CAP4FORMADIMTERRA1 2024-5

Prévia do material em texto

UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
43 
 
 
4. FORMA E DIMENSÕES DA TERRA 
A curiosidade do homem primitivo fez com que ele se interessasse pelo planeta em que vivia. 
Na observação de alguns fenômenos, surgiram superstições, ritos e cultos. De início foram usadas 
apenas observações astronômicas no estudo da geometria terrestre, e junto com as consequentes 
descobertas, permitiram na melhor compreensão dos eventos, resultando várias culturas e civilizações. 
Nos seus trabalhos de rotina, a Geodésia (ciência que estuda a forma e dimensões da Terra, 
seu campo gravitacional e as variações temporais) adota sistematicamente o elipsoide de revolução 
como modelo geométrico para representar a Terra. Para chegar a esta solução, o homem passou por 
várias iniciativas pois desde a origem da humanidade, há especulações sobre a forma da Terra. 
4.1 Formas da Terra: breve histórico 
Ao longo da história,considerou-se a terra de várias formas: plana, esférica, elipsoidal, geoidal. 
a) Plana: até o século IV AC, os sábios da época acreditavam que a Terra era plana, com 
forma retangular, circundada pelos mares. No limite das águas com o espaço, havia seres 
mitológicos, o que inibia as aventuras marítimas. Anaxímenes defendia que a Terra era retangular, e 
que flutuava sobre um oceano infinito, o qual era mantido no espaço por um colchão de ar. 
b) Esférica: vários estudiosos começaram a defender a esfericidade da Terra: 
-Tales de Mileto (625-547 a.C): foi o primeiro defensor da esfericidade terrestre, afirmando também 
que a mesma girava em torno do Sol. 
- Pitágoras de Samos (580-500 a.C): foi filósofo e matemático grego, fundador da escola de Crotona, 
introduziu a idéia da Terra esférica. 
- Aristóteles (384-322 a.C): filósofo e matemático, admitia a esfericidade da Terra, considerando-a 
imóvel. Introduziu os primeiros conceitos referentes à força de gravidade terrestre, e trouxe argumentos 
positivos sobre a esfericidade terrestre, que são: 1) o contorno circular da sombra projetada pela Terra nos 
eclipses da Lua; 2) a variação do aspecto do céu estrelado com a latitude; 3) a diferença no horário de 
observação de um mesmo eclipse para observadores situados em diferentes meridianos. 
- Eratóstenes (276 -175 a.C): matemático, astrônomo e geógrafo grego. Foi diretor da Biblioteca de 
Alexandria. Investigou as medidas da Terra e calculou o meridiano terrestre. Cabe aqui uma explanação mais 
detalhada do seu experimento. Eratóstenes provou a esfericidade da Terra, calculando sua circunferência, a 
partir da diferença de latitudes entre 2 cidades egípcias: Alexandria e Syene (atual Assuan, situada às 
margens do Rio Nilo, suposta situar-se sobre o Trópico de Câncer, já que a tradição preconizava que “no dia 
de solstício de verão, o astro-rei iluminava o fundo de um poço”). Ao mesmo tempo, não estava a pico em 
Alexandria, fazendo surgir a projeção de uma sombra que fazia um ângulo de 7°12´ com a vertical. Ele usou 
um gnômon (vara), obtendo para a distância zenital meridiana do Sol (no solstício de verão), na cidade de 
Alexandria, o valor de 1/50 da circunferência (7°12´). Veja figura ilustrativa do experimento abaixo. 
 
 
Figura 4.1: Experimento de Eratóstenes - Fonte: www.filosofia-irc.org e www.profeblog.es 
http://www.filosofia-irc.org/
http://www.profeblog.es/
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
44 
 
 
Para prosseguir no experimento, era preciso conhecer a distância Alexandria-Syene, o que não era 
difícil, face aos trabalhos de agrimensura dos egípcios no vale do Rio Nilo, e que era de 5.000 estádias (300 
milhas ou cerca de 787,5 km).Considerando finalmente que as duas cidades estão situadas num mesmo 
meridiano, Eratóstenes obteve para o comprimento do arco de 1°, o valor de 694,4 estádias, que corresponde 
para a circunferência equatorial, a 250.000 estádias ou 39.375km. Foi o primeiro matemático da antiguidade 
que encontrou um valor tão próximo do real (40.074,15km), e que perdurou por muitos séculos. Hoje sabe-se 
que Syene está a 3° a leste de Alexandria. 
 
Figura 4.2 – Cidades de Alexandria e Aswan. Fonte: https://www.tripsinegypt.com e 
https://images.memphistours.com/ 
- João Picard (1620 - 1682): astrônomo francês que introduziu várias melhorias no instrumental de 
medidas angulares, e que mediu o arco de meridiano de Paris e Amiens, em função do qual, calculou o raio 
da Terra, obtendo 6275 km. Foi quem realizou a primeira medida da era moderna para dimensões da Terra. 
c) Elipsoidal: esta fase inicia-se com as investigações teóricas de Newton (1642 - 1727), que foi um 
físico e matemático inglês, cujas especulações não admitiam harmonização entre o movimento de rotação e a 
forma perfeitamente esférica do planeta. Outrossim, considerava, como conseqüência da força centrífuga, um 
eixo polar mais curto (achatamento polar), abrindo perspectivas para a era elipsoidal. Já Cassini (1625 - 
1712): foi um astrônomo francês, diretor do Observatório de Paris, que ao prosseguir os trabalhos de 
triangulações iniciados por Picard, concluiu que o comprimento de um arco de meridiano decresce com o 
aumento da latitude, resultando para a Terra um achatamento equatorial e alongamento nos polos. 
A contradição entre a teoria de Newton ( apoiado por Huygens) e as conclusões de Cassini originaram 
uma polêmica entre as duas escolas européias: os adeptos de uma Terra achatada e os adeptos de uma Terra 
alongada, controvérsia esta fundamental para o início da Geodésia Moderna. Para esclarecer a dúvida, a 
Academia de Ciências de Paris patrocinou a medição de dois arcos de meridiano: um próximo do Equador e 
outro próximo do Pólo Ártico. A expedição equatorial (1735-1744), foi enviada para o Peru, hoje Equador, 
(latitude = 1° 30’S). Este grupo mediu dois arcos de meridiano com aproximadamente 3° de amplitude e 
obteve num deles, para o arco de 1°, o comprimento de 110.614 m. A expedição polar (1736-1737) foi 
enviada para a Lapônia (latitude = 66° 20’ N, norte da Escandinávia), e obteve para o arco de 1°, o 
comprimento de 111.948 m, o que confirmava a teoria newtoniana sobre a Terra achatada, conforme figura 
abaixo. Conclui-se então que a Terra tem a forma de uma esfera achatada por causa de sua rotação 
(elipsoidal), sendo que o raio é maior no Equador por causa da maior força centrífuga, tendendo a acelerar a 
massa central para fora. Atualmente, tem-se que o arco de 1° de latitude mede 111,133 km, e o arco de 1° de 
longitude mede 111,413 km. 
https://www.tripsinegypt.com/
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
45 
 
 
 
Figura 4.3: Teorias de Cassini e Newton 
 
d) Geoidal: no início do século XIX, cientistas de renome lançaram as bases de uma nova teoria que 
atribui à Terra uma forma mais irregular e complexa do que a do modelo elipsoidal. 
- Listing (1872), a forma da Terra é o geoide: superfície do nível médio das águas dos mares, em 
equilíbrio, prolongada através dos continentes e normal (90°) em cada ponto à direção da gravidade. 
- J.K.F. Gauss (1777-1855): definiu a forma geoidal. Muitos o consideram o “pai da Geodésia”. 
- Stokes (1819-1903): desenvolveu os fundamentos teóricos para a representação do geoide no seu 
famoso trabalho “On the variation of gravity and the surface of the Earth”, no qual faz uso das anomalias 
gravimétricas para o cálculo das alturas geoidais. 
Figura 4.4: Esfera x Elipsoide x Geoide 
 
Na realidade, pode-se afirmar que a Terra não tem uma só forma, pois depende do ponto de vista. 
Tanto a concepção da Terra plana como esférica,são aproximações aceitáveis para determinados fins. Nos 
limites da Topografia (lida com pequenas áreas), a Terra é considerada plana; para muitos cálculos 
astronômicos, é considerada esférica (também na definição de linhas da rede geográfica). 
Para os geodesistas, que lidam com medidas continentais, a Terra tem forma irregular, representada 
por sua real superfície topográfica, embora não seja adequada para desenvolvimentos matemáticos 
necessários ao cálculo da posição de pontos terrestres. É necessária uma forma geométrica, com tratamento 
matemático para desenvolvimento de fórmulas, que mais se aproxime da Terra, que é o elipsoide. Sendo 
assim, é interessante apresentar as 3 superfícies de trabalho envolvidas (Figura 4.5): 
1) superfície topográfica: é o modelo real,irregular, não havendo definições matemáticas para sua 
representação. Também chamada de superfície física da Terra (SF), é a superfície limitante do 
relevo topográfico (continental ou oceânico), sobre a qual são realizadas as medições de 
distâncias, ângulos, etc. 
2) superfície elipsoidal: as observações geodésicas efetuadas na superfície física, são reduzidas à 
superfície elipsoidal para todos os cálculos geodésicos, adotando-se para a Terra, o elipsoide de 
revolução. É a superfície do modelo geométrico no qual são efetuados os cálculos geodésicos e 
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
46 
 
