A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determiná-la, podemos simplesmente encontrar a função inver

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A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determiná-la, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. Sendo assim, determine a derivada da função inversa f(x) = x³ - x² - 1 no ponto (-1, -3). Assinale a alternativa CORRETA:

Ed · Answer

Para determinar a derivada da função inversa $ f(x) = x^3 - x^2 - 1 $ no ponto $ (-1, -3) $, vamos seguir os passos:

1. **Verificar se $ f(-1) = -3 $**:
   $$
   f(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 1 = -1 - 1 - 1 = -3
   $$
   Portanto, $ f(-1) = -3 $ está correto.

2. **Calcular a derivada $ f'(x) $**:
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 2x
   $$

3. **Encontrar $ f'(-1) $**:
   $$
   f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5
   $$

4. **Aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa**:
   $$
   g'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{onde } y = -3 \text{ e } x = -1
   $$
   Assim, temos:
   $$
   g'(-3) = \frac{1}{f'(-1)} = \frac{1}{5}
   $$

Portanto, a derivada da função inversa $ g'(y) $ no ponto $ y = -3 $ é $ \frac{1}{5} $.

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