Calculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 2-353

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O vetor gradiente 	f (2, �1) do Exemplo 4 é
mostrado na Figura 6 com ponto inicial (2, �1).
Também é mostrado o vetor v, que dá a 
direção da derivada direcional. Ambos os
vetores estão sobrepostos ao mapa de contorno
do gráfico de f.
842 CÁLCULO
Se f (x, y) � sen x � exy, então
	f (x, y) � k fx, fyl� kcos x � yexy, xexyl
e 	f (0, 1) � k2, 0l
Com a notação de vetor gradiente, podemos reescrever a Equação 7 para a derivada dire-
cional de uma função diferenciável como
Du f (x, y) � 	f (x, y) � u 
Isso expressa a derivada direcional na direção de u como a projeção escalar do vetor gra-
diente sobre u. 
Determine a derivada direcional da função f (x, y) � x2y3 � 4y no ponto 
(2, �1) na direção do vetor v � 2i � 5j.
SOLUÇÃO Primeiramente, vamos calcular o vetor gradiente em (2, �1):
	f (x, y) � 2xy3 i � (3x2y2 � 4)j 
	f (2, �1) � �4i � 8j 
Observe que v não é um vetor unitário, mas, como , o vetor unitário na direção
de v é
Portanto, pela Equação 9, temos
Funções de Três Variáveis
Para as funções de três variáveis podemos definir derivadas direcionais de modo semelhan-
te. Novamente Du f (x, y, z) pode ser interpretado como a taxa de variação da função na dire-
ção de um vetor unitário u. 
Definição A derivada direcionada de f em (x0, y0, z0) na direção do vetor uni-
tário u � ka, b, cl é
se esse limite existir.
Se usarmos a notação vetorial, poderemos escrever tanto a definição (2) quanto a (10) da
derivada direcional na forma compacta
onde x0 � kx0, y0l se n � 2 e x0 � kx0, y0, z0l se n � 3. Isso era esperado, porque a equação
vetorial da reta que passa por x0 na direção do vetor u é dada por x � x0 � tu (Equação
12.5.1), e, portanto, f (x0 � hu) representa o valor de f em um ponto dessa reta.
Se f (x, y, z) for diferenciável e u � ka, b, cl, então o mesmo método usado na demons-
tração do Teorema 3 pode ser usado para mostrar que 
Du f �x0 � � lim
h l 0
f �x0 � hu� � f �x0 �
h
Du f �x0, y0, z0 � � lim
h l 0
f �x0 � ha, y0 � hb, z0 � hc� � f �x0, y0, z0 �
h
Du f �2, �1� � 	 f �2, �1� � u � ��4 i � 8 j� � � 2
s29
i �
5
s29
j	
�
�4 � 2 � 8 � 5
s29
�
32
s29
u �
v
 v 
 �
2
s29
i �
5
s29
j
 v 
 � s29
EXEMPLO 3
11
10
EXEMPLO 4
9
v
(2, _1)
±f(2, _1)
FIGURA 6
x
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	14- Derivadas Parciais
	14.6 Derivadas Direcionais e o Vetor Gradiente
	Funções de Três Variáveis