Números Complexos e Suas Formas

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Universidade Federal de Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Elétrica
A existência do conjunto dos números complexos
Leonardo Euler
Leonardo Euler, em 1777, definiu que a √-1 = i ou √-1 = j (parte 
imaginária). 
Ainda, segundo Euler, os números complexos também podem 
possuir uma parte real. Então,
um número complexo pode ser escrito da forma: z = a + ib
Sendo “a” a parte real e “b” a parte imaginária
Essa definição matemática permitiu resolver equações de 2º grau 
que apresentam raiz quadrada de números negativos, do tipo: 
→ 
Obs.: Números reais não admitem raízes reais de números 
negativos.
ଶ
A existência do conjunto dos números complexos
• Para superar tal impossibilidade e poder, então, resolver todas equações do 2º grau, os
matemáticos ampliaram o sistema de números, criando o conjunto dos números complexos;
• Inicialmente, os matemáticos criaram “um novo número”:
• Desse modo, é possível obter soluções para a raiz quadrada de um número negativo:
ଶ
ଶ ଶ ଶ
ଶ
Representação de números complexos
• As principais formas de representar números complexos são:
a. Forma retangular
b. Forma trigonométrica
c. Forma polar
Números complexos: forma retangular
• Na forma retangular, um número complexo pode ser representado da seguinte forma:
• Os termos do número complexo são:
1. a representa a parte real do número complexo;
2. b representa a parte imaginária do número complexo.
• Mas afinal, o que significam as partes real e imaginária de um número complexo? Essas
partes são representadas através do plano complexo.
Números complexos: forma retangular
• Ao lado tem-se a representação de alguns números no
plano complexo. O eixo horizontal representa a parte
real do número complexo. Já a parte imaginária está
presente no eixo vertical.
ଵ ଶ ଷ
ସ ହ ଺
଻
Números complexos: forma trigonométrica
• Considere um número complexo Z = a + jb,
o qual está representado na forma
retangular. Esse mesmo número está
representado no plano complexo:
• A distância entre a origem e o ponto Z
vale |Z| e forma um ângulo Ѳ com o
eixo horizontal;
• Observe a existência de um triângulo
retângulo;
• Pode-se determinar o comprimento de
a e b em função de |Z| e de funções
trigonométricas (seno e cosseno). Essa
maneira de representar é chamada de
forma trigonométrica.
Números complexos: forma trigonométrica
• Representação gráfica do número
complexo Z:
• Cálculo da parte real do número complexo:
• Cálculo da parte imaginária do número
complexo:
• Forma trigonométrica:
Números complexos: forma polar
• Outra maneira de representar um número complexo se dá através da forma polar, a qual é a
forma empregada em circuito elétricos:
• Esta forma de representar utiliza apenas a distância |Z| da origem até o ponto Z e o ângulo
Ѳ formado entre a distância |Z| e o eixo horizontal. Assim a representação na forma polar é:
Pode-se calcular |Z| e o ângulo Ѳ em função das partes real e
imaginária do número complexo na forma retangular:
ଶ ଶ ଶ ଶ ଶ
ିଵ
Exercício
• Represente o número complexo Z = 3 + j4 nas formas trigonométrica e polar.
a. Cálculo do comprimento do número
complexo:
b. Cálculo do ângulo Ѳ:
ଶ ଶ ଶ ଶ
ିଵ
c. Representação na forma trigonométrica:
d. Representação na forma polar:
Aplicação de números complexos em CA: fasores
• Esse vetor girante possui os mesmos parâmetros que descrevem a senoide e considerando
uma dada frequência, para defini-lo basta o seu módulo e o seu ângulo de fase inicial.
• Transformando uma onda no domínio do tempo para o domínio de fasorial:
a. Domínio do tempo:
b. Domínio fasorial: Ief é o valor eficaz.
Exercício: Aplicação em CA
• Usando números complexos, transforme para a forma POLAR os sinais de tensão:
ଵ e ଶ .
Transformando v1(t) para o domínio dos 
fasores:
Transformando v1(t) para o domínio dos 
fasores:
Operações envolvendo números complexos
• Soma ou subtração: a melhor forma de realizar essas operações é na forma retangular. Deve-
se somar algebricamente parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.
Sejam dois números complexos Z = A + jB e G = C + jD, tem-se:
Operações envolvendo números complexos
• Multiplicação e divisão: para essas operações matemáticas, a melhor maneira de representar
os números complexos é na forma polar. As operações são as seguintes:
a. Multiplicação: deve-se multiplicar os módulos e somar algebricamente os ângulos;
b. Divisão: deve-se dividir os módulos e subtrair algebricamente os ângulos.
• Observe os exemplos:
Exercícios
• Sejam Z1 = 5 – j2 e Z2 = – 3 – j8, determine Z1 + Z2 e Z1 – Z2.
• Sejam Z1 = 2 /__30o e Z2 = 5 /__-45o, calcule o produto entre os dois números complexos.
• Sejam Z1 = 8 /__-30o e Z2 = 2 /__-60o, calcule a divisão entre os dois números complexos.
ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ
ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ
ଵ ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
ଵ
ଶ
Transformação da forma polar para retangular
• Caso se deseje transformar um número complexo da forma polar para a retangular, tem-se:
• Exemplo: Transforme o número complexo Z = 50 /__53,13o na forma retangular: