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LABORATÓRIO DE ROBÓTICA – UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA (UFSC), JULHO 2014 1
Rotações e Orientações na Cinemática Robótica
Luiz Alberto Radavelli, Universidade Federal de Santa Catarina
I. EXERCÍCIOS SUGERIDOS
L ista de exercícios sugeridos para fixação da matéria da
disciplina EMC6630000: Introdução à Robótica.
1) Para os quatérnios
q1 = 2 + 3 i − 2 j
q2 = 1 − i + 2 j + k
calcule:
a) q1 + q2;
b) q1q2;
2) Determine o quatérnio que codifica a rotação de mag-
nitude π/6 rad em torno do eixo com direção s =
3 i − j + 4k,
3) Calcule a rotação de r = [3 1 0]T por 90○ em torno
do eixo Oz do sistema de coordenadas Oxyz,
a) via matriz
b) via quatérnios
4) Considere o vetor r = [3 1 0]T codificado no quatérnio
r = 0+r e a rotação de r com magnitude π/7 ao redor do
eixo definido pelo vetor diretor s = [0 0 1]T . Calcule:
a) qAC r q
∗
AC , em que qAC = cos θ2 + (sen θ
2
)s;
b) qAS r, em que qAS = cos θ + (senθ)s;
Qual a justificativa para a relação entre os resultados
obtidos?
5) Idem para s = [1 0 0]T .
6) O quatérnio dado abaixo codifica uma rotação de parâ-
metros θ, s. Determine esses parâmetros.
q =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0.9239
0.0000
0.0000
0.3827
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
7) Idem para o quatérnio
q =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0.3827
0.6159
−0.6159
0.3080
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
8) Em relação ao quatérnio de rotação dado no exercício
anterior, determine:
a) a matriz ortogonal real 3 × 3 correspondente;
b) a matriz unitária especial correspondente;
c) a matriz de pauli correspondente.
9) Rotacionar o ponto/vetor r = (1,2,1) em torno do
eixo de direção definida pelo vetor unitário s =
1√
3
[−1 1 1]T e magnitude π/4 rad
a) via matrizes ortogonais reais 3 × 3.
b) via matrizes unitárias especiais.
c) via matrizes de Pauli.
d) via quatérnios.
10) Para a rotação descrita pela matriz abaixo, determine o
eixo e o ângulo, o quatérnio unitário e os ângulos de
Euler correspondentes.
R =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−2/3 −2/3 1/3
2/3 −1/3 2/3
−1/3 2/3 2/3
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
11) Idem para a matriz
R =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣
−2/3 2/15 11/15
2/3 −1/3 2/3
1/3 14/15 2/15
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦
12) Compare a eficiência computacional da matriz ortogonal
real de rotação versus o quatérnio de rotação. Em cada
método determine o custo de armazenamento, o número
de operações flutuantes (adições e multiplicações) ne-
cessários para se rotacionar um ponto e também para
compor dias rotações.