Aula 20

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<p>ITA 2023</p><p>EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Prof. Victor So</p><p>www.estrategiamilitares.com.br</p><p>AULA 20</p><p>2</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Sumário</p><p>APRESENTAÇÃO 4</p><p>1. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 5</p><p>1.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 5</p><p>1.1.1. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO 5</p><p>1.1.2. COROLÁRIO 7</p><p>1.2. TEOREMA DA RAIZ COMPLEXA CONJUGADA 8</p><p>1.3. TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS DA FORMA 𝒂 + 𝒃𝒄 11</p><p>1.4. TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS 12</p><p>1.5. TEOREMA DE BOLZANO 14</p><p>2. RAIZ MÚLTIPLA E A DERIVADA POLINOMIAL 17</p><p>3. MÁXIMO DIVISOR COMUM 19</p><p>3.1. RAÍZES COMUNS 21</p><p>4. RELAÇÕES DE GIRARD 22</p><p>5. TRANSFORMAÇÕES 25</p><p>5.1. TRANSFORMADA ADITIVA 25</p><p>5.1.1. ALGORITMO DE HORNER-RUFFINI 26</p><p>5.2. TRANSFORMADA MULTIPLICATIVA 27</p><p>5.3. TRANSFORMADA INVERSA OU RECÍPROCA 28</p><p>6. EQUAÇÕES RECÍPROCAS 28</p><p>6.1. TEOREMA FUNDAMENTAL 29</p><p>6.2. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO RECÍPROCA 30</p><p>6.2.1. 1ª ESPÉCIE E GRAU PAR 30</p><p>6.2.2. 1ª ESPÉCIE E GRAU ÍMPAR 31</p><p>6.2.3. 2ª ESPÉCIE E GRAU PAR 31</p><p>6.2.4. 2ª ESPÉCIE E GRAU ÍMPAR 32</p><p>7. QUESTÕES NÍVEL 1 33</p><p>GABARITO 38</p><p>RESOLUÇÃO 38</p><p>8. QUESTÕES NÍVEL 2 50</p><p>3</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>GABARITO 56</p><p>RESOLUÇÃO 56</p><p>9. QUESTÕES NÍVEL 3 70</p><p>GABARITO 83</p><p>RESOLUÇÃO 84</p><p>10. CONSIDERAÇÕES FINAIS DA AULA 143</p><p>11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 144</p><p>4</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>APRESENTAÇÃO</p><p>Olá,</p><p>Chegamos à última aula de álgebra do curso. Nesta aula, veremos os teoremas envolvendo</p><p>raízes de equações algébricas polinomiais. São diversos teoremas e, para conseguir internalizar</p><p>todos, o recomendado é resolver muitos exercícios!</p><p>Se você for um aluno que já possui alguma base, você pode passar rapidamente pela teoria</p><p>ou, se preferir, ir direto para a lista de questões. Tente resolver todas e, sempre que tiver dúvidas,</p><p>não hesite em nos procurar no fórum de dúvidas.</p><p>Então, vamos à aula.</p><p>Bons estudos.</p><p>5</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>1. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Estudamos na aula passada que, se um número 𝛼 ∈ ℂ é raiz do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 +</p><p>𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, então 𝑃(𝛼) = 0. Vimos pelo Teorema de D’Alembert que isso é</p><p>equivalente a dizer que 𝑃(𝑥) é divisível pelo fator 𝑥 − 𝛼, isto é,</p><p>𝑃(𝛼) = 0 ⇔ 𝑃(𝑥) ⋮ (𝑥 − 𝛼)</p><p>No estudo das equações algébricas, queremos encontrar todos os números 𝛼 ∈ ℂ que</p><p>resultam 𝑃(𝛼) = 0, ou seja, todas as raízes da equação polinomial 𝑃(𝑥) = 0. Podemos encontrar</p><p>essas raízes através da tentativa e erro e usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para reduzir</p><p>o grau do polinômio, mas isso pode ser muito trabalhoso quando o polinômio possui grau elevado,</p><p>como 𝜕𝑃 = 10. Felizmente, temos diversos teoremas que podem auxiliar-nos a encontrar as</p><p>raízes de um polinômio. Vamos estudar um dos mais importantes, o Teorema Fundamental da</p><p>Álgebra.</p><p>1.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA</p><p>Todo polinômio de grau 𝒏 ≥ 𝟏, com coeficiente reais ou complexos, admite</p><p>pelo menos uma raiz complexa.</p><p>O Teorema Fundamental da Álgebra (T.F.A.) é um teorema que ajuda bastante na resolução</p><p>de questões sobre polinômios. Não veremos a demonstração desse teorema, pois foge ao escopo</p><p>do curso. Há diversos enunciados para esse teorema, porém, o mais conhecido é esse. Vejamos o</p><p>que podemos extrair dele.</p><p>1.1.1. TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO</p><p>Todo polinômio de grau 𝑛 ≥ 1, com coeficiente reais ou complexos, pode ser</p><p>decomposto em um produto de 𝑛 fatores do 1º grau.</p><p>Esse teorema diz que dado um polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, ele</p><p>também pode ser escrito da seguinte forma:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛)</p><p>Em que 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 são as raízes do polinômio 𝑃.</p><p>Demonstração</p><p>Seja o polinômio 𝑃 de grau 𝑛 ≥ 1 dado por</p><p>6</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0</p><p>Pelo T.F.A., podemos afirmar que 𝑃 admite pelo menos uma raiz complexa. Então, ∃𝛼1 ∈</p><p>ℂ tal que 𝑃(𝛼1) = 0. Pelo Teorema de D’Alembert, P é divisível por 𝑥 − 𝛼1, desse modo:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼1)𝑄1(𝑥), 𝜕𝑄1 = 𝑛 − 1</p><p>Se 𝑛 = 1, temos que 𝜕𝑄1 = 1 − 1 = 0 e, assim, o polinômio 𝑄1 é um polinômio constante,</p><p>logo:</p><p>𝑛 = 1 ⇒ 𝑃(𝑥) = 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ≡ (𝑥 − 𝛼1)𝑄1</p><p>𝑎1 (𝑥 −</p><p>𝑎0</p><p>𝑎1</p><p>) ≡ (𝑥 − 𝛼1)𝑄1 ∴ 𝑄1 ≡ 𝑎1</p><p>Se 𝑛 > 1, 𝑄1 não é um polinômio constante e possui grau 𝑛 − 1, então, podemos aplicar</p><p>o T.F.A. e afirmar que 𝑄1 possui uma raiz 𝛼2 ∈ ℂ tal que 𝑄1(𝛼2) = 0, então:</p><p>𝑄1(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼2)𝑄2(𝑥), 𝜕𝑄2 = 𝑛 − 2</p><p>Seguindo da mesma forma para os polinômios 𝑄𝑖 , 𝑖 = {2, 3, 4, … , 𝑛}, resultantes, temos:</p><p>∃𝛼3 ∈ ℂ tal que 𝑄2(𝛼3) = 0 ∴ 𝑄2(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼3)𝑄3(𝑥), 𝜕𝑄3 = 𝑛 − 3</p><p>∃𝛼4 ∈ ℂ tal que 𝑄3(𝛼4) = 0 ∴ 𝑄3(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼4)𝑄4(𝑥), 𝜕𝑄4 = 𝑛 − 4</p><p>⋮</p><p>∃𝛼𝑛 ∈ ℂ tal que 𝑄𝑛−1(𝛼𝑛) = 0 ∴ 𝑄𝑛−1(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼𝑛)𝑄𝑛(𝑥), 𝜕𝑄𝑛 = 𝑛 − 𝑛 = 0</p><p>Assim, temos que 𝜕𝑄𝑛 = 0 e pela identidade, podemos afirmar:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 ≡ (𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛)𝑄𝑛</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 (𝑥</p><p>𝑛 +</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>𝑎𝑛</p><p>𝑥𝑛−1 +⋯+</p><p>𝑎1</p><p>𝑎𝑛</p><p>𝑥 +</p><p>𝑎0</p><p>𝑎𝑛</p><p>) ≡ (𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛)𝑄𝑛</p><p>∴ 𝑄𝑛 ≡ 𝑎𝑛</p><p>Portanto, 𝑃 pode ser escrito como</p><p>𝑃(𝑥) ≡ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛)</p><p>Em que 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛 ∈ ℂ são raízes do polinômio.</p><p>Vamos demonstrar que o produto dos 𝑛 fatores é único.</p><p>Suponha que 𝑃 admita duas decomposições em 𝑛 fatores:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛)⏟</p><p>𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑛</p><p>≡ 𝑎𝑚 (𝑥 − 𝛼′1)(𝑥 − 𝛼′2)… (𝑥 − 𝛼′𝑛)⏟</p><p>𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑛</p><p>Pela definição da identidade, devemos ter 𝑎𝑛 ≡ 𝑎𝑚, logo:</p><p>(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑛) ≡ (𝑥 − 𝛼′1)(𝑥 − 𝛼′2)… (𝑥 − 𝛼′𝑛)</p><p>Para 𝑥 = 𝛼1, o polinômio à esquerda zera, logo:</p><p>(𝛼1 − 𝛼1)(𝛼1 − 𝛼2)… (𝛼1 − 𝛼𝑛) ≡ (𝛼1 − 𝛼′1)(𝛼1 − 𝛼′2)… (𝛼1 − 𝛼′𝑛)</p><p>0 ≡ (𝛼1 − 𝛼′1)(𝛼1 − 𝛼′2)… (𝛼1 − 𝛼′𝑛)</p><p>Assim, para a identidade ser satisfeita, devemos ter 𝛼𝑖</p><p>′ = 𝛼1, podemos supor, sem perda</p><p>de generalidade, 𝛼1 = 𝛼1</p><p>′ e, assim,</p><p>7</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>(𝑥 − 𝛼2)(𝑥 − 𝛼3)… (𝑥 − 𝛼𝑛) ≡ (𝑥 − 𝛼′2)(𝑥 − 𝛼′3)… (𝑥 − 𝛼′𝑛)</p><p>Novamente, agora para 𝑥 = 𝛼2:</p><p>0 ≡ (𝛼2 − 𝛼</p><p>′</p><p>2)(𝛼2 − 𝛼</p><p>′</p><p>3)… (𝛼2 − 𝛼</p><p>′</p><p>𝑛) ⇒ 𝛼2 = 𝛼2</p><p>′</p><p>∴ (𝑥 − 𝛼3)(𝑥 − 𝛼4)… (𝑥 − 𝛼𝑛) ≡ (𝑥 − 𝛼′3)(𝑥 − 𝛼′4)… (𝑥 − 𝛼′𝑛)</p><p>Seguindo de forma análoga para os outros fatores:</p><p>0 ≡ (𝛼3 − 𝛼′3)(𝛼3 − 𝛼′4)… (𝛼3 − 𝛼′𝑛) ⇒ 𝛼3 = 𝛼3</p><p>′</p><p>⋮</p><p>0 ≡ (𝛼𝑛 − 𝛼′𝑛) ⇒ 𝛼𝑛 = 𝛼𝑛</p><p>′</p><p>Portanto, a decomposição de 𝑃 de grau 𝑛 em 𝑛 fatores é único.</p><p>1.1.2. COROLÁRIO</p><p>Todo polinômio de grau 𝒏 ≥ 𝟏, com coeficientes reais ou complexos, possui 𝒏, e</p><p>somente 𝒏, raízes complexas, podendo ser todas distintas ou não.</p><p>Esse é o resultado mais importante dos teoremas vistos. Dado um polinômio de grau 𝑛,</p><p>podemos afirmar que ele possui exatamente 𝑛 raízes complexas, sendo que elas não precisam ser</p><p>distintas entre si. Na ocorrência de haver raízes repetidas, temos que se 𝛼𝑖 é uma raiz repetida</p><p>𝑚𝑖 vezes, dizemos que a raiz 𝛼𝑖 possui multiplicidade 𝑚𝑖, ou seja, dado um polinômio 𝑃 de grau</p><p>𝑛 e de raízes 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑘 com multiplicidade 𝑚1, 𝑚2, … ,𝑚𝑘, temos:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)</p><p>𝑚1(𝑥 − 𝛼2)</p><p>𝑚2 …(𝑥 − 𝛼𝑘)</p><p>𝑚𝑘</p><p>Em que 𝑚1 +𝑚2 +⋯+𝑚𝑘 = 𝑛.</p><p>Assim, podemos afirmar:</p><p>Se 𝜶 é uma raiz de multiplicidade 𝒎 de um polinômio 𝑃 de grau 𝑛, então:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 − 𝛼)𝑚𝑄(𝑥) 𝑒 𝑄(𝛼) ≠ 0</p><p>Exemplos:</p><p>1.1.2.a) 𝑃(𝑥) = 4𝑥10 + 5𝑥6 − 78𝑥2 + 100</p><p>Pelo corolário, temos que 𝑃 admite 10 raízes.</p><p>1.1.2.b) 𝑃(𝑥) = 10(𝑥 − 2)3(𝑥 − 4)7</p><p>Nesse caso, temos que o polinômio 𝑃 possui 3 + 7 = 10 raízes, sendo a raiz 2 de</p><p>multiplicidade 3 e a raiz 4 de multiplicidade</p><p>tangencia o eixo 𝑶𝒙 ⃡ analise as afirmativas abaixo e</p><p>escreva V para verdadeira e F para falsa.</p><p>( ) O gráfico de 𝑷(𝒙) corta o eixo 𝑶𝒙 ⃡ em dois pontos.</p><p>( ) Os afixos das raízes de 𝑷(𝒙) que possuem menor módulo formam um triângulo cujo perímetro</p><p>mede 𝟑√𝟑 unidades de comprimento.</p><p>( ) A soma das raízes imaginárias de 𝑷(𝒙) é igual a −𝟐.</p><p>A sequência correta é</p><p>a) V-V-V</p><p>b) V-F-F</p><p>c) F-V-F</p><p>d) F-V-V</p><p>58</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Comentários</p><p>Se 𝐴 𝑒 𝑃 tem um ponto em comum de ordenada nula, significa que esse ponto é (𝑥0, 0).</p><p>Veja que, então esse ponto é raiz dos dois polinômios.</p><p>Mais que isso, como 𝐴(𝑥) graficamente tangencia o eixo 𝑂𝑋, isto é só, o toca em um único</p><p>ponto, então esse ponto só pode ser (𝑥0, 0) e, portanto, 𝑥0 é raiz dupla de 𝐴(𝑥) = 0.</p><p>𝐴(𝑥0) = 0 ⇒ 2𝑥0</p><p>2 + 4𝑥0 + 𝑎 = 0</p><p>Como possui raiz dupla, entãp Δ = 0:</p><p>Δ = 42 − 4 ⋅ 2 ⋅ 𝑎 = 0 ⇒ 16 − 8𝑎 = 0 ⇒ 𝑎 = 2</p><p>⇒ 𝑥0 =</p><p>−4</p><p>2 ⋅ 2</p><p>= −1</p><p>Assim, 𝑃(𝑥) = 𝑥6 − 26𝑥3 − 27. Chamando 𝑥3 = 𝑦:</p><p>𝑦2 − 26𝑦 − 27 = 0 ⇒ 𝑦2 + 𝑦 − 27𝑦 − 27 = 0 ⇒ 𝑦(𝑦 + 1) − 27(𝑦 + 1) = 0</p><p>⇒ (𝑦 + 1)(𝑦 − 27) = 0 ⇒ (𝑥3 + 1)(𝑥3 − 27) = 0</p><p>Portanto, as raízes de 𝑃(𝑥) são tais que:</p><p>𝑥3 = −1 𝑜𝑢 𝑥3 = 27</p><p>Assim, raízes reais são apenas 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 3 e as demais são raízes complexas (duas</p><p>são raízes cúbicas de -1 e outras duas são raízes cúbicas de 3). Portanto a primeira afirmação é</p><p>verdadeira, pois 𝑃(𝑥) tem duas raízes reais.</p><p>As raízes de menor módulo são as 𝑥 = √−1</p><p>3</p><p>= 𝑒</p><p>𝑖𝜋</p><p>3 𝑜𝑢 𝑒𝑖𝜋 𝑜𝑢 𝑒</p><p>𝑖5𝜋</p><p>3 . Elas de fato formam um</p><p>triângulo equilátero no plano de Argand-Gauss. O módulo delas é igual à distância do incentro ao</p><p>vértice, que é dois terços da altura de um triângulo equilátero de lado 𝑙:</p><p>1 =</p><p>2</p><p>3</p><p>⋅ (</p><p>𝑙√3</p><p>2</p><p>) ⇒ 1 =</p><p>𝑙√3</p><p>3</p><p>⇒ 𝑙 = √3</p><p>Portanto, se o lado mede √3, então o perímetro realmente mede 3𝑙 = 3√3. Assim, a</p><p>segunda informação é verdadeira.</p><p>Para saber a soma das raízes imaginárias de 𝑃(𝑥) vamos à sua fatoração já feita:</p><p>𝑃(𝑥) = (𝑥3 + 1)(𝑥3 − 27) = (𝑥 + 1)(𝑥2 − 𝑥 + 1)(𝑥 − 3)(𝑥2 + 3𝑥 + 9)</p><p>Assim, veja que a soma das raízes de (𝑥2 − 𝑥 + 1) é 1, e a soma das raízes de 𝑥2 + 3𝑥 + 9</p><p>é −3. Portanto, a soma de todas as raízes complexas é 1 − 3 = −2. Logo, todas as afirmativas</p><p>são verdadeiras.</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>22. (AFA/2017)</p><p>O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 +𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝟏𝟐 é tal que 𝑷(𝒙) = 𝟎 admite as raízes 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒆 𝒙𝟑. Se 𝒙𝟏 ⋅</p><p>𝒙𝟐 = −𝟑 e 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟓, então é correto afirmar que</p><p>a) 𝑷(𝒎) = 𝟎</p><p>59</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>b) 𝒎− 𝒏 = −𝟏𝟑</p><p>c) 𝒎 ⋅ 𝒏 = 𝟐𝟎</p><p>d) 𝒏 − 𝟐𝒎 = −𝟕</p><p>Comentários</p><p>Sabemos pelas Relações de Girard que:</p><p>𝑥1𝑥2𝑥 3 = −</p><p>12</p><p>1</p><p>⇒ −3 ⋅ 𝑥3 = −12 ⇒ 𝑥3 = 4</p><p>É dado que 𝑥2 + 𝑥3 = 5 ⇒ 𝑥2 + 4 = 5 ⇒ 𝑥2 = 1</p><p>⇒ 𝑥1𝑥2 = −3 ⇒ 𝑥1 = −3</p><p>Ainda, por Girard:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −</p><p>𝑚</p><p>1</p><p>⇒ −𝑚 = 2 ⇒ 𝑚 = −2</p><p>𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥2𝑥3 =</p><p>𝑛</p><p>1</p><p>⇒ 𝑛 = −3 − 12 + 4 ⇒ 𝑛 = −11</p><p>Portanto, 𝑚 − 2𝑚 = −11 − 2(−2) = −11 + 4 = −7.</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>23. (AFA/2014)</p><p>A equação 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟎 possui as raízes 𝒎,𝒑 e 𝒒. O valor da expressão</p><p>𝒎</p><p>𝒑𝒒</p><p>+</p><p>𝒑</p><p>𝒎𝒒</p><p>+</p><p>𝒒</p><p>𝒎𝒑</p><p>é</p><p>a) −𝟐</p><p>𝒃) −3</p><p>𝒄) 𝟐</p><p>d) 3</p><p>Comentários</p><p>Antes de sair procurando as raízes da equação, vamos analisar a expressão pedida: dadas</p><p>as raízes 𝑚, 𝑝 𝑒 𝑞:</p><p>𝑚</p><p>𝑝𝑞</p><p>+</p><p>𝑝</p><p>𝑚𝑞</p><p>+</p><p>𝑞</p><p>𝑚𝑝</p><p>=</p><p>𝑚2 + 𝑝2 + 𝑞²</p><p>𝑚𝑝𝑞</p><p>Lembrando que:</p><p>(𝑚 + 𝑝 + 𝑞)2 = 𝑚2 + 𝑝2 + 𝑞2 + 2(𝑚𝑝 +𝑚𝑞 + 𝑝𝑞)</p><p>⇒ 𝑚2 + 𝑝2 + 𝑞2 = (𝑚 + 𝑝 + 𝑞)2 − 2(𝑚𝑝 +𝑚𝑞 + 𝑝𝑞)</p><p>Portanto, a expressão pedida fica:</p><p>𝑚</p><p>𝑝𝑞</p><p>+</p><p>𝑝</p><p>𝑚𝑞</p><p>+</p><p>𝑞</p><p>𝑚𝑝</p><p>=</p><p>𝑚2 + 𝑝2 + 𝑞²</p><p>𝑚𝑝𝑞</p><p>=</p><p>(𝑚 + 𝑝 + 𝑞)2 − 2(𝑚𝑝 +𝑚𝑞 + 𝑝𝑞)</p><p>𝑚𝑝𝑞</p><p>Podemos achar cada termo da expressão acima pelas relações de Girard:</p><p>60</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑚 + 𝑝 + 𝑞 = −</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>= −</p><p>−4</p><p>1</p><p>⇒ 𝑚 + 𝑝 + 𝑞 = 4</p><p>𝑚𝑝 +𝑚𝑞 + 𝑝𝑞 =</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>=</p><p>5</p><p>1</p><p>⇒ 𝑚𝑝 +𝑚𝑞 + 𝑝𝑞 = 5</p><p>𝑚𝑝𝑞 = −</p><p>𝑑</p><p>𝑎</p><p>= −</p><p>3</p><p>1</p><p>⇒ 𝑚𝑝𝑞 = −3</p><p>Assim, a expressão pedida é:</p><p>𝑚</p><p>𝑝𝑞</p><p>+</p><p>𝑝</p><p>𝑚𝑞</p><p>+</p><p>𝑞</p><p>𝑚𝑝</p><p>=</p><p>(𝑚 + 𝑝 + 𝑞)2 − 2(𝑚𝑝 +𝑚𝑞 + 𝑝𝑞)</p><p>𝑚𝑝𝑞</p><p>=</p><p>42 − 2 ⋅ 5</p><p>−3</p><p>=</p><p>16 − 10</p><p>−3</p><p>= −</p><p>6</p><p>3</p><p>⇒</p><p>𝑚</p><p>𝑝𝑞</p><p>+</p><p>𝑝</p><p>𝑚𝑞</p><p>+</p><p>𝑞</p><p>𝑚𝑝</p><p>= −2</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>24. (AFA/2013)</p><p>As raízes da equação algébrica 𝟐𝒙𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝟓𝟒 = 𝟎 formam uma progressão geométrica.</p><p>Se 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒃 ≠ 𝟎, então</p><p>𝒂</p><p>𝒃</p><p>é igual a</p><p>a)</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>b) 𝟑</p><p>c) −</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>d) −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>Comentários</p><p>Se as raízes formam uma progressão geométrica, então elas podem ser representadas por:</p><p>𝑥, 𝑥𝑞, 𝑥𝑞2, em que 𝑞 é a razão dessa PG. Pelas relações de Girard, o produto das raízes é:</p><p>𝑥 ⋅ 𝑥𝑞 ⋅ 𝑥𝑞2 = −</p><p>𝑑</p><p>𝑎</p><p>= −</p><p>54</p><p>2</p><p>⇒ 𝑥3𝑞3 = −27 ⇒ 𝑥𝑞 = √−27</p><p>3</p><p>= −3</p><p>Ainda, por Girard:</p><p>𝑥 + 𝑥𝑞 + 𝑥𝑞2 =</p><p>𝑎</p><p>2</p><p>𝑥2𝑞 + 𝑥2𝑞2 + 𝑥2𝑞3 =</p><p>𝑏</p><p>2</p><p>Dividindo ambas equações acima:</p><p>𝑥(1 + 𝑞 + 𝑞2)</p><p>𝑥2𝑞(1 + 𝑞 + 𝑞2)</p><p>=</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>⇒</p><p>𝑎</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>1</p><p>𝑥𝑞</p><p>= −</p><p>1</p><p>3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>25. (AFA/2012)</p><p>61</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Sejam (𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒) e (𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, 𝒃𝟒) uma progressão aritmética e uma progressão geométrica,</p><p>respectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e ambas crescentes. Se a razão 𝒓 da</p><p>progressão aritmética é o dobro da razão 𝒒 da progressão geométrica, então, o produto 𝒓 ⋅ 𝒒 é igual</p><p>a</p><p>a) 14</p><p>b) 18</p><p>c) 21</p><p>d) 24</p><p>Comentários</p><p>Do enunciado, temos 𝑟 = 2𝑞. Como a soma dos termos das duas sequências é igual, temos:</p><p>𝑃𝐴 → 𝑆𝑃𝐴 =</p><p>(1 + 𝑎4)4</p><p>2</p><p>= 2(1 + (1 + 3𝑟)) = 4 + 6𝑟 = 4 + 12𝑞</p><p>𝑃𝐺 → 𝑆𝑃𝐺 =</p><p>𝑎1(𝑞</p><p>4 − 1)</p><p>𝑞 − 1</p><p>=</p><p>(𝑞 − 1)(𝑞 + 1)(𝑞2 + 1)</p><p>𝑞 − 1</p><p>A fatoração acima foi feita usando diferença de quadrados.</p><p>Sendo ambas crescentes, temos 𝑞 ≠ 1, logo:</p><p>𝑆𝑃𝐺 = (𝑞 + 1)(𝑞</p><p>2 + 1)</p><p>Para 𝑆𝑃𝐴 = 𝑆𝑃𝐺 :</p><p>4 + 12𝑞 = (𝑞 + 1)(𝑞2 + 1)</p><p>4 + 12𝑞 = 𝑞3 + 𝑞 + 𝑞2 + 1</p><p>𝑞3 + 𝑞2 − 11𝑞 − 3 = 0</p><p>Veja que, por inspeção, 𝑞 = 3 é razão da equação acima. Fatorando em busca do fator 𝑞 −</p><p>3:</p><p>𝑞3 − 3𝑞2 + 4𝑞2 − 12𝑞 + 𝑞 �� 3 = 0 ⇒ 𝑞2(𝑞 − 3) + 4𝑞(𝑞 − 3) + (𝑞 − 3) = 0</p><p>⇒ (𝑞 − 3)(𝑞2 + 4𝑞 + 1) = 0</p><p>Se resolvermos 𝑞2 + 4𝑞 + 1 = 0 ⇒ 𝑞2 + 4𝑞 + 4 = 3 ⇒ (𝑞 + 2)2 = 3 ⇒ 𝑞 = −2 ± √3</p><p>Veja que há apenas um valor de 𝑞 > 0 ⇒ 𝑞 = 3. Assim, 𝑟 = 2𝑞 = 6. Logo:</p><p>𝑟𝑞 = 6 ⋅ 3 = 18</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>26. (EFOMM/2017)</p><p>Considere a equação 𝒙𝟒 − 𝟐𝒂𝒙𝟑 + 𝟗𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒂𝒙 + 𝟗𝒂 = 𝟎. Sabendo que 𝒂 é raiz dupla dessa</p><p>equação e não é nulo, determine o valor de 𝒂.</p><p>a) 𝒂 = −𝟏</p><p>62</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>b) 𝒂 = 𝟏</p><p>c) 𝒂 = 𝟐</p><p>d) 𝒂 = 𝟑</p><p>e) 𝒂 = 𝟒</p><p>Comentários</p><p>Se 𝑎 é raiz dupla da equação acima, se as outras duas equações são 𝑚 𝑒 𝑛, então pelas</p><p>Relações de Girard:</p><p>𝑎 + 𝑎 +𝑚 + 𝑛 = −</p><p>−2𝑎</p><p>1</p><p>= 2𝑎 ⇒ 𝑚 + 𝑛 = 0 ⇒ 𝑛 = −𝑚</p><p>Assim, as raízes são 𝑎, 𝑎,𝑚 𝑒 − 𝑚.</p><p>Ainda, por Girard, o produto das raízes:</p><p>−𝑚2𝑎2 = 9𝑎 ⇒ −𝑚2𝑎 = 9</p><p>O produto das raízes, 3 a 3 delas:</p><p>𝑎2𝑚 − 𝑎2𝑚− 2𝑚2𝑎 = −</p><p>−6𝑎</p><p>1</p><p>= 6𝑎 ⇒ −2𝑚2𝑎 = 6𝑎 ⇒ 6𝑎 = 18 ⇒ 𝑎 = 3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>27. (EFOMM/2017)</p><p>Sobre uma equação linear de grau 𝒏 é INCORRETO afirmar que</p><p>a) terá 𝒏 raízes complexas.</p><p>b) se 𝒏 for ímpar, sempre terá, ao menos, uma raiz real.</p><p>c) se um número complexo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, 𝒃 ≠ 𝟎 for raiz, então seu conjugado também o será.</p><p>d) a equação não pode ter raízes repetidas.</p><p>e) uma equação acima de grau 𝟒 pode ter todas as raízes reais.</p><p>Comentários</p><p>a) Verdadeira. O teorema fundamental da álgebra garante que isso.</p><p>b) Falso. Um contra exemplo é 𝑥 − 𝑖 = 0. 𝑛 = 1, ímpar, e a única raiz é imaginário puro.</p><p>c) Falso. Um contra exemplo é 𝑥2 − 𝑖 = 0 ⇒ 𝑥2 = 𝑖 = 𝑒𝑖</p><p>𝜋</p><p>2 ⇒ 𝑥 = ±(cos</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>+ 𝑖 sen</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>).</p><p>Essas raízes não são conjugadas. Essa propriedade só é válida quando os coeficientes</p><p>são reais.</p><p>d) Obviamente uma equação pode ter raiz repetida, basta tomar por exemplo (𝑥 − 1)2 =</p><p>0, que é de grau 2 e tem duas</p><p>raízes idênticas a 1.</p><p>e) Verdadeiro. Tome (𝑥 − 1)5 = 0. De quinto grau e todas as raízes reais.</p><p>Portanto, há 3 afirmações falsas. A questão foi anulada.</p><p>Gabarito: “Anulada”.</p><p>63</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>28. (EFOMM/2016)</p><p>Seja o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟔 − 𝟐𝟔𝒙𝟒 − 𝟑𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝟕𝒙𝟐 − 𝟗𝟔𝒙 − 𝟏𝟖𝟎.</p><p>A respeito das raízes da equação 𝒑(𝒙) = 𝟎, podemos afirmar que</p><p>a) todas as raízes são reais.</p><p>b) somente duas raízes são reais, sendo ela distintas.</p><p>c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.</p><p>d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.</p><p>e) nenhuma raiz é real.</p><p>Comentários</p><p>Precisamos achar as raízes:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥6 − 26𝑥4 − 32𝑥3 − 147𝑥2 − 96𝑥 − 180</p><p>Por inspeção, vemos que 𝑥 = −5 é raiz. Fatorando buscando o fator 𝑥 + 5:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥4(𝑥2 − 25) − 𝑥4 − 5𝑥3 − 27𝑥3 − 135𝑥2 − 12𝑥2 − 60𝑥 − 36𝑥 − 180</p><p>⇒ 𝑝(𝑥) = 𝑥4(𝑥 − 5)(𝑥 + 5) − 𝑥3(𝑥 + 5) − 27𝑥2(𝑥 + 5) − 12𝑥(𝑥 + 5) − 36(𝑥 + 5)</p><p>⇒ 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 5)(𝑥5 − 5𝑥4 − 𝑥3 − 27𝑥2 − 12𝑥 − 36)</p><p>Por inspeção, veja que 6 é raiz do polinômio de grau 5 acima: Daí, fatorando buscando o</p><p>termo 𝑥 − 6:</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥 + 5)(𝑥5 − 5𝑥4 − 𝑥3 − 27𝑥2 − 12𝑥 − 36)</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥 + 5)(𝑥5 − 6𝑥4 + 𝑥4 − 6𝑥3 + 5𝑥3 − 30𝑥2 + 3𝑥2 − 18𝑥 + 6𝑥 − 36)</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥 + 5)(𝑥4(𝑥 − 6) + 𝑥3(𝑥 − 6) + 5𝑥2(𝑥 − 6) + 3𝑥(𝑥 − 6) + 6(𝑥 − 6))</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥 + 5)(𝑥 − 6)(𝑥4 + 𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 6)</p><p>⇒ 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 5)(𝑥 − 6)(𝑥4 + 𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 6)</p><p>Analisando o polinômio de quarto grau acima, vamos mostrar que só possui raízes</p><p>complexas:</p><p>𝑥4 + 𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 6 = (𝑥4 + 5𝑥2 + 6) + 𝑥(𝑥2 + 3)</p><p>Sabemos que as raízes de 𝑦2 + 5𝑦 + 6 são −2 𝑜𝑢 − 3. Assim, se 𝑥2 = −2 ou 𝑥2 = −3, o</p><p>termo 𝑥4 + 5𝑥2 + 6 vai dar 0. Perceba que, apenas para 𝑥2 = −3, tanto o termo 𝑥4 + 5𝑥2 + 6</p><p>quanto 𝑥(𝑥2 + 3) vão zerar. Portanto, fatoraremos o polinômio do quarto grau buscando o termo</p><p>𝑥2 + 3:</p><p>(𝑥2 + 3)(𝑥2 + 2) + 𝑥(𝑥2 + 3) = 0 ⇒ (𝑥2 + 3)(𝑥2 + 2 + 𝑥)</p><p>Claramente, as raízes dos fatores (𝑥2 + 3) e (𝑥2 + 𝑥 + 2) acima são complexas, pois o</p><p>delta é negativo. Portanto, 𝑝(𝑥) só possui duas raízes reais distintas.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>29. (EFOMM/2016)</p><p>64</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>A solução do sistema:</p><p>{</p><p>𝒙 + 𝒚 + 𝒛 + 𝒘 = 𝟕</p><p>𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒙𝒘 + 𝒚𝒛 + 𝒚𝒘 + 𝒛𝒘 = 𝟒</p><p>𝒘𝒚𝒛 + 𝒙𝒚𝒘+ 𝒙𝒛𝒘 + 𝒚𝒛𝒘 = 𝟔</p><p>𝒘𝒚𝒛𝒘 = 𝟏</p><p>pode ser representada pelas raízes do polinômio:</p><p>a) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟕</p><p>b) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟕</p><p>c) 𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐</p><p>d) 𝟕𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙</p><p>e) 𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙</p><p>Comentários</p><p>Pelas relações de Girard, se 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑒 𝑤 são raízes da equação que buscamos, então ela</p><p>obedece às relações de Girard. A equação que buscamos é do quarto grau (4 raízes), da forma:</p><p>𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑑𝑥 + 𝑒 = 0</p><p>É nos dado a soma das raízes, o produto das raízes duas a duas, três a três e o produto de</p><p>todas elas. Assim, por Girard, sabemos que:</p><p>𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 7 = −</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>Veja que a única alternativa que satisfaz isso é a letra 𝑐. Portanto, já dava para marcar até</p><p>aqui. Para motivos de verificação, vejamos as outras propriedades:</p><p>𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑥𝑤 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑤 + 𝑤𝑧 = 4 =</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>𝑤𝑦𝑧 + 𝑥𝑦𝑤 + 𝑥𝑧𝑤 + 𝑦𝑧𝑤 = 6 = −</p><p>𝑑</p><p>𝑎</p><p>𝑤𝑦𝑧𝑤 = 1 =</p><p>𝑒</p><p>𝑎</p><p>Veja que, para a letra 𝑐 todas essas condições são satisfeitas.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>30. (EFOMM/2015)</p><p>Assinale a alternativa que apresenta o polinômio 𝑷 de grau mínimo, com coeficiente reais, de modo</p><p>que 𝑷(𝒊) = 𝟐 e 𝑷(𝟏 + 𝒊) = 𝟎.</p><p>a) 𝟏/𝟓 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)</p><p>b) 𝟐/𝟓 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)</p><p>c) 𝟐/𝟓 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑)</p><p>65</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>d) 𝟏/𝟓 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐)</p><p>e) 𝟐/𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑)</p><p>Comentários</p><p>Veja que 1 + 𝑖 é raiz desse polinômio. Entretanto, sabemos que, se o polinômio é de</p><p>coeficientes reais, e um número complexo 𝑧 for raiz dele, então o conjugado de 𝑧 também é raiz</p><p>desse mesmo polinômio. Portanto 1 − 𝑖 também é raiz de 𝑃(𝑥).</p><p>Pelo princípio fundamental da álgebra, escrevemos 𝑃, por não sabermos seu grau, como:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 1 − 𝑖)(𝑥 − 1 + 𝑖) = (𝑥2 − 2𝑥 + 2)𝑞(𝑥)</p><p>É dito que:</p><p>𝑃(𝑖) = 2 ⇒ 2 = (𝑖2 − 2𝑖 + 2)𝑞(𝑥) ⇒ (1 − 2𝑖)𝑞(𝑖) = 2</p><p>⇒ 𝑞(𝑖) =</p><p>2</p><p>1 − 2𝑖</p><p>=</p><p>2 + 4𝑖</p><p>1 + 4</p><p>=</p><p>2</p><p>5</p><p>(1 + 2𝑖)</p><p>Assim, para que 𝑃(𝑥) tenha o menor grau de coeficientes reais, devemos ter 𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥 +</p><p>𝑏, com 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ:</p><p>𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⇒ 𝑞(𝑖) = 𝑎𝑖 + 𝑏 =</p><p>2</p><p>5</p><p>+</p><p>4</p><p>5</p><p>𝑖 ⇒ 𝑎 =</p><p>4</p><p>5</p><p>, 𝑏 =</p><p>2</p><p>5</p><p>Portanto:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥2 − 2𝑥 + 2) = (</p><p>4𝑥 + 2</p><p>5</p><p>) (𝑥2 − 2𝑥 + 2)</p><p>Veja que não temos alternativas do 3º grau e, portanto, a questão não possui alternativa</p><p>correta e foi anulada no ano de aplicação.</p><p>Gabarito: Anulada</p><p>31. (EFOMM/2013)</p><p>𝑷(𝒙) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo:</p><p>• os números 𝒓𝟏 = 𝟏, 𝒓𝟐 = 𝒊 e 𝒓𝟑 = 𝟏 − 𝒊 são raízes da equação 𝑷(𝒙) = 𝟎;</p><p>• 𝑷(𝟎) = −𝟒.</p><p>Então, 𝑷(−𝟏) é igual a:</p><p>a) 𝟒.</p><p>b) −𝟐.</p><p>c) −𝟏𝟎.</p><p>d) 𝟏𝟎.</p><p>e) −𝟒𝟎.</p><p>Comentários</p><p>Sabemos que, se um polinômio é de coeficientes reais, e um número complexo 𝑧 for raiz</p><p>dele, então o conjugado de 𝑧 também é raiz desse mesmo polinômio. Assim:</p><p>66</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑃(𝑖) = 0 ⇒ 𝑃(−𝑖) = 0</p><p>𝑃(1 − 𝑖) = 0 ⇒ 𝑃(1 + 𝑖) = 0</p><p>Desse modo, somado com a raiz 𝑟1 = 1, temos pelo menos 5 raízes em 𝑃(𝑥). Assim, como</p><p>queremos 𝑃(𝑥) de menor grau, basta tomarmos seu grau igual a 5:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑖)(𝑥 − 𝑖)(𝑥 − 1 + 𝑖)(𝑥 − 1 − 𝑖)</p><p>Ainda, queremos:</p><p>𝑃(0) = −4 ⇒ 𝑎(−1)(𝑖)(−𝑖)(−1 + 𝑖)(−1 − 𝑖) = −2𝑎 ⇒ −2𝑎 = 4 ⇒ 𝑎 = 2</p><p>Assim:</p><p>𝑃(−1) = 2(−1 − 1)(−1 + 𝑖)(−1 − 𝑖)(−2 + 𝑖)(−2 − 𝑖) = −4 ⋅ 2 ⋅ 5 = −40</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>32. (EFOMM/2009)</p><p>Após a determinação dos valores numéricos: 𝒑(−𝟏), 𝒑(𝟎) e 𝒑(𝟏), verifica-se que o polinômio</p><p>𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟎, 𝟓 tem</p><p>a) apenas uma raiz real.</p><p>b) apenas duas raízes reais.</p><p>c) três raízes reais, todas de mesmo sinal.</p><p>d) três raízes reais, duas positivas e uma negativa.</p><p>e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.</p><p>Comentários</p><p>Determinando os valores numéricos citados:</p><p>𝑝(−1) =</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑝(0) = −</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑝(1) =</p><p>1</p><p>2</p><p>Assim, vemos que a função polinomial muda de sinal entre o intervalo (−1,0), e em</p><p>seguida muda novamente no intervalo (0,1). Isso significa que ela tem duas raízes reais nesses</p><p>intervalos, uma em cada (uma positiva e outra negativa), pelo menos.</p><p>Entretanto, sabemos que ela possui grau 3, e o teorema fundamental da álgebra garante</p><p>que essa equação possui três raízes complexas.</p><p>Outro fato é que 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 0,5 possui apenas coeficientes reais, então</p><p>qualquer raiz não real deveria ter sua conjugada como raiz também. Já sabemos que duas raízes</p><p>são reais. Portanto, não pode existir uma terceira raiz não real, pois se existisse, sua conjugada</p><p>também seria raiz, e o polinômio passaria a ter 4 raízes, o que é um absurdo. Assim, a terceira raiz</p><p>também tem que ser, necessariamente, real.</p><p>67</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Para saber onde se localiza essa terceira raiz basta lembrarmos que:</p><p>lim</p><p>𝑥→−∞</p><p>𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 0,5 = −∞</p><p>Isto, é, a função tende para valores negativos quando 𝑥 fica muito negativo. Mas 𝑓(−1) =</p><p>1</p><p>2</p><p>> 0! Isso implica que a função muda novamente de sinal para um 𝑥0 < −1, de modo que</p><p>𝑓(𝑥0) = 0. Portanto essa terceira raiz deve ser menor que -1 e, portanto, é negativa.</p><p>Assim, 𝑝(𝑥) tem três raízes reais, duas negativas e uma positiva.</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>33. (EFOMM/2005)</p><p>Determine as raízes na equação 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟔𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎, sabendo que elas estão em P.A.</p><p>a) 𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}</p><p>b) 𝑺 = {𝟏, 𝟑, 𝟓}</p><p>c) 𝑺 = {𝟐, 𝟒, 𝟔}</p><p>d) 𝑺 = {𝟐, 𝟑, 𝟒}</p><p>e) 𝑺 = {𝟑, 𝟓,</p><p>𝟕}</p><p>Comentários</p><p>Sejam as raízes em PA 𝑎 − 𝑟, 𝑎 e 𝑎 + 𝑟. Por Girard, a soma das raízes é:</p><p>(𝑎 − 𝑟) + 𝑎 + (𝑎 + 𝑟) = −</p><p>−9</p><p>1</p><p>= 9</p><p>⇒ 3𝑎 = 9 ⇒ 𝑎 = 3</p><p>O produto das raízes, por Girard, é:</p><p>(𝑎 − 𝑟)(𝑎 + 𝑟)𝑎 = −</p><p>−24</p><p>1</p><p>= 24</p><p>⇒ 3(3 + 𝑟)(3 − 𝑟) = 24 ⇒ 9 − 𝑟2 = 8 ⇒ 𝑟2 = 1 ⇒ 𝑟 = ±1</p><p>Portanto, se 𝑟 = 1, as raízes são: {2,3,4}. Se 𝑟 = −1 as raízes são {4, 3, 2}. Como são o</p><p>mesmo conjunto, então as raízes sempre vão ser {2,3.4}</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>34. (EFOMM/2005)</p><p>Determine as raízes na equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝟔𝒙 − 𝟔𝟒 = 𝟎, sabendo que elas estão em P.G.