Prévia do material em texto

<p>MAT Sequência Didática do Professor</p><p>Ensino Médio</p><p>Geometria e Medidas</p><p>Área de uma superfície</p><p>Habilidade</p><p>FOCO</p><p>• (EM13MAT307) Empregar diferentes</p><p>métodos para a obtenção da medida da</p><p>área de uma superfície (reconfigurações,</p><p>aproximação por cortes etc.) e deduzir</p><p>expressões de cálculo para aplicá-las em</p><p>situações reais (como o remanejamento e</p><p>a distribuição de plantações, entre outros),</p><p>com ou sem apoio de tecnologias digitais.</p><p>Habilidade</p><p>RELACIONADA</p><p>• (EM13MAT309) Resolver e elaborar pro-</p><p>blemas que envolvem o cálculo de áreas</p><p>totais e de volumes de prismas, pirâmides e</p><p>corpos redondos em situações reais (como</p><p>o cálculo do gasto de material para revesti-</p><p>mento ou pinturas de objetos cujos formatos</p><p>sejam composições dos sólidos estudados),</p><p>com ou sem apoio de tecnologias digitais.</p><p>EM.10.MA.18.4.27.P-2320</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 3</p><p>Ponto de</p><p>PARTIDA</p><p>As formas geométricas estão presentes em tudo o que construímos nos</p><p>espaços urbano e rural ou observamos na natureza. Chamamos de formas</p><p>geométricas planas as figuras que possuem toda a sua superfície interna em um</p><p>mesmo plano. Observe as imagens abaixo:</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?0d8269</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>A)</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?9c89e9</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>B)</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?9f3875</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>C)</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?beb946</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>D)</p><p>Ponto de</p><p>PARTIDA</p><p>Nessa atividade introdutória é</p><p>esperado que os alunos recordem o</p><p>conceito de figura plana. É importante</p><p>que você, professor, direcione alguns</p><p>questionamentos auxiliando os alunos</p><p>a formarem o conceito, por exemplo:</p><p>“quantas dimensões tem uma figura</p><p>plana?”, “qual a diferença entre um</p><p>filme ou jogo 2D e um 3D?” etc. As</p><p>questões possibilitam aos alunos</p><p>pensarem nas características que</p><p>diferenciam uma figura plana de uma</p><p>espacial. Em seguida, inicie com os</p><p>alunos a reflexão sobre a superfície</p><p>plana das figuras, o espaço ocupado</p><p>por elas e a necessidade de medir</p><p>esse espaço. Volte com os alunos às</p><p>imagens A, B, C, D e E e reflitam sobre</p><p>a ideia de área coberta/ocupada</p><p>pelo pavimento de uma calçada, pela</p><p>fachada do Museu de Arte de São</p><p>Paulo (MASP), por um apartamento</p><p>construído em um terreno ou de uma</p><p>fachada, e pela superfície da pirâmide</p><p>no museu do Louvre.</p><p>MAT</p><p>Ensino Médio</p><p>Geometria e Medidas |</p><p>Área de uma superfície</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>4</p><p>E)</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?89415d</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>Que figuras planas você pode identificar em cada uma das imagens? Com-</p><p>partilhe com os seus colegas.</p><p>A) Pavimento:</p><p>B) Museu de Arte de São Paulo:</p><p>C) Planta baixa:</p><p>D) Planta da Fachada:</p><p>E) Entrada do Museu do Louvre:</p><p>Nesta Sequência Didática, vamos explorar situações envolvendo o conceito</p><p>de área de figuras planas e algumas possíveis aplicações na construção civil.</p><p>Atividade 1</p><p>Silvano é arquiteto e urbanista. Para</p><p>facilitar os seus projetos, ele costuma fazer</p><p>um esboço da planta na malha quadricu-</p><p>lada, onde cada quadrado possui 1 cm de</p><p>lado. Veja:</p><p>A linha em negrito indica o perímetro de</p><p>um chalé do Hotel Fazenda Estância que</p><p>será projetado por Silvano.</p><p>A) Quantos quadrados aparecem na região interna da figura?</p><p>B) Qual a área de um quadrado com 1 cm de lado?</p><p>C) Qual é a área interna do chalé esboçado na malha quadriculada?</p><p>1 cm</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) Polígono com 12 lados.</p><p>B) Retângulo.</p><p>C) Retângulo.</p><p>D) Retângulo e triângulo.</p><p>E) Triângulo.</p><p>Atividade 1</p><p>O objetivo dessa atividade é explorar</p><p>as ideias intuitivas a respeito do</p><p>conceito de área a partir da determi-</p><p>nação de uma unidade de medida</p><p>(o quadrado). Em seguida, explorar</p><p>as unidades de medida de área do</p><p>sistema métrico decimal e suas</p><p>conversões. A atividade também tem</p><p>como proposta iniciar a construção</p><p>do conceito de área a partir do diá-</p><p>logo entre os alunos e o professor. É</p><p>importante que você, professor, faça</p><p>uma síntese do conceito a partir das</p><p>opiniões dos alunos, deixando claro</p><p>o que é a grandeza área diferencian-</p><p>do-a de suas diferentes unidades de</p><p>medida. É esperado que os alunos</p><p>tragam ideias como “área é a parte de</p><p>dentro da figura”, “área é uma região”,</p><p>“área é a medida de uma superfície</p><p>plana” etc. É comum que alguns</p><p>alunos confundam os conceitos de</p><p>área e perímetro. Explore a figura</p><p>para deixar claro a diferença entre</p><p>os dois conceitos. Se necessário dê</p><p>outros exemplos, como o significado</p><p>de expressões comuns: “perímetro</p><p>urbano” (cidade), “área verde” (reserva</p><p>de mata em centros urbanos), “grande</p><p>área; pequena área” (futebol) etc.</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) 49 quadrados.</p><p>B) 1 cm².</p><p>C) 49 cm².</p><p>D) Área do terreno: 64 m².</p><p>Área do chalé: 49 m².</p><p>E) Área é um número associado a</p><p>medida de uma superfície plana</p><p>em uma fixada unidade de medida.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 5</p><p>D) Sabe-se que o chalé ocupa a parte destacada na malha quadriculada e que o terreno ocupa toda a malha. Se 1 cm na</p><p>malha corresponder a 1 m no terreno, qual é a área do terreno? Qual é a área do chalé?</p><p>E) Você saberia dizer com suas próprias palavras o que significa área? Compartilhe sua opinião com a sua turma.</p><p>A cada região do plano é associado um número real não nulo chamado área. A área, por-</p><p>tanto, é a medida de uma superfície. Existem diversas unidades de medida de área, como</p><p>aquelas pertencentes ao sistema métrico decimal: o centímetro quadrado (cm²), metro</p><p>quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²), bem como unidades de medida agrária: hectare e o alqueire.</p><p>-></p><p>Fique sabendo</p><p>QUE...</p><p>Atividade 2</p><p>Ao lado da recepção, Silvano está proje-</p><p>tando a construção de um salão de jogos no</p><p>formato de um quadrado, conforme indica-</p><p>do na figura ao lado.</p><p>A) Se 1 cm na malha corresponde a 1 m</p><p>na construção, qual será a medida da</p><p>área do salão de jogos?</p><p>B) A área que você encontrou tem medida igual ou diferente da medida da área</p><p>do chalé? Explique.</p><p>C) Qual é a medida do perímetro do salão de jogos? E do chalé da atividade 1?</p><p>O que pode ser concluído a partir dessas medidas?</p><p>1 cm</p><p>Atividade 2</p><p>O objetivo dessa atividade é mostrar</p><p>aos alunos que regiões poligonais</p><p>diferentes (não congruentes) podem</p><p>ter a mesma área. Além disso,</p><p>regiões poligonais de mesma área</p><p>podem ter perímetros diferentes. Os</p><p>itens F e G propõem a experimen-</p><p>tação como forma de consolidação</p><p>dessas ideias.</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) 49 m².</p><p>B) Igual, pois apresentam a mesma</p><p>quantidade de quadrados (unida-</p><p>des de área) internos.</p><p>C) Perímetro do salão de jogos: 28 m.</p><p>Perímetro do chalé: aproximada-</p><p>mente 33 m.</p><p>Conclui-se que regiões poligonais</p><p>de mesma área podem apresen-</p><p>tar perímetros diferentes.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>6</p><p>A superfície delimitada tanto pelo perímetro do chalé quanto pelo perímetro do salão de jogos</p><p>é chamada de região poligonal. Em outras palavras, uma região poligonal é uma região plana e</p><p>fechada, cercada por segmentos de reta. As figuras abaixo são exemplos de regiões poligonais.</p><p>-></p><p>Fique sabendo</p><p>QUE...</p><p>D) Desenhe na malha quadriculada abaixo uma região poligonal que represente o salão de festas do Hotel Fazenda Estân-</p><p>cia. O salão de festas precisa ter uma área igual a 900 m².</p><p>Qual é a medida do perímetro do salão de festas?</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 7</p><p>E) Desenhe na malha quadriculada abaixo uma região poligonal que represente a recepção do Hotel Fazenda Estância.</p><p>A recepção precisa ter um perímetro igual a 28 m.</p><p>Qual é a medida da área da recepção?</p><p>D) Possível resposta:</p><p>O perímetro do salão de festas é igual 120 m.</p><p>E) Possíveis medidas da recepção:</p><p>A área da recepção do hotel é igual 48 m².</p><p>Outra possibilidade seria um retângulo de medidas 5 m, 5 m,</p><p>9 m e 9 m. Esse retângulo teria uma área igual a 45 m².</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>8</p><p>F) Mesma área e perímetros diferentes:</p><p>F) Na malha quadriculada abaixo, desenhe</p><p>duas regiões poligonais que possuam mesma área e perímetros diferentes.</p><p>Compartilhe com os colegas a solução que você encontrou.