AULA 03

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<p>Aula 03 Classificação de Rendas Certas ou Anuidades estudante, veremos aqui os tipos de rendas e análise de investimentos. Boa aula!</p><p>Introdução mos que a Matemática está dividida em dois grandes blocos. Então, antes de iniciarmos a solução de qualquer problema de Matemática Financeira, devemos identificar o regime da eração. Aprendemos também que, quando nos deparamos com uma única parcela e o nosso sejo é projetá-la para uma data posterior, realizamos uma operação de juros. Entretanto, vimos que, quando temos uma única parcela numa data posterior e desejámos projetá-la para uma data anterior, estamos diante de uma operação de desconto. capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de sucessão de pagamentos ou recebimentos. Como foi visto anteriormente, quando o objetivo é constituir um capital em uma data futura, tem-se o processo de capitalização; caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se o processo de amortização (MATHIAS; GOMES, 2011).</p><p>Esses processos caracterizam dois tipos de rendas ou anuidades: rendas certas ou determinísticas e rendas aleatórias ou probabilísticas. As rendas certas ou determinísticas são aquelas cujos pagamentos e a duração são predeterminados, não dependendo de condições externas. São as séries de recebimentos ou pagamentos estudados em Matemática Financeira. Os exemplos disso podem ser os empréstimos pessoais, financiamentos de imóveis ou de veículos, utilização do cartão de crédito, pagamento de aluguéis, etc. As rendas aleatórias ou probabilísticas são as séries de recebimentos ou pagamentos cujos valores ou datas podem acontecer de forma aleatória. Para tratar desse assunto, foi criada a ciência chamada Atuarial. Como exemplo, temos os seguros de vida, seguros de veículos, planos de saúde, planos de previdência, etc. Nesta unidade, iremos estudar os modelos que auxiliam o processo de capitalização e/ou amortização através do uso de rendas certas ou anuidades. Estudaremos também conceitos, técnicas e aplicações relacionados à análise de investimentos como ferramenta na tomada de decisões em diversos projetos ou investimentos no mercado de capitais. Classificações das Rendas Certas ou Anuidades Para iniciar a definição de rendas certas ou anuidades, observe a seguinte série de capitais no Gráfico 1. P1 P ... to t1 t2 tn Gráfico 1: Série de capitais</p><p>No gráfico, P representa o valor de cada uma das parcelas (P) e são também denominados de termos. O intervalo de tempo entre dois termos é chamado de períodos (t). E a soma dos períodos define a duração das rendas certas (anuidades). Por sua vez, as anuidades podem ser classificadas da seguinte forma (MATHIAS; GOMES, 2011): 1 - Quanto ao prazo: Temporárias: com duração limitada. Perpétuas: com duração ilimitada. 2 Quanto ao valor dos termos: Constante: quando os termos são iguais. Variável: quando os termos não são iguais entre si. 3 Quanto à forma de pagamento ou recebimento da renda: Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. Diferidas: quando os termos são exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período. forma imediata ou diferida de pagamento ou recebimento (termo) pode sofrer uma derivação ao terpretar se o evento ocorre no início ou no final dos períodos. Assim, se os termos forem exigidos final de cada período, denomina-se que a renda é postecipada (ou vencida), e, se forem exigidos início de cada período, denomina-se que a renda é antecipada. Dessa forma podemos ter a seguintes combinações: Pagamento ou Recebimento Ocorrência no período Postecipada (ou vencida) Imediatas Antecipada Postecipada (ou vencida) Diferidas Antecipada 4 - Quanto a periodicidade: Periódica: se todos os períodos são iguais. Não periódica: se os períodos não são iguais entre si. O Gráfico 2 apresenta o encadeamento para a classificação das anuidades.</p><p>Anuidades Certas Aleatórias Periódicas Não periódica Temporárias Perpétua Constantes Variáveis Imediatas Diferidas Postecipadas Antecipadas Gráfico 2: Quadro resumo da classificação de rendas certas (anuidades) Fonte: Mathias e Gomes (2011)</p><p>Modelo Básico de Rendas Certas ou Anuidades em vez de projetarmos uma única parcela conhecida na data de hoje para uma data posterior, tivermos interessados em transportar uma série de pagamentos para uma data posterior, taremos diante de uma operação de rendas certas ou anuidades. as então, como eu saberei que estou diante de uma operação de rendas certas ou anuidades? Muito fácil! Toda vez que você estiver diante de uma série de pagamentos de mesmo valor (constantes) desejando projetá-las todas para uma única data no futuro, dispostas em intervalos de tempos idênticos (periódicas), e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos estaremos diante de uma