</p><p>a) 𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟒}</p><p>b) 𝑺 = {𝟐, 𝟑, 𝟒}</p><p>c) 𝑺 = {𝟐, 𝟑, 𝟔}</p><p>d) 𝑺 = {𝟐, 𝟒, 𝟔}</p><p>e) 𝑺 = {𝟐, 𝟒, 𝟖}</p><p>68</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Comentários</p><p>As raízes estão em PG e são 𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞2. Pelas relações de Girard, o produto delas é:</p><p>𝑎 ⋅ 𝑎𝑞 ⋅ 𝑎𝑞2 = −</p><p>−64</p><p>1</p><p>⇒ 𝑎3𝑞3 = 64 = 43 ⇒ 𝑎𝑞 = 4</p><p>Pela soma das raízes:</p><p>𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2 = −</p><p>−14</p><p>1</p><p>= 14 ⇒ 𝑎 + 4 + 4𝑞 = 14 ⇒ 𝑎 + 4𝑞 = 10</p><p>Multiplicando a equação acima por 𝑞:</p><p>⇒ 𝑎𝑞 + 4𝑞2 = 10𝑞 ⇒ 4𝑞2 − 10𝑞 + 4 = 0 ⇒ 4𝑞2 − 10𝑞 +</p><p>25</p><p>4</p><p>=</p><p>9</p><p>4</p><p>⇒ (2𝑞 −</p><p>5</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>=</p><p>9</p><p>4</p><p>⇒ 2𝑞 −</p><p>5</p><p>2</p><p>= ±</p><p>3</p><p>2</p><p>⇒ 2𝑞 =</p><p>5</p><p>2</p><p>±</p><p>3</p><p>2</p><p>⇒ 2𝑞 = 4 𝑜𝑢 2𝑞 = 1</p><p>⇒ 𝑞 = 2 𝑜𝑢 𝑞 =</p><p>1</p><p>2</p><p>Se 𝑞 = 2, as raízes são: {2, 4, 8}. Se 𝑞 =</p><p>1</p><p>2</p><p>as raízes são {8, 4, 2}. Assim, formam o mesmo</p><p>conjunto de raízes. Portanto, para qualquer desses valores de 𝑞, as raízes são {2,4,8}.</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>35. (Escola Naval/2014)</p><p>Considere 𝑷(𝒙) = (𝒎− 𝟒)(𝒎𝟐 + 𝟒)𝒙𝟓 + 𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 + 𝟏 um polinômio na variável real 𝒙, em que 𝒎</p><p>e 𝒌 são constantes reais. Quais os valores das constantes 𝒎 e 𝒌 para que 𝑷(𝒙) não admita raiz real?</p><p>a) 𝒎 = 𝟒 e −𝟐 < 𝒌 < 𝟐</p><p>b) 𝒎 = −𝟒 e 𝒌 > 𝟐</p><p>c) 𝒎 = −𝟐 e −𝟐 < 𝒌 < 𝟐</p><p>d) 𝒎 = 𝟒 e |𝒌| > 𝟐</p><p>e) 𝒎 = −𝟐 e 𝒌 > −𝟐</p><p>Comentários</p><p>Se 𝑚 e 𝑘 são constantes reais, então o polinômio dado possui coeficientes reais. Portanto,</p><p>o número de raízes complexas dessa equação só pode ser par, pois dado um complexo sendo raiz,</p><p>seu conjugado também deve ser.</p><p>Queremos que todas as raízes do polinômio sejam complexas não reais, então o grau do</p><p>polinômio precisa ser par (para que haja um número par de raízes complexas não reais). Desse</p><p>modo, o coeficiente que multiplica 𝑥5 deve ser nulo:</p><p>(𝑚 − 4)(𝑚2 + 4) = 0 ⇒ 𝑚 = 4</p><p>Veja que não há solução real para 𝑚2 + 4 = 0. Dessa maneira, o polinômio até então é da</p><p>forma:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑘𝑥 + 1</p><p>69</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Para que não possua raízes reais, o delta da função tem que ser negativo:</p><p>Δ = 𝑘2 − 4 < 0 ⇒ 𝑘2 < 4 ⇒ −2 < 𝑘 < 2</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>36. (Escola Naval/2013)</p><p>Sabendo que 𝒊√𝟑 é uma das raízes da equação 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟑 = 𝟎, a soma de todas as</p><p>raízes desta equação é</p><p>a) −𝟐𝒊√𝟑</p><p>b) 𝟒𝒊√𝟑</p><p>c) 𝟎</p><p>d) −𝟏</p><p>e) −𝟐</p><p>Comentários</p><p>Pelas relações de Girard, a soma das raízes de uma equação do tipo:</p><p>𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥</p><p>𝑛−2 +⋯+ 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0</p><p>É igual a:</p><p>𝑠𝑜𝑚𝑎 = −</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>𝑎𝑛</p><p>Assim, para a equação:</p><p>𝑥4 + 𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 − 3 = 0</p><p>A soma de todas as suas raízes é:</p><p>𝑠𝑜𝑚𝑎 = −</p><p>1</p><p>1</p><p>= −1</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>37. (EN/2013)</p><p>Sejam 𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝐺(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 6 dois polinômios na variável real 𝑥, com</p><p>𝑎 𝑒 𝑏 números reais. Qual valor de (𝑎 + 𝑏) para que a divisão</p><p>𝐹(𝑥)</p><p>𝐺(𝑥)</p><p>seja exata?</p><p>a) −2</p><p>b) −1</p><p>c) 0</p><p>d) 1</p><p>e) 2</p><p>Comentários</p><p>70</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Para que a divisão seja exata, devemos ter que as raízes de 𝐺(𝑥) também são raízes de</p><p>𝐹(𝑥).</p><p>Note que as duas raízes de 𝐺(𝑥) são reais, pois:</p><p>Δ = 4 − 4 ∙ (−6) ∙ 2 > 0</p><p>Além disso, temos que 𝐹(𝑥) possui grau 3, logo, se ele possui duas raízes reais, a terceira</p><p>deve ser real, pois as raízes complexas vêm aos pares. Disso, seja 𝛼 a raiz real de 𝐹(𝑥) que não é</p><p>raiz de 𝐺(𝑥).</p><p>Sabemos, por Girard em 𝐺(𝑥), que a soma de suas raízes é dada por −</p><p>2</p><p>2</p><p>= −1. Aplicando</p><p>Girard para a soma das raízes em 𝐹(𝑥), temos:</p><p>𝛼 − 1 = 0 ⇒ 𝛼 = 1</p><p>Como 1 é raiz de 𝐹(𝑥):</p><p>𝐹(1) = 1 + 𝑎 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = −1</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>9. QUESTÕES NÍVEL 3</p><p>38. (ITA/2021)</p><p>Determine as raízes comuns aos polinômios:</p><p>𝒑(𝒙) = 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟓 e 𝒒(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎.</p><p>39. (ITA/2019)</p><p>Seja 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão</p><p>aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar que a soma das</p><p>raízes de 𝒑(𝒙) é igual a</p><p>a) 𝟗</p><p>b) 𝟖</p><p>c) 𝟑</p><p>d)</p><p>𝟗</p><p>𝟐</p><p>e) 𝟏𝟎</p><p>40. (ITA/2019)</p><p>Considere as seguintes afirmações:</p><p>I. Se 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 𝐞 𝒙𝟑 são as raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 = 𝟎, então 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐𝒙𝟑, 𝒚𝟐 =</p><p>𝒙𝟏𝒙𝟑 𝐞 𝒚𝟑 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 são as raízes da equação 𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 − 𝟒 = 𝟎.</p><p>71</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>II. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.</p><p>III. √</p><p>𝟑+√𝟓</p><p>𝟐</p><p>=</p><p>𝟏+√𝟓</p><p>𝟐</p><p>É(são) VERDADEIRA(S)</p><p>a) Apenas I.</p><p>b) Apenas II.</p><p>c) Apenas III.</p><p>d) Apenas II e III.</p><p>e) Todas.</p><p>41. (ITA/2019)</p><p>Determine os valores reais de 𝒂 e 𝒃 para os quais as equações 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 = 𝟎 e 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙 +</p><p>𝟏𝟐 = 𝟎 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.</p><p>42. (ITA/2018)</p><p>Considere a matriz [</p><p>1 𝑥 𝑥2 𝑥3</p><p>1 2 3 4</p><p>−1 3 4 5</p><p>−2 2 1 1</p><p>], 𝑥 ∈ ℝ. Se o polinômio 𝑝(𝑥) é dado por 𝑝(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡𝐴,</p><p>então o produto das raízes de 𝑝(𝑥) é</p><p>a)</p><p>1</p><p>2</p><p>b)</p><p>1</p><p>3</p><p>c)</p><p>1</p><p>5</p><p>d)</p><p>1</p><p>7</p><p>e)</p><p>1</p><p>11</p><p>43. (ITA/2018)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) um polinômio não nulo. Se 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 2 e 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 são divisores</p><p>de 𝑝(𝑥), determine o menor grau possível de 𝑝(𝑥).</p><p>44. (ITA/2016)</p><p>Seja 𝑝 o polinômio dado por 𝑝(𝑥) = 𝑥8 + 𝑥𝑚 − 2𝑥𝑛, em que os expoentes 8,𝑚, 𝑛 formam,</p><p>nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as</p><p>seguintes afirmações:</p><p>72</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>I. 𝑥 = 0 é uma raiz dupla de 𝑝.</p><p>II. 𝑥 = 1 é uma raiz dupla de 𝑝.</p><p>III. 𝑝 tem quatro raízes com parte imaginária não nula.</p><p>Destas, é (são) verdadeira(s)</p><p>a) Apenas I.</p><p>b) Apenas I e II.</p><p>c) Apenas I e III.</p><p>d) Apenas II e III.</p><p>e) I, II e III.</p><p>45. (ITA/2016)</p><p>Considere o polinômio 𝑝 com coeficientes complexos definido por</p><p>𝑝(𝑧) = 𝑧4 + (2 + 𝑖)𝑧3 + (2 + 𝑖)𝑧2 + (2 + 𝑖)𝑧 + (1 + 𝑖).</p><p>Podemos afirmar que</p><p>a) Nenhuma das raízes de 𝑝 é real.</p><p>b) Não existem raízes de 𝑝 que sejam complexas conjugadas.</p><p>c) A soma dos módulos de todas as raízes de 𝑝 é igual a 2 + √2.</p><p>d) O produto dos módulos de todas as raízes de 𝑝 é igual a 2√2.</p><p>e) O módulo de uma das raízes de 𝑝 é igual a √2.</p><p>46. (ITA/2014)</p><p>Considere os polinômios em 𝑥 ∈ ℝ da forma 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎3𝑥</p><p>3 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥. As raízes de</p><p>𝑝(𝑥) = 0 constituem uma progressão aritmética de razão</p><p>1</p><p>2</p><p>quando (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) é igual a</p><p>a) (</p><p>1</p><p>4</p><p>, 0,</p><p>5</p><p>4</p><p>).</p><p>b) (</p><p>1</p><p>4</p><p>, 1,</p><p>5</p><p>4</p><p>).</p><p>c) (</p><p>1</p><p>4</p><p>, 0, −</p><p>5</p><p>4</p><p>).</p><p>d) (</p><p>5</p><p>4</p><p>, 0,</p><p>1</p><p>4</p><p>).</p><p>e) (</p><p>1</p><p>4</p><p>, −1,−</p><p>1</p><p>4</p><p>).</p><p>47. (ITA/2013)</p><p>73</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Considere o polinômio 𝑃(𝑚) = 𝑎𝑚2 − 3𝑚 − 18, em que 𝑎 ∈ ℝ é tal que a soma das raízes</p><p>de 𝑃 é igual a 3. Determine a raiz 𝑚 de 𝑃 tal que duas, e apenas duas, soluções da equação</p><p>em 𝑥, 𝑥3 +𝑚𝑥2 + (𝑚 + 4)𝑥 + 5, estejam no intervalo ] − 2,2[.</p><p>48. (ITA/2012)</p><p>As raízes 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3 do polinômio 𝑝(𝑥) = 16 + 𝑎𝑥 − (4 + √2)𝑥2 + 𝑥3 estão relacionadas</p><p>pelas equações:</p><p>𝑥1 + 2𝑥2 +</p><p>𝑥3</p><p>2</p><p>= 2 𝑒 𝑥1 − 2𝑥2 − √2𝑥3 = 0</p><p>Então, o coeficiente 𝑎 é igual a</p><p>a) 2(1 − √2).</p><p>b) √2 − 4.</p><p>c) 2(2 + √2).</p><p>d) 4 + √2.</p><p>e) 4(√2 − 1).</p><p>49. (ITA/2010)</p><p>Sabe-se que</p><p>o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 1, 𝑎 ∈ ℝ, admite a raiz −𝑖. Considere</p><p>as seguintes afirmações sobre as raízes de 𝑝:</p><p>I. Quatro das raízes são imaginárias puras.</p><p>II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.</p><p>III. Apenas uma das raízes é real.</p><p>Destas, é (são) verdadeira(s) apenas</p><p>a) I.</p><p>b) II.</p><p>c) III.</p><p>d) I e III.</p><p>e) II e III.</p><p>50. (ITA/2010)</p><p>Um polinômio real 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛5</p><p>𝑛=0 , com 𝑎5 = 4, tem três raízes reais distintas, 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐,</p><p>que satisfazem o sistema</p><p>{</p><p>𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐 = 0</p><p>𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 = 6</p><p>2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 5</p><p>74</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais tem multiplicidade dois, pode-se</p><p>afirmar que 𝑝(1) é igual a</p><p>a) −4.</p><p>b) −2.</p><p>c) 2.</p><p>d) 4.</p><p>e) 6.</p><p>51. (ITA/2010)</p><p>Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛6</p><p>𝑛=0 , com coeficientes reais, sendo 𝑎0 ≠ 0 e 𝑎6 = 1.</p><p>Sabe-se que se 𝑟 é raiz de 𝑝, −𝑟 também é raiz de 𝑝. Analise a veracidade ou falsidade das</p><p>afirmações:</p><p>I. Se 𝑟1 𝑒 𝑟2, |𝑟1| ≠ |𝑟2|, são raízes reais e 𝑟3 é raiz não real de 𝑝, então 𝑟3 é imaginário</p><p>puro.</p><p>II. Se 𝑟 é raiz dupla de 𝑝, então 𝑟 é real ou imaginário puro.</p><p>III. 𝑎0 < 0.</p><p>52. (ITA/2009)</p><p>Considere as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1. A multiplicidade</p><p>das raízes não reais da função composta 𝑓 ∘ 𝑔 é igual a</p><p>a) 1.</p><p>b) 2.</p><p>c) 3.</p><p>d) 4.</p><p>e) 5.</p><p>53. (ITA/2009)</p><p>O polinômio de grau 4</p><p>(𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥4 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥3 − (𝑎 − 𝑏)𝑥2 + (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 2(𝑎 + 𝑐),</p><p>Com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a</p><p>a) 3 + √3.</p><p>b) 2 + 3√3.</p><p>c) 2 + √2.</p><p>d) 1 + 2√2.</p><p>e) 2 + 2√2.</p><p>75</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>54. (ITA/2006)</p><p>Sobre o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 − 2 podemos afirmar que</p><p>a) 𝑥 = 2 não é raiz de 𝑝.</p><p>b) 𝑝 só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais.</p><p>c) 𝑝 admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.</p><p>d) 𝑝 só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras.</p><p>e) 𝑝 admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais.</p><p>55. (ITA/2006)</p><p>Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑥 + 1, com raízes reais. O coeficiente 𝑎 é</p><p>racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise</p><p>se a seguinte afirmação é verdadeira:</p><p>“Se uma das raízes de 𝑝(𝑥) é racional, então todas as suas raízes são racionais.”</p><p>56. (ITA/2008)</p><p>Sejam 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ. Considere o polinômio 𝑝(𝑥) dado por</p><p>𝑥5 − 9𝑥4 + (𝛼 − 𝛽 − 2𝛾)𝑥3 + (𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2)𝑥2 + (𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1)𝑥</p><p>+ (2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1).</p><p>Encontre todos os valores de 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 de modo que 𝑥 = 0 seja uma raiz com multiplicidade</p><p>3 de 𝑝(𝑥).</p><p>57. (ITA/2006)</p><p>Seja 𝑝 um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 − 𝑖 como raiz de</p><p>multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de 𝑝 são,</p><p>respectivamente, 10 e −40. Sendo afirmado que três raízes de 𝑝 são reais e distintas e</p><p>formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são</p><p>a)</p><p>3</p><p>2</p><p>√</p><p>193</p><p>6</p><p>,3,</p><p>3</p><p>2</p><p>+ √</p><p>193</p><p>6</p><p>.</p><p>b) 2 − 4√13, 2, 2 + 4√13.</p><p>c) −4, 2, 8.</p><p>d) −2, 3, 8.</p><p>e) −1, 2, 5.</p><p>58. (ITA/2005)</p><p>76</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>O número complexo 2 + 𝑖 é raiz do polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑥 + 𝑞, com 𝑝, 𝑞 ∈</p><p>ℝ. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de 𝑓 é</p><p>a) 4.</p><p>b) −4.</p><p>c) 6.</p><p>d) 5.</p><p>e) −5.</p><p>59. (ITA/2004)</p><p>Para algum número real 𝑟, o polinômio 8𝑥3 − 4𝑥2 − 42𝑥 + 45 é divisível por (𝑥 − 𝑟)2. Qual</p><p>dos números abaixo está mais próximo de 𝑟?</p><p>a) 1,62.</p><p>b) 1,52.</p><p>c) 1,42.</p><p>d) 1,32.</p><p>e) 1,22.</p><p>60. (ITA/2001)</p><p>O valor da soma 𝑎 + 𝑏 para que as raízes do polinômio 4𝑥4 − 20𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 25𝑥 + 𝑏</p><p>estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é:</p><p>a) 36.</p><p>b) 41.</p><p>c) 26.</p><p>d) -27.</p><p>e) -20.</p><p>61. (ITA/2001)</p><p>O polinômio com coeficientes reais 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎4𝑥</p><p>4 + 𝑎3𝑥</p><p>3 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 tem duas</p><p>raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e 𝑖. Então</p><p>a soma dos coeficientes é igual a:</p><p>a) −4.</p><p>b) −6.</p><p>c) −1.</p><p>d) 1.</p><p>e) 4.</p><p>77</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>62. (ITA/1998)</p><p>Seja 𝑎 um número real tal que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥5 + 𝑎𝑥4 − 𝑎𝑥2 − 2𝑥 − 1 admite</p><p>apenas raízes reais. Então:</p><p>a) 𝑎 ∈ [2,∞[.</p><p>b) 𝑎 ∈ [−1,1].</p><p>c) 𝑎 ∈ ] − ∞,−7].</p><p>d) 𝑎 ∈ [−2,−1[.</p><p>e) 𝑎 ∈ ]1,2[.</p><p>63. (ITA/1996)</p><p>Considere o polinômio 𝑝(𝑧) = 𝑧6 + 2𝑧5 + 6𝑧4 + 12𝑧3 + 8𝑧2 + 16𝑧.</p><p>Sobre as raízes da equação 𝑝(𝑧) = 0, podemos afirmar que:</p><p>a) Apenas uma é real.</p><p>b) Apenas duas raízes são reais e distintas.</p><p>c) Apenas duas raízes são reais e iguais.</p><p>d) Quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas.</p><p>e) Quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais.</p><p>64. (ITA/1994)</p><p>Seja 𝑃(𝑥) um polinômio de grau 5, com coeficientes reais, admitindo 2 e 𝑖 como raízes. Se</p><p>𝑃(1)𝑃(−1) < 0, então o número de raízes reais de 𝑃(𝑥) pertencentes ao intervalo ] − 1,1[</p><p>é:</p><p>a) 0.</p><p>b) 1.</p><p>c) 2.</p><p>d) 3.</p><p>e) 4.</p><p>65. (IME/2020)</p><p>Sejam a e b raízes da equação 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 +𝑴 = 𝟎, c e d raízes da equação 𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝑵 = 𝟎.</p><p>Sabendo-se que a, b, c, e d formam uma progressão geométrica crescente, determine o valor de</p><p>𝑴 + 𝑵.</p><p>78</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>66. (IME/2019)</p><p>Seja a inequação:</p><p>𝟔𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 < 𝟎</p><p>Seja (𝒂, 𝒃) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para</p><p>𝒃 − 𝒂 é:</p><p>a) 𝟐</p><p>b) 𝟏𝟑/𝟔</p><p>c) 𝟏/𝟑</p><p>d) 𝟓/𝟐</p><p>e) 𝟖/𝟑</p><p>67. (IME/2019)</p><p>Sejam 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 e 𝒙𝟑 raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝒂𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎. Sendo 𝒂 um número real, o valor de 𝒙𝟏</p><p>𝟑 +</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟑 + 𝒙𝟑</p><p>𝟑 é igual a:</p><p>a) 𝟑𝟐 − 𝒂</p><p>b) 𝟒𝟖 − 𝟐𝒂</p><p>c) 𝟒𝟖</p><p>d) 𝟒𝟖 + 𝟐𝒂</p><p>e) 𝟑𝟐 + 𝒂</p><p>68. (IME/2017)</p><p>O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑏𝑥2 + 80𝑥 − 𝑐 possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-</p><p>se que duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e que o produto dos divisores</p><p>positivos de 𝑐 menores do que 𝑐 é 𝑐2. Qual é o valor de 𝑏?</p><p>a) 11</p><p>b) 13</p><p>c) 17</p><p>d) 23</p><p>e) 29</p><p>69. (IME/2016)</p><p>79</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>O polinômio 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tem raízes reais 𝛼,−𝛼 𝑒</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>. Portanto o valor da soma 𝑏 +</p><p>𝑐2 + 𝑎𝑐 +</p><p>𝑏</p><p>𝑐2</p><p>é:</p><p>a) -2</p><p>b) -1</p><p>c) 0</p><p>d) 1</p><p>e) 2</p><p>70. (IME/2016)</p><p>Seja 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑃(𝑥) e 𝑃(𝑃(𝑃(𝑥))) têm uma raiz em comum. Pode-</p><p>se afirmar que para todo valor de 𝑎 e 𝑏</p><p>a) 𝑃(−1)𝑃(1) < 0</p><p>b) 𝑃(−1)𝑃(1) = 0</p><p>c) 𝑃(−1) + 𝑃(1) = 2</p><p>d) 𝑃(0)𝑃(1) = 0</p><p>e) 𝑃(0) + 𝑃(1) = 0</p><p>71. (IME/2014)</p><p>O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 + 10𝑥3 − 30𝑥2 + 81𝑥 − 243 possui raízes complexas</p><p>simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas as</p><p>raízes do polinômio.</p><p>72. (IME/2013)</p><p>Os polinômios 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 18 e 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥 + 12 possuem duas raízes</p><p>comuns. Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação</p><p>a) 𝑎 = 𝑏</p><p>b) 2𝑎 = 𝑏</p><p>c) 𝑎 = 2𝑏</p><p>d) 2𝑎 = 3𝑏</p><p>e) 3𝑎 = 2𝑏</p><p>73. (IME/2010)</p><p>Seja o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + (ln 𝑎)𝑥 + 𝑒𝑏, onde 𝑎 𝑒 𝑏 são números reais positivos</p><p>diferentes de zero. A soma dos cubos das raízes de 𝑝(𝑥) depende</p><p>a) Apenas de 𝑎 e é positiva.</p><p>80</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>b) De 𝑎 e 𝑏 e é negativa.</p><p>c) Apenas de 𝑏 e é positiva.</p><p>d) Apenas de 𝑏 e é negativa.</p><p>e) De 𝑎 𝑒 𝑏 e é positiva.</p><p>Obs.: 𝑒 representa a base do logaritmo neperiano e 𝑙𝑛 a função logaritmo neperiano.</p><p>74. (IME/2008)</p><p>Encontre</p><p>o polinômio 𝑃(𝑥) tal que 𝑄(𝑥) + 1 = (𝑥 − 1)3𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) + 2 é divisível por 𝑥4,</p><p>onde 𝑄(𝑥) é um polinômio do 6º grau.</p><p>75. (IME/2007)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) = 𝛼𝑥3 + 𝛽𝑥2 + 𝛾𝑥 + 𝛿 um polinômio do terceiro grau cujas raízes são termos de</p><p>uma progressão aritmética de razão 2. Sabendo que 𝑝(−1) = −1, 𝑝(0) = 0 e 𝑝(1) = 1, os</p><p>valores de 𝛼 e 𝛾 são, respectivamente:</p><p>a) 2 e -1</p><p>b) 3 e -2</p><p>c) -1 e 2</p><p>d) −</p><p>1</p><p>3</p><p>e</p><p>4</p><p>3</p><p>e)</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>2</p><p>76. (IME/2007)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑓 um polinômio com coeficientes inteiros.</p><p>Sabe-se que as cinco raízes de 𝑝(𝑥) são números inteiros positivos, sendo quatro deles pares</p><p>e um ímpar. O número de coeficientes pares de 𝑝(𝑥) é:</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>e) 4</p><p>77. (IME/2006)</p><p>Considere o polinômio</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 − 3𝑥3 + 27𝑥2 − 44𝑥 + 30.</p><p>81</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a 3 − 𝑖 e que as partes reais</p><p>e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não-nulas, calcule todas as</p><p>raízes do polinômio.</p><p>78. (IME/2005)</p><p>Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑟𝑥 − 𝑡, onde 𝑟 𝑒 𝑡 são números reais não</p><p>nulos.</p><p>a. Determine o valor da expressão 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 em função de 𝑟 𝑒 𝑡.</p><p>b. Demonstre que 𝑆𝑛+1 + 𝑟𝑆𝑛−1 − 𝑡𝑆𝑛−2 = 0 para todo número natural 𝑛 ≥ 2, onde 𝑆𝑘 =</p><p>𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘 para qualquer número natural 𝑘.</p><p>79. (IME/2004)</p><p>Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 de coeficientes reais, com 𝑏 ≠ 0. Sabendo que</p><p>suas raízes são reais, demonstre que 𝑎 < 0.</p><p>80. (IME/2002)</p><p>a) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio 𝑃(𝑥) de</p><p>quarto grau para que 𝑃(𝑥) = 𝑃(1 − 𝑥).</p><p>b) Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 16𝑥4 − 32𝑥3 − 56𝑥2 + 72𝑥 + 77. Determine todas as</p><p>suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à condição do item acima.</p><p>81. (IME/1988)</p><p>a) Mostre que se 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥</p><p>3 + 𝑎0𝑥</p><p>4, então existe um polinômio</p><p>𝑔(𝑥) do 2º grau, tal que 𝑝(𝑥) = 𝑥2𝑔(𝑥 + 𝑥−1).</p><p>b) Determine todas as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) = 1 + 4𝑥 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4.</p><p>82. (IME/1980)</p><p>Determine o polinômio 𝑓(𝑥) de coeficientes racionais e do 7º grau, sabendo-se que: 𝑓(𝑥) +</p><p>1 é divisível por (𝑥 − 1)4 e que 𝑓(𝑥) − 1 é divisível por (𝑥 + 1)4.</p><p>83. (IME/1974)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) um polinômio a coeficientes reais de grau maior ou igual a 1 e 𝑞(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥.</p><p>Determine todos os possíveis máximos divisores comuns de 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥).</p><p>84. (IME/2021)</p><p>82</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Seja a função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟕. Considere uma reta qualquer que corta o gráfico dessa</p><p>função em quatro pontos distintos: (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), (𝒙𝟐, 𝒚𝟐), (𝒙𝟑, 𝒚𝟑), (𝒙𝟒, 𝒚𝟒). O valor de</p><p>𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑+𝒙𝟒</p><p>𝟐</p><p>é:</p><p>a) 1</p><p>b) 3/2</p><p>c) 2</p><p>d) 7/2</p><p>e) 4</p><p>85. (IME/2021)</p><p>Seja a equação</p><p>𝟕𝟒𝒙 − 𝟏𝟎 ⋅ 𝟕𝟑𝒙 + 𝟏𝟕 ⋅ 𝟕𝟐𝒙 + 𝟒𝟎 ⋅ 𝟕𝒙 = 𝟏𝟐 ⋅ 𝟕</p><p>Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo</p><p>comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:</p><p>a) pode-se construir um triângulo escaleno.</p><p>b) pode-se cosntruir um triângulo isósceles.</p><p>c) pode-se construir um quadrilátero.</p><p>d) pode-se construir um pentágono.</p><p>e) não é possível construir qualquer polígono.</p><p>86. (Rússia)</p><p>Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑓(𝑓(𝑥)) = 0 tem quatro raízes reais distintas, e que</p><p>a soma de duas dessas raízes é −1. Prove que 𝑏 ≤ −</p><p>1</p><p>4</p><p>.</p><p>87. (Putnam and Beyond)</p><p>Se 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, prove que</p><p>𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2</p><p>2</p><p>∙</p><p>𝑥5 + 𝑦5 + 𝑧5</p><p>5</p><p>=</p><p>𝑥7 + 𝑦7 + 𝑧7</p><p>7</p><p>.</p><p>88. (Putnam and Beyond)</p><p>Encontre as raízes do polinômio:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 18𝑥2 − 30𝑥 + 25</p><p>Sabendo que a soma de duas delas é 4.</p><p>83</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>89. (Putnam)</p><p>Encontre todos os polinômios que possuem coeficientes todos iguais a 1 𝑜𝑢 − 1 e que</p><p>possuem raízes reais.</p><p>GABARITO</p><p>38.</p><p>39. a</p><p>40. e</p><p>41. 𝑎 = 1; 𝑏 = 2; 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠: {1 − 𝑖√5; 1 + 𝑖√5}</p><p>42. d</p><p>43. 4</p><p>44. c</p><p>45. e</p><p>46. c</p><p>47. 𝑚 = 6.</p><p>48. e</p><p>49. c</p><p>50. a</p><p>51. V, V, F.</p><p>52. c</p><p>53. e</p><p>54. e</p><p>55. Verdadeira.</p><p>56. 𝛼 = 0; 𝛽 = 1 − 𝑘; 𝛾 = 𝑘, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℝ 𝑒 𝑘 ≠ −1</p><p>57. e</p><p>58. e</p><p>59. b</p><p>60. b</p><p>61. a</p><p>62. c</p><p>63. b</p><p>64. b</p><p>65. 𝑀 +𝑁 = 246</p><p>66. b</p><p>67. c</p><p>68. e</p><p>69. a</p><p>70. d</p><p>71. 3, ±√−5 + 2√14𝑖, ±√−5 − 2√14𝑖 .</p><p>72. b</p><p>73. d</p><p>84</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>74. 𝑃(𝑥) = 10𝑥3 + 6𝑥2 + 3𝑥 + 1.</p><p>75. d</p><p>76. e</p><p>77. 2 + 𝑖, 2 − 𝑖, 1 + 𝑖, 1 − 𝑖, −3.</p><p>78. Item a) 3𝑡; Item b) Demonstração.</p><p>79. Demonstração.</p><p>80. a) 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎4 𝑒 𝑎3 = −2𝑎4 , para 𝑎4 ∈ ℝ − {0} 𝑒 𝑎0 ∈ ℝ; b)</p><p>{</p><p>1</p><p>2</p><p>± √3,</p><p>1</p><p>2</p><p>± √2}.</p><p>81. {</p><p>−1±√3𝑖</p><p>2</p><p>,</p><p>−3±√5</p><p>2</p><p>}.</p><p>82. 𝑓(𝑥) =</p><p>5</p><p>16</p><p>𝑥7 −</p><p>21</p><p>16</p><p>𝑥5 +</p><p>35</p><p>16</p><p>𝑥3 −</p><p>35</p><p>16</p><p>𝑥</p><p>83. 𝑎, 𝑏𝑥, 𝑐(2𝑥 + 1) 𝑒 𝑑(2𝑥2 + 𝑥) .</p><p>84. c</p><p>85. e</p><p>86. Demonstração.</p><p>87. Demonstração.</p><p>88. {2 ± 𝑖, 1 ± 2𝑖}.</p><p>89. ±(𝑥 + 1),±(𝑥 − 1), ±(𝑥2 + 𝑥 − 1),±(𝑥2 − 𝑥 − 1),±(𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1),±(𝑥3 − 𝑥2 −</p><p>𝑥 + 1).</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>38. (ITA/2021)</p><p>Determine as raízes comuns aos polinômios:</p><p>𝒑(𝒙) = 𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟓 e 𝒒(𝒙) = 𝟑𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎.</p><p>Comentários</p><p>Perceba que 1 é raiz de 𝑝:</p><p>𝑝(1) = 15 + 14 − 8(1)2 − 9(1) + 15 = 17 − 17 = 0</p><p>Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini:</p><p>1 1 1 0 −8 −9 15</p><p>1 2 2 −6 −15 0</p><p>Assim, temos 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥2 − 6𝑥 − 15).</p><p>Vamos aplicar a divisão euclidiana sucessivamente entre 𝑝 e 𝑞 para encontrar o máximo divisor</p><p>comum desses polinômios. Dividindo o fator 𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥2 − 6𝑥 − 15 de 𝑝 por 𝑞:</p><p>𝑥4 +2𝑥3 +2𝑥2 −6𝑥 −15 3𝑥4 + 6𝑥3 + 13𝑥2 − 4𝑥 − 10</p><p>85</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>−𝑥4 −2𝑥3 −</p><p>13</p><p>3</p><p>𝑥2 +</p><p>4</p><p>3</p><p>𝑥 +</p><p>10</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>−</p><p>7𝑥2</p><p>3</p><p>−</p><p>14</p><p>3</p><p>𝑥 −</p><p>35</p><p>3</p><p>Agora, vamos dividir o divisor pelo polinômio resto encontrado. Veja que o resto é</p><p>𝑟(𝑥) = −</p><p>7</p><p>3</p><p>(𝑥2 + 2𝑥 + 5)</p><p>Podemos usar apenas 𝑥2 + 2𝑥 + 5 para simplificar as contas, logo:</p><p>3𝑥4 +6𝑥3 +13𝑥2 −4𝑥 −10 𝑥2 + 2𝑥 + 5</p><p>−3𝑥4 −6𝑥3 −15𝑥2 3𝑥2 − 2</p><p>−2𝑥2 −4𝑥 −10</p><p>2𝑥2 +4𝑥 +10</p><p>0</p><p>Encontramos um resto nulo, logo podemos afirmar que o máximo divisor comum entre 𝑝 e 𝑞 é o</p><p>divisor da última divisão: 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 5. Assim, as raízes comuns são dadas por:</p><p>𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0</p><p>Raízes:</p><p>𝑥 = −1 ± √−4 = −1 ± 2𝑖</p><p>Gabarito:</p><p>39. (ITA/2019)</p><p>Seja 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão</p><p>aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar que a soma das</p><p>raízes de 𝒑(𝒙) é igual a</p><p>a) 𝟗</p><p>b) 𝟖</p><p>c) 𝟑</p><p>d)</p><p>𝟗</p><p>𝟐</p><p>e) 𝟏𝟎</p><p>Comentários</p><p>86</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Analisando o polinômio, podemos descobrir uma das raízes. Vamos colocar 𝑥 em</p><p>evidência:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 𝑥(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏) = 0</p><p>Logo, 𝑥 = 0 é raiz.</p><p>Como as raízes são não negativas e elas estão em progressão aritmética, a PA deve ser do</p><p>tipo:</p><p>(0, 𝑟, 2𝑟), com 𝑟 ≥ 0</p><p>Então, temos que encontrar o valor de 𝑟.</p><p>Ainda, do enunciado, temos que a soma dos coeficientes é igual a 10:</p><p>1 + 𝑎 + 𝑏 = 10 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 9 (𝐼)</p><p>Vamos usar as relações de Girard na seguinte equação:</p><p>𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 (𝐼𝐼)</p><p>Desse modo:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 = 𝑟 + 2𝑟 = −𝑎 ⇒ 𝑎 = −3𝑟</p><p>De (𝐼), podemos encontrar o valor de 𝑏:</p><p>𝑎 + 𝑏 = 9 ⇒ 𝑏 = 9 + 3𝑟</p><p>Substituindo os valores encontrados em (𝐼𝐼) e fazendo 𝑥 = 𝑟:</p><p>𝑟2 + (−3𝑟)𝑟 + 9 +</p><p>3𝑟 = 0</p><p>−2𝑟2 + 3𝑟 + 9 = 0 ⇒ 𝑟1 = 3 𝑜𝑢 𝑟2 = −</p><p>3</p><p>2</p><p>Sendo as raízes não negativas, devemos ter 𝑟 = 3.</p><p>Portanto, a soma das raízes é dada por:</p><p>0 + 𝑟 + 2𝑟 = 3𝑟 = 9</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>40. (ITA/2019)</p><p>Considere as seguintes afirmações:</p><p>I. Se 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 𝐞 𝒙𝟑 são as raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 = 𝟎, então 𝒚𝟏 = 𝒙𝟐𝒙𝟑, 𝒚𝟐 =</p><p>𝒙𝟏𝒙𝟑 𝐞 𝒚𝟑 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 são as raízes da equação 𝒚𝟑 − 𝒚𝟐 − 𝟒𝒚 − 𝟒 = 𝟎.</p><p>II. A soma dos cubos de três números inteiros consecutivos é divisível por 9.</p><p>III. √</p><p>𝟑+√𝟓</p><p>𝟐</p><p>=</p><p>𝟏+√𝟓</p><p>𝟐</p><p>É(são) VERDADEIRA(S)</p><p>a) Apenas I.</p><p>b) Apenas II.</p><p>87</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>c) Apenas III.</p><p>d) Apenas II e III.</p><p>e) Todas.</p><p>Comentários</p><p>I. Verdadeira.</p><p>Utilizando as relações de Girard nas equações, temos:</p><p>𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 ⇒ {</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2</p><p>𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3 = 1</p><p>𝑥1𝑥2𝑥3 = −2</p><p>𝑦3 − 𝑦2 − 4𝑦 − 4 = 0 ⇒ {</p><p>𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 1</p><p>𝑦1𝑦2 + 𝑦2𝑦3 + 𝑦1𝑦3 = −4</p><p>𝑦1𝑦2𝑦3 = 4</p><p>Vamos verificar se as relações em 𝑦 são válidas, usando as relações em 𝑥. Para 𝑦1 =</p><p>𝑥2𝑥3, 𝑦2 = 𝑥1𝑥3 e 𝑦3 = 𝑥1𝑥2:</p><p>𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 𝑥2𝑥3 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥2 = 1</p><p>𝑦1𝑦2 + 𝑦2𝑦3 + 𝑦1𝑦3 = 𝑥2𝑥3𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥3𝑥1𝑥2 + 𝑥2𝑥3𝑥1𝑥2</p><p>= 𝑥1𝑥2𝑥3(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) = (−2) ⋅ 2 = −4</p><p>𝑦1𝑦2𝑦3 = (𝑥2𝑥3)(𝑥1𝑥3)(𝑥1𝑥2) = (𝑥1𝑥2𝑥3)</p><p>2 = (−2)2 = 4</p><p>Portanto, todas as relações são válidas, logo, elas são raízes da equação.</p><p>II. Verdadeira.</p><p>Seja 𝑎 ∈ ℤ. Vamos tomar os inteiros consecutivos (𝑎 − 1, 𝑎, 𝑎 + 1), a soma dos seus cubos</p><p>resulta:</p><p>(𝑎 − 1)3 + 𝑎3 + (𝑎 + 1)3</p><p>= 𝑎3 − 3𝑎2 + 3𝑎 − 1 + 𝑎3 + 𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 1</p><p>= 3𝑎3 + 6𝑎</p><p>= 3𝑎(𝑎2 + 2)</p><p>Devemos provar que, para qualquer 𝑎 ∈ ℤ, a expressão 3𝑎(𝑎2 + 2) é divisível por 9.</p><p>Vamos dividir o problema em todos os casos possíveis:</p><p>a) 𝑎 = 3𝑘, 𝑘 ∈ ℤ valores (0, ±3,±6,±9,… ,±3𝑘)</p><p>3𝑎(𝑎2 + 2) = 3(3𝑘)((3𝑘)2 + 2) = 9𝑘(9𝑘2 + 2)</p><p>b) 𝑎 = 3𝑘 + 1 valores (1, 4, 7, 10,… ,3𝑘 + 1) e (−2,−5,−8,… ,−3𝑘 + 1)</p><p>3𝑎(𝑎2 + 2) = 3(3𝑘 + 1)((3𝑘 + 1)2 + 2) = 3(3𝑘 + 1)(9𝑘2 + 6𝑘 + 1 + 2)</p><p>= 9(3𝑘 + 1)(3𝑘2 + 2𝑘 + 1)</p><p>c) 𝑎 = 3𝑘 + 2 valores (2, 5, 8, … ,3𝑘 + 1) e (−1, −4,−7,… , −3𝑘 + 1)</p><p>88</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>3𝑎(𝑎2 + 2) = 3(3𝑘 + 2)((3𝑘 + 2)2 + 2) = 3(3𝑘 + 2)(9𝑘2 + 12𝑘 + 4 + 2)</p><p>= 9(3𝑘 + 2)(3𝑘2 + 4𝑘 + 2)</p><p>Todos esses casos possuem o fator 9 na expressão, logo, para 𝑎 ∈ ℤ, 3𝑎(𝑎2 + 2) é divisível</p><p>por 9.</p><p>III. Verdadeira.</p><p>1 + √5</p><p>2</p><p>= √(</p><p>1 + √5</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>= √</p><p>1 + 5 + 2√5</p><p>4</p><p>= √</p><p>6 + 2√5</p><p>4</p><p>= √</p><p>3 + √5</p><p>2</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>41. (ITA/2019)</p><p>Determine os valores reais de 𝒂 e 𝒃 para os quais as equações 𝒙𝟑 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝟏𝟖 = 𝟎 e 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙 +</p><p>𝟏𝟐 = 𝟎 possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.</p><p>Comentários</p><p>A questão afirma que as equações possuem duas raízes em comum. Devemos pensar em</p><p>como relacionar essas raízes. As relações de Girard nos permitem criar um sistema entre as raízes</p><p>e os coeficientes dessas equações, vamos usá-las.</p><p>Sejam 𝛼 e 𝛽 as raízes comuns, então, aplicando as relações de Girard:</p><p>Raízes de 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 18 = 0: 𝛼, 𝛽, 𝛾</p><p>{</p><p>𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = −𝑎 (𝐼)</p><p>𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 = 0 (𝐼𝐼)</p><p>𝛼𝛽𝛾 = −18 (𝐼𝐼𝐼)</p><p>Raízes de 𝑥3 + 𝑏𝑥 + 12 = 0: 𝛼, 𝛽, 𝜆</p><p>{</p><p>𝛼 + 𝛽 + 𝜆 = 0 (𝐼𝑉)</p><p>𝛼𝛽 + 𝛼𝜆 + 𝛽𝜆 = 𝑏 (𝑉)</p><p>𝛼𝛽𝜆 = −12 (𝑉𝐼)</p><p>Resolvendo o sistema:</p><p>(𝐼𝑉) − (𝐼):</p><p>𝜆 − 𝛾 = 𝑎 (𝑉𝐼𝐼)</p><p>(𝑉) − (𝐼𝐼):</p><p>(𝛼 + 𝛽)(𝜆 − 𝛾) = 𝑏 (𝑉𝐼𝐼𝐼)</p><p>(𝐼𝐼𝐼) ÷ (𝑉𝐼):</p><p>𝛾</p><p>𝜆</p><p>=</p><p>18</p><p>12</p><p>⇒ 𝛾 =</p><p>3</p><p>2</p><p>𝜆 (𝐼𝑋)</p><p>Substituindo (𝐼𝑋) em (𝑉𝐼𝐼):</p><p>89</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝜆 − 𝛾 = 𝑎</p><p>𝛾=</p><p>3</p><p>2</p><p>𝜆</p><p>⇒ 𝜆 −</p><p>3</p><p>2</p><p>𝜆 = 𝑎 ⇒ 𝜆 = −2𝑎 (𝑋)</p><p>De (𝐼𝑉), temos 𝛼 + 𝛽 = −𝜆 = 2𝑎. Usando a relação (𝑉𝐼𝐼𝐼):</p><p>(𝛼 + 𝛽)⏟</p><p>2𝑎</p><p>(𝜆 − 𝛾)⏟</p><p>𝑎</p><p>= 𝑏 ⇒ 2𝑎2 = 𝑏 (𝑋𝐼)</p><p>Agora, temos uma relação para 𝜆 e 𝑏.</p><p>Lembrando que 𝜆 é uma raiz de 𝑥3 + 𝑏𝑥 + 12 = 0, temos:</p><p>𝑥3 + 𝑏𝑥 + 12 = 0</p><p>𝑥=𝜆</p><p>⇒ 𝜆3 + 𝑏𝜆 + 12 = 0</p><p>𝜆=−2𝑎</p><p>⇒ (−2𝑎)3 + 2𝑎2 ⋅ (−2𝑎) + 12 = 0</p><p>⇒ −8𝑎3 − 4𝑎3 + 12 = 0 ⇒ −12𝑎3 = −12 ⇒ 𝑎3 = 1 ⇒ 𝑎 = 1</p><p>De (𝑋𝐼):</p><p>𝑏 = 2𝑎2</p><p>𝑎=1</p><p>⇒ 𝑏 = 2</p><p>Para 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2, obtemos das relações anteriores:</p><p>𝜆 = −2𝑎 = −2</p><p>𝛾 =</p><p>3</p><p>2</p><p>𝜆 = −3</p><p>Desse modo, as equações iniciais são dadas por:</p><p>𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 18 = 0 ⇒ 𝑥3 + 𝑥2 + 18 = 0 (𝑋𝐼𝐼)</p><p>𝑥3 + 𝑏𝑥 + 12 = 0 ⇒ 𝑥3 + 2𝑥 + 12 = 0 (𝑋𝐼𝐼𝐼)</p><p>Subtraindo essas equações, obtemos a seguinte equação do segundo grau:</p><p>(𝑋𝐼𝐼) − (𝑋𝐼𝐼𝐼): 𝑥2 − 2𝑥 + 6 = 0</p><p>As raízes dessa equação serão as raízes comuns 𝛼 e 𝛽. Vamos encontrar as raízes:</p><p>𝑥 =</p><p>2 ± √−20</p><p>2</p><p>=</p><p>2 ± 2𝑖√5</p><p>2</p><p>Portanto, 𝛼 e 𝛽 são dadas por:</p><p>𝛼 = 1 − 𝑖√5</p><p>𝛽 = 1 + 𝑖√5</p><p>Gabarito: 𝒂 = 𝟏; 𝒃 = 𝟐; 𝒓𝒂í𝒛𝒆𝒔: {𝟏 − 𝒊√𝟓; 𝟏 + 𝒊√𝟓}</p><p>42. (ITA/2018)</p><p>Considere a matriz [</p><p>1 𝑥 𝑥2 𝑥3</p><p>1 2 3 4</p><p>−1 3 4 5</p><p>−2 2 1 1</p><p>], 𝑥 ∈ ℝ. Se o polinômio 𝑝(𝑥) é dado por 𝑝(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡𝐴,</p><p>então o produto das raízes de 𝑝(𝑥) é</p><p>a)</p><p>1</p><p>2</p><p>90</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>b)</p><p>1</p><p>3</p><p>c)</p><p>1</p><p>5</p><p>d)</p><p>1</p><p>7</p><p>e)</p><p>1</p><p>11</p><p>Comentários</p><p>O polinômio 𝑝(𝑥) é dado por:</p><p>𝑝(𝑥) = |</p><p>1 𝑥 𝑥2 𝑥3</p><p>1 2 3 4</p><p>−1 3 4 5</p><p>−2 2 1 1</p><p>|</p><p>Vamos escrever 𝑝(𝑥) da seguinte forma:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑎3𝑥</p><p>3 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0</p><p>Aplicando Laplace à primeira linha do determinante, temos:</p><p>𝑎0 = (−1)</p><p>1+1 |</p><p>2 3 4</p><p>3 4 5</p><p>2 1 1</p><p>| = −1</p><p>𝑎1 = (−1)</p><p>1+2 |</p><p>1 3 4</p><p>−1 4 5</p><p>−2 1 1</p><p>| = −1 ∙ 0 = 0</p><p>𝑎2 = (−1)</p><p>1+3 |</p><p>1 2 4</p><p>−1 3 5</p><p>−2 2 1</p><p>| = −9</p><p>𝑎3 = (−1)</p><p>1+4 |</p><p>1 2 3</p><p>−1 3 4</p><p>−2 2 1</p><p>| = −1 ∙ (−7) = 6</p><p>Ou seja, 𝑝(𝑥) é dado por:</p><p>𝑝(𝑥) = 7𝑥3 − 9𝑥2 − 1</p><p>Das relações de Girard, sabemos que o produto das raízes de um polinômio do 3º grau é</p><p>dado por:</p><p>−</p><p>𝑎0</p><p>𝑎3</p><p>= −(−</p><p>1</p><p>7</p><p>) =</p><p>1</p><p>7</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>43. (ITA/2018)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) um polinômio não nulo. Se 𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 2 e 𝑥3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 são divisores</p><p>de 𝑝(𝑥), determine o menor grau possível de 𝑝(𝑥).</p><p>Comentário</p><p>Se os polinômios dados dividem 𝑝(𝑥), podemos escrever:</p><p>91</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑞1(𝑥)(𝑥</p><p>3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 2)</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑞2(𝑥)(𝑥</p><p>3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4 )</p><p>Ou seja, as raízes dos polinômios dados são raízes de 𝑝(𝑥). Então, vamos descobrir as raízes</p><p>dos polinômios dados. Para facilitar, vamos dar nomes aos polinômios:</p><p>𝑔1(𝑥) = 𝑥</p><p>3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 2</p><p>𝑔2(𝑥) = 𝑥</p><p>3 − 5𝑥2 + 8𝑥 − 4</p><p>Em polinômios de grau maior que 2 é sempre útil chutar que 1 é uma de suas raízes. Então,</p><p>vamos verificar:</p><p>𝑔1(1) = 1 − 4 + 5 − 2 = 0</p><p>𝑔2(1) = 1 − 5 + 8 − 4 = 0</p><p>Ou seja, 1 é raiz de 𝑔1(𝑥) e de 𝑔2(𝑥). Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para reduzir</p><p>o grau desses polinômios.</p><p>Para 𝑔1(𝑥), temos:</p><p>1 1 −4 5 −2</p><p>1 −3 2 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝑔1(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥</p><p>2 − 3𝑥 + 2)</p><p>Logo, as outras raízes de 𝑔1(𝑥) são as raízes de (𝑥2 − 3𝑥 + 2), que são 1 e 2.</p><p>De outra forma:</p><p>𝑔1(𝑥) = (𝑥 − 1)</p><p>2(𝑥 − 2)</p><p>Para 𝑔2(𝑥), temos:</p><p>1 1 −5 8 −4</p><p>1 −4 4 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝑔2(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥</p><p>2 − 4𝑥 + 4)</p><p>Logo, as outras raízes de 𝑔2(𝑥) são as raízes de (𝑥2 − 4𝑥 + 4) = (𝑥 − 2)2, ou seja, 2 com</p><p>multiplicidade 2.</p><p>De outra forma:</p><p>𝑔2(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)</p><p>2</p><p>Conclusão:</p><p>O polinômio 𝑝(𝑥) deve possuir 1 como raiz como multiplicidade 2, de 𝑔1(𝑥), e deve possuir</p><p>2 com multiplicidade 2, de 𝑔2(𝑥). Ou seja, para atender ao enunciado, o polinômio 𝑝(𝑥) deve ser</p><p>da forma:</p><p>92</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑔(𝑥)(𝑥 − 1)2(𝑥 − 2)2</p><p>Logo, o menor grau possível para 𝑝(𝑥) é 4, que é quando 𝑔(𝑥) = 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ.</p><p>Gabarito: 4.</p><p>44. (ITA/2016)</p><p>Seja 𝑝 o polinômio dado por 𝑝(𝑥) = 𝑥8 + 𝑥𝑚 − 2𝑥𝑛, em que os expoentes 8,𝑚, 𝑛 formam,</p><p>nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a 14. Considere as</p><p>seguintes afirmações:</p><p>I. 𝑥 = 0 é uma raiz dupla de 𝑝.</p><p>II. 𝑥 = 1 é uma raiz dupla de 𝑝.</p><p>III. 𝑝 tem quatro</p><p>raízes com parte imaginária não nula.</p><p>Destas, é (são) verdadeira(s)</p><p>a) Apenas I.</p><p>b) Apenas I e II.</p><p>c) Apenas I e III.</p><p>d) Apenas II e III.</p><p>e) I, II e III.</p><p>Comentários</p><p>O primeiro passo nessa questão é encontrar os valores de 𝑚 e 𝑛 usando o fato de que eles</p><p>pertencem a uma P.G. de primeiro termo 8. Seja 𝑞 a razão dessa progressão, podemos</p><p>representar essa progressão pela terna ordenada:</p><p>(8, 8𝑞, 8𝑞2)</p><p>Sua soma é 14, do que temos:</p><p>8 + 8𝑞 + 8𝑞2 = 14 ⇒ 4𝑞2 + 4𝑞 − 3 = 0</p><p>Resolvendo para 𝑞, temos:</p><p>𝑞 = −</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑜𝑢 𝑞 =</p><p>1</p><p>2</p><p>Como se trata de um polinômio, o expoente de 𝑥 deve ser, necessariamente, um número</p><p>inteiro não negativo.</p><p>Suponha que 𝑞 = −</p><p>3</p><p>2</p><p>. Disso, teríamos que:</p><p>𝑚 = 8 ∙ (−</p><p>3</p><p>2</p><p>) = −12</p><p>Ou seja, 𝑚 seria negativo, o que não convém.</p><p>A conclusão é que 𝑞 =</p><p>1</p><p>2</p><p>e a terna ordenada fica:</p><p>(8, 4, 2)</p><p>Do que segue que:</p><p>93</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥8 + 𝑥4 − 2𝑥2</p><p>De posse do polinômio, podemos julgar as afirmações.</p><p>I. Verdadeira: Veja que 𝑝(𝑥) = 𝑥8 + 𝑥4 − 2𝑥2 = 𝑥2(𝑥6 + 𝑥2 − 2), ou seja, 𝑝(𝑥)</p><p>apresenta o fator (𝑥 − 0) duas vezes, de onde temos que 0 é uma raiz dupla.</p><p>II. Falsa: Observe que</p><p>𝑥6 + 𝑥2 − 2 = 𝑥6 − 1 + 𝑥2 − 1 = (𝑥2 − 1)(𝑥4 + 𝑥2 + 1) + (𝑥2 − 1)</p><p>Ou ainda</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 1)(𝑥4 + 𝑥2 + 2)</p><p>Disso, temos que 1 é raiz com multiplicidade 1, pois 𝑝(𝑥) somente apresenta uma</p><p>vez o fator (𝑥 − 1).</p><p>III. Verdadeira: Vamos mostrar que as raízes de (𝑥4 + 𝑥2 + 2) são complexas não</p><p>reais. Para isso, veja que 𝑥4 + 𝑥2 + 2 = (𝑥2)2 + 2 ∙</p><p>1</p><p>2</p><p>𝑥2 +</p><p>1</p><p>4</p><p>+</p><p>7</p><p>4</p><p>= (𝑥2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>+</p><p>7</p><p>4</p><p>.</p><p>Mas isso obedece (𝑥2 +</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>+</p><p>7</p><p>4</p><p>≥</p><p>7</p><p>4</p><p>para todo 𝑥 real. Logo, essa equação não</p><p>apresenta raízes reais.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>45. (ITA/2016)</p><p>Considere o polinômio 𝑝 com coeficientes complexos definido por</p><p>𝑝(𝑧) = 𝑧4 + (2 + 𝑖)𝑧3 + (2 + 𝑖)𝑧2 + (2 + 𝑖)𝑧 + (1 + 𝑖).</p><p>Podemos afirmar que</p><p>a) Nenhuma das raízes de 𝑝 é real.</p><p>b) Não existem raízes de 𝑝 que sejam complexas conjugadas.</p><p>c) A soma dos módulos de todas as raízes de 𝑝 é igual a 2 + √2.</p><p>d) O produto dos módulos de todas as raízes de 𝑝 é igual a 2√2.</p><p>e) O módulo de uma das raízes de 𝑝 é igual a √2.</p><p>Comentários</p><p>O polinômio fornecido assusta à primeira vista. Mas se você observar com calma, vai</p><p>perceber que:</p><p>𝑝(𝑧) = 𝑧4 + (2 + 𝑖)𝑧3 + (2 + 𝑖)𝑧2 + (2 + 𝑖)𝑧 + (1 + 𝑖) =</p><p>= 𝑧4 − 1 + 1 + (2 + 𝑖)𝑧2 + (2 + 𝑖)𝑧 + (1 + 𝑖) =</p><p>= 𝑧4 − 1 + (2 + 𝑖)(𝑧3 + 𝑧2 + 𝑧 + 1)</p><p>Isso é muito bom, pois 𝑝(1) ≠ 0, ou seja, para 𝑝(𝑧) = 0, podemos escrever:</p><p>𝑝(𝑧) = 𝑧4 − 1 +</p><p>(2 + 𝑖)(𝑧4 − 1)</p><p>𝑧 − 1</p><p>= (𝑧4 − 1) (1 +</p><p>2 + 𝑖</p><p>𝑧 − 1</p><p>) = 0</p><p>Já que 𝑧 ≠ 1. Disso, temos que:</p><p>𝑧4 − 1 = 0 ⇒ (𝑧2 − 1)(𝑧2 + 1) = 0</p><p>Resolvendo para 𝑧, vem:</p><p>94</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑧 = ±1 𝑜𝑢 𝑧 = ±𝑖</p><p>Mas 𝑧 ≠ 1, do que segue que 1 não convém.</p><p>Ainda temos que:</p><p>1 +</p><p>2 + 𝑖</p><p>𝑧 − 1</p><p>= 0 ⇒</p><p>𝑧 + 1 + 𝑖</p><p>𝑧 − 1</p><p>= 0 ⇒ 𝑧 = −1 − 𝑖</p><p>Note que o módulo dessa última raiz de 𝑝(𝑧) é |𝑧| = √(−1)2 + (−1)2 = √2, do que segue</p><p>que a alternativa “e” é a correta.</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>46. (ITA/2014)</p><p>Considere os polinômios em 𝑥 ∈ ℝ da forma 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎3𝑥</p><p>3 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥. As raízes de</p><p>𝑝(𝑥) = 0 constituem uma progressão aritmética de razão</p><p>1</p><p>2</p><p>quando (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) é igual a</p><p>a) (</p><p>1</p><p>4</p><p>, 0,</p><p>5</p><p>4</p><p>).</p><p>b) (</p><p>1</p><p>4</p><p>, 1,</p><p>5</p><p>4</p><p>).</p><p>c) (</p><p>1</p><p>4</p><p>, 0, −</p><p>5</p><p>4</p><p>).</p><p>d) (</p><p>5</p><p>4</p><p>, 0,</p><p>1</p><p>4</p><p>).</p><p>e) (</p><p>1</p><p>4</p><p>, −1,−</p><p>1</p><p>4</p><p>).</p><p>Comentários</p><p>Note que o polinômio dado possui zero como uma de suas raízes, pois:</p><p>𝑝(0) = 05 + 𝑎30</p><p>3 + 𝑎20</p><p>2 + 𝑎10 = 0</p><p>Seja 𝑟 a “raiz central”, ou seja, tal que:</p><p>(𝑟 − 1, 𝑟 −</p><p>1</p><p>2</p><p>, 𝑟, 𝑟 +</p><p>1</p><p>2</p><p>, 𝑟 + 1)</p><p>Sejam as soluções de 𝑝(𝑥) = 0. Das relações de Girard, podemos escrever que:</p><p>𝑟 − 1 + 𝑟 −</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 𝑟 + 𝑟 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 𝑟 + 1 = −</p><p>𝑎4</p><p>𝑎5</p><p>= −</p><p>0</p><p>1</p><p>= 0</p><p>5𝑟 = 0 ⇒ 𝑟 = 0</p><p>Logo, as raízes de 𝑝(𝑥) são:</p><p>(−1,−</p><p>1</p><p>2</p><p>, 0,</p><p>1</p><p>2</p><p>, 1 )</p><p>Ainda das relações de Girard, podemos escrever:</p><p>95</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑎3</p><p>𝑎5</p><p>= 𝑎3</p><p>= (−1) ∙ (−</p><p>1</p><p>2</p><p>) + (−1) ∙ 0 + (−1) ∙</p><p>1</p><p>2</p><p>+ (−1) ∙ 1 + (−</p><p>1</p><p>2</p><p>) ∙ 0 + (−</p><p>1</p><p>2</p><p>) ∙ (</p><p>1</p><p>2</p><p>) + (−</p><p>1</p><p>2</p><p>) ∙ 1 + 0 ∙</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 0 ∙ 1 +</p><p>1</p><p>2</p><p>∙ 1</p><p>Ou seja:</p><p>𝑎3 = −</p><p>5</p><p>4</p><p>Além disso:</p><p>𝑝(−1) = −1 +</p><p>5</p><p>4</p><p>+ 𝑎2 − 𝑎1 = 0 ⇒ 𝑎2 − 𝑎1 = −</p><p>1</p><p>4</p><p>𝑝(1) = 1 −</p><p>5</p><p>4</p><p>+ 𝑎2 + 𝑎1 = 0 ⇒ 𝑎2 + 𝑎1 =</p><p>1</p><p>4</p><p>Resolvendo o sistema acima, temos:</p><p>𝑎2 = 0 𝑒 𝑎1 =</p><p>1</p><p>4</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>47. (ITA/2013)</p><p>Considere o polinômio 𝑃(𝑚) = 𝑎𝑚2 − 3𝑚 − 18, em que 𝑎 ∈ ℝ é tal que a soma das raízes</p><p>de 𝑃 é igual a 3. Determine a raiz 𝑚 de 𝑃 tal que duas, e apenas duas, soluções da equação</p><p>em 𝑥, 𝑥3 +𝑚𝑥2 + (𝑚 + 4)𝑥 + 5, estejam no intervalo ] − 2,2[.</p><p>Comentários</p><p>O primeiro passo é encontrar o valor de 𝑎. Para isso, vamos usar as relações de Girard.</p><p>Nos foi dado que a soma das raízes é 3, logo:</p><p>−(</p><p>−3</p><p>𝑎</p><p>) = 3 ⇒ 𝑎 = 1</p><p>Assim, o polinômio fica:</p><p>𝑃(𝑚) = 𝑚2 − 3𝑚 − 18</p><p>Resolvendo, temos que suas raízes são 𝑚 = −3 ou 𝑚 = 6.</p><p>O segundo passo é perceber que −1 é raiz da equação dada, observe:</p><p>(−1)3 +𝑚(−1)2 + (𝑚 + 4)(−1) + 5 = −1 +𝑚 −𝑚 − 4 + 5 = 0</p><p>Usando Briot-Ruffini:</p><p>−1 1 𝑚 𝑚 + 4 5</p><p>1 𝑚 − 1 5 0</p><p>Ou seja:</p><p>96</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>(𝑥 + 1)(𝑥2 + (𝑚 − 1)𝑥 + 5) = 0</p><p>Para 𝑚 = −3:</p><p>𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0</p><p>Observe que ela não possui raízes reais.</p><p>Para 𝑚 = 6:</p><p>𝑥2 + 5𝑥 + 5 = 0</p><p>Suas raízes são 𝑥 =</p><p>−5±√5</p><p>2</p><p>.</p><p>Vamos verificar se elas estão no intervalo definido:</p><p>−2 ≤</p><p>−5 − √5</p><p>2</p><p>≤ 2</p><p>O lado direito é verdadeiro, pois a raiz é negativa. O lado esquerdo:</p><p>−2 ≤</p><p>−5 − √5</p><p>2</p><p>⇒ −4 ≤ −5 − √5 ⇒ 1 ≤ −√5</p><p>Que é absurdo.</p><p>Para a outra:</p><p>−2 ≤</p><p>−5 + √5</p><p>2</p><p>≤ 2</p><p>−4 ≤ −5 + √5 ≤ 4 ⇒ 1 ≤ √5 ≤ 9</p><p>Ou seja, a segunda raiz está no intervalo. Assim, 1 e</p><p>−5+√5</p><p>2</p><p>estão no intervalo dado, mas</p><p>−5−√5</p><p>2</p><p>não está. Portanto, exatamente duas raízes estão no intervalo.</p><p>Gabarito: 𝒎 = 𝟔.</p><p>48. (ITA/2012)</p><p>As raízes 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3 do polinômio 𝑝(𝑥) = 16 + 𝑎𝑥 − (4 + √2)𝑥2 + 𝑥3 estão relacionadas</p><p>pelas equações:</p><p>𝑥1 + 2𝑥2 +</p><p>𝑥3</p><p>2</p><p>= 2 𝑒 𝑥1 − 2𝑥2 − √2𝑥3 = 0</p><p>Então, o coeficiente 𝑎 é igual a</p><p>a) 2(1 − √2).</p><p>b) √2 − 4.</p><p>c) 2(2 + √2).</p><p>d) 4 + √2.</p><p>e) 4(√2 − 1).</p><p>Comentários</p><p>97</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Observe que temos três incógnitas, mas o enunciado só nos fornece duas equações.</p><p>Podemos obter mais uma equação usando as relações de Girard, pois a soma das raízes é</p><p>dada por:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 4 + √2</p><p>Assim, temos o sistema de equações:</p><p>{</p><p>𝑥1 + 2𝑥2 +</p><p>𝑥3</p><p>2</p><p>= 2</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 4 + √2</p><p>𝑥1 − 2𝑥2 − √2𝑥3 = 0</p><p>Somando a primeira e a terceira equação, obtemos:</p><p>𝑥1 + 2𝑥2 +</p><p>𝑥3</p><p>2</p><p>+ (𝑥1 − 2𝑥2 − √2𝑥3) = 2 + 0</p><p>2𝑥1 + (</p><p>1</p><p>2</p><p>− √2) 𝑥3 = 2 ⇒ 𝑥1 = (</p><p>√2</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>4</p><p>) 𝑥3 + 1</p><p>Substituindo na segunda equação, vem:</p><p>(</p><p>√2</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>4</p><p>) 𝑥3 + 1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 4 + √2 ⇒ 𝑥2 = 3 + √2 − (</p><p>√2</p><p>2</p><p>+</p><p>3</p><p>4</p><p>) 𝑥3</p><p>Por fim, substituindo 𝑥2 e 𝑥1 na terceira equação:</p><p>(</p><p>√2</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>4</p><p>) 𝑥3 + 1 − 2 [3 + √2 − (</p><p>√2</p><p>2</p><p>+</p><p>3</p><p>4</p><p>) 𝑥3] − √2𝑥3 = 0 ⇒ 𝑥3 = 4</p><p>Assim, como 4 é raiz do polinômio, podemos escrever:</p><p>16 + 4𝑎 − 16(4 + √2) + 64 = 0 ⇒ 𝑎 = 4(√2 − 1)</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>49. (ITA/2010)</p><p>Sabe-se que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 1, 𝑎 ∈ ℝ, admite a raiz −𝑖. Considere</p><p>as seguintes afirmações sobre as raízes de 𝑝:</p><p>I. Quatro das raízes são imaginárias puras.</p><p>II. Uma das raízes tem multiplicidade dois.</p><p>III. Apenas uma das raízes é real.</p><p>Destas, é (são) verdadeira(s) apenas</p><p>a) I.</p><p>b) II.</p><p>c) III.</p><p>d) I e III.</p><p>e) II e III.</p><p>98</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Comentários</p><p>Observe que 𝑝(𝑥) possui todos os seus coeficientes reais. Assim, se −𝑖 é raiz de 𝑝(𝑥), 𝑖</p><p>também é.</p><p>Vamos encontrar o valor de 𝑎 usando que 𝑝(𝑖) = 0:</p><p>𝑖5 − 𝑎(𝑖)3 + 𝑎(𝑖)2 − 1 = 0 ⇒ 𝑎 = −1</p><p>Então, o polinômio fica:</p><p>𝑝(𝑥)</p><p>= 𝑥5 + 𝑥3 − 𝑥2 − 1</p><p>Note que 𝑝(1) = 0:</p><p>𝑝(1) = 1 + 1 − 1 − 1 = 0</p><p>Vamos dividir 𝑝(𝑥), sucessivamente por (𝑥 − 1), (𝑥 − 𝑖) e (𝑥 + 𝑖) usando Briot-Rufffini:</p><p>1 1 0 1 −1 0 −1</p><p>𝑖 1 1 2 1 1 0</p><p>−𝑖 1 1 + 𝑖 1 + 𝑖 𝑖 0</p><p>1 1 1 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 𝑖)(𝑥 + 𝑖)(𝑥2 + 𝑥 + 1)</p><p>As raízes de 𝑥2 + 𝑥 + 1 são 𝑥 =</p><p>−1±𝑖√3</p><p>2</p><p>, pertencentes aos complexos.</p><p>Vamos julgar item por item:</p><p>Item I:</p><p>Falsa, pois apenas duas de suas raízes são imaginárias puras.</p><p>Item II:</p><p>Falsa, pois nenhuma de suas raízes possui multiplicidade 2.</p><p>Item III:</p><p>Verdadeira, pois apenas 1 ∈ ℝ.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>50. (ITA/2010)</p><p>Um polinômio real 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛5</p><p>𝑛=0 , com 𝑎5 = 4, tem três raízes reais distintas, 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐,</p><p>que satisfazem o sistema</p><p>{</p><p>𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐 = 0</p><p>𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 = 6</p><p>2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 5</p><p>Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais tem multiplicidade dois, pode-se</p><p>afirmar que 𝑝(1) é igual a</p><p>99</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>a) −4.</p><p>b) −2.</p><p>c) 2.</p><p>d) 4.</p><p>e) 6.</p><p>Comentários</p><p>O primeiro passo nessa questão é encontrar as raízes resolvendo o sistema linear</p><p>fornecido.</p><p>Subtraindo a primeira equação da segunda equação:</p><p>𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 − (𝑎 + 2𝑏 + 5𝑐) = 6 − 0 ⇒ 2𝑏 = 3𝑐 + 6</p><p>Substituindo 2𝑏 na primeira equação:</p><p>𝑎 + 3𝑐 + 6 + 5𝑐 = 0 ⇒ 𝑎 = −8𝑐 − 6</p><p>Substituindo 𝑎 e 2𝑏 na terceira equação, vem:</p><p>−16𝑐 − 12 + 3𝑐 + 6 + 2𝑐 = 5 ⇒ 𝑐 = −1</p><p>Assim, temos que:</p><p>2𝑏 = −3 + 6 = 3 ⇒ 𝑏 =</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑒 𝑎 = 8 − 6 = 2</p><p>A maior das raízes encontradas é 2, do que segue que −1 e</p><p>3</p><p>2</p><p>possuem multiplicidade 2.</p><p>Como 𝑎5 = 4, podemos escrever:</p><p>𝑝(𝑥) = 4(𝑥 − 2)(𝑥 + 1)2 (𝑥 −</p><p>3</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>Do que segue que 𝑝(1) é dado por:</p><p>𝑝(1) = 4(1 − 2)(1 + 1)2 (1 −</p><p>3</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>= −4</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>51. (ITA/2010)</p><p>Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛6</p><p>𝑛=0 , com coeficientes reais, sendo 𝑎0 ≠ 0 e 𝑎6 = 1.</p><p>Sabe-se que se 𝑟 é raiz de 𝑝, −𝑟 também é raiz de 𝑝. Analise a veracidade ou falsidade das</p><p>afirmações:</p><p>I. Se 𝑟1 𝑒 𝑟2, |𝑟1| ≠ |𝑟2|, são raízes reais e 𝑟3 é raiz não real de 𝑝, então 𝑟3 é imaginário</p><p>puro.</p><p>II. Se 𝑟 é raiz dupla de 𝑝, então 𝑟 é real ou imaginário puro.</p><p>III. 𝑎0 < 0.</p><p>Comentários</p><p>Vamos analisar item por item.</p><p>100</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Item I:</p><p>Do enunciado temos que se 𝑟1 e 𝑟2 são raízes de 𝑝(𝑥) então −𝑟1 e −𝑟2 também são raízes</p><p>de 𝑝(𝑥). Note ainda que se |𝑟1| ≠ |𝑟2|, podemos afirmar que 𝑟1 ≠ ±𝑟2, ou seja, temos quatro</p><p>raízes distintas do polinômio.</p><p>Mas o grau de 𝑝(𝑥) é 6, do que segue que ainda restam duas de suas raízes a determinar.</p><p>Seja então 𝑟3 ∉ ℝ. Podemos dizer que:</p><p>𝑟3 = 𝑎 + 𝑏𝑖</p><p>Do enunciado, podemos afirmar que −𝑟3 também é raiz de 𝑝(𝑥). Além disso, perceba que</p><p>𝑝(𝑥) possui coeficientes reais, então 𝑟3̅ também é raiz.</p><p>Como somente restam duas raízes a determinar, então uma das três possibilidades abaixo</p><p>deve ser verdadeira:</p><p>1- 𝑟3 = −𝑟3</p><p>Mas isso implicaria que 2𝑟3 = 0 ⇒ 𝑟3 = 0. Isso não pode ocorrer, pois se zero é raiz do</p><p>polinômio, 𝑎0 = 0, o que não é verdade.</p><p>2- 𝑟3 = 𝑟3̅</p><p>Isso significa:</p><p>𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 ⇒ 2𝑏𝑖 = 0 ⇒ 𝑏 = 0</p><p>Ou seja, 𝑧3 = 𝑎 ∈ ℝ, o que contraria a afirmação.</p><p>3- −𝑟3 = 𝑟3̅</p><p>Isso significa:</p><p>−𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 ⇒ 2𝑎 = 0</p><p>Ou seja, 𝑟3 é imaginário puro.</p><p>Do exposto acima, a única possibilidade que não contraria o enunciado é o caso em que 𝑟3</p><p>é imaginário puro.</p><p>Portanto, a afirmação é verdadeira.</p><p>Item II:</p><p>Suponha que 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é uma raiz dupla de 𝑃(𝑥). Disso, temos que −𝑟, �̅� 𝑒 − �̅� são todas</p><p>duplas. Mas isso não pode ocorrer, pois nesse caso o polinômio teria 8 raízes!</p><p>Assim, para resolvermos esse problema, o conjunto:</p><p>{𝑟, −𝑟, �̅�, −�̅�}</p><p>Deve possuir elementos repetidos. Veja que 𝑟 ≠ −𝑟, pois 𝑎0 ≠ 0. Disso, só nos resta:</p><p>𝑟 = �̅� 𝑜𝑢 𝑟 = −�̅�</p><p>Do que temos que 𝑎 = 0 ou 𝑏 = 0, ou seja, 𝑟 é real ou imaginário puro.</p><p>Portanto, o item é verdadeiro.</p><p>Item III:</p><p>Sejam 𝑥1, −𝑥1, 𝑥2, −𝑥2, 𝑥3 𝑒 − 𝑥3 as raízes da equação. Por Girard:</p><p>𝑎0</p><p>1</p><p>= (−1)3(𝑥1𝑥2𝑥3)</p><p>2 ⇒ 𝑎0 = −(𝑥1𝑥2𝑥3)</p><p>2</p><p>101</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Suponha que 𝑥1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 seja uma raiz complexa e 𝑥2 𝑒 𝑥3 são raízes reais. Disso, temos</p><p>que:</p><p>−𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖 ⇒ 𝑎 = 0</p><p>Pois sendo 𝑥2 𝑒 𝑥3 reais, −𝑥1 não pode ser tal que 𝑥1 = −𝑥1, do que teríamos 𝑥1 = 0 e 𝑥1</p><p>real. Logo:</p><p>𝑥1 = 𝑏𝑖</p><p>Veja então:</p><p>𝑎0 = −(𝑥1𝑥2)</p><p>2 ∙ (𝑏𝑖)2 = (𝑥1𝑥2𝑏)</p><p>2 > 0</p><p>Logo, o item é falso.</p><p>Gabarito: V, V, F.</p><p>52. (ITA/2009)</p><p>Considere as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 2𝑥 − 1 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1. A multiplicidade</p><p>das raízes não reais da função composta 𝑓 ∘ 𝑔 é igual a</p><p>a) 1.</p><p>b) 2.</p><p>c) 3.</p><p>d) 4.</p><p>e) 5.</p><p>Comentários</p><p>Antes de escrevermos a função composta, vamos fazer algumas simplificações:</p><p>𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)2</p><p>Vamos fatorar 𝑓(𝑥). Note primeiramente que 1 é raiz:</p><p>𝑓(1) = 1 + 2 − 2 − 1 = 0</p><p>Vamos usar Briot-Ruffini para fatorar 𝑓(𝑥):</p><p>1 1 2 0 −2 −1</p><p>1 3 3 1 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1)</p><p>Observe que o segundo fator de 𝑓(𝑥) é uma expressão conhecida, se trata do cubo de (𝑥 +</p><p>1):</p><p>(𝑥 + 1)3 = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1</p><p>Assim:</p><p>𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)3</p><p>Agora vamos escrever 𝑓(𝑔(𝑥)):</p><p>102</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑓(𝑔(𝑥)) = [(𝑥 − 1)2 − 1][(𝑥 − 1)2 + 1]3</p><p>Queremos os valores de 𝑥 para 𝑓(𝑔(𝑥)) = 0, ou seja:</p><p>[(𝑥 − 1)2 − 1][(𝑥 − 1)2 + 1]3 = 0 ⇒ (𝑥 − 1)2 − 1 = 0 𝑜𝑢 [(𝑥 − 1)2 + 1]3 = 0</p><p>Do que segue que:</p><p>(𝑥 − 1)2 − 1 = 0 ⇒ 𝑥 − 1 = ±1 ⇒ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 0</p><p>E ainda:</p><p>(𝑥 − 1)2 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 − 1 = ±𝑖 ⇒ 𝑥 = 1 ± 𝑖</p><p>Perceba que o fator (𝑥 − 1)2 + 1 se repete três vezes no polinômio 𝑓(𝑔(𝑥)), ou seja, suas</p><p>raízes têm multiplicidade 3 no polinômio composto.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>53. (ITA/2009)</p><p>O polinômio de grau 4</p><p>(𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥4 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥3 − (𝑎 − 𝑏)𝑥2 + (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 2(𝑎 + 𝑐),</p><p>Com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a</p><p>a) 3 + √3.</p><p>b) 2 + 3√3.</p><p>c) 2 + √2.</p><p>d) 1 + 2√2.</p><p>e) 2 + 2√2.</p><p>Comentários</p><p>Seja 𝑝(𝑥) o polinômio dado. Se ele é uma função par, então temos que:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑝(−𝑥)</p><p>Ou seja:</p><p>(𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥4 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥3 − (𝑎 − 𝑏)𝑥2 + (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 2(𝑎 + 𝑐)</p><p>= (𝑎 + 2𝑏 + 𝑐)𝑥4 − (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥3 − (𝑎 − 𝑏)𝑥2 − (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 2(𝑎 + 𝑐)</p><p>Que implica:</p><p>2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥3 + 2(2𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥 = 0𝑥3 + 0𝑥 = 0</p><p>Como vale para todo 𝑥, a igualdade polinomial nos permite escrever que:</p><p>(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0 𝑒 (2𝑎 − 𝑏 + 𝑐) = 0</p><p>Isolando 𝑎 𝑒 𝑐 em função de 𝑏, temos:</p><p>𝑎 = 2𝑏 𝑒 𝑐 = −3𝑏</p><p>Assim, o polinômio fica:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑏𝑥4 − 𝑏𝑥2 − 2𝑏 = 𝑏(𝑥4 − 𝑥2 − 2)</p><p>103</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Queremos as soluções de 𝑥4 − 𝑥2 − 2 = 0. Faça 𝑥2 = 𝑦. Do que temos:</p><p>𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0</p><p>Resolvendo para 𝑦, obtemos 𝑦 = 2 ou 𝑦 = −1. Ou seja:</p><p>𝑥2 = 2 ⇒ 𝑥 = ±√2</p><p>𝑥2 = −1 ⇒ 𝑥 = ±𝑖</p><p>Seu conjunto solução é, portanto:</p><p>𝑆 = {±√2,±𝑖}</p><p>A soma do módulo de suas raízes é:</p><p>|√2| + |−√2| + |𝑖| + |−𝑖| = 2√2 + 2 = 2(√2 + 1)</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>54. (ITA/2006)</p><p>Sobre o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 − 2 podemos afirmar que</p><p>a) 𝑥 = 2 não é raiz de 𝑝.</p><p>b) 𝑝 só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais.</p><p>c) 𝑝 admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira.</p><p>d) 𝑝 só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras.</p><p>e) 𝑝 admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais.</p><p>Comentários</p><p>Vamos verificar cada alternativa.</p><p>Alternativa A:</p><p>Vamos calcular 𝑝(2):</p><p>𝑝(2) = 25 − 5 ∙ 23 + 4 ∙ 22 − 3 ∙ 2 − 2 = 32 − 40 + 16 − 6 − 2 = 48 − 48 = 0</p><p>∴ 𝑝(2) = 0</p><p>Logo, a alternativa é falsa, pois 2 é raiz do polinômio.</p><p>Antes de continuar, vamos fatorar</p><p>o polinômio usando Briot-Ruffini:</p><p>2 1 0 −5 4 −3 −2</p><p>1 2 −1 2 1 0</p><p>Do que temos:</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 + 1)</p><p>Para investigar 𝑝(𝑥) = 0, devemos estudar 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0.</p><p>Essa equação é do tipo:</p><p>𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎</p><p>104</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Existe um truque conhecido para resolvê-la. Divida a equação por 𝑥2, ou seja, o termo</p><p>“central”:</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑏 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) + 𝑎 (</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>) = 0</p><p>Agrupando os termos:</p><p>𝑎 (𝑥2 +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>) + 𝑏 (𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) + 𝑐 = 0</p><p>Agora, faça a seguinte substituição de variável:</p><p>𝑦 = 𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>Perceba que:</p><p>𝑦2 = (𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>)</p><p>2</p><p>= 𝑥2 + 2 +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>⇒ 𝑦2 − 2 = 𝑥2 +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>Substituindo na equação, vem:</p><p>𝑎(𝑦2 − 2) + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 𝑜𝑢 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 − 2𝑎 = 0</p><p>No nosso caso, 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 e 𝑐 = −1.</p><p>Ou seja:</p><p>𝑦2 + 2𝑦 − 3 = 0</p><p>Resolvendo para 𝑦, temos 𝑦 = 1 𝑜𝑢 𝑦 = −3.</p><p>Assim:</p><p>𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>= 1 ⇒ 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0</p><p>Que resolvendo para 𝑥, temos:</p><p>𝑥 =</p><p>1 ± 𝑖√3</p><p>2</p><p>E também temos que:</p><p>𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>= −3 ⇒ 𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0</p><p>Que resolvendo para 𝑥, temos:</p><p>𝑥 =</p><p>−3 ± √5</p><p>2</p><p>Dessa forma, observe que 𝑝(𝑥) admite três raízes reais, sendo uma delas o 2, inteira, e as</p><p>outras duas,</p><p>−3±√5</p><p>2</p><p>, irracionais.