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 9</p><p>G) Mesmo perímetro e áreas diferentes:</p><p>G) Na malha quadriculada abaixo, desenhe duas regiões poligonais que possuam mesmo perímetro e áreas diferentes.</p><p>Compartilhe com os colegas a solução que você encontrou.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>10</p><p>Atividade 3</p><p>Silvano entregou o projeto do chalé ao mestre de obras da</p><p>construção do Hotel Fazenda Estância. O mestre de obras deseja</p><p>descobrir a escala utilizada por Silvano no desenho do chalé. Ele</p><p>sabe que 1 cm no projeto equivale a 1 m na construção.</p><p>A) Ajude-o a descobrir a escala utilizada.</p><p>B) Qual é o perímetro do chalé? Explique o que você entende por</p><p>perímetro.</p><p>C) Quantas vezes o perímetro real é maior que o perímetro do</p><p>desenho?</p><p>D) Se 1 m equivale a 100 cm, então 1 m² equivale a quantos centí-</p><p>metros quadrados? Esboce um desenho, se necessário.</p><p>Quantas vezes a área real é maior que a área do desenho?</p><p>Atividade 3</p><p>Essa atividade tem o objetivo de trabalhar a escala,</p><p>ou seja, a relação de proporcionalidade entre as</p><p>medidas do chalé no desenho e na construção</p><p>real. A partir dessa situação inicial, espera-se que</p><p>os alunos consigam compreender o processo de</p><p>transformação entre as unidades de medida de área</p><p>do sistema métrico decimal. É importante que você,</p><p>professor, auxilie os alunos no entendimento do</p><p>processo. O item E explora, por meio de uma suces-</p><p>são de quadrados, o que acontece com o perímetro</p><p>(comprimento) e área quando a medida do lado é</p><p>dobrada, triplicada e assim por diante. Observe que</p><p>se a medida do lado do quadrado triplica, o períme-</p><p>tro também triplica, enquanto a área fica multiplica-</p><p>da por 3² = 9. O preenchimento da tabela e observa-</p><p>ção do padrão auxiliará o fechamento de ideias nos</p><p>itens I e II. Mostre aos alunos que para transformar</p><p>uma unidade de medida de comprimento para outra</p><p>à sua direita multiplica-se por 10, enquanto que para</p><p>transformar uma unidade de medida de compri-</p><p>mento para outra à sua esquerda divide-se por 10.</p><p>De forma semelhante, mostre aos alunos que para</p><p>transformar uma unidade de medida de área para</p><p>outra à sua direita multiplica-se por 100, enquanto</p><p>que para transformar uma unidade de medida de</p><p>área para outra à sua esquerda divide-se por 100.</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) 1 : 100.</p><p>B) Perímetro do chalé: aproximadamente 33 m. Pe-</p><p>rímetro pode ser compreendido como a medida</p><p>do contorno do polígono.</p><p>C) 33 m = 3 300 cm. Calcula-se 3 300 : 33 =</p><p>100 vezes.</p><p>D) 1 m² = 10 000 cm²</p><p>49 m² = 490 000 cm². Calcula-se</p><p>490 000 cm² : 49 cm² = 10 000 vezes.</p><p>E) Sequência de quadrados na malha quadriculada:</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 11</p><p>E) Observe o quadrado destacado na malha quadriculada abaixo.</p><p>Faça os desenhos na malha dobrando a medida do lado do quadrado,</p><p>triplicando e assim por diante até quando possível. Em seguida, preencha</p><p>a tabela:</p><p>Medida do lado</p><p>do quadrado Perímetro do quadrado Área do quadrado</p><p>1 4 = 4 x 1 1 = 1²</p><p>2 8 = 4 x 2 4 = 2²</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>10</p><p>100</p><p>Medida</p><p>do lado do</p><p>quadrado</p><p>Perímetro</p><p>do quadrado</p><p>Área do</p><p>quadrado</p><p>1 4 = 4 x 1 1</p><p>2 8 = 4 x 2 4 = 2²</p><p>3 12 = 4 x 3 9 = 3²</p><p>4 16 = 4 x 4 16 = 4²</p><p>5 20 = 4 x 5 25 = 5²</p><p>10 40 = 4 x 10 100 = 10²</p><p>100 400 = 4 x 100 10 000 = 100²</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>12</p><p>Complete as sentenças abaixo:</p><p>I) Quando o lado do quadrado é multiplicado por 100, o perímetro fica multiplicado por .</p><p>II) Quando o lado do quadrado é multiplicado por 100, a área fica multiplicada por .</p><p>F) Observe a tabela abaixo com as relações entre as unidades de medida de comprimento no sistema métrico decimal:</p><p>Quilômetro</p><p>(km)</p><p>Hectômetro</p><p>(hm)</p><p>Decâmetro</p><p>(dam)</p><p>Metro</p><p>(m)</p><p>Decímetro</p><p>(dm)</p><p>Centímetro</p><p>(cm)</p><p>Milímetro</p><p>(mm)</p><p>0,001 0,01 0,1 1 m 10 100 1 000</p><p>Complete a tabela abaixo relacionando as unidades de medida de área.</p><p>Quilômetro</p><p>quadrado</p><p>(km²)</p><p>Hectômetro</p><p>quadrado</p><p>(hm²)</p><p>Decâmetro</p><p>quadrado</p><p>(dam²)</p><p>Metro</p><p>quadrado</p><p>(m²)</p><p>Decímetro</p><p>quadrado</p><p>(dm²)</p><p>Centímetro</p><p>quadrado</p><p>(cm²)</p><p>Milímetro</p><p>quadrado</p><p>(mm²)</p><p>1 m²</p><p>Sentenças:</p><p>I) 100. II) 10 000.