APOSTILA DE LABORATORIO (1)

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<p>LABORATÓRIO</p><p>DE</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO</p><p>Prof. Dimas Felipe de Miranda</p><p>2</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 1</p><p>Objetivos:</p><p>a) Colocar o aluno em contato com o ambiente computacional que será usado durante o</p><p>semestre, informar sobre as ferramentas: MATLAB , VCN</p><p>b) Apresentar uma introdução sobre erros de arredondamento e truncamento</p><p>1a Parte : informações gerais</p><p>Algumas expressões matemáticas. Como codificá-las</p><p>MATEMÁTICA DELPHI MATLAB</p><p>xe exp(x) exp(x)</p><p>ln x ln(x) log(x)</p><p>ablog ln(a)/ln(b) Log(a)/log(b)</p><p>sen x sin(x) sin(x)</p><p>cos x cos(x) cos(x)</p><p>tg x tan(x) tan(x)</p><p>arctg x arctan(x) arctan(x)</p><p>xy y^x y^x</p><p>2x sqr(x) ou x^2 sqr(x) ou x^2</p><p>n x x^(1/n) x^(1/n)</p><p>x abs(x) abs(x)</p><p>x! x! Prod(1:x)</p><p>Nota: expressões com operações no numerador e / ou denominador devem ser escritas com</p><p>auxílio de parênteses:</p><p>ab</p><p>ba +</p><p>deve ser codificada (a+b)/(a*b).</p><p>3</p><p>2a Parte: Erros de Arredondamento e truncamento.</p><p>Erro de Arredondamento: aε</p><p>Ocorre sempre que se despreza parte decimal de um número e isso sempre se dá ao</p><p>operar com números irracionais ou dizimas periódicas.</p><p>Exemplo 1: Ao escrever o número π como sendo 3,1 ou 3,14 ou 3,1415, cometem-se erros de</p><p>arredondamento de ordem -4-21 10 e 10 , 10− respectivamente, ou menor.</p><p>Erro de Truncamento: Tε</p><p>Ocorre quando se desprezam termos de uma série numérica e isso se dá com freqüência na</p><p>obtenção dos métodos numéricos.</p><p>Exemplo 2: A série de Maclaurin para a função e</p><p>exf =)( é:</p><p>...</p><p>!</p><p>...</p><p>!3!2</p><p>1</p><p>32</p><p>n</p><p>xxx</p><p>xe</p><p>n</p><p>x ++++=</p><p>Para calcular o valor do número 1</p><p>e com a série interrompida no 7o termo, mesmo usando um</p><p>erro de arredondamento da ordem de 910− em todas as operações, obtem-se</p><p>71805556,2</p><p>720</p><p>1</p><p>120</p><p>1</p><p>24</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>11 =++++++=e</p><p>O resultado obtido só está correto até a 3a casa decimal, devido ao erro de truncamento na série.</p><p>Atividade:</p><p>1 – a) O MatLab, na versão Estudante, usa um formato de saída de números com 5 dígitos.</p><p>Para se obter um maior número de casas decimais deve-se colocar o formato dos números</p><p>em longo. Siga os passos:</p><p>� entre no Matlab</p><p>� files</p><p>� preference</p><p>� number format ok</p><p>b) Na HP48, pode-se fixar o número de casas decimais com o procedimento</p><p>� pressione a tecla MODES e aparece uma tela especial</p><p>� desloque o cursor para Number Format</p><p>� escolha a opção Fixed</p><p>long</p><p>4</p><p>� digite 5 e pressione OK e OK novamente para sair da tela especial</p><p>� digite 2 e pressione a tecla e aparecerá a respota: 1.41421</p><p>2) Use o Matlab ou a HP48 para efetuar os cálculos abaixo, dando a resposta com o erro de</p><p>arredondamento indicado</p><p>a) 4</p><p>a 10 ,</p><p>3541,0</p><p>35 −≤</p><p>+</p><p>ε Resposta: …………………</p><p>b) 6</p><p>a</p><p>3</p><p>10 ,</p><p>)5,0(3sen</p><p>)5ln( −≤</p><p>+</p><p>+</p><p>ε</p><p>tg</p><p>e</p><p>Resposta: ……………….</p><p>c) 2</p><p>a3 10 , 5log −≤ε Resposta: ……………………</p><p>d) 5</p><p>a</p><p>5 10 , 16,3 −≤ε</p><p>e) dígitos) 15 (com</p><p>33</p><p>5</p><p>3</p><p>Resposta: ………………………</p><p>3) Calcule</p><p>34</p><p>3</p><p>1331</p><p>197</p><p>−</p><p>+</p><p>das seguintes formas:</p><p>a) Calcule, inicialmente, cada radical e anote com 5 casas decimais. Efetue numerador,</p><p>denominador e a divisão. Resposta: ...................................</p><p>b) Use todo o potencial da calculadora: entre na "equation" , edite a fórmula, passe-a para</p><p>pilha, efetue. ( ou use o Matlab) Resposta: .............................</p><p>c) Compare os resultados obtidos. (Nota: o 2o resultado estará certo até a última casa</p><p>decimal)</p><p>4 – Para visualizar o erro de truncamento podem-se calcular valores de uma função por meio da</p><p>série de Maclaurin. Tomando-se alguns termos da série é obtida uma fórmula aproximada.</p><p>Como exemplo, será usada a função xseny =</p><p>a) Veja como obter a fórmula:</p><p>1o) Calculam-se as derivadas sucessivas de sen(x) para x = 0 , ou seja:</p><p>f(x) = senx ............................f(0) = 0</p><p>f ´(x) = cosx ............................f ´(0) = 1</p><p>f ´´(x) = -senx ............................f ´´(0) = 0</p><p>f ´´´(x) = -cosx ............................f ´´´(0) = -1</p><p>f(4)(x) = sen(x) ………………….f(4) (0) = 0</p><p>f(5)(x) = sen(x) ………………….f(5) (0) = 1</p><p>e já está repetindo</p><p>5</p><p>2o) Substituem-se os valores na fórmula de Maclaurin</p><p>)...0(</p><p>!</p><p>...)0´´´(</p><p>!3</p><p>)0´´(</p><p>!2</p><p>)0´(</p><p>!1</p><p>)0()( )(</p><p>321</p><p>n</p><p>n</p><p>f</p><p>n</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>f</p><p>x</p><p>fxf ++++= e efetuam-se as</p><p>simplificações.</p><p>Fórmula:</p><p>!n</p><p>x</p><p>(-1) . . .</p><p>!11</p><p>x</p><p>-</p><p>!9</p><p>x</p><p>!7</p><p>x</p><p>!5</p><p>x</p><p>!3</p><p>x</p><p>xxsen</p><p>n</p><p>2</p><p>1-n</p><p>119753</p><p>++−+−=</p><p>b) Calcule 2sen usando os 6 primeiros termos da fórmula obtida e deixando o resultado</p><p>com todas as casas decimais. Resposta:.........................................</p><p>c) Calcule 2sen direto no Matlab ou calculadora. Resposta:.........................................</p><p>d) Compare os resultados obtidos. (o 2o resultado estará certo até a última casa decimal e a</p><p>casa decimal diferente indica a ordem decimal do erro de truncamento).</p><p>Resposta: ordem do Tε é ..........................................</p><p>5 - Use o programa VCN</p><p>A função 3 xy = pode ser aproximada pela fórmula:</p><p>5432 )1x(</p><p>729</p><p>22</p><p>)1x(</p><p>243</p><p>10</p><p>)1x(</p><p>81</p><p>5</p><p>)1x(</p><p>9</p><p>1</p><p>3</p><p>x</p><p>3</p><p>2</p><p>)x(f −+−−−+−−+= .</p><p>A fórmula foi obtida do polinômio de Taylor cuja forma geral é:</p><p>)...a(f</p><p>!n</p><p>)ax(</p><p>...)a´´´(f</p><p>!3</p><p>)ax(</p><p>)a´´(f</p><p>!2</p><p>)ax(</p><p>)a´(f</p><p>!1</p><p>)ax(</p><p>)a(f)x(f )n(</p><p>n321 −</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>+=</p><p>Para obter a fórmula foi considerado a = 1 , calculadas as derivadas sucessivas no ponto 1 ,</p><p>substituídas no polinômio de Taylor e foram feitas algumas simplificações.</p><p>Para verificar a presença do erro de truncamento preencha a tabela, anotando os valores</p><p>com 610−≤aε .</p><p>x 3 xy = ...</p><p>33</p><p>2</p><p>)( ++=</p><p>x</p><p>xf )(xfy −</p><p>0,7</p><p>0,8</p><p>0,9</p><p>1,0</p><p>1,1</p><p>Parece uma boa aproximação.</p><p>6</p><p>6 - Repita novamente o exercício 5 , agora com novo intervalo para x .</p><p>x 3 xy = ...</p><p>33</p><p>2</p><p>)( ++=</p><p>x</p><p>xf y-f(x)</p><p>10,3</p><p>10,8</p><p>11,3</p><p>Veja como a aproximação piorou.</p><p>Respostas: Confira as suas respostas</p><p>2)a)14,7870 b)31,559885 c)1,46 d) 1,25874 e) 1,155...772</p><p>3)a)757,46739 b)757,79926 c) erro na ordem 10-1</p><p>4)a)0,909296135963 b)0,909297426826 c)ordem do Tε é 10-3</p><p>5)y(0,8) - f(0,8) = 0,000002 (erro pequeño); 6)y(11,3) – f(11,3) = 3093,2766...</p><p>(erro enorme)</p><p>7</p><p>Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 1</p><p>Nome:___________________________________Turma:______________</p><p>1 – Use o VCN para efetuar as operações indicadas e dê a resposta com o erro indicado.</p><p>a) 4</p><p>a 10 ,</p><p>)25,3(3541,0</p><p>35 −≤</p><p>+</p><p>ε</p><p>sen</p><p>Resposta:_______________</p><p>b) 6</p><p>a</p><p>5,3</p><p>10 ,</p><p>)5,0(3cos</p><p>)5,1ln( −≤</p><p>+</p><p>−</p><p>ε</p><p>tg</p><p>e</p><p>Resposta:_______________</p><p>c) 2</p><p>a3 10 , 5log82,71 −≤− ε Resposta:_______________</p><p>d) 5</p><p>a</p><p>5 10 , 28,4/16,3/71,2 −≤ε Resposta:_______________</p><p>2 – a) Escreva os 4 primeiros termos , não nulos, da série de Maclaurim para a função y = cosx</p><p>Resposta:......................................................</p><p>b) Use o VCN para fazer a tabela da função y = cosx , no intervalo indicado, copiando os</p><p>valores com 8 casas decimais.</p><p>Resposta: x 0,5 1,0 1,5 2,0</p><p>Y ......................... .......................... .......................... ..........................</p><p>c) Faça a tabela da função obtida no item a) , com 8 casas decimais.</p><p>Resposta: x 0,5 1,0 1,5 2,0</p><p>f(x) .......................... .......................... .......................... ..........................</p><p>d) Compare as duas tabelas e indique a ordem do erro de truncamento em cada caso</p><p>Resposta: ordem ................. .................. .................. .................... ..................</p><p>Respostas Tarefa 01:</p><p>1-a) –136,6695 b) -74,722613 c) 10,46 d) 0,22658</p><p>2-a)</p><p>720</p><p>x</p><p>24</p><p>x</p><p>2</p><p>x</p><p>1</p><p>642</p><p>−+−</p><p>b) x 0,5 1,0 1,5 2,0</p><p>y 0,87758256 0,54030231 0,07073720 -0,41614684</p><p>c) x 0,5 1,0 1,5 2,0</p><p>f(x) 0,87758247 054027778 0,07011719 -0,42222222</p><p>d) ordem ≤ 10-7 ≤ 10-4 ≤ 10-4 ≤ 10-2</p><p>8</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 2</p><p>Objetivos: a) Utilizar o método de Gauss, com pivotação parcial e pivotação completa para</p><p>resolver sistemas lineares.</p><p>b) utilizar o método de Jordan para resolver sitemas lineares, calcular matriz</p><p>inversa e calcular determinante de uma matriz</p><p>c) Usar os recursos computacionais do software VCN , do Matlab V e da</p><p>calculadora HP48 para resolver sistemas lineares, calcular determinante e</p><p>calcular matriz inversa.</p><p>Atividade:</p><p>Problema 1:</p><p>Resolva o sistema</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=−+</p><p>−=−</p><p>−=−</p><p>1835</p><p>4126</p><p>12</p><p>zxy</p><p>zyx</p><p>xyz</p><p>a) Veja como funciona um dos métodos: por exemplo, GAUSS com pivotação parcial</p><p>Siga os passos:</p><p>1o) Organize o sistema, colocando cada variável numa mesma coluna e o termo</p><p>independente no segundo membro.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=−+</p><p>=+−</p><p>=+−</p><p>1853</p><p>1426</p><p>12</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>2o) Escreva o sistema na forma matricial Ax=B. O processo computacional requer o sistema</p><p>na forma matricial.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>+</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>853</p><p>426</p><p>211</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>3o) O método de Gauss, com pivotação parcial escalona o sistema usando as seguintes</p><p>regras:</p><p>→ pivô é o elemento de maior módulo da coluna a ser processada</p><p>→ multiplicador =</p><p>pivô</p><p>elemento</p><p>−</p><p>→ nova linha = multiplicador x linha pivô + linha</p><p>9</p><p>4o) Existe um dispositivo prático para mostrar as etapas do escalonamento:</p><p>Multiplicador Coeficiente T.independente Transformação</p><p>6</p><p>1</p><p>1 −=m</p><p>2</p><p>1</p><p>6</p><p>3</p><p>2 −=</p><p>−</p><p>=m</p><p>1 -1 2</p><p>6 -2 4</p><p>3 5 -8</p><p>1</p><p>1</p><p>-1</p><p>1L</p><p>2L</p><p>3L</p><p>9</p><p>1</p><p>6</p><p>3</p><p>2</p><p>3 =</p><p>−</p><p>−=m</p><p>0</p><p>3</p><p>2−</p><p>3</p><p>4</p><p>0 6 -10</p><p>6</p><p>5</p><p>-</p><p>2</p><p>3</p><p>121 6</p><p>1</p><p>LLL +−=</p><p>323 2</p><p>1</p><p>LLL +−=</p><p>0 0</p><p>9</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>131 9</p><p>1</p><p>LLL +=</p><p>5o) O sistema escalonado é formado pelas linhas dos pivôs. Na forma matricial tem-se:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>9</p><p>2</p><p>00</p><p>1060</p><p>426</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>6o) O sistema escalonado é resolvido por substituição. Assim,:</p><p>3</p><p>9</p><p>2</p><p>:</p><p>3</p><p>2</p><p>==z</p><p>4</p><p>19</p><p>6</p><p>3.10</p><p>2</p><p>3</p><p>=</p><p>+−</p><p>=y</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>3</p><p>4</p><p>19</p><p>4</p><p>1</p><p>X ou</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>00,3</p><p>75,4</p><p>25,0</p><p>X</p><p>4</p><p>1</p><p>6</p><p>4</p><p>19</p><p>.23.41</p><p>−=</p><p>+−</p><p>=x</p><p>b) No VCN</p><p>1o) Entrar em:</p><p>Diretos</p><p>Métodos</p><p>LinearesSistemas</p><p>•</p><p>•</p><p>10</p><p>2o) Existem opções para 4 métodos:</p><p>Jordan, Gauss , Guss com pivotação parcial e Gauss com pivotação completa.</p><p>Basta selecionar o método escolhido.</p><p>NOTA. Os 4 métodos usam a técnica de escalonamento, mas cada um tem procedimentos</p><p>diferentes, principalmente na escolha dos pivôs.</p><p>3o) Selecionar o método de JORDAN. Esse método transforma o sistema num sistema</p><p>diagonal, ou seja, faz um duplo escalonamento. Digite a matriz A e a matriz B. Coloque</p><p>resolução passo a passo e vá apertando a tecla calcula.</p><p>O sistema diagonal obtido é:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>6</p><p>19</p><p>25,0</p><p>200</p><p>040</p><p>001</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>cuja solução é</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>00,3</p><p>75,4</p><p>25,0</p><p>X</p><p>4o) Use a tecla REINICIA e agora selecione o método de GAUSS</p><p>Esse método usa como pivô sempre o elemento da diagonal principal.</p><p>O sistema escalonado pelo método de Gauss é:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>6</p><p>5</p><p>1</p><p>200</p><p>840</p><p>211</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>e resolvido por substituição produz a mesma resposta.</p><p>5o) Use a tecla REINICIA e agora selecione Gauss, com Pivotação Parcial (Esse método</p><p>foi descrito com detalhes no item a) )</p><p>O sistema escalonado obtido é:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>...666,0</p><p>5,1</p><p>1</p><p>...222,000</p><p>1060</p><p>426</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>6o) Use a tecla REINICIA e agora selecione o método de Gauss com Pivotação Completa.</p><p>Este método usa como pivô o elemento de maior módulo da matriz. Assim, o primeiro</p><p>pivô será –8.</p><p>O sistema escalonado obtido é:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>5,0</p><p>...633,0</p><p>8-53</p><p>00,57,5</p><p>00,333...0</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>ou</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>=+</p><p>−=++−</p><p>6333,01333,0</p><p>5,05,05,7</p><p>1538</p><p>y</p><p>yx</p><p>yxz</p><p>e a solução é a mesma:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>=</p><p>00,3</p><p>75,4</p><p>25,0</p><p>X</p><p>11</p><p>b) No Matlab</p><p>→ entre com a matriz A : a = [ 1,-1,2;6,-2,4;3,5,-8 ]</p><p>→ entre com a matriz B : b = [ 1;1;-1 ]</p><p>→ use a divisão à esquerda a\b</p><p>Resposta: x= ..................... y = ....................... z = .......................</p><p>d) Na HP48</p><p>→ entre com matriz B : matrix . . . digitar matriz e ENTER</p><p>→ entre com matriz A : matrix . . . digitar matriz e ENTER</p><p>→ divida: prissione a tecla da divisão</p><p>Resposta: x= ............... y= ........................ z = .......................</p><p>Problema 2:</p><p>sendo</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>112</p><p>513</p><p>011</p><p>A calcule det A e A-1.