Trigonometria: Índice de Subida

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1. INTRODUÇÃO
Observe uma pessoa que sobe 2 tipos de rampa.
subida
30¡
subida
55¡
Dizemos que a segunda rampa é mais íngreme ou 
tem aclive maior, pois a medida de abertura do ângulo 
de subida é maior (558 . 308).
Vejamos agora a seguinte situação-problema.
Sem conhecer as medidas de abertura dos ângulos 
de subida, como saber qual das 2 rampas abaixo é a 
mais íngreme?
4 m 7 m
5 m
3 m
Situações como essa, que envolvem medidas de 
comprimento dos lados e medidas de abertura dos 
ângulos de um triângulo, podem ser resolvidas com o 
estudo da Trigonometria. Faça a leitura do texto Trigo-
nometria: história e importância, na página 364.
2. ÍNDICE DE SUBIDA
Para cada ponto P alcançado na subida, temos as 
medidas de comprimento de um percurso, um afasta-
mento e uma altura. Veja os exemplos.
percurso
afastamento
altura
P
percurso
afastamento
altura
P
Il
u
s
tr
a
ç
õ
e
s
: 
B
a
n
c
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 d
e
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m
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g
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n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Observe a rampa e a tabela a seguir.
2 m
4 m
8 m
12 m
1 m
2 m
4 m
6 m
A
B
C
D
Ponto
Medida de 
comprimento
do afastamento
Medida de 
comprimento 
da altura
A 2 m 1 m
B 4 m 2 m
C 8 m 4 m
D 12 m 6 m
Para cada um dos pontos, a razão entre as medidas 
de comprimento da altura e do afastamento corres-
pondente é dada por:
5 5ponto :
medida de comprimento da altura
medida de comprimento do afastamento
A
5 5
1m
2 m
1
2
5 5Bponto :
medida de comprimento da altura
medida de comprimento do afastamento
5 5
2 m
4 m
1
2
5 5Cponto :
medida de comprimento da altura
medida de comprimento do afastamento
5 5
4 m
8 m
1
2
5 5Dponto :
medida de comprimento da altura
medida de comprimento do afastamento
5 5
6 m
12 m
1
2
 PARA REFLETIR: 
A proporcionalidade das medidas de comprimento é 
decorrente da semelhança dos triângulos retângulos.
Comprove construindo a figura com as medidas de com-
primento em centímetros e conservando a medida de 
abertura do ângulo de subida.
M
a
u
ro
 N
a
k
a
ta
/
A
rq
u
iv
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 d
a
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d
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o
ra
CAPêTULO 11 • TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 347
Contexto e Aplicacoes Matematica_U5_C11_346a373.indd 347 8/22/18 2:27 PM
Note que a razão entre as medidas de comprimen-
to da altura e do afastamento, para cada ponto de uma 
mesma subida, é uma constante (é sempre a mesma). 
No exemplo dado, essa constante é 
1
2
 e a ela damos o 
nome índice de subida. 
5índice de subida
medida de comprimento da altura
medida de comprimento do afastamento
Na figura abaixo, por exemplo, o índice de subida 
da rampa é 
2
3
, isto é, a cada 3 unidades que nos afas-
tamos, elevamo-nos 2 unidades. 
3
2
4
6
6
9
A
B
C
 PARA REFLETIR: 
• Como devem ser as medidas de comprimento da altura 
e do afastamento para que o índice de subida seja 1?
• E maior do que 1?
1. Que subida é mais íngreme: uma com índice 1 ou 
outra com índice 
1
3
? 
 PARA REFLETIR: 
Dadas 2 subidas, qual é a mais íngreme: a de índice 
de subida maior ou menor? 
2. Para determinada rampa, temos os dados da ta-
bela abaixo. Complete a tabela e calcule o índice 
de subida.
Ponto
Medida de 
comprimento do 
afastamento
Medida de 
comprimento 
da altura
A 4 m 8 m
B 4 m
C 1 m
D 6 m
E 5 m
F 10 m
3. Desenhe uma rampa com índice de subida igual 
a 
3
2
. 
4. Em uma subida de índice igual a 
1
2
, se nos afas-
tarmos 50 m, então a quantos metros nos eleva-
remos do chão? 
5. Em uma subida de índice igual a 
2
5
, se nos ele-
varmos a uma altura de medida de comprimento 
de 4 m, então qual será a medida de comprimen-
to do afastamento correspondente? 
6. Em construção civil, o índice de subida é muito 
usado para fazer referências às inclinações de 
telhados, calhas, rampas, ruas e rodovias. Em 
vez de utilizar o termo índice de subida, na cons-
trução civil usa-se inclinação.
Assim, um telhado com índice de subida de 0,15 
é um telhado com inclinação de 15%; uma rampa 
com índice de subida de 
1
2
 é uma rampa com 
inclinação de 50%.
Considere o seguinte telhado, cuja vista frontal é 
um triângulo isósceles de base de medida de 
comprimento de 8 m. Se a inclinação do telhado 
é de 15%, então qual é a medida de comprimen-
to h da altura desse telhado? 
8 m
h
RELACIONANDO A MEDIDA DE ABERTURA DO 
ÂNGULO DE SUBIDA E O ÍNDICE DE SUBIDA
Até agora, verificamos o quanto uma subida é ín-
greme usando a medida de abertura do ângulo de su-
bida ou, então, o índice de subida.
a
a
1
h
1
b
a
2
h
2
• Quanto maior a medida de abertura do ângulo de 
subida, mais íngreme é a subida.
• Quanto maior o índice de subida, mais íngreme é a 
subida.
Será que podemos associar esses 2 coeficientes 
em uma mesma subida? É o que veremos a seguir.
 PARA REFLETIR: 
Relacione com ., , ou 5 as medidas de abertura a e b 
dos ângulos e as razões 
h
a
e
h
a
1
1
2
2
 das figuras acima. 
EXERCÍCIOS
Il
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a
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: 
B
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UNIDADE 5 • GEOMETRIA PLANA E TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO348
Contexto e Aplicacoes Matematica_U5_C11_346a373.indd 348 8/22/18 2:27 PM
3. A IDEIA DE TANGENTE
Usaremos a palavra tangente para associar a me-
dida de abertura do ângulo de subida e o índice na 
mesma subida. A tangente da medida de abertura do 
ângulo de subida é igual ao índice de subida associado 
a ela e será indicada por k
1
.
a
afastamento
altura
tangente da medida de abertura de um ângulo 
de subida 5 k
1
tan a 5 k
1
tan a 5 
medida da altura
medida do afastamento
 5 índice de subida
Temos agora condições de resolver a situação-pro-
blema apresentada no início deste capítulo.
Vamos retomar as 2 figuras e depois construir os 
modelos matemáticos delas, que são 2 triângulos re-
tângulos.
4 m 7 m
5 m
3 m
 
3
4
a
7
5
b
• Índice de subida da primeira figura: tan a 5 
3
4
• Índice de subida da segunda figura: tan b 5 
5
7
Como .
3
4
5
7
, a primeira subida é a mais íngreme.
 PARA REFLETIR: 
Podemos concluir que .
3
4
5
7
 reduzindo as 2 frações ao 
mesmo denominador ou transformando-as em decimais.
M
a
u
ro
 N
a
k
a
ta
/A
rq
u
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o
 d
a
 e
d
it
o
ra
OBSERVAÇÃO: Além da tangente da medida de abertu-
ra do ângulo de subida, que é obtida pela razão entre 
a medida de comprimento da altura e a medida de com-
primento do afastamento, veremos que há outras ra-
zões que envolvem também a medida de comprimento 
do percurso e que podem ser úteis na resolução de 
problemas.
4. A IDEIA DE SENO
Em qualquer subida, podemos determinar a razão 
entre as medidas de comprimento da altura e do per-
curso, que será um número indicado por k
2
, ao qual 
chamaremos de seno de a. 
5
medida de comprimento da altura
medida de comprimento do percurso
k
2
O número k
2
, da mesma maneira que a medida de 
abertura do ângulo de subida, pode nos indicar quanto 
a subida é íngreme.
percurso
altura
a
seno da medida de abertura de um ângulo de su-
bida 5 k
2
 
sen a 5 k
2
a 5sen
medida de comprimento da altura
medida de comprimento do percurso
 PARA REFLETIR: 
Pense em 2 subidas com percursos de medidas de com-
primento iguais e ângulos de subida de medida de aber-
tura a e b, com a . b. 
• Qual delas terá altura com medida de comprimento 
maior?
• Quem é maior: sen a ou sen b?
• Qual das subidas é mais íngreme?
Faça desenhos para conferir suas respostas.
5. A IDEIA DE COSSENO 
Em qualquer subida, podemos determinar a razão 
entre as medidas de comprimento do afastamento e do 
percurso, que será um número indicado por k
3
, ao qual 
chamaremos de cosseno de a. 
5
medida de comprimento do afastamento
medida de comprimento do percurso
k
3
Il
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B
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CAPêTULO 11 • TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 349
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