</p><p>F) Tabela preenchida:</p><p>Quilômetro</p><p>quadrado</p><p>(km²)</p><p>Hectômetro</p><p>quadrado</p><p>(hm²)</p><p>Decâmetro</p><p>quadrado</p><p>(dam²)</p><p>Metro</p><p>quadrado</p><p>(m²)</p><p>Decímetro</p><p>quadrado</p><p>(dm²)</p><p>Centímetro</p><p>quadrado</p><p>(cm²)</p><p>Milímetro</p><p>quadrado</p><p>(mm²)</p><p>0,000001 0,0001 0,01 1 m² 100 10 000 1 000 000</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 13</p><p>Atividade 4</p><p>O objetivo dessa atividade é deixar</p><p>o aluno escolher uma estratégia</p><p>para a obtenção da medida da área</p><p>de uma superfície (reconfigurações,</p><p>aproximação por cortes etc.). Uma</p><p>estratégia que pode ser usada é</p><p>pintar de mesma cor regiões que</p><p>completem uma unidade de área.</p><p>O formato curvilíneo estimula a</p><p>análise da melhor aproximação/</p><p>reconfiguração da figura, fazendo</p><p>com que respostas diferentes</p><p>sejam dadas. Ao compartilhar suas</p><p>respostas, espera-se que os alunos</p><p>encontrem valores para a área da</p><p>piscina que sejam próximos uns dos</p><p>outros. É importante deixar claro</p><p>para os alunos que os itens C e D</p><p>trabalham com escala diferente das</p><p>atividades anteriores.</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) Contando os quadrados que estão</p><p>inteiramente dentro da piscina,</p><p>em seguida juntando as partes</p><p>dos quadrados que não estão</p><p>inteiros estimando a área total.</p><p>B) Aproximado, pois existem partes</p><p>de área menor que a unidade,</p><p>sem medida precisa.</p><p>C) Como 1 cm² equivale a 2,25 m²,</p><p>se contarmos 24 quadrados</p><p>temos 24 cm² no desenho que,</p><p>na medida real, equivalem a</p><p>aproximadamente 54 m².</p><p>D) 1 : 150.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Atividade 4</p><p>Uma piscina infantil será construída na</p><p>área molhada do Hotel Fazenda Estância.</p><p>Silvano irá apresentar o projeto à equipe que</p><p>irá construí-la.</p><p>A) Como a equipe pode determinar a área do fundo da piscina? Explique.</p><p>B) O valor determinado é exato ou aproximado? Explique.</p><p>C) Estime a área do fundo da piscina sabendo que cada centímetro na malha</p><p>equivale a 1,5 m na realidade.</p><p>D) Qual é a escala utilizada no projeto da piscina?</p><p>1 cm</p><p>14</p><p>Atividade 5</p><p>O piso interior e da entrada do chalé será revestido com cerâmicas</p><p>de diferentes cores, texturas e padrões conforme a figura ao lado.</p><p>Cada peça cerâmica possui área igual a 1 m² e as peças podem ser</p><p>cortadas. Para que a equipe de obras se organize melhor, Silvano entregou</p><p>uma tabela a ser preenchida.</p><p>A) Complete a tabela:</p><p>Polígono Quantidade de</p><p>peças de cerâmica Cor da cerâmica Área de cada</p><p>pedaço ou peça Área total</p><p>Triângulo 1</p><p>2 peça Preto 0,5 m² 2 x 0,5 = 1,0 m²</p><p>Quadrado</p><p>Retângulo</p><p>Trapézio</p><p>1 cm</p><p>Entrada do chalé</p><p>Peça de cerâmica</p><p>quadrada de 1 m²</p><p>de área</p><p>Atividade 5</p><p>O objetivo dessa atividade é fazer</p><p>com que os alunos cheguem a</p><p>expressões para o cálculo da área</p><p>em situações reais por meio de</p><p>composição e decomposição de</p><p>figuras geométricas planas. Usando</p><p>como apoio a unidade de área es-</p><p>tabelecida na malha quadriculada,</p><p>espera-se que os alunos cheguem</p><p>às expressões das áreas do qua-</p><p>drado, retângulo, triângulo, trapézio</p><p>e paralelogramo. Essa atividade é</p><p>uma introdução para o cálculo de</p><p>áreas com o uso de expressões que</p><p>servem para quaisquer polígonos</p><p>desses tipos.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>B) Qual a soma das áreas das cerâmicas encontrada? É igual a área total do</p><p>chalé?</p><p>C) Observe o quadrado formado pelas cerâmicas abaixo:</p><p>I) Qual é a área do quadrado?</p><p>II) Qual é a medida da base do quadrado? E a altura?</p><p>III) Que relação pode ser estabelecida entre a medida da base, a altura e a</p><p>área do quadrado? Explique.</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 15</p><p>D) Observe o retângulo formado pelas cerâ-</p><p>micas abaixo:</p><p>I) Qual é a área do retângulo?</p><p>II) Qual é a medida da base do retângu-</p><p>lo? E a altura?</p><p>III) Que relação pode ser estabelecida</p><p>entre a medida da base, a altura</p><p>e a</p><p>área do retângulo? A relação encontra-</p><p>da na área do quadrado pode auxiliar?</p><p>Explique.</p><p>E) Observe o triângulo formado pelas cerâ-</p><p>micas abaixo:</p><p>I) Qual é a área do triângulo?</p><p>II) Qual é a medida da base do triângulo? E a altura?</p><p>III) Que relação pode ser estabelecida entre a medida da base, a altura e a área do triângulo? A relação encontrada na</p><p>área do quadrado pode auxiliar? Explique.</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) Tabela preenchida:</p><p>Polígono</p><p>Quantidade</p><p>de peças de</p><p>cerâmica</p><p>Cor da cerâmica</p><p>Área de</p><p>cada pedaço</p><p>ou peça</p><p>Área total</p><p>Triângulo 1</p><p>2 peça Preto 0,5 m² 2 x 0,5 = 1,0 m²</p><p>Quadrado</p><p>4</p><p>9</p><p>9</p><p>Cinza escuro</p><p>Cinza texturizado</p><p>Cinza texturizado</p><p>1,0 m²</p><p>1,0 m²</p><p>1,0 m²</p><p>4 x 1,0 = 4,0 m²</p><p>9 x 1,0 = 9,0 m²</p><p>9 x 1,0 = 9,0 m²</p><p>4,0 + 9,0 + 9,0 = 22,0 m²</p><p>Retângulo</p><p>2</p><p>18</p><p>Branco listrado</p><p>Cinza claro</p><p>1,0 m²</p><p>1,0 m²</p><p>2 x 1,0 = 2,0 m²</p><p>18,0 x 1,0 = 18,0 m²</p><p>2,0 + 18,0 = 20,0 m²</p><p>Trapézio 6 + 4 x 1</p><p>2 = 8 Branco</p><p>1,0 m²</p><p>e 0,5 m²</p><p>6 x 1,0 + 4 x 0,5 = 8,0 m²</p><p>B) Área total das cerâmicas: 51,0 m². Não, pois o retângulo listrado está</p><p>fora do chalé.</p><p>C) I) 9 m²</p><p>II) base (b): 3 m; altura (h): 3 m.</p><p>III) 3 x 3 = 9 m². A = b x h.</p><p>D) I) 18 m²</p><p>II) base (b): 6 m; altura (h): 3 m.</p><p>III) 6 x 3 = 18 m². A = b x h.</p><p>E) I) 2 m²</p><p>II) base (b): 2 m; altura (h): 2 m.</p><p>III) (2 x 2) : 2 = 2 m². A = (b x h)</p><p>2 .</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>16</p><p>F) I) 8 m²</p><p>II) Base maior (B): 6 m; base</p><p>menor (b): 2 m; altura (h): 2 m.</p><p>III) (6 + 2) x 2</p><p>2 = 8 m².</p><p>A = (B + b) x h</p><p>2 .</p><p>G) I) Paralelogramo.</p><p>II) Sim, basta completar o triân-</p><p>gulo que falta como pintado</p><p>na figura. O triângulo escuro</p><p>foi retirado do lado direito</p><p>da figura e colocado no lado</p><p>esquerdo.</p><p>III) A área do trapézio é metade</p><p>da área do retângulo de base</p><p>8 (B + b) e altura 2 (h). Ou seja,</p><p>A = (B + b) x h</p><p>2 .</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>F) Observe o trapézio formado pelas cerâmicas abaixo:</p><p>I) Qual é a área do trapézio?</p><p>II) Qual é a medida da base maior do trapézio? Qual é a medida da base</p><p>menor do trapézio? E a altura?</p><p>III) Que relação pode ser estabelecida entre as medidas das bases, a altura</p><p>e a área do trapézio? A relação encontrada na área do quadrado e do</p><p>triângulo pode auxiliar? Explique.</p><p>G) Um dos operários percebeu que poderia encontrar uma relação para a área</p><p>de qualquer trapézio ao realizar a seguinte composição:</p><p>I) Qual é o polígono formado pela composição acima?</p><p>II) É possível encontrar uma relação para a área deste polígono a partir da</p><p>área de um retângulo? Faça uma composição pintando a malha abaixo e</p><p>explique.</p><p>III) A partir da composição realizada acima, que relação pode ser estabele-</p><p>cida entre as bases, a altura e a área do trapézio?</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 17</p><p>Atividade 6</p><p>O objetivo dessa atividade é sinteti-</p><p>zar as principais características dos</p><p>polígonos usados nas atividades</p><p>relacionadas ao cálculo de suas</p><p>áreas e transformações de suas uni-</p><p>dades de medida. É importante que</p><p>você, professor, estimule os alunos</p><p>a justificarem as suas respostas</p><p>em cada item. A argumentação,</p><p>em Matemática, é uma importante</p><p>ferramenta para a aprendizagem</p><p>conceitual, criando-se exemplos e</p><p>contraexemplos sobre o assunto.</p><p>Respostas esperadas:</p><p>V – F – F – V – F</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Você acabou de deduzir expressões algébricas para calcular a área de alguns polígonos. O quadro abaixo</p><p>traz uma síntese de suas descobertas:</p><p>QUADRADO</p><p>A = l²</p><p>l</p><p>l</p><p>RETÂNGULO</p><p>A = b x h</p><p>b</p><p>h</p><p>TRIÂNGULO</p><p>A = b . h</p><p>2</p><p>b</p><p>h</p><p>PARALELOGRAMO</p><p>A = b x h</p><p>b</p><p>h</p><p>A = (B + b) . h</p><p>2</p><p>TRAPÉZIO</p><p>b</p><p>h</p><p>Independentemente das medidas dos lados dos polígonos, para calcular a sua área podemos usar as expressões acima.</p><p>Cá entre</p><p>NÓS</p><p>Atividade 6</p><p>De acordo com o que você verificou nas atividades 3 e 5 e nas expressões</p><p>algébricas apresentadas no quadro acima, julgue as afirmações em verdadeiras</p><p>(V) ou falsas (F):</p><p>( ) Um quadrado de área 100 m² possui a medida dos lados igual a 1 000 cm.</p><p>( ) Um retângulo de base (b) igual a 15 m e altura (h) igual a 30 m, possui área</p><p>igual a 4 500 dm².</p><p>( ) A área de um triângulo é igual ao dobro da área de um retângulo.</p><p>( ) Em um trapézio de área igual a 256 km² e altura 100 m, a soma das bases é</p><p>igual a 5 120 000 m.</p><p>( ) A altura de um paralelogramo coincide com um de seus lados, assim como</p><p>em um retângulo.