Criptografia com Matrizes

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<p>Experimento</p><p>Ministério da</p><p>Ciência e Tecnologia</p><p>Ministério</p><p>da Educação</p><p>Secretaria de</p><p>Educação a Distância</p><p>O experimento</p><p>Números</p><p>e fuNções</p><p>licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons</p><p>Mensagens secretas com matrizes</p><p>Objetivos da unidade</p><p>Introduzir o conceito de criptografia;1.</p><p>Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes.2.</p><p>O experimento</p><p>Sinopse</p><p>Neste experimento, seus alunos aprenderão uma das diversas maneiras</p><p>de criptografar mensagens: usando matrizes. Inicialmente, dividindo</p><p>a classe em grupos, o professor deve explicar como isso pode ser feito</p><p>e fornecer uma mensagem codificada, pedindo para que eles tentem</p><p>decifrá-la. Depois, cada grupo deve criar sua própria mensagem cripto-</p><p>grafada e trocá-la com os outros. O desafio é tentar decifrar o que o outro</p><p>grupo quis dizer sabendo a matriz chave que usaram.</p><p>Conteúdos</p><p>Matrizes: Propriedades, Determinantes.</p><p>Objetivos da unidade</p><p>Introduzir o conceito de criptografia;1.</p><p>Fixar conteúdos como multiplicação e inversão de matrizes.2.</p><p>Duração</p><p>Uma aula simples.</p><p>Mensagens</p><p>secretas</p><p>com matrizes</p><p>Mensagens secretas com matrizes O Experimento 2 / 8</p><p>Introdução</p><p>A palavra “criptografia” tem origem grega</p><p>(kripto = oculto; grapho = grafia) e diz</p><p>respeito à arte ou ciência de escrever</p><p>mensagens em códigos, de forma que</p><p>somente certas pessoas possam decifrá-las.</p><p>Existem métodos criptográficos tão</p><p>antigos quanto a própria escrita. Eles já</p><p>estavam presentes no sistema de escrita</p><p>hieroglífica dos egípcios, e também os</p><p>romanos utilizavam códigos secretos para</p><p>comunicar planos de batalha. Atualmente,</p><p>utilizamos criptografia em transações</p><p>eletrônicas, como movimentações bancárias</p><p>e alguns serviços disponíveis na Internet,</p><p>os quais necessitam de uma comunicação</p><p>confidencial de dados.</p><p>Há várias técnicas de criptografia.</p><p>Uma delas, que é a que utilizaremos neste</p><p>experimento, é feita encontrando-se uma</p><p>transformação (função) injetiva f entre</p><p>um conjunto de mensagens originais (não</p><p>codificadas) e um conjunto de mensagens</p><p>codificadas. A função f deve ser inversível</p><p>para garantir que o processo seja reversível</p><p>e que as mensagens possam ser reveladas</p><p>pelos receptores. Portanto, para que um</p><p>certo método criptográfico seja considerado</p><p>eficiente, deve-se ocultar muito bem a função</p><p>f e os mecanismos para sua inversão, de</p><p>modo que somente pessoas autorizadas</p><p>possam decifrar a mensagem. Em um</p><p>esquema destes, f é chamada chave de</p><p>codificação e sua inversa, f−1, é a chave</p><p>de decodificação.</p><p>Neste experimento abordaremos apenas</p><p>um método de criptografia, o qual utiliza</p><p>matrizes como chaves, isto é, como peça</p><p>fundamental para codificar e decodificar</p><p>as mensagens.[?]</p><p>Material necessário</p><p>Apenas papel e lápis; �</p><p>Comentários iniciais</p><p>Como já mencionado, neste experimento</p><p>usaremos um método criptográfico que</p><p>utiliza matrizes como chave. Porém, existem</p><p>alguns métodos que utilizam funções mais</p><p>simples como, por exemplo, a função afim</p><p>de uma variável.</p><p>Se julgar necessário, desenvolva</p><p>uma atividade de familiarização com seus</p><p>alunos, usando funções afim como chave</p><p>de um método criptográfico. No material</p><p>Explorando o Ensino de Matemática,</p><p>volume 3, parte 2, publicado no site do MEC,</p><p>pode-se encontrar mais detalhes sobre</p><p>criptografia com esse tipo de função.</p><p>Seguem as etapas do experimento proposto.</p><p>Esse material pode ser �</p><p>encontrado no site: http://</p><p>portal.mec.gov.br/seb/</p><p>arquivos/pdf/EnsMed/</p><p>expensmat_3_2.pdf</p><p>Preparação</p><p>Divida a classe em grupos de dois alunos.</p><p>Inicialmente, cada dupla buscará métodos</p><p>para tentar decifrar uma mensagem sua.</p><p>Depois, eles criarão suas próprias mensagens</p><p>secretas e irão enviá-las para outra dupla</p><p>tentar decifrar.</p><p>Mensagem do professor</p><p>Nesta etapa, use sua criatividade para</p><p>inventar uma mensagem e depois</p><p>criptografá-la, usando uma matriz</p><p>como chave. Transmita sua mensagem</p><p>codificada e desafie seus alunos para</p><p>decifrá-la apenas sabendo como você a</p><p>codificou. Ou seja, não diga a eles, de início,</p><p>como decodificar a mensagem.</p><p>Como criptografar usando matrizes?</p><p>Para codificar uma mensagem usando este</p><p>método é necessário que, primeiramente,</p><p>cada letra do nosso alfabeto e símbolos</p><p>Professor, os grupos não �</p><p>devem ser muito grandes,</p><p>pois não há muitas</p><p>tarefas neste experimento</p><p>e alguns integrantes</p><p>poderiam ficar sem</p><p>função.</p><p>Neste experimento �</p><p>usaremos a palavra vetor</p><p>para nos referir a matriz</p><p>coluna.</p><p>etapa</p><p>desejados sejam associados a vetores .</p><p>A seguir, apresentamos uma tabela com um</p><p>exemplo para essa associação.</p><p>Observação</p><p>Podemos representar esses vetores como</p><p>pontos de um plano, como mostra a figura 1</p><p>a seguir:</p><p>A B C D E F G H I J</p><p>K L M N O P Q R S T</p><p>U V W X Y Z espaço . , ?</p><p>tabela 1 Exemplo de uma associação entre letras e vetores que o professor</p><p>pode fazer.</p><p>Professor, repare que, !</p><p>se cada uma dessas letras</p><p>e símbolos representarem</p><p>um ponto num plano</p><p>cartesiano, eles formarão</p><p>um retângulo. É interes-</p><p>sante que isso continue</p><p>acontecendo caso queira</p><p>mudar os valores de cada</p><p>letra ou símbolo.</p><p>Decidido qual associação usar, construa</p><p>uma matriz de apenas 2 linhas e codifi que</p><p>uma mensagem. Para isso, basta colocar</p><p>os vetores que representam as letras da</p><p>mensagem um na frente do outro. Vamos,</p><p>por exemplo, colocar a mensagem Boa aula.</p><p>em uma matriz, usando a associação da</p><p>tabela 1:</p><p>Agora, crie uma matriz para</p><p>usar como chave. Ela deve ser inversível</p><p>para garantir que a mensagem poderá ser</p><p>decodifi cada. Você pode usar, por exemplo,</p><p>a matriz mostrada a seguir:</p><p>Professor, o ideal é �</p><p>que sua mensagem</p><p>tenha no máximo 20</p><p>caracteres, para não</p><p>exigir muitas contas por</p><p>parte dos alunos na hora</p><p>de decifrá-la.</p><p>Professor, lembre-se que !</p><p>uma matriz é inversível</p><p>se e somente se seu</p><p>determinante for diferente</p><p>de zero.</p><p>fig. 1</p><p>Por fim, criptografe sua mensagem,</p><p>transformando-a em uma matriz .</p><p>Para isso, deve-se fazer a multiplicação</p><p>. Usando o exemplo de mensagem,</p><p>temos:</p><p>Agora, transmita aos alunos a tabela com</p><p>a associação entre as letras e os vetores,</p><p>a matriz chave e a matriz com a mensagem</p><p>codificada . Explique o processo descrito</p><p>anteriormente para criptografar sua</p><p>mensagem original e peça para que eles</p><p>tentem decifrar sua frase.</p><p>Se perceber que alguns alunos</p><p>conseguiram decodificar a mensagem, peça</p><p>para que eles compartilhem com a classe</p><p>a maneira que eles usaram para descobrir.</p><p>Mas lembre-se: inicialmente, não conte a</p><p>eles como decifrar a mensagem. Deixe-os</p><p>pensar bastante antes de dizer que para</p><p>decodificá-la basta encontrar a matriz inversa</p><p>de e multiplicar por pois</p><p>Professor, observe �</p><p>que, na multiplicação</p><p>, algumas letras</p><p>de podem não ser</p><p>transformados em outras</p><p>letras. Por exemplo,</p><p>o vetor</p><p>não representa nenhuma</p><p>letra da tabela inicial.</p><p>Professor, tome cuidado !</p><p>para que seus alunos não</p><p>vejam sua mensagem</p><p>original.</p><p>Professor, pode ser que !</p><p>seus alunos consigam</p><p>descobrir a mensagem</p><p>original sem o uso da</p><p>inversa, através de vários</p><p>sistemas lineares .</p><p>Tente descobrir como!</p><p>Troca de mensagens</p><p>Agora que seus alunos já sabem criptografar</p><p>uma mensagem, deixe-os praticar.