2 ANO - MÓDULO 8

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA
8. Análise combinatória, binômio 
de Newton e probabilidade
ENSINO MÉDIO 
MODULAR
Livro do Professor
Jorge Luiz Farago
 Lucio Nicolau dos Santos Carneiro
Curitiba, 2021
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Angela Giordani / CRB 9-1262 / Curitiba, PR, Brasil)
F219 Farago, Jorge Luiz.
Conquista : Solução Educacional : ensino médio modular : matemática 8, análise 
combinatória, binômio de Newton e probabilidade / Jorge Luiz Farago e Lucio Nicolau 
dos Santos Carneiro. – Curitiba : PSD Educação, 2021.
: il.
ISBN 978-65-88126-98-1 (Livro do aluno)
ISBN 978-65-88126-31-8 (Livro do professor)
1. Educação. 2. Ensino médio. 3. Matemática – Estudo e ensino. I. Carneiro, Lucio 
Nicolau dos Santos. II. Título.
CDD 370
© 2020 PSD Educação S.A.
Projeto Gráfico & 
Produção Editorial
Diretor-Geral
Daniel Gonçalves Manaia Moreira
Diretor Editorial
Joseph Razouk Junior
Gerente Editorial
Júlio Röcker Neto
Gerente de Produção Editorial
Cláudio Espósito Godoy
Coordenação Editorial
Jeferson Freitas
Coordenação de Arte
Elvira Fogaça Cilka
Coordenação de Iconografia
Susan R. de Oliveira Mileski
Autoria do Livro Didático
Jorge Luiz Farago 
Lucio Nicolau dos Santos Carneiro
Edição de Conteúdo
Fabiano Ribeiro
Edição de Texto
Alessandra Domingues
Ilustrações
Angela Giseli, Divo, Jack Art
Pesquisa Iconográfica
Marcela Giovana Martins Tosta
Engenharia de Produto
Solange Szabelski Druszcz
Todos os direitos reservados à 
PSD Educação S.A.
Imagem projeto gráfico
Shutterstock/Bent Chang
Produção
PSD Educação S.A.
Av. Nossa Senhora Aparecida, 174 – 
Seminário
80440-000 – Curitiba – PR
Tel.: (0xx41) 3312-3500
Site: www.conquistaeducacao.com.br
Impressão e acabamento
Gráfica e Editora Posigraf Ltda.
Rua Senador Accioly Filho, 431/500 – CIC
81310-000 – Curitiba – PR
Tel.: (0xx41) 3212-5451
E-mail: posigraf@positivo.com.br
2021
Contato
contato@conquistaeducacao.com.br
SUMÁRIO
Capítulo 1: Análise combinatória 04
Princípio Fundamental da Contagem ................................................................... 05
Fatorial de um número .......................................................................................... 08
Permutação simples .............................................................................................. 10
Permutações com repetições ................................................................................ 14
Arranjo simples ...................................................................................................... 16
Combinação simples ............................................................................................. 19
Capítulo 2: Binômio de Newton 25
Triângulo de Pascal ................................................................................................ 26
Termo geral do desenvolvimento ......................................................................... 29
Soma dos coeficientes do desenvolvimento de um binômio ............................ 30
Capítulo 3: Probabilidades 33
Experimento aleatório e experimento determinístico ........................................ 33
Espaço amostral e evento ..................................................................................... 34
Probabilidade ......................................................................................................... 35
Adição de probabilidades ..................................................................................... 38
Multiplicação de probabilidades........................................................................... 40
Probabilidade condicional ..................................................................................... 42
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
at
ia
na
 P
op
ov
a
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
at
ia
na
 P
op
ov
a
Conceitos Centrais
1. Princípio Fundamental 
da Contagem
2. Fatorial de um número
3. Permutação simples
4. Permutação com 
repetições
5. Arranjo simples
6. Combinação simples
Conceitos Centrais Ética e cidadania
Atualmente, uma das grandes preocupações de diretores de banco e de usuários, 
nas grandes e pequenas cidades do Brasil, é o roubo a caixas eletrônicos, pois, além 
de onerar o patrimônio da instituição em relação ao maquinário e ao valor roubado, 
coloca em risco a segurança dos clientes. Para minimizar esses roubos, os bancos es-
tão colocando dispositivos carregados com tinta colorida. Assim que um caixa eletrô-
nico é arrombado, mancham-se automaticamente as notas e, dessa forma, elas ficam 
marcadas e, consequentemente, inutilizadas. Observe que em praticamente todos os 
caixas eletrônicos há mensagens para que as pessoas não aceitem notas manchadas 
nem queimadas, pois a procedência é ilícita.
Outro cuidado que se deve ter é quanto ao uso da senha de acesso às contas para 
realizar saques, consultas de saldo e extrato, transferências, entres outras transações 
bancárias. Alguns bancos, para dificultar que outras pessoas tenham acesso às se-
nhas dos clientes, criaram dispositivos eficientes para isso. Na imagem a seguir de 
um caixa eletrônico, a senha de acesso é composta de 4 números e 3 letras escolhidos 
pelo usuário da conta.
O cliente digita os números na 1ª. tela com o teclado abaixo e, após o banco 
verificar a senha numérica, a sequência de letras na 2ª. tela. As letras são digitadas 
nos botões laterais de acordo com a ordem da senha.
Ética e cidadania
Atualmente, uma das
nas grandes e pequenas c
de onerar o patrimônio da
coloca em risco a seguran
tão colocando dispositivo
nico é arrombado, mancha
marcadas e, consequente
caixas eletrônicos há men
nem queimadas, pois a pr
Outro cuidado que se
realizar saques, consultas
bancárias. Alguns bancos
nhas dos clientes, criaram
um caixa eletrônico, a sen
pelo usuário da conta.
O cliente digita os n
verificar a senha numéric
nos botões laterais de aco
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/P
od
fo
to
An
ge
la
 G
is
el
i. 
20
11
. V
et
or
.
1.a Tela 2a. Tela
4 Conquista Modular
ANÁLISE COMBINATÓRIA1
No Brasil, no início da década de 1980, começaram a ser instalados caixas eletrô-
nicos em agências bancárias, o que trouxe comodidade aos usuários, pois o correntista 
poderia retirar dinheiro ou consultar saldos fora do horário convencional dos bancos. 
Com o passar do tempo, esses caixas passaram a dispor de outros serviços, como de-
pósitos, transferências, pagamento de contas e aplicações financeiras. Com essa ino-
vação, problemas surgiram, como assaltos a correntistas no momento da retirada de 
dinheiro. 
Para tentar evitar problemas, que a cada ano aumentam, recomenda-se que o uso 
dos caixas eletrônicos seja feito durante o dia e em lugares movimentados. Se for usar 
o caixa eletrônico à noite, leve um ou mais acompanhantes e nunca aceite ajuda de 
estranhos. Se possível, utilize um caixa eletrônico em ambientes internos, como em 
supermercados, postos de combustível e shopping centers e fique atento à proximidade 
de estranhos, principalmente ao digitar a senha do cartão. Evite que outras pessoas 
vejam a senha do cartão e, em hipótese alguma, forneça-a para uma pessoa que não 
seja de sua confiança. Se o caixa retiver o cartão, notifique imediatamente o banco e 
evite retirar quantias muito altas de dinheiro.
Uma lanchonete dá desconto para o cliente que opta por um lanche composto de um 
sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. Entre os sanduíches, o cliente pode escolher entre 
sanduíche de presunto ou hambúrguer. As opções de bebidas são suco natural, água mineral 
ou mate gelado, e as sobremesas são melancia ou torta de morango.
A seguir, estão representadas as opções de lanches que um cliente pode escolher:
O esquema representado denomina-se árvore de possibilidades. Perceba que o nú-
mero de opções diferentes que um cliente tem para escolher um sanduíche, uma bebida e 
uma sobremesa é 12, pois ele tem dois tipos de sanduíches, três bebidas e dois tipos de 
sobremesa. 
Isso é obtido por meio do produto: 2 ∙ 3 ∙ 2 = 12 opções
Princípio Fundamentalda Contagem
Em determinada convenção de um partido político, são escolhidos dois representantes 
que vão concorrer às próximas eleições para presidente de um país – um para ocupar o cargo 
de candidato a presidente e outro para ser o vice-presidente.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
1.
 V
et
or
.
5Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
Concorreram ao cargo de candidato a presidente: João, Fernanda e Juliano; e ao cargo 
de candidato a vice-presidente: Giovana e Rodrigo. Tem-se que a árvore de possibilidades é: 
 Giovana
 João 
 Rodrigo
 Giovana
 Fernanda 
 Rodrigo
 Giovana
 Juliano 
 Rodrigo
E o número de chapas distintas (presidente e vice) é: 3 ∙ 2 = 6 possibilidades
Se um fato ou acontecimento ocorre em n etapas sucessivas e independentes e,
x1 é o número de possibilidades da 1ª. etapa
x2 é o número de possibilidades da 2ª. etapa
x3 é o número de possibilidades da 3ª. etapa
xn é o número de possibilidades da n-ésima etapa,
o número total de possibilidades de ocorrer o fato ou acontecimento é dado pelo 
produto
x1 ∙ x2 ∙ x3 ∙ ... ∙ xn
 1. A soma de todos os números de três algarismos, 
não repetidos, que podem ser formados com os 
algarismos 1, 3 e 5 é:
 a) 734
 b) 1 017
X c) 1 998
 d) 3 994
 e) 5 322
Os números formados são:
135, 153, 315, 351, 513, 531.
A soma desses números é:
S = 2 ∙ (1 + 3 + 5) + 2 ∙ (10 + 30 + 50) + 2 ∙ (100 + 300 + 
500) = 18 + 180 + 1 800
S = 1 998
 2. Uma questão é composta de 5 itens que devem 
ser avaliados e marcados com (V) se forem ver-
dadeiros ou (F) se forem falsos. Dessa forma, de-
termine de quantas formas distintas essa ques-
tão pode ser respondida. 
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 32 formas diferentes
 3. Um aluno matriculado em uma universidade tem 
um número de identificação composto de 9 alga-
rismos. Os quatro primeiros são o ano de ingresso 
na universidade, os números que estão na 5ª. e 6ª. 
posições indicam o curso em que o aluno passou. 
Os números na 7ª., 8ª. e 9ª. posições podem ser 
quaisquer algarismos de 0 a 9. Determine o núme-
ro máximo de alunos que podem ser matriculados 
nos cursos de Engenharia Civil e Medicina no ano 
de 2012.
Para fazer
6 Conquista Modular
Os quatro algarismos iniciais são 2012, os dois algaris-
mos sequentes são referentes ao curso e os três últimos 
podem ser de 0 a 9. Logo, o número de maneiras dis-
tintas é: 2 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 2 000 alunos, (1 000 em cada 
curso).
 4. Gabriel, ao criar a senha de acesso do seu com-
putador, deve escolher 5 símbolos distintos en-
tre os algarismos 1 a 9 e as 23 letras do alfabeto 
(foram excluídas as letras K, W e Y). Dessa forma, 
calcule:
 a) O número de senhas, nas quais o primeiro sím-
bolo seja um algarismo e os 4 últimos sejam 
vogais.
9 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 = 1 080
 b) O número de senhas compostas de letras, nas 
quais as duas primeiras são consoantes e as 
três últimas são vogais.
18 ∙ 17 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 18 360
 c) O número de senhas compostas apenas dos 
algarismos 1, 2, 3, 8 e 9.
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
 d) O número de senhas compostas de 5 algaris-
mos, uma vez que os dois primeiros são alga-
rismos pares e os três últimos são algarismos 
ímpares.
4 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 720
 e) O número de senhas iniciadas pelas letras 
GAB nessa ordem e por 2 algarismos.
9 ∙ 8 = 72
 5. Uma bandeira com 5 listras verticais vai ser colo-
rida com 4 cores diferentes. 
Cada listra é pintada com uma cor, mas listras 
adjacentes não podem ter a mesma cor. Quantas 
bandeiras podem ser feitas?
4 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 4 ∙ 34 = 324 bandeiras diferentes
 6. (ENEM) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies 
de mamíferos, distribuídas conforme a tabela a 
seguir.
Grupos taxonômicos Número de espécies
Artiodáctilos 4
Carnívoros 18
Cetáceos 2
Quirópteros 103
Lagomorfos 1
Marsupiais 16
Perissodáctilos 1
Primatas 20
Roedores 33
Sirênios 1
Edentados 10
Total 209
T & C Amazônia, ano 1, n. 3, dez. 2003.
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre 
três dessas espécies de mamíferos – uma do gru-
po Cetáceos, outra do grupo Primatas e a tercei-
ra do grupo Roedores. O número de conjuntos 
distintos que podem ser formados com essas es-
pécies para esse estudo é igual a:
X a) 1 320
 b) 2 090
 c) 5 845
 d) 6 600
 e) 7 245
2 ∙ 20 ∙ 33 = 1 320 possibilidades
 7. A região a seguir foi dividida em 4 áreas e cada 
uma delas deve ser colorida com uma cor dife-
rente. São disponibilizadas 4 cores, porém áreas 
cujo limite seja uma linha não podem ser pinta-
das da mesma cor.
1 2
3 4
Dessa forma, determine o número de possibili-
dades em que
 a) as áreas 2 e 3 tenham cores diferentes: 
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 = 48 possibilidades
 b) as áreas 2 e 3 tenham a mesma cor:
4 ∙ 3 ∙ 3 = 36 possibilidades
7Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
Fatorial de um número
Em cálculos combinatórios, é comum trabalhar com produtos cujos fatores sejam números 
naturais consecutivos em ordem decrescente. Para isso, foi criado um símbolo que representa 
essa multiplicação. Esse símbolo é o fatorial, e é representado por ! ao lado do número.
Observe como é possível representar o produto de fatores por meio do símbolo de fatorial.
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4!
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6!
Uma consequência da definição do fatorial é:
n! = n ∙ (n – 1)!
Nos casos particulares para n = 1 e n = 0, define-se:
1! = 1 0! = 1 1
O fatorial de um número natural n (n > 1), representado por n!, é definido como o 
produto dos n números naturais consecutivos de 1 a n. 
n! = n ∙ (n – 1) ∙ (n – 2) ∙ (n – 3) ∙ ... ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 
 8. (UEPA) Uma loja de um shopping center na ci-
dade de Manaus divulga inscrições para um 
torneio de games. Para realizar essas inscrições, 
a loja gerou um código de inscrição com uma 
sequência de quatro dígitos distintos, sendo o 
primeiro elemento da sequência diferente de 
zero. A quantidade de códigos de inscrição que 
podem ser gerados utilizando os elementos do 
conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} é:
 a) 4 500
X b) 4 536
 c) 4 684
 d) 4 693
 e) 5 000
__ __ __ __
9 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 = 4 536 códigos de inscrição
 9. (UFAM) As cidades A, X, Y, Z e B estão interligadas 
por rodovias indicadas conforme a figura a seguir. 
De quantos modos uma pessoa pode sair da cida-
de A e chegar à cidade B, passando apenas uma 
vez por cada cidade em cada caminho escolhido?
 a) 90
 b) 92
 c) 94
X d) 95
 e) 102
1ª. possibilidade: AXZB: 3 ∙ 3 ∙ 5 = 45 caminhos
2ª. possibilidade: AYZB: 3 ∙ 3 ∙ 5 = 45 caminhos
3ª. possibilidade: AZB: 1 ∙ 5 = 5 caminhos
Total: 45 + 45 + 5 = 95 caminhos
 10. (UNIR – RO) João precisa agendar suas aulas de in-
glês e de musculação a serem realizadas, cada uma, 
duas vezes por semana. As aulas de inglês são ofer-
tadas às 15h, às 16h e às 17h, de segunda a sexta-
-feira, e as de musculação são ofertadas às 19h e às 
20h, também de segunda a sexta-feira. Admita que 
João deva fazer, obrigatoriamente, as duas ativida-
des no mesmo dia, em dias não consecutivos e que 
um dos dias da semana seja a segunda-feira. Nessas 
condições, é correto afirmar que a quantidade má-
xima de horários que João pode optar é: 
 a) 72
 b) 36
 c) 216
X d) 108
 e) 144
Considerando que na segunda-feira João faça aulas de 
inglês e musculação, temos:
3 ∙ 2 = 6 possibilidades de horários.
Dessa forma, as possibilidades de ele realizar as duas 
atividades no mesmo dia e em dias não consecutivos 
são fazê-las: segunda-feira e quarta-feira, segunda-feira 
e quinta-feira ou segunda-feira e sexta-feira.
O número de possibilidades é:
3 ∙ (3 ∙ 2) ∙ (3 ∙ 2) = 108 possibilidades
8 Conquista Modular
 1. Obtenha os resultados usando a simplificação:
 a) 6
4
!
!
 =
⋅ ⋅
=
6 5 4
4
30
!
!
 b) 10
9
!
!
 =
⋅
=
10 9
9
10
!
!
 c) 12 8
10 9
! !
! !
 =
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅
=
12 11 10 8
10 9 8
12 11
9
44
3
! !
! !
 d) 20 19
18
! !
!
 =
⋅ ⋅ − ⋅
=
⋅ − ⋅
=
= − =
20 19 18 19 18
18
20 19 19 18
18
380 19 361
! !
!
( ) !
!
 e) ( )!
!
n
n
2 =
+ ⋅ + ⋅
= + ⋅ +
( ) ( ) !
!
( ) ( )
n n n
n
n n
2 1
2 1
 f) 
( )!( )!
n
n
+
−
1
1
 =
+ ⋅ ⋅ −
−
= ⋅ +
( ) ( )!
( )!
( )
n n n
n
n n
1 1
1
1
 2. Simplifique as expressões a seguir.
 a) 101 102
100
! !
!
 
=
⋅ + ⋅ ⋅
=
=
+ ⋅ ⋅
=
101 100 102 101 100
100
101 102 101 100
100
10 403
! !
!
( ) !
!
 b) 
15 14
14 13
! !
! !
 
=
⋅ +
⋅ +
=
+ ⋅
+ ⋅
=
=
⋅ ⋅
⋅
15 14 14
14 13 13
15 1 14
14 1 13
16 14 13
15 13
! !
! !
( ) !
( ) !
!
!!
=
224
15
 c) ( )! ( )!
( )! ( )!
n n
n n
+ ⋅ −
+ ⋅ −
2 2
1 1
 
= + × + × -
+ × - × -
= +
-
( ) ( )! ( )!
( )! ( ) ( )!
( )
( )
n n n
n n n
n
n
2 1 2
1 1 2
2
1
 3. Nas equações a seguir, determine a(s) raiz 
(raízes).
 a) (n – 6)! = 720 (n – 6)! = 6! n = 12
 b) (x!)2 = 36 x! = –6 (não convém) ou x! = 6, logo x = 3 
 c) (5x – 7)! = 1 (5x – 7)! = 1! logo 5x – 7 = 1 x = 8
5
 ou 
(5x – 7)! = 0! logo 5x – 7 = 0 x = 
7
5
 4. Determine o valor de n na igualdade:
 
1 2 3
1
1
240
+ + + +
+
=
...
( )!
n
n
O numerador do 1º. membro é a soma dos n ter-
mos de uma PA, logo:
( )
( )!
( )
( )!
1
2
1
1
240
240 1
2
1
+ ⋅
+
=
+ ⋅
= +
n n
n
n n
n
120 ∙ (n + 1) ∙ n = (n + 1) ∙ n ∙ (n – 1)! 
(n – 1)! = 120 ⇒ (n – 1)! = 5! ⇒ n – 1 = 5 ⇒ n = 6
 5. (UFC – CE) Dentre os cinco números inteiros lis-
tados a seguir, aquele que representa a melhor 
aproximação para a expressão: 
2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! + 5 . 5! + 6 . 6! é: 
 a) 5 030
X b) 5 042
 c) 5 050
 d) 5 058
 e) 5 070 
2 ∙ 2 + 3 ∙ 6 + 4 ∙ 24 + 5 ∙ 120 + 6 ∙ 720 =
= 4 + 18 + 96 + 600 + 4 320 = 5 038
 6. Determine o(s) valor(es) de n na equação
3 1
2
( )!
( )!
n
n
n
+
+
=
3 1
2 1
3
2
( )!
( ) ( )! ( )
n
n n
n
n
n
+
+ ⋅ +
= ⇒
+
= ⇒
⇒ n ∙ (n + 2) = 3 ⇒ n2 + 2n – 3 = 0
As raízes da equação são n = 1 e n = –3 (não convém).
 7. (UNIFRA – RS) Para que valores de n a equação 
(n + 2)! + (n + 1)! = 15n! é satisfeita?
X a) 2
 b) 2 e –6
 c) –2 e 6
 d) 6
 e) –2 e –6
(n + 2)! + (n + 1)! = 15n!
(n + 2)(n + 1)n! + (n + 1)n! = 15n!
[(n + 2)(n + 1)n! + (n + 1)]n! = 15n!
Simplificando por n!, tem-se
n2 + n + 2n + 2 + n + 1 = 15
n2 + 4n – 12 = 0
As raízes da equação são: n = 2 e n = – 6 (não convém).
 8. (UFRJ) Seja n = 20!. Determine o maior fator primo 
de n.
n = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12 ∙ 13 ∙ 
 ∙ 14 ∙ 15 ∙ 16 ∙ 17 ∙ 18 ∙ 19 ∙ 20
Decompondo cada fator em números primos, temos:
n = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 22 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 23 ∙ 32 ∙ (2 ∙ 5) ∙ 11 ∙ (22 ∙ 3) ∙ 
∙ 13 ∙ (2 ∙ 7) ∙ (3 ∙ 5) ∙ 24 ∙ 17 ∙ (2 ∙ 32) ∙ 19 ∙ (22 ∙ 5)
Logo, o maior fator primo é 19.
 
Para fazer
9Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 9. (FURG – RS) Os telefones de Rio Grande têm 
seus números formados por 8 algarismos, sen-
do o primeiro igual a 3 e o segundo igual a 2. 
Dos 6 números restantes, os dois primeiros cons-
tituem o prefixo da central telefônica correspon-
dente ao bairro. A quantidade máxima de nú-
meros telefônicos que podem ser instalados nos 
bairros servidos pelas centrais de prefixos 31, 32, 
33, 35 e 36 é:
X a) 5 ∙ 104
 b) 10!
 c) 10
5
!
!
 d) 10
5
4
 e) 5 ∙ 10!
3231 __ __ __ __
 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10
3232 __ __ __ __
 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10
3233 __ __ __ __
 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10
3235 __ __ __ __
 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10
3236 __ __ __ __
 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10
Total: 5 ∙ 104
 10. (UESC – BA) O valor de x ∈ N, tal que 
 
x x
x x x
+( ) ⋅ +( )
+( ) ⋅ +( ) ⋅
=
2 2 2
2 1 1
40
! !
! !
, é:
(01) 6
(02) 3
(04) 3
(04) 5
(05) 20
 ( ) . ( ) . ! . ( ) . ( )!
( )! . ( ) . !
x x x x x
x x x
+ + + +
+ +
=
2 1 2 2 2 1
2 1 1
40
(x + 2) ∙ (2x + 2) = 40
2x² + 2x + 4x + 4 = 40
2x2 + 6x – 36 = 0
x2 + 3x – 18 = 0
x = – 6 (não convém) e x = 3
 X
Permutação simples
O princípio fundamental da contagem é a ferramenta básica para resolução de proble-
mas de Análise Combinatória. Porém, essa ferramenta pode se tornar trabalhosa se aplicada 
diretamente na resolução de alguns problemas. Dessa forma, são trabalhadas relações que 
facilitam o desenvolvimento e as respostas de várias situações particulares de acordo com a 
formação dos agrupamentos.
Situação 1: Geralmente, quando vamos tirar uma 
selfie, ficamos em dúvida sobre a disposição das pessoas 
que sairão na foto. Quem ficará no meio e quem tirará 
a foto são dilemas frequentes. Na imagem ao lado, três 
amigas estão se preparando para uma foto. Quantas fo-
tos distintas elas poderão tirar ao variar suas posições?
Vamos imaginar o caso em que a mulher de branco 
irá registrar a foto. Neste caso, ela fica fixa e as outras 
duas podem trocar suas posições. Como são três mulhe-
res, essa situação acontece três vezes, ou seja, se uma 
fica fixa para registrar a foto, as outras duas podem variar 
suas posições e então podem ser obtidas 6 fotos distintas 
(3 mulheres ∙ 2 posições).
10 Conquista Modular
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/S
yd
a 
Pr
od
uc
tio
ns
Situação 2: Ao organizar objetos também nos deparamos com os diversos resultados 
que podem ser obtidos. Na imagem a seguir, estão representadas cinco miniaturas de carros, 
organizadas lado a lado.
Porém, existem outras maneiras possíveis de se organizar essas miniaturas. Observe:
O interesse é determinar de quantos modos distintos as miniaturas podem ser organiza-
das. Logo, o foco não é mostrar quais são essas maneiras e sim quantas são.
11Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/In
te
rio
r D
es
ig
n
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/In
te
rio
r D
es
ig
n
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/In
te
rio
r D
es
ig
n
Os anagramas podem formar palavras ou apenas sequências de letras sem qualquer 
sentido.
A palavra AMOR tem os seguintes anagramas:
AMOR MAOR OAMR ROAM 
AMRO MARO OARM ROMA 
AOMR MOAR OMRA RMAO
AORM MORA OMAR RMOA
AROM MREO ORAM RAMO
ARMO MROE ORMA RAOM
Há um total de 24 anagramas (4!). Veja que há palavras com significado:
AMOR, ARMO, MORA, OMAR, ORAM, RAMO, ROAM, ROMA.
Permutações simples de n elementos são agrupamentos formados de um conjun-
to com n elementos, que se diferenciam pela ordem de seus elementos. O número de 
permutações de n elementos, representada por Pn, é determinada por:
Pn = n!
 1. Em relação aos anagramas da palavra FUTEBOL:
 a) Quantos são ao todo?
P7 = 7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5 040
 b) Quantos começam por F e terminam por L?
F __ __ __ __ __ L → P5 = 5! = 120 anagramas.
 c) Quantas terminam por vogal?
__ __ __ __ __ __ U → P6 = 6! = 720 anagramas.
 __ __ __ __ __ __ E → P6 = 6! = 720 anagramas.
 __ __ __ __ __ __ O → P6 = 6! = 720 anagramas.
Total: 2 160 anagramas.
 2. Claudino criou uma senha de acesso a um site 
da internet usando os algarismos do seu ano 
de nascimento, ou seja, 1, 9, 7 e 3. Após algum 
tempo, ele esqueceu a senha, mas sabia que não 
era o ano do seu nascimento. Qual o número 
máximo de tentativas diferentes de senhas ele 
teria de digitar para conseguir acessar o site?
P4 – 1 = 4! – 1 = 24 – 1 = 23 tentativas no máximo
 3. De quantos modos diferentes podemos arrumar 
7 livros de disciplinas diferentes em uma estan-
te, uma vez que os livros de Matemática e Física 
devem permanecer juntos?
Para fazer
Ao trocar a posição de uma miniatura, obtemos uma organização diferente. Por isso, o total 
de maneiras distintas de organizar as miniaturas apenas mudando a ordem de cada uma e igual a: 
5 4 3 2 1
 = 120 maneiras diferentes.
Esse produto pode ser escrito utilizando o conceito de fatorial, ou seja, 5!
As várias possibilidades de posições das miniaturas são denominadas de permutações. 
Segundo o Dicionário Aurélio, permutar significa: dar mutuamente; trocar. 
Assim, cada elemento que muda de lugar caracteriza uma das permutações que são 
possíveis de se obter com 5 elementos.
 2
Anagramas:
São permutações 
formadas com as letras 
de uma palavra.
12 Conquista Modular
Considerando o livro de Matemática e Física como um único 
elemento e permutando 6 elementos,
__ __ __ __ FM __ → P6 = 6! = 720 possibilidades para FM 
nessa ordem. Mas pode ser FM ou MF, logo são 2 ∙ 720 = 1 440 
possibilidades.4. Qual é o número de anagramas da palavra CINE-
MA que começam por C e terminam por A?
C __ __ __ __ A → P4 = 4! = 24
 5. Na festa de fim de ano de uma escola, os 5 alu-
nos que obtiveram as melhores médias no ano 
pediram a 2 professores que se posicionassem 
para uma foto, lado a lado. O fotógrafo pediu 
aos alunos que ficassem enfileirados, lado a lado, 
e os professores, um em cada extremidade. Dessa 
forma, determine a quantidade de maneiras que 
essas pessoas podem se posicionar para a foto. 
2 ∙ P5 = 2 ∙ 5! = 240
 6. Se todos os anagramas da palavra AMOR forem 
colocados em ordem alfabética, o anagrama 
ROMA estará em qual posição?
Anagramas que começam pela letra A ⇒ P3 = 3! = 6
Anagramas que começam pela letra M ⇒ P3 = 3! = 6
Anagramas que começam pela letra O ⇒ P3 = 3! = 6
Anagramas que começam pelas letras RA ⇒ P2 = 2! = 2
Anagramas que começam pelas letras RM ⇒ P2 = 2! = 2
Anagramas que começam pelas letras ROA ⇒ P1 = 1! = 1
Anagramas que começam pelas letras ROM ⇒ 1
Logo, ROMA é o último anagrama, ou seja, na posição 24.
 7. (ENEM) Imagine uma eleição envolvendo 3 can-
didatos A, B, C e 33 eleitores (votantes). Cada 
eleitor vota fazendo uma ordenação dos três 
candidatos. Os resultados são os seguintes:
Ordenação Nº. de votantes
ABC 10
ACB 04
BAC 02
BCA 07
CAB 03
CBA 07
Total de votantes 33
A primeira linha do quadro descreve que 10 elei-
tores escolheram A em 1º. lugar, B em 2º. lugar 
e C em 3º. lugar e assim por diante. Considere o 
sistema de eleição no qual cada candidato ga-
nha 3 pontos quando é escolhido em 1º. lugar, 
2 pontos quando é escolhido em 2º. lugar e 1 
ponto se é escolhido em 3º. lugar. O candidato 
que acumular mais pontos é eleito. Nesse caso:
 a) A é eleito com 70 pontos.
 b) A é eleito com 68 pontos.
 c) B é eleito com 70 pontos.
X d) B é eleito com 68 pontos.
 e) C é eleito com 68 pontos.
Pontuação de A: 
10 ∙ 3 + 4 ∙ 3 + 2 ∙ 2 + 7 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 7 ∙ 1 = 66 pontos
Pontuação de B: 
2 ∙ 3 + 7 ∙ 3 + 10 ∙ 2 + 7 ∙ 2 + 4 ∙ 1 + 3 ∙ 1 = 68 pontos
Pontuação de C: 
3 ∙ 3 + 7 ∙ 3 + 4 ∙ 2 + 7 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + 10 ∙ 1 = 64 pontos
 8. (UFSCAR – SP) Todas as permutações com as le-
tras da palavra SORTE foram ordenadas alfabeti-
camente, como em um dicionário. A última letra 
da 86ª. palavra desta lista é:
 a) S
X b) O
 c) R
 d) T
 e) E
Todos os anagramas iniciados por E, O ou R estão posiciona-
dos antes que os anagramas iniciados por S.
E __ __ __ __ → P4 = 4! = 24
O __ __ __ __ → P4 = 4! = 24
R __ __ __ __ → P4 = 4! = 24
SE __ __ __ → P3 = 3! = 6
SO __ __ __ → P3 = 3! = 6
Total de anagramas: 84 
SRE O T 
SRE T O → 86ª. palavra
 9. (UESC – BA) O número de modos para se formar 
uma fila com 8 casais de namorados, de forma 
que cada namorada fique junto do seu namo-
rado e que pessoas do mesmo sexo não fiquem 
juntas, é:
 (01) 28
 (02) 28 ∙ 8!
 (03) 8!
 (04) 16!
 (05) 2 ∙ 8!
h1m1, h2m2, h3m3, h4m4, h5m5, h6m6, h7m7, h8m8 → P8 = 8!
m1h1, m2h2, m3h3, m4h4, m5h5, m6h6, m7h7, m8h8 → P8 = 8!
Logo, o total de maneiras é 2 ∙ 8!
 X
13Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 10. (UNEAL) Considere os algarismos 2, 3, 4, 6 e 9. 
Quantos múltiplos de 3 com quatro algarismos 
distintos podemos obter usando apenas os alga-
rismos acima?
 a) 64
 b) 62
X c) 72
 d) 74
 e) 66
Para que um número seja múltiplo de 3, a soma dos alga-
rismos que compõem esse número deve ser um múltiplo 
de 3. Logo, as possibilidades de 4 algarismos, cuja soma 
seja um número múltiplo de 3, são:
2, 3, 4 e 6 → P4 = 4! = 24
2, 3, 4 e 9 → P4 = 4! = 24
2, 4, 6 e 9 → P4 = 4! = 24
Total: 3 ∙ 24 = 72 números
Permutações com repetições
Considere todos os anagramas da palavra CASA. A quantidade de anagramas de acordo 
com o conceito de permutação simples é:
P4 = 4! = 24 permutações
Observe os anagramas representados a seguir:
Começando por C Começando por A (vermelho)
CASA ACSA
CAAS ACAS
CSAA AACS
CSAA AASC
CASA ASCA
CAAS ASAC
Começando por S Começando por A (verde)
SACA ACSA
SAAC ACAS
SAAC AACS
SACA AASC
SCAA ASCA
SCAA ASAC
Porém, as letras A vermelha (A) e A verde (A) no anagrama não são distintas. Assim, são 
formados anagramas repetidos (dois de cada). Logo, a palavra CASA possui 12 anagramas.
O número de permutações de n elementos em que existem α elementos iguais a 
a, β elementos iguais a b, γ elementos iguais a c, ... , é determinado por:
P
n
n
α β γ
α β γ
, , , ... !
! ! ! . ...
=
⋅ ⋅ 
14 Conquista Modular
 1. Determine o número de anagramas de cada 
palavra.
 a) SUCESSO P7
3 7
3
840
!
!
 b) VERDE P5
2 5
2
60
!
!
 c) MACACA P6
3 2 6
3 2
60, !
! !
=
⋅
=
 d) POSITIVO P8
2 2 8
2 2
10 080, !
! !
=
⋅
=
 2. De acordo com os dados dos últimos campeo-
natos brasileiros da série A, um time que atingiu 
46 pontos ou mais na classificação ficou fora da 
chamada “zona de rebaixamento” e manteve-se 
na elite do futebol nacional. Considere um time 
que está com 36 pontos e ainda tem 4 jogos 
para disputar com adversários antes do término 
do campeonato. A cada vitória, são somados 3 
pontos para o vencedor, nenhum ponto para o 
perdedor e, a cada empate, 1 ponto para cada 
time. Responda às questões propostas:
 a) Esse time tem condições de se manter na sé-
rie A do campeonato e não ser rebaixado? 
Justifique sua resposta.
Sim, pois ele pode vencer os 4 jogos e totalizar 12 pontos, 
ou pode vencer 3 e empatar 1 e totalizar 10 pontos.
 b) Escreva as possibilidades que ele pode ter 
para não ser rebaixado.
VVVV, VVVE, VVEV, VEVV, EVVV
 3. Quantos números de 5 algarismos podemos for-
mar permutando os dígitos 2, 2, 5, 5 e 7? Quan-
tos desses números são pares?
P5
2 2 5
2 2
30, !
! . !
.
Números pares: __ __ __ __ 2 
P4
2 4
2
12
!
!
 4. Uma moeda é lançada 5 vezes. Quantas sequên-
cias existem com:
 a) 5 caras. P5
5 5
5
1
!
!
 b) 4 caras e 1 coroa. P5
4 5
4
5
!
!
 c) 3 caras e 2 coroas. P5
3 2 5
3 2
10, !
! !
=
⋅
=
 d) 2 caras e 3 coroas. P5
2 3 5
2 3
10, !
! !
=
⋅
=
 e) 1 cara e 4 coroas. P5
4 5
4
5
!
!
 f) 5 coroas. P5
5 5
5
1
!
!
 5. A escola onde Rafael estuda e sua casa estão re-
presentadas na ilustração a seguir pelos pontos A 
e B, respectivamente. As linhas são as ruas, e os 
quadrados são as quadras. Rafael faz diariamente, 
de segunda a sexta-feira, este trajeto após a aula.
Para não perder tempo, Rafael percorre as ruas 
sempre para a direita e para cima. Quantos cami-
nhos diferentes Rafael pode fazer de sua escola 
até sua casa?
P7
3 4 7
3 4
35, !
! !
=
⋅
=
 6. De uma urna são extraídas 3 bolas verdes e 
2 bolas vermelhas. Elas são extraídas uma a uma 
e sem reposição. Quantas sequências diferentes 
existem para a retirada dessas bolas?
P5
3 2 5
3 2
10, !
! !
=
⋅
=
 7. (FGV – SP) O número de permutações da palavra 
ECONOMIA que não começam nem terminam 
com a letra O é:
 a) 9 400
 b) 9 600
 c) 9 800
 d) 10 200
X e) 10 800
__ __ __ __ __ __ __ __
 6 ∙ P6
2 ∙ 5 = 30 ∙ 6
2
!
!
 = 10 800
 
