Processamento de sinais- Slides

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<p>UNIDADE 1 – CONCEITOS BÁSICOS</p><p>PROCESSAMENTO DE SINAIS</p><p>UNIDADE 1 –ARQUITETURA DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO</p><p>➢ Arquitetura básica:</p><p>– Fonte de sinal.</p><p>–Transmissor.</p><p>– Canal (ou meio) de transmissão (ou de comunicaço).</p><p>– Receptor.</p><p>– Destino.</p><p>UNIDADE 1 –ARQUITETURA DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO</p><p>UNIDADE 1 –ARQUITETURA DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO</p><p>• Fonte de Informação: É a fonte geradora do sinal (áudio, vídeo, voz etc.) a ser transmitido.</p><p>UNIDADE 1 –ARQUITETURA DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO</p><p>Transmissor (TX): Fornece a potência necessária para amplificar o sinal elétrico, a fim de que ele percorra longas</p><p>distâncias, uma vez que sua energia vai se perdendo ao longo da transmissão pelo canal de comunicação (fios</p><p>elétricos ou espaço livre) ate ao receptor.Também é responsável pelos processos de modulação e codificação.</p><p>UNIDADE 1 –ARQUITETURA DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO</p><p>Meio de Comunicação: É o meio físico entre o transmissor e o receptor, pelo qual transitam os sinais elétricos,</p><p>luminosos ou eletromagnéticos da informação. Ex.: par trançado, fibra óptica, cabo coaxial, espaço livre.</p><p>UNIDADE 1 –ARQUITETURA DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO</p><p>Receptor (RX): Recebe os sinais da informação, faz sua demodulação e decodificação e o direciona ao transdutor</p><p>de recepção.</p><p>UNIDADE 1 –ARQUITETURA DE SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO</p><p>Destino da Informação: É o destinatário final que receberá a informação transmitida.</p><p>UNIDADE 1 –ADEQUAÇÕES EM COMUNICAÇÃO DIGITAL</p><p>➢ Codificador do sinal.</p><p>➢ Codificador de canal.</p><p>UNIDADE 1 – PROCESSAMENTO DE SINAIS</p><p>➢ Objeto do processamento: sinal (definido como uma entidade que carrega informação).</p><p>➢ Agente do processamento: sistema.</p><p>- “Um sistema é um conjunto de elementos, que interagem entre si, com o objetivo de</p><p>realizar uma determinada função”.</p><p>– Arquitetura de um sistema: variáveis, elementos, topologia e função.</p><p>➢ Domínio do processamento: domínio no qual a função do agente é definida.</p><p>–Tempo/espaço (forma) × frequência (composição espectral).</p><p>➢ Ação do processamento: função exercida pelo agente sobre o objeto.</p><p>➢ Conformação (tempo/espaço) × Alteração espectral (frequência).</p><p>UNIDADE 1 – PROCESSAMENTO DE SINAIS</p><p>➢ Arquitetura genérica do processamento:</p><p>– Sinal de entrada (ou estímulo ou excitação).</p><p>– Condições iniciais (valores de todas as variáveis internas do sistema).</p><p>– Sistema.</p><p>– Sinal de saída (ou resposta).</p><p>➢ Nomenclatura usual: “Sinal” (sinal desejado) × “Ruído” (sinal indesejado).</p><p>UNIDADE 1 –TIPOS DE SINAIS</p><p>➢ Definição de Sinal: entidade que carrega informação.</p><p>➢ Visão matemática de sinal: variável funcionalmente dependente de uma ou mais variáveis</p><p>independentes.</p><p>Exemplos: w = f(x, y).</p><p>➢ Visão física de sinal: grandeza física.</p><p>UNIDADE 1 –TIPOS DE SINAIS</p><p>➢ Tipos de sinais de acordo com o número de variáveis independentes: unidimensional,</p><p>bidimensional, tridimensional, multidimensional.</p><p>Exemplos:</p><p>áudio = f(t),</p><p>imagem = f(x, y),</p><p>vídeo = f(x, y, t) e</p><p>tomografia/sismologia = f(v1, v2, · · · , vN , t).</p><p>UNIDADE 1 –TIPOS DE SINAIS</p><p>➢ Tipos de sinais de acordo com o tipo das variáveis:</p><p>– Sinal analógico: todas as variáveis são contínuas.</p><p>– Sinal amostrado: discretização das variáveis independentes (amostragem).</p><p>– Sinal quantizado: discretização da variável dependente (quantização).</p><p>– Sinal digital: todas as variáveis são discretas (amostragem + quantização).</p><p>-- Sinal amostrado e sinal digital: conjunto ordenado de valores numéricos (sequência numérica)</p><p>ARQUITETURA DE SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL</p><p>➢ Sinal de entrada analógico: comumente, um sinal elétrico (tensão ou corrente).</p><p>➢ Pré-processamento analógico:</p><p>– Filtro anti-aliasing: com seletividade em frequência do tipo passa-baixa.</p><p>¨ – Amostragem e retenção (sample-and-hold ou S/H): responsável por manter fixo o valor da</p><p>amostra durante o tempo necessário para que ela seja convertida em um número.</p><p>– Conversor Analógico-Digital (A/D).</p><p>ARQUITETURA DE SISTEMAS DE PROCESSAMENTO DIGITAL</p><p>➢ Sinal de entrada digital: representação numérica computacional.</p><p>➢ Processador de sinal digital (Digital Signal Processor ou DSP).</p><p>➢ Sinal de saída digital: representação numérica computacional.</p><p>➢ Pós-processamento analógico:</p><p>– Conversor Digital-Analógico (D/A).</p><p>– Filtro de suavização (smoothing): com seletividade em frequência do tipo passa-baixa.</p><p>➢ Sinal de saída analógico: comumente, um sinal elétrico (tensão ou corrente).</p><p>CARACTERÍSTICAS DAS IMPLEMENTAÇÕES ANALÓGICAS E DIGITAIS</p><p>➢ Sinais</p><p>– Analógico: valores contínuos de tensão e de corrente.</p><p>– Digital: sequências de números, representados por uma determinada codificação, contendo um</p><p>número finito de símbolos. Normalmente, é utilizada uma codificação binriaria.</p><p>➢ Componentes básicos</p><p>– Analógico: componentes passivos (resistor, capacitor e indutor) e componentes ativos</p><p>(transistor, OpAmp e OTA).</p><p>– Digital: atrasador unitário (registrador), multiplicador e somador.</p><p>CARACTERÍSTICAS DAS IMPLEMENTAÇÕES ANALÓGICAS E DIGITAIS</p><p>➢ Armazenamento de sinal por longo prazo</p><p>– Analógico: por ser um processo que envolve valores contínuos de grandezas físicas, sofre grande</p><p>degradação.</p><p>– Digital: uma vez que, geralmente, envolve codificação binária, sofre pequena degradação.</p><p>➢ Ocupação de área</p><p>– Analógico: de forma geral, menor ocupação.</p><p>– Digital: de forma geral, maior ocupação.</p><p>CARACTERÍSTICAS DAS IMPLEMENTAÇÕES ANALÓGICAS E DIGITAIS</p><p>➢ Repetibilidade/reprodutibilidade</p><p>– Analógico: uma vez que os parâmetros são físicos e contínuos, necessita de um bom processo de</p><p>fabricação.</p><p>– Digital: dado que os parâmetros são matemáticos, a fabricação é repetitível por construção.</p><p>➢ Variabilidade na fabricação</p><p>– Analógico: os componentes possuem um valor nominal e uma incerteza associada ao processo</p><p>de fabricação. Devem ser utilizadas técnicas de projeto de sistemas que controlem a sensibilidade à</p><p>variação dos valores dos componentes.</p><p>– Digital: valor matemático fixo, associado à quantidade de símbolos utilizados na codificação</p><p>numérica</p><p>CARACTERÍSTICAS DAS IMPLEMENTAÇÕES ANALÓGICAS E DIGITAIS</p><p>➢ Variabilidade na operação</p><p>– Analógico: os componentes são influenciados por fatores ambientais (temperatura, umidade,</p><p>etc.), podem ser sujeitos a envelhecimento e podem sofrer desgaste por uso. Devem ser</p><p>utilizadas técnicas de projeto de sistemas que controlem a sensibilidade `a variação dos valores</p><p>dos componentes.</p><p>– Digital: operação baseada em valores matemáticos fixos, representados por uma quantidade</p><p>finita de símbolos utilizados na codificação numérica.</p><p>➢ Variabilidade com as frequências envolvidas nos sinais</p><p>– Analógico: as dimensões e a funcionalidade dos componentes podem ser fortemente afetadas</p><p>pela faixa de valores de frequência utilizada. ¨</p><p>– Digital: não afetado.</p><p>CARACTERÍSTICAS DAS IMPLEMENTAÇÕES ANALÓGICAS E DIGITAIS</p><p>➢ Fontes de erro</p><p>– Analógico: além da variação provocada por fatores ambientais, os componentes são</p><p>diretamente afetados por ruídos dos mais variados tipos, provocados pelos mais diversos</p><p>mecanismos, sendo intrínsecos aos próprios componentes e/ou induzidos por fontes externas.