 
desenvolvidas as fórmulas. O elipsoide é formado a partir de uma elipse rotacionada em torno do 
seu semieixo menor (b). 
3) superfície geoidal: é a equipotencial que coincide com o nível médio dos mares não perturbados 
(Fisher, 1975). É uma superfície equipotencial do campo da gravidade que melhor se aproxima 
do nível médio dos oceanos em toda a Terra (Vanicek & Krakiwsky, 1982). É irregular, sendo 
impossível obter-se um modelo matemático exato que a represente. É uma superfície ondulada, 
definida pelo nível médio dos mares (em repouso), prolongada através dos continentes, de 
maneira que as linhas verticais cruzem perpendicularmente esta superfície em todos os pontos. O 
geoide depende do campo de gravitacional terrestre e da distribuição de massa no interior da 
Terra, variando sensivelmente em regiões de cadeia de montanhas e depressões. Em vários 
lugares do planeta, o geoide confunde-se sensivelmente com o elipsoide, com divergências 
mínimas. Nos casos mais acentuados, há afastamento de dezenas de metros (sob cadeias de 
montanhas). 
 
 
 
4.2 A Esfera Terrestre 
Figura 4.5: Superfície Física x elipsoide x geoide 
Sabe-se que trata de uma aproximação, pois a Terra não é uma esfera perfeita. Muitos conceitos 
ficam mais facilmente compreensíveis, adotando-se o modelo esférico num primeiro momento. 
A Terra gira em torno de seu eixo em 23 horas 56 minutos e 4,09 segundos, e completa uma 
revolução em pouco mais de 365,25 dias. No seu movimento de revolução, a Terra ocupa uma órbita plana 
de forma elíptica, e o círculo máximo formado pela interseção do plano da órbita terrestre em torno do Sol 
com a esfera terrestre, chama-se eclíptica. O plano do equador está inclinado em cerca de 23°27´08” em 
relação à eclíptica, valor que não é constante devido à atuação do Lua e do Sol, que originam a precessão dos 
equinócios e a nutação. Precessão é uma alteração na direção de um eixo de rotação de um corpo giratório. A 
nutação corresponde às irregularidades do movimento precessional dos equinócios pela variação das 
posições da Lua e de outros corpos celestes em relação à eclíptica. Essa oscilação regular durante a 
revolução anual origina os equinócios que se verificam em 21 de março e 23 de setembro. Quando o 
movimento oscilatório passa de um hemisfério para outro, temos os solstícios de 21 de junho e 21 de 
dezembro, conforme figura 4.6 (OLIVEIRA, 1988). 
 
Fonte: www.astro.iag.usp.br Fonte: www.astropt.org Figura 4.6: Precessão e Nutação 
Com a intenção de permitir a localização de um ponto sobre a superfície terrestre, recorre-se aos 
sistemas de coordenadas, que se baseiam em linhas de referência específicas. A rede geográfica é uma delas. 
http://www.astro.iag.usp.br/
http://www.astropt.org/
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
47 
 
 
4.2.1 Linhas de Rede Geográfica 
“ Rede geográfica é o conjunto formado por paralelos e meridianos, que são as linhas de referência 
que cobrem o globo terrestre com a finalidade de permitir a localização precisa de qualquer ponto sobre sua 
superfície, bem como orientar a confecção de mapas” (DUARTE,2006). 
As linhas da rede geográfica são os meridianos (dispostos no sentido Norte-Sul) e paralelos 
(dispostos no sentido Leste-Oeste). O conjunto de paralelos e meridianos utilizados por uma dada projeção é 
denominado rede (grid), quadriculado, ou, reticulado. Tendo sido construído o reticulado, os pontos da 
carta serão referidos a esse sistema e são localizados por suas coordenadas geográficas. 
-Meridianos; os meridianos são círculos máximos, e são linhas de referência Norte-Sul. Os 
meridianos são semi-circunferências de círculos máximos, cujas extremidades são os dois pólos geográficos 
da Terra. O plano de cada meridiano contém o eixo da Terra (linha que une os pólos). Qualquer meridiano 
divide a Terra em 2 hemisférios, mas internacionalmente adotou-se a convenção que o Meridiano de 
Greenwich, que passa em Londres, é o meridiano-base para definir os hemisférios ocidental e oriental, e 
também é o meridiano origem de contagem das longitudes. Tem-se também a designação de meridiano 
superior e inferior. O meridiano superior refere-se à linha Norte-Sul geográfica que passa pelo local do 
observador, e contém o zênite (ponto da esfera celeste na vertical da cabeça do observador). O meridiano 
inferior situa-se diametralmente oposto ao anterior, e contém o nadir (ponto situado oposto ao zênite, abaixo 
do observador). O meridiano inferior também é conhecido como antimeridiano. O antimeridiano (180 
graus) do meridiano origem serve como base para o traçado da Linha Internacional de Mudança de Data 
(usada na definição de fusos horários). 
-Paralelos: o esferoide ou o elipsoide de referência cortados por planos perpendiculares ao eixo da 
Terra dão origem aos paralelos, que são circunferências cujos planos estão em toda a sua extensão, a uma 
mesma distância do plano do Equador, e unem pontos de mesma latitude. São sempre perpendiculares ao 
eixo da Terra, e cruzam os meridianos segundo ângulos retos. Apenas um deles é um círculo máximo 
(Equador); os demais, tanto no Hemisfério Norte, quanto no Hemisfério Sul, diminuem de tamanho na 
medida em que se afastam do Equador, até se transformarem em cada pólo, num ponto. A medida em graus 
dos paralelos inicia-se no Equador, indo até 90° em cada hemisfério. 
 
Figura 4.7: Meridianos e paralelos 
 
4.2.2 Paralelos com nomes especiais 
Alguns paralelos recebem nomes especiais, definidos a partir de situações estratégicas relacionadas 
com o movimento de rotação da Terra, e também do movimento de revolução (que demarca o plano da 
Eclíptica), conceitos estes aprofundados na Astronomia. Os paralelos conhecidos por nomes especiais são: 
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
48 
 
 
a) Equador: origem de contagem dos graus dos paralelos (único paralelo que é círculo máximo). 
Seu plano é perpendicular ao eixo da Terra, e está eqüidistante dos pólos geográficos. Divide a 
Terra nos hemisférios Norte ( setentrional ou boreal ) e Sul ( meridional ou austral ). 
b) Trópicos: tem-se o Trópico de Câncer (hemisfério Norte)e Trópico de Capricórnio (hemisfério 
Sul). Possuem latitudes simétricas (23°27´N e S), e servem de limites entre as zonas tropicais ou 
temperadas, e a zona tórrida (intertropical ou equatorial). 
c) Círculos Polares: são paralelos de latitudes simétricas (66°32´ N e S), denominados Círculo 
Polar Ártico e Círculo Polar Antártico respectivamente, servindo de limite entre as zonas 
tropicais ou temperadas e as zonas glaciais ou polares. 
A determinação da posição dos trópicos e círculos polares relaciona-se com o movimento de rotação 
da Terra, inclinação do eixo do planeta, e o movimento de revolução. O movimento de rotação define o 
surgimento do eixo (eixo imaginário em torno do qual gira o planeta), cujas extremidades são os pólos 
geográficos. O movimento de revolução determina o plano da Eclíptica (εε´). A Eclíptica é o círculo 
máximo da esfera celeste que corresponde à órbita terrestre em torno do Sol. O eixo de rotação da Terra é 
inclinado em relação ao eixo da Eclíptica. A inclinação do eixo determina a posição dos paralelos especiais: 
o eixo da Terra é perpendicular ao Equador, e o chamado eixo da Eclíptica é perpendicular ao plano da 
mesma. Os 2 eixos formam um ângulo de 23°27´ entre si (o mesmo ocorre entre os planos do Equador e da 
Eclíptica). O plano da Eclíptica define na superfície terrestre os dois trópicos, ao passo que o eixo da 
Eclíptica determina a posição dos círculos polares (vide figura 4.8a). Na figura 4.8b tem-se a posição dos 
equinócios e solstícios. 
 
 
Figura 4.8a: Eclíptica e posição de trópicos e círculos polares 
Figura 4.8b: Eclíptica e posição dos equinócios e solstícios. Fonte: 
http://homepage.ufp.pt/ 
http://homepage.ufp.pt/
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
49 
 
 
4.3 O Elipsoide de Referência 
A Terra pode ser aproximada por um elipsoide de revolução, o qual foi gerado pela rotação de uma 
elipse em torno do eixo polar. Esta superfície é considerada como a mais próxima da forma real da Terra e 
que tenha tratamento matemático, em substituição ao geoide. Esta aproximação do geoide pelo elipsoide só é 
possível mediante as seguintes condições: 
a) coincidência do centro do elipsoide com o centro de gravidade da Terra; 
b) coincidência do plano equatorial do elipsoide com o plano do equador terrestre; 
c) minimização dos desvios em relação ao geoide. 
Para atender a última condição efetuam-se ligações entre o geoide e o elipsoide em pontos 
conhecidos como datum geodésico. É determinada a distância entre o elipsoide e o geoide (ondulação 
geoidal N) e o desvio da vertical i (ângulo entre a vertical (normal ao geoide) e a normal ao elipsoide). 
Devido aos vários “data” usados, surgem diferentes figuras de referência, originando elipsoides 
distintos (mais de 70). Nos dias de hoje busca-se a unificação dos elipsoides, com uso de técnicas GNSS, etc. 
São exemplos de elipsoides de referência: 
 
Nome do elipsoide Ano Semi-eixo maior a (m) Achatamento  =1/f 
Airy 1830 6 377 563,396 1/299,3249646 
Bessel 1866 6 377 397,155 1/299,1528128 
GRS 67 1967 6 378 160,0 1/298,247167427 
GRS 80 1980 6 378 137,0 1/298,257222101 
Internacional Hayford 1909 6 378 388,0 1/297 
Sul Americano 1969 6 378 160,0 1/298,25 
WGS 84 1984 6 378 137,0 1/298,257223563 
Clarke 1866 6 378 206,4 1/294,979 
 
4.3.1 Definição dos Parâmetros 
Um elipsoide de revolução fica perfeitamente definido por meio de dois parâmetros; o semieixo 
maior a e o semieixo menor b. Em Geodésia, entretanto, é tradicional considerar como parâmetros o 
semieixo maior a e o achatamento α (ou 1/f), que serão definidos na sequência.A figura a seguir representa 
uma elipse com seus 2 focos F1 e F2, sendo que a distância compreendida entre eles é a distância focal (2c). 
 
Figura 4.9 – Parâmetros do elipsoide 
Quanto mais próximos os focos entre si, mais a elipse se assemelha à circunferência. O centro O da 
elipse é o ponto médio do segmento F1F2. A distância OF1 é igual a c. O eixo focal (x) que contém os focos 
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
50 
 
 
intercepta a elipse em dois pontos A e B. O segmento AB define o eixo maior da elipse (2 a). O eixo normal 
(z) que passa pelo centro da elipse, perpendicularmente ao eixo focal, define na elipse os pontos P1 e P2. O 
segmento P1P2 denomina-se eixo menor da elipse (2b). 
Na figura tem-se que: a – semieixo maior 
b – semieixo menor 
α – achatamento 
c – semidistância focal (segmento OF1) 
O achatamento é dado por: 
α = (a – b) / a = (1 – b/a ) 
A 1ª. excentricidade e é dada por: 
e = c / a Elevando-se ambos os membros ao quadrado: 
e2 = c2 / a2 e sendo c2 = a2 – b2 tem-se: 
e2 = (a2 – b2) / a2 ou também e2 = 1 – (b2/a2) 
A expressão anterior é a da chamada primeira excentricidade. Dela decorre que: 
b2 = a2(1− e2 ) e também b = a 
Aplicando-se algumas substituições, tem-se que: 
 
 
4.4 O Elipsoide no Brasil e Caracterização do SIRGAS2000 
Em 1924, foi recomendada a adoção do elipsoide de Hayford, como Elipsoide Internacional de 
Referência, recomendação seguida também pelo Brasil. Toda a rede brasileira referida ao datum “Córrego 
Alegre” (vértice Córrego Alegre-MG) usou os parâmetros do elipsoide de Hayford. Posteriormente utilizou- 
se um outro vértice próximo (vértice Astro-Chuá), cujas coordenadas foram determinadas astronomicamente, 
e considerando-se nulos a ondulação geoidal N (separação entre elipsoide e geoide) e o desvio da vertical ( 
existe portanto tangência entre elipsoide e geoide, pois há coincidência entre a normal e a vertical do ponto). 
Em seguida, foram feitos estudos gravimétricos na região do vértice Chuá (MG), com nova 
determinação de coordenadas do vértice, usando-se o elipsoide da Associação Internacional de Geodesia. A 
América do Sul já havia adotado esse elipsoide em 1969. Com o final da etapa de ajustamento em 1978, o 
SAD-69 (South American Datum), com origem no vértice Chuá, passou a ser adotado oficialmente no Brasil 
como novo datum. Os elementos do elipsoide GRS-67 utilizados pelo Sistema Geodésico Sul-Americano 
são: a= 6378160,0m e 1/f)= 1/298,25. 
Com o advento dos satélites artificiais, surgiu um novo elipsoide para todo o mundo, o WGS-84 
(World Geodetic System), que é geocêntrico. No caso dos elipsoides de Hayford e de 1967, os mesmos 
são topocêntricos, ou seja, a origem situa-se na superfície terrestre. Já o WGS-84 e o GRS-80 são 
geocêntricos (origem no centro de massa da Terra). 
O Sistema Geodésico Brasileiro viveu uma fase de transição, utilizando o SAD-69 e SIRGAS 
(Sistema Internacional de Referência Geodésico para as Américas), no período compreendido entre fev/2005 
e fev/2015. O SIRGAS2000 foi adotado oficialmente no Brasil em fev/2005-Res.PR. 01/05, e utiliza o 
elipsoide GRS80. A partir de fev/2015 passou a ser o único datum usado no Brasil. Em nov/2020 passou a 
ser Sistema de Referência Geodésico para as Américas (www.sirgas.org.pt/web-site-history/). 
Com esta variedade de sistemas, conviveu-se com o problema das transformações de um sistema 
para outro, o que ainda pode ocorrer caso o produto cartográfico disponível esteja num sistema antigo. Daí 
recorre-se a parâmetros oficiais de transformação divulgados pelos órgãos competentes (IBGE). 
A seguir é apresentada uma tabela em ordem cronológica dos “data” usados no Brasil. 
 
e2 = 2 − 2 
http://www.sirgas.org.pt/web-site-history/
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
51 
 
 
Datum Elipsoide usado Origem 
Córrego Alegre Hayford Vértice Córrego Alegre-MG 
PSAD-56 (Provisional South 
American Datum of 1956) 
HayfordVértice La Canoa-Venezuela 
Astro Datum Chuá Hayford Vértice Chuá-MG 
SAD-69 (South American Datum 
1969) 
Elipsoide de Referência 
Internacional de 1967 (GRS-67) 
Vértice Chuá-MG 
SIRGAS2000 - Sistema Internacional 
de Referência Geodésico para as 
Américas 
GRS-80 Geocêntrico 
Caracterização do SIRGAS2000 (conforme a res. R.PR-1/2005 e R.PR-1/2015): 
• Sistema Geodésico de Referência: Sistema de Referência Terrestre Internacional - ITRS 
(International Terrestrial Reference System). 
• Figura geométrica para a Terra: Elipsoide do Sistema Geodésico de Referência de 1980 (Geodetic 
ReferenceSystem 1980 – GRS80 ) com semieixo maior a = 6.378.137 m e Achatamento f=1/298,257222101. 
• Origem: Centro de massa da Terra. 
• 21 estações de referência da rede continental SIRGAS2000, estabelecidas no Brasil e que 
constituem a estrutura de referência que materializa o sistema SIRGAS2000 no Brasil. 
• Época de Referência das coordenadas: 2000,4. 
 
Fig. 4.10 – Rede de referência SIRGAS [Fonte: www.sirgas.org].(2015) e tabela de coordenadas de pontos SIRGAS. 
Em 2017, o IBGE publicou “Especificações e Normas para Levantamentos Geodésicos 
associados ao Sistema Geodésico Brasileiro”, resultado da evolução tecnológica e metodológica ocorrida 
nos levantamentos e no tratamento de informações coletadas para estabelecimento das Redes Geodésicas que 
materializam o Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). O objetivo da norma é estabelecer requisitos mínimos 
de precisão, com orientações a serem adotadas nos levantamentos geodésicos visando o estabelecimento, 
manutenção e densificação das redes geodésicas de referência que materializam o SGB nas vertentes 
planialtimétrica, altimétrica e gravimétrica (IBGE, 2017). Em 2018 publicou o REALT2018 - Reajustamento 
da Rede Altimétrica com Números Geopotenciais do IBGE, que leva em conta a força da gravidade. Já em 
05/08/2021 foi publicado pelo IBGE o modelo de conversão hgeoHNOR2020 que permite a obtenção da 
altitude normal, conhecida a altitude geométrica ou elipsoidal do ponto (IBGE,2021). 
http://www.sirgas.org/
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
52 
 
 
N =  = 
a 
1 − e 2sen 2 
4.5 Elementos do Elipsoide 
Alguns conhecimentos da Geometria do Elipsoide serão abordados de forma concisa. 
Na figura a seguir, tem-se um ponto P na superfície física da Terra, de coordenadas (ϕ,λ,h). Por este 
ponto passa uma linha chamada normal (nn´), que é perpendicular ao elipsoide, e que define o ponto P´ no 
elipsoide. A altitude geométrica (ou elipsoidal) do ponto P é designada por h (segmento PP´). Pelo mesmo 
ponto P na superfície física da Terra, passa uma linha chamada vertical (v), a qual é perpendicular ao geoide 
(superfície geoidal). Pode-se definir: 
 
Figura 4.11 – Geometria do elipsoide 
a) Seção Normal: qualquer seção que contenha a normal nn´ que passa por um ponto específico. 
b) Seção Meridiana: é uma seção normal que contém o semieixo menor b. 
 
c) Grande Normal N: na figura é o segmento P´Q, desde o ponto P´ na superfície do elipsoide 
até o ponto Q, definido pelo cruzamento da linha nn´ com o eixo polar PNPS. Uma de suas 
aplicações é no processo de conversão de coordenadas geodésicas (ϕ,λ,h) em cartesianas 
(X,Y,Z). 
d) Pequena Normal N´: dado pelo segmento P´R da normal, do ponto P´ até R no Equador. 
 
 
e também 
 
 
e) Longitude: é o ângulo formado entre o meridiano origem de Greenwich e o meridiano local, 
representado por λ. 
f) Latitude geodésica ou elipsóidica: é o ângulo formado pela normal ao elipsoide no ponto 
(nn´) e o plano do equador. É indicada por øG. 
g) Latitude geográfica ou astronômica: é o ângulo formado entre a vertical (normal ao geoide) e 
o Equador. É representada por øA. 
N´=  = 
1 − e2 sen 2 
a(1− e2 ) 
N´= N (1− e2 ) 
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
53 
 
 
R0 = M  N = b /(1 − e sen ) 2 
h ≈ H + N 
h) Desvio da vertical (i)_: ângulo formado entre a vertical ao geoide e a normal ao elipsoide. Seu 
valor é de poucos segundos de arco (muito pequeno) 
i) Raio de Curvatura da Seção Meridiana M: Definido em cada ponto pela expressão: 
 
𝑀 = 𝑎 (1- 𝑒2 )/√(1 - 𝑒2 𝑠𝑒𝑛2 𝛟)3 
 
j) Raio de Curvatura 1º. Vertical: tem a mesma expressão que a grande Normal N. 
k) Raio Médio de Curvatura: é a média geométrica entre M e N. 
 
l) Raio de um Paralelo: é dado por 
 
O cálculo dos elementos anteriores depende dos parâmetros do elipsoide (a-semieixo maior, α- 
achatamento) escolhido, e da latitude (ø). 
Os sistemas de coordenadas permitem definir a posição de pontos sobre uma superfície (plana, 
esférica ou elipsóidica). Para o elipsoide e esfera, é usual o emprego de um sistema de coordenadas 
cartesiano e curvilíneo (paralelos e meridianos vistos anteriormente). 
 
ABORDAGEM ALTIMÉTRICA 
Para completar estas noções gerais básicas, falta a definição da coordenada altimétrica. Têm-se: 
a) Altitude ortométrica: distância que vai do ponto considerado até o geoide, contada sobre a 
vertical ao mesmo. O segmento representado por H na figura 4.12 é a altitude ortométrica do ponto P. 
Apresenta significado físico, obtida por nivelamento geométrico de precisão. 
b) Altitude geométrica ou elipsoidal h: distância contada sobre a normal ao elipsoide, do ponto até 
ao elipsoide. Tem apenas significado geométrico. Se for conhecida a ondulação geoidal ou altura geoidal (N), 
que é a separação entre geoide e elipsoide, pode-se obter h através da expressão: 
 
A expressão anterior é uma aproximação pelo fato de H e N não serem colineares (vide figura 4.12 a 
seguir). Os aparelhos GPS (Global Positioning System) fornecem a altitude geométrica. O nivelamento 
geométrico de precisão fornece a altitude ortométrica H. Os modelos de ondulação geoidal (MAPGEO2015, 
foi o último gerado) fornecem os valores da ondulação geoidal N. Os valores de ondulação geoidal N são 
positivos quando o geoide está acima do elipsoide e negativos quando o geoide está abaixo do elipsoide. O 
modelo MAPGEO2015 (com resolução de 5´de arco, que significa em torno de 9km) do IBGE foi concebido 
para efetuar a conversão de altitudes (antes era o MAPGEO2010). Um Sistema de Interpolação de 
Ondulações Geoidais permite aos usuários obter a ondulação geoidal (N) em um ponto ou conjunto de 
pontos, cujas coordenadas estejam referidas ao SIRGAS2000. O modelo geoidal em SIRGAS2000 está 
disponível no site do IBGE (www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia). 
c) Altitude Normal HN: medida ao longo da linha vertical normal, ortogonalmente às superfícies 
equipotenciais do campo normal. Por não considerar o campo real, a altitude normal não se refere 
rigorosamente ao geoide, mas sim a uma superfície próxima a ele, denominada quase-geoide. 
r = N cos ø 
http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia)
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
54 
 
 
 
 
Figura 4.12 – Altitude ortométrica H e geométrica h e MAPGEO2015 
 
Figura 4.13 – Altitude geométrica (elipsoidal) h, altitude do SGB (HN) e modelo hgeoHNOR2020 
O referencial altimétrico a ser usado coincide com a superfície equipotencial do campo de gravidade 
da Terra que contém o nível médio do mar definido pelas observações maregráficas na baia de Imbituba, 
litoral de Santa Catarina (de 1949-1957). O Datum Vertical é o Marégrafo de Imbituba. No passado já foi 
usado o Marégrafo de Torres-RS. No estado do Amapá usa-se o Marégrafo Porto Santana. DATUM consiste 
de um marco geodésico horizontal ou vertical, usado como ponto origem do sistema geodésico (referência). 
Até 30/07/2018, oIBGE disponibilizava ao usuário as altitudes ortométricas H do tipo normal das 
RRNN (referências de nível) do SGB (Sistema geodésico Brasileiro). O documento REALT2018 considera 
as novas altitudes oficiais para o Brasil, que é a altitude normal HN, compatível com o SIRGAS2000 e 
seguindo a tendencia mundial de unificação de redes altimétricas. Ao consultar informações no site do IBGE, 
observar a altitude que consta, uma vez que a partir de 2018, várias RRNN (Referências de Nível) já tem a 
altitude Normal registrada na monografia da RN que faz parte do BDG - Banco de Dados Geodésicos. 
As novas altitudes normais se mantêm relacionadas aos referenciais altimétricos atualmente 
vigentes no Brasil: Imbituba-SC e Santana-AP. O modelo de conversão hgeoHNOR2020 divulgado pelo 
IBGE em 05/08/2021 permite a obtenção da separação entre o elipsoide de referência das altitudes 
geométricas em SIRGAS2000 e as superfícies de referência da realização REALT 2018 da componente 
vertical do Sistema Geodésico Brasileiro - SGB (data verticais de Imbituba e Santana) (IBGE,2021). 
Assim, o fator para conversão η, que é extraído do modelo hgeoHNOR2020 permite obter altitudes normais 
modeladas (HN
mod), pela expressão compatíveis com o REALT 2018, a partir de altitudes 
geométricas (h), que são resultantes de medições GNSS em regiões que não dispõe de cobertura adequada 
HN mod = h – η 
UFRGS – 
Disciplina: 
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
GEO 05013 – Cartografia Geral I 
– IGEO – Departamento de Geodésia 
Professor: Gilberto Gagg – Versão Preliminar 
55 
 