</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>55. (ITA/2006)</p><p>105</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑥 + 1, com raízes reais. O coeficiente 𝑎 é</p><p>racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise</p><p>se a seguinte afirmação é verdadeira:</p><p>“Se uma das raízes de 𝑝(𝑥) é racional, então todas as suas raízes são racionais.”</p><p>Comentários</p><p>Sejam 𝑟1, 𝑟2 𝑒 𝑟3 suas raízes. Sem perda de generalidade, vamos supor que 𝑟1 ∈ ℚ. Das</p><p>relações Girard, temos que:</p><p>𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3 = −𝑎</p><p>Ou ainda:</p><p>𝑟2 + 𝑟3 = −(𝑎 + 𝑟1) 𝑒𝑞. 01</p><p>Como 𝑎 𝑒 𝑟1 são racionais, sua soma também é e, consequentemente, 𝑟2 + 𝑟3 ∈ ℚ.</p><p>Além disso, sabemos que a diferença entre duas de suas raízes é racional. Observe, antes</p><p>de tudo, que não supomos nada de especial sobre 𝑟2 ou 𝑟3, ou seja, nesse ponto da resolução,</p><p>eles são intercambiáveis. Isso nos fornece duas possibilidades:</p><p>Primeira possibilidade:</p><p>𝑟1 − 𝑟2 = 𝑞 ∈ ℚ</p><p>Isso implica:</p><p>𝑟2 = 𝑟1 − 𝑞</p><p>Note que isso resulta na racionalidade de 𝑟2, pois 𝑟1 𝑒 𝑞 são ambos racionais.</p><p>Substituindo na equação 01:</p><p>𝑟1 − 𝑞 + 𝑟3 = −𝑎 − 𝑟1 ⇒ 𝑟3 = −𝑎 + 𝑞 − 2𝑟1</p><p>Como 𝑎, 𝑞 𝑒 2𝑟1 são racionais, segue que 𝑟3 também é racional. Ou seja, temos 𝑟2 𝑒 𝑟3</p><p>racionais.</p><p>Segunda possibilidade:</p><p>𝑟2 − 𝑟3 = 𝑞 ∈ ℚ</p><p>Isso implica:</p><p>𝑟2 = 𝑟3 + 𝑞 𝑒𝑞. 02</p><p>Substituindo na equação 01:</p><p>𝑟3 + 𝑞 + 𝑟3 = −𝑎 − 𝑟1 ⇒ 𝑟3 =</p><p>−𝑎 − 𝑟1 − 𝑞</p><p>2</p><p>Note que 𝑎, 𝑟1 𝑒 𝑞 são racionais, do que segue que 𝑟3 é racional. Dessa forma, olhando</p><p>para a equação 02, temos que 𝑟2 também é racional, uma vez que 𝑟3 𝑒 𝑞 são racionais.</p><p>Gabarito: Verdadeira.</p><p>56. (ITA/2008)</p><p>Sejam 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ. Considere o polinômio 𝑝(𝑥) dado por</p><p>106</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑥5 − 9𝑥4 + (𝛼 − 𝛽 − 2𝛾)𝑥3 + (𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2)𝑥2 + (𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1)𝑥</p><p>+ (2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1).</p><p>Encontre todos os valores de 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 de modo que 𝑥 = 0 seja uma raiz com multiplicidade</p><p>3 de 𝑝(𝑥).</p><p>Comentários</p><p>Se 0 é raiz de 𝑝(𝑥), podemos escrever:</p><p>05 − 9 ∙ 04 + (𝛼 − 𝛽 − 2𝛾) ∙ 03 + (𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2) ∙ 02 + (𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1) ∙ 0</p><p>+ (2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1) = 0</p><p>Ou seja:</p><p>2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1 = 0</p><p>Disso, temos que:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥[𝑥4 − 9𝑥3 + (𝛼 − 𝛽 − 2𝛾)𝑥2 + (𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2)𝑥1 + (𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1)]</p><p>Como zero possui multiplicidade 3, temos:</p><p>04 − 9 ∙ 03 + (𝛼 − 𝛽 − 2𝛾) ∙ 02 + (𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2) ∙ 0 + (𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1) = 0</p><p>Ou seja:</p><p>(𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1) = 0</p><p>Dessa forma, podemos escrever:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥2[𝑥3 − 9𝑥2 + (𝛼 − 𝛽 − 2𝛾)𝑥 + (𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2)]</p><p>Usando a multiplicidade do 0 pela última vez, vem:</p><p>03 − 9 ∙ 02 + (𝛼 − 𝛽 − 2𝛾) ∙ 0 + (𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2) = 0</p><p>Ou ainda:</p><p>(𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2) = 0</p><p>⇒ 𝑝(𝑥) = 𝑥3[𝑥2 − 9𝑥 + 𝛼 − 𝛽 − 2𝛾]</p><p>Além disso, 𝛼 − 𝛽 − 2𝛾 ≠ 0, pois 0 não pode ter multiplicidade 4.</p><p>Para encontrar os valores de 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 pedidos, devemos resolver o seguinte sistema linear:</p><p>{</p><p>2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1 = 0</p><p>𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1 = 0</p><p>𝛼 + 2𝛽 + 2𝛾 − 2 = 0</p><p>𝛼 − 𝛽 − 2𝛾 ≠ 0</p><p>Perceba que a terceira equação é a combinação linear da primeira com a segunda, logo,</p><p>podemos simplificar o sistema:</p><p>{</p><p>2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1 = 0</p><p>𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1 = 0</p><p>𝛼 − 𝛽 − 2𝛾 ≠ 0</p><p>Somando a primeira e a segunda equação, temos:</p><p>2𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 1 + (𝛼 − 𝛽 − 𝛾 + 1) = 0 ⇒ 𝛼 = 0</p><p>107</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Substituindo 𝛼 no sistema:</p><p>{</p><p>𝛽 + 𝛾 = 1</p><p>𝛽 ≠ −2𝛾</p><p>⇔ {</p><p>𝛽 = 1 − 𝛾</p><p>𝛾 ≠ −1</p><p>Portanto, para 𝛾 = 𝑘 ≠ −1, temos:</p><p>𝛼 = 0; 𝛽 = 1 − 𝑘; 𝛾 = 𝑘, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℝ 𝑒 𝑘 ≠ −1</p><p>Gabarito: 𝜶 = 𝟎; 𝜷 = 𝟏 − 𝒌; 𝜸 = 𝒌, 𝒄𝒐𝒎 𝒌 ∈ ℝ 𝒆 𝒌 ≠ −𝟏</p><p>57. (ITA/2006)</p><p>Seja 𝑝 um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 − 𝑖 como raiz de</p><p>multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de 𝑝 são,</p><p>respectivamente, 10 e −40. Sendo afirmado que três raízes de 𝑝 são reais e distintas e</p><p>formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são</p><p>a)</p><p>3</p><p>2</p><p>√</p><p>193</p><p>6</p><p>,3,</p><p>3</p><p>2</p><p>+ √</p><p>193</p><p>6</p><p>.</p><p>b) 2 − 4√13, 2, 2 + 4√13.</p><p>c) −4, 2, 8.</p><p>d) −2, 3, 8.</p><p>e) −1, 2, 5.</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, perceba que 𝑝(𝑥) possui coeficientes reais. Isso implica que, se 1 − 𝑖 é</p><p>uma de suas raízes, então seu conjugado, 1 + 𝑖, também é.</p><p>Além disso, 1 − 𝑖 possui multiplicidade 2, do que segue que 1 + 𝑖 também possui</p><p>multiplicidade 2.</p><p>Dessa forma, já temos 4 raízes do polinômio.</p><p>Sejam 𝑟1, 𝑟2 𝑒 𝑟3 as outras raízes de 𝑝(𝑥), já que seu grau é 7. O enunciado nos diz que elas</p><p>estão em P.A. e são reais, do que podemos representá-las pela terna ordenada:</p><p>(𝑟2 − 𝑟, 𝑟2, 𝑟2 + 𝑟)</p><p>Temos mais duas informações úteis para usar:</p><p>Informação 1: A soma de todas as raízes de 𝑝 é 10.</p><p>Ou seja:</p><p>(1 − 𝑖) + (1 − 𝑖) + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖) + 𝑟2 − 𝑟 + 𝑟2 + 𝑟2 + 𝑟 = 10</p><p>Que implica:</p><p>4 + 3𝑟2 = 10 ⇒ 𝑟2 = 2</p><p>Informação 2: O produto de todas as raízes de 𝑝 é −40.</p><p>Ou seja:</p><p>(1 − 𝑖)2(1 + 𝑖)2(2 − 𝑟)2(2 + 𝑟) = −40</p><p>108</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Antes de continuar, veja que:</p><p>(1 − 𝑖)2(1 + 𝑖)2 = [(1 − 𝑖)(1 + 𝑖)]2 = [1 + 𝑖 − 𝑖 + 1]2 = 4</p><p>Assim:</p><p>4(2 − 𝑟)2(2 + 𝑟) = −40 ⇒ (4 − 𝑟2) = −5 ⇒ 𝑟 = ±3</p><p>Tomando 𝑟 = 3, temos:</p><p>(−1,2,5)</p><p>Tomando 𝑟 = −3, temos:</p><p>(5,2, −1)</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>58. (ITA/2005)</p><p>O número complexo 2 + 𝑖 é raiz do polinômio 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 + 𝑝𝑥2 + 𝑥 + 𝑞, com 𝑝, 𝑞 ∈</p><p>ℝ. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de 𝑓 é</p><p>a) 4.</p><p>b) −4.</p><p>c) 6.</p><p>d) 5.</p><p>e) −5.</p><p>Comentários</p><p>Se 𝑝 𝑒 𝑞 são reais, então 𝑓(𝑥) é um polinômio com coeficientes reais.</p><p>Disso, temos que se 2 + 𝑖 é uma raiz de 𝑓(𝑥), então 2 − 𝑖 também é raiz.</p><p>Observe que 𝑓(𝑥) possui grau 4, isto é, restam duas raízes 𝑟1 𝑒 𝑟2 a determinar. Se uma</p><p>delas for complexa, a outra também deve ser, pois seu conjugado também deverá ser raiz. Dessa</p><p>forma, se 𝑓(𝑥) admite uma raiz real, nesse caso ele deverá admitir duas.</p><p>Das relações de Girard:</p><p>2 + 𝑖 + 2 − 𝑖 + 𝑟1 + 𝑟2 = −1 ⇒ 𝑟1 + 𝑟2 = −5</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>59. (ITA/2004)</p><p>Para algum número real 𝑟, o polinômio 8𝑥3 − 4𝑥2 − 42𝑥 + 45 é divisível por (𝑥 − 𝑟)2. Qual</p><p>dos números abaixo está mais próximo de 𝑟?</p><p>a) 1,62.</p><p>b) 1,52.</p><p>c) 1,42.</p><p>d) 1,32.</p><p>e) 1,22.</p><p>109</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, observe que 𝑝(𝑥) pode ser escrito como:</p><p>𝑝(𝑥) = (2𝑥)3 − (2𝑥)2 − 21(2𝑥) + 45</p><p>Isso sugere a seguinte substituição de variável:</p><p>𝑦 = 2𝑥</p><p>Ou seja:</p><p>𝑝(𝑦) = 𝑦3 − 𝑦2 − 21𝑦 + 45</p><p>Uma ferramenta muito importante</p><p>em questões onde não sabemos por onde começar a</p><p>resolução do polinômio é testar se ele possui raízes racionais.</p><p>Lembre-se que se 𝑝(𝑦) possui raízes 𝑦 =</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>, racionais, devemos ter:</p><p>𝑝|45 𝑒 𝑞|1</p><p>Fatorando 45, vem:</p><p>45 = 1 ∙ 32 ∙ 5</p><p>Ou seja:</p><p>𝑝 ∈ {±1,± 3, ±9,± 5, ± 15,± 45}</p><p>𝑞 ∈ {±1}</p><p>Do que temos que:</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>∈ {±1,± 3, ±9,± 5, ± 15,± 45}</p><p>Vamos testar da menor positiva para a maior positiva:</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>= 1 ⇒ 𝑝(1) = 1 − 1 − 21 + 45 = 24 ≠ 0</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>= 3 ⇒ 𝑝(3) = 33 − 32 − 21 ∙ 3 + 45 = 0</p><p>Temos então que 𝑦 = 3 é raiz de 𝑝(𝑦). Vamos usar Brio-Ruffini para reduzir o grau do</p><p>polinômio:</p><p>3 1 −1 −21 45</p><p>1 2 −15 0</p><p>Dessa forma, podemos escrever:</p><p>𝑝(𝑦) = (𝑦 − 3)(𝑦2 + 2𝑦 − 15)</p><p>Resolvendo a equação do segundo grau, temos que 𝑦 = 3 𝑜𝑢 𝑦 = −5. Voltando ao</p><p>polinômio inicial, temos:</p><p>110</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑝(𝑥) = 8𝑥3 − 4𝑥2 − 42 + 45 = (2𝑥 − 3)2(2𝑥 + 5) = 4 (𝑥 −</p><p>3</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>(2𝑥 + 5)</p><p>Ou seja, 𝑟 =</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>60. (ITA/2001)</p><p>O valor da soma 𝑎 + 𝑏 para que as raízes do polinômio 4𝑥4 − 20𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 25𝑥 + 𝑏</p><p>estejam em progressão aritmética de razão 1/2 é:</p><p>a) 36.</p><p>b) 41.</p><p>c) 26.</p><p>d) -27.</p><p>e) -20.</p><p>Comentários</p><p>Esse polinômio possui grau 4, logo, possui 4 raízes. Como elas estão em progressão</p><p>aritmética de razão</p><p>1</p><p>2</p><p>, podemos escrever suas raízes como sendo a 4-tupla ordenada:</p><p>(𝑟, 𝑟 +</p><p>1</p><p>2</p><p>, 𝑟 + 1, 𝑟 +</p><p>3</p><p>2</p><p>)</p><p>Das relações de Girard, temos que:</p><p>𝑟 + 𝑟 +</p><p>1</p><p>2</p><p>+ 𝑟 + 1 + 𝑟 +</p><p>3</p><p>2</p><p>= −</p><p>−20</p><p>4</p><p>= 5 ⇒ 4𝑟 + 3 = 5 ⇒ 𝑟 =</p><p>1</p><p>2</p><p>Ou seja, suas raízes são:</p><p>(</p><p>1</p><p>2</p><p>, 1,</p><p>3</p><p>2</p><p>, 2)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) = 4𝑥4 − 20𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 25𝑥 + 𝑏. Temos que:</p><p>𝑝(1) = 0 ⇒ 4 − 20 + 𝑎 − 25 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 = 41</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>61. (ITA/2001)</p><p>O polinômio com coeficientes reais 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 𝑎4𝑥</p><p>4 + 𝑎3𝑥</p><p>3 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 tem duas</p><p>raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2, e duas de suas raízes são 2 e 𝑖. Então</p><p>a soma dos coeficientes é igual a:</p><p>a) −4.</p><p>b) −6.</p><p>c) −1.</p><p>d) 1.</p><p>e) 4.</p><p>111</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Comentários</p><p>Se 𝑃(𝑥) possui coeficientes reais, temos que −𝑖 também é raiz de 𝑃(𝑥).</p><p>Como o polinômio possui grau 5, temos ainda que restam 3 raízes a determinar.</p><p>Sejam então 𝑟1, 𝑟2, 𝑟3, 𝑖, −𝑖 as raízes de 𝑃(𝑥). Seja, sem perda de generalidade, 𝑟1 = 2.</p><p>Suponha que 2 seja uma raiz com multiplicidade 2. Disso, teríamos que, por exemplo, 𝑟1 =</p><p>𝑟2 = 2, e restaria 𝑟3 a determinar. Lembre-se que ainda temos que obedecer a condição que “tem</p><p>duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicidade 2”. Mas observe que, se 𝑟3 ≠ 2, então</p><p>deveríamos ter mais duas raízes, já que 𝑟3 teria multiplicidade 2, o que é absurdo, dado que o</p><p>grau de 𝑃(𝑥) é 5.</p><p>Suponha então que 𝑖 possua multiplicidade 2. Faça, para isso, 𝑟2 = 𝑖. Como as raízes</p><p>complexas vem aos pares, teríamos que ter 𝑟3 = −𝑖. Observe que, nesse caso, temos duas raízes</p><p>distintas, 𝑖 𝑒 − 𝑖 com multiplicidade 2, o que atende à condição do enunciado.</p><p>Como o coeficiente de 𝑥5 do polinômio é 1, podemos escrevê-lo como:</p><p>𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 − 𝑖)2(𝑥 + 𝑖)2 = (𝑥 − 2)(𝑥2 + 1)2</p><p>A soma dos coeficientes de um polinômio pode ser obtida calculando-se seu valor para 𝑥 =</p><p>1, logo:</p><p>𝑃(1) = (1 − 2)(1 + 1)2 = −4</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>62. (ITA/1998)</p><p>Seja 𝑎 um número real tal que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥6 + 2𝑥5 + 𝑎𝑥4 − 𝑎𝑥2 − 2𝑥 − 1 admite</p><p>apenas raízes reais. Então:</p><p>a) 𝑎 ∈ [2,∞[.</p><p>b) 𝑎 ∈ [−1,1].</p><p>c) 𝑎 ∈ ] − ∞,−7].</p><p>d) 𝑎 ∈ [−2,−1[.</p><p>e) 𝑎 ∈ ]1,2[.</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, devemos perceber que 𝑝(1) = 0, veja:</p><p>𝑝(1) = 0 ⇒ 1 + 2 + 𝑎 − 𝑎 − 2 − 1 = 0</p><p>Podemos então dividir o polinômio por 𝑥 − 1 usando Briot-Ruffini:</p><p>1 1 2 𝑎 0 −𝑎 −2 −1</p><p>1 3 3 + 𝑎 3 + 𝑎 3 1 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥5 + 3𝑥4 + (3 + 𝑎)𝑥3 + (3 + 𝑎)𝑥2 + 3𝑥 + 1)</p><p>112</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Observe ainda que:</p><p>𝑝(−1) = (−1 − 1)(−1 + 3 − (3 + 𝑎) + (3 + 𝑎) − 3 + 1) = 0</p><p>Ou seja, 𝑝(−1) = 0. Vamos então continuar dividindo 𝑝(𝑥), mas agora por 𝑥 + 1:</p><p>1 1 2 𝑎 0 −𝑎 −2 −1</p><p>−1 1 3 3 + 𝑎 3 + 𝑎 3 1 0</p><p>1 2 𝑎 + 1 2 1 0</p><p>Disso, resulta que:</p><p>𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥4 + 2𝑥3 + (𝑎 + 1)𝑥2 + 2𝑥 + 1)</p><p>Vamos agora olhar para o fator 𝑥4 + 2𝑥3 + (𝑎 + 1)𝑥2 + 2𝑥 + 1 e dividir a equação por</p><p>𝑥2:</p><p>𝑥4 + 2𝑥3 + (𝑎 + 1)𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥 + (𝑎 + 1) + 2 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>Faça 𝑦 = 𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>, temos que 𝑦2 − 2 = 𝑥2 +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>. Logo:</p><p>𝑦2 − 2 + 2𝑦 + (𝑎 + 1) = 0 ⇒ 𝑦2 + 2𝑦 + 𝑎 − 1 = 0 ⇒ 𝑦2 + 2𝑦 + 1 + 𝑎 − 2 = 0</p><p>Ou seja:</p><p>(𝑦 + 1)2 + 𝑎 − 2 = 0 ⇒ 𝑦 = −1 ± √2 − 𝑎</p><p>Olhe agora para 𝑦 = 𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>⇒ 𝑥2 − 𝑦𝑥 + 1 = 0. Seu discriminante é:</p><p>Δ = 𝑦2 − 4</p><p>Queremos que suas raízes sejam reais, logo, Δ ≥ 0.</p><p>Ou ainda:</p><p>𝑦2 − 4 ⇒ |𝑦| > 2 ⇒ 𝑦 ≥ 2 𝑜𝑢 𝑦 ≤ −2</p><p>Temos que 𝑦 = −1 − √2 − 𝑎 < 0, que gera a possibilidade:</p><p>−1 − √2 − 𝑎 ≤ −2 ⇒ √2 − 𝑎 ≥ 1 ⇒ 2 − 𝑎 ≥ 1 ⇒ 1 ≥ 𝑎</p><p>Note que isso implica:</p><p>−1 + √2 − 𝑎 ≥ 0</p><p>Que gera a possibilidade:</p><p>−1 + √2 − 𝑎 ≥ 2 ⇒ −7 ≥ 𝑎</p><p>Além disso, note que 2 − 𝑎 ≥ 0, pois 𝑦 ∈ ℝ.</p><p>Queremos então que:</p><p>𝑎 ≤ 1 𝑒 𝑎 ≤ 2 𝑒 𝑎 ≤ −7</p><p>Ou seja:</p><p>𝑎 ≤ −7</p><p>113</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>63. (ITA/1996)</p><p>Considere o polinômio 𝑝(𝑧) = 𝑧6 + 2𝑧5 + 6𝑧4 + 12𝑧3 + 8𝑧2 + 16𝑧.</p><p>Sobre as raízes da equação 𝑝(𝑧) = 0, podemos afirmar que:</p><p>a) Apenas uma é real.</p><p>b) Apenas duas raízes são reais e distintas.</p><p>c) Apenas duas raízes são reais e iguais.</p><p>d) Quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas.</p><p>e) Quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais.</p><p>Comentários</p><p>Veja, de início, que 𝑧 = 0 é raiz do polinômio.</p><p>Ou seja:</p><p>𝑝(𝑧) = 𝑧(𝑧5 + 2𝑧4 + 6𝑧3 + 12𝑧2 + 8𝑧 + 16)</p><p>Olhe para o fator 𝑧5 + 2𝑧4 + 6𝑧3 + 12𝑧2 + 8𝑧 + 16 e veja que:</p><p>𝑧5 + 2𝑧4 + 6𝑧3 + 12𝑧2 + 8𝑧 + 16 = 𝑧4(𝑧 + 2) + 6𝑧2(𝑧 + 2) + 8(𝑧 + 2)</p><p>Ou ainda:</p><p>(𝑧 + 2)(𝑧4 + 6𝑧2 + 8)</p><p>Do que resulta:</p><p>𝑝(𝑧) = 𝑧(𝑧 + 2)(𝑧4 + 6𝑧2 + 8)</p><p>Então perceba que:</p><p>𝑝(−2) = −2 ∙ (−2 + 2)((−2)4 + 6(−2)2 + 8) = 0</p><p>Ou seja, −2 é raiz de 𝑝(𝑧).</p><p>Por fim, queremos saber os valores de 𝑧 tais que:</p><p>𝑧4 + 6𝑧2 + 8 = 0</p><p>Faça 𝑧2 = 𝑤:</p><p>𝑤2 + 6𝑤 + 8 = 0</p><p>Que resolvendo para 𝑤, resulta em:</p><p>𝑤 = −2 𝑒 𝑤 = −4</p><p>Ou ainda:</p><p>𝑧2 = −2 ⇒ 𝑧 = ±𝑖√2</p><p>𝑧2 = −4 ⇒ 𝑧 = ±2𝑖</p><p>Suas raízes são:</p><p>0,2, ±𝑖√2,±2𝑖</p><p>114</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>64. (ITA/1994)</p><p>Seja 𝑃(𝑥) um polinômio de grau 5, com coeficientes reais, admitindo 2 e 𝑖 como raízes. Se</p><p>𝑃(1)𝑃(−1) < 0, então o número de raízes reais de 𝑃(𝑥) pertencentes ao intervalo ] − 1,1[</p><p>é:</p><p>a) 0.</p><p>b) 1.</p><p>c) 2.</p><p>d) 3.</p><p>e) 4.</p><p>Comentários</p><p>Se 𝑃(𝑥) possui coeficientes reais, podemos afirmar que −𝑖 também é raiz de 𝑃(𝑥). Temos</p><p>então 3 raízes de 𝑃(𝑥): 2,±𝑖.</p><p>Somente nos restam duas raízes a determinar.</p><p>Suponha que ambas pertençam ao intervalo ] − 1,1[. Dessa forma, o gráfico de 𝑃(𝑥) seria</p><p>algo do tipo:</p><p>Ou seja, 𝑃(1) e 𝑃(−1) teriam o mesmo sinal, de forma que:</p><p>𝑃(1)𝑃(−1) > 0</p><p>Absurdo!</p><p>Observação: O gráfico acima foi construído supondo-se raízes quaisquer no intervalo ] −</p><p>𝟏, 𝟏[. Note que poderíamos ter, igualmente, 𝑷(𝟏) > 𝟎 𝒆 𝑷(−𝟏) > 𝟎.</p><p>115</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Como 𝑃(1)𝑃(−1) < 0, pelo Teorema de Bolzano, podemos afirmar que pelo menos uma</p><p>raiz está nesse intervalo. Mas como visto acima, faltam apenas duas a determinar e ambas não</p><p>podem estar simultaneamente nesse intervalo, então exatamente uma está nesse intervalo.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>65. (IME/2020)</p><p>Sejam a e b raízes da equação 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 +𝑴 = 𝟎, c e d raízes da equação 𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝑵 = 𝟎.</p><p>Sabendo-se que a, b, c, e d formam uma progressão geométrica crescente, determine o valor de</p><p>𝑴 + 𝑵.</p><p>Comentários</p><p>Do enunciado, temos:</p><p>{</p><p>𝑥2</p><p>7.</p><p>8</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>1.1.2.c) Sabendo que 3 é uma raiz de multiplicidade dupla, resolva a equação:</p><p>𝑥4 − 6𝑥3 + 5𝑥2 + 24𝑥 − 36 = 0</p><p>Sabemos que 3 é uma raiz dupla, logo, podemos aplicar Briot-Ruffini duas vezes e fatorar</p><p>a expressão do quarto grau:</p><p>3 1 −6 5 24 −36</p><p>3 1 −3 −4 12 0</p><p>1 0 −4 0</p><p>Assim, a equação pode ser escrita como:</p><p>(𝑥 − 3)2(𝑥2 − 4) = 0</p><p>Basta resolver a equação quadrática para encontrar as outras raízes:</p><p>𝑥2 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 = ±2</p><p>Portanto, a solução é 𝑆 = {3;±2}.</p><p>1.2. TEOREMA DA RAIZ COMPLEXA CONJUGADA</p><p>Uma propriedade que temos com os polinômios complexos é a seguinte:</p><p>Seja 𝑧 ∈ ℂ, 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎(𝑛−1)𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎0 e 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎0 ∈ ℝ, sendo 𝑧̅ o</p><p>conjugado de 𝑧, então:</p><p>𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑃(𝑧̅)</p><p>Demonstração</p><p>𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑎𝑛𝑧</p><p>𝑛 + 𝑎(𝑛−1)𝑧</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎0̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑎𝑛𝑧</p><p>𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑎𝑛−1𝑧</p><p>𝑛−1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + ⋯+ 𝑎0̅̅ ̅</p><p>Como os coeficientes do polinômio são todos reais, o conjugado deles não altera seu valor:</p><p>𝑎𝑛𝑧</p><p>𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑎𝑛−1𝑧</p><p>𝑛−1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + ⋯+ 𝑎0̅̅ ̅ = 𝑎𝑛𝑧</p><p>𝑛̅̅ ̅ + 𝑎𝑛−1𝑧</p><p>𝑛−1̅̅ ̅̅ ̅̅ + ⋯+ 𝑎0</p><p>Das propriedades dos números complexos:</p><p>𝑧𝑛̅̅ ̅ = 𝑧̅𝑛</p><p>Substituindo na equação, encontramos:</p><p>𝑎𝑛𝑧</p><p>𝑛̅̅ ̅ + 𝑎𝑛−1𝑧</p><p>𝑛−1̅̅ ̅̅ ̅̅ + ⋯+ 𝑎0 = 𝑎𝑛𝑧̅</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧̅</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎0 = 𝑃(𝑧̅)</p><p>Vamos ao teorema:</p><p>Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 ∈ ℝ e 𝑏 ∈</p><p>ℝ∗) como raiz, então 𝑎 − 𝑏𝑖 também será raiz da equação.</p><p>9</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Atenção nesse teorema! Se uma equação polinomial possui todos os coeficientes reais e</p><p>uma de suas raízes é complexa, então, o conjugado dessa raiz também é raiz! Por exemplo, se a</p><p>questão afirma que 𝑖 é raiz do polinômio 𝑃 de coeficiente reais, então, podemos afirmar que −𝑖</p><p>também é raiz, ou seja, 𝑃(𝑖) = 𝑃(−𝑖) = 0.</p><p>Demonstração</p><p>𝑧 é raiz ⇒ 𝑃(𝑧) = 0</p><p>Aplicando o conjugado nos dois lados da equação:</p><p>𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 0̅</p><p>Como 0 é real, temos 0̅ = 0, logo:</p><p>𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 0</p><p>Usando o que acabamos de provar:</p><p>𝑃(𝑧)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑃(𝑧̅)</p><p>Portanto:</p><p>𝑃(𝑧̅) = 0</p><p>Outro teorema que temos é o seguinte:</p><p>Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite 𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 ∈ ℝ e 𝛽 ∈</p><p>ℝ∗) como raiz de multiplicidade 𝑚, então 𝑎 − 𝑏𝑖 também será raiz da equação com a</p><p>mesma multiplicidade.</p><p>Demonstração</p><p>Suponha que a equação polinomial de coeficientes reais 𝑃(𝑥) = 0 admite como raízes 𝑎 +</p><p>𝑏𝑖 de multiplicidade 𝑚 e 𝑎 − 𝑏𝑖 de multiplicidade 𝑚′ tal que 𝑚 > 𝑚′. Então, podemos escrever:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ [𝑥 − (𝑎 + 𝑏𝑖)]𝑚</p><p>′</p><p>[𝑥 − (𝑎 − 𝑏𝑖)]𝑚</p><p>′</p><p>𝑄(𝑥)</p><p>Como 𝑚 > 𝑚′, temos que 𝑄(𝑥) possui 𝑚 −𝑚′ fatores 𝑥 − (𝑎 + 𝑏𝑖) e nenhum fator 𝑥 −</p><p>(𝑎 − 𝑏𝑖). Logo, 𝑄(𝑥) possui coeficientes complexos.</p><p>Multiplicando os fatores dos divisores acima, temos:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎) + 𝑏𝑖]𝑚</p><p>′</p><p>[(𝑥 − 𝑎) − 𝑏𝑖]𝑚</p><p>′</p><p>𝑄(𝑥)</p><p>𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎)2 − (𝑏𝑖)2]𝑚</p><p>′</p><p>𝑄(𝑥)</p><p>𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑏2]𝑚</p><p>′</p><p>𝑄(𝑥)</p><p>Sabemos que 𝑃(𝑥) possui apenas coeficientes reais e o fator [(𝑥 − 𝑎)2 + 𝑏2]𝑚</p><p>′</p><p>também</p><p>possui apenas coeficientes reais, logo 𝑄(𝑥) deve possuir apenas coeficientes reais. Isso é um</p><p>absurdo, dado que 𝑄(𝑥) possui coeficientes complexos. Portanto, 𝑚 = 𝑚′.</p><p>10</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>1. Seja 𝑃(𝑧) = 𝑧4 − 𝑧3 − 5𝑧2 − 𝑧 − 6. Sabe-se que 𝑖 é uma das raízes de 𝑃, calcule as</p><p>outras raízes.</p><p>Resolução:</p><p>Como os coeficientes de 𝑃 são todos reais, temos pelo teorema das raízes complexas</p><p>que −𝑖 também é raiz. Logo, aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini para fatorar o</p><p>polinômio:</p><p>Assim, temos:</p><p>𝑝(𝑧) = (𝑧 − 𝑖)(𝑧 + 𝑖)(𝑧2 − 𝑧 − 6) = 0</p><p>𝑧2 − 𝑧 − 6 = 0 ⇒ 𝑧1 = 3 𝑒 𝑧2 = −2</p><p>As raízes são: ±𝑖, 3 e − 2.</p><p>Gabarito: ±𝒊, 𝟑 𝐞 − 𝟐.</p><p>2. Calcule as raízes do polinômio 𝑃(𝑧) = 1 + 𝑧 + 𝑧2 + 𝑧3 + 𝑧4.</p><p>Resolução:</p><p>O polinômio é a soma de uma PG de razão 𝑧, usando a fórmula da soma de uma PG</p><p>temos:</p><p>𝑆𝑛 =</p><p>𝑎1(𝑞</p><p>𝑛−1)</p><p>𝑞−1</p><p>𝑃(𝑧) =</p><p>𝑧5−1</p><p>𝑧−1</p><p>, 𝑧 ≠ 1</p><p>Logo:</p><p>𝑧5 − 1 = 0 ⇒ 𝑧5 = 1 = 𝑐𝑖𝑠(2𝑘𝜋), 𝑘 = 0,1,2, …</p><p>Aplicando a fórmula de Moivre:</p><p>𝑧 = 𝑐𝑖𝑠 (</p><p>2𝑘𝜋</p><p>5</p><p>)</p><p>Como 𝑧 ≠ 1, temos como raízes:</p><p>𝑧1 = 𝑐𝑖𝑠 (</p><p>2𝜋</p><p>5</p><p>) , 𝑧2 = 𝑐𝑖𝑠 (</p><p>4𝜋</p><p>5</p><p>) , 𝑧3 = 𝑐𝑖𝑠 (</p><p>6𝜋</p><p>5</p><p>) 𝑒 𝑧4 = 𝑐𝑖𝑠 (</p><p>8𝜋</p><p>5</p><p>)</p><p>Gabarito: 𝒛𝟏 = 𝒄𝒊𝒔 (</p><p>𝟐𝝅</p><p>𝟓</p><p>) , 𝒛𝟐 = 𝒄𝒊𝒔 (</p><p>𝟒𝝅</p><p>𝟓</p><p>) , 𝒛𝟑 = 𝒄𝒊𝒔 (</p><p>𝟔𝝅</p><p>𝟓</p><p>) 𝒆 𝒛𝟒 = 𝒄𝒊𝒔 (</p><p>𝟖𝝅</p><p>𝟓</p><p>)</p><p>i 1 -1 -5 -1 -6</p><p>-i 1 -1+i -i-6 -6i 0</p><p>1 -1 -6 0</p><p>11</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>1.3. TEOREMA DAS RAÍZES IRRACIONAIS DA FORMA 𝒂 + 𝒃√𝒄</p><p>Se uma equação polinomial de coeficientes racionais admite 𝑎 + 𝑏√𝑐 como raiz, com</p><p>𝑎 ∈ ℚ, 𝑏 ∈ ℚ∗ e 𝑐 ∈ ℚ+</p><p>∗ , então 𝑎 − 𝑏√𝑐 também será raiz da equação.</p><p>Esse teorema é parecido com o teorema da raiz complexa conjugada. Vamos demonstrá-</p><p>la.</p><p>Demonstração</p><p>Seja 𝑃 um polinômio de coeficientes racionais que admite 𝑎 + 𝑏√𝑐 como raiz, com 𝑎 ∈</p><p>ℚ, 𝑏 ∈ ℚ∗ e 𝑐 ∈ ℚ+</p><p>∗ . Então, vamos dividir 𝑃 pelos fatores 𝑥 − (𝑎 + 𝑏√𝑐) e 𝑥 − (𝑎 − 𝑏√𝑐). Pela</p><p>definição de divisão:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ [𝑥 − (𝑎 + 𝑏√𝑐)][𝑥 − (𝑎 − 𝑏√𝑐)]⏟</p><p>𝑔𝑟𝑎𝑢 2</p><p>𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)</p><p>Como o divisor possui grau 2, temos que 𝑅(𝑥) = 𝛼𝑥 + 𝛽.</p><p>Multiplicando os fatores, obtemos:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎) − 𝑏√𝑐][(𝑥 − 𝑎) + 𝑏√𝑐]𝑄(𝑥) + 𝛼𝑥 + 𝛽</p><p>𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎)2 − (𝑏√𝑐)</p><p>2</p><p>] 𝑄(𝑥) + 𝛼𝑥 + 𝛽</p><p>𝑃(𝑥) ≡ [(𝑥 − 𝑎)2 − 𝑏2𝑐]𝑄(𝑥) + 𝛼𝑥 + 𝛽</p><p>Como 𝑃(𝑥) e [(𝑥 − 𝑎)2 − 𝑏2𝑐] possuem apenas coeficientes racionais, temos que 𝑄(𝑥) e</p><p>𝛼𝑥 + 𝛽 também devem possuir apenas coeficientes racionais. Sabendo que 𝑎 + 𝑏√𝑐 é raiz,</p><p>temos:</p><p>𝑃(𝑎 + 𝑏√𝑐) = 0 ⇒ 𝑅(𝑎 + 𝑏√𝑐) = 0</p><p>𝛼(𝑎 + 𝑏√𝑐) + 𝛽 = 0</p><p>𝑎𝛼 + 𝛽 + 𝑏√𝑐𝛼 = 0</p><p>Para essa equação ser verdadeira, devemos ter:</p><p>𝑏√𝑐𝛼 = 0 𝑒 𝑎𝛼 + 𝛽 = 0</p><p>Como 𝑏√𝑐 ≠ 0, temos 𝛼 = 0, o que implica 𝛽 = 0. Logo, o resto da divisão de 𝑃 por</p><p>[(𝑥 − 𝑎) − 𝑏√𝑐][(𝑥 − 𝑎) + 𝑏√𝑐] é nulo.</p><p>𝑅(𝑥) ≡ 0</p><p>Portanto, 𝑎 − 𝑏√𝑐 também é raiz de 𝑃.</p><p>Desse teorema, podemos enunciar:</p><p>12</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Se uma equação polinomial de coeficientes racionais admite 𝑎 + 𝑏√𝑐 como raiz</p><p>de multiplicidade 𝑚, com 𝑎 ∈ ℚ, 𝑏 ∈ ℚ∗ e 𝑐 ∈ ℚ+</p><p>∗ , então 𝑎 − 𝑏√𝑐 também será raiz da</p><p>equação de mesma multiplicidade.</p><p>A demonstração desse teorema é parecida com aquela realizada para a multiplicidade das</p><p>raízes complexas.</p><p>1.4. TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS</p><p>Se a equação polinomial de coeficientes inteiros 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+</p><p>𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0 admite 𝑝/𝑞 (𝑝 ∈ ℤ, 𝑞 ∈ ℤ∗ e 𝑝 e 𝑞 primos entre si) como raiz, então 𝑝 é</p><p>divisor de 𝑎0 e 𝑞 é divisor de 𝑎𝑛.</p><p>Esse teorema nos permite encontrar as raízes de um polinômio de coeficientes inteiros</p><p>através de um método mais refinado da tentativa e erro. Ele é baseado nos coeficientes do</p><p>polinômio. Vejamos sua demonstração.</p><p>Demonstração</p><p>Se 𝑝/𝑞 é raiz da equação polinomial de coeficientes inteiros 𝑃(𝑥) = 0, então:</p><p>𝑃 (</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>) = 0 ⇒ 𝑎𝑛 (</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>)</p><p>𝑛</p><p>+ 𝑎𝑛−1 (</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>)</p><p>𝑛−1</p><p>+⋯+ 𝑎1 (</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>) + 𝑎0 = 0</p><p>𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛</p><p>𝑞𝑛</p><p>+</p><p>𝑎𝑛−1𝑝</p><p>𝑛−1</p><p>𝑞𝑛−1</p><p>+⋯+</p><p>𝑎1𝑝</p><p>𝑞</p><p>+ 𝑎0 = 0</p><p>Multiplicando a equação por 𝑞𝑛:</p><p>𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝</p><p>𝑛−1𝑞 + ⋯+ 𝑎1𝑝𝑞</p><p>𝑛−1 + 𝑎0𝑞</p><p>𝑛 = 0</p><p>Assim, temos:</p><p>𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛 = −(𝑎𝑛−1𝑝</p><p>𝑛−1𝑞 + ⋯+ 𝑎1𝑝𝑞</p><p>𝑛−1 + 𝑎0𝑞</p><p>𝑛)</p><p>⇒ 𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛 = −𝑞 (𝑎𝑛−1𝑝</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑝𝑞</p><p>𝑛−2 + 𝑎0𝑞</p><p>𝑛−1)⏟</p><p>𝑘1∈ℤ</p><p>𝑎0𝑞</p><p>𝑛 = −(𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑝</p><p>𝑛−1𝑞 + ⋯+ 𝑎1𝑝𝑞</p><p>𝑛−1)⏟</p><p>⇒ 𝑎0𝑞</p><p>𝑛 = −𝑝 (𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑝</p><p>𝑛−2𝑞 + ⋯+ 𝑎1𝑞</p><p>𝑛−1)⏟</p><p>𝑘2∈ℤ</p><p>13</p><p>Prof. Victor So</p><p>− 4𝑥 +𝑀 = 0</p><p>𝑎 + 𝑏 = 4</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑀</p><p>E:</p><p>{</p><p>𝑥2 − 36𝑥 + 𝑁 = 0</p><p>𝑐 + 𝑑 = 36</p><p>𝑐 ⋅ 𝑑 = 𝑁</p><p>Queremos saber 𝑀 +𝑁. Segundo o enunciado (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) forma uma P.G. Então, podemos</p><p>escrever os números da seguinte forma:</p><p>(𝑎, 𝑎 ⋅ 𝑞, 𝑎 ⋅ 𝑞2, 𝑎 ⋅ 𝑞3)</p><p>Então:</p><p>{</p><p>𝑎 + 𝑎 ⋅ 𝑞 = 4</p><p>𝑎 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑞 = 𝑀</p><p>⇒ {</p><p>𝑎(1 + 𝑞) = 4 (𝑒𝑞. 1)</p><p>𝑎2 ⋅ 𝑞 = 𝑀 (𝑒𝑞. 2)</p><p>Por outro lado:</p><p>{</p><p>𝑎 ⋅ 𝑞2 + 𝑎 ⋅ 𝑞3 = 36</p><p>𝑎 ⋅ 𝑞2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑞3 = 𝑁</p><p>⇒ {</p><p>𝑎 ⋅ 𝑞2 ⋅ (1 + 𝑞) = 36 (𝑒𝑞. 3)</p><p>𝑎2 ⋅ 𝑞5 = 𝑁 (𝑒𝑞. 4)</p><p>Dividindo (3) por (1), temos:</p><p>𝑎 ⋅ 𝑞2 ⋅ (1 + 𝑞)</p><p>𝑎(1 + 𝑞)</p><p>=</p><p>36</p><p>4</p><p>⇒ 𝑞2 = 9 ⇒ 𝑞 = 3 (𝑞 > 1)</p><p>Portanto, 𝑎 = 1.