202005807_TIAGO GARCIA

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Universidade Federal de Goiás
Instituto de Matemática e Estatística
História da Matemática I
Prof. Dr. Humberto de Assis Climaco
Discentes: Luís Fernando Pereira Artuzi 
 Tiago Garcia Soares 
UM ESTUDO SOBRE ZENÃO DE ELEIA
INTRODUÇÃO
No presente trabalho buscamos apresentar um pequeno recorte da vida e teoria de Zenão de Eleia, explicitando quem ele foi e alguns de seus trabalhos, além da escola filosófica que fez parte. Entre seus trabalhos a apresentação e tentativa de explicitar quatro de seus principais paradoxos, e algumas visões de alguns pensadores acerca desses paradoxos, tentando imaginar uma forma de se pensar e/ou soluciona-los.
VIDA DE ZENAO
Algumas fontes indicam que Zenão tenha nascido por volta de 490 a.C. No entanto, a seção sobre a vida do filósofo apresentada no volume Os pré-socráticos, da coleção Os Pensadores, cuja curadoria foi feita pelos maiores especialistas em filosofia antiga do Brasil na década de 1970, diz que Zenão nasceu entre 504 a.C. e 501 a.C. O filósofo morreu por volta de 430 a.C. ou 425 a.C., e foi o mais destacado discípulo de Parmênides, tendo desenvolvido aporias ou paradoxos para defender as ideias da escola eleática e de seu mestre.
Mas o que foi a Escola Eleática? A Escola Eleática é uma escola filosófica pré-socrática que recebeu esse nome em função da cidade de Eleia, situada no sul da atual Itália, e, na época, parte da chamada Magna Grécia, ou seja, uma colônia grega. Desenvolveu-se no século V a. C. e seu fundador foi Parmênides. Suas principais ideias foram a afirmação da imutabilidade e da eternidade do ser, chegando a rejeitar a existência do movimento, além de ser e pensamento.
Zenão dedicou-se a aprofundar e defender as teorias de seu mestre. Ao contrário da maioria dos pré-socráticos, existe mais de uma obra completa encontrada de autoria do filósofo. As principais são: “Contra os físicos”, “Explicação crítica de Empédocles”, e “Sobre a natureza”.
Zenão participou ativamente da vida pública e política de sua cidade, Eleia. Legislou e ocupou cargos de destaque no funcionalismo público. A participação do filósofo na política foi tão intensa, que a sua morte se deu por uma conspiração elaborada por Zenão contra o tirano Nearco. Zenão foi descoberto, preso e torturado em praça pública para entregar os companheiros de sua conspiração, nesse evento, recusando delatar seus colegas, foi executado.
Zenão, pela forma de argumentação, é considerado, junto com Sócrates, um dos precursores do método dialético. Além de, segundo a tradição, Zenão em seu sutil raciocínio paradoxal, revela-se à humanidade como o iniciador da análise infinitesimal.
PRINCIPAIS IDEIAS DE ZENAO
Zenão de Eléia destacou-se em seu tempo por muitas de suas participações políticas e também por seu importante desempenho no campo da filosofia. Foi discípulo de Parmênides e deve ter nascido por volta de 489 aC.
As informações sobre seu pensamento encontram-se nas obras de Platão, Aristóteles e Diógenes Laércio. Segundo esses autores Zenão seria autor de várias obras sobre ciência e filosofia de sua época e defendeu fervorosamente as ideias de seu mestre Parmênides.
Zenão, como representante das ideias de Parmênides e da escola eleata, não desenvolve uma cosmologia do mesmo modo que os jônicos e pitagóricos fizeram-no, ou seja, pensando em uma origem assentada em uma espécie de monismo corporalista. A palavra monismo remete a algo singular, único, e quando falamos em corporalismo, estamos indicando a existência de algo material, físico, ou seja, monismo corporalista indica uma existência em um único elemento físico. As ideias que os primeiros pré-socráticos apresentaram sobre a origem de tudo podem ser chamadas de ideias monistas corporalistas já que associam a origem de tudo a um único elemento físico. Para os eleáticos, a origem do Universo não é monista e nem corporalista, pois, do mesmo modo que Parmênides pensava não haver uma origem sustentada por um elemento, não haveria também, para Zenão, um elemento que teria dado origem a tudo.
As obras de Zenão não estão somente vinculadas às teorias da escola eleata, mas consistem em verdadeiras defesas das ideias de Parmênides. Zenão é considerado o primeiro dialético, por tratar a dialética, já iniciada antes por Heráclito, como um meio heurístico de defesa de ideias dentro de um sistema argumentativo.
O método dialético, caracterizado pela apresentação de uma ideia (tese) que deverá ser contraposta por outra (a antítese), e então a partir dessas duas surge uma nova ideia (síntese), tem como primeiro “usuário” mais regular Zenão, pois ele formula uma filosofia expressa por paradoxos. A palavra paradoxo, de origem grega, significa literalmente “contra opinião” ou opinião oposta. Em seus paradoxos, o filósofo eleático lança uma ideia de senso comum que aparentemente atesta a existência de movimento. Em seguida, ele faz um movimento argumentativo tentando provar que o movimento não existe. Assim, o que resulta é uma síntese das duas ideias anteriores, geralmente concordando com a antítese (de que o movimento é absurdo, sem sentido) apresentada por Zenão.
PARADOXOS DE ZENAO
O objetivo de Zenão ao propor os paradoxos que problematizam a questão do movimento era defender as ideias de seu Mestre as quais se opunham às ideias, dos Pitagóricos e de Heráclito. Ele pretende argumentar inicialmente afirmando os princípios da divisão do tempo e do espaço de forma infinita, como também se refere num dos paradoxos sobre a questão do repouso, mas em todos os casos, sua intenção é mostrar que ao assumir esses pensamentos como verdade se chega a uma contradição.
Opor-se a ideia do movimento, da multiplicidade é reconhecer o absoluto, é considerar toda a mudança algo aparente, logo algo que faz parte do caminho da opinião, da doxa e não do pensamento verdadeiro da aletheia. Esse último – o caminho da verdade – na perspectiva de Zenão e de seu mestre – neste caso – significar crer que há uma identidade entre o ser e o pensamento, os que levam a pensar no ser como algo imóvel, e o movimento como a negação do ser. (LEGRAND,1991)
A experiência do movimento pode ser considerada uma das que mais afetam nosso mundo sensível, não sem gerar muitos questionamentos. Nesse sentido vale ressaltar que o pensador de Eléia não nega a percepção que temos do movimento, do múltiplo e da variação, mas, ele quer demonstrar que aos olhos da razão a experiência imediata do movimento é irracional e absurda, reafirmando assim, a tese parmediana da imobilidade do Ser. Ao que se contrapõe Aristóteles dado que para este último movimento é mudança.
Sigamos agora para os paradoxos.
· Paradoxo de Dicotomia: um corpo quer mover-se entre o ponto A e B. Apesar de esforçar-se para tal, ele não conseguirá o feito, pois, entre os pontos A e B, há uma distância determinada que pode ser dividida ao meio infinitas vezes, resultando em uma infinita sequência de espaços que o objeto terá de percorrer.
Segundo esse paradoxo a impossibilidade do movimento se dá pelo fato do objeto móvel ter de atingir primeiro a metade, antes de concluir a metade. Ou seja, suponha que um corredor [C] parta do ponto [A] em direção ao ponto [B]. Ao partir de A em direção a B, antes de chegar em B ele deve atingir o ponto A’ que é a metade de [AB], e, antes de atingir A’ ele deverá ter atingido A’’ que seria a metade de [AA’] e assim, sucessivamente, sem nunca conseguir se movimentar em direção ao ponto B. Este argumento é classicamente denominado reductio ad absurdim.
Dessa forma, podemos compreender o espaço e o tempo como “objetos” que podem ser infinitamente divisíveis, (questão defendida pelos pitagóricos), entretanto seria impossível percorrer num tempo finito um espaço que pode ser dividido infinitas vezes. Há uma incompatibilidade entre o tempo finito e a infinidade do espaço percorrido, gerando um absurdo, já que nós todos nos movimentamos.
