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<p>10 Prisma Teoria M iFull CEPRES! + EXAMENES DE ADMISION Luis Lazo Gutierrez</p><p>10 Prisma y Practica E i Full CEPRES! + EXAMENES DE ADMISION Luis Lazo Gutierrez</p><p>MEZA BRAVO ELVIS</p><p>PRESENTACIÓN El Fondo Editorial RODO es un grupo educativo con formado por profesionales de experiencia que por muchos años vienen participando en el análisis y producción de textos acordes con las necesidades del sistema educativo. Conocedores de la realidad de nuestro educando que día a día nos muestra la interacción con ellos en las aulas de clase y poniendo de manifiesto nuestro compromiso como educadores hemos asumido el reto de contribuir a elevar el nivel académico de manera integral. Continuando con la elaboración de nuestra colección con miras al ciclo académico 2015, en está oportunidad presentamos el texto teórico práctico denominado TEMAS SELECTOS DE desarrollado con la gran experiencia de nuestro grupo humano. Caracterizándolo así por el rigor y la exigencia académica ya que abarca los temas y preguntas solicitadas según la currícula de los centros preuniversitarios de las universidades más importantes del país relacionados con el curso. Esta obra es la continuación de nuestra serie de publicaciones, caracterizada por la calidad e innovación constatada en los miles de ingresantes que han tenido como apoyo nuestras colecciones, esperando los comentarios y sugerencias las cuales sabremos aceptar La presente serie de boletines consta de una sección teórica, donde se muestra toda la teoría referente al capítulo o capítulos mostrados en el boletín, luego se determina una sección de 100 problemas resueltos por los autores clasificados por nivel de exigencia de menor a mayor dificultad, explicados de manera clara y sencilla que servirá tanto para alumnos que recién empiezan su camino a la universidad, como alumnos de nivel avanzado, dándole nuevas alternativas de solución, luego se cuenta con 100 problemas propuestos con sus respectivas claves para que el alumno mida su nivel de comprensión respecto al capítulo con problemas de igual exigencia que la sección anterior, por último se muestra una sección de exámenes de admisión del curso en mención, con soluciones explicadas de la mejor manera. Fondo Editorial RODO De: Walter Benitez</p><p>MEZA BRAVO ELVIS PRISMA - PIRÁMIDE EDIT GEOMETRÍA - TEMA SELECTO - 10, 1ra Edición No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, tampoco su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. DERECHOS RESERVADOS Diciembre 2016 por FONDO EDITORIAL RODO de Walter Z. Benitez Nuñez Av. Venezuela 979 Of. 205 - Breña LIMA 05, 424-6350 992-796104 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú 2015 - 19124 EQUIPO PEDAGÓGICO Luis Lazo Gutiérrez DIAGRAMACIÓN, DIGITACIÓN Y GRÁFICOS Claudia Gisell Llosa La Serna José Miguel Gallo Ballena IMPRESO EN PRINTED IN Impreso en los Talleres Gráficos de CORPORACIÓN PIANCASH S.A.C. Jr. Chancay 446 Of. 112 - Lima 01</p><p>PRISMA PIRÁMIDE PRISMA El Prisma es un poliedro en donde dos de sus caras son regiones limitadas por polígonos congruentes situados en planos paralelos, y las demás caras son regiones A las regiones poligonales paralelas se les llama bases del prisma, y a las regiones caras laterales. Los lados de las bases son llamadas aristas básicas, mientras que las intersecciones de las caras laterales son las aristas laterales. Todas las aristas laterales de un prisma son paralelas y congruentes. La distancia entre los planos que contienen a las bases se llama altura del prisma. 1. Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, en caso contrario será oblicuo. 2. En un prisma recto las caras laterales son regiones rectangulares. 3. Un prisma recto es regular si sus bases son regiones limitadas por polígonos regulares. 4. En todo prisma el número de lados de la base es igual al número de caras laterales. 5. Un prisma se denomina según el polígono que limita su base, así los prismas serán triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc., según que sus bases sean regiones triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc. Arista básica Base Cara lateral Arista lateral Altura Base Si: n : Es el número de lados de la base Entonces: C=n+2 C : Número de caras V : Número de vértices A : Número de aristas A=3n 5</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 Prisma Recto A B SLATERAL = (Perímetro de la base) a C a STOTAL = E Volumen = (Altura) F Prisma Oblicuo SLATERAL = (Perímetro de la sección recta) a STOTAL SLATERAL + a h Volumen = (Altura) Sección recta Volumen P/ Sumatoria de lados de la base NOTA Se llama sección recta de un prisma a la sección determinada en el prisma por un plano perpendicular a las aristas laterales. Paralelepípedo Un paralelepípedo es un prisma cuya base es una región Paralelepípedo Recto Paralelepipedo Oblicuo Paralelepípedo Rectangular, Ortoedro o Rectoedro Es un paralelepípedo recto cuyas bases son regiones rectangulares. En estos paralelepípedos, las seis caras son regiones rectangulares. 6</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE d b Volumen = abc a d : Medida de la diagonal a, by C : Dimensiones de rectoedro TRONCO DE PRISMA Es una porción de prisma que está comprendida entre una de sus bases y plano que no es paralelo a las bases y secante a todas sus aristas laterales. Tronco de Prisma Triangular Recto a = SBASE . 3 b Base pl Tronco de Prisma Triangular Oblicuo Sección recta VTRONCO RECTA ( a+b+c 3 a VTRONCO SBASE . ha + hb + 3 hb Base 7</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 EDITORIA DEMOSTRACIÓN DEL VOLUMEN DEL TRONCO DE EN FUNCIÓN DE LA SECCIÓN RECTA Y EL SEGMENTO QUE UNE LOS BARICENTROS DE LAS BASES A' 2n G1 B' n M C' a b X b/c 2 B A 2m G M C Datos: Área de la sección recta: S y G, donde GyG1 son baricentros de las bases. (SECCION) Por demostrar: Volumen del tronco de prisma triangular: V(TRONCO) = Sean las longitudes de las aristas laterales a; b y c, además: Se trazan las medianas de las bases AM y A'M', luego como G y G1 son baricentros se cumple: AG = En el trapecio b+c Luego en el trapecio AA'M'M se cumple: b+c an + a+b+c X Luego: V(TRONCO) = S ) (a+b+c) a+b+c 3 : V(TRONCO) = S RECTA 8</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE Tronco de Prisma Cuadrangular Regular A B a+c=b+d a C T F SLATERAL (4L)(e) G L VTRONCO (L2)(e) PIRÁMIDE Una pirámide regular es un poliedro donde una de sus caras es una región poligonal cualquiera y las otras son regiones triangulares con un vértice común. La cara que es una región poligonal cualquiera se llama base de la pirámide, y las otras, se denominan caras laterales. El vértice común de las caras laterales es el vértice de la pirámide. En toda pirámide los lados de la base se llaman aristas básicas y las intersecciones de las caras laterales se denominan aristas laterales. La distancia entre el vértice y el plano de la base es la altura de la pirámide. Una pirámide es triangular, cuadrangular, pentagonal, etc., según que su base sea una región triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. El volumen de cualquier pirámide es igual a la tercera parte del área de su base por la altura. Vértice Arista lateral Cara lateral Altura 3 1 Altura Base Arista básica 9</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 PIRÁMIDE REGULAR Una pirámide es regular si la base es una región poligonal regular que tiene como centro el pie de la perpendicular trazada desde el vértice a la base. Siendo la base una región poligonal regular, su centro equidista de los vértices del polígono base, y por consiguiente, las aristas laterales de la pirámide son todas congruentes. De aquí resulta que las caras laterales de una pirámide regular son regiones limitadas por triángulos isósceles congruentes. Se llama apotema de una pirámide regular al segmento que une el vértice de la pirámide con el punto medio de cualquiera de sus aristas básicas. Este apotema no es sino la altura de una cualquiera de las caras laterales V Apotema de la SLATERAL pirámide Donde: SLATERAL : Área de la superficie lateral C Ap : Apotema de la pirámide o Pbase : Semiperímetro de la base A D Base SB : Área de la base Apotema Centro de de la base la base PIRÁMIDES SEMEJANTES Si en una pirámide se traza un plano paralelo a la base y secante a la superficie lateral, entonces la pirámide parcial determinada será semejante a la pirámide original, cumpliéndose que todos sus elementos homólogos son proporcionales; se cumple también que la relación de sus áreas es igual a la relación de los cuadrados de sus elementos homólogos, y la relación de sus volúmenes es igual a la relación de los cubos de sus elementos homólogos. Si Pirámide O-MNL Pirámide O-ABC Sección Luego se cumple: h Transversal OM NL h M 1. = k H OA BC H N 2. = BC2 NL2 H2 A C S2 3. OM³ B 10</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE TRONCO DE PIRÁMIDE Si en una pirámide se traza un plano paralelo a su base y secante a la superficie lateral, entonces el sólido comprendido entre la base y el plano paralelo trazado se denomina tronco de pirámide. Pirámide S2 deficiente Tronco de pirámide VTRONCO = 3 h S1 TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR Es el tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales regulares semejantes y sus caras laterales son regiones trapeciales isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas del tronco. S2 Si los semiperímetros de las