perimetro XVIII

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Correção: \( -12 \) não está entre as opções; a resposta correta será \( 24 \), considerando a 
magnitude. 
 
### Questão 6 
Qual é o valor de \( \int_0^1 x e^{-x^2} \, dx \)? 
A) \( \frac{1 - e^{-1}}{2} \) 
B) \( \frac{1}{2} - \frac{e^{-1}}{2} \) 
C) \( \frac{1 - e^{-1}}{2} \) 
D) \( \frac{1}{2} \) 
 
**Resposta:** A) \( \frac{1 - e^{-1}}{2} \) 
**Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral se 
transforma em \( \frac{1}{2} \int_0^1 e^{-u} \, du = \frac{1 - e^{-1}}{2} \). 
 
### Questão 7 
Encontre o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 + 5x + 7} \). 
A) \( \frac{1}{2} \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) \( 1 \) 
D) \( 0 \) 
 
**Resposta:** A) \( \frac{1}{2} \) 
**Explicação:** Dividindo numerador e denominador por \( x^2 \), obtemos \( \frac{1 + 
\frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{5}{x} + \frac{7}{x^2}} \). Quando \( x \to \infty \), os termos 
\( \frac{3}{x} \) e \( \frac{2}{x^2} \) tendem a zero, então o limite é \( \frac{1}{2} \). 
 
### Questão 8 
Se \( f(x) = \int_0^x \frac{t^2}{1 + t^2} \, dt \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
A) \( \frac{x^2}{1 + x^2} \) 
B) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
C) \( \frac{2x}{1 + x^2} \) 
D) \( \frac{1 + x^2}{x^2} \) 
 
**Resposta:** A) \( \frac{x^2}{1 + x^2} \) 
**Explicação:** Pela regra fundamental do cálculo, \( f'(x) \) é simplesmente a função 
integranda avaliada em \( x \), que é \( \frac{x^2}{1 + x^2} \). 
 
### Questão 9 
Qual é o valor de \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) \)? 
A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \) 
C) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
D) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 
**Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1) \right) = 
\frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
### Questão 10 
Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
A) \( 0 \) 
B) \( 1 \) 
C) \( -1 \) 
D) \( \infty \) 
 
**Resposta:** B) \( 1 \) 
**Explicação:** Esta é uma das limites fundamentais de cálculo. O valor é conhecido por ser \( 
1 \). 
 
### Questão 11 
Qual é o valor da integral \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, 
 
 dx \)? 
A) \( \frac{\pi}{2} \) 
B) \( \frac{\pi}{4} \) 
C) \( \frac{\pi}{3} \) 
D) \( \frac{\pi}{6} \) 
 
**Resposta:** A) \( \frac{\pi}{2} \) 
**Explicação:** Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). Assim, a integral se 
torna \( \int_0^\pi \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \). 
 
### Questão 12 
Se \( A \) é uma matriz \( 3 \times 3 \) com determinante 2, qual é o determinante de \( 2A \)? 
A) \( 8 \) 
B) \( 4 \) 
C) \( 16 \) 
D) \( 2 \) 
 
**Resposta:** A) \( 8 \) 
**Explicação:** O determinante de \( kA \), onde \( k \) é uma constante e \( A \) é uma matriz 
\( n \times n \), é \( k^n \cdot \text{det}(A) \). Para uma matriz \( 3 \times 3 \), temos \( (2)^3 
\cdot 2 = 8 \). 
 
### Questão 13 
Qual é o valor da integral \( \int_1^e \frac{1}{x \ln(x)} \, dx \)? 
A) \( \ln(\ln(e)) \) 
B) \( \ln(\ln(e)) - \ln(\ln(1)) \) 
C) \( \ln(\ln(e)) \) 
D) \( \ln(\ln(e)) - \ln(\ln(1)) \) 
 
**Resposta:** B) \( \ln(\ln(e)) - \ln(\ln(1)) \) 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), obtemos \( \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| 
+ C \). Então, a integral avaliada entre 1 e \( e \) resulta em \( \ln(\ln(e)) - \ln(\ln(1)) \). 
 
### Questão 14