</p><p>Nesta etapa, cada grupo deverá inventar</p><p>uma frase com no máximo 20 caracteres</p><p>e codificá-la. Em seguida, eles trocarão</p><p>mensagens com outro grupo, sempre</p><p>fornecendo apenas a matriz codificada ( )</p><p>e a chave ( ). O desafio é decifrar a</p><p>mensagem do outro grupo. Fazendo isso,</p><p>eles estarão fixando conteúdos como</p><p>multiplicação e inversão de matrizes de</p><p>um modo divertido.</p><p>etapa</p><p>Professor, provavelmente !</p><p>alguns grupos usarão</p><p>matrizes não inversíveis</p><p>como chave. Isso fará</p><p>com que a mensagem</p><p>eventualmente não seja</p><p>decifrável. Se achar que</p><p>deve, alerte-os para</p><p>o uso apenas de matrizes</p><p>inversíveis como chave.</p><p>Relembre seus alunos sobre os requisitos</p><p>para existência de inversa de uma matriz</p><p>(determinante diferente de zero), e o modo</p><p>de calculá-la. Caso o conceito de matriz</p><p>inversa ainda não seja conhecido</p><p>pelos</p><p>seus alunos, este experimento pode servir</p><p>como uma aula introdutória do tema.</p><p>Se achar interessante, comente com seus</p><p>alunos sobre o fato de que, ao criptografar</p><p>uma mensagem pelo método descrito</p><p>neste experimento, estamos aplicando</p><p>uma função que leva pontos do plano</p><p>a outros pontos do plano. Por exemplo,</p><p>as letras da mensagem Boa aula. podem</p><p>ser representadas da seguinte forma:</p><p>fig. 2</p><p>E, plotando cada letra dessa frase depois</p><p>de multiplicadas pela matriz do nosso</p><p>exemplo, temos:</p><p>Observe o que acontece com cada vetor</p><p>letra na transformação:</p><p>Outro fato interessante é o efeito da</p><p>multiplicação de um bloco de pontos,</p><p>que representam letras, pela matriz chave .</p><p>fig. 3</p><p>A fi gura abaixo mostra um bloco de quatro</p><p>letras do alfabeto representado por</p><p>pontos (não preenchido) e o efeito que a</p><p>multiplicação por causou (preenchido):</p><p>Mais detalhes sobre a representação</p><p>das letras por pontos no plano podem ser</p><p>encontrados no Guia do Professor.</p><p>Por fi m, comente com seus alunos que</p><p>com o conhecimento das transformações</p><p>de apenas duas letras no nosso método</p><p>criptográfi co, já é possível que um “espião”</p><p>descubra a matriz chave. Assim, se, por</p><p>exemplo, ele souber que</p><p>e</p><p>são levados em</p><p>e ,</p><p>fig. 4</p><p>respectivamente, ele saberia que, se a matriz</p><p>chave for igual a</p><p>,</p><p>então:</p><p>e</p><p>E daí,</p><p>Resolvendo o sistema, ele encontraria que</p><p>, , e e portanto,</p><p>.</p><p>Daí vem a importância de se guardar todas</p><p>as transformações em segredo.</p><p>Se usássemos uma !</p><p>associação das letras</p><p>à vetores , com a</p><p>matriz chave sendo ,</p><p>a determinação de</p><p>seria difi cultada, pois</p><p>precisaríamos de mais</p><p>uma informação para tal.</p><p>Comente isto com seus</p><p>alunos!</p><p>Ficha técnica</p><p>Ministério da</p><p>Ciência e Tecnologia</p><p>Ministério</p><p>da Educação</p><p>Secretaria de</p><p>Educação a Distância</p><p>Matemática Multimídia</p><p>Coordenador Geral</p><p>Samuel Rocha de Oliveira</p><p>Coordenador de Experimentos</p><p>Leonardo Barichello</p><p>Instituto de Matemática,</p><p>Estatística e Computação</p><p>Científica (imecc – unicamp)</p><p>Diretor</p><p>Jayme Vaz Jr.</p><p>Vice-Diretor</p><p>Edmundo Capelas de Oliveira</p><p>Universidade Estadual</p><p>de Campinas</p><p>Reitor</p><p>José Tadeu Jorge</p><p>Vice-Reitor</p><p>Fernando Ferreira da Costa</p><p>Grupo Gestor</p><p>de Projetos Educacionais</p><p>(ggpe – unicamp)</p><p>Coordenador</p><p>Fernando Arantes</p><p>Gerente Executiva</p><p>Miriam C. C. de Oliveira</p><p>licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons</p><p>Autor</p><p>Leonardo Barichello</p><p>Coordenação de Redação</p><p>Rita Santos Guimarães</p><p>Redação</p><p>Felipe M. Bittencourt Lima</p><p>Revisores</p><p>Matemática</p><p>Antônio Carlos do Patrocínio</p><p>Língua Portuguesa</p><p>Carolina Bonturi</p><p>Pedagogia</p><p>Ângela Soligo</p><p>Projeto gráfico</p><p>e ilustrações técnicas</p><p>Preface Design</p><p>Ilustrador</p><p>Lucas Ogasawara de Oliveira</p>