Cálculo 3 - Lista de Exercícios

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS DO SERTÃO
Cálculo 3 - Lista 2
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Questões marcadas com ? são complementares ao assunto visto em sala de aula.
Questões marcadas com ∗ têm grau de dificuldade maior.
(1) Esboce o domı́nio da função f em cada um dos casos a seguir.
(a) f(x, y) = lnx2 + y.
(b) f(x, y) =
1p
y −
√
x
.
(c) f(x, y) = y
√
cos y.
(d) f(x, y, z) =
p
x2 + y2 + z2 − 16.
(e) f(x, y, z) = ln
�
1− x2 − y2 + z2
�
.
(2) Pra os itens a seguir considere a função f(x, y) =
p
y2 − x2 + 1.
(a) Determine e esboce o domı́nio da função.
(b) Justifique que a imagem de f é [0,+∞) ⊂ R.
(c) Esboce o mapa de contorno da função destacando as curvas de ńıvel 0, 1 e
√
2.
(d) Esboce o gráfico de f .
(3) Calcule os limites abaixo.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
(x+ y) sen
1
x
.
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2
x2y2 + (x− y)2
.
(c) lim
(x,y,z)→(1,4,9)
�√
xz −√y +
√
x
�
.
(d) lim
(x,y)→(0,0)
xy
3−
√
xy + 9
.
(e) lim
(x,y)→(0,0)
x− y
x+ y
.
(f) lim
(x,y,z)→(0,−1,2)
xz − 2xp
x2 + y2 + z2 + 2y − 4z + 5
.
(g) lim
(x,y,z)→(0,0,0)
xyz2
x2 + y2 + z2
.
?(4) Sejam (r, θ) as coordenadas polares do ponto (x, y) com r ≥ 0, Observe que r → 0+ quando
(x, y)→ (0, 0). Utilize coordenadas polares para calcular os limites a seguir.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
.
(b) lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) ln(x2 + y2).
(c) lim
(x,y)→(0,0)
e−x2−y2
− 1
x2 + y2
.
(d) lim
(x,y)→(0,0)
sen (x2 + y2)
x2 + y2
.
(5) A função abaixo é cont́ınua no ponto (0, 0)?
f(x, y) =
8><
>:
xy
x2 + xy + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
(6) Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(a) f(x, y) = y5 − 3xy.
(b) f(x, y) = ln
�p
x2 + y2 − xp
x2 + y2 + x
�
.
(c) f(x, y) =
Z y
x
e sen t dt.
(7) Mostre que a função f(x, y, z) = xz2 + yx2 + zy2 é solução da EDP
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
= (x+ y + z)2.
(8) Mostre que a função f(x, y, z, t) =
x− y
z − t +
t− x
y − z é solução da EDP
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
+
∂u
∂t
= 0.
(9) Determine uma equação do plano tangente à superf́ıcie no ponto especificado.
(a) z = 3y2 − 2x2 + x, (2− 1− 3).
(b) z = xexy, (2, 0, 2).
(c) z = ln(x− 2y), (3, 1, 0).
(10) Se ω = x3f
� y
x
,
z
x
�
, mostre que
x
∂ω
∂x
+ y
∂ω
∂y
+ z
∂ω
∂z
= 3x3f
� y
x
,
z
x
�
.
(11) Se z = eyf(ye
x2
2y2 ), mostre que
(x2 − y2)
∂z
∂x
+ xy
∂z
∂y
= xyz.
∗(12) Dada a equação
A
∂2z
∂x2
+ 2B
∂2z
∂2x∂y
+ C
∂2z
∂y2
= 0,
onde A,B e C são constantes, determine as constantes S e K de tal modo que, ao usarmos a
mudança de variáveis t = x+ Sy e u = x+Ky, a expressão acima resulta em
∂2z
∂u∂t
= 0.