aprendendo e fazendo S

Prévia do material em texto

B) \( e^x (x + 1) \) 
 C) \( e^x (x + 2) \) 
 D) \( e^x x \) 
 **Resposta:** B) \( e^x (x + 1) \) 
 **Explicação:** Usando a integração por partes, onde \( u = x \) e \( dv = e^x \, dx \), 
obtemos \( \int x e^x \, dx = e^x (x - 1) + C \), ajustando para a integral completa e limites. 
 
37. **Qual é a fórmula para a área de um círculo?** 
 A) \( \pi r^2 \) 
 B) \( 2 \pi r \) 
 C) \( \pi d^2 \) 
 D) \( \pi d \) 
 **Resposta:** A) \( \pi r^2 \) 
 **Explicação:** A fórmula para a área de um círculo é \( \pi r^2 \), onde \( r \) é o raio do 
círculo. 
 
38. **Qual é a integral de \( \frac{1}{x} \)?** 
 A) \( \ln|x| \) 
 B) \( \frac{1}{x^2} \) 
 C) \( \ln(x) \) 
 D) \( \frac{1}{x} \) 
 **Resposta:** A) \( \ln|x| \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln|x| + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração. 
 
39. **Qual é o valor de \( \int_0^1 e^{-x} \, dx \)?** 
 A) \( 1 - e^{-1} \) 
 B) \( e^{-1} - 1 \) 
 C) \( e - 1 \) 
 D) \( e^{-1} \) 
 **Resposta:** A) \( 1 - e^{-1} \) 
 **Explicação:** A integral de \( e^{-x} \) é \( -e^{-x} \). Avaliando de 0 a 1, temos \( \left[ -
e^{-x} \right]_0^1 = -e^{-1} - (-1) = 1 - e^{-1} \). 
 
40. **Qual é a fórmula para a área de um triângulo?** 
 A) \( \frac{1}{2} b h \) 
 B) \( b \cdot h \) 
 C) \( \frac{1}{2} b^2 \) 
 D) \( b \cdot h \cdot \frac{1}{3} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} b h \) 
 **Explicação:** A fórmula para a área de um triângulo é \( \frac{1}{2} b h \), onde \( b \) é a 
base e \( h \) é a altura. 
 
Espero que isso ajude no estudo e revisão dos tópicos de cálculo! Se precisar de mais detalhes 
ou de outros tópicos, é só me avisar. 
Claro, aqui estão 100 problemas de matemática de nível superior com múltipla escolha, 
incluindo cálculo e análise numérica. Cada problema é seguido pela resposta e uma breve 
explicação. 
 
--- 
 
1. **Problema**: Qual é a integral de \(\int x^3 e^x \, dx\)? 
 **A)** \(x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6 e^x + C\) 
 **B)** \(x^3 e^x - 3x e^x + 6 e^x + C\) 
 **C)** \(x^3 e^x - 3x e^x + C\) 
 **D)** \(x^3 e^x - 6 e^x + C\) 
 **Resposta**: A 
 **Explicação**: Usando a integração por partes repetidamente, obtemos a resposta correta. 
 
2. **Problema**: Qual é a solução da equação diferencial \(\frac{d^2y}{dx^2} - 5 \frac{dy}{dx} 
+ 6y = 0\)? 
 **A)** \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}\) 
 **B)** \(y = C_1 e^{x} + C_2 e^{6x}\) 
 **C)** \(y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}\) 
 **D)** \(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-6x}\) 
 **Resposta**: C 
 **Explicação**: A equação diferencial é de coeficientes constantes. A solução é dada pelos 
valores próprios da equação característica \(r^2 - 5r + 6 = 0\). 
 
3. **Problema**: Qual é o valor de \(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 - 4}\)? 
 **A)** 2 
 **B)** 3 
 **C)** \(\frac{2}{1}\) 
 **D)** 1 
 **Resposta**: A 
 **Explicação**: Dividindo o numerador e o denominador pelo maior termo \(x^2\), obtemos 
o limite 2. 
 
4. **Problema**: Qual é o valor de \( \int_0^\pi \sin^2(x) \, dx \)? 
 **A)** \(\frac{\pi}{2}\) 
 **B)** \(\pi\) 
 **C)** \(\frac{\pi}{4}\) 
 **D)** \(\frac{\pi}{8}\) 
 **Resposta**: A 
 **Explicação**: Usando a identidade \(\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\), a integral resulta 
em \(\frac{\pi}{2}\). 
 
5. **Problema**: Qual é a solução da equação \(x^2 - 2x - 3 = 0\)? 
 **A)** \(x = 1 \text{ ou } -3\) 
 **B)** \(x = 3 \text{ ou } -1\) 
 **C)** \(x = 1 \text{ ou } 3\) 
 **D)** \(x = -1 \text{ ou } 3\) 
 **Resposta**: C 
 **Explicação**: A equação é fatorável como \((x-3)(x+1)=0\), então as raízes são 1 e 3.