Matemática I: Conjuntos e Funções

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<p>MATEMÁTICA I</p><p>AULA 1: PRÉ-CÁLCULO E</p><p>FUNÇÕES</p><p>Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi</p><p>Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari</p><p>Parte 1</p><p>• Conjuntos numéricos</p><p>• A reta real</p><p>• Intervalos Numéricos</p><p>• Valor absoluto de um número</p><p>• Potências</p><p>• Produtos notáveis e binômio de Newton</p><p>Parte 2</p><p>• Função</p><p>• Variáveis</p><p>• Traçando Gráficos</p><p>• Domínio e Imagem</p><p>• Família de Funções</p><p>• Funções Polinomiais</p><p>• Funções Exponenciais e Logarítmicas</p><p>• Funções Trigonométricas</p><p>CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p>São, em geral, subconjuntos de ℝ, o conjunto dos números reais.</p><p> Números naturais ℕ: São os números empregados em processos de contagem.</p><p> Exemplos: 0,1, 2, 3, 4,...</p><p> Números Inteiros ℤ : São os números empregados em processos de contagem,</p><p>acrescidos de seus opostos.</p><p> Exemplos: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...</p><p> Números racionais ℚ : É o conjunto de todos os números que podem ser</p><p>escritos como quocientes</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>, 𝒃 ≠ 𝟎.</p><p> Exemplos:−</p><p>1</p><p>4</p><p>, −</p><p>1</p><p>18</p><p>,</p><p>1</p><p>2</p><p>,</p><p>7</p><p>10</p><p>,</p><p>10</p><p>50</p><p>,</p><p>20</p><p>20</p><p>, ...</p><p> Números irracionais ℚ′ ou I : Todos os números reais que não são racionais</p><p> Exemplos: 𝜋 = 3,141592653589793…, 2 = 1,414213562373095… ,</p><p>Exemplo 1.1 Verifique a qual ou quais conjuntos numéricos os</p><p>números abaixo pertencem</p><p>a) −7 b) 0,7 c) 7 d)</p><p>𝟕</p><p>𝟎</p><p>e) −7 f)</p><p>0</p><p>7</p><p>OBS.: 7 = 2,645751311064591</p><p>ℂ</p><p>ℝ ℚ</p><p>I</p><p>ℤ ℕ</p><p>CONJUNTOS NUMÉRICOS</p><p> Números reais podem ser representados por pontos em</p><p>uma reta 𝑟, tal que</p><p> a cada número real 𝑎 corresponda exatamente a um ponto</p><p>sobre a reta 𝑟, e reciprocamente.</p><p>Exemplo. Represente o conjunto 3; −5;</p><p>2</p><p>3</p><p>; 5; −1,5; −𝜋 sobre uma reta</p><p>real.</p><p>ℝ</p><p>A RETA REAL</p><p> O intervalo fechado 𝑎, 𝑏 é o conjunto de todos números</p><p>reais 𝑥 tais que 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.</p><p>𝑎, 𝑏 = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏</p><p> Costumamos simplificar a notação acima como {x : a ≤ x ≤ b},</p><p>𝑎, 𝑏 = 𝑥: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏</p><p>ficando entendido que 𝑥 ∈ ℝ.</p><p>INTERVALOS NUMÉRICOS</p><p> O intervalo aberto e os intervalos semi-abertos são os conjuntos:</p><p> O intervalo infinito −∞,∞ é toda a reta real ℝ.</p><p> Um intervalo semi-infinito pode ser aberto ou fechado.</p><p>INTERVALOS NUMÉRICOS</p><p> Os intervalos abertos e fechados são descritos por desigualdades.</p><p> Representação:</p><p> Generalizando, para todo 𝑐 ∈ ℝ,</p><p>Representação:</p><p> Nesse caso o intervalo 𝑎, 𝑏 = 𝑐 − 𝑟, 𝑐 + 𝑟 , onde 𝑐 =</p><p>𝑎+𝑏</p><p>2</p><p>e 𝑟 =</p><p>𝑏−𝑎</p><p>2</p><p>INTERVALOS NUMÉRICOS</p><p>Exemplo 2.2 (Descrevendo desigualdade com intervalo)</p><p>Descreva o conjunto 𝑆 = 𝑥:</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 − 3 > 4 em termos de intervalos.