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<p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 1</p><p>Ponto de</p><p>PARTIDA</p><p>As formas geométricas estão presentes em tudo o que construímos nos espaços urbano e rural ou observamos na</p><p>natureza. Chamamos de formas geométricas planas as figuras que possuem toda a sua superfície interna em um mesmo</p><p>plano. Observe as imagens abaixo:</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?0d8269</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>A)</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?9c89e9</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>B)</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?9f3875</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>C)</p><p>MAT Sequência Didática do Aluno</p><p>Ensino Médio</p><p>Geometria e Medidas</p><p>Área de uma superfície</p><p>EM.10.MA.18.4.27.A-2320</p><p>2</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?beb946</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>D) E)</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?89415d</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>Que figuras planas você pode identificar em cada uma das imagens? Compartilhe com os seus colegas.</p><p>A) Pavimento:</p><p>B) Museu de Arte de São Paulo:</p><p>C) Planta baixa:</p><p>D) Planta da Fachada:</p><p>E) Entrada do Museu do Louvre:</p><p>Nesta Sequência Didática, vamos explorar situações envolvendo o conceito de área de figuras planas e algumas possí-</p><p>veis aplicações na construção civil.</p><p>Atividade 1</p><p>Silvano é arquiteto e urbanista. Para facilitar os seus projetos, ele costuma fazer um</p><p>esboço da planta na malha quadriculada, onde cada quadrado possui 1 cm de lado. Veja:</p><p>A linha em negrito indica o perímetro de um chalé do Hotel Fazenda Estância que</p><p>será projetado por Silvano.</p><p>A) Quantos quadrados aparecem na região interna da figura?</p><p>B) Qual a área de um quadrado com 1 cm de lado?</p><p>C) Qual é a área interna do chalé esboçado na malha quadriculada?</p><p>D) Sabe-se que o chalé ocupa a parte destacada na malha quadriculada e que o terreno ocupa toda a malha. Se 1 cm na</p><p>malha corresponder a 1 m no terreno, qual é a área do terreno? Qual é a área do chalé?</p><p>1 cm</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 3</p><p>E) Você saberia dizer com suas próprias palavras o que significa área? Compartilhe sua opinião com a sua turma.</p><p>A cada região do plano é associado um número real não nulo chamado área. A área, por-</p><p>tanto, é a medida de uma superfície. Existem diversas unidades de medida de área, como</p><p>aquelas pertencentes ao sistema métrico decimal: o centímetro quadrado (cm²), metro</p><p>quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²), bem como unidades de medida agrária: hectare e o alqueire.</p><p>-></p><p>Fique sabendo</p><p>QUE...</p><p>Atividade 2</p><p>Ao lado da recepção, Silvano está projetando a construção de um salão de jogos</p><p>no formato de um quadrado, conforme indicado na figura ao lado.</p><p>A) Se 1 cm na malha corresponde a 1 m na construção, qual será a medida da área do salão de jogos?</p><p>B) A área que você encontrou tem medida igual ou diferente da medida da área do chalé? Explique.</p><p>C) Qual é a medida do perímetro do salão de jogos? E do chalé da atividade 1? O que pode ser concluído a partir dessas</p><p>medidas?</p><p>A superfície delimitada tanto pelo perímetro do chalé quanto pelo perímetro do salão de jogos</p><p>é chamada de região poligonal. Em outras palavras, uma região poligonal é uma região plana e</p><p>fechada, cercada por segmentos de reta. As figuras abaixo são exemplos de regiões poligonais.</p><p>-></p><p>Fique sabendo</p><p>QUE...</p><p>1 cm</p><p>4</p><p>D) Desenhe na malha quadriculada abaixo uma região poligonal que represente o salão de festas do Hotel Fazenda Estância.</p><p>O salão de festas precisa ter uma área igual a 900 m².</p><p>Qual é a medida do perímetro do salão de festas?