</p><p>18</p><p>Atividade 7</p><p>A atividade 7 tem o objetivo de</p><p>explorar a resolução de problemas</p><p>que envolvem o cálculo de áreas de</p><p>superfícies de prismas, em situa-</p><p>ções reais, bem como o cálculo do</p><p>gasto de material para forrações</p><p>de objetos desse formato. Inicia-se</p><p>a atividade pedindo ao aluno para</p><p>representar o objeto através de um</p><p>desenho. O esboço da situação</p><p>auxilia a compreensão do problema</p><p>e a criação de uma estratégia para</p><p>resolução dos itens posteriores. É</p><p>importante discutir com os alunos</p><p>que as bases não levarão revesti-</p><p>mento. No item D, professor, você</p><p>pode refletir sobre a importância</p><p>do orçamento e do planejamento</p><p>para se obter o mesmo resultado</p><p>com o menor custo. Além disso, é</p><p>uma oportunidade para os alunos</p><p>compreenderem situações que</p><p>envolvem a razão entre grandezas</p><p>de natureza distintas, por exemplo,</p><p>valor monetário e área.</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) Possível resposta:</p><p>12,4 m</p><p>5 m</p><p>4 m</p><p>B) Serão revestidas as 4 faces</p><p>retangulares ao redor da torre.</p><p>Duas faces com dimensões</p><p>5,0 m x 12,4 m e área igual a</p><p>62 m² cada uma e duas faces</p><p>com dimensões 4,0 m x 12,4 m</p><p>e área igual a 49,6 m² cada uma.</p><p>Área total igual a 223,2 m².</p><p>Área Total = (2 x 62) + (2 x 49,6)</p><p>AT = 124 + 99,2 = 223,2 m²</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Atividade 7</p><p>A caixa d’água do Hotel Fazenda Estância será colocada no alto de uma torre</p><p>que possui o formato de um paralelepípedo e tem 5,0 m de largura, 4,0 m de</p><p>profundidade e 12,4 m de altura.</p><p>A) Represente a torre através de um desenho indicando as medidas.</p><p>B) Calcule a área da superfície lateral da torre a ser revestida por piso cerâmico.</p><p>C) Silvano, decidiu fazer uma pesquisa de preços antes de iniciar o revestimen-</p><p>to da torre da caixa d’água. A tabela abaixo mostra as informações que ele</p><p>coletou na loja de materiais de construção:</p><p>Modelo do piso</p><p>cerâmico</p><p>Dimensões</p><p>(em metros)</p><p>Preço da caixa</p><p>com 16 peças (R$)</p><p>A 1,0 x 1,0 36,00</p><p>B 1,5 x 1,0 40,00</p><p>C 1,5 x 0,5 34,00</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 19</p><p>I) Calcule a área de uma peça cerâmica do modelo A, do</p><p>modelo B e do modelo C.</p><p>II) Calcule a área total que pode ser coberta por 16 peças</p><p>do modelo A (uma caixa). Em seguida, faça o mesmo</p><p>cálculo para os modelos B e C.</p><p>III) Silvano precisa de ajuda para preencher a tabela abaixo</p><p>e decidir pelo modelo que possui o metro quadrado</p><p>mais barato:</p><p>Modelo do piso</p><p>cerâmico</p><p>Preço da caixa com</p><p>16 peças (R$) Área de uma peça Área de 16 peças Preço do metro</p><p>quadrado (R$ / m²)</p><p>A 36,00</p><p>B 40,00</p><p>C 34,00</p><p>Qual modelo possui o metro quadrado mais barato?</p><p>IV) Silvano irá comprar caixas do modelo mais barato para revestir a super-</p><p>fície da torre. Quantas caixas ele vai precisar? Quantos metros quadra-</p><p>dos no total?</p><p>C) I) Modelo A: 1,0 m²; Modelo B: 1,5 m²;</p><p>Modelo C: 0,75 m².</p><p>II) Caixa do modelo A: 16 x 1,0 m² = 16 m²;</p><p>Caixa do modelo B: 16 x 1,5 m² = 24 m²;</p><p>Caixa do modelo C: 16 x 0,75 m² = 12 m².</p><p>III) Para encontrar o preço do metro quadrado, basta</p><p>dividir o preço da caixa pela área correspondente</p><p>a 16 peças cerâmicas.</p><p>Modelo</p><p>do piso</p><p>cerâmico</p><p>Preço da</p><p>caixa com</p><p>16 peças</p><p>(R$)</p><p>Área</p><p>de uma</p><p>peça</p><p>Área</p><p>de 16</p><p>peças</p><p>Preço do</p><p>metro</p><p>quadrado</p><p>(R$ / m²)</p><p>A 36,00 1,0 m² 16 m² 36,00 : 16 = 2,25</p><p>B 40,00 1,5 m² 24 m² 40,00 : 24 = 1,66</p><p>C 34,00 0,75 m² 12 m² 34,00 : 12 = 2,83</p><p>O metro quadrado mais barato é do piso cerâmi-</p><p>co de modelo B.</p><p>IV) Silvano vai precisar de 10</p><p>caixas, totalizando uma área</p><p>de 10 x 24 m² = 240 m².</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>20</p><p>Atividade 8</p><p>A imagem ao lado mostra uma fotografia de um outro</p><p>chalé projetado por Silvano. Sabe-se que o telhado cobre uma</p><p>região</p><p>de 8,0 metros de largura por 8,0 metros de profundida-</p><p>de. Além disso, o chalé tem altura igual a 6,0 metros. Silvano</p><p>deseja calcular quantas folhas de telha serão necessárias para</p><p>cobrir todo o telhado do chalé.</p><p>A) Faça um desenho indicando as medidas citadas, incluindo a altura do chalé.</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?a39b2b</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>V) Sim, sobrarão 16,8 m², o equi-</p><p>valente a 11,2 peças. Como</p><p>a loja vende peças inteiras é</p><p>necessário o arredondamento</p><p>para a unidade acima, ou seja,</p><p>aproximadamente 12 peças.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>V) Irá sobrar alguma cerâmica? Quantas cerâmicas? Que área possuem</p><p>juntas?</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 21</p><p>B) Calcule o comprimento das linhas laterais do telhado.</p><p>C) Calcule a área do telhado, sabendo-se que a profundidade do telhado</p><p>é a mesma que a profundidade do chalé.</p><p>D) Uma telha tem medidas conforme a figura abaixo.</p><p>180 cm</p><p>50 cm</p><p>Calcule quantas telhas serão necessárias para cobrir todo o telhado</p><p>do chalé.</p><p>Atividade 8</p><p>A atividade 8 tem o objetivo de explorar a</p><p>resolução de problemas que envolvem o</p><p>cálculo de áreas de prismas, em situações</p><p>reais, bem como o cálculo do gasto de mate-</p><p>rial para forrações de objetos desse formato.</p><p>Inicia-se a atividade pedindo ao aluno para</p><p>representar o objeto através de um desenho.</p><p>O esboço da situação auxilia a compreensão</p><p>do problema e a criação de uma estratégia</p><p>para resolução dos itens posteriores. É</p><p>importante discutir com os alunos que as</p><p>bases não levarão revestimento, pois trata-se</p><p>das partes de acesso ao chalé (frente e trás).</p><p>No item E, professor, você pode refletir sobre</p><p>a importância do orçamento e do planeja-</p><p>mento para se obter o mesmo resultado com</p><p>o menor custo. Além disso, é uma opor-</p><p>tunidade para os alunos compreenderem</p><p>situações que envolvem porcentagem.</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) Possível resposta:</p><p>4 m</p><p>8 m</p><p>8 m</p><p>x</p><p>6 m</p><p>B) Para calcular o comprimento das linhas</p><p>laterais do telhado será necessário usar</p><p>o teorema de Pitágoras aplicado ao triân-</p><p>gulo retângulo de catetos 6 m e 4 m com</p><p>hipotenusa x.</p><p>Esse comprimento será igual a 2 13 m,</p><p>aproximadamente 7,2 m.</p><p>C) Uma lateral do telhado tem o formato retan-</p><p>gular com 7,2 metros de comprimento por 8</p><p>metros de profundidade. A área da lateral é</p><p>igual a 7,2 x 8 = 57,6 m². Como o telhado do</p><p>chalé possui duas laterais, temos que a área</p><p>total do telhado é igual a 115,2 m².</p><p>D) Uma telha tem 0,50 m por 1,80 m, ou seja,</p><p>0,50 x 1,80 = 0,90 m² de área. Para des-</p><p>cobrir quantas telhas serão necessárias,</p><p>pode-se dividir a área total do telhado pela</p><p>área de uma telha, isto é, 115,2 : 0,90.</p><p>Total 128 telhas.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>22</p><p>E) 40 x 128 = 5 120. Silvano irá pagar</p><p>R$ 5 120,00.</p><p>F) 5% de 40 = 2 reais. Silvano pagará</p><p>R$ 38,00 por unidade com desconto.</p><p>G) 38 x 256 = 9 728. Silvano irá pagar</p><p>R$ 9 728,00 para cobrir os telhados</p><p>dos dois chalés.</p><p>H) I) Na figura tem-se que w indica a</p><p>medida do cateto do triângulo</p><p>retângulo. O trapézio usado é o</p><p>trapézio retângulo de base maior</p><p>4 e base menor w.</p><p>A partir das informações dadas</p><p>no enunciado a respeito das fa-</p><p>chadas de cada andar, temos que</p><p>a área do trapézio é o triplo da</p><p>área do triângulo. Dessa forma:</p><p>A1 = Área do trapézio – 1º andar</p><p>A2 = Área do trapézio – 2º andar</p><p>A1 = (4 + w) . 3</p><p>2 e A2 = w . 3</p><p>2</p><p>A1 = 3A2</p><p>(4 + w) . 3</p><p>2 = 3 ( w . 3</p><p>2 )</p><p>(4 + w) . 3</p><p>2 = 3</p><p>2 . (w . 3)</p><p>4 + w = w . 3</p><p>w = 2 m</p><p>II) Para calcular o valor de y, usa-se</p><p>o teorema de Pitágoras:</p><p>y² = 3² + w²</p><p>y² = 3² +2²</p><p>y² = 13</p><p>y = 13</p><p>Como o comprimento total do</p><p>telhado é igual a 2 13, tem-se</p><p>que o valor de z = 13 m.</p><p>III) Área do piso do 1º andar:</p><p>8 x 8 = 64 m².</p><p>Área do piso do 2º andar:</p><p>4 x 8 = 32 m².</p><p>Área total do piso do chalé:</p><p>64 + 32 = 96 m².</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>E) Silvano foi a loja de materiais de construção e viu que cada telha custa</p><p>R$ 40,00. Quanto Silvano irá pagar por todas as telhas necessárias?</p><p>F) Caso Silvano compre telhas suficientes para construir dois chalés, rece-</p><p>berá um desconto de 5% em cada unidade. Calcule o valor, em reais, que</p><p>Silvano pagará em cada telha com desconto.</p><p>G) Calcule o valor total para cobrir o telhado de dois chalés.</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 23</p><p>H) Observe o desenho abaixo feito por Silvano. Sabe-se que cada andar tem altura igual a 3,0 metros e a fachada do primei-</p><p>ro andar possui o triplo da área da fachada do segundo andar.