Teorema de Pitágoras

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a
bc
A
B C 
b
b
a
a
a
a
b
c
bc
c
c
10 m
6 m
h
b
c
a
20
Teorema de Pitágoras
Em um triângulo retângulo é válida a seguinte relação que envolve os comprimentos 
da hipotenusa – lado oposto ao ângulo reto e o maior lado do triângulo retângulo – e dos 
catetos – lados adjacentes ao ângulo reto.
Região poligonal 
é a reunião de 
um polígono e 
todos os seus 
pontos interiores. 
Neste livro, 
vamos utilizar a 
palavra polígono 
para nos 
referirmos tanto 
aos polígonos 
quanto às regiões 
poligonais.
Para simplificar a 
escrita, neste 
capítulo vamos 
dizer, em algumas 
situações, 
“segmento a” para 
nos referirmos ao 
segmento cuja 
medida do 
comprimento é a. 
Então, em vez de 
dizer “quadrado 
cujo lado tem 3 cm 
de comprimento”, 
diremos simples-
mente “quadrado 
de lado 3 cm”, 
entre outras.
Neste tópico, ao extrair raízes quadra-
das de ambos os membros de uma 
equação, vamos considerar apenas os 
valores positivos, pois as incógnitas são 
comprimentos de segmentos de reta 
que não assumem valores negativos.
O primeiro registro da demonstração desse teorema é creditado a Pitágoras, e por isso 
leva o seu nome. No entanto, casos particulares dessa relação já eram de conhecimento de 
povos anteriores a Pitágoras, como os babilônios, por exemplo.
Podemos demonstrar o teorema de Pitágoras da seguinte maneira.
Inicialmente, consideramos o triângulo retângulo ABC.
 R4. Para apoiar um poste de rede elétrica, foi utilizado um cabo de aço fixado ao solo a uma 
distância de 6 m do poste. Calcule a que altura aproximada do poste está fixado o cabo 
de aço sabendo que ele mede 10 m.
Resolução
Em todo triângulo retângulo a soma dos qua-
drados dos comprimentos dos catetos é igual ao 
quadrado do comprimento da hipotenusa.
 a 
2
 5 b 
2
 1 c 
2
 
 a 
2
 1 4 ?? 
bc
 ― 
2
 5 ( b 1 c ) 
2
 Æ a 
2
 1 2bc 5 b 
2
 1 bc 1 bc 1 c 
2
 Æ
Æ a 
2
 1 2bc 5 b 
2
 1 2bc 1 c 
2
 Æ a 
2
 5 b 
2
 1 c 
2
 
Podemos fazer uma representa-
ção dessa situação por meio do es-
quema apresentado.
Utilizando o teorema de Pitágoras, 
calculamos a altura h:
 10 
2
 5 h 
2
 1 6 
2
 ä h 
2
 5 64 ä h 5 8 
Portanto, a altura é, aproximada-
mente, 8 m.
Na figura ao lado, o quadrado de lado b 1 c é formado por 
quatro triângulos congruentes e um quadrado menor de lado a .
A área do quadrado maior pode ser calculada de duas maneiras 
diferentes.
• Adicionando a área do quadrado de lado a e a área dos qua-
tro triângulos retângulos congruentes: a 
2
 1 4 ?? 
bc
 ― 
2
 .
• Elevando ao quadrado o comprimento do lado: ( b 1 c ) 
2
 .
Igualando as duas áreas, temos:
R
a
fa
el
 L
. G
a
io
n
R
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fa
el
 L
. G
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R
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Não escreva no livro.
12
C
A B
 20
L
H I
J
 3 3
A 
B 
X
C
A
21
O administrador de um museu recebeu uma TV 
convencional de 20 polegadas, que tem como ra-
zão do comprimento (C) pela altura (A) a proporção 
4 : 3 , e precisa calcular o comprimento (C) dessa TV 
a fim de colocá-la em uma estante para exposição.
A tela dessa TV tem medida do comprimento C, 
em centímetro, igual a
a ) 12,00
b ) 16,00
c ) 30,48
d ) 40,64
e ) 50,80
 18. Em um blog, que publica conteúdos sobre Matemá-
tica, foram apresentados três exemplos de triângu-
los. Para cada um desses triângulos, verificou-se que 
a soma dos quadrados dos comprimentos de seus 
lados menores resultava no quadrado do compri-
mento do lado maior. Na sequência, a seguinte afir-
mação foi feita.
[...]
Logo, a partir dos exemplos apresentados, pode-
mos generalizar esta relação da seguinte forma:
“Dado um triângulo qualquer, a soma dos qua-
drados dos comprimentos de seus dois lados menores 
é igual ao quadrado do comprimento do lado maior.”
Essa relação pode ser muito útil para resolver 
diversos problemas em que os comprimentos de 
dois lados de um triângulo são conhecidos.
Calculando o comprimento do lado de um triângulo. Disponível em: 
<https://matematicaemdestaque.wixsite.com/blog/post/calculando-o
-comprimento-do-lado-de-um-tri%C3%A2ngulo>. Acesso em: 13 ago. 2020.
a ) Você concorda com a afirmação do texto ci-
tado? Justifique sua resposta.
b ) O autor do texto generalizou uma relação ma-
temática por meio de três exemplos apresenta-
dos. O que você pensa sobre essa estratégia? 
Converse com os colegas e o professor.
c ) Como você faria para avaliar essa publicação e 
verificar a qualidade dos dados apresentados? 
Para calcular o 
volume do cubo, 
utilize a fórmula 
V 5 a
3
 , em que a é o 
comprimento de sua 
aresta.
 12. (Enem) Quatro estações distribuidoras de ener-
gia, A, B, C e D, estão dispostas como vértices 
de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se 
construir uma estação central que seja ao 
mesmo tempo equidistante das estações A e B
e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A 
nova estação deve ser localizada:
a ) no centro do quadrado.
b ) na perpendicular à estrada que liga C e D
passando por seu ponto médio, a 15 km 
dessa estrada.
c ) na perpendicular à estrada que liga C e D
passando por seu ponto médio, a 25 km 
dessa estrada.
d ) no vértice de um triângulo equilátero de 
base AB, oposto a essa base.
e ) no ponto médio da estrada que liga as 
estações A e B.
 13. Calcule o volume do cubo sabendo que a diagonal 
que liga o vértice A ao B tem 20 cm de comprimento.
 11. Calcule a área e o perímetro de cada uma das figuras.
a ) b ) 
 14. (UPM-SP) Na figura, a soma das 
áreas dos três quadrados é 18. A 
área do quadrado maior é:
a ) 9
b ) 10
c ) 12
d ) 6
e ) 8
 17. (Enem) A unidade de medida utilizada para anun-
ciar o tamanho das telas de televisores no Brasil é 
a polegada, que corresponde a 2,54 cm. Diferente-
mente do que muitos imaginam, dizer que a tela 
de uma TV tem X polegadas significa que a diago-
nal do retângulo que representa sua tela mede X
polegadas, conforme ilustração.
 15. Qual a altura de um triângulo equilátero cujo 
 perímetro é 36 cm?
 16. A área de um quadrado é dada pelo produto das 
raízes da equação 2x 2
2 13x 1 18 5 0 . Determine 
o comprimento da diagonal desse quadrado.
A 5 96 u.a. ; P 5 48 u.c. 
c 
A 5 18 u.a. ; P 5 12 √
―
 2 u.c. 
a
d
Veja a resposta desta tarefa na 
Resolução dos problemas e exercícios 
na Assessoria pedagógica.
Na tarefa 17, por se tratar de uma questão de vestibular, embora estejamos usando “comprimento da diagonal”, por exemplo, aparece a 
palavra “mede” para se referir ao comprimento da diagonal do retângulo. 
8 000 √
―
 3 ―
9
 cm 
3
6 √
―
 3 cm 
3 √
―
 2 u.c. 
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: 
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