</p><p>Nota: use o método de Jordan</p><p>12</p><p>a) Veja como é o procedimento:</p><p>Solução:</p><p>1 -1 0 1 0 0 L1</p><p>3 1 5 0 1 0 L2</p><p>2 -1 1 0 0 1 L3</p><p>1 -1 0 1 0 0 L1</p><p>0 4 5 -3 1 0 L2 = -3L1 + L2</p><p>0 1 1 -2 0 1 L3 = -2L1 + L3</p><p>4 0 5 1 1 0 L1 = 4L1 + L2</p><p>* 0 4 5 -3 1 0 L2</p><p>0 0 1 5 1 -4 L3 = -4L3 + L2</p><p>4 0 0 -24 4 20 L1 = -5L3 + L1</p><p>0 4 0 -28 -4 20 L2 = -5L3 + L2</p><p>0 0 1 5 1 -4 L3</p><p>1 0 0 -6 -1 5 L1 = L1 / 4</p><p>0 1 0 -7 -1 5 L2 = L2 / 4</p><p>0 0 1 5 1 -4 L</p><p>A− =</p><p>− −</p><p>− −</p><p>−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>1</p><p>6 1 5</p><p>7 1 5</p><p>5 1 4</p><p>para calcular o determinante, usa-se a matriz triangular indicada pelo *</p><p>considerando as alterações introduzidas.</p><p>det</p><p>. ( )</p><p>(A) =</p><p>4.4.1</p><p>4 4</p><p>1</p><p>−</p><p>= −</p><p>13</p><p>b) No VCN</p><p>→ sistemas lineares, método direto, Jordan matriz inversa</p><p>→ entre com a matriz A</p><p>→ pressione a opção calcula até a matriz inversa e o det A serem calculados.</p><p>Resposta: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=−1</p><p>A</p><p>det A = ………………</p><p>c) No Matlab</p><p>→ entre com a matriz A : a = [2, 3, -1 ; 0, 5, 4 ; 1, -1, 3]</p><p>→ det(a) , inv(a)</p><p>Resposta: a mesma do item b)</p><p>d) Na HP48</p><p>→ pressione matrix e aparece um ambiente próprio para digitar a matriz</p><p>→ digite cada elemento e pressione enter … após o último elemento pressione enter</p><p>novamente para sair do matrix</p><p>→ armazena a matriz na variável A ... digite ´A´ e pressione a tecla STO</p><p>→ para recuperar a matriz pressione VAR e aparecerá o menu das variáveis – a seguir,</p><p>pressione a tecla abaixo da letra A do menu.</p><p>→ recupere A e pressione</p><p>x</p><p>1</p><p>para a matriz inversa</p><p>→ recupere A e digite DET (ou siga os passos: Mth . . . matr . . . norm . . . (next) . . . det)</p><p>para calcular o determinante. {confira a resposta com as anteriores}</p><p>14</p><p>Tarefa : 2</p><p>1 – Resolva o sistema linear</p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p>−=−</p><p>53</p><p>32</p><p>yx</p><p>yx</p><p>Resposta: x = ……………… y= ………………..</p><p>2 – Resolva o sistema linear pelo método de Gauss, com pivotação parcial</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=+−</p><p>=−+</p><p>=−+</p><p>132</p><p>3344</p><p>532</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>Resposta: a) sistema escalonado</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>b) x= ..........., y= .........., z= ..............</p><p>3-Seja o diagrama do circuito</p><p>A soma das correntes que chegam a cada nó é nula (LEI DE KIRCHOFF);</p><p>assim, as equações que relacionam as voltagens podem ser obtidas.</p><p>No nó 1, tem-se a equação I I IA1 21 41 0+ + = , ou seja,</p><p>100</p><p>2 1 2</p><p>01 2 1 4 1−</p><p>+</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>=</p><p>V V V V V</p><p>ou − + + = −4 2 1001 2 4V V V</p><p>a)Obter as equações dos nós 2, 3 e 4.</p><p>b)Resolver, por qualquer método, o sistema linear formado pelas equações</p><p>dos nós 1, 2, 3 e 4, a fim de obter as voltagens em cada nó do circuito.</p><p>Resposta:</p><p>a) sistema obtido: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>V1= V2= V3= V4</p><p>15</p><p>5) Uma companhia mista consta de turcos, gregos, brasileiros, alemães e italianos. O</p><p>número de brasileiros é igual à terça parte do número de alemães menos um, e é igual,</p><p>também, à metade do número de italianos menos 3.</p><p>Os turcos e os alemães ultrapassam o número de gregos e de italianos de 3; os gregos e os</p><p>alemães formam a metade menos um da companhia; enquanto que os italianos e os gregos</p><p>constituem</p><p>16</p><p>7</p><p>da companhia toda.</p><p>Calcule o número de membros de cada nacionalidade.</p><p>→ Escreva as equações e ordene as variáveis</p><p>a) Escreva o sistema na forma matricial</p><p>b) Use o método de Gauss, com pivotação parcial</p><p>6) Calcule A -1 e det (A) sendo:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>=</p><p>31</p><p>12</p><p>)Aa</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−</p><p>−</p><p>=</p><p>321</p><p>1 13</p><p>112</p><p>) Ab</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−</p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p>211 2</p><p>3 011</p><p>1 12 3</p><p>105 1</p><p>)Ac</p><p>Respostas:</p><p>5) a)</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−</p><p>−−−</p><p>−−</p><p>−</p><p>−</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>6</p><p>3</p><p>79977</p><p>11111</p><p>11101</p><p>01020</p><p>00031</p><p>T</p><p>I</p><p>G</p><p>B</p><p>A</p><p>b) A = 24 B = 7 G = 15 I = 20 T = 14</p><p>6)a) A-1(1,1) = 0,4286 e detA = -7</p><p>b) A-1(1,1) = 0,5560 e detA = 9 c)A-1(1,1) = -0,1250 e detA = -48</p><p>16</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO - ATIVIDADE 3</p><p>Objetivos: a)Resolver sistemas lineares empregando os métodos iterativos de Jacobi e</p><p>Gauss-Seidel ; b)Resolver sistemas complexos</p><p>ATIVIDADES</p><p>1) Resolva o sistema pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=+</p><p>=−+</p><p>+=−</p><p>26</p><p>25</p><p>172</p><p>yzx</p><p>zxy</p><p>zyx</p><p>com 410−≤aε .</p><p>a) Para se fazer na “mão”, siga os passos indicados:</p><p>� Ordene as equações de modo que os maiores valores, em módulo, fiquem na diagonal</p><p>principal para tentar garantir a convergência do método.</p><p>O sistema passa a ser escrito assim:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=−−</p><p>=−+</p><p>−=+−</p><p>172</p><p>25</p><p>26</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>zyx</p><p>� Explicite x na primeira equação, y na segunda equação, e assim por diante...</p><p>( )</p><p>6</p><p>32 −+−</p><p>=</p><p>y</p><p>x ,</p><p>( )</p><p>6</p><p>2 xz</p><p>y</p><p>−+</p><p>= e</p><p>( )</p><p>7</p><p>12 −−</p><p>=</p><p>yx</p><p>z</p><p>� Preencha a tabela com as iterações, começando por substituir x=0 e y = 0 no lado</p><p>direito das equações acima e anotando o resultado, lado esquerdo</p><p>Nota: Para se obter os novos valores:</p><p>a) Jacobi usa sempre os valores da linha anterior</p><p>b) Gauss-Seidel usa sempre os últimos valores calculados</p><p>Jacobi Gauss-Seidel</p><p>0 0 0 0 0 0 0 0</p><p>1 - 0,3333 0,4000 -0,1429 1 -0,3333 0,44667 -0,3238</p><p>2 -0,2429 0,4381 -0,3048 2 -0,2016 0,3756 -0,2790</p><p>3 -0,2095 0,3876 -0,3027 3 -0,2242 0,3891 -0,2861</p><p>4 -0,2183 0,3814 -0,2835 4 -0,2208 0,3870 -0,2850</p><p>5 -0,2225 0,3869 -0,2830 5 -0,2213 0,3873 -0,2851</p><p>6 -0,2217 0,3879 -0,2852 6 -0,2213 0,3872 -0,2851</p><p>7 -0,2211 0,3873 -0,2853</p><p>8 -0,2212 0,3872 -0,2851</p><p>9 -0,2213 0,3872 -0,2851</p><p>17</p><p>Resposta: x = -0,2213 y = 0,3872 z = -0,2851 ( o método de Gauss-Seidel converge</p><p>mais rapidamente)</p><p>b) No VCN</p><p>→ Sistemas Lineares</p><p>→ Métodos Iterativos</p><p>→ Escreva os coeficientes e os termos independentes do sistema na forma organizada.</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−−</p><p>−</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>z</p><p>y</p><p>x</p><p>721</p><p>151</p><p>116</p><p>→ selecione resolução passo à passo.</p><p>→ selecione o método de JACOBI</p><p>→ pressione a tecla REINICIAR , selecione o método GAUSS-SEIDEL.</p><p>Nota: como visto em a) a resposta final é a mesma – confira.</p><p>2) Sistemas complexos ( como obter a fórmula de transformação )</p><p>Para transformar o sistema Ax = B num sistema real correspondente, considere:</p><p>A = M + Ni ; B = C + Di; X = R + Si</p><p>Ax = B</p><p>↓</p><p>( M+Ni) (R+Si ) = C + Di</p><p>MR + MSi + NRi - NS = C + Di</p><p></p><p></p><p></p><p>=+</p><p>=−</p><p>DMSNR</p><p>CNSMR</p><p>ou</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>D</p><p>C</p><p>=</p><p>S</p><p>R</p><p>M N</p><p>N- M</p><p>que é o sistema real correspondente, onde R contém a parte real e S a parte</p><p>imaginária da solução.