</p><p>– Digital: devido ao número finito de símbolos usado na codificação numérica, surgem os</p><p>seguintes problemas de aproximação numérica: quantização dos valores das sequências,</p><p>quantização dos valores dos coeficientes dos multiplicadores e aproximação dos valores finais das</p><p>operações (soma e multiplicação).</p><p>CARACTERÍSTICAS DAS IMPLEMENTAÇÕES ANALÓGICAS E DIGITAIS</p><p>➢ Programabilidade</p><p>– Analógico: componentes podem ser fixos e/ou variáveis. No caso de componentes fixos, devem</p><p>ser desenvolvidas técnicas de projeto de sistemas que permitam o controle da variação de um ou</p><p>mais parâmetros do sistema.</p><p>– Digital: naturalmente programável.</p><p>➢ Complexidade funcional</p><p>– Analógico: implementada com dificuldade.</p><p>– Digital: facilmente implementada.</p><p>➢ Multiplexação temporal de sinais</p><p>– Analógico: difícil implementação.</p><p>ANALÓGICO/DIGITAL</p><p>➢ Um sinal analógico é caracterizado pelo fato de que a sua amplitude pode assumir qualquer valor</p><p>em uma faixa contínua. Assim, a amplitude de um sinal analógico pode assumir valores infinitos.</p><p>➢ A amplitude de um sinal digital, por sua vez, só pode assumir um número finito de valores.</p><p>➢ A amostragem de apenas um sinal analógico não vai resultar em um sinal digital, pois a amostra de</p><p>um sinal analógico pode assumir qualquer valor em uma faixa contínua. Ele é digitalizado pelo</p><p>arredondamento do seu valor para o valor mais próximo possível dos números possíveis</p><p>permitidos (ou níveis de quantização).</p><p>CONVERSÃO ANALÓGICO/DIGITAL</p><p>CONVERSÃO ANALÓGICO/DIGITAL</p><p>➢ As amplitudes do sinal analógico x(t) estão na faixa (–V, V). Essa faixa é particionada em L</p><p>subintervalos, cada um com magnitude Δ = 2V/L.</p><p>➢ A seguir, cada amostra de amplitude é aproximada pelo valor médio do intervalo no qual a</p><p>amostra se encontra. Assim, cada amostra é aproximada para um dos L números. Portanto, o sinal</p><p>é digitalizado com amostras quantizadas assumindo um dos L valores.</p><p>➢ Cada amostra pode ser representada por um dos L pulsos distintos. Quanto menor a quantidade</p><p>possível de pulsos distintos, mais fácil é de se trabalhar na prática, sendo dois o menor número</p><p>possível.</p><p>➢ Um sinal digital utilizando apenas dois símbolos ou valores é um sinal binário, que é o melhor no</p><p>que se refere à facilidade de utilização na prática.</p><p>CONVERSÃO ANALÓGICO/DIGITAL</p><p>➢ Podemos converter um sinal L-ário em um sinal binário utilizando codificação de pulso.</p><p>➢ A Figura a segiuir mostra um tipo desse código para o caso de L = 16.</p><p>➢ Esse código, formado pela representação binária de 16 dígitos decimais (de 0 a 15), é chamado de</p><p>código binário natural (CBN).</p><p>➢ Para L níveis de quantização, precisamos de um mínimo de b dígitos do código binário, tal que 2 b</p><p>= L ou b = log2L.</p><p>➢ A cada um dos 16 níveis é associada uma palavra de código de quatro dígitos. Portanto, cada</p><p>amostra nesse exemplo é codificada por quatro dígitos binários</p><p>CONVERSÃO ANALÓGICO/DIGITAL</p><p>➢ Para transmitir ou processar digitalmente o dado binário, precisamos associar um pulso elétrico</p><p>distinto a cada um dos dois estados binários.</p><p>➢ Uma forma possível é associar um pulso negativo para o binário 0 e um pulso positivo para o</p><p>binário 1, tal que cada amostra é representada por um grupo de quatro pulsos binários (código de</p><p>pulso).</p><p>➢ O sinal binário resultante é um sinal digital obtido do sinal analógico x(t), através da conversão</p><p>A/D.</p><p>CONVERSÃO ANALÓGICO/DIGITAL</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ Considere que a conversão analógico-digital pode ser dividida em dois subprocessos combinados em sequência,</p><p>conforme ilustrado a seguir.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ Antes da conversão de um sinal analógico, , para um sinal digital, , existe uma etapa intermediária</p><p>em que um sinal discreto, , é gerado por meio da amostragem do sinal analógico a uma taxa constante.