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Resolução - Prova 1 - 06/07/2023 - Duração: 2h
Docente: BRUNO CARVALHO NEVES - CMCC
Disciplina: Bases Matemáticas - 2023/2
Cada problema vale 20 pontos, escolha 5 questões. Justifique, de forma
legível, suas respostas. As respostas deverão ser marcadas com
caneta azul ou preta.
Nome:
R. A. :
Questão 1 (20 pontos): Determinar o conjunto-verdade em
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} das seguintes sentenças abertas:
|x2 − 3x− 1| = 3a) (x+ 6) ∈ Ab)
|x− 7| = 7− xc) (x2 − 3) /∈ Ad)
Resolução: a) Queremos determinar o conjunto-verdade em A da
sentença aberta
|x2 − 3x− 1| = 3.
Para isso, considere a seguinte mudança de variáveis:
y = x2 − 3x− 1.
Daí, temos que resolver em A a seguinte equação |y| = 3. Pela definição de
módulo, temos que
y = 3 ou y = −3 .
Com efeito, temos duas equações do segundo grau para resolver em A, a
saber,
x2 − 3x− 4 = 0 e x2 − 3x+ 2 = 0.
A primeira nos dá como resultado x = 4 e x = −1. A segunda equação,
x = 1 e x = 2. Como x = −1 /∈ A segue que o conjunto verdade será:
Vp = {1, 2, 4} .
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b) Nesse caso, queremos encontrar todos os x ∈ A tais que x+ 6 ainda seja
um elemento de A. Como o conjunto A é limitado, ou seja, para y ∈ A
temos que
1 ≤ y ≤ 10.
Segue que, x+ 6 ≤ 10, ou seja, x ≤ 4. Portanto,
Vp = {1, 2, 3, 4} .
c) Queremos todos os x em A tais que a condição |x− 7| = 7− x seja
válida. Novamente, fazendo uma mudança de variáveis,
y = x− 7,
vemos que, pela definição de módulo, temos que determinar |y| = −y. E
isso, só acontece quando os valores de y são negativos, i.e., y < 0.
Portanto, voltando-se a variável original, temos que x− 7 < 0, i.e., x < 7 e
x ∈ A. Segue que,
Vp = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .
d) Nesse caso, considere determinar o conjunto verdade onde x2 − 3 ∈ A,
isto é,
V¬p =
{
x ∈ A; x2 − 3 ∈ A
}
.
Com efeito, para que x2 − 3 esteja no conjunto A ele deve satisfazer a
seguinte condição:
1 ≤ x2 − 3 ≤ 10 ⇔ 4 ≤ x2 ≤ 13 ⇒ 2 ≤ x ≤ 3.
Para x ∈ A temos que V¬p = {2, 3}. Daí, o conjunto verdade onde valeria a
negação de ¬p seriam todos os x ∈ A que não são elementos de V¬p. Ou
seja,
Vp = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} .
Questão 2 (20 pontos): Sendo R o conjunto universo, determinar o valor
lógico de cada uma das seguintes proposições:
(∃x ∈ R; |x− 1| = 1− x) ∨
(√
2 /∈ N
)
a)
¬ (∃x ∈ R;x2 + 2x = 15) ∧ (∀x ∈ R;x2 ≥ 0)b)
¬ [(π ∈ Q) ∨ (∀x ∈ R; cos(x) 6= 1)]c)
¬ (∃x ∈ R;x2 + 5 = 0)→ (∀x ∈ R;x2 ≥ x3)d)
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Resolução: a) Sejam p e q tais que
p = (∃x ∈ R; |x− 1| = 1− x) e q =
√
2 /∈ N.
Assim, devemos determinar o valor lógico da disjunção p ∨ q que por
definição será a verdade se ao menos uma das proposições for verdadeira.
Portanto, L(p) = V pois, de fato existe x ∈ R tal que |x− 1| = 1− x, a
saber, qualquer x < 1. Além disso, L(q) = V pois
√
2 ∈ R e é um número
irracional. Daí,
L(p ∨ q) = L(p) ∨ L(q) = V ∨ V = V.
b) Analogamente, fazendo
p =
(
∃x ∈ R;x2 + 2x = 15
)
e q =
(
∀x ∈ R;x2 ≥ 0
)
.
Temos que encontrar o valor lógico da seguinte conjunção L(¬p ∧ q). Como
L(p) = V , pois de fato a equação do segundo grau x2 + 2x− 15 = 0 possui
raízes em R, a saber, {−5, 3}. Similarmente, L(q) = V pois por definição
de números reais o quadrado de qualquer real é sempre não-negativo.
Portanto,
L(¬p ∧ q) = ¬L(p) ∧ L(q) = ¬V ∧ V = F ∧ V = F.
c) Mais uma vez fazendo o mesmo procedimento
p = π ∈ Q e q = (∀x ∈ R; cos(x) 6= 1) .
Temos que encontrar o valor lógico de L (¬(p ∨ q)) = L(¬p ∧ ¬q). Como
L(p) = F pois π é um número irracional e, além disso, L(q) = F pois para
x = 0 temos cos(0) = 1 então, existe x ∈ R tal que cos(x) = 1. Segue que:
L(¬p ∧ ¬q) = ¬L(p) ∧ ¬L(q) = ¬F ∧ ¬F = V ∧ V = V.
d) Similarmente,
p =
(
∃x ∈ R;x2 + 5 = 0
)
e q =
(
∀x ∈ R;x2 ≥ x3
)
.
Temos que determinar o valor lógico da condicional L(¬p→ q). Como
L(p) = F pois não existe em R raiz de número negativo. Além disso,
L(q) = F , pois x = 2 não satisfaz a condição. Assim,
L(¬p→ q) = L(¬F → F ) = L(V → F ) = F.
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Questão 3 (20 pontos): Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e
B = {2, 3, 4, 5, 6}:
(a) Determine a cardinalidade (número de elementos) de P(A) e P(B).
(b) Determine todos os conjuntos X ⊂ A e X 6= A, tais que {1} ⊂ X e
{2} ⊂ X.
(c) Determine todos os conjuntos X tais que X ⊂ A e X ⊂ B.
Resolução: a) Lembrando que a cardinalidade de qualquer conjunto
potência de um conjunto finito é dada por 2n onde n é o número de
elementos do conjunto. Ou seja, o número de subconjuntos de um conjunto
finito. Daí,
|P(A)| = 23 = 8, |P(B)| = 25 = 32.
b) Nesse caso, queremos conjuntos X que são subconjuntos de A mas que
satisfação certas condições dadas. Portanto, calculemos o conjunto potência
de A,
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Assim, o único subconjunto X de A que satisfaz as condições dadas será
{1, 2}.
c) Queremos todos os subconjuntos X tais que X ⊂ A e X ⊂ B. Ou seja,
todos os subconjuntos X ⊂ A ∩B. Assim, A ∩B = {2, 3}. Devemos
calcular o conjunto potência dessa interseção:
P(A ∩B) = {∅, {2}, {3}, {2, 3}} .
Nesse caso, X será cada elemento do conjunto potência de A ∩B.
Questão 4 (20 pontos): Considere o seguinte conjunto universo
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e
B = {2, 3, 6, 8} determinar:
Ac ∪Ba) Ac ∩Bcb)
(B ∩ A)cc) (A \B) ∪ (B \ A)d)
Solução:
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Ac ∪B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10}a)
Ac ∩Bc = {5, 7, 9, 10}b)
(B ∩ A)c = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}c)
(A \B) ∪ (B \ A) = {1, 4, 6, 8}d)
Questão 5 (20 pontos): Provar que: Se Bc ⊂ Ac então A ⊂ B.
Resolução: Queremos mostrar que A ⊂ B. Com efeito, seja x ∈ A um
elemento arbitrário. Como,
A ∩ Ac = ∅
i.e., A e Ac são conjuntos disjuntos. Temos que, se x ∈ A então x /∈ Ac.
Por hipótese, temos que Bc ⊂ Ac. Assim, como x /∈ Ac segue da hipótese
que, x /∈ Bc. Em outras palavras, se x não está no todo (Ac), ele
obviamente, não pode estar em uma de suas partes (Bc). Daí, segue que
x ∈ B.
Portanto, (∀x ∈ A; x ∈ B), ou seja, de fato A ⊂ B sempre que Bc ⊂ Ac.
Questão 6 (20 pontos): Se A ∩B = B e B ∩ C 6= ∅ então, mostre que
A ∩ C 6= ∅.
Resolução: Note que pela primeira propriedade listada abaixo que
A ∩B = B ⇔ B ⊂ A.
Assim, queremos mostrar, dadas as condições, que A ∩ C 6= ∅. De fato,
como B ⊂ A, segue pela terceira propriedade listada que
B ∩ C ⊂ A ∩ C .
Como, por hipótese, B ∩ C 6= ∅ temos que o conjunto A ∩ C possui parte
não vazia. Com efeito, A ∩ C 6= ∅.
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Propriedades Básicas
• A ⊂ B ⇔ A ∩B = A;
• A ⊂ B e C ⊂ D ⇔ A ∩ C ⊂ B ∩D;
• A ⊂ B ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩ C;
• A ∩B ⊂ A e A ∩B ⊂ B.
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