 
da Rede Altimétrica de Alta Precisão (RAAP), ou seja, onde não há estações altimétricas do SGB. 
 
Exercícios OBS: Pelo nível de precisão envolvido nos cálculos, deve-se adotar pelo menos 7 casas 
decimais nos cálculos parciais envolvendo as funções trigonométricas e outros. 
1) Transforme os ângulos (GMS) em fração decimal do grau: 
a) 45°35´25” b) 12°56´08” c) 68°12´49,5” 
2) Considere o elipsoide definido pelos parâmetros: a = 6378160,0m e α = 1/298,25. 
 
Calcule os seguintes elementos: 
a) Semieixo menor b 
b) Excentricidade primeira ao quadrado 
c) Grande Normal para latitude ø=30° N. 
d) Pequena Normal para ø=30°N. 
e) Raio de Curvatura da seção meridiana para ø=30°N. 
f) Raio de Curvatura da Seção Primeiro Vertical para ø=30°N. 
g) Raio Médio de Curvatura para ø=22°30N. 
h) Raio do paralelo para latitude ø=22°N. 
3) Admita que um elipsoide hipotético de α = 1/298,25 tenha a=10m. Quanto medirá b? 
4) Considerando o elipsoide de parâmetro α = 1/298,257223563, calcular a pequena normal de um ponto 
em que ø = 35°S, cujo raio de paralelo mede 5.181.765,45m. PS: Não usar o valor de a. 
5) Considerando o elipsoide de parâmetros a = 6.378.137,0m e b = 6.356.752,3142m, calcule a grande 
normal, pequena normal e raio do paralelo para ø = 31°45´37”S. 
Resp: 1. a) 45,590277777°, b) 12,9355555°, c) 68,21375° 2. a) b=6.356.774,719 m b) e2= 0,006694542 
c)N= 6.383.504,066m d)N´= 6.340.769,431m e)M= 6.351.399,358m f) igual c g) N= 6.38.1288,852m 
M= 6.344.789,433m Ro=6.363.012,972m h) N= 6.381.158,080m r= 5916506,745m 3. b= 9,9665m 4. 
N=6.325.767,586m, e2= 0,00669438, N´= 6.283.420,494m 5. e2= 0,00669438, N = 6.384.060,184m, 
N´=6.341.322,859m, r= 5.428.097,085m 
 
BIBLIOGRAFIA 
DUARTE,P.A Fundamentos de Cartografia, EDUSC, 2006. 
IBGE, 2008 Disponível em www.ibge.gov.br 
OLIVEIRA, C., Curso de Cartografia Moderna, 1988 
VANICEK,P. & KRAKIWSKY,E.J., Geodesy: the concepts. 1982 
www.filosofia-irc.org 
www.profeblog.es 
www.astro.iag.usp.br 
www.astropt.org 
www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia 
www.sirgas.org].(2015) 
IBGE, 2017. Especificações e Normas para Levantamentos Geodésicos associados ao 
Sistema Geodésico Brasileiro. Rio de Janeiro, 2017. 
IBGE, 2019. Reajustamento da Rede Altimétrica com Números Geopotenciais. 2ª. ed, 2019. Disponível 
em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101666.pdf 
IBGE, 2021. Modelo hgeoHNOR2020 para conversão de altitudes geométricas em altitudes normais. 
Série Relatórios Metodológicos v.47, Rio de Janeiro, 2021. Disponível em: 
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101841.pdf 
http://www.ibge.gov.br/
http://www.filosofia-irc.org/
http://www.profeblog.es/
http://www.astro.iag.usp.br/
http://www.astropt.org/
http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia
http://www.sirgas.org/
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101666.pdf
https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101841.pdf