Lei de Darcy e Permeabilidade

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ETAPAS DE FLUXO 
(Fluxo no Meio Poroso - Recuperação) 
SEPARADOR 
E
L
E
V
A
Ç
Ã
O 
TUBING 
REVESTIMENTO 
COLETA 
Pwh 
Psep 
RECUPERAÇÃO 
Pwf Pe 
Corresponde ao deslocamento de fluidos 
dentro do reservatório até a mistura gás-
liquido atingir o fundo do poço. 
Após vários experimentos, Henry Darcy (1856) concluiu que a vazão (q) 
que atravessa um meio poroso é proporcional a: 
 Área aberta ao fluxo (A) 
 Diferença de pressão (dP) 
e inversamente proporcional a: 
 Viscosidade do fluido () 
 Comprimento do meio poroso (dL) 
 
Ou seja: A dP 
 q é proporcional a --------- 
 μ dL 
Em 1933, quase 80 anos após a publicação por Darcy de sua Lei, 
Muskat propôs uma constante de proporcionalidade para a equação 
chamada de PERMEABILIDADE (k), cuja unidade foi o Darcy. 
 
Desta forma, a equação de Darcy resultou em: 
 A dP 
 q = k ---------- 
 μ dL 
LEI DE DARCY: 
Chamando de ∆P = P1 – P2 
A equação de Darcy para fluxo linear de um fluido incompressível 
pode ser escrita como: 
 k A ∆P 
 q = 8,361 -------------- 
 μ L 
 
onde: 
 q – vazão em m3/d 
 k – permeabilidade em Darcy 
 A – área em m2 
 μ – viscosidade em cp 
 ∆P – diferença de pressão em kgf/cm2 
 L – comprimento em m 
 
Lei de Darcy (Área de drenagem circular) 
 Considerando a equação de Darcy dada por: 
 k A dP 
 q = -------------- 
 μ dL 
 
 
 Considerando escoamento radial onde a área (A) é dada por: 
 
 A = 2  r h 
 
 
 A equação de Darcy para fluxo radial é: 
 
 k (2  r h) dP 
 q = --------------------- 
 μ dr 
 
A equação de Darcy para fluxo radial permanente é: 
𝑞𝑆𝑇𝐷 = 𝐶 
𝑘 ℎ 𝑃𝑒 − 𝑃𝑤𝑓
𝜇 𝛽 𝑙𝑛
𝑟𝑒
𝑟𝑤
 
 
SISTEMA CONSTANTE q k Pe