</p><p>18</p><p>a) Resolva o sistema com aε ≤ = 10-2</p><p></p><p></p><p></p><p>+=−++</p><p>+=−−</p><p>iyixi</p><p>iyix</p><p>79)9()1(</p><p>3)32(10</p><p>Solução no VCN: Fórmula</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>D</p><p>C</p><p>=</p><p>S</p><p>R</p><p>M N</p><p>N- M</p><p>tem-se M = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> −</p><p>9</p><p>3</p><p>=C</p><p>91</p><p>210</p><p>N = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>− 7</p><p>1</p><p>=D</p><p>11</p><p>30 e faça R = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>x</p><p>x</p><p>=S e</p><p>x</p><p>x</p><p>O sistema real correspondente será:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>−−</p><p>7</p><p>1</p><p>9</p><p>3</p><p>=</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>9111</p><p>21030</p><p>1191</p><p>30210</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>Resolvendo o sistema real pelo método de Gauss, com pivotação parcial, obtemos:</p><p>x1 = 0,70 x2 = 0,83 x3 = 0,01 x4 = 0,79</p><p>Para voltar ao sistema complexo, usa-se a expressão: X = R + Si</p><p>Então, a resposta do sistema complexo é: x = 0,70 + 0,01i</p><p>y = 0,83 + 0,79i</p><p>19</p><p>Cálculo Numérico – Laboratório -- Tarefa 3</p><p>Nome: _________________________________________________ Curso________</p><p>1) Resolva o sistema pelos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, com ε ≤ 10-3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=−−++−</p><p>−=−+++−</p><p>=−++−</p><p>−=++−+</p><p>=−−++−</p><p>13517232</p><p>14318</p><p>131523</p><p>826</p><p>14210</p><p>zwtxy</p><p>wtzyx</p><p>wtxyz</p><p>yzxtw</p><p>twzyx</p><p>a) Sistema organizado:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−=−+−−</p><p>=−++−</p><p>−=−+++−</p><p>=−−++−</p><p>−=++++−</p><p>13172523</p><p>131532</p><p>14318</p><p>14210</p><p>826</p><p>wtzyx</p><p>wtzyx</p><p>wtzyx</p><p>wtzyx</p><p>wtzyx</p><p>b) x = 0,436 y = 1,645 z = -0,111 t = 0,994 w = 0,798</p><p>c) Números de iterações necessárias: Jacobi: 6 ; Gauss-Seidel: 5</p><p>2) Resolva o sistema complexo, usando o método de Gauss, com pivotação parcial,</p><p>para resolver o sistema real correspondente. ε ≤ 10-4</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>+−=++−</p><p>+−=−−−</p><p>−=−+−</p><p>iziyix</p><p>iziiyx</p><p>iizyxi</p><p>5)5(2</p><p>21)2(122</p><p>637)82(</p><p>Resposta</p><p>a) Sistema real correspondente</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−−</p><p>−−</p><p>−−−</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>5-</p><p>1-</p><p>6-</p><p>x</p><p>520101</p><p>2021120</p><p>072308</p><p>101520</p><p>1120202</p><p>308072</p><p>6</p><p>5</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>b) Solução do sistema real:</p><p>x1 = 0,1380 x2 = -0,1389 x3 = -0,1358 x4 = -0,8200 x5 = 0,0481 x6= 0,4188</p><p>c) Solução do sistema complexo: x = 0,1380 – 0,8200i</p><p>y = -0,1389 + 0,0481i</p><p>z =</p><p>-1,1358 + 0,4188i</p><p>20</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO LABORATÓRIO - ATIVIDADE 4</p><p>Objetivos: Tabelar uma função num intervalo dado. Calcular somas e produtos.</p><p>Atividade</p><p>Problema 1: Dada a função 0,1x , 2x1 , )3/()1(sen2 =∆≤≤++= xxy , tabele a função</p><p>com espaçamentos iguais e 410−≤aε .</p><p>a) Usando o "software" MatLab</p><p>� entre no Matlab</p><p>� crie o vetor x ...... x = [1 : 0.1 : 2]</p><p>� crie vetor y com as imagens da função ...... y = (sin(x).^2 + 1). / (x + 3)</p><p>� escreva a tabela usando os vetores x e y</p><p>O valor encontrado para y(1,4) é : 0,4480</p><p>b) Usando a HP48</p><p>� ligue a calculadora</p><p>� pressione a tecla MODES , coloque a calculadora para trabalhar em radianos e</p><p>fixe a saída em 4 casas decimais.</p><p>� gere uma lista(sequência) com as imagens, seguindo os passos:</p><p>Função '(sin(x)^2 + 1) / (x+3)' ENTER</p><p>Variável 'x' ENTER</p><p>Valor inicial 1 ENTER</p><p>Valor final 2 ENTER</p><p>Passo 0.1 ENTER</p><p>PRG LIST PROC(next) SEQ aparecerá a lista das imagens</p><p>� confira o valor y(1,4) = 0,4480</p><p>c) Usando o VCN(cálculo numérico)</p><p>� entre no VCN e vá para o menu utilitários - procure ''tabelar função''</p><p>� entre com: valor inicial, valor final, passo ou número de pontos</p><p>� entre com a função e mande ''calcular'' - - - aparecerá a tabela da função e a soma e o</p><p>produto das imagens.</p><p>� confira o valor y(1,4) = 0,4480</p><p>21</p><p>Problema 2: Tabele 150 pontos da função y = (xcosx + lnx). /(x -1) no intervalo</p><p>4</p><p>a 10 com 75,1132,1 −≤≤≤ εx .</p><p>Nota: neste caso não foi fornecido o x∆ , mas poderá ser calculado pela fórmula:</p><p>Xfinal = Xinicial + (n - 1)h , onde n é o número de pontos e h é o x∆ constante.</p><p>Valor de x∆ encontrado: h = ( 11,75 – 1,32 ) / 149 = 0,07</p><p>a) Usando o ''software'' Matlab</p><p>� gere o vetor x .... x = [ xinicial: passo: xfinal ]</p><p>� gere o vetor y..... y = (x.*cos(x) + log(x)). / (x - 1)</p><p>� O valor obtido para y(4,68) é : 0,3781</p><p>b) Usando a HP48 (fixe a calculadora em quatro casas decimais)</p><p>� gere uma lista(sequência) com as imagens, seguindo os passos</p><p>função ' (x*cos(x) + ln(x)) / (x - 1) ' ENTER</p><p>Variável 'x ' ENTER</p><p>Valor inicial 1.32 ENTER</p><p>Valor final 11,75 ENTER</p><p>Passo 0.07 ENTER</p><p>PRG LIST PROC (next) SEQ aparecerá a lista das imagens.</p><p>� Veja se consegue a imagem em x= 4,68 para conferir: ............</p><p>c) Usando o VCN(cálculo numérico) Basta proceder como no problema 1</p><p>Veja como é fácil ler a imagem y (4,68) = 0,3781</p><p>Problema 3: Calcule ∑</p><p>= +</p><p>+10</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2sen</p><p>i i</p><p>ii</p><p>Nota: quando não houver menção em contrário o passo é 1</p><p>a) No “Software” Matlab</p><p>� que os valores de x: x = [1:1:10]</p><p>� que os valores de y: )1/().3.^)*2(( ++= xxxsiny</p><p>� some os y: sum(y)</p><p>Resultado: 338,2429</p><p>b) Na HP48</p><p>� que uma lista com as imagens</p><p>)1/())*2(( 3 ++ xxxsin ENTER</p><p>‘x’ ENTER</p><p>1 ENTER</p><p>22</p><p>10 ENTER</p><p>1 ENTER</p><p>PRG LIST PROC SEQ</p><p>NXT</p><p>� some os elementos da lista</p><p>MTH . . . LIST . . . ∑ LIST</p><p>Resultado: 228,2429</p><p>c) No VCN</p><p>� Utilitário</p><p>� Tabelar uma função</p><p>� Entre com: valor inicial 1 , valor final 10 , passo 1 .</p><p>� Entre com a função )1/()3^)*2(( ++ xxxsin</p><p>� Mande calcular e aparecerá a tabela e ao lado a soma e o produto das imagens</p><p>∑ =)(xf 338,2429</p><p>23</p><p>Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 4</p><p>Nome: ___________________________________________Curso:______________</p><p>1 - Calcule 8 pontos da função</p><p>1</p><p>sen2</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>x</p><p>xx</p><p>y , no intervalo [1 , 2] , 410−≤aε .