Prova 3, Grey Ercole

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Terceira Prova CIII - 14/06/23 - A1
Questão 1. Utilize o Teorema da Divergência para calcular o �uxo do campo vetorial
�!
F =
1
x2 + y2 + z2
x� 2y; z + 4y; y2 + 8x� 9z
�
;
através da esfera S : x2 + y2 + z2 = 1; com normal exterior.
Res.: Desejamos calcular
I :=
Z Z
S
�!
F � d�!S :
Como
�!
F coincide com �!
G :=
x� 2y; z + 4y; y2 + 8x� 9z
�
sobre S; temos
I :=
Z Z
S
�!
G � d�!S :
Como S é uma superfície fechada temos, pelo Teorema da Divergência:
I =
Z Z Z
E
div
�!
GdV
=
Z Z Z
E
(1 + 4� 9)dV:
Assim,
I = �4
Z Z Z
E
dV = �4V (E)� 44�
3
= �16�
3
:
Questão 2. Sejam �!
F =
exz + y; z2ey; xey + cos(3z2 + 1)
�
e C a interseção do cone z =
p
x2 + y2 com o cilindro x2 + y2 = 4; orientada no sentido anti-
horário quando projetada no plano xy.
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
R
C
�!
F � d�!r .
Res.: A curva C é a circunferência x2 + y2 = 4 no plano z = 2: Portanto, C é fronteira da
superfície S formada pelo disco x2 + y2 � 4 no plano z = 2: Escolhendo �!n = h0; 0; 1i para S
temos, pelo Teorema de Stokes:Z
C
�!
F � d�!r =
Z Z
S
rot
�!
F � h0; 0; 1i dS
=
Z Z
S
�
@
@x
(z2ey)� @
@y
(exz + y)
�
dS
=
Z Z
S
[0� 1] dS = �
Z Z
S
dS = �A(S) = �4� :