</p><p>Solução. É mais fácil considerar primeiro a desigualdade oposta</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 − 3 ≤ 4, assim</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 ≤</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 − 3 ≤ 4 ⇒ −4 + 3 ≤</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 − 3 + 3 ≤ 4 + 3</p><p>−1 ≤</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 ≤ 7 ⇒ −1 ∙ 2 ≤</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 ∙ 2 ≤ 7 ∙ 2 ⇒ −2 ≤ 𝑥 ≤ 14</p><p> Note que</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥 − 3 ≤ 4 está satisfeito quando 𝑥 ∈ −2, 14 .</p><p> O conjunto S é o complementar, consistindo em todos números x que não</p><p>estão em −2, 14 , ou seja, 𝑺 = −∞,−𝟐 ∪ 𝟏𝟒,∞</p><p> Representação.</p><p>INTERVALOS NUMÉRICOS</p><p>O valor absoluto de um número real 𝑥, denotado por 𝑥 ,</p><p>é definido por:</p><p>𝒙 = 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐝𝐚 𝐨𝐫𝐢𝐠𝐞𝐦 =</p><p>𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 ≥ 𝟎</p><p>−𝒙, 𝐬𝐞 𝒙 < 𝟎</p><p> Representação</p><p> Distância entre dois números reais</p><p> A distância entre dois números reais 𝑎 e b é |b − 𝑎 |, que é o</p><p>comprimento do segmento de reta que liga 𝑎 a b</p><p>|𝑥|</p><p>𝑥</p><p>VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO</p><p>Observação. 𝑎 + 𝑏 não é igual a 𝑎 + 𝑏</p><p> A menos que 𝑎 e 𝑏 tenham o mesmo sinal ou pelo menos</p><p>um dos dois for zero.</p><p> Se a e b tiverem sinais opostos, então</p><p>𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + 𝑏</p><p>• Por exemplo,</p><p> |2 + 5| = |2| + |5|</p><p> |−2 + 5| = 3 < 7 =|−2| + |5| .</p><p>• Em todo caso, |a + b| nunca é maior do que |a| + |b|</p><p>e assim temos a importante desigualdade triangular:</p><p>VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO</p><p>Definição. Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então a expressão 𝑎𝑛 é</p><p>chamada de potência na base 𝑎 e expoente 𝑛.</p><p> Note que: 𝒂</p><p>𝟎 = 𝟏</p><p>𝒂𝒏+𝟏 = 𝒂 ∙ 𝒂𝒏</p><p> Exemplo:</p><p>100 = 1</p><p>101 = 10 ∙ 100 = 10</p><p>102 = 10 ∙ 101 = 100</p><p>103 = 10 ∙ 102 = 1.000</p><p>104 = 10 ∙ 103 = 10.000</p><p>POTÊNCIAS</p><p> Propriedades: Se 𝑎 ≠ 0</p><p>e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ então:</p><p>i) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛</p><p>ii)</p><p>𝑎𝑚</p><p>𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛</p><p>iii) 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛</p><p>iv) 𝑎 ∙ 𝑏 𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛</p><p>POTÊNCIAS</p><p> Potência com expoente negativo</p><p>Se 𝑎 ≠ 0 e 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎−𝑛 =</p><p>1</p><p>𝑎𝑛</p><p> Exemplo: 10−1 =</p><p>1</p><p>10</p><p>= 0,1; 10−2 =</p><p>1</p><p>10∙101 =</p><p>1</p><p>100</p><p>= 0,01</p><p>10−3 =</p><p>1</p><p>10∙102 =</p><p>1</p><p>1.000</p><p>= 0,001; ...</p><p> Potência fracionária</p><p>Se 𝑎 > 0 e 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ , então 𝑎</p><p>𝑛</p><p>𝑚 = 𝑎𝑛𝑚</p><p> Exemplo: 103 2 = 1023</p><p> 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 = 𝑥2 − 𝑎2</p><p> 𝑥 + 𝑎 2 = 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2</p><p> 𝑥 − 𝑎 2 = 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2</p><p> 𝑥 + 𝑎 3 = 𝑥3 + 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 + 𝑎3</p><p> 𝑥 − 𝑎 3 = 𝑥3 − 3𝑎𝑥2 + 3𝑎2𝑥 − 𝑎3</p><p>𝑥 + 𝑎 𝑛 = 𝑥𝑛 +</p><p>𝑛</p><p>1!</p><p>𝑎𝑥𝑛−1 +</p><p>𝑛 𝑛 − 1</p><p>2!