Para fazer
15Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 8. (UEPG – PR) Em relação aos anagramas da pala-
vra “cidade”, assinale o que for correto:
 (01) Em 72 anagramas as vogais aparecem juntas.
 (02) Podem ser formados 360 anagramas.
 (04) Em 72 anagramas as consoantes aparecem 
juntas.
 (08) 60 anagramas começam com “c”.
 (16) 180 é o número de anagramas que come-
çam por vogal.
(01) Verdadeiro, pois P P4
2
3 12 6 72⋅ = ⋅ =
(02) Verdadeiro, pois P6
2 360
(04) Verdadeiro, pois P P3
2
4 72⋅ =
(08) Verdadeiro, pois P5
2 60
(16) Verdadeiro, pois 3 ∙ 3 P5
2 3 60 180= ⋅ =
 9. (UNESP) A figura mostra a planta de um bairro 
de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do 
ponto A ao ponto B por um dos percursos mais 
curtos. Assim, ela caminhará sempre nos senti-
dos “de baixo para cima” ou “da esquerda para 
a direita”. O número de percursos diferentes que 
essa pessoa poderá fazer de A até B é:
 X
 X
 X
 X
 X
 a) 95 040
 b) 40 635
 c) 924
X d) 792
 e) 35
Como são 7 “caminhos” paraa direita e 5 “caminhos” 
para cima, temos:
P12
7 5 12
7 5
12 11 10 9 8 7
7 5
792, !
! !
!
! !
=
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
 10. Com uma letra M, uma letra O e um certo núme-
ro de letras A, podemos formar 20 anagramas. 
Quantas letras A são usadas?
A letra A repete n vezes, logo: 
P
n
n
n n n
nn
n
+ =
+
= ⇒
+ ⋅ + ⋅
=2
2
20
2 1
20
( )!
!
( ) ( ) !
!
n2 + 3n – 18 = 0 ⇒ n = –6 (não convém) e n = 3 
grandes prêmios e as 500 milhas de Indianápolis, nos 
Estados Unidos. 
Hoje, a Fórmula 1 é disputada em 20 grandes prêmios 
em vários lugares do mundo, com exceção da África. O Brasil 
tem uma participação muito ativa e importante e, em 2011, 
estava representado pelos pilotos Felipe Massa, Rubens 
Barrichello e Bruno Senna, sobrinho do piloto brasileiro 
Ayrton Senna, morto em um acidente em 1994 no Grande 
Prêmio de San Marino.
No começo de cada temporada, apostas e previsões 
são feitas para se conhecer o futuro campeão. No ano de 
2011, a Fórmula 1 contou com 24 pilotos e 12 equipes. As 
possibilidades de resultado para o 1º., 2º. e 3º. lugares dessa 
temporada são:
1º. lugar = 24 possibilidades
2º. lugar = 23 possibilidades
3º. lugar = 22 possibilidades
__ __ __
24 ∙ 23 ∙ 22 = 12 144 possibilidades de resultados diferentes
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/T
at
ia
na
 P
op
ov
a
Imagem de um Grande Prêmio da Fórmula 1, um dos esportes mais 
populares atualmente
Arranjo simples
Atualmente, a mais popular modalidade de automobilismo é a Fórmula 1, que teve ori-
gem na Europa antes da Segunda Guerra Mundial. Ela foi suspensa durante a guerra, que 
durou de 1939 a 1945, e retornou em 1950. Nessa época, eram disputados apenas seis 
16 Conquista Modular
O número de possibilidades de resultados diferentes são agrupamentos que diferem 
na natureza e posição de seus elementos, ou seja, para cada uma das possibilidades, se for 
alterada a ordem dos elementos, tem-se outro agrupamento diferente.
No caso abordado, foram considerados 24 pilotos em 3 posições. Cada um dos resulta-
dos é denominado de arranjo, e o total de resultados é o total de arranjos de 24 elementos 
escolhidos 3 a 3. Esse total é representado por A24
3 ou A24,3.
Observe como é possível determinar os arranjos por meio de fatorial:
A24
3 = 24 ∙ 23 ∙ 22
Multiplicando o produto por 
21
21
!
!
A24
3 = 24 ∙ 23 ∙ 22 ∙ 
21
21
!
!
 
A24
3 24 23 22 21
21
=
⋅ ⋅ ⋅ !
!
Escrevendo o numerador como 24! e o denominador como (24 – 3)!, tem-se:
A24
3 24
24 3
=
−
!
( )! 
Dessa forma, o número de arranjos pode ser escrito em função do número de elementos.
Ao formar um arranjo, os elementos estão ordenados de maneira sequencial. Em um 
arranjo, quando algum elemento é mudado por outro ou a posição de algum elemento é alte-
rada, obtém-se uma nova sequência diferente da anterior. Dessa forma, os arranjos simples 
estão relacionados à formação de sequências, na qual a mudança na ordem ou na natureza 
dos elementos caracteriza sequências diferentes.
 1. Determine os arranjos a seguir:
 a) A10
3
 
10
10 3
10
7
10 9 8 7
7
720
!
( )!
!
!
!
!−
= =
⋅ ⋅ ⋅
=
 b) A6
2
 
6
6 2
6
4
6 5 4
4
30
!
( )!
!
!
!
!−
= =
⋅ ⋅
=
 c) A5
3
 
5
5 3
5
2
5 4 3 2
2
60
!
( )!
!
!
!
!−
= =
⋅ ⋅ ⋅
=
 d) A50
49
 
50
50 49
50
1
50
!
( )!
!
!
!
−
= =
 e) An
n
 
n
n n
n
n Pn
!
( )!
!
!
!
−
= = =
0
 2. Considere todos os números com 2 algarismos 
distintos formados pelos algarismos 1, 2, 3 e 5.
 a) Escreva todas as possibilidades.
12, 13, 15, 21, 23, 25, 31, 32, 35, 51, 52, 53
 b) Determine o número de possibilidades utili-
zando o conceito de arranjos.
A4
2 4
4 2
4
2
4 3 2
2
12=
−
= =
⋅ ⋅
=
!
( )!
!
!
!
!
Para fazer 4
Arranjos simples de n elementos escolhidos p a p são agrupamentos formados 
com p elementos de um conjunto com n elementos. Esses agrupamentos se diferen-
ciam pela ordem e natureza de seus elementos. 
O número de arranjos simples de n elementos escolhidos p a p, representado por 
An
p ou An, p, é determinado por:
A
n
n pn
p =
−
!
( )!
com n, p ∈ N* e n ≥ p 3
17Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 3. Em uma competição de natação, participaram 
um representante de cada um dos seguintes es-
tados: Paraná, Santa Catarina, São Paulo, Rio de 
Janeiro, Bahia, Ceará, Mato Grosso e Amazonas. 
De quantas maneiras poderiam ser distribuídas 
as medalhas de ouro, prata e bronze?
A8
3 = 336
 4. Determine a quantidade de números inteiros 
formados por três algarismos distintos, escolhi-
dos dentre 1, 3, 5, 7 e 9, e que são maiores que 
200 e menores que 800.
Números maiores que 200 e menores que 800 começam 
por 3, 5 e 7, logo:
3 __ __ ou 5 __ __ ou 7 __ __
Logo, 3 ∙ A4
2 4
4 2
4
2
4 3 2
2
3 12 36=
−
= =
⋅ ⋅
= ⋅ =
!
( )!
!
!
!
!
 
 5. Qual a quantidade de números pares com qua-
tro algarismos distintos que podem ser formados 
com os elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}?
Os números pares que terminam com 2 ou 4 não podem 
começar com 0.
__ __ __ 0
5
5 3
5
2
5 4 3 2
2
605
3→ =
−
= =
⋅ ⋅ ⋅
=A
!
( )!
!
!
!
!
 
__ __ __ 2 4
4
4 2
4
2
4 3 2
2
124
2→ ⋅ =
−
= =
⋅ ⋅
=A
!
( )!
!
!
!
!
 
__ __ __ 4 4
4
4 2
4
2
4 3 2
2
124
2→ ⋅ =
−
= =
⋅ ⋅
=A
!
( )!
!
!
!
!
 
Total = 84 números
 6. No Brasil, os números de telefone são compos-
tos por oito algarismos, e os quatro primeiros 
formam o prefixo. Determine:
 a) o total de números de telefone com prefixo 
0800 que têm os demais algarismos distintos 
e distintos do prefixo. 
A8
4 8
8 4
8
4
8 7 6 5 4
4
1680=
−
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
!
( )!
!
!
!
!
 b) o total de números de telefone com prefixo 
0800 nos quais a segunda parte, indepen-
dentemente do prefixo, tem todos os algaris-
mos distintos.
A10
4 10
10 4
10
6
10 9 8 7 6
6
5 040=
−
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
!
( )!
!
!
!
!
 c) o total de números de telefone iniciados por 
3 que têm todos os algarismos distintos.
A9
7 9
9 7
9
2
9 8 7 6 5 4 3 2
2
362 880=
−
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
!
( )!
!
!
!
!
 d) o total de números de telefone iniciados com 
9 ou 8 nos quais o prefixo, independente-
mente da segunda parte, tem os algarismos 
distintos.
2
9
9 3
10
10 4
2 504 5 040 5 080 3209
3
10
4⋅ ⋅ =
−
⋅
−
= ⋅ ⋅ =A A
!
( )!
!
( )!
 e) o total de números de telefone com prefixo 
3039 nos quais a segunda parte é constituída 
de algarismos diferentes dos que figuram no 
prefixo.
A7
4 7
7 4
7
3
840=
−
= =
!
( )!
!
!
 7. Em 1990, as placas no Brasil passaram a ter 3 
letras seguidas de 4 algarismos. A placa com o 
número 0000 não é usada. Determine:
 a) o número máximo de placas que podem ser 
usadas no Brasil.
26 ∙ 26 ∙ 26 ∙ (10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 – 1) = 263 ∙ 9999 = 
175 742 424 placas
 b) o número máximo de placas com letras e algaris-
mos distintos que podem ser usadas no Brasil.
A A26
3
10
4 26
26 3
10
10 4
15 600 5 040 78 624 000⋅ =
−
⋅
−
= ⋅ =
!
( )!
!
( )!
 8. O sistema de numeração utiliza os dígitos de 0 a 
9 para formar os números naturais. Quantos são 
os números naturais de cinco algarismos forma-
dos por cinco dígitos diferentes?
9 9
9
9 4
9
9
5
9
9 8 7 6 5
5
27 2169
4⋅ = ⋅
−
= ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=A
!
( )!
!
!
!
!
 9. (IFPE – PE) Um órgão público federal tem oito 
servidores em cargos de chefia. Desse grupo, 
três serão escolhidos para formar uma comis-
são de licitação. Sabendo que essa comissão é 
formada por um presidente, um vice-presidente 
e um secretário, de quantas maneiras distintas 
poderá ser feita a escolha dos membros dessa 
comissão?
 a) 330
 b) 332
 c) 334
 d) 338
X e) 336
_P_ _VP_ _S_ A8
3 8
8 3
8
5
8 7 6 5
5
=
−
= =
⋅ ⋅ ⋅
=
!
( )!
!
!
!
!
336 comissões.
 10. (UFJF – MG) Uma empresa fornece a seus fun-
cionários um cartão de acesso ao seu escritório e 
uma senha, que é um número com 4 algarismos, 
18 Conquista Modular
escolhidos dentre os elementos do conjunto 
{1, 2, 3, 4}. Não são admitidas senhas em que 
um mesmo algarismo apareça 3 vezes ou mais. 
Qual é o número máximo de senhas desse tipo 
que poderão ser oferecidas pela empresa?
X a) 204b) 208
 c) 240
 d) 252
 e) 256
Total de possibilidades de números com 4 algarismos do 
conjunto {1, 2, 3, 4}:
__ __ __ __ 
 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 256
Possibilidades que têm 4 algarismos iguais: 4
Possibilidades que têm 3 algarismos iguais: 
4 ∙ A4
2 4 12 48= ⋅ =
Assim, o número de senhas que podem ser formadas é:
256 – 48 – 4 = 204
 11. (PUCRS) Uma melodia é uma sequência de notas 
musicais. Para compor um trecho de três notas 
musicais sem repeti-las, um músico pode utilizar 
as sete notas que existem na escala musical. O 
número de melodias diferentes possíveis de se-
rem escritas é:
 a) 3
 b) 21
 c) 35
X d) 210
 e) 5040
A7
3 = 210 melodias 
 12. (UFAM) Um estádio de futebol é composto por 
n cadeiras numeradas. De quantas maneiras di-
ferentes os sete primeiros torcedores que che-
garem para assistir a um jogo de futebol nesse 
estádio podem escolher seus lugares?
X a) A
n,7
 b) n
 c) A
7,7
 d) 
7
1
n
n
 e) n (n + 7)
Lugares
__ __ __ __ __ __ ...
 n cadeiras
São n cadeiras escolhidas 7 a 7. A ordem escolhida pelos 
torcedores gera disposições diferentes, então o número 
de maneiras é A An n
7
7, .
Combinações simples
Considerando as frutas maçã, banana, laranja, morango e abacaxi e utilizando o conceito 
de arranjos simples, a quantidade de sucos com 3 frutas distintas que podem ser feitos é:
A5
3 5
5 3
5
2
5 4 3 2
2
60=
−
= =
⋅ ⋅ ⋅
=
!
( )!
!
!
!
!
Porém, quando agrupamos três frutas como maçã, banana e laranja, dos 60 arranjos, 
temos 3!, ou seja, 6 sequências com essas 3 frutas. Mas ao fazer um suco, não importa a or-
dem das frutas, pois o suco é o mesmo. Assim, essas frutas formam um conjunto único. Dessa 
forma, para cada 6 arranjos com os mesmos elementos, tem-se apenas um conjunto, logo:
 6 1
60 x
O número de conjuntos é 10.
Cada um dos conjuntos formados é denominado de combinações simples. Nesses 
agrupamentos, não importa a ordem dos elementos, ou seja, eles diferem apenas na natureza 
dos elementos.
O número de conjuntos de frutas formados o número de combinações simples é 
A5
3
3!
 = 10.
Em uma combinação, quando a posição de algum elemento é mudada, não se obtém 
uma nova combinação, pois os elementos fazem parte de um subconjunto. Dessa forma, as 
combinações simples estão relacionadas à formação de subconjuntos, na qual a mudança na 
ordem dos elementos não caracteriza uma nova combinação. Apenas a mudança na natureza 
dos elementos caracteriza subconjuntos diferentes.
19Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 1. Determine as combinações a seguir:
 a) C12
4
 
 b) C6
2
 
 c) C5
3
 
 d) C50
49
 
 e) Cn
n
 
 f) Cn
0
 
 2. O Campeonato Brasileiro de Futebol, ou “Brasi-
leirão” (Série A), é composto de 20 times que jo-
gam entre si em dois turnos. É um campeonato 
de pontos corridos em que o vencedor é o time 
que acumula mais pontos em todos os jogos. 
Em cada jogo, o time vencedor ganha três pon-
tos, e o perdedor não ganha pontos. No caso de 
empate, ambos recebem um ponto cada. Com 
base nessas informações, determine:
 a) o total de jogos que um time disputa no 
1.º turno. 
 b) o total de jogos do 1º. turno.
 c) o total de jogos nos dois turnos. 
 d) no começo do campeonato, o número de 
possibilidades para o 1º., 2º. e 3º. lugares.
 e) o número máximo de pontos que um time 
pode obter até o término do campeonato.
 f) o total de possibilidades de sequências que 
podemos formar do 1º. até o 20º. lugar. 
 3. (ACAFE – SC) Uma confeitaria produz 6 tipos 
diferentes de bombons de frutas. O número de 
embalagens diferentes que ela pode formar, sa-
bendo que em cada embalagem deve conter 4 
tipos diferentes de bombons, é: 
 a) 10
 b) 30
 c) 120
 d) 45
X e) 15
Para fazer
Combinações simples de n elementos escolhidos p a p são agrupamentos forma-
dos de um conjunto com n elementos. Essas combinações se diferenciam pela nature-
za de seus elementos.
O número de combinações simples de n elementos escolhidos p a p, representado 
por Cn
p ou Cn,p, é determinado por: 
C
A
p
ou C
n
p n pn
p n
p
n
p= =
⋅ −!
!
! ( )!
com n, p N* e n ≥ p
 5
Quando duas combinações com a mesma quantidade de elementos têm taxas (p), cuja 
soma é igual ao número de elementos, então elas são iguais. Nesse caso, as combinações 
têm taxas complementares. 
C Cn
p
n
n p= −
C
n
p n p
n
n p p
n
n p n n p
n
n p nn
p =
⋅ −
=
− ⋅
=
− ⋅ − +
=
− ⋅ −
!
! ( )!
!
( )! !
!
( )! ( )!
!
( )! [ (( )]!n p
Cn
n p
−
= −
Por isso que C C C C6
4
6
2
9
2
9
715 36= = = =, , entre outros.
20 Conquista Modular
21Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 4. (UNIFEI – MG) O icosaedro regular é um polie-
dro convexo formado por 20 faces triangulares. 
Quantas diagonais tem o icosaedro?
 5. Qual é o número de segmentos de reta que têm 
ambas as extremidades localizadas nos vértices 
de um cubo? Desses segmentos, quantos não 
são arestas?
 6. (UEMS) O matemático francês René Descartes 
(1596-1650) escreveu: “Quando quero pensar 
em um quiliógono, concebo na verdade que é 
um polígono composto de mil lados tão facil-
mente quanto concebo que um triângulo é um 
polígono de três lados; mas não posso imaginar 
os mil lados de um quiliógono como faço com 
os três lados de um triângulo, nem, por assim di-
zer, vê-los como presentes com os olhos de meu 
espírito”.
DESCARTES, René. Meditações. Trad. de J. Guinsburg e 
Bento Prado Júnior. São Paulo: Nova Cultural, 1988.
Com base nesse texto, quantos triângulos po-
dem ser obtidos tendo vértices em três quais-
quer dos vértices de um quiliógono?
 a) 164 165 000
 b) 165 166 000
X c) 166 167 000
 d) 997 002 000
 e) 997 003 000
 7. Na Copa do Mundo, as 32 equipes são dividi-
das em 8 chaves, e em cada chave é escolhido 
um país como cabeça de chave. Uma das razões 
para essa escolha é evitar que os times mais for-
tes se concentrem em uma única chave e, con-
sequentemente, em outra estejam apenas times 
mais fracos. Dessa forma, haverá um equilíbrio. 
Supondo que em uma Copa do Mundo os cabe-
ças de chave já estão definidos, as chaves A e B 
também estão definidas e o Brasil está na chave 
C, qual é o número de possibilidades diferentes 
que teremos para formar a chave do Brasil?
 8. Em um hospital, há 15 profissionais, sendo 10 
médicos e 5 enfermeiros. Determine o número 
de comissões que podem ser formadas:
 a) Com 4 profissionais desse hospital.
 b) Com 3 profissionais, entre eles pelo menos 
um enfermeiro.
 c) Com 5 profissionais, todos médicos.
 9 (UFRN) A figura ao lado mostra 
um quadro com sete lâmpadas 
fluorescentes, as quais podem 
estar acesas ou apagadas, inde-
pendentemente umas das outras. 
Cada uma das situações possíveis 
corresponde a um sinal de um có-
digo. Nesse caso, o número total 
de sinais possíveis é: 
 a) 21
 b) 42
X c) 128
 d) 256
 6
22 Conquista Modular
 10. (UERJ) Um cofre eletrônico possui um painel 
com dez teclas numéricas e pode ser aberto por 
meio da digitação, em qualquer ordem, de três 
teclas distintas dentre seis habilitadas previa-
mente pelo fabricante.
Considere n o número máximo de conjuntos dis-
tintos de três teclas que abrem o cofre. Na figura 
em destaque, as teclas azuis representam as ha-
bilitadas previamente.
Se o fabricante reduzisse para cinco o número 
de teclas habilitadas, haveria entre elas um total 
de m conjuntos distintos de três teclas distintas 
para abrir o cofre. Calcule o valor de n – m.
 11. (FFFCMPA – RS) Um técnico de laboratório dis-
põe de nove substâncias que podem reagir en-
tre si formando novas substâncias. Para obter 
essas novas substâncias, pretende colocar duas 
substâncias no primeiro frasco, três substâncias 
no segundo frasco e quatro substâncias no ter-
ceiro frasco. De quantas maneiras distintas ele 
poderá fazer essa distribuição?
 a) 5 040
X b) 1 260
 c) 2 520
 d) 252
 e) 72
 12. (ITA – SP) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se 
formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo 
menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formasdistintas tal comissão poderá ser formada?
 13. (UDESC – SC) A soma dos valores de m e n, que 
são soluções do sistema
A C
C A
m n
m n
, ,
, ,
2 2
1 2
2 14
11
− =
+ =
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
, é:
 a) 6
 b) 7
X c) 8
 d) 5
 e) 3
 1. João é um pai de família que todas as segundas-
-feiras cumpre com as seguintes atividades:
 Vai ao mercado fazer compras para a 
semana.
 Leva às 13 h sua filha Maria Eduarda à escola.
 Vai ao banco sacar dinheiro para despesas 
gerais. O horário do banco é das 10 h às 16 h, 
ininterruptamente, e ele vai sempre depois 
de deixar Maria Eduarda na escola.
 Busca às 17 h 30 sua filha Maria Eduarda na 
escola.
 Passa no escritório para pegar a 
correspondência.
De quantas maneiras diferentes João pode 
cumprir todas essas atividades?
 a) 8
 b) 10
 c) 12
X d) 20
 e) 120
 2. (ENEM) No Nordeste brasileiro, 
é comum encontrarmos peças 
de artesanato constituídas por 
garrafas preenchidas com areia 
de diferentes cores, formando 
desenhos. Um artesão deseja 
fazer peças com areia de cores 
cinza, azul, verde e amarela, 
mantendo o mesmo desenho, 
mas variando as cores da paisa-
gem (casa, palmeira e fundo), 
conforme a figura.
O fundo pode ser representado nas cores azul 
ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou ama-
rela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se 
o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa 
nem da palmeira, por uma questão de contras-
te, então o número de variações que podem ser 
obtidas para a paisagem é:
 a) 6
X b) 7
 c) 8
 d) 9
 e) 10
 3. (ENEM) O código de barras, contido na maior 
parte dos produtos industrializados, consiste 
num conjunto de várias barras que podem es-
tar preenchidas com cor escura ou não. Quan-
do um leitor óptico passa sobre essas barras, a 
leitura de uma barra clara é convertida no nú-
mero 0 e a de uma barra escura no número 1. 
Observe a seguir um exemplo simplificado de 
um código em um sistema de código com 20 
barras. 
Se o leitor óptico for passado da esquerda para 
a direita, irá ler: 01011010111010110001. Se 
o leitor óptico for passado da direita para a es-
querda, irá ler: 10001101011101011010. No 
sistema de código de barras, para se organizar 
o processo de leitura óptica de cada código, 
deve-se levar em consideração que alguns códi-
gos podem ter leitura da esquerda para a direita 
igual à da direita para a esquerda, como o códi-
go 00000000111100000000, no sistema descri-
to acima. Em um sistema de códigos que utilize 
apenas cinco barras, a quantidade de códigos 
com leitura da esquerda para a direita igual à 
da direita para a esquerda, desconsiderando-se 
todas as barras claras ou todas as escuras, é: 
 a) 14
 b) 12
 c) 8
X d) 6
 e) 4
 4. (UNESP – SP) Uma rede de supermercados forne-
ce a seus clientes um cartão de crédito cuja iden-
tificação é formada por 3 letras distintas (dentre 
26), seguidas de 4 algarismos distintos. Uma de-
terminada cidade receberá os cartões que têm L 
como terceira letra, o último algarismo é zero e 
o penúltimo é 1. A quantidade total de cartões 
distintos oferecidos por tal rede de supermerca-
dos para essa cidade é:
X a) 33 600
 b) 37 800
 c) 43 200
 d) 58 500
 e) 67 600
 5. (UESPI) O código de abertura de um cofre é for-
mado por seis dígitos (que podem se repetir, e o 
código pode começar com o dígito 0). Quantos 
são os códigos de abertura com pelo menos um 
dígito 7?
X a) 468 559
 b) 468 595
 c) 486 595
 d) 645 985
 e) 855 964
 6. Escreva o conjunto-solução da equação: 
(x + 1)! = x! + 6x
 7. (UEPB) Simplificando-se a expressão
[( )!] ( )! ( )!
( )! ( )!
n n n
n n
− − − ⋅ −
− ⋅ −
1 2 1
2 1
2
, obtém-se:
AtividadesAtividades
23Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 a) (n – 1)!
 b) n – 1
 c) n!
X d) n – 2
 e) (n – 2)!
 8. (PUCPR) Uma indústria alimentícia prepara um 
buffet com seus produtos para a apreciação de 
especialistas do setor. São dois tipos de suco, 
cinco tipos de prato salgado e quatro tipos de 
sobremesa. Cada especialista prova o buffet in-
dividualmente e, entre um especialista e outro, 
o o buffet é reorganizado em ordem diferente, 
seguindo as seguintes instruções:
 I. Sucos, salgados e sobremesas devem ser dis-
postos em linha.
 II. Cada tipo de produto deve ser agrupado de 
modo conjunto. Os sucos devem ficar juntos, 
assim como os pratos salgados e as sobreme-
sas, ou seja, não se devem intercalar produ-
tos de tipos diferentes.
 III. A sequência dos tipos de produto pode ser 
alterada, ou seja, pode ser iniciada com os 
sucos, ou com os pratos salgados, ou ainda 
pelas sobremesas.
De quantas maneiras diferentes o buffet pode 
ser composto?
 a) 5 760
 b) 11
 c) 120
 d) 165
X e) 34 560
 9. (CEFET – PI) Em uma sala de aula existem 10 me-
ninas e 10 meninos e quando “toca” o sinal de 
intervalo, por questões de organização, eles de-
vem sair da sala em fila indiana. O número de 
filas distintas que se pode formar de modo que 
nunca fiquem dois homens juntos ou duas mu-
lheres juntas é:
 a) 100!
 b) 200!
X c) 2 ∙ (10!)2
 d) 2(1002)!
 e) (100!)2
 10. (UCS – RS) O administrador de um fundo de ações 
tem como opção de compra ações de 8 empre-
sas. Ele deverá escolher ações de 6 empresas 
diferentes e, dentre elas, obrigatoriamente, das 
empresas: A, da qual comprará 25% das ações; e 
B, da qual também comprará 25% das ações. Das 
empresas restantes, deverá escolher uma para 
comprar 20%, uma para comprar 15%, uma para 
comprar 10% e uma para comprar 5% das ações 
pretendidas. O número de opções diferentes que 
o administrador terá para compor a lista de em-
presas das quais irá adquirir as ações é igual a:
X a) 360
 b) 15
 c) 70
 d) 28
 e) 30
 11. (UECE – CE) De quantas maneiras diferentes é 
possível escolher o primeiro, o segundo e o ter-
ceiro colocados, em uma competição artística da 
qual participam 15 pessoas, todos com a mesma 
chance de ganhar?
 a) 45
 b) 225
 c) 455
X d) 2 730
 12. (UFRJ) Um sítio da internet gera uma senha de 6 
caracteres para cada usuário, alternando letras e 
algarismos. A senha é gerada de acordo com as 
seguintes regras:
 Não há repetição de caracteres. 
 Começa-se sempre por uma letra. 
 O algarismo que segue uma vogal correspon-
de a um número primo. 
 O algarismo que segue uma consoante cor-
responde a um número par. 
Quantas senhas podem ser geradas de forma que 
as três letras sejam A, M e R, em qualquer ordem?
 13. (UFC – CE) De quantas maneiras podemos distri-
buir doze livros distintos entre quatro alunos de 
modo que cada um receba três livros? 
X a) 369 600 
 b) 30 600 
 c) 10 000 
 d) 220 
 e) 144 
 14. (UFAP) Considere Δ = {A, B, C, ..., Z} como sen-
do o conjunto formado por todas as letras do 
nosso alfabeto não esquecendo que agora K, Y e 
W também fazem parte e, portanto, devem ser 
consideradas. Determine:
 a) -
mentos, nos quais a letra K aparece.
 b) -
mentos, nos quais a letra Y não aparece.
 c) -
mentos, nos quais pelo menos uma das letras 
Y e W aparece.
 15. (UFGD – MS) Numa festa, todos os moradores 
da casa se cumprimentaram com um abraço en-
tre si. Mais tarde, os moradores da casa vizinha 
chegaram à festa e cumprimentaram todos os 
presentes com um aperto de mão. Sabendo que 
ocorreram 48 apertos de mão e que no grupo 
que chegou havia duas pessoas a menos do que 
havia na casa, pode-se concluir que o número de 
abraços foi de:
X a) 28
 b) 48
 c) 24
 d) 18
 e) 16
24 Conquista Modular
Conceitos Centrais(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Ao realizar o raciocínio dos desenvolvimentos anteriores para n > 3, obtêm-se os desen-
volvimentos a seguir. Observe:
(a + b)4 = (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b)
(a + b)4 = (a2 + 2ab + b2) ∙ (a2 + 2ab + b2)
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b) ∙ (a + b)
(a + b)5 = (a2 + 2ab + b2) ∙ (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
(a + b)5 = a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Assim, realizando o produto dos 6 fatores (a + b) do desenvolvimento de (a + b)6, obtém-se:
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
Dessa forma, pode-se escrever os desenvolvimentos:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
(a + b)7 = a7 + 7a6b + 21a5b2 + 35a4b3 + 35a3b4 + 21a2b5 + 7ab6 + b7
(a + b)8 = a8 + 8a7b + 28a6b2 + 56a5b3 + 70a4b4 + 56a3b5 + 28a2b6 + 8ab7 + b8
(a + b)9 = a9 + 9a8b + 36a7b2 + 74a6b3 + 126a5b4 + 126a4b5 + 74a3b6 + 36a2b7 + 9ab8 + b9
Perceba que:
1) O número de termos é uma unidade maior que o expoente.
2) O expoente de a diminui uma unidade a cada termo do desenvolvimento, ao passo 
que o expoente de b aumenta uma unidade.
1. Triângulo de Pascal
2. Termo geral do 
desenvolvimento
3. Soma dos coeficientes 
do desenvolvimento de 
um binômino
25Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
Binômio de Newton2
3) Considerando que a parte numérica de cada termo é o coeficiente e a parte com-
posta pelas letras a e b é a parte literal, pode-se afirmar que:
 o 5º. termo do desenvolvimento de (a + b)7 é 35a3b4
 o 4º. termo do desenvolvimento de (a + b)8 é 56a5b3
 o coeficiente do 3º. termo do desenvolvimento de (a + b)4 é 6
 o coeficiente do 5º. termo do desenvolvimento de (a + b)9 é 126
 a parte literal do 7º. termo do desenvolvimento de (a + b)8 é a2b6
 a parte literal do 2º. termo do desenvolvimento de (a + b)5 é a4b
Triângulo de Pascal
Blaise Pascal era filósofo, matemático, físico, teólogo e escritor. Nasceu na França, em 
19 de junho de 1623. Era filho de Etienne Pascal, um matemático e alto funcionário do Estado, 
que se dedicou com muita eficiência na formação educacional de seus dois filhos, Pascal e 
Jacqueline. 
Com 31 anos de idade, Pascal publicou um trabalho matemático intitulado Traité du 
Triangle Arithmétique (Tratado do Triângulo Aritmético), em que estabelece as séries:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Esse triângulo é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia, apresen-
tando inúmeras propriedades e relações.
A obtenção dos desenvolvimentos de (a + b)n é trabalhosa se for realizada pelo produto 
dos n fatores. Em qualquer desenvolvimento, o expoente das potências de a diminui uma 
unidade a cada termo, ao passo que o expoente das potências de b aumenta uma unidade. 
Com isso, para se obter um desenvolvimento de (a + b)n, basta descobrirmos os coeficientes 
de cada termo. 
O matemático Blaise Pascal organizou os coeficientes dos desenvolvimentos de (a + b)n de 
uma forma conveniente. Isso facilitou a obtenção desses desenvolvimentos. Como já desta-
cado, essa organização é denominada de Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. 
Observe:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
.
.
.
 1
26 Conquista Modular
As linhas começam e terminam com o número 1, e cada termo é a soma de dois termos 
da linha de cima (Relação de Stifel). Um imediatamente à direita e outro à esquerda. 
Perceba que, por exemplo, a soma dos elementos da 3ª., 4ª., 5ª. e 6ª. linhas do Triângulo de 
Pascal são:
1 + 3 + 3 + 1= 8 = 23
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24
1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25
1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26
Logo, a soma dos elementos da n-ésima linha desse triângulo é igual a 2n.
Números binominais
 2
Denomina-se número binomial de classe p e ordem n o número representado por 
n
p
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , (lê-se: binomial n sobre p) em que 
n
p
n
p n p
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
!
! ( )!
 com n, p ∈ N e n ≥ p. 
Dois números binomiais
n
p
e
n
q
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ são denominados complementares quando 
p + q = n, com p, q ∈ N, p ≤ n e q ≤ n. Quando dois números binomiais são comple-
mentares, tem-se que:
n
p
n
q
ou
n
p
n
n p
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 3
O Triângulo de Pascal pode ser escrito por meio de números binomiais. Observe:
 
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
3
0
3
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
3
2
3
3
4
0
4
1
4
2
4
3
4
4⎝⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
5
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
6
0⎜⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
7
0
⎞⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞7
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
7⎠⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
8
0
8
1
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6⎟⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
8
7
8
8
0 1 2 3 4
n n n n n
⎟⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟...
n
n
n
n
n
n2 1
27Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 1. Desenvolver o binômio (2x + 1)4.
 2. Para que valores de a e b, a igualdade (a + b)2 = a2 + b2 é verdadeira? E a igualdade (a + b)3 = a3 + b3?
 3. Se p = 2x + 3, então qual é o coeficiente de x2 no polinômio p3?
 4. No desenvolvimento do binômio (x2 – 2)5, tem-se: (x2 – 2)5 = x10+ mx8 + 40x6 – 80x4 + 80x2 + n.
Qual é o valor de m + n?
 5. Se um dos termos do desenvolvimento do binômio (x + k)5, com k ∈ R, é 80x2, então qual é o valor de k?
 6. O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é V = a ∙ b ∙ c. Um sólido em formato 
de um cubo é formado por dois cubos, um com a medida da aresta igual a a e outro com a medida da 
aresta igual a b, e 6 paralelepípedos, 3 paralelepípedos cujas medidas das arestas são a, a e b e outros 3 
cujas medidas das arestas são a, b e b.
Realizando-se a soma dos volumes dos 8 sólidos que formam o sólido em formato de cubo, obtemos um 
volume igual a:
X a) (a + b)3
 b) (a – b)2
 c) (2a + b)3
 d) (a + 2b)3
 e) (a – 2b)3
 7. Determine o(s) valor(es) de x nas igualdades a seguir:
 a) 
4
1
4⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟x
 b) 
8
2
8⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟x
 c) 
9 9
5x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 8. Determine o valor de cada soma a seguir:
 a) 
6
0
6
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟
 b) 
9
0
9
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
9
7
9
8
9
9
 c) 
3
0
3
1
3
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 d) 
8
2
8
3
8
4
8
5
8
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Para fazer
De acordo com a formação observada do Triângulo de Pascal, pode-se escrever que:
 a) 
4
2
4
3
5
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ 
 b) 
6
4
6
5
7
5
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ =
æ
è
ç
ö
ø
÷
 c) 
7
5
7
6
8
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Essa relação é denominada Relação de Stifel e é escrita da seguinte forma:
n
p
n
p
n
p
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
1
1
 4
28 Conquista Modular
 9. Determine o(s) valor(es) de x nas equações:
 a) 
5
3
5
4
6⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟x
 b) 
26
5
26
8x x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 10. (UNIFOR – CE) Por uma das propriedades do triângulo de Pascal, a soma 
50
20
50
21
51
22
52
23
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠⎟ é 
igual a:
X a) 
53
23
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 b) 
52
21
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 c) 
52
22
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 d) 
51
21
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
 e) 
51
22
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
Termo geral do desenvolvimento
No desenvolvimento das potências (a + b)n, é possível generalizar por meio de um 
somatório. Observe.
Ao desenvolver o binômio (a + b)10, são escritos 11 termos. Observe seu desenvolvimento.
(a + b)10 = (a b) (a b) b) ... (a b)
10 fatores
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +(a� ����������������� ����������������
(a + b)10 = 
10
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a10 + 
10
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a9b + 
10
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a8b2 + 
10
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a7b3 + 
10
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a6b4 + 
10
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a5b5 + 
10
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a4b6 + 
 
+ 
10
7
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a3b7 + 
10
8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a2b8 + 
10
9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ab9 + 
10
10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ b10
No desenvolvimento do 2º. membro em potências decrescentes de a e crescentes de 
b, após todas as multiplicações da propriedade distributiva e a soma (algébrica) dos termos 
semelhantes, tem-se o desenvolvimento de (a + b)10. 
Quando se conhece o desenvolvimento de um binômio, para obter um termo, basta subs-
tituir a e b pelos termos do binômio considerado, porém nem sempre o desenvolvimento está 
explícito. Por exemplo, para calcular um termo de um binômio (x + 2)20 ou (2x + y)45, mesmo 
se conhecendo os coeficientes pelo Triângulo de Pascal, a resolução seria muito trabalhosa. 
Existe uma maneira que facilita a obtenção de um termo num desenvolvimento. Acom-
panhe novamente o desenvolvimento de (a + b)10:
(a + b)10 = 
10
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a10 + 
10
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a9b + 
10
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a8b2 + 
10
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a7b3 + 
10
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a6b4 + 
10
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a5b5 + 
+ 
10
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a4b6 + 
10
7
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a3b7 + 
10
8
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a2b8 + 
10
9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ab9 + 
10
10
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ b10
Escrevendo alguns termos do desenvolvimento, tem-se:
T2 = 
10
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ∙ a9 ∙ b1 = 
10
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ∙ a10 – 1 ∙ b1
T3 = 
10
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a8 ∙ b2 = 
10
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ∙ a10 – 2 ∙ b2
29Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
Para esse desenvolvimento, o termo geral é:
Tp + 1 = 
10
p
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ∙ a10 – p ∙ bp
Dessa forma, é possível generalizar um termo qualquer de um desenvolvimento
(x + a)n = 
n
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ xn + 
n
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a1xn – 1 + 
n
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ a2xn – 2 + ... + 
n
n −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
an – 1x1 + 
n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ an 
(a + b)n = 
n
p
a b
p
n
n p p⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ ⋅
=
−∑
0
como sendo
Tp + 1 = 
n
p
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ∙ an – p ∙ bp → Fórmula do termo geral do Binômio de Newton
O desenvolvimento de um binômio (a + b)n pode ser escrito desta forma:
(a + b)n = 
n
0
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ an + 
n
1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ b1 an – 1 + 
n
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ b2 an – 2 + 
n
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ b3 an – 3 + ... + 
n
n −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1
bn – 1 a1 + 
n
n
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ bn
E cada uma das parcelas, ou seja, cada um dos termos desse desenvolvimento pode ser escrito 
da seguinte forma:
Tp + 1 = 
n
p
æ
è
ç
ö
ø
÷ ∙ an – p ∙ bp
com n, p ∈ N e p ≤ n
Soma dos coeficientes do desenvolvimento de um binômio
Dados os binômios e seus respectivos desenvolvimentos:
a) (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
b) (2x – y)4 = 16x4 – 32x3y + 24x2y2 – 8xy3 + y4
c) (x2 + 2y)6 = x12 + 12x10y + 60x8y2 + 160x6y3 + 240x4y4 + 192x2y5 + 64y6
Fazendo a soma dos coeficientes de cada binômio, tem-se:
1 + 6 + 12 + 8 = 27
16 – 32 + 24 – 8 + 1 = 1
1 + 12 + 60 + 160 + 240 + 192 + 64 = 729
A soma dos coeficientes pode ser obtida pela soma das parcelas que correspondem aos 
coeficientes, porém existe outra forma de obter a soma. Nos desenvolvimentos do 2º. membro, 
substitua a(s) variável (variáveis) pelo número 1. Perceba:
(1)3 + 6 ∙ (1)2 + 12 ∙ (1) + 8 = 1 + 6 + 12 + 8 = 27
16 ∙ (1)4 – 32 ∙ (1)3 ∙ (1) + 24 ∙ (1)2 ∙ (1)2 – 8 ∙ (1) ∙ (1)3 + (1)4 = 16 – 32 + 24 – 8 + 1 = 1
(1)12 + 12 ∙ (1)10 ∙ (1) + 60 ∙ (1)8 ∙ (1)2 + 160 ∙ (1)6 ∙ (1)3 + 240 ∙ (1)4 ∙ (1)4 + 192 ∙ (1)2 ∙ (1)5 + 64 ∙ (1)6 =
 = 1 + 12 + 60 + 160 + 240 + 192 + 6 = 729
Ao substituir as variáveis pelo algarismo 1, obtém-se a soma dos coeficientes no 2º. membro.
30 Conquista Modular
31Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
Para fazer
 1. No desenvolvimento do binômio (2x + 3)5, de-
termine o 4º. termo e o termo independente.
 2. Calcule o valor numérico do coeficiente do ter-
mo em x4 no desenvolvimento de x
x
2
5
2
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ .
 3. Qual é o termo independente de x no desenvol-
vimento de x
x
2
6
1
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ?
 4. Qual é o coeficiente do termo contendo x4y3 no 
desenvolvimento do binômio (2x + 3y)7?
 5. Qual termo possui x3 no desenvolvimento de 
(x + 3)6?
 6. No desenvolvimento de x
x
-æ
èç
ö
ø÷
1
8
, qual é o ter-
mo independente?
 7. Qual é o coeficiente de x5 no desenvolvimento 
de (x2 – 4x + 4)4?
 8. (FAC. RUY BARBOSA – BA) O valor do coeficiente 
do termo de grau 6 da expressão x
x
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
10
é:
 (01) 25
 (02) 30
 (03) 45
 (04) 60
 (05) 86
 9. (UNIFOR – CE) No desenvolvimento do binômio 
x
x
3
2
10
2
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ , o termo independente de x é:
 a) 3 360
 b) 5 780
 c) 8 064
X d) 13 440
 e) 15 760
 10. (UESPI) Qual o coeficiente independente de x na 
expansão de (1 + x + x2)10?
 a) 0
X b) 1
 c) 2
 d) 3
 e) 4
 X
 11. Determine a soma dos coeficientes de todos 
os termos do desenvolvimento do binômio 
(2x2 – 3y)10.
 12. A soma dos coeficientes do desenvolvimento 
(a + b)x é 2 048. Qual é o valor de x?
 13. (SUPRA – SC) A soma de todos os coeficientes do 
polinômio (x2 – 9x + 7)51 é:
X a) –1
 b) 2
 c) 0
 d) 751
 e) 951
 14. (UEL – PR) Se a soma dos coeficientes do desen-
volvimento do binômio (2x + y)n é igual a 243, 
então o número n é:
 a) 12
 b) 10
 c) 8
X d) 5
 e) 3
 15. (UNIT – SE) Se no desenvolvimento do binômio 
(x + 3y)n, em que n ∈ N, a soma dos coeficientes é 
igual a 4 096, o coeficiente do quarto termo é igual a:
 a) 60
 b) 90
 c) 120
 d) 270
X e) 540
 16. (UNICAP – PE) No desenvolvimento da potência 
(2xy – 3x2)6:
(00) A soma dos coeficientes é 1.
(01) O termo médio é 4860x10y2.
(02) O número de termos positivos é igual ao 
número de termos negativos.
(03) O coeficiente do termo em que x tem o 
maior expoente é 729.
(04) Existe um termo em que x e y têm o mesmo 
expoente.
 X
 X
 X
Agora, substitua a(s) variável (variáveis) pelo número 1 no 1º. membro de cada binômio.
Tem-se:
(1 + 2)3 = 33 = 27
(2x – y)4 = (2 ∙ 1 – 1)4 = (1)4 = 1
(x2 + 2y)6 = (12 + 2 ∙ 1)6 = (3)6 = 729
Ao substituir as variáveis pelo algarismo 1, obtém-se a soma dos coeficientes no 1º. membro.
Dessa maneira, não há necessidade de desenvolver o binômio.
AtividadesAtividades
32 Conquista Modular
 1. (UNIFOR – CE) Se (n + 1)! = 10n!, então o valor 
de 
n
n
+
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
1
é igual a:
 a) 9
X b) 45
 c) 55
 d) 90
 e) 110
 2. (UFG – GO) O triângulo de Pascal é uma tabela 
de números dispostos em linhas e colunas, como 
segue:
Coluna
Li
n
h
a
0 1 2 3 4 5
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
Um exemplo desse triângulo é dado pela combi-
nação de n elementos tomados p a p. Exemplo: 
C
4, 2
 = 6 (linha 4 e coluna 2)
Marque a alternativa incorreta:
 a) C
7, 3
 = C
7, 4
X b) C
2, 2
 + C
5, 3
 = C
4, 2
 + C
6, 1
 c) C
6, 2
 + C
6, 3
 = C
7, 3
 d) C
6, 0
 + C
6, 1
 + ... + C
6, 6
 = 26
 e) C
0, 0
 + C
1, 0
 + C
2, 0
 + ... + C
n, 0
 = n + 1
 3. (PUCPR) O valor da expressão 
1034 3 2 2 3 + 34
é igual a:
 a) 1014
 b) 1012
 c) 1010 
X d) 108
 e) 106
 4. O coeficiente de x5 no desenvolvimento de (x + 2)9 
é:
 a) 64
 b) 126
 c) 524
 d) 1 024
X e) 2 016
 5. (UP – PR) O desenvolvimento de um binômio da 
forma (x + a)n é dado por:
(x + a)n = xn + Cn
1 a1 xn – 1 + Cn
2 a2 xn – 2 + 
+Cn
3 a3 xn – 3 + ... + C
n
n– 1an – 1 x1 + an
Com o auxílio desse desenvolvimento, é possível 
fazer aproximações para cálculos de potências, 
utilizando-se apenas alguns termos dodesenvol-
vimento. Nesse sentido, o valor mais próximo de 
(1,002)20 é:
 a) 1,08
 b) 2,01
 c) 1,06
X d) 1,04
 e) 2
 6. (UEMA) Seja S a soma de n termos da PG infinita 
1, 1
2
, 1
4
, 1
8
, 1
16
, ..., então o quinto termo do 
binômio x
x
S
2
2
4
1
+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ é:
 a) 84
 b) 96
 c) 14
 d) 35
X e) 70
 7. Qual é o coeficiente de x–1 no desenvolvimento 
de 1 2
4
x
x+⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ?
 8. (MACKENZIE – SP) O número de valores de x, para 
os quais os coeficientes binomiais 
6
2x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ e 
6
2x
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
sejam iguais, é 
 a) 1
X b) 2
 c) 3
 d) 4
 e) 5
 9. (UPF – RS) Desenvolvendo o binômio (2x – 3y)3n, 
obtém-se um polinômio de 16 termos. O valor 
de n é: 
 a) 15
 b) 10
X c) 5
 d) 4
 e) 2
 10. (FGV – SP) Desenvolvendo-se o binômio P(x) = 
(x+1)5, podemos dizer que a soma de seus coe-
ficientes é:
 a) 16
 b) 24
X c) 32
 d) 40
 e) 48
 11. Considerando o desenvolvimento de (1 – 2x2)5, 
qual o coeficiente do termo x8?
X a) 80
 b) 40
 c) 20
 d) 10
 e) 5
Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
Conceitos CentraisConceitos Centrais
1. Experimento aleatório 
e experimento 
determinístico
2. Espaço amostral e 
evento
3. Probabilidade 
4. Adição de 
probabilidades
5. Multiplicação de 
probabilidades 
6. Probabilidade 
condicional
Os primeiros registros sobre probabilidade vêm do antigo 
Egito, dos jogos em que se utilizava um dado com quatro faces 
denominado astragali. 
Segundo o historiador Plutarco, o imperador romano Júlio 
César jogou dados com os senadores antes de dissolver o Senado 
e tornar-se imperador. Em certa ocasião, Júlio César proferiu sua 
famosa frase Alea jacta est, que significa “A sorte está lançada”. 
O matemático italiano (e jogador) Girolamo Cardano 
(1501-1576) é considerado um dos primeiros estudiosos da teo-
ria das probabilidades, registrada em sua obra Liber de Ludo 
Aleae (O livro dos jogos de azar).
Na Idade Média, o jogo de dados tornou-se muito po-
pular entre os cavaleiros e, na França do século XVII, no reinado de Luís XIV, um nome se 
destacou no estudo das probabilidades: Chevalier de Méré.
Chevalier de Méré estudou um método que acreditava estar correto para ganhar uma 
aposta. Ele alegava que, no lançamento de um dado cúbico, a probabilidade de ocorrência de 
uma face igual a 6 era 1
6
, mas, em quatro jogadas, a probabilidade de ocorrência dessa face, 
pelo menos uma vez, era de 
4
6
, ou seja, 2
3
. Assim, ele acreditava que a cada quatro jogadas, 
sua chance de acertar a face 6 seria de 2 em 3. 
Chevalier de Méré também acreditava que a ocorrência de um par de 6, no lançamento 
de dois dados cúbicos, era 
1
36
, logo, no lançamento de 24 vezes um par de dados, a pro-
babilidade de obter, no mínimo, um par de 6 era de 24
36
, ou seja 2
3
. Com essas “certezas”, 
Chevalier de Méré teve muitas decepções nos jogos e, suspeitando que poderia não estar 
correto em suas “certezas”, mandou uma carta a Blaise Pascal, que dividiu a dúvida com Pier-
re de Fermat. Esses dois matemáticos descobriram o erro cometido por Chevalier de Méré, o 
que foi fundamental para que esses dois matemáticos desenvolvessem a Teoria do Cálculo 
das Probabilidades. Essa questão vai ser abordada no decorrer desta unidade de trabalho.
Experimento aleatório e experimento determinístico
Sobre uma moeda que é solta de uma altura de 20 metros, no vácuo, é possível observar 
duas situações:
1ª.) A velocidade com que a moeda atinge o solo e o intervalo de tempo são sempre 
iguais a 20 m/s e 2 segundos, respectivamente (Cálculos da Física). Essa situação 
é um experimento que, se repetido nas mesmas condições, terá sempre os mesmos 
resultados. Tal experimento é denominado experimento determinístico.
2ª.) Não se pode afirmar qual face, cara ou coroa, estará voltada para cima quando a 
moeda atingir o chão. Essa situação é um experimento que, se repetido nas mesmas 
condições, terá resultados imprevisíveis, pois depende do acaso. Tal experimento é 
denominado experimento aleatório.
antigo 
ces
o 
o 
a 
”.
no 
eo-
o 
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
2.
 D
ig
ita
l
33
PROBABILIDADES3
Espaço amostral e evento
Alguns exemplos de experimentos com todos os possíveis resultados e a quantidade:
1. Lançar uma moeda e observar a face de cima:
Ca cara e Co coroa
E = {Ca, Co} e n(E) = 2
2. Lançar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas:
E = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} e n(E) = 4
3. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados cujas faces são iguais e qual o 
número de elementos desse conjunto? 
A = {(Ca, Ca), (Co, Co)} e n(A) = 2
4. Lançar um dado e observar a face voltada para cima:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(E) = 6
5. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados pares e o número de elementos 
desse conjunto?
A = {2, 4, 6} e n(A) = 3
6. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados menores que 6 e o número de ele-
mentos desse conjunto? Como é denominado esse evento?
A = {1, 2, 3, 4, 5} e n(A) = 5
É denominado evento certo.
7. Retirar uma bola de uma urna que possua 10 bolas numeradas de 1 a 10:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e n(E) = 10
8. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados que são números primos e o núme-
ro de elementos desse conjunto?
A = {2, 3, 5, 7} e n(A) = 4
9. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados maiores que 10 e o número de 
elementos desse conjunto? Como é denominado esse evento?
A = { } ou e n(A) = 0 
É denominado evento impossível.
10. Escolher uma letra da palavra VOLUME:
E = {V, O, L, U, M, E} e n(E) = 6
11. Desse experimento, qual é o conjunto dos resultados que são vogais e o número de 
elementos desse conjunto? 
A = {O, U, E} e n(A) = 3
 1
Evento certo evento cujo conjunto de elementos (resultados) corresponde ao 
conjunto formado pelo espaço amostral.
Evento impossível evento cujo conjunto de resultados é vazio.
O conjunto formado por todas as possibilidades de resultado de cada experimento é 
denominado espaço amostral. Qualquer subconjunto formado do espaço amostral é deno-
minado evento.
©Ban
co
 C
en
tra
l d
o 
Br
as
il
©
Th
in
ks
to
ck
/
Ge
tty
 Im
ag
es
/
He
m
er
a
34 Conquista Modular
O conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento alea-
tório é denominado espaço amostral, bem como representado por E e o número de 
elementos por n(E).
Um subconjunto formado do espaço amostral é denominado evento, e represen-
tado por uma letra maiúscula do alfabeto, A, B, C, ..., e o número de elementos desse 
subconjunto por n(A), n(B), n(C), ..., respectivamente.
Em um experimento aleatório, a probabilidade de ocorrência de um evento A é o 
quociente entre o número de elementos do evento ou n(A) pelo número de elementos 
do espaço amostral E ou n(E). 
probabilidade = 
( )número de elementos do espaço amostral n E
número de elementos do evento n(A)
 2
Probabilidade
 1. Nos experimentos descritos a seguir, escreva o 
espaço amostral, os eventos pedidos e o número 
de elementos de cada conjunto ou subconjunto:
 a) Lançar um dado e uma moeda e observar as 
faces voltadas para cima:
 A = Resultados que possuam a face do dado 
com um número que seja quadrado perfeito.
 B = Resultados que possuam cara na face 
da moeda e a face do dado seja um núme-
ro maior que 5.
 b) Para um casal que deseja ter três filhos, a se-
quência do sexo dos filhos:
 A = Resultados que possuem apenas um 
sexo.
 B = Resultados que possuem pelo menos 
duas filhas.
 c) As soluções (x, y) da equação x + y = 5, para 
x, y ∈ N.
 A = Resultados em que x > y
 B = Resultados em que x = y
 2. No experimento, lançar dois dados e observar as 
faces voltadas para cima: 
 a) Qual é o espaço amostral?
 b) Qual é o número de elementos de cada um 
dos eventos?
 c) Resultados em que as faces possuam o mes-
mo número.
 d) Resultados em que a soma das faces seja 
igual a 10.
 e) Resultados em que ambas as faces possuam 
números primos.
 3. Agora, considerea retirada de uma bola do ex-
perimento aleatório de uma urna, que contém 
exatamente dez bolas numeradas de 1 a 10. 
Qual é a probabilidade, em percentual, de se ob-
ter uma bola com: 
 a) um número par? 
 b) um número primo?
 c) um número múltiplo de 3? 
 d) um número que não seja múltiplo de 3?
 e) um número maior que 10?
 f) um número menor ou igual a 10?
 4. Um calendário é fabricado com um dodecaedro 
regular e, em cada face, é gravado um mês do 
ano. Ao lançar esse calendário, qual é a probabi-
lidade de o mês que está voltado para cima ter 
31 dias?
 a) 5
12
X b) 7
12
 c) 1
12
 d) 6
12
 e) 11
12
 5. Considere o seguinte experimento aleatório: 
lançar uma moeda três vezes e observar as se-
quências formadas com as faces cara ou coroa. 
Escreva o espaço amostral e determine a proba-
bilidade de cada evento:
Para fazer
35Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 a) Evento A: ocorrência de três caras.
 b) Evento B: ocorrência de duas ou mais coroas.
 c) Evento C: ocorrência de coroa.
 6. Um casal pretende ter exatamente três filhos. 
Dessa forma:
 a) escreva o espaço amostral.
 b) Qual é a probabilidade de nascerem dois me-
ninos e uma menina?
 c) Qual é a probabilidade de os três filhos serem 
meninos?
 d) Qual é a probabilidade de as três crianças se-
rem do mesmo sexo?
 7. No lançamento simultâneo de dois dados, calcu-
le a probabilidade de se obterem:
 a) dois números cuja soma seja 5;
 b) dois números cuja soma seja 6 ou 11.
 8. Em um restaurante, o cardápio apresenta três 
opções de entrada, três de prato principal e 
duas sobremesas, de acordo com o quadro a se-
guir. Um cliente desse restaurante opta por uma 
entrada, um prato principal e uma sobremesa. 
Determine:
Entrada Prato principal Sobremesa
Salada verde Peito de frango Sorvete
Maionese Filé mignon Pudim
Carpaccio Salmão
 a) De quantas formas uma pessoa poderá com-
por a sua refeição?
 b) Qual é a probabilidade de uma pessoa esco-
lher maionese, filé mignon e pudim? 
 c) Qual é a probabilidade de uma pessoa esco-
lher uma entrada e que seja salada verde? 
 d) Qual é a probabilidade de uma pessoa esco-
lher uma sobremesa que não seja sorvete?
 9. Uma senha com três algarismos distintos é com-
posta pelos algarismos 6, 7 e 8. Qual é a proba-
bilidade de essa senha ter o algarismo da direita 
ímpar?
 10. Em uma competição de paraquedismo, um para-
quedista, ao saltar de um avião sobre um campo 
de futebol, cujas medidas são 90 m de largura 
por 120 m de comprimento, deve tocar o solo na 
área relativa ao círculo central, cuja medida do 
raio é 9,15 m. Determine a probabilidade apro-
ximada de esse paraquedista tocar o solo dentro 
 a) 7%
X b) 2,4%
 c) 26%
 d) 1,2%
 e) 13%
 11. Escolhendo-se dois vértices de 
um hexágono regular, qual é a 
probabilidade de o segmento de 
reta com extremidades nesses 
vértices passar pelo centro do 
hexágono?
 12. 2, com 
o formato a seguir, é atendido por duas emisso-
ras de rádio, cujas antenas A e B alcançam um 
10 km A
B
10 km
10 km
10 km
Município
Para orçar um contrato publicitário, uma agên-
cia precisa avaliar a probabilidade que um mo-
rador tem de, circulando livremente pelo muni-
cípio, encontrar-se na área de alcance de pelo 
menos uma das emissoras. Essa probabilidade é 
de aproximadamente:
 a) 30%
 b) 40%
 c) 10%
X d) 25%
 e) 20%
 13. (PUC-Rio – RJ) A probabilidade de um dos cem 
números 1, 2, 3, 4, ..., 100 ser múltiplo de 6 e de 
10 ao mesmo tempo é:
X a) 3%
 b) 6%
 c) 2%
 d) 10%
 e) 60%
 14. 
qual marcado com apenas um dos números: 2, 
5, 6, 7, 9, 13, 14, 19, 21 e 24. Para compor uma 
potência, devem ser sorteados sucessivamen-
te e sem reposição dois cartões: no primeiro o 
número assinalado deverá corresponder à base 
da potência e, no segundo, ao expoente. Assim, 
a probabilidade de que a potência obtida seja 
equivalente a um número par é de:
 15. (UFG) Um grupo de 150 pessoas é formado por 
28% de crianças, enquanto o restante é com-
posto de adultos. Classificando esse grupo por 
sexo, sabe-se que 1/3 entre os de sexo masculino 
é formado por crianças e que 1/5 entre os de 
sexo feminino também é formado por crianças. 
Escolhendo ao acaso uma pessoa nesse grupo, 
calcule a probabilidade de essa pessoa ser uma 
criança do sexo feminino.
 16. 
em anos distintos. A probabilidade da soma dos 
anos em que nasceram ser 3.875 é: 
 a) 2/99
 b) 19/2.475
X c) 37/4.950
 d) 19/825
 e) 19/485
36 Conquista Modular
Algumas propriedades das probabilidades
As probabilidades possuem algumas propriedades. Em um espaço amostral E e um evento A, 
tem-se:
I. A probabilidade de um evento impossível é 0 e a probabilidade de um evento certo é 
1. Logo, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
II. A probabilidade de ocorrência de um evento p(A) mais a probabilidade da não ocor-
rência de um evento p'(A), é certa, ou seja, p(A) + p'(A) = 1. Indicamos, também, p'(A) 
por p(A).
 1. Uma urna contém apenas bolas amarelas, ver-
des, vermelhas e pretas. Retira-se ao acaso uma 
bola da urna. A probabilidade de sair uma bola 
amarela é 
7
25
. Qual é a probabilidade de sair 
uma bola que não seja amarela?
 2. Três competidores, João, Fábio e Juliano, estão 
disputando uma corrida e a probabilidade de 
Fábio ganhar é o dobro da probabilidade de Ju-
liano ganhar. A probabilidade de João ganhar 
é o dobro da probabilidade de Fábio ganhar. 
Dessa forma, qual é a probabilidade de João 
ganhar?
 3. Ao lançar uma moeda viciada, sabe-se que 
a probabilidade de ocorrer cara é o triplo da 
probabilidade de ocorrer coroa. No lançamen-
to dessa moeda, determine a probabilidade de 
sair coroa.
 4. (PUCSP) Um experimento aleatório é realizado. 
A probabilidade de ocorrer um evento A é 
8
21
. A 
probabilidade de não ocorrer o evento A é:
 a) 7
21
 b) 
8
21
 c) 1
X d) 
13
21
 e) 
15
21
 5. (ENEM) 
Dados do Instituto de Pesquisas Econômicas Aplica-
das (IPEA) revelaram que no biênio 2004/2005, nas 
rodovias federais, os atropelamentos com morte ocu-
param o segundo lugar no ranking de mortalidade por 
acidentes. A cada 34 atropelamentos, ocorreram 10 
mortes. Cerca de 4 mil atropelamentos/ano, um a cada 
duas horas, aproximadamente.
Disponível em: <http://www.ipea.gov.br>. 
Acesso em: 6 jan. 2009.
De acordo com os dados, se for escolhido alea-
toriamente para investigação mais detalhada 
um dos atropelamentos ocorridos no biênio 
2004/2005, a probabilidade de ter sido um atro-
pelamento sem morte é:
 a) 2
17
 b) 5
17
 c) 2
5
 d) 3
5
X e) 12
17
 6. (FAAP – SP) Seja E o espaço amostral de um ex-
perimento aleatório e seja p uma propriedade 
que caracteriza alguns elementos de E. Podemos 
afirmar que os eventos:
A = {x ∈ E/x possui a propriedade p}, e 
B = {x ∈ E/x não possui a propriedade p}
são tais que:
 a) p(A) > p(B)
 b) p(A) < p(B)
X c) p(A) + p(B) = 1
 d) A – B = φ
 e) A ∩ B = A
 7. (PUC-Rio – RJ) Uma doença congênita afeta 1 
em cada 700 homens. Numa população de um 
milhão de homens, a probabilidade de que um 
homem, tomado ao acaso, não seja afetado, é:
X a) superior a 0,99;
 b) igual a 0,99;
 c) menor que 0,99;
 d) igual a 1/700;
 e) 1/2 ou 50%.
 8. (CESCEM – SP) Um evento A de um espaço amos-
tral é tal que N(A) = n e p A
n
( ) =
− 4
3
. O maior 
número possível de elementos de A é:
 a) 4
 b) 8
 c) 9
 d) 5
X e) 7
Para fazer
37Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 9. De um grupo de dança composto por seis mo-
ças, duas serão selecionadas para uma apresen-
tação em um festival de dança e, nesse grupo, 
estão Maria Eduarda e Giovana. Assim, qual é a 
probabilidade de elas não serem escolhidas para 
se apresentarem juntas? 
 10. Considere os números de cinco algarismos dis-
tintos que se pode formar com os algarismos 2, 
3, 4, 5 e 7. Ao escolher um desses números ao 
acaso, determine:
 a) a probabilidade de ser um número par;
 b) a probabilidade de ser um número ímpar.
Adição de probabilidades
Em um experimento aleatório com espaço amostral E, dados doiseventos A e B 
desse espaço amostral, tem-se:
p(A ∪ B) = p(A) + P(B) – p(A ∩ B)
Quando A ∩ B = ∅, ou seja, p(A ∩ B) = 0, os eventos A e B são denominados 
mutuamente exclusivos. 3
 1. Em uma pesquisa com 100 adolescentes sobre a preferência entre jogos no computador e jogos com 
consoles de videogames, contatou-se que 30 não gostavam de jogar games, 60 gostavam de jogar em 
consoles de videogames, e 30, no computador. 
 a) Dessa forma, determine quantos adolescentes gostam de jogar no computador e nos consoles de 
videogames:
 b) Escolhendo-se aleatoriamente um adolescente dessa pesquisa, qual é a probabilidade de ele:
 gostar de jogos apenas no computador?
 gostar de jogos apenas em consoles de videogame?
 gostar de jogos no computador e em consoles de videogame?
 gostar de jogos no computador ou em consoles de videogame?
 não gostar de jogar videogames?
 2. Uma loja que vende sapatos, a pedido do distribuidor, reuniu os dados relativos às vendas, em um mês, 
de uma marca específica de sapatos femininos e masculinos nos números 35 a 38 e nos números 38 a 41, 
respectivamente. Esses dados foram apresentados nos gráficos a seguir:
Com base nessas informações e escolhendo-se ao acaso um par de sapatos, qual é a probabilidade de 
que seja:
 a) do número 38?
 b) de um número menor que 36 ou maior que 40?
 c) masculino? 
 3. No lançamento simultâneo de dois dados, calcule a probabilidade de se obterem dois resultados cuja 
soma seja um número múltiplo de 2 ou múltiplo de 3.
Para fazer
38 Conquista Modular
Ciência da Computação. Sorteando-se um aca-
dêmico ao acaso, para representar a Universida-
de na Solenidade de Abertura destes jogos, qual 
a probabilidade de que ele pertença ao curso de 
Matemática ou de Engenharia Elétrica?
 a) 8
7
 b) 3
7
 c) 8
7
X d) 6
7
 e) 
5
7
 8. Em um exame de seleção com 1 800 candidatos, 
600 deles atingiram a nota mínima em Matemá-
tica, 450 atingiram a nota mínima em Português 
e 240 atingiram a nota mínima em Matemática 
e Português. Se um dos candidatos for escolhido 
ao acaso, qual é a probabilidade:
 a) de ele não ter atingido a nota mínima em 
ambas as disciplinas?
 b) de ele ter atingido a nota mínima em pelo 
menos uma das disciplinas?
 c) de ele ter atingido a nota mínima em Mate-
mática, mas não ter atingido em Português?
 d) de ele ter atingido a nota mínima em ambas 
as disciplinas? 
 9. (PUCRS) Um número é escolhido aleatoriamente 
entre os inteiros de 1 a 50. A probabilidade de 
que ele seja divisível por 2 ou por 5 é:
X a) 
3
5
 b) 
4
5
 c) 
7
5
 d) 
1
10
 e) 
7
10
 10. (FUVEST – SP) Em uma urna, há bolas amarelas, 
brancas e vermelhas. Sabe-se que:
 I. A probabilidade de retirar uma bola vermelha 
dessa urna é o dobro da probabilidade de re-
tirar uma bola amarela.
 II. Se forem retiradas 4 bolas amarelas dessa 
urna, a probabilidade de retirar uma bola 
vermelha passa a ser 1
2
.
 III. Se forem retiradas 12 bolas vermelhas des-
sa urna, a probabilidade de retirar uma bola 
branca passa a ser 
1
2
.
A quantidade de bolas brancas na urna é 
 a) 8
 b) 10
X c) 12
 d) 14
 e) 16
 4. Os baralhos convencionais 
têm 52 cartas divididas 
em quatro naipes (ouros, 
copas, espadas e paus). A 
sequência de cada naipe 
começa no ás, seguido das 
cartas numeradas de 2 a 10 
e depois as três últimas, 
que são o valete, a dama e 
o rei. Retirando-se uma car-
ta de um baralho, qual é a 
probabilidade de sair uma carta de copas ou um 
valete?
 5. 
Brasil nas Olimpíadas de Pequim em 2008 e des-
taca as conquistas nas modalidades masculinas 
no evento:
Medalhas em modalidades masculinas
Ouro Prata Bronze
1 3 5
Total de medalhas conquistadas
Ouro Prata Bronze
3 4 8
Considere o universo de todas as modalidades 
em que o Brasil conquistou medalhas. Sabe-se 
que, nas modalidades femininas, cada atleta ou 
equipe (no caso dos esportes coletivos) obteve 
exatamente uma medalha. Nessas condições, 
escolhendo-se ao acaso uma modalidade pre-
miada com medalha, a probabilidade de que o 
Brasil tenha obtido, nesta modalidade, medalha 
de bronze ou que esta seja uma modalidade fe-
minina é:
 a) 14
15
X b) 11
15
 c) 1
15
 d) 13
15
 e) 
12
15
 6. -
radas de 1 a 20. Sorteando-se uma delas, qual 
é a probabilidade de que ela tenha um número 
múltiplo de 3 ou de 5?
 a) 40%
X b) 45%
 c) 30%
 d) 50%
 7. 
dos Jogos Olímpicos Universitários com 140 aca-
dêmicos distintos dos seguintes cursos: 80 de 
Matemática, 40 de Engenharia Elétrica e 20 de 
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/L
uc
a 
Vi
lla
no
va
39Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
Multiplicação de probabilidades
Eventos independentes 
Dados dois eventos A e B em que p(A) e p(B) são a probabilidade de ocorrência desses even-
tos, respectivamente, os eventos A e B são denominados eventos independentes quando:
p(A) ∙ p(B) = p(A ∩ B)
Dados dois eventos A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de 
ocorrência simultânea dos dois eventos, ou seja, p(A ∩ B) é determinada pelo produto 
p(A) ∙ p(B/A) em que p(B/A) é a probabilidade de ocorrência do evento B, dada a ocor-
rência do evento A.
p(A ∩ B) = p(A) ∙ p(B/A)
ou
p(A ∩ B) = p(B) ∙ p(A/B)
 1. Em uma urna, são colocadas fichas com as letras 
da palavra “SUCESSO”.
 a) Retirando-se sucessivamente duas fichas, 
sem reposição, determine a probabilidade de 
se obterem duas vogais.
 b) Retirando-se sucessivamente duas fichas, 
com reposição, determine a probabilidade de 
se obterem duas vogais.
 c) Qual probabilidade é maior?
 2. Em um recipiente, são colocadas oito bolas que 
diferem apenas pela cor. São três bolas pretas e 
cinco bolas brancas. Retira-se uma bola e anota-
-se a cor. Repete-se essa operação mais duas ve-
zes. Calcule a probabilidade de as bolas retiradas 
serem brancas.
 3. (ENEM) Em um determinado semáforo, as luzes 
completam um ciclo de verde, amarelo e verme-
lho em 1 minuto e 40 segundos. Desse tempo, 
25 segundos são para a luz verde, 5 segundos 
para a amarela e 70 segundos para a vermelha. 
Ao se aproximar do semáforo, um veículo tem 
uma determinada probabilidade de encontrá-
-lo na luz verde, amarela ou vermelha. Se essa 
aproximação for de forma aleatória, pode-se 
admitir que a probabilidade de encontrá-lo 
com uma dessas cores é diretamente propor-
cional ao tempo em que cada uma delas fica 
acesa. Suponha que um motorista passa por 
um semáforo duas vezes ao dia, de maneira 
aleatória e independente uma da outra. Qual é 
a probabilidade de o motorista encontrar esse 
semáforo com a luz verde acesa nas duas vezes 
em que passar?
 a) 1
25
X b) 1
16
 c) 1
9
 d) 1
3
 e) 1
2
 4. Um dado com seis faces tem o número 1 em uma 
das faces, o número 2 em duas faces e o número 
3 em três faces. Lança-se o dado e anota-se o 
número da face de cima. Repete-se a operação 
mais uma vez. Qual é a probabilidade de que a 
soma dos números seja 5?
 5. Uma prova é constituída de quatro questões de 
múltipla escolha, com cinco alternativas cada 
uma, sendo apenas uma alternativa correta. 
Qual a probabilidade de um aluno acertar todas 
as questões “no chute”?
 6. Um rato é colocado na entrada de um labirinto. 
No fim do trajeto, há uma quantidade de comi-
da. Qual é a probabilidade de o rato chegar à 
comida na primeira tentativa?
C
O
M
I
D
A
 7. Em um armário, há quatro camisetas azuis e três ca-
misetas verdes. Sem poder ver a cor das camisetas e 
escolhendo-se, ao acaso, duas delas, sem reposição, 
qual é a probabilidade de elas serem da mesma cor?
 8. Em uma fábrica, as máquinas M
1
 e M
2
 produzem 
a mesma mercadoria. Do total da produção da 
fábrica, a máquina M
1
 produz 60%; e a máquina 
M
2
, o restante. Porém, da máquina M
1
, 1,2% das 
mercadorias produzidas vem defeituosa e, da má-
quina M
2
, 2,1% das mercadorias vêm defeituosas. 
Marque V para verdadeiro e F para falso:
Para fazer
40 Conquista Modular
Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade 41
 14. O Campeonato Brasileiro de Futebol ocorrepor 
pontos corridos. Isso significa que o time que acu-
mular mais pontos é o campeão. Os quatro últimos 
colocados são rebaixados para a série B ou 2ª. divi-
são. Considere que o último colocado tenha 80% 
de probabilidades de ser rebaixado; e o penúltimo 
colocado, 60%. Qual é a probabilidade de que ao 
menos um desses times venha a ser rebaixado?
 15. (PUCSP) Um aluno prestou vestibular em apenas 
duas universidades. Suponha que, em uma de-
las, a probabilidade de que ele seja aprovado é 
de 30%, enquanto na outra, pelo fato de a prova 
ter sido mais fácil, a probabilidade de sua apro-
vação sobe para 40%. Nessas condições, a pro-
babilidade de que esse aluno seja aprovado em 
pelo menos uma dessas universidades é de:
 a) 70%
 b) 68%
 c) 60%
X d) 58% 
 e) 52%
 16. (ENEM) A figura I a seguir mostra um esquema 
das principais vias que interligam a cidade A 
com a cidade B. Cada número indicado na figura 
II representa a probabilidade de pegar um en-
garrafamento quando se passa na via indicada. 
Assim, há uma probabilidade de 30% de se pe-
gar engarrafamento no deslocamento do ponto 
C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de 
50%, quando se passa por E3. Essas probabilida-
des são independentes umas das outras:
E3
E1
E2
E5
E4
E6
AB
C
D
Figura I
0,5
0,8
0,7
0,4
0,3
0,6
AB
C
D
Figura II
Paula deseja se deslocar da cidade A para a ci-
dade B usando exatamente duas das vias indi-
cadas, percorrendo um trajeto com a menor 
probabilidade de engarrafamento possível. O 
melhor trajeto para Paula é:
 a) E1E3
 b) E1E4
 c) E2E4
X d) E2E5
 e) E2E6
 17. 
Qual é a probabilidade de se obterem no míni-
mo quatro caras?
 a) 1
2
 b) 
13
16
 c) 
11
16
 d) 13
32
X e) 11
32
( F
( V ) Ao escolher uma mercadoria, a probabili-
-
na M
1
 e ser defeituosa é menor que a pro-
máquina M
2
 e ser defeituosa.
( V ) A probabilidade de uma mercadoria ter 
1
 e ser de-
feituosa é 0,72%.
( F ) A probabilidade de uma mercadoria ter 
2
 e ser de-
feituosa é de 2,1%.
 9. Os times Arrancatoco e Pernadepau disputam 
três partidas. A probabilidade de o time Arran-
catoco vencer é 
2
3
, e a probabilidade de o time 
Pernadepau vencer é 
1
4
. Qual é a probabilidade 
de o time Pernadepau vencer apenas uma das 
partidas?
 10. (FUVEST – SP) Escolhendo-se ao acaso duas ares-
tas de um cubo, a probabilidade de elas serem 
reversas é:
 a) 1
3
 b) 1
4
 c) 2
11
X d) 4
11
 e) 5
11
 11. (FUVEST – SP) Escolhe-se ao acaso três vértices 
distintos de um cubo. A probabilidade de que 
esses vértices pertençam a uma mesma face é:
 a) 3
14
X b) 
2
7
 c) 
5
14
 d) 
3
7
 e) 13
18
 12. Se um casal pretende ter quatro filhos, qual é 
a probabilidade de ter dois meninos e duas 
meninas?
 13. (UFAL) Os times X e Y disputam um jogo nos pê-
naltis. A probabilidade de o goleiro do time X 
defender o pênalti é 1/8, e a probabilidade de 
o goleiro do time Y defender o pênalti é 1/5. 
Se cada time terá direito a um pênalti, qual a 
probabilidade de exatamente um dos goleiros 
defender o pênalti, e, assim, vencer o time do 
goleiro que defendeu o pênalti?
 a) 1
4
X b) 11
40
 c) 13
40
 d) 7
20
 e) 3
8
42 Conquista Modular
 18. Fábio e João praticam arremessos com uma bola 
de basquete em uma cesta. Fábio, de cada três 
arremessos acerta dois, ou seja, a probabilidade 
de acerto é 
2
3
, enquanto João, de cada três ar-
remessos, acerta um, ou seja, sua probabilidade 
de acerto é 
1
3
. Considerando que os arremessos 
de Fábio e João são independentes, se os dois ar-
remessam a bola em direção à cesta, determine:
 a) a probabilidade de ambos atingirem o alvo: 
 b) a probabilidade de pelo menos um deles 
acertar o alvo:
 19. (PUC-Rio – RJ) Jogamos dois dados comuns, com 
outro, vermelho.
 a) Qual é a probabilidade de que os dois dados 
mostrem o mesmo número?
 b) 
mostre um número maior do que o do dado 
vermelho?
Probabilidade condicional
Em um espaço amostral E, considerando os eventos A e B, a probabilidade de ocorrência 
do evento A, tendo ocorrido o evento B, é representado por p(A|B). Nessa probabilidade, o 
espaço amostral é um subconjunto de E, ou seja, é formado pelos elementos de B.
 1. Considere os dados tabulados de uma pes-
quisa feita em uma empresa e responda às 
questões:
Grupo 
sanguíneo A B AB O
Número de 
pessoas 80 20 10 90
Grupo 
sanguíneo A B AB O
Fator Rh+ Rh– Rh+ Rh- Rh+ Rh- Rh+ Rh-
Número de 
pessoas 64 16 15 5 9 1 72 18
 a) Uma pessoa é escolhida ao acaso e sabe-se 
que ela tem sangue tipo A; qual é a probabi-
lidade de ela ter RH+?
p
64
80
4
5
 b) Uma pessoa é escolhida ao acaso e sabe-se 
que ela tem sangue com fator Rh–; qual é a 
probabilidade de ela ser tipo O?
p
18
40
9
20
 c) Uma pessoa é escolhida ao acaso e sabe-se 
que ela só pode receber sangue tipo B e AB: 
 qual a probabilidade de ela ter sangue 
tipo B? 
p
20
30
2
3
 qual a probabilidade de ela ter fator RH– ? 
p
6
30
1
5
 2. Fabinei lança um dado sem que Claudino veja 
o resultado pela face voltada para cima. Fabinei 
-
dade de Claudino acertar o número?
Espaço amostral: 3
Evento: número par: 1
p = 1
3
 3. Uma pesquisa feita em certa região apontou 
que, entre as pessoas com mais de 50 anos, 
8% dos homens e 1% das mulheres têm pro-
blemas cardíacos. Se uma pessoa, nessa faixa 
Para fazer
p(A|B) = 
p(A B)
p(B)
 p(B) > 0
Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
 6. (ENEM) O diretor de um colégio leu numa revis-
ta que os pés das mulheres estavam aumentan-
do. Há alguns anos, a média do tamanho dos 
calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 
37,0. Embora não fosse uma informação cientí-
funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a 
seguir:
Tamanho dos calçados Número de funcionários
39,0 1
38,0 10
37,0 3
36,0 5
35,0 6
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo 
que ela tem calçado maior que 36,0, a probabi-
lidade de ela calçar 38,0 é:
 a) 
1
3
 b) 
1
5
 c) 2
5
X d) 
5
7
 e) 
5
14
p =
+ +
=
10
10 3 1
5
7
 7. (UFRN) Em determinado hospital, no segundo 
semestre de 2007, foram registrados 170 casos de 
câncer, distribuídos de acordo com a tabela a seguir:
Câncer de pulmão Outros 
tipos de 
câncer
Total
Fumante Não fumante
Homem 54 6 40 100
Mulher 45 5 20 70
A probabilidade de uma dessas pessoas, esco-
lhida ao acaso, ser mulher, sabendo-se que tem 
câncer de pulmão, é:
X a) 5
11
 b) 7
17
 c) 6
17
 d) 
3
11
p =
+
+
= =
45 5
50 60
50
110
5
11
de idade, é escolhida e tem problemas de co-
ração, qual é a probabilidade de ser mulher?
Espaço amostral: 9%
Evento: pessoa na faixa de idade escolhida ter problemas de 
coração: 1%
p
1
9 
 4. Dois amigos, Rodrigo e João Pedro, lançam dois 
dados e, se a soma das faces voltadas para cima 
for 5, Rodrigo ganha, mas, se a soma for 8, João 
Pedro ganha. Os dados foram lançados e sabe-se 
que Rodrigo não ganhou, então qual é a proba-
bilidade de João Pedro ter ganhado?
Como Rodrigo não ganhou, não ocorreram os resultados: (1, 4); 
(2, 3); (3, 2) e (4, 1). Logo, o espaço amostral é 36 – 4 = 32
O evento soma dos números igual a 8 é formado pelos
 elementos: (2, 6); (3, 5); (5, 3) e (6, 2)
p
4
32
1
8
 5. Tecidos com defeito são descartados pelas malha-
rias e não são vendidos para o consumidor. Uma 
máquinas: máquina 1 e máquina 2. Cada uma 
cada uma. Da venda final para o consumidor, a 
restante. Sabe-se ainda que, das bobinas produ-
são defeituosas. Dessa forma, determine:
 a) a probabilidade de uma bobina ser defeituosa;
1,5% · 60% = 0,009 = 0,9% das peças da máquina A são 
defeituosas. 2,5% · 40% = 0,01 = 1% das peças da 
máquina B são defeituosas. Assim, 1,9% do total são 
defeituosas.
 b) sendo a bobina defeituosa, a probabilidade 
de ela ser da máquina 1;
A probabilidade de ser defeituosa e ser da máquina 1 é 
0 9
1 9
9
19
,
, .
 c) sendo a bobina defeituosa, a probabilidade 
de ela ser da máquina 2.
A probabilidade de ser defeituosa e ser da máquina 2 é 
1
1 9
10
19, .
43
Todas as alternativas estão corretas.
p(par)= 2 ⋅ p(ímpar)
p(ímpar) = x
p(par) = 2x
x + x + x + 2x + 2x + 2x = 100%
x = 
1
9
(00) Correta.
p = 3 · 2x = 3 · 2 · 1
9
 = 2
3
(01) Correta. Os possíveis números primos são 2, 3 e 5. 
p = 2x + x + x = 4x = 4 · 1
9
= 4
9
.
(02) Correta.
p = 3 · x = 3 · 1
9
 = 1
3
(03) Correta. Os possíveis números primos ímpares são 
3 e 5.
p = x + x = 2x = 2 · 1
9
 = 2
9
(04) Correta.
p = 2x + x + 2x = 5x = 5 · 1
9
 = 5
9
 
 11. (UFPB) Em um determinado campeonato de fu-
tebol, 16 equipes lutam para conquistar o título 
de campeã. Passados alguns jogos, um estatísti-
co, considerando a colocação de cada equipe na 
probabilístico e verificou que: 
 as equipes que estão ocupando da 1.ª à 6.ª colo-
cação têm as mesmas probabilidades de serem 
campeãs;
 as equipes que estão ocupando da 7.ª à 12.ª colo-
cação têm as mesmas probabilidades de serem 
campeãs;
 as equipes que estão ocupando da 13.ª à 16.ª co-
locação têm as mesmas probabilidades de serem 
campeãs; 
 a probabilidade de a campeã ser uma das equi-
pes que estão ocupando da 1.ª à 6.ª colocação é 
o dobro da probabilidade de ser uma das equi-
pes que estão ocupando da 7.ª à 12.ª colocação; 
 a probabilidade de a campeã ser uma das 
equipes que estão ocupando da 7.ª à 12.ª colo-
cação é o triplo da probabilidade de ser uma 
das equipes que estão ocupando da 13.ª à 16.ª 
colocação. 
Com base nessas informações, identifique as 
afirmativas corretas: 
 8. 
no Brasil sobre a preferência de cor de carros, 
a cor prata domina a frota de carros brasileiros, 
representando 31%, seguida pela cor preta, com 
12%. Com base nestas informações, tomando 
um carro ao acaso, entre todos os carros brasi-
leiros de uma dessas quatro cores citadas, qual a 
 a) 
4
25
 b) 
3
7
 c) 
17
25
 d) 
37
50
X e) 17
21
A probabilidade de ele não ser cinza é:
p = 31 25 12
84
68
84
17
21
+ +
= =
 9. (UFPE) Um construtor compra 60% das suas te-
lhas da Companhia A e o restante da Companhia 
B. Suponha que 96% das telhas compradas de A 
são entregues sem defeito, e o mesmo ocorre com 
98% das telhas de B. Se uma telha foi entregue com 
defeito, calcule a probabilidade percentual p% de 
ter sido entregue pela Companhia A. Indique p.
Se a companhia A entrega 96% das telhas sem defeito, 
então 4% são telhas com defeito e, se a companhia B 
entrega 98% das telhas sem defeito, então 2% são te-
lhas com defeito. 
Logo, a porcentagem de telhas com defeito é: 
4% · 60% + 2% · 40% = 0,024 + 0,008 = 0,032
Se uma telha foi entregue com defeito, a probabilidade 
de ser da companhia A é: 
P = 0 024
0 032
,
,
= 0,75 = 75%
 10. (UPE) Lança-se um dado viciado, de modo que 
-
lidade de ocorrer que qualquer número ímpar. 
Então:
(00) a probabilidade de um número par apare-
cer é 2
3
.
(01) a probabilidade de um número primo apa-
recer é 4
9
.
(02) a probabilidade de um número ímpar apa-
recer é 1
3
.
(03) a probabilidade de um número primo ím-
par aparecer é 2
9
.
(04) a probabilidade de um número maior que 
3 aparecer é de 5
9
.
 X
 X
 X
 X
 X
44 Conquista Modular
Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
(02) O número de meninos do curso é igual a 
40% do total de alunos matriculados.
(04) A média do número de meninas por turma 
é menor que 23.
(08) O número de duplas que podem ser for-
madas apenas com meninas é igual a 2 
415.
(16) Sorteando-se um estudante do curso, a 
probabilidade de ser uma menina da tur-
ma A é igual a 23
120
.
(32) Sorteando-se um estudante do curso, a 
probabilidade de ser uma menina ou ser 
da turma A é igual a 87
120
.
Somatório: 56 (08, 16, 32).
(01) F alsa, pois 17 18 15
23 22 25
50
70
5
7
+ +
+ +
= = . 
(02) Falsa, pois o número de matriculados é 120 e o 
número de meninos é 50, que corresponde a 42%, 
aproximadamente. 
(04) Falsa, pois na turma A existem 23 meninas e, na 
turma C, há 25 meninas. 
(08) Verdadeira, pois C70
2 = 2 415.
(16) Verdadeira, pois p = 23
120
. 
(32) Verdadeira, pois p = 70
120
40
120
23
120
87
120
+ − = .
 13. Alguns alunos não sabiam resolver uma questão 
de vestibular, com 5 opções de resposta. Sabe-
-se que 50% dos alunos sabia resolver a ques-
tão. Dos que não sabiam e responderam alea-
toriamente, apenas 20% acertou. Logo, qual a 
probabilidade de que um aluno, escolhido ao 
acaso, tenha “chutado” a questão, dado que ele 
acertou?
Como o aluno acerta a questão porque ele sabe ou por-
que chutou e acertou, a probabilidade é dada por:
P(acertar) = P(sabe) ∙ P(acertar/chutou) = 0,5 + 0,5 ∙ 0,2 =
= 0,5 + 0,1 = 0,6 → 60%
Logo, a probabilidade de escolher um aluno ao acaso e 
ele ter chutado a questão dado que acertou é:
 
P chutar acertar
P chutar acertar
P acertar
/
( )
( )
, ,
,
( ) = ∩
=
=
⋅
=
0 5 0 2
0 6
00 1
0 6
1
6
,
,
=
 X
 X
 X
 I. A probabilidade de a campeã ser a equipe 
que está na 6.ª colocação é de 3
29
. 
 II. A probabilidade de a campeã ser a equipe 
que está na 7.ª colocação é de 5
58
. 
 III. A probabilidade de a campeã ser uma das 
equipes que estão ocupando da 13.ª à 15.ª co-
locação é de 3
58
. 
 IV. A probabilidade de a campeã ser uma equipe 
que está na 2.ª ou na 12.ª colocação é de 9
58
. 
 V. A probabilidade de a campeã ser a equipe 
que está na última colocação é maior do que 
1
29
.
Alternativas I, III e IV. Considerando x a probabilidade 
de cada equipe da 13ª. à 16ª. serem campeãs, tem-se 3x 
como a probabilidade de cada equipe da 7ª. à 12ª. serem 
campeãs. Desse modo, 6x é a probabilidade de cada 
equipe da 1ª. à 6ª. ser campeã. 
Assim, 6 · 6x + 6 · 3x + 4 · x = 1 logo x = 1
58
 
I. Correta. A probabilidade da equipe que está na 6ª. co-
locação é 6 . 1
58
 = 3
29
 
II. Incorreta. A probabilidade da equipe que está na 7ª. 
colocação é 3 . 1
58
 = 3
58
III. Correta. A probabilidade de a equipe campeã estar 
ocupando da 13ª. à 15ª. colocação é: 3 · 1
58
 = 3
58
 
IV. Correta. A probabilidade de a equipe campeã estar 
ocupando a 2ª. ou a 12ª. colocação é: 
6 · 1
58
 + 3 ⋅ 1
58
 = 9
58
V. Incorreta. A probabilidade de a equipe campeã estar 
ocupando a 16ª. colocação é: 1
58
 < 1
29
.
 12. (UFBA) Os dados a seguir referem-se aos alunos 
matriculados nas três turmas de um curso de 
Inglês:
Turma A Turma B Turma C
Número de meninos 17 18 15
Número de meninas 23 22 25
Com base nesses dados, é correto afirmar:
meninos e o número de meninas é menor 
que 3
4
.
45
Atividades
 1. Um dado é fabricado a partir de um icosaedro 
regular. Assim, em cada face foi gravado um úni-
co número da seguinte maneira: 
 O número 2 foi gravado em 6 faces. 
 O número 3 foi gravado em 5 faces.
 O número 4 foi gravado em 4 faces. 
 O número 5 foi gravado em 3 faces. 
 O número 6 foi gravado em 2 faces. 
Dessa forma, ao lançar esse dado, pode-se afir-
mar que:
 a) A probabilidade de a face voltada para cima 
ser um número primo é 2
5
.
 b) A probabilidade de a face voltada para cima 
ser um número par é igual à probabilidade 
de a face voltada para cima ser um número 
ímpar.
 c) A probabilidade de a face voltada para cima 
ser maior que 4 é igual a 1
5
.
X d) A probabilidade de a face voltada para cima 
ser o número 6 é 1
10
.
 e) Se a face voltada para cima for um número 
par, a probabilidade de essa face ser o núme-
ro 2 será 
1
6
.
 2. 
anotado. Qual é a probabilidade de a soma dos 
números anotados ser maior ou igual a 7?
 a) 7
6
 b) 1
4
 c) 2
3
 d) 7
16
X e) 7
12
 3. Em cada semana, João, Fábio e Juliano jogam na 
jogos que acha mais conveniente para aumentar 
as probabilidades de ganhar o prêmio principal. 
Para cada jogador, não existem cartões com os 
mesmos números e João joga um cartão com 8 
números, Fábio joga 14 cartões com 6 números 
em cada cartão e Juliano joga dois cartões com 7 
números em cada cartão. Dessa forma, marque 
V para verdadeiro e F para falso:
 ( V ) A probabilidade de João ganhar é maior 
que a de Fábio.
 ( F ) A probabilidade de Fábio ganhar é maior 
que a de Juliano.
 ( F ) A probabilidadede João ganhar é menor 
que a de Juliano.
 ( V ) A probabilidade de Juliano ganhar é igual 
a de Fábio.
 ( V ) A probabilidade de João ganhar é igual 
à soma das probabilidades de Fábio e 
Juliano.
 4. (ENEM) O controle de qualidade de uma empre-
sa fabricante de telefones celulares aponta que 
a probabilidade de um aparelho de determinado 
modelo apresentar defeito de fabricação é de 
0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos 
desse modelo para um cliente, qual é a probabi-
lidade de esse cliente sair da loja com exatamen-
te dois aparelhos defeituosos?
 a) 4
 b) 2
X c) 2 2
 d) 
 e) 
 5. Uma das provas da gincana de um colégio con-
sistia em colocar três cartas com as letras A, B e 
C (cada uma com uma letra) com as letras volta-
das para baixo. Um integrante escolhido de cada 
equipe colocaria as cartas enfileiradas e depois 
disso viraria cada carta.
Para cada carta, que, ao ser virada, estiver em 
seu lugar próprio do alfabeto, a equipe ganhará 
10 pontos. Com base nisso, pode-se afirmar que:
 a) a probabilidade de uma equipe obter 30 pon-
tos é 1
3
;
 b) a probabilidade de uma equipe obter 10 pon-
tos é 1
6
;
 c) uma equipe pode obter 20 pontos;
 d) a probabilidade de uma equipe não obter 
pontos é 1
2
;
X e) existem duas possibilidades de nenhuma das 
letras ocupar o seu lugar próprio no alfabeto.
 6. (UEG – GO) Numa reunião de trabalho estão seis 
pessoas, entre elas Luís e Geraldinho. Escolhen-
do-se, ao acaso, uma comissão com quatro pes-
soas, qual é a probabilidade de Luís ou Geraldi-
nho pertencerem a essa comissão?
 7. (UFPR) Dois matemáticos saíram para comer 
não aparecessem duas caras seguidas, Alfredo 
pagaria a conta, caso contrário Orlando pagaria.
Qual é a probabilidade de Alfredo pagar a conta?
Atividades
46 Conquista Modular
X a) 1
2
 b) 7
16
 c) 3
4
 d) 5
8
 e) 9
16
 8. Uma mesa tem oito cadeiras das quais quatro 
são defeituosas. Escolhendo-se, ao acaso, três 
cadeiras, determine a probabilidade de que al-
guma seja defeituosa.
 9. Uma urna contém n bolas. Retira-se ao aca-
so uma bola dessa urna. Sabe-se que a pro-
p A
n
( ) =
−7
4
. Então, qual é o número máximo e 
mínimo de bolas que a urna pode conter?
 10. (UFMG) Dois jovens partiram, do acampamento 
em que estavam, em direção à Cachoeira Gran-
seguindo a trilha indicada neste esquema: 
Cachoeira Grande
Acampamento
Cachoeira Pequena
Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles 
escolhiam, com igual probabilidade, qualquer 
um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é 
correto afirmar que a probabilidade de eles che-
garem à Cachoeira Pequena é:
 a) 1
2
 b) 2
3
X c) 3
4
 d) 5
6
 11. (ENEM) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contu-
do, quer exatamente 2 filhos homens e decide que, 
se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procu-
para garantir que teria os dois filhos homens. Após 
os cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de 
ter exatamente 2 filhos homens é:
 a) -
tamento.
 b) -
mento.
 c) -
mento.
 d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica 
X e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clí-
 12. (CEFET – PI) Durante a disputa de um campeo-
nato de futebol sempre aparecem aquelas previ-
sões de ganho, perda ou empate em uma deter-
minada partida. Existem pessoas que acreditam 
que condições extrínsecas ao campo podem in-
terferir no resultado de uma partida. Considere 
as previsões sobre uma partida de futebol entre 
Flamengo e Vasco:
 A probabilidade de chover no dia do jogo é 3
7
.
 A probabilidade de empate é 2
5
.
 A probabilidade de o Flamengo ganhar é 
3
8
.
Analisando apenas tais “previsões” pode-se di-
ganhar é:
 a) 19
70
X b) 9
70
 c) 
3
30
 d) 7
19
 e) 14
31
 13. (FGV – SP) De forma consecutiva extraímos de 
uma urna três bolas numeradas de 1 a 9 repon-
do a bola retirada após cada extração, forman-
do um número de três algarismos. O primeiro 
algarismo sorteado é o algarismo das centenas; 
unidades.
 a) Calcule a probabilidade de que saia um nú-
mero:
 I. com três algarismos repetidos;
 II. sem nenhum algarismo repetido;
 III. com exatamente dois algarismos exatamente 
iguais.
 b) Em uma caixa com 10 lapiseiras, 4 delas estão 
com defeito. Se um cliente compra 2 lapisei-
ras escolhidas aleatoriamente, é certo afirmar 
que a probabilidade de que nenhuma lapisei-
ra esteja com defeito é maior que 30%?
 14. (ACAFE – SC) Uma prova consta de 7 questões de 
múltipla escolha, com 4 alternativas cada uma, e 
apenas uma correta. Se um aluno escolher como 
correta uma alternativa ao acaso em cada ques-
tão, a probabilidade de que ele acerte ao menos 
uma questão da prova é de, aproximadamente: 
47Matemática Análise combinatória, binômio de Newton e probabilidade
48 Conquista Modular
X a) 87%
 b) 85%
 c) 90%
 d) 47%
 15. (ENEM) O psicólogo de uma empresa aplica um 
teste para analisar a aptidão de um candidato a 
determinado cargo. O teste consiste em uma sé-
rie de perguntas cujas respostas devem ser ver-
dadeiro ou falso e termina quando o psicólogo 
der a segunda resposta errada. Com base em 
testes anteriores, o psicólogo sabe que a pro-
babilidade de o candidato errar uma resposta 
é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na 
quinta pergunta é:
 a) 0,02048
X b) 0,08192
 c) 0,24000
 d) 0,40960
 e) 0,49152
 16. (ENEM) No próximo final de semana, um grupo 
de alunos participará de uma aula de campo. Em 
dias chuvosos, aulas de campo não podem ser 
-
do, mas, se estiver chovendo no sábado, a aula 
será adiada para o domingo. Segundo a meteo-
rologia, a probabilidade de chover no sábado é 
de 30% e a de chover no domingo é de 25%. A 
probabilidade de que a aula de campo ocorra no 
domingo é de:
 a) 5,0%
 b) 7,5%
X c) 22,5%
 d) 30,0%
 e) 75,0%
 17. (ENEM) Um bairro residencial tem cinco mil mo-
radores, dos quais mil são classificados como 
vegetarianos. Entre os vegetarianos, 40% são es-
portistas, enquanto, entre os não vegetarianos, 
essa porcentagem cai para 20%. Uma pessoa 
desse bairro, escolhida ao acaso, é esportista. A 
probabilidade de ela ser vegetariana é:
 a) 
2
25
 b) 
1
5
 c) 1
4
X d) 1
3
 e) 5
6
 18. (EsPCEx/AMAN – SP) De uma caixa contendo 50 
bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bo-
las, sem reposição. A probabilidade do número 
da primeira bola ser divisível por 4 e o número 
da segunda bola ser divisível por 5 é:
 a) 12
245
 b) 
14
245
 c) 
59
2450
X d) 
59
1225
 e) 
11
545
 19. De um total de 16 fichas, numeradas de 1 a 16, 
3 são sorteadas aleatoriamente. Qual a probabi-
lidade de nenhuma das fichas sorteadas conter 
um número múltiplo de 4?
 a) 
1
4
 b) 
1
3
 c) 
3
4
X d) 
11
28
 e) 
28
11
 20. (UEG – GO) Um nadador vai disputar duas pro-
vas nas Olimpíadas, primeiro os 100 metros 
borboleta e depois os 100 metros nado livre. A 
probabilidade de ele vencer a prova dos 100 me-
tros borboleta é de 70%, ao passo que a de ele 
vencer ambas é de 60%. Se ele vencer a prova 
dos 100 metros borboleta, a probabilidade de 
ele vencer a prova dos 100 metros nado livre é 
de aproximadamente:
 a) 0,42 
X b) 0,86 
 c) 0,50 
 d) 0,70 
 e) 0,60