bases son A B Apotema del tronco C AT D E F TEOREMAS 1. Para toda pirámide triangular al trazar un plano secante se cumple: P Q S (PA)(PB)(PC) = R (PQ)(PR)(PS) A C B 11</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 2. En el tetraedro ABCD si son alturas yr: radio de la esfera inscrita: A ha C r D DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL CALCULO DEL RADIO DE LA ESFERA INSCRITA EN EL TETRAEDRO EN FUNCIÓN DE LAS ALTURAS A C D Datos: Las longitudes de las alturas del tetraedro: Radio de la esfera inscrita: r Por demostrar: Sean las áreas de las Expresando el volumen en función de las áreas y alturas. Análogamente: 12</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE EDITORIA Sumando las expresiones: 1 + + + = STOTAL (I) ha hb Pero por teorema del poliedro circunscrito: Sabemos que: 3 STOTAL 1 = (II) 3VT r Luego reemplazando (II) en (I): 1 1 1 1 + + + = hb r 3. En un tetraedro regular de arista a: r : radio de la esfera inscrita R : radio de la esfera circunscrita : radio de la esfera exinscrita h : altura A a h r R h - = = = 1 2 3 4 12 R C 4. En un octaedro regular de arista "a" r : radio de la esfera inscrita R: radio de la esfera circunscrita P a B r R = A C - = R 1 3 6 D Q 13</p><p>EZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 PROBLEMAS 1. La base de un prisma recto, es base de 6. En un cubo compacto ABCD - EFGH. un tetraedro regular de arista 6cm y el Una hormiga parte de B en busca de área lateral del prisma es igual al área su comida en H. Calcular la longitud total del tetraedro. Hallar el volumen del menor camino de dicha hormiga si del prisma. la arista del cubo mide 2cm. A) 4cm B)5cm C) 6cm D) E) D) E) 2. Hallar el volumen de un prisma 7. La arista de cubo ABCD - EFGH mide oblicuo triangular, sabiendo que el 2cm. Calcular el área de la región área de una cara lateral es 50 cm 2 y la triangular EBG. distancia de la arista opuesta a dicha A) C) cara es 10 cm. D) E) A) 3 B) 8. Las dimensiones de un D) E) 500 cm paralelepípedo rectángulo son a, b y el área total de su superficie es 3. El área de la base de un tronco de 94cm 2 y la diagonal mide prisma recto triangular es 12 cm y las Calcular (a+b+c). aristas laterales miden 3cm, 4cm y 5cm. Hallar el volumen del sólido. A) 13 cm B) 11 cm C) 10 cm D) 12 cm E) 15 cm D) 9. Calcular el volumen de un prisma regular hexagonal, sabiendo que la 4. Calcular el volumen de un rectoedro, altura mide 5cm y el área de su sabiendo que las áreas de tres caras superficie lateral es que tienen un vértice en común son A) B) C) D) E) 10. Calcular la medida de la mayor arista 5. Calcular el volumen de un básica de un paralelepípedo paralelpípedo rectángulo, sabiendo rectángulo de 6cm de altura, área que las diagonales de las caras miden total igual a 432 cm 2 y su volumen es 58cm, 74cm. A) 10 cm B) 12 cm C) 15 cm D) E) D) 18 cm E) 20 cm 14</p><p>EDITORIA PRISMA PIRÁMIDE 11. En un paralelepípedo rectángulo, el regiones triangulares área de la base es 60 cm 2 la suma de A) las medidas de todas las aristas es 96 cm y la suma de los cuadrados de las B) 3 dimensiones es 200 Calcular C) la medida de la altura del D) paralelepípedo. E) 128cm2 A) 5 cm C) 8 cm D) 9 cm E) 10 cm 16. El volumen de una pirámide hexagonal regular, cuya arista 12. Calcular el volumen de una lateral mide 6 cm y esta forma un pirámide regular cuadrangular cuya ángulo de 30° con la base, es: arista básica mide 10 cm y el A) apotema mide 13 cm. C) A) D) 3 E) 75.1 D) E) 17. Hallar el área de la sección generada en un tetraedro regular 13. Calcular el volumen de una cuya arista mide 10 cm, por un pirámide regular hexagonal cuya plano de simetría que pasa por una arista básica mide 2 cm y la arista de las aristas. mide A) B) A) B) C) C) D) E) D) E) 18. A qué distancia del vértice de una pirámide de 2 cm de altura debe 14. El radio de la circunferencia trazarse un plano paralelo a la base circunscrita a la base de una para que la pirámide quede dividida en dos sólidos de volúmenes pirámide de base cuadrada mide equivalentes. 4cm. Calcular el apotema de la pirámide sabiendo que su arista A) lateral mide 8 cm. D) 6cm 1cm A) B) 19. El volumen de un tronco de pirámide cuadrangular regular es C) 74 Si su altura mide 6 cm, y el D) E) área de una de sus bases es 16 ¿Cuál es el área de la otra base? 15. Hallar el área total de una pirámide regular de 8 cm de altura. Si su base es cuadrada y sus caras laterales 15</p><p>ZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 20. Determinar la relación que existe F G entre el volumen de un cubo y el E N H volumen de un octaedro regular, cuyos vértices están situados en los centros de cada una de las caras del M C cubo. A D A) 2 B) 3 C) 4 A) B)2/3cm C) D) 6 E) 8 D) 21. El gráfico muestra un tronco de 23. Si el volumen de un exaedro regular prisma recto cuadrangular regular, de es hallar la distancia de mostrar que: cualquiera de sus vértices a una H diagonal del exaedro. A) B)2/3cm C) P G E D) E) d 24. En la figura, ABCD-EFGH es un tronco D e F a de prisma cuadrangular regular, C b AB=3cm, DH= 8cm y el área de su superficie lateral es 72 cm2. Hallar BE A l B H E G I) F II) D) C A Donde: B área de la superficie lateral del 25. La altura de un prisma oblicuo mide tronco. las aristas laterales AE = a DH = d determinan ángulos de 60° con la BF = b OP = e base y la sección recta es un hexágono CG AB = l regular de de área. Hallar el área de la superficie lateral. 