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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Me. Felipe Chaves Inácio
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MATEMÁTICAFINANCEIRA
PROF. ME. FELIPE CHAVES INÁCIO
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 Diretor Geral: Prof. Esp. Valdir Henrique Valério
Diretor Executivo: Prof. Dr. William José Ferreira
Ger. do Núcleo de Educação a Distância: Profa Esp. Cristiane Lelis dos Santos
Coord. Pedag. da EquipeMultidisciplinar: Profa. Esp. Imperatriz da Penha Matos
Revisão Gramatical e Ortográfca: Profª. Elislaine Santos
Revisão Técnica: Profª. Olívia Coimbra
Revisão/Diagramação/Estruturação:Clarice Virgilio Gomes
Prof. Esp. Guilherme Prado
Lorena Oliveira Silva Portugal
Design: Bárbara Carla Amorim O. Silva
Daniel Guadalupe Reis
Élen Cristina Teixeira Oliveira
Maria Eliza Perboyre Campos
© 2023, Faculdade Única.
Este livro ou parte dele não podem ser reproduzidos por qualquer meio sem Autoriza-
ção escrita do Editor.
Ficha catalográca elaborada pela bibliotecária Melina Lacerda Vaz CRB – 6/90
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
1° edição
Ipatinga, MG
Faculdade Única
2023
5
Possui graduação em Economia
pela Universidade Federal de Minas
Gerais (UFMG) (2000) e Mestrado em
Estatística pela Universidade Federal
de Pernambuco (UFPE) (2004). Atual-
mente é gerente da Seção de Estatísti-
ca e Indicadores Municipais na Prefei-
tura Municipal de Ipatinga e professor
tutor na Faculdade Única de Ipatinga.
Tem experiência na área de Economia,
com ênfase em Métodos e Modelos
Matemáticos, Econométricos e Estatís-
ticos.
FELIPE CHAVES INÁCIO
Para saber mais sobre a autora desta obra e suas qua-
licações, acesse seu Curriculo Lattes pelo link :
http://lattescnpqbr/5931305817501976
Ou aponte uma câmera para o QRCODE ao lado.
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LEGENDA DE
Ícones
Trata-se dos conceitos, denições e inormações importantes
nas quais você precisa car atento
Com o intuito de facilitar o seu estudo e uma melhor compreensão
do conteúdo aplicado ao longo do livro didático, você irá encontrar
ícones ao lado dos textos. Eles são para chamar a sua atenção para
determinado trecho do conteúdo, cada um com uma unção especíca,
mostradas a seguir:
São opções de links de vídeos, artigos, sites ou livros da biblioteca
virtual, relacionados ao conteúdo apresentado no livro.
Espaço para refexão sobre questões citadas em cada unidade,
associando-os a suas ações
Atividades de multipla escolha para ajudar na xação dos
conteúdos abordados no livro.
Apresentação dos signicados de um determinado termo ou
palavras mostradas no decorrer do livro.
 
 
 
FIQUEATENTO
BUSQUEPORMAIS
VAMOSPENSAR?
FIXANDOOCONTEÚDO
GLOSSÁRIO
7
UNIDADE 1
UNIDADE 2
SUMÁRIO
11 INTRODUÇÃO..................................10
1 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO11
11 Capitalização Simples11
1 Equivalência de taxas18
FIXANDO O CONTEÚDO 1
1 INTRODUÇÃO4
 DESCONTO SIMPLES5
3 DESCONTO COMPOSTO8
FIXANDO O CONTEÚDO 31
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
DESCONTOS
UNIDADE 3
31 INTRODUÇÃO34
3.2 FLUXO DE CAIXA.................................................................................................................................................................................................................................................................................34
33 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES35
331 Séries uniormes com parcelas vencidas35
33 Séries uniormes com parcelas antecipada41
3.4 SÉRIE DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS.........................................................................................................................................................................................................................................43
341 Gradientes em progressão aritmética crescente43
35 SÉRIE DE PAGAMENTOS INFINITA45
FIXANDO O CONTEÚDO 48
SÉRIES DE PAGAMENTOS
UNIDADE 4
EMPRÉSTIMOS
51 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................................................................................................................................................................59
51 Sistema deAmortização Francês59
5 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE.................................................64
54 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO66
FIXANDO O CONTEÚDO 70
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
UNIDADE 5
61 INTRODUÇÃO73
6 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)73
63 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)75
FIXANDO O CONTEÚDO78
RESPOSTAS DO FIXANDOOCONTEÚDO........................................................................................................................................................................80
REFERÊNCIAS .....................................................................................................................................................................................................................81
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS
UNIDADE 6
41 INTRODUÇÃO51
4 DESCONTO DE DUPLICATAS51
43 NOTAS PROMISSÓRIAS53
44 FOMENTO COMERCIAL (FACTORING)53
FIXANDO O CONTEÚDO 56
8
UNIDADE 1
Nestaunidadeserãoapresentadososconceitosbásicosde juros, capital emontante,
além dos regimes de capitalização simples e composto.
UNIDADE 2
Nesta unidade será apresentado o conceito de desconto que é uma operação
muito utilizada na prática. Serão vistos o desconto simples e o desconto composto
que tem uma questão conceitual muito importante.
UNIDADE 3
Nesta unidade será introduzido o conceito de fuxo de caixa e será visto como
ocorre o fuxo de pagamentos e recebimentos uturos sob os dierentes regimes de
capitalização.
UNIDADE 4
Nesta unidade serão apresentados diferentes instrumentos utilizados no mercado
por empresas que buscam ormas de nanciar seu capital de giro
UNIDADE 5
Nesta unidade serão estudados os principais sistemas de amortização que são
vastamente utilizados na prática comoem nanciamentos de imóveis, por exemplo
UNIDADE 6
Nesta unidade serão apresentados os principais métodos de avaliação de
investimentos utilizados: o VPL e a TIR Estes métodos nos permitem avaliar a
viabilidade econômica e a taxa de retorno de um investimento.
C
O
NF
IR
A
NO
LIV
RO
9
JUROS SIMPLES E
COMPOSTOS
10
1.1 INTRODUÇÃO
Amatemática nanceira é um ramo damatemática que trata essencialmente da
relação entre dinheiro e tempo. Receber uma certa quantia de dinheiro hoje ou daqui a
seis meses claramente não é a mesma coisa. Da mesma forma, comprar um produto
hoje e comprá-lo daqui a seis meses não é a mesma coisa. Dessa forma, abrir mão do
consumo imediato (que é preferível) para consumir depois deve trazer uma espécie de
“prêmio” para alguém, e os juros podem ser entendidos como esse prêmio. Portanto,
são os juros que levam ao adiamento do consumo e à posterior criação de poupanças,
tão úteis para a economiaO interesse tambémpode ser entendido de outrasmaneiras:
Remuneração do risco: por exemplo, ao conceder um empréstimo, o credor
expõe-se ao risco de incumprimento do devedor Quanto maior o risco, maior será o
“prêmio” exigido pelo credor, ou seja, maiores serão os juros.
Proteção contra a perda do poder de compra: a moeda perde gradualmente o
seu poder de compra, ou seja, a capacidade de comprar produtos, ao longo do tempo.
Obviamente, você não pode comprar hoje por US$ 100 tudo o que você poderia comprar
há 0 anos Isso se deve ao processo de infação Os juros podem anular ou pelo menos
minimizar essa perda.
Remuneraçãodo capital: os juros tambémpodem ser entendidos como “aluguel”
que deve ser pago pela utilização do dinheiro por terceiros.
Além do juro (J), existem outros conceitos que precisamos compreender para
estudar a relação entre dinheiro e tempo São eles:
Capital (C):dopontode vistadamatemática nanceira, capital signicaqualquer
valor expresso em moeda que esteja disponível num determinado momento. Também
pode ser chamado de “principal” ou “valor presente”.
Montante (M): também chamado de “valor uturo”, é o valor obtido após a adição
de juros ao nal de um determinado período O valor será, portanto, igual ao principal
mais juros.
Taxa de juros (i): é a razão entre os juros recebidos e o capital investido. Ou seja, é
uma recompensa pelo capital investido e está sempre relacionada a um determinado
período de tempo Uma taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras: uma taxa
percentual e uma taxa unitária. Uma taxa percentual é dada como uma porcentagem,
e uma taxa unitária será a taxa percentual dividida por 100 Por exemplo:
Taxa percentual Taxa unitária
15% 0,15
7,5% 0,075
% 0,02
1,5% 0,015
Quadro 1: Taxa de Juros
Fonte: Elaborado pelo Autor (00)
Portanto, quando expressamos matematicamente as relações acima, temos o
seguinte:
M=C+J
11
i=J/C
Exemplo: Qual é a taxa de juros de um empréstimo de $100 se você sabe que $15
serão pagos após um mês?
Solução: Neste caso, o capital é igual a $100 e o valor é igual a $150 Então nós
temos:
M=C+J
J=M-C
J=15-100=25
i=J/C
i=5/100=0,25 ou 25%
A taxa de jurosé, portanto, igual a 5% ao mês, que é o prazo da operação
1.2 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Na matemática nanceira, o regime de capitalização de juros representa a
forma como os juros são criados e incorporados ao capital ao longo do tempo. Nesse
sentido, podemos destacar dois modos de capitalização: a capitalização simples e a
capitalização composta.
1.2.1 Capitalização Simples
A capitalização simples, popularmente chamada de “juros simples”, é uma
modalidade de capitalização onde a taxa de juros incide apenas sobre o capital inicial
e nunca sobre os juros acumulados. Neste regime, o juro cresce linearmente com o
tempo, ou seja, a relação entre o juro e o tempo pode ser expressa como uma função
de primeiro grau Considere o seguinte exemplo: suponha que uma pessoa contraia um
empréstimo de R$ 1000,00 com taxa de juros de 3% ao mês, a ser pago após 6 meses A
tabela abaixo ilustra essa situação com o valor da dívida a cada mês.
Mês Juros Dívida
0 - 1000
1 0,03∙1000=30 1030
2 0,03∙1000=30 1060
3 0,03∙1000=30 1090
4 0,03∙1000=30 110
5 0,03∙1000=30 1150
6 0,03∙1000=30 1180
Quadro 2: Taxa de juros (simples)
Fonte: Elaborado pelo Autor (00)
Na tabelaacima, omês “0” representaomomentoexatoemqueapessoacontrata
o empréstimo Nestemomento ainda não oram pagos juros Ao nal do primeiromês, a
dívida será igual a R$ 1000,00mais juros, que era de R$ 30,00 Portanto, o valor da dívida
12
neste momento é de R$ 1030,00 e assim por diante Observe que oi utilizada uma taxa
unitária (0,03) e não uma taxa percentual (3%) para obter o valor dos juros de cada
mês. Também é importante entender que os juros são constantes ao longo do tempo, o
que signica que a dívida aumenta sempre no mesmo valor Isso signica que os juros
são uma função linear do tempo. A cada mês, a taxa de variação da dívida é sempre
a mesma (constante) É óbvio que nem sempre é necessário construir um tal painel, o
que pode ser trabalhoso especialmente durante um período de operação muito longo.
Felizmente, existem órmulas que nos permitem calcular as variáveis envolvidas numa
transação nanceira Vejamos alguns que se reerem à simples capitalização
• Juros: Os juros de uma operação nanceira no regime de capitalização simples
podem ser calculados através da seguinte expressão:
J=C∙i∙t (3)
Onde “t” é o tempo ou prazo da operação.
Exemplos: considerando o exemplo dado na tabela anterior, qual será o valor dos
juros no nal da operação?
Solução:analisandoatabela, jápodemosarmarqueos jurosaonaldaoperação
(no sexto mês) serão iguais a R$ 180,00 (J=1180-1000) Porém, se não tivéssemos uma
tabela, deveríamos calcular usando uma órmula como esta:
J = ?
C = 1000
i = 3% ao mês
t = 6 meses
Como a taxa é mensal e o tempo de operação é medido em meses, não há
necessidadede fazer nenhumaconversão (veremosmais tardequando seránecessário
e como azê-lo) Então, usando a taxa unitária e substituindo na órmula, temos:
J=C∙i∙t
J=1000∙0,03∙6
J=$180
Ou seja, os juros gerados pela operação são de R$ 180,00, como esperávamos
Qual é a taxa de juros de um empréstimo de $ 1500,00 que deve ser pago em $
1950,00 após 1 meses?
Solução: neste caso, temos os seguintes valores:
C = 1500
M = 1950
t = 1 meses
i = ?
Para usar a órmula, vamos primeiramente calcular o valor dos juros
13
J=M−C
J=1950−1500
J=450
Agora, podemos substituir estes valores na outra órmula
J=C∙i∙t
450=1500∙i∙1
450=18000∙i
i=45018000
i=0,05 ou ,5%
A taxa de juros da operação é, portanto, de ,5% aomês, já que o tempo émedido
em meses.
Sabe-se que um capital de $ 300,00 investido à taxa de 5% ao mês rende $
800,00 em juros Qual oi o prazo para esta operação?
Solução: neste caso temos os seguintes dados:
C = 2.300
J = 800
i = 5% (ou 0,05) ao mês
t = ?
Substituindo na órmula temos:
J=C∙i∙t
800=300∙0,05∙t
800=115∙t
t=800/115
t≈6,96
A duração da operação é, portanto, de aproximadamente sete meses, uma vez
que a taxa de juro é mensal.
Quemontante de capital, aplicado a 7,5% ao ano, gerará $4000,00 em juros em 5
anos?
Solução: neste caso, os dados do problema são:
i = 7,5% ao ano
t = 5 anos
J = 4.000
Substituindo na órmula temos:
J=C∙i∙t
4000=C∙0,075∙5
4000=C∙0,375
C=4000/0,375
14
C=10666,67
Portanto, o capital é igual a $ 10666,67
Valor: vimos anteriormente que o valor é a soma do principal e dos juros
acumulados no período, então M=C+J Também vimos que J=C∙i∙t Portanto, podemos
derivar outra órmula para o valor da operação da seguinte orma:
SabemosqueM=C+J(1) e J=C∙i∙t () Então, substituindoaequação()naequação
(1), temos o seguinte:
M=C+C∙i∙t
Colocando “C” em evidência, temos:
M=C∙(1+i∙t)
A taxa de juros a ser utilizada nas fórmulas deve sempre ser a taxa unitária, nunca a per-
centual.
FIQUEATENTO
E essa é a nova órmula para o cálculo do montante de uma operação
Exemplo: Se $10000,00 de capital orem investidos a 1,5% aomês, qual será o valor
após 1 meses?
Solução: neste caso temos os seguintes dados:
C = 10000
i = 1,5% ao mês
t = 1 meses
M = ?
Como M=C∙(1+i∙t), então:
M=10000∙(1+0,015∙1) A multiplicação deve ser eita primeiro
M=10000∙(1+0,18)
M=10000∙(1,18)
M=11800
Portanto, o valor desta operação é de R$ 11800,00
• Conversão de taxas: como vimos acima, a taxa de juros e o período (tempo)
devem referir-se sempre à mesma unidade (dias, meses, ano, etc.). No entanto, isso
não acontece em muitas situações Nestes casos, precisamos converter a taxa de
juros a ser medida na mesma unidade do período (ou converter o período na mesma
unidade da taxa). No regime de capitalização simples, a conversão da taxa de juro é
feita simplesmente multiplicando ou dividindo pelo valor requerido. Então, por exemplo,
se tivermos uma anuidade, podemos obter a mensalidade simplesmente dividindo por
15
1 Ou, se tivermos uma diária, podemos obter a mensalidade multiplicando por 30, e
assim por diante Vejamos alguns exemplos:
Exemplo: suponha que uma pessoa invista R$ 500,00 em um undo que rende
3% ao mês Quanto essa pessoa terá após  anos?
Solução: observe que a taxa é mensal e o período é medido em anos. Portanto,
precisamos converter a taxa para uma taxa anual como esta:
ia=im∙1
ia=0,03∙1
ia=0,36
Aqui, “ia” é a taxa anual e “im” é a taxa mensal Agora, podemos utilizar a órmula
do montante:
M=C∙(1+i∙t)
M=500∙(1+0,36∙)
M=500∙(1+0,7)
M=500∙(1,7)
M=4.300
Então depois de 2 anos a pessoa terá R$ 4.300,00.
• Capitalização composta: popularmente chamada de “juros compostos”, a
capitalização composta é uma modalidade de capitalização onde a taxa de juros é
retirada do capital inicial mais os juros acumulados até o período anterior, por isso
também é chamada de “juros sobre juros ”. Na prática, esta é a modalidade utilizada
para todas as operações de capitalização É também importante notar que neste
regime a taxa de juro varia exponencialmente ao longo do tempo. Ou seja, o capital
“cresce”muitomais rápido se comparado ao regime de simples capitalização. Vejamos
um exemplo: suponha que uma pessoa contraia um empréstimo de R$ 1000,00 com
taxa de juros de 3% ao mês, para ser pago após 6 meses Observe que este é o mesmo
exemplo usado no início da seção de letras maiúsculas simples. A tabela abaixo ilustra
esta situação com o valor devido a cada mês.
Mês Juros Dívida
0 - 1000
1 0,03∙1000=30 1030
2 0,03∙1030=30,9 1060,9
3 0,03∙1060,9=31,83 109,73
4 0,03∙109,73=3,78 115,51
5 0,03∙115,51=33,77 1159,8
6 0,03∙1159,8=34,78 1194,06
Quadro 3: Taxa de juros (compostos)
Fonte: Elaborado pelo Autor (00)
16
Portanto, ao nal de seis meses, o valor devido será de R$ 1194,06 Observe que
quando implementamos a capitalização simples, esse valor era menor ($1180,00) Esta
dierença será tantomaior quantomaior or o período entre o início e o mda operação
O Gráco 1 abaixo ilustra a dierença entre esses dois tipos de letras maiúsculas
Pelo gráco podemos observar que ao nal de 60 meses a dívida na modalidade
de capitalização composta é praticamenteo dobro do que seria na modalidade de
capitalização simples.
Figura 1:Capitalização simples X Capitalização composta
Fonte: Elaborado pelos Autores (00)
Também no caso de capitalização composta, não é necessário realizar cálculos
conorme tabela acima Existem tambémalgumas órmulas que sãomuito úteis Vamos
ver:
• Valor: o valor da operação na modalidade de capitalização composta pode ser
calculado através da seguinte órmula:
M = C � 1 + i t
Da mesma orma, temos que:
M = montante;
C = capital;
i = taxa de juros;
t = período (ou tempo).
A partir desta órmula também podemos obter a órmula do capital “passando” o
termo para o “outro lado da igualdade” Então nós temos:1 + i t
C =
M
1 + i t
Exemplo: imagine que uma pessoa investe R$ 1500,00 em um undo que rende %
de juros ao mês Quanto essa pessoa terá após 1 meses?
Solução: os dados do problema são:
M= ?
C=1500
17
i=% ao mês
t=1 meses
Substituindo esses valores na órmula, temos o seguinte:
M = C � 1 + i t
M = 1500 � 1 + 0,02 
M = 1500 � 1,02 
M = 1500 � 1,268
M = 1.902
Então depois de 1 meses essa pessoa terá R$ 190,00
Exemplo: qual é o capital que, usando 1,5% ao mês, renderá $300,00 após 15
meses?
Solução: os dados do problema são os seguintes:
C = ?
M = 3.200
i = 1,5% ao mês
t = 15 meses
Substituindo na órmula, temos:
M= C ∙ ( + i) t
= C ∙ ( + ,) 15
= C ∙ (,) 15
= C ∙ (,)
C = 3200 / 1,25
C = 2.560
Portanto, o capital procurado é $560,00
Exemplo: após quanto tempo um capital de $1300,00 aplicado a uma taxa de 4%
ao mês rende um montante de $600,00?
Solução: neste caso, como o período aparece como um expoente na órmula
do montante precisou utilizar uma propriedade dos logaritmos. Essa propriedade diz o
seguinte:
Assim, substituindo os valores na órmula do montante, temos o seguinte:
 
 =  �  
M = C � 1 + i t
2600 = 1300 � 1 + 0,04 t
2600 = 1300 � 1,04 t
log 1,04 t = log 2
18
t = 17,7
Assim, após 17,7 meses (uma vez que a taxa é mensal), o capital de $1300,00 irá
gerar um montante de $600,00 a uma taxa de 4% ao mês
Exemplo:Qual éa taxade jurosque azumcapital de$5000,00gerar ummontante
de $8000,00 após 1 meses?
Solução: Substituindo os valores na órmula do montante, temos o seguinte:
M = C � 1 + i t
8000 = 5000 � 1 + i 
1,6 = 1 + i 
1,6 = 1 + i 
1 + i = 1,0399
i = 1,0399− 1
i = 0,0399 ou 3,99%
Assim, a taxa de juros procurada é 3,99% ao mês (uma vez que o período está em
meses).
1.2.2 Equivalência de taxas
Assim como na capitalização simples, namodalidade de capitalização composta
a taxa e o prazo devemcorresponder àmesmaunidade (dia,mês, ano, etc.). No entanto,
a transformação da taxa não é feita da mesma maneira. Mas antes de analisarmos
como transformar as taxas no regime de capitalização composta, vejamos umconceito
importante na matemática nanceira: o conceito de equivalência de taxas Duas ou
mais taxas relativas a períodos unitários diferentes são equivalentes se produzem o
mesmo valor ao nal de determinado tempo através da utilização do mesmo capital
inicial (SOBRINHO, 008)
Em outras palavras, duas taxas são equivalentes quando produzem a mesma
quantidade quando aplicadas aomesmo capital aomesmo tempo Uma taxa de % ao
mês,porexemplo, correspondeaumataxade6,8%aoanoVejamos: seconsiderarmos
um capital de R$ 1000,00 investido a % ao mês durante 1 meses, temos:
19
M = 1.000 � 1 + 0,02 
M = 1.000 � 1,2682
M = 1.268,20
Considerando, agora, o mesmo capital aplicado a 6,8% ao ano durante um ano
(equivalente a 1 meses), temos:
M = 1.000 � 1 + 0,2682 
M = 1.000 � 1,2682
M = 1.268,20
Como podemos perceber, essas duas taxas geram o mesmo valor quando
aplicadas ao mesmo capital no mesmo período. Mas como você transforma uma taxa
mensal em uma taxa anual? Para isso usaremos a seguinte órmula:
ia = 1 + im
 − 1
Onde “ia” é a taxa anual e “im” é a taxa mensal. De forma análoga, para calcular a
taxa mensal conhecendo a taxa anual, utilizamos a seguinte órmula:
im= 1 + ia

 − 1
Exemplo: Qual é a taxa mensal equivalente a 3% ao ano?
Solução:
im = (1,32)
0,08−1
im = 1,0234− 1
im = 0,0234 ou 2,34%
Nos links abaixo, vocês encontrarão esses assuntos de forma bem detalhada e
com muitos exemplos diferentes.
Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos Patrício
Samanez, (2007). Disponível em: https://bit.ly/3fb75J. Acesso em: 08 mai. 2020.
FIQUEATENTO
Matemática financeira, de José Dutra Vieira Sobrinho (2008).
Disponível em: https://bit.ly/2PoxtI7. Acesso em: 08 mai. 2020.
