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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
MTM131 � Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
Profa. Fabiana Lopes Fernandes
L2P1 � Retas no Plano
Instruções: Reveja a teoria e exercícios feitos em classe. Evite �decorebas�, procure compreender
bem a teoria para melhor aplicá-la à resolução dos problemas. A resolução de um exercício deve
estar na forma de um texto organizado, claro e objetivo; os conceitos utilizados devem estar
explicitados passo a passo. Utilize os conceitos e fórmulas vistos em classe.
Bom estudo!
1. Escreva a equação cartesiana das retas abaixo:
(a) (b) (c)
2. Em cada caso, esboce e determine a equação da reta que satisfaz às proprie-
dades dadas.
(a) Passa pelo ponto médio do segmento AB, com inclinação 45◦, em que
A = (3,−5) e B = (1,−1).
(b) Passa pelo ponto (1, 2) e é paralela à reta 3x− y = 4.
(c) Passa pelo ponto (1, 2) e é perpendicular à reta 3x− y = 4.
(d) Passa pela interseção entre as retas 7x− 2y = 0 e 4x− y = 1 e é perpen-
dicular à reta 3x+ 8y = 19.
(e) Passa pelo ponto (2, 0) e é perpendicular à reta x = 3.
3. Utilizando o conceito de coe�ciente angular, determine o valor de a para que
os pontos A = (a, 5), B = (−2, 3) e C = (4, 1) sejam colineares.
4. Mostre que as interseções entre as retas r : 5x − y − 6 = 0, r′ : x + 5y = 22,
s : 5x− y = 32 e s′ : x+5y+4 = 0 são vértices de um quadrado de lado
√
26.
1
5. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A e B da �gura abaixo.
5,5. Determine a interseção das retas r e s da �gura abaixo.
6. Na família de retas 3x−my+m2 = 0, m ∈ R, determine as equações daquelas
que passam pelo ponto P = (−4, 4).
7. Sejam a, b, c números reais distintos. Prove que os pontos A = (a, b + c),
B = (b, a+ c) e C = (c, a+ b) são colineares e determine a equação cartesiana
da reta que os contém.
Sugestão: encontre a equação da reta por dois desses pontos e mostre que terceiro ponto
pertence a essa reta.
7,5. Faça um esboço da região dos pontos do plano cujas coordenadas (x, y) satis-
fazem às condições dadas.
(a) |x− 3| ≤ 1 e |y − 2| ≤ 5
(b) |x− 3| ≤ 1 ou |y − 2| ≤ 5
(c) 0 ≤ x ≤ y ≤ 1
(d) xy = 0
(e) x2 ≤ y2
8. As retas r : 2x + 3y = 2 e r′ : x− 3y = 1 passam pelo ponto (a, b). Calcule o
valor de a+ b.
9. Prove que as retas r : 2x + 3y − 1 = 0, ℓ : x + y = 0 e t : 3x + 4y − 1 = 0
concorrem no mesmo ponto P e determine as coordenadas desse ponto.
10. Determine k para que as retas r : 3x − 3y + 2k = 0, s : kx − y = 0 e
t : 3x+ 3y − 4k = 0 sejam concorrentes no mesmo ponto.
11. Dado o ponto A = (−2, 4), determine as coordenadas de dois pontos P e Q,
situados respectivamente sobre as retas r : y = 3x e s : x+ y = 0, de tal modo
que A seja o ponto médio do segmento PQ.
2
12. Determine os valores de k para que a reta r : (k+4)x+(9−k2)y+(k−6)2 = 0:
(a) seja paralela ao eixo OX;
(b) seja paralela ao eixo OY ;
(c) passe pela origem.
13. Determine as coordenadas do ponto da reta r : 2x−y+3 = 0 que é equidistante
aos pontos A = (3, 0) e B = (1,−4).
14. Considere as retas r : kx − (k + 2)y = 2 e s : ky − x = 3k. Determine k de
modo que:
(a) r e s sejam concorrentes.
(b) r e s sejam paralelas.
(c) r e s sejam coincidentes.
15. Discuta, em função de m e p, a posição relativa entre as retas ℓ : mx+y−p = 0
e t : 3x+ 3y − 7 = 0.
16. Para todo número real p, a equação (p−1)x+4y+p = 0 representa uma reta.
Determine p de modo que a reta seja:
(a) paralela à reta 4x− 2y + 6 = 0.
(b) perpendicular à reta 4y − x = 1.
17. Prove que o segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo
é paralelo ao terceiro lado.
Sugestão: sem perda de generalidade, considere o triângulo de vértices (0, 0), (a, b) e (c, 0).
18. Determine as coordenadas do ponto P ′, simétrico ao ponto P = (−1, 6) em
relação à reta r : 3x− 4y + 2 = 0.
19. Os pontos P = (2, 5) e Q = (14, 1) são simétricos em relação à reta r. Deter-
mine a equação dessa reta.
20. Em um triângulo ABC, os lados AB e BC têm a mesma medida. Sabendo
que A =
(
2, 1
2
)
e C =
(
2
3
, 1
)
, determine a abscissa do ponto em que a altura
relativa ao lado AC o intercepta.
21. Considere os pontos A = (1, 2), B = (2, 4) e C = (3,−1). Obtenha as equações
das retas suporte da mediana e da altura do triângulo ABC que partem do
vértice A.
22. Determine os pontos da reta r : y = 2x+ 1 que estão à distância 1 da origem.
23. Determine os pontos da reta r : y = 2x + 1 que estão à distância 2 da reta
r′ : 3x− 2y + 1 = 0.
24. Obtenha uma reta paralela à reta ℓ : x − y + 7 = 0 que dista
√
2 do ponto
A = (2, 2).
25. Determine o perímetro e a área do triângulo ABC, cujo vértice A está no eixo
das abscissas, o vértice B, no eixo das ordenadas e as retas suporte dos lados
AC e BC têm equações x+ y = 4 e y − x = 3, respectivamente.
26. Uma das diagonais de um losango é o segmento de extremos (1,4) e (3,2).
Determine a equação da reta suporte da outra diagonal.
3
27. Determine a equação da reta paralela à reta r : 3x + 4y + 15 = 0 e que dista
3 unidades desta.
28. Determine a distância d do ponto P = (6, 1) à reta r : x+ 2y = 3. Encontre o
ponto Q sobre essa reta que realiza a distância de P a r, ou seja, determine o
ponto Q ∈ r, tal que d(P,Q) = d.
29. Assinale no plano cartesiano o conjunto no qual estão contidas as retas de
equação x+ y + c = 0, com c ≤ −2.
30. Esboce a região do R2 cujas coordenadas dos pontos satisfazem às inequações
a seguir:
(a)

x− y ≥ 0,
x+ y ≤ 1,
y ≥ 2.
(b)
{
x − 3y ≥ 0,
3x + y ≥ 0.
(c) (2x− y + 4)(x+ 2y − 6) < 0
(d) (2x+ y + 2)(x− 2y − 1) ≥ 0
(e)
2x+ y − 6
3x− y + 3
≥ 0
(f)
x+ y − 3
x− y + 2
≤ 0 e y ≥ 0
RESPOSTAS
1. (a) 5x− y + 5 = 0
(b) x− 3y − 3 = 0
(c) 8x+ 5y + 20 = 0
2. (a) x− y = 5
(b) 3x− y − 1 = 0
(c) x+ 3y − 7 = 0
(d) 8x− 3y + 5 = 0
(e) y = 0
3. a = −8
5. x− 3y + 4 = 0
5,5. P =
(
4
7 ,
12
7
)
6. r : 3x+ 2y + 4 = 0,
r′ : 3x− 6y + 36 = 0
7. x+ y = a+ b+ c
7,5. (a) {(x, y); 2 ≤ x ≤ 4 e − 3 ≤ y ≤ 7}
(b) {(x, y); 2 ≤ x ≤ 4 ou − 3 ≤ y ≤ 7}
(d) {(x, y); x = 0 ou y = 0}
(e) {(x, y); y ≥ |x| ou y ≤ −|x|}
8. a+ b = 1
9. P = (−1, 1)
10. k = 0 ou 3
11. P = (1, 3), Q = (−5, 5)
12. (a) k = −4
(b) k = ±3
(c) k = 6
13.
(
− 8
5 ,−
1
5
)
14. (a) k ̸= −1, 2
(b) k = −1 ou 2
(c) Impossível.
15. m ̸= 1, ℓ e t concorrentes; m = 1 e p = 7
3 , ℓ e
t coincidentes; m = 1 e p ̸= 7
3 , ℓ e t paralelas.
16. (a) p = −7 (b) p = 17
18. P ′ = (5,−2)
19. 3x− y − 21 = 0
20. 4
3
21. med: x+ 3y − 7 = 0; alt: x− 5y + 9 = 0.
22. (0, 1) e
(
− 4
5 ,−
3
5
)
.
23. P =
(
−1− 2
√
13,−1− 4
√
13
)
,
P ′ =
(
−1 + 2
√
13,−1 + 4
√
13
)
24. x− y + 2 = 0 ou x− y − 2 = 0
25. Área: 7
4 ; Perímetro: 5 + 4
√
2.
26. x− y + 1 = 0
27. 3x+ 4y = 0 ou 3x+ 4y + 30 = 0
28. d =
√
5; Q = (5,−1).
4
Figura 1: 7,5 (a)
Figura 2: 7,5 (b) Figura 3: 7,5 (c)
Figura 4: 7,5 (d) Figura 5: 7,5 (e) Figura 6: 29
Figura 7: 30 (a) Figura 8: 30 (b) Figura 9: 30(c)
Figura 10: 30(d)
Figura 11: 30(e) Figura 12: 30(f)
5