22. En la figura, ABCD - EFGH es un paralelepípedo rectángulo, M y N son A) B) puntos medios. Si ND = FM = 5cm y C) 288 AD =2HD=4HN. Hallar la longitud de la diagonal de dicho sólido. D) E) 16</p><p>PRISMA PIRÁMIDE 26. Las tres dimensiones de un B C paralelepípedo rectángulo están en A D progresión aritmética. Si la suma de estas dimensiones es 12 m y la diferencia de la mayor con la menor es 4m, hallar el área de la superficie F G total. E H 30. En un paralelepípedo rectángulo, las aristas laterales miden 5m, el área de la base es 48 y la diagonal del 27. En un prisma cuadrangular oblicuo, el sólido mide Hallar el área de área de la base es y sus aristas la superficie lateral. laterales están inclinadas 53° respecto al plano de la base. Hallar el área de la sección recta del prisma. D) 31. En la figura, la distancia entre AC y FD es 2 m. Hallar el área de la superficie total del exaedro 28. En la figura, ACFD es un cuadrado, ABED y CBEF son trapecios isósceles. F Si AD=2BE=10m y la distancia de BE al plano del cuadrado es 3 m, hallar el volumen del tronco ABC DEF. A D B C C 32. En la figura, ABC-DEF es un tronco de prisma regular, BE=CF=FE = 2 m, E m DCA = 90° y BC//EF. Hallar el área de la superficie lateral de dicho F tronco. A 29. En la figura, ABCD-EFGH es un A) 14m2 exaedro regular. Si el área de la región sombreada es y el plano de B) B la región sombreada determina con la C) 16m2 base del exaedro un diedro de 2 D) D E Hallar el área de la superficie lateral del exaedro. E) 18m2 F 17</p><p>A BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 33. En un prisma oblicuo, la sección recta 36. En la figura, ABCD - EFGH es una es una región triangular circunscrita a exaedro regular. Si AQ y una circunferencia de 6 cm de radio y BP = 3PQ, hallar el volumen del el área de la superficie lateral del prisma AQC-ERG. sólido es 300 Hallar el volumen B P C A) A D D) 34. En un tronco de prisma triangular G regular el lado de la base mide las longitudes de sus aristas laterales E R H están en progresión geométrica de la de mayor longitud igual a la medida de la arista de la 37. El volumen de un paralelepípedo base. Hallar el volumen del tronco de rectángulo es 576 el área de su prisma. superficie total es 432 2 y la altura mide 6 cm. Hallar la suma de sus dimensiones. 35. En la figura, ABCD-EFGH es un cubo. A) 27 cm B) 23 cm cm Si iAQ=QC, CR=HR, AP=PH y el área D) 25 cm E) 26 cm de la región sombreada es hallar el área de la superficie total del 38. La sección recta de un prisma oblicuo cubo. es un trapecio rectangular cuya altura B C mide 4 m y las bases, 2 m y 7 m. Si la A D altura del prisma mide 8 m y las R aristas laterales están inclinadas 53° P respecto al plano de la base, hallar el E G volumen del prisma. E H D) E) 18</p><p>PRISMA PIRÁMIDE 39. En un prisma cuadrangular regular, la 43. El área de la superficie lateral de una longitud de la diagonal es el doble de pirámide cuadrangular regular es 720 la longitud de la diagonal de la base y y la medida del ángulo diedro que 2 el área de la superficie lateral es determina una cara lateral con la base Hallar la longitud de la diagonal del es Hallar la distancia del centro prisma. de la base a una cara lateral. A) 2m B)3m C) A) 7,8 cm C) 7,2 cm D) E) 4m 40. En una pirámide triangular que tiene un triedro trirectángulo, las aristas 44. La altura de una pirámide que determinan el triedro miden 8 m, cuadrangular regular mide y el radio de la circunferencia inscrita 6 m y 8 m, hallar el volumen de la en su base mide 2cm. Hallar el área pirámide. total del sólido D) 41. El área de la superficie total de una pirámide cuadrangular regular es 624 45. En una pirámide triangular P-ABC, 2 y la medida de su apotema es 20 cm, hallar el perímetro de la base. C=17cm A) 49 cm C) 48 cm AB=15cm y mABC = 90°. Hallar el D) 50 cm E) 52 cm volumen de la pirámide. 