operação de rendas certas (anuidades). Perceberam juros compostos? Querem saber por quê? Porque rendas certas ou anuidades só existem no regime composto. Em suma, admitem-se como modelo básico de rendas certas ou anuidades os pagamentos ou recebimentos que possuem simultaneamente as características: periódicas (mesmo intervalo de tempo), temporárias (duração limitada), constantes (parcelas de mesmo valor), imediatas (não há período de carência) e taxa de juros compostos referidos ao mesmo período de tempo. Assim, podemos fazer o nosso desenho da seguinte forma:</p><p>T P1 P3 ... Pn to t1 t2 t3 tn Gráfico 3: Montante no modelo básico Vamos chamar esse gráfico de modelo básico das rendas certas. Memorize-o! Vai ser útil mais adiante. Diz-se que o montante de uma anuidade é a soma dos valores capitalizados dos seus termos (P's), para uma mesma data focal futura à mesma taxa de juros compostos. essa forma, conforme se pode observar no gráfico acima, as rendas são capitalizadas para a data cal tntn. O valor de T representa a soma dos montantes de cada um dos termos a uma taxa de compostos ii considerada para os respectivos períodos. Assim, podem se somar essas rendas data focal tn da seguinte forma: T = Logo: Vamos considerar agora que: Temos que o valor de pode ser obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica. Assim, a aplicando-se a progressão geométrica aos termos para uma , obtemos os seguinte resultados: Assim, obtivemos o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Dessa maneira, podemos agora escrever a equação das rendas certas:</p><p>Onde: T= é o valor de resgate de todas as parcelas das rendas certas na data da última parcela. Cuidado. A data em que o T aparece é sempre a data da última parcela. Não se esqueça disso. Olhar o gráfico montante no modelo básico para uma melhor visualização. P= É o valor das parcelas individuais. = É o fator de rendas certas chamado de fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. = representa o número de parcelas da operação. i = taxa de juros compostos. Observação 1: Não podemos esquecer jamais que taxa e tempo caminham juntas; logo, taxa e tempo vem sempre estar na mesma unidade que o intervalo de tempo das parcelas. 2: Se as parcelas são mensais, e supondo que a taxa esteja em uma outra unidade, tão, utilizaremos o conceito de taxas equivalentes já aprendido na unidade 3. Lá vimos que toda Z que estivermos diante de uma operação no regime composto e desejamos transformar uma taxa efetiva em outra taxa efetiva, utilizaremos o conceito de taxas equivalentes. Combinado!?</p><p>NA PRÁTICA Exemplo 1: Pedro foi aprovado no concurso público para juiz. Muito contente com novo emprego, Pedro foi ao banco abrir uma conta de poupança e resolveu que faria 12 depósitos mensais no valor de R$ 10.000,00 todos os meses e na mesma data. Considerando que todas as aplicações estão sujeitas a uma taxa de juros compostos no valor de 2% ao mês, qual será valor a ser resgatado ao final dessas 12 aplicações na data da última parcela? Solução: A primeira coisa que fazemos numa questão de Matemática Financeira é desvendar do que se trata a questão. No caso acima, nós temos uma pessoa (Pedro) que fez compromisso de depositar no valor de R$ 10.000,00, 12 parcelas do seu salário a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês e deseja saber que valor ele irá resgatar na data da última parcela. Ótimo, o enunciado foi direto e revelou todas as características de uma operação de rendas certas. Perceberam!? Em seguida, faça desenho dessa questão, ele vai ajudar bastante na hora de resolver exercício. Qualquer dúvida volte ao início dessa seção e faça uma releitura. O próximo asso é fazer uso da equação das rendas certas para descobrir valor do resgate. T=? 10.000 10.000 10.000 10.000 1 2 3 12 T=? P R$10.000,00 i = 2%a. m. n=12 Aplicação da Primeiro, calcula-se:</p><p>0,02 = logo: T 10.000,00 X 13.4120 T = R$134.120,00 Viram como é simples!? Então, eu convido vocês a resolver o exemplo a seguir: NA PRÁTICA Exemplo 2: Um casal pretende adquirir um apartamento no prazo de 10 anos, o valor desse apartamento é de R$ 500.000,00 sem entrada. Uma instituição financeira oferece aplicações em caderneta de poupança à taxa de juros de 0,8% a.m. Qual valor das parcelas que essa pessoa deverá depositar mensalmente? Resposta: O casal depositará mensalmente o valor de R$ 2.497,28. Modelo Básico de Amortização Introdução Vimos que, quando nos deparamos com uma única parcela e o nosso desejo é projetá-la para uma data posterior, realizamos uma operação de juros. Vimos também que, quando temos uma única parcela numa data posterior e desejamos projetá-la para uma data anterior, estamos diante de uma operação de desconto.</p><p>Acabamos de aprender que, quando estamos diante de uma série de pagamentos de mesmo valor (constantes), desejando projetar todas para uma única data futura, dispostas em intervalos de tempos idênticos (periódicas), e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos, estaremos diante de uma operação de rendas certas (anuidades). Agora iremos aprender que, quando nos depararmos com uma situação na qual há várias parcelas de mesmo valor (constantes) e desejamos projetar todas para uma data anterior, dispostas em intervalos de tempos idênticos (periódicas), e todas sujeitas a uma taxa de juros compostos, estaremos diante de uma operação de amortização. Amortização nada mais é que meios de se pagar uma dívida. A amortização é uma operação das rendas certas. Grave essa informação! Vejamos o gráfico a seguir que expressa essa situação: T ... P1 P3 Pn to t1 t2 t3 tn Gráfico 4: Valor total a ser amortizado no modelo básico de amortização Vamos chamar esse gráfico de modelo básico da amortização. Memorize-o! Vai ser útil mais adiante. Dessa forma, conforme se pode observar no gráfico, as parcelas de uma compra a prazo são atualizadas para a data focal to. O valor de T representa a soma de todas as parcelas na data focal to. Em outras palavras, T é o preço à vista do produto comprado a prazo. Seja, então, um principal T a ser pago em n parcelas (termos) iguais a P, imediatas, postecipadas e periódicas (conforme mostra o gráfico acima), com uma taxa de juros compostos considerados para os respectivos períodos dos termos, pode-se somar essas rendas na data focal to da seguinte forma: P P P P +</p><p>1 1 + 1 Vamos considerar agora que: 1 1 1 + Temos que o valor de pode ser obtido pela soma dos termos de uma progressão geométrica. Assim, a aplicando-se a progressão geométrica aos termos, para uma obtemos os seguinte resultados: Assim, tem-se a fórmula reduzida para o cálculo do valor atual de anuidades, também chamada de fator de amortização. Assim, podemos escrever a equação da amortização da seguinte maneira: = é o valor total que será amortizado do total de parcelas da dívida. Ou seja, o T é o preço à vista. Muito cuidado. A data em que o T aparece é sempre um período antes da primeira parcela. E a razão é bem óbvia. Sempre que você compra um produto, a primeira parcela costuma vir um período após a compra. Não se esqueça disso. Olhe o gráfico valor total a ser amortizado acima para uma melhor visualização. P= É o valor das parcelas individuais. = É o fator de amortização. representa o número de parcelas da operação. taxa de juros compostos. Observação 1: Não podemos esquecer jamais que taxa e tempo caminham juntas; logo, taxa e tempo devem sempre estar na mesma unidade que o intervalo de tempo das parcelas.</p><p>NA PRÁTICA Exemplo 1: Fernando quer comprar um novo Iphone 6S. Só que telefone custa R$ 4.000 à vista, e ele não dispõe de todo esse dinheiro. Dessa forma, ele faz a opção de comprar telefone em 12 prestações iguais e mensais, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra. Considerando uma taxa de juros compostos de 2% a.m., qual é valor das prestações? Solução: A primeira coisa que fazemos numa questão de Matemática Financeira é desvendar do que se trata a questão. No caso acima, nós temos uma pessoa (Fernando) querendo comprar um telefone, mas que não dispõe de todo numerário para realizar uma compra à vista. Então, ele faz compromisso de comprar telefone em 12 prestações de mesmo valor todo mês, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra à taxa de juros compostos de 2% ao mês. Qual será valor das prestações? Ótimo, enunciado foi direto e revelou todas as características de uma operação de amortização ou de valor atual de rendas certas. Perceberam!? seguida, faça desenho dessa questão, ele vai ajudar bastante na hora de resolver Qualquer dúvida volte ao início dessa seção e faça uma releitura. O próximo passo é uso da equação da amortização para descobrir o valor das prestações. 5.000 1 2 3 12 R$ i = 2%a. 12 meses P Aplicação da fórmula: Primeiro, calcula-se:</p><p>= 10,5753 logo: 4.000,00 P 10,5753 4.000,00 = - X Resposta: O valor individual das 12 prestações será de R$ 378,24. Viram como é simples!? Então, eu convido vocês a resolver o exemplo a seguir: NA PRÁTICA Exemplo 2: Um computador de última geração está sendo ofertado em uma loja no valor de R$ 3.500,00. O plano de vendas oferece as seguintes condições: uma entrada de R$ 500,00 e o restante pagos em 6 prestações iguais de R$ 550,00. Sabendo-se que o valor dos juros cobrados na loja é de 1,2% a.m., calcule preço à vista do computador. Resposta: O preço à vista desse computador será de R$ 3.713,56. SAIBA MAIS Leia a reportagem, disponível no link a seguir, sobre os hábitos atuais do brasileiro em relação ao uso do cartão de crédito. Será que a compra parcelada é comum entre os brasileiros? Parcelamento em mais de 10 vezes aumenta entre brasileiros</p>