Prova final de bioestatística

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Exame de Bioestatística - Prof. Nei Rocha
Graduação em Farmácia Integral/Noturno
GABARITO - PROVA FINAL
1a. Questão (5,0): Uma pesquisa estatística com a �nalidade de se estudar a idade em que o câncer
de mama é diagnosticado foi conduzida com 150 mulheres do Hospital do Câncer no Rio de Janeiro.
Os dados obtidos foram agrupados em classe segundo a tabela abaixo:
Idade de Início Frequência
30 ` 40 30
40 ` 50 51
50 ` 60 42
60 ` 70 18
70 ` 80 9
Total 150
(a) Obtenha a média, a mediana e a moda da distribuição. (valor 1 ,5)
Solução:
Idade fi fac xi xifi
�
xi � �X150
�2
fi
30 ` 40 30 30 35 1050 6750
40 ` 50 51 81 45 2295 1275
50 ` 60 42 123 55 2310 1050
60 ` 70 18 141 65 1170 4050
70 ` 80 9 150 75 675 5625
Total 150 7500 18750
Cálculo da média:
�X150 =
P5
i=1 xi:fi
150
=
7500
150
= 50. (valor 0 ,5)
Cálculo da mediana: A mediana se situa na segunda classe, pois é lá que se encontra o valor que
ocupa a posição 75. Assim
Me = 40 +
�
75� 30
51
�
� 10 �= 48; 82. (valor 0 ,5)
Cálculo da moda: A classe modal é a segunda, pois é esta que possui a maior frequência. Assim,
como �1 = 51� 30 = 21 e �2 = 51� 42 = 9, temos
Mo = 40 +
�
21
21 + 9
�
� 10 = 47. (valor 0 ,5)
(b) Obtenha o desvio-padrão e analise os dados quanto à homogeneidade/heterogeneidade. (valor
1 ,0)
Solução: A variância dos dados é dada por
S2 =
P5
i=1
�
xi � �X150
�2
:fi
149
=
18750
149
�= 125; 84 (valor 0 ,25)
e o desvio-padrão é
S =
p
125; 84 �= 11; 22. (valor 0 ,25)
Para avaliar a homogeneidade/heterogeneidade dos dados necessitamos do coe�ciente de variação
de Pearson. Assim
CV =
S
�X
=
11; 22
50
= 0; 2244 = 22; 44%. (valor 0 ,25)
Assim os dados podem ser considerados homogêneos. (valor 0 ,25)
(c) Analise os dados quanto à possível presença de outliers. (valor 1 ,5)
Solução: Para avaliar a presença de outliers necessitamos do primeiro e terceiro quartis. A classe
do primeiro quartil é 40 ` 50 pois é nela que se situam os elementos que ocupa a posição 37 e 38.
Assim
Q1 = 40 +
 
150
4 � 30
51
!
� 10 = 41; 47 (valor 0 ,5)
A classe do terceiro quartil é 50 ` 60 pois é nela que se situam os elementos que ocupa a posição
112 e 113. Assim
Q3 = 50 +
 
