Geometria Plana: Fundamentos e História

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CURSO TECNOLOGIA EM GEOPROCESSAMENTO 
DISCIPLINA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA PARA 
GEOPROCESSAMENTO 
ALUNO (A) 
CÓDIGO 
PROFESSOR JACKSON MARTINS REIS 
 
TÓPICOS DE GEOMETRIA PLANA 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
A Geometria Plana estuda as figuras planas. Entendemos por figura plana todo 
subconjunto, não vazio, de pontos de um plano. Quando dizemos que “F” é uma figura 
plana, estamos afirmando que “F” está totalmente contida num plano. 
O conjunto Universo da Geometria Plana será, pois o Plano. 
 
2. UM POUCO DE HISTÓRIA 
 
 
Possivelmente o primeiro documento importante da história da Geometria foi um papiro 
que datava do séc. XIX a.C. e que esteve em posse da escriba Ahmes, que o recopiou 
dois séculos mais tarde. 
Até o quarto século a.C., a Geometria não passava de receitas descobertas 
experimentalmente, sem fundamento científico. Por exemplo, era de conhecimento dos 
egípcios que o triângulo cujos lados medem 3,4 e 5 é retângulo, e era do conhecimento 
dos gregos que o comprimento de um círculo era aproximadamente 3 vezes o 
comprimento do seu próprio diâmetro. 
Com o desenvolvimento da lógica e com a contribuição de grandes sábios como Thales, 
Pitágoras, Platão e outros, a Geometria toma uma nova dimensão com o aparecimento de 
uma grande obra em 13 volumes chamada Os elementos de Euclides, com mais de mil 
edições até os dias de hoje. Nele a Geometria é apresentada de forma lógica e 
organizada, partindo de algumas suposições simples e desenvolvendo-se por raciocínio 
lógico. 
 
OBS:A geometria que estudaremos é chama de GEOMETRIA EUCLIDIANA, em 
homenagem a Euclides. 
 
 
 
3. ENTES FUNDAMENTAIS 
 
3.1. PONTO, RETA e PLANO 
São ideias primitivas, entes que não possuem definição. 
 
4. AXIOMAS E TEOREMAS 
 
4.1. AXIOMAS OU POSTULADOS: Não exigem demonstração (propriedades aceitas 
por serem evidentes) 
 
EXEMPLOS DE POSTULADOS: 
Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos 
 
Por um ponto passam infinitas retas 
 
Dois pontos distintos determinam uma reta 
 
Três pontos não colineares determinam um plano 
 
 
4.2. TEOREMAS: Propriedades que exigem demonstração 
 
EXEMPLOS DE TEOREMAS: 
 
• Teorema de Pitágoras 
• Lei dos senos 
• Lei dos cossenos 
 
5. ÂNGULOS 
 
Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem. 
 
 
Indica-se: AÔB 
Nomenclatura: 
O Vértice
OA e OB Lados
→
→
 
 
 
 
5.1- UNIDADES PARA MEDIR ÂNGULOS 
 
a) grau: (º), minuto (‘) e segundo (‘’) 
1º = de 1 reto 
 
 1 reto → 90º 
 
 
1 minuto = de 1º 
 
 
 1º → 60 minutos 
 
 
1 segundo = de 1 minuto 
 
 1 minuto → 60 segundos ou 1 grau →3600 segundos 
 
 
b) grado: ( gr) 
 
1 gr = de 1 reto 
 
 1 reto → 100gr 
 
 
 
c) Radiano: 
 
Sistema que adota para unidade de medida um ARCO de circunferência, determinado por 
um ângulo central cujo COMPRIMENTO é igual ao RAIO dessa circunferência. 
 
90
1
60
1
60
1
100
1
 
 
OBS1: Convenções: 
 
De acordo com a figura, o ângulo determinado pelas semirretas OA e OB será 
representada por AÔB ou rÔs ou Ô e a sua medida por . 
Assim: 
 
 
 med (AÔB) = med (rÔs) = méd (Ô) = med ( ) =  
 
 
 
 
 
 
OBS2: TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES 
 
 
 
360 2 400
180 200
rad gr
ou
rad gr


→ →
→ →
 
 
 
5.2- CLASSIFICAÇÃO 
 
I) Ângulo reto: É todo ângulo cuja medida é 90°. 
 
 90 =  
 
 
 
 
 
II) Ângulo agudo: É todo ângulo cuja medida é 
menor que 90°. 
̂
 
 
 
 
 
 0 90   
 
 
 
 
Exemplos de ângulos agudos: 
30°, 60°, 80° 
 
 
 
 
 
 
III) Ângulo obtuso: É todo ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°. 
 
 
 90 180   
 
 
 
Exemplos de ângulos agudos: 
130°, 160°, 100° 
 
6.ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
 
Definição: 
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90° 
a + b = 90º 
Exs: 
20º e 70º 
10º e 80º 
 
 
 
7.ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
 
 Definição: 
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180° 
a + b = 180º 
Exs: 100º e 80º 
120 e 60º 
 
 
 
 
 
 
 
8. ÂNGULOS REPLEMENTARES 
 
Definição: 
Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é 360º. 
Exs: 200º e 160º 
300º e 60º 
 
9. ÂNGULOS EXPLEMENTARES 
 
 Definição: 
Dois ângulos são explementares quando a diferença de suas medias, em módulo, é 180º. 
Exemplo: 200º e 20º 
 240º e 60º 
 
 
Algebricamente temos: 
 
ÂNGULO COMPLEMENTO SUPLEMENTO REPLEMENTO EXPLEMENTO 
X 90º - x 180º - x 360º - x 180º + x 
 
 
10. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÈRTICE (O.P.V.) 
 
 
 Definição: Ângulos opostos pelo vértice são aqueles em que os lados de um são 
semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
 
Teorema 
 
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. ( ˆâ b= ) 
 
11. BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
 
Definição: 
Bissetriz é uma semi- semi-reta, de origem no vértice do ângulo, que o divide em dois 
ângulos congruentes. 
 
 
OBS: Todo ponto que pertence à bissetriz é equidistante dos lados do ângulo. 
 
 
12. RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL 
 
Duas retas r e s, paralelas distintas, e uma 
transversal t determinam oito ângulos 
geométricos, conforme figura abaixo. Dois 
quaisquer desses ângulos ou são 
congruentes ou são suplementares. 
 
 
 
 
 
 
OBS1: Ângulos de lados paralelos são CONGRUENTES ou SUPLEMENTARES. 
 
 
 
 
 
OBS2: Ângulos de lados perpendiculares são CONGRUENTES ou SUPLEMENTARES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
1. Dois ângulos complementares A e B, sendo A < B, têm medidas na razão de 13 
para 17. Consequentemente, a razão da medida do suplemento do ângulo A para o 
suplemento do ângulo B vale: 
 
a) 43/47 b) 17/13 c) 13/17 d) 119/48 e) 47/43 
 
2. Determine o suplemento do complemento do ângulo de medida 50°20’30”. 
 
3. Da medida de um ângulo tira-se a sua teça parte e depois a metade da medida do 
suplemento do que restou e obtém-se 60º. Qual a medida do ângulo? 
 
4. Na figura, os pontos A e B estão no mesmo plano que contém as retas paralelas r e s. 
Calcule o ângulo  
 
 
 
5. Uma folha de papel retangular foi dobrada conforme a figura. Calcule o valor de x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, 
como mostra a figura. 
 
A medida do ângulo x é: 
 
a) 39° b) 41° c) 43° d) 44° e) 46° 
 
 
 
7. A figura representa dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em 
diferentes 
escalas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse 
estado no mapa do Brasil. 
Esse número é 
a) Menor que 10 
b) Maior que 10 e menor que 20 
c) Maior que 20 e menor que 30 
d) Maior que 30 e menor que 40 
e) Maior que 40 
 
8. O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem 
resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o greco da lenda, morreu 
de fadiga por ter corrido 42km. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies 
da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor de Educação 
Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, 
desenhou na lousa uma pista reta de 60cm, que representa o percurso referido. 
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala feita 
pelo professor e a percorrida pelo atleta? 
 
a) 1:700 
b) 1:7000 
c) 1:70000 
d) 1:700000 
e) 1:7000000 
 
9. Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar 
cimento areia e brita, na seguinte proporção 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes 
de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um 
caminhão betoneira com 14m3
 de concreto. Qual o volume de cimento, em m3, na carga de 
concreto trazido pela betoneira? 
a) 1,75 
b) 2,00 
c) 2,33 
d) 4,00 
e) 8,00 
 
10. A metade do complemento de um ângulo mede 40° 34’ 50”. Qualo ângulo? 
 
11. O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte do suplemento deste 
ângulo. Este ângulo mede: 
 
 
a) 45° d) 78°45' 
b) 60° e) 56°15' 
c) 48°30' 
 
 
 
 
 
12. Se r//s, então x̂ valerá: 
 
a) 32° 
b) 33° 
c) 65° 
d) 43° 
e) 50° 
 
13. Na figura, DE// AB . O valor de  é: 
 
a. 80° d) 15° 
b. 40° e) 30° 
c. 20° 
 
 
 
 
14. O triplo da medida do complemento de um ângulo aumentado de 30° é igual à 
medida do seu suplemento. Qual a medida desse ângulo? 
 
a. 20° c) 40° e) 60° 
b. 30° d) 50° 
 
15. Da medida de um ângulo tira-se a sua terça parte e depois a metade da medida do 
suplemento do que restou e obtêm-se 60°. Qual a medida do ângulo? 
 
a. 150° c) 120° e) 100° 
b. 110° d) 130° 
 
16. Considere as retas r, s, t, u todas num mesmo plano, com r//u. O valor em graus 
de (2x + 3y) é: 
a. 64° 
b. 500° 
c. 520° 
d. 660° 
e. 580° 
 
 
 
17. Na figura, as retas r e r' são paralelas, e 
a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre 
r e s mede 72°, então o ângulo  da figura mede: 
 
a. 36° 
b. 32° 
c. 24° 
d. 20° 
e. 18° 
 
18. O valor de  na figura ao lado é: 
20° 
a. 30° 
b. 40° 
c. 50° 
d. 60° 
 
 
 
19. Num mapa, cada cm corresponde a 12,5 km. Notando que a distância entre duas 
cidades, nesse mapa, é 18 cm, calcule a distância real entre elas. 
 
a. 180 km c) 12.500 km e) 12.500.000 cm 
b. 225 km d) 1.800 km 
 
 
20. Se a saca de soja está cotada em US$ 10,00, qual será o valor de 
3 toneladas do produto, e se a densidade é 0,75 a da água, qual o volume ocupado por 15 
toneladas de soja? 
Densidade absoluta da água: 1 kg/l 
Saca de soja: 60 kg 
 
a) US$ 550,00 e 20 m3 d) US$ 500,00 e 20 m3 
b) US$ 500,00 e 10 m3 e) US$ 505,00 e 15 m3 
c) US$ 550,00 e 10 m3 
 
21. Pedro foi comprar papel para a impressora e observou que em cada pacote havia a 
seguinte especificação: 
100 folhas de papel 75g/m2 no formato 215mm x 315mm 
O valor mais próximo, em kg, do conteúdo de cada pacote é: 
a) 0,5 c) 2,3 e) n.r.a 
b) 1,6 d) 5,0 
 
22. O volume interno de gasolina de um tanque é de 48 m3. Estando cheio de gasolina até 
os 3/4 da sua capacidade total, quanto litros faltam para encher o tanque? 
a. 36 000 l c) 36 l e) 24 l 
b. 12 000 l d) 12 l 
 
23. 5.000 litros de um refrigerante são distribuídos em garrafas cuja capacidade é de 250 
ml. Quantas garrafas foram usadas? 
 
a. 20.000 c) 40.000 e) 60.000 
b. 30.000 d) 50.000 
 
24. Pedro comprou um sítio de 14 hectares, reservando, para a construção da casa e área 
de lazer, 1/4 do terreno. O restante, Pedro usou para plantar arroz, milho e feijão. Se a área 
plantada tem 2/7 de arroz e 2/5 de milho, quantos metros quadrados do terreno foram 
ocupados com a plantação de feijão? 
 
a. 33.000 c) 10.000 e) 3 ha 
b. 20.000 d) 2,5 ha 
 
25. Em uma fotografia aérea, um trecho retilíneo de uma estrada que mede 12,5 km 
aparece medindo 5 cm, na mesma fotografia, uma área queimada aparece com 9 cm2. 
Calcule: 
a. O comprimento que corresponde a 1 cm na mesma fotografia. 
b. A área da superfície queimada 
 
26. Temos duas plantas de um mesmo terreno retangular, uma na escala 1:20 e outra na 
escala 1:25. Qual é a razão entre as áreas dos retângulos da primeira e da segunda planta? 
 
a. 16/25 b) 4/5 c) 24/25 d) 5/4 e) 25/16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIANGULOS 
 
1. Definição 
 
Dados três pontos não colineares A, B e C, chama-se triângulo a união dos três 
segmentos . 
 
 ABC =   
 C 
 
 
 
 
A B 
 
 2. Região Triangular 
 
É a união do triangulo ABC com o seu “interior”. 
BCe,AC,AB
AB BC AC
 C 
 
 
 
 
 A B 
 
 3. Elementos do Triângulo 
 
a) vértices: A, B, C 
b) lados: 
c) ângulos internos: 
 
 
 
d) ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo interno adjacente. Na figura, 
por exemplo, ˆBCX é um ângulo externo. 
 
 
ˆ ˆ( ) ( ) 180med BCX med ACB+ =  
 
 
 4. Classificação dos Triângulos 
 
a) Quanto aos lados: EQÜILÁTERO, ISÓSCELES, ESCALENO. 
 
TRIÂNGULO EQUILÁTERO: Os três lados são congruentes entre si, e os três ângulos 
internos medem 60° 
 
 
TRIÂNGULO ISÓSCELES: Possui pelo menos dois lados congruentes. O lado de 
medida diferente, caso exista, é chamado de base, e o ângulo oposto à base é chamado 
de ângulo do vértice. Os ângulos da base (opostos a lados de medidas iguais) são 
congruentes. 
 
AC,BC,AB
ĈeB̂,Â
 
 Teorema 
 
Se o  ABC é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. 
 
B C 
 
 
 
 
 
Consequência do Teorema Anterior 
 
a) AM é bissetriz de 
b) AM BC⊥ 
c) M é ponto médio de BC 
 
 
OBS: Todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo isósceles é equilátero. 
 
TRIÂNGULO ESCALENO: Os três lados e os três ângulos são diferentes entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AB AC BC  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Â
b) Quanto aos ângulos: RETÂNGULO, ACUTÂNGULO, OBTUSÂNGULO. 
 
 
 
 
 5. PROPRIEDADES 
 
 P1) Desigualdade nos triângulos 
 
Ao maior lado apõe-se o maior ângulo 
Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos 
opostos a eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior 
lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a b c A B C     
 
 
OBS: Em todo triângulo, ângulos congruentes são opostos a lados congruentes. 
 
Menor lado Menor ângulo 
Maior lado Maior ângulo 
Lados congruentes Ângulos congruentes 
 
 P2) Existências de Triângulo 
 
Para existir o triângulo, cada um dos três lados deve ser menor que a soma dos 
outros dois. Essas três desigualdades podem ser escritas simultaneamente: 
 
 
 
 
 
 
 
a b c
b a c b c a b c a b c
c a b c b a
 + 

 +  −   −   +
 +  −  
 
 
 
OBS:Se a é o maior lado, então é suficiente 
a < b + c para concluirmos a existência do triângulo. 
 
 P3) Soma dos Ângulos Internos 
 
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 180  + + =  
 
 
 P4) Soma dos Ângulos Externos 
 
Em qualquer triangulo, cada ângulo externo é igual a soma dos internos não 
adjacentes. 
 
180
180
ext
ext
C C
C A B
A B C
+ =  
 = +
+ + = 
 
 
 
 
 Conseqüência 
 
“O ângulo externo é maior do que qualquer ângulo interno não adjacente.” 
OBS: Num triângulo eqüilátero cada ângulo mede 60º, portando todo triangulo 
eqüilátero também é eqüiângulo. 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO MARANHÃO 
CENTRO DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS-CECEN 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E INFORMÁTICA-DEMATI 
 
1 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Assinale a alternativa verdadeira. 
 
a) Um triângulo escaleno não pode ter um ângulo obtuso. 
b) Um triângulo retângulo nunca possui dois ângulos congruentes. 
c) Todo triângulo isósceles é acutângulo. 
d) Um triângulo eqüilátero possui dois lados congruentes. 
e) Um triângulo obtusângulo pode possuir dois ângulos obtusos. 
 
2. Na figura, quanto vale x ? 
 
 
 
3. Na figura a seguir, tem-se o triângulo equilátero XYZ, inscrito no triângulo 
isósceles ABC. O valor de  − é: 
 
a) 15° 
b) 20° 
c) 25° 
d) 30° 
e) 45° 
 
 
 
 
 
4. Um triângulo MNP é tal que o ângulo interno de vértice M mede 80° e o 
ângulo interno de vértice P mede 60°. A medida do ângulo formado pela 
bissetriz do ângulo interno de vértice N com a bissetriz do ângulo externo 
de vértice P é: 
 
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60° 
 
5. Na figura abaixo, tem-se AB = AC e AD = AE. A medida do ângulo α é: 
 
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2 
 
 
 
a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25° 
 
 
6. Na figura a seguir, a circunferência tem centro O e seu raio tem a mesma 
medida do segmento BC . Sejam α a medida do ângulo AÔDe β a medida 
do ângulo ˆACD .. 
 
A relação entre e  é: 
 
5
)
2
) 3
7
)
2
) 2
)
a
b
c
d
e


 


 
 
=
=
=
=
=
 
 
7. Um barco está sendo rebocado para margem de um porto por um cabo de 
aço. Inicialmente, o barco está no ponto A da ilustração, quando o cabo tem 
comprimento de 100m. Após puxar o cabo de 20m, o barco ocupa aposição 
B. Nessas condições, podemos afirmar que a distância AB é: 
 
 
a) Maior que 20m 
b) Igual a 20m 
c) Igual a 19m 
 
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3 
 
d) Igual a 18m 
e) Menor que 18m 
 
 
8. A soma A + B + C + D + E das medidas dos ângulos: 
 
a) é 60º 
b) é 120º 
c) é 180º 
d) é 360º 
e) varia de “estrela” para “estrela” 
 
 
 
9. Determine a medida do ângulo do vértice A do triangulo isósceles ABC, 
sabendo que os segmento FA,EF,DE,CD,BC são congruentes. 
 
 
 
a) 10º 
b) 20º 
c) 30º 
d) 40º 
e) 50º 
 
 
 
10. Um pedaço de papel tem a forma do triângulo equilátero PQR, com 7 cm de 
lado, sendo M o ponto médio do lado PR. Dobra-se o papel de modo que 
os pontos Q e M coincidam, conforme ilustrado abaixo.O perímetro do 
trapézio PSTR, em cm, é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a) 9 b) 28 c) 17,5 d) 49 e) 24,5 
 
 
 
11. No triângulo da figura, a soma das medidas x, y e z pode ser: 
 
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4 
 
a) 25 
b) 27 
c) 29 
d) 31 
e) 33 
 
 
12. As medidas dos lados de um triângulo são respectivamente iguais a x + 1, 
2x – 1 e 4 – x. Um possível valor para x é: 
a) 
3
2
 
b) 
2
3
 
c) 1 
d) 2 
e) 10 
 
13. Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo CB̂A . Se  = 40° E  = 30°, então 
 
a)  = 0° 
b)  = 5° 
c)  = 35° 
d)  = 15° 
e) os dados são insuficientes para a determinação 
de  
 
14. O triângulo ABC é isósceles, com AB = AC . Nele, está inscrito um triângulo 
DEF equilátero. Designando ângulo DF̂B por a, o ângulo 
ED̂A por b, e o ângulo FÊC por c, temos: 
 
a) b = 
2
ca +
 d) c = 
2
ba +
 
b) b = 
2
ca −
 e) a = 
2
cb +
 
c) a = 
2
cb −
 
 
15. Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ângulo A mede 40°, então o 
ângulo XYZ mede: 
a) 40° 
b) 50° 
c) 60° 
d) 70° 
e) 90° 
 
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5 
 
 
 
 
 
16. Na figura abaixo a = 100° e b = 110°. Quanto mede o ângulo x? 
 
 
 
a) 30° d) 100° 
b) 50° e) 150° 
c) 80° 
 
 
 
 
17. No retângulo abaixo, o valor, em graus, de  +  é: 
 
a) 50 
b) 90 
c) 120 
d) 130 
e) 220 
 
 
 
18. Na figura, AB = BD = CD. Então: 
 
a) y = 3x 
b) y = 2x 
c) x + y = 180° 
d) x = y 
e) x = 3y 
 
19. Seja ABC um triângulo isósceles de base BC. Sobre o lado AC deste 
triângulo considere um ponto D tal que os segmentos AD, BD e BC são 
tosos congruentes entre si. A medida do ângulo BÂC é igual a: 
 
a) 23° 
b) 32° 
c) 36° 
d) 40° 
e) 45° 
 
 
 
 
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6 
 
20. Se dois lados de um triângulo medem respectivamente 3 cm e 4 cm, 
podemos afirmar que a medida do terceiro lado é: 
 
a) igual a 5 cm d) igual a 1 cm 
b) igual a 7 cm e) menor que 7 cm 
c) maior que 2 cm 
 
 
 QUADRILÁTEROS 
 
 1. DEFINIÇÃO E ELEMENTOS 
 
Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e 
três não colineares se, os segmentos interceptam-se apenas 
nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero. 
 
Quadrilátero ABCD = ABCD =    
O quadrilátero é um polígono simples de quatro lados. 
 , , , são os lados, 
são os ângulos e são as 
diagonais do quadrilátero ABCD. 
Um quadrilátero tem 2 diagonais (d = 2), soma dos ângulos internos 
igual a 360º e soma dos ângulos externos também igual a 360º. 
 
 
 
 
 2. QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
 
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os 
retângulos, os losangos e os quadrados. 
 
 2.1. TRAPÉZIO 
 
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui 
dois lados paralelos. 
DAeCD,BC,AB
AB BC CD DA
AB BC CD DA
AD̂CD̂eDĈBĈ,CB̂AB̂,BÂDÂ ==== BDeAC
 
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7 
 
ABCD é trapézio  ( ). 
Os dois lados paralelos são as bases do trapézio. 
De acordo com os outros dois lados não bases, temos: 
 
• Trapézio isósceles, se estes lados são congruentes. 
• Trapézio escaleno, se estes lados não são congruentes. 
 
Trapézio retângulo (ou bi-retângulo) é um trapézio que tem dois ângulos 
retos. 
 
 
 2.1.1. PROPRIEDADES DOS TRAPÉZIOS 
 
 Trapézio qualquer 
 
Em qualquer trapézio ABCD (notação cíclica) de base temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Trapézio isósceles 
 
Trapézio isósceles é todo trapézio que possui os lados transversos congruentes. 
• Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes. 
• são bases do trapézio isósceles  ( ) 
 
• o que nos permite enunciar: As projeções ortogonais dos lados 
não bases de um trapézio isósceles, sobre a base maior, são congruentes. 
BC//ADouCD//AB
CDeAB
º180ĈB̂D̂Â =+=+
CDeAB B̂ÂeD̂Ĉ 
,C'BD'A 
 
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8 
 
 
• As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
• Da congruência acima obtemos . Daí decorre que os 
triângulos PCD e PAB são isósceles com bases , sendo P o ponto onde 
as diagonais se cortam. 
 
 Base média do trapézio 
 
Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não 
paralelos de um trapézio, então: 
1º) ele é paralelo às bases; 
2º) ele é igual à semissoma das bases 
 
Seja ABCD um trapézio não paralelogramo de bases . 
 
 
 
 
 
 
 
 2.2. PARALELOGRAMO 
 
Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os 
lados opostos paralelos. 
 
ABCD é paralelogramo  
 
 
 
 
2.2.1.Propriedades: 
 
a) Lados opostos côngruos 
b) Ângulos opostos côngruos 
c) Diagonal se cortam ao maio 
 
CD̂BDĈA 
ABeCD
CDeAB
BC//ADeCD//AB





+
=

2
CDAB
MN)º2
CD//AB//MN)º1
)CNBNDMAM(
BDAC
BCAD,CDeAB
basesdetrapézioéABCD






 
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9 
 
 
• 
• 
• M é ponto médio de 
• M é ponto médio de 
 
 2.3.RETÂNGULO 
 
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os 
quatro ângulos congruentes. 
ABCD é retângulo  
 
2.3.1. Propriedades: 
 
a) Valem as propriedades do paralelogramo. 
b) As diagonais côngruas. 
c) Os quatro ângulos são retos. 
 
 2.4. LOSANGO OU ROMBO 
 
Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro 
lados congruentes. 
ABCD é losango  . 
 
2.4.1. Propriedades: 
 
a) Valem as propriedades do paralelogramo. 
b) As diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos internos. 
c) As diagonais são perpendiculares. 
d) Os quatro lados são congruentes. 
 
 2.5.Quadrado 
 
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os 
quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes. 
ABCD é quadrado  ( ) 
 
2.5.1.Propriedades: 
 
a) Lados côngruos e ângulos côngruos 
b) Diagonais perpendiculares e côngruas. 
c) Diagonais se contam ao meio. 
d) Diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos internos. 
BCADeCDAB 
D̂B̂eĈÂ 
BD
AC
D̂ĈB̂Â DACDBCAB 
DACDBCABeD̂ĈBÂ 
 
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10 
 
e) Todo quadrado é retângulo e losango ao mesmo tempo. 
 
Relações de inclusão entre os conjuntos dos quadriláteros notáveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Notemos, em resumo que se um quadrilátero convexo tem as diagonais 
que se cortam ao meio, então é um paralelogramo, tem diagonais que se cortam 
ao meio e são congruentes, então é um retângulo, tem diagonal que se cortam 
ao meio e são perpendiculares, então é um losango, tem diagonais que se 
contam ao meio, são congruentes e são perpendiculares, então é um quadrado. 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Se ABCD é um paralelogramo. AD = 20 cm, BQ = 12 cm e BP = BQ, determine 
o perímetro desse paralelogramo. 
 
2. Um trapézio isósceles tem bases 5 cm e 11 cm. Determine a sua altura 
sabendo que as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos agudos. 
 
3. Um trapézio isósceles, de 12 cm de altura, tem bases medindo 4 cm e 6 cm. 
Unindo-se os pontos médios de seus lados, obteremos um quadrilátero cujo 
perímetro mede 
 
a) 20 cm. b) 26 cm. c) 24 cm. d) 30 cm. e) 34 cm 
 
 
 
 
 
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11 
 
4. De um retângulo de 18 cm de largura e 48 cm de comprimento foram retirados 
dois quadrados de lados iguais a 7 cm, como mostra a figura.Qual o perímetro 
da figura resultante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. As bases MQ e NP de um trapézio medem 42cm e 112 cm respectivamente. 
Se o ângulo é o dobro do ângulo , então o lado PQ mede: 
 
a) 154 cm 
b) 133 cm 
c) 91 cm 
d) 77 cm 
e) 70 cm 
 
 
6. Com os dados da figura seguinte, onde ABCD é um quadrado e ABE é um 
triângulo equilátero, calcule a medida do ângulo BDE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Sendo ABCD um paralelogramo, AP é bissetriz, AB = 7 cm e PC = 3 cm, 
determine o perímetro do paralelogramo. 
 
a) 34 cm 
b) 14 cm 
c) 20 cm 
d) 28 cm 
e) 26 cm 
 
 
8. Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo equilátero. 
Calcule em graus, a medida do ângulo DF̂B . 
PQ̂M MN̂P
 
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12 
 
a) 100º 
b) 105º 
c) 110º 
d) 115º 
e) 120º 
 
 
9. A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais 
por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais 
Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes 
para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda 
encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). 
O valor da segunda encomenda será 
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos 
quadros dobraram. 
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. 
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos 
quadros dobraram. 
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. 
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o 
mesmo. 
 
10. Se são bissetrizes, determine x nos casos: 
 
 
11. Se ABCD é um paralelogramo. AD = 20 cm, BQ = 12 cm e BP = BQ, 
determine o perímetro desse paralelogramo. 
 
12. Um trapézio isósceles tem bases 5 cm e 11 cm. Determine a sua altura 
sabendo que as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos agudos. 
 
 
 
BPeAP
 
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13 
 
13. De um retângulo de 18 cm de largura e 48 cm de comprimento foram 
retirados dois quadrados de lados iguais a 7 cm, como mostra a figura. Qual 
o perímetro da figura resultante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados de um 
ângulo de 55º. Determine o valor dos ângulos agudos. 
 
15. As bases MQ e NP de um trapézio medem 42cm e 112 cm 
respectivamente. Se o ângulo é o dobro do ângulo , então o lado 
PQ mede: 
a) 154 cm 
b) 133 cm 
c) 91 cm 
d) 77 cm 
e) 70 cm 
 
16. Com os dados da figura seguinte, onde ABCD é um quadrado e ABE é um 
triângulo equilátero, calcule a medida do ângulo BDE. 
 
17. Na figura, ABCD é um quadrado, ADE e ABF são triângulos equiláteros. Se 
os pontos C, A e M são colineares, então o ângulo MÂF mede: 
 
 
 
 
a) 75º 
b) 80º 
c) 82º e 30º 
d) 85º 
e) 87º e 30º 
 
PQ̂M MN̂P
 
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14 
 
 
 
18. Considere um quadrilátero ABCD cuja diagonais AC e BD medem, 
respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos 
lados do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale: 
a) 22 cm 
b) 5,5 cm 
c) 8,5 cm 
d) 11 cm 
e) 13 cm 
19. Sendo ABCD um paralelogramo, AP é bissetriz, AB = 7 cm e PC = 3 cm, 
determine o perímetro do paralelogramo. 
 
a) 34 cm 
b) 14 cm 
c) 20 cm 
d) 28 cm 
e) 26 cm 
 
20. Na figura seguinte, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo equilátero. 
Calcule em graus, a medida do ângulo DF̂B . 
 
a) 100º 
b) 105º 
c) 110º 
d) 115º 
e) 120º 
 
 
21. ABCD é trapézio de bases CDeAB . Se CPeDP são bissetrizes, determine 
x e DĈB . 
 
 
 
 
 
 
22. Na figura, ABCD é um quadrado e CDEF um losango. Se FĈE mede 15°, a 
medida do ângulo AÊF é: 
15° 
a) 30° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 75° 
 
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15 
 
 
 
 
 
23. Num quadrilátero ABCD, o ângulo Ĉ é igual a 1/3 do ângulo B̂ , o ângulo  
mede o quíntuplo do ângulo Ĉ e o ângulo D̂ vale 45°. Pode–se dizer que 
 – B̂ vale: 
 
a) 50° 
b) 60° 
c) 70° 
d) 80° 
e) 90° 
 
24. Com os dados da figura seguinte, onde ABCD é um quarado e ABE é um 
triângulo equilátero, calcule a medida do ângulo BDE. 
 
25. Num triângulo equilátero ABC, de 8 cm de lado, traça-se MN paralelo ao 
lado BC, de modo que ele se decomponha num trapézio e num novo 
triângulo. O valor de MN para o qual o perímetro do trapézio seja igual ao 
do triângulo AMN é: 
 
a) 2 cm 
b) 3 cm 
c) 4 cm 
d) 5 cm 
e) 6 cm 
 
26. Seja ABCD um trapézio retângulo. O ângulo formado pelas bissetrizes do 
seu ângulo reto e do ângulo consecutivo da base maior mede 92º. Os 
ângulos agudo e obtuso deste trapézio medem respectivamente: 
 
a) 88º e 92º 
b) 86º e 94º 
c) 84º e 96º 
d) 82º e 98º 
e) 79º e 101º 
 
27. Com um arame de 36 m de comprimento construímos um triângulo 
equilátero e com o mesmo arame construímos depois um quadrado. 
Determine a razão entre o lado do triângulo e o lado do quadrado. 
 
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16 
 
 
28. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos ADE e ABF são 
equiláteros. A medida do ângulo AÊF é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 POLÍGONOS 
 
 
 
 
 1. DEFINIÇÃO 
 
Consideremos, num plano, n pontos ( n  3), A1, A2, A3, ...., An, 
ordenados de modo que três consecutivos não sejam colineares. 
Chama-se polígono A1, A2, A3, ...., An a figura formada pela união dos n 
segmentos consecutivos. 
 
 
 
Definição: Um polígono é convexo, quando estiver todo contido num 
mesmo semiplano,determinado pela reta-suporte de qualquer um dos seus 
lados. 
Estudaremos somente os polígonos convexos 
 
 2. Região Poligonal 
 
É a união do polígono com seu interior. 
1n433221 AAAAAAAA 
 
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 3. Nomenclatura 
 
De acordo com o número de lados, temos: 
 
Triângulo – 3 ladosQuadrilátero – 4 lados 
Pentágono – 5 lados 
Hexágono – 6 lados 
Heptágono – 7 lados 
Octógono – 8 lados 
 
Eneágono – 9 lados 
Decágono – 10 lado 
Undecágono – 11 lados 
Dodecágono – 12 lados 
Pentadecágono – 15 lados 
Icoságono –– 20 lados 
 
Para os demais dizemos: polígonos de n lados. 
 
 4. Classificação 
 
a) Polígono EQÜILÁTERO: tem todos congruentes (ex.: losango, 
quadrado, etc.) 
b) Polígono EQÜIÂNGULO: tem ângulos congruentes (ex.: 
retângulo,quadrado etc.) 
c) Polígono REGULAR: é eqüilátero e eqüiângulo (ex.: quadrado). 
 
 5. Número de diagonais 
 
Seja um polígono de n lados: 
 
• Cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais. 
• Os n vértices dão origem a n  (n – 3) diagonais. 
• Com este raciocínio, cada diagonal foi contada duas vezes. (uma em cada 
vértice que ela liga),Assim sendo: 
 
( 3)
2
n n
d
−
= 
 
 
 
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18 
 
 6. Soma dos ângulos internos 
 
Seja um polígono de n lados e P um ponto interno. Ligando P aos 
vértices, obtemos n triângulos cuja soma dos ângulos internos é 180º. 
 
Assim sendo: 
 
180( 2)iS n= − 
 
 
 
 7. Soma dos ângulos externos 
 
Seja um polígono de n lados: 
 
Sendo ai + ae = 180º sempre resulta para as somas: 
Si + Se = 180º  n  Se = 180º  n – 180º (n – 2)  Se = 360º. 
 
360eS =  
Se o polígono for regular: 
 
 O ângulo interno é dado por: 
 
 
180( 2)i
i i
S n
a a
n n
−
=  = 
 
 
 
 O ângulo externo é dado por: 
 
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19 
 
 
 
360e
e e
S
a a
n n
=  = : 
 
 
OBS: Se o polígono é regular e o número de lados é par, então o número 
de diagonais que passam pelo centro é: 
 
 
2
c
n
d = 
 
Ex. Decágonos regular 5 diagonais passam pelo centro. 
 
Se o número de lados é ímpar, o número de diagonais que passam pelo 
centro é: 
 
0cd = 
 
, isto é, nenhuma diagonal passa pelo centro. 
 
Ex. Pentágono regular → nenhuma diagonal passa pelo centro. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Um polígono regular de n lados tem 90 diagonais. O valor de n é 
 
a) 10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 21 
 
2. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com 
a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, 
não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar 
uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, 
como ilustram as figuras: 
 
 
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20 
 
 
 
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas 
medidas de seus ângulos internos. 
 
 
 
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de 
ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo 
escolhido deverá ter a forma de um: 
 
a) triângulo. 
b) quadrado. 
c) pentágono. 
d) hexágono. 
e) eneágono. 
 
 
3. Os lados de um polígono regular de n lados n > 4, são prolongados para 
formar uma estrela. O número de graus em cada vértice as estrela é: 
a) 
n
º360
 
b) 
n
º180)4n( −
 
c) 
n
º180)2n( −
 
d) 180º - 
n
º90
 
e) 
n
º180
 
 
4. Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros 
consecutivos. Sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é 
igual a 28, determine o polígono com maior número de diagonais. 
 
 
 
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21 
 
5. Na figura abaixo, determine a soma das medidas dos ângulos. .f̂êd̂ĉb̂â +++++ 
 
6. Determine os valores de x e y nos casos: 
a) pentágono regular e quadrado 
 
 
 
 
7. A figura a seguir é formada por losangos, todos congruentes entre si. A 
medida x do ângulo assinalado é 
 
a)100° b) 90° c) 80° d) 70° e) 60° 
 
 
 
8. Três polígonos convexos têm, respectivamente n, n + 1 ; n + 2 lados. A soma 
dos ângulos internos desse polígono é 1.620º. determine o valor de n. 
a) n = 3 
b) n = 4 
c) n = 5 
d) n = 6 
e) n= 7 
 
9. A som dos ângulos assinalados vale: 
a) 100º 
b) 360º 
c) 180º 
d) 400º 
e) 600º 
 
 
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22 
 
10. Tendo-se, na figura seguinte, um pentágono regular ABCDE onde estão 
traçados suas diagonais, calcular, em graus, a medida do ângulo . 
a) 20º 
b) 28º 
c) 30º 
d) 36º 
e) 40º 
 
11. As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono regular formam 
um ângulo igual a 20º. Esse polígono é: 
 
a) um octógono regular; 
b) um eneágono regular 
c) um pentágono regular 
d) um icoságono regular 
e) n.d.a. 
 
12. São dados dois polígonos regulares. O segundo tem 4 lados a mais que o 
primeiro e o ângulo central do primeiro excede a medida do ângulo central do 
segundo em 45º. O número de lados do primeiro polígono é: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 12 
 
13. Nos casos abaixo, determine x, sabendo que os segmentos DP,CP,BP,AP 
nas figuras em que aparecem são bissetrizes. 
 
 
 
14. Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso pelos números n 
e n + 4. Determine o valor de n, sabendo que um dos polígonos tem 34 diagonais 
mais do que o outro. 
 
 
15. A figura descreve o movimento de um robô: 
 
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23 
 
 
 
Partindo de A, ele sistematicamente avança 2 m e gira 45° para a esquerda. 
Quando esse robô retornar ao ponto A, a trajetória percorrida terá sido: 
 
a) uma circunferência 
b) um hexágono regular 
c) um octógono regular 
d) um decágono regular 
e) um polígono não–regular 
 
16. Aumentando o número de lados de um polígono em 3, seu número de 
diagonais aumenta em 21. Determine o número de diagonais desse polígono. 
 
a) 13 c) 15 e) 17 
b) 14 d) 16 
 
 
17. Um polígono regular possui 30 diagonais que não passam pelo seu centro. 
Quanto mede cada ângulo interno dele? 
 
a) 126° 
b) 100° 
c) 112° 
d) 120° 
e) 144° 
 
18. 
 
O polígono que dá forma a essa 
calçada é invariante por rotações, 
em torno de seu centro, de 
 
a) 45° b) 60° c) 90° 
d) 120° e) 180° 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
 Circunferência 
 
 1. DEFINIÇÃO 
 
 
 
“L.G. dos pontos de um plano cuja distância “da um ponto x 
desse plano é constante”. (essa distância é a medida do Raio). 
 
 
 
 2. ELEMENTOS 
 
Raio-Segmento dos extremos em X e num ponto da circunferência ( ). 
 
Corda-Segmento dos extremos na circunferência ( ). 
 
Diâmetro-Corda que contém o centro da circunferência ( ) 
 
Secante-Reta que possui dois comuns com a circunferência. 
 
Arco-Dois pontos M e N da circunferência, dividem-na em duas partes 
chamadas arcos 
( ). 
 
Tangente-Reta que possui um só ponto na circunferência (t). 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 
1) A mediatriz do segmento AB, (corda da circunferência de centro “O”), contém 
o centro da mesma. 
De fato: OA = OB = raio  O  
AB
M (mediatriz de AB ). 
 
 
2) O diâmetro é a maior corda da circunferência. 
3) Segmentos tangentes a uma circunferência, conduzidos por um ponto 
exterior a ela, são congruentes. 
XA
MN
AB
MN
 
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25 
 
 
4) Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de 
tangência. 
 
5) As distânciasmáxima e mínima de um ponto a um círculo estão sobre a reta 
que passa por esse ponto e contém o centro do círculo. 
6) Quando duas circunferências são tangentes, interna ou externamente, os 
centros e o ponto de tangência estão alinhados. 
7) Um quadrilátero é circunscritível a um círculo se, e somente se, as somas 
dos lados opostos forem iguais. 
 
 
 3. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
 
 3.1. ÂNGULO CENTRAL 
 
AB é o arco correspondente ao ângulo central . 
Tomando-se para unidade de arco (arco unitário) o arco definido na 
circunferência por um ângulo central unitário (unidade de ângulo), temos que: 
“A medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central 
correspondente”. 
 
Assim, na figura acima: 
 
AB = 
 
 
 
BÔA
 
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26 
 
 3.2. ÂNGULO INSCRITO 
 
Ângulo que tem o vértice na circunferência e os lados são secantes a 
ela. 
AB é o arco na circunferência, determinado pelos lados do ângulo 
inscrito . 
A medida do ângulo inscrito é a metade da medida do arco que ele 
determina sobre a circunferência. 
Assim, na figura anterior têm-se: 
 
2
AB
 = 
 
 
 3.3. ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR 
 
 
• Ângulo de vértice num ponto interior à circunferência 
distinto do centro. 
AB e CD são arcos determinados pelos lados dos ângulos 
e prolongamentos destes sobre a circunferência. 
A medida do ângulo excêntrico interior da figura anterior é dado por: 
 
 
2
AB CD

+
= 
 
 3.4. ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR 
 
Ângulo de vértice num ponto exterior à circunferência e lados 
sobre semi-retas secantes ou tangentes à mesma. 
AB e CD são arcos determinados pelos lados do ângulo 
sobre a circunferência. 
A medida do ângulo excêntrico exterior da figura acima é 
dada por: 
 
 
2
AB CD

+
= 
 
 
 
BP̂A
 
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27 
 
 
 
 3.5.ÂNGULO DE SEGMENTO 
 
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus 
lados secante e o outro, tangente à circunferência. 
 
A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele 
determinado. 
 
2
AB
 = 
 
 
 
 TEOREMA 
 
Num quadrilátero convexo inscritível, os ângulos opostos são 
suplementares (reciprocamente). 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Calcule o valor de x, sabendo que O é o centro da circunferência. 
 
 
 
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28 
 
 
2. Determine o valor de x e de y nas figuras abaixo: 
 
a) Não é dado o centro da 
circunferência. 
 
b) É dado o ponto O, centro da 
circunferência. 
 
 
 
 
3. Determine o valor de x nas figuras abaixo, sabendo que os polígonos 
indicados são regulares e estão inscritos nas circunferências. 
 
a)Pentágono regular 
 
 
 
b)Octógono regular 
 
4. Calcule o ângulo F̂ assinalado na figura: 
 
 
 
 
 
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29 
 
5. Observe a figura: 
 
a) Qual a medida x do ângulo de segmento 
assinalado? 
 
b) Qual a medida c do ângulo central? 
 
 
 
 
 
 
6. O quadrilátero ABCD está inscrito em uma circunferência e o ângulo 
mede 108º. A medida do ângulo é igual a: 
 
a) 22º 
b) 36º 
c) 72º 
d) 92º 
e) 108º 
 
 
 
 
7. A, B, C e D são vértices consecutivos de um hexágono regular. A medida, 
em graus, de um dos ângulos formados pelas diagonais é: 
 
a) 90 d) 120 
b) 100 e) 150 
c) 110 
 
8. Os valores dos ângulos a, b e c são, 
respectivamente: 
 
a) 58º, 32º, 116º 
b) 32º, 58º, 64º 
c) 58º, 32º, 64º 
d) 32º, 58º, 116º 
e) n.r.a. 
 
 
9. Na figura, sabe–se que m(CÂD) = 20° e m(CÊD) = 70°. Então BM̂A é 
igual a: 
 
CB̂A
AD̂C
BDeAC
 
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30 
 
 
 
 
a) 50° 
b) 45° 
c) 60° 
d) 22° 30’ 
e) 30° 
 
 
10. Na figura, AB é um diâmetro, a corda AM é o lado do triângulo equilátero 
inscrito e BN , o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo , formado pelas 
tangentes PM e PN . 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Determine o valor de x nos casos: 
 
 
 
12. Seja a circunferência de centro O, representada na figura abaixo. A 
medida , do ângulo assinalado, é: 
 
a) 30º 
b) 40º 
c) 50º 
d) 60º 
e) 70º 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
 
13. Observe a figura: 
Suponha que as medidas dos ângulos , assinalados na 
figura, sejam 45º, 18º e 38º, respectivamente. A medida do ângulo , em 
graus, é: 
 
a) 38 c) 79 
b) 63 d) 87 
 
 
 
 
 
 
14. Na figura, os pontos A, B e C pertencem à circunferência de centro O. Se 
 = 150º e  = 50º, então  é igual a: 
 
a) 30º 
b) 45º 
c) 35º 
d) 15º 
e) 20º 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Os pontos A, B e C pertencem a uma circunferência de centro O. Sabe–
se que e perpendicular a e forma com ângulo de 70º. Então, a 
tangente à circunferência no ponto C forma com a reta um ângulo de: 
 
a)10º b) 40º c)20º d) 50º e)30º 
 
16. A medida do ângulo x, representado na figura, é: 
 
a. 10º 
b. 15º 
c. 20º 
d. 25º 
e. 30º 
RP̂S eR ŜQ ,QŜP
SQ̂P
OA OB BC
OA
 
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32 
 
. 
17. Na figura abaixo, calcule o 
valor do ângulo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
18.Considere uma circunferência de centro em O e diâmetro AB. Tome um 
segmento tangente à circunferência, de modo que o ângulo meça 
30º. Seja D o ponto de encontro da circunferência com o segmento e 
o segmento paralelo a , com extremidades sobre a circunferência . 
Calcule a medida do segmento em função do diâmetro . 
 
19.Determine o valor de x nos casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20.Calcule x nas figuras: 
 
 
21.Determine as medidas x e y. 
BC AĈB
AC DE
AB DE
DE AB
 
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33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4. RELAÇÕES MÉTRICAS NO CÍRCULO 
 
 4.1. RELAÇÃO ENTRE DUAS CORDAS 
 
Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das 
medidas dos dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao 
produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra. 
 
 
. .PA PB PC PD= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4.2. RELAÇÃO MÉTRICA DAS SECANTES 
 
Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo, o produto 
da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é igual ao produto 
da medida da outra secante pela medida de sua parte externa. 
 
 
 
 
 . .PA PB PC PD= 
 
 
 
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34 
 
 
 
 4.3. RELAÇÃO MÉTRICA ENTRE SECANTE E TANGENTE 
 
Quando, de um ponto exterior, traçamos uma tangente e uma secante a 
um círculo, a medida da tangente é a média proporcional entre a medida da 
secante inteira e a medida da sua parte externa. 
 
 
 
 . .PAPA PB PC e t OA= ⊥ 
 
 
 
 
 
 Relação métrica entre tangente e tangente 
 
Na figura seguinte, em que A e B são pontos de tangência, tem–se: 
 
 
 PA PB= 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Use uma das propriedades que vimos e determine o valor de x nas figuras 
abaixo: 
 
 
2. Com base no que acabamos de ver, determine o valor de x nestas figuras, 
que têm traçados um segmentotangente e um segmento secante a partir 
de um mesmo ponto. 
 
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35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Sendo AB = 8 cm e AC = 6 cm, calcule o diâmetro da circunferência inscrita 
ao ABC, na figura: 
 
 
 
4. Considere duas circunferências de raios 4 cm e 6 cm, respectivamente. Seja 
t uma reta tangente a ambas, e T1 e T2 seus pontos de tangência. Se a 
distância entre as circunferências é 6 cm, calcule o comprimento do 
segmento T1T2. 
 
 
 
5. (Fuvest-SP) Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira num caminhão de 
largura 2,5 m, conforme a figura abaixo. 
Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura 
h, em metros é: 
a) 
2
71+
 b)
3
71+
 c)
4
71+
 d)1 + 
3
7
 e)1 + 
4
7
 
 
 
 
 
 
 
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36 
 
6. Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30cm, são 
soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida 
R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma 
distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior.Essa 
distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura; 
 
Utilize 1,7 como aproximação para 3 . 
O valor de R, em centímetros é igual a 
 
a) 64,0 
b) 65,5 
c) 74,0 
d) 81,0 
e) 91,0 
 
7. Um restaurante utiliza, para sevir bebidas, bandejas com base quadradas. 
Todos os copos deste restaurante têm o formato representado na figura: 
 
Considere que 
7
5
AC BD= e que L é um dos lados da bandeja.Qual deve 
ser o menor valor da razão 
L
BD
 para que uma bandeja tenha capacidade 
de portar exatamente quatro copos de uma só vez? 
 
14 24 28
) 2 ) ) 4 ) )
5 5 5
a b c d e 
 
 
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37 
 
8. Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas 
sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da 
escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se 
providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que 
será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve 
estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da 
medida L do lado da base da estatua. 
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que 
a exigência de segurança seja cumprida? 
f) 
2
L
R  
g) 
2L
R

 
h) 
L
R

 
i) 
2
L
R  
j) R L 
 
9. Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, uma peça com o 
formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base 
são 6cm, 8cm e 10cm e cuja altura é 10cm. Tal peça deve ser vazada de 
tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja 
tangente as suas faces laterais, conforme mostra a figura. 
 
O raio da perfuração da peça é 
 
a) 1cm b) 2cm c) 3cm d) 4cm e) 5cm 
 
 
 
10. Na figura PA = 10 cm. Calcule o perímetro do triângulo PRS. 
 
 
 
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38 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Na figura, PA é igual ao triplo do diâmetro da circunferência. Determine a 
medida do perímetro do triângulo PDE em função do raio r dessa 
circunferência. 
 
12. Na figura, calcule a medida do raio r da circunferência inscrita no triângulo 
retângulo ABC, sendo AB = 10 cm, AC = 24 cm e BC = 26 cm . 
 
 
 
13. Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no trapézio retângulo. 
 
14. Determine x nos casos: 
 
15. Determine o raio do círculo nos casos: 
 
 
16. Considere uma circunferência de centro em O e diâmetro AB. Tome um 
segmento BC tangente à circunferência, de modo que o ângulo AĈB meça 
 
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39 
 
30º. Seja D o ponto de encontro da circunferência com o segmento AC e 
DE o segmento paralelo a AB , com extremidades sobre a circunferência. A 
medida do segmento DE será igual a: 
 
a. metade da medida de AB . c) metade da medida de DC . e) metade 
da medida de AE . 
b. um terço da medida de AB . d) dois terços da medida de AB . 
 
17. Seja ABCD um retângulo cujos lados têm as seguintes medidas: AB = CD 
= 6cm e cm2,1BDAC == . Se M é o ponto médio de AB , então o raio da 
circunferência determinada pelos pontos C, M e D mede: 
 
a. 4,35 cm b) 5,35 cm c) 3,35 cm d) 5,34 cm 
 e) 4,45 cm 
 
18. Num círculo duas cordas se cortam. O produto dos dois segmentos da 
primeira corda é 25 cm2. Sabe–se que na segunda corda o menor segmento 
vale 
4
1
 do maior. Determine a medida do maior segmento dessa segunda 
corda. 
 
19. Na figura, são dados . O comprimento de 
em cm, é: 
 
a. 10 
b. 12 
c. 16 
d. 18 
e. 20 
 
20. De um ponto P, traça–se uma tangente e uma secante a um círculo. Se o 
segmento gente mede 8 m e o segmento secante mede 16 m, qual 
deve ser, em m2, a área do círculo, se a secante contém o diâmetro do 
mesmo? 
 
a. 12 
b. 18 
c. 24 
d. 30 
e. 36 
 
21. Na figura, = 7 m, = 6 m e = 4 m. Então, BC é igual a: 
cm6EDecm8BE,
3
1
EC
AE
=== AC
PT PB
AB AD DE
 
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40 
 
 
a. m 
b. 5 m 
c. 12 m 
d. 11 m 
e. 
 
22. Na figura o triângulo ABC é isósceles e o segmento MN é paralelo à base 
BC O comprimento do segmento MN é igual a: 
 
a. 3/4 
b. 2/3 
c. 5/6 
d. 3/8 
e. 1/2 
 
 
 
 
23. Na figura abaixo o valor de d é: 
 
a. ab + 
b. ab2 
c. 2 ab 
d. 2a ab + 
e. 2 a2ab + 
 
 
24. A secção transversal de um maço de cigarros é um retângulo que acomoda 
exatamente os cigarros como na figura. Se o raio dos cigarros é R, as 
dimensões do retângulo são: 
 
a) 14R e 2R (1 + ) 
a) 7R e 3R 
b) 14R e 6R 
c) 14R e 3R 
d) (2 + 3 )R e 2R 
 
25. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a medida de um 
dos catetos é igual a da medida do outro, então a medida do raio da 
circunferência inscrita nesse triângulo é: 
7
24
7
11
3
3 3
4
3
 
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41 
 
 
a. 0,05 cm b) 0,10 cm c) 0,15 cm d) 0,20 cm e) 0,25 cm 
 
 
26. No triângulo ao lado, determine o perímetro do triângulo ADE, sabendo que 
o perímetro do triângulo ABC vale 10 cm, a base mede 4 cm e que o 
círculo está inscrito no quadrilátero BCDE. 
 
 
 
 
 
 
 
27. Duas circunferências de raio R e r são tangentes externas, como mostra a 
figura 
PQ = x, temos; 
 
 
 
 
 
 
a. x = (R + r) (R – r) d) x = 
rR
R 2
+
 
b. x = 
rR
rR
−
+
 e) x = 
rR
r 2
−
 
c) x = 
rR
r2 2
−
 
 
28. Na figura, determine a medida do segmento BD , sabendo que a 
circunferência de centro O está inscrita no triângulo ABC, e que os lados 
BC,AB e AC medem respectivamente 6cm, 8 cm e 10 cm. 
 
 
 
 
 
29. Determine o raio do círculo menor inscrito num 
quadrante do círculo maior, da figura, sendo 2R o 
diâmetro do círculo maior. 
 
 
 
BC
 
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42 
 
 
 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 
 
 1. CONCEITO 
 
Toda superfície plana ocupa uma extensão do plano. Determinar a área 
de uma superfície significa medir tal extensão. 
Assim como para toda medição que se faz, é necessário definir uma 
unidade; no caso, vamos estabelecer um quadrado unitário, ou seja,um 
quadrado de lado 1, o qual possui, igualmente, área 1. 
 
 2. ÁREA DO RETÂNGULO 
 
 
A área de um retângulo é igual ao produto da medida da base pela 
medida da altura. 
 
A = b  h, isto é: A=b.h 
 
 3. ÁREA DO QUADRADO 
 
Um quadrado de lado L nada mais é do que um retângulo de base L e 
altura L. Na determinação de sua área vale a fórmula usada para a área do 
retângulo: A = L.L, ou seja: 
 
 
 
2.A L L L= = 
 
 
 
A área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado. 
 
 
 
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Duas figuras planas – como as do exemplo acima – que possuem a 
mesma área são ditas figuras equivalentes. 
 
 4. ÁREA DO PARALELOGRAMO 
 
O paralelogramo PQRS da figura é equivalente ao retângulo RSUQ, pois 
RTS  PUQ. Assim, a área do paralelogramo é obtida da mesma maneira que 
a área do retângulo: 
 
 
 
.A bh= 
 
A área do paralelogramo é igual ao produto da medida da base pela 
medida da altura. 
 
OBS:A área do paralelogramo também pode ser calculada pela fórmula: 
 
. .A ab sen= , 
 
Onde a e b são os lados do paralelogramo e  é o ângulo entre eles. 
 
 5. ÁREA DO TRAPÉZIO 
 
Seja o trapézio PQRS da figura, de bases B e b e altura h. 
 
 
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44 
 
A = 
2
h)bB( +
 
 
 
A área de um trapézio é igual à metade do produto da soma das bases 
pela altura. 
 
 6. ÁREA DO LOSANGO 
 
 
Seja o losango PQRS da figura, de diagonais D e d. 
 
Construindo o retângulo de dimensões D e d, notamos que, sendo 
congruentes os oito triângulos retângulos formados, a extensão ocupada pelo 
losango vale a metade da ocupada pelo retângulo. Assim: 
 
A = 2
dD 
 
 
A área do losango é igual à metade do produto das medidas das 
diagonais. 
OBS:Como o losango é um paralelogramo e possui todos os lados iguais 
a l, podemos calcular a sua área pela fórmula: 
 
2.A l sen= 
 
Onde l é a medida do lado e  o ângulo entre os lados. 
 
 7. ÁREA DO TRIÂNGULO 
 
Vamos considerar o triângulo ABC de base b e altura h e o retângulo 
ACDE. 
 
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45 
 
 
 
 
Os triângulos ABE e ABH são congruentes, o mesmo ocorrendo com os 
triângulos BCD e BCH. Assim, a área do triângulo ABC vale a metade da área 
do retângulo ACDE. 
De modo geral, para um triângulo de base b e altura h, podemos 
escrever: 
A = 2
hb 
 
A área de um triângulo é igual à metade do produto da medida da base 
pela medida da altura. 
 
A área de um triângulo independe da base considerada. Assim, para um 
triângulo ABC, temos: 
 
A = 
2
1
BC  ha = 
2
1
 AB  hc = 
2
1
 AC  hb 
 
 
 
 
 
 
 
 7.1 CASOS PARTICULARES 
 
 TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
A área do triângulo retângulo vale metade do produto dos catetos: 
 
b.
2
c
A =
 
 
 
 
 
 
 TRIÂNGULO EQUILÁTERO 
 
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46 
 
Como a altura do triângulo equilátero mede h=
2
3
, a área é dada por: 
 
 
 
2 3
4
l
A = 
 
 
 EM FUNÇÃO DOS LADOS 
 
Sendo a, b e c as medidas dos lados de um triângulo qualquer, sua área 
é dada por: 
 
 
 
 
( )( )( )A p p a p b p c= − − − 
 
 
em que 
2
a b c
A
+ +
= (semiperímetro) 
 EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGULO ENTRE ELES 
 
 
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47 
 
Sendo a e b as medidas de dois dos lados de um triângulo e  a medida 
do ângulo entre eles, a sua área é dada por: 
 
 
2
absen
A

=
 
 
 
 
 EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA 
 
 
 
 
.A p r= 
 
2
a b c
p
+ +
= 
 (p é o semi-perímetro) 
 
 
 EM FUNÇÃO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA 
 
 
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4
abc
A
R
= 
 
 
 
 
 
 
 
 8. ÁREA DO CÍRCULO E SUAS PARTES 
 
 8.1. ÁREA DO CÍRCULO 
 
A área de um círculo de raio R é expressa por: 
 
 
 
 
 
 
2A R= 
 
 
 
 
 OBS: 
O comprimento da circunferência de raio R é dado por C = 2R, onde 
   3,1416 
 
 8.2. ÁREA DA COROA CIRCULAR 
 
Sendo S a área da coroa circular de raios R e r, tem-se: 
 
 
 
2 2( )A R r= − 
 
 
 
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 8.3. ÁREA DO SETOR CIRCULAR 
 
A área do setor circular de raio R limitado por um arco de comprimento 
l é dada por: 
 
 
 
.
2
l R
A =
 
 
 
 
 OBS: 
A área do setor circular é sempre uma “fração da área do círculo no qual 
o setor está “contido”. 
 
 ÁREA DO SETOR CIRCULAR EM FUNÇÃO DO ÂNGULO CENTRAL EM 
RADIANOS 
2 22
2
rad R R
A
A
  

→
 =
→  
 ÁREA DO SETOR CIRCULAR EM FUNÇÃO DO ÂNGULO CENTRAL EM 
GRAUS 
 
2 2360
360
R R
A
A
  

→
 =
→  
 
 8.4. ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR 
 
 
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Sendo S a área do segmento circular limitado pela corda AB e pelo arco 
AB da figura tem-se: 
 
 
 
 
( )
2
SC setor
SC
A A A
R l h
A
= −
−
= 
 
 
 
 9. POLÍGONOS REGULARES 
 
 9.1. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
 
 
 
 
Polígono regular é aquele cujos lados são 
respectivamente côngruos e cujos ângulos internos também 
são respectivamente côngruos. 
 
 
 
 
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível 
a uma circunferência. 
O é o centro da circunferência inscrita (interna), 
circunscrita (externa), e do polígono. 
 
 
 9.2. APÓTEMA DO POLÍGONO 
 
 
 
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51 
 
 
 
 
É o segmento com extremos no centro e no ponto 
médio dos lados. É perpendicular ao lado e é raio da 
circunferência inscrita. 
 
OM é um dos apótemas do hexágono ABCDEF 
regular. 
 
 
 
 
 9.3. TRIÂNGULO EQÜILÁTERO INSCRITO 
 
Sendo R o raio da circunferência circunscrita, 
o lado e a o apótema de um triângulo eqüilátero, temos: 
 O é o baricentro  
2
R
a = 
 No  AMC retângulo em M, temos: 
AM2 + MC2 = AC2  
 2
22
22
R
R 

=





+





+ 
 3R= 
 
Resumo das relações: 
 
23 3
1) ; 2)
2 4
2 3 1 3
3) ; 4)
3 2 3 6
l l
h A
l l
R h r h
= =
= = = =
 
 
 
 
 
 
 9.4 QUADRADO INSCRITO 
 
 
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Sendo R o raio da circunferência circunscrita, o 
lado e a o apótema do quadrado inscrito, temos: 
 O triângulo OAB é retângulo em O, assim: 
AB2 = OA2 + OB2  2 = R2 + R2  2R= 
 OM = 
2
AB
 2
a

= ou 
2
2R
a = 
 
 
Resumo das relações: 
 
21) ; 2) 2
1 2 1
3) ; 4)
2 2 2
A l D l
l
R D r l
= =
= = =
 
 
 
 
 9.5.HEXÁGONO REGULAR INSCRITO 
 
Sendo R o raio da circunferência inscrita, o lado e a o apótema do 
hexágono regular inscrito, temos: 
 
 
 O triângulo ABO é eqüilátero  OAAB   l R= 
 OM é a altura do triângulo eqüilátero  OM = 
2
3AB
 
 
2
3R
a = 
 
 
Resumo das relações: 
 
2 23 3 3
1) 6. 6 ; 2)
4 2
3
3)
2
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
l l
A A R l
l
r h
= = = =
= =
 
 
 
 
 
 
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 Área do polígono regular 
 
Apótema de um polígono regular é o segmento que 
une o centro do polígono ao ponto médio de um lado. 
Todo polígono regular de n lados de medida pode 
ser decomposto em n triângulos de base e altura a1 
sendo a o apótema do polígono. 
A área do polígono é dada por: 
 
Em geral: 
 
 
 
.A p a= 
 
A área de um polígono regular é igual ao produto do semiperímetro pelo 
apótema. 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
1. Para decorar uma parede no interior de sua casa, Marisa comprou quadros 
conforme figura abaixo. 
 