20
Ao comprar eletrodomésticos parcelados, normalmente nos deparamos com uma taxa
de juros para parcelas maiores (por exemplo, acima de seis parcelas). Porém, para par-
celas mais curtas (por exemplo duas ou três parcelas) é comum que não haja juros. Qual
é a razão desta diferença?
VAMOSPENSAR?
21
FIXANDOOCONTEÚDO
1.Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $1000,00 que rendeu $10,00 de juros ao
longo de 1 meses
a) 30% ao mês
b) 4% ao mês
c) 1% ao mês
d) 36% ao mês
e) 0,1% ao mês
2. Calcule os juros de um nanciamento de $150000,00 que rendeu um montante de
$190000,00 após 1 meses
a) $40.000,00.
b) $30.000,00.
c) $50000,00
d) $5000,00
e) $1000,00
3. Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $5000,00 que, após 6meses, gerou um
montante de $500,00
a) 0,3% ao mês
b) 0,66% ao mês
c) 3% ao mês
d) 4% ao ano
e) 0,4% ao mês
4. Calcule a taxa unitária de juros de equivalente a 1% ao ano
a) 0,01 ao ano
b) 0,1 ao ano
c) 0,001 ao ano
d) 0,1% ao ano
e) 0,01% ao ano
5. Calcule o montante de um empréstimo de $15000,00 a ser liquidado após 1 meses,
considerando uma taxa de 3% ao mês sob o regime de capitalização simples
a) $1900,00
b) $24.000,00.
c) $20.400,00.
d) $18750,00
22
e) $1980,00
6. Calcule a taxa de juros de um empréstimo de $2.000,00 que deve ser pago por
$350,00 após 6 meses, considerando a capitalização simples
a) ,9% ao ano
b) 0,09% ao mês
c) 0,09% ao ano
d) 1,03% ao mês
e) ,9% ao mês
7. Considerando o regime de capitalização composta, qual será o montante de uma
aplicação de $10000,00 durante 0 meses a uma taxa de 1,8% ao mês?
a) $1487,48
b) $14000,00
c) $13800,00
d) $487,48
e) $578,53
8. Qual é o capital que, aplicado por 4 meses a uma taxa de % ao mês sob o regime
de capitalização composta gera um montante de $0000,00?
a) $19000,00
b) $17500,00
c) $1504,70
d) $1434,43
e) $1845,5
23
DESCONTOS
24
2.1 INTRODUÇÃO
A operação de desconto pode ser entendida como capitalização “inversa”. Nos
regimes de capitalização conhecemos o valor presente (capital) e queremos saber o
valor uturo (montante) após a aplicação da taxa de juro de um determinado período
Por outro lado, numa operação de desconto, conhecemos o valor futuro de um título e
queremos saber o seu valor atual numa determinada data após a aplicação da taxa de
desconto. Em ambos os casos, a operação depende do tempo decorrido.
Numa transação de desconto, o valor futuro de um título é frequentemente chamado de
“valor de face” ou “valor de resgate” e pode ser definido como o valor do título na sua data
de vencimento.
FIQUEATENTO
A liquidação (pagamento) de um título antes de sua data de vencimento
geralmente requer um “prêmio” ou desconto no pagamento antecipado. O desconto é,
portanto, entendido como a diferença entre o valor de resgate do título e o valor atual
(valor pago) na data da transação, ou seja,
D=M-C
Onde “D” é o valor do desconto, “M” é o valor de resgate do título na data de seu
vencimento e “C” é o valor pago pelo título na data da transação.
Exemplo: Um título de $500,00 oi liquidado por $75,00 dois meses antes da
sua data de vencimento Neste caso, qual oi o valor do desconto?
Solução: Neste caso, temos as seguintes inormações:
M=500
C=75
D=?
Substituindo na órmula, temos:
D=M-C
D=500-75
D=5
Portanto o valor do desconto nesta transação oi de R$5,00
Tal como acontece com a capitalização, também temos regimes de descontos
simples e descontos compostos. O primeiro envolve cálculos lineares e o segundo
cálculos exponenciais.
25
2.2 DESCONTO SIMPLES
Também chamado de “desconto bancário” ou “desconto comercial” é uma
operação muito utilizada pelo sistema bancário. Neste tipo de operação, o desconto é
obtido multiplicando o valor de resgate pela taxa de desconto e pelo tempo até à data
de vencimento do título Assim:
D=M∙d∙t
Onde “d” é a taxa de desconto da operação.
Uma taxa de desconto não é o mesmo que uma taxa de juros. A taxa de desconto refe-
re-se sempre ao valor futuro (valor) da transação, enquanto a taxa de juros refere-se ao
valor presente (capital).
FIQUEATENTO
Para obter o valor presente ou valor descontado, basta subtrair o valor futuro pela
taxa de desconto, ou seja,
C=M-D
Exemplo: Qual o valor do desconto de um título de $900,00 com vencimento em 3
meses, considerando uma taxa de desconto de ,5% ao mês?
Solução: Os dados do problema são os seguintes:
M=900
d=,5% ao mês
t=3 meses
D=?
Substituindo estes valores na órmula do desconto, temos:
D=M∙d∙t
D=900∙0,05∙3
D=67,50
Portanto, o valor do desconto para esta transação é de $ 67,50
Exemplo: Dados os dados do exemplo anterior, qual será o valor descontado
(valor pago) deste título?
Solução: Sabemos que C=M-D, então:
C=900-67,50
C=83,50
Portanto, o valor com desconto é de R$ 83,50
Exemplo: Um título com valor de resgate de $ 1550,00 oi resgatado 0 dias antes
26
do vencimento por $ 1470,00 Qual oi a taxa de desconto utilizada na transação?
Solução: Neste caso os dados são os seguintes:
M=1550
C=1470
t=20 dias
d=?
Neste caso, primeiro precisamos conhecer o valor do desconto.
D=M-C
D=1550-1470
D=80
Substituindo estes valores na órmula do desconto, temos o seguinte:
D=M∙d∙t
80=1550∙d∙0
80=31000∙d
80/31000=d
d=0,006 ou 0,6%
Assim, a taxa de desconto da operação é 0,6% ao dia
Exemplo: Um título de $500,00 é liquidado por $4950,00 Considerando uma
taxa de desconto de 3% ao mês, o título oi liquidado quanto tempo antes da data de
vencimento?
Solução: Neste caso, temos os seguintes dados:
M=500
C=4950
d=3% ao mês
t=?
Calculando, primeiramente, o valor do desconto, temos:
D=M-C
D=500-4950
D=50
Substituindo na órmula do desconto:
D=M∙d∙t
50=500∙0,03∙t
50=156∙t
50/156=t
t=1,6
27
O tempo entre a liquidação e o vencimento do título é, portanto, de 1,6 meses
Se quiséssemos saber exatamente quantos meses e dias se passaram, poderíamos
transormar esse tempo Sabemos que é 1 mês mais 0,6 meses Portanto, precisamos
saber quantos dias equivalem a 0,6meses Para azer isso, basta criar uma regra de três
simples, como segue:
Ao comprar eletrodomésticos parcelados, normalmente nos deparamos com uma taxa
de juros para parcelas maiores (por exemplo, acima de seis parcelas). Porém, para par-
celas mais curtas (por exemplo duas ou três parcelas) é comum que não ha-ja juros. Qual
é a razão desta diferença?
VAMOSPENSAR?
O prazo da operação é, portanto, de um mês e 18 dias
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseja liquidar 15 dias antes do vencimento
um título com valor de resgate de $ 850,00 Sabendo que a taxa de desconto oerecida
pelo credor é de 3,5% ao mês, qual será o valor descontado (valor pago antes do
vencimento)?
Solução: Primeiro precisamos converter a taxa (ou período) de desconto porque
está em dias e o período está em meses. Por se tratar de um desconto simples, a
conversão é linear, ou seja:
dd =
dm
30
Onde “dd” é a taxa de desconto diária e “dm” é a taxa de desconto mensal Então:
dd = 0,0012
Substituindo na órmula do desconto, temos:
D=M∙d∙t
D=850∙0,001∙15
D=15,30
Agora podemos calcular o valor descontado.
28
C=M-D
C=850-15,30
C=834,70
Também é possível calcular o valor descontado diretamente através da órmula
única obtida nas duas anteriores Como sabemos que D=M∙d∙t e C=M-D, podemos
substituir uma órmula pela outra assim:
 = −  �  �  ⇒ Colocamos o “M” em evidência
C=M(1-d∙t)
Repetindo o exemplo anterior com a nova órmula, temos o seguinte:
C=M(1-d∙t)
C=850(1-0,001∙15)
C=850(1-0,018)
C=850(0,98)
C=834,70
O desconto simples é uma operação normalmente realizada no curto prazo. Se o período
operacional for muito longo, o valor do desconto poderá ser superior ao valor de resgate
do título se for utilizado o desconto simples.
FIQUEATENTO
Nos casos em que o período operacional é muito longo, é comum a utilização de
uma taxa de desconto crescente em relação ao que chamamos de “taxa de desconto
efetiva”.
No livro Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos
Patrício Samanez, (2007) você encontrará a definição de taxa de desconto efe-
tiva com uma explicação detalhada e muitos exemplos de aplicação.
Disponível em: https://bit.ly/3fb75J. Acesso em: 08 maio 2020.
BUSQUEPORMAIS
2.3 DESCONTO COMPOSTO
O desconto composto é uma taxa de desconto em que a taxa de desconto é
aplicada ao valor de resgate do título menos os descontos acumulados no período
anterior. Esta operação é pouco utilizada na prática e resulta em um valor descontado
bem menor (desconto maior) ao nal da operação Como os cálculos aqui são
exponenciais (e não lineares), o valor descontado é calculado da seguinte orma:
29
C = M 1 − d t
Neste caso, se a taxa de desconto e o prazo não estiverem na mesma unidade,
será sempre mais ácil transormar o prazo Vejamos o seguinte:
Exemplo: Uma pessoa decide resgatar um título de $ 0000,00 10 dias antes
do vencimento Sabendo que a taxa de desconto é de ,3% ao mês, qual será o valor
descontado considerando o sistema de desconto composto?
Solução: Como o prazo e a taxa de desconto estão em unidades diferentes,
primeiro transormamos o prazo da operação Como sabemos, 10 dias equivalem a
quatro meses Então, substituindo na órmula, temos:
 = (1 − )t
 = 20.000(1 − 0,023)4
 = 20.000(0,977)4
 = 20.000(0,9111)
 = 18.222
Assim, o valor descontado é $18,00
Exemplo: Suponhaque umapessoa tenha liquidado um título 90 dias antes do seu
vencimento, gerando um desconto de $1379,77 Considerando uma taxa de desconto
de 3% ao mês, calcule o valor de resgate do título
Solução: Os dados deste problema são:
D=1379,77
t=90 dias ou três meses
d=3% ao mês
M= ?
Observe que não temos valor com desconto (C) nem valor de resgate (M). Então,
vamos derivar uma nova órmula de cálculo:
D=M-C
D = M− M 1 − d t
D = M[1− 1 − d t]
Assim, substituindo os valores nesta órmula, temos:
1.379,77 = M[1− 1 − 0,03 
1.379,77 = M[1− 0,97 ]
1.379,77 = M 1− 0,9127
1.379,77 = M 0,0873
M = 15.804,92
30
Assim, o valor de resgate do título é $15804,9
Nos links abaixo vocês encontrarão estes assuntos de forma detalhada e um
com muitos exemplos de aplicação.
LINK’S: https://bit.ly/3ecSZWP.
BUSQUEPORMAIS
https://bit.ly/3iKdiOE.
Como foi dito ao longo do texto, o desconto composto gera descontos maiores que o
desconto simples no mesmo período. Foi dito também que a operação de desconto com-
posto praticamente não é utilizada na prática. Por que isso acontece?
VAMOSPENSAR?
31
FIXANDOOCONTEÚDO
1. Suponha que um título com valor de resgate de $15350,00 seja liquidado 0 dias antes
de seu vencimento por $15000,00 Calcule o valor do desconto
a) $350,00
b) $450,00
c) $300,00.
d) $5,00
e) $80,00
2.Calcule o valor do desconto de um título de $5500,00 comvencimento emdoismeses,
considerando uma taxa de desconto de % ao mês
a) $500,00
b) $220,00.
c) $320,00.
d) $50,00
e) $450,00
3. Um título com valor de resgate de $1000,00 oi descontado um mês antes do seu
vencimento por $900,00 Calcule a taxa de desconto da operação
a) 10% ao mês
b) 15% ao mês
c) 0% ao mês
d) 10% ao dia
e) 15% ao dia
4.Calcule o valor descontadodeum título cujo valor de resgate é $1300,00 e oi liquidado
35 dias antes de seu vencimento a uma taxa de desconto de 0,5% ao dia
a) $150,00
b) $1186,5
c) $30,75
d) $113,75
e)$14,80
5. Uma pessoa deseja liquidar um título de $800,00 vinte dias antes do seu vencimento
Considerando uma taxa de desconto de % ao mês, qual será o valor descontado?
a) $789,33
b) $1,33
c) $65,3
32
d) $45,00
e) $78,35
6. Um título com valor de resgate de $10000,00 é descontado dois meses antes de seu
vencimento por $950,00 Qual oi a taxa de desconto da operação?
a) 5,75% ao mês
b) 4% ao mês
c) ,5% ao mês
d) 3,75% ao mês
e) 4,5% ao mês
7.Qual é o valor de resgate de um título que oi liquidado por $350,00 três meses antes
do seu vencimento a uma taxa de desconto de 1,5% ao mês?
a) $3900,00
b) $3750,38
c) $4.000,00.
d) 3895,3
e) $3403,14
8. Considerando o regime de desconto composto, calcule o valor descontado de
um título cujo valor de resgate é $15000,00 e que oi liquidado 3 meses antes de seu
vencimento a uma taxa de desconto de % ao mês
a) $1315,36
b) $1500,00
c) $14117,88
d) $13458,3
e) $1753,55
33
SÉRIES DE PAGAMENTOS
34
Uma série de pagamentos consiste em vários pagamentos ou recebimentos
regulares de valores (constantes ou variáveis) com vencimentos consecutivos. Existem
diversas classicações para séries de pagamentos dependendo se as parcelas
(pagamentosou rendimentos) sãoconstantesouvariáveis; seoprazoénitoou innitoe
se as parcelas são antecipadas ou diferidas. Porém, em todos estes casos precisaremos
de um conceito de undamental importância: o conceito de fuxo de caixa
3.2 FLUXO DE CAIXA
Segundo Sobrinho (008), “o fuxo de caixa pode ser entendido como uma
sequência de rendimentos ou pagamentos, em dinheiro, programados para um
determinado período de tempo” Esse fuxo normalmente é mostrado gracamente,
onde a linha horizontal representa o tempo e as linhas verticais, apontando para cima
ou para baixo, representamas entradas e saídas de caixa Vejamos o seguinte exemplo:
3.1 INTRODUÇÃO
Dia Recebimento previsto Pagamento previsto
07 $100,00 -
08 - $800,00
09 - $300,00
10 $1500,00 -
Quadro 4: Fluxo de Caixa
Fonte: Elaborado pelos Autores (00)
Figura 2:Gráco representativo do fuxo de caixa
Fonte: Elaborado pelos Autores (00)
Como você pode ver, as entradas são representadas por setas para cima e as
saídas são representadas por setas para baixo. Além disso, o tamanho de cada seta
deve ser proporcional ao valor que ela representa Assim, o item de R$ 1500,00 deve
ser representado por uma seta maior que o item de R$ 100,00 Por outro lado, a linha
horizontal que representa o tempo deve estar orientada para a direita, para que os
períodos uturos quem mais distantes do ponto zero (início da linha) Se o pagamento
(saque) e o recebimento (saque) estiveremnomesmo lugar, só poderemos representar
adiferença. Neste caso, a seta apontará para cima seadiferença for positiva e apontará
para baixo se a diferença for negativa.
Exemplo: Suponha que uma pessoa contraia um empréstimo pessoal de R$
30000,00 em um banco, que paga em cinco parcelas mensais de R$ 7000,00 Do ponto
de vista de uma pessoa, a representação do fuxo de caixa desta operação será a
seguinte:
35
Primeiro, há um fuxo de caixa de $ 30000,00 no início da operação, seguido
de cinco fuxos de caixa de $ 7000,00 em intervalos regulares Do ponto de vista do
banco credor a situação se inverte, pois, primeiro há uma saída de caixa e depois cinco
entradas Assim:
3.3 SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES
As séries de pagamentos uniormes são aquelas em que as parcelas (entradas/
saídas de caixa) são constantes ao longo da operação. Tal como acontece com
todas as séries de pagamentos, estas prestações podem ser antecipadas ou dieridas
(vencidas), sendo as primeiras pagas/recebidas no início de cada período e as últimas
pagas/recebidas no nal de cada período A partir de agora usaremos notações que já
estamos acostumados, além de anotar o valor das parcelas Assim:
R=Valor das parcelas;
C=Capital ou valor presente;
M=Montante ou valor futuro;
i=Taxa de juros;
t=Períodos unitários da operação (quantidade de parcelas).
3.3.1 Séries uniformes com parcelas vencidas
Conforme observado anteriormente, os pagamentos vencidos (ou atrasados)
são aqueles que oram pagos ou recebidos no nal de cada período Como exemplo,
temos as contas de cartão de crédito ou aquelas compras parceladas, cuja primeira
parcela vence 30 ou 45 dias após a compra Considere o seguinte exemplo: suponha
que uma pessoa aça depósitos mensais de $ 1000,00 em um undo que rende juros de
1,5% aomês Sabendo que o primeiro depósito ocorrerá ummês após omomento inicial
36
(momento em que a pessoa “decide” aplicar), quanto terá essa pessoa ao nal de 4
meses? Esta operação pode ser representada da seguinte orma:
Assim, temos os seguintes dados:
R=1000
i=1,5% ao mês
t=4 meses
Utilizandoos conceitos que vimosatéagora, calcularemoso valor de cadaparcela
individualmente até o quarto mês Desta orma temos o seguinte:
1ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M = 1000(1,015) ⇒ M = 1.045,68
2ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M = 1000(1,015) ⇒ M = 1.030,22
3ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M = 1000(1,015) ⇒ M = 1.015,00
4ª prestação: M = C(1 + i)t ⇒ M4 = 1000(1,015)0 ⇒ M4 = 1.000,00
Sendo assim, o montante total (Mt) ao nal de quatro meses será:
Mt=1045,68+1030,+1015+1000
Mt=4090,90
Contudo, esta não é a única (ou mesmo a melhor) forma de fazer estes cálculos.
Imagine se tivéssemos, por exemplo, 50 ou 100 parcelas Portanto, é natural que se
procure uma forma de obter esse valor de formamais direta. Para isso, procuraremos a
órmula somando primeiro os valores sem azer nenhum cálculo
Mt= M1+M2+M3+M4
Mt = 1000 1,015
 + 1000 1,015  + 1000 1,015  + 1000 1,015 0
37
Colocando 1000 em evidência, temos:
Mt = 1000[ 1,015
0 + 1,015  + 1,015 +(1,015)]
A sequência representa a soma dos termos de uma
progressão geométrica (PG) nita cuja razão é igual 1,015 Podemos, então, utilizar a
órmula da soma dos termos de uma PG:
Onde “a1” é o primeiro termo da progressão e “q” é sua razão. Substituindo os
valores na órmula e lembrando que , temos o seguinte:1,015 0 = 1
Mt = 1000 4,0909
Mt = 4.090,90
Como R = 1000 e q = 1 + 0,015, podemos generalizar a órmula acima e dessa
maneira obtemos a órmula que procuramos:
Exemplo: Se uma pessoa aplica mensalmente $800,00 em um undo que rende
% ao mês, quanto essa pessoa terá ao nal de 3 anos?
Solução: Primeiramente, temos que observar que 3 anos são 36 meses Assim, os
dados do problema são:
R=800
i=% ao mês
t=36 meses
Substituindo na órmula, temos:
M = 800 � 51,995
M = 41.596
38
Quanto maior for a quantidade de casas decimais, mais preciso será o resultado. A partir
daqui vamos usar sempre cinco casas decimais, arredondando o resultado pa-ra duas
casas.
FIQUEATENTO
Exemplo: Suponha que uma pessoa queira ter R$ 10000,00 para uma viagem
daqui a dois anos e queira saber quanto deve investir por mês, considerando um fundo
que rende 1,75% ao mês
Solução: Os dados para este problema são:
M=10000
i=1,75% ao mês
t=2 anos (24 meses)
R= ?
Substituindo na órmula, temos:
10.000 = R � 29,51086
R = 338,86
Assim, esta pessoa deverá depositar mensalmente $338,86 para ter $10000,00
após dois anos
Exemplo: Quantas prestações mensais de $500,00 devo aplicar para ter $11707,
considerando um undo que rende 3% ao mês?
Solução: Os dados são os seguintes:
R=500
M=11707,
i=3% ao mês
t= ?
Substituindo na órmula:
39
11.707,22 � 0,03 = 500 � [(1,03)t − 1]
351,2166 = 500(1,03)t−500
351,2166+ 500 = 500(1,03)t
8851,2166 = 500(1,03)t
1,03 t = 1,70243
Aqui, precisaremos usar novamente a propriedade dos logaritmos.
log 1,03 t = log 1,70243
t � log 1,03 = log 1,70243
t ≈ 18
Então essa pessoa terá que investir 18 parcelas de R$ 500,00 para conseguir o
valor necessário.
Assim como temos uma órmula para calcular o valor (valor uturo) de uma série
de pagamentos uniormes, também temos uma órmula para o patrimônio líquido
(valor presente) Esta órmula é a seguinte:
Devemos utilizá-lo quando há entradade caixa no início da operação seguida
de saídas (pagamentos) periódicas A órmula quantitativa que vimos anteriormente
é usada na situação oposta Ou seja, naquelas situações em que primeiro há saídas
(pagamentos) periódicas e no nal da operação há entrada de caixa
Exemplo: Se uma pessoa deseja contratar um empréstimo a ser pago em 1
parcelas mensais de R$ 350,00 Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo credor é de
4% ao mês, qual deverá ser o valor desse empréstimo?
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
40
Reparem que primeiro há uma entrada no caixa e, depois, saídas periódicas
Assim, devemos utilizar a órmula acima com os seguintes dados:
R=350
i=4% ao mês
t=1 meses
C= ?
Substituindo na órmula, temos:
C = 350 � 9,38523
C = 3.284,83
Portanto, o valor do empréstimo deve ser $384,83
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseje nanciar um veículo no valor de
$50000,00 em 36 prestações Suponha ainda que não haja taxas, impostos nem outros
custos nanceiros e que a taxa de juros cobrada pela nanceira seja de ,8% ao mês
Dessa orma, qual será o valor das prestações?
Solução: Neste caso, também há uma entrada de caixa no início da operação e,
depois, as saídas periódicas Então, utilizaremos novamente a órmula anterior com os
seguintes dados:
C=50000
i=,8% ao mês
t=36 meses
R= ?