</p><p>Essa etapa é chamada de discretização no tempo.</p><p>➢ Como exemplo, vamos definir um tom com frequência de 1kHz pela equação a seguir.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ O processo de discretização no tempo consiste na amostragem do sinal analógico a uma taxa constante, o que</p><p>matematicamente equivale a</p><p>: período de amostragem.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ O sinal discreto pode ser representado por</p><p>Em que é um número inteiro que representa o tempo discreto ou índice da amostra.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ Suponha que desejemos amostrar a uma frequência de amostragem igual a 8.000 amostras por segundo,</p><p>frequência de amostragem de 8 kHz.</p><p>➢ Isso significa que a cada 0,125 ms nós observaremos o valor do sinal e o armazenaremos.</p><p>➢ Assim, voltando ao nosso exemplo, o sinal discreto será representado por:</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ Exemplo de sinal analógico</p><p>Amostragem do sinal analógico</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ Exemplo de sinal discreto no tempo contínuo</p><p>➢ Sinal discreto resultante descrito no tempo contínuo .</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ Exemplo de sinal discreto no tempo discreto</p><p>➢ Sinal discreto resultante descrito no tempo discreto n.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ Repare que o sinal discreto não é definido para todos os instantes de tempo, pois, pelo exemplo de sinal discreto</p><p>no tempo contínuo apresentado, o sinal discreto está definido para o instante de tempo t = 0,125 ms e para</p><p>múltiplos desse valor, mas não está definido para t = 0,2 ms, por exemplo.</p><p>➢ Logo, um sinal discreto é uma sequência numérica em que cada amostra assume um valor real ou complexo.</p><p>➢ A sequência de números que representa o sinal discreto resultante da discretização do sinal analógico do</p><p>exemplo é:</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>➢ A quantidade de bactérias em uma cultura pode ser modelada por uma função exponencial, conforme a seguir:</p><p>Em que: é a quantidade de bactérias em t = 0 h, e, é o tempo necessário em horas para que a</p><p>quantidade de bactérias dobre.</p><p>Determine o sinal discreto que representa o sinal analógico , supondo que a frequência de amostragem</p><p>seja igual a 2 amostras por hora.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>DISCRETIZAÇÃO NO TEMPO</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Um sinal digital é um sinal discreto cuja amplitude de cada amostra é codificada em uma sequência de 0s e 1s,</p><p>formando uma sequência binária com um número limitado de bits por amostra.</p><p>➢ Existem diversas formas de fazer isso. Uma delas é a conversão de base e a codificação de números negativos</p><p>usando a técnica de complemento de dois. A tabela a seguir mostra esse tipo de codificação utilizando N = 3 bits</p><p>por amostra.</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Buscando uma codificação que permita a representação de uma faixa dinâmica entre -1 e 1, podemos modificar a</p><p>tabela anterior, dividindo a amplitude de referência por 4 e obtendo a nova tabela a seguir.</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ A imagem a seguir mostra esse esquema de codificação binária, cujo eixo horizontal representa a tensão de</p><p>entrada no bloco quantizador entre -1 e 1 Volt, enquanto o eixo vertical representa a tensão na saída desse bloco</p><p>e que se encontra codificada na tabela anterior.</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Vimos que um tom com frequência igual a pode ser representado por um sinal discreto dado por:</p><p>➢ Logo, temos:</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Observe que nem todos os valores presentes encontram correspondência direta com os valores constantes da</p><p>primeira coluna da tabela 2 . Assim, aproximamos esses valores às amplitudes de referência mais próximas, ou seja,</p><p>está mais próximo de 0,75 do que de 0,5.