</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 5</p><p>E) Desenhe na malha quadriculada abaixo uma região poligonal que represente a recepção do Hotel Fazenda Estância.</p><p>A recepção precisa ter um perímetro igual a 28 m.</p><p>Qual é a medida da área da recepção?</p><p>6</p><p>F) Na malha quadriculada abaixo, desenhe duas regiões poligonais que possuam mesma área e perímetros diferentes.</p><p>Compartilhe com os colegas a solução que você encontrou.</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 7</p><p>G) Na malha quadriculada abaixo, desenhe duas regiões poligonais que possuam mesmo perímetro e áreas diferentes.</p><p>Compartilhe com os colegas a solução que você encontrou.</p><p>8</p><p>Atividade 3</p><p>Silvano entregou o projeto do chalé ao mestre de obras da construção do Hotel Fazenda Estância. O mestre de obras dese-</p><p>ja descobrir a escala utilizada por Silvano no desenho do chalé. Ele sabe que 1 cm no projeto equivale a 1 m na construção.</p><p>A) Ajude-o a descobrir a escala utilizada.</p><p>B) Qual é o perímetro do chalé? Explique o que você entende por perímetro.</p><p>C) Quantas vezes o perímetro real é maior que o perímetro do desenho?</p><p>D) Se 1 m equivale a 100 cm, então 1 m² equivale a quantos centímetros quadrados? Esboce um desenho, se necessário.</p><p>Quantas vezes a área real é maior que a área do desenho?</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 9</p><p>E) Observe o quadrado destacado na malha quadriculada abaixo.</p><p>Faça os desenhos na malha dobrando a medida do lado do quadrado, triplicando e assim por diante até quando possí-</p><p>vel. Em seguida, preencha a tabela:</p><p>Medida do lado</p><p>do quadrado Perímetro do quadrado Área do quadrado</p><p>1 4 = 4 x 1 1 = 1²</p><p>2 8 = 4 x 2 4 = 2²</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>10</p><p>100</p><p>10</p><p>Complete as sentenças abaixo:</p><p>I) Quando o lado do quadrado é multiplicado por 100, o perímetro fica multiplicado por .</p><p>II) Quando o lado do quadrado é multiplicado por 100, a área fica multiplicada por .</p><p>F) Observe a tabela abaixo com as relações entre as unidades de medida de comprimento no sistema métrico decimal:</p><p>Quilômetro</p><p>(km)</p><p>Hectômetro</p><p>(hm)</p><p>Decâmetro</p><p>(dam)</p><p>Metro</p><p>(m)</p><p>Decímetro</p><p>(dm)</p><p>Centímetro</p><p>(cm)</p><p>Milímetro</p><p>(mm)</p><p>0,001 0,01 0,1 1 m 10 100 1 000</p><p>Complete a tabela abaixo relacionando as unidades de medida de área.</p><p>Quilômetro</p><p>quadrado</p><p>(km²)</p><p>Hectômetro</p><p>quadrado</p><p>(hm²)</p><p>Decâmetro</p><p>quadrado</p><p>(dam²)</p><p>Metro</p><p>quadrado</p><p>(m²)</p><p>Decímetro</p><p>quadrado</p><p>(dm²)</p><p>Centímetro</p><p>quadrado</p><p>(cm²)</p><p>Milímetro</p><p>quadrado</p><p>(mm²)</p><p>1 m²</p><p>Atividade 4</p><p>Uma piscina infantil será construída na área molhada do Hotel Fazenda Estância.</p><p>Silvano irá apresentar o projeto à equipe que irá construí-la.</p><p>A) Como a equipe pode determinar a área do fundo da piscina? Explique.</p><p>B) O valor determinado é exato ou aproximado? Explique.</p><p>C) Estime a área do fundo da piscina sabendo que cada centímetro na malha equivale a 1,5 m na realidade.</p><p>D) Qual é a escala utilizada no projeto da piscina?</p><p>1 cm</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 11</p><p>Atividade 5</p><p>O piso interior e da entrada do chalé será revestido com cerâmicas</p><p>de diferentes cores, texturas e padrões conforme a figura ao lado.</p><p>Cada peça cerâmica possui área igual a 1 m² e as peças podem ser</p><p>cortadas. Para que a equipe de obras se organize melhor, Silvano entregou</p><p>uma tabela a ser preenchida.</p><p>A) Complete a tabela:</p><p>Polígono Quantidade de</p><p>peças de cerâmica Cor da cerâmica Área de cada</p><p>pedaço ou peça Área total</p><p>Triângulo 1</p><p>2 peça Preto 0,5 m² 2 x 0,5 = 1,0 m²</p><p>Quadrado</p><p>Retângulo</p><p>Trapézio</p><p>B) Qual a soma das áreas das cerâmicas encontrada? É igual a área total do chalé?</p><p>C) Observe o quadrado formado pelas cerâmicas abaixo:</p><p>I) Qual é a área do quadrado?</p><p>II) Qual é a medida da base do quadrado? E a altura?