41
Substituindo, temos:
50.000 = R � 22,49782
R = 2.222,44
3.3.2 Séries uniformes com parcelas antecipadas
As séries de adiantamentos são aquelas em que ocorre um pagamento ou
recebimento no início de cada período. Portanto, a primeira parcela deverá ser paga ou
recebida no “tempo zero”. Um bom exemplo desse tipo de transação são as compras
parceladas, onde há um “entrado” e o restante é dividido em partes iguais. Neste caso
teremos também uma órmula para o valor uturo da operação (valor) e outra para o
valor presente (capital) Essas órmulas podem ser derivadas da mesma orma que no
início da seção anterior e são as seguintes:
Percebam que somente oi acrescentado o termo (1+i) às órmulas que tínhamos
para séries com termos vencidos.
Exemplo: Uma pessoa compra um aparelho de tv por $3.000,00 para ser paga em
6 prestaçõesmensais e iguais Sabendo que a primeira prestação é paga comoentrada
e que a taxa de juros da operação é de 1,5% ao mês, qual será o valor das prestações?
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
42
Os dados deste problema são os seguintes:
C=3.000
i=1,5% ao mês
t=6 meses
R= ?
Substituindo estes valores na órmula, temos:
Dessa orma, o valor de cada prestação será $518,76
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseja depositar mensalmente $600,00 em
um undo que rende % de juros ao mês Quanto essa pessoa terá ao nal de 4 meses,
sabendo que o primeiro depósito é eito no início do primeiro mês?
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
Temos, então, os seguintes valores:
R=600
i=% ao mês
t=24 meses
M= ?
Substituindo na órmula:
43
M = 600 � (1,02) � 30,422
M = 18.618,26
3.4 SÉRIE DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS
As séries de pagamentos variáveis são aquelas em que os pagamentos ou
rendimentos não são constantes durante a operação Esses pagamentos/receitas
podemaumentar ou diminuir em cada período. Há tambémcasos emque estes valores
não seguem uma tendência, seja de aumento ou de diminuição. Nesta seção veremos
o primeiro caso, ou seja, aumento e diminuição de pagamentos/receitas
3.4.1 Gradientes em progressão aritmética crescente
Numa série em que os pagamentos/receitas dierem de acordo com uma
regra denida, chamamos a dierença entre um pagamento e outro de gradiente (G)
Chamando a renda base do primeiro pagamento (R), os pagamentos subsequentes
serão essa renda base mais os gradientes acumulados em cada período. O diagrama
abaixo ilustra esta situação.
Neste caso, temos uma renda básica de $50,00 e gradiente igual a $100,00, ou
seja, R = 50 e G = 100
44
É importante ressaltar que a recusa sempre começa a partir do segundo pagamento.
Portanto, existem duas séries: o gradiente e a renda básica, e essas duas séries de-vem
ser somadas.
FIQUEATENTO
Emumasériegradiente,quandoospagamentos/receitassãodieridos (vencidos),
a órmula para o valor (valor uturo) será:
Para o cálculo do capital (valor presente), usaremos a seguinte órmula:
Exemplo: Suponha que uma pessoa deseje realizar uma viagem dentro de 5
meses e, para isso, resolva azer aplicações em um undo que rende % ao mês Sabe-
se que o primeiro depósito ocorrerá ao nal do primeiro mês e terá o valor de $00,00
Os depósitos seguintes aumentarão segundo um gradiente de $50,00 Dessa orma,
quanto essa pessoa terá ao nal do 5° mês?
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
Assim, os dados do problema são:
G=50
R=200
i=% ao mês
t=5 meses
M= ?
Substituindo na órmula e chamando o montante da série do gradiente de “MG”,
temos o seguinte:
45
MG = 2.500 � 5,204 − 5
MG = 2.500 � (0,204)
MG = 510
Omontantedasériedarendabase(MR)écalculadoda ormacomojáconhecemos:
MR = 200 � 5,20404
MR = 1.040,81
Somando os dois resultados, temos o montante total:
MT = 510+ 1040,81
MT = 1.550,81
Caso ocorra a série gradiente para adiantamentos/receitas, os cálculos são eitos
da mesma orma, apenas são alteradas as órmulas, que são as seguintes:
3.5 SÉRIE DE PAGAMENTOS INFINITA
Dizemos que uma série de pagamentos é innita quando possui um grande
número de pagamentos ou rendimentos durante um período de tempo que não pode
ser especicado Um bom exemplo são os rendimentos dos undos de pensões que
recebemos após a reorma Por quanto tempo o pensionista receberá esse rendimento
46
não pode ser determinado e pode, portanto, ser considerado innito Imagine uma
situação em que uma pessoa investe R$ 1000,00 em um undo que rende 3% ao mês
Essa pessoa poderá ter uma renda mensal innita de R$ 30,00 porque um mês depois
terá R$ 1030,00 disponíveis Se ele sacar R$ 30,00, continuará tendo R$ 1000,00, o que
gerará outros R$ 30,00 nomês seguinte, e assim por diante. Assim, no caso de uma série
innita dierida, o resultado é a aplicação da taxa de juros ao capital, onde o número de
períodos é muito grande e indenido O valor periódico desta série (R) é, portanto, dado
por:
R=C∙i
Sendo assim, se conhecemos o valor dos pagamentos/recebimentos, o capital
pode ser calculado da seguinte orma:
C =
R
i
Exemplo: Se uma pessoa deseja ter uma renda innita de $100,00 quanto ela
deve aplicar hoje considerando uma taxa de juros de ,5%?
Solução: Pela órmula do capital temos:
C = 48.000
No caso de uma série innita antecipada, a órmula do capital seria:
C = (1 + i) �
R
i
A órmula para o valor da do pagamento seria, então:
R = C �
i
1 + i
No início da unidade, foi derivada uma fórmula para o valor de uma série de pagamentos
uniformes com parcelas devidas a partir da soma dos prazos do GP final. Como você de-
rivaria a fórmula de patrimônio líquido com base no mesmo raciocínio?
VAMOSPENSAR?
47
No livro Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos
Patrício Samanez (2007) você encontrará este conteúdo com muitos exemplos
e exercícios de fixação com várias situações que vemos na prática.
Disponível em: https://bit.ly/2O422Pf. Acesso em: 14 maio 2020.
BUSQUEPORMAIS
48
FIXANDOOCONTEÚDO
1. Suponha que uma pessoa deseja ter $5000,00 para uma viagem dentro de 5meses
Para isso, ela pretende depositar mensalmente certa quantia em um fundo que rende
1,5% de juros ao mês Considerando o sistema de parcelas vencidas, qual deve ser o
valor mensal depositado por ela?
a)$166,3
b)$5,41
c)$83,16
d)$33,63
e)$15,44
2. Se uma pessoa aplica mensalmente $1500,00 em um undo que rende 1,5% ao mês,
quanto ela terá ao nal de 4 meses, considerando prestações vencidas?
a) $1475,14
b) $4950,8
c) $575,3
d) $3748,70
e) $40.000,00.
3. Suponha que uma pessoa aça um empréstimo de $5000,00 para ser pago em 4
prestações mensais e iguais Sabendo que a uma taxa de juros é de 3,5% ao mês quea
operação ocorre sob o sistema de parcelas vencidas, qual será o valor das prestações?
a) $1041,67
b) $561,3
c) $2.000,00.
d) $464,5
e) $1556,8
4. Suponha que uma pessoa compre um eletrodoméstico por $1800,00 para ser pago
em 18 prestações mensais e iguais Sabendo que a taxa de juros cobrada é de 1,85%
ao mês e a primeira prestação é paga como uma entrada (no momento da compra),
calcule o valor das prestações
a) $3,41
b) $116,33
c) $100,00
d) $15,00
e) $15,45
5. Suponha que uma pessoa deseja depositar mensalmente $800,00 em um undo que
49
rende 1,% de juros aomês Quanto essa pessoa terá ao nal de 36meses, sabendo que
o primeiro depósito é eito no início do primeiro mês?
a) $36187,7
b) $4015,87
c) $8800,00
d) $43850,00
e) $9380,00
6. Suponha que uma pessoa deseja nanciar $5000,00 para a compra de um veículo e
pretenda pagar em 36 prestações mensais e iguais Sabendo que é cobrada uma taxa
de juros de ,15% ao mês e supondo que não haja nenhum outro custo envolvido, qual
será o valor das prestações no regime de parcelas antecipadas?
a) $851,4
b) $983,46
c) $750,00
d) $78,35
e) $568,1
7. Considerando a questão anterior, qual seria o valor das prestações sob o regime de
parcelas vencidas?
a) $983,46
b) $50,30
c) $009,1
d) $1958,5
e) $1004,60
8. Se uma pessoa pretende depositar mensalmente $500,00 em um undo que rende 1%
ao mês, em quanto tempo ela terá $8048,45?
a) 1 meses
b) 36 meses
c) 15 meses
d) 18 meses
e) 5 meses
50
EMPRÉSTIMOS
51
4.1 INTRODUÇÃO
Os diferentes tipos de empréstimos são uma importante ferramenta para a
capitalização das empresas e, consequentemente, para o desenvolvimento econômico
do país. Esses empréstimos podem ser de curto prazo, como capital de giro, ou de longo
prazo, como empréstimos destinados, por exemplo, a investimentos produtivos. Neste
contexto, a matemática nanceira apresenta-se como uma erramenta importante
na operacionalização destas operações, e o conteúdo visto até agora será muito útil
No entanto, precisaremos introduzir alguns conceitos novos para compreender melhor
essas operações e como elas ocorrem na prática
4.2 DESCONTO DE DUPLICATAS
Duplicados são títulos de dívida em que o emitente se compromete a pagar um
determinadomontante no nal de um determinado período Este valor é o já conhecido
“valor de resgate” ou “valor de ace” da segunda via e tem prazo de validade especíco
Esses títulos são normalmente descontados nas instituições nanceiras, com taxa de
desconto e demais encargos nanceiros denidos, que normalmente são cobrados à
vista sobre o valor de resgate. Essa taxa de desconto geralmente ocorre, como vimos
anteriormente, e os principais encargos nanceiros presentes nesse tipo de transação
são os seguintes:
• Imposto sobre Operações Financeiras (IOF): é, por exemplo, um imposto
ederal sobre operações de crédito, câmbio e seguros A taxa é cobrada sobre o valor
da operação e ao mesmo tempo serve como erramenta de controle das operações
nanceiras no país
• Taxa administrativa: normalmente cobrada pelas instituições nanceiras para
cobrir os custos de abertura, concessão e revisão do empréstimo. Também é calculado
a partir do valor do título e deve ser pago no momento da liberação do crédito.
Desta forma, existe um custo efetivo de operação superior à taxa de desconto
observadaanteriormenteApósa introduçãodo IOF,estecustoeetivopodesercalculado
da seguinte orma:
CE =
d + IOF
1− (d + IOF)
Onde “CE” representa o custo efetivo e “d”, como antes, representa a taxa de
desconto da operação, considerando sempre um sistema de desconto simples.
As operações de desconto de duplicatas se constituem em empréstimos das instituições fi-
nanceiras para as empresas. A responsabilidade pela cobrança da duplicata é da empresa
e esta deve pagar à instituição financeira mesmo que não receba dos clientes.
FIQUEATENTO
52
Exemplo: Qual é o custo efetivo de uma operação de desconto de duplicata cujo
valor de resgate é $30000,00 com vencimento em 60 dias, considerando uma taxa de
desconto de ,5% ao mês, uma alíquota de IOF de 0,041% ao dia?
Solução: O custo eetivo será:
CE = 0,08061 ou 8,061 ao bimestre
Nota: como a taxa de desconto é mensal, ela foi multiplicada por 2 para dar em
60 diasOmesmo oi eito coma alíquota do IOF, que oimultiplicada por 60 como todos
os dias.
Exemplo: Qual será o valor descontado na operação do exemplo anterior?
Solução: Para calcular o valor com desconto devemos subtrair o valor da compra
pelo desconto mais o IOF Assim:
C = M− D+ IOF
D = 30.000 � 0,025 � 2
D = 1.500
IOF = 30.000 � 0,00041 � 60
IOF = 738
Sendo assim temos, então:
C = 30.000− 1.500+ 738
C = 27.762,00
Podemos também calcular o valor descontado diretamente através da seguinte
órmula:
C = M � (1− dt − IOFt)
Sendo “IOF” a alíquota do imposto sobre operações nanceiras
De forma alternativa, o custo efetivo da operação também pode ser obtido
dividindo-se o valor de resgate da duplicata pelo valor descontado, da seguinte orma:
53
CE = 0,08061 ou 8,061 ao bimestre
4.3 NOTAS PROMISSÓRIAS
Os títulos do Tesouro, também chamados de “títulos comerciais”, são títulos de
curto prazo emitidos para arrecadar recursos para capital de giro Segundo Neto (019),
é uma “alternativa às operações convencionais de crédito bancário que permite reduzir
as taxas de juros eliminando a intermediação nanceira bancária”Os custos consistem
em juros pagos, comissões e outros custos de emissão
Exemplo: Suponha que uma empresa emita uma nota promissória com valor
nominal de $ 35000,00 e vencimento em 3 meses Oerece taxa de desconto de 1,5% ao
mês e o custo de emissão corresponde a 0,5% do valor de resgate Nessas condições,
qual será o valor líquido recebido pela empresa?
Solução: O valor líquido recebido será igual ao valor de resgate do título menos o
desconto e os custos de emissão Desta orma temos o seguinte:
Desconto: D=M∙d∙t
D=35000∙0,015∙3
D=1575
Custos de emissão: C=35000∙0,005
C=175
Assim, o valor líquido será:
VL=35000-1575-175
VL=3350,00
Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, qual foi o custo efetivo da
operação?
Solução: Como vimos, o custo efetivo pode ser obtido dividindo-se o valor de
resgate pelo valor líquido recebido Então:
CE = 0,0526 ou 5,26% aomês
4.4 FOMENTO COMERCIAL (FACTORING)
As operações de desenvolvimento comercial, também chamadas de “actoring”,
não são exatamente empréstimos, embora sejam importantes ferramentas para
obtenção de recursos de empresas, principalmente de pequeno e médio porte.
Essas operações não são realizadas por instituições nanceiras, mas por empresas
comerciais denominadas “fatores” ou “fatores”. As empresas de factoring compram
duplicatas de empresas de despacho e tornam-se detentoras de crédito dos clientes.
54
Neste e em outros pontos, esta operação é fundamentalmente diferente do desconto
de duplicatas que vimos anteriormente. É também uma operação mais segura para as
transportadoras, pois o risco de inadimplência do cliente é transferido para a empresa
de factoring. É claro que este risco é levado em consideração durante a operação e
se refete no valor pago pela empresa de actoring Esse valor também dependerá de
outros fatores, por isso a operação é realizada aplicando um fator ao valor de resgate do
título do empréstimo, que deve cobrir custos administrativos, impostos e ainda garantir
o lucro do atorador Este ator pode ser calculado da seguinte orma:
Fator =
Custo do dinheiro + Despesas + Lucro
1− Tributos
• Custo do dinheiro: representa o custo médio do capital de terceiros obtido pelo
actorer e o custo de oportunidade dos recursos próprios utilizados para realizar suas
operações
• Despesas: são despesas xas e variáveis do actorer Geralmente é calculado
como uma porcentagem de sua renda mensal total.
• Lucro: representa o lucro que a empresa de factoring espera da sua atividade.
Geralmente é calculado como uma porcentagem do valor de resgatedo título.
• Impostos: O PIS (Programa de Integração Social) e a COFINS (Contribuição para
o Financiamento da Seguridade Social) são normalmente recolhidos nessas operações
Exemplo: Considere uma operação de desenvolvimento comercial com um título de
US$ 15000,00 com vencimento em 30 dias Digamos que o custo do dinheiro seja de
,5% ao mês, o custo da empresa de actoring seja de % e sua margem de lucro seja
de 4,5% Se o total dos impostos or de 1%, qual será o ator operacional?
Solução: A operação tem o seguinte custo total (CT):
CT = 2,5% + 2%+ 4,5%
CT = 9%
Assim, o ator será:
Fator = 0,091 ou 9,1%
Exemplo: Considerando a situação do exemplo anterior, qual será o valor
descontado (capital)?
Solução: Precisamos, primeiramente, calcular a taxa de desconto através do fator
calculado Para isso, podemos utilizar a seguinte órmula:
d =
fator
1 + fator
Assim, temos a seguinte taxa de desconto:
d = 0,08341
55
Calculando, então, o valor descontado, teremos:
C = M � (1− dt)
C = 15.000 � 1− 0,08341 � 1
C = 15.000 � 0,91659
C = 13.748,85
Exemplo: Considerando ainda o exemplo anterior, qual foi o custo efetivo da
operação?
Solução:
CE = 0,091 ou 9,1%
Como se pode ver, o custo efetivo é igual ao fator calculado anteriormente.
No livro “Matemática financeira com HP 12c e Excel” de Gimenes (2006) você
encontrará mais detalhes sobre o conteúdo desenvolvido nesta unidade.
Disponível em: https://bit.ly/3e9WUDP. Acesso em: 14 maio 2020.
BUSQUEPORMAIS
No início do bloco vimos que o imposto sobre operações financeiras incide sobre opera-
ções com desconto na fatura. Porém, não é cobrado nas operações de factoring, como
também vimos. Por que isso está acontecendo?
VAMOSPENSAR?
56
FIXANDOOCONTEÚDO
1. Calcule o custo efetivo de uma operação de desconto de duplicata cujo valor de
resgate é $5000,00 com vencimento em 35 dias, considerando uma taxa de desconto
de 0,0% ao dia e uma alíquota de IOF de 0,041% ao dia
a) 0,000%
b) 0,06104%
c) 0,00041%
d) 0,035%
e) 0,003%
2. Calcule o valor descontado de uma operação de desconto de duplicata cujo valor de
resgate é $6500,00 com vencimento em 60 dias, considerando uma taxa de desconto
de 1,5% ao mês e uma alíquota de IOF de 0,0041% ao dia
a) $5300,00
b) $5890,00
c) $4350,00
d) $689,00
e) $350,00
3. Calcule o valor descontado de uma operação de desconto de duplicata cujo valor de
resgate é $10780,00 com vencimento em 50 dias, considerando ma taxa de desconto
de 1,9% ao mês e uma alíquota de IOF de 0,0041% ao dia
a) $10416,50
b) $10000,00
c) $10650,00
d) $9895,50
e) $8900,00
4. Uma empresa emite uma nota promissória com valor de resgate de $15000,00 e com
vencimento em meses Ela oerece uma taxa de desconto de % aomês e os custos de
emissão correspondem a 0,7% sobre o valor de resgate Sendo assim, qual será o valor
líquido recebido pela empresa?
a) $14900,00
b) $14000,00
c) $1495,00
d) $13950,00
e) $13568,00
5. Calcule o custo efetivo de uma operação de desconto de uma duplicata com valor
de resgate de $15000,00 com vencimento em  meses, sabendo que há uma taxa de
57
desconto de % ao mês e os custos de emissão correspondem a 0,7% sobre o valor de
resgate.
a) 4,93%
b) 3,7%
c) 5,5%
d) ,75%
e) 1,55%
6.Calcule o valor de resgate de umaduplicata descontada 30 antes do seu vencimento,
por $315,00 sabendo que o valor do desconto oi de $55,00 e os custos da operação
oram de $150,00
a) $3950,00
b) $3800,00
c) $4.000,00.
d) $450,00
e) $790,00
7. Imagine uma operação de omento comercial sobre um título de $5000,00 com
vencimento em 60 dias Suponha que o custo do dinheiro seja 3% ao mês, as despesas
da atorizadora representem ,5% e sua margem de lucro seja de 5% Se o total de
tributos representa 1%, qual será o ator da operação?
a) 0,106%
b) 0,61%
c) 1,45%
d) 10,61%
e) 11,54%
8. Uma fatorizadora realiza uma operação de fomento comercial sobre um título de
$5000,00 com vencimento em60 dias Supondo que o custo do dinheiro seja 3% aomês,
as despesas da atorizadora ,5%, sua margem de lucro 5% e os impostos 1%, calcule o
valor descontado.
a) $4040,77
b) $5055,1
c) $3950,00
d) $4980,5
e) $3780,00
58
SISTEMAS DE
AMORTIZAÇÃO
59
A amortização é um processo que consiste em quitar gradativamente a dívida
em parcelas para que o empréstimo seja quitado ao nal do prazo determinado Cada
pagamento tem dois componentes: a amortização, que é o reembolso do principal, e o
pagamento de juros sobre o saldo que ainda não foi amortizado. Umbomexemplo disso
é o nanciamento imobiliário, que pode durar 0 anos e é pago em parcelas mensais,
onde uma parte quita o empréstimo e a outra corresponde ao pagamento dos juros.
Outro conceito importante na área de nanciamento é o termo “período de
carência”, que representa o tempo decorrido entre a concessão do empréstimo e a
data de pagamento da primeira parcela. Este período é geralmente acordado entre o
credor e o devedor. Porém, é importante ressaltar que qualquer sistema de amortização
pode ou não ter carência.
Nesta unidade veremos os principais sistemas de depreciação adotados no país:
o sistema de depreciação francês, o sistema de depreciação constante e o sistema de
depreciação mista.
5.1.2 Sistema de Amortização Francês
Este sistema tambéméconhecido como “Tabela de Preços” porque foi criado pelo
matemático Richard Price no século XVIII e desenvolvido na França no século seguinte.
5.1 INTRODUÇÃO
De acordo com o Professor Mario Geraldo Pereira,
a denominação "Tabela Price" se deve ao nome do
matemático, lósoo e teólogo inglês Richard Price,
que viveu no Século XVIII e que incorporou a teoria dos
juros compostos às amortizações de empréstimos (ou
nanciamentos) A denominação "Sistema Frances", de
acordo como autor citado, deve-se ao fato de o mesmo
ter-se efetivamente desenvolvido na França no Século XIX
(SOBRINHO, 018, p 138)
Este sistema caracteriza-se pelo reembolso do empréstimo em prestações
regulares, iguais e consecutivas de acordo com o conceito de prestações vencidas O
valor das parcelas é, portanto, calculado da orma que já conhecemos, ou seja:
Opagamentodejurosécalculadomultiplicandoataxadejurospelosaldoexistente
no período anterior, e como cada pagamento consiste em juros mais amortização, este
valor será calculado subtraindo o valor do pagamento de juros Portanto teremos:
A=R-J
Onde “A” representaacomponentedeamortizaçãoe “J” representaacomponente
de juros.
60
Exemplo: Considere um empréstimo de $ 50000,00 a ser pago em 10 parcelas
iguais a uma taxa de juros de 3% Nesse caso, qual seria o valor das parcelas, da parte
dos juros e da parte da amortização na primeira parcela?
Solução: O valor das parcelas seria:
R = 50.000 � 0,12552
R = 6.276,00
Como não houve amortização da primeira parcela até o momento, o saldo da
dívida será o valor do próprio nanciamento Então:
J=i∙C
J=0,03∙50000
J=1500,00
Assim, a parcela da amortização na primeira prestação será:
A=R-J
A=676-1500
A=4776,00
A partir de agora representaremos a parte dos juros em cada período como J1, J2, J3 e as-
sim por diante. Da mesma forma, chamaremos de A1, A2, A3, ... a parte da amortização de
cada período e C1, C2, C3, ... o saldo devedor.
FIQUEATENTO
Exemplo:Considere um nanciamento de $35000,00 a ser pago em 5 prestações
iguais emensais a uma taxa de juros de 1,5% aomêsCalcule o valor de cada prestação,
a parcela dos juros e da amortização em cada período.
Solução: Vamos primeiramente calcular o valor das prestações:
61
R = 35.000 � 0,20909
R = 7.318,13
Devemos lembrar que este valor será constante em todos os períodos. A parte
dos juros da primeira parcela será:
J1=0,015∙35000
J1=55,00
A parcela da amortização também na primeira prestação será:
A1=7318,13-55
A1=6793,13
Ao nal do primeiro mês, o saldo devedor será o saldo do período anterior menos
o valor da amortização:
C1=C-A
C1=35000-6793,13
C1=806,87
Ao nal do segundo mês, teremos os seguintes valores:J2=i∙C1
J2=0,015∙806,87
J2=43,10
Amortização:
A2=R-J2
A2=7318,13-43,10
A2=6895,03
Saldo devedor:
C2=C1-A2
C2=806,87-6895,03
C2=1311,84
62
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 35000
1 7318,13 55 6793,13 806,87
2 7318,13 43,10 6895,0 1311,85
3 7318,13 319,68 6998,45 14313,40
4 7318,13 14,70 7103,4 709,98
5 7318,13 108,15 709,98 0,00
Quadro 5: Tabela Final com os dados do nanciamento
Fonte: Elaborado pelo Autor (00)
Continuando os cálculos para os demais períodos e apresentando os resultados
em uma tabela contendo os juros e amortizações de cada período, bem como o valor
das parcelas e o saldo devedor, teremos o seguinte:
Quando sabemos o valor do nanciamento, a taxa de juros e o número de
pagamentos, podemos utilizar outras órmulas importantes Por exemplo, vamos ver
como calcular os atrasos após um determinado tempo, que chamaremos de “n”:
Exemplo: Considerando os dados do exemplo anterior, qual será o saldo devedor
ao nal do 3° mês?
Solução: Neste caso, temos n=3 Substituindo na órmula com os outros valores
que já conhecemos, teremos:
C = 7.318,13 � 1,955883
C = 14.313,40
Este valor confere com aquele encontrado na tabela, como era de se esperar.
Exemplo: Considere um nanciamento de $70000,00 a ser pago em 40
prestações mensais e iguais Se a taxa de juros da operação é de % ao mês, qual será
o saldo devedor após 10 meses?
Solução: Primeiramente, precisamos calcular o valor das prestações
63
R = 70.000 � 0,020174
R = 1.412,18
Agora podemos calcular o valor do saldo devedor no período desejado.
C0 = 1.412,18 � 45,35539
C0 = 64.049.97
De forma semelhante, também podemos calcular os pagamentos de juros e
amortizações em um determinado período da seguinte orma:
An = A1 ∙ (1 + i)
n−1
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual será a parcela dos juros e a
parcela da amortização no período 10?
Solução: A parcela de juros será:
J0 = 28,2436 � 45,44664
J0 = 1.283,58
64
Para calcular a parcela de amortização no período n=10 através da órmula
anterior, devemos primeiro calcular essa parcela na primeira prestação (A1).
A = R− i � C
A = 1.412,18− 0,02 � 70.000
A = 12,18
Assim, A10 será:
A0 = 12,18 � 1,02
0
A0 = 12,18 � 1,02
9
A0 = 128,60
5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Um sistema de amortização constante (SAC) é um plano em que todos os
pagamentos de amortização são iguais ou constantes ao longo do período. Neste
ponto difere da tabela de preços, onde os reembolsos são constantes, como se pode
vericar (na tabela de preços a amortização cresce exponencialmente ao longo do
tempo). No sistema de amortização constante as parcelas vão diminuindo, ou seja, vão
diminuindo com o tempo. Para iniciar o processo, devemos primeiro calcular o valor da
depreciação da seguinte orma:
A =
C
t
A parte dos juros continua sendo calculada a partir do saldo não pago do período
anterior e o valor da parcela será a soma dessas duas parcelas, ou seja.
R=J+A
Exemplo: Suponha um nanciamento de $65000,00 a ser pago em 5 prestações
mensais a uma taxa de juros de 3% ao mês Quais seriam os valores das prestações e
as parcelas de juros e amortização em cada período?
Solução: Calculando primeiramente o valor da amortização, temos:
A = 13.000
No primeiro mês, teremos os seguintes valores:
65
J = 0,03 � 65.000
J = 1.950
R = 1.950+ 13.000
R = 14.950
C = 65.000− 13.000
C = 52.000
Seguindo este processo, podemos montar uma tabela como na seção anterior.
Período Prestação Juros Amortização Saldo devedor
0 - - - 65000
1 14950,00 1950,00 13000,00 5000
2 14560,00 1560,00 13000,00 39000
3 14170,00 1170,00 13000,00 6000
4 13780,00 780,00 13000,00 13000
5 13390,00 390,00 13000,00 0,00
Total 70850,00 5850,00 65000,00 -
Quadro 6: Tabela Final com os dados do nanciamento
Fonte: Elaborado pelo Autor (00)
No sistema de amortização constante, podemos calcular o saldo devedor no
momento “n” da seguinte orma:
Cn=A∙(t-n)
O valor da parcela de juros e da prestação no período “n” pode ser calculado
através das seguintes órmulas, respectivamente:
Jn=i∙A∙(t-n+1)
Rn=A[1+i∙(t-n+1)]
Exemplo: Suponha um nanciamento de $100000,00 a ser pago em60prestações
mensais sob o sistema de amortização constante. Considerando uma taxa de juros de
1,% ao mês, qual será o saldo devedor ao nal de dois anos?
Solução: Desejamos saber o saldo devedor no 4° mês, mas antes precisamos
calcular o valor da amortização Assim:
A = 1.666,67
66
Assim, o valor do saldo devedor ao nal de dois anos será:
Cn = A � t − n
C4 = 1.666,67 � 60− 24
C4 = 60.000,00
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual será o valor da prestação e a
parcela de juros ao nal de dois anos?
Solução: O valor da prestação será:
Rn = A � 1 + i � t − n + 1
R4 = 1.666,67 � 1 + 0,012 � 60− 24 + 1
R4 = 1.666,67 � 1,444
R4 = 2.406,67
A parcela de juros:
Jn = i � A � t − n + 1
J4 = 0,012 � 1.666,67 60− 24 + 1
J4 = 740,00
5.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃOMISTO
Um sistema misto de amortização (SAM), como o SAC, costuma ser utilizado
principalmente em nanciamentos imobiliários Como o nome sugere, baseia-se
nos dois tipos de amortização anteriormente mencionados, sendo os reembolsos
calculados como a média aritmética dos reembolsos dos outros sistemas. No início
da operação essas parcelas são maiores em relação à Tabela de Preços. No entanto,
diminuem signicativamente a partir de meados do período de nanciamento total
Neste sistema, a primeira parcela pode ser calculada da seguinte orma:
Como você pode perceber, a parcela é a média aritmética da parcela da Tabela
Price com a primeira parcela do sistema de amortização constante. Porém, existe outra
forma de calcular o valor desse benefício. Introdução da variável “q”, que pode assumir
valores de 0; 0,5 e 1, temos a seguinte órmula:
Desta forma, quando q=0, temos exatamente o desempenho da tabela de preços.
Em q=1 temos o valor de reembolso do sistema de amortização constante e em q=0,5
67
temos o valor de reembolso do sistema misto.
É importante notar que os benefícios num sistema misto diminuem de acordo
com uma progressão aritmética, cuja razão (r) é dada por:
Exemplo: Qual o valor da primeira prestação mensal de um nanciamento de
$300000,00 a ser pago em quatro prestações mensais a uma taxa de 5% ao mês,
considerando os três sistemas de amortização (Price, SAC e SAM)?
Solução: Vamos, primeiramente, considerar a Tabela Price. Para isso, precisamos
de q=0.
R
R = 84.603,55
Para calcular o valor da prestação no SAC, precisamos de q=1 Assim:
R = 300.000 � 0,3
R = 90.000,00
Por m, para calcular o valor da parcela no sistema misto, azemos q=0,5
68
R = 42.301,77+ 45.000
R = 87.301,77
Exemplo:Considerandoosdadosdoexemploanterior, qual seriaoplanocompleto
de amortização sob o sistema misto?
Solução: Uma vez que já conhecemos o valor da primeira prestação, devemos
calcular a razão de decrescimento das prestações para conhecermos as demais
r = 1.875
Assim, sabemos que a segunda prestação será:
R = R − r
R = 87.301,77− 1.875
R = 85.426,77
Como a parte dos juros é sempre calculada a partir do saldo devedor do período
anterior e a parte da amortização será o valor da amortizaçãomenos a parte dos juros,
podemosconstruir uma tabelaque representaocronogramacompletodeamortização.
Período Juros Amortização Prestação Saldo devedor
0 - - - 300.000
1 15000 7301,77 87301,77 7698,3
2 11384,91 74041,86 8546,77 153656,36
3 768,8 75868,96 83551,77 77787,40
4 3889,37 77787,40 81676,77 0,00
Total 37957,10 300.000 337957,10 -
Quadro 7: Tabela Final com os dados da amortização
Fonte: Elaborado pelo Autor (00)
Observe que a diferença entre um pagamento e o pagamento anterior é sempre
igual a $ 1875,00, valor de “r”
69
No livro Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos
Patrício Samanez (2007) você encontrará mais detalhes sobre este conteúdocom muitos exemplos e exercícios.
Disponível em: https://bit.ly/3gIpQEt. Acesso em: 14 maio. 2020
BUSQUEPORMAIS
Em qualquer sistema de amortização, a soma das prestações nunca é igual ao valor do
empréstimo. Por que isso acontece?
VAMOSPENSAR?
70
FIXANDOOCONTEÚDO
1. Considere um nanciamento no valor de $30000,00 a ser liquidado em 5 prestações
mensais Sendo a taxa de juros % ao mês e o sistema de amortização é a Tabela Price,
calcule o valor da amortização no segundo mês.
a) $5880,05
b) $6117,60
c) $639,95
d) $485,00
e) $5500,00
2. Considerando ainda a Tabela Price, calcule o valor do saldo devedor, ao nal de 4
meses, de um nanciamento de $150000,00 pelo prazo de 48meses, considerando uma
taxa de juros de 1,8% ao mês
a) $13569,69
b) $11093,79
c) $108064,5
d) $90815,06
e) $5049,45
3. Calcule o valor da prestação no 5° mês de um empréstimo de $350000,00 a ser
amortizado pela Tabela Price em 60 prestações, considerando uma taxa de juros de
3,5%
a) $1575,00
b) $5833,33
c) $14031,0
d) $1057,80
e) $1954,00
4. Considerando a Tabela Price, calcule o valor da parcela de juros, no 15° mês, de um
nanciamento de $100000,00 a ser amortizado em 30 prestações a uma taxa de juros
de ,9% ao mês
a) $718,00
b) $46,75
c) $109,56
d) $146,50
e) $1848,65
5.Considerandoosdadosdoexercícioanterior, calculeovalordaparceladeamortização
no 5° mês
71
a) $468,35
b) $315,3
c) $44,39
d) $2.240,00.
e) $5995,3
6. Considerando o sistema de amortização constante, calcule o valor da amortização
de um nanciamento de $50000,00 a ser amortizado em 4 prestações mensais a
uma taxa de juros de 1,9% ao mês
a) $10416,67
b) $15951,3
c) $875,00
d) $739,5
e) $7850,81
7. Uma pessoa nancia $35000,00 para a aquisição de um imóvel, pretendendo
amortizar em 10 prestações sob o sistema de amortização constante Sabendo que a
taxa de juros é de ,5% ao mês, calcule o saldo devedor ao nal do 60° mês
a) $145500,00
b) $13718,75
c) $145833,00
d) $175000,00
e) $200.000,00.
8.Considerando o sistema de amortizaçãomisto, calcule o valor da segunda prestação
de um nanciamento de $00000,00 a ser amortizado em 50 prestações mensais a
uma taxa de juros de 1,5% ao mês
a) $8351,5
b) $637,17
c) $5150,00
d) $585,35
e) $474,17
72
MÉTODOS DE AVALIAÇÃODE
INVESTIMENTOS
73
Osmétodos de análise de investimento ou análise de fuxo de caixa consistem em
comparar o valor presente de vários fuxos uturos de pagamentos/receitas com o valor
de um pagamento/receita eetuado “hoje”
6.1 INTRODUÇÃO
As alternativas de investimento podem ser comparadas
somente se as consequênciasmonetárias foremmedidas
em um ponto comum no tempo e, como as operações de
investimento ou nanciamento têm por característica um
espaçamento dos fuxos de caixa ao longo do tempo, os
critérios de avaliação econômica devem considerar sua
atualização (SAMANEZ, 007, p 54)
Dentre os métodos de avaliação mais utilizados, destacam-se o método do
valor presente líquido (VPL) e o método da taxa interna de retorno (TIR), amplamente
utilizados na análise de aplicações nanceiras e projetos de investimento
6.2 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)
O valor presente é uma técnica que envolve calcular o valor presente de uma
série de pagamentos/receitas a uma determinada taxa de juros e subtrair o valor do
fuxo inicial, que pode ser um investimento, nanciamento ou empréstimo Em outras
palavras, esta técnica visa calcular o valor presente dos fuxos de caixa uturos que o
projeto irá gerar ao longo da sua vida.
Se representarmos o fuxo de caixa no período “j” por FCJ e o fuxo de caixa inicial
(investimento/nanciamento) por I0, podemos escrever a seguinte órmula para o valor
presente líquido:
VPL =
FC
1 + i 
+
FC
1 + i 
+
FC
1 + i 
+⋯+
FCt
1 + i t
− I0
Esta técnica foi originalmente desenvolvida para análise de projetos de
investimento Neste caso, pode-se denir a taxa de retorno mínima exigida e com base
nela calcular o valor presente das vendas estimadas para os meses ou anos seguintes.
Se o valor presente líquido for positivo, ou seja, se o valor presente dos retornos futuros
formaior que o valor do investimento inicial, entãodeve ser tomadaadecisãode realizar
o investimento, pois neste caso a taxa de retorno do investimento será superior à taxa
mínima exigida. Por outras palavras, se o VPL for positivo, o investimento vale mais do
que custa.
Exemplo: Suponha que uma empresa esteja analisando a viabilidade de adquirir
equipamentos no valor de $ 5000000,00 Esta instalação é conhecida por gerar vendas
de $ 1500000,00 no primeiro ano, $ 1510000,00 no segundo ano, $ 900000,00 e $
790000,00 no terceiro e quarto anos, respectivamente Sabendo que o equipamento
será vendido por $ 1000000,00 ao nal do quarto ano, qual deveria ser a decisão da
empresa dada uma taxa de retorno de 15% ao ano?
Solução:Comoo equipamento será vendido ao nal do quarto ano, o fuxo gerado
neste ano será FC4=790000+1000000=1790000 Esquematicamente, temos a seguinte
74
situação:
Calculando o valor presente líquido destes fuxos, temos:
VPL = 1.304.347,83 + 1.141.776,94+ 591.764,61+ 1.023.438,31− 5.000.000
VPL = 4.061.327,68− 5.000.000
VPL = − 938.672,32 ⇒ VPL negativo
Portanto, considerando a taxa de retorno de 15% ao ano, a empresa não deve
realizaraaquisiçãodesteequipamento.Ditodeoutra forma,aaquisiçãodoequipamento
não é um investimento economicamente viável.
Exemplo: Seguindo o exemplo anterior, qual deveria ser a decisão da empresa se
ela considerasse uma taxa de retorno de 5% ao ano:
Solução: Neste caso, teríamos o seguinte VPL:
VPL = 1.428.571,43+ 1.396.614,51+ 777.453,84 + 1.472.637,43− 5.000.000
VPL = 5.048.277,21− 5.000.000
VPL = 48.277,21 ⇒ VPL positivo
Portanto, se a taxa de retorno exigida osse de 5% ao ano, o investimento seria
economicamente viável e a empresa deveria adquirir o equipamento.
75
6.3 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)
O método da taxa interna de retorno tem como objetivo encontrar uma taxa
intrínseca de rendimento em um investimento, empréstimo ou nanciamento Dito de
outra forma, a taxa interna de retorno é aquela que equaliza o valor presente de um ou
mais recebimentos futuros com o valor do investimento inicial, ou seja, é a taxa que faz
com que o VPL seja nulo. Dessa forma, a equação que nos dá a TIR pode ser escrita da
seguinte orma:
I0 =
FC
1 + i 
+
FC
1 + i 
+
FC
1 + i 
+⋯+
FCT
1 + i t
Ou, de orma similar:
I0 −
FC
1 + i 
+
FC
1 + i 
+
FC
1 + i 
+⋯+
FCT
1 + i t
= 0
Onde “i”, neste caso, representa a taxa interna de retorno.
Exemplo:Qual é a taxa interna de retorno de um investimento de $10000,00 a ser
liquidado em três prestações mensais de $3000,00, $5000,00 e $4000,00?
Solução: Esquematicamente, temos a seguinte situação:
Sendo assim, devemos resolver a seguinte equação:
10.000 =
3.000
1 + i 
+
5.000
1 + i 
+
4.000
1 + i 
No entanto, esta equação só pode ser resolvida por tentativa e erro (método
interativo). Para isso, precisamos escolher uma taxa interna que acreditamos estar
próxima da taxa desejada Escolhemos, por exemplo, 11% Portanto, a soma abaixo deve
ser igual a 10000:
= 9.658,58
76
Como resultado não foi o que queríamos, temos que tentar outra taxa. Para que o
resultado seja maior que o encontrado, a taxa deve ser menor Então tentaremos 9%
= 2.752,29+ 4.208,40+ 3.088,73
= 10.049,43
Como ainda não encontramos o valor que procuramos, tentaremos uma taxa um
pouco mais alta. Uma das técnicas que podemos usar para fazer isso é a interpolação
linear Como procuramos um valor entre 9% e 11%, procederemos da seguinte orma:
Onde x é a taxa que procuramos Assim:
x = −1,75%+ 11%
x = 9,25%
Usando, então 9,5% como taxa, teremos:
.000
(0,095)1
+
5.000
(0,095)2
+
4.000
(0,095)3
=
.000
,095 1
+
5.000
,095 2
+
4.000
,095 3
= 2.746 + 4.189,16+ 3.067,58
= 10.002,74
A rigor, a alíquota ainda não está e deveria ser um poucomaior.Se continuarmos
com a nova interpolação, obtemos uma alíquota igual a 9,647% Então teremos:
2.754,63+ 4.188,03+ 3.066,34
= 10.000
Portanto, a taxa interna de retorno deste nanciamento é 9,647%
77
No livro Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos de Carlos
Patrício Samanez (2007) você encontrará este conteúdo de forma bem deta-
lhada e com muitos exemplos de aplicação.
Disponível em: https://bit.ly/31ZBerr. Acesso em: 14 maio. 2020
BUSQUEPORMAIS
Na seção anterior, usamos o método de interpolação linear para encontrar a taxa interna
de retorno. Poderíamos também usar a média aritmética entre os dois valores de taxa
anteriores? Se sim, o número de tentativas seria o mesmo?
VAMOSPENSAR?
78
1. Suponha que uma empresa esteja analisando a viabilidade de adquirir um
equipamento por $950000,00 Sabe-se que este equipamento irá gerar receitas de
$350000,00 no primeiro ano, $500000,00 no segundo ano e $300000,00 no terceiro
ano Sabendo que o equipamento será vendido por $800000,00 ao nal do terceiro ano,
calcule o valor presente líquido deste investimento, considerando uma taxa de retorno
de 15% ao ano
a) $950000,00
b) $455687,51
c) $900000,00
d) $34578,75
e) $58735,83
2. Calcule o valor presente líquido de um investimento de $150000,000 que rende uma
receita de $50000,00 no primeiro ano, $45000,00 no segundo ano e $30000,00 no
terceiro ano Considere uma taxa de juros de 10% ao ano e saben-do
a) -$44815,94
b) $105184,06
c) $4435,1
d) $5048,00
e) -$6849,35
3. Suponha que uma pessoa deseja adquirir uma ranquia no valor de $150000,00
O ranqueador arma que este investimento irá gerar receitas anuais de $50000,00
no primeiro ano, $55000,00 no segundo ano, $60000,00 no terceiro ano, $75000,00
no quarto ano e $65000,00 no quinto ano Calcule o valor presente líquido deste
investimento considerando uma taxa de juros de 1% ao ano
a) $106745,60
b) $4354,40
c) -$5487,0
d) -$106745,60
e) $65741,94
4.Considerando o exercício anterior, calcule o valor presente líquido a uma taxa de 30%
ao ano.
a) -$7918,14
b) -$14081,86
c) $7918,14
d) $14081,86
e) -$156,15
FIXANDOOCONTEÚDO
79
5. Suponha que uma empresa deseja realizar a aquisição de um equipamento por
$10000,00 Sabendo que este equipamento irá gerar uma receita de $35000,00 no
primeiro ano, $50000,00 no segundo ano, $45000,00 no terceiro ano e $8000,00 no
quarto ano, calcule o valor presente líquido a uma taxa de 10% ao ano
a) -$6074,04
b) -$16074,04
c) $16074,04
d) $6074,04
e) $174,04
6. Considerando os dados do exercício anterior, calcule a taxa interna de retorno do
investimento.
a) 15,5%
b) 1,38%
c) 18,53%
d) 14,8%
e) 10,5%
7. Calcule a taxa interna de retorno de um investimento de $200.000,00 que gerará
receitas de $90000,00 no primeiro ano, $75000,00 no segundo ano e $80000,00 no
terceiro ano.
a) 15,5%
b) ,15%
c) 9,5%
d) 11,13%
e) 8,75%
8. Uma pessoa deseja comprar uma franquia por $320.000,00. Sabendo que tal franquia
irá gerar uma receita de $110000,00 por ano nos primeiros cinco anos, calcule a taxa
interna de retorno deste investimento.
a) 15,351%
b) 10,708%
c) 1,561%
d) 13,7854%
e) 14,356%
80
RESPOSTAS DO FIXANDOOCONTEÚDO
UNIDADE 1
UNIDADE 3
UNIDADE 5
UNIDADE 2
UNIDADE 4
UNIDADE 6
QUESTÃO 1 C
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 B
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 C
QUESTÃO 6 E
QUESTÃO 7 A
QUESTÃO 8 D
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 A
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 A
QUESTÃO 6 D
QUESTÃO 7 E
QUESTÃO 8 C
QUESTÃO 1 A
QUESTÃO 2 B
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 B
QUESTÃO 5 A
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QUESTÃO 1 B
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QUESTÃO 8 B
QUESTÃO 1 B
QUESTÃO 2 A
QUESTÃO 3 E
QUESTÃO 4 A
QUESTÃO 5 D
QUESTÃO 6 B
QUESTÃO 7 D
QUESTÃO 8 B
81
GIMENES, C. M. Matemática fnanceira com HP 12c e Excel São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 006
NETO, A. A. Matemática fnanceira e suas aplicações 14 ed São Paulo: Atlas, 019
SAMANEZ, C PMatemática fnanceira: aplicações à análise de investimentos 4 ed São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 007
SOBRINHO, J. D. V. Matemática fnanceira 3 ed São Paulo: Atlas, 008
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
82
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