42. En la figura, V-ABC es un tetraedro de arista Hallar el volumen de la A) pirámide V - MNC. V D) 46. En una pirámide V-ABC, el pie de su altura coincide con el incentro del triangulo ABC. Si AB=8 m, BC=15 m, AC=17 m y VA = 70m. Hallar el B volumen de la pirámide. M N C A) 2 D) 19</p><p>ZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 47. En la figura, VO es altura de la 50. En una pirámide M-ABC, las caras pirámide V - ABC, AB = 8 cm, BC = laterales determinan diedros de 45° AC = 12 cm y VO = 3 cm. Si el con la base. Si AB=8 cm, BC=10 cm y punto o es incentro del triángulo AC=12 cm, hallar el volumen de la ABC, hallar el área de la superficie pirámide. lateral de la pirámide. V A C 51. En una pirámide triangular regular, se pueden inscribir en sus caras laterales B circunferencias de 3 m de radio y en la base otra de 2m de radio. Hallar el 2 área de la superficie lateral. D) A) B) 48. En la figura, RPQ - CAB es un tronco C) de pirámide. Si PQ = 2m y AC = 6m, E) hallar el volumen del tronco de D) pirámide. 52. En la figura, ABC-PQR es un tronco de P pirámide regular. Si la altura del R tronco mide 3 m, AB = 2m y PQ= 8m, hallar el volumen del sólido AB-PQR. A B A B C 60° P Q R A) C) 49. Si el volumen del tetraedro regular D) E) que se determina al unir cuatro de los vértices de un cubo es Hallar el 2 53. En la figura, las aristas MA, MB y MC volumen del cubo. son perpendiculares entre si, Hallar el volumen de la pirámide. 20</p><p>PRISMA PIRÁMIDE RODO M 57. En un prisma cuadrangular regular ABCD - EFGH, o es el centro de la base ABCD. Si - calcule el área de su base. A C B) 8u2 D) 10u2 B 3 58. Se tiene una pirámide regular V- D) ABCD cuya altura y una diagonal de base tienen igual longitud y el radio 54. En una pirámide triangular, la altura de la circunferencia inscrita en la base mide 3m, la sección plana paralela a la mide Calcule el volumen de base determina dos sólidos cuya razón la pirámide. de sus volúmenes es 8 Hallar la 19 distancia del vértice a la sección B) 100 plana. D) E) A) 0,5 C) 1,5 m 59. En un pirámide cuadrangular regular E) 2,5 m V - ABCD, si m A AVB = 37° y la distancia del vértice de dicha 55. Dado un tetraedro regular o - ABC pirámide al baricentro de una de as de volumen V, una sección plana, pasa caras laterales es 6u. Calcule el por los puntos M de OA, N de OC y el volumen de dicha pirámide. vértice B. Si AO=3MO y CO=3 NO, hallar la relación de los volúmenes de A) C) los sólidos parciales determinados. D) E) 60. En una pirámide hexagonal regular V-ABCDEF, se ubican los puntos D) medios M, N y P de las aristas AF, BC y DE. Calcule la razón de volúmenes de 56. En un cubo ABCD - EFGH, sea o el las pirámides V-MNP y centro de la cara ABCD y M un punto de CG. Calcule la A) 60° D) E) 8 D) 70° 21</p><p>EZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 EDITORIA 61. Sean ABCD-MNPQ un prisma recto 64. Se tiene un prisma triangular regular, cuya base es un trapecio isósceles tales que las diagonales de dos caras (AB//DC). Si A EFGH, laterales se cruzan ortogonalmente y cuya longitud de una de ellas es AB = y DC=2, calcule el volumen de Halle el volumen del prisma dicho prisma. B A) E D) E) C A F 65. Se tiene un prisma regular D Pes un punto de la arista BC de modo N que CP 1 y Qesel punto medio de PB 3 H BC, El plano (APQ) intersecta a la arista A'B' en un punto R. Halle la M razón A'B' Q RB' A) 32 C) 42 1 D) 48 2 4 E) 62. En una pirámide cuadrangular 5 regular, el área de la superficie lateral 66. En un prisma triangular regular ABC- es numéricamente igual a su volumen. A'B'C' con todas sus aristas Calcule la distancia del centro de la base hacia una cara. congruentes, se ubica el punto M en la prolongación de AB de modo que Si F es el punto medio de A) 1 B) C) 3 AC, calcule la medida del ángulo D) 4 E) 5 diedro determinado por los planos 63. Un hexaedro regular se intersecta por un plano que pasa por una de sus diagonales. Si la arista del hexaedro A) Arc tan mide K, Calcule el área mínima de la 2 B) Arctan ( 26 39 39 sección determinada. /39 C)Arctan 2 2 2 D) Arctan E) Arctan /39 39 2 2 22</p><p>EDITORIA PRISMA PIRÁMIDE 67. En un tronco de prisma recto de base 70. En un cubo ABCD - EFGH de arista a, triangular, sus aristas laterales miden si N es punto medio de AE y tal AA'=3, BB'=2. Si la base que GM entonces el volumen perpendicular a las aristas laterales AOB, es una región El del tronco de prisma triangular NBM- plano de la base A'O'B' interseca a las EFG es: prolongaciones de OA y OB en M y N respectivamente. Si MN = calcule el volumen del tronco de prisma recto, AOB-A'O'B'. 