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Apostila de Construção de
Madeira
Engenharia Florestal
Universidade Federal do Espírito Santo (UFES)
112 pag.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO 
SANTO 
 
 
 
NEDTEC 
 
 
 
CONSTRUÇÕES EM MADEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
PROFESSORA CYNARA FIEDLER BREMER 
 
 
 
 
Versão 01-2009 
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CONTEÚDO PROGRAMÁTI CO 
 
1. Introdução às estruturas isostáticas 
2. Características mecânicas da madeira 
3. Caracterização da madeira 
4. Critérios de dimensionamento segundo a NBR7190/97 
5. Dimensionamento de peças solicitadas à tração paralela às fibras 
6. Dimensionamento de peças solicitadas à compressão normal às fibras 
7. Dimensionamento de peças solicitadas à compressão inclinada às fibras 
8. Dimensionamento de peças solicitadas à compressão paralela às fibras 
9. Dimensionamento de peças solicitadas ao cisalhamento 
10. Dimensionamento de peças solicitadas à flexão simples 
11. Dimensionamento de peças solicitadas à flexão oblíqua 
12. Ligações 
 
 
BI BLI OGRAFI A CONSULTADA 
 
1) Amaral, O. C. – Estruturas isostáticas 
2) Carrasco, E. V. M. – Estruturas usuais de madeira – Notas de aula para o curso de 
especialização em engenharia de estruturas 
3) Hibbeler, R. C. – Resistência dos materiais 
4) NBR7190/97 – Projeto de estruturas de madeira 
5) Júnior, C. C.; Lahr, F. A., R. e Dias, A. A – Dimensionamento de elementos estruturais 
de madeira 
6) Pfeil, W e Pfeil, M – Estruturas de madeira 
7) Zenid, G. J. Madeiras e suas características - Tecnologias aplicadas ao setor moveleiro, 
Volumes I, II e III. 
 
 
AVALI AÇÕES 
 
• Prova 1 (P1=25 pontos), Prova 2 (P2=25 pontos), Prova 3 (P3=25 pontos), Listas 
(10 pontos) e Projeto Final (15 pontos) 
• Nota (N) = P1 + P2 +P3 + Listas + Projeto Final 
 
 
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1 
 
 
1 
I NTRODUÇÃO ÀS ESTRUTURAS I SOSTÁTI CAS 
 
 
1 .1 - Força 
 
Força é o resultado da ação de um corpo sobre outro. Ou seja, a entidade força é abstrata, 
ninguém é capaz de “tocar” em uma força, assim como podemos tocar em uma pedra. Apesar 
de não podermos tocar em uma força, sentimos os efeitos de força sobre nós (peso, por 
exemplo) e podemos observar os efeitos das forças atuando sobre os corpos da natureza. 
Como dissemos, toda e qualquer força mecânica é sempre resultado da ação de um corpo 
sobre outro, e essa ação de um corpo sobre outro se dá através de um vínculo, de um ponto 
de aplicação. 
Além do ponto de aplicação, toda força precisa ter uma intensidade, uma direção e um 
sentido. Portanto, como podemos perceber, ao conceito físico de força está intrinsecamente 
associado o conceito matemático de vetor, por esse motivo se diz que força é uma grandeza 
vetorial. 
1 .2 – Princípios da Estát ica 
 
O estudo da Estática dos corpos rígidos baseia-se nos princípios a seguir: 
 
1º Princípio: A ação de um sistema de forças não se altera se a ele acrescentarmos ou dele 
subtrairmos um sistema equilibrado de forças; 
2º Princípio: A condição necessária e suficiente para que duas forças constituam um sistema 
equilibrado é que elas sejam colineares, tenham o mesmo módulo e sentidos contrários; 
3º Princípio: A ação de duas forças aplicadas num mesmo ponto é equivalente à ação de uma 
força única, aplicada neste ponto, representada pela diagonal do paralelogramo formado pelos 
vetores representativos daquelas duas forças. 
 
 
 
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2 
 
 
1 .3 - Binário 
 
Chama-se binário o conjunto de duas forças paralelas, de mesmo módulo e sentidos contrários 
(não colineares). Um binário tende a produzir rotações no corpo onde ele se aplica, em torno 
de eixos perpendiculares ao seu plano de ação. O sentido do binário (sentido das rotações que 
ele tende a produzir) resulta dos sentidos das duas forças componentes. 
 
 
Figura 1.1 - Binário 
 
 
1 .4 – Mom ento de um a força 
 
Chama-se momento de uma força F, em relação a um ponto A, o momento do binário que 
seria formado, se naquele ponto A fosse aplicada uma força igual e oposta a F. 
 
Se d é a distância da força ao ponto A, tem-se então que o momento em relação ao ponto A é 
dado por: 
MA=F.d 
 
O sinal do momento indica o sentido da rotação correspondente e resulta da convenção 
adotada prévia e arbitrariamente. 
 
Exemplo: Calcular os momentos da força F em relação aos pontos A e B, suposto positivo o 
sentido horário. 
 
 
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3 
 
 
1 .5 – Redução de um sistem a num ponto. Resultante e m om ento 
 
Um sistema, sujeito a várias forças e a vários momentos, pode ser reduzido a um outro 
sistema equivalente. Neste sistema a resultante das forças pode ser obtida através da soma 
vetorial das forças do sistema anterior e o momento pode ser obtido através da soma algébrica 
dos momentos do sistema anterior. 
 
Exemplo: Reduzir o sistema de forças paralelas no ponto B. Para o cálculo de MB supor positivo 
o sentido horário. 
 
 
 
1 .6 – Determ inação algébrica da resultante 
 
A resultante de um sistema de forças pode ser determinada algebricamente. Assim, tem-se: 
 
Rx=ΣFx 
Ry=ΣFy 
 
Isto é, a projeção da resultante sobre um eixo qualquer é igual à soma algébrica das projeções 
sobre este eixo, de todas as forças do sistema. 
 
Conhecidas as suas projeções sobre dois eixos quaisquer, não paralelos, está determinada a 
resultante R do sistema. 
 
 
1 .7 – Cargas dist r ibuídas e m om ento 
 
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4 
 
Foram consideradas até aqui apenas as forças concentradas, isto é, que atuam em um único 
ponto do corpo (ponto de aplicação). Na realidade a ação de uma força é sempre distribuída 
continuamente, quer por um volume (como a ação da gravidade sobre qualquer corpo), quer 
por uma superfície (como a ação do peso de um sólido sobre outro), na superfície de contato 
entre os dois, ou também, como a ação de um líquido sobre as paredes e o fundo de um 
recipiente. 
 
Assim, o que se tem chamado de força, nada mais é do que a ação resultante de um conjunto 
de ações, atuando em todas as partículas de um corpo ou em todos os pontos da superfície de 
contato entre dois corpos. Portanto, a força concentrada é apenas uma abstração e pode ser 
considerada como a resultante de um sistema. 
 
A substituição desse sistema contínuo pela resultante é um procedimento válido nos problemas 
da estática dos corpos rígidos. 
 
O que se estuda a seguir é o caso das forças distribuídas (cargas distribuídas) sobre uma 
superfície em forma de faixa estreita, assimilável a uma linha. Diz-se, então, que a força q(x) 
é linearm ente distr ibuída. 
 
 
Figura 1.2 – Força linearmente distribuída 
 
A força resultante é dada pela área hachurada da figura, ou seja: 
 
 
 
O momento de uma carga distribuída em relação a um ponto qualquer pode ser obtido desde 
que se conheçam a resultante e o eixo central do sistema. A seguir são considerados os casosque ocorrem com maior freqüência na prática. 
 
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5 
 
 
 
 
a) carga uniformemente distribuída: o eixo central é o próprio eixo de simetria; 
 
 
b) carga triangular: o eixo central se localiza a 1/3L contando do lado que possui o 
ângulo reto; 
 
 
c) carga trapezoidal: é possível admiti-la como a superposição de duas cargas, 
uma uniformemente distribuída e outra triangular. 
 
Exemplos: 
1) Calcular os momentos em relação aos pontos A, B e C da carga uniformemente distribuída 
abaixo, admitindo positivo o sentido horário. 
 
 
2) Calcular os momentos da carga trapezoidal abaixo em relação aos pontos B e C, supondo o 
sentido horário como positivo. 
 
 
 
 
1 .8 – Tipos de apoio 
 
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6 
 
Nas estruturas lineares planas, com cargas no seu plano, são empregados os apoios com os 
quais realizam-se ligações de espécies diferentes. 
 
a) apoio engastado fixo ou engaste: é aquele sobre o qual não há deslocamentos 
angulares nem lineares da estrutura. Possui reação Rx, Ry e MZ. 
 
b) apoio articulado fixo: é aquele que não permite deslocamentos lineares e é constituído 
por uma articulação perfeita, ou seja, uma articulação que realiza uma ligação externa 
ou interna de uma barra e que permite o deslocamento angular relativo dos elementos. 
Possui reação Rx e Ry. Não possui MZ porque é articulado. 
 
c) apoio articulado móvel: é aquele constituído por uma articulação perfeita e que 
permite, sem atrito, o deslocamento linear numa determinada direção. Na figura a 
seguir o apoio possui reação Ry. Não possui Rx porque no sentido de x ele é móvel e 
não possui MZ porque é articulado. 
 
 
1 .9 – Cálculo das reações de apoio 
 
A determinação das reações de apoio de uma estrutura é feita por intermédio de um sistema 
de equações algébricas que estabelecem as condições de equilíbrio da estrutura, supondo-se 
rígidas todas as barras. É feito o equilíbrio da estrutura. 
 
Para que um sistema de forças coplanares seja equilibrado é necessário e suficiente que sejam 
satisfeitas as seguintes condições: 
 
a) As somas das projeções de todas as forças do sistema sobre os eixos x e y 
devem ser nulas; 
b) A soma dos momentos de todas as forças do sistema em relação a um ponto 
arbitrário A do seu plano deve ser nula. 
ΣFx = 0 
ΣFy = 0 
ΣMA = 0 
 
 
 
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7 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular as reações de apoio da viga em balanço da figura a seguir. 
 
 
2) Calcular as reações de apoio da viga bi-apoiada da figura a seguir. 
 
 
 
 
1 .1 0 – Estruturas em t reliça 
 
Chama-se treliça o conjunto de barras biarticuladas. O que caracteriza este tipo de estrutura é 
o fato de as diversas barras ficarem solicitadas só por forças normais, quando o carregamento 
é constituído apenas por forças aplicadas nos seus nós. Na prática as estruturas em treliça não 
são em geral construídas com os nós articulados. As barras que concorrem num nó são 
interligadas por meio de chapas auxiliares e rebites ou cordões de solda (no caso de estrutura 
metálica). 
 
Para a resolução de uma treliça, ou seja, a determinação dos esforços solicitantes de tração ou 
compressão em cada barra, é utilizado o processo dos nós. Neste processo, são encontradas 
as reações de apoio. Em seguida, um primeiro nó é isolado e marcadas nele todas as forças 
concorrentes naquele ponto. É feito então o equilíbrio deste primeiro nó. Indicam-se todas as 
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forças como se todas elas fossem de tração. Caso, depois do equilíbrio, o sinal de determinado 
esforço normal seja negativo, isso indica que ele é, na verdade, de compressão. Passa-se 
então para o equilíbrio do próximo nó e assim sucessivamente. 
 
Exemplo: Calcular as forças normais N nas barras da viga sobre dois apoios em traliça, 
representada a seguir. 
 
 
 
 
1 .1 1 – Tensão 
 
Suponhamos uma força (de tração ou compressão) atuando numa determinada área. O cálculo 
da tensão é dado pela fórmula a seguir: 
 
 
 
 
1 .1 2 – Mom ento de inércia de área 
 
O momento de inércia de área ou momento de segunda ordem de área é uma propriedade de 
uma seção plana de um corpo, que tem relação com a resistência à deformação. 
 
Apesar da semelhança em formulação e em alguns teoremas, não deve ser confundido com 
momento de inércia de massa, que é usado no estudo da rotação de corpos rígidos. 
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9 
 
 
 
 
Para um retângulo de base b e altura h: 
12
3bh
Ix =
 
 
 
 
 
 
 
1 .1 3 - Mom entos de inércia para seções com postas 
 
Para uma composição de seções, valem as fórmulas: 
( )∑ += 2
, . iiixx yAII
 
 
( )∑ += 2
, . iiiyy xAII
 
 
Ixi e Iyi são os momentos de inércia de cada parte. 
Ai são as respectivas áreas. 
xi e yi são as distâncias entre eixos de cada parte e os eixos X e Y. 
Todos os eixos correspondentes (x ou y) devem ser paralelos. 
 
 
1 .1 4 - Raios de giração 
 
São definidos a partir dos momentos de inércia anteriores: 
 
A
I
r x
x =
 
A
I
r
y
y =
 
O raio de giração tem dimensão de comprimento e é um parâmetro geralmente usado no 
estudo da estabilidade de colunas. 
12
3hb
Iy =
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2 
CARACTERÍ STI CAS MECÂNI CAS DA MADEI RA 
 
 
2 .1 - I nt rodução 
 
A madeira é um material não homogêneo com muitas variações. Além disso existem diversas 
espécies com diferentes propriedades. Sendo assim é necessário o conhecimento de todas 
estas características para um melhor aproveitamento do material. Propriedades físicas e 
mecânicas são desta forma estudadas e servem de parâmetros para escolha e 
dimensionamento de peças estruturais. 
 
As propriedades mecânicas são responsáveis pela resposta da madeira quando solicitada por 
forças externas. 
 
Para a determinação das propriedades da madeira são executados ensaios padronizados em 
amostras “sem defeitos” (para evitar a incerteza dos resultados obtidos em peças com 
defeitos). 
 
Os procedimentos para a caracterização completa da madeira e definição de parâmetros para 
uso em estruturas são apresentados no anexo B da Norma Brasileira (NBR 7190/97). Os 
métodos de ensaio para determinação das propriedades da madeira também são apresentados 
na Norma Brasileira. 
 
Para facilitar a descrição das propriedades mecânicas, as mesmas serão divididas em 
propriedades de elasticidade e de resistência. 
 
 
2 .2 - Propriedades elást icas 
 
Elasticidade é a capacidade do material, após retirada a ação externa que a solicitava, retornar 
à sua forma inicial, sem apresentar deformação residual. A madeira, apesar de não ser um 
material elástico ideal,pois apresenta uma deformação residual após a solicitação, pode ser 
considerada como tal para a maioria das aplicações estruturais. 
 
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12 
 
As propriedades elásticas são descritas por três constantes: o módulo de elasticidade 
longitudinal (E), o módulo de elasticidade transversal (G) e o coeficiente de Poisson (ν). Como 
a madeira é um material ortotrópico, as propriedades de elasticidade variam de acordo com a 
direção das fibras em relação à direção da aplicação da força. 
 
a) MÓDULO DE ELASTICIDADE (E) 
 
De acordo coma a Norma Brasileira são usados três valores de módulo de elasticidade: o 
módulo de elasticidade longitudinal (E0), determinado através do ensaio de compressão 
paralela às fibras da madeira; o módulo de elasticidade normal (E90), que pode ser 
representado segundo a NBR 7190/97, como uma fração do módulo de elasticidade 
longitudinal pela seguinte expressão: 
 
20
0
90
E
E = (2.1) 
 
ou ser determinado por ensaio de laboratório; e o módulo de elasticidade na flexão (EM), que 
também pode ser determinado de acordo com o método de ensaio apresentado pela Norma 
Brasileira e pode ser relacionado com o módulo de elasticidade longitudinal através das 
expressões abaixo: 
 
 para as coníferas 085,0 EEM = 
 para as dicotiledôneas 090,0 EEM = (2.2) 
 
 
b) MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL (G) 
 
Segundo a NBR 7190/97, pode ser estimado a partir do módulo de elasticidade longitudinal 
(E0), pela seguinte relação: 
 
 
20
0E
G = (2.3) 
 
c) COEFICIENTE DE POISSON (ν) 
 
A madeira como um material elástico, ortotrópico possui três direções principais de 
elasticidade: longitudinal, radial e tangencial, ortogonais entre si, e relacionadas pelo 
coeficiente de Poisson (ν). A Norma Brasileira NBR 7190/97, não traz em seu texto nenhuma 
especificação a respeito dos valores dos coeficientes de Poisson para a madeira. 
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13 
 
2 .3 - Propriedades de resistência 
 
Estas propriedades descrevem a resistência de um material quando solicitado por uma força. 
 
Da mesma forma que o exposto anteriormente, as propriedades de resistências da madeira 
também diferem segundo os três principais eixos, embora com valores muito próximos nas 
direções tangencial e radial. Por isso as propriedades de resistência são analisadas segundo 
duas direções: paralela e normal às fibras. 
 
a) COMPRESSÃO 
 
Três são as solicitações a que se pode submeter a madeira na compressão: normal, paralela 
ou inclinada em relação às fibras. Quando a peça é solicitada por compressão paralela às 
fibras, as forças agem paralelamente à direção do comprimento das células. Desta forma as 
células, em conjunto, conferem uma grande resistência à madeira na compressão. 
 
Para o caso de solicitação normal às fibras, a madeira apresenta valores de resistência 
menores que os de compressão paralela, pois a força é aplicada na direção normal ao 
comprimento das células, direção esta onde as células apresentam baixa resistência. Os 
valores de resistência a compressão normal às fibras são da ordem de 1/4 dos valores 
apresentados pela madeira na compressão paralela. A figura abaixo mostra de maneira 
simplificada o comportamento da madeira quando solicitada a compressão. 
 
 
 
Figura 2.1 Comportamento da madeira na compressão 
Fonte: Calil Jr., C. (2003) 
 
 
 
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14 
 
 
 
 
 
Compressão paralela: tendência de encurtar as 
células da madeira ao longo de seu eixo 
longitudinal. 
 
 
Compressão normal: comprime as células da 
madeira perpendicularmente ao seu eixo. 
 
 
Compressão inclinada: age tanto paralela como 
perpendicularmente às fibras. 
 
Figura 2.2 - Compressão na madeira 
Fonte: Calil Jr., C. (2003) 
 
 
Já para solicitações inclinadas em relação às fibras da madeira adotam-se valores 
intermediários entre a compressão paralela e a normal, valores estes obtidos pela expressão 
de Hankison: 
 
θθθ 2
90
2
0
900
cos×+×
×
=
cc
cc
c
fsenf
ff
f (2.4) 
 
 
b) TRAÇÃO 
 
Duas solicitações diferentes de tração podem ocorrer em peças de madeira: tração paralela ou 
tração perpendicular às fibras da madeira. As propriedades da madeira referentes a estas 
solicitações diferem consideravelmente. 
 
A ruptura por tração paralela às fibras pode ocorrer de duas maneiras, por deslizamento entre 
as células ou por ruptura das paredes das células. Em ambos os modos de ruptura, a madeira 
apresenta baixos valores de deformação e elevados valores de resistência. 
 
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15 
 
Já na ruptura por tração normal às fibras a madeira apresenta baixos valores de resistência. 
Análogo ao caso da compressão normal às fibras, na tração os esforços agem na direção 
perpendicular ao comprimento das fibras tendendo a separá-las, alterando significativamente a 
sua integridade estrutural e apresentando baixos valores de deformação. Deve-se evitar 
sempre que possível, a consideração da resistência da madeira quando solicitada à tração na 
direção normal à fibras para efeito de projetos. 
 
 
Tração paralela: alongamento das células da 
madeira ao longo do eixo longitudinal 
 
 
 
Tração normal: tende a separar as células da 
madeira perpendicular aos seus eixos, onde a 
resistência é baixa, devendo ser evitada 
 
Figura 2.3 — Tração na madeira 
Fonte: Calil Jr., C. (2003) 
 
 
 
c) CISALHAMENTO 
 
Existem três tipos de cisalhamento que podem ocorrer em peças de madeira. O primeiro se dá 
quando a ação age no sentido perpendicular às fibras (cisalhamento vertical). Este tipo de 
solicitação não é crítico na madeira, pois antes de romper por cisalhamento a peça já 
apresentará problemas de resistência na compressão normal. 
 
Os outros dois tipos de cisalhamento referem-se à força aplicada no sentido longitudinal às 
fibras (cisalhamento horizontal) e com a força aplicada perpendicular às linhas dos anéis de 
crescimento (cisalhamento “rolling”). O caso mais crítico é o do cisalhamento horizontal que 
leva a ruptura pelo escorregamento entre as células de madeira. Já o cisalhamento “rolling” 
produz uma tendência das células rolarem umas sobre as outras. 
 
 
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16 
 
 
Cisalhamento vertical: deforma as células da 
madeira perpendicularmente ao seu eixo 
longitudinal. Normalmente não é considerado, 
pois outras falhas irão ocorrer antes. 
 
 
Cisalhamento horizontal: produz a tendência das 
células da madeira de separar e escorregar 
longitudinalmente. 
 
 
Cisalhamento perpendicular: produz a tendência 
das células da madeira rolarem umas sobre as 
outras, transversalmente ao eixo longitudinal. 
 
Figura 2.4 - Cisalhamento na madeira 
Fonte: Calil Jr., C. (2003) 
 
 
d) FLEXÃO SIMPLES 
 
Quando a madeira é solicitada à flexão simples ocorrem quatro tipos de esforços: compressão 
paralela às fibras, tração paralela às fibras, cisalhamento horizontal e nas regiões dos apoios 
compressão normal às fibras. A ruptura em peças de madeira solicitadas pelo momento fletor 
ocorrepela formação de minúsculas falhas de compressão seguidas pelo desenvolvimento de 
enrugamentos de compressão macroscópicas. Este fenômeno gera aumento da região 
comprimida e diminuição a região tracionada, a qual pode eventualmente romper por tensão 
de tração. 
 
 
Figura 2.5 - Flexão na madeira 
Fonte: Calil Jr., C. (2003) 
 
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17 
 
e) TORÇÃO 
 
As propriedades da madeira solicitadas por torção são muito pouco conhecidas. A Norma 
Brasileira recomenda evitar a torção de equilíbrio em peças de madeira em virtude do risco de 
ruptura por tração normal às fibras decorrentes do estado múltiplo de tensões atuante. 
 
f) RESISTÊNCIA DA MADEIRA EM FUNÇÃO DA VELOCIDADE DE CARREGAMENTO 
 
Esta propriedade da madeira é bastante peculiar. Através de ensaios experimentais conclui-se 
que a madeira aumenta a sua resistência a medida que diminui o tempo de aplicação de carga, 
chegando até a duplicar. Na figura 2.6 encontra-se um gráfico de resistência em função do 
tempo de duração da carga. 
 
 
Figura 2.6 – Gráfico Resistência x duração de carga 
 
g) DEFORMAÇÃO LENTA 
 
Quando uma peça de madeira está solicitada a um carregamento de longa duração, nota-se 
um aumento das deformações (flechas) com o tempo, esse fenômeno é conhecido como 
deformação lenta. A figura 2.7 representa um ensaio típico de deformação lenta. 
 
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18 
 
 
 
Figura 2.7 - Resultado de um ensaio de deformação lenta 
 
Pode-se observar na figura 2.7 que o deslocamento final (df) é aproximadamente 50% maior 
que o deslocamento inicial elástico (d1). Por esse motivo a Norma Brasileira recomenda que 
para o carregamento permanente, seja adotado para o cálculo de flechas um módulo de 
elasticidade efetivo, sendo igual ao módulo de elasticidade multiplicado por coeficientes de 
modificação que levarão em conta estes fenômenos e mais alguns. 
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19 
 
3 
CARACTERI ZAÇÃO DA MADEI RA 
 
 
 
3 .1 - I nt rodução 
 
A madeira é um material não homogêneo com muitas variações. Além disso, existem diversas 
espécies com diferentes propriedades. Sendo assim, é necessário o conhecimento de todas 
estas características para um melhor aproveitamento do material. Os procedimentos para 
caracterização destas espécies de madeira e a definição destes parâmetros são apresentados 
nos anexos da Norma Brasileira para projetos de Estruturas de Madeira, NBR 7190/97. 
 
Do ponto de vista estrutural, é necessário conhecer propriedades da madeira relativas à 
seguintes características. 
 
• Propriedades físicas da madeira: umidade, densidade, retratibilidade e resistência ao 
fogo; 
• Compressão paralela e normal às fibras; 
• Tração paralela às fibras; 
• Cisalhamento; 
• Módulo de elasticidade; 
• Embutimento. 
 
De maneira simplificada podemos afirmar que, para uma correta avaliação das propriedades 
físicas e mecânicas de uma peça de madeira, alguns critérios relativos à forma como a 
caracterização será feita devem ser considerados. Deve-se escolher, portanto, o tipo de 
avaliação a ser feita, que poderá ser: 
 
• Condição padrão de referência (para valores no intervalo entre 10% e 20% de 
umidade), onde serão admitidos os valores f1 2 e E1 2 correspondentes à classe de 
umidade 1; 
• Caracterização completa da resistência da madeira, onde serão avaliadas 
propriedades físicas e mecânicas dos corpos de prova ensaiados; 
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20 
 
• Caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas onde serão 
avaliadas apenas algumas propriedades das espécies. (necessário um número 
mínimo de 12 amostras); 
• Caracterização simplificada para espécies usuais (necessário um número mínimo de 
06 amostras). Aqui é tomado como referência o valor de fco,k e a partir daí são 
estabelecidas algumas relações com as demais propriedades; 
• Avaliação por meio de classes de resistências onde tem-se que fcok,ef > fcok,especif. ; 
• Estimativa das características tabeladas. Os valores obtidos experimentalmente são 
comparados a tabelas caracterizando-se assim a espécie. Os lotes investigados 
devem possuir um volume inferior a 12 m3. Deve-se cuidar ainda que sejam 
obedecidas as seguintes relações entre as resistências característica e média: 
fw k,1 2= 0 ,7 0 ×fw m ,1 2 e fw v,k= 0 ,5 4 ×fw v,m. Todos os valores obtidos experimentalmente 
devem ser corrigidos para o teor de umidade de 12%. 
 
Uma descrição mais detalhada de cada uma dessas avaliações será feita a seguir aplicando-se 
conceitos já existentes. Porém antes serão definidas as propriedades a serem consideradas 
para na caracterização da madeira. Os procedimentos de caracterização descritos a seguir 
estão inteiramente baseados na NBR 7190/97. 
 
 
3 .2 – Propriedades a considerar 
 
As propriedades da madeira são condicionadas por sua estrutura anatômica, devendo 
distinguir-se os valores correspondentes à tração dos correspondentes à compressão, bem 
como os valores correspondentes à direção paralela dos correspondentes à direção normal às 
fibras. A caracterização mecânica das madeiras para projeto de estruturas deve seguir os 
métodos de ensaio especificados no anexo B de NBR 7190/97. 
 
a) Densidade: O termo prático “densidade básica” da madeira é definido como a massa 
especifica convencional, obtida pela divisão da massa seca (determinada mantendo-se os 
corpos de prova em estufa a 103 0C até que a massa do corpo permaneça constante) pelo 
volume saturado (determinados em corpos de prova submersos em água até atingirem peso 
constante). 
 
 
w
S
V
M
=ρ (3.1) 
 onde, Ms = massa do corpo de prova seco e 
 Vw = volume saturado 
 
 A densidade aparente padrão é calculada para umidade a 12% (ρ12%). 
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21 
 
 
b) Resistência: A resistência é determinada pela máxima tensão que pode ser aplicada aos 
corpos de prova isentos de defeitos do material considerando até o aparecimento de 
fenômenos particulares do comportamento além dos quais há restrição do emprego do 
material em elementos estruturais. Estes fenômenos são os de ruptura e os de 
deformações específicas excessivas. 
 
Os efeitos da duração do carregamento e da umidade do meio ambiente são considerados por 
meio dos coeficientes de modificação Kmod (Kmod1 e Kmod2). 
 
c) Rigidez: A rigidez é determinada pelo valor médio dos módulos de elasticidade medidos 
na fase de comportamento elástico-linear. 
 
 Na falta de verificação experimental permite-se adotar. 
 
 
20
0
90
w
w
E
E = (3.2) 
 
 sendo: 
0wE o módulo de elasticidade na direção paralela às fibras, medidos no ensaio de compressão 
paralela às fibras; 
 90wE o módulo de elasticidade na direção normal às fibras, medidos no ensaio de compressão 
normal às fibras. 
 
d) Umidade: Para projetos das estruturas de madeira devemos levar em conta as classes 
de umidade, que têm por finalidade determinar as propriedades da resistência e de 
rigidez da madeira em função das condições ambientais onde permanecerão as 
estruturas. 
 
 
 
3 .3 – Condiçõesde referência 
 
a) Condição padrão de referência: Os valores especificados são os correspondentes à classe de 
umidade 1, que é a condição padrão de referência. 
 
Portanto resultados obtidos em ensaios realizados com valores no intervalo entre 10% a 20% 
devem ser apresentados com os valores corrigidos pelas expressões apresentadas a seguir: 
 
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22 
 
 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −×
+×=
100
)12%(3
1%12
U
ff u (3.3) 
 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −×
+×=
100
)12%(2
1%12
U
EE u (3.4) 
 
Admite-se que a resistência e a rigidez da madeira sofram pequenas variações para umidade 
acima de 20% e podendo-se admitir desprezível sua influência em faixas de temperatura 
usuais de utilização de 100C a 600C. 
 
b) Condições especiais de emprego: Só será considerada a influência da temperatura na 
resistência da madeira quando as peças estruturais puderem ser submetidas por longos 
períodos de tempo à temperatura fora da faixa usual de utilização, que varia entre 100C a 
600C. 
 
c) Classes de serviço: As classes de serviço das estruturas de madeira são determinadas pelas 
classes de carregamento (a serem definidos mais adiante), e pelas classes de umidade. 
 
 
3 .4 - Caracter ização das propriedades da m adeira 
 
a) Caracterização completa da resistência da madeira serrada: A caracterização completa da 
resistência da madeira é determinada pelos seguintes valores: 
 
• resistência à compressão paralela às fibras (fc0) a ser determinada em ensaios de 
compressão uniforme com duração total entre 3 e 8 minutos, de corpo de prova com 
seção transversal quadrada de 5 cm de lado e com 15 cm de comprimento; 
• resistência à tração paralela à fibras (f t0) a ser determinada em ensaios de tração 
uniforme com duração total de 3 a 8 minutos, de corpos de prova alongados, com 
trecho central de seção transversal uniforme da área de A8 com extremidades mais 
resistentes que o trecho central e com concordância que garantam a ruptura no trecho 
central; 
• resistência à compressão normal às fibras (fc9 0) a ser determinada em ensaios de 
compressão uniforme, com duração de 3 a 8 minutos, de corpos de prova de seção 
transversal quadrada de 5 cm de lado e comprimento de 10 cm; 
• resistência à tração normal às fibras (f t9 0) a ser determinada por meios de ensaios 
padronizados. Para efeito de projeto é considerada nula a resistência à tração normal às 
fibras; 
• resistência ao cisalhamento paralelo às fibras (fv0); 
• resistência de embutimento paralelo às fibras (fe0) e resistência de embutimento 
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23 
 
normal às fibras (fe9 0) determinados por meio de ensaios padronizados; 
• densidade básica e densidade aparente com os corpos de prova a 12% de umidade. 
 
b) Caracterização mínima da resistência de espécies pouco conhecidas: Para projeto estrutural 
a caracterização mínima de espécies pouco conhecidas deve ser feita por meio da 
determinação dos seguintes valores: 
 
• resistência à compressão paralela às fibras (fc0); 
• resistência à tração paralela às fibras (f t0); na impossibilidade da realização do 
ensaio permite-se admitir que esse valor seja igual ao da resistência à tração na flexão: 
• resistência ao cisalhamento paralelo às fibras (fv0); 
• densidade básica e densidade aparente. 
 
c) Caracterização simplificada da resistência da madeira serrada: Para espécies usuais 
permite-se a caracterização simplificada da resistência a partir dos ensaios de compressão 
paralela às fibras. Para as resistências à esforços normais admite-se um coeficiente de 
variação de 18% e para resistências a esforços tangenciais um coeficiente de variação de 
28%. 
 
Para espécies usuais na falta de determinação experimental, permite-se adotar as seguintes 
relações para os valores característicos das resistências: 
 
 77,0
,0
,0 =
kt
kc
f
f
 (3.5) 
 00,1
,0
, =
kt
ktm
f
f
 (3.6) 
 25,0
,0
,90 =
kc
kc
f
f
 (3.7) 
 00,1
,0
,0 =
kc
ke
f
f
 (3.8) 
 25,0
,0
,90 =
kc
ke
f
f
 (3.9) 
 
Para coníferas: 15,0
,0
,0 =
kc
kv
f
f
 (3.10) 
 
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24 
 
Para dicotiledôneas: 12,0
,0
,0 =
kc
kv
f
f
 (3.11) 
 
d) Caracterização da rigidez da madeira: É feita por meio da determinação dos seguintes 
valores referidos à umidade de 12%: 
 
• valor médio do módulo de elasticidade na compressão paralela às fibras, Ec0 m 
com no mínimo dois ensaios; 
• valor médio do módulo de elasticidade na compressão normal às fibras, Ec9 0 m . 
Obs.: admite-se Ec0 m = Et0 m. 
 
Não podendo ser realizado o ensaio de compressão simples, pode-se avaliar o módulo de 
elasticidade Ec0 m por meio de ensaio de flexão. Por este ensaio determina-se o módulo de 
elasticidade aparente na flexão Em, admitindo as relações: 
 
Coníferas: Em = 0 ,8 5 ×Ec0 
Dicotiledôneas: Em = 0 ,9 0 ×Ec0 (3.12) 
 
e) Classes de resistências: As classes de resistências das madeiras têm por objetivo o emprego 
de madeiras com propriedades padronizadas, orientando na escolha de material para 
elaboração de projetos estruturais. Estão definidas em tabelas para coníferas e dicotiledôneas. 
 
O enquadramento de peças de madeira nas classes de resistência especificados nas tabelas 
3.1 e 3.2 deve ser feito conforme as seguintes exigências: 
 
• as madeiras devem ser classificadas como de 1ª categoria somente quando forem 
classificadas como isentas de defeitos por meio de uma classificação visual e também 
mecânica. Quando não houver simultaneamente a classificação visual e mecânica, as 
madeiras serão consideradas como de 2ª categoria; 
• para enquadramento nas classes de resistência deve ser feita pelo menos a 
caracterização simplificada e sob a condição fc0 k,ef > fc0 k,esp. 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
 
Tabela 3.1 — Classe de resistência das coníferas 
Coníferas 
(Valores na condição padrão de referência U =12%) 
Classes 
fc0k 
(MPa) 
fvk 
(MPa) 
Ec0,m 
(MPa) 
ρbas,m 
(Kg/m3) 
ρaparente 
(Kg/m3) 
C20 20 4 3500 400 500 
C25 25 5 8500 450 550 
C30 30 6 14500 500 600 
 
 
 
Tabela 3.2 — Classe de resistência das dicotiledôneas 
Dicotiledôneas 
(Valores na condição padrão de referência U = 12%) 
Classes fc0k 
(MPa) 
fvk 
(MPa) 
Ec0,m 
(MPa) 
ρbas,m 
(Kg/m3) 
ρaparente 
(Kg/m3) 
C20 20 4 9500 500 650 
C30 30 5 14500 650 800 
C40 40 6 19500 750 950 
C60 60 8 19500 800 1000 
 
f) Investigação direta da resistência: Para investigação direta dos lotes homogêneos, os 
mesmos não devem ter volume superior a 12m3. 
 
Os valores experimentais devem ser corrigidos para o teor de umidade de 12%. 
 
Deve-se fazer no mínimo 2 ensaios para se determinar a resistência média. 
 
Para a caracterização simplificada deve-se extrair uma amostra composta por pelo menos 6 
exemplares retirados de modo aleatório distribuídos no lote. 
 
Para a caracterização mínima especificada para espécies pouco conhecidas, deve-se ensaiar no 
mínimo 12 corpos de prova para cada uma das resistências a determinar. 
 
O valor característico deve ser calculado pela expressão: 
 
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 1.1
1
2
...
2
2
1
2
21
×
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+++
=
−
n
n
wk f
n
fff
f (3.13) 
 
Devendo os valores de f ficar em ordem crescente, desprezando-se o valor mais alto se o 
número de corpos de prova for ímpar e não devendo tomar para fw k valor inferior a f1, nem a 
0,70 do valor médio. 
 
3 .5 - Valores representat ivos 
 
a) Valores médios: O valor médio Xm das propriedades da madeira é determinado pela média 
aritmética dos valores correspondentes aos elementos que compõem o lote do material 
considerado. 
 
b) Valores característicos: Admite-se que o valor característico Xk seja o valor característico 
inferior Xk,inf, onde Xk,inf é o valor característico inferior, menor que o valor médio onde ocorre 
apenas 5% de probabilidade de não ser atingido em um dado lote de material. 
 
c) Valores de cálculo: O valor de cálculo Xd de uma propriedade da madeira é determinado 
pela expressão: 
w
k
d
X
KX
γ
×= mod (3.14) 
 
onde: γw é o coeficiente de minoração das propriedades da madeira e Km od é o coeficiente de 
modificação que leva em conta influências não consideradas por γw . 
 
d) Coeficientes de modificação: Os coeficientes de modificação Km od afetam os valores de 
cálculo das propriedades da madeira em função da classe de carregamento da estrutura, 
classe de carregamento admitida e do eventual emprego de madeira de segunda qualidade e é 
dado por 
 
 Kmod = Kmod1 × Kmod2 × Kmod3 (3.15) 
 
O coeficiente parcial de modificação Km od1 leva em conta a classe de carregamento e o tipo de 
material, e é dada pela tabela 3.3. 
 
 
O coeficiente parcial de modificação Km od2
 leva em conta a classe de umidade e o tipo de 
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27 
 
material, e é dada pela tabela 3.4. 
 
O coeficiente parcial de modificação Km od3 leva em conta se a madeira é de 1ª ou de 2ª 
categoria; a espécie e a forma da madeira (para laminada colada se é reta ou curva), e é dado 
pela tabela 3.5. No caso de madeira serrada submersa, admite-se o valor de Km od2 = 0,65. 
 
 
 
Tabela 3.3 — Valores de Kmod1 
Tipos de madeira 
Classes de 
Carregamento 
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada 
Madeira recomposta 
Permanente 0,60 0,30 
Longa duração 0,70 0,45 
Média duração 0,80 0,65 
Curta duração 0,90 0,90 
Instantânea 1,10 1,10 
 
 
Tabela 3.4 — Valores de Kmod2 
 
Classes de umidade 
Madeira serrada 
Madeira laminada colada 
Madeira compensada 
 
Madeira recomposta 
(1) e (2) 1,0 1,0 
(3) e (4) 0,8 0,9 
 
 
 
Tabela 3.5 — Valores de Kmod3 
Situação Kmod3 
Madeira de 2ª categoria 
Madeira de 1ª categoria 
Coníferas Madeira Serrada (sempre) 
Madeira laminada colada reta 
Madeira laminada colada curva 
(t=espessura das lâminas , r = menor raio de curvatura) 
0,8 
1,0 
0,8 
1,0 
1-2000 (t/r)2 
A escolha dessa categoria não deve ser apenas na forma visual. 
 
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28 
 
e) Coeficientes de ponderação da resistência para estados limites últimos: Os coeficientes de 
ponderação para estados limites últimos γw têm os seguintes valores para tensões paralelas às 
fibras: 
 
 γw c = 1,4 (tensão de compressão); 
 γw t = 1,8 (tensão de tração); 
 γw v = 1,8 (tensão de cisalhamento). 
 
 
f) Coeficientes de ponderação para estados limites de utilização: Tem valor básico γw = 1,0. 
 
 
g) Estimativa das resistências características: Para as espécies já investigadas por laboratórios 
idôneos, que tenham apresentado os valores médios das resistências fw m e dos módulos de 
elasticidade Ec0 m, correspondentes a diferentes teores de umidade U% ≤ 20%, admite-se como 
valor de referência a resistência média fw m ,1 2 correspondente a 12% de umidade. Admite-se 
ainda que essa resistência possa ser calculada pela expressão: 
 
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −×
+×=
100
12%3
1%12
U
ff u (3.16) 
 
Neste caso, para o projeto, pode-se admitir a seguinte relação entre as resistências 
características e média (tabelas 3.6 e 3.7) 
 
12,12, 70,0 wmwk ff ×= mwvkwv ff ,, 54,0 ×= (3.17) 
 
 
h) Estimativa da rigidez: Na verificação da segurança que dependem da rigidez da madeira, o 
módulo de elasticidade paralelamente às fibras deve ser tomado com o valor efetivo: 
 
 Ec0,ef = Kmod1 × Kmod2 × Kmod3 × Ec0,m. (3.18) 
 
 
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29 
 
Tabela 3.6 — Valores médios de madeiras dicotiledôneas nativas e de florestamento 
Nome comum 
(dicotiledôneas) 
Nome científico 
ρap 
(12%) 
(kg/m3) 
fc0 
(MPa) 
ft0 
(MPa) 
ft90 
(MPa) 
fv 
(MPa) 
Ec0 
(MPa) 
n 
Angelim araroba Votaireopsis araroba 688 50,5 69,2 3,1 7,1 12876 15 
Angelim ferro Hymenolobium spp 1170 79,5 117,8 3,7 11,8 20827 20 
Angelim pedra Hymenolobium petraeum 694 59,8 75,5 3,5 8,8 12912 39 
Angelim pedra 
verdadeiro 
Dinizia excelsa 1170 76,7 104,9 4,8 11,3 16694 12 
Branquilho Termilalia ssp 803 48,1 87,9 3,2 9,8 13481 10 
Cafearana Andira ssp 677 59,1 79,7 3,0 5,9 14098 11 
Canafistula Cassia ferruginea 871 52,0 84,9 6,2 11,1 14613 12 
Casca grossa Vochysia ssp 801 56,0 120,2 4,1 8,2 16224 31 
Castelo Gossypiospermum praecox 759 54,8 99,5 7,5 12,8 11105 12 
Cedro amargo Cedrella odorata 504 39,0 58,1 3,0 6,1 9839 21 
Cedro doce Cedrella ssp 500 31,5 71,4 3,0 5,6 8058 10 
Champagne Dipterys odorata 1090 93,2 133,5 2,9 10,7 23002 12 
Cupiúba Goupia glabra 838 54,4 62,1 3,3 10,4 13627 33 
Catiúba Qualea paraensis 1221 83,8 86,2 3,3 11,1 19426 13 
E. Alba Eucalyptus alba 705 47,3 69,4 4,6 9,5 13409 24 
E. camaldulensis Eucalyptus camaldulensis 899 48,0 78,1 4,6 9,0 13286 18 
E. citriodora Eucalyptus citriodora 999 62,0 123,6 3,9 10,7 18421 68 
E. cloeziana Eucaliptus cloeziana 822 51,8 90,8 4,0 10,5 13963 21 
E. dunnii Eucalyptus dunnii 690 48,9 139,2 6,9 9,8 18029 15 
E. grandis Eucalyptus grandis 640 40,3 70,2 2,6 7,0 12813 103 
E. maculata Eucalyptus maculata 931 63,5 115,6 4,1 10,6 18099 53 
E. maidene Eucalyptus maidene 924 48,3 83,7 4,8 10,3 14431 10 
E. microcorys Eucalyptus microcorys 929 54,9 118,6 4,5 10,3 16782 31 
E. paniculata Eucalyptus paniculata 1087 72,7 147,4 4,7 12,4 19881 29 
E. propinqua Eucalyptus propinqua 952 51,6 89,1 4,7 9,7 15561 63 
E. punctata Eucalyptus punctata 948 78,5 125,6 6,0 12,9 19360 70 
E. saligna Eucalyptus saligna 731 46,8 95,5 4,0 8,2 14933 67 
E. tereticornis Eucalyptus tereticornis 899 57,7 115,9 4,6 9,7 17198 29 
E. triantha Eucalyptus triantha 755 53,9 100,9 2,7 9,2 14617 08 
E. umbra Eucalyptus umbra 889 42,7 90,4 3,0 9,4 14577 08 
E. urophylla Eucalyptus urophylla 739 46,0 85,1 4,1 8,3 13166 86 
Garapa roraima Apuleia leiocarpa 892 78,4 108,0 6,9 11,9 18359 12 
Guaiçara Luetzelburgia ssp 825 71,4 115,6 4,2 12,5 14624 11 
Guarucaia Peltophorum vogelianum 919 62,4 70,9 5,5 15,5 17212 13 
Ipê Tabebuia serratifolia 1068 76,0 96,8 3,1 13,1 18011 22 
Jatobá Hymenaea ssp 1074 93,3 157,5 3,2 15,7 23607 20 
Louro preto Ocotea ssp 684 56,5 111,9 3,3 9,0 14185 24 
Maçaranduba Manilkara ssp 1143 82,9 138,5 5,4 14,9 22733 12 
Mandioqueira Qualea ssp 856 71,4 89,1 2,7 10,6 18971 16 
Oiticica amarela Clarisia racemosa 756 69,9 82,5 3,9 10,6 14719 12 
Quarubarana Erisma uncinatum 544 37,8 58,1 2,6 5,8 9067 11 
Sucupira Diplotropis ssp 1106 95,2 123,4 3,4 11,8 21724 12 
Tatajuba Bagassa guianensis 940 79,5 78,8 3,9 12,2 19583 10 
 
 
 
 
Coeficiente de variação para resistências a solicitações normais δ = 18% Coeficiente de 
variação para resistências a solicitações tangenciais δ = 28%Document shared on www.docsity.com
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30 
 
 
 
Tabela 3.7 — Valores médios de madeiras coníferas nativas e de florestamento 
Nome comum 
(coníferas) 
Nome científico 
ρap 
(12%) 
(kg/m3) 
fc0 
(MPa) 
ft0 
(MPa) 
ft90 
(MP
a) 
fv 
(MPa) 
Ec0 
(MPa) 
n 
Pinho do paraná Araucaria angustifolia 580 40,9 93,1 1,6 8,8 15225 15 
Pinus caribea Pinus caribea var. caribea 579 35,4 64,8 3,2 7,8 8431 28 
Pinus bahamensis 
Pinus caribea var. 
Bahamensis 
537 32,6 52,7 2,4 6,8 7110 32 
Pinus 
hondurensis 
Pinus caribea var. 
Hondurensis 
535 42,3 50,3 2,6 7,8 9868 99 
Pinus elliottii Pinus elliotti var elliottii 560 40,4 66,0 2,5 7,4 11889 21 
Pinus oocarpa Pinus oocarpa shiede 538 43,6 60,9 2,5 8,0 10904 71 
Pinus taeda Pinas taeda L. 645 44,4 82,8 2,8 7,7 13304 15 
 
ρap(12%) = massa específica aparente a 12% de umidade 
fc0 = resistência à compressão paralela às fibras 
ft0 = resistência à tração paralela às fibras 
ft90 = resistência à tração normal às fibras 
fv = resistência ao cisalhamento 
Ec0 = módulo de elasticidade longitudinal obtido no ensaio de compressão paralela às fibras 
n = número de corpos de prova ensaiados 
 
 
Coeficiente de variação para resistências a solicitações normais δ = 18% 
Coeficiente de variação para resistências a solicitações tangenciais δ = 28% 
 
 
 
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31 
 
4 
CRI TÉRI OS DE DI MENSI ONAMENTO SEGUNDO A 
NBR7 1 9 0 / 9 7 
 
 
 
4 .1 - I nt rodução 
 
A verificação da segurança de peças estruturais de madeira deve obedecer à condição: 
Sd ≤ Xd (4.1) 
 
onde Sd é a solicitação de cálculo decorrente da aplicação das ações estabelecidas para a 
verificação e Xd a resistência de cálculo da madeira. 
 
A resistência de cálculo Xd foi assunto no capítulo 3. Neste capítulo será apresentada a 
maneira de se determinar esta solicitação de cálculo, porém, antes serão apresentados alguns 
conceitos e definições necessárias para um bom entendimento. 
 
 
4 .2 - Consideracões inicia is 
 
A norma brasileira para projeto de estruturas de madeira especifica que um projeto é 
composto por memorial justificativo, desenhos e também por plano de execução quando há 
particularidades do projeto que interfiram na construção. 
 
O memorial justificativo deve conter os seguintes elementos: 
 
• Descrição do arranjo global tridimensional da estrutura; 
• Esquemas adotados na análise dos elementos estruturais e identificação de suas 
peças (sistemas estruturais); 
• Análise estrutural; 
• Propriedades dos materiais; 
• Dimensionamento e detalhamento esquemático das peças estruturais; 
• Dimensionamento e detalhamento esquemático das emendas, uniões e ligações. 
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32 
 
 
Os desenhos devem estar de acordo com o anexo A da NBR 7190/97. 
 
Deve ser mantida coerência de nomenclatura entre o memorial justificativo, os desenhos e as 
relações entre os cálculos e detalhamentos. 
 
 
4 .3 - Hipóteses básicas de segurança 
 
As hipóteses básicas de segurança se relacionam com a verificação quanto aos estados limites, 
a partir dos quais a estrutura apresenta desempenhos inadequados às finalidades da 
construção. 
 
 
 
a) Estados Limites Últimos: Estados que por sua simples ocorrência determinam a paralisação, 
no todo ou em parte do uso da construção; usualmente caracterizados por: 
 
• Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como corpo rígido; 
• Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais; 
• Transformação da estrutura, no todo ou em pane, em sistema hipostático; 
• Instabilidade por deformações; 
• Instabilidade dinâmica (ressonância). 
 
 
 
 
b) Estados Limites de Utilização: Estados que por sua ocorrência, repetição ou duração, 
causam efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da 
construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da construção, 
usualmente caracterizados por: 
 
• Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção 
comprometam seu aspecto estético, prejudiquem o funcionamento de 
equipamentos ou instalações, ou causem danos aos materiais de acabamento 
ou às panes não estruturais da construção; 
• Vibrações de amplitude excessiva que causem desconforto aos usuários ou 
causem danos à construção ou ao seu conteúdo. 
 
 
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33 
 
4 .4 - Ações 
 
a) Definições: Ações são as causas que provocam o aparecimento de esforços ou deformações 
nas estruturas. Quando há aplicação de forças, diz-se que estas forças são ações diretas e 
quando há deformações impostas a uma estrutura, diz-se que estas deformações são ações 
indiretas. 
 
As ações podem ser dos seguintes tipos: 
 
• ações perm anentes: são aquelas que ocorrem com valores constantes ou de 
pequena variação em torno de um valor médio, durante toda a vida da 
construção (ex: peso próprio); 
• ações variáveis: são aquelas cujos valores variam significativamente durante 
toda a vida da construção (ex: vento, sobrecarga); 
• ações excepcionais: são aquelas que têm duração extremamente curta e 
muito baixa probabilidade de ocorrência durante a vida da construção, 
entretanto, devendo ser consideradas no projeto de determinadas estruturas 
(ex: explosão). 
 
Para a elaboração dos projetos as ações devem ser combinadas, com a aplicação de 
coeficientes sobre cada uma delas, para levar em conta a probabilidade de ocorrência 
simultânea. A aplicação das ações deve ser feita de modo a se conseguir as situações mais 
críticas para a estrutura. 
 
A fim de levar em conta o bom comportamento estrutural da madeira para ações de curta 
duração (vento), na verificação da segurança em relação a estados limites últimos, pode-se 
fazer uma redução de 25% sobre as solicitações. 
 
No caso da verificação de peças metálicas, inclusive nos elementos de ligação, deve ser 
considerada a totalidade dos esforços devidos à ação do vento. 
 
b) Classes de carregamento: Um carregamento é especificado pelo conjunto das ações que 
têm probabilidade não desprezível de ação simultânea. A classe de carregamento é definida 
pela duração acumulada prevista para a ação variável tomada como ação variável principal, na 
combinação considerada. Segue a tabela com tais classes de carregamento. 
 
 
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34 
 
Tabela 4.1 — Classes de carregamento 
Ação variável principal da combinação 
Classe de carregamento 
Duração acum ulada 
Ordem de grandeza da 
duração 
Permanente Permanente Vida útil da construção 
Longa duração Longa duração Mais de 6 meses 
Média duração Média duração 1 semana a 6 meses 
Curta duração Curta duração Menos de 1 semana 
Duração instantânea Duração instantânea Muito curta 
 
 
4 .5 - Carregam entos 
 
a) Carregamento normal: Um carregamento é dito normal quando inclui apenas ações 
decorrentes do uso previsto para a construção, é considerado de longa duração e deve ser 
verificado nos estados limites último e de utilização. 
 
Como exemplo podemos citar para coberturas a consideração do peso próprio e do ventoe 
para pontes o peso próprio junto com o trem-tipo. 
 
b) Carregamento especial: Neste carregamento estão incluídas as ações variáveis de natureza 
ou intensidade especiais, superando os efeitos considerados para um carregamento normal. 
Como por exemplo, o transporte de um equipamento especial sobre uma ponte, que supere o 
carregamento do trem-tipo acumulado. 
 
A classe de carregamento é definida pela duração acumulada prevista para a ação variável 
especial. 
 
c) Carregamento excepcional: Na existência de ações com efeitos catastróficos o carregamento 
é definido como excepcional e corresponde à classe de carregamento de duração instantânea. 
Como exemplo temos a ação de um terremoto ou a ação de uma explosão. 
 
d) Carregamento de construção: Outro caso particular de carregamento de caráter transitório 
é o de construção, onde os procedimentos de construção podem levar a estados limites 
últimos, como por exemplo, o içamento de uma treliça. 
 
Determina-se a classe de carregamento pela duração acumulada da situação de risco. 
 