</p><p>Resposta: O terceiro y da tabela é : 1,1431</p><p>2 - Calcule: a) 5</p><p>a</p><p>10</p><p>1</p><p>10 ,</p><p>12</p><p>)3sen( −</p><p>=</p><p>≤</p><p>+</p><p>−+</p><p>∑ ε</p><p>i</p><p>i</p><p>ii</p><p>b) 5</p><p>10</p><p>1</p><p>3</p><p>10</p><p>3</p><p>−</p><p>=</p><p>≤ε</p><p>+</p><p>+</p><p>∏ a</p><p>i</p><p>j</p><p>,</p><p>ei</p><p>ii</p><p>sen</p><p>cos</p><p>Respostas: a) –2,06735 b) 1110...62804,2 −x = 0,00000</p><p>3) a) Tabele 200 valores de cada função abaixo</p><p>0,1h e 1 x,</p><p>53</p><p>sen</p><p>1</p><p>2</p><p>==</p><p>+</p><p>=</p><p>x</p><p>x</p><p>y ; 410−≤aε Resposta: y( 3,7) = 0,0174</p><p>b) Calcule a soma de todas as imagens de índice par. Resposta:1,9458</p><p>c) Calcule a soma das imagens entre a vigésima e a septuagésima. Resposta = 1,1561</p><p>4) - Faça as tabelas</p><p>a)</p><p>)(</p><p>)sen(</p><p>22 +</p><p>=</p><p>x</p><p>x</p><p>y ; x(inicial) = 1 ; h = 0,1 ; 10 pontos, 210−≤aε</p><p>Resposta: y(1,6) = 0,22</p><p>b) 653 2 −+= ttw ; t(final) = 2,09 ; h = 0,01 ; 10 pontos e 410−≤aε</p><p>Resposta: w(2,09) = 17,5543</p><p>c) 3</p><p>a2</p><p>10 e pontos 12 ; 2,1y1 ;</p><p>5,3</p><p>))sen(cos( −≤≤≤</p><p>−</p><p>= ε</p><p>yye</p><p>y</p><p>z</p><p>Resposta: o sexto valor de z é igual a –0,002</p><p>d)</p><p>3</p><p>log4</p><p>+</p><p>=</p><p>xx</p><p>x</p><p>y ; 5</p><p>a 10 ; 0,1h ; 2,41,3 −≤=≤≤ εx Resposta: y(3,7)= 0,08291</p><p>e) φ</p><p>4 3</p><p>2</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>xx</p><p>xx )log(ln</p><p>; 710 ; 0,05x ; 25,28,1 −≤=∆≤≤ ax ε</p><p>Resposta: φ(1.95)= 0,4328159</p><p>f) 232</p><p>2 2</p><p>2</p><p>4</p><p>x</p><p>x</p><p>ex</p><p>x</p><p>xf</p><p>+</p><p>−</p><p>=)( com =95x 21,1 ; h = 0,2 , 10 pontos , 1010−≤aε</p><p>Resposta: o valor da última imagem é 2210...176,2 −x = 0,0000000000</p><p>g) 5,1 x, ln 1 =+= xey</p><p>x e h = 0,2 ; 210−≤εa , 7 pontos. Resposta: y(1,7)= 2,45</p><p>24</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO LABORATÓRIO - ATIVIDADE 5</p><p>Objetivo: usar as ferramentas Matlab, HP48 e VCN para fazer tabelas dos operadores diferença</p><p>finita e interpolação pelos métodos de Gregory-Newton e Lagrange.</p><p>Atividade</p><p>Problema 1: (Função tabelada)</p><p>Faça a tabela das potências de ∆ para a função:</p><p>x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2</p><p>y 1,234 2,597 3,016 5,214 7,956 10,842</p><p>a) No Matlab</p><p>→ armazene as imagens num vetor de nome y</p><p>y = [1.234,2.597,3.016,5.214,7.956,10.842]</p><p>→ execute o comando abaixo (cada linha do resultado será uma potência)</p><p>digite for i = 1 : length(y) - 1 , y = diff(y) , end pressione ENTER</p><p>→ anote ∆3y2 = ................... (para conferir)</p><p>b) Na HP48</p><p>→ armazene as imagens numa lista diretamente na pilha:</p><p>{1.234 2.597 3.016 5.214 7.956 10.842} ENTER</p><p>→ pressione MTH LIST e aparecerá um menu onde o primeiro item é ∆LIST</p><p>→ vá pressionando ∆LIST e cada vez aparecerá uma potência</p><p>→ anote ∆3y2 = ......................... (confira com o anterior)</p><p>c) No programa VCN (Cálculo Numérico)</p><p>(aqui são encontradas opções para todas as tabelas)</p><p>→ Operadores</p><p>→ entre com os limites, número de pontos, passo e as imagens</p><p>→ marque a opção ∆ (delta) e pressione "calcular"</p><p>� confira ∆3y2 = -1,235</p><p>Problema 2: (Função dada por uma equação)</p><p>Faça a tabela das potências de ∆ para a função y = cos x ; 1,3≤x≤5,5 ; h = 0,2 ;</p><p>410−≤aε .</p><p>a) No Matlab</p><p>25</p><p>→ gere os vetores x e y:</p><p>x = [1.3:0.2:5.5]</p><p>y = cos(x)</p><p>→ use o mesmo comando do problema 1</p><p>→ anote ∆4y3</p><p>= ............... (para conferir)</p><p>b) Na HP48 (Coloque em modo RADIANO e FIX 4)</p><p>→ gere uma sequência ( SEQ ) com as imagens.</p><p>'cos(x)' ENTER</p><p>'x ' ENTER</p><p>1.3 ENTER</p><p>5.5 ENTER</p><p>0.2 ENTER</p><p>→ proceda agora como no exemplo anterior</p><p>MTH LIST ∆LIST</p><p>→ anote ∆4y3 =…………………</p><p>c) No VCN (Cálculo Numérico)</p><p>Aqui tem-se também a facilidade de obter todas as tabelas:</p><p>→ Operadores</p><p>→ entre com os limites, o passo e a função.</p><p>→ escolha a opção e leia a tabela.</p><p>→ anote ∆4y3 =</p><p>Problema 3:</p><p>Notas:</p><p>a)A notação w(y) informa que y é a variável independente (domínio) e que w é avariável</p><p>dependente (imagem).</p><p>b)Verifica-se que o passo ∆y é constante e igual a 0,31. (confira).</p><p>Dada função w(y) tabelada, calcule a imagem em 1,37</p><p>w -0,36 0,86 1,37 3,16 4,81</p><p>y 1,27 1,58 1,89 2,20 2,51</p><p>26</p><p>a) Usando o Matlab</p><p>→ defina vetor x : x = [1.27 , 1.58 , 1.89 , 2.20 , 2.51]</p><p>→ defina vetor y : y = [-0.36 , 0.86 , 1.37</p><p>8 pontos da função, com h</p><p>constante.</p><p>Resposta: ..........................................</p><p>3 – Calcule ∫ =</p><p>+</p><p>2</p><p>0</p><p>-cosx</p><p>0,2 h com ,</p><p>42x</p><p>e</p><p>dx</p><p>Resposta: ..........................................</p><p>4 – Calcule ∫ ∫ ∫++</p><p>−</p><p>1</p><p>0</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>044</p><p>xsen(senx)d dxlogx</p><p>2x</p><p>1</p><p>dx com erro inferior a 0,001</p><p>Resposta: ..........................+..............................+.............................=................................</p><p>32</p><p>5 – Calcule a integral ∫</p><p>48,1</p><p>37,0</p><p>ydx sendo dada a função tabelada:</p><p>a)</p><p>x 0,37 0,53 0,69 0,85 1,06 1,27 1,48</p><p>y 0,370 0,555 0,740 0,920 1,110 1,295 1,480</p><p>b) (0,370 ; 1,46) ; (1,110 ; 5,05) ; (0,740 ; 2,69) ; (0,555 ; 1,53) ; (1,480 ; 8,73) ; (0,925 ;</p><p>3,85) ; (1,295 ; 7,05)</p><p>Resposta:</p><p>6 – Calcule a integral da função 5x1 ,</p><p>1</p><p>3sen</p><p>2</p><p>2</p><p>≤≤</p><p>+</p><p>+</p><p>=</p><p>x</p><p>x</p><p>y , tabelando apenas 1000 pontos da</p><p>função no intervalo, com x∆ constante.</p><p>Resposta:</p><p>7 – Calcule as integrais:</p><p>a) ∫ +</p><p>+25,4</p><p>53,1</p><p>2</p><p>3log</p><p>1)sen(x</p><p>x</p><p>dx tabelando apenas 11 pontos da função.</p><p>Resposta:</p><p>b) ∫ +</p><p>76,2</p><p>68,0 2</p><p>x</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>e</p><p>dx</p><p>e x</p><p>com h = 0,16 , sem usar Regra dos Trapézios.</p><p>Respostas: 0,17147 + 0,08712 =</p><p>c) ∫ +</p><p>−+3</p><p>1</p><p>2</p><p>5cos</p><p>lnx</p><p>x</p><p>xe</p><p>dx , e dê o resultado com 15 dígitos.</p><p>Resposta:</p><p>d) dx x</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>∫− , com h = 0,1</p><p>Respsota:</p><p>e) ∫−</p><p>31,1</p><p>37,0 2x</p><p>dx</p><p>, com h = 0,21</p><p>Resposta:</p><p>33</p><p>Respostas:</p><p>1) a) 6,87 b) 6,807 c) –0,793 d) 2,46</p><p>2) 2,80</p><p>3) 0,558</p><p>4) 2,94141854</p><p>5) a) 1,068 b) 4,65 6) 2,16953</p><p>7) a) 0,712</p><p>b) 0,17147+0,08712 = 0,258</p><p>c) 2,296 . . .</p><p>d) 0,0000</p><p>e) (73,279 não é a resposta. A integral não existe)</p><p>34</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 7</p><p>Objetivo: Usar o VCN , Matlab e HP48 nas aplicações da integral definida</p><p>Problema 1:</p><p>Calcule a área limitada pelas curvas</p><p>0,1.h com , 3x1 ,</p><p>x</p><p>1</p><p>y e sen3 2 =≤≤== xy</p><p>Nota: Área = | f(x) - g(x) | dx</p><p>b</p><p>a∫</p><p>Escreve-se a integral correspondente à área, conforme nota acima</p><p>Modelagem: .</p><p>3 2</p><p>1</p><p>| 3senx - 1/x | dx∫</p><p>→ no VCN – entre em Integração – Integral simples dada a função</p><p>→ digite a função { Nota: | x | é representado por abs(x) }</p><p>Resposta: 3,7987</p><p>Problema 2:</p><p>Considere a função y = xe2x definida no intervalo [ 0, 1] . Calcule o</p><p>comprimento do arco no intervalo com h = 0,01</p><p>Nota: [ ]∫ +=</p><p>b</p><p>a</p><p>dxxfL</p><p>2)('1</p><p>a) Modelagem [ ]∫ ++=</p><p>1</p><p>0</p><p>222 )21 dxxeeL</p><p>xx …. Use integral simples dada função</p><p>b) Resposta: .........................</p><p>Problema 3:</p><p>Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por</p><p>y = ln x e o eixo x , no intervalo [ 1 , 5 ] , em torno do eixo x.</p><p>Nota: [ ] dxxfv</p><p>b</p><p>a</p><p>2)( ∫= π</p><p>a) Modelagem : ( ) dxxv</p><p>25</p><p>1</p><p>ln ∫= π</p><p>b) Resposta:</p><p>35</p><p>Problema 4 :</p><p>B</p><p>A curva da figura gira em torno da reta AB .</p><p>Calcule o volume do sólido gerado.</p><p>x = 0,12</p><p>A b = 1,57</p><p>c = 1,81</p><p>d = 1,48</p><p>a) Modelagem:</p><p>Colocando-se um sistema de eixos adequado, obtem-se a tabela</p><p>x 0 0,12 0,24 0,36 0,48</p><p>f(x) 0,80 1,57 1,81 1,48 0</p><p>Calcula-se o quadrado de f(x)</p><p>x 0 0,12 0,24 0,36 0,48</p><p>[ ]2)(xf (0,80)2 (1,57)2 (1,81)2 (1,48)2 (0)2</p><p>[ ]∫=</p><p>b</p><p>a</p><p>dxV</p><p>2f(x) π</p><p>→ usar INTEGRAÇÃO DADA A TABELA e multiplicar o resultado por π</p><p>b) Resposta:</p><p>•</p><p>a</p><p>b</p><p>c d</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>x</p><p>36</p><p>Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 7</p><p>Nome: _________________________________________Curso:_________________</p><p>1) Calcule a área limitada pelas curvas. Nota: Área = | f(x) - g(x) | dx</p><p>b</p><p>a∫</p><p>3 2 x-2</p><p>3 sen e y , 1 x 3 , com h 0,05.