</p><p>➢ Logo, vamos substituir 0,71 no sinal discreto por 0,75 e, da mesma forma, 1 será aproximado para 0,75, dando</p><p>origem ao sinal discreto e quantizado em amplitude descrito a seguir</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ A quantização de amplitude nada mais é do que arredondar a amplitude da amostra de um sinal discreto para o</p><p>valor mais próximo dentro de um conjunto finito de números , sendo o número de bits por</p><p>amostra.</p><p>➢ Portanto, para a obtenção do sinal digital, basta substituir as amplitudes quantizadas por seus códigos binários.</p><p>➢ Assim, um sinal digital, , pode ser visto tanto como uma sequência de 0 e 1 como por um sinal discreto</p><p>quantizado em amplitude . A imagem a seguir mostra o sinal analógico original e sua representação digital</p><p>na forma de um sinal discreto e quantizado.</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Como observamos na imagem anterior, o processo de quantização gera um erro, caracterizado pela diferença</p><p>entre o valor real e o valor quantizado da amostra.</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Para um codificador linear, em que o passo entre cada representação</p><p>binária é constante, podemos escrever:</p><p>➢ Partindo do exemplo, temos:</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Esse erro pode ser diminuído aumentando o número de bits por amostra. Na representação do exemplo, temos</p><p>➢ Logo 8 códigos binários diferentes para representar a faixa dinâmica de amplitude de interesse. Porém, se</p><p>utilizarmos 4 bits por amostra, teremos 16 códigos, um número maior de símbolos para representar a mesma</p><p>faixa, conforme a tabela a seguir.</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Nesse caso, o erro absoluto máximo de quantização é:</p><p>➢ De modo geral, a cada bit acrescentado, o erro absoluto máximo cai à metade. Se considerarmos que a faixa de</p><p>excursão do sinal é , podemos derivar uma fórmula geral para o erro absoluto máximo de</p><p>equalização como sendo:</p><p>QUANTIZAÇÃO EM AMPLITUDE</p><p>➢ Porém, à medida que o número de bits por amostra cresce, também aumenta a necessidade de memória para</p><p>armazenar o mesmo sinal e o tempo necessário para processá-lo.</p><p>➢ Na prática, utilizamos de 8 a 24 bits por amostra no processo de quantização de um sinal discreto para garantir</p><p>uma boa qualidade do sinal, sem utilizar muita memória para sua representação.</p><p>➢ CD players utilizavam 16bits por amostra a uma taxa de amostragem de 44,1kHz, para a codificação de sinais de</p><p>áudio.</p><p>ALIASING E O TEOREMA DE NYQUIST</p><p>➢ Quanto maior for a frequência de amostragem, mais amostras são necessárias para representar o</p><p>sinal analógico em determinado intervalo de tempo, o que implica mais memória para armazená-</p><p>lo ou maior velocidade de transmissão no caso de seu transporte em rede.</p><p>➢ Então, o ideal seria trabalharmos com a menor taxa possível, desde que não tenhamos perda de</p><p>informação.</p><p>TEOREMA DE NYQUIST</p><p>➢ Também chamado de teorema da amostragem.</p><p>➢ Na conversão analógico-digital de um sinal real, a frequência de amostragem deve ser pelo menos</p><p>duas vezes maior do que a largura de banda do sinal , denominada frequência de Nyquist.</p><p>TEOREMA DE NYQUIST</p><p>TEOREMA DE NYQUIST</p><p>➢ A frequência de amostragem normalmente utilizada é um pouco maior do que a frequência</p><p>mínima dada pelo teorema de Nyquist.</p><p>➢ Vamos verificar o que acontece se esse teorema não for satisfeito.</p><p>➢ Para isso, vamos voltar ao caso de um tom com frequência de 1 kHz e que foi amostrado a uma</p><p>taxa de 8 kHz.</p><p>➢ O sinal discreto obtido obedece ao teorema de Nyquist, pois a frequência de amostragem é 4 vezes</p><p>maior (8 kHz) que 2kHz (2 x 1kHz).</p><p>TEOREMA DE NYQUIST</p><p>➢ Considerando que o sinal discreto é descrito por:</p><p>➢ Agora, vamos considerar um sinal analógico que representa uma frequência</p><p>de 9kHz e foi amostrado a 8 kHz desrespeitando o teorema de Nyquist.</p><p>TEOREMA DE NYQUIST</p><p>TEOREMA DE NYQUIST</p><p>➢ Os dois sinais, tanto o de 1kHz quanto o de 9kHz geraram o mesmo sinal digital. Se os dois sinais</p><p>analógicos geram o mesmo sinal digital, quando realizarmos a operação inversa para recuperar o</p><p>sinal analógico a partir de sua representação digital, o tom em 1kHz será recuperado sem erros,</p><p>porque o teorema de Nyquist foi respeitado.</p><p>TEOREMA DE NYQUIST</p><p>TEOREMA DE NYQUIST</p><p>➢ O tom de 1 kHz teve 8 amostras coletadas a cada ciclo, enquanto o de 9 kHz em média 1 amostra</p><p>por ciclo.</p><p>➢ Pelo teorema de Nyquist, seriam necessárias pelo menos duas amostras por ciclo para não ocorrer</p><p>perda ou distorção de informação.</p><p>➢ Em outras palavras, podemos interpretar que, na conversão do tom em 9kHz para um sinal digital,</p><p>houve distorção da informação, o que vai impedir a recuperação posterior do sinal analógico. A</p><p>esse problema damos o nome de aliasing.</p><p>FILTRO ANTIALIASING</p><p>➢ Teorema de Nyquist (ou teorema da amostragem): Na conversão analógico-digital de um sinal real,</p><p>a frequência de amostragem deve ser pelo menos duas vezes maior do que a largura de banda do</p><p>sinal para que não ocorra o efeito de aliasing.</p><p>➢ A maior frequência presente em um sinal deve ser, no máximo, a metade da frequência de</p><p>amostragem. Dessa forma, antes de qualquer conversão A/D, é necessário que o sinal passe por um</p><p>filtro antialiasing analógico, de modo a garantir que o teorema de Nyquist seja sempre satisfeito.</p><p>➢ Esse filtro será do tipo passa-baixa e terá uma frequência de corte igual à largura de banda do sinal,</p><p>e a sua banda de rejeição deverá começar um pouco antes ou na metade da frequência de</p><p>amostragem.</p><p>FILTRO ANTIALIASING</p><p>CONVERSÃO DIGITAL ANALÓGICO</p><p>➢ A amostragem de um sinal contínuo é equivalente à multiplicação do sinal analógico por um trem</p><p>de impulsos regularmente espaçados entre si, de acordo com o período de amostragem (T),</p><p>resultando ainda em um sinal analógico que depende, porém, apenas do sinal discreto</p><p>X[n] = Xa(nT).</p><p>➢ A modelagem do processo de amostragem pode ser definida pela equação a seguir, em que</p><p>é o sinal amostrado resultante, é o sinal analógico original e é a função trem de</p><p>impulsos.</p><p>CONVERSÃO DIGITAL ANALÓGICO</p><p>➢ A equação que descreve o sinal é dada a seguir, junto com sua representação gráfica:</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Definido o processo de amostragem de um sinal analógico, passaremos a analisá-lo no domínio da</p><p>frequência.</p><p>➢ Para isso, utilizaremos a transformada de Fourier de tempo discreto e suas propriedades, mais</p><p>especificamente a propriedade relacionada à transformada de um produto de funções, reproduzida</p><p>a seguir, em que * é o operador de convolução.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ É possível demonstrar que o espectro de frequência de s(t) também é um trem de impulsos, porém espaçados</p><p>regularmente, de acordo com a frequência de amostragem.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Pela definição da operação de convolução (contínua), temos:</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Substituindo S(w) na equação, obtemos:</p><p>➢ Invertendo a ordem dos operadores de integração e somatório, podemos reescrever a equação:</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Pelas propriedades da operação impulso, temos finalmente:</p><p>➢ Percebemos que o processo de amostragem, ou de discretização no tempo, equivale ao somatório</p><p>de réplicas do espectro de frequência deslocadas de múltiplos da frequência de amostragem.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Considere que o sinal é limitado em frequência, com largura de banda igual a</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ O espectro de frequência de é dado na imagem a seguir.