resolvendo na pratica AH

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c) \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}\) 
d) \(y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x}\) 
Resposta: a) \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\). Explicação: A equação característica é \(r^2 - 2r + 1 = 
0\), resultando em raízes \(r = 1\), e a solução geral é \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\). 
 
32. Qual é o valor de \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\)? 
a) \(\ln|\ln(x)| + C\) 
b) \(\ln|x| + C\) 
c) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
d) \(\ln|x \ln(x)| + C\) 
Resposta: a) \(\ln|\ln(x)| + C\). Explicação: Usando a substituição \(u = \ln(x)\), obtemos \(\int 
\frac{1}{x \ln(x)} \, dx = \ln|\ln(x)| + C\). 
 
33. Resolva a equação \( \frac{d^2y}{dx^2} - y = 0 \). 
a) \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\) 
b) \(y = C_1 \cosh(x) + C_2 \sinh(x)\) 
c) \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\) 
d) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
Resposta: a) \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\). Explicação: A equação característica é \(r^2 - 1 = 0\), 
resultando em raízes \(r = \pm 1\), e a solução geral é \(y = C_1 e^x + C_2 e^{-x}\). 
 
34. Qual é o valor de \(\int \frac{e^x}{x} \, dx\)? 
a) Não possui uma solução elementar 
b) \(e^x \ln(x) + C\) 
c) \(\frac{e^x}{x} + C\) 
d) \(e^x + C\) 
Resposta: a) Não possui uma solução elementar. Explicação: A integral \(\int \frac{e^x}{x} \, 
dx\) não pode ser expressa em termos de funções elementares. 
 
35. Resolva a equação diferencial \( \frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0 \). 
a) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\) 
b) \(y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}\) 
c) \(y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}\) 
d) \(y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)\) 
Resposta: a) \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)\). Explicação: A equação característica é \(r^2 + 4 
= 0\), resultando em raízes imaginárias \(\pm 2i\), e a solução geral é \(y = C_1 \cos(2x) + C_2 
\sin(2x)\). 
 
36. Qual é o valor de \(\int x \ln(x) \, dx\)? 
a) \(\frac{x^2 \ln(x) - x^2}{2} + C\) 
b) \(\frac{x^2 \ln(x) + x^2}{2} + C\) 
c) \(\frac{x \ln(x) - x}{2} + C\) 
d) \(\frac{x^2 \ln(x)}{2} + C\) 
Resposta: a) \(\frac{x^2 \ln(x) - x^2}{2} + C\). Explicação: Usando integração por partes, 
obtemos \(\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2 \ln(x) - x^2}{2} + C\). 
 
37. Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - 2y}{4x} \). 
a) \(y = \frac{3x^2 - C}{4}\) 
b) \(y = \frac{3x^2}{4} - C\) 
c) \(y = \frac{3x^2}{4} - \frac{C}{4x}\) 
d) \(y = \frac{3x^2}{4} + \frac{C}{4x}\) 
Resposta: c) \(y = \frac{3x^2}{4} - \frac{C}{4x}\). Explicação: Separando variáveis e integrando, 
obtemos \(y = \frac{3x^2}{4} - \frac{C}{4x}\). 
 
38. Qual é a integral de \(\int e^{-2x} \, dx\)? 
a) \(-\frac{e^{-2x}}{2} + C\) 
b) \(\frac{e^{-2x}}{2} + C\) 
c) \(-e^{-2x} + C\) 
d) \(\frac{e^{-2x}}{4} + C\) 
Resposta: a) \(-\frac{e^{-2x}}{2} + C\). Explicação: A integral é \(-\frac{e^{-2x}}{2} + C\), usando 
a substituição direta. 
 
39. Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x^2} \). 
a) \(y = \frac{C}{x} \) 
b) \(y = Cx^2 \) 
c) \(y = Cx \) 
d) \(y = C x^{-2} \) 
Resposta: a) \(y = \frac{C}{x} \). Explicação: Separando variáveis e integrando, obtemos \(y = 
\frac{C}{x}\). 
 
40. Qual é o valor de \(\int \frac{1}{x^2} \, dx\)? 
a) \(-\frac{1}{x} + C\) 
b) \(\frac{1}{x} + C\) 
c) \(-\frac{1}{2x} + C\) 
d) \(\ 
 
frac{1}{2x} + C\) 
Resposta: a) \(-\frac{1}{x} + C\). Explicação: A integral é \(-\frac{1}{x} + C\). 
Claro! Aqui estão 100 problemas matemáticos difíceis com opções de múltipla escolha, 
incluindo respostas e explicações. 
 
1. **Qual é a solução para a equação \(2x^2 - 3x - 5 = 0\)?** 
 - a) \(x = 1\) 
 - b) \(x = -1\) 
 - c) \(x = \frac{5}{2}\) 
 - d) \(x = -\frac{5}{2}\) 
 - **Resposta:** \(x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 40}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{4}\) 
 - **Explicação:** Usando a fórmula quadrática \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), com 
\(a = 2\), \(b = -3\), e \(c = -5\), temos \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} = \frac{3 \pm 
\sqrt{49}}{4} = \frac{3 \pm 7}{4}\). Portanto, \(x = \frac{10}{4} = 2.5\) e \(x = \frac{-4}{4} = -1\). 
 
2. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (4x^3 - 2x + 1) \, dx\)?** 
 - a) \(\frac{3}{4}\) 
 - b) \(\frac{5}{4}\) 
 - c) \(\frac{1}{2}\) 
 - d) \(\frac{7}{4}\) 
 - **Resposta:** \(\frac{5}{4}\)