Primeira_Lista_de_Exercicios

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Ceará
Campus de Sobral
Primeira Lista de Cálculo Diferencial e Integral I
Professor: Francisco Pereira Chaves
Aluno:
1. Dada f(x) = 2x− 1, encontre:
(a) f(3)
(b) f(x+ 1)
(c) f(2x)
(d) 2f(x)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)
2. Dada f(x) =
3
x
, encontre:
(a) f(−3)
(b) f( 3
x
)
(c)
f(3)
f(x)
(d) f(x− 3)
(e) f(x)− f(3)
(f) f(x+ h)− f(x)
3. Dada g(x) = 3x2 − 4, encontre:
(a) g(−4)
(b) g(1
3
)
(c) g(x2)
(d) [g(x)]2
(e) g(3x2 − 4)
(f) g(x+ h)− g(x)
4. Dada f(x) =
√
4− x, encontre:
(a) f(−5)
(b) f(11
9
)
(c) f(4− x)
(d) f(x)− f(h)
(e) f(x+ h)
(f) f(x+ h)− f(x)
5. Encontre o domı́nio da função.
(a) f(x) =
x
3x− 1
(b) g(x) =
5x+ 4
x2 + 3x+ 2
(c) h(x) =
√
x+
√
4− x
(d) f(x) =
5x+ 4√
x2 − 4
(e) g(x) =
√
x+ 3
√
x
(f) h(x) =
1
4
√
x2 − 5x
6. Encontre as funções f + g, f − g, f ·g e f/g, e determine seus respectivos domı́nios.
(a) f(x) = x− 5; g(x) = x2 − 1
(b) f(x) =
x+ 1
x− 1
; g(x) =
1
x
(c) f(x) = |x|; g(x) = |x− 3|
(d) f(x) =
1
x+ 1
; g(x) =
x
x− 2
(e) f(x) = x2; g(x) =
1√
x
(f) f(x) =
√
1 + x; g(x) =
√
1− x
1
7. Encontre as funções f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g, e determine o domı́nio de cada função
composta.
(a) f(x) = 3− 2x; g(x) = 6− 3x
(b) f(x) = x− 5; g(x) = x2 − 1
(c) f(x) = x2 − 1; g(x) =
1
x
(d) f(x) =
1
x
; g(x) =
√
x
(e) f(x) =
√
x; g(x) = −1
x
(f) f(x) = |x|; g(x) = |x+ 2|
(g) f(x) =
√
x2 − 1; g(x) =
√
x− 1
(h) f(x) = 1− x3; g(x) =
1
x
(i) f(x) = senx; g(x) = 1−√
x
(j) f(x) = x+
1
x
; g(x) =
x+ 1
x+ 2
8. Encontre a função f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x+ 1; g(x) = 2x; h(x) = x− 1
(b) f(x) = 2x− 1; g(x) = x2; h(x) = 1− x
(c) f(x) =
√
x− 1; g(x) = x2 + 2; h(x) = x+ 3
(d) f(x) =
2
x+ 1
; g(x) = cos x; h(x) =
√
x+ 3
9. Expresse as funções dadas na forma f ◦ g.
(a) F (x) = (x2 + 1)10
(b) F (x) = sen(
√
x)
(c) F (x) =
x2
x2 + 4
(d) F (x) =
tgx
1 + tgx
10. Se f e g forem funções tais que (f ◦ g)(x) = x e (g ◦ f)(x) = x, então f e g serão
funções inversas. Mostre que f e g são funções inversas.
(a) f(x) = 2x− 3 e g(x) =
x+ 3
2
(b) f(x) =
1
x+ 1
e g(x) =
1− x
x
(c) f(x) = x2, x ≥ 0 e g(x) =
√
x
11. Determine o domı́nio e a imagem da função e desenhe um esboço de seu gráfico.
(a) f(x) = 5− x2
(b) f(x) =
√
3x− 6
(c) h(x) =
4x2 − 1
2x+ 1
(d) f(x) =