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Nessa situação, é possível recuperar o espectro de frequência do sinal analógico original por meio</p><p>de um filtro passa-baixa ideal, com frequência de corte igual à metade da frequência de</p><p>amostragem e ganho igual a T.</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Calculando a transformada de Fourier inversa (de tempo contínuo), é possível demonstrar que a</p><p>resposta ao impulso de um filtro passa-baixa ideal com ganho igual a e frequência de corte igual a</p><p>é dada por:</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ A imagem a seguir mostra um exemplo da resposta ao impulso obtida para</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Portanto, no domínio do tempo, podemos interpretar o processo de reconstrução como sendo:</p><p>DISCRETIZAÇÃO NA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Funções que obedecem à equação anterior são ditas funções interpoladoras, pois permitem</p><p>recuperar exatamente a função analógica original nos múltiplos do instante de amostragem.</p><p>➢ Já nos demais instantes de tempo, o sinal analógico é recuperado por interpolação a partir do</p><p>somatório de múltiplas versões deslocadas de h(t), ponderadas pelas amostras do sinal discreto</p><p>x[n].</p><p>DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Análise do aliasing no domínio da frequência.</p><p>➢ Considere que o sinal analógico tenha o espectro indicado a seguir, em que sua largura de banda é</p><p>exatamente igual à metade da frequência de amostragem .</p><p>DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Nesse caso, o espectro de frequência do sinal amostrado é apresentado</p><p>na próxima imagem, onde fica claro que</p><p>estamos no limite de uma superposição espectral, porém o aliasing ainda não ocorreu e o teorema de Nyquist foi</p><p>satisfeito.</p><p>➢ Nessa situação, ainda é possível, teoricamente, recuperar o sinal analógico utilizando um filtro passa-baixa ideal,</p><p>com frequência de corte igual à metade da frequência de amostragem. .</p><p>DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Fazendo agora , os espectros de frequência do sinal analógico e do sinal amostrado são dados</p><p>respectivamente pelas próximas imagens.</p><p>DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA</p><p>DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA</p><p>➢ Repare que teremos uma superposição espectral (destacados em vermelho) que distorce o</p><p>espectro do sinal amostrado (curva em azul) de tal forma que mesmo utilizando um filtro passa-</p><p>baixa não é mais possível recuperar o espectro de frequência do sinal analógico original.</p><p>➢ A imagem anterior mostra a ocorrência do aliasing como um processo de superposição espectral,</p><p>em que as partes mais altas do espectro são convertidas em frequências mais baixa.</p>na próxima imagem, onde fica claro que 
estamos no limite de uma superposição espectral, porém o aliasing ainda não ocorreu e o teorema de Nyquist foi 
satisfeito. 
➢ Nessa situação, ainda é possível, teoricamente, recuperar o sinal analógico utilizando um filtro passa-baixa ideal, 
com frequência de corte igual à metade da frequência de amostragem. .
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
➢ Fazendo agora , os espectros de frequência do sinal analógico e do sinal amostrado são dados 
respectivamente pelas próximas imagens.
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
➢ Repare que teremos uma superposição espectral (destacados em vermelho) que distorce o 
espectro do sinal amostrado (curva em azul) de tal forma que mesmo utilizando um filtro passa-
baixa não é mais possível recuperar o espectro de frequência do sinal analógico original. 
➢ A imagem anterior mostra a ocorrência do aliasing como um processo de superposição espectral, 
em que as partes mais altas do espectro são convertidas em frequências mais baixa.