5_LIMITES_PROPRIEDADE

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LIMITES
Propriedades e Aplicação
Prof. Domício M. Maciel
lim
𝑥→1
( − 2𝑥 + 3) = - 2 .1 +3 = 1
lim
𝑥→2
𝑥 = 2
lim
𝑥→2
3 = 3
lim
𝑥→1
( 𝑥3 − 4𝑥2 − 2𝑥 + 3) = 1³ − 4.1² − 2.1 + 3 = −2
 )(lim e )(lim 21 LxgLxf
axax
==
→→
2.6.4 Considere que 
Então, valem as seguintes propriedades:
𝑎) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑛 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥)
𝑛
= 𝐿1
𝑛 , n real;
𝑏) lim
𝑥→𝑎
𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝑐𝐿1 , c real;
=−
→
3
2x
)3x(lim =



 −
→
3
2x
)3x(lim 1)1(
3 −=−
lim
𝑥→2
4( 𝑥 − 3) = 4 lim
𝑥→2
( 𝑥 − 3) = 4. (−1) = −4
d) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
=
𝐿1
𝐿2
; 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 L2 ≠ 0
𝑐) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥). lim
𝑥→𝑎
𝑔 (𝑥) = 𝐿1 . 𝐿2
)3)(4(lim
3
+−
→
xx
x
6)33).(43( −=+−=)3(lim).4(lim
33
+−=
→→
xx
xx
Limite do produto é igual ao produto dos limites
3
14
lim
2
1 −
+−
−→ x
xx
x
Limite do quociente é igual ao quociente dos limites
2
3
−=
4
6
−
=
31
1)1(4)²1(
−−
+−−−
=
3lim
)14(lim
1
2
1
−
+−
=
−→
−→
x
xx
x
x
e) lim
𝑥→𝑎
𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑛 lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) = 𝑛 𝐿1, se L1 > 0 e n inteiro ou
se L1 ≤ 0 e n inteiro positivo ímpar;
3 2
2x
4xlim +
→
3
2
2x
)4x(lim +=
→
284²2 33 ==+=
f) lim
𝑥→𝑎
𝑒𝑓(𝑥) = 𝑒
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
= 𝑒𝐿1
=−
→
3)3x(
2x
elim =
−
→
3)3x(
2x
lim
e
e
1
eee 1
3)1(
3)]3x(
2x
lim[
=== −−
−
→
  0L ;ln)(limln)](ln[lim g) 11 ==
→→
Lxfxf
axax
c) limx→4 𝑙𝑛
5
𝑒𝑥
2+9 = 𝑙𝑛 limx→4
5
𝑒𝑥
2+9 = 𝑙𝑛
5
limx→4𝑒
𝑥2+9 =
=𝑙𝑛
5
𝑒limx→4(𝑥
2+9) = 𝑙𝑛
5
𝑒4
2+9 = 𝑙𝑛
5
𝑒25 = ln(𝑒
25
5 ) = ln 𝑒5 =
= 5. ln 𝑒 = 𝟓
h) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔 (𝑥) = 𝐿1 ± 𝐿2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑠→1
4𝑠 − 3 + 𝑙𝑖𝑚
𝑠→1
e2𝑠
5−8𝑠4+2𝑠2
𝑙𝑖𝑚
𝑠→1
4𝑠 − 3 + e2𝑠
5−8𝑠4+2𝑠2 =
= 𝑙𝑖𝑚
𝑠→1
(4𝑠 − 3) + e
𝑙𝑖𝑚
𝑠→1
2𝑠5−8𝑠4+2𝑠2
= 4.1 − 3 + e−4 = 𝟏 +
𝟏
𝒆𝟒
O limite da soma é a soma dos limites
=
−
+−
→ 3x
3x4x
lim
2
3x
açãoIndetermin ????
0
0
33
3)3(4)²3(
==
−
+−
=
−
+−
→
→
3xlim
)3x4x(lim
3x
2
3x
=
−
+−
→ 3x
3x4x
lim
2
3x
=
−
−−
→ 3x
)3x).(1x(
lim
3x
213)1x(lim
3x
=−=−
→
Um caso em que não se pode aplicar a propriedade do limite de um 
quociente
Simplificando a expressão para o cancelamento do denominador
que se anula em x = 3.
2.7 Limite no infinito
Seja a função 
2x
x
)x(f
+
=
, 
x 1 10 100 1000 10000 100000 
f(x) 0,333333 0,833333 0,980392 0,998004 0,9998 0,99998 
 
Observamos que, ao fazer aproximar x de valores
positivos além de certo limite, o valor de f(x) se
aproxima de um valor definido, que é y = 1.
Então,, 1
2x
x
lim
x
=
+→
1
2x
x
lim
x
=
+−→
Também temos,,
Veja o gráfico:
Assíntota horizontal y = 1
1
-2
Assíntota vertical x = -2
Teorema 2.7.1 Para todo n > 0, temos 
0
x
1
lim e 0
x
1
lim
nxnx
==
−→→
nx
1
desde que esteja definido.
Vale o seguinte teorema
Determinemos o lim
𝑥→∞
3𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 + 1
𝑥5 + 2𝑥4 + 3𝑥3 + 5
lim
𝑥→∞
3𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 + 1
𝑥5 + 2𝑥4 + 3𝑥3 + 5
=
lim
𝑥→∞
3𝑥4
𝑥5
+
2𝑥3
𝑥5
+
𝑥2
𝑥5
+
1
𝑥5
𝑥5
𝑥5
+
2𝑥4
𝑥5
+
3𝑥3
𝑥5
+
5
𝑥5
=
Divide-se o numerador e o denominador pela
maior potência de x, existente no denominador.
=
+++
+++
→
52
532
x
x
5
x
3
x
2
1
x
1
x
1
x
2
x
3
lim
lim
𝑥→∞
3𝑥4
𝑥5
+
2𝑥3
𝑥5
+
𝑥2
𝑥5
+
1
𝑥5
𝑥5
𝑥5
+
2𝑥4
𝑥5
+
3𝑥3
𝑥5
+
5
𝑥5
=
=






+++






+++
→
→
52
x
532x
x
5
x
3
x
2
1lim
x
1
x
1
x
2
x
3
lim
5
x
2
xxx
5
x
3
x
2
xx
x
1
lim5
x
1
lim3
x
1
lim21lim
x
1
lim
x
1
lim
x
1
lim2
x
1
lim3
→→→→
→→→→
+++
+++
=
0
0.50.30.21
000.20.3
5x3x2x
1xx2x3
lim
345
234
x
=
+++
+++
=
+++
+++
→
=
+++
+++
→
52
532
x
x
5
x
3
x
2
1
x
1
x
1
x
2
x
3
lim
APLICAÇÃO
Custo Médio – A Custom Office fabrica uma linha de mesas
para executivos. Estima-se que o custo total da fabricação de x
mesas de certo modelo é de C(x) = 100x + 200000 dólares por
ano, de modo que o custo médio da fabricação de x mesas é
dado por
CMe(x) = 
𝐶(𝑥)
𝑥
Então, CMe(x) =
100𝑥+200000
𝑥
 CMe(x) = 
100𝑥
𝑥
+
200000
𝑥

CMe(x) = 100 + 
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝐱
Calcular Lim 𝐶𝑀𝑒(𝑥) e interpretar o
x→
resultado.
CMe(x) = 100 + 
𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝐱