Progressão Aritmética

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<p>PROGRESSÃO ARITMÉTICA</p><p>Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência</p><p>numérica em que o próximo elemento da sequência</p><p>é o número anterior somando a uma constante r,</p><p>chamada razão.</p><p>Para sabermos qual a razão de uma P.A. basta</p><p>subtrair um elemento qualquer pelo seu antecessor.</p><p>- Tipos de Progressão Aritmética</p><p>1) Crescente: É toda P.A. em que o próximo termo,</p><p>a partir do segundo, é sempre maior que o</p><p>antecessor, ou seja, com r > 0.</p><p>Exemplo: (1, 3, 5, 7, 9, 11, …) é uma P.A. com razão</p><p>r = 2.</p><p>2) Decrescente: É toda P.A. em que o próximo</p><p>termo, a partir do segundo, é sempre menor que o</p><p>seu antecessor, ou seja, r < 0.</p><p>Exemplo: (7, 5, 3, 1, -1, -3, …) é uma P.A. com r = -</p><p>2.</p><p>3) Constante: toda P.A. em que seus termos são</p><p>iguais, o seja, com r = 0.</p><p>Exemplo: (1, 1, 1, 1, 1, …) é uma P.A. com r = 0.</p><p>- Termo geral de Progressão Aritmética</p><p>Podemos encontrar qualquer termo de uma P.A. ou o</p><p>total de termos da seguinte forma:</p><p>an = a1 + (n – 1)r</p><p>Onde:</p><p>an: é o termo geral;</p><p>a1: é o primeiro termo da P.A.;</p><p>n: é o número de termos ou o total de termos;</p><p>r: é a razão.</p><p>- Soma dos termos de uma P.A. finita</p><p>A soma de todos os termos de uma progressão</p><p>aritmética é dada pela fórmula:</p><p>- Propriedades da Progressão Aritmética:</p><p>1) Cada termo, a partir do segundo, é uma média</p><p>aritmética dos termos sucessor e antecessor. Assim,</p><p>considerando uma P.A (a, b, c, d, …), então: b = (a +</p><p>c)/2</p><p>2) Em uma P.A. finita com número de termos ímpar,</p><p>o termo central será igual à média aritmética do</p><p>primeiro termo com o último termo.</p><p>3) Em uma P.A. finita, a soma de dois termos</p><p>equidistantes dos extremos é igual à soma dos</p><p>extremos.</p><p>4) Considerando três termos consecutivos de uma</p><p>P.A., o termo do meio será igual à média aritmética</p><p>dos outros dois termos.</p><p>OBSERVAÇÕES</p><p>Sempre que um exercício se referir a uma PA</p><p>desconhecida com 3, 4 ou 5 termos é útil utilizar:</p><p>1) três termos - (x - r, x, x + r)</p><p>2) quatro termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)</p><p>3) cinco termos - (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r)</p><p>QUESTÕES</p><p>01. (ESA) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre</p><p>100 e 1000?</p><p>a) 100</p><p>b) 120</p><p>c) 140</p><p>d) 160</p><p>e) 180</p><p>02. (FGV-SP) O A sequencia (3m; m+1; 5) é uma</p><p>progressão aritmética. Sua razão é:</p><p>a) − 3</p><p>b) 3</p><p>c) 7</p><p>d) − 7</p><p>e) impossível determinar</p><p>03. (PUC-SP) O 24º termo da P.A. (1/2, 2, 7/2, ...) é:</p><p>a) 35</p><p>b) 45</p><p>c) 28</p><p>d) 38</p><p>e) 25/2</p><p>04. (UFES) Quantos números inteiros,</p><p>compreendidos entre 1000 e 10000, não admitem 3</p><p>ou 7 como fatores primos?