3� 150
4 � 81
42
!
� 10 = 57; 5 (valor 0 ,5)
O intervalo de con�abilidade, tendo em mente que IQ = Q3 �Q1 = 16; 03, é�
Q1 �
3
2
IQ; Q3 +
3
2
IQ
�
=
�
41; 47� 3
2
� 16; 03; 57; 5 + 3
2
� 16; 03
�
= [17; 425; 81; 545]
Assim, o intervalo de dados típicos é [17; 425; 81; 545], portanto não há outliers nos dados obser-
vados. (valor 0 ,5)
(d) Analise os dados quanto à assimetria e discuta qual a melhor medida de posição para os dados.
(valor 1 ,0)
Solução: O coe�ciente de assimetria de Pearson é dado por
As =
�Xn �Mo
S
=
50� 47
11; 22
= 0; 2674 (valor 0 ,3)
Como As > 0, então a distribuição é assimétrica positiva ou à direita. Além disso, como 0; 15 <
jAsj � 1, a assimetria é considerada moderada. (valor 0 ,4)
Como a assimetria é moderada e não há outliers nos dados, a média é a melhor medida de posição
a ser tomada. (valor 0 ,3)
2a. Questão (2,5): Sejam quatro lotes escolhidos aleatoriamente e tratados com vários níveis de
fertilizantes (litros), resultando nas safras de milho (quilogramas) apresentadas no quadro abaixo
Fertilizante 100 200 400 500
Safra 70 70 80 100
(a) Quanto da safra é explicado pelo nível de fertilizantes? (valor 1 ,0)
Solução: Para responder à questão da relação entre fertilizante (X) e safra (Y), precisamos calcular
o coe�ciente de correlação linear entre essas variáveis. Assim, temos
r =
4
P4
i=1 xi:yi �
�P4
i=1 xi
�
:
�P4
i=1 yi
�
r
4
P4
i=1 x
2
i �
�P4
i=1 xi
�2r
4
P4
i=1 y
2
i �
�P4
i=1 yi
�2
Mas
4X
i=1
xi:yi = 103:000
4X
i=1
xi = 1:200,
4X
i=1
yi = 320
4X
i=1
x2i = 460:000 e
4X
i=1
y2i = 26:200
Assim
r =
4� 103:000� (1:200) : (320)q
4� 460:000� (1:200)2
q
4� 26:200� (320)2
=
28:000
30:983; 87
r �= 0; 9036 (valor 0 ,5)
Há portanto uma forte correlação positiva entre fertilizante e safra. O coe�ciente r2 �= 0; 8167 =
81; 67% nos informa que 81; 67% da variabilidade da safra é explicada pela quantidade de fertilizante.
(valor 0 ,5)
(b) Construa um modelo de regressão para estimar a quantidade de safra a partir da quantidade
de litros de fertilizante utilizado. (valor 1 ,0)
Solução: Desejamos estimar a reta de regresão ŷi = axi + b com
a =
4�
P4
i=1 xi:yi �
�P4
i=1 xi
�
:
�P4
i=1 yi
�
4�
P4
i=1 x
2
i �
�P4
i=1 xi
�2
e
b = �Y4 � a: �X4.
Assim, temos
a =
4� 103:000� (1:200) : (320)
4� 460:000� (1:200)2
=
28:000
400:000
= 0; 07 (valor 0 ,25)
b =
320
4
� 0; 07� 1:200
4
= 59 (valor 0 ,25)
Assim a reta estimada é dada por
ŷi = 0; 07xi + 59 (valor 0 ,5)
com xi a quantidade de fertilizante e ŷi a safra esperada.
(c) Qual o valor estimado da safra, quando não é utilizado o fertilizante na lavoura? (valor 0 ,5)
Solução: Desejamos estimar a safra quando xi = 0 (ausência de fertilizante). Assim, temos
ŷi = 0; 07� 0 + 59 = 59. (valor 0 ,5)
Portanto, sem o uso de fertilizante, espera-se uma safra de 59 kg.
3a. Questão (1,0): Numa população há 40% de fumantes. Dentre os fumantes, sabe-se que 60% são
acometidos por doenças respiratórias; e dentre os não fumantes apenas 10% são acometidos por doenças
respiratórias. Se uma pessoa, selecionada aleatoriamente, é diagnosticada com doença respiratória,
qual a probabilidade de que ela seja fumante?
Solução: Sejam os eventos F : a pessoa é fumante e R : a pessoa tem doença respiratória. Temos
P (F ) = 0; 4, P (RjF ) = 0; 6 e P (RjF c) = 0; 1. Desejamos P (F jR), isto é
P (F jR) =
P (F \R)
P (R)
=
P (F )P (RjF )
P (F )P (RjF ) + P (F c)P (RjF c)
=
(0; 4) (0; 6)
(0; 4) (0; 6) + (0; 6) (0; 1)
=
0; 24
0; 30
= 0; 8
Assim
P (F jR) = 80%.
4a. Questão (1,5): Por estudos bioestatísticos com 64 bezerros de um rebanho, foi diagnosticado que
os pesos à desmama (em kg) dos bezerros se comportam como uma distribuição Normal com média
170 kg e desvio padrão 5 kg.
(a) Selecionado um bezerro desta população, qual a probabilidade de ele apresentar peso superior
a 165 kg? (valor 0 ,7)
Solução: Seja X a v.a. representando o peso à desmama de um bezerro. Então X � N (170; 52).
Assim
Z =
X � 170
5
� N (0; 1) (valor 0 ,1)
Desejamos
P (X > 165) = P
�
X � 170
5
>
165� 170
5
�
= P (Z > �1) (valor 0 ,3)
= P (Z < 1)
= 0; 8413 (valor 0 ,3)
(b) Selecionados 64 bezerros desta população, qual a probabilidade de que a média dos pesos à
desmama esteja entre 169,5 kg e 171,25 kg? (valor 0 ,8)
Solução: Sabemos que
X64 =
X1 +X2 + :::+X36
64
� N (170; 5
2
64
)
Assim
Z =
X64 � 170
0; 625
� N (0; 1) (valor 0 ,1)
Desejamos
P
�
169; 5 � X64 � 171; 25
�
= P
�
169; 5� 170
0; 625
� X64 � 170
0; 625
� 171; 25� 170
0; 625
�
= P (�0; 8 � Z � 2)
= P (Z � 2)� P (Z � �0; 8)
P (Z � 2) = 0; 9772 (valor 0 ,2)
P (Z � �0; 8) = 0; 2119 (valor 0 ,2)
P
�
169; 5 � X64 � 171; 25
�
= 0; 9772� 0; 2119 = 0; 7653.
Assim
P
�
169; 5 � X64 � 171; 25
�
= 76; 53%. (valor 0 ,2)