</p><p>x</p><p>y x x= = ≤ ≤ =</p><p>a) Modelagem: .................................................................b) Resposta: .......................</p><p>2) Calcule o comprimento do arco da curva senx , 3 5 , com h 0,1.xy xe x= ≤ ≤ =</p><p>Nota: [ ]∫ +=</p><p>b</p><p>a</p><p>dxxfL</p><p>2)('1</p><p>a) Modelagem: ...............................................................b) Resposta: ..........................</p><p>3) Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da curva y = senx/x , em torno do</p><p>eixo-x , no intervalo [1,3] , com h= 0,2</p><p>Nota: Volume =</p><p>2[ ( )]</p><p>b</p><p>a</p><p>f x dxπ ∫</p><p>a) Modelagem: .............................................................b) vResposta: ......................</p><p>4) De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade</p><p>instantânea:</p><p>T(min) V(km/h)</p><p>0 23</p><p>5 25</p><p>10 28</p><p>15 35</p><p>20 40</p><p>25 45</p><p>30 47</p><p>35 52</p><p>40 60</p><p>45 61</p><p>50 60</p><p>55 54</p><p>60 60</p><p>Calcule a distância em quilômetros percorrida pelo automóvel.</p><p>Resposta:</p><p>37</p><p>5) Calcule a área limitada pelas curvas ,3xxsenx y e ln == xy para x no intervalo</p><p>[2,3] , com h = 0,1</p><p>Resposta:</p><p>6) Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e</p><p>B . Para medir a área do trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares</p><p>em relação à AB com um intervalo de 0,05 km. Qual é esta área?</p><p>Perpendiculares Comprimento (km)</p><p>A 3,28</p><p>B 4,02</p><p>C 4,64</p><p>D 5,26</p><p>E 4,98</p><p>F 3,62</p><p>G 3,82</p><p>H 4,68</p><p>I 5,26</p><p>J 3,82</p><p>K 3,24</p><p>7) A figura a seguir representa a fotografia aérea de um lago, com as medidas em km.</p><p>Calcule a área do lago.</p><p>2km</p><p>4km</p><p>0,6 1,2</p><p>4km</p><p>7km</p><p>10km 9km</p><p>8km</p><p>6km</p><p>(km) 1,8 2,4 3,0 3,6 4,2</p><p>0,8 1,6 2,2 3,2 4,0 4,8</p><p>5km</p><p>9km</p><p>8km</p><p>7km</p><p>0</p><p>38</p><p>Respostas:</p><p>1- a) dx</p><p>x</p><p>x</p><p>x∫</p><p>−</p><p>−</p><p>3</p><p>1</p><p>23 2</p><p>3xsen b) 6,031130</p><p>2 – a) ( ) dxxxexxexe</p><p>xxx 2 5</p><p>3</p><p>sencossen1 +++∫ b) 720,0907</p><p>3 – a) ∫ </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>senx</p><p>dxπ b) 1,636</p><p>4 – 46 km</p><p>5 – 3,1990</p><p>6 –</p><p>7 -</p><p>39</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO - LABORATÓRIO - ATIVIDADE 8</p><p>Objetivo: Usar o VCN , Matlab e HP48 no cálculo de integral dupla e aplicações.</p><p>Problema 1:</p><p>Calcule ∫ ∫ +</p><p>++2</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>2xy)sen(x</p><p>dydx</p><p>yx</p><p>com hx = 0,2 e hy = 0,1</p><p>No VCN : integral</p><p>→ integral dupla dada a função</p><p>→ entre com limites de x e hx</p><p>→ entre com limites de y e hy</p><p>→ entre com a função.</p><p>→ pressione Calcular.</p><p>Nota: o programa informa que foi usada regra dos Trapézios em x e 1a Regra de Simpson em</p><p>y. O maior erro de truncamento é da ordem de (hx)</p><p>2 = (0,2)2 = 0,04 , .10 2−≤Tε</p><p>Por isso a resposta deve ser dada com apenas duas casas decimais</p><p>Resposta: 0,28.</p><p>Problema 2:</p><p>Calcule a integral dupla da função z = f(x , y) na região tabelada.</p><p>y</p><p>x</p><p>1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8</p><p>0,1 0,352 0,489 0,750 0,981 1,234 0,887 0,451</p><p>0,2 0,465 0,888 0,978 1,223 2,451 1,789 0,805</p><p>0,3 0,897 1,238 2,899 3,005 2,876 1,555 0,989</p><p>0,4 0,468 0,667 1,290 0,997 0,651 0,321 0,219</p><p>→ verifica-se, inicialmente, que a tabela tem espaçamentos iguais no x e no y</p><p>→ No VCN, entre em Integral – dupla – dada a tabela</p><p>→ entre com os valores iniciais , finais e espaçamento do x e do y</p><p>→ entre com as imagens da tabela e pressionar Calcula</p><p>O programa informa que foi usada 2a. Regra de Simpson em y e 2a. Regra de Simpson em x</p><p>Resposta : ( copiar o valor da integral com 3 casas decimais – número de</p><p>casas decimais da tabela)</p><p>40</p><p>Problema 3:</p><p>Calcule o volume do sólido limitado pelas superfícies:</p><p>);sen(ez ; 0,6 x; 3,4y ; 1,2 x; 1 yx2 xyxz −====−= +</p><p>0,1hy e 0,1hx com 4,5 ===y</p><p>→ Faça a modelagem</p><p>∫ ∫</p><p>−=</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>x</p><p>x y 21z</p><p>y</p><p>dydxzV</p><p>Obtendo:</p><p>∫ ∫ +−= +2,1</p><p>0,6</p><p>5,3</p><p>3,4</p><p>2 )sen(x-1 dydxxyeV</p><p>yx</p><p>→ Proceda como no problema 1</p><p>Resposta:</p><p>Escreve-se a integral correspondente à área, conforme nota acima</p><p>Modelagem: .</p><p>3 2</p><p>1</p><p>| 3senx - 1/x | dx∫</p><p>� no VCN – entre em Integração – Integral simples dada a função</p><p>� digite a função { Nota: | x | é representado por abs(x) }</p><p>Resposta: 3,7987</p><p>Exemplo 4</p><p>Considere a função y = xe2x definida no intervalo [ 0, 1] com h = 0,01 . Calcule:</p><p>a) o comprimento do arco no intervalo</p><p>b) o volume do sólido gerado pela rotação da curva em torno do eixo x</p><p>Nota: [ ]∫ +=</p><p>b</p><p>a</p><p>dxxfL</p><p>2)('1 e V = ∫</p><p>b</p><p>a</p><p>dxxf</p><p>2)]([π</p><p>c) Modelagem [ ]∫ ++=</p><p>1</p><p>0</p><p>222 )21 dxxeeL</p><p>xx …. Use integral simples dada função</p><p>Resposta:</p><p>d) Modelagem ∫ ∫==</p><p>1</p><p>0</p><p>1</p><p>0</p><p>4222 ][ dxexdxxeV</p><p>xxπ … Use integral simples dada função</p><p>Resposta: ..................</p><p>41</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 9</p><p>Objetivo: Usar o Matlab , VCN e a HP48 para resolver equações diferenciais do tipo</p><p>11)y(x ; ),(' yyxfy == , pelos métodos de Taylor e de Runge-Kutta.</p><p>Problema 1:</p><p>Resolva o PVI (problema de valor inicial)</p><p>0,371y(1,4) , 3)sen(' =+−=− yxxyy , 6,13,1 ≤≤ x , com h = 0,1 .</p><p>a)No VCN</p><p>→ Menu : equação diferencial, RungeKutta</p><p>→ entre com : x(inicial) = 1,4 ; y(inicial) = 0.371 ; no de pontos = 2 ; passo = 0,1</p><p>→ entre com f(x,y):(explicite 'y e escreva o lado direito da equação) sen(x*y)–y + x + 3.</p><p>→ calcule: (só aparecem as imagens em 1,5 e 1,6 ). Anote-as : y(1,5) = y(1,6) =</p><p>(anote com apenas 3 casas decimais que corresponde ao erro do y(inicial).</p><p>Nota: 1) para calcular a imagem em 1,3 , anterior à condição inicial, deve-se repetir o processo</p><p>mas com h negativo , h = -0,1 ...</p><p>y(1,3) = (anote)</p><p>2) A resposta é uma tabela com os valores anotados, arredondados para o mesmo número</p><p>de casas decimais da imagem na condição inicial</p><p>Resposta:</p><p>x 1,3 1,4 1,5 1,6</p><p>y -0,069 0,371 0,831 1,277</p><p>b)Na HP48</p><p>→ coloque a calculadora para operar em Radiano</p><p>→ selecione SOLVE , EQ.DIFERENCIAL</p><p>→ use EDIT para colocar f(x,y) (lado direito da equação na forma explícita)</p><p>→ coloque x(inicial) e y(inicial) (use as setas para mover de um campo para outro)</p><p>→ coloque x(final) = 1.5 e pressione solve para obter a imagem y(1,5)</p><p>→ coloque x(final) = 1.6 e pressione solve solve para obter a imagem y(1,6)</p><p>→ coloque x(final) = 1.3 e pressione solve para obter a imagem y(1,3)</p><p>42</p><p>(compare com os resultados obtidos em a)... a calculadora usa método de Runge-</p><p>Kutta).