</p><p>a) 4713</p><p>b) 4286</p><p>c) 5142</p><p>d) 224</p><p>e) 5 571</p><p>05 (EEAR) As medidas dos ângulos internos de um</p><p>triângulo formam uma PA. Assim, independente do</p><p>valor da razão, pode-se afirmar que um desses</p><p>ângulos mede:</p><p>a) 30◦</p><p>b) 45◦</p><p>c) 60◦</p><p>d) 90◦</p><p>06. (UERN) A sequência de números positivos</p><p>(x, x + 10, x², ...) é uma progressão aritmética, cujo</p><p>décimo termo é:</p><p>a) 94</p><p>b) 95</p><p>c) 101</p><p>d) 104</p><p>e) 105</p><p>07. (PUC-SP) O número de múltiplos de 7 entre</p><p>1.000 e 10.000 é:</p><p>a) 1280</p><p>b) 1284</p><p>c) 1282</p><p>d) 1286</p><p>e) 1288</p><p>08. (MACK-SP) Numa progressão aritmética de</p><p>100 termos, a3 = 10 e a98 = 90, a soma de todos os</p><p>termos é:</p><p>a) 10.000</p><p>b) 9.000</p><p>c) 4.500</p><p>d) 5.000</p><p>e) 7.500</p><p>09. (CESGRANRIO) Em uma PA, o termo de</p><p>ordem n é an, a8 − a7 = 3 e a7 + a8 = − 1. Nessa</p><p>progressão, a15 vale?</p><p>a) 26</p><p>b) −22</p><p>c) 22</p><p>d) −13</p><p>e) 13</p><p>10. (FGV) Quatro números constituem uma</p><p>progressão aritmética. A sua soma vale 24 e a soma</p><p>de seus quadrados vale 164. O maior desses números</p><p>é:</p><p>a) 8</p><p>b) 9</p><p>c) 10</p><p>d) 11</p><p>e) 15</p><p>11. (PUC-RIO) Temos uma progressão aritmética</p><p>de 20 termos onde o 1º termo é igual a 5. A soma de</p><p>todos os termos dessa progressão aritmética é 480. O</p><p>décimo termo é igual a:</p><p>a) 20</p><p>b) 21</p><p>c) 22</p><p>d) 23</p><p>e) 24</p><p>12. (PUC-RIO) A soma de todos os números</p><p>naturais ímpares de 3 algarismos é:</p><p>a) 220.000</p><p>b) 247.500</p><p>c) 277.500</p><p>d) 450.000</p><p>e) 495.000</p><p>13. (PUC-RIO) Numa progressão aritmética de</p><p>razão r e primeiro termo 3, a soma dos primeiros n</p><p>termos é 3n², logo, a razão é:</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) 6</p><p>d) 7</p><p>e) 9</p><p>14. (ADVISE) Seja (a, b, c) uma progressão</p><p>aritmética de razão real e de termos não nulos.</p><p>Sendo assim podemos sempre afirmar que:</p><p>a) a + b = b + c</p><p>b) b = a + c</p><p>c) b² = ac</p><p>d) a – 2b + c = 0</p><p>e) 2c = a + b</p><p>15. (CESGRANRIO) A média aritmética dos 20</p><p>números pares consecutivos. começando em 6 e</p><p>terminando em 44, vale:</p><p>a) 50</p><p>b) 40</p><p>c) 35</p><p>d) 25</p><p>e) 20</p><p>16. (ESA) Em um treinamento de condicionamento</p><p>físico, um soldado inicia seu primeiro dia correndo</p><p>800 m. No dia seguinte corre 850 m. No terceiro 900</p><p>m e assim sucessivamente até atingir a meta diária</p><p>de 2.200 m. Ao final de quantos dias, ele terá</p><p>alcançado a meta?</p><p>a) 31</p><p>b) 29</p><p>c) 27</p><p>d) 25</p><p>e) 23</p><p>17. (Unifor-CE) As distâncias que seis</p><p>trabalhadores percorrem diariamente para ir de suas</p><p>casas à fábrica onde trabalham são numericamente</p><p>iguais aos termos de uma PA. Se a casa mais</p><p>próxima da fábrica fica a 1 km dela e a mais</p><p>distante, a 8,5 km, a soma das distâncias que os seis</p><p>percorrem diariamente para ir de suas casas até a</p><p>fábrica, em quilômetros, é igual a:</p><p>a) 20</p><p>b) 22,5</p><p>c) 25</p><p>d) 28,5</p><p>e) 30</p><p>18. (UFMT) Em uma clínica ortodôntica são</p><p>atendidos 30 clientes diários de segunda a sexta-</p><p>feira. Para redimensionar a estrutura física, a clínica</p><p>passará a atender da seguinte maneira: dois clientes</p><p>no primeiro dia do mês, quatro no segundo, seis no</p><p>terceiro, oito no quarto e assim sucessivamente.</p><p>Considerando que essa clínica atende 20 dias por</p><p>mês, o número de clientes atendidos, em um mês,</p><p>será reduzido em:</p><p>a) 35%</p><p>b) 30%</p><p>c) 40%</p><p>d) 25%</p><p>e) 70%</p><p>19. (UFRN) Se 1 + (1 + a) + (1 + 2a) + ... + (1 + 6a)</p><p>= 49, então "a" é igual a:</p><p>a) 5</p><p>b) 4</p><p>c) 3</p><p>d) 2</p><p>e) 1</p><p>20. (FATEC-SP) A soma dos nove primeiros termos</p><p>de uma progressão aritmética de razão 2 é 9. O</p><p>terceiro termo dessa progressão é:</p><p>a) – 9</p><p>b) – 7</p><p>c) – 3</p><p>d) 8</p><p>e) 12</p><p>21. (UFBA) Os algarismos de um número inteiro de</p><p>3 algarismos então em P.A. e sua soma é 21. Se os</p><p>algarismos forem invertidos na ordem, o novo</p><p>número é o número inicial mais 396. A razão desta</p><p>P.A. será:</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) – 2</p><p>d) – 3</p><p>e) 1</p><p>22. (FGV) O terceiro termo de uma P.A. é 11 e a</p><p>razão é 4. A soma dos 20 primeiros termos é:</p><p>a) 790</p><p>b) 800</p><p>c) 810</p><p>d) 820</p><p>e) 830</p><p>23. (FATEC-PR) O valor de ‘x’ para que x + 3, 2x +</p><p>4 e 4x + 3 sejam termos consecutivos de uma PA:</p><p>a) – 5</p><p>b) – 2</p><p>c) 0</p><p>d) 2</p><p>e) 5</p><p>24. (UTFPR) Não constitui uma progressão</p><p>aritmética a sequência da alternativa:</p><p>a) (3/5, 8/5, 13/5, 18/5, .... )</p><p>b) (1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ... )</p><p>c) (√3, 3√3, 5√3, 7√3, …)</p><p>d) (2, – 3, – 8, – 13, …)</p><p>e) (3, 7, 11, 15, ... )</p><p>25. (UFPR) Calcule o valor não nulo de x para que</p><p>os números x2 + 10, 9x, x – 10, nesta ordem, sejam</p><p>termos consecutivos de uma progressão aritmética:</p><p>a) 7</p><p>b) 11</p><p>c) 13</p><p>d) 17</p><p>e) 21</p><p>26. (MACK-SP) O valor de x, de modo que x2, (x +</p><p>1)2 e (x + 3)2 formem nesta ordem uma PA.</p><p>a) 3</p><p>b) – 5</p><p>c) – 1/2</p><p>d) – 7/2</p><p>e) 3/4</p><p>27. (UFPR) Qual o número de termos de uma PA na</p><p>qual o 1º termo é 10, o último termo é 60 e cuja</p><p>razão é 5?</p><p>a) 11</p><p>b) –11</p><p>c) 7</p><p>d) 8</p><p>e) – 9</p><p>28. (MACK-SP) Se os ângulos internos de um</p><p>triângulo estão em PA e o menor deles e a metade do</p><p>maior, então o maior mede:</p><p>a) 40°</p><p>b) 50°</p><p>c) 60°</p><p>d) 70°</p><p>e) 80°</p><p>29. (FESP-SP) Se 17 – 5x, 6 + 2x, 1 + 6x são</p><p>termos consecutivos de uma PA, então o valor de x</p><p>é:</p><p>a) 0</p><p>b) –1</p><p>c) 1</p><p>d) 3</p><p>e) 2</p><p>30. (UFPA) Numa PA temos a7 = 5 e a15 = 61. Então,</p><p>a razão pertence ao intervalo:</p><p>a) [ 8,10 ]</p><p>b) [ 6, 8 ]</p><p>c) [ 4, 6 ]</p><p>d) [ 2, 4 ]</p><p>e) [ 0, 2 ]</p><p>31. (UEPG) Na PA em que a3 = 10 e a6 = 7, a razão</p><p>vale:</p><p>a) 1/2</p><p>b) –1</p><p>c) – 2</p><p>d) 1</p><p>e) – 1/2</p><p>32. (PUC-SP) Os números que exprimem o lado, a</p><p>diagonal e a área de um quadrado estão em PA, nesta</p><p>ordem. O lado do quadrado mede:</p><p>a) √2</p><p>b) 2√2 – 1</p><p>c) 1 + √2</p><p>d) 4</p><p>e) 2√2</p><p>33. (UEM) O nº de múltiplos de 9 entre 105 e 1000</p><p>é:</p><p>a) 108</p><p>b) 98</p><p>c) 105</p><p>d) 100</p><p>e) 81</p><p>34. (CESGRANRIO-RJ) Em uma PA de 41 termos</p><p>e de razão 9, a soma do termo</p><p>do meio com o seu</p><p>antecedente é igual ao último termo. Então o termo</p><p>do meio é:</p><p>a) 369</p><p>b) 189</p><p>c) 201</p><p>d) 171</p><p>e) 180</p><p>35. (PUC-PR) Numa PA, com número ímpar de</p><p>termos, os extremos são –2 e 20. Então o termo</p><p>médio vale:</p><p>a) 7</p><p>b) 3</p><p>c) 8</p><p>d) – 9</p><p>e) 9</p><p>36. (FAAP-SP) Quantos números inteiros</p><p>compreendidos entre 1 e 5000, são divisíveis por 3 e</p><p>por 7?</p><p>a) 147</p><p>b) 832</p><p>c) 238</p><p>d) 138</p><p>e) 172</p><p>37. (UFSC-SC) A soma dos 5 primeiros termos de</p><p>uma PA crescente é zero, e a soma de 9 unidades ao</p><p>2º termo nos dá o 5º termo. O valor do 2º termo é:</p><p>a) 0</p><p>b) – 3</p><p>c) – 6</p><p>d) 3</p><p>e) 6</p><p>38. (CEFET-PR) Qual a soma dos números</p><p>naturais, múltiplos de 7, compreendidos entre 100 e</p><p>310?</p><p>a) 6150</p><p>b) 6250</p><p>c) 6155</p><p>d) 6355</p><p>e) 6195</p><p>39. (FATEC-SP) Em PA a soma do terceiro com o</p><p>sétimo termo vale 30, e a soma dos 12 primeiros</p><p>termos vale 216. A razão dessa PA é:</p><p>a) 0,5</p><p>b) 1</p><p>c) 1,5</p><p>d) 2</p><p>e) 2,5</p><p>40. (GV-SP) A soma dos termos de uma progressão</p><p>aritmética, cujo primeiro termo é 4, o último termo é</p><p>46 e a razão é igual ao número de termos é:</p><p>a) 50</p><p>b) 100</p><p>c) 175</p><p>d) 150</p><p>e) 181</p><p>41. (UM-SP) Se os ângulos internos de um triângulo</p><p>estão em PA quanto deve medir, necessariamente,</p><p>um desses ângulos?</p><p>a) 10°</p><p>b) 20°</p><p>c) 30°</p><p>d) 60°</p><p>e) 40°</p><p>42. (PUC 99) Dado o conjunto dos naturais de 1 a</p><p>100, isto é, C = {1, 2, 3, ..., 98, 99, 100}, encontrar a</p><p>soma dos naturais que não são múltiplos de 3.</p><p>a) 3418</p><p>b) 3067</p><p>c) 3167</p><p>d) 3267</p><p>e) 3367</p><p>43. (UEPG) Os termos da equação 5 + x + ... + 30 =</p><p>105 formam uma PA. Então o valor de x é:</p><p>a) 6</p><p>b) 15</p><p>c) 15/2</p><p>d) 10</p><p>e) 5/2</p><p>44. (PUC-RJ) Temos uma progressão aritmética de</p><p>20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. A soma</p><p>de todos os termos dessa progressão aritmética é</p><p>480. O décimo termo é igual a:</p><p>a) 20</p><p>b) 21</p><p>c) 22</p><p>d) 23</p><p>e) 24</p><p>45. (UFCE) Um atleta corre sempre 400 metros a</p><p>mais que no dia anterior. Ao final de 11 dias ele</p><p>percorre um total de 35200 metros. O número de</p><p>metros que ele correu no último dia foi igual a</p><p>a) 5100</p><p>b) 5200</p><p>c) 5300</p><p>d) 5400</p><p>e) 5500</p><p>RASCUNHO</p><p>GABARITO</p><p>01 02 03 04 05 06 07 08 09 10</p><p>C A A C C B D D C B</p><p>11 12 13 14 15 16 17 18 19 20</p><p>D B C D D B D B D C</p><p>21 22 23 24 25 26 27 28 29 30</p><p>A D D B D D A E E B</p><p>31 32 33 34 35 36 37 38 39 40</p><p>B B D B E C B E D C</p><p>41 42 43 44 45 46 47 48 49 50</p><p>D E D D B</p><p>voupassarnaesa.blogspot.com</p><p>http://voupassarnaesa.blogspot.com/</p>