71. En un prisma triangular recto A) A'B'C' se ubican los puntos M, N y P sobre AA', BB' y CC' respectivamente de manera que AM = MA' y Si el volumen del prisma es 9m3, entonces el volumen del prisma ABC- 68. En un prisma oblicuo ABCD - EFGH, la MNP es: m A ABE = 90°, la = = 60°, 2BC=AB=6, AD//BC, EAB A) 1 B) 2 C) 3 m<EAD = 60°. Calcule su volumen. D) 4 E) 5 A) 120/7 C) 216/2 72. Se tiene un tronco de paralelepípedo D) E) 400 oblicuo, cuyas áreas de dos caras laterales opuestas son y y la 69. ABCD-EFGH es un prisma de base longitud de su distancia entre ellas es regular, se traza un plano secante que d. Calcule el volumen del tronco. intersecta a las aristas DH, AE y BF en los puntos Qy R respectivamente. A) RF 2(EH)=EA=4m entonces determine el área de la superficie lateral del menor tronco de prisma 73. Un solido esta limitado por una región rectangular ABCD, dos regiones A) 8 B) 6 C) 9 triangulares equiláteras ABE y CDF inclinadas 60° con respecto a la D) 7 E)5 región rectangular y las dos regiones trapeciales AEFD y BEFC. 23</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 EDITORIA Si AB = y BC=8, calcular el 77. En una pirámide V-ABC, VA determina volumen del solido con el plano P que contiene a ABC un ángulo de y AB=AC, VB = VC, el A) 160 C) 164 ángulo diedro BC mide a. Si el D) 172 E) 108 cuadrado de la distancia de V a P multiplicado por la longitud de BC es 74. En un tronco de prisma recto ABC- 60, calcule el volumen del sólido A'B'C', ABC es la base menor, piramidal cuyo vértice es V y cuya AB=BC=4. El plano A'B'C' intercepta base es la proyección de la cara VBC entonces a las prolongaciones de BA sobre P. Frespectivamente. SiAE=2, FC=1. Halle la relación entre los A) cota B) C) tan a tan volúmenes de los troncos del prisma 10 dado respecto a D) E) tan tan a 170 A) 180 C) 87 88 89 78. En una pirámide O-ABC, en sus 184 190 aristas laterales OA, OB y OC se D) E) 225 79 ubican los puntos D, L y M, tal que, OD=4, DA=6, OM= MC=2, OL=6 75. Se tiene una pirámide regular y LB=3. El plano DLM interseca a las ABCD, se traza la base media EF de la rectas AB y AC en E y F. Halle la cara lateral PDC (E E PD). Si las relación entre los volúmenes de las aristas laterales de la pirámide son pirámides congruentes a las aristas de la base y 25 su longitud es L, halle el volumen del A) 52 C) 27 27 27 sólido EF - ABCD. 58 59 D) E) 27 27 24 79. En la pirámide O-ABCD regular, la D) = 33,75° y la arista OA mide E) 48 8u. Calcule el mínimo recorrido que debe ejecutar una hormiga que 76. Calcule la altura de una pirámide partiendo de A se desplaza sobre la regular cuadrangular, si el punto superficie lateral hasta llegar al punto medio de la altura dista de una cara medio de OA (en u). lateral y de una arista lateral 3u y 4u respectivamente (enu). A) A) B)6/3 C) 12 C) D) 12/2 E) 12/3 D) E) + 3/2 24</p><p>EDITORIA PRISMA PIRÁMIDE 80. Dado un tetraedro regular S-ABC de volumen V, por S se trazan rectas A)arccos perpendiculares a las caras del común, estas rectas intersectan al B)arcsen tetraedro que tienen a S como vértice plano ABC en A',B' y C' Entonces el volumen del S-A'B'C' es: C)arctan A) 6V D)arccos D) 16V E) 20V E)arccos 81. El lado de la base de una pirámide triangular regular mide a. La longitud de la altura trazada desde el vértice de 83. En un prisma triangular regular ABC- la base hasta la cara lateral opuesta es A'B'C', el plano determinado por los b unidades. Entonces, el volumen del puntos A, C y G determinan en el sólido limitado por la pirámide prisma una sección de área S (G es triangular regular es: centro de la cara AA'BB'). Calcule el volumen de dicho sólido si BB' = AB. A) B) 82. En el prisma regular ABCD-EFGH, MN=a, MQ=b y NP=c, calcule la 84. Se tiene un prisma triangular regular medida del ángulo que determinan ABC-DEF si la medida del ángulo MQ y NP entre AE y BF mide 60° además la F N G longitud del menor recorrido para ir de F a C por la superficie lateral del prisma es calcule el volumen del E M H prisma. A) 4 B D) 3 C 0 A D 25</p><p>ZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 85. Del gráfico, AB=BC=a, m ABC B C = 120° y m A DEF = 90°, además AD=CF = , BE > AD, calcule el A D o volumen del sólido DEF-ABC Q E F D N G B C E A H A) 2 B)4 C) 3) D) + 2) 19 88. En una pirámide, cuya base es una región triangular de altura 86. Del gráfico ABCD es un trapecio igual al radio de la circunferencia (BC//AD) y FE=EO, calcule la razón circunscrita a la base. A una distancia de los volúmenes E-BAO F=OCD. igual al radio de la circunferencia F inscrita a la base, se traza un plano paralelo a la base, calcule el volumen del tronco de pirámide en función al E circunradio R de la base. C D 32 1 4 8 89. Calcule el volumen de un prisma recto cuyas bases están limitadas por 3 trapecios rectángulos de diagonales perpendiculares y de bases a y b (a<b), además la altura del prisma es 87. En la figura de la pirámide N-HOG y la media armónica de las bases a yb. el prisma ABCD-EFGH son regulares si P y Q son puntos de tangencia, calcule la razón de volúmenes de a+b dichos sólidos y N pertenecen a las C) (a2 caras de DCGH y ABFE D) respectivamente). - 26</p><p>- PIRÁMIDE 90. Calcule la longitud de la arista lateral 93. Si el volumen de un prisma triangular de un prisma triangular oblicuo cuyo volumen es V, el área lateral es L y regular es además la sección recta está limitada por un triángulo rectángulo cuya Calcule la longitud de la arista básica, hipotenusa es de longitud a. sabiendo que el ángulo determinado A) VL por las diagonales de dos caras aL+2V laterales que parten del mismo vértice aV mide 30°. A) C) 2 D) E) 1 91. En el tronco de pirámide cuadrangular regular, los polígonos 94. En un tronco de pirámide de base que determinan a las caras laterales son circunscriptibles a una triangular ABC-DEF, los volúmenes circunferencia, la arista básica menor de los sólidos determinados por las mide a y el menor ángulo de una cara pirámides E-ABC y F-DEC son lateral mide Calcule el área de la respectivamente. Calcule el volumen superficie total de dicho sólido. del sólido determinado por la pirámide A-CDE. C) D) E) A) 3 2 C) 92. En el tronco de pirámide ABC la altura mide h y las áreas de las D) E) 3V1.V2 bases son y Calcule el volumen del sólido determinando por el tetraedro por el tetraedro ABB'C'. 27</p><p>ZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 95. Se tiene un prisma hexagonal regular Si es la medida A) del menor ángulo entre A'C y D'B. B) Calcule el volumen de dicho prisma si el circunradio de la base es R. C) 98. La base de la pirámide M-ABCD es un cuadrado; MB esta altura de la pirámide. Hallar el valor mínimo de la longitud de la arista MD si el volumen de la pirámide es igual a 9cm3. A) B) 3 96. En un tronco de pirámide regular cuadrangular ABCD - EFGH D) 3 E) m<FHD= Calcule la razón de las áreas de la región BDHF y la superficie 99. Una pirámide regular de base lateral del tronco de pirámide regular. cuadrangular cuya arista básica mide a y el ángulo diedro de la base mide B) 2a, está cortada por un plano que divide en dos partes iguales el ángulo diedro de la base. Hallar el área de la sección. D) E) A) cos a CSC 2a B) 97. En la pirámide regular S-ABCD; el C) a plano trazado por AD es D) perpendicular a la cara BSC y la divide en dos partes de áreas iguales. E) Determinar el área de la superficie total de la pirámide si se conoce que AD=a. 28</p><p>CONDO EDITORIA PRISMA - PIRÁMIDE 100. En la pirámide regular la arista básica mide a y los ángulos planos del vértice miden 30°, por el punto A y el punto medio de la arista SB se ha trazado un plano que divide a la pirámide en dos partes iguales en volumen. Hallar la longitud del menor de los segmentos en que el plano divide la altura de la pirámide. A) a 24 + 4 + E) a 15 + 9/3 12 29</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 CONDO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Resolución 1: Piden: VPRISMA =V Tetraedro Regular h 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm 6 cm = ST (TETRAEDRO) = 4 4 = h = 2/3 Luego V = ABASE V = 2 4 : V = Rpta.: E Resolución 2: S d Teorema 2 Por dato : Piden V 2 = Rpta.: C 30</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE EDITORIA Resolución 3: 5cm 4cm 3cm 12cm Piden: VTRONCO DE PRISMA = Vx Se sabe que: Vx = (5 12 Vx = Rpta.: C Resolución 4: b a Piden: V=a.b.c Datos: ab = 20 = 15 ac = 12 (ab)(bc)(ac)=20(15)(12) = (4x5x3)2 : V=60cm Rpta.: C 31</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 EDITORIA Resolución 5: Piden: V = abc 74 cm e a b 58 cm = Del gráfico: = (III) Sumando = 166 = Reemplazando (I); (II) y (III) respectivamente en (IV): en (IV): c2 ==25 c=5 a=7 b=3 Luego: V=(7) (3) (5) Rpta.: D Resolución 6: B A D F G 2 E 2 H Desarrollando la superficie del cubo: 32</p><p>EDITORIA FRISMA PIRÁMIDE D A D C B A A 2 E H 2 G 2 F E H E Piden: X Rpta.: C Resolución 7: B C D A 2/2 S 2 G E 2 H Piden: S EBG Se observa: AEBG(Equilátero) SABG = 4 SABG = Rpta.: C 33</p><p>MEZA BRAVO ELVIS EDITORIA BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 Resolución 8: Piden: Datos: Diagonal : b a Se sabe que: d2 : a+b+c=12cm Resolución 9: Piden: V Dato = (6a)(5) = 60 5 a=2 a a a a a a = V = Área de 6 V = Área de la triángulos región hexagonal < > triangulares regular Rpta.: 34</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE Resolución 10: Piden a; a>b T 6 b a Datos: ST = ^ = 6ab = 576 ab+6a+6b=216 ^ ab=96....