</p><p>Problema 2:</p><p>Resolva o PVI, usando o método da fórmula de Taylor de grau 5:</p><p>y ' – x3 + y – senx + 2,4 = 0 ; y(1,7) = 1,305 ; 1,23,1 ≤≤ x ; h = 0,2</p><p>a) explicita-se y ‘ na equação: y ‘ = x3 - y + senx - 2,4</p><p>b) calculam-se as derivadas até à quinta ordem e substitui-se o ponto inicial P(1,7 ; 1,305)</p><p>y ‘ = x3 - y + senx - 2,4 → y’(P) = 1,73 – 1,305 + sen(1,7) – 2,4 =</p><p>y’’ = 3x2 – y’ + cosx → y’’(P) = 3(1,7)2 – (..................) + cos(1,7) =</p><p>y’’’ = 6x – y’’ – senx → y’’’(P) = 6.1,7 - ( .................) – sen(1,7) =</p><p>y(4) = 6 – y’’’ – cosx → y(4)(P) = 6 – ( .............) – cos(1,7) =</p><p>y(5) = - y(4) +senx → y(5)(P) = - ( ..............) + sen(1,7) =</p><p>c) Escreve-se o polinômio de Taylor usando os valores obtidos</p><p>P(x) = 120/)(24/)(6/''')(2/'')(')( )5(5</p><p>1</p><p>)4(4</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>111 yxxyxxyxxyxxyxxy −+−+−+−+−+</p><p>Substituindo x1 por 1,7 ; y1 por 1,305 e os demais valores das derivadas já calculadas, tem-se y</p><p>= 1,305 + ( x – 1,7). +</p><p>120/)7,1(24/)7,1(6/''')7,1(2/'')7,1(')7,1(305,1 )5(5)4(43</p><p>1</p><p>2</p><p>111 yxyxyxyxyx −+−+−+−+−+</p><p>d) Usa-se o VCN – Utilitários – Tabelar função, para obter a tabela desejada:</p><p>Resposta:</p><p>x 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1</p><p>y 1,305</p><p>43</p><p>Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa 9</p><p>Nome: _________________________________Curso:_______________</p><p>1)Resolva o PVI, usando o método de Runge-Kutta de 4a. ordem</p><p>1,6x0,4 ; 0,3=h , 2,176=y(1,3) ;</p><p>1</p><p>3sen</p><p>'</p><p>2</p><p>2</p><p>≤≤</p><p>+</p><p>−</p><p>=</p><p>x</p><p>xxy</p><p>y</p><p>Resposta: x 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6</p><p>y 2,176</p><p>2) Resolva o PVI usando o polinômio de Taylor de grau 5</p><p>1</p><p>' ; y(1)=0,000 , h=0,1 ; 0,8 x 1,4y</p><p>x</p><p>= ≤ ≤</p><p>a) Escreva o polinômio obtido:</p><p>P(x) = .........................................................................................................................</p><p>……………………………………………………………………………….</p><p>b) Use o VCN(tabelar uma função) para calcular os valores procurados.</p><p>x 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4</p><p>y 0,000</p><p>3 – Uma quantidade de 10 kg de material é lançada em um recipiente contendo 60 kg de água.</p><p>A concentração da solução, c , em percentagem, a qualquer instante t é expressa como:</p><p>( ) )4100)(14200(</p><p>3</p><p>.1212,160 cc</p><p>k</p><p>dt</p><p>dc</p><p>c −−</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=− sendo k o coeficiente de transferência de</p><p>massa, igual a 0,0589 e com a condição inicial t = 0 e c = 0. Calcule a concentração em</p><p>a)t = 1,2; b) t= 1,4 c) t=1,6 com h = 0,10 . Resposta: a)................... b) ............... c)</p><p>................</p><p>4 – A corrente i num circuito LR num instante t qualquer depois que a chave é ligada em t</p><p>= 0 pode ser expressa pela equação: LRiwtE</p><p>dt</p><p>di</p><p>/))sen(( −=</p><p>Onde E = 50 volts, L = 1 henry , w = 300 , R = 50 ohms e a condição inicial é i = 0 para t</p><p>= 0 . complete a tabela</p><p>i 0</p><p>t 0 0,2 0,4 0,6</p><p>44</p><p>5 – Seja y o número de bactérias de uma colônia. Sabendo-se que a taxa de crescimento da</p><p>população é proporcional ao número de bactérias e no instante T = 0 há 2000 bactérias na</p><p>colônia, calcular o número de bactérias quando T = 2. Dados:</p><p>0,1.h e 2000y(0) ; ' === yy</p><p>6 – Resolver os PVI com h = 0,1 e 15 pontos a partir das condições iniciais:</p><p>1,28495.y(0,7) );2sen()(') ==+ xxytgya</p><p>2,378.y(1,5) ; 01')1)( 2 ==+++ yxb</p><p>Respostas:</p><p>1) x 0,4 0,7 1,0 1,3 1,6</p><p>y 1,125 1,356 1,667 2,176 2,919</p><p>2) a)</p><p>5</p><p>)1(</p><p>4</p><p>)1(</p><p>3</p><p>)1(</p><p>2</p><p>)1(</p><p>)1()(</p><p>5432 −</p><p>+</p><p>−</p><p>−</p><p>−</p><p>+</p><p>−</p><p>−−=</p><p>xxxx</p><p>xxP</p><p>b) x 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4</p><p>y -0,223 -0,105 0,000 0,085 0,182 0,262 0,337</p><p>3) a) 5,704 b) 6,351 c) 6,937</p><p>4)</p><p>i 0 -56 -16.282 -4.738.501</p><p>t 0 0,2 0,4 0,6</p><p>5)</p><p>6)</p><p>45</p><p>CÁLCULO NUMÉRICO – LABORATÓRIO – ATIVIDADE 10</p><p>Objetivo: Usar VCN , Matlab e HP48 para resolver equações algébricas e transcendentes.</p><p>Problema 1:</p><p>Obtenha a raiz da equação 035sen 12</p><p>=−+ +xex no intervalo (0 ; 0,3) com</p><p>.10 6−≤aε</p><p>Solução:</p><p>a) No Matlab { só funciona se o Matlab estiver carregado com o toolbox symbolic}</p><p>→ digits(6)</p><p>→ syms x</p><p>→ a = solve(sin(5.*x)+exp(x.^2+1)-3)</p><p>→ ans: a = 0,055379</p><p>b) Na HP 48</p><p>→ → solve , solve equation</p><p>→ entre com a equação</p><p>→ pressione solve:</p><p>Resp: 0,055379</p><p>c) No VCN ( use os três métodos: Bisseção, Cordas e Newton )</p><p>→ zero de função</p><p>→ ou bisseção ou cordas ou newton</p><p>→ entre com equação , valor inicial e final do intervalo e a precisão(0,000001)</p><p>→ para usar o método de Newton, entre com a derivada da função no espaço indicado</p><p>A resposta é a mesma nos três</p><p>casos, só muda o número de iterações</p><p>Resp: 0,055379</p><p>Número de interações: Bisseção = Cordas = Newton =</p><p>46</p><p>Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa – 10</p><p>Nome:__________________________________Curso:_______________</p><p>1 – Calcule a raiz da equação, com precisão de 0,00001 , no intervalo (3,5) , usando método das</p><p>cordas 002877,1082513,827487,6 23 =−−+ xxx</p><p>Resposta: valor de x na 3a iteração: ........................ ; raiz procurada:..........................</p><p>2 – Determine raiz da equação, no intervalo (-1 ; -0,5), pelo método da Bisseção, 310 −≤ε</p><p>02</p><p>3</p><p>2</p><p>2 =−−− xx . Valor de x na 4a iteração:................. ; raiz procurada:....................</p><p>3 – Calcule a raiz positiva da equação, com 0001,0≤ε , usando método de Newton:</p><p>022 =−−− senxxx , use como ponto inicial x = 1,5</p><p>Resposta: fórmula iterativa do método de Newton:.......................................................</p><p>Valor de x na 3a iteração:............................ ; raiz procurada:.............................</p><p>4 – Resolver a equação 033cos =−+ xe</p><p>x , (1 , 2) , com precisão de 0,000001.</p><p>Resposta:...................................</p><p>5 - Resolver a equação algébrica no intervalo (3 , 4) com</p><p>310−≤ε</p><p>015,2406,1530062,0 23 =−+− xxx , usando método da Bisseção e Cordas.</p><p>Resposta: número de iterações Bisseção:.................... Cordas:.............................</p><p>Raiz procurada:....................</p><p>6 – Resolver, pelo método das Cordas, com precisão de 0,00001:</p><p>021218,1 =−+ xx</p><p>, (0 , 10) Resposta:...........................</p><p>7 – A Tabela Price trata-se de um sistema de pagamento de dívida onde as prestações tem o</p><p>mesmo valor, ou seja, o somatório de amortização mensal do capital mais juros mensais é</p><p>constante (igual) ao longo do período do contrato. Tem como fórmula básica:</p><p>1%)1(</p><p>%%)1(</p><p>−+</p><p>+</p><p>=</p><p>n</p><p>n</p><p>i</p><p>ii</p><p>PVPMT , onde PMT = valor da prestação periódica, pv = valor do capital</p><p>financeiro, i = taxa de juros contratada (ao período), n = prazo (no de períodos). Calcular o</p><p>juro (i), de um empréstimo de R$100.000,00 com parcelas de R$12.950,46 em 10 meses.</p><p>(Sugestão: juros entre 0,01 e 10,00).</p><p>Resposta: Método escolhido:................................ ; juros:......................</p><p>47</p><p>Respostas:</p><p>1) valor de x na 3a iteração: 3,68214 ; raiz procurada: 3,72513</p><p>2) Valor de x na 4a iteração: -0,688 ; raiz procurada: -0,648</p><p>3) fórmula iterativa do método de Newton:</p><p>kk</p><p>kkk</p><p>kk</p><p>xx</p><p>xxx</p><p>xx</p><p>cos12</p><p>2sen2</p><p>1 −−</p><p>−−−</p><p>−=+</p><p>Valor de x na 3a iteração: 2,2859 ; raiz procurada: 2,2416</p><p>4) 1,140060</p><p>5) número de iterações Bisseção: 10 Cordas: 4</p><p>Raiz procurada: 3,300</p><p>6) 8,46890</p><p>7) Método escolhido: cordas ; juros: 0,05 %</p><p>8) 0,15645</p><p>9) ± 0,82415</p>casos, só muda o número de iterações 
Resp: 0,055379 
 
 Número de interações: Bisseção = Cordas = Newton = 
 
 46
Cálculo Numérico – Laboratório – Tarefa – 10 
 
Nome:__________________________________Curso:_______________ 
 
1 – Calcule a raiz da equação, com precisão de 0,00001 , no intervalo (3,5) , usando método das 
cordas 002877,1082513,827487,6 23 =−−+ xxx 
Resposta: valor de x na 3a iteração: ........................ ; raiz procurada:.......................... 
2 – Determine raiz da equação, no intervalo (-1 ; -0,5), pelo método da Bisseção, 310 −≤ε 
02
3
2
2 =−−− xx . Valor de x na 4a iteração:................. ; raiz procurada:.................... 
3 – Calcule a raiz positiva da equação, com 0001,0≤ε , usando método de Newton: 
022 =−−− senxxx , use como ponto inicial x = 1,5 
Resposta: fórmula iterativa do método de Newton:....................................................... 
Valor de x na 3a iteração:............................ ; raiz procurada:............................. 
4 – Resolver a equação 033cos =−+ xe
x , (1 , 2) , com precisão de 0,000001. 
Resposta:................................... 
5 - Resolver a equação algébrica no intervalo (3 , 4) com 
310−≤ε 
 015,2406,1530062,0 23 =−+− xxx , usando método da Bisseção e Cordas. 
Resposta: número de iterações Bisseção:.................... Cordas:............................. 
Raiz procurada:.................... 
6 – Resolver, pelo método das Cordas, com precisão de 0,00001: 
021218,1 =−+ xx
 , (0 , 10) Resposta:........................... 
7 – A Tabela Price trata-se de um sistema de pagamento de dívida onde as prestações tem o 
mesmo valor, ou seja, o somatório de amortização mensal do capital mais juros mensais é 
constante (igual) ao longo do período do contrato. Tem como fórmula básica: 
1%)1(
%%)1(
−+
+
=
n
n
i
ii
PVPMT , onde PMT = valor da prestação periódica, pv = valor do capital 
financeiro, i = taxa de juros contratada (ao período), n = prazo (no de períodos). Calcular o 
juro (i), de um empréstimo de R$100.000,00 com parcelas de R$12.950,46 em 10 meses. 
(Sugestão: juros entre 0,01 e 10,00). 
Resposta: Método escolhido:................................ ; juros:...................... 
 
 
 
 47
Respostas: 
 
1) valor de x na 3a iteração: 3,68214 ; raiz procurada: 3,72513 
 
2) Valor de x na 4a iteração: -0,688 ; raiz procurada: -0,648 
 
3) fórmula iterativa do método de Newton: 
kk
kkk
kk
xx
xxx
xx
cos12
2sen2
1 −−
−−−
−=+ 
 Valor de x na 3a iteração: 2,2859 ; raiz procurada: 2,2416 
 
4) 1,140060 
 
5) número de iterações Bisseção: 10 Cordas: 4 
 Raiz procurada: 3,300 
 
6) 8,46890 
 
7) Método escolhido: cordas ; juros: 0,05 % 
 
8) 0,15645 
 
9) ± 0,82415