2x− 1 se x 6= 2
0 se x = 2
(e) f(x) =







x+ 6 se x ≤ −4
√
16− x2 se − 4 < x < 4
6− x se x ≥ 4
(f) h(x) =
√
x2 − 5x+ 6
(g) g(x) = |x|+ |x− 1|
2
12. Encontre a função composta f ◦ g e determine o seu domı́nio.
(a) f(x) = senx; g(x) = 3x
(b) f(x) = tgx; g(x) =
x
2
(c) f(x) = cos x; g(x) = x2
(d) f(x) = cosecx; g(x) = 2x
(e) f(x) = cotgx; g(x) =
1
x
(f) f(x) = sec
1
x
; g(x) =
1
x− π
(g) f(x) = senx; g(x) =
1
2x
(h) f(x) = tgx; g(x) = x+ π
13. Considerando que lim
x→a
f(x) = L, dados f(x), a e L, determine um δ > 0 para o
valor de ǫ dado, tal que: se 0 < |x− a| < δ, então |f(x)− L| < ǫ.
(a) lim
x→3
(x+ 2) = 5; ǫ = 0, 02
(b) lim
x→−1
(x2 + 4x+ 4) = 1; ǫ = 0, 002
(c) lim
x→3
(x2 − x− 6) = 0; ǫ = 0, 005
(d) lim
x→1/3
9x2 − 1
3x− 1
= 2; ǫ = 0, 01
14. Prove que o limite é o número indicado, aplicando a definição.
(a) lim
x→5
(−4) = −4
(b) lim
x→−1
(5x+ 8) = 3
(c) lim
x→−4
(2x+ 7) = −1
(d) lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
= −2
(e) lim
x→−3
x2 = 9
(f) lim
x→5
(x2 − 3x) = 10
(g) lim
x→1
(3 + 2x− x2) = 0
(h) lim
x→2
(6x2 − 13x+ 5) = 3
15. Encontre o limite usando os teoremas de limite.
(a) lim
x→−4
(5x+ 2)
(b) lim
x→2
(x2 + 2x− 1)
(c) lim
x→2
3x+ 4
8x− 1
(d) lim
x→2
√
x2 + 3x+ 4
x3 + 1
(e) lim
x→3
(2x2 − 4x+ 5)
(f) lim
x→−1
(x3 − 2x2 + 3x− 4)
(g) lim
x→−1
2x+ 1
x2 − 3x+ 4
(h) lim
x→4
3
√
x2 − 3x+ 4
2x2 − x− 1
16. Encontre o limite.
(a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
(b) lim
x→−3/2
4x2 − 9
2x+ 3
(c) lim
x→1
x3 − 1
x− 1
(d) lim
x→−3
√
x2 − 9
2x2 + 7x+ 3
(e) lim
x→3/2
√
8x3 − 27
4x2 − 9
(f) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
(g) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
(h) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3
3
17. Seja f a função definida por
f(x) =



x2 − 9 se x 6= −3
4 se x = −3
(a) Encontre lim
x→−3
f(x) e mostre que lim
x→−3
f(x) 6= f(−3).
(b) Faça um esboço do gráfico de f .
18. Faça um esboço do gráfico da função f e encontre, se existir, os limites lim
x→a+
f(x),
lim
x→a−
f(x) e lim
x→a
f(x); se não existir, indique a razão disto.
(a) a = 1; f(x) =







2 se x < 1
−1 se x = 1
−3 se x > 1
(b) a = −4; f(x) =



x+ 4 se x ≤ −4
4− x se x > −4
(c) a = 2; f(x) =



x2 se x ≤ 2
8− 2x se x > 2
(d) a = 1; f(x) =







2x+ 3 se x < 1
4 se x = 1
x2 + 2 se x > 1
(e) a = 0; f(x) =
|x|
x
19. Encontre o limite lateral.
(a) lim
x→2+
x+ 2
x2 − 4
(b) lim
x→2−
−x+ 2
(x− 2)2
(c) lim
x→0+
√
3 + x2
x
(d) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
(e) lim
x→4−
√
16− x2
x− 4
(f) lim
x→0+
x2 − 3
x3 + x2
(g) lim
x→1−
2x3 − 5x2
x2 − 1
(h) lim
x→3−
x3 + 9x2 + 20x
x2 + x− 12
20. Encontre a(s) asśıntota(s) vertical(is) e faça um esboço do gráfico da função.
(a) f(x) =
1
x2
(b) f(x) =
1
x3
(c) f(x) = − 1
x4
(d) f(x) =
2
x− 4
(e) f(x) =
3
x+ 1
(f) f(x) =
−2
x+ 3
(g) f(x) =
5
x2 + 8x+ 15
(h) f(x) =
1
x2 + 5x− 6
4
21. Encontre o limite no infinito.
(a) lim
x→+∞
2x+ 1
5x− 2
(b) lim
x→+∞
7x2 − 2x+ 1
3x2 + 8x+ 5
(c) lim
x→−∞
4x3 + 2x2 − 5
8x3 + x+ 2
(d) lim
x→+∞
3x4 − 7x2 + 2
2x4 + 1
(e) lim
x→−∞
(
3x+
1
x2
)
(f) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
(g) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x+ 4
(h) lim
x→−∞
√
x4 + 1
2x2 − 3
22. Encontre o limite. (Sugestão: primeiro obtenha uma fração com um numerador
racional.)
(a) lim
x→+∞
(
√
x2 + 1− x)
(b) lim
x→+∞
(
√
3x2 + x− 2x)
(c) lim
x→+∞
( 3
√
x3 + 1− x)
(d) lim
x→−∞
( 3
√
x3 + x− 3
√
x3 + 1)
(e) lim
x→+∞
√
x+
√
x+
√
x
√
x+ 1
23. Encontre as asśıntotas horizontais e verticais e faça um esboço do gráfico da função.
(a) f(x) =
2x+ 1
x− 3
(b) f(x) =
2√
x2 − 4
(c) f(x) =
−3x√
x2 + 3
(d) f(x) =
4x2
x2 − 9
(e) f(x) =
2x√
6x2 + 11x− 10
(f) f(x) =
−1√
x2 + 5x+ 6
(g) f(x) =
4x2
√
x2 − 2
(h) f(x) =
x
x2 − 9
24. Encontre as asśıntotas horizontais e verticais e faça um esboço do gráfico da equação.
(a) 3xy − 2x− 4y − 3 = 0
(b) 2xy + 4x− 3y + 6 = 0
(c) x2y2 − x2 + 4y2 = 0
(d) xy2 + 3y2 − 9x = 0
(e) (y2 − 1)(x− 3) = 6
(f) 2xy2 + 4y2 − 3x = 0
(g) x2y − 2x2 − y − 2 = 0
(h) x2y + 4xy − x2 + x+ 4y − 6 = 0
25. Prove que lim
x→−∞
8x+ 3
2x− 1
= 4, mostrando que para todo ǫ > 0, existe um M < 0 tal
que se x < M então
∣
∣
∣
∣
8x+ 3
2x− 1
− 4
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
26. Prove que lim
x→+∞
(x2 − 4) = −∞, mostrando que para todo N < 0, existe um M > 0
tal que se x > M então 6− x− x2 < N .
5
27. Determine os valores da variável independente nos quais a função é descont́ınua.
(a) f(x) =
x2 − 3x− 4
x− 4
(b) g(x) =
x4 − 16
x2 − 4
(c) h(x) =
x2 − 5x+ 4
(x− 1)(x2 − x− 12)
(d) f(x) =



5
x− 4
se x 6= 4
2 se x = 4
(e) g(x) =







1 + x se x ≤ −2
2− x se − 2 < x ≤ 2
2x− 1 se x > 2
(f) h(x) =



√
−x se x < 0
3
√
x+ 1 se x ≥ 0
(g) f(x) =



|x+ 2| se x 6= −2
3 se x = 2
28. Prove que a função é descont́ınua no número a e determine se a descontinuidade é
remov́ıvel ou essencial. Se a descontinuidade for remov́ıvel, redefina f(a) de modo
que a descontinuidade seja removida.
(a) a =
2
3
; f(x) =
9x2 − 4
3x− 2
(b) a = −3; f(x) =
x2 − x− 12
x2 + 2x− 3
(c) a = 3; f(x) =



|x− 3| se x 6= 3
2 se x = 3
(d) a = 3; f(x) =



x2 − 4x+ 3
x− 3
se x 6= 3
5 se x = 3
(e) a = 2; f(x) =



x2 − 4 se x ≤ 2
x se x > 2
(f) a = 0; f(x) =
√
x+ 5−
√
5
x
29. Defina f ◦ g e determine os números nos quais f ◦ g é cont́ınua.
(a) f(x) =
√
x; g(x) = 16− x2
(b) f(x) =
√
x; g(x) = x2 − 16
(c) f(x) = x3; g(x) =
√
x
(d) f(x) =
1
x2
; g(x) = x+ 3
(e) f(x) = 3
√
x; g(x) =
√
x+ 1
(f) f(x) =
1
x− 2
; g(x) =
√
x
(g) f(x) =
√
x+ 1; g(x) = 3
√
x
(h) f(x) =
√
4− x2
√
x− 1
; g(x) = |x|
30. Usando o teoremado valor intermediário, mostre que a equação x3−4x2+x+3 = 0
tem raiz entre 1 e 2.
31. Usando o teorema do valor intermediário, mostre que a equação x3−x2+1 = 0 tem
raiz entre −1 e 0.
6