Entretanto perceba que ele não nega a existência do movimento, mas sim apresenta certas contradições em ideias voltadas ao conceito de movimento.· Paradoxo da corrida entre Aquiles e a tartaruga: suponhamos que Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá cem metros à frente antes de iniciar uma corrida. A fim de ganhar, Aquiles deve primeiro compensar seu espaço inicial, ou seja, a vantagem de 100 metros dada à tartaruga, mas quando ele faz isso e chega no ponto onde tartaruga começou o animal teve tempo para avançar 10 metros, enquanto Aquiles corre esses 10 metros a tartaruga avança mais 1 metro, enquanto Aquiles ultrapassa esse espaço, a tartaruga consegue avançar mais um décimo à frente, e assim por diante, sem fim. Aquiles nunca alcançará a tartaruga, porque a tartaruga sempre tem uma vantagem, ainda que pequena. O problema de Zenão é um paradoxo do movimento.
Zenão está dizendo que Aquiles teria que fazer uma série infinita de ações, o que não poderia ser feito em um período de tempo finito. Segundo Morris (1998) o objetivo de Zenão com esse paradoxo, era rebater a ideia de que o espaço e o tempo eram infinitamente divisíveis. Assim, apresenta uma situação na qual Aquiles tem que percorrer uma série de distância cada vez mais curtas, gerando, assim, um absurdo no qual nos impede de dividirmos o espaço infinitamente. O que Zenão afirma nesse paradoxo é que é impossível para Aquiles efetuar um número infinito de atos ou etapas da corrida (num espaço finito).
· Paradoxo da flecha disparada: Esse paradoxo é assim apresentado por Aristóteles: “o terceiro, pretende que a flecha que voa está parada. Essa conclusão somente pode ser sustentada se admite que o tempo está composto de ágoras”. Esse paradoxo é muitas vezes apresentado da seguinte forma: Um arqueiro jamais atingiria o alvo com a sua flecha, pois toda flecha, no ar, se encontra em repouso, uma vez que uma coisa está sempre em repouso quando ocupa um lugar idêntico. Ou seja, a flecha ocupará a cada instante um lugar idêntico a si mesma, estando – a cada instante – em repouso.
Nesse paradoxo Zenão conclui que o movimento é uma sucessão de repouso, ou seja, que a cada instante ela ocupa um espaço, o que na visão de Zenão não configura movimento, mas sucessivos estados de repouso, então a cada momento a flecha ocupa um espaço definido. Neste caso, o objetivo deste argumento é provar que a seta voadora está em repouso, resultado que se obtém ao se admitir a hipótese de que o tempo é composto de momentos; se não admitirmos esta hipótese, a conclusão – de que o movimento é uma sucessão de repouso - é inviável.
· Paradoxo dos corpos no estádio: um dos mais complexos paradoxos de Zenão. Nele se conclui que a metade é igual ao seu dobro. Aristóteles apresenta esse paradoxo da seguinte forma: "O quarto argumento supõe duas séries contrapostas de corpos de igual número e magnitude, dispostos desde um e outro dos extremos de um estádio até seu ponto médio, e que se movem em direção contrária à mesma velocidade. Este argumento, pensa Zenão, leva à conclusão de que a metade de um tempo é igual ao dobro desse tempo". (ARISTÓTELES. Física. Trad. Guillermo R. de Echandía. Madrid: Gredos, 1998").
Para tentar entendê-lo, vamos pensar em um estádio de futebol. Dois dardos são atirados em sentidos opostos. Quando se movimentam, os dardos percorrem uma unidade espacial a cada unidade temporal, ou seja, estamos partindo do pressuposto de que tempo e espaço podem ser divididos em partes que têm um tamanho e uma duração mínimos.
Quando se emparelham, os dardos são duas unidades espaciais emparelhadas. Para que isso acontecesse, eles precisariam passar por uma situação em que apenas uma unidade estivesse emparelhada. O instante em que isso aconteceria seria a metade de uma unidade temporal que julgávamos ser uma unidade mínima.
Com isso, percebemos que a unidade não era mínima como supúnhamos, e sim divisível. A distância percorrida nessa meia unidade temporal no estádio seria a metade daquela unidade temporal que também julgávamos mínima.
Para Zenão, assim como para seu mestre, Parmênides, o movimento percepcionado é apenas aparência, um aspecto superficial da realidade e, por isso, os sentidos não podem ser considerados instrumentos adequados para o conhecimento verdadeiro.
Lembrando que o paradoxo pressupõe a identidade do tempo e do espaço cada ponto percorrido corresponde a um instante e a um ponto no espaço. Isso possibilita a Zenão concluir que a metade do tempo é igual ao dobro do tempo.
TEORIAS ACERCA DOS PARADOXOS
- Contribuição de Galileu:
	Embora Galileu não tenha formulado nestes termos, percebe-se que naquele momento, quando ele iniciou os pensamentos que depontava o conceito de velocidade instantânea, a necessidade era conceber um conceito que definisse a velocidade de um móvel em cada instante, uma linguagem que o descrevesse, um conceito que surgisse inspirado no fenômeno e na relação considerada. Esse novo conceito não parecia ser um número, pois seria conceber o movimento por uma visão estática; o conceito que surge, e servirá de instrumento matemático, será uma variável. Um movimento como o de Aquiles passa a ser interpretado em termos de duas séries de intervalos correspondentes nas escalas de tempo e distância, o que constituiu um grande passo para uma forma de raciocinar em matemática, o desenvolvimento do pensamento relacional. A variável se caracterizava, então, como um ente matemático, sobre o qual se tem a liberdade de escolher arbitrariamente, a partir de todo um conjunto de entes, ou seja, idealizado dentro de um campo de variação.
	Depois da criação do conceito de infinitamente pequeno que tenta responder à característica do fenômeno do movimento, fica explicitado que, o que passa em um ponto só pode ser compreendido em interdependência com o que se passa em pontos vizinhos. Baseado diretamente nesse conceito fica estabelecido o conceito de limite. Diz-se que na tem por limite L se na é vizinho de L quando n é vizinho de infinito.
	Voltando ao exemplo de Aquiles, quando ocupa a posição An a soma dos espaços é: , ou seja, por se tratar da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão 1⁄2 , essa soma é tratada pela fórmula:
   .
Esse modelo apresenta uma fórmula para solucionar o paradoxo, mas muitos discordam dessa compreensão unilateral, visando unicamente um resultado. No caso, esse resultado, é uma soma infinita de parcelas. Essa interpretação prioriza a análise numérica, e não a compreensão do objeto como propusera Bolzano.
- Interpretação como Relação:
	Em uma abordagem discreta, ou seja, por um lado que observa uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável, concordamos que Aquiles deve chegar a todos os pontos que a tartaruga já chegou, colocando assim que esses são os pontos que ele deve ou só conseguirá alcançar. Por essa visão acabamos por acorrentar o movimento de Aquiles ao movimento da tartaruga.
	Traz-se, então, uma visão contínua, na qual programa um conjunto infinito de valores entre dois valores quaisquer.
	Enxergando como movimentos distintos um do outro, e com funções diferentes uma da outra, contudo, essa visão construtivista criou uma necessidade de propor um conceito para função, e de uma determinação para o conceito de função contínua.
	Assim, Otte afirma que “A solução ‘complementarista’ do paradoxo de Zenão, particularmente, mostra que uma determinada solução para um problema nunca vai se forçar a nós”, mas, precisamos buscar a solução de acordo com um tipo de visão específica para o problema, e, para ele, “uma visão ou intuição absoluta, não existe”. Ele acrescenta que a busca fenomenologicamente inspirada por uma visão especifica, “em vez de uma simples apresentação técnica das questões, que tem estimulado e inspirado interesse nos vários paradoxos do pensamento desde a segunda metade do século XIX” (ibid. 58-59).