</p><p>III) Que relação pode ser estabelecida entre a medida da base, a altura e a área do quadrado? Explique.</p><p>1 cm</p><p>Entrada do chalé</p><p>Peça de cerâmica</p><p>quadrada de 1 m²</p><p>de área</p><p>12</p><p>D) Observe o retângulo formado pelas cerâmicas abaixo:</p><p>I) Qual é a área do retângulo?</p><p>II) Qual é a medida da base do retângulo? E a altura?</p><p>III) Que relação pode ser estabelecida entre a medida da base, a altura e a área do retângulo? A relação encontrada na</p><p>área do quadrado pode auxiliar? Explique.</p><p>E) Observe o triângulo formado pelas cerâmicas abaixo:</p><p>I) Qual é a área do triângulo?</p><p>II) Qual é a medida da base do triângulo? E a altura?</p><p>III) Que relação pode ser estabelecida entre a medida da base, a altura</p><p>e a área do triângulo? A relação encontrada na</p><p>área do quadrado pode auxiliar? Explique.</p><p>F) Observe o trapézio formado pelas cerâmicas abaixo:</p><p>I) Qual é a área do trapézio?</p><p>II) Qual é a medida da base maior do trapézio? Qual é a medida da base menor do trapézio? E a altura?</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 13</p><p>III) Que relação pode ser estabelecida entre as medidas das bases, a altura e a área do trapézio? A relação encontrada</p><p>na área do quadrado e do triângulo pode auxiliar? Explique.</p><p>G) Um dos operários percebeu que poderia encontrar uma relação para a área de qualquer trapézio ao realizar a seguinte</p><p>composição:</p><p>I) Qual é o polígono formado pela composição acima?</p><p>II) É possível encontrar uma relação para a área deste polígono a partir da área de um retângulo? Faça uma composi-</p><p>ção pintando a malha abaixo e explique.</p><p>III) A partir da composição realizada acima, que relação pode ser estabelecida entre as bases, a altura e a área do</p><p>trapézio?</p><p>Você acabou de deduzir expressões algébricas para calcular a área de alguns polígonos. O quadro abaixo</p><p>traz uma síntese de suas descobertas:</p><p>QUADRADO</p><p>A = l²</p><p>l</p><p>l</p><p>RETÂNGULO</p><p>A = b x h</p><p>b</p><p>h</p><p>TRIÂNGULO</p><p>A = b . h</p><p>2</p><p>b</p><p>h</p><p>PARALELOGRAMO</p><p>A = b x h</p><p>b</p><p>h</p><p>A = (B + b) . h</p><p>2</p><p>TRAPÉZIO</p><p>b</p><p>h</p><p>Independentemente das medidas dos lados dos polígonos, para calcular a sua área podemos usar as expressões acima.</p><p>Cá entre</p><p>NÓS</p><p>14</p><p>Atividade 6</p><p>De acordo com o que você verificou nas atividades 3 e 5 e nas expressões algébricas apresentadas no quadro acima,</p><p>julgue as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F):</p><p>( ) Um quadrado de área 100 m² possui a medida dos lados igual a 1 000 cm.</p><p>( ) Um retângulo de base (b) igual a 15 m e altura (h) igual a 30 m, possui área igual a 4 500 dm².</p><p>( ) A área de um triângulo é igual ao dobro da área de um retângulo.</p><p>( ) Em um trapézio de área igual a 256 km² e altura 100 m, a soma das bases é igual a 5 120 000 m.</p><p>( ) A altura de um paralelogramo coincide com um de seus lados, assim como em um retângulo.</p><p>Atividade 7</p><p>A caixa d’água do Hotel Fazenda Estância será colocada no alto de uma torre que possui o formato de um paralelepípe-</p><p>do e tem 5,0 m de largura, 4,0 m de profundidade e 12,4 m de altura.</p><p>A) Represente a torre através de um desenho indicando as medidas.</p><p>B) Calcule a área da superfície lateral da torre a ser revestida por piso cerâmico.</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 15</p><p>C) Silvano, decidiu fazer uma pesquisa de preços antes de iniciar o revestimento da torre da caixa d’água. A tabela abaixo</p><p>mostra as informações que ele coletou na loja de materiais de construção:</p><p>Modelo do piso</p><p>cerâmico</p><p>Dimensões</p><p>(em metros)</p><p>Preço da caixa</p><p>com 16 peças (R$)</p><p>A 1,0 x 1,0 36,00</p><p>B 1,5 x 1,0 40,00</p><p>C 1,5 x 0,5 34,00</p><p>I) Calcule a área de uma peça cerâmica do modelo A, do modelo B e do modelo C.</p><p>II) Calcule a área total que pode ser coberta por 16 peças do modelo A (uma caixa). Em seguida, faça o mesmo cálcu-</p><p>lo para os modelos B e C.