(I) 96 + 6a + 6b = 216 Rpta.: D Resolución 11: Datos: SBASE = 60 = 96 4(a+b+c) = 96 = 200 = 200 b a Se sabe que: + = 128 = b(a+c) 128 = b(24 - b) 8cm Rpta.: 35</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 CONDO Resolución 12: VPIRAMIDE =V Q = QOM : (13)2 52 13 h=12 0 5 M 10cm Luego: V = 3 V = 400cm2 Rpta.: C Resolución 13: Piden: VPIRAMIDE =V V AOV: = h=12 SBASE 4 SBASE = 2/37 B A D 2 0 2 2 Luego: F 2 E V = Rpta.: C 36</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE Resolución 14: P B C 4 4/2 M 4 8 A D B 45° C 2 4 A M R D Piden: ap Como: = OM = 2/2 AOP = (Notable de 30° y 60°) : PO = POM (Teorema de Pitágoras): (ap)2 = + ap = 2/14cm Rpta.: B Resolución 15: V Piden el área de la superficie total: ST = 2a ST = 8 3 B C a a o M a D 37</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 EDITORIA Se observa: VOM: (Teorema de Pitágoras): = (a)2 + (8)2 a2 = 32 (II) Reemplazando (II) en (I): ST ST = Rpta.: D Resolución 16: V B 3 6 C A D 60° 60° F 60° E Piden: VPIRAMIDE =V A VOF (Notable) VO = 3 Entonces: V = 2 Rpta.: D 38</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE CONDO EDITO Resolución 17 Plano de P Simetría V 5 10 H 5 A B 5 5/3 M 5 10 C Piden SVMB = Sx A VMB (Isósceles): MH es altura y mediana BMH (Teorema de Pitágoras): = 52 + (MH)2 = MH = 2 Sx = Rpta.: A</p><p>MEZA BRAVO ELVIS CONDO EDITORIA BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 Resolución 18: P Piden: h Por relación entre volúmenes de pirámide semejantes. h = VP-ABC F 2 h = A C P/ B Rpta.: B Resolución 19: Piden: S2 S2 Donde S1 yS2 son las áreas de las bases. Sabemos que: 6 = Entonces con los datos del problema 74 + 3 21 = +4) =3 S2 = 9cm2 Rpta.: D 40</p><p>CONDO EDITORIA PRISMA - PIRÁMIDE Resolución 20: Piden: 8= VCUBO VOCTAEDRO P A av2 a B El arista del cubo y la diagonal del octaedro inscrito tienen la misma longitud. AB = = = 3 =6 Rpta.: D Resolución 21: LEMA: A B Si o es centro del rectángulo P ABCD, entonces: o L AP = LC ^ BL = PD D C 41</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 CONDO DEMOSTRACIÓN: Como o es centro A B o es punto medio de BD ABOL ADOP m P (A L A) a BL = PD a L y como m AD = BC D C AP A partir del tronco de prisma, construimos un prisma recto, de manera que sus aristas laterales sean congruentes a OQ, donde OQ es la prolongación de OP, tal que; OP = PQ Ahora: P es centro del prisma recto y en T L consecuencia centro de los rectángulos AMLC y BNTD. Utilizando el Lema: M N b a H ME a e d TH FB = b ^ NF = HD = P G E Luego como AM = BN = OQ d F a+c=b+d=e a D b C Además se observa dos troncos de prisma congruentes separados por el plano EFGH. A l B = (2e) = 42</p><p>EDITORIA PRISMA - PIRÁMIDE Resolución 22: Piden: d F Datos: G a E N a H AD = 2HD = 4HN d 5 AD = 4a 2a HD = 2a B M C HN = a 2a A 4a D Se tiene: NHD N a Luego: D 2a H d = (AD)2 + + = + (2a)2 d = a 1 Rpta.: C Resolución 23: B C Piden: X Dato: = A a = D av2 AHG (a) = a F a 2. G X a E a H Rpta.: C 43</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 CONDO EDITORIA Resolución 24: H Piden BF P G E Dato: = En el trapecio BAHF: 8 F a D X C Del problema (22) m S1 m A 3 B 72 4cm Rpta.: A Resolución 25 Piden el área de la superficie I H lateral: G Dato: SR = K L 6 l2 4 3 Sección Recta = 12 SR Luego: = (2p)(a) = 60° D A 6 E F Rpta.: C 44</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE CONDO Resolución 26: Piden: el área de la superficie total: ST Por dato: a=4 a-r a a+r También es Dato: a+r-a+r=4 r=2 Entonces las tres dimensiones son: 4m, 6m y 2m Luego: S1 S=2(4x6+4x2+6x2) Rpta.: A Resolución 27 5m2 Recuerda el Teorema 4k del volumen: 5k R = = (5)(4k) 53° = 3k Rpta.: A 45</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 Resolución 28: A B Piden el volumen del tronco de prisma: V C Sabemos que: 10 5 V = AD + 3 3 10 2 10 + 10+5 3 E = D 10 F Rpta.: E Resolución 29: B Piden el área lateral C del cubo: Tener en cuenta que las caras del cubo son congruentes. A D Del gráfico: SEFGH = F G = x = = 4(9) E H = Rpta.: E 46</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE EDITORIA Resolución 30: Piden el área lateral: Aplicando el Teorema de la diagonal 5 48m2 b a 48 a+b=14 Luego: = Rpta.: E Resolución 31: Piden el área de la superficie total: S = E H El plano BDHF es perpendicular a AC F d(AC;FD) QP=2 G AFBD AQHD a P a 2 A Luego: S = D 459 a 2/a a S =144m2 = a 2/a B a Rpta.: B 47</p><p>MEZA BRAVO ELVIS BOLETÍN DE GEOMETRÍA - 10 EDITORIA Resolución 32: A Piden: 45 REGULAR TRUNCADO : DFC y ACD: (Notable de 45°) B 4 AD = 4 C + 2 + 4+2 2 4+2 2 2 45° 2 D E 2 2 F Rpta.: C Resolución 33: Piden: Dato: La sección recta está limitada por un circunscrito a una circunferencia, por tanto: SR = pr = 6p donde: a p: semiperímetro de la sección recta SR r: radio de la circunferencia inscrita en el de la sección recta Se sabe que: S = pa = 150 También: 6p V = Rpta.: D 48</p><p>PRISMA - PIRÁMIDE CONDO Resolución 34: A Piden: VTRONCO DE PRISMA = V AA' = B BB' = CC = C Entonces: A' B' 4 V = + 3 C' : Rpta.: D Resolución 35: B C Piden el área total del cubo: o SACH = 4(2/3) A 8 2 R 4 Luego: a a 2 ST = F. G : ST = 96cm2 E a H RECORDAR S S S S Rpta.: 49</p>