</p><p>Diante disso:</p><p>𝑀 = 𝑎2 ⋅ 𝑞 = 12 ⋅ 3 = 3</p><p>𝑁 = 𝑎2 ⋅ 𝑞5 = 12 ⋅ 35 = 243</p><p>Portanto:</p><p>𝑀 +𝑁 = 3 + 243</p><p>𝑀 +𝑁 = 246</p><p>116</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Gabarito: 𝑴+𝑵 = 𝟐𝟒𝟔</p><p>66. (IME/2019)</p><p>Seja a inequação:</p><p>𝟔𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 < 𝟎</p><p>Seja (𝒂, 𝒃) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para</p><p>𝒃 − 𝒂 é:</p><p>a) 𝟐</p><p>b) 𝟏𝟑/𝟔</p><p>c) 𝟏/𝟑</p><p>d) 𝟓/𝟐</p><p>e) 𝟖/𝟑</p><p>Comentários</p><p>Inicialmente, devemos fatorar a expressão do polinômio:</p><p>𝑝(𝑥) = 6𝑥4 − 5𝑥3 − 29𝑥2 + 10𝑥 = 𝑥(6𝑥3 − 5𝑥2 − 29𝑥 + 10)</p><p>Para simplificar a expressão do terceiro grau podemos aplicar o teorema das raízes</p><p>racionais. Os números divisores do coeficiente 𝑎0 = 10 são {±1;±2;±5;±10}, vamos verificar</p><p>se há alguma raiz inteira:</p><p>Para 𝑥 = 1:</p><p>6(1)3 − 5(1)2 − 29(1) + 10 = 6 − 5 − 29 + 10 = −18</p><p>Para 𝑥 = −1:</p><p>6(−1)3 − 5(−1)2 − 29(−1) + 10 = −6 − 5 + 29 + 10 = 28</p><p>Para 𝑥 = 2:</p><p>6(2)3 − 5(2)2 − 29(2) + 10 = 48 − 20 − 58 + 10 = −20</p><p>Para 𝑥 = −2:</p><p>6(−2)3 − 5(−2)2 − 29(−2) + 10 = −48 − 20 + 58 + 10 = 0</p><p>Portanto, 𝑥 = −2 é raiz. Podemos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini:</p><p>−2 6 −5 −29 10</p><p>6 −17 5 0</p><p>Assim, encontramos:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 2)(6𝑥2 − 17𝑥 + 5)</p><p>Para simplificar a expressão do segundo grau, basta encontrar suas raízes:</p><p>6𝑥2 − 17𝑥 + 5 = 0 ⇒ 𝑥 =</p><p>17 ± √169</p><p>12</p><p>=</p><p>17 ± 13</p><p>12</p><p>=</p><p>5</p><p>2</p><p>𝑜𝑢</p><p>1</p><p>3</p><p>117</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑝(𝑥) = 6𝑥(𝑥 + 2) (𝑥 −</p><p>5</p><p>2</p><p>) (𝑥 −</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>Vamos fazer o estudo do sinal:</p><p>Desse modo, para 𝑝(𝑥) < 0, devemos ter:</p><p>𝑥 ∈ (−2, 0) ∪ (</p><p>1</p><p>3</p><p>,</p><p>5</p><p>2</p><p>)</p><p>Como (𝑎, 𝑏) está contido no conjunto solução e queremos que 𝑏 − 𝑎 seja máximo, então:</p><p>Se (𝑎, 𝑏) = (−2, 0):</p><p>𝑏 − 𝑎 = 0 − (−2) = 2</p><p>Se (𝑎, 𝑏) = (</p><p>1</p><p>3</p><p>,</p><p>5</p><p>2</p><p>):</p><p>𝑏 − 𝑎 =</p><p>5</p><p>2</p><p>−</p><p>1</p><p>3</p><p>=</p><p>13</p><p>6</p><p>> 2</p><p>Portanto:</p><p>𝑏 − 𝑎 =</p><p>13</p><p>2</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>67. (IME/2019)</p><p>Sejam 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 e 𝒙𝟑 raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝒂𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟎. Sendo 𝒂 um número real, o valor de 𝒙𝟏</p><p>𝟑 +</p><p>𝒙𝟐</p><p>𝟑 + 𝒙𝟑</p><p>𝟑 é igual a:</p><p>a) 𝟑𝟐 − 𝒂</p><p>118</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>b) 𝟒𝟖 − 𝟐𝒂</p><p>c) 𝟒𝟖</p><p>d) 𝟒𝟖 + 𝟐𝒂</p><p>e) 𝟑𝟐 + 𝒂</p><p>Comentários</p><p>A questão pede para calcular o valor da expressão 𝑥1</p><p>3 + 𝑥2</p><p>3 + 𝑥3</p><p>3, sendo 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 raízes da</p><p>equação 𝑥3 − 𝑎𝑥 − 16 = 0. Notando a presença do termo cúbico na equação, podemos</p><p>substituir as raízes nessa equação e encontrar:</p><p>𝑥1</p><p>3 − 𝑎𝑥1 − 16 = 0</p><p>𝑥2</p><p>3 − 𝑎𝑥2 − 16 = 0</p><p>𝑥3</p><p>3 − 𝑎𝑥3 − 16 = 0</p><p>Somando as equações:</p><p>(𝑥1</p><p>3 + 𝑥2</p><p>3 + 𝑥3</p><p>3) − 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) − 48 = 0</p><p>𝑥1</p><p>3 + 𝑥2</p><p>3 + 𝑥3</p><p>3 = 𝑎(𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3) + 48</p><p>Pelas relações de Girard, obtemos:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0</p><p>𝑥1</p><p>3 + 𝑥2</p><p>3 + 𝑥3</p><p>3 = 𝑎 (𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3)⏟</p><p>0</p><p>+ 48</p><p>Portanto:</p><p>𝑥1</p><p>3 + 𝑥2</p><p>3 + 𝑥3</p><p>3 = 48</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>68. (IME/2017)</p><p>O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝒃𝒙𝟐 + 𝟖𝟎𝒙 − 𝒄 possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se que</p><p>duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de 𝒄</p><p>menores do que 𝒄 é 𝒄𝟐. Qual é o valor de 𝒃?</p><p>a) 11</p><p>b) 13</p><p>c) 17</p><p>d) 23</p><p>e) 29</p><p>Comentários</p><p>O primeiro fato que você deve recordar sobre divisores de um número inteiro é que se 𝑝1</p><p>é um primo divisor de 𝑐,</p><p>𝑐</p><p>𝑝1</p><p>também é divisor de 𝑐, pois 𝑝1 ∙</p><p>𝑐</p><p>𝑝1</p><p>= 𝑐.</p><p>119</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Suponha que 𝑐 possua apenas 1 divisor primo positivo. Disso, deveríamos ter que 𝑐 = 𝑝1.</p><p>Os seus divisores seriam:</p><p>1 , 𝑝1</p><p>Mas isso não condiz com o fato de o produto dos divisores de 𝑐 menores que ele ser 𝑐2.</p><p>Suponha que 𝑐 = 𝑝1</p><p>2. Então os divisores de 𝑐 são:</p><p>1, 𝑝1, 𝑝1</p><p>2</p><p>Novamente, veja que é impossível obedecer a condição dada.</p><p>Suponha então que 𝑐 possua dois divisores primos distintos, 𝑝1 𝑒 𝑝2. Teríamos então que:</p><p>𝑐</p><p>𝑝1</p><p>𝑒</p><p>𝑐</p><p>𝑝2</p><p>Também seriam seus divisores e, assim, teríamos:</p><p>1, 𝑝1, 𝑝2,</p><p>𝑐</p><p>𝑝1</p><p>,</p><p>𝑐</p><p>𝑝2</p><p>𝑒 𝑐</p><p>Como divisores positivos de 𝑐.</p><p>Veja que:</p><p>1 ∙ 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙</p><p>𝑐</p><p>𝑝1</p><p>∙</p><p>𝑐</p><p>𝑝2</p><p>= 𝑐2</p><p>O que satisfaz o enunciado.</p><p>Como o produto das raízes de 𝑃(𝑥) é dado por 𝑐 = 𝑥1𝑥2𝑥3, temos que elas são divisoras</p><p>de 𝑐.</p><p>Se nós dividirmos as raízes em dois conjuntos:</p><p>{𝑝1,</p><p>𝑐</p><p>𝑝1</p><p>} 𝑒 {𝑝2,</p><p>𝑐</p><p>𝑝2</p><p>}</p><p>Se nenhuma raiz for igual a 1, temos que duas das raízes pertencem ao mesmo conjunto e</p><p>a outra ao outro conjunto. Mas isso não verificaria o produto igual a 𝑐.</p><p>Logo, uma das raízes deve ser 1 e a outra deve pertencer a um mesmo conjunto, conforme</p><p>dividimos acima.</p><p>Sem perda de generalidade faça 𝑥1 = 1. Disso, temos que, por Girard:</p><p>1 ∙ 𝑥2 + 1 ∙ 𝑥3 + 𝑥2 ∙ 𝑥3 = 80 ⇒ (𝑥2 + 1)(𝑥3 + 1) = 81 = 3 ∙ 27</p><p>As raízes são positivas e distintas. Disso, devemos ter:</p><p>𝑥2 + 1 = 3 ⇒ 𝑥2 = 2</p><p>𝑥3 + 1 = 27 ⇒ 𝑥3 = 26</p><p>Por fim, utilizando Girard para a soma das raízes:</p><p>𝑏 = 1 + 2 + 26 = 29</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>69. (IME/2016)</p><p>120</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>O polinômio 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 tem raízes reais 𝛼,−𝛼 𝑒</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>. Portanto o valor da soma 𝑏 +</p><p>𝑐2 + 𝑎𝑐 +</p><p>𝑏</p><p>𝑐2</p><p>é:</p><p>a) -2</p><p>b) -1</p><p>c) 0</p><p>d) 1</p><p>e) 2</p><p>Comentários</p><p>Das relações de Girard, podemos escrever:</p><p>−</p><p>𝑐</p><p>1</p><p>= 𝛼(−𝛼) (</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>) = −𝛼 ⇒ 𝑐 = 𝛼</p><p>𝑏</p><p>1</p><p>= 𝛼(−𝛼) + 𝛼 (</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>) + (−𝛼) (</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>) = −𝛼2 + 1 − 1 = −𝛼2 ⇒ 𝑏 = −𝛼2</p><p>−</p><p>𝑎</p><p>1</p><p>= 𝛼 − 𝛼 +</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>=</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>⇒ 𝑎 = −</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>Por fim, temos que:</p><p>𝑏 + 𝑐2 + 𝑎𝑐 +</p><p>𝑏</p><p>𝑐2</p><p>= −𝛼2 + 𝛼2 + (−</p><p>1</p><p>𝛼</p><p>)𝛼 +</p><p>−𝛼2</p><p>𝛼2</p><p>= −1 − 1 = −2</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>70. (IME/2016)</p><p>Seja 𝑃(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑃(𝑥) e 𝑃(𝑃(𝑃(𝑥))) têm uma raiz em comum. Pode-</p><p>se afirmar que para todo valor de 𝑎 e 𝑏</p><p>a) 𝑃(−1)𝑃(1) < 0</p><p>b) 𝑃(−1)𝑃(1) = 0</p><p>c) 𝑃(−1) + 𝑃(1) = 2</p><p>d) 𝑃(0)𝑃(1) = 0</p><p>e) 𝑃(0) + 𝑃(1) = 0</p><p>Comentários</p><p>Suponha que 𝛼 seja uma raíz de 𝑃(𝑥) em comum com 𝑃(𝑃(𝑃(𝑥))), isto é:</p><p>𝑃(𝛼) = 0 𝑒 𝑃 (𝑃(𝑃(𝛼))) = 0</p><p>Combinando essas duas informações, temos que:</p><p>𝑃 (𝑃(𝑃(𝛼))) = 𝑃(𝑃(0)) = 0</p><p>Mas 𝑃(𝑥) é do tipo 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, ou seja:</p><p>𝑃(𝑃(0)) = 𝑃2(0) + 𝑎𝑃(0) + 𝑏 = 0</p><p>121</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Mas quem é 𝑃(0)?</p><p>𝑃(0) = 02 + 𝑎 ∙ 0 + 𝑏 = 𝑏</p><p>Ou seja:</p><p>𝑃2(0) + 𝑎𝑃(0) + 𝑏 = 𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑏(1 + 𝑎 + 𝑏) = 0</p><p>Olhe para o fator (1 + 𝑎 + 𝑏), o que ele nos lembra? Simples, a soma dos coeficientes de</p><p>𝑃(𝑥), ou ainda:</p><p>𝑃(1) = 12 + 1 ∙ 𝑎 + 𝑏 = 1 + 𝑎 + 𝑏</p><p>Do que segue que:</p><p>𝑏(1 + 𝑎 + 𝑏) = 𝑃(0)𝑃(1) = 0</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>71. (IME/2014)</p><p>O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 + 10𝑥3 − 30𝑥2 + 81𝑥 − 243 possui raízes complexas</p><p>simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas as</p><p>raízes do polinômio.</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, perceba o seguinte:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 + 10𝑥3 − 30𝑥2 + 81𝑥 − 243 = 𝑥5 − 3𝑥4 + 10𝑥3 − 30𝑥2 + 81𝑥 − 35</p><p>= 𝑥5 − 35 − 3𝑥(𝑥3 − 33) + 10𝑥2(𝑥 − 3)</p><p>Ou seja:</p><p>𝑃(3) = 35 − 35 − 3 ∙ 3 ∙ (33 − 33) + 10 ∙ 32 ∙ (3 − 3) = 0</p><p>Já temos, então, uma de suas raízes: 𝑥 = 3.</p><p>Outra forma de perceber que 3 é sua raiz, é usar as informações que ele forneceu. Seja 𝑟 a</p><p>sua raiz real, então, as suas raízes complexas são da forma:</p><p>𝑟𝑐𝑖𝑠(𝜃), −𝑟𝑐𝑖𝑠(𝜃), 𝑟𝑐𝑖𝑠(−𝜃) 𝑒 − 𝑟𝑐𝑖𝑠(−𝜃)</p><p>Onde 𝑐𝑖𝑠(𝜃) = cos(𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃).</p><p>Das relações de Girard, temos que:</p><p>𝑟𝑐𝑖𝑠(𝜃) ∙ (−𝑟𝑐𝑖𝑠(𝜃)) ∙ 𝑟𝑐𝑖𝑠(−𝜃) ∙ (−𝑟𝑐𝑖𝑠(−𝜃)) ∙ 𝑟 = 𝑟5𝑐𝑖𝑠(𝜃 + 𝜃 − 𝜃 − 𝜃) = 𝑟5𝑐𝑖𝑠0 = 𝑟5</p><p>= 243</p><p>Como 𝑟 ∈ ℝ, temos que 𝑟5 = 243 = 35 ⇒ 𝑟 = 3.</p><p>Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir 𝑃(𝑥) por (𝑥 − 3):</p><p>3 1 −3 10 −30 81 −243</p><p>1 0 10 0 81 0</p><p>Dessa forma, temos:</p><p>𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3)(𝑥4 + 10𝑥2 + 81)</p><p>122</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Queremos encontrar as raízes de 𝑃(𝑥) = 0, ou seja, falta encontrar as raízes de 𝑥4 +</p><p>10𝑥2 + 81 = 0.</p><p>Para isso, faça 𝑦 = 𝑥2.</p><p>𝑦2 + 10𝑦 + 81 = 0</p><p>Que resolvendo para 𝑦, resulta em 𝑦 = −5 ± 2𝑖√14.</p><p>Disso, temos duas possibilidades:</p><p>1ª possibilidade: 𝑥2 = −5 + 2√14𝑖</p><p>𝑥2 = −5 + 2√14𝑖 ⇒ 𝑥 = ±√−5 + 2√14𝑖</p><p>2ª possibilidade: 𝑥2 = −5 − 2√14𝑖</p><p>𝑥2 = −5 − 2√14𝑖 ⇒ 𝑥 = ±√−5 − 2√14𝑖</p><p>Portanto, suas raízes são:</p><p>3,±√−5 + 2√14𝑖, ±√−5 − 2√14𝑖</p><p>Gabarito: 𝟑,±√−𝟓 + 𝟐√𝟏𝟒𝒊, ±√−𝟓 − 𝟐√𝟏𝟒𝒊 .</p><p>72. (IME/2013)</p><p>Os polinômios 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 18 e 𝑄(𝑥) = 𝑥3 + 𝑏𝑥 + 12 possuem duas raízes</p><p>comuns. Sabendo que 𝑎 e 𝑏 são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação</p><p>a) 𝑎 = 𝑏</p><p>b) 2𝑎 = 𝑏</p><p>c) 𝑎 = 2𝑏</p><p>d) 2𝑎 = 3𝑏</p><p>e) 3𝑎 = 2𝑏</p><p>Comentários</p><p>Sejam 𝑟1 e 𝑟2 as raízes comuns aos dois e seja 𝑟3 uma raiz somente de 𝑃(𝑥) e seja 𝑟4 uma</p><p>raiz somente de 𝑄(𝑥).</p><p>Das relações de Girard, podemos escrever:</p><p>𝑟1𝑟2𝑟3 = −18 𝑒 𝑟1𝑟2𝑟4 = −12</p><p>Dividindo as equações acima membro a membro, obtemos:</p><p>𝑟3</p><p>𝑟4</p><p>= −</p><p>18</p><p>−12</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>⇒ 𝑟3 =</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑟4</p><p>Aplicando Girard em 𝑄(𝑥) temos que:</p><p>𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟4 = 0 ⇒ 𝑟1 + 𝑟2 = −𝑟4</p><p>Aplicando Girard em 𝑃(𝑥), temos que:</p><p>123</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑟1𝑟2 + (𝑟1 + 𝑟2)𝑟3 = 0 ⇒ −</p><p>12</p><p>𝑟4</p><p>+ (−𝑟4)</p><p>3</p><p>2</p><p>𝑟4 = 0 ⇒ 𝑟4</p><p>3 = −8</p><p>Antes de continuar, note que os polinômios possuem coeficientes reais e grau 3, ou seja,</p><p>eles têm pelo menos uma raiz real.</p><p>Suponha então que eles compartilhem uma raiz real. Do enunciado, temos que eles devem</p><p>compartilhar outra raiz.</p><p>Se essa outra raiz for real, então todas as raízes do polinômio são reais.</p><p>Se ela for complexa, então ambos deverão ter o conjugado dessa raiz como raiz, ou seja,</p><p>os polinômios deveriam ter as três raízes iguais, o que é absurdo, visto que possuem coeficientes</p><p>distintos.</p><p>Suponha agora que eles compartilhem uma raiz complexa. Logo, a outra raiz compartilhada</p><p>deve ser seu conjugado. Disso resulta que a raiz restante (𝑟3 ou 𝑟4) deve ser real.</p><p>Essa discussão nos permite afirmar que, em todo caso, 𝑟3 𝑒 𝑟4 devem ser reais. Assim,</p><p>podemos resolver a equação abaixo como sendo:</p><p>𝑟4</p><p>3 = −8 ⇒ 𝑟4 = −2</p><p>Além disso:</p><p>𝑟3 =</p><p>3</p><p>2</p><p>∙ (−2) = −3</p><p>Das relações de Girard, temos que:</p><p>−𝑎 = 𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3</p><p>Mas tínhamos que:</p><p>𝑟1 + 𝑟2 = −𝑟4 = −(−2) = 2</p><p>Do que resulta:</p><p>−𝑎 = 2 − 3 = −1 ⇒ 𝑎 = 1</p><p>Por outro lado, também das relações de Girard, temos que:</p><p>𝑟1𝑟2 + (𝑟1 + 𝑟2)𝑟4 = 𝑏</p><p>Mas tínhamos que:</p><p>𝑟1𝑟2 = −</p><p>12</p><p>𝑟4</p><p>= −</p><p>12</p><p>−2</p><p>= 6</p><p>Ou seja:</p><p>6 + 2 ∙ (−2) = 𝑏 ⇒ 𝑏 = 2</p><p>Por fim: 𝑏 = 2𝑎.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>73. (IME/2010)</p><p>Seja o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + (ln 𝑎)𝑥 + 𝑒𝑏, onde 𝑎 𝑒 𝑏 são números reais positivos</p><p>diferentes de zero. A soma dos cubos das raízes de 𝑝(𝑥) depende</p><p>124</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>a) Apenas de 𝑎 e é positiva.</p><p>b) De 𝑎 e 𝑏 e é negativa.</p><p>c) Apenas de 𝑏 e é positiva.</p><p>d) Apenas de 𝑏 e é negativa.</p><p>e) De 𝑎 𝑒 𝑏 e é positiva.</p><p>Obs.: 𝑒 representa a base do logaritmo neperiano e 𝑙𝑛 a função logaritmo neperiano.</p><p>Comentários</p><p>Sejam 𝛼, 𝛽 𝑒 𝜃 as raízes de 𝑝(𝑥). Temos que:</p><p>𝑝(𝛼) = 𝛼3 + (ln 𝑎)𝛼 + 𝑒𝑏 = 0</p><p>𝑝(𝛽 ) = 𝛽3 + (ln 𝑎)𝛽 + 𝑒𝑏 = 0</p><p>𝑝(𝜃 ) = 𝜃3 + (ln 𝑎)𝜃 + 𝑒𝑏 = 0</p><p>Somando as três equações, obtemos:</p><p>𝛼3 + (ln 𝑎)𝛼 + 𝑒𝑏 + 𝛽3 + (ln 𝑎)𝛽 + 𝑒𝑏 + 𝜃3 + (ln 𝑎)𝜃 + 𝑒𝑏 = 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝛼3 + 𝛽3 + 𝜃3 + (ln 𝑎)(𝛼 + 𝛽 + 𝜃) + 3𝑒𝑏 = 0</p><p>Das relações de Girard, temos que:</p><p>𝛼 + 𝛽 + 𝜃 =</p><p>0</p><p>1</p><p>= 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝛼3 + 𝛽3 + 𝜃3 + (ln 𝑎) ∙ (0) + 3𝑒𝑏 = 0 ⇒ 𝛼3 + 𝛽3 + 𝜃3 = −3𝑒𝑏</p><p>Note que 𝑒𝑏 > 0 ⇒ −𝑒𝑏 < 0.</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>74. (IME/2008)</p><p>Encontre o polinômio 𝑃(𝑥) tal que 𝑄(𝑥) + 1 = (𝑥 − 1)3𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥) + 2 é divisível por 𝑥4,</p><p>onde 𝑄(𝑥) é um polinômio do 6º grau.</p><p>Comentários</p><p>Vamos interpretar as informações fornecidas no enunciado. Se 𝑄(𝑥) é de grau 6 e 𝑄(𝑥) +</p><p>2 é divisível por 𝑥4, devemos ter:</p><p>𝑄(𝑥) + 2 = 𝑥4(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) = 𝑎𝑥6 + 𝑏𝑥5 + 𝑐𝑥4</p><p>Além disso, 𝑄(𝑥) + 1 é divisível por (𝑥 − 1)3, com quociente 𝑃(𝑥), que é o que queremos.</p><p>Já temos que:</p><p>𝑄(𝑥) + 1 = 𝑎𝑥6 + 𝑏𝑥5 + 𝑐𝑥4 − 1</p><p>Nesse momento, é conveniente recordar o seguinte fato:</p><p>125</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Se 𝛼 á raiz com multiplicidade 𝑟 de um dado polinômio, então 𝛼 é raiz das derivadas</p><p>1, 2, … , 𝑟 − 1 desse polinômio.</p><p>Lembre-se de que a derivada de um monômio é dada por:</p><p>𝑑(𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛)</p><p>𝑑𝑥</p><p>= 𝑛𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛−1</p><p>Ou seja, multiplica o coeficiente pelo expoente e subtrai 1 do expoente.</p><p>Como 1 é raiz com multiplicidade 3 de 𝑄(𝑥) + 1, temos que:</p><p>{</p><p>𝑄(1) + 1 = 0</p><p>𝑄′(1) = 0</p><p>𝑄′′(1) = 0</p><p>⇒ {</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 1 = 0</p><p>6𝑎 + 5𝑏 + 4𝑐 = 0</p><p>30𝑎 + 20𝑏 + 12𝑐 = 0</p><p>Resolvendo o sistema acima:</p><p>𝑎 = 10, 𝑏 = −24 𝑒 𝑐 = 15</p><p>Disso, temos que:</p><p>𝑄(𝑥) + 1 = 10𝑥6 − 24𝑥5 + 15𝑥4 − 1</p><p>Esse polinômio é divisível por (𝑥 − 1)3 e quociente 𝑃(𝑥). Vamos então dividir 𝑄(𝑥) + 1</p><p>três vezes por 𝑥 − 1.</p><p>1 10 −24 15 0 0 0 −1</p><p>1 10 −14 1 1 1 1 0</p><p>1 10 −4 −3 −2 −1 0</p><p>10 6 3 1 0</p><p>Por fim, temos que:</p><p>𝑄(𝑥) + 1 = (𝑥 − 1)3(10𝑥3 + 6𝑥2 + 3𝑥 + 1)</p><p>Do que concluímos que: 𝑃(𝑥) = 10𝑥3 + 6𝑥2 + 3𝑥 + 1.</p><p>Gabarito: 𝑷(𝒙) = 𝟏𝟎𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏.</p><p>75. (IME/2007)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) = 𝛼𝑥3 + 𝛽𝑥2 + 𝛾𝑥 + 𝛿 um polinômio do terceiro grau cujas raízes são termos de</p><p>uma progressão aritmética de razão 2. Sabendo que 𝑝(−1) = −1, 𝑝(0) = 0 e 𝑝(1) = 1, os</p><p>valores de 𝛼 e 𝛾 são, respectivamente:</p><p>a) 2 e -1</p><p>b) 3 e -2</p><p>c) -1 e 2</p><p>d) −</p><p>1</p><p>3</p><p>e</p><p>4</p><p>3</p><p>e)</p><p>1</p><p>2</p><p>e</p><p>1</p><p>2</p><p>126</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Comentários</p><p>Seja 𝑎 uma raiz do polinômio, tal que suas raízes são dadas:</p><p>(𝑎 − 2, 𝑎, 𝑎 + 2)</p><p>Pois suas três raízes são termos de uma P.A. de razão 2.</p><p>Além disso, temos que:</p><p>𝑝(0) = 0 ⇒ 𝛿 = 0</p><p>𝑝(1) = 1 ⇒ 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 1 𝑒𝑞. 01</p><p>𝑝(−1) = −1 ⇒ −𝛼 + 𝛽 − 𝛾 = −1 𝑒𝑞. 02</p><p>Somando a 𝑒𝑞. 01 e a 𝑒𝑞. 02:</p><p>𝛽 = 0 ⇒ 𝑎 − 2 + 𝑎 + 𝑎 + 2 = −</p><p>𝛽</p><p>𝛼</p><p>= 0 ⇒ 𝑎 = 0</p><p>Ou seja, as raízes de 𝑝(𝑥) são:</p><p>(−2,0,2)</p><p>Do que temos que, das relações de Girard para o produto 2 a 2 das raízes:</p><p>(−2)(2) =</p><p>𝛾</p><p>𝛼</p><p>⇒ 𝛾 = −4𝛼</p><p>Substituindo na 𝑒𝑞. 01, vem:</p><p>𝛼 + 0 − 4𝛼 = 1 ⇒ 𝛼 = −</p><p>1</p><p>3</p><p>Do que segue que:</p><p>𝛾 = −4 (−</p><p>1</p><p>3</p><p>) =</p><p>4</p><p>3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>76. (IME/2007)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) = 𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑓 um polinômio com coeficientes inteiros.</p><p>Sabe-se que as cinco raízes de 𝑝(𝑥) são números inteiros positivos, sendo quatro deles pares</p><p>e um ímpar. O número de coeficientes pares de 𝑝(𝑥) é:</p><p>a) 0</p><p>b) 1</p><p>c) 2</p><p>d) 3</p><p>e) 4</p><p>Comentários</p><p>Sejam as raízes de 𝑝(𝑥):</p><p>2𝑛1, 2𝑛2, 2𝑛3, 2𝑛4, 2𝑛5 + 1</p><p>127</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Já que 4 são pares e uma ímpar.</p><p>Por Girard, temos:</p><p>2𝑛1 + 2𝑛2, +2𝑛3 + 2𝑛4 + 2𝑛5 + 1 = −𝑏 ⇒ 𝑏 = −2(𝑛1 +⋯𝑛5) − 1</p><p>Logo, 𝑏 é ímpar.</p><p>Agora, a fim de que não se faça contas desnecessárias, veja que os coeficientes, de 𝑐 a 𝑓,</p><p>são formados por somas de produtos das raízes de 𝑝(𝑥). Como somente temos uma raiz ímpar,</p><p>qualquer composição, seja ela 4 a 4, 3 a 3 ou 2 a 2 das raízes terá sempre uma raiz par como fator.</p><p>Vamos formar um termo, por exemplo:</p><p>𝑟1𝑟2</p><p>Se escolhermos 𝑟1 = 2𝑛5 + 1, obrigatoriamente 𝑟2 será par e o termo 𝑟1𝑟2 será par. Disso,</p><p>segue que 𝑐, formado pela soma dos produtos 2</p><p>a 2 é par.</p><p>Como isso ocorre de 𝑐 a 𝑓 e 𝑏 é ímpar, 𝑝(𝑥) possui 4 coeficientes pares.</p><p>Gabarito: “e”.</p><p>77. (IME/2006)</p><p>Considere o polinômio</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥5 − 3𝑥4 − 3𝑥3 + 27𝑥2 − 44𝑥 + 30.</p><p>Sabendo que o produto de duas de suas raízes complexas é igual a 3 − 𝑖 e que as partes reais</p><p>e imaginárias de todas as suas raízes complexas são inteiras e não-nulas, calcule todas as</p><p>raízes do polinômio.</p><p>Comentários</p><p>Esse polinômio é de grau 5, ou seja, seu grau é ímpar. Como seus coeficientes são reais, ele</p><p>possui, no máximo, 4 raízes complexas. Sejam 𝑧1 e 𝑧2 duas de suas raízes complexas tais que:</p><p>𝑧1𝑧2 = 3 − 𝑖</p><p>Veja que, como os coeficientes de 𝑝(𝑥) são reais, 𝑧1̅ e 𝑧2̅ são raízes de 𝑝(𝑥). Além disso,</p><p>veja que 𝑧2 ≠ 𝑧1̅, pois 𝑧1𝑧1̅ = |𝑧1|</p><p>2 ∈ ℝ.</p><p>Do estudo dos números complexos, sabemos que:</p><p>𝑧1𝑧2̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑧1̅𝑧2̅ = 3 + 𝑖</p><p>Além disso, seja 𝑟 a raiz real de 𝑝(𝑥). Das relações de Girard, temos que:</p><p>𝑧1𝑧2𝑧1̅𝑧2̅𝑟 = −30 ⇒ (3 − 𝑖)(3 + 𝑖)𝑟 = −30 ⇒ 10𝑟 = −30 ⇒ 𝑟 = −3</p><p>Ou seja, 𝑟 = −3 é a raiz real de 𝑝(𝑥).</p><p>Por outro lado, seja 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1𝑖 e 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2𝑖.</p><p>Por Girard, para a soma das raízes, sabemos que:</p><p>𝑎1 + 𝑏1𝑖 + 𝑎2 + 𝑏2𝑖 + 𝑎1 − 𝑏1𝑖 + 𝑎2 − 𝑏2𝑖 − 3 = 3 ⇒ 𝑎1 + 𝑎2 = 3</p><p>Usando novamente a relação fornecida no enunciado:</p><p>𝑧1𝑧2𝑧1̅𝑧2̅ = (3 − 𝑖)(3 + 𝑖) ⇒ |𝑧1|</p><p>2|𝑧2|</p><p>2 = 10</p><p>128</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Ou ainda:</p><p>(𝑎1</p><p>2 + 𝑏1</p><p>2)(𝑎2</p><p>2 + 𝑏2</p><p>2) = 1 ∙ 2 ∙ 5</p><p>Como 𝑎1, 𝑎2, 𝑏1 𝑒 𝑏2 ∈ ℤ − {0}, temos que 𝑎1</p><p>2 + 𝑏1</p><p>2, 𝑎2</p><p>2 + 𝑏2</p><p>2 ∈ ℤ − {0}. Disso, podemos</p><p>escrever que:</p><p>𝑎1</p><p>2 + 𝑏1</p><p>2 = 2𝑎5𝑏</p><p>𝑎2</p><p>2 + 𝑏2</p><p>2 = 2𝑐2𝑑</p><p>Ou seja:</p><p>(𝑎1</p><p>2 + 𝑏1</p><p>2)(𝑎2</p><p>2 + 𝑏2</p><p>2) = 2𝑎+𝑐5𝑏+𝑑 = 2151</p><p>Do que temos:</p><p>𝑎 + 𝑐 = 1</p><p>𝑏 + 𝑑 = 1</p><p>Tome 𝑎 = 𝑏 = 0, por exemplo. Disso:</p><p>𝑎1</p><p>2 + 𝑏1</p><p>2 = 1 ⇒ 𝑎1 = 0 𝑜𝑢 𝑏1 = 0</p><p>Seria absurdo, pois 𝑎1, 𝑏1 ≠ 0.</p><p>Sem perda de generalidade, tome 𝑎 = 0, o que implica 𝑏 = 1 e 𝑐 = 1, que implica 𝑑 = 0.</p><p>Ou seja:</p><p>𝑎1</p><p>2 + 𝑏1</p><p>2 = 5 ⇒ {𝑎1, 𝑏1} = {1,2}</p><p>𝑎2</p><p>2 + 𝑏2</p><p>2 = 2 ⇒ {𝑎2, 𝑏2} = {1,1}</p><p>Como temos que 𝑎1 + 𝑎2 = 3, devemos ter obrigatoriamente, 𝑎1 = 2 𝑒 𝑎2 = 1. Disso,</p><p>temos que 𝑏1 = 𝑏2 = 1.</p><p>Por fim, as raízes são:</p><p>𝑧1 = 2 + 𝑖 𝑒 𝑧2 = 1 + 𝑖</p><p>Todas as raízes são:</p><p>2 + 𝑖, 2 − 𝑖, 1 + 𝑖, 1 − 𝑖, −3</p><p>Gabarito: 𝟐 + 𝒊, 𝟐 − 𝒊, 𝟏 + 𝒊, 𝟏 − 𝒊, −𝟑 .</p><p>78. (IME/2005)</p><p>Sejam 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑟𝑥 − 𝑡, onde 𝑟 𝑒 𝑡 são números reais não</p><p>nulos.</p><p>a. Determine o valor da expressão 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 em função de 𝑟 𝑒 𝑡.</p><p>b. Demonstre que 𝑆𝑛+1 + 𝑟𝑆𝑛−1 − 𝑡𝑆𝑛−2 = 0 para todo número natural 𝑛 ≥ 2, onde 𝑆𝑘 =</p><p>𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘 para qualquer número natural 𝑘.</p><p>Comentários</p><p>Item a:</p><p>Como 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 são raízes de 𝑝(𝑥), temos que:</p><p>𝑝(𝑎) = 𝑎3 + 𝑟𝑎 − 𝑡 = 0 𝑒𝑞. 01</p><p>129</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑝(𝑏) = 𝑏3 + 𝑟𝑏 − 𝑡 = 0 𝑒𝑞. 02</p><p>𝑝(𝑐) = 𝑐3 + 𝑟𝑐 − 𝑡 = 0 𝑒𝑞. 03</p><p>Somando as três equações, temos:</p><p>𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑟 − 3𝑡 = 0</p><p>Por Girard, temos:</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =</p><p>0</p><p>1</p><p>= 0 ⇒ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0</p><p>Logo:</p><p>𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 3𝑡</p><p>Item b:</p><p>Multiplique a 𝑒𝑞. 01 por 𝑎𝑛−2:</p><p>𝑎𝑛+1 + 𝑟𝑎𝑛−1 − 𝑡𝑎𝑛−2 = 0</p><p>Analogamente para 𝑏 𝑒 𝑐:</p><p>𝑏𝑛+1 + 𝑟𝑏𝑛−1 − 𝑡𝑏𝑛−2 = 0</p><p>𝑐𝑛+1 + 𝑟𝑐𝑛−1 − 𝑡𝑐𝑛−2 = 0</p><p>Somando as três equações:</p><p>𝑎𝑛+1 + 𝑏𝑛+1 + 𝑐𝑛+1 + 𝑟(𝑎𝑛−1 + 𝑏𝑛−1 + 𝑐𝑛−1) − 𝑡(𝑎𝑛−2 + 𝑏𝑛−2 + 𝑐𝑛−2) = 0</p><p>Mas 𝑆𝑘 = 𝑎𝑘 + 𝑏𝑘 + 𝑐𝑘, logo:</p><p>𝑆𝑛+1 + 𝑟𝑆𝑛−1 − 𝑡𝑆𝑛−2 = 0</p><p>Gabarito: Item a) 𝟑𝒕; Item b) Demonstração.</p><p>79. (IME/2004)</p><p>Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 de coeficientes reais, com 𝑏 ≠ 0. Sabendo que</p><p>suas raízes são reais, demonstre que 𝑎 < 0.</p><p>Comentários</p><p>Sejam as raízes 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 as raízes reais de 𝑃(𝑥).</p><p>Das relações de Girard para a soma das raízes, temos:</p><p>𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =</p><p>0</p><p>1</p><p>= 0 ⇒ 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0 𝑒𝑞. 01</p><p>Ainda das relações de Girard, temos que:</p><p>𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 = 𝑎</p><p>Elevando ambos os membros da 𝑒𝑞. 01 ao quadrado:</p><p>(𝛼 + 𝛽 + 𝛾)2 = 02 ⇒ 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 2(𝛼𝛽 + 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾) = 0 ⇒ 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 + 2𝑎 = 0</p><p>Logo:</p><p>𝑎 = −</p><p>𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2</p><p>2</p><p>130</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Como 𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾 são reais, temos que:</p><p>𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 ≥ 0 ⇒ −</p><p>𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2</p><p>2</p><p>≤ 0</p><p>Por fim:</p><p>𝑎 ≤ 0</p><p>Mas 𝑏 ≠ 0, logo 𝛼2 + 𝛽2 + 𝛾2 ≠ 0, uma vez que 𝛼𝛽𝛾 = −𝑏 ⇒ 𝛼, 𝛽, 𝛾 ≠ 0.</p><p>Ou seja:</p><p>𝑎 < 0</p><p>Gabarito: Demonstração.</p><p>80. (IME/2002)</p><p>a) Encontre as condições a que devem satisfazer os coeficientes de um polinômio 𝑃(𝑥) de</p><p>quarto grau para que 𝑃(𝑥) = 𝑃(1 − 𝑥).</p><p>b) Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 16𝑥4 − 32𝑥3 − 56𝑥2 + 72𝑥 + 77. Determine todas as</p><p>suas raízes sabendo-se que o mesmo satisfaz à condição do item acima.</p><p>Comentários</p><p>Item a:</p><p>Nesse item, vamos fazer o “feijão com arroz”. Seja 𝑃(𝑥):</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎4𝑥</p><p>4 + 𝑎3𝑥</p><p>3 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0</p><p>Temos que:</p><p>𝑃(1 − 𝑥) = 𝑎4(1 − 𝑥)</p><p>4 + 𝑎3(1 − 𝑥)</p><p>3 + 𝑎2(1 − 𝑥)</p><p>2 + 𝑎1(1 − 𝑥) + 𝑎0</p><p>Queremos que:</p><p>𝑃(𝑥) − 𝑃(1 − 𝑥) = 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝑎4[𝑥</p><p>4 − (1 − 𝑥)4] + 𝑎3[𝑥</p><p>3 − (1 − 𝑥)3] + 𝑎2[𝑥</p><p>2 − (1 − 𝑥)2] + 𝑎1[𝑥 − (1 − 2𝑥)] = 0</p><p>Vamos lançar mão das técnicas de fatoração. Veja que:</p><p>𝑎4 − 𝑏4 = (𝑎2)2 − (𝑏2)2 = (𝑎2 + 𝑏2)(𝑎2 − 𝑏2) = (𝑎2 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)</p><p>Aplicando à equação acima para o termo de coeficiente 𝑎4, vem:</p><p>𝑥4 − (1 − 𝑥)4 = (𝑥2 + (1 − 𝑥)2)(𝑥 + 1 − 𝑥)(𝑥 − 1 + 𝑥)</p><p>Do que resulta:</p><p>4𝑥3 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 1</p><p>Para o termo de coeficiente 𝑎3, temos:</p><p>𝑥3 − (1 − 𝑥)3 = (𝑥 − 1 + 𝑥)(𝑥2 + 𝑥(1 − 𝑥) + (1 − 𝑥)2) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1</p><p>Para o termo de coeficiente 𝑎2:</p><p>𝑥2 − (1 − 𝑥)2 = 2𝑥 − 1</p><p>131</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Para o termo de coeficiente 𝑎1:</p><p>𝑥 − (1 − 𝑥) = 2𝑥 − 1</p><p>Logo, devemos ter o seguinte, para todo 𝑥:</p><p>𝑎4(4𝑥</p><p>3 − 6𝑥2 + 4𝑥 − 1) + 𝑎3(2𝑥</p><p>3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1) + 𝑎2(2𝑥 − 1) + 𝑎1(2𝑥 − 1) = 0</p><p>Ou ainda:</p><p>(2𝑎3 + 4𝑎4)𝑥</p><p>3 − (3𝑎3 + 6𝑎4)𝑥</p><p>2 + (2𝑎1 + 2𝑎2 + 3𝑎3 + 4𝑎4)𝑥 − (𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4) = 0</p><p>Como isso deve valer para todo 𝑥, vem:</p><p>2𝑎3 + 4𝑎4 = 0 𝑒𝑞. 01</p><p>3𝑎3 + 6𝑎4 = 0 𝑒𝑞. 02</p><p>2𝑎1 + 2𝑎2 + 3𝑎3 + 4𝑎4 = 0 𝑒𝑞. 03</p><p>𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 = 0 𝑒𝑞. 04</p><p>Note que as equações 01 e 02 são iguais.</p><p>Da equação 01, temos:</p><p>𝑎3 = −2𝑎4</p><p>Substituindo isso na equação 03:</p><p>2𝑎1 + 2𝑎2 + 3(−2𝑎4) + 4𝑎4 = 0 ⇒ 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎4</p><p>Substituindo isso na equação 04:</p><p>𝑎4 + 𝑎3 + 𝑎4 = 0 ⇒ 𝑎3 = −2𝑎4</p><p>Ou seja, não obtemos nenhuma nova informação.</p><p>Assim, para que 𝑃(𝑥) = 𝑃(1 − 𝑥) para todo 𝑥 é suficiente que:</p><p>𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎4 𝑒 𝑎3 = −2𝑎4</p><p>Para um 𝑎4 ∈ ℝ − {0} 𝑒 𝑎0 ∈ ℝ.</p><p>Ou ainda:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎4𝑥</p><p>4 − 2𝑎4𝑥</p><p>3 + (𝑎4 − 𝑎1)𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0</p><p>Item b:</p><p>Primeiramente, observe que, se o polinômio obedece às condições acima, podemos fatorá-</p><p>lo da seguinte forma:</p><p>𝑎4𝑥</p><p>4 − 2𝑎4𝑥</p><p>3 + (𝑎4 − 𝑎1)𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 𝑎4(𝑥</p><p>4 − 2𝑥3 + 𝑥2) − 𝑎1(𝑥</p><p>2 − 𝑥) + 𝑎0</p><p>Por que fizemos isso? Lembre-se: é sempre bizu colocar termos semelhantes juntos. Nesse</p><p>caso, reunimos os termos com coeficientes iguais.</p><p>Continuando:</p><p>𝑎4(𝑥</p><p>4 − 2𝑥3 + 𝑥2) − 𝑎1(𝑥</p><p>2 − 𝑥) + 𝑎0 = 𝑎4𝑥</p><p>2(𝑥 − 1)2 − 𝑎1𝑥(𝑥 − 1) + 𝑎0</p><p>Perceba que o termo 𝑥(𝑥 − 1) se repete. Então, faça 𝑥(𝑥 − 1) = 𝑦. Logo:</p><p>𝑃(𝑦) = 𝑎4𝑦</p><p>2 − 𝑎1𝑦 + 𝑎0</p><p>132</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Nosso polinômio admite os seguintes valores:</p><p>𝑎4 = 16, 𝑎1 = 72 𝑒 𝑎0 = 77</p><p>Do que temos que:</p><p>𝑃(𝑦) = 16𝑦2 − 72𝑦 + 77</p><p>Resolvendo para 𝑦 usando Bháskara, vem:</p><p>𝑦 =</p><p>7</p><p>4</p><p>𝑜𝑢 𝑦 =</p><p>11</p><p>4</p><p>Disso, temos as seguintes possibilidades:</p><p>1ª possibilidade: 𝑥(𝑥 − 1) =</p><p>7</p><p>4</p><p>Desenvolvendo, temos a seguinte equação quadrática:</p><p>𝑥2 − 𝑥 −</p><p>7</p><p>4</p><p>= 0</p><p>Resolvendo para 𝑥, temos 𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>± √2.</p><p>2ª possibilidade: 𝑥(𝑥 − 1) =</p><p>11</p><p>4</p><p>Desenvolvendo, temos a seguinte equação quadrática:</p><p>𝑥2 − 𝑥 −</p><p>11</p><p>4</p><p>= 0</p><p>Resolvendo</p><p>para 𝑥, temos:</p><p>𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>± √3</p><p>Gabarito: a) 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 = 𝒂𝟒 𝒆 𝒂𝟑 = −𝟐𝒂𝟒 , para 𝒂𝟒 ∈ ℝ − {𝟎} 𝒆 𝒂𝟎 ∈ ℝ; b) {</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>± √𝟑,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>± √𝟐}.</p><p>81. (IME/1988)</p><p>a) Mostre que se 𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥</p><p>3 + 𝑎0𝑥</p><p>4, então existe um polinômio</p><p>𝑔(𝑥) do 2º grau, tal que 𝑝(𝑥) = 𝑥2𝑔(𝑥 + 𝑥−1).</p><p>b) Determine todas as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) = 1 + 4𝑥 + 5𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4.</p><p>Comentários</p><p>Item a:</p><p>Vamos colocar os coeficientes que se repetem em evidência:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥</p><p>3 + 𝑎0𝑥</p><p>4 = 𝑎0(𝑥</p><p>4 + 1) + 𝑎1(𝑥</p><p>3 + 𝑥) + 𝑎2(𝑥</p><p>2)</p><p>Colocando 𝑥2 em evidência:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥2[𝑎0(𝑥</p><p>2 + 𝑥−2) + 𝑎1(𝑥 + 𝑥</p><p>−1) + 𝑎2]</p><p>Por fim, veja que:</p><p>(𝑥 + 𝑥−1)2 = 𝑥2 + 2(𝑥)(𝑥−1) + 𝑥−2 = 𝑥2 + 𝑥−2 + 2 ⇒ 𝑥2 + 𝑥−2 = (𝑥 + 𝑥−1)2 − 2</p><p>Substituindo no polinômio:</p><p>133</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥2[𝑎0(𝑥 + 𝑥</p><p>−1)2 − 2𝑎0 + 𝑎1(𝑥 + 𝑥</p><p>−1) + 𝑎2]</p><p>Faça 𝑔(𝑥) = 𝑎0𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2 − 2𝑎0. Disso, temos:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥2𝑔(𝑥 + 𝑥−1 ).</p><p>Note que 𝑎0 ≠ 0, do que segue que 𝑥 = 0 não é raiz de 𝑝(𝑥), ou seja, podemos escrever</p><p>𝑥−1 para uma raiz de 𝑝(𝑥).</p><p>Item b:</p><p>Nesse caso, temos:</p><p>𝑎0 = 1; 𝑎1 = 4; 𝑎2 = 5.</p><p>Ou seja:</p><p>𝑝(𝑥) = 𝑥2[(𝑥 + 𝑥−1)2 − 2 + 4(𝑥 + 𝑥−1) + 5]</p><p>Queremos 𝑝(𝑥) = 0. Note que, necessariamente, 𝑥 ≠ 0, do que temos que as raízes de</p><p>𝑝(𝑥) devem vir de:</p><p>(𝑥 + 𝑥−1)2 + 4(𝑥 + 𝑥−1) + 3 = 0</p><p>Faça 𝑦 = 𝑥 + 𝑥−1. Logo:</p><p>𝑦2 + 4𝑦 + 3 = 0</p><p>Que, resolvendo para 𝑦, temos 𝑦 = −1 ou 𝑦 = −3.</p><p>Assim, temos dois casos para analisar.</p><p>Se 𝑦 = −1:</p><p>𝑥 + 𝑥−1 = −1 ⇒ 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0</p><p>Que, resolvendo para 𝑥, temos 𝑥 =</p><p>−1±√3𝑖</p><p>2</p><p>.</p><p>Se 𝑦 = −3:</p><p>𝑥 + 𝑥−1 = −3 ⇒ 𝑥2 + 3𝑥 + 1 = 0</p><p>Que, resolvendo para 𝑥, temos 𝑥 =</p><p>−3±√5</p><p>2</p><p>.</p><p>Gabarito: {</p><p>−𝟏±√𝟑𝒊</p><p>𝟐</p><p>,</p><p>−𝟑±√𝟓</p><p>𝟐</p><p>}.</p><p>82. (IME/1980)</p><p>Determine o polinômio 𝑓(𝑥) de coeficientes racionais e do 7º grau, sabendo-se que: 𝑓(𝑥) +</p><p>1 é divisível por (𝑥 − 1)4 e que 𝑓(𝑥) − 1 é divisível por (𝑥 + 1)4.</p><p>Comentários</p><p>Para essa questão, vamos utilizar o fato de que, quando uma raiz 𝛼 de um polinômio possui</p><p>multiplicidade 𝑟, então ela também é raiz das derivadas 1, 2, … , 𝑟 − 1 do polinômio.</p><p>Seja então 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥7 + 𝑏𝑥6 + 𝑐𝑥5 + 𝑑𝑥4 + 𝑒𝑥3 + 𝑓𝑥2 + 𝑔𝑥 + ℎ.</p><p>Do enunciado, temos que:</p><p>𝑓(𝑥) + 1 = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 1)4</p><p>134</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑓(𝑥) − 1 = 𝑔(𝑥)(𝑥 + 1)4</p><p>Ou seja, 1 é raiz com multiplicidade 4 de 𝑓(𝑥) + 1 e −1 é raiz com multiplicidade 4 de</p><p>𝑓(𝑥) − 1.</p><p>Do fato enunciado acima, temos o seguinte sistema:</p><p>{</p><p>𝑓(1) + 1 = 0</p><p>𝑓′(1) = 0</p><p>𝑓′′(1) = 0</p><p>𝑓′′′(1) = 0</p><p>𝑓(−1) = 0</p><p>𝑓′(−1) = 0</p><p>𝑓′′(−1) = 0</p><p>𝑓′′(−1) = 0</p><p>⇒</p><p>{</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 + ℎ + 1 = 0</p><p>7𝑎 + 6𝑏 + 5𝑐 + 4𝑑 + 3𝑒 + 2𝑓 + 𝑔 = 0</p><p>42𝑎 + 30𝑏 + 20𝑐 + 12𝑑 + 6𝑒 + 2𝑓 = 0</p><p>210𝑎 + 120𝑏 + 60𝑐 + 24𝑑 + 6𝑒 = 0</p><p>−𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 − 𝑒 + 𝑓 − 𝑔 + ℎ − 1 = 0</p><p>7𝑎 − 6𝑏 + 5𝑐 − 4𝑑 + 3𝑒 − 2𝑓 + 𝑔 = 0</p><p>−42𝑎 + 30𝑏 − 20𝑐 + 12𝑑 − 6𝑒 + 2𝑓 = 0</p><p>210𝑎 − 120𝑏 + 60𝑐 − 24𝑑 + 6𝑒 = 0</p><p>Somando 𝑓(1) + 1 = 0 𝑒 𝑓(−1) − 1 = 0 e as equações correspondentes, conseguimos</p><p>eliminar as incógnitas 𝑎, 𝑐, 𝑒 𝑒 𝑔, resultando no seguinte sistema:</p><p>{</p><p>2𝑏 + 2𝑑 + 2𝑓 + 2ℎ = 0</p><p>12𝑏 + 8𝑑 + 4𝑓 = 0</p><p>60𝑏 + 24𝑑 + 4𝑓 = 0</p><p>240𝑏 + 48𝑑 = 0</p><p>Resolvendo o sistema, temos que:</p><p>𝑏 = 𝑑 = 𝑓 = ℎ = 0</p><p>Pois o sistema é homogêneo, então admite a solução trivial. Faça o determinante da matriz</p><p>dos coeficientes e confira que o sistema deve ser possível e determinado, do que resulta</p><p>necessariamente que a solução trivial é a única.</p><p>Disso, segue que o sistema original se resume a:</p><p>{</p><p>𝑎 + 𝑐 + 𝑒 + 𝑔 = −1</p><p>7𝑎 + 5𝑐 + 3𝑒 + 𝑔 = 0</p><p>42𝑎 + 20𝑐 + 6𝑒 = 0</p><p>210𝑎 + 60𝑐 + 6𝑒 = 0</p><p>Resolvendo o sistema acima, temos o seguinte polinômio:</p><p>𝑓(𝑥) =</p><p>5</p><p>16</p><p>𝑥7 −</p><p>21</p><p>16</p><p>𝑥5 +</p><p>35</p><p>16</p><p>𝑥3 −</p><p>35</p><p>16</p><p>𝑥</p><p>Gabarito: 𝒇(𝒙) =</p><p>𝟓</p><p>𝟏𝟔</p><p>𝒙𝟕 −</p><p>𝟐𝟏</p><p>𝟏𝟔</p><p>𝒙𝟓 +</p><p>𝟑𝟓</p><p>𝟏𝟔</p><p>𝒙𝟑 −</p><p>𝟑𝟓</p><p>𝟏𝟔</p><p>𝒙 .</p><p>83. (IME/1974)</p><p>Seja 𝑝(𝑥) um polinômio a coeficientes reais de grau maior ou igual a 1 e 𝑞(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥.</p><p>Determine todos os possíveis máximos divisores comuns de 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥).</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, veja que 𝑞(𝑥) = 𝑥(2𝑥 + 1). Disso, temos que os polinômios divisores de</p><p>𝑞(𝑥) são:</p><p>𝑎, 𝑏𝑥, 𝑐(2𝑥 + 1) 𝑒 𝑑(2𝑥2 + 𝑥)</p><p>135</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Em que 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒 𝑑 são constantes reais.</p><p>Os possíveis máximos divisores comuns estão nesse conjunto.</p><p>Temos, basicamente, dois casos para analisar:</p><p>Se 𝜕𝑝 = 1:</p><p>Os possíveis máximos divisores comuns são:</p><p>𝑎, 𝑏𝑥 𝑒 𝑐(2𝑥 + 1)</p><p>Se 𝜕𝑝 > 1:</p><p>Os possíveis máximos divisores comuns são:</p><p>𝑎, 𝑏𝑥 𝑒 𝑐(2𝑥 + 1) 𝑒 𝑑(2𝑥2 + 𝑥)</p><p>Gabarito: 𝒂, 𝒃𝒙, 𝒄(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒆 𝒅(𝟐𝒙𝟐 + 𝒙) .</p><p>84. (IME/2021)</p><p>Seja a função 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟒 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟕. Considere uma reta qualquer que corta o gráfico dessa</p><p>função em quatro pontos distintos: (𝒙𝟏, 𝒚𝟏), (𝒙𝟐, 𝒚𝟐), (𝒙𝟑, 𝒚𝟑), (𝒙𝟒, 𝒚𝟒). O valor de</p><p>𝒙𝟏+𝒙𝟐+𝒙𝟑+𝒙𝟒</p><p>𝟐</p><p>é:</p><p>a) 1</p><p>b) 3/2</p><p>c) 2</p><p>d) 7/2</p><p>e) 4</p><p>Comentários</p><p>Como os pontos pertencem a uma reta, podemos dizer que os pontos são pontos da função</p><p>𝑔 tal que:</p><p>𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏</p><p>Os pontos fazem interseção com 𝑓, logo:</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)</p><p>2𝑥4 − 8𝑥3 + 4𝑥 − 7 = 𝑎𝑥 + 𝑏</p><p>2𝑥4 − 8𝑥3 + (4 − 𝑎)𝑥 − 7 − 𝑏 = 0</p><p>Note que 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 e 𝑥4 são raízes da equação acima, assim, pelas relações de Girard:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = −</p><p>(−8)</p><p>2</p><p>= 4</p><p>O valor pedido é</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4</p><p>2</p><p>=</p><p>4</p><p>2</p><p>= 2</p><p>Gabarito: C</p><p>85. (IME/2021)</p><p>136</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Seja a equação</p><p>𝟕𝟒𝒙 − 𝟏𝟎 ⋅ 𝟕𝟑𝒙 + 𝟏𝟕 ⋅ 𝟕𝟐𝒙 + 𝟒𝟎 ⋅ 𝟕𝒙 = 𝟏𝟐 ⋅ 𝟕</p><p>Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo</p><p>comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:</p><p>a) pode-se construir um triângulo escaleno.</p><p>b) pode-se cosntruir um triângulo isósceles.</p><p>c) pode-se construir um quadrilátero.</p><p>d) pode-se construir um pentágono.</p><p>e) não é possível construir qualquer polígono.</p><p>Comentários</p><p>Fazendo 7𝑥 = 𝑦 > 0, temos:</p><p>𝑦4 − 10𝑦3 + 17𝑦2 + 40𝑦 − 84 = 0</p><p>Pesquisando-se as raízes racionais, temos que 𝑦 = 7, 𝑦 = 3 e 𝑦 = 2 são raízes. Assim,</p><p>aplicando-se Briot-Ruffini sucessivas vezes:</p><p>7 1 −10 17 40 −84</p><p>3 1 −3 −4 12 0</p><p>2 1 0 −4 0</p><p>1 2 0</p><p>(𝑦 − 7)(𝑦 − 3)(𝑦 − 2)(𝑦 + 2) = 0</p><p>Com isso, temos as raízes:</p><p>𝑦 = 7 ⇒ 7𝑥 = 7 ⇒ 𝑥1 = 1</p><p>𝑦 = 3 ⇒ 7𝑥 = 3 ⇒ 𝑥2 = log7 3</p><p>𝑦 = 2 ⇒ 7𝑥 = 2 ⇒ 𝑥3 = log7 2</p><p>𝑦 = −2 ⇒ 𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚</p><p>Note que:</p><p>log7 3 + log7 2 = log7 6 < 1</p><p>Portanto, temos que os segmentos de medidas 1, log7 3 e log7 2 não podem formar um</p><p>triângulo, já que não satisfazem a desigualdade triangular. Logo, temos que não é possível</p><p>construir qualquer polígono.</p><p>137</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Gabarito: E</p><p>86. (Rússia)</p><p>Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑓(𝑓(𝑥)) = 0 tem quatro raízes reais distintas, e que</p><p>a soma de duas dessas raízes é −1. Prove que 𝑏 ≤ −</p><p>1</p><p>4</p><p>.</p><p>Comentários</p><p>Primeiramente, perceba que se 𝑠 𝑒 𝑟 são as raízes de 𝑓(𝑥), então se 𝑓(𝑥0) = 0 devemos</p><p>ter, obrigatoriamente:</p><p>𝑥0 = 𝑠 𝑜𝑢 𝑥0 = 𝑟</p><p>Dessa forma, se 𝑓(𝑓(𝑥)) = 0 para algum 𝑥, devemos ter, necessariamente:</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑟 𝑜𝑢 𝑓(𝑥) = 𝑠</p><p>Ou ainda:</p><p>𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑟 𝑜𝑢 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑠</p><p>Conforme o enunciado, temos quatro raízes distintas, ou seja, o discriminante de ambas</p><p>as equações obtidas logo acima deve ser positivo.</p><p>Se a soma de duas dessas raízes é −1, temos dois casos a considerar:</p><p>1º caso: Ambas as raízes vêm da mesma equação quadrática.</p><p>Sem perda de generalidade, suponha que ambas vêm de 𝑓(𝑥) = 𝑟. Das relações de Girard,</p><p>temos que:</p><p>−𝑎 = −1 ⇒ 𝑎 = 1</p><p>Além disso, de 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, temos:</p><p>𝑟 + 𝑠 = −𝑎 = −1</p><p>Olhe</p><p>agora para as equações:</p><p>𝑥2 + 𝑥 + 𝑏 − 𝑟 = 0 𝑜𝑢 𝑥2 + 𝑥 + 𝑏 − 𝑠 = 0</p><p>Seus discriminantes devem ser positivos, logo:</p><p>1 − 4(𝑏 − 𝑟) > 0 𝑒 1 − 4(𝑏 − 𝑠) > 0</p><p>Somando as desigualdades membro a membro:</p><p>2 − 4(𝑏 − 𝑟 + 𝑏 − 𝑠) = 2 − 4(2𝑏 − (𝑟 + 𝑠)) > 0</p><p>Ou seja:</p><p>2 − 4(2𝑏 − (−1)) > 0 ⇒ 𝑏 < −</p><p>1</p><p>4</p><p>2º caso: As raízes vêm de equações distintas.</p><p>Sejam 𝑝 𝑒 − 1 − 𝑝 essas raízes. Se elas vêm de equações distintas, temos que:</p><p>𝑝2 + 𝑎𝑝 + 𝑏 − 𝑟 = 0</p><p>(−1 − 𝑝)2 + 𝑎(−1 − 𝑝) + 𝑏 − 𝑠 = 0</p><p>138</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Somando essas equações, temos que:</p><p>𝑝2 + 𝑎𝑝 + 𝑏 − 𝑟 + 𝑝2 + 2𝑝 + 1 − 𝑎 − 𝑎𝑝 + 𝑏 − 𝑠 = 0</p><p>Do que resulta:</p><p>2𝑝2 + 2𝑝 + 2𝑏 − 𝑎 − (𝑟 + 𝑠) + 1 = 0</p><p>Lembrando que 𝑟 + 𝑠 = −𝑎, temos:</p><p>2𝑝2 + 2𝑝 + 2𝑏 + 1 = 0</p><p>Como 𝑝 ∈ ℝ, o discriminante dessa equação deve ser não negativo, isto é:</p><p>Δ = 4 − 4 ∙ 2 ∙ (2𝑏 + 1) ≥ 0 ⇒ 𝑏 ≤ −</p><p>1</p><p>4</p><p>Gabarito: Demonstração.</p><p>87. (Putnam and Beyond)</p><p>Se 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, prove que</p><p>𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2</p><p>2</p><p>∙</p><p>𝑥5 + 𝑦5 + 𝑧5</p><p>5</p><p>=</p><p>𝑥7 + 𝑦7 + 𝑧7</p><p>7</p><p>.</p><p>Comentários</p><p>À primeira vista, essa questão não parece ter nada a ver com polinômios.</p><p>Mas vamos pensar em 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 como raízes do seguinte polinômio:</p><p>𝑃(𝑤) = 𝑤3 − 𝜎1𝑤</p><p>2 + 𝜎2𝑤 − 𝜎3</p><p>Além disso, faça 𝑆𝑘 = 𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 + 𝑧𝑘. Queremos provar, então, que:</p><p>𝑆2</p><p>2</p><p>∙</p><p>𝑆5</p><p>5</p><p>=</p><p>𝑆7</p><p>7</p><p>Do polinômio que foi criado, temos que:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝜎1𝑥</p><p>2 + 𝜎2𝑥 − 𝜎3 = 0</p><p>𝑃(𝑦) = 𝑦3 − 𝜎1𝑦</p><p>2 + 𝜎2𝑦 − 𝜎3 = 0</p><p>𝑃(𝑧) = 𝑧3 − 𝜎1𝑧</p><p>2 + 𝜎2𝑧 − 𝜎3 = 0</p><p>Multiplicando a primeira por 𝑥𝑘−3, a segunda por 𝑦𝑘−3 e a terceira por 𝑧𝑘−3, temos:</p><p>𝑥𝑘 − 𝜎1𝑥</p><p>𝑘−1 + 𝜎2𝑥</p><p>𝑘−2 − 𝜎3𝑥</p><p>𝑘−3 = 0</p><p>𝑦𝑘 − 𝜎1𝑦</p><p>𝑘−1 + 𝜎2𝑦</p><p>𝑘−2 − 𝜎3𝑦</p><p>𝑘−3 = 0</p><p>𝑧𝑘 − 𝜎1𝑧</p><p>𝑘−1 + 𝜎2𝑧</p><p>𝑘−2 − 𝜎3𝑧</p><p>𝑘−3 = 0</p><p>Somando membro a membro, temos:</p><p>𝑥𝑘 + 𝑦𝑘 + 𝑧𝑘 − 𝜎1(𝑥</p><p>𝑘−1 + 𝑦𝑘−1 + 𝑧𝑘−1) − 𝜎2(𝑥</p><p>𝑘−2 + 𝑦𝑘−2 + 𝑧𝑘−2) − 𝜎3(𝑥</p><p>𝑘−3 + 𝑦𝑘−3 + 𝑧𝑘−3)</p><p>= 0</p><p>Usando a notação estabelecida, temos a recorrência:</p><p>𝑆𝑘 − 𝜎1𝑆</p><p>𝑘−1 + 𝜎2𝑆</p><p>𝑘−2 − 𝜎3𝑆</p><p>𝑘−3 = 0</p><p>139</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Note que, das relações de Girard:</p><p>𝜎1 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0</p><p>𝜎3 = 𝑥𝑦𝑧</p><p>Além disso, temos que:</p><p>(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 𝑆2 + 2(𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧) = 𝑆2 + 2𝜎2 = 0</p><p>2 ⇒ 𝑆2 = −2𝜎2</p><p>Além disso, a recorrência fica:</p><p>𝑆𝑘 = −𝜎2𝑆</p><p>𝑘−2 + 𝜎3𝑆</p><p>𝑘−3</p><p>Para 𝑘 = 3:</p><p>𝑆3 = −𝜎2𝑆</p><p>1 + 𝜎3𝑆</p><p>0</p><p>Temos:</p><p>𝑆1 = 𝜎1 = 0 𝑒 𝑆</p><p>0 = 𝑥0 + 𝑦0 + 𝑧0 = 3</p><p>Ou seja:</p><p>𝑆3 = −𝜎2(−2𝜎2) + 𝜎3(0) ⇒ 𝑆</p><p>3 = 3𝜎3</p><p>Para 𝑘 = 4:</p><p>𝑆4 = −𝜎2(−2𝜎2) + 𝜎3(0) = 2𝜎2</p><p>2</p><p>Para 𝑘 = 5:</p><p>𝑆5 = −𝜎2(3𝜎3) + 𝜎3(−2𝜎2) = −5𝜎2𝜎3</p><p>Finalmente, para 𝑘 = 7:</p><p>𝑆7 = −𝜎2(−5𝜎2𝜎3) + 𝜎3(2𝜎2</p><p>2) = 7𝜎2</p><p>2𝜎3 ⇒</p><p>𝑆7</p><p>7</p><p>= 𝜎2</p><p>2𝜎3</p><p>Além disso:</p><p>𝑆2</p><p>2</p><p>∙</p><p>𝑆5</p><p>5</p><p>=</p><p>−2𝜎2</p><p>2</p><p>∙</p><p>−5𝜎2𝜎3</p><p>5</p><p>= 𝜎2</p><p>2𝜎3</p><p>Disso, temos que:</p><p>𝑆2</p><p>2</p><p>∙</p><p>𝑆5</p><p>5</p><p>=</p><p>𝑆7</p><p>7</p><p>, 𝑐. 𝑞. 𝑑.</p><p>Gabarito: Demonstração.</p><p>88. (Putnam and Beyond)</p><p>Encontre as raízes do polinômio:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 6𝑥3 + 18𝑥2 − 30𝑥 + 25</p><p>Sabendo que a soma de duas delas é 4.</p><p>Comentários</p><p>Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 𝑒 𝑥4 as raízes desse polinômio.</p><p>Sem perda de generalidade, seja:</p><p>140</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑥1 + 𝑥2 = 4</p><p>Das relações de Girard, temos:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 6 ⇒ 4 + 𝑥3 + 𝑥4 = 6 ⇒ 𝑥3 + 𝑥4 = 2</p><p>Ainda das relações de Girard, podemos escrever:</p><p>𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 + 𝑥1𝑥4 + 𝑥2𝑥3 + 𝑥2𝑥4 + 𝑥3𝑥4 = 18</p><p>Veja ainda que:</p><p>𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 + 𝑥1(𝑥3 + 𝑥4) + 𝑥2(𝑥3 + 𝑥4) = 𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 + (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥3 + 𝑥4) = 18</p><p>Ou seja:</p><p>𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 + 4 ∙ 2 = 18 ⇒ 𝑥1𝑥2 + 𝑥3𝑥4 = 10</p><p>Das relações de Girard para o produto das raízes, temos:</p><p>(𝑥1𝑥2)(𝑥3𝑥4) = 25</p><p>Por conveniência, façamos:</p><p>𝑥1𝑥2 = 𝑝 𝑒 𝑥3𝑥4 = 𝑞</p><p>Temos, portanto:</p><p>𝑝 + 𝑞 = 10 𝑒 𝑝𝑞 = 25</p><p>Disso, temos que 𝑝 𝑒 𝑞 são raízes da equação quadrática:</p><p>𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 ⇒ (𝑥 − 5)2 = 0 ⇒ 𝑥 = 5</p><p>Ou seja:</p><p>𝑝 = 𝑞 = 5</p><p>Logo, obtemos o seguinte resultado:</p><p>𝑥1𝑥2 = 𝑥3𝑥4 = 5 𝑒 𝑥1 + 𝑥2 = 4 𝑒 𝑥3 + 𝑥4 = 2</p><p>Concluímos que 𝑥1 𝑒 𝑥2 são raízes da equação quadrática:</p><p>𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0</p><p>De raízes 𝑥1 = 2 + 𝑖 𝑒 𝑥2 = 2 − 𝑖.</p><p>E que 𝑥3 𝑒 𝑥4 são raízes de:</p><p>𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0</p><p>De raízes 𝑥3 = 1 + 2𝑖 𝑒 𝑥4 = 1 − 2𝑖.</p><p>Gabarito: {𝟐 ± 𝒊, 𝟏 ± 𝟐𝒊}.</p><p>89. (Putnam)</p><p>Encontre todos os polinômios que possuem coeficientes todos iguais a 1 𝑜𝑢 − 1 e que</p><p>possuem raízes reais.</p><p>Comentários</p><p>Essa questão parece nebulosa à primeira vista, pois quase não temos nenhuma informação</p><p>acerca de 𝑃(𝑥). Nesse caso, vamos tomar um polinômio de grau 𝑛 qualquer, isto é:</p><p>141</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎0</p><p>E sejam seus zeros 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛.</p><p>As únicas informações que temos são sobre suas raízes, que devem ser reais, e sobre seus</p><p>coeficientes que pertencem ao conjunto {1, −1}.</p><p>Sendo assim, vamos relacionar suas raízes aos seus coeficientes, usando as relações de</p><p>Girard:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 = −</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>𝑎𝑛</p><p>𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛 =</p><p>𝑎𝑛−2</p><p>𝑎𝑛</p><p>Temos, ainda, a seguinte relação:</p><p>(𝑥1 +⋯+ 𝑥𝑛)</p><p>2 = 𝑥1</p><p>2 + 𝑥2</p><p>2 +⋯+ 𝑥𝑛</p><p>2 + 2(𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛)</p><p>Vamos provar que isso é verdade usando o P.I.F.</p><p>Então, vamos lá:</p><p>Para 𝒏 = 𝟐:</p><p>(𝒙𝟏 + 𝒙𝟐)</p><p>𝟐 = 𝒙𝟏</p><p>𝟐 + 𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟐</p><p>𝟐</p><p>Que é verdadeiro.</p><p>Suponha válido para 𝒏 = 𝒌, ou seja:</p><p>(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌)</p><p>𝟐 = 𝒙𝟏</p><p>𝟐 + 𝒙𝟐</p><p>𝟐 +⋯+ 𝒙𝒌</p><p>𝟐 + 𝟐(𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟏𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝒌−𝟏𝒙𝒌)</p><p>Vamos olhar para 𝒏 = 𝒌 + 𝟏:</p><p>(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌 + 𝒙𝒌+𝟏)</p><p>𝟐 = (𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌)</p><p>𝟐 + 𝟐𝒙𝒌+𝟏(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌) + 𝒙𝒌+𝟏</p><p>𝟐</p><p>Usando a hipótese de indução, temos:</p><p>(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌 + 𝒙𝒌+𝟏 )</p><p>𝟐 =</p><p>= 𝒙𝟏</p><p>𝟐 + 𝒙𝟐</p><p>𝟐 +⋯+ 𝒙𝒌</p><p>𝟐 + 𝟐(𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟏𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝒌−𝟏𝒙𝒌) + 𝟐𝒙𝒌+𝟏(𝒙𝟏 +⋯+ 𝒙𝒌) + 𝒙𝒌+𝟏</p><p>𝟐 =</p><p>= 𝒙𝟏</p><p>𝟐 + 𝒙𝟐</p><p>𝟐 +⋯+ 𝒙𝒌</p><p>𝟐 + 𝒙𝒌+𝟏</p><p>𝟐 + 𝟐(𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒙𝟏𝒙𝟑 +⋯+ 𝒙𝒌𝒙𝒌+𝟏)</p><p>Logo, se vale para 𝒏 = 𝒌, vale para 𝒏 = 𝒌 + 𝟏, do que temos que a afirmação é</p><p>verdadeira.</p><p>Voltando à questão.</p><p>(𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛)</p><p>2 = (−</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>𝑎𝑛</p><p>)</p><p>2</p><p>=</p><p>= 𝑥1</p><p>2 + 𝑥2</p><p>2 +⋯+ 𝑥𝑛</p><p>2 + 2(𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛)</p><p>Porém, das relações de Girard, podemos escrever:</p><p>(−</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>𝑎𝑛</p><p>)</p><p>2</p><p>= 𝑥1</p><p>2 + 𝑥2</p><p>2 +⋯+ 𝑥𝑛</p><p>2 + 2(</p><p>𝑎𝑛−2</p><p>𝑎𝑛</p><p>)</p><p>Ou ainda:</p><p>142</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑥1</p><p>2 + 𝑥2</p><p>2 +⋯+ 𝑥𝑛</p><p>2 = (−</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>𝑎𝑛</p><p>)</p><p>2</p><p>− 2(</p><p>𝑎𝑛−2</p><p>𝑎𝑛</p><p>)</p><p>Como 𝑥1</p><p>2 + 𝑥2</p><p>2 +⋯+ 𝑥𝑛</p><p>2 ≥ 0, o único valor possível para essa soma, dada a relação acima,</p><p>é 3. Lembre-se que os coeficientes são 1 ou −1, do que temos que os termos do lado esquerdo</p><p>assumem somente ±1 como valor, isto é:</p><p>𝑥1</p><p>2 + 𝑥2</p><p>2 +⋯+ 𝑥𝑛</p><p>2 = (±1)2 − 2(±1) ≥ 0 ⇒ 𝑥1</p><p>2 + 𝑥2</p><p>2 +⋯+ 𝑥𝑛</p><p>2 = 3</p><p>Além disso, das relações de Girard, temos ainda:</p><p>𝑥1𝑥2…𝑥𝑛 = (−1)</p><p>𝑛</p><p>𝑎0</p><p>𝑎𝑛</p><p>= ±1 ⇒ 𝑥1</p><p>2𝑥2</p><p>2…𝑥𝑛</p><p>2 = 1</p><p>Usando a desigualdade entre as médias geométricas e aritméticas, temos:</p><p>𝑥1</p><p>2 + 𝑥2</p><p>2 +⋯+ 𝑥𝑛</p><p>2 ≥ 𝑛√𝑥1</p><p>2𝑥2</p><p>2…𝑥𝑛</p><p>2</p><p>𝑛</p><p>⇒ 3 ≥ 𝑛√1</p><p>𝑛</p><p>⇒ 𝑛 ≤ 3</p><p>Só podemos aplicar a desigualdade entre as médias porque as raízes são todas reais, que</p><p>é o nosso caso. Concluímos, então, que seu grau é no máximo 3.</p><p>Para os polinômios de grau 1 e de grau 2, podemos fazer caso a caso, do que obtemos:</p><p>𝑃(𝑥) = ±(𝑥 + 1)𝑒 𝑃(𝑥) = ±(𝑥 − 1)</p><p>𝑃(𝑥) = ±(𝑥2 + 𝑥 − 1)𝑒 𝑃(𝑥) = ±(𝑥2 − 𝑥 − 1)</p><p>Para 𝑛 = 3, devemos ter a igualdade na desigualdade entre as médias, que somente ocorre</p><p>quando:</p><p>𝑥1</p><p>2 = 𝑥2</p><p>2 = ⋯ = 𝑥𝑛</p><p>2 ⇒ |𝑥1| = |𝑥2| = ⋯ = |𝑥𝑛| = 𝑟 > 0</p><p>Sejam 𝑥1, 𝑥2 𝑒 𝑥3 as raízes de 𝑃(𝑥).</p><p>Temos as seguintes possibilidades para as suas raízes:</p><p>1ª possibilidade: Todas positivas.</p><p>𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = 𝑟</p><p>Das relações de Girard:</p><p>𝑟3 = ±1</p><p>Nesse caso, a única possibilidade de raiz real e positiva é 𝑟 = 1.</p><p>Ou seja, 𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)3, que não possui os coeficientes em {1, −1} para nenhum 𝑎 ∈</p><p>ℝ.</p><p>2ª possibilidade: Uma negativa e duas positivas.</p><p>𝑥1 = 𝑥2 = 𝑟 𝑒 𝑥3 = −𝑟</p><p>Da soma</p><p>das raízes, devemos ter:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑟 + 𝑟 − 𝑟 = ±1 ⇒ 𝑟 = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟 > 0</p><p>Se 𝑟 = 1:</p><p>𝑥1 = 𝑥2 = 1 𝑒 𝑥3 = −1</p><p>143</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Do que segue que:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)2(𝑥 + 1) = 𝑎(𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1)</p><p>Nesse caso, devemos ter 𝑎 = ±1.</p><p>3ª possibilidade: Duas negativas e uma positiva.</p><p>𝑥1 = 𝑥2 = −𝑟 𝑒 𝑥3 = 𝑟</p><p>Da soma das raízes, devemos ter:</p><p>𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = −𝑟 − 𝑟 + 𝑟 = ±1 ⇒ 𝑟 = ±1 ⇒ 𝑟 = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟 > 0</p><p>Ou seja:</p><p>𝑥1 = 𝑥2 = −1 𝑒 𝑥3 = 1</p><p>Do que temos:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1) = 𝑎(𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 − 1)</p><p>Para cumprir o enunciado, devemos ter 𝑎 = ±1.</p><p>4ª possibilidade: Todas negativas.</p><p>𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥3 = −𝑟</p><p>Do produto das raízes, vem:</p><p>𝑥1𝑥2𝑥3 = (−𝑟)</p><p>3 = −</p><p>𝑎0</p><p>𝑎3</p><p>= ±1 ⇒ 𝑟3 = 1, 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑟 > 0</p><p>A única solução real dessa equação é 𝑟 = 1, do que teríamos:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 1)3</p><p>Que não atende ao enunciado para nenhum valor real de 𝑎.</p><p>Gabarito: ±(𝒙 + 𝟏), ±(𝒙 − 𝟏),±(𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏),±(𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏), ±(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏),±(𝒙𝟑 −</p><p>𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏).</p><p>10. CONSIDERAÇÕES FINAIS DA AULA</p><p>Chegamos ao final da última aula de álgebra para a prova. Nesta aula, estudamos como</p><p>resolver equações algébricas e diversos teoremas que nos ajudam a encontrar suas raízes. Para</p><p>internalizar esses teoremas, o melhor jeito é resolver muitos exercícios. Assim, quando você se</p><p>deparar com uma questão sobre equações algébricas, você já estará craque e terá grandes</p><p>chances de acerto!</p><p>O tópico mais importante para a prova é, sem dúvidas, as relações de Girard. Então, se</p><p>você não entendeu direito esse tópico, recomendo retornar à teoria e refazer as questões desse</p><p>tema.</p><p>Fico feliz que tenha chegado até aqui! A preparação para concursos de nível elevado como</p><p>esse é uma maratona. Muitas pessoas desistem no meio do caminho, mas você está aqui</p><p>batalhando pela sua aprovação. E isso já o torna diferente dos outros! Continue se esforçando,</p><p>144</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>que o resultado virá! Para aqueles que estão sentindo dificuldade, não se sintam mal. Isso é muito</p><p>comum entre os estudantes que estão se preparando para esse nível de concurso. O segredo é</p><p>persistir!</p><p>Antes de me despedir, deixarei aqui uma frase de Sun Tzu:</p><p>“A vitória está reservada para aqueles que estão dispostos a pagar o preço.”</p><p>11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS</p><p>[1] Iezzi, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, 6: complexos, polinômios e equações.</p><p>8. ed. Atual, 2013. 250p.</p><p>[2] Morgado, Augusto. Wagner, Eduardo. Carvalho, Paulo. Lima, Elon. A Matemática do Ensino</p><p>Médio volume 3. 7 ed. SBM, 2016. 198p.</p><p>[3] Guimarães, Caio. Matemática em nível IME/ITA Volume 1: Números Complexos e Polinômios.</p><p>1 ed. Vestseller, 2008. 330p.</p><p>[4] Andreescu, Titu. 101 Problems in Algebra. AMT Publishing, 2001. 139p.</p><p>[5] Andreescu, Titu. Gelca, Răzvan. Putnam and Beyond. Springer, 2007. 798p.</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Como os coeficientes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛, 𝑝 e 𝑞 são números inteiros, então, considerando</p><p>𝑝 ≠ 0:</p><p>𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛 = −𝑞𝑘1, 𝑘1 ∈ ℤ</p><p>⇒</p><p>𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛</p><p>𝑞</p><p>= −𝑘1 ∈ ℤ</p><p>𝑎0𝑞</p><p>𝑛 = −𝑝𝑘2, 𝑘2 ∈ ℤ</p><p>⇒</p><p>𝑎0𝑞</p><p>𝑛</p><p>𝑝</p><p>= −𝑘2 ∈ ℤ</p><p>Como 𝑝 e 𝑞 são primos entre si, temos que 𝑝𝑛 e 𝑞 são primos entre si e 𝑝 e 𝑞𝑛 são primos</p><p>entre si, logo:</p><p>𝑎𝑛𝑝</p><p>𝑛</p><p>𝑞</p><p>∈ ℤ ⇒ 𝑞 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎𝑛</p><p>𝑎0𝑞</p><p>𝑛</p><p>𝑝</p><p>∈ ℤ ⇒ 𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑎0</p><p>Esse teorema que acabamos de provar diz que, se um polinômio de coeficientes inteiros</p><p>admite um número racional 𝑝/𝑞 como raiz, então 𝑝 é um fator do número 𝑎0 e 𝑞 é um fator do</p><p>número 𝑎𝑛. Vejamos na prática como usamos esse teorema.</p><p>1.4.a) Encontre todas as raízes do polinômio 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 − 5𝑥2 − 4𝑥 + 4.</p><p>Como o polinômio possui apenas coeficientes inteiros, podemos aplicar o teorema das</p><p>raízes racionais. Então, se 𝑝/𝑞 for raiz do polinômio, temos que 𝑝 divide 𝑎0 = 4 e 𝑞 divide 𝑎3 =</p><p>3. Assim, analisemos os divisores de 𝑎0 = 4 e 𝑎3 = 3.</p><p>Divisores de 𝑎0 = 4:</p><p>4 = 1 ⋅ 2 ⋅ 2 ⇒ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠(4) ∈ {1, 2, 4}⏟</p><p>𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝</p><p>Divisores de 𝑎3 = 3:</p><p>3 = 1 ⋅ 3 ⇒ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠(3) ∈ {1, 3}⏟</p><p>𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞</p><p>Dos possíveis valores de 𝑝 e 𝑞, devemos considerar a possibilidade de 𝑝/𝑞 ser um número</p><p>negativo. Desse modo, temos:</p><p>𝑝</p><p>𝑞</p><p>∈ ± {1; 2; 4;</p><p>1</p><p>3</p><p>;</p><p>2</p><p>3</p><p>;</p><p>4</p><p>3</p><p>}</p><p>Esses são os candidatos às raízes, para saber quem é raiz, precisamos testar cada uma</p><p>delas. Temos 6 possibilidades para os positivos e 6 possibilidades para os negativos, totalizando</p><p>12 possibilidades. Fazendo os testes:</p><p>𝑝(1) = 3(1)3 − 5(1)2 − 4(1) + 4 = −2</p><p>𝑝(−1) = 3(−1)3 − 5(−1)2 − 4(−1) + 4 = 0 ⇒ −1 é 𝑟𝑎𝑖𝑧</p><p>𝑝(2) = 3(2)3 − 5(2)2 − 4(2) + 4 = 0 ⇒ 2 é 𝑟𝑎𝑖𝑧</p><p>14</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑝(−2) = 3(−2)3 − 5(−2)2 − 4(−2) + 4 = −32</p><p>𝑝(4) = 3(4)3 − 5(4)2 − 4(4) + 4 = 100</p><p>𝑝(−4) = 3(−4)3 − 5(−4)2 − 4(−4) + 4 = −252</p><p>𝑝 (</p><p>1</p><p>3</p><p>) = 3 (</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>− 5(</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>− 4(</p><p>1</p><p>3</p><p>) + 4 =</p><p>20</p><p>9</p><p>𝑝 (−</p><p>1</p><p>3</p><p>) = 3 (−</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>− 5(−</p><p>1</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>− 4(−</p><p>1</p><p>3</p><p>) + 4 =</p><p>14</p><p>3</p><p>𝑝 (</p><p>2</p><p>3</p><p>) = 3 (</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>− 5(</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>− 4(</p><p>2</p><p>3</p><p>) + 4 = 0 ⇒</p><p>2</p><p>3</p><p>é 𝑟𝑎𝑖𝑧</p><p>𝑝 (−</p><p>2</p><p>3</p><p>) = 3 (−</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>− 5(−</p><p>2</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>− 4(−</p><p>2</p><p>3</p><p>) + 4 =</p><p>32</p><p>9</p><p>𝑝 (</p><p>4</p><p>3</p><p>) = 3 (</p><p>4</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>− 5(</p><p>4</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>− 4(</p><p>4</p><p>3</p><p>) + 4 = −</p><p>28</p><p>9</p><p>𝑝 (−</p><p>4</p><p>3</p><p>) = 3 (−</p><p>4</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>− 5(−</p><p>4</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>− 4(−</p><p>4</p><p>3</p><p>) + 4 = −</p><p>20</p><p>3</p><p>Portanto, as raízes de 𝑝 são os números −1, 2 e 2/3.</p><p>1.5. TEOREMA DE BOLZANO</p><p>O Teorema de Bolzano nos permite determinar o número de raízes reais em um</p><p>determinado intervalo real.</p><p>Enunciemos.</p><p>Se 𝑃(𝑥) = 0 é uma equação polinomial com coeficientes reais e ]𝑎, 𝑏[ é um intervalo</p><p>real aberto, então:</p><p>𝑷(𝒂) ⋅ 𝑷(𝒃) > 𝟎 implica que o polinômio 𝑃 possui um número par de raízes ou</p><p>nenhuma raiz no intervalo ]𝑎, 𝑏[.</p><p>𝑷(𝒂) ⋅ 𝑷(𝒃) < 𝟎 implica que o polinômio 𝑃 possui um número ímpar de raízes no</p><p>intervalo ]𝑎, 𝑏[.</p><p>Demonstração</p><p>Seja 𝑃(𝑥) = 0 uma equação polinomial de coeficientes reais tal que grau de 𝑃 é igual a 𝑛.</p><p>Como o polinômio possui grau 𝑛, podemos afirmar que 𝑃 admite 𝑛 raízes complexas. Indiquemos</p><p>as raízes reais por 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑘 e as raízes complexas por 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑚. Pelo teorema da raiz</p><p>complexa conjugada e pelo fato de o polinômio possuir apenas coeficientes reais, podemos</p><p>afirmar que 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑞 também são raízes. Logo, pelo teorema da decomposição, podemos</p><p>escrever:</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑘)(𝑥 − 𝑧1)(𝑥 − 𝑧1)… (𝑥 − 𝑧𝑚)(𝑥 − 𝑧𝑚)</p><p>15</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Consideremos o produto dos fatores complexos como um polinômio 𝑄(𝑥), desse modo:</p><p>𝑄(𝑥) = (𝑥 − 𝑧1)(𝑥 − 𝑧1)… (𝑥 − 𝑧𝑚)(𝑥 − 𝑧𝑚)</p><p>Vamos analisar o produto de cada par de fatores (𝑥 − 𝑧𝑖)(𝑥 − 𝑧𝑖) e usar a forma algébrica</p><p>dos complexos:</p><p>𝑧 = 𝛼 + 𝛽𝑖; 𝛼 ∈ ℝ e 𝛽 ∈ ℝ∗</p><p>(𝑥 − 𝑧)(𝑥 − 𝑧) = [(𝑥 − (𝛼 + 𝛽𝑖)][(𝑥 − (𝛼 − 𝛽𝑖)] = [(𝑥 − 𝛼) − 𝛽𝑖][(𝑥 − 𝛼) + 𝛽𝑖]</p><p>∴ (𝑥 − 𝑧)(𝑥 − 𝑧) = (𝑥 − 𝛼)2 + 𝛽2 > 0;∀𝑥 ∈ ℝ</p><p>Assim, cada par de fatores de raízes complexas conjugadas gera uma função em 𝑥 sempre</p><p>maior que zero para qualquer valor de 𝑥. Portanto, podemos afirmar que 𝑄(𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ.</p><p>∴ 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)… (𝑥 − 𝛼𝑘)𝑄(𝑥); 𝑄(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ ℝ</p><p>Agora, vamos analisar os valores de 𝑃 no intervalo aberto ]𝑎; 𝑏[.</p><p>Note que para 𝛼𝑖 , 𝑖 ∈ {1, 2, … , 𝑘}, temos:</p><p>• 𝑎 < 𝛼𝑖 < 𝑏 (𝛼𝑖 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ]𝑎; 𝑏[ )</p><p>{</p><p>𝑎 − 𝛼𝑖 < 0</p><p>𝑏 − 𝛼𝑖 > 0</p><p>⇒ (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) < 0</p><p>• 𝛼𝑖 < 𝑎 < 𝑏 ou 𝑎 < 𝑏 < 𝛼𝑖 (𝛼𝑖 𝑒𝑠𝑡á 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ]𝑎; 𝑏[ )</p><p>𝛼𝑖 < 𝑎 < 𝑏 ⇒ {</p><p>𝑎 − 𝛼𝑖 > 0</p><p>𝑏 − 𝛼𝑖 > 0</p><p>⇒ (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) > 0</p><p>𝑎 < 𝑏 < 𝛼𝑖 ⇒ {</p><p>𝑎 − 𝛼𝑖 < 0</p><p>𝑏 − 𝛼𝑖 < 0</p><p>⇒ (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) > 0</p><p>Analisemos o produto 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏):</p><p>𝑃(𝑎) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑄(𝑎) ⋅ (𝑎 − 𝛼1)(𝑎 − 𝛼2)… (𝑎 − 𝛼𝑘)</p><p>𝑃(𝑏) = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑄(𝑏) ⋅ (𝑏 − 𝛼1)(𝑏 − 𝛼2)… (𝑏 − 𝛼𝑘)</p><p>⇒ 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏) = 𝑎𝑛</p><p>2⏟</p><p>>0</p><p>⋅ 𝑄(𝑎) ⋅ 𝑄(𝑏)⏟</p><p>>0</p><p>⋅ (𝑎 − 𝛼1)(𝑏 − 𝛼1)(𝑎 − 𝛼2)(𝑏 − 𝛼2)… (𝑎 − 𝛼𝑘)(𝑏 − 𝛼𝑘)</p><p>A equação acima nos permite inferir que o produto 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏) possui o mesmo sinal do</p><p>produto (𝑎 − 𝛼1)(𝑏 − 𝛼1)(𝑎 − 𝛼2)(𝑏 − 𝛼2)… (𝑎 − 𝛼𝑘)(𝑏 − 𝛼𝑘). Vimos que, se a raiz 𝛼𝑖 estiver</p><p>dentro do intervalo ]𝑎; 𝑏[, o produto (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) < 0, e se ela estiver fora do intervalo ]𝑎; 𝑏[</p><p>16</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>esse produto será positivo. Logo, devemos analisar apenas a quantidade de raízes dentro do</p><p>intervalo. Assim, temos as seguintes possibilidades:</p><p>• 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏) > 0</p><p>Nesse caso, temos um número par de fatores negativos (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) e, portanto, um</p><p>número par de raízes no intervalo ]𝑎; 𝑏[.</p><p>• 𝑃(𝑎) ⋅ 𝑃(𝑏) < 0</p><p>Aqui, temos um número ímpar de fatores negativos (𝑎 − 𝛼𝑖)(𝑏 − 𝛼𝑖) e,</p><p>consequentemente, um número ímpar de raízes no intervalo ]𝑎; 𝑏[.</p><p>17</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Portanto, está provado o Teorema de Bolzano.</p><p>Vejamos um exemplo de aplicação para o teorema.</p><p>1.5.a) Determine os possíveis valores de 𝑎 ∈ ℝ, de modo que a equação 𝑎𝑥4 + 3𝑥2 − 2 =</p><p>0 tenha um número par de raízes no intervalo ]0; 3[.</p><p>Vamos aplicar o Teorema de Bolzano e calcular os valores de 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥4 + 3𝑥2 − 2 para</p><p>os extremos do intervalo ]0; 3[:</p><p>𝑃(0) = −2</p><p>𝑃(3) = 𝑎 ⋅ 34 + 3 ⋅ 32 − 2 = 81𝑎 + 25</p><p>Queremos um número par de raízes no intervalo, logo, devemos ter 𝑃(0) ⋅ 𝑃(3) > 0:</p><p>−2 ⋅ (81𝑎 + 25) > 0</p><p>81𝑎 + 25 < 0</p><p>∴ 𝑎 < −</p><p>25</p><p>81</p><p>2. RAIZ MÚLTIPLA E A DERIVADA POLINOMIAL</p><p>Vimos que um polinômio 𝑃 possui raiz 𝛼 de multiplicidade 𝑚 se, e somente se, puder ser</p><p>escrito da seguinte forma:</p><p>𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑚 ⋅ 𝑄(𝑥); 𝑄(𝛼) ≠ 0</p><p>Há uma ferramenta muito poderosa que nos permite analisar a multiplicidade da raiz de</p><p>um polinômio. Ela envolve a derivada da função polinomial. Enunciemos o teorema.</p><p>O polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 é divisível por (𝑥 − 𝛼)𝑚 tal</p><p>que 𝑚 ≤ 𝑛 se, e somente se, 𝑃(𝛼) = 𝑃′(𝛼) = 𝑃′′(𝛼) = ⋯ = 𝑃𝑚−1(𝛼) = 0.</p><p>Esse teorema afirma que se um polinômio admite uma raiz com multiplicidade 𝑚, então,</p><p>as derivadas de ordem 𝑘 desse polinômio, com 𝑘 ∈ {1, 2, 3, … ,𝑚 − 1}, também possuem a</p><p>mesma raiz.