</p><p>𝑎2𝑥𝑛−2 +</p><p>𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2</p><p>3!</p><p>𝑎3𝑥𝑛−3 + ⋯</p><p>+</p><p>𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …2</p><p>𝑛 − 1 !</p><p>𝑎 𝑛−1 𝑥1 + 𝑎𝑛, 𝑛 > 1 inteiro.</p><p>PRODUTOS NOTÁVEIS</p><p>BINÔMIO DE NEWTON</p><p>Parte 1</p><p>• Conjuntos numéricos</p><p>• A reta real</p><p>• Intervalos Numéricos</p><p>• Valor absoluto de um número</p><p>• Potências</p><p>• Produtos notáveis e binômio de Newton</p><p>Parte 2</p><p>• Função</p><p>• Variáveis</p><p>• Traçando Gráficos</p><p>• Domínio e Imagem</p><p>• Família de Funções</p><p>• Funções Polinomiais</p><p>• Funções Exponenciais e Logarítmicas</p><p>• Funções Trigonométricas</p><p>Muitas leis científicas e muitos princípios de Engenharia descrevem</p><p>como uma quantidade depende de outra.</p><p>• Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o</p><p>termo função para indicar a dependência de uma quantidade em</p><p>relação a uma outra, conforme a definição a seguir.</p><p>DEFINIÇÃO 2.1. Se uma variável y depende de uma variável x</p><p>de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor</p><p>de y, então dizemos que y é uma função de x.</p><p>• Três maneiras usuais de representar funções são:</p><p>• Numericamente com tabelas</p><p>• Geometricamente com gráficos</p><p>• Algebricamente com fórmulas</p><p>FUNÇÕES</p><p>Na metade do século XVIII, o matemático suíço Leohnard Euler concebeu a</p><p>ideia de denotar funções pelas letras do alfabeto, tornando possível, desse modo,</p><p>trabalhar com funções sem apresentar fórmulas específicas, gráficos ou tabelas.</p><p>• Para entender a ideia de Euler, pense em um sistema de nutrição em que</p><p>estamos interessados na relação entre um determinado tratamento com a</p><p>matéria seca</p><p>Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦</p><p>(adição de nitrogênio na ração)</p><p>Tratamento 𝑥 Matéria Seca 𝑦</p><p>(adição de nitrogênio no solo)</p><p>Desta forma, existe um mecanismo de causa-efeito para o animal ou planta que</p><p>atua no processo do substrato</p><p>DEFINIÇÃO 2.2. Uma função ƒ é uma regra que associa uma única</p><p>saída a cada entrada. Se a entrada for denotada por x, então a saída é</p><p>denotada por ƒ(x) (leia-se “ƒ de x”).</p><p>FUNÇÕES</p><p>• Para uma dada entrada x, a saída de uma função f é denominada</p><p>valor de f em x, ou imagem de x por f.</p><p>• Muitas vezes denotamos a saída de uma função por uma letra,</p><p>digamos y, e escrevemos</p><p>y = f(x)</p><p>• A variável x é denominada variável independente ou</p><p>argumento de f</p><p>• A variável y é denominada variável dependente de f.</p><p>• Essa terminologia tem o objetivo de sugerir que x está livre</p><p>para variar, mas, uma vez dado um valor específico para x, o</p><p>valor correspondente de y está determinado.</p><p>FUNÇÕES - VARIÁVEIS</p><p>Se ƒ for uma função de uma variável real a valores reais,</p><p>então o gráfico de ƒ no plano xy é definido como sendo o</p><p>gráfico da equação y = ƒ(x).</p><p>• Por exemplo, o gráfico da função ƒ(x)= x é o gráfico da</p><p>equação y = x</p><p>FUNÇÕES - VARIÁVEIS</p><p>FUNÇÕES - VARIÁVEIS</p><p>Os gráficos podem fornecer informação visual importante sobre uma</p><p>função.</p><p>• Por exemplo, como o gráfico de uma função f no plano xy é o</p><p>gráfico da equação y = f(x), os pontos do gráfico são da forma</p><p>(x, f(x))</p><p>• ou seja, a coordenada y de um ponto do gráfico de f é o</p><p>valor de f na coordenada x correspondente</p><p>FUNÇÕES - VARIÁVEIS</p><p>Os valores de x para os quais 𝑓(𝑥) = 0 são as</p><p>coordenadas x dos pontos nos quais o gráfico de f</p><p>intercepta o eixo x.</p><p>• Esses valores são denominados</p><p>• zeros de f</p><p>• raízes de f(x) = 0</p><p>• pontos de corte de y = f(x) com o eixo x.</p><p>FUNÇÕES - VARIÁVEIS</p><p>FUNÇÕES - VARIÁVEIS</p><p>O traçado de gráficos é uma ferramenta básica no</p><p>Cálculo, assim como na Álgebra e na Trigonometria.</p><p>• As coordenadas retangulares (ou cartesianas) no plano são</p><p>definidas pela escolha de dois eixos perpendiculares, o eixo x e o</p><p>eixo y.</p><p>𝒙</p><p>𝒚</p><p>FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS</p><p>A um par (a, b) de números associamos o ponto P localizado na interseção</p><p>da reta perpendicular ao eixo x em a e a reta perpendicular ao eixo y em b.</p><p>• Os números a e b são as coordenadas x e y de P.</p><p>• A origem é o ponto de coordenadas (0, 0).</p><p>FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS</p><p>Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, etiquetados de I a</p><p>IV, determinados pelos sinais das coordenadas.</p><p>• Por exemplo, o quadrante III consiste nos pontos (x, y) tais que</p><p>x < 0 e y < 0.</p><p>FUNÇÕES – TRAÇANDO GRÁFICOS</p><p>Se x e y estão relacionados pela equação y = f(x), então</p><p>• o conjunto de todas as entradas permitidas (os valores de x)</p><p>é denominado domínio de f.</p><p>• o conjunto de todas as saídas (os valores de y) que resultam</p><p>quando x varia sobre o domínio é denominado imagem de f.</p><p>Exemplo. Se f é a função definida pela tabela ao lado abaixo,</p><p>então:</p><p>• o domínio é o conjunto 𝐷𝑓 ={0, 1, 2, 3}</p><p>• a imagem é o conjunto 𝐼𝑚 𝑓 ={3, 4, −1, 6}.</p><p>FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM</p><p>Às vezes, considerações físicas ou geométricas impõem</p><p>restrições sobre as entradas permissíveis de uma função.</p><p>• Por exemplo, se y denota a área de um quadrado de lado</p><p>x, então essas variáveis estão relacionadas pela equação</p><p>𝑦 = 𝑥2.</p><p>• Embora essa equação produza um único valor de y para</p><p>cada número real x, o fato de que os comprimentos devem</p><p>ser números não-negativos impõe a exigência que x ≥ 0.</p><p>𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0</p><p>FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM</p><p>Quando uma função está definida por uma fórmula</p><p>matemática, a fórmula em si pode impor restrições sobre as</p><p>entradas permissíveis.</p><p>• Por exemplo:</p><p>• se 𝑦 =</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>, então x = 0 não é uma entrada válida</p><p>• pois divisão por zero não está definida.</p><p>𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≠ 0</p><p>• se 𝑦 = 𝑥, então valores negativos de x não são entradas</p><p>válidas, pois produzem valores imaginários de y.</p><p>𝐷𝑓 = 𝑥: 𝑥 ≥ 0</p><p>FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM</p><p>O domínio e a imagem de uma função f podem ser</p><p>identificados projetando o gráfico de y = f(x) sobre os</p><p>eixos coordenados</p><p>FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM</p><p>Em alguns casos explicitamos o domínio ao definir uma função.