Aula3_Vetores_no_Espao

Prévia do material em texto

11
AULA 3
VETORES NO ESPAÇO
3
Vetores no Espaço
 O desenvolvimento é análogo ao caso de 
vetores e pontos no plano, mudando apenas 
o fato de que os pontos possuem três 
coordenadas e os vetores uma 3ª 
componente.
Assim, um ponto no espaço é representado 
por p = (x,y,z) e um vetor por 
V = (a,b,c)
4
Coordenadas no Espaço
Um ponto P no espaço é representado por 
P = (x,y,z)
Exemplo
 Marcar o ponto P = (2,3,5)
5
Exemplo
 Marcar o ponto P = (2,3,5)
6
Exemplo
 Marcar o ponto P = (2,3,5)
7
Exercício: Marque os pontos A=(2,5,-3), B=(-2,3,3), 
C=(4,-2,5), D=(2,0,3).
8
Vetores: Representação
no espaço
a
b
c
v = (a,b,c)
Dado dois pontos A=(x1,y1,z1) 
e B= (x2,y2,z2), então 
v = AB = B - A 
= (x1 – x2, y1 – y2, z1 – z2)
Ex. dados A = (1,-2,2) e B = (2,0,5)
Determine o vetor v dado pelo segmento 
AB e o represente no espaço.
Norma ou comprimento
Sendo
Então, a norma de um vetor no espaço é 
dada por
 Exemplo: 
),,( 321 xxxu 

2
3
2
2
2
1 xxxu 

)3,1,2( u

149143)1(2 222 u

10
EXERCÍCIOS
1) Represente o vetor v = (2,3,5) no
espaço e determine sua norma.
2) Dados A = (3,-1,0) e B = (1,0,2)
Determine o vetor v =AB e 
represente-o no espaço
11
Álgebra vetorial
Dados v1= (a1, b1, c1) e v2= (a2, b2, c2), então 
 Soma:
v1 + v2 = (a1, b1, c1) + (a2, b2, c2) 
= (a1 + a2, b1 + b2, c1 + c2)
 Produto por escalar : 
k v1 = k (a1, b1, c1) = (ka1, kb1, kc1)
 Produto interno: 
v1.v2= a1a2 + b1b2 + c1 c2
12
Exercício 1
Dado os vetores u = (2,-1,3) e v = (-2,3,1),
Calcule:
a) 2u – 3v
b) ||u + v||
c) (u+v).(v-u)
13
Observações
Os vetores i, j e k,
1) Sendo u = (a,b,c) então, u = ai + bj + ck; 
2) i= (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) 
||i|| = ||j|| = ||k|| = 1
3) i.j = j.k = i.k =0
x
z
j
i
k
 Produto escalar entre todos os vetores 
unitários i, j e k
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = j · k = i · k = 0
15
Exercício 2
Determine o valor de x para que os 
vetores u = xi +2j -2k e 
v= 3i + (x–1)j – 6k sejam 
perpendiculares
16
Produto Vetorial
O produto vetorial
é uma operação binária entre vetores no
espaço. 
Principal resultado: O produto vetorial 
entre dois vetores u e v resulta em um 
vetor perpendicular a ambos.
17
Propriedades importantes do 
Produto vetorial
Sendo u e v dois vetores do espaço R3, então, o produto 
vetorial é um vetor w, denotado por 
w = u x v e que satisfaz as seguintes condições:
i) ||u x v|| = || u || || v || sen(), onde  é o ângulo 
entre os vetores u e v.
ii) w = u x v é um vetor perpendicular aos vetores u e v.
iii) Se u e v são paralelos então u x v = 0
Produto Vetorial
18

u
v
uxv
19
Como calcular o produto 
vetorial em função das 
componentes dos vetores?
20
Sejam u = a1i + b1j + c1k e v= a2i + b2j + c2k dois vetores em R3. Seu
produto vetorial é o vetor definido pelo determinante da matriz
dada por:
222
111 vu 
cba
cba
kji

Definição:
21
A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte
forma:
Exemplo:
Sejam u =2i + j + 2k e v = 3i –j – 3k, então:
k
ba
ba
j
ca
ca
i
cb
cb
vu ...
22
11
22
11
22
11

313
212


kji
vu
22
O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles
são coincidentes. Logo, i x i = j x j = k x k = 0
Por outro lado,
i x j = k;
j x k = i;
k x i = j.
IMPORTANTE
23
Já que o produto vetorial entre dois vetores u e v
resulta em um terceiro vetor perpendicular
aos vetores originais, como saber a orientação
desse vetor?
Em outras palavras: 
para onde ele aponta?
Orientação
24
Regra da mão direita
Uma regra prática conhecida como “regra da mão 
direita” estabelece que se posicionarmos o indicador 
da mão direita na direção e sentido do vetor v1 e o dedo 
médio na direção e sentido de v2 , o polegar apontará o 
sentido do vetor v.
25
Exercício 3
Determine um vetor que seja 
perpendicular aos vetores 
u = 3i –2j + k e v = -i + j – 4k.
26
Interpretação geométrica do 
produto vetorial
O produto vetorial pode ser interpretado 
como sendo numericamente igual 
a área do paralelogramo formado 
pelos vetores u e v. 
27
|||| u
h
sen  senuh ||||
Observe que o triângulo AMC é retângulo, portanto,
A área do paralelogramo é dada por A = base x altura, logo
||xv||||||| |||| usenvuA  
v

uxv
h
A
u
Demonstração
M
C

28
Exercício 4
Dados três vértices consecutivos de um 
paralelogramo, A = (1, 2, 0) , 
B = (0,1, 2) e C = (2, 1, 1), calcule a 
área desse paralelogramo.
Observações
Observação: Na figura 1, observe que a área
do triângulo ABC pode ser calculada e nesse 
caso, a área será dada por 
Exercício 5. Calcule a área do triângulo que 
tem como vértices a origem e os pontos 
A = (3,1,-2) e B = (3,-1,1).
2
||u x v||
A
30
Produto Misto
O produto misto é assim chamado porque é o resultado 
de um produto vetorial e de um produto interno. 
 Definição: Dados 3 vetores u, v e w, o produto 
misto entre esses vetores é definido e denotado por: 
[u, v, w] =(u × v).w
 Obs. [u, v, w] =(u × v).w = ||uxv|| ||w|| cos()
onde  é o ângulo entre os vetores uxv e w 
31
Em termos das coordenadas dos vetores, 
o produto misto é dado por:
Dados u = , v = 
e w =
então
[u, v, w] = 
kcjbia 222 
333
22 2
111
 
 
 
 
cba
cba
cba
kcjbia 111 
kcjbia 333 
32
Interpretação geométrica 
do produto misto
Geometricamente, o módulo do produto misto 
é igual ao volume do paralelepípedo de 
arestas determinadas pelos vetores u, v e w .
Assim, 
V = |[u, v, w]|
33
Importante
 Note que o produto vetorial de u x v nos dá a área do plano da base 
do paralelepípedo, enquanto que o produto escalar de w pelo vetor 
resultante do produto vetorial nos dá a altura h. portanto, se 
multiplicarmos os dois valores teremos o volume do paralelepípedo, 
o que corresponde ao produto misto. 
 Lembando que: O volume do paralelepípedo é igual a área da 
base x altura.
34
Exercício 6
 Dados u = 2i – j + 3k, v= i +3j –k e 
w = -2i + j +2k, calcule o volume do 
paralelepípedo formado por esses três 
vetores.
35
O que acontece se os vetores u, v e 
w forem coplanares?
Se u, v e w são coplanares, então 
[u,v,w] = 0
Exercício: Determine o valor de m para 
que os vetores u = (-2, 2, m+1), 
v = (1, 2, -3) e w = (1,- 1, m) sejam 
coplanares.
36
Exercícios
1) Sejam u = (2, -4, 6), v = (-3, 12, -4) e w = (6, 3, -1). Determine o vetor x tal 
que:
a) x = u + v ; b) x = 3u + 2w ; c) x = 2u - v ; d) x = 2 (u + v) - 3w
2) Se u = (2, 2, 1), v = (0, -2, 4) e w = (7, -3, -2), determine a norma do vetor 
3u - 4v + 2w. 
3) Dados o vetores u = (1, 2, 3), v = (-4, 8, -3) e w = (4, -2, -1). Calcule 
( a ) u . v ( b ) u x w ( c ) (u + v).w ( d ) (u x v ). w
4) Dados os pontos: A(1, -1, 2) , B(2, 3, -1) e C(-1, 1, 4)
a) Calcule um vetor unitário perpendicular ao triângulo ABC
b) Calcule a área do paralelogramo formado pelos vetores u = 2BC e v=2CA
c) Calcule o volume do paralelepípedo formado pelo vetores u = AB,V = BC e 
w = AC
René Descartes (1596 - 1650), 
Inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua 
homenagem), que permitiram a representação numérica de 
propriedades geométricas.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes