CÁLC II ENG Aula 08

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<p>AULA Nº 08</p><p>CÁLCULO II ENGENHARIA</p><p>PROF. CLAUDIO POSSANI</p><p>TEOREMA DE FUBINI (2)</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Nesta aula vamos completar o estudo do</p><p>cálculo das integrais duplas e triplas.</p><p>Veremos as versões gerais do Teorema de</p><p>Fubini.</p><p>Faremos exercícios numéricos e aplicados.</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>𝐷׭ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦</p><p>ou</p><p>𝐷׭ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴</p><p>VOLUME E INTEGRAL DUPLA</p><p>NOTAÇÃO:</p><p>𝐷׭ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦</p><p>ou</p><p>𝐷׭ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴</p><p>INTEGRAL DEFINIDA DE 𝑓(𝑥, 𝑦) EM D</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>D= 0,2 𝑋 0,3</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Teorema de Fubini: 𝒇 contínua em D= 𝒂, 𝒃 𝑿 𝒄, , 𝒅</p><p>𝑫׭ 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝒂׬</p><p>𝒃</p><p>𝒄׬</p><p>𝒅</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙</p><p>𝑫׭ 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 = 𝒄׬</p><p>𝒅</p><p>𝒂׬</p><p>𝒃</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥)</p><p>1 2 3</p><p>-5</p><p>5</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Teorema de Fubini</p><p>ඵ</p><p>𝑫</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 = න</p><p>𝒂</p><p>𝒃</p><p>න</p><p>𝟎</p><p>𝒈(𝒙)</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Teorema de Fubini</p><p>-1 1 2 3</p><p>-1</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Teorema de Fubini (caso geral):</p><p>𝑫 = 𝒙, 𝒚 |𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 𝒆 𝒈(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒉(𝒙)</p><p>ඵ</p><p>𝑫</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 = න</p><p>𝒂</p><p>𝒃</p><p>න</p><p>𝒈(𝒙)</p><p>𝒉(𝒙)</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>𝑫 = 𝒙, 𝒚 |𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅 𝒆 𝒖(𝒚) ≤ 𝒙 ≤ 𝒗(𝒚)</p><p>ඵ</p><p>𝑫</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 = න</p><p>𝒄</p><p>𝒅</p><p>න</p><p>𝒖(𝒚)</p><p>𝒗(𝒚)</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Teorema de Fubini (caso geral):</p><p>𝑫 = 𝒙, 𝒚 |𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐 𝒆 𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙𝟐</p><p>ඵ</p><p>𝑫</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 = න</p><p>𝟎</p><p>𝟐</p><p>න</p><p>𝟎</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚𝒅𝒙</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>𝒚 = 𝒙𝟐</p><p>𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐</p><p>𝟎 ≤ 𝒚 ≤ 𝒙𝟐</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>1 2</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>x</p><p>y</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>ඵ</p><p>𝐷</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = න</p><p>0</p><p>4</p><p>න</p><p>𝑦</p><p>2</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>NOTAÇÃO:</p><p>𝐷׮</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 ou ׮𝐷</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS</p><p>Interpretações</p><p>𝑫׮</p><p>𝜹 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = massa de D com densidade 𝜹</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝑫׮⇒𝟏</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 𝑫׮=</p><p>𝟏𝒅𝑽 é o volume</p><p>de D.