Prova 3 C - Grey Ercole

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Terceira Prova CIII - 14/06/23 - M1
Questão 1. Utilize o Teorema da Divergência para calcular a integralZZ
S
�
x(x3 + ey) + y4 + z(1 + z3)
�
dS
em que S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 1 que está acima do plano z = 0:
Res.: Queremos calcular
I :=
ZZ
S
�
x(x3 + ey) + y4 + z(1 + z3)
�
dS:
Sabemos que �!n = hx; y; zi é o vetor normal, unitário e exterior à S: Escolhendo o campo
vetorial �!
F :=
x3 + ey; y3; 1 + z3
�
vemos que
I =
ZZ
S
�!
F � �!n dS:
Seja S1 o disco x2+ y2 � 1 no plano z = 0; com �!n = h0; 0;�1i : Seja E o sólido limitado por
S [ S1:
Pelo Teorema da Divergência:
I +
ZZ
S1
�!
F � h0; 0;�1i dS =
Z Z Z
E
div
�!
F dx;
isto é,
I �
ZZ
S1
(1 + z3)dS =
Z Z Z
E
(3x2 + 3y2 + 3z2)dx
Logo,
I =
ZZ
S1
(1 + z3)dS + 3
Z Z Z
E
(x2 + y2 + z2)dx
=
ZZ
S1
dS + 3
Z 2�
0
d�
Z �=2
0
sin(�)dx
Z 1
0
�4d�
= A(S1) + 3:2� [� cos(�)]�=20
�
�4
5
�1
0
= � +
6�
5
=
11�
5
:
Questão 2. Sejam �!
F =
exz � y; ey + x cos(9�z2); xey + z2
�
e C a interseção do cone z = 2
p
x2 + y2 com o elipsoide
x2 + y2 + 2z2 = 1;
orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano xy. Utilize o Teorema de Stokes
para calcular a integral de linha
R
C
�!
F � d�!r .
Res.: A curva C está no plano z = 2
3
: De fato, da equação do cone temos que x2 + y2 = z2
4
e
substituíndo x2 + y2 por z
2
4
na equação do elipsoide encontramos
z2
4
+ 2z2 = 1;
ou seja, 9z2 = 4. Daí segue que z = 2
3
: Substituíndo este valor de z na equação do cone também
concluímos que
x2 + y2 =
1
9
:
Portanto, a curva C é a fronteira da superfície S dada pelo disco x2+ y2 � 1
9
no plano z = 2
3
:
Orientando S por �!n = h0; 0; 1i temos, pelo Teorema de Stokes:Z
C
�!
F � d�!r =
Z Z
S
rot
�!
F � h0; 0; 1i dS
=
Z Z
S
�
@
@x
(ey + x cos(9�z2))� @
@y
(exz � y)
�
dS
=
Z Z
S
�
cos(9�z2)� (�1)
�
dS
=
Z Z
S
�
cos(9�
4
9
) + 1
�
dS
=
Z Z
S
[cos(4�) + 1] dS = 2
Z Z
S
dS =
2�
9
: