do número de elementos</p><p>que não estão em B. Como 2x elementos não estão em B, temos que b = 3 · 2x = 6x.</p><p>Queremos agora o número de clientes que contrataram apenas Bebidas Inclusive, ou seja, o número de elementos</p><p>do conjunto B−A, que será igual aos elementos de B menos os de A∩B. Assim, B−a tem b−2x = 6x−2x = 4x.</p><p>Questão 5 [0,5 pt] Determine o número de clientes que contrataram Festas Exclusivas. (Você deve encontrar o</p><p>número, e não mais em função de x). Justifique por meio da solução de uma equação.</p><p>Solução: Como o total de clientes é de 112, pelo diagrama de Venn anterior, temos que</p><p>112 = 2x + x + x + 4x = 8x,</p><p>de modo que</p><p>8x = 112</p><p>e então</p><p>x = 112</p><p>8 = 14.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I AP1 4</p><p>Como o número de clientes que contrataram Festas Exclusivas é x, temos que 14 clientes contrataram Festas Exclu-</p><p>sivas.</p><p>(Este texto é comum às questões 6 a 8 e a seguir.)</p><p>Os gastos mensais totais de uma empresa, incluindo salários, pagamentos a fornecedores e serviços, impostos fixos,</p><p>etc., somam 40.000. Mensalmente, a empresa pode escolher duas formas de tributação:</p><p>i. Pagar o imposto de 20% sobre o faturamento mensal;</p><p>ii. Paga o imposto de 30% sobre o lucro mensal, isto é, sobre a diferença entre o faturamento e os gastos mensais.</p><p>Obs.: Assuma, nas questões abaixo, que a empresa ache interessante optar, mensalmente, pela forma de tributação</p><p>que resulte em menor imposto.</p><p>Questão 6 [0,5 pt] Caso o faturamento da empresa em um dado mês seja de 50.000, por qual forma de tributação,</p><p>neste mês, a empresa achará interessante optar? Justifique sua resposta.</p><p>Solução: Se a empresa optasse pela forma de tributação sobre o faturamento, com um faturamento de 50.000, o</p><p>imposto, que chamaremos de If , seria de</p><p>If = 20% de 50.000 = 20</p><p>100 · 50.000 = 1</p><p>5 · 50.000 = 50.000</p><p>5 = 10.000.</p><p>Já se a empresa optasse pela forma de tributação sobre o lucro, com um faturamento de 50.000 e um custo de 40.000,</p><p>o lucro é de 50.000− 40.000 = 10.000, de modo que o imposto, que chamaremos de Il, seria de</p><p>Il = 30% de 10.000 = 30</p><p>100 · 10.000 = 3</p><p>10 · 10.000 = 3 · 10000</p><p>10 = 3.000.</p><p>Como Il < If , temos que a empresa achará interessante optar pela forma de tributação sobre o lucro.</p><p>Questão 7 [1,0 pt] Dê as expressões dos impostos a serem pagos nas duas modalidades de</p><p>tributação (sobre o faturamento e sobre o lucro), em função do faturamento x de um determinado</p><p>mês. Justifique.</p><p>Solução: Se a empresa optar pela forma de tributação sobre o faturamento, com um faturamento</p><p>de x, o imposto, que chamaremos de If , seria de</p><p>If = 20% de x = 20</p><p>100 · x = 20x</p><p>100 = x</p><p>5 .</p><p>Já se a empresa optasse pela forma de tributação sobre o lucro, com um faturamento de x e um</p><p>custo de 40.000, o lucro é de x− 40.000, de modo que o imposto, que chamaremos de Il, seria de</p><p>Il = 30% de (x−40.000) = 30</p><p>100 · (x−40.000) = 3</p><p>10 · (x−40.000) = 3x</p><p>10 −</p><p>120.000</p><p>10 = 3x</p><p>10 −12.000.</p><p>Questão 8 [1,0 pt] Diga para que valores de faturamento mensal x, o imposto sobre o lucro</p><p>(ii)</p><p>é o mais interessante do que o imposto sobre o faturamento (i)? Justifique.</p><p>Solução: A empresa achará mais interessante optar pelo imposto sobre o lucro, que chamamos de</p><p>Il, se este for menor do que o imposto sobre o faturamento, que chamamos de If . Pela questão</p><p>anterior, temos que</p><p>Il < If ⇔= 3x</p><p>10 − 12.000 <</p><p>x</p><p>5 ⇔</p><p>3x</p><p>10 −</p><p>x</p><p>5 < 12.000⇔ 3x</p><p>10 −</p><p>2x</p><p>10 < 12.000.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I AP1 5</p><p>⇔ x</p><p>10 < 12.000⇔ x < 120.000.</p><p>Temos assim, que o imposto sobre o lucro é o mais interessante para a empresa optar se o faturamento</p><p>mensal x for menor do que 120.000.</p><p>Questão 9 [2,0 pt] Resolva a equação</p><p>x + 1</p><p>3 − x2 + 1</p><p>x− 2 = 1− 2x</p><p>3 , com x 6= 2, justificando cada</p><p>passagem.</p><p>Solução: Temos</p><p>x + 1</p><p>3 − x2 + 1</p><p>x− 2 = 1− 2x</p><p>3 ⇔ (x + 1)(x− 2)</p><p>3(x− 2) − 3(x2 + 1)</p><p>3(x− 2) = (1− 2x)(x− 2)</p><p>3(x− 2)</p><p>⇔ x2 − 2x + x− 2</p><p>�����3(x− 2) − 3x2 + 3</p><p>�����3(x− 2) = x− 2− 2x2 + 4x</p><p>�����3(x− 2)</p><p>⇔ x2 − x− 2− (3x2 + 3) = 5x− 2− 2x2</p><p>⇔ x2 − x− 2− 3x2 − 3 = 5x− 2− 2x2</p><p>⇔ x2 + 2x2 − 3x2 − x− 5x = −2 + 3 + 2</p><p>⇔ −6x = 3</p><p>⇔ x = −3</p><p>6</p><p>⇔ x = −1</p><p>2</p><p>USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 10 E 11.</p><p>Sabe-se que:</p><p>i. p ⇒ q ∨ r</p><p>ii. r ∧ p ⇒ s</p><p>iii. s ∨ t ⇒ ∼p</p><p>iv. p é verdadeiro.</p><p>Observação: ∧ é o operador lógico ‘e’ e ∨ é o operador lógico ‘ou’.</p><p>Questão 10 [1,0 pt] O que podemos concluir sobre t e sobre s , de forma a satisfazer as premissas</p><p>acima? Justifique, utilizando as premissas acima em sua argumentação e indicando clara-</p><p>mente qual premissa possibilitou sua conclusão.</p><p>Solução 1: Pela premissa iv, p é verdadeiro, logo, ∼p é falso. Pela premissa iii, temos então que</p><p>s ∨ t é falso, pois, se s ∨ t fosse verdadeiro, teŕıamos ∼p verdadeiro. Como s ∨ t é falso, temos</p><p>que s é falso e t é falso.</p><p>Solução 2: Vamos construir uma tabela-verdade com p , s e t , s ∨ t , ∼p e com a premissa iii.</p><p>Na tabela, p será sempre verdadeiro, pela premissa iv.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p><p>Métodos Determińısticos I AP1 6</p><p>p s t s ∨ t ∼p s ∨ t ⇒ ∼p</p><p>V V V V F F</p><p>V V F V F F</p><p>V F V V F F</p><p>V F F F F V</p><p>(Lembre-se que a implicação é falsa somente quando V⇒ F.)</p><p>Assim, a única forma de a premissa iii ser verdadeira é t e s serem falso.</p><p>Questão 11 [1,0 pt] O que podemos concluir sobre q e sobre r , de forma a satisfazer as premissas</p><p>acima? Justifique, utilizando as premissas acima em sua argumentação e indicando clara-</p><p>mente qual premissa possibilitou sua conclusão.</p><p>Solução 1: Na questão acima, vimos que r é falso, logo, pela premissa ii, não podemos ter r ∧ p ver-</p><p>dadeiro (pois, do contrário, teŕıamos V⇒ F). Assim, r ∧ p é falso. Como p é verdadeiro, é necessário</p><p>então que r seja falso pois, se r fosse verdadeiro, teŕıamos r ∧ p verdadeiro. Assim, r é falso.</p><p>A premissa i diz que p⇒ q ∨ r . Como p é verdadeiro, é necessário então que q ∨ r seja verdadeiro.</p><p>Porém, como r é falso, é necessário então que q seja verdadeiro.</p><p>Solução 2: Vamos fazer a tabela verdade com p (sempre V, pela premissa iv), s (sempre falso, pelo</p><p>que vimos na questão anterior), q , r , q ∨ r , r ∧ p e com as premissas i e ii.</p><p>p s q r q ∨ r r ∧ p p ⇒ q ∨ r r ∧ p ⇒ s</p><p>V F V V V V V F</p><p>V F V F V F V V</p><p>V F F V V V V F</p><p>V F F F F F F V</p><p>Vemos então que a única possibilidade que torna as premissas i e ii ambas verdadeiras é q verdadeiro</p><p>e r falso.</p><p>Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ</p>