</p><p>4 m</p><p>8 m</p><p>8 m</p><p>w</p><p>y</p><p>z3</p><p>3</p><p>I) Calcule o valor da medida w indicada no desenho feito por Silvano.</p><p>II) Calcule os valores de y e z.</p><p>III) Calcule a área do piso do 1º andar, a área do piso do 2º andar e a área total dos pisos do chalé.</p><p>24</p><p>Atividade 9</p><p>Uma área do Hotel Fazenda Estância foi reservada para colônia de férias para crianças. A equipe responsável pela mon-</p><p>tagem da colônia precisa comprar tecidos impermeáveis para montagem das cabanas conforme os modelos abaixo:</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?0442d4</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>120 cm 120 cm</p><p>16</p><p>0</p><p>cm</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?2673d3</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>85</p><p>c</p><p>m 13</p><p>5</p><p>cm</p><p>105 cm</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?27abf0</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>105 cm</p><p>16</p><p>0</p><p>cm</p><p>105 cm</p><p>A tabela mostra as medidas de cada um dos modelos:</p><p>Modelo da Cabana Altura (em cm) Largura</p><p>(em cm)</p><p>Profundidade</p><p>(em cm)</p><p>Cone 160 105 105</p><p>Pirâmide de Base</p><p>Quadrada 160 120 120</p><p>Cilindro e cone 85 (parte cilíndrica)</p><p>50 (parte cônica) 105 105</p><p>Sabendo-se que a área de um círculo pode ser calculada pela expressão p . r².</p><p>Use p = 3,14.</p><p>A) Calcule a área total de tecido necessário para forrar a cabana com formato de</p><p>cone, incluindo o chão.</p><p>Atividade 9</p><p>A atividade 9 é proposta como</p><p>desafio aos alunos. É importante que</p><p>você, professor, estimule os alunos</p><p>a esboçarem desenhos dos modelos</p><p>das cabanas com as indicações das</p><p>medidas conhecidas e as medidas</p><p>desconhecidas. Assim, os alunos</p><p>terão maior compreensão da situa-</p><p>ção e de como estabelecer um plano</p><p>para resolução. É recomendável que</p><p>a calculadora seja disponibilizada</p><p>para a resolução dessa atividade.</p><p>O uso da calculadora auxilia na</p><p>resolução dos cálculos e focaliza os</p><p>alunos na compreensão conceitual</p><p>do problema de cálculo da área.</p><p>Orientação ao</p><p>PROFESSOR</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 25</p><p>Respostas esperadas:</p><p>A) Para calcular a</p><p>área lateral do</p><p>cone é necessário</p><p>encontrar a medi-</p><p>da g indicada na</p><p>figura ao lado:</p><p>Como o raio é perpendicular à altura, tem-se um triângulo retângulo. Pelo teore-</p><p>ma de Pitágoras, desenvolve-se:</p><p>g² = (52,5)² + (160)² g = 28 356,25 g 168,4 cm</p><p>A área lateral do cone é a área do setor circular destacado na figura. É dada por:</p><p>AL = p . R . g AL = (3,14) . (52,5) . (168,4) AL = 27 760,74 cm² ou 2,776074 m².</p><p>A área da base da cabana é dada por:</p><p>AB = p . R² AB = (3,14) . (52,5)² AB = 8 654,625 cm² ou 0,8654625 m².</p><p>A área total é a soma das duas áreas encontradas:</p><p>AT = AL + AB = 27 760,74 + 8 654,625 AT = 36 415,365 cm² ou aproximadamen-</p><p>te 3,64 m².</p><p>B) Para calcular a área lateral da pirâmi-</p><p>de é necessário encontrar a medida x</p><p>indicada na figura ao lado:</p><p>Pelo teorema de Pitágoras:</p><p>x² = 160² + 60² x 170,9 cm</p><p>A área lateral é dada por 4 vezes a</p><p>área do triângulo que compõe a face lateral da pirâmide:</p><p>AL = 4 . AT = 4 . b . h</p><p>2 AL = 2 . b . h = 2 . (120) . (170,9) = 41 016 cm² ou 4,1016 m².</p><p>A área da base da pirâmide é a área do quadrado: AB = b . h = 120² = 14 400 cm²</p><p>ou 1,44 m².</p><p>A área total da pirâmide de base quadrada é a soma da área lateral com a área da</p><p>base: AT = AL + AB = 41 016 + 14 400 = 55 416 cm² ou aproximadamente 5,54 m².</p><p>C) Para calcular a área dessa cabana, precisa-se separar em duas etapas: cálculo da</p><p>área do cilindro e cálculo da superfície lateral do cone que forma o topo da cabana.</p><p>Área lateral do cilindro: ALC = 2 . p . R . h = 2 . (3,14) . (52,5) . (85) = 28 024,5 cm²</p><p>ou 2,80245</p>m².
 Área da base do cilindro: AB = p . R² = (3,14) . (52,5)² = 8 654,625 cm² ou 
0,8654625 m².
 Área lateral do cone:
 g² = (52,5)² + (50)² g = 72,5 cm
 AL = p . R . g AL = (3,14) . (52,5) . (72,5) = 11 951,625 cm² ou 1,1951625 m².
 Área total da cabana: AT = ALC + AL + AB = 28 024,5 + 8 654,625 + 11 951,625 
AT = 48 630,75 cm² ou aproximadamente 4,86 m².
52,5
g
g
g 2pr
160
60
x
160
Orientação ao
PROFESSOR
B) Calcule a área total de tecido 
necessário para forrar a cabana 
com formato de pirâmide de base 
quadrada, incluindo o chão.
C) Calcule a área total de tecido 
necessário para forrar a cabana 
com formato de cilindro e cone, 
incluindo o chão.