</p><p>• Por exemplo, se 𝑓 𝑥 = 𝑥2 é a área de um quadrado de lado x,</p><p>então podemos escrever</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑥2 , 𝑥 ≥ 0</p><p>para indicar que tomamos o domínio de f como sendo o</p><p>conjunto dos números reais não-negativos</p><p>FUNÇÕES – DOMÍNIO E IMAGEM</p><p>FAMÍLIA DE FUNÇÕES</p><p>As funções são, frequentemente, agrupadas em famílias</p><p>de acordo com a forma das fórmulas que as definem ou</p><p>outras características comuns.</p><p> O gráfico de uma função constante</p><p>ƒ(x) = c</p><p>é o gráfico da equação y = c, que é a</p><p>reta horizontal.</p><p> Se variarmos c, obteremos um</p><p>conjunto ou uma família de retas</p><p>horizontais.</p><p>FUNÇÕES – FAMÍLIA DE CURVAS</p><p> Uma função linear é uma função do tipo</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, sendo 𝑚 e 𝑏 constantes reais</p><p>O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma reta de inclinação 𝑚 e, como 𝑓 0 = 𝑏, o gráfico</p><p>intersecta o eixo y no ponto (0, b).</p><p>Usamos os símbolos Δ𝑥 e Δ𝑦</p><p>para denotar a variação (ou</p><p>incremento) em 𝑥 e 𝑦 = 𝑓 𝑥</p><p>ao longo do intervalo 𝑥1, 𝑥2 .</p><p>FUNÇÃO LINEAR</p><p>FUNÇÃO LINEAR</p><p>Uma função linear se caracteriza por representar um</p><p>crescimento ou decrescimento constantes.</p><p>• Qualquer mudança na variável independente causa</p><p>uma mudança proporcional na variável dependente.</p><p>FUNÇÃO LINEAR</p><p>Dada uma função linear 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏,</p><p>• se 𝑚 > 0, o gráfico será inclinado para a direita,</p><p>ou seja, será uma função crescente;</p><p>• se 𝑚 < 0, o gráfico será inclinado para a</p><p>esquerda, ou seja, será uma função decrescente;</p><p>• se 𝑚 = 0, o gráfico não terá inclinação, ou seja,</p><p>será uma função constante;</p><p>𝑓 𝑥</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑓 𝑥</p><p>𝑓 𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>FUNÇÃO LINEAR</p><p>Observações</p><p>• Se mantivermos b fixo e tratarmos m</p><p>como um parâmetro, obteremos uma</p><p>família de retas cujos membros têm,</p><p>todos, o mesmo corte em b com o eixo y.</p><p>• Se mantivermos m fixo e tratarmos b</p><p>como um parâmetro, obteremos uma</p><p>família de retas paralelas cujos</p><p>membros têm, todos, a mesma</p><p>declividade m.</p><p>FUNÇÃO LINEAR</p><p>FUNÇÕES QUADRÁTICAS</p><p> Uma função quadrática é uma função definida por um polinômio</p><p>quadrático</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐</p><p>sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, com 𝑎 ≠ 0.</p><p> O gráfico de 𝑓 𝑥 é uma parábola</p><p> A parábola tem concavidade para cima se o coeficiente dominante 𝑎 for</p><p>positivo 𝑎 > 0 .</p><p> A parábola tem concavidade para baixo se 𝑎 for negativo 𝑎 < 0 .</p><p> O discriminante de 𝑓 𝑥 é a quantidade Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐</p><p>FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p> Se 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , as raízes de 𝑓 𝑥 são dadas pela fórmula</p><p>quadrática ou de Bhaskara.</p><p> O sinal de Δ determina se 𝑓 𝑥 tem ou não tem raízes reais</p><p> Quando 𝑓 𝑥 tem duas raízes reais e 𝑟1 e 𝑟2 , então 𝑓 𝑥 pode ser fatorado</p><p>como</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑟1 𝑥 − 𝑟2</p><p>𝑎 > 0 e Δ > 0 𝑎 > 0 e Δ = 0 𝑎 > 0 e Δ < 0 𝑎 < 0 e Δ > 0</p><p>−𝑏 ± Δ</p><p>2𝑎</p><p>FUNÇÃO QUADRÁTICA</p><p>FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p> Para todo número real 𝑛, a função</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛</p><p>é denominada função potência de expoente 𝑛.</p><p> Um polinômio é a soma de múltiplos de funções potência</p><p>de expoentes naturais.</p><p> Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥</p><p>OBS.: A função 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 𝑥−1 não é um polinômio,</p><p>pois inclui uma função potência 𝑥−1 de expoente</p><p>negativo.</p><p>Gráfico da função</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥</p><p>FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p> O polinômio geral na variável 𝑥 pode ser escrito</p><p>𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 + ⋯+ 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0</p><p>e é denominado função polinomial de grau 𝑛.</p><p> Os números 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛 são denominados coeficientes.</p><p> O grau de 𝑃 𝑥 é 𝑛 (supondo que 𝑎𝑛 ≠ 0).</p><p> O coeficiente 𝑎𝑛 é denominado coeficiente dominante.</p><p> O domínio de 𝑃 𝑥 é ℝ.</p><p>FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p> Note que:</p><p> A função</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏</p><p>é uma função polinomial de grau 1, sendo:</p><p> 𝑎1 = 𝑚 ≠ 0 e 𝑎0 = 𝑏, com 𝑚 e 𝑏 constantes.</p><p> A função</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐</p><p>é uma função polinomial de grau 2, sendo:</p><p> 𝑎2 = 𝑎 ≠ 0, 𝑎1 = 𝑏 e 𝑎0 = 𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes.</p><p>FUNÇÕES POLINOMIAIS</p><p>OBSERVAÇÃO A RESPEITO DAS</p><p>FUNÇÕES LINEARES</p><p> Não confunda 𝒎 com 𝜽:</p><p> Considere o gráfico abaixo:</p><p>𝜃</p><p>𝑀</p><p>O ângulo 𝜃 é formado pela reta 𝑦 e pelo ponto 𝑃.</p><p>• Esse ângulo 𝜃 é a inclinação da reta</p><p>tangente e é o valor do seu coeficiente</p><p>angular. Assim,</p><p>𝑚 = tg 𝜃</p><p>• Exemplo. Se 𝜃 = 60° então o coeficiente</p><p>angular da reta é:</p><p>𝑚 = tg 60° = 3</p><p>𝑃</p><p>𝑦</p><p>FUNÇÕES EXPONENCIAIS</p><p> A função</p><p>𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥</p><p>onde 𝑏 > 0, é denominada função exponencial de base 𝑏.</p><p> Alguns exemplos são</p><p> A função 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 é crescente se 𝑏 > 1 e decrescente se 𝑏 < 1.</p><p>1 1</p><p>FUNÇÕES</p><p>EXPONENCIAIS</p><p>FUNÇÕES EXPONENCIAIS</p><p> Considere 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0, assim a função logarítmica com base</p><p>𝑎 é:</p><p> denotada por 𝑓 𝑥 = log𝑎 𝑥 ou 𝑦 = log𝑎 𝑥</p><p> a relação inversa da função exponencial 𝑎𝑦 = 𝑥</p><p> Os gráficos de 𝑦 = log𝑎 𝑥 quando variamos os valores da base</p><p>𝑎 > 1 são:</p><p> Note que sempre que 𝑥 = 1 log𝑎 𝑥 = 0, assim o gráfico de todas as</p><p>funções logarítmicas passam pelo ponto 1,0 .</p><p>FUNÇÕES LOGARÍTMICAS</p><p> Propriedades. Se 𝑥 e 𝑦 forem números positivos, então:</p><p> Exemplo:</p><p>FUNÇÕES LOGARÍTMICAS</p><p> Logaritmos Naturais. De todas as possíveis bases 𝑎 para os</p><p>logaritmos, uma escolha conveniente para uma base é 𝑒.</p><p> O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo</p><p>natural e tem uma notação especial:</p><p>𝒍𝒐𝒈𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧 𝒙</p><p> Propriedades</p><p>1) ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥</p><p>2) ln 𝑒𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ</p><p>3) 𝑒ln 𝑥 = 𝑥, para todo 𝑥 > 0</p><p>4) ln 𝑒 = 1</p><p>5) Para todo número positivo a ≠ 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 =</p><p>ln 𝑥</p><p>ln 𝑎</p><p>FUNÇÕES LOGARÍTMICAS</p><p>CONTEÚDO</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p> Começamos nossa revisão de Trigonometria recordando os dois</p><p>sistemas de medição de ângulos: radianos e graus.</p><p> Esses sistemas são melhor descritos usando a relação entre</p><p>ângulos e rotação.</p><p> Utilizamos a letra grega minúscula teta (𝜃), para denotar ângulos</p><p>e rotação.</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>• Cada ângulo tem uma medida em</p><p>radianos única satisfazendo 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.</p><p>• Com essa escolha, o ângulo 𝜃 subentende</p><p>um arco de comprimento 𝜃 ∙ 𝑟 num</p><p>círculo de raio r.</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>• Para converter:</p><p>• Radianos em graus: multiplique por</p><p>180</p><p>𝜋</p><p>• Graus em radianos: multiplique por</p><p>𝜋</p><p>180</p><p>• Exemplo 1. Converta:</p><p>(a) 55𝑜 em radianos.</p><p>Solução: 55o ×</p><p>𝜋</p><p>180</p><p>≅ 0,9599 rad</p><p>(b) 0,5 rad em graus.</p><p>Solução: 0,5 rad ×</p><p>180</p><p>𝜋</p><p>≅ 28,648o</p><p>Radianos Graus</p><p>0 0o</p><p>𝜋</p><p>6</p><p>30o</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>45o</p><p>𝜋</p><p>3</p><p>60o</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>90o</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p> As funções trigonométricas sen 𝜃 e cos 𝜃 são definidas em termos de</p><p>triângulos retângulos.</p><p> Seja um ângulo agudo num triângulo retângulo e denotemos os</p><p>lados</p><p>então</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p> Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo 𝜃</p><p>então</p><p> cos 𝜃 = coordenada x de P</p><p> sen 𝜃 = coordenada y de P</p><p> Note que:</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p> Quatro ângulos padrão: as coordenadas x e y dos pontos são cos 𝜃 e</p><p>sen 𝜃.</p><p> Tabulando esses dados, temos que:</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p> Função Seno: 𝑓 𝜃 = sen 𝜃</p><p> O gráfico de 𝑦 = sen𝜃 é gerado quando o ponto percorre o círculo</p><p>unitário.</p><p> O gráfico de 𝑦 = sen𝜃 é a conhecida “onda senoidal”</p><p>ou, simplesmente, “senóide”</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p> Função Cosseno: 𝑓 𝜃 = cos 𝜃</p><p> O gráfico de 𝑦 = cos 𝜃 tem o mesmo formato do gráfico da seno,</p><p>mas é transladado</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>unidades para a esquerda.</p><p> Os sinais de sen 𝜃 e cos 𝜃 variam quando o ponto</p><p>P = (cos 𝜃 , sen 𝜃 )</p><p>do círculo unitário muda de quadrante</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p> Função Periódica</p><p> Uma função 𝑓 𝑥 é dita periódica de período T se 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥</p><p>(para cada 𝑥 ) e 𝑇 é o menor número positivo com essa</p><p>propriedade.</p><p> As funções seno e cosseno são periódicas com período 𝑇 = 2𝜋</p><p> Pois os ângulos que diferem por um múltiplo inteiro de 2𝜋𝑘</p><p>correspondem ao mesmo ponto do círculo unitário</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p> Identidades Trigonométricas</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS</p>