Cada quadro contém: 
- Um hexágono regular; 
- Seis quadrados, cada um com um lado coincidente com um dos lados do 
hexágono; 
- Seis setores circulares idênticos de centro nos vértices do hexágono e cuja 
medida do raio é igual à medida do lado do quadrado. 
 
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54 
 
 
As figuras foram pintadas de três cores diferentes: preto, branco e cinza. 
Para cada 2500 cm pintados no quadro, cobra-se 50 reais. 
Cada quadro foi comprado pelo custo da pintura mais 77 reais. 
Considere 3π = e 3 1,7= 
 
Pode-se afirmar que Marisa pagou, por um quadro, em reais, mais de 
a) 100 e menos de 150. 
b) 150 e menos de 200. 
c) 200 e menos de 250. 
d) 250. 
 
2. Nessa figura, os segmentos DEeBC são paralelos. Sendo A1 e A2 as áreas 
dos triângulos ABC e BCD, respectivamente, sabe-se que 
3
5
A
A
2
1 = . 
Calcule o valor de 
2
3
A
A
, sendo A3 a área do triângulo DCE. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Determine o raio do círculo nos casos: 
a) b) 
 
 
4. Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero de lado 2 centímetros. A 
região hachurada está determinada por arcos de circunferência de centro 
nos pontos A, B e C, respectivamente, que são tangentes nos pontos D, E e 
F. Então a área da região hachurada é: 
 
a) 
3
3 −
 d) 
2
32 −
 
b) 
2
3 −
 e) n.r.a. 
c) 
2
23 −
 
 
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55 
 
 
5. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos 
a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 
tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas. 
As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e 
pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, 
II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, 
pode-se concluir que 
 
 
 
 
 
 
 
a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II. 
b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III. 
c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III. 
d) as entidade I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III. 
e) as três entidades recebem iguais quantidades de material. 
 
6. Um pátio de grandes dimensões vai ser revestido por pastilhas quadradas 
brancas e pretas, segundo o padrão representado ao lado, que vai ser 
repetido em toda a extensão do pátio. 
As pastilhas de cor branca custam R$8,00 por metro quadrado e as de cor 
preta, R$10,00. O custo por metro quadrado do revestimento será de 
 
a) R$ 8,20. d) R$ 8,80. 
b) R$ 8,40. e) R$ 9,00. 
c) R$ 8,60. 
 
 
 
 
 
7. Na figura estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas 
diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região 
hachurada é: 
 
a) 
2

+ 2 
b)  + 2 
c)  + 3 
d)  + 4 
e) 2 + 1 
 
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56 
 
 
8. Dois holofotes iguais, situados em H1 e H2, respectivamente, iluminam 
regiões circulares, ambas de raio R. Essas regiões se sobrepõem e 
determinam uma região S de maior intensidade luminosa, conforme figura 
 
Área do setor circular: 
2
,
2
R
Asc em radianos

= 
A área da região S, em unidades de área, é igual a 
 
2 2 2 2 2 2 22 3 (2 3 3)
) ) ) ) )
3 2 12 12 8 2 3
R R R R R R R
a b c d e
    −
− − 
 
9. Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de 
vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1m, conforme a figura a 
seguir. 
 
Nesta figura, os pontos A,B,C e D são os pontos médios dos lados do 
quadrado e os segmentos AP e QC medem ¼ da medida do lado do 
quadrado.Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: 
um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e o outro 
para a parte mais clara ( regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o 
m2. De acordo com esses dados, qual o custo dos materiais usados na 
fabricação de um vitral? 
 
a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 
 
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10. Considere um triângulo ABC e a circunferência nele inscrita, como na 
figura abaixo. Se o raio do círculo é 6 cm e o perímetro do triângulo é P cm, 
então a área do triângulo, em cm2, é: 
a) P c) 3P 
b) 2p d) 4P 
 
 
 
 
 
11. Na figura abaixo, o raio da semicircunferência mede 4 cm; o polígono é 
um hexágono regular, e o ângulo AÔB é reto. Assinale a alternativa correta 
para a medida da área da região sombreada. 
 
a) ⎯ a) ( 3 – 2) cm2 
b) ⎯ b)  3 cm2 
c) ⎯ c) ( – 3 ) cm2 
d) ⎯ d) 2 (4 – 3 3 ) cm2 
e) ⎯ e) (6 – 2 3 ) cm2 
 
12. Considere NQ = MP = 
3
MN
, sendo MN a base do retângulo KNML. Se a 
soma das áreas dos triângulos NQL e PLM é 16, a área do retângulo KNML 
é: 
a) 24 
b) 32 
c) 48 
d) 72 
e) 96 
 
13. João possuía um terreno retangular ABCD, de 1800 m2, do qual cedeu a 
faixa ADEF com 10 m de largura, em troca de outra CEGH, com 30 m de 
largura, conforme está indicado na figura, e de modo que ABCD e BHGF 
tivessem a mesma área. O perímetro do terreno ABCD media: 
 
a) 210 m 
b) 204 m 
 
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c) 190 m 
d) 186 m 
e) 180 m 
 
 
 
 
14. A figura sombreada abaixo é limitada por semi-circuferências e inscrita 
num quadrado de lado = 2 m. Sua área vale: 
 
a) 2 m2 
b) (4 – ) m2 
c) 




 
−
2
2 m2 
d) (2 – 4)m2 
e) ( – 2)m2 
 
 
15. Considere a figura abaixo, onde G é o baricentro do triângulo ABC. 
 
Assinale a única alternativa que 
corresponde à razão entre as áreas dos 
triângulos ABG e EGD. 
 
a) 1 c) 3 e) 12 
b) 2 d) 4 
 
 
16. Na figura abaixo, determine a área da parte sombreada em função do raio 
r do círculo, sendo BCeAB os lados de um quadrado inscrito nesse círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Seja ABCDEF um hexágono regular inscrito num círculo cujo raio mede 1 
cm. Calcule a área sombreada. 
 
 
 
 
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18. A área do triângulo cujos lados medem 2 cm, 3cm e 4 cm 
respectivamente é: 
a) 2cm
3
135
 d) 2cm
4
135
 
b) 2cm
2
135
 e) 2cm
5
135
 
c) 135 cm2 
 
19. A área do hexágono regular inscrito num círculo cujo raio mede 10 
centímetros é: 
 
a) 150 3 cm2 b) 75 75 cm2 c) 75 3 cm2 d) 120 3 cm2 e) 
155 3 cm2 
 
20. Os pontos A, B, C, D, E e F dividem a circunferência de raio 4cm em 6 
partes iguais. A área da figura sombreada mede: 
 
a) 8 3 cm2 d) 16 3 cm2 
b) 4 3 cm2 e) 18 3 cm2 
c) 12 3 cm2 
 
 
21. Num triângulo retângulo, as projeções dos catetos sobre a hipotenusa 
medem 4 cm e 1 cm respectivamente. A área desse triângulo mede: 
 
a) 2 cm2 d) 5 cm2 
b) 5 2 cm2 e) 10 cm2 
c) 4 cm2 
 
22. Se S1, S2 e S3,respectivamente, são as áreas dos triângulos A1B1C1 , 
A2B2C2 e A3B3C3, da figura abaixo, então: 
 
a) S1 > S2 > S3 
b) S1 = S2 < S3 
c) S1 < S2 < S3 
d) S1 = S2 > S3 
e) S1 < S2 = S3 
 
 
 
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23. Dadas as circunferências abaixo, onde o ponto A é o centro da maior 
delas, a área hachurada é igual a: 
 
a)  cm2 
b) 2 cm2 
c) 4 cm2 
d) 4 cm2 
e) 2 cm2 
 
 
24. Na figura, o triângulo ABC é eqüilátero, DF e EF são arcos de 
circunferência de raio a e centros em A e C, respectivamente. Então, a área 
da região hachurada é: 
 
a) )3(
2
a2
− d) a2( 3 – ) 
b) 3
6
a2
 e) )33(
3
a2
− 
c) 
3
a2
 
25. Os diâmetros das pizzas grande e média são 40 cm e 36 cm, 
respectivamente. Qual deve ser o preço da média se a grande custa R$ 
20,00 e os preços são proporcionais às áreas das pizzas? 
 
a) R$ 15,50 b) R$ 16,20 c) R$ 17,40 d) R$ 18,50 e) R$ 19,00 
 
26. O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do 
comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja 
largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim 
e a área total do terreno? 
a) 30% A B 
b) 36% 
c) 40% 
d) 45% 
e) 50% 
 D C 
 
27. Um losango tem 24 dm2 de área, e a razão das suas diagonais é 3/4. A 
área do círculo cujo raio é igual à menor diagonal, medida em dm2, é: 
 
a) 12 c) 24 e) 64 
b) 16 d) 36 
 
 
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28. De um pedaço quadrado de metal corta–se uma peça circular de diâmetro 
máximo e desta corta–se outro quadrado de lado máximo. A quantidade de 
material desperdiçado é: 
 
a) 1/4 da área do quadrado original. d) 1/4 da área da parte 
circular. 
b) 1/2 da área do quadrado original. e) n.d.a. 
c) 1/2 da área da parte circular. 
 
 
 
BONS ESTUDOS