- Visão de Borges:
	Para Borges, o paradoxo de Zenão é algo fantástico, revelado em suas incursões pelos processos recursivos, idealizados em situações de uma realidade possível. Para Borges, Aquiles cai nesse “abismo do tempo” e esses precipícios também ocorrem no espaço. Ele tambémcita a refutação de Bergson em 1910, no “Ensayo sobre los datos immediatos de la conciencia”, para comentar sobre o mundo fantástico do paradoxo de Zenão. Nessa refutação ao paradoxo, encontra-se declarado que se pode dividir um objeto, mas não um ato. Então, do hábito de colocar o ato no espaço, na reta, e da confusão entre movimento e espaço percorrido, surgem os sofismas da escola eleática. 
O ato indivisível de Aquiles é diferente do ato indivisível da tartaruga que, por sua vez, é diferente das indivisíveis mônadas que compunham a reta dos antigos pitagóricos. Ou seja, a ideia seria distanciar os atos indivisíveis de Aquiles e da tartaruga e, de certa forma analisa-los separadamente.
	
CONCLUSAO
Ao formular esses paradoxos Zenão preocupava-se em combater teses que se apoiavam numa concepção pluralista do real. Sua crítica vai para além dos paradoxos, mas estes tiveram grandes contribuições para muitas discussões no campo da filosofia e da matemática que se seguiram, por exemplo, a forma argumentativa que, partindo de certos princípios, buscava provar a tese contraditória reduzindo-a ao absurdo.
Muitos matemáticos discutiram e discutem os paradoxos de Zenão. Eles foram e ainda são ótimas referências para a discussão da relação entre contínuo e discreto, por exemplo, sem considerar os campos da física e da física quântica em que outros conceitos são remetidos a esses paradoxos, como a questão do conceito de infinitesimais.
Os paradoxos nos apresentam situações que contrapõem nossa experiência sensitiva, mas que não é facilmente negada. Pois no raciocínio de Zenão, não basta perceber o absurdo, é necessário explicá-lo.
Dessa forma, é bastante preceptivo as aplicações desses paradoxos no meio educacional e no desenvolvimento do saber matemático desde que sejam problematizadas em suas contradições e não usados como simples exemplificações.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
PORFíRIO, Francisco. "Zenão"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/filosofia/zenao.htm.
 Acesso em 21 de dezembro de 2022.
MENEZES, PEDRO. “Zenão de Eleia (filósofo) ”; Toda Materia. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/zenao/
Acessado em 20 de dezembro de 2022
https://revistas.pucsp.br/index.php/cognitio/article/view/36946/27162
Acesso em 20 de dezembro de 2022
MONTEIRO, ALEXANDRINA. “Movimento paralizante: reflexões sobre o infinito em Zenão de Eléia”; Revista Fermentario. Disponível em: http://fermentario.fhuce.edu.uy/index.php/fermentario/article/view/218/274
Acesso em 20 de dezembro de 2022
SANTOS, Wigvan Junior Pereira dos. "Quatro argumentos de Zenão de Eleia contra o movimento"; Brasil Escola. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/filosofia/quatro-argumentos-zenao-eleia-contra-movimento.htm
 Acesso em 21 de dezembro de 2022.
Coleção Os Pensadores, Os Pré-socráticos, Abril Cultural, São Paulo, 1.ª edição, vol.I, agosto 1973.
https://blogdocafil.files.wordpress.com/2009/04/os-pre-socraticos-colecao-os-pensadorespdfrev.pdf 
Acessado em 28 de janeiro de 2023.
MONTEIRO, Lúcia Cristina Silveira. “SENTIDOS E SIGNIFICADOS PARA UMA ABORDAGEM SEMIÓTICA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UMA ANÁLISE SOBRE AS DISCUSSÕES DAS INTERPRETAÇÕES DO PARADOXO DE ZENÃO”. 2015. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – Universidade Anhanguera, São Paulo, 2015.
Acessado em 02 de fevereiro de 2023.
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