 
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35 
 
4 .6 - Situações de projeto 
 
As seguintes situações de projeto devem ser consideradas: situações duradouras, situações 
transitórias e situações excepcionais. 
 
Para cada estrutura particular devem ser especificadas as situações de projeto a considerar, 
não sendo necessário levar em conta as três possíveis situações de projeto em todos os tipos 
de construção. 
 
a) Situações duradouras: Situações duradouras são aquelas que podem ter duração igual ao 
período de referência da estrutura. São consideradas no projeto de todas as estruturas. 
 
Nas situações duradouras, para a verificação da segurança em relação aos estados limites 
últimos consideram-se apenas as combinações últimas normais de carregamento e, para os 
estados limites de utilização, as combinações de longa duração ou de média duração. 
 
b) Situações transitórias: Situações transitórias são aquelas que têm duração muito menor que 
o período de vida da construção. São consideradas apenas para as estruturas de construções 
que podem estar sujeitas a algum carregamento especial, que deve ser explicitamente 
especificado para o seu projeto. 
 
Em casos especiais pode ser exigida a verificação da segurança em relação a estados limites 
de utilização, considerando combinações de ações de curta duração (combinações raras) ou 
combinações de duração média (combinações especiais). 
 
c) Situações excepcionais: Situações excepcionais são aquelas que têm duração extremamente 
curta. São consideradas somente na verificação da segurança em relação a estados limites 
últimos. 
 
Devem ser consideradas somente quando a segurança em relação às ações excepcionais 
contempladas não puder ser garantida de outra forma, tal como o emprego de elementos 
físicos de proteção da construção, ou a modificação da concepção estrutural adotada. 
 
Devem ser explicitamente especificadas para o projeto das construções particulares para as 
quais haja necessidade dessa consideração. 
 
 
 
 
 
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36 
 
4 .7 - Valores representat ivos das ações 
 
a) Valores característicos das ações variáveis: Os valores característicos Fk das ações variáveis 
são os especificados por várias normas brasileiras referentes aos diferentes tipos de 
construção. Quando não existir regulamentação específica, um valor característico nominal 
deverá ser fixado pelo proprietário da obra ou por seu representante técnico. Admitir-se-á Fk 
como um valor característico superior. 
 
b) Valores característicos dos pesos próprios: Os valores característicos Gk dos pesos próprios 
da estrutura são calculados com as dimensões nominais da estrutura e com o valor médio do 
peso específico do material considerado. A madeira é considerada com umidade U=12%. 
 
c) Valores característicos de outras ações permanentes: Para outras ações permanentes que 
não o peso próprio da estrutura, podem ser definidos dois valores: o valor característico 
superior Gk,sup, maior que o valor médio Gm, e o valor característico inferior Gk,inf, menor que o 
valor médio Gm. 
 
Em geral, no projeto é considerado apenas o valor característico superior Gk,sup. O valor 
característico inferior Gk,inf é considerado apenas nos casos em que a segurança diminui com a 
redução da ação permanente aplicada, assim como quando a ação permanente tem um efeito 
estabilizante. 
 
d) Valores reduzidos de combinaçao (ψ0×fk): Os valores reduzidos de combinação são 
determinados a partir dos valores característicos através da expressão Ψo×FK e são 
empregados nas condições de segurança relativas a estados limites últimos, quando existem 
ações variáveis de diferentes naturezas. 
 
Os valores Ψo×FK levam em conta que é muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea 
de duas ações características de naturezas diferentes, ambas com seus valores característicos. 
Assim, em cada combinação somente uma ação característica variável é considerada como 
principal. A combinação que fornecer a maior solicitação de cálculo será a utilizada no projeto 
em questão. 
 
e) Valores reduzidos de utilização: Na verificação relativa aos estados limites de utilização as 
ações variáveis são consideradas com valores correspondentes às condições de serviço, 
empregando-se os valores freqüentes ou de média duração, calculados pela expressão Ψ1×FK e 
os valores quase permanentes ou de longa duração calculados pela expressão Ψ2×FK. 
 
f) Fatores de combinação e fatores de utilização: São coeficientes multiplicativos das ações nas 
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37 
 
estruturas. Seus valores encontram-se especificados na NBR 7190/97 e estão apresentados na 
tabela 4.2. 
 
 
Tabela 4.2 — Fatores de combinação e de utilização 
Ações em estruturas correntes Ψ0 Ψ1 Ψ2 
- Variações uniformes de temperatura em 
relação à média anual local 
- Pressão dinâmica do vento 
0,6 
 
0,5 
0,5 
 
0,2 
0,3 
 
0 
Cargas acidentais dos edifícios Ψ0 Ψ1 Ψ2 
- Locais em que não há predominância de 
pesos de equipamentos fixos, nem de 
elevadas concentrações de pessoas. 
- Locais onde há predominância de pesos de 
equipamentos fixos ou de elevadas 
concentrações de pessoas 
- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 
0,4 
 
 
0,7 
 
 
0,8 
0,3 
 
 
0,6 
 
 
0,7 
0,2 
 
 
0,4 
 
 
0,6 
Cargas m óveis e seus efeitos dinâm icos Ψ0 Ψ1 Ψ2 
- Pontes de pedestres 
- Pontes rodoviárias 
- Pontes ferroviárias (ferrovias não 
especializadas) 
0,4 
0,6 
0,8 
0,3 
0,4 
0,6 
0,2* 
0,2* 
0,4* 
* Admite-se Ψ2=0 quando a ação variável principal corresponde a um efeito sísmico 
 
 
g) Combinações de ações em estados limites últimos: 
 
g.1) Combinações últimas normais: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×++×= ∑∑
==
n
j
kQjjkQ
m
i
QkGiGid FFFF
2
,0,1
1
, ψγγ (4.2) 
 
Sendo FGi,k o valor característico das ações permanentes e as ações variáveis, neste caso, são 
divididas em dois grupos, a principal (FG1 ,k) e as secundárias (FG2 ,k) com os seus valores 
reduzidos pelo coeficiente Ψ0 j , que leva em consideração a baixa probabilidade de ocorrência 
simultânea das ações variáveis. Para as ações permanentes, devem ser feitas duas 
considerações, a favorável e a desfavorável, por meio do coeficiente ΨGi. No caso de se ter o 
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38 
 
vento como ação variável principal, para as peças de madeira, esta ação deve ser multiplicada 
por 0,75 referente a cargas rápida, isto é, 0,75×FQ1 ,k. Para as peças metálicas inclusive nos 
elementos de ligação não deve ser considerado este fator. 
 
g.2) Combinações últimas especiais ou de construção 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×++×= ∑∑
==
n
j
kQjefjkQ
m
i
QkGiGid FFFF
2
,,0,1
1
, ψγγ (4.3) 
 
Onde FGi,k representa o valor característico das ações permanentes, FQ1 ,k o valor característico 
da ação variável considerada como ação principal para a situação transitória e Ψ0 j ,ef é igual ao 
fator Ψ0 j adotado nas combinações normais, salvo quando a ação principal FQi tiver um tempo 
de atuação muito pequeno, caso em que Ψ0 j ,ef pode ser tomado com o correspondente Ψ2 j. 
 
g.3) Combinações últimas excepcionais 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×++×= ∑∑
==
n
j
kQjefj
m
i
QexcQkGiGid FFFF
1
,,0
1
,, ψγγ (4.4) 
 
Onde FQ,exc é o valor da ação transitória excepcional e os demais termos representam valores 
efetivos. 
 
h) Combinações de ações em estados limites de utilização 
 
h.1) Combinações de longa duração 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×+= ∑∑
==
n
j
kQjj
m
i
kGi
uti
d FFF
1
,2
1
, ψ (4.5) 
 
As combinações de longa duração são consideradas no controle das deformações das 
estruturas. Nestas combinações todas as ações variáveis atuam com seus valores 
correspondentes à classe de longa duração. 
 
h.2) Combinações de média duração 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×+×+= ∑∑
==
n
j
kQjj
m
i
kQkGi
uti
d FFFF
2
,2
1
,11, ψψ (4.6) 
 
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39 
 
As combinações de média duração são consideradas quando o controle das deformações é 
particularmente importante, como no caso de existirem materiais frágeis não estruturais 
ligados à estrutura. 
 
Nestas condições a ação variável principal FQ1 atua com seu valor correspondente à classe de 
média duração e as demais ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe 
de longa duração. 
 
h.3) Combinações de curta duração 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×++= ∑∑
==
n
j
kQjj
m
i
kQkGi
uti
d FFFF
2
,1
1
,1, ψ (4.7) 
 
As combinações de curta duração, também ditas combinações raras, são consideradas quando, 
para a construção, for particularmente importante impedir defeitos decorrentes das 
deformações da estrutura. 
 
Nestas combinações a ação variável principal FQ1 atua com seu valor característico e as demais 
ações variáveis atuam com os seus valores correspondentes à classe de média duração. 
 
h.4) Combinações de duração instantânea 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×++= ∑∑
==
n
j
kQjj
m
i
QespecialkGi
uti
d FFFF
1
,2
1
, ψ (4.8) 
 
As combinações de duração instantânea consideram a existência de uma ação variável especial 
FQ,especial que pertence à classe de duração imediata. As demais ações serão consideradas com 
valores que possam existir concomitantemente com a carga especialmente definida para esta 
combinação. Na falta de outro critério as demais ações podem ser consideradas com seus 
valores de longa duração. 
 
i) Coeficientes para as combinações de ações 
i.1) Combinações últimas: Para as combinações nos estados limites últimos são utilizados os 
seguintes coeficientes: 
 
γg = coeficiente para as ações permanentes; 
γQ = coeficiente de majoração para as ações variáveis; 
Ψ0 = coeficiente de minoração para as ações variáveis secundárias; 
Ψ0 ,ef = coeficiente de minoração para as ações variáveis secundárias de longa duração. 
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40 
 
Os valores dos coeficientes apresentados pela norma são os seguintes: 
 
AÇÕES PERMANENTES ( γg) 
 
Ações perm anentes de pequena variabilidade 
 
A Norma Brasileira considera como de pequena variabilidade o peso da madeira classificada 
estruturalmente cuja densidade tenha coeficiente de variação não superior a 10% e especifica 
para este caso os seguintes valores: 
 
Tabela 4.3 – Ações permanentes de pequena variabilidade 
Para efeitos (*) 
Combinações 
desfavoráveis favoráveis 
Norm ais γg = 1,3 γg = 1,0 
Especiais ou de construção γg = 1,2 γg = 1,0 
Excepcionais γg = 1,1 γg = 1,0 
(*) Podem ser usados indiferentemente os símbolos γg ou γG 
 
 
 
Ações perm anentes de grande variabilidade 
 
Quando o peso próprio da estrutura não supera 75% da totalidade dos pesos permanentes, 
são adotados os valores apresentados na tabela 4.4. 
 
Tabela 4.4 – Ações permanentes de grande variabilidade 
Para efeitos 
Combinações 
desfavoráveis favoráveis 
Norm ais γg = 1,4 γg = 0,9 
Especiais ou de construção γg = 1,3 γg = 0,9 
Excepcionais γg = 1,2 γg = 0,9 
 
 
 
 
 
 
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41 
 
Ações perm anentes indiretas 
 
Para as ações permanentes indiretas, como os efeitos de recalques de apoio e de retração dos 
materiais, adotam-se os valores indicados na tabela 4.5. 
 
Tabela 4.5 – Ações permanentes indiretas 
Para efeitos 
Com binações Desfavoráveis favoráveis 
Normais γε = 1,2 γε = 0 
Especiais ou de construção γε = 1,2 γε = 0 
Excepcionais γε = 0 γε = 0 
 
 
 
 
AÇÕES VARI ÁVEI S ( γQ) 
 
A Norma Brasileira especifica os seguintes valores para γQ em análise de combinações últimas: 
 
Tabela 4.6 — Ações variáveis 
Combinações 
Ações variáveis em geral 
incluídas as cargas 
acidentais móveis 
Efeitos de 
temperatura 
Normais γQ =1,4 γε = 1,2 
Especiais ou de construção γQ = 1,2 γε = 1,0 
Excepcionais γQ =1,0 γε = 0 
 
 
AÇÕES VARI ÁVEI S SECUNDÁRI AS ( Ψ ) 
 
Este coeficiente varia de acordo com a ação considerada, como pode ser visto na tabela 4.2. 
 
AÇÕES VARI ÁVEI S SECUNDÁRI AS DE LONGA DURAÇÃO ( Ψef) 
 
O coeficiente de minoração para as ações variáveis secundárias (Ψ ef) é igual ao coeficiente de 
minoração para as ações variáveis (Ψ ) adotado as combinações normais, salvo quando a ação 
variável principal FQ1 tiver um tempo de atuação muito pequeno, caso este em que Ψ ef pode 
ser tomado com o correspondente valor de Ψ2 , utilizado nas combinações de estados limites 
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42 
 
de utilização. 
 
i.2 ) Combinação de utilização 
 
Para as combinações nos estados limites de utilização são utilizados os seguintes coeficientes: 
Ψ = coeficiente para as ações variáveis de média duração 
Ψ2 = coeficiente para as ações variáveis de longa duração 
 
Os valores de Ψ e Ψ2 estão apresentados na tabela 4.2. 
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43 
 
5 
D I MENSI ONAMENTO DE PEÇAS SOLI CI TADAS À 
TRAÇÃO PARALELA ÀS FI BRAS 
 
 
 
 
O dimensionamento de peças solicitadas a esforços de tração, corresponde ao caso mais 
simples, visto que, não apresentam fenômenos de instabilidade geral ou local. 
 
A madeira submetida à esforços de tração paralela às fibras geralmente aparece no banzo 
inferior, nos pendurais e nas diagonais das estruturas treliçadas. Para a verificação elástica 
destas barras, admite-se as tensões uniformemente distribuídas nas várias seções transversais 
ao longo do comprimento da peça, desprezando-se asconcentrações de tensões devido às 
reduções de área, figuras 5.1 e 5.2. 
 
Figura 5.1 - Seções enfraquecidas por elementos de ligação. 
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44 
 
 
 
 
Figura 5.2 - Seções enfraquecidas - Ligação dos banzos. 
 
 
OBS.: Segundo a NBR 7190/97 o comprimento das peças tracionadas não pode exceder 50 
vezes a menor dimensão, ou seja, L ≤ 50 × b ou λ ≤ 173. 
 
As tensões atuantes causadas por esforços de tração paralelos às fibras devem ser calculadas 
para a seção útil da peça, isto é, devem ser considerados todos os enfraquecimentos da seção, 
(furos para colocação de parafusos ou pregos, entalhes, defeitos na madeira, furos de insetos, 
etc. ou qualquer outro enfraquecimento). 
 
Assim, tem-se: 
 
u
d
td
A
F
=σ dttd f ,0≤σ (5.1) 
 
Sendo: 
Au = Abarra - Aenfraquecida 
 
Fd = Valor de cálculo das combinações das ações 
Au = Área útil da seção transversal 
 
OBS.: Os furos na zona tracionada das seções transversais das peças podem ser desprezados, 
desde que a redução da área resistente não supere 10% da área da peça íntegra. 
 
Nas tabelas 5.5 e 5.6 da NBR 7190/97 encontram-se agrupadas as resistências médias à 
tração para diferentes espécies de madeira. Na ausência desses valores adota-se: 
 ft0,d = fc0,d (5.2) 
 
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45 
 
Exem plos de Aplicação: 
 
1) Qual o esforço admissível à tração paralela às fibras em uma peça de Ipê de seção (7,5 x 
15) cm, sendo 3 cm a altura da peça utilizada para entalhes e colocação de parafusos? 
 
 
 
 
 
OBS.: Considerar: Carregamento de longa duração 
 Ação permanente de pequena variabilidade. 
 Classe de umidade (2) 
 Peças sem classificação mecânica 
 
 
 
 
2) Dada a estrutura abaixo dimensionar a barra 1, sendo Madeira E. grandis, área de 
enfraquecimento ocasionada pelos furos igual a 10% da seção bruta. 
 
 
Esforços: 
 
Ng = 20000 N (ação permanente de pequena variabilidade) 
Nw = 15000 N (ação do vento) 
Nq = 5000 N (ação acidental vertical) 
 
OBS.: Considerar: Situação de projeto duradoura 
 Classe de umidade (2) 
 Madeira não classificada mecanicamente 
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46 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
a) Verificação 
 
Dada a seção transversal (Abarra), a área enfraquecida (Aenfraquecida) e o 
esforço solicitante já combinado (Fd), verificar a seção: 
Au = Abarra – Aenfraquecida 
u
d
dttd
A
F
f =≤ ,0σ 
 
b) Dim ensionam ento 
 
Dado o esforço combinado (Fd) e a área total enfraquecida (Aenfraquecida), 
determinar a seção bruta: 
 
dt
d
u
f
F
A
,0
≥ 
daenfraqueci
dt
d
barra A
f
F
A +≥
0
 
 
escolher seção comercial, obedecendo a restrição de que o comprimento 
da peça não deve exceder 50 vezes a menor dimensão. 
 
 
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47 
 
6 
D I MENSI ONAMENTO DE PEÇAS SOLI CI TADAS À 
COMPRESSÃO NORMAL ÀS FI BRAS 
 
 
 
A menor resistência à compressão da madeira ocorre quando solicitamos uma peça por 
esforços perpendiculares às suas fibras. 
 
Essa solicitação aparece com muita freqüência nos telhados e ligações por intermédio de 
parafusos, cavilhas ou nos tarugos, dependendo da sua colocação, figura 6.1. Também 
podemos encontrar em dormentes de ferrovias, apoios de tesouras, etc... 
 
 
Figura 6.1 - a) Ligação do pendural com a linha, ligação com parafusos 
b) Área comprimida (b x b0) - apoio 
 
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48 
 
Quando a extensão da carga na direção das fibras for menor que 15 cm, e a carga estiver 
afastada de, pelo menos, 7,5 cm da extremidade da peça, figura 6.2, a condição de segurança 
deve ser verificada pela expressão: 
 
ndcdc f ασ ×≤ ,90,90 (6.1) 
 
onde: 
σc90,d = Tensão de compressão de cálculo normal às fibras. 
αn = Constante que depende da extensão da carga, dada na tabela 6.1. 
 
B
d
N
h
Peça de apoio
>7,5cm >7,5cma
D
 
 
Figura 6.2 - Dimensões mínimas da NBR 7190/97. 
 
 
Segundo a NBR 7190/97, o valor da resistência de cálculo da madeira à compressão normal às 
fibras pode ser obtido a partir da resistência da madeira à compressão paralela às fibras 
através das expressões abaixo: 
 
 
dcdc
kckc
ff
ff
,0,90
,0,90
25,0
25,0
=
=
 (6.2) 
 
Sendo: 
fc90,k = Resistência característica da madeira à compressão normal 
fc0,k = Resistência característica da madeira à compressão paralela 
fc90,d = Resistência de cálculo da madeira à compressão normal 
fc0,d = Resistência de cálculo da madeira à compressão paralela 
 
 
 
 
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49 
 
Tabela 6.1 - Valores da Constante αn 
Extensão da carga normal às fibras 
medidas paralelamente a estas (cm) 
Coeficientes 
αn 
1 2,00 
2 1,70 
3 1,55 
4 1,40 
5 1,30 
7,5 1,15 
10 1,10 
≥ 15 1,00 
 
*Quando a extensão da carga for maior que 15 cm, os afastamentos da carga às extremidades 
da peça de apoio não precisam ser obedecidas. 
 
 
Exem plo de Aplicação 
 
1) Indicar a madeira conveniente para resistir à tensão estática devida a compressão normal 
sob a placa de apoio de um trilho de bitola larga. O dormente tem seção (22 x 18) cm; a placa 
de distribuição tem (17 x 37) cm e a roda mais pesada, suposta agindo sobre meio dormente, 
aplica a carga de 160 kN. 
OBS: Considerar: Situação de projeto duradoura 
 Umidade relativa 60% 
 Peças sem classificação mecänica 
 
N = 160 kNN = 160 kN
 
 
 
 
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50 
 
2) Verificar se é possível a utilização de um travesseiro de apoio, de Angelim araroba, para 
uma tesoura cuja reação vertical é de G = 8000N e W = 7000N. As dimensões do travesseiro 
são dadas a seguir. 
 
N = 15.000 N
 
 
OBS: Considerar: Situação de projeto duradoura 
 Carga permanente de pequena variabilidade 
 Umidade relativa de 70% 
 Madeira não classificada mecanicamente 
 
 
 
 
 
 a = 7.5 cm 
 
 22 ,5 cm 
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51 
 
 
RESUMO 
 
a) Verificação 
 
Dada a seção transversal (A), extensão da carga no sentido das fibras (b), o 
afastamento da carga a extremidade da peça (d) e o esforço solicitante (N), 
verificar a seção: 
baA ×= 
se 1cm 5,7 e cm 15 ≥⇒≥≤ ndb α 
se 1 cm 15 =⇒> nb α 
 
b) Dimensionamento 
 
Dado o esforço, determinar a seção bruta ( )ba × e seu afastamento da 
extremidade da peça (d): 
ndc
d
f
N
A
α×
≥
,90
 
 
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52 
 
7 
D I MENSI ONAMENTODE PEÇAS SOLI CI TADAS À 
COMPRESSÃO I NCLI NADA ÀS FI BRAS 
 
 
 
7 .1 - I nt rodução 
 
Como já dito anteriormente, devido a anisotropia da madeira, há uma variação muito grande 
nas características mecânicas com a variação da direção dos esforços aplicados. Além de se 
estudar a compressão normal e a paralela às fibras também se faz necessário o conhecimento 
de características da peça de madeira cuja direção das fibras apresenta-se com inclinação 
diferente, em relação aos esforços, das duas direções acima propostas. 
 
 
7 .2 – A inclinação das fibras 
 
Um valor intermediário na resistência entre os dois casos estudados (paralelo e normal ao 
esforço) pode ser admitido, dependendo da inclinação das fibras. Esse valor está 
compreendido entre a resistência máxima fw c0 (resistência paralela às fibras) e a mínima fw c9 0 
(resistência normal às fibras). 
 
Para o cálculo da resistência de cálculo da madeira inclinada às fibras, a maioria das Normas 
Técnicas recomendam a fórmula de Hankison: 
 
( ) ( )ααα 2
,90
2
,0
,90,0
cos×+×
×
=
dcdc
dcdc
fsenf
ff
f (7.1) 
 
Sendo: 
fα = Resistência de cálculo da madeira à compressão inclinada às fibras 
fc0 ,d = Resistência de cálculo da madeira à compressão paralela às fibras 
fc9 0 ,d = Resistência de cálculo da madeira à compressão normal às fibras 
α = Ângulo entre a direção das fibras e o esforço solicitante. 
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53 
 
0° 15° 30° 60°45° 75° 90°
 
A equação de Hankison foi obtida através da realização de vários ensaios. Corpos de prova 
para ensaio de compressão foram retirados de uma prancha de madeira de forma que as fibras 
apresentassem a inclinação variável conforme pode ser visto na figura 7.1. Nestes corpos de 
prova foram realizados os ensaios e a partir desses uma avaliação estatística dos dados 
obtidos. A equação foi obtida portanto a partir dessa análise. 
 
Uma simplificação é admitida para inclinações menores que 6º (arco tangente igual a 0,10) 
que poderão ser consideradas como paralelas às fibras, portanto não sendo necessária a 
utilização da fórmula de Hankinson. 
 
 Figura 7.1 - a) Retirada dos corpos de prova 
b) Ensaios à compressão 
 
Sabendo-se que a resistência da madeira à compressão normal às fibras é 4 vezes menor que 
a resistência à compressão paralela às fibras uma simplificação pode ser feita de forma que: 
 
dcdc ff ,0,90 25,0 ×= (7.2) 
 
Substituindo na equação 7.1: 
 
( )
( ) ( ) ( )ααααα 22
,0
2
,0
2
,0
2
,0
,0,0
cos25,0
25,0
cos25,0
25,0
×+×
×
=
××+×
××
=
senf
f
fsenf
ff
f
dc
dc
dcdc
dcdc
 
 
Simplificando, 
( ) dcdc ff
sen
f ,0,022 cos25,0
25,0
×Δ=×
×+
=
ααα (7.3) 
 
A tabela mostrada a seguir fornece valores referentes a constante Δ para diversos ângulos. 
 
 
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54 
 
Tabela 7.1 – Valores de Δ para cálculo da equação de Hankinson 
Ângulo 
(º) 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 1,0000 0,9991 0,9964 0,9918 0,9856 0,9777 0,9683 0,9573 0,9451 0,9316 
10 0,9170 0,9015 0,8852 0,8682 0,8506 0,8327 0,8144 0,7959 0,7773 0,7587 
20 0,7402 0,7219 0,7037 0,6859 0,6683 0,6511 0,6343 0,6179 0,6020 0,5865 
30 0,5714 0,5569 0,5428 0,5291 0,5160 0,5033 0,4910 0,4793 0,4679 0,4570 
40 0,4465 0,4364 0,4268 0,4175 0,4086 0,4000 0,3918 0,3839 0,3764 0,3692 
50 0,3623 0,3556 0,3493 0,3432 0,3374 0,3319 0,3266 0,3215 0,3167 0,3121 
60 0,3077 0,3035 0,2995 0,2957 0,2921 0,2887 0,2854 0,2823 0,2794 0,2766 
70 0,2740 0,2716 0,2693 0,2671 0,2651 0,2632 0,2615 0,2599 0,2584 0,2570 
80 0,2558 0,2547 0,2537 0,2528 0,2521 0,2514 0,2509 0,2505 0,2502 0,2501 
90 0,2500 0,2501 0,2502 0,2505 0,2509 0,2514 0,2521 0,2528 0,2537 0,2547 
 
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55 
 
8 
D I MENSI ONAMENTO DE PEÇAS SOLI CI TADAS À 
COMPRESSÃO PARALELA ÀS FI BRAS 
 
 
 
8 .1 - I nt rodução 
 
A grande maioria dos elementos estruturais de madeira solicitados à compressão trabalha com 
as fibras paralelas ao esforço solicitante. Será mostrado a seguir o dimensionamento segundo 
a norma brasileira NBR 7190/97. 
 
 
8 .2 - Dim ensionam ento segundo a NBR- 7 1 9 0 / 9 7 
 
8 .2 .1 - Esbeltez m áxim a 
 
As peças utilizadas em estruturas de madeira são geralmente esbeltas, isto é, têm dimensões 
transversais pequenas em relação ao comprimento. 
 
A NBR 7190/97 estabelece, para uma seção retangular, que o comprimento da peça não deve 
ser maior que 40 vezes a menor dimensão da peça (Lmáx ≤ 40⋅b). Assim, o índice de esbeltez 
máximo será: 
 
λmáx = 140 (8.1) 
 
 
8 .2 .2 - Com prim ento de flam bagem 
 
A Norma Brasileira admite para a determinação do comprimento de flambagem somente duas 
situações de acordo com o tipo de apoio; o que não é regra para as outras Normas. 
 
 
 
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56 
 
a) Apoios fixos 
 
Considere as duas extremidades da peça indeslocáveis, isto é, fixas. Podemos distinguir os 
seguintes tipos: 
 
 
 
Figura 8.1 - Tipos de Apoio. 
 
No caso de uma tesoura, as terças fixam os pontos superiores, a figura 8.2 mostra o 
comprimento de flambagem das barras assinaladas. 
 
 
 
Figura 8.2 - Esquema de flambagem das barras. 
 
- Em relação ao plano da treliça (eixo x-x): Lf = Lx 
- Em relação ao plano normal à treliça (eixo y-y): Lf = Ly (8.2) 
 
 
Caso algum nó superior não seja fixado por uma terça, figura 8.3, os comprimentos de 
flambagem serão: 
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57 
 
 
 
Figura 8.3 - Esquema de flambagem das barras. 
 
 - Em relação ao plano da treliça (eixo x-x): Lf = Lx 
 - Em relação ao plano normal à treliça (eixo y-y): Lf = Lx + Lx (8.3) 
 
 
Observações: 
 
1. Conceituamos apoio articulado fixo, todo o nó da treliça indeslocável no plano relacionado 
com o eixo de inércia de seção transversal da barra, objeto da verificação de sua estabilidade 
elástica. 
 
2. Embora algumas Normas estrangeiras admitam condições de engastamento, a NBR 7190/97 
é taxativamente discordante, portanto, não poderemos admitir as condições da figura 8.4. 
 
 
Figura 8.4 - Condições de apoio não enquadradas nas estruturas de madeira 
(NBR 7190/97). 
 
 
 
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58 
 
b) Apoio livre numa extremidade e engastado na outra 
 
 
Lf = 2L 
 
Figura 8.5 - Esquema de flambagem de um pilar. 
 
 
A consideração da base engastada no solo e livre na extremidade é o caso típico de postes, 
pilares de galpões ou montantes de pórticos no plano da viga principal. 
 
 
 
c) Comprimento de flambagem reduzido por contraventamentos 
 
Este caso é comum em escoramentos. O recurso empregado para reduzir o comprimento de 
flambagem deve ser criteriosamente analisado, conforme os esquemas da figura 8.6. 
 
 
Figura 8.6 - Redução do comprimento de flambagem por contraventamento. 
 
 
 
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λ
8 .2 .3 - Classificação do t ipo de peça em função do índice de esbeltez 
 
A resistência da madeira à compressão paralela tem comportamento variável com o índice de 
esbeltez, revelando três regiões distintas para o cálculo, conforme mostrado na figura 8.7. 
 
 
 
 
1. Peça Curta 
2. Peça medianamente esbelta 
3. Peça esbelta 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.7 - Resistência à flambagem x Índice de esbeltez 
 
 
a) Peça curta (λ ≤ 40) 
 
Define-se como peça curta àquela situação onde não ocorre flambagem. Na peça curta a 
condição de segurança é expressa por: 
 
 wcdcd f≤σ (8.4) 
 
Sendo: 
σcd = Tensão atuante na peça 
fwcd = Resistência de cálculo da madeira à compressão paralela às fibras 
 
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60 
 
b) Peça medianamente esbelta (40 ≤ λ ≤ 80) 
 
Nessas peças a resistência é afetada pela ocorrência da flambagem, incluindo os efeitos de 
imperfeições geométricas e da não linearidade do material. 
 
A verificação da estabilidade da peça será: 
 
1
,0,0
≤+
dc
md
dc
nd
ff
σσ
 (8.5) 
 
sendo: 
σnd = Valor de cálculo da tensão de compressão devido à força normal de compressão 
σmd = Valor de cálculo da tensão de compressão devido ao momento fletor Md, 
calculado pela expressão: 
 
 y
I
Md
md =σ ; (8.6) 
 
 Md = Nd × ed (8.7) 
 
com: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
dE
E
efd
NF
F
ee ,1 ; (8.8) 
 
2
0
,0
2
L
IE
F
efc
E
××
=
π
 (Carga crítica de Euler) (8.9) 
e1,ef = ei + ea (8.10) 
30
1 h
N
M
e
d
d
i ≥= e 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
30
300
0
h
L
ea (8.11) 
ed: excentricidade de cálculo; 
ei,ef: excentricidade efetiva de 1ª ordem; 
ei: excentricidade de 1ª ordem, decorrente da situação de projeto; 
ea: excentricidade acidental da carga. 
M1d = Valor de cálculo do momento fletor; 
 
 
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61 
 
c) Peça esbelta (80 ≤ λ ≤ 140) 
 
 
A verificação da estabilidade da peça deverá obedecer à inequação: 
1
,0,0
≤+
dc
md
dc
nd
ff
σσ
 
 
das equações 8.6 a 8.8 temos: 
 
y
I
Md
md =σ e ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
×=
dE
E
efdd
NF
F
eNM 1 
 
Conhecendo-se a equação da carga crítica de Euler: 
 
2
0
,0
2
L
IE
F
efc
E
××
=
π
 
com: Ec0,ef = Kmod × Ec0,m 
 
Para o cálculo da excentricidade teremos então: 
 
e1,ef = e1 + ec ; (8.12) 
 
e1 = ei + ea 
 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ +
≥
30
,1,1
h
N
MM
e d
dqdg
i 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
30
300
0
h
L
ea (8.13) 
( ) ( )[ ]
( )[ ] ⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++−
++
+= 1exp
21
21
qkgkE
qkgk
aigc
NNF
NN
eee
ψψ
ψψφ
 (8.14) 
gd
dg
ig
N
M
e
,1= ; 121 ≤+ ψψ (8.15) 
 
 
 
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62 
 
Sendo: 
 
 φ = coeficiente de fluência (Tabela 8.1) 
 fc0,d = Resistência de cálculo da madeira à compressão paralela às fibras; 
 Ec0,ef = Módulo de elasticidade efetivo da madeira; 
 λ = Índice de esbeltez; 
 σnd = Tensão de cálculo atuante na peça; 
 FE = Carga crítica de Euler; 
 M1d = Momento de cálculo atuante; 
 e1,ef = Excentricidade efetiva de primeira ordem; 
 ei = Excentricidade de primeira ordem decorrente do projeto; 
 ea = Excentricidade acidental mínima; 
 ec = Excentricidade suplementar de primeira ordem que representa a fluência da 
madeira; 
 ψ1 e ψ2 = Fatores de combinação (tabela 4.2); 
 Ngk = Valor característico da força normal devido à carga permanente; 
 Nqk = Valor característico da força normal devido às cargas variáveis; 
 M1gd = Valor de cálculo do momento fletor devido às ações permanentes; 
 Ngd = Valor de cálculo da força normal devido às ações permanentes. 
 
 
Tabela 8.1 — Coeficiente de fluência φ 
Classes de umidade 
Classes de carregamento 
(1) ou (2) (3) ou (4) 
Permanente ou de longa duração 0,8 2,0 
Média duração 0,3 1,0 
Curta duração 0,1 0,5 
 
 
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63 
 
Exem plos de Aplicação: 
 
1) Qual a solicitação máxima admissível em uma peça de Jatobá de seção (15 x 15) cm, 
admitindo-se que a peça é curta? 
OBS: Considerar carregamento de longa duração, com apenas ação permanente de pequena 
variabilidade, classe de umidade (2) e peças sem classificação mecânica. 
 
 
2) Qual o comprimento livre máximo, de uma peça bi-articulada de Jatobá, com seção de (15 
x 15) cm e a carga encontrada acima? 
 
 
3) Calcular a solicitação máxima admissível numa coluna de madeira roliça de Angelim Pedra, 
com diâmetros de: 
 
- na base Db = 24,5 cm 
- no topo Dt = 22,5 cm 
 
OBS: Considerar carregamento de longa duração, com apenas ação permanente de pequena 
variabilidade, classe de umidade (2) e peças sem classificação mecânica, admitindo-se 
peça curta. 
 
 
4) Qual a solicitação máxima admissível em uma coluna de Angelim araroba, de dimensões 
(12 x 12) cm, com 200 cm de altura, bi-articulada? 
OBS: Considerar carregamento de longa duração, com apenas ação permanente de pequena 
variabilidade, classe de umidade (2) e peças sem classificação mecânica. 
 
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64 
 
 
5) Verificar se a peça do banzo inferior de uma tesoura tipo Howe de jatobá, de 250 cm de 
comprimento e seção transversal de 7,5x12cm, resiste aos seguintes esforços: 
 
Ng = 30000 N (ação permanente de pequena variabilidade) 
Nq = 4000 N (ação acidental vertical) 
Nw = 17000 N (ação do vento) 
 
OBS: Considerar carregamento de longa duração, classe de umidade (2) e peças sem 
classificação mecânica. 
 
 
Seção Transversal 
 
 
 
6) Qual a solicitação máxima de compressão paralela às fibras em uma coluna de Angelim 
araroba, sendo a base engastada e o topo livre, a seção transversal de (12 x 12) cm2 e o 
comprimento igual a 2,4 metros? 
OBS: Considerar carregamento de longa duração, com apenas ação permanente de pequena 
variabilidade, classe de umidade (2) e peças sem classificação mecânica. 
 
 
 
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65 
 
9 
D I MENSI ONAMENTO DE PEÇAS SOLI CI TADAS AO 
CI SALHAMENTO 
 
 
 
9 .1 - I nt rodução 
 
Conforme foi visto anteriormente, o cisalhamento nas madeiras só ocorre segundo planos 
paralelos às fibras. O cisalhamento pode ocorrer nas ligações e em vigas fletidas. Neste 
capítulo será visto apenas o cisalhamento nas ligações. O cisalhamento em vigas fletidas será 
apresentado no capítulo 9. 
 
 
9 .2 – Cisalham ento nas ligações de peças de m adeira 
 
O nó de apoio de estruturas treliçadas deve ter uma folga “a” dimensionada para resistir ao 
cisalhamento ocasionado pela componente horizontal da carga na peça da perna da treliça, 
figura 9.1. 
θ
Nd
 
Figura 9.1 - Ligação da linha com a perna de uma tesoura. 
 
 
dvd f ,0≤τ (9.1) 
dv
d f
ab
N
,0
cos
≤
×
× θ
 (9.2) 
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66dv
d
fb
N
a
,0
cos
×
×
≥
θ
 (9.3) 
 
 
Sendo: 
τd = Tensão de cisalhamento de cálculo atuante na área 
fv0,d = Resistência de cálculo ao cisalhamento 
Nd = Carga de compressão de cálculo na peça do banzo superior 
θ = Ângulo entre as duas peças 
b = Largura da peça 
a = folga necessária para resistir ao cisalhamento 
 
 
Quando o nó é executado com dois dentes, a folga “a” é contada a partir do segundo dente, 
além de se manter 2' aa = , a partir do primeiro dente como mostra a figura 9.2. 
 
Nd
θ
 
Figura 9.2 - Ligação feita com dois dentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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67 
 
Exem plo de Aplicação: 
 
1)- Cotar a ligação do nó de apoio de uma tesoura de Jatobá. 
 
θ = 15°
 
 
Considerações: 
• Carga permanente de grande variabilidade 
• Madeira de 2ª categoria 
• Classe 2 de umidade 
• Carregamento de longa duração 
 
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68 
 
10 
D I MENSI ONAMENTO DE PEÇAS SOLI CI TADAS À 
FLEXÃO SI MPLES 
 
 
 
1 0 .1 - I nt rodução 
 
Em geral nas vigas submetidas à flexão simples, além da ocorrência de momento fletor, 
ocorrem também esforços cortantes e deformações verticais (flechas). Dessa forma, quando 
calculamos vigas fletidas devemos verificar a tensão oriunda da ação do momento fletor, a 
tensão de cisalhamento na flexão, oriunda da ação do esforço cortante, bem como a flecha 
máxima que ocorrerá na viga (figura 10.1). Isto é, deverá ser feita a verificação dos estados 
limites últimos e de utilização. 
 
 
Figura 10.1 - Esforços e deformações em uma viga fletida. 
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69 
 
Para o cálculo das peças fletidas considera-se o vão teórico como o menor dos seguintes 
valores: 
 
a) distância entre eixos dos apoios; 
 
b) o vão livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do vão, não se 
considerando acréscimo maior que 10 cm 
 
1 0 .2 - Tensões norm ais 
 
A verificação do estado limite último para as tensões normais pode ser feita pela expressão 
abaixo: 
 
tddt
cddc
f
f
≤
≤
,2
,1
σ
σ
 (10.1) 
Sendo: 
fcd e ftd as resistências à compressão e à tração, respectivamente; 
σc1,d e σt2,d as tensões atuantes de cálculo nas bordas mais comprimida e mais tracionada da 
seção transversal considerada, calculadas pelas expressões: 
 
c
d
dc
W
M
=,1σ 
t
d
dt
W
M
=,2σ (10.2) 
onde: 
Wc e Wt são os respectivos módulos de resistência à compressão e à tração, determinados a 
partir das equações: 
 
1c
c
y
I
W = 
2t
t
y
I
W = (10.3) 
 
Sendo I o momento de inércia da seção transversal resistente em relação ao eixo central de 
inércia perpendicular ao plano de ação do momento fletor atuante. 
 
 
 
 
 
 
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70 
 
Quando a peça é composta devem ser consideradas as seguintes recomendações: 
 
• Quando se tem peças de seção Τ, Ι e caixão 
 
A NBR 7190/97 recomenda a redução do momento de inércia, dado por: (momento de inércia 
efetivo) 
 thref II ×= α (10.4) 
 
onde: 
- Ith é o momento de inércia da seção total da peça como se ela fosse maciça 
- αr = 0,95 ⇒ para seções Τ 
- αr = 0,85 ⇒ para seções Ι ou caixão: 
 
Na falta de verificação específica da segurança em relação à estabilidade da alma, recomenda-
se o emprego de enrijecedores perpendiculares ao eixo da viga, com espaçamento máximo de 
duas vezes a altura total da viga. 
 
• Peças com postas com alm a em t reliça ou de chapa de m adeira com pensada 
 
As peças compostas com alma em treliça formada por tábuas diagonais, e as peças compostas 
com alma formada por chapa de madeira compensada devem ser dimensionadas à flexão 
simples ou composta, considerando exclusivamente as peças dos banzos tracionado e 
comprimido, sem redução de suas dimensões. 
 
As almas dessas vigas e as suas ligações com os respectivos banzos devem ser dimensionadas 
a cisalhamento como se a viga fosse de seção maciça. 
 
• Peças com postas por lâm inas de m adeira colada 
 
As peças de madeira laminada colada devem ser formadas por lâminas com espessuras não 
superiores a 50 mm de madeira de primeira categoria, coladas com adesivo à prova d’água à 
base de fenol-formaldeído sob pressão, em processo industrial adequado que solidarize 
permanentemente sistema. 
 
As lâminas podem ser dispostas com seus planos médios paralelamente ou 
perpendicularmente ao plano de atuação das cargas. 
 
Em lâminas adjacentes, de espessura t , suas emendas devem estar afastadas entre si de uma 
distância pelo menos igual a 2 5 t ou a altura h da viga. 
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71 
 
 
Todas as emendas contidas em um comprimento igual à altura da viga são consideradas como 
pertencentes a mesma seção resistente. 
 
As lâminas emendadas possuem a seção resistente reduzida, 
 
efrred AA ×= α 
Onde αr tem os seguintes valores: 
- αr = 0,9 ⇒ para emendas dentadas (finger joints) 
- αr = 0,85 ⇒ para emendas em cunha com inclinação de 1:10 
 -αr = 0 ⇒ para emendas de topo 
 
• Peças com postas de seção retangular ligadas por conectores m etálicos 
 
As vigas compostas de seção retangular, ligadas por conectores metálicos, solicitadas à flexão 
simples ou composta, suposta uma execução cuidadosa e a existência de parafusos 
suplementares que solidarizem permanentemente o sistema, podem ser dimensionadas à 
flexão, em estado limite último, como se fossem peças maciças, reduzindo-se o momento de 
inércia da seção composta, adotando: 
 
thref II ×= α 
sendo: 
- αr = 0,85 ⇒ para dois elementos superpostos; 
- αr = 0,70 ⇒ para três elementos superpostos. 
 
onde: 
Ιef é o valor efetivo e Ιth o seu valor teórico. 
 
Os conectores metálicos devem ser dimensionados para resistirem ao cisalhamento que 
existiria nos planos de contato das diferentes peças como se a peça fosse maciça. 
 
 
1 0 .3 - Tensões tangenciais 
 
A máxima tensão de cisalhamento aparece na linha neutra e é dada por: 
 
dv
d
d f
Ib
SV
,0≤
×
×
=τ (10.5) 
 
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72 
 
Sendo: 
τd = Tensão de cisalhamento atuante na linha neutra da seção considerada 
Vd = Esforço cortante na seção considerada 
S = Momento estático da seção em relação à linha neutra 
b = Largura da seção na linha neutra 
I = Momento de inércia da seção em relação à linha neutra 
fv0,d = Resistência de cálculo da madeira ao cisalhamento. 
 
Caso a seção transversal seja retangular de largura b e altura h, tem-se: 
 
hb
Vd
d ×
×=
2
3τ (10.6) 
 
No caso da seção circular tem-se: 
dv
d
d f
A
V
,03
4
≤×=τ (10.7) 
Observação: 
 
Nas peças comerciais, a tensão de cisalhamento atuante é pequena, assim, é comumente 
dispensada a diminuição da tensão de cisalhamento na verificação ao cisalhamento. Esta 
verificação é feita com o cisalhamento máximo no apoio. 
 
 
1 0 .4 - Flecha 
 
Deve ser verificada a segurança emrelação ao estado limite de deformações excessivas que 
possam afetar a utilização normal da construção ou seu aspecto estético, considerando apenas 
as combinações de ações de longa duração, levando-se em conta a rigidez efetiva definida por: 
 
mcefc EkkkE ,03mod2mod1mod,0 ×××= (10.8) 
 
As flechas totais (flechas efetivas) efu são determinadas pela soma das parcelas devidas à 
carga permanente e a carga acidental com a combinação das ações dada por: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×+= ∑∑
==
kQj
n
j
j
m
i
kGiUtid FFF ,
1
2
1
,, ψ (10.9) 
 
com j2ψ = coeficiente de combinação dado pela tabela 4.2. 
 
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73 
 
Estas flechas não podem superar 2001 dos vãos, nem 1001 do comprimento dos balanços 
correspondentes. 
 
As flechas devidas às ações permanentes podem ser parcialmente compensadas por contra-
flechas dadas na construção, 0u . Neste caso, na verificação da segurança, as flechas devidas 
às ações permanentes podem ser reduzidas de gu . 
 
Nas construções onde haja materiais frágeis ligados à estrutura, como forros, pisos e 
divisórias, cuja fissuração não possa ser evitada por meio de disposições construtivas 
adequadas, a verificação da segurança em relação aos estados limites de deformações procura 
evitar danos a esses materiais não estruturais. 
 
Nestes casos, as combinações de ações de média e de curta duração a considerar, conforme o 
rigor da segurança pretendida, são respectivamente: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×+×+= ∑∑
==
kQj
n
j
jkQ
m
i
kGiUtid FFFF ,
2
2,11
1
,, ψψ (10.10) 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
×++= ∑∑
==
kQj
n
j
jkQ
m
i
kGiUtid FFFF ,
2
1,1
1
,, ψ (10.11) 
 
As flechas totais, incluindo o efeito da fluência, devido às combinações de ações consideradas, 
não devem superar 3501 dos vãos, nem 1751 do comprimento dos balanços 
correspondentes. 
 
As flechas devido apenas às ações variáveis da combinação considerada não devem superar 
3001 dos vãos ou 1501 do comprimento dos balanços nem o valor absoluto de 1 5 m m . 
 
Em construções especiais, tais como formas para concreto estrutural, cimbramentos, torres, 
etc., as flechas limites devem ser estabelecidas pelo proprietário da construção, ou por normas 
especiais referentes às mesmas. 
 
 
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74 
 
Exem plo de Aplicação 
 
Uma passarela para pedestres de seis metros de comprimento foi construída em Jatobá 
conforme o esquema abaixo. Fazer os cálculos de verificação para as vigas principais. 
OBS: Considerar situação duradoura, ação permanente de pequena variabilidade, classe de 
umidade (2) e peças sem classificação mecânica. 
 
 
 
7.5 cm
 
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75 
 
11 
D I MENSI ONAMENTO DE PEÇAS SOLI CI TADAS À 
FLEXÃO OBLÍ QUA 
 
 
 
1 1 .1 - I nt rodução 
 
Em determinados casos, deparamo-nos com peças solicitadas duplamente à flexão. Isto 
acontece quando o plano de atuação dos momentos fletores não coincide com um dos eixos 
principais de inércia. 
 
Como exemplo clássico de flexão oblíqua ou flexão desviada temos as terças dos telhados que, 
colocadas no plano inclinado da tesoura, são solicitadas por uma ação dupla de flexão. Nestes 
casos, podemos decompor o problema em dois, conforme pode ser visto na figura 11.1. 
 
a) FLEXÃO OBLÍQUA 
b) FLEXÃO EM TORNO DE x-x 
α
α
α
α
α
 
c) FLEXÃO EM TORNO DE y-y 
Figura 11.1 - Superposição de efeitos (flexão oblíqua) 
 
Resolvendo-se os problemas “b” e “c” por flexão simples pode-se superpô-los e obter as 
verificações para o problema “a” como flexão oblíqua. 
 
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76 
 
 
1 1 .2 - Tensões norm ais 
 
A condição de segurança é expressa pela mais rigorosa das duas condições seguintes, tanto 
em relação às tensões de tração quanto às de compressão: 
 
1
1
,,
,,
≤+×
≤×+
wd
M
wd
M
M
wd
M
M
wd
M
ff
k
f
k
f
dydx
dydx
σσ
σσ
 (11.1) 
Onde: 
 
• 
dxdx MM ,,
 e σσ são as tensões máximas devido às componentes de flexão atuantes 
segundo as direções principais, obtidas através dos esquemas estáticos dos problemas 
“b” e “c”, respectivamente. 
• wdf é a respectiva resistência de cálculo, de tração ou compressão conforme a borda 
verificada. 
• Mk é o coeficiente de correção que pode assumir os seguintes valores: 
 seção retangular 5,0=⇒ Mk 
 outras seções transversais 0,1=⇒ Mk 
 
No caso de peças com fibras inclinadas aplica-se a fwd a redução abaixo definida: 
 
 
)cos()( 2
90
2
0
900
ααα ×+×
×
=
fsenf
ff
f (fórmula de Hankison) (11.2) 
 
 
1 1 .3 - Tensões de cisalham ento 
 
 dvdydx f ,0,, ≤+ ττ (11.3) 
 
Onde: 
• dydx ,, e ττ são as tensões de cisalhamento nas direções x e y, respectivamente; 
• dvf ,0 é a resistência de cálculo da madeira ao cisalhamento 
 
 
 
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77 
 
1 1 .4 - Flecha 
 
A NBR 7190/97, estabelece que os limites da flechas devem ser verificados isoladamente para 
cada um dos planos principais de flexão (os limites e considerações são os mesmos do capítulo 
10). 
 
fu
fu
yef
xef
≤
≤
,
, (11.4) 
 
 
Observações: 
 
1. É possível melhorar as condições de estabilidade da terça aliviando a flexão no plano de 
menor rigidez (eixo Y-Y) através do travamento no centro, figura 11.2. 
 
a) Em relação ao Plano x-x - Viga simplesmente apoiada 
 
 
 
 
 
b) Em relação ao Plano y-y - Viga contínua 
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78 
 
 
Figura 11.2 - Melhoramento da estabilidade através de travamentos 
 
Para melhor aproveitamento da seção da terça, em certos casos, quando for possível, 
empregando telhas cerâmicas, pode-se adotar um chapuz de modo a reduzir a inclinação da 
terça, figura 11.3. 
 
Figura 11.3 - Redução da inclinação da terça 
 
 
Exem plos de Aplicação 
 
1) Verificar se é possível utilizar uma peça de Jatobá com dimensões de (7,5 x 15) cm para 
resistir a uma carga inclinada uniformemente distribuída de 1000 N/m. O vão livre é de 3,50 
metros, o ângulo formado pela direção da carga e o eixo y da terça é de 20° e a carga é 
considerada permanente de pequena variabilidade (carregamento normal), figura 14.4. 
OBS: Considerar situação duradoura, ação permanente de pequena variabilidade, classe de 
umidade (2) e peças sem classificação mecânica. 
 
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79 
 
α
α
 
a) Flexão Oblíqua b) Flexão em torno de x-x c)Flexão em torno de x-x 
Figura 11.4 - Flexão oblíqua 
 
 
2) Calcular qual a máxima carga permanente uniformemente distribuída que poderá ser 
aplicada a uma viga de uma terça de Angelim Pedra com 3,0 metros de vão livre e seção de 
7,5 x 12 cm conforme o esquema abaixo. O ângulo formado pela direção da carga e o eixo y 
da terça é de 15°. A viga é simplesmente apoiada. Considerar situaçãoduradoura, ação 
permanente de pequena variabilidade, classe de umidade (2) e peças sem classificação 
mecânica. 
α
α
 
a) Flexão Oblíqua b) Flexão em torno de x-x c)Flexão em torno de x-x 
Figura 11.5 - Flexão oblíqua 
 
Seção transversal 
 
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80 
 
12 
LI GAÇÕES 
 
 
 
1 2 .1 - I nt rodução 
 
As peças de madeira têm o comprimento limitado pelo tamanho das árvores, meios de 
transporte, etc. As peças de madeira serrada são desdobradas em comprimentos ainda mais 
limitados, geralmente entre 4 e 5 metros. Porém, algumas vezes em elementos estruturais, é 
necessária a utilização de peças de dimensão superior a encontrada no mercado, sendo assim 
necessária a execução de ligações. 
 
As ligações nas estruturas de madeira constituem os pontos mais perigosos, pois, a simples 
falha de uma única ligação poderá ser responsável pelo colapso de todo um conjunto de 
elementos estruturais. 
 
O principal requisito dos elementos de ligação é a resistência. Isto significa que as ligações 
devem ser capazes de transmitir os esforços de uma peça da madeira para a outra. Também 
requisito importante é a rigidez, pois o funcionamento da estrutura não pode ser prejudicado 
pelo deslizamento das peças ligadas, sendo por isso necessária a restrição deste deslizamento. 
Algumas prescrições construtivas são indicadas pelas normas, sendo aconselhável seu 
obedecimento para a garantia de um bom desempenho da estrutura. 
 
Devido a sua importância será feita neste capítulo de forma detalhada a descrição de ligações 
estruturais em peças de madeira. 
 
 
1 2 .2 - Aspectos que influenciam nas ligações 
 
Além da impossibilidade de se conhecer teoricamente as deformações localizadas, outros 
aspectos tem influência nas ligações tais como: 
 
 
 
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81 
 
a) Tipo de Ligação 
 
A figura 12.1 mostra o comportamento quanto à deformação em vários tipos de ligações. 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10
DEF (mm)
F
o
rç
a
 (
t)
COLA
CAVILHA DE 
CARVALHO
ANÉIS METÁLICOS
(CONECTORES)
PLACA DENTADA
2 PARAFUSOS
PREGOS
1 PARAFUSO
 
Figura 12.1 - Comportamento das ligações quanto à deformação. 
 
b) Com portam ento Elasto- Plást ico da Madeira 
 
O comportamento elasto-plástico da madeira é encontrado especialmente nos pontos de 
concentração dos esforços das ligações, figura 12.2. 
 
 
Figura 12.2 - Concentração de tensões nas paredes dos furos. 
 
c) Qualidade da m ão de obra 
 
 
 
 
N/2
N
N/2
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82 
 
1 2 .3 - Tipos de ligações 
 
Os principais tipos de ligações empregados são: (Ver figura 12.3) 
 
� Pinos metálicos (pregos e parafusos); 
� Cavilhas (pinos de madeira torneados;) 
� Conectores (chapas com dentes estampados e anéis metálicos); 
� Ligações práticas (grampos, braçadeiras e entalhes). 
 
 
Figura 12.3 - Tipos de ligações estruturais de peças de madeira. 
 
Os grampos e braçadeiras são utilizados apenas como elementos auxiliares de montagem, não 
sendo considerados elementos de ligação estrutural. 
 
A colagem é utilizada em larga escala nas fábricas de peças de madeira laminada e madeira 
compensada. Nas peças laminadas de grande comprimento, as lâminas individuais são 
emendadas com cola, empregando-se uma seção dentada ou biselada. 
 
Os pregos são peças metálicas cravadas na madeira com impacto (na maioria das vezes é feita 
uma pré-furação). Eles são utilizados em ligações de montagem e ligações definitivas. A NBR 
7190/97 os considera como pinos. 
 
Os parafusos são de dois tipos: 
 
� Parafuso rosqueado auto-atarraxante; 
� Parafuso com porca e arruela. 
 
Os parafusos auto-atarraxantes são muito utilizados em marcenaria ou para prender 
acessórios metálicos em postes, dormentes, etc. Em geral, não são utilizados como elemento 
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83 
 
de ligação de peças estruturais de madeira. 
 
Os parafusos utilizados nas ligações estruturais são cilíndricos e lisos, tendo numa extremidade 
uma cabeça e na outra uma rosca e uma porca. Eles são instalados em furos com folga 
variando de 0,5 mm até 2,0 mm e depois apertados com a porca. Para reduzir a pressão de 
apoio na superfície da madeira, utilizam-se arruelas metálicas. A NBR 7190/97 os considera 
como pinos e não permite levar em consideração a contribuição do atrito entre as superfícies 
de contato devido à retração e à deformação lenta da madeira. 
 
Os conectores são peças metálicas especiais encaixadas em sulcos na superfície da madeira e 
apresentando grande eficiência na transmissão de esforços. No local de cada conector coloca-
se um parafuso para impedir a separação das peças ligadas. Os conectores mais usuais são em 
forma de anel. 
 
 
1 2 .4 - Critér ios de dim ensionam ento 
 
As ligações adesivas são bastante rígidas. Seu dimensionamento se faz a partir da resistência 
de cálculo da ligação adesiva que depende do tipo de adesivo utilizado. 
 
As ligações por entalhes ou encaixes utilizam a resistência de cálculo da madeira para os 
esforços atuantes. 
 
As ligações com pregos, parafusos ou conectores são dimensionadas segundo a NBR 7190/97. 
O estado limite da ligação é atingido por deficiência de resistência da madeira ou do elemento 
de ligação. O dimensionamento é feito pela seguinte condição de segurança: 
dd RS ≤ 
Onde: 
Sd = Valor de cálculo das solicitações; 
Rd= Valor de cálculo da resistência. 
 
 
 
1 2 .5 - Ligações prát icas ( sem m odelo de cálculo) 
 
Na prática, vários tipos de ligações são realizados sem um modelo de cálculo, essas ligações 
são “criadas” por carpinteiros experientes e intuitivamente ou através de ensaios simples, 
nota-se que são eficientes e seguras. 
 
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84 
 
a) Ligações t ípicas para em endas de terças 
 
 
Figura 12.4 - Ligações para emendas de terças. 
 
Observação: A emenda entre as terças deve ser feita perto da região dos apoios e nunca no 
meio da terça. 
 
b) Ligações coladas em viga m aciça flet ida ou t racionada 
 
Esta ligação pode ser executada conforme a figura 12.5. 
L
b
 
 
Figura 12.5 - Ligação colada. 
 
Para se obter uma boa ligação deve-se adotar adesivo de qualidade garantida por produtor 
idôneo, execução perfeita com relação às dimensões de maneira a se obter bL ×≥ 20 . 
 
Observação: A ligação deve ser realizada o mais próximo possível dos apoios e nunca no meio 
da viga. 
 
c) Em endas para com posição de vigas lam inadas 
 
Vigas laminadas são vigas compostas por tábuas coladas e/ou pregadas. 
 
Quando uma viga é fletida ou tracionada a ligação deve ser executada conforme o esquema da 
figura 12.6. 
L 
Figura 12.6 - Ligação para vigas laminadas fletidas ou tracionadas 
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85 
 
 
Quando a viga é comprimida, a ligação pode ser feita de topo, conforme o esquema da figura 
12.7, facilitando a execuçãoda ligação. 
 
 
Figura 12.7 - Ligação para vigas laminadas comprimidas. 
 
Os pregos são utilizados para manter a peça unida durante a secagem da cola, não se 
considera sua resistência na ligação. 
 
Observação: As emendas entre as tábuas devem ser distribuídas ao longo da peça, evitando-
se ao máximo que essas emendas se posicionem em uma mesma seção 
transversal. 
 
 
1 2 .6 – Ligações por entalhes 
 
É o tipo de ligação mais prático e natural entre duas peças de madeira. Só pode ser utilizada 
quando temos uma das peças comprimida, devendo-se verificar as resistências das superfícies 
ao esmagamento e, às vezes, a resistência ao cisalhamento de um certo trecho (caso das 
juntas extremas das tesouras). Os entalhes não podem ser usados para resistir a inversões de 
esforços devido à ação do vento. 
 
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86 
 
A B
C
D
 
Figura 12.8 - Ligações por entalhe. 
 
Figura 12.8a - Temos uma ligação do apoio de uma tesoura, onde o banzo superior 
(comprimido) se liga ao banzo inferior (tracionado). 
Figura 12.8b - Temos uma ligação de um nó superior de uma treliça, onde a diagonal é 
comprimida. 
Figura 12.8c - Temos uma ligação de uma diagonal comprimida com o banzo inferior. 
Figura 12.8d - Temos uma ligação da cumeeira onde o banzo superior é comprimido. 
 
 
 
 
(a) (b) 
Figura 12.9 - Ligações por entalhe. 
(a) Ligação de uma empena de treliça de cobertura. 
(b) Ligação de uma mão francesa comprimida. 
 
 
(a) (b) 
(c)
(d) 
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87 
 
1 2 .6 .1 - Cálculo dos entalhes 
 
Seja uma ligação típica por meio de entalhes do apoio de uma tesoura onde o banzo superior 
(comprimido) se liga ao banzo inferior (tracionado), figura 12.10. 
 
 
Figura 12.10 - Detalhe ligação por entalhe. 
 
Os esforços de compressão Nd do banzo superior transmitem-se ao banzo inferior através das 
componentes agindo normalmente aos planos sobre os quais atuam. 
 
 
a) Cálculo da altura do dente ( e) 
 
be
Nd
at ×
×
=
θ
σ
cos
 
 
Essa tensão atuante deve ser menor ou igual à resistência de cálculo da madeira inclinada de θ 
em relação às fibras, oriunda da fórmula de Hankison. 
 
dc
d
at f
be
N
,
cos
α
θ
σ ≤
×
×
= 
e, portanto, 
 
bf
N
e
dc
d
×
×
≥
,
cos
α
θ
 
 
onde: 
e = Altura do dente; 
Nd = Solicitação de cálculo (banzo superior) 
 b = Largura da peça do banzo inferior 
d,cf α = Resistência de cálculo da madeira à compressão inclinada de ângulo α com a 
direção das fibras 
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88 
 
θ = Ângulo entre as peças. 
 
b) Cálculo da folga necessária ao cisalham ento ( a) 
 
Para que não ocorra ruptura devido ao cisalhamento, figura 12.11, é necessário que se 
mantenha uma folga (a) suficiente. 
 
θ 
Nd 
 
Figura 12.11 - Folga necessária 
 
 
dv
d
at f
ab
N
,0
cos
≤
×
×
=
θτ 
 
e, portanto: 
dv
d
fb
N
a
,0
cos
×
×
≥
θ
 
 
Onde: 
 a = Folga necessária ao cisalhamento; 
 Nd = Solicitação de cálculo do banzo superior; 
 θ = Angulo entre as peças de ligação; 
 b = Largura da peça do banzo inferior; 
 d,vf 0 = Resistência de cálculo ao cisalhamento. 
 
 
1 2 .6 .2 - Detalhes construt ivos 
 
1. Os eixos das barras de treliças devem encontrar-se, sempre que possível no nó teórico 
do esquema estrutural; 
 
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89 
 
2. Como a peça do banzo inferior é em geral tracionada, para que a área útil desta peça não 
seja muito diminuída, a experiência prática nos diz que a altura do dente (e) não deve 
ultrapassar 1/4 da altura da peça do banzo inferior (d) e não deve ser inferior a 1/8 da 
altura da peça ou 2 cm, assim, o dente deve se encontrar no intervalo: 
ded
4
1
8
1
≤≤ com 2≥e cm 
 
3. Quando se obtiver nos cálculos e > d/4, mantém-se o cálculo mas constroem-se dois 
dentes, figura 12.12, com a altura igual a e/2 e medindo-se a folga f a partir do segundo 
dente, observando-se que a partir do primeiro dente deve-se ter a/2. 
 
 
 
Figura 12.12 - Entalhe com dois dentes. 
 
Neste caso ainda é conveniente manter o segundo dente um pouco mais baixo que o primeiro, 
evitando-se assim uma linha contínua para resistir ao cisalhamento. 
 
Quando nem mesmo a utilização de dois dentes for suficiente para transmitir os esforços (e/ 2 
> d/ 4 ), costuma-se usar dois dentes de altura d/ 4 e o restante da carga é transmitida 
através de cobrejuntas pregadas ou parafusadas. 
 
Da carga total P (ou Nd) os dentes absorvem 2 P1, figura 12.13, e as cobrejuntas absorvem a 
carga restante, P - 2 P1. 
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90 
 
 
Figura 12.13 – Ligação com entalhes e cobrejuntas laterais. 
 
4. Durante a construção é comum o uso de parafusos de rosca soberba (auto-atarraxantes) 
para posicionar os dentes durante a montagem. 
 
Figura 12.14 - Fixação com parafusos auto-atarraxantes. 
 
Para se garantir a indeslocabilidade lateral dos entalhes das treliças nas juntas extremas e 
centrais, deve-se colocar estribos, braçadeiras de aço ou cobrejuntas de madeira pregadas. 
Lembrando-se sempre que esse tipo de ligação serve somente para conexão de peças 
comprimidas. 
 
Figura 12.15 - Detalhe de braçadeira. 
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91 
 
 
Figura 12.16 - Detalhe de estribo. 
 
 
Figura 12.17 - Ligação com entalhe em diagonais comprimidas. 
 
Além do entalhe para a ligação do banzo inferior com o superior, as ligações por meio de 
dentes também são usadas nas diagonais comprimidas de tesouras. Seu cálculo é idêntico ao 
visto anteriormente, podendo-se, entretanto, dispensar o cálculo da folga (a). 
 
Figura 12.18 - Ligações com entalhes e cobrejuntas de madeira. 
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92 
 
 
Como caso particular, encontra-se a ligação entre dois banzos superiores no nó da cumeeira. 
 
Figura 12.19 - Ligação entre dois banzos superiores e a cumeeira. 
 
Exem plo de Aplicação: 
 
1) Dimensionar e detalhar a ligação do nó de apoio de uma tesoura de Jatobá, sabendo-se que 
a inclinação do telhado é de 17º, que as peças dos banzos superior e inferior têm uma seção 
de (6x16) cm2 e que a carga permanente de compressão é de 82.000N e de pequena 
variabilidade. 
 
Observação: Considerar apenas caga de longa duração e classe de umidade 2 e resistência 
para pregos 20 x 42, corte duplo, de 819 N/prego. 
 
 
 
1 2 .7 - Ligações com pinos m etálicos ( pregos e parafusos) 
 
As ligações com 2 ou 3 pinos são consideradas deformáveis, permitindo o seu emprego 
exclusivamente em estruturas isostáticas. No projeto estas ligações serão calculadas como se 
fossem rígidas, dando-se à estrutura isostática uma contraflecha compensatória, de pelo 
menos L/100. 
 
As ligações com 4 ou mais pinos podem ser consideradas rígidasdesde que sejam seguidas as 
considerações de pré-furação. 
 
A NBR 7190/97, define a resistência total de um pino como sendo a soma das resistências 
correspondentes às suas seções de corte. 
 
Caso existam mais de oito pinos em linha, dispostos paralelamente ao esforço a ser 
transmitido, os pinos suplementares devem ser considerados com apenas 2/3 de sua 
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93 
 
resistência individual. Neste caso, sendo n o numero efetivo de pinos, a ligação deve ser 
calculada com o número convencional: 
)8(
3
2
80 −+= nn 
 
A resistência de um pino, correspondente a uma dada seção de corte entre duas madeiras, é 
determinada em função de: 
 
� Madeira: 
- Resistência ao embutimento (fed) das duas peças interligadas; 
- Espessura convencional “t”, dada em função das madeiras a serem unidas. 
 
� Pino: 
- Resistência de escoamento (fyd); 
- Diâmetro do pino. 
 
No dimensionamento das ligações de estruturas de madeira por pinos duas situações devem 
ser verificadas: o embutimento da madeira e a flexão do pino. Estes dois fenômenos são 
função da relação entre a espessura da peça de madeira e o diâmetro do pino, dada pela 
seguinte expressão: 
d
t
=β 
Sendo: 
t = espessura convencional da madeira; 
d = diâmetro do pino. 
 
A comparação deste coeficiente com o valor βlim, que leva em conta as resistências da madeira 
e do aço, determina a forma de cálculo da resistência de uma seção de corte do pino. O 
coeficiente βlim
 é determinado pela seguinte expressão: 
ed
yd
f
f
25,1lim =β 
Sendo: 
fyd = resistência de cálculo do pino metálico, podendo ser admitida como igual à 
resistência nominal característica de escoamento; 
fed = resistência de cálculo de embutimento da madeira (podendo ser paralela, normal 
ou inclinada em relação às fibras, dependendo da direção da solicitação). 
 
Assim o valor de cálculo da capacidade do pino, Rvd,1, correspondente a uma única seção de 
corte, é dada pelas expressões seguintes (dependendo do estado limite atingido): 
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94 
 
 
� Caso limββ ≤ (Estado limite por embutimento da madeira) 
edvd f
t
R ××=
β
2
1, 40,0 
 
 
� Caso limββ > (Estado limite por flexão do pino) 
 
ydvd f
d
R ××=
lim
2
1, 625,0
β
 
s
yk
yd
f
f
γ
= com γs=1,1 
 
Caso sejam utilizadas chapas de aço nas ligações, são necessárias as seguintes verificações: a 
primeira delas do pino metálico com a madeira como visto anteriormente; e a segunda, do 
pino com a chapa metálica de acordo com os critérios apresentados pela NBR 8800. 
 
No caso de pinos em corte duplo, como mostrado na figura 12.20, aplicam-se os mesmos 
critérios apresentados anteriormente, para cada seção de corte. 
 
 (a) (b) 
 
Figura 12.20 — Ligações com pinos. (a) um corte e (b) dois cortes 
 
 
1 2 .8 - Ligações pregadas 
 
A resistência de uma ligação pregada depende de uma série de fatores, tais como: 
 
Relat ivos aos pregos: 
 
� Forma e dimensão (índice de esbeltez do prego para receber as marteladas (8<λ<11); 
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95 
 
� Capacidade de carga; 
� Deformação do prego por flexão. 
 
Relat ivos à m adeira: 
 
� Enfraquecimento da seção resistente provocada pelo furo do prego; 
� Fendas ocasionadas pela penetração do prego; 
� Esmagamento do prego contra a madeira nas paredes dos furos; 
� Disposição dos pregos; 
� Estado de umidade da madeira. A madeira apresenta facilidade na penetração do prego, 
diminuindo a possibilidade de fendilhamento, porém, devido a retratibilidade da madeira, 
poderá ocorrer afrouxamento no sentido longitudinal. 
 
Relat ivo à qualidade da m ão de obra: 
 
Os carpinteiros experimentados possuem certa sensibilidade para dispor os pregos sem 
fendilhar a madeira e não entortar o prego ao martelar. Geralmente os carpinteiros que 
trabalham com formas e forros (madeiras moles: Pinus) não se adaptam ao trabalho com 
telhados (madeiras duras: Paraju) e a maioria dos marceneiros, pessoas altamente 
qualificadas, não dispõem de treinamento físico para as condições e locais de trabalho das 
estruturas de madeira. 
 
Conclusão 
 
Diante da série de fatores apresentados e a dificuldade do equacionamento da resistência nas 
ligações pregadas, partiram-se inicialmente de ensaios de laboratório, que, ainda hoje, é o 
critério de maior confiabilidade. Com os elementos obtidos houve subsídios para se estabelecer 
as fórmulas de cálculo propostas pela NBR 7190/97, que os considera como pinos. A 
determinação da capacidade de carga é feita como apresentado no item 6 deste capítulo. 
 
1 2 .8 .1 - Considerações para aplicação do critério de dim ensionam ento da NBR 
7 1 9 0 / 9 7 
 
1 2 .8 .1 .1 - Pré- furação 
 
Em ligações pregadas será obrigatoriamente feita a pré-furação da madeira, com diâmetro d0 
não maior que o diâmetro do prego, com valores usuais: 
 
Coníferas: d0 =0,85×def 
Dicotiledôneas: d0 =0,98×def 
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96 
 
 
Onde def é o diâmetro efetivo medido nos pregos a serem usados. 
 
Em estruturas provisórias, admite-se o emprego de ligações pregadas sem a pré-furação da 
madeira desde que se empreguem madeiras moles de baixa densidade ρap ≤ 600 kg/m3, que 
permitam a penetração dos pregos sem risco de fendilhamento, e pregos com diâmetro não 
maior que 1/6 da espessura da madeira mais delgada e com espaçamento mínimo de 10xd. 
 
1 2 .8 .1 .2 - Espessura convencional ( t ) 
 
Em ligações pregadas em corte simples, figura 12.21-a, a espessura convencional, t , será a 
menor das espessuras t 1 e t 2. 
 
Quando a ligação pregada é entre uma peça de madeira e uma chapa metálica, figura 12.21-b, 
a espessura convencional será a espessura da madeira. 
 
 
 (a) (b) 
 obs: t1 é o menor valor entre t1 e t2 
 
Figura 12.21 — Espessura convencional ( t ) — Corte simples 
 
 
 
Em ligações pregadas em corte duplo, como mostrado na figura 12.22, considera-se a 
espessura convencional, t , como sendo o menor dos valores t 1 e t 2/2 em uma das seções, e 
entre t 2/2 e t 3 na outra. 
 
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97 
 
 
Figura 12.22 — Espessura convencional ( t ) - corte duplo 
 
 
1 2 .8 .1 .3 - Lim itações e disposições gerais 
 
• Diâm etro do prego: 
- O diâmetro do prego não deve exceder a 1/5 da espessura convencional. Permite-se d 
< t/4 quando a pré-furação seja com d0 = def. 
- Diâmetro mínimo: 3 mm. 
 
 
• Penetração do prego: 
- A penetração em qualquer uma das peças ligadas não deve ser menor que a espessura 
da peça mais delgada e ainda a penetração na segunda peça não deve ser menor 
que12d, figura 12.23. 
 
Figura 12.23 - Penetração do prego. 
 
 
1 2 .8 .1 .4 - Espaçam ento dos pregos 
 
Para evitar o perigo de fendilhamento da madeira, quando os pregos se acham dispostos sobre 
a linha de uma mesma fibra, as normas estabelecem espaçamentos mínimos 
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Pelas indicações da NBR 7190/97, o espaçamento entre os pinos é dado por: 
 
6d = entre o centro de dois pinos situados em uma mesma linha paralela à direção das 
fibras (pregos, parafusos ajustados e cavilhas); 
4d = entre o centro de dois pinos situados em uma mesma linha paralela à direção das 
fibras (parafusos); 
7d = do centro do último pino à extremidade de peças tracionadas; 
4d = do centro do último pino à extremidade de peças comprimidas; 
3d = entre os centros de dois pinos situados em duas linhas paralelas a direção das fibras, 
medido perpendicularmente à fibras; 
1,5d = do centro de qualquer pino à borda lateral da peça, medido perpendicularmente às 
fibras, quando o esforço transmitido for paralelo às fibras; 
1,5d = do centro de qualquer pino à borda lateral da peça, medido perpendicularmente às 
fibras, quando o esforço transmitido for normal às fibras, do lado onde atuam 
tensões de tração normal; 
4d = do centro de qualquer pino à borda lateral da peça, medido perpendicularmente às 
fibras, quando o esforço transmitido for normal às fibras, do lado onde atuam 
tensões de compressão normal. 
 
Estes espaçamentos estão representados na figura 12.24. 
 
 
 
Figura 12.24 - Espaçamento mínimos entre pinos. 
 
 
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99 
 
1 2 .8 .1 .5 - Bitolas com ercia is 
 
Os pregos são fabricados com arame doce, fy = 600 MPa, em grande variedade de tamanho. 
 
As bitolas comerciais antigas, ainda utilizadas no Brasil, descrevem os pregos por dois 
números: o primeiro representa o diâmetro em fieira francesa; o segundo mede o 
comprimento em linhas portuguesas. 
 
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100 
 
Na tabela 12.1 são apresentados os pregos mais utilizados em estruturas. 
 
Tabela 1 2 .1 - Bitolas dos pregos m ais usuais 
 
DESI GNAÇÃO 
 
( Diâm etro x 
Com prim ento) 
FI EI RA 
( nº ) 
DI ÂMETRO 
( m m ) 
COMERCI AL 
δ x L ( nº ) 
ABNT 
δ x L ( m m ) 
 
Quant idade 
Aproxim ada 
 
Unidades por Kg 
16 x 18 2,7 x 41 458 
16 x 21 2,7 x 48 416 
16 2,7 
16 x 24 2,7 x 55 349 
17 x 21 3,0 x 48 305 
17 x 24 3,0 x 55 285 
17 3,0 
17 x 27 3,0 x 62 226 
18 x 24 3,4 x 55 211 
18 x 27 3,4 x 62 187 
18 3,4 
18 x 30 3,4 x 69 175 
19 x 27 3,9 x 62 152 
19 x 30 3,9 x 69 133 
19 x 33 3,9 x 76 122 
19 3,9 
19 x 36 3,9 x 83 109 
20 x 30 4,4 x 69 99 
20 x 36 4,4 x 83 91 
20 4,4 
20 x 42 4,4 x 96 76 
21 x 33 4,9 x 76 80 
21 x 36 4,9 x 83 70 
21 4,9 
21 x 45 4,9 x 103 56 
22 x 42 5,4 x 96 51 
22 x 45 5,4 x 103 49 
22 5,4 
22 x 48 5,4 x 110 45 
23 5,9 23 x 54 5,9 x 124 34 
24 6,4 24 x 60 6,4 x 138 27 
25 7,0 25 x 66 7,0 x 152 
26 x 72 7,6 x 165 16 26 7,6 
26 x 84 7,6 x 193 
 
 
 
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101 
 
1 2 .8 .1 .6 - Aplicação do cr itér io 
 
1 - Conhecidas (ou estimadas) as dimensões das peças da ligação t 1 e t 2, determina-se a 
espessura convencional, t; 
 
2 - Escolha de um prego comercial que satisfaça: 
td ×≤
5
1
 
dtL ×+≥ 12 com t 1 < t 2 
 
3 - Determinação β e βlim: 
d
t
=β 
ed
yd
f
f
25,1lim =β 
 
 
 
Determinação da resistência ao embutimento da madeira: 
 
- Paralela às fibras: 
w
mc
dcdeed
f
kfff
γ
,0
mod,0,0 70,0 ××=== 
 
- Normal às fibras: 
edcdeed fff α××== ,0,90 25,0 
 
Os valores de αe são dados na tabela 13.2. 
 
- Inclinada às fibras 
ααα 2
,90
2
,0
,90,0
, cos×+×
×
=
dedc
dede
de
fsenf
ff
f 
 
Determinação da resistência do aço do prego:: 
s
yk
yd
f
f
γ
= com γs=1,1 
 
4 - Determinar a capacidade de carga do prego, correspondente a uma seção de corte: 
 
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102 
 
4.1- Se limββ ≤ (Estado limite por embutimento da madeira) 
edvd f
t
R ××=
β
2
1, 40,0 
 
4.2 Se limββ > (Estado limite por flexão do pino) 
ydvd f
d
R ××=
lim
2
1, 625,0
β
 
 
5 - Número de pregos: conhecida a solicitação de cálculo na ligação (N d) e escolhido o prego a 
se utilizar, calcula-se o número de pregos necessários para cada corte da ligação. 
Número de pregos 
dv
d
R
N
,1
≥ 
Onde: 
Nd = Solicitação de cálculo 
Rv1,d = Capacidade de carga de um prego 
 
6 - Tendo-se o número de pregos, distribui-se metade para cada face da ligação mantendo-se 
os espaçamentos mínimos, obtendo-se o comprimento necessário da cobrejunta. 
 
7 - Finalmente, detalha-se a ligação. 
 
Tabela 1 2 .2 — Valores de αe 
Diâm etro do 
Pino ( cm ) 
≤0 ,6 2 0 ,9 5 1 ,2 5 1 ,6 1 ,9 2 ,2 2 ,5 3 ,1 3 ,8 4 ,4 5 ,0 ≥7 ,5 
Coeficiente 
αe 
2,5 1,95 1,68 1,52 1,41 1,33 1,27 1,19 1,14 1,1 1,07 1,0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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103 
 
Exem plos de Aplicação: 
 
1) Calcular o número de pregos necessários para a ligação do pendural com a linha de uma 
tesoura e determinar as distâncias mínimas entre eles. Sendo a madeira Jatobá e o 
carregamento permanente de pequena variabilidade. 
 
 
 
 
6d
4d
1,5d
3d1,5d 1,5d
10 cm
7d
N N/2 N/2
2,5 6,0 2,5
 
 
Esforço no pendural: 2000N. 
 
 
2) Dimensionar uma ligação em uma peça de Jatobá com (6 x 16) cm2 de seção transversal. A 
peça está sujeita a uma carga permanente de tração de 8.000 N, de pequena variabilidade. 
 
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104 
 
 
1 2 .9 - Ligações parafusadas 
 
Os parafusos são provavelmente os elementos de maior utilização nas ligações de peças de 
madeira, principalmente nas emendas de peças tracionadas. 
 
Serão abordados neste estudo os parafusos auto-atarraxantes e os parafusos lisos de aço. 
 
1 2 .9 .1 - Parafusos auto- atarraxantes 
 
Os parafusos auto-atarraxantes em geral trabalham a corte simples como podemos ver na 
figura 12.25. Eles são instalados com furação prévia. Estes parafusos podem ser considerados 
como pinos. O critério de dimensionamento adotado será o mesmo dos pregos. Todas as 
considerações sobre diâmetro, comprimento, espaçamentos e outras, são válidas para este 
tipo de parafusos. 
 
O diâmetro a ser adotado será: 
 � d=dfuste corte no fuste 
 � d=drosca corte na rosca 
 
Figura 12.25 - Parafusos auto-atarraxantes. 
 
 
1 2 .9 .2 - Parafusos de porca e arruela 
 
Os parafusos lisos de aço são introduzidos na madeira após furo prévio. 
 
Na verificação da resistência de uma ligação com parafusos devemos considerar o estado 
limite for flexão do parafuso e o estado limite por embutimento da madeira. A determinação da 
capacidade de carga do parafuso é feita como visto anteriormente. 
 
 
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105 
 
1 2 .9 .2 .1 - Tipos de Parafusos 
 
São dois os tipos de parafusos mais utilizados: 
 
a) Parafusos com cabeça e porca sextavada, arruelas circulares (figura 12.26). 
 
Figura 12.26 - Parafuso com cabeça e porca sextavada. 
 
b) Parafuso tipofrancês 
 
Tem cabeça semi-esférica, pescoço quadrado, espiga circular, porca e arruela quadradas, 
figura 12.27. 
 
Figura 12.27 - Parafuso tipo francês. 
 
Dimensões dos Parafusos: 
 
 Comprimento L até 200 mm 
 Diâmetro d de 3/8” até < 3” 
 Arruelas - Proporcionais às especificações dos parafusos 
 
 
Figura 12.28 - Espessura mínima da arruela. 
 
 
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106 
 
Na tabela 12.3 temos os tipos de parafusos utilizados no Brasil. 
 
Tabela 12.3 - Dimensões dos parafusos 
Diâm etro do parafuso Espaçam entos ( cm ) 
Polegadas Centímetros 1,5d 3d 4d 6d 7d 
3/8 0,95 1,4 2,9 3,8 5,7 6,7 
1/2 1,27 1,9 3,8 5,1 7,6 8,9 
5/8 1,59 2,4 4,8 6,4 9,5 11,1 
3/4 1,91 2,9 5,7 7,6 11,5 13,4 
7/8 2,22 3,3 6,7 8,9 13,3 15,5 
1 2,54 3,8 7,6 10,2 15,2 17,8 
1 1/8 2,86 4,3 8,6 11,4 17,2 20,0 
1 1/4 3,18 4,8 9,5 12,7 19,1 22,3 
1 3/8 3,50 5,3 10,5 14,0 21,0 24,5 
1 1/2 3,81 5,7 11,4 15,2 22,9 26,7 
1 3/4 4,45 6,7 13,4 17,8 26,7 31,2 
2 5,08 7,6 15,2 20,3 30,5 35,6 
 
 
1 2 .9 .2 .2 - Considerações para aplicação do cr itér io de dim ensionam ento da NBR 
7 1 9 0 / 9 7 
 
a) Pré- furação 
 
Para que as ligações parafusadas sejam consideradas rígidas, a pré-furação será feita com 
diâmetro d0 não maior que o diâmetro d do parafuso, acrescido de 0,5 mm. Caso sejam 
empregados diâmetros d0 maiores, a ligação deve ser considerada deformável. 
 
b) Espessura convencional ( t ) 
 
Em ligações parafusadas em corte simples, figura 12.29-a, a espessura convencional, t , será a 
menor das espessuras t 1 e t 2 )2( dt ≥ . 
 
Quando a ligação pregada é entre uma peça de madeira e uma chapa metálica, figura 12.29-b, 
a espessura convencional será a espessura da madeira. 
 
Em ligações parafusadas em corte duplo, como mostrado na figura 12.29-c, considera-se que 
a espessura convencional, t é a menor entre t 1 e t 2 / 2 . 
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107 
 
 
 (a) (b) (c) 
Figura 12.29 — Espessura convencional (t): (a) e (b) Corte simples. (b) Corte duplo. 
 
c) Lim itações e disposições gerais 
 
� O diâmetro mínimo dos parafusos deve ser de 10 mm. 
� A espessura mínima da cobrejunta com chapas de aço nos elementos principais e 
emendas das estruturas deve ser 6 mm. 
� O número mínimo de parafusos deve ser igual a 2. 
� A resistência característica de escoamento do aço do parafuso fyk deve ser pelo menos 
240 MPa. A maioria dos parafusos para ligações com madeira tem fyk = 300 MPa. 
� O diâmetro do parafuso deve ser menor ou igual a t / 2 . 
 
d) Espaçam entos m ínim os 
 
Os espaçamentos mínimos são os mesmos apresentados no item 12.8.1.4. 
 
e) Critér io de dim ensionam ento 
 
1 - Conhecidas (ou estimadas) as dimensões das peças da ligação (t 1 e t 2), determina-se a 
espessura convencional (t). 
 
2- O diâmetro do parafuso deve satisfazer a seguinte condição: 
 
2
t
d ≤ 
 
3- Determinação β e βlim: 
d
t
=β 
ed
yd
f
f
25,1lim =β 
 
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108 
 
Determinação da resistência ao embutimento da madeira: 
 
- Paralela às fibras: 
mcdcdeed fkfff ,0mod,0,0 70,0 ××=== 
 
- Normal às fibras: 
edcdeed fff α××== ,0,90 25,0 
 
Os valores de αe são dados na tabela 12.2. 
 
-inclinada às fibras 
ααα 2
,90
2
,0
,90,0
, cos×+×
×
=
dedc
dede
de
fsenf
ff
f 
 
Determinação da resistência do aço do parafuso: 
 
s
yk
yd
f
f
γ
= com γs=1,1 
 
 
4 - Determinar a capacidade de carga do parafuso, correspondente a uma seção de corte: 
 
4.1- Se limββ ≤ (Estado limite por embutimento da madeira) 
edvd f
t
R ××=
β
2
1, 40,0 
 
4.2 Se limββ > (Estado limite por flexão do pino) 
ydvd f
d
R ××=
lim
2
1, 625,0
β
 
 
 
5 - Número de parafusos: conhecida a solicitação de cálculo na ligação (N d) e escolhido o 
diâmetro do parafuso, calcula-se o número de cortes necessários para cada ligação. 
 Número de cortes
dv
d
R
N
,1
≥ 
Onde: 
Nd = Solicitação de cálculo 
Rv1,d = Capacidade de carga de um parafuso 
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109 
 
 
Se ligação com corte simples ⇒ o número de parafusos = número de cortes; 
Se ligação com corte duplo ⇒ o número de parafusos = 
2
cortes de número
. 
 
6 - Tendo-se o número de parafusos, deve-se distribuí-los na ligação mantendo-se os 
espaçamentos mínimos. 
 
7 - Finalmente, detalha-se a ligação. 
 
 
 
Exem plo de Aplicação: 
 
1) Determinar o número de parafusos para emendar duas peças de Jatoba (6 x 12) cm, 
solicitadas por um esforço axial de tração de 40000 N paralelo às fibras. Considerar a 
solicitação permanente e de pequena variabilidade. 
 
 
 
2 - Determinar o número de parafusos para o caso de uma ligação de duas peças 
solicitadas por um esforço axial de compressão de 3500 N normal às fibras da peça 
principal. A madeira é Eucalipto grandis (8 x 12) cm e o carregamento é permanente de 
pequena variabilidade. 
 
 
 
3 - Determinar o número de parafusos para o caso de uma ligação em uma tesoura Pratt 
de três peças solicitadas por: um esforço axial de tração de 13000 N na diagonal e um 
esforço de compressão de 2300 N na vertical. A madeira é de Jatobá (8,0 x 12) cm e o 
carregamento é permanente de pequena variabilidade. O angulo entre o banzo inferior e a 
diagonal é de 39º. 
 
 
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110 
 
Detalhe A
 
2,5 8,0 2,5 
 3,0 3,0 
Banzo Inferior
Medidas em cm
Diagonal
Vertical
Detalhe A
 
 
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	Votaireopsis araroba
	Araucaria angustifolia
	Tabela 4.1 — Classes de carregamento
	Duração acumulada
	Cargas acidentais dos edifícios
	Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos
	Normais
	Tabela 4.4 – Ações permanentes de grande variabilidade
	Normais
	Tabela 4.5 – Ações permanentes indiretas
	Combinações
	Tabela 4.6 — Ações variáveis
	 Exemplo de Aplicação
	Exemplos de Aplicação
	Unidades por Kg