c) Prove que para este manipulador planar, composto por três juntas rotacionais e por três elos e sem articulações adicionais, o ponto (2, 2) é alcançável

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 PORTFÓLIO - AIND - IMERSÃO PROFISSIONAL: ROBÓTICA - 54_2025 
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 MAPA - Imersão Profissional: Robótica (54/2025) 
 Olá, estudante! 
 Seja bem-vindo à atividade MAPA da disciplina Imersão Profissional: robótica. Essa 
 atividade encontra-se dividida em duas fases, nas quais você terá que utilizar seus 
 conhecimentos para resolver os problemas propostos. Desejo a você um excelente 
 trabalho! 
 Prof. Paulo André. 
 INSTRUÇÕES: 
 - Esta é uma atividade de entrega INDIVIDUAL. 
 - Trabalhos com cópias indevidas integrais ou parciais de outros alunos ou da 
 internet terão desconto na nota final. 
 - A sua resolução deve ser feita utilizando um documento de texto, pois, ao final da 
 sua atividade, você entregará apenas UM ARQUIVO com suas respostas. O arquivo 
 a ser entregue deve ser nos formatos DOC/DOCX ou PDF. 
 - Se você usa OPEN OFFICE ou MAC, transforme o arquivo em PDF para evitar 
 incompatibilidades. 
 - Se você fez a atividade (ou parte dela) à mão, você deve digitalizar ou tirar fotos 
 da sua atividade e colocar essas imagens no arquivo de resposta que será 
 entregue, na sequência correta das atividades. 
 - O arquivo de resposta preenchido pode ter quantas páginas você precisar para 
 respondê-lo. 
 - Coloque um nome simples no seu arquivo para não se confundir no momento de 
 envio. 
 - Antes de clicar em FINALIZAR, certifique-se de que você está enviando o arquivo 
 correto! “É a atividade da disciplina certa?”. Uma vez finalizado, você não poderá 
 mais modificar o arquivo. Sugerimos que você clique no link gerado da sua de e 
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 faça o download para conferir se está conforme o arquivo entregue. 
 A equipe de mediação está à sua disposição para o atendimento das dúvidas por 
 meio do "Fale com o Mediador" em seu Studeo. Aproveite essa ferramenta! 
 Atividade MAPA 
 Em uma célula de montagem de uma indústria, um robô manipulador planar realiza 
 operações de pick-and-place entre um alimentador e a esteira de inspeção. Para 
 validar o programa de pontos e o envelope de trabalho antes do comissionamento, a 
 equipe técnica precisa estimar a posição da garra a partir dos ângulos das juntas e 
 dos comprimentos dos elos, sendo esse procedimento rotineiro tanto para a 
 calibração quanto para a manutenção preventiva. 
 Considere que o robô manipulador planar da Figura 1, com movimento plano 
 vertical, composto por três juntas rotacionais e por três elos (L1, L2 e L3), seja o 
 manipulador utilizado em uma das linhas de montagem. O manipulador robótico tem 
 sua origem em (x0, y0), onde está localizada a primeira junta. Os pontos localizados 
 em (x1, y1) correspondem ao centro da segunda junta, os pontos localizados em 
 (x2, y2) correspondem ao centro da segunda junta. Por fim, os pontos localizados 
 em (x3, y3) definem o centro da garra para a manipulação dos objetos. 
 Considere, ainda, que: o ângulo θ1 = 30º, o ângulo θ2 = 45º e o ângulo θ3 = - 60º. 
 As dimensões das juntas são desprezadas em relação ao sistema no todo, e os 
 comprimentos de L1, L2 e L3 são iguais a 2 metros, 1,5 metros e 1 metro, 
 respectivamente. 
 Obs.: para o cálculo, utilize três casas decimais. 
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 Figura 1 - Manipulador planar 
 Fonte: o autor. 
 Etapa 1: cinemática direta 
 a) A partir dessas informações, escreva as equações cinemáticas diretas para 
 calcular a posição da garra (x3, y3). 
 b) Calcule numericamente a posição final do ponto central da ferramenta. 
 c) Prove que para este manipulador planar, composto por três juntas rotacionais e 
 por três elos e sem articulações adicionais, o ponto (2, 2) é alcançável. 
 Etapa 2: cinemática inversa 
 a) Considerando a posição (x, y) e a orientação da garra, quantas soluções existem 
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 para o problema inverso nesse caso? 
 b) Assumindo agora que θ3º = 0, ou seja, o elo 3 está alinhado com o elo 2. Calcule 
 os ângulos θ1 e θ2 das soluções para o problema da cinemática inversa para o 
 ponto central da ferramenta em (1.5, 2).