exercicios com respostas i

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5 & 7 \\ 
2 & 3 
\end{pmatrix}. 
\] 
 **Resposta:** \(\frac{1}{1} \begin{pmatrix} 
3 & -7 \\ 
-2 & 5 
\end{pmatrix}\) 
 **Explicação:** Calcule a inversa usando a fórmula \(\frac{1}{\text{det}(O)} \text{adj}(O)\). 
 
100. **Problema:** Determine a soma da série \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\). 
 **Resposta:** \(\frac{\pi^2}{6}\) 
 **Explicação:** Esta é a soma da série de Basel, uma série conhecida da teoria dos números. 
Claro, vamos começar com uma lista de 100 problemas matemáticos avançados, abrangendo 
várias áreas do ensino superior, como álgebra, cálculo, teoria dos números, combinatória, e 
mais. Incluirei respostas e explicações para cada problema. Vamos começar! 
 
1. **Problema**: Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \) com condições iniciais \( y(0) = 
1 \) e \( y'(0) = 0 \). 
 **Resposta**: \( y(t) = \cos(2t) \). 
 **Explicação**: A equação diferencial característica é \( r^2 + 4 = 0 \), com raízes \( r = \pm 2i 
\). A solução geral é \( y(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t) \). Usando as condições iniciais, 
obtemos \( C_1 = 1 \) e \( C_2 = 0 \). 
 
2. **Problema**: Encontre os valores próprios e vetores próprios da matriz \( A = 
\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \). 
 **Resposta**: Valores próprios: 5 e 2; Vetores próprios: \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 
\end{pmatrix} \) para o valor próprio 5 e \( \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} \) para o valor 
próprio 2. 
 **Explicação**: A matriz \( A \) tem polinômio característico \( \det(A - \lambda I) = 
\lambda^2 - 7\lambda + 2 \). Os valores próprios são \( \lambda = 5 \) e \( \lambda = 2 \). Os 
vetores próprios são encontrados resolvendo \( (A - \lambda I)x = 0 \). 
 
3. **Problema**: Calcule a integral definida \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^2(x) \, dx \). 
 **Resposta**: \( \frac{\pi}{4} \). 
 **Explicação**: Usamos a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). A integral se torna 
\( \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \), que é igual a \( \frac{\pi}{4} \). 
 
4. **Problema**: Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 **Resposta**: 1. 
 **Explicação**: Este é um limite fundamental que pode ser provado usando a definição de 
derivada ou o teorema de Taylor. 
 
5. **Problema**: Determine se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) é convergente ou 
divergente. 
 **Resposta**: Convergente. 
 **Explicação**: A série é uma série p com \( p = 2 > 1 \), que é convergente. 
 
6. **Problema**: Resolva o sistema de equações \( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 
\end{cases} \). 
 **Resposta**: \( x = 1 \), \( y = 1 \). 
 **Explicação**: Multiplicando a segunda equação por 3 e subtraindo da primeira, obtemos \( 
11y = 14 \), resultando em \( y = 1 \). Substituindo \( y \) na primeira equação, obtemos \( x = 1 
\). 
 
7. **Problema**: Qual é o valor de \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \)? 
 **Resposta**: \( \frac{e - 1}{2} \). 
 **Explicação**: Usando a substituição \( u = x^2 \), a integral se torna \( \frac{1}{2} 
\int_{0}^{1} e^u \, du \), que é \( \frac{e - 1}{2} \). 
 
8. **Problema**: Encontre a fórmula de Euler para o número complexo \( e^{i\theta} \). 
 **Resposta**: \( e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \). 
 **Explicação**: Esta fórmula é conhecida como a fórmula de Euler e pode ser derivada 
usando séries de Taylor. 
 
9. **Problema**: Calcule a matriz inversa de \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 
\end{pmatrix} \). 
 **Resposta**: \( A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \). 
 **Explicação**: A inversa é dada por \( \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \), onde a adjunta é \( 
\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \) e o determinante é -2.