</p><p>INTEGRAIS TRIPLAS. T. DE FUBINI</p><p>Domínio D</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>𝑫 = 𝒂, 𝒃 𝑿 𝒄, 𝒅 𝑿 𝒆, 𝒇</p><p>𝑫 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ𝟑| 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 , 𝒄 ≤ 𝒚 ≤ 𝒅, 𝒆 ≤ 𝒛 ≤ 𝒇</p><p>Paralelepípedo reto retângulo de lados paralelos aos</p><p>planos coordenados</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Teorema de Fubini: 𝒇:𝑫 ⊆ ℝ𝟑 → ℝ contínua e D</p><p>paralelepípedo (como acima); então</p><p>ම</p><p>𝑫</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න</p><p>𝒂</p><p>𝒃</p><p>න</p><p>𝒄</p><p>𝒅</p><p>න</p><p>𝒆</p><p>𝒇</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Outras ordens são possíveis:</p><p>ම</p><p>𝑫</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න</p><p>𝒆</p><p>𝒇</p><p>න</p><p>𝒂</p><p>𝒃</p><p>න</p><p>𝒄</p><p>𝒅</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒚𝒅𝒙𝒅𝒛</p><p>São 6 ordens diferentes!</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>Teorema de Fubini. Caso Geral.</p><p>𝑫 = { 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ𝟑| 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 , 𝒈(𝒙) ≤ 𝒚 ≤ 𝒉(𝒙),</p><p>𝒖(𝒙, 𝒚) ≤ 𝒛 ≤ 𝒗(𝒙, 𝒚) }</p><p>ම</p><p>𝑫</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝑽 = න</p><p>𝒂</p><p>𝒃</p><p>න</p><p>𝒈(𝒙)</p><p>𝒉(𝒙)</p><p>න</p><p>𝒖(𝒙,𝒚)</p><p>𝒗(𝒙,𝒚)</p><p>𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝒅𝒛𝒅𝒚𝒅𝒙</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑧</p><p>𝐷 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3| 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥 + 𝑦</p><p>ම</p><p>𝐷</p><p>𝑥𝑦 + 𝑧 𝑑𝑉 = = න</p><p>0</p><p>2</p><p>න</p><p>0</p><p>1</p><p>න</p><p>0</p><p>𝑥+𝑦</p><p>(𝑥𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>0׬</p><p>2</p><p>0׬</p><p>1</p><p>𝑥𝑦𝑧 +</p><p>𝑧2</p><p>2</p><p>|</p><p>𝑥 + 𝑦</p><p>0</p><p>𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0׬</p><p>2</p><p>0׬</p><p>1</p><p>(𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑥 +</p><p>𝑥2</p><p>2</p><p>+ 𝑥𝑦</p><p>+</p><p>𝑦2</p><p>2</p><p>)𝑑𝑦𝑑𝑥 =</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>0׬</p><p>2</p><p>0׬</p><p>1</p><p>𝑥𝑦𝑧 +</p><p>𝑧2</p><p>2</p><p>|</p><p>𝑥 + 𝑦</p><p>0</p><p>𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0׬</p><p>2</p><p>0׬</p><p>1</p><p>(𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑥 +</p><p>𝑥2</p><p>2</p><p>+ 𝑥𝑦</p><p>+</p><p>𝑦2</p><p>2</p><p>)𝑑𝑦𝑑𝑥 = න</p><p>0</p><p>2 𝑥2𝑦2</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑦3</p><p>3</p><p>𝑥 +</p><p>𝑥2</p><p>2</p><p>𝑦 + 𝑥</p><p>𝑦2</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑦3</p><p>6</p><p>|</p><p>1</p><p>0</p><p>𝑑𝑥</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>0׬</p><p>2</p><p>0׬</p><p>1</p><p>𝑥𝑦𝑧 +</p><p>𝑧2</p><p>2</p><p>|</p><p>𝑥 + 𝑦</p><p>0</p><p>𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0׬</p><p>2</p><p>0׬</p><p>1</p><p>(𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑥 +</p><p>𝑥2</p><p>2</p><p>+ 𝑥𝑦</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑦2</p><p>2</p><p>)𝑑𝑦𝑑𝑥 = න</p><p>0</p><p>2 𝑥2𝑦2</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑦3</p><p>3</p><p>𝑥 +</p><p>𝑥2</p><p>2</p><p>𝑦 + 𝑥</p><p>𝑦2</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑦3</p><p>3</p><p>|</p><p>1</p><p>0</p><p>𝑑𝑥</p><p>= න</p><p>0</p><p>2</p><p>(𝑥2+</p><p>5𝑥</p><p>6</p><p>+</p><p>1</p><p>6</p><p>)𝑑𝑥 =</p><p>𝑥3</p><p>3</p><p>+</p><p>5𝑥2</p><p>12</p><p>+</p><p>𝑥</p><p>6</p><p>|</p><p>2</p><p>0</p><p>=</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>=</p><p>8</p><p>3</p><p>+</p><p>20</p><p>12</p><p>+</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>56</p><p>12</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p><p>ම</p><p>𝐷</p><p>𝑥𝑦 + 𝑧 𝑑𝑉 = = න</p><p>0</p><p>2</p><p>න</p><p>0</p><p>1</p><p>න</p><p>0</p><p>𝑥+𝑦</p><p>(𝑥𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥</p><p>Podemos trocar a ordem:</p><p>ම</p><p>𝐷</p><p>𝑥𝑦 + 𝑧 𝑑𝑉 = = න</p><p>0</p><p>1</p><p>න</p><p>0</p><p>2</p><p>න</p><p>0</p><p>𝑥+𝑦</p><p>(𝑥𝑦 + 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦</p><p>TEOREMA DE FUBINI</p>