</p><p>III) Silvano precisa de ajuda para preencher a tabela abaixo e decidir pelo modelo que possui o metro quadrado mais</p><p>barato:</p><p>Modelo do piso</p><p>cerâmico</p><p>Preço da caixa com</p><p>16 peças (R$) Área de uma peça Área de 16 peças Preço do metro</p><p>quadrado (R$ / m²)</p><p>A 36,00</p><p>B 40,00</p><p>C 34,00</p><p>Qual modelo possui o metro quadrado mais barato?</p><p>16</p><p>IV) Silvano irá comprar caixas do modelo mais barato para revestir a superfície da torre. Quantas caixas ele vai preci-</p><p>sar? Quantos metros quadrados no total?</p><p>V) Irá sobrar alguma cerâmica? Quantas cerâmicas? Que área possuem juntas?</p><p>Atividade 8</p><p>A imagem ao lado mostra uma fotografia de um outro</p><p>chalé projetado por Silvano. Sabe-se que o telhado cobre uma</p><p>região de 8,0 metros de largura por 8,0 metros de profundida-</p><p>de. Além disso, o chalé tem altura igual a 6,0 metros. Silvano</p><p>deseja calcular quantas folhas de telha serão necessárias para</p><p>cobrir todo o telhado do chalé.</p><p>A) Faça um desenho indicando as medidas citadas, incluindo a altura do chalé.</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?a39b2b</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 17</p><p>B) Calcule o comprimento das linhas laterais do telhado.</p><p>C) Calcule a área do telhado, sabendo-se que a profundidade do telhado é a mesma que a profundidade do chalé.</p><p>D) Uma telha tem medidas conforme a figura abaixo.</p><p>180 cm</p><p>50 cm</p><p>Calcule quantas telhas serão necessárias para cobrir todo o telhado do chalé.</p><p>E) Silvano foi a loja de materiais de construção e viu que cada telha custa R$ 40,00. Quanto Silvano irá pagar por todas as</p><p>telhas necessárias?</p><p>18</p><p>F) Caso Silvano compre telhas suficientes para construir dois chalés, receberá um desconto de 5% em cada unidade.</p><p>Calcule o valor, em reais, que Silvano pagará em cada telha com desconto.</p><p>G) Calcule o valor total para cobrir o telhado de dois chalés.</p><p>H) Observe o desenho abaixo feito por Silvano. Sabe-se que cada andar tem altura igual a 3,0 metros e a fachada do primei-</p><p>ro andar possui o triplo da área da fachada do segundo andar.</p><p>4 m</p><p>8 m</p><p>8 m</p><p>w</p><p>y</p><p>z3</p><p>3</p><p>I) Calcule o valor da medida w indicada no desenho feito por Silvano.</p><p>II) Calcule os valores de y e z.</p><p>Sequência Didática | Matemática | Geometria e Medidas | Área de uma superfície 19</p><p>III) Calcule a área do piso do 1º andar, a área do piso do 2º andar e a área total dos pisos do chalé.</p><p>Atividade 9</p><p>Uma área do Hotel Fazenda Estância foi reservada para colônia de férias para crianças. A equipe responsável pela mon-</p><p>tagem da colônia precisa comprar tecidos impermeáveis para montagem das cabanas conforme os modelos abaixo:</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?0442d4</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>120 cm 120 cm</p><p>16</p><p>0</p><p>cm</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?2673d3</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>85</p><p>c</p><p>m 13</p><p>5</p><p>cm</p><p>105 cm</p><p>Disponível em</p><p>www.iqe.org.br/surl/?27abf0</p><p>Acesso em julho/2019.</p><p>105 cm</p><p>16</p><p>0</p><p>cm</p><p>105 cm</p><p>A tabela mostra as medidas de cada um dos modelos:</p><p>Modelo da Cabana Altura (em cm) Largura</p><p>(em cm)</p><p>Profundidade</p><p>(em cm)</p><p>Cone 160 105 105</p><p>Pirâmide de Base</p><p>Quadrada 160 120 120</p><p>Cilindro e cone 85 (parte cilíndrica)</p><p>50 (parte cônica) 105 105</p><p>Sabendo-se que a área de um círculo pode ser calculada pela expressão p . r². Use p = 3,14.</p><p>20</p><p>A) Calcule a área total de tecido necessário para forrar a cabana com formato de cone, incluindo o chão.</p><p>B) Calcule a área total de tecido necessário para forrar a cabana com formato de pirâmide de base quadrada, incluindo o chão.</p><p>C) Calcule a área total de tecido necessário para forrar a cabana com formato de cilindro e cone, incluindo o chão.</p>