</p><p>Demonstração</p><p>Para demonstrar esse teorema, lembremos da derivada do produto de funções e da</p><p>derivada de um monômio:</p><p>𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ⋅ ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⋅ ℎ′(𝑥)</p><p>𝐹(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 ⇒ 𝐹′(𝑥) = 𝑛𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛−1</p><p>Assim, tomemos o polinômio 𝑃:</p><p>𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑚 ⋅ 𝑄(𝑥)</p><p>⇒ 𝑃′(𝑥) = 𝑚(𝑥 − 𝛼)𝑚−1 ⋅ 𝑄(𝑥) + (𝑥 − 𝛼)𝑚 ⋅ 𝑄′(𝑥)</p><p>18</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>⇒ 𝑃′(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)𝑚−1[𝑚</p><p>⋅ 𝑄(𝑥) + (𝑥 − 𝛼) ⋅ 𝑄′(𝑥)]</p><p>Como 𝛼 é uma raiz de multiplicidade 𝑚 ≠ 0, temos que 𝑚 ⋅ 𝑄(𝛼) ≠ 0. Desse modo,</p><p>temos:</p><p>𝑚 ⋅ 𝑄(𝛼)⏟</p><p>≠0</p><p>+ (𝛼 − 𝛼)⏟</p><p>=0</p><p>⋅ 𝑄′(𝛼) = 𝑚 ⋅ 𝑄(𝛼)</p><p>Portanto, 𝛼 é raiz de multiplicidade 𝑚 − 1 do polinômio 𝑃′(𝑥).</p><p>Usando o mesmo raciocínio, conseguimos provar que se 𝛼 é raiz de multiplicidade 𝑚,</p><p>então:</p><p>𝑃(𝛼) = 𝑃′(𝛼) = 𝑃′′(𝛼) = ⋯ = 𝑃𝑚−1(𝛼) = 0</p><p>Exemplo</p><p>2.a) Sabendo que a equação 𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 − 8 = 0 possui uma raiz de</p><p>multiplicidade 3, determine as raízes da equação.</p><p>Seja 𝑎, a raiz de multiplicidade 3. Então, para 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥 − 8, devemos</p><p>ter:</p><p>𝑃(𝑎) = 𝑃′(𝑎) = 𝑃′′(𝑎) = 0</p><p>Calculando as derivadas:</p><p>𝑃′(𝑥) = 4𝑥3 − 15𝑥2 + 12𝑥 + 4</p><p>𝑃′′(𝑥) = 12𝑥2 − 30𝑥 + 12</p><p>Como 𝑎 é raiz de multiplicidade 3, temos:</p><p>𝑃′′(𝑎) = 0 ⇒ 12𝑎2 − 30𝑎 + 12 = 0</p><p>𝑎 =</p><p>15 ± √225 − 144</p><p>12</p><p>=</p><p>15 ± 9</p><p>12</p><p>= 2 𝑜𝑢</p><p>1</p><p>2</p><p>Encontramos duas possíveis raízes, uma delas é a raiz da equação polinomial 𝑃(𝑥) = 0.</p><p>Vamos testar os valores em 𝑃′(𝑥) = 0:</p><p>𝑃′ (</p><p>1</p><p>2</p><p>) = 4 (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>3</p><p>− 15 (</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>2</p><p>+ 12 (</p><p>1</p><p>2</p><p>) + 4 =</p><p>27</p><p>4</p><p>𝑃′(2) = 4(2)3 − 15(2)2 + 12(2) + 4 = 0</p><p>Assim, verificamos que 2 é a raiz de multiplicidade 3 da equação, pois 𝑃′′(2) = 𝑃′(2) = 0.</p><p>Podemos testar a raiz no polinômio 𝑃:</p><p>𝑃(2) = (2)4 − 5(2)3 + 6(2)2 + 4(2) − 8 = 0</p><p>Para determinar a última raiz, podemos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini:</p><p>19</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>2 1 −5 6 4 −8</p><p>2 1 −3 0 4 0</p><p>2 1 −1 −2 0</p><p>1 1 0</p><p>Pelo diagrama acima, temos:</p><p>𝑃(𝑥) ≡ (𝑥 − 2)3(𝑥 + 1)</p><p>Portanto, a última raiz é 𝑥 = −1.</p><p>3. MÁXIMO DIVISOR COMUM</p><p>O máximo divisor comum (𝑀𝐷𝐶) entre os polinômios 𝐹(𝑥) e 𝐺(𝑥) é um</p><p>polinômio 𝐻(𝑥) tal que 𝐻 é o divisor de maior grau de 𝐹 e 𝐺.</p><p>Exemplo</p><p>3.a) Se 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 2)3(𝑥 − 3)2(𝑥 − 5)5 e 𝐺(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)3(𝑥 + 10), então</p><p>𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = (𝑥 + 2)(𝑥 − 3)2.</p><p>3.b) Se 𝐹(𝑥) = (𝑥 + 2)2(𝑥 − 1) e 𝐺(𝑥) = (𝑥 + 5)𝑥, então 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 1, ou seja, 𝐹 e</p><p>𝐺 são primos entre si.</p><p>Para determinar o MDC, podemos usar a divisão euclidiana entre polinômios.</p><p>Antes de proceder, devemos saber que se 𝐹(𝑥) ≡ 𝐺(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥), então:</p><p>𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝑀𝐷𝐶(𝐺, 𝑅)</p><p>Demonstração</p><p>Se 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝐻, então 𝐻 é divisor de 𝐹 e 𝐺, logo:</p><p>𝐹(𝑥) = 𝐻(𝑥)𝑄1(𝑥) (𝑖)</p><p>𝐺(𝑥) = 𝐻(𝑥)𝑄2(𝑥) (𝑖𝑖)</p><p>Se 𝑅 é o resto da divisão de 𝐹 por 𝐺, então:</p><p>𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) ⇒ 𝑅(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥)𝑄(𝑥) (𝑖𝑖𝑖)</p><p>Substituindo (𝑖) e (𝑖𝑖) em (𝑖𝑖𝑖):</p><p>𝑅(𝑥) = 𝐻(𝑥)𝑄1(𝑥) − 𝐻(𝑥)𝑄2(𝑥)𝑄(𝑥) = (𝑄1(𝑥) − 𝑄2(𝑥)𝑄(𝑥))𝐻(𝑥)</p><p>Assim, 𝐻 é divisor de 𝑅.</p><p>Se 𝑀𝐷𝐶(𝐺, 𝑅) = 𝐻′, então 𝐻′ é divisor de 𝐺 e 𝑅. Como 𝐻 também é divisor de 𝐺 e 𝑅,</p><p>temos que 𝐻 é divisor de 𝐻′.</p><p>20</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Pela definição de 𝐻′ ser divisor de 𝐺 e 𝑅, temos:</p><p>𝐺(𝑥) = 𝐻′(𝑥)𝑄3(𝑥)</p><p>𝑅(𝑥) = 𝐻′(𝑥)𝑄4(𝑥)</p><p>Da relação 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥), temos:</p><p>𝐹(𝑥) = 𝐻′(𝑥)𝑄3(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝐻</p><p>′(𝑥)𝑄4(𝑥) = (𝑄3(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑄4(𝑥))𝐻</p><p>′(𝑥)</p><p>Ou seja, 𝐻′ é divisor de 𝐹. Como 𝐻′ também é divisor de 𝐺, temos que 𝐻′ é divisor de 𝐻.</p><p>Portanto, 𝐻′ é divisor de 𝐻 e 𝐻 é divisor de 𝐻′, logo, 𝐻 = 𝐻′.</p><p>∴ 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝑀𝐷𝐶(𝐺, 𝑅)</p><p>Vejamos, na prática, a aplicação da divisão euclidiana pelas divisões sucessivas, usando a</p><p>propriedade 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝑀𝐷𝐶(𝐺, 𝑅).</p><p>3.c) Determine o máximo divisor comum entre 𝐹(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 e 𝐺(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 −</p><p>6.</p><p>Vamos usar o método das chaves e dividir o polinômio de maior grau 𝐹 por 𝐺:</p><p>𝑥4 −5x2 +4 𝑥3 − 7𝑥 − 6</p><p>−𝑥4 +7x2 +6𝑥 𝑥</p><p>2x2 +6𝑥 +4</p><p>Agora, dividimos o divisor 𝑥3 − 7𝑥 − 6 pelo resto 2𝑥2 + 6𝑥 + 4. Devemos repetir esse</p><p>processo até encontrar um resto nulo, ou seja, tomamos o divisor e dividimos pelo resto não nulo</p><p>e, assim, sucessivamente. Nessa divisão, podemos evidenciar o 2 do divisor 2𝑥2 + 6𝑥 + 4 =</p><p>2(𝑥2 + 3𝑥 + 2) e dividir 𝑥3 − 7𝑥 − 6 por 𝑥2 + 3𝑥 + 2 para simplificar as contas.</p><p>𝑥3 −7x −6 𝑥2 + 3𝑥 + 2</p><p>−𝑥3 −3𝑥2 −2x 𝑥 − 3</p><p>−3𝑥2 −9x −6</p><p>+3𝑥2 +9x +6</p><p>0</p><p>Encontramos um resto nulo, logo, o máximo divisor comum entre 𝐹 e 𝐺 é o divisor da</p><p>divisão que resultou em resto nulo. Portanto:</p><p>𝑀𝐷𝐶(𝑥4 − 5𝑥2 + 4; 𝑥3 − 7𝑥 − 6) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2</p><p>No caso em que o resto da divisão euclidiana de 𝐹 por 𝐺 for uma constante diferente de</p><p>zero, podemos afirmar que 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 1, isto é, 𝐹 e 𝐺 são primos entre si.</p><p>21</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>3.1. RAÍZES COMUNS</p><p>Note que quando 𝐹 e 𝐺 não são primos, temos que o 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) terá fatores comuns dos</p><p>polinômios 𝐹 e 𝐺. Assim, podemos afirmar que as raízes desses fatores são as raízes comuns de</p><p>𝐹 e 𝐺, ou seja, as raízes comuns de 𝐹 e 𝐺 são também raízes do 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺).</p><p>𝛼 é uma raiz comum dos polinômios 𝐹 e 𝐺 se e somente se 𝛼 é raiz do 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺).</p><p>Vamos tomar os polinômios do exemplo anterior e encontrar as raízes comuns entre eles.</p><p>3.1.a) Encontre as raízes comuns entre 𝐹(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4 e 𝐺(𝑥) = 𝑥3 − 7𝑥 − 6.</p><p>Como vimos, o máximo divisor comum entre 𝐹 e 𝐺 é</p><p>𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺) = 𝑀𝐷𝐶(𝑥4 − 5𝑥2 + 4; 𝑥3 − 7𝑥 − 6) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2</p><p>Se 𝛼 é uma raiz de 𝐹 e 𝐺, então ele deve ser raiz do 𝑀𝐷𝐶(𝐹, 𝐺). Assim, basta encontrar as</p><p>raízes da equação 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0:</p><p>𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0</p><p>𝑥 =</p><p>−3 ± √1</p><p>2</p><p>⇒ 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = −1</p><p>Assim, as raízes comuns entre 𝐹 e 𝐺 são os números −2 e −1.</p><p>Há outro modo de encontrar as raízes comuns entre dois polinômios. Vejamos outro</p><p>exemplo.</p><p>3.1.b) Encontre as raízes comuns entre 𝑥4 − 2𝑥3 − 7𝑥2 + 8𝑥 + 12 = 0 e 𝑥4 − 4𝑥3 −</p><p>13𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0.</p><p>Suponha 𝛼 ∈ ℂ uma raiz comum das equações. Substituindo esse número nas equações e</p><p>subtraindo:</p><p>𝛼4 − 2𝛼3 − 7𝛼2 + 8𝛼 + 12 = 0</p><p>−𝛼4 + 4𝛼3 + 13𝛼2 − 4𝛼 − 12 = 0</p><p>2𝛼3 + 6𝛼2 + 4𝛼 = 0</p><p>As candidatas às raízes comuns são também raízes de 2𝛼3 + 6𝛼2 + 4𝛼 = 0.</p><p>2𝛼3 + 6𝛼2 + 4𝛼 = 0</p><p>2𝛼(𝛼2 + 3𝛼 + 2) = 0</p><p>2𝛼(𝛼 + 2)(𝛼 + 1) = 0</p><p>𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠: 0; −1;−2</p><p>22</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Para saber quais são as raízes comuns, podemos substituir esses valores em cada equação</p><p>e verificar qual satisfaz a igualdade ou aplicar Briot-Ruffini e verificar qual resulta em resto nulo.</p><p>Vamos usar o segundo método. Perceba que 0 não é raiz de ambas equações, pois o coeficiente</p><p>independente deles é 12. Logo, basta testar −1 e −2. Fazendo a divisão das expressões de cada</p><p>equação por Briot-Ruffini:</p><p>𝑥4 − 2𝑥3 − 7𝑥2 + 8𝑥 + 12 = 0</p><p>−1 1 −2 −7 8 12</p><p>−2 1 −3 −4 12 0</p><p>1 −5 6 0</p><p>⇒ (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥2 − 5𝑥 + 6) = 0</p><p>𝑥4 − 4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 + 12 = 0</p><p>−1 1 −4 −13 4 12</p><p>−2 1 −5 −8 12 0</p><p>1 −7 6 0</p><p>⇒ (𝑥 + 1)(𝑥 + 2)(𝑥2 − 7𝑥 + 6) = 0</p><p>Portanto, como as divisões são exatas, temos que −1 e −2 são as raízes comuns das</p><p>equações.</p><p>4. RELAÇÕES DE GIRARD</p><p>As relações de Girard nos permitem relacionar as raízes de uma equação polinomial com</p><p>seus coeficientes. Elas nos ajudam bastante na resolução de questões envolvendo polinômios.</p><p>Vejamos do que se trata.</p><p>Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0, tal que suas raízes sejam 𝛼1 e</p><p>𝛼2. Então, podemos escrever a seguinte identidade:</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≡ 𝑎(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≡ 𝑎[𝑥2 − (𝛼1 + 𝛼2)𝑥 + 𝛼1𝛼2]</p><p>23</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≡ 𝑎𝑥2 − 𝑎(𝛼1 + 𝛼2)𝑥 + 𝑎𝛼1𝛼2</p><p>Para que a identidade seja satisfeita, devemos ter:</p><p>{</p><p>𝑏 = −𝑎(𝛼1 + 𝛼2)</p><p>𝑐 = 𝑎𝛼1𝛼2</p><p>⇒ {</p><p>𝛼1 + 𝛼2 = −</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝛼1𝛼2 =</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>Essas são as relações de Girard para uma</p><p>equação algébrica do segundo grau.</p><p>Note que a soma das raízes é igual à razão −𝑏/𝑎 e o produto delas é igual à 𝑐/𝑎.</p><p>Vejamos o caso de um polinômio do terceiro grau.</p><p>Considere o polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, com 𝑎 ≠ 0, tal que suas raízes sejam</p><p>𝛼1, 𝛼2 e 𝛼3. Então, escrevendo 𝑃 como produto de fatores, temos:</p><p>𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ≡ 𝑎(𝑥 − 𝛼1)(𝑥 − 𝛼2)(𝑥 − 𝛼3)</p><p>Desenvolvendo o membro à direita:</p><p>𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ≡ 𝑎(𝑥2 − (𝛼1 + 𝛼2)𝑥 + 𝛼1𝛼2)(𝑥 − 𝛼3)</p><p>𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ≡ 𝑎[𝑥3 − (𝛼1 + 𝛼2)𝑥</p><p>2 + 𝛼1𝛼2𝑥 − 𝛼3𝑥</p><p>2 + 𝛼3(𝛼1 + 𝛼2)𝑥 − 𝛼3𝛼1𝛼2]</p><p>𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 ≡ 𝑎[𝑥3 − (𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3)𝑥</p><p>2 + (𝛼1𝛼2 + 𝛼1𝛼3 + 𝛼2𝛼3)𝑥 − 𝛼3𝛼1𝛼2]</p><p>Assim, pela identidade polinomial, temos:</p><p>{</p><p>𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = −</p><p>𝑏</p><p>𝑎</p><p>𝛼1𝛼2 + 𝛼1𝛼3 + 𝛼2𝛼3 =</p><p>𝑐</p><p>𝑎</p><p>𝛼1𝛼2𝛼3 = −</p><p>𝑑</p><p>𝑎</p><p>Essas são as relações de Girard para uma equação do terceiro grau. É possível generalizar</p><p>o resultado para uma equação algébrica de grau 𝑛.</p><p>Seja 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥</p><p>𝑛−2 +⋯𝑎𝑛−𝑘𝑥</p><p>𝑘 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 cujas raízes são</p><p>𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑛, as relações de Girard são dadas por:</p><p>{</p><p>𝛼1 + 𝛼2 +⋯+ 𝛼𝑛 = −</p><p>𝑎𝑛−1</p><p>𝑎𝑛</p><p>(𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠)</p><p>𝛼1𝛼2 + 𝛼1𝛼3 +⋯+ 𝛼𝑛−1𝛼𝑛 =</p><p>𝑎𝑛−2</p><p>𝑎𝑛</p><p>(𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑎 𝑑𝑜𝑖𝑠)</p><p>⋮</p><p>𝛼1𝛼2…𝛼𝑘 +⋯ = (−1)</p><p>𝑘</p><p>𝑎𝑛−𝑘</p><p>𝑎𝑛</p><p>(𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑘 𝑎 𝑘)</p><p>⋮</p><p>𝛼1𝛼2…𝛼𝑛 = (−1)</p><p>𝑛</p><p>𝑎0</p><p>𝑎𝑛</p><p>(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑛 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠)</p><p>A demonstração dessas relações pode ser feita por indução finita.</p><p>Vejamos alguns exemplos de aplicação.</p><p>24</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>4.a) Sabendo que as raízes da equação 𝑥3 − 21𝑥2 + 126𝑥 − 216 = 0 estão em</p><p>progressão geométrica, determine-as.</p><p>Resolução:</p><p>Sejam 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 as raízes da equação dada. Como estão em PG, temos:</p><p>(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) = (𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞</p><p>2)</p><p>Pelas relações de Girard:</p><p>𝑥3 − 21𝑥2 + 126𝑥 − 216 = 0</p><p>𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2 = −</p><p>−21</p><p>1</p><p>⇒ 𝑎(1 + 𝑞 + 𝑞2) = 21 (𝐼)</p><p>𝑎 ⋅ 𝑎𝑞 ⋅ 𝑎𝑞2 = −</p><p>−216</p><p>1</p><p>= 216 ⇒ 𝑎3𝑞3 = 216 ⇒ 𝑎𝑞 = 6 (𝐼𝐼)</p><p>Fazendo a divisão de (𝐼) por (𝐼𝐼):</p><p>𝑎(1 + 𝑞 + 𝑞2)</p><p>𝑎𝑞</p><p>=</p><p>21</p><p>6</p><p>=</p><p>7</p><p>2</p><p>⇒ 2(1 + 𝑞 + 𝑞2) = 7𝑞 ⇒ 2𝑞2 − 5𝑞 + 2 = 0</p><p>Raízes:</p><p>𝑞 =</p><p>5 ± √9</p><p>4</p><p>= 2 𝑜𝑢</p><p>1</p><p>2</p><p>Podemos escolher qualquer uma das raízes, pois o resultado das raízes será o mesmo.</p><p>Logo, para 𝑞 = 2, temos:</p><p>𝑎 ⋅ 2 = 6 ⇒ 𝑎 = 3</p><p>Portanto, as raízes são:</p><p>𝑎 = 3; 𝑎𝑞 = 6; 𝑎𝑞2 = 12</p><p>4.b) Determine a soma do cubo raízes da equação 𝑥3 + 𝑥 − 1 = 0.</p><p>Resolução:</p><p>Sejam 𝛼, 𝛽, 𝛾 as raízes da equação. Como elas são raízes, temos:</p><p>{</p><p>𝛼3 + 𝛼 − 1 = 0</p><p>𝛽3 + 𝛽 − 1 = 0</p><p>𝛾3 + 𝛾 − 1 = 0</p><p>Somando as três equações:</p><p>𝛼3 + 𝛽3 + 𝛾3 + 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 − 3 = 0</p><p>⇒ 𝛼3 + 𝛽3 + 𝛾3 = 3 − (𝛼 + 𝛽 + 𝛾)</p><p>Pelas relações de Girard, podemos obter a soma das raízes:</p><p>𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 0</p><p>Logo:</p><p>𝛼3 + 𝛽3 + 𝛾3 = 3</p><p>25</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>5. TRANSFORMAÇÕES</p><p>Ao longo do curso, resolvemos muitas equações algébricas e, em algumas delas, aplicamos</p><p>a transformação algébrica para simplificar a resolução. Um exemplo é a equação 𝑥4 − 5𝑥2 + 6 =</p><p>0. Nós sabemos como encontrar as raízes de uma equação quadrática e, observando a equação,</p><p>vemos que ela lembra muito uma equação desse tipo. Se fizermos 𝑦 = 𝑥2, obtemos:</p><p>𝑥4 − 5𝑥2 + 6 = 0 ⇒ 𝑦2 − 5𝑦 + 6 = 0</p><p>E resolvendo a equação em 𝑦, encontramos as raízes 𝑦1 = 3 ou 𝑦2 = 2.</p><p>Para encontrar as soluções em 𝑥, usamos a relação que estabelecemos 𝑦 = 𝑥2:</p><p>𝑦1 = 𝑥1</p><p>2 ⇒ 𝑥1</p><p>2 = 3 ⇒ 𝑥1 = ±√3</p><p>𝑦2 = 𝑥2</p><p>2 ⇒ 𝑥2</p><p>2 = 2 ⇒ 𝑥2 = ±√2</p><p>O que fizemos foi mudar a aparência da equação inicial para recair em um problema</p><p>conhecido. Então, transformar uma equação algébrica 𝑃1(𝑥) = 0 em uma outra 𝑃2(𝑦) =</p><p>0 significa obter uma lei de transformação 𝑦 = 𝑓(𝑥) tal que as raízes das equações estejam</p><p>relacionadas.</p><p>Definimos a equação original 𝑃1(𝑥) = 0 como equação primitiva e a equação resultante</p><p>𝑃2(𝑦) = 0 como equação transformada. Vamos estudar os principais tipos de transformações e</p><p>algumas propriedades relacionadas a elas.</p><p>5.1. TRANSFORMADA ADITIVA</p><p>A transformação aditiva é uma relação de transformação do tipo:</p><p>𝑦 = 𝑥 + 𝑎</p><p>Em que 𝑎 ∈ ℂ é uma constante.</p><p>Nessa transformação, a equação transformada 𝑃2(𝑦) = 0 terá as raízes de 𝑃1(𝑥) = 0</p><p>acrescidas de uma constante 𝑎.</p><p>Exemplo:</p><p>6.1.a) 𝑃1(𝑥) = 𝑥</p><p>3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0</p><p>Façamos a transformação 𝑦 = 𝑥 + 1.</p><p>Dessa relação, temos:</p><p>𝑥 = 𝑦 − 1</p><p>Substituindo em 𝑃1:</p><p>𝑃1(𝑥) = 𝑃1(𝑦 − 1) = (𝑦 − 1)</p><p>3 + 2(𝑦 − 1)2 − 3(𝑦 − 1) − 4 = 0</p><p>Assim, obtemos a equação transformada na variável 𝑦:</p><p>𝑃2(𝑦) = 𝑦</p><p>3 − 𝑦2 − 4𝑦 = 0</p><p>26</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Que pode ser escrita na variável 𝑥:</p><p>𝑃2(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)</p><p>3 − (𝑥 + 1)2 − 4(𝑥 + 1) = 0</p><p>É possível obter esta transformação diretamente pelo algoritmo de Horner-Ruffini, este é</p><p>parecido com o algoritmo de Briot-Ruffini. Vejamos.</p><p>5.1.1. ALGORITMO DE HORNER-RUFFINI</p><p>Antes de aprendermos o algoritmo, relembremos o conceito de divisões sucessivas.</p><p>Dado um polinômio 𝑃1(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, vamos analisar as</p><p>divisões sucessivas deste polinômio pelo divisor 𝑥 + 𝑎. Pela definição de divisão:</p><p>𝑃1(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)𝑄1(𝑥) + 𝑅1</p><p>O quociente da divisão é de grau 𝑛 − 1 e o resto é uma constante.</p><p>Procedendo com a divisão e dividindo 𝑄1 por 𝑥 + 𝑎, obtemos 𝑄2 tal que 𝜕𝑄2 = 𝑛 − 2:</p><p>𝑄1(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)𝑄2(𝑥) + 𝑅2</p><p>Substituindo essa identidade em 𝑃1:</p><p>𝑃1(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)[(𝑥 + 𝑎)𝑄2(𝑥) + 𝑅2] + 𝑅1</p><p>𝑃1(𝑥) = 𝑄2(𝑥)(𝑥 + 𝑎)</p><p>2 + 𝑅2(𝑥 + 𝑎) + 𝑅1</p><p>Continuando com a divisão sucessiva, obtemos da divisão de 𝑄2 por 𝑥 + 𝑎:</p><p>𝑄2(𝑥) = (𝑥 + 𝑎)𝑄3(𝑥) + 𝑅3</p><p>Substituindo em 𝑃1:</p><p>𝑃1(𝑥) = [(𝑥 + 𝑎)𝑄3(𝑥) + 𝑅3](𝑥 + 𝑎)</p><p>2 + 𝑅2(𝑥 + 𝑎) + 𝑅1</p><p>𝑃1(𝑥) = 𝑄3(𝑥)(𝑥 + 𝑎)</p><p>3 + 𝑅3(𝑥 + 𝑎)</p><p>2 + 𝑅2(𝑥 + 𝑎) + 𝑅1</p><p>Assim, fazendo as divisões sucessivas e as respectivas substituições, obtemos:</p><p>𝑃1(𝑥) = 𝑄𝑛(𝑥 + 𝑎)</p><p>𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥 + 𝑎)</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑅2(𝑥 + 𝑎) + 𝑅1</p><p>Com base nisso, temos o dispositivo prático de Horner-Ruffini:</p><p>−𝑎 𝑃1</p><p>−𝑎 𝑄1 𝑅1</p><p>−𝑎 𝑄2 𝑅2</p><p>⋯</p><p>𝑄𝑛 𝑅𝑛</p><p>27</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Perceba que esse algoritmo é baseado nas divisões sucessivas. Para cada linha, obteremos</p><p>um resto 𝑅𝑖 e estes serão os coeficientes dos termos (𝑥 + 𝑎)𝑖−1. O coeficiente do termo (𝑥 + 𝑎)𝑛</p><p>será o quociente da última divisão. Note que serão 𝑛 restos resultantes de 𝑛 divisões sucessivas.</p><p>Vejamos um exemplo.</p><p>6.1.1.a) Façamos a transformação do polinômio do exemplo anterior 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 − 4</p><p>em potências crescentes de 𝑥 + 1.</p><p>Como o polinômio possui grau 3, devemos fazer 3 divisões sucessivas. Pelo algoritmo de</p><p>Horner-Ruffini:</p><p>−1 1 2 −3 −4</p><p>−1 1 1 −4 0 = 𝑅1</p><p>−1 1 0 −4 = 𝑅2</p><p>1 = 𝑄3 −1 = 𝑅3</p><p>𝑃1(𝑥) = 𝑄3(𝑥 + 1)</p><p>3 + 𝑅3(𝑥 + 1)</p><p>2 + 𝑅2(𝑥 + 1) + 𝑅1</p><p>𝑃1(𝑥) = (𝑥 + 1)</p><p>3 − (𝑥 + 1)2 − 4(𝑥 + 1)</p><p>5.2. TRANSFORMADA MULTIPLICATIVA</p><p>A transformação multiplicativa é uma relação de transformação do tipo:</p><p>𝑦 = 𝑘𝑥; 𝑘 ≠ 0</p><p>Em que 𝑘 ∈ ℂ é uma constante.</p><p>Nessa transformação, a equação transformada 𝑃2(𝑦) = 0 terá as raízes de 𝑃1(𝑥) = 0</p><p>multiplicadas por uma constante 𝑘.</p><p>Exemplo.</p><p>6.2.a) Obtenha a equação cujas raízes são os triplos das raízes de 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6 =</p><p>0.</p><p>Queremos uma transformação do tipo 𝑦 = 3𝑥. Fazendo a substituição 𝑥 = 𝑦/3:</p><p>(</p><p>𝑦</p><p>3</p><p>)</p><p>3</p><p>− 6(</p><p>𝑦</p><p>3</p><p>)</p><p>2</p><p>+ 11 (</p><p>𝑦</p><p>3</p><p>) − 6 = 0</p><p>𝑦3</p><p>27</p><p>−</p><p>2𝑦2</p><p>3</p><p>+</p><p>11𝑦</p><p>3</p><p>− 6 = 0</p><p>Eliminando os denominadores, obtemos a equação pedida:</p><p>𝑦3 − 18𝑦2 + 99𝑦 − 162 = 0</p><p>28</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>5.3. TRANSFORMADA INVERSA OU RECÍPROCA</p><p>A transformação recíproca é uma relação de transformação</p><p>do tipo:</p><p>𝑦 =</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>; 𝑥 ≠ 0</p><p>Nessa transformação, as raízes da equação resultante serão os inversos das raízes da</p><p>equação original.</p><p>Exemplo:</p><p>6.3.a) Obtenha uma equação cujas raízes são inversas das raízes de 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 5 =</p><p>0.</p><p>Queremos uma transformação do tipo 𝑦 = 1/𝑥, fazendo a substituição:</p><p>(</p><p>1</p><p>𝑦</p><p>)</p><p>3</p><p>− 2(</p><p>1</p><p>𝑦</p><p>)</p><p>2</p><p>+ (</p><p>1</p><p>𝑦</p><p>) − 5 = 0</p><p>1</p><p>𝑦3</p><p>−</p><p>2</p><p>𝑦2</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑦</p><p>− 5 = 0</p><p>⇒ −5𝑦3 + 𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 0</p><p>Perceba que em uma transformação recíproca, mudamos a ordem dos coeficientes e</p><p>substituímos 𝑥 por 𝑦.</p><p>6. EQUAÇÕES RECÍPROCAS</p><p>Dizemos que uma equação polinomial 𝑃(𝑥) = 0 é recíproca se, e somente se, a sua</p><p>transformada recíproca 𝑃 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) = 0 for equivalente à equação original.</p><p>Exemplo:</p><p>6.a) 𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0</p><p>𝑃 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) = (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>)</p><p>4</p><p>− 2(</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>)</p><p>3</p><p>+ (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>)</p><p>2</p><p>− 2(</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) + 1 = 0</p><p>𝑃 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) =</p><p>1</p><p>𝑥4</p><p>−</p><p>2</p><p>𝑥3</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>−</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>+ 1 = 0</p><p>Multiplicando a equação por 𝑥4:</p><p>𝑃 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0</p><p>𝑃(𝑥) = 0 e 𝑃 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) = 0 são equações equivalentes, logo 𝑃(𝑥) = 0 é uma equação recíproca.</p><p>29</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>6.1. TEOREMA FUNDAMENTAL</p><p>Se a equação recíproca admite 𝛼 ∈ ℂ∗ como raiz de multiplicidade 𝑚, então 1/𝛼 também</p><p>será raiz com a mesma multiplicidade.</p><p>Exemplo:</p><p>6.1.a) 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 3𝑥 + 2 é uma equação que admite 2 como raiz. Como ela é</p><p>recíproca, a outra raiz da equação é 1/2.</p><p>6.1.b) 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 3) (𝑥 −</p><p>1</p><p>3</p><p>) (𝑥 − 1) é uma equação recíproca que admite 3 e 1/3 como</p><p>raízes.</p><p>Agora que sabemos o que é uma equação recíproca, vamos aprender a reconhecer quando</p><p>uma equação é recíproca.</p><p>Seja a equação polinomial dada por</p><p>𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥</p><p>𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥</p><p>𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥</p><p>2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0</p><p>A sua transformada recíproca é</p><p>𝑃 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥 + ⋯+ 𝑎2𝑥</p><p>𝑛−2 + 𝑎1𝑥</p><p>𝑛−1 + 𝑎0𝑥</p><p>𝑛</p><p>Se 𝑃(𝑥) = 0 é uma equação recíproca, então 𝑃(𝑥) = 0 e 𝑃 (</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) = 0 são equações</p><p>equivalentes, logo, os coeficientes dessas equações são proporcionais. Sendo 𝑘 a constante de</p><p>proporcionalidade, então, igualando-se os coeficientes das respectivas equações:</p><p>{</p><p>𝑎𝑛 = 𝑘𝑎0</p><p>𝑎𝑛−1 = 𝑘𝑎1</p><p>𝑎𝑛−2 = 𝑘𝑎2</p><p>⋮</p><p>𝑎𝑛−𝑚 = 𝑘𝑎𝑚</p><p>⋮</p><p>𝑎𝑚 = 𝑘𝑎𝑛−𝑚</p><p>⋮</p><p>𝑎0 = 𝑘𝑎𝑛</p><p>Tomando-se, sem perda de generalidade, 𝑎𝑚 = 𝑘𝑎𝑛−𝑚 e 𝑎𝑛−𝑚 = 𝑘𝑎𝑚, com 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛,</p><p>temos:</p><p>𝑎𝑚 = 𝑘(𝑘𝑎𝑚) ⇒ 𝑎𝑚 = 𝑘</p><p>2𝑎𝑚 ⇒ 𝑘</p><p>2 = 1</p><p>Assim, obtemos 𝑘 = 1 ou 𝑘 = −1.</p><p>Essas são as únicas possibilidades de constantes para as equações recíprocas.</p><p>Para 𝒌 = 𝟏, temos que os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos da</p><p>equação recíproca 𝑃(𝑥) = 0 são iguais:</p><p>30</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Essa equação é chamada de equação recíproca de primeira espécie.</p><p>Para 𝒌 = −𝟏, temos que os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos da</p><p>equação recíproca 𝑃(𝑥) = 0 são opostos ou simétricos (mesmo módulo mas com sinais</p><p>trocados):</p><p>Essa equação é chamada de equação recíproca de segunda espécie.</p><p>6.2. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO RECÍPROCA</p><p>Até agora vimos a definição de equação recíproca e como classificá-la. Vamos aprender a</p><p>resolver cada tipo de equação recíproca que pode ser cobrada na prova. Sem perda de</p><p>generalidade, veremos como resolver as equações para graus menores, a resolução para graus</p><p>maiores usará a mesma ideia.</p><p>6.2.1. 1ª ESPÉCIE E GRAU PAR</p><p>Seja a equação 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0. Para resolver essa equação, dividimos a</p><p>equação por 𝑥2:</p><p>𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 +</p><p>𝑏</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>𝑎</p><p>𝑥2</p><p>= 0</p><p>Associamos o coeficiente dos termos equidistantes:</p><p>𝑎 (𝑥2 +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>) + 𝑏 (𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>) + 𝑐 = 0</p><p>Fazemos a transformação:</p><p>𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>= 𝑦</p><p>𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜</p><p>⇒ 𝑥2 +</p><p>2𝑥</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>= 𝑦2 ⇒ 𝑥2 +</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>= 𝑦2 − 2</p><p>E obtemos uma equação do segundo grau em 𝑦:</p><p>𝑎(𝑦2 − 2) + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0</p><p>31</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐 − 2𝑎 = 0</p><p>Essa equação resultará em duas raízes 𝑦1 e 𝑦2. Para cada uma dessas raízes, encontramos</p><p>uma equação em 𝑥:</p><p>𝑦1 = 𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>⇒ 𝑥2 − 𝑦1𝑥 + 1 = 0</p><p>𝑦2 = 𝑥 +</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>⇒ 𝑥2 − 𝑦2𝑥 + 1 = 0</p><p>Resolvendo essas equações, encontramos a solução da equação.</p><p>6.2.2. 1ª ESPÉCIE E GRAU ÍMPAR</p><p>Seja a equação 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 + 𝑐𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0. Note que −1 é raiz dessa equação:</p><p>𝑎(−1)5 + 𝑏(−1)4 + 𝑐(−1)3 + 𝑐(−1)2 + 𝑏(−1) + 𝑎</p><p>= −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑐 − 𝑏 + 𝑎 = 0</p><p>Assim, podemos aplicar o dispositivo prático de Briot-Ruffini para simplificar a equação:</p><p>−1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑏 𝑎</p><p>𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 𝑏 − 𝑎 𝑎 0</p><p>Obtemos a seguinte equação:</p><p>(𝑥 + 1) [𝑎𝑥4 + (𝑏 − 𝑎)𝑥3 + (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥2 + (𝑏 − 𝑎)𝑥 + 𝑎]⏟</p><p>1ª 𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑟</p><p>= 0</p><p>𝑎𝑥4 + (𝑏 − 𝑎)𝑥3 + (𝑎 − 𝑏 + 𝑐)𝑥2 + (𝑏 − 𝑎)𝑥 + 𝑎 = 0 é uma equação recíproca de 1ª</p><p>espécie de grau par e já aprendemos como resolver esse tipo de equação.</p><p>Portanto, quando encontrarmos uma equação recíproca de 1ª espécie de grau ímpar,</p><p>temos que −1 será raiz da equação e, assim, podemos fatorá-lo usando o algoritmo de Briot-</p><p>Ruffini. A equação resultante terá como fator uma equação recíproca de grau par, cuja solução é</p><p>conhecida.</p><p>6.2.3. 2ª ESPÉCIE E GRAU PAR</p><p>Seja a equação 𝑎𝑥6 + 𝑏𝑥5 + 𝑐𝑥4 − 𝑐𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0. Essa é uma equação recíproca de</p><p>2ª espécie de grau par. Note que ela possui o termo central nulo (coeficiente de 𝑥3 é zero). Nesse</p><p>caso, 1 e −1 são raízes. Assim, podemos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para fatorá-lo.</p><p>32</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>−1 𝑎 𝑏 𝑐 0 −𝑐 −𝑏 −𝑎</p><p>1 𝑎 𝑏 − 𝑎 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 −𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑎 − 𝑏 −𝑎 0</p><p>𝑎 𝑏 𝑎 + 𝑐 𝑏 𝑎 0</p><p>Obtemos a seguinte equação:</p><p>(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) [𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + (𝑎 + 𝑐)𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎]⏟</p><p>1ª 𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑟</p><p>= 0</p><p>Assim, basta resolver a equação recíproca 1ª espécie de grau par para encontrar as outras</p><p>raízes.</p><p>6.2.4. 2ª ESPÉCIE E GRAU ÍMPAR</p><p>Seja a equação 𝑎𝑥5 + 𝑏𝑥4 + 𝑐𝑥3 − 𝑐𝑥2 − 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0. Perceba que 1 é raiz da equação,</p><p>pois a soma dos coeficientes é zero:</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑐 − 𝑏 − 𝑎 = 0</p><p>Assim, podemos aplicar Briot-Ruffini:</p><p>1 𝑎 𝑏 𝑐 −𝑐 −𝑏 −𝑎</p><p>𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑎 0</p><p>Obtemos a seguinte equação:</p><p>(𝑥 − 1) [𝑎𝑥4 + (𝑎 + 𝑏)𝑥3 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎]⏟</p><p>1ª 𝑒𝑠𝑝é𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑝𝑎𝑟</p><p>= 0</p><p>Para encontrar as outras raízes, basta resolver a equação de 1ª espécie de grau par.</p><p>33</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>7. QUESTÕES NÍVEL 1</p><p>1. (EEAR/2016)</p><p>Dada a equação 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 e sabendo que 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são raízes dessa equação, o valor</p><p>do produto 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄 é</p><p>a) 𝟏</p><p>b) −𝟏</p><p>c)</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>d) −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>2. (EEAR/2015)</p><p>Seja a equação 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 = 𝟎. Usando as relações de Girard, pode-se encontrar como</p><p>soma das raízes o valor</p><p>a) 12</p><p>b) 7</p><p>c) 5</p><p>d) 2</p><p>3. (EEAR/2012)</p><p>Seja a equação polinomial 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎. Se 𝑺 e 𝑷 são, respectivamente, a soma e o</p><p>produto de suas raízes, então</p><p>a) 𝑺 = 𝑷</p><p>b) 𝑺 = 𝟐𝑷</p><p>c) 𝑺 = 𝟐 e 𝑷 = −𝟒</p><p>d) 𝑺 = −𝟐 e 𝑷 = 𝟒</p><p>4. (EEAR/2000)</p><p>Dada a equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎 e sendo 𝒂, 𝒃 e 𝒄 as suas raízes, o valor da soma 𝒂𝟐𝒃𝒄 +</p><p>𝒂𝒃𝟐𝒄 + 𝒂𝒃𝒄𝟐 é:</p><p>a) 𝟐𝟎𝟎</p><p>b) −𝟐𝟎𝟎</p><p>c) 𝟒𝟎𝟎</p><p>34</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>d) −𝟒𝟎𝟎</p><p>5. (ESA/2006)</p><p>Seja 𝒙𝟐 + (𝒒 − 𝟑)𝒙 − 𝒒 − 𝟐 = 𝟎. O valor de 𝒒 que torna mínima a soma dos quadrados das raízes</p><p>da equação é:</p><p>a) 4</p><p>b) -2</p><p>c) -4</p><p>d) 2</p><p>e) 0</p><p>6. (ESA/2006)</p><p>A soma dos inversos das raízes da equação do 2º grau:</p><p>𝒙𝟐 − 𝟐(𝜶 + 𝟏)𝒙 + (𝜶 + 𝟑)</p><p>= 𝟎</p><p>é igual a 𝟒. Se nesta equação 𝜶 é constante, podemos afirmar que 𝜶𝟐 é:</p><p>a) 16</p><p>b) 1</p><p>c) 25</p><p>d) 9</p><p>e) 4</p><p>7. (EsPCEx/2011)</p><p>As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes da equação polinomial</p><p>𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝟒𝒙 − 𝟗𝟔 = 𝟎. Denominando-se 𝒓, 𝒔 e 𝒕 essas medidas, se for construído um novo</p><p>bloco retangular, com arestas medindo (𝒓 − 𝟏), (𝒔 − 𝟏) e (𝒕 − 𝟏), ou seja, cada aresta medindo</p><p>𝟏 𝒄𝒎 a menos que a do bloco anterior, a medida do volume desse novo bloco será</p><p>a) 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟑</p><p>b) 𝟒𝟓 𝒄𝒎𝟑</p><p>c) 𝟓𝟒 𝒄𝒎𝟑</p><p>d) 𝟔𝟎 𝒄𝒎𝟑</p><p>e) 𝟖𝟎 𝒄𝒎𝟑</p><p>35</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>8. (EEAR/2011)</p><p>Seja 𝒓 a maior raiz da equação 𝒙(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)𝟑 = 𝟎. Se 𝒎 é a multiplicidade de 𝒓, então 𝒓 ⋅ 𝒎 é</p><p>igual a</p><p>a) 6</p><p>b) 5</p><p>c) 4</p><p>d) 3</p><p>9. (EEAR/2011)</p><p>Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números −𝟐,𝟎, 𝟐 e 𝟏 + 𝒊. O</p><p>menor grau que essa equação pode ter é</p><p>a) 6</p><p>b) 5</p><p>c) 4</p><p>d) 3</p><p>10. (EEAR/2014)</p><p>A equação (𝒙𝟐 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) = 𝟎 tem raízes reais.</p><p>a) 3</p><p>b) 2</p><p>c) 1</p><p>d) 0</p><p>11. (EEAR/2018)</p><p>Se os números 𝟐, 𝟓, 𝟏 + 𝒊 e 𝟑 − 𝟓𝒊 são raízes de uma equação polinomial de grau 𝟔, a soma das</p><p>outras duas raízes dessa equação é</p><p>a) 𝟒 + 𝟒𝒊</p><p>b) 𝟒 + 𝟑𝒊</p><p>c) 𝟑 + 𝟒𝒊</p><p>d) 𝟑 + 𝟑𝒊</p><p>36</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>12. (EEAR/2019)</p><p>Seja a equação polinomial 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎. Se −𝟐 e 𝟑 são suas raízes, sendo que a raiz 𝟑</p><p>tem multiplicidade 2, o valor de 𝒃 é</p><p>a) 8</p><p>b) 6</p><p>c) -3</p><p>d) -4</p><p>13. (EEAR/2003)</p><p>Dentro do conjunto dos números complexos, a equação 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝟎 tem como soluções</p><p>a) ±𝟐 e ±𝒊</p><p>b) ±√𝟐 e ±𝒊</p><p>c) ±𝟏 e 𝒊√𝟐</p><p>d) ±𝟏 e ±𝒊</p><p>14. (EEAR/2010)</p><p>Se a maior das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔 = 𝟎 é igual à soma das outras duas, então</p><p>seu valor é divisor de</p><p>a) 10</p><p>b) 16</p><p>c) 18</p><p>d) 20</p><p>15. (EEAR/2006)</p><p>A equação, cujas raízes são −√𝟐, +√𝟐, −√𝟓 e +√𝟓, é 𝒙𝟒 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝟎. O valor de |𝒂 + 𝒃| é</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) 4</p><p>d) 5</p><p>37</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>16. (EEAR/2001)</p><p>Uma das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖 = 𝟎 é a soma das outras duas. A maior raiz</p><p>dessa equação é</p><p>a) 7</p><p>b) 6</p><p>c) 4</p><p>d) 2</p><p>17. (EEAR/2003)</p><p>Se a diferença entre os quadrados das raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝒄 = 𝟎 é</p><p>𝟑𝟓</p><p>𝟗</p><p>, então o valor de 𝒄</p><p>é</p><p>a) −</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>b) −𝟐</p><p>c)</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>d) 𝟐</p><p>18. (ESA/2017)</p><p>Se 𝟐 + 𝟑𝒊 é raiz de uma equação algébrica 𝑷(𝒙) = 𝟎, de coeficientes reais, então podemos afirmar</p><p>que:</p><p>a) 𝟑 − 𝟐𝒊 também é raiz da mesma equação.</p><p>b) 𝟐 − 𝟑𝒊 também é raiz da mesma equação.</p><p>c) 𝟐 também é raiz da mesma equação.</p><p>d) −𝟑𝒊 também é raiz da mesma equação.</p><p>e) 𝟑 + 𝟐𝒊 também é raiz da mesma equação.</p><p>19. (EsPCEx/2011)</p><p>Seja a função complexa 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 − 𝟓. Sabendo-se que 𝟐 + 𝒊 é raiz de 𝑷, o intervalo</p><p>𝑰 de números reais que faz 𝑷(𝒙) < 𝟎, para todo 𝒙 ∈ 𝑰 é</p><p>a) ] − ∞,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>[</p><p>b) ]𝟎, 𝟏[</p><p>c) ]</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>, 𝟐[</p><p>38</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>d) ]𝟎, +∞[</p><p>e) ] −</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>,</p><p>𝟑</p><p>𝟒</p><p>[</p><p>GABARITO</p><p>1. b</p><p>2. c</p><p>3. a</p><p>4. b</p><p>5. d</p><p>6. c</p><p>7. b</p><p>8. d</p><p>9. b</p><p>10. b</p><p>11. a</p><p>12. d</p><p>13. b</p><p>14. c</p><p>15. b</p><p>16. b</p><p>17. d</p><p>18. b</p><p>19. a</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>1. (EEAR/2016)</p><p>Dada a equação 𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 e sabendo que 𝒂, 𝒃 e 𝒄 são raízes dessa equação, o valor</p><p>do produto 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄 é</p><p>a) 𝟏</p><p>b) −𝟏</p><p>c)</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>d) −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>Comentários</p><p>Utilizando as Relações de Girard, o produto das raízes da equação 𝟑𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 𝟑 = 0 é</p><p>dado por</p><p>39</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = −</p><p>𝟑</p><p>𝟑</p><p>= −1</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>2. (EEAR/2015)</p><p>Seja a equação 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟑 = 𝟎. Usando as relações de Girard, pode-se encontrar como</p><p>soma das raízes o valor</p><p>a) 12</p><p>b) 7</p><p>c) 5</p><p>d) 2</p><p>Comentários</p><p>Utilizando as Relações de Girard, a soma das raízes da equação 𝟏𝑥3 − 𝟓𝑥2 + 7𝑥 − 3 = 0 é</p><p>dada por</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −</p><p>(−𝟓)</p><p>𝟏</p><p>= 5</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>3. (EEAR/2012)</p><p>Seja a equação polinomial 𝟐𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎. Se 𝑺 e 𝑷 são, respectivamente, a soma e o</p><p>produto de suas raízes, então</p><p>a) 𝑺 = 𝑷</p><p>b) 𝑺 = 𝟐𝑷</p><p>c) 𝑺 = 𝟐 e 𝑷 = −𝟒</p><p>d) 𝑺 = −𝟐 e 𝑷 = 𝟒</p><p>Comentários</p><p>Utilizando as Relações de Girard, a soma das raízes da equação 𝟐𝑥3 + 𝟒𝑥2 − 2𝑥 + 4 = 0 é</p><p>dada por</p><p>𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −</p><p>𝟒</p><p>𝟐</p><p>= −2</p><p>E, o produto das raízes da equação 𝟐𝑥3 + 4𝑥2 − 2𝑥 + 𝟒 = 0 é dado por</p><p>𝑃 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = −</p><p>𝟒</p><p>𝟐</p><p>= −2</p><p>40</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Logo, 𝑆 = 𝑃</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>4. (EEAR/2000)</p><p>Dada a equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟎 = 𝟎 e sendo 𝒂, 𝒃 e 𝒄 as suas raízes, o valor da soma 𝒂𝟐𝒃𝒄 +</p><p>𝒂𝒃𝟐𝒄 + 𝒂𝒃𝒄𝟐 é:</p><p>a) 𝟐𝟎𝟎</p><p>b) −𝟐𝟎𝟎</p><p>c) 𝟒𝟎𝟎</p><p>d) −𝟒𝟎𝟎</p><p>Comentários</p><p>𝑎2𝑏𝑐 + 𝑎𝑏2𝑐 + 𝑎𝑏𝑐2 = (𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐) ⋅ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)</p><p>Utilizando as Relações de Girard, a soma das raízes da equação 𝟏𝑥3 − 𝟏𝟎𝑥2 − 2𝑥 + 20 =</p><p>0 é dada por</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −</p><p>(−𝟏𝟎)</p><p>𝟏</p><p>= 10</p><p>E, o produto das raízes da equação 𝟏𝑥3 − 10𝑥2 − 2𝑥 + 𝟐𝟎 = 0 é dado por</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = −</p><p>𝟐𝟎</p><p>𝟏</p><p>= −20</p><p>Portanto,</p><p>(𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐) ⋅ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = (−20) ⋅ (10) = −200</p><p>𝑎2𝑏𝑐 + 𝑎𝑏2𝑐 + 𝑎𝑏𝑐2 = −200</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>5. (ESA/2006)</p><p>Seja 𝒙𝟐 + (𝒒 − 𝟑)𝒙 − 𝒒 − 𝟐 = 𝟎. O valor de 𝒒 que torna mínima a soma dos quadrados das raízes</p><p>da equação é:</p><p>a) 4</p><p>b) -2</p><p>c) -4</p><p>d) 2</p><p>e) 0</p><p>Comentários</p><p>41</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Utilizando as Relações De Girard. Sejam 𝑎 e 𝑏 raízes do polinômio:</p><p>𝑎 + 𝑏 = −</p><p>𝑞 − 3</p><p>1</p><p>= 3 − 𝑞</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 =</p><p>−𝑞 − 2</p><p>1</p><p>= −2 − 𝑞</p><p>Sendo assim, vejamos agora o valor de 𝑎2 + 𝑏2</p><p>(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2</p><p>⇒ 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 2 ⋅ (𝑎 ⋅ 𝑏)</p><p>𝑎2 + 𝑏2 = (3 − 𝑞)2 − 2 ⋅ (−2 − 𝑞)</p><p>= 9 − 6𝑞 + 𝑞2 + 4 + 2𝑞 =</p><p>⇒ 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑓(𝑞) = 𝑞2 − 4𝑞 + 13</p><p>Devemos encontrar o valor de 𝑞 tal que 𝑓(𝑞) seja mínimo. O valor da abcissa do vértice da</p><p>parábola é dado por:</p><p>𝑞𝑚𝑖𝑛 = −</p><p>𝑏</p><p>2𝑎</p><p>𝑞𝑚𝑖𝑛 = −</p><p>−4</p><p>2 ⋅ 1</p><p>= 2</p><p>𝑞𝑚𝑖𝑛 = 2</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>6. (ESA/2006)</p><p>A soma dos inversos das raízes da equação do 2º grau:</p><p>𝒙𝟐 − 𝟐(𝜶 + 𝟏)𝒙 + (𝜶 + 𝟑) = 𝟎</p><p>é igual a 𝟒. Se nesta equação 𝜶 é constante, podemos afirmar que 𝜶𝟐 é:</p><p>a) 16</p><p>b) 1</p><p>c) 25</p><p>d) 9</p><p>e) 4</p><p>Comentários</p><p>Utilizando as Relações De Girard. Sejam 𝑎 e 𝑏 raízes do polinômio:</p><p>42</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑎 + 𝑏 = −</p><p>−2(𝛼 + 1)</p><p>1</p><p>= 2(𝛼 + 1)</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 =</p><p>(𝛼 + 3)</p><p>1</p><p>= (𝛼 + 3)</p><p>Sendo assim:</p><p>1</p><p>𝑎</p><p>+</p><p>1</p><p>𝑏</p><p>=</p><p>𝑏 + 𝑎</p><p>𝑎𝑏</p><p>=</p><p>2(𝛼 + 1)</p><p>(𝛼 + 3)</p><p>= 4</p><p>2𝛼 + 2 = 4𝛼 + 12</p><p>2𝛼 + 10 = 0</p><p>𝛼 = −5</p><p>Portanto,</p><p>𝛼2 = (−5)2 = 25</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>7. (EsPCEx/2011)</p><p>As medidas em centímetros das arestas de um bloco retangular são as raízes da equação polinomial</p><p>𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝟒𝒙 − 𝟗𝟔 = 𝟎. Denominando-se 𝒓, 𝒔 e 𝒕 essas medidas, se for construído um novo</p><p>bloco retangular, com arestas medindo (𝒓 − 𝟏), (𝒔 − 𝟏) e (𝒕 − 𝟏), ou seja, cada aresta medindo</p><p>𝟏 𝒄𝒎 a menos que a do bloco anterior, a medida do volume desse novo bloco será</p><p>a) 𝟑𝟔 𝒄𝒎𝟑</p><p>b) 𝟒𝟓 𝒄𝒎𝟑</p><p>c) 𝟓𝟒 𝒄𝒎𝟑</p><p>d) 𝟔𝟎 𝒄𝒎𝟑</p><p>e) 𝟖𝟎 𝒄𝒎𝟑</p><p>Comentários</p><p>Desenvolvendo o produto, obtemos:</p><p>𝑉 = (𝑟 − 1) ⋅ (𝑠 − 1) ⋅ (𝑡 − 1) =</p><p>𝑉 = (𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡) − (𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡) + (𝑟 + 𝑠 + 𝑡) − 1</p><p>Aplicando as Relações de Girard no polinômio, obtemos que:</p><p>43</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>{</p><p>𝑟 + 𝑠 + 𝑡 = −</p><p>−14</p><p>1</p><p>= 14</p><p>𝑟𝑠 + 𝑟𝑡 + 𝑠𝑡 =</p><p>64</p><p>1</p><p>= 64</p><p>𝑟𝑠𝑡 = −</p><p>−96</p><p>1</p><p>= 96</p><p>Portanto:</p><p>𝑉 = (96) − (64) + (14) − 1 = 45</p><p>𝑉 = 45 𝑐𝑚3</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>8. (EEAR/2011)</p><p>Seja 𝒓 a maior raiz da equação 𝒙(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏)𝟑 = 𝟎. Se 𝒎 é a multiplicidade de 𝒓, então 𝒓 ⋅ 𝒎 é</p><p>igual a</p><p>a) 6</p><p>b) 5</p><p>c) 4</p><p>d) 3</p><p>Comentários</p><p>O polinômio 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)3 possui raízes:</p><p>{</p><p>0 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 1</p><p>−2 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 1</p><p>1 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 3</p><p>A maior das raízes é 𝑟 = 1, logo 𝑚 = 3</p><p>𝑟 ⋅ 𝑚 = 1 ⋅ 3 = 3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>9. (EEAR/2011)</p><p>Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números −𝟐,𝟎, 𝟐 e 𝟏 + 𝒊. O</p><p>menor grau que essa equação pode ter é</p><p>a) 6</p><p>b) 5</p><p>c) 4</p><p>d) 3</p><p>Comentários</p><p>44</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Primeiramente, sendo os coeficientes reais, as raízes complexas veem aos pares. Sendo</p><p>assim, se 1 + 𝑖 é raiz, então (1 + 𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 1 − 𝑖 também é raiz.</p><p>Portanto, temos um total de 5 raízes para o polinômio, o grau mínimo deste polinômio</p><p>deve ser 5.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>10. (EEAR/2014)</p><p>A equação (𝒙𝟐 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) = 𝟎 tem raízes reais.</p><p>a) 3</p><p>b) 2</p><p>c) 1</p><p>d) 0</p><p>Comentários</p><p>Perceba que (𝑥2 + 3) não fornece raízes reais, pois:</p><p>(𝑥2 + 3)(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0</p><p>⇒ (𝑥2 + 3) = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −1</p><p>𝑥2 + 3 = 0</p><p>𝑥2 = −3</p><p>𝑥 = ±√3𝑖</p><p>Dentre as raízes apresentadas, apenas 2 delas são reais.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>11. (EEAR/2018)</p><p>Se os números 𝟐, 𝟓, 𝟏 + 𝒊 e 𝟑 − 𝟓𝒊 são raízes de uma equação polinomial de grau 𝟔, a soma das</p><p>outras duas raízes dessa equação é</p><p>a) 𝟒 + 𝟒𝒊</p><p>b) 𝟒 + 𝟑𝒊</p><p>c) 𝟑 + 𝟒𝒊</p><p>d) 𝟑 + 𝟑𝒊</p><p>Comentários</p><p>Considere que os coeficientes do polinômio são números reais. Lembre-se que as raízes</p><p>complexas vêm aos pares. Se um complexo é raiz, o seu conjugado também é.</p><p>45</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>⇒ {</p><p>(1 + 𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 1 − 𝑖</p><p>(3 − 5𝑖)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 3 + 5𝑖</p><p>𝑠ã𝑜 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠</p><p>Portanto,</p><p>(1 − 𝑖) + (3 + 5𝑖) = 4 + 4𝑖</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>12. (EEAR/2019)</p><p>Seja a equação polinomial 𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄𝒙 + 𝟏𝟖 = 𝟎. Se −𝟐 e 𝟑 são suas raízes, sendo que a raiz 𝟑</p><p>tem multiplicidade 2, o valor de 𝒃 é</p><p>a) 8</p><p>b) 6</p><p>c) -3</p><p>d) -4</p><p>Comentários</p><p>Utilizaremos os conceitos de igualdade de polinômios:</p><p>𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 18 = (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥 − 3)2 = 0</p><p>= (𝑥 + 2) ⋅ (𝑥2 − 6𝑥 + 9) =</p><p>⇒ 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 18 = 𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 18</p><p>⇒ {</p><p>𝑏 = −4</p><p>𝑐 = −3</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>13. (EEAR/2003)</p><p>Dentro do conjunto dos números complexos, a equação 𝒙𝟒 − 𝒙𝟐 − 𝟐 = 𝟎 tem como soluções</p><p>a) ±𝟐 e ±𝒊</p><p>b) ±√𝟐 e ±𝒊</p><p>c) ±𝟏 e 𝒊√𝟐</p><p>d) ±𝟏 e ±𝒊</p><p>Comentários</p><p>Considere 𝑦 = 𝑥2</p><p>𝑥4 − 𝑥2 − 2 = 𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0</p><p>Resolvendo a equação de 2º grau em 𝑦, obtemos:</p><p>46</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>{</p><p>𝑦1 = 2</p><p>𝑦2 = −1</p><p>⇒ { 𝑥</p><p>2 = 2</p><p>𝑥2 = −1</p><p>⇒ {𝑥 = ±√2</p><p>𝑥 = ±𝑖</p><p>Portanto, as raízes são ±√2 e ±𝑖.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>14. (EEAR/2010)</p><p>Se a maior das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 − 𝟔 = 𝟎 é igual à soma das outras duas, então</p><p>seu valor é divisor de</p><p>a) 10</p><p>b) 16</p><p>c) 18</p><p>d) 20</p><p>Comentários</p><p>Sejam as raízes 𝑎, 𝑏 e 𝑐, tal que 𝑐 = 𝑎 + 𝑏</p><p>Pelas Relações de Girard:</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −</p><p>−6</p><p>1</p><p>= 6</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 = 2(𝑎 + 𝑏) = 6</p><p>2 ⋅ 𝑐 = 6 ⇒ 𝑐 = 3</p><p>Logo, a maior raiz vale 3 e, analisando as alternativas, obtemos que 3 é divisor de 18 (item c)</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>15. (EEAR/2006)</p><p>A equação, cujas raízes são −√𝟐, +√𝟐, −√𝟓 e +√𝟓, é 𝒙𝟒 + 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃 = 𝟎. O valor de |𝒂 + 𝒃| é</p><p>a) 2</p><p>b) 3</p><p>c) 4</p><p>d) 5</p><p>Comentários</p><p>𝑥4 + 𝑎𝑥2 + 𝑏 = (𝑥 + √2) ⋅ (𝑥 − √2) ⋅ (𝑥 + √5) ⋅ (𝑥 − √5) =</p><p>= (𝑥2 − 2) ⋅ (𝑥2 − 5) = 𝑥4 − 7𝑥2 + 10</p><p>47</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>⇒ 𝑥4 + 𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑥4 − 7𝑥2 + 10</p><p>⇒ {</p><p>𝑎 = −7</p><p>𝑏 = 10</p><p>Então,</p><p>|𝑎 + 𝑏| = |−7 + 10| = |3| = 3</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>16. (EEAR/2001)</p><p>Uma das raízes da equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟒𝒙 − 𝟒𝟖 = 𝟎 é a soma das outras duas. A maior raiz</p><p>dessa equação é</p><p>a) 7</p><p>b) 6</p><p>c) 4</p><p>d) 2</p><p>Comentários</p><p>Sejam as raízes 𝑎, 𝑏 e 𝑐, tal que 𝑐 = 𝑎 + 𝑏</p><p>Pelas Relações de Girard:</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −</p><p>−12</p><p>1</p><p>= 12</p><p>𝑎 + 𝑏 + 𝑎 + 𝑏 = 2(𝑎 + 𝑏) = 12</p><p>2 ⋅ 𝑐 = 12 ⇒ 𝑐 = 6</p><p>⇒ 𝑎 + 𝑏 = 6 (𝑒𝑞. 1)</p><p>Também das relações de Girard:</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑐 = −</p><p>−48</p><p>1</p><p>= 48</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 6 = 48</p><p>⇒ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 8 (𝑒𝑞. 2)</p><p>Isolando 𝑏 em 𝑒𝑞. 1 e substituindo em 𝑒𝑞. 2, obtemos:</p><p>𝑎 ⋅ (6 − 𝑎) = 8</p><p>𝑎2 − 6𝑎 + 8 = 0</p><p>Resolvendo a equação de 2º grau em 𝑎, obtemos:</p><p>48</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>{</p><p>𝑎1 = 2</p><p>𝑎2 = 4</p><p>⇒ {</p><p>𝑏1 = 6 − 2 = 4</p><p>𝑏2 = 6 − 4 = 2</p><p>Posto isso, as raízes do polinômio são 6, 4 e 2. Portanto, a maior raiz vale 6.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>17. (EEAR/2003)</p><p>Se a diferença entre os quadrados das raízes da equação 𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝒄 = 𝟎 é</p><p>𝟑𝟓</p><p>𝟗</p><p>, então o valor de 𝒄</p><p>é</p><p>a) −</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>b) −𝟐</p><p>c)</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>d) 𝟐</p><p>Comentários</p><p>Sejam 𝑎 e 𝑏 raízes, com 𝑏 > 𝑎:</p><p>𝑏2 − 𝑎2 =</p><p>35</p><p>9</p><p>(𝑏 + 𝑎) ⋅ (𝑏 − 𝑎) =</p><p>35</p><p>9</p><p>Mas, decorre das Relações De Girard:</p><p>𝑎 + 𝑏 = −</p><p>−7</p><p>3</p><p>=</p><p>7</p><p>3</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 =</p><p>𝑐</p><p>3</p><p>Então,</p><p>(</p><p>7</p><p>3</p><p>) ⋅ (𝑏 − 𝑎) =</p><p>35</p><p>9</p><p>⇒ 𝑏 − 𝑎 =</p><p>5</p><p>3</p><p>Sendo, assim, temos o seguinte sistema:</p><p>{</p><p>𝑏 + 𝑎 =</p><p>7</p><p>3</p><p>𝑏 − 𝑎 =</p><p>5</p><p>3</p><p>Resolvendo o sistema, obtemos 𝑎 =</p><p>1</p><p>3</p><p>e 𝑏 = 2. Mas sabemos que,</p><p>𝑎 ⋅ 𝑏 =</p><p>𝑐</p><p>3</p><p>49</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝑐 = 3 ⋅ (</p><p>1</p><p>3</p><p>) ⋅ (2) = 2</p><p>Gabarito: “d”.</p><p>18. (ESA/2017)</p><p>Se 𝟐 + 𝟑𝒊 é raiz de uma equação algébrica 𝑷(𝒙) = 𝟎, de coeficientes reais, então podemos afirmar</p><p>que:</p><p>a) 𝟑 − 𝟐𝒊 também é raiz da mesma equação.</p><p>b) 𝟐 − 𝟑𝒊 também é raiz da mesma equação.</p><p>c) 𝟐 também é raiz da mesma equação.</p><p>d) −𝟑𝒊 também é raiz da mesma equação.</p><p>e) 𝟑 + 𝟐𝒊 também é raiz da mesma equação.</p><p>Comentários</p><p>Sendo, a equação algébrica de coeficientes reais, as raízes complexas, vem aos pares, ou seja,</p><p>se 𝑧 é raiz 𝑧̅ também é. Sendo assim, se 2 + 3𝑖 é raiz, 2 + 3𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2 − 3𝑖 também é raiz.</p><p>Gabarito: “b”.</p><p>19. (EsPCEx/2011)</p><p>Seja a função complexa 𝑷(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 − 𝟓. Sabendo-se que 𝟐 + 𝒊 é raiz de 𝑷, o intervalo</p><p>𝑰 de números reais que faz 𝑷(𝒙) < 𝟎, para todo 𝒙 ∈ 𝑰 é</p><p>a) ] − ∞,</p><p>𝟏</p><p>𝟐</p><p>[</p><p>b) ]𝟎, 𝟏[</p><p>c) ]</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>, 𝟐[</p><p>d) ]𝟎, +∞[</p><p>e) ] −</p><p>𝟏</p><p>𝟒</p><p>,</p><p>𝟑</p><p>𝟒</p><p>[</p><p>Comentários</p><p>Sendo os coeficientes de 𝑃(𝑥) reais, temos que se 2 + 𝑖 é raiz, então 2 − 𝑖 também é raiz.</p><p>Portanto, 𝑃(𝑥) é divisível por (𝑥 − 2 − 𝑖) e por (𝑥 − 2 + 𝑖), logo, 𝑃(𝑥) é divisível por</p><p>(𝑥 − 2 − 𝑖) ⋅ (𝑥 − 2 + 𝑖) = ((𝑥 − 2)2 − (𝑖)2) =</p><p>= ((𝑥2 − 4𝑥 + 4) + 1) = 𝑥2 − 4𝑥 + 5</p><p>𝑃(𝑥) é divisível por 𝑥2 − 4𝑥 + 5. Sendo assim, aplicaremos a divisão algébrica de polinômios.</p><p>50</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Logo,</p><p>𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 9𝑥2 + 14𝑥 − 5 = (𝑥2 − 4𝑥 + 5) ⋅ (2𝑥 − 1) =</p><p>𝑃(𝑥) = 2(𝑥2 − 4𝑥 + 5) ⋅ (𝑥 −</p><p>1</p><p>2</p><p>)</p><p>Ou seja, a única raiz real de 𝑃(𝑥) é 𝑥 =</p><p>1</p><p>2</p><p>, fazendo o estudo de sinal para 𝑃(𝑥) < 0, obtemos:</p><p>Logo, 𝑃(𝑥) < 0 ⇒ 𝑥 <</p><p>1</p><p>2</p><p>∴ 𝑥 ∈ ] − ∞,</p><p>1</p><p>2</p><p>[</p><p>Gabarito: “a”.</p><p>8. QUESTÕES NÍVEL 2</p><p>20. (AFA/2020)</p><p>Considere os polinômios na variável 𝒙:</p><p>𝑨(𝒙) = 𝒙𝟑 + (𝟑𝒎𝟑 − 𝟒𝒎)𝒙𝟐 − 𝟐, sendo 𝒎 ∈ ℚ; e</p><p>𝑩(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏</p><p>Os gráficos de 𝑨(𝒙) e 𝑩(𝒙) possuem apenas um ponto comum sobre o eixo das abcissas.</p><p>É correto afirmar que:</p><p>a) o produto e a soma das raízes imaginárias de 𝑨(𝒙) são números conjugados.</p><p>51</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>b) os afixos das raízes de 𝑨(𝒙) formam um triângulo equilátero.</p><p>c) as raízes de 𝑨(𝒙) possuem argumentos que NÃO formam uma Progressão Aritmética.</p><p>d) todas as raízes de 𝑨(𝒙) possuem o mesmo módulo.</p><p>21. (AFA/2019)</p><p>Considere 𝒂 ∈ ℝ e os polinômios 𝑷(𝒙) =</p><p>𝒂</p><p>𝟐</p><p>𝒙𝟔 − 𝟐𝟔𝒙𝟑 − 𝟐𝟕 e 𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒂, tais que seus</p><p>gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada nula.</p><p>Sabendo também que, graficamente, 𝑨(𝒙) tangencia o eixo 𝑶𝒙 ⃡ analise as afirmativas abaixo e</p><p>escreva V para verdadeira e F para falsa.</p><p>( ) O gráfico de 𝑷(𝒙) corta o eixo 𝑶𝒙 ⃡ em dois pontos.</p><p>( ) Os afixos das raízes de 𝑷(𝒙) que possuem menor módulo formam um triângulo cujo perímetro</p><p>mede 𝟑√𝟑 unidades de comprimento.</p><p>( ) A soma das raízes imaginárias de 𝑷(𝒙) é igual a −𝟐.</p><p>A sequência correta é</p><p>a) V-V-V</p><p>b) V-F-F</p><p>c) F-V-F</p><p>d) F-V-V</p><p>22. (AFA/2017)</p><p>O polinômio 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 +𝒎𝒙𝟐 + 𝒏𝒙 + 𝟏𝟐 é tal que 𝑷(𝒙) = 𝟎 admite as raízes 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒆 𝒙𝟑. Se 𝒙𝟏 ⋅</p><p>𝒙𝟐 = −𝟑 e 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = 𝟓, então é correto afirmar que</p><p>a) 𝑷(𝒎) = 𝟎</p><p>b) 𝒎− 𝒏 = −𝟏𝟑</p><p>c) 𝒎 ⋅ 𝒏 = 𝟐𝟎</p><p>d) 𝒏 − 𝟐𝒎 = −𝟕</p><p>23. (AFA/2014)</p><p>A equação 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟎 possui as raízes 𝒎,𝒑 e 𝒒. O valor da expressão</p><p>𝒎</p><p>𝒑𝒒</p><p>+</p><p>𝒑</p><p>𝒎𝒒</p><p>+</p><p>𝒒</p><p>𝒎𝒑</p><p>é</p><p>a) −𝟐</p><p>𝒃) −3</p><p>52</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>𝒄) 𝟐</p><p>d) 3</p><p>24. (AFA/2013)</p><p>As raízes da equação algébrica 𝟐𝒙𝟑 − 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝟓𝟒 = 𝟎 formam uma progressão geométrica.</p><p>Se 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ, 𝒃 ≠ 𝟎, então</p><p>𝒂</p><p>𝒃</p><p>é igual a</p><p>a)</p><p>𝟐</p><p>𝟑</p><p>b) 𝟑</p><p>c) −</p><p>𝟑</p><p>𝟐</p><p>d) −</p><p>𝟏</p><p>𝟑</p><p>25. (AFA/2012)</p><p>Sejam (𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, 𝒂𝟒) e (𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, 𝒃𝟒) uma progressão aritmética e uma progressão geométrica,</p><p>respectivamente, ambas com a mesma soma dos termos e ambas crescentes. Se a razão 𝒓 da</p><p>progressão aritmética é o dobro da razão 𝒒 da progressão geométrica, então, o produto 𝒓 ⋅ 𝒒 é igual</p><p>a</p><p>a) 14</p><p>b) 18</p><p>c) 21</p><p>d) 24</p><p>26. (EFOMM/2017)</p><p>Considere a equação 𝒙𝟒 − 𝟐𝒂𝒙𝟑 + 𝟗𝒂𝒙𝟐 − 𝟔𝒂𝒙 + 𝟗𝒂 = 𝟎. Sabendo que 𝒂 é raiz dupla dessa</p><p>equação e não é nulo, determine o valor de 𝒂.</p><p>a) 𝒂 = −𝟏</p><p>b) 𝒂 = 𝟏</p><p>c) 𝒂 = 𝟐</p><p>d) 𝒂 = 𝟑</p><p>e) 𝒂 = 𝟒</p><p>27. (EFOMM/2017)</p><p>53</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Sobre uma equação linear de grau 𝒏 é INCORRETO afirmar que</p><p>a) terá 𝒏 raízes complexas.</p><p>b) se 𝒏 for ímpar, sempre terá, ao menos, uma raiz real.</p><p>c) se um número complexo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, 𝒃 ≠ 𝟎 for raiz, então seu conjugado também o será.</p><p>d) a equação não pode ter raízes repetidas.</p><p>e) uma equação acima de grau 𝟒 pode ter todas as raízes reais.</p><p>28. (EFOMM/2016)</p><p>Seja o polinômio 𝒑(𝒙) = 𝒙𝟔 − 𝟐𝟔𝒙𝟒 − 𝟑𝟐𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝟕𝒙𝟐 − 𝟗𝟔𝒙 − 𝟏𝟖𝟎.</p><p>A respeito das raízes da equação 𝒑(𝒙) = 𝟎, podemos afirmar que</p><p>a) todas as raízes são reais.</p><p>b) somente duas raízes são reais, sendo ela distintas.</p><p>c) somente duas raízes são reais, sendo elas iguais.</p><p>d) somente quatro raízes são reais, sendo todas elas distintas.</p><p>e) nenhuma raiz é real.</p><p>29. (EFOMM/2016)</p><p>A solução do sistema:</p><p>{</p><p>𝒙 + 𝒚 + 𝒛 + 𝒘 = 𝟕</p><p>𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒙𝒘 + 𝒚𝒛 + 𝒚𝒘 + 𝒛𝒘 = 𝟒</p><p>𝒘𝒚𝒛 + 𝒙𝒚𝒘+ 𝒙𝒛𝒘 + 𝒚𝒛𝒘 = 𝟔</p><p>𝒘𝒚𝒛𝒘 = 𝟏</p><p>pode ser representada pelas raízes do polinômio:</p><p>a) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟕</p><p>b) 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟕</p><p>c) 𝟐𝒙𝟒 − 𝟏𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟐</p><p>d) 𝟕𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝒙</p><p>e) 𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙</p><p>30. (EFOMM/2015)</p><p>Assinale a alternativa que apresenta o polinômio 𝑷 de grau mínimo, com coeficiente reais, de modo</p><p>que 𝑷(𝒊) = 𝟐 e 𝑷(𝟏 + 𝒊) = 𝟎.</p><p>54</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>a) 𝟏/𝟓 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)</p><p>b) 𝟐/𝟓 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐)</p><p>c) 𝟐/𝟓 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑)</p><p>d) 𝟏/𝟓 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐)</p><p>e) 𝟐/𝟑 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑)</p><p>31. (EFOMM/2013)</p><p>𝑷(𝒙) é um polinômio de coeficientes reais e menor grau com as propriedades abaixo:</p><p>• os números 𝒓𝟏 = 𝟏, 𝒓𝟐 = 𝒊 e 𝒓𝟑 = 𝟏 − 𝒊 são raízes da equação 𝑷(𝒙) = 𝟎;</p><p>• 𝑷(𝟎) = −𝟒.</p><p>Então, 𝑷(−𝟏) é igual a:</p><p>a) 𝟒.</p><p>b) −𝟐.</p><p>c) −𝟏𝟎.</p><p>d) 𝟏𝟎.</p><p>e) −𝟒𝟎.</p><p>32. (EFOMM/2009)</p><p>Após a determinação dos valores numéricos: 𝒑(−𝟏), 𝒑(𝟎) e 𝒑(𝟏), verifica-se que o polinômio</p><p>𝒑(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟎, 𝟓 tem</p><p>a) apenas uma raiz real.</p><p>b) apenas duas raízes reais.</p><p>c) três raízes reais, todas de mesmo sinal.</p><p>d) três raízes reais, duas positivas e uma negativa.</p><p>e) três raízes reais, duas negativas e uma positiva.</p><p>33. (EFOMM/2005)</p><p>Determine as raízes na equação 𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟔𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎, sabendo que elas estão em P.A.</p><p>a) 𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑}</p><p>b) 𝑺 = {𝟏, 𝟑, 𝟓}</p><p>c) 𝑺 = {𝟐, 𝟒, 𝟔}</p><p>55</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>d) 𝑺 = {𝟐, 𝟑, 𝟒}</p><p>e) 𝑺 = {𝟑, 𝟓, 𝟕}</p><p>34. (EFOMM/2005)</p><p>Determine as raízes na equação 𝒙𝟑 − 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝟔𝒙 − 𝟔𝟒 = 𝟎, sabendo que elas estão em P.G.</p><p>a) 𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟒}</p><p>b) 𝑺 = {𝟐, 𝟑, 𝟒}</p><p>c) 𝑺 = {𝟐, 𝟑, 𝟔}</p><p>d) 𝑺 = {𝟐, 𝟒, 𝟔}</p><p>e) 𝑺 = {𝟐, 𝟒, 𝟖}</p><p>35. (Escola Naval/2014)</p><p>Considere 𝑷(𝒙) = (𝒎− 𝟒)(𝒎𝟐 + 𝟒)𝒙𝟓 + 𝒙𝟐 + 𝒌𝒙 + 𝟏 um polinômio na variável real 𝒙, em que 𝒎</p><p>e 𝒌 são constantes reais. Quais os valores das constantes 𝒎 e 𝒌 para que 𝑷(𝒙) não admita raiz real?</p><p>a) 𝒎 = 𝟒 e −𝟐 < 𝒌 < 𝟐</p><p>b) 𝒎 = −𝟒 e 𝒌 > 𝟐</p><p>c) 𝒎 = −𝟐 e −𝟐 < 𝒌 < 𝟐</p><p>d) 𝒎 = 𝟒 e |𝒌| > 𝟐</p><p>e) 𝒎 = −𝟐 e 𝒌 > −𝟐</p><p>36. (Escola Naval/2013)</p><p>Sabendo que 𝒊√𝟑 é uma das raízes da equação 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟑 = 𝟎, a soma de todas as</p><p>raízes desta equação é</p><p>a) −𝟐𝒊√𝟑</p><p>b) 𝟒𝒊√𝟑</p><p>c) 𝟎</p><p>d) −𝟏</p><p>e) −𝟐</p><p>37. (EN/2013)</p><p>56</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>Sejam 𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝐺(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 6 dois polinômios na variável real 𝑥, com</p><p>𝑎 𝑒 𝑏 números reais. Qual valor de (𝑎 + 𝑏) para que a divisão</p><p>𝐹(𝑥)</p><p>𝐺(𝑥)</p><p>seja exata?</p><p>a) −2</p><p>b) −1</p><p>c) 0</p><p>d) 1</p><p>e) 2</p><p>GABARITO</p><p>20. c</p><p>21. a</p><p>22. d</p><p>23. a</p><p>24. d</p><p>25. b</p><p>26. d</p><p>27. Anulada</p><p>28. b</p><p>29. c</p><p>30. Anulada</p><p>31. e</p><p>32. e</p><p>33. d</p><p>34. e</p><p>35. a</p><p>36. d</p><p>37. b</p><p>RESOLUÇÃO</p><p>20. (AFA/2020)</p><p>Considere os polinômios na variável 𝒙:</p><p>𝑨(𝒙) = 𝒙𝟑 + (𝟑𝒎𝟑 − 𝟒𝒎)𝒙𝟐 − 𝟐, sendo 𝒎 ∈ ℚ; e</p><p>𝑩(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏</p><p>Os gráficos de 𝑨(𝒙) e 𝑩(𝒙) possuem apenas um ponto comum sobre o eixo das abcissas.</p><p>É correto afirmar que:</p><p>a) o produto e a soma das raízes imaginárias de 𝑨(𝒙) são números conjugados.</p><p>57</p><p>Prof. Victor So</p><p>AULA 20 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS</p><p>b) os afixos das raízes de 𝑨(𝒙) formam um triângulo equilátero.</p><p>c) as raízes de 𝑨(𝒙) possuem argumentos que NÃO formam uma Progressão Aritmética.</p><p>d) todas as raízes de 𝑨(𝒙) possuem o mesmo módulo.</p><p>Comentários</p><p>Se 𝐴 𝑒 𝐵 possuem apenas um ponto em comum sobre o eixo das abcissas, significa que</p><p>esse ponto é do tipo (𝑥, 0) e, portanto, é raiz de ambos polinômios. Mas a raiz de 𝐵 é única:</p><p>𝐵(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0 ⇒ (𝑥 − 1)2 = 0 ⇒ 𝑥 = 1</p><p>Portanto, 𝑥 = 1 é raiz de 𝐴(𝑥) = 0 também. Substituindo 𝑥 = 1 em A:</p><p>13 + (3𝑚2 − 4𝑚)12 − 2 = 0 ⇒ 3𝑚2 − 4𝑚 − 1 = 0 ⇒ 3𝑚2 − 4𝑚 = 1</p><p>⇒ 𝐴(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 2 = 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥2 − 2 = 𝑥2(𝑥 − 1) + 2(𝑥2 − 1)</p><p>𝐴(𝑥) = 𝑥2(𝑥 − 1) + 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 2)</p><p>Assim, as outras raízes de 𝐴(𝑥) são as raízes de 𝑥2 + 2𝑥 + 2:</p><p>𝑥2 + 2𝑥 + 2 = 0 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = −1 ⇒ (𝑥 − 1)2 = 𝑖2 ⇒ 𝑥 − 1 = ±𝑖</p><p>⇒ 𝑥 = 1 + 𝑖 𝑜𝑢 𝑥 = 1 − 𝑖</p><p>Portanto, vemos que os argumentos das raízes são: 0(𝑥 = 1),</p><p>𝜋</p><p>4</p><p>(𝑥 = 1 + 𝑖) 𝑒</p><p>7𝜋</p><p>4</p><p>(𝑥 = 1 −</p><p>𝑖). Eles não formam uma progressão aritmética. As outras estão erradas pois o produto e a soma</p><p>das raízes imaginárias de A são números inteiros; os afixos das raízes de 𝐴 formam a reta 𝑥 = 1;</p><p>os módulos distintos entre as raízes são 1 𝑒 √2.</p><p>Gabarito: “c”.</p><p>21. (AFA/2019)</p><p>Considere 𝒂 ∈ ℝ e os polinômios 𝑷(𝒙) =</p><p>𝒂</p><p>𝟐</p><p>𝒙𝟔 − 𝟐𝟔𝒙𝟑 − 𝟐𝟕 e 𝑨(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝒂, tais que seus</p><p>gráficos se intersectam em um único ponto de ordenada nula.</p><p>Sabendo também que, graficamente, 𝑨(𝒙)</p>