Equações de Retas no Plano

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AULA 4
Retas
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Retas no plano
1. Declividade de uma reta
A declividade indica o grau de inclinação de 
uma reta. Na figura, k mede a declividade ou 
coeficiente angular das retas
Medindo a declividade
Definição: Coeficiente angular ou declividade de uma reta não-
vertical é a tangente trigonométrica da sua inclinação, 
representada por “m”. m = tg θ
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Reta crescente
m = tg()
Reta decrescente
m = tg()
Retas no plano
2. Retas horizontais e verticais
Se uma reta for vertical ela não possuirá coeficientes linear e 
angular e será indicada apenas por x=a, onde a é a abscissa do 
ponto onde a reta cortou o eixo x. Se a reta for horizontal, o 
seu coeficiente angular será nulo e sua equação será y = b, 
onde b é a ordenada do ponto onde está reta corta o eixo y.
Ex. y = 2
Ex. x = 2
Reta horizontal Reta vertical
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Retas no plano
3. Coeficiente linear de uma reta
O coeficiente linear de uma reta é a ordenada 
w do ponto (0,w) onde a reta corta o eixo 
das ordenadas. 
 Considere uma reta r e dois pontos P1 = (x1 , y2) e 
P2 = (x1 , y2) pertencentes a esta.
Como encontrar a equação de uma reta contendo dois 
pontos?
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. .P1
P2
y
x
Reta contendo dois pontos
Dados os pontos P1 = (x1 , y2) e P2 = (x1 , y2) 
pertencentes a uma reta r a equação de r é 
dada por:
Resolvendo a equação encontramos a equação 
na forma 
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12
12
1
1
xx
yy
xx
yy





0 cbyax
8
Retas no plano
4. Equação da reta
Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita através 
de sua equação geral, como: 
0u na forma reduzida: 
Exemplo 
Dados os pontos P = (3,-2) e Q = (1,2), encontre a
equação da reta r contendo os pontos P e Q
a) Na forma geral 
b) Na forma reduzida
c) Faça o gráfico da reta r.
0 cbyax
nmxy 
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Retas no plano
5. Equações Paramétricas e Vetorial
Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto 
A = (x0, y0) e tem a direção do vetor não nulo dado por
v = (a,b) .
r
0
X
Y
A
Estes elementos são 
suficientes para 
determinar a reta “r” 
e equacioná-la.
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Demonstração:
 Seja um ponto p = (x,y) qualquer da reta “r”. 
Retas no plano
A
P
r
Por construção qualquer vetor da reta é paralelo ao vetor v . Assim, 
temos que
ouRtvtAP  ,

RtvtAP  ,

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Equação da reta na forma paramétrica
Equação vetorial
Equações paramétricas da reta
Retas no plano 
      IRtbatyxyx  ,,,, 00
     ttbytaxyx ,,, 00
IRt
tbyy
taxx






,
0
0
12
Como determinar a equação da 
reta na forma cartesiana, a partir 
das equações paramétricas?
Retas no plano 
Considere a reta r de equações paramétricas dadas 
por:
Para obter a equação na forma cartesiana, basta isolar t
em ambas as equações e igualhar.
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




tbyy
taxx
0
0
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Exemplo:
Escreva a equação da reta r que passa pelos pontos
A =(-1,2) e B = (2,3)
a) na forma paramétrica
b) na forma cartesiana (geral e reduzida)
c) trace o gráfico
Retas no plano 
Posições relativas de duas 
retas no plano
De geometria Euclidiana, duas retas r1 e r2 no 
plano só podem ter as seguintes alternativas:
1. r1 é coincidente com r2 => todos os pontos 
em comuns
2. r1 é paralela a r2 => nenhum ponto em 
comum
3. r1 e r2 se inteceptam em um ÚNICO ponto 
em p.
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Interseção de retas- Exercícios
1) Dada as retas 
r: 2x – y + 1 = 0 e s: -x + 2y – 2 = 0
Encontre o ponto de interseção entre as retas r e s.
2) Verifique se os pares de retas se interseptam.
a) r1: y - x = -1 ; r1: y = x + 3 
B) r1: 2x – 3y + 6 = 0 ; r1: x + y – 2 = 0 
3) Faça os gráficos das retas das questões 1 e 2
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Retas no espaço
7. Equação paramétrica da reta no espaço
Dados dois pontos da reta r e
Dizemos que o ponto pertence a reta se os vetores
e são paralelas ou estão sobre r, isto é, existe um 
escalar t tal que
Resolvendo encontramos as 
equações da reta na forma paramétrica 
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r
0 Y
X
Z
P2
),,( 2222 zyxP),,( 1111 zyxP
),,( zyxP 
PP1 21PP
211 PtPPP 
IRt
zztzz
yytyy
xxtxx









,
)(
)(
)(
121
121
121
P1
É possível determinar uma equação da 
reta na forma cartesiana a partir das 
equações paramétricas?
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Retas no espaço
Isolando t obtemos as equações:
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12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx








IRt
zztzz
yytyy
xxtxx









,
)(
)(
)(
121
121
121
Equações da reta na 
forma simétrica
Retas no espaço
Observação: 
As equações paramétricas podem ser escritas na forma 
vetorial 
Onde é um ponto da reta e é um vetor na
direção da reta.
Ex. Equação da reta contendo o ponto e 
paralela a o vetor 
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vtPP

 0
v

0P
 )2,0,1(0 P
kjiv  2

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Exercício
Determinar as equações da reta que passa pelos 
pontos
a) Na forma paramétrica;
b) Na forma simétrica
Retas no espaço
 )3,2,1( e )1,0,1( 21  PP
8. Retas Paralelas
A condição para que duas retas 
r1: m1x + n1 e r2: m2x + n2 sejam 
paralelas é que
m1 = m2
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Exemplos
Verifique quais os pares de retas são paralelas e 
quais não são
 As retas x = 3 e x = 7
 As retas y = 4 e y = -2
 As retas y = 2x + 5 e y = 2x - 7
 As retas y - 2x = 3 e 2y = - 4x +1
 As retas 3x - y + 1 = 0 e x + 3y - 2 = 0
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9. Retas perpendiculares
Duas retas no plano são perpendiculares 
se elas possuem coeficientes angulares 
m1 e m2 de tal modo que: m1 m2 = - 1 
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Exemplo
As retas abaixo são perpendiculares?
a)
b)
1
2
3
y : e 0532 : 21  xryxr
2y : e 013 : 21  xryxr
Exercícios
1) Determine a equação da reta que contem o ponto (-1,3) e 
é paralela a reta de equação 2x – y + 3 = 0
2) Encontre a equação da reta s, perpendicular à reta 
r: 2x + 3y – 4 =0, sabendo que ela passa pelo ponto P(3,4)
3) Dê exemplo de uma reta r que passa na origem e que 
seja paralela a uma reta s que não passa na origem. 
Apresente os gráficos de r e s em mesmo sistema de eixos.
4) Dados os pontos P = (3,-1) e Q = ( 1,-2) 
a) Encontre as equações paramétricas da reta que contém P 
e Q;
b) Coloque a reta encontrada no item (a) na forma 
cartesiana 
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5) Dados dois pontos P =(-1,1,0) e 
Q = (1,2,3) 
a) Determine as equações paramétricas da reta 
s que passa por esses dois pontos.
b) Escreva a equação da reta s na forma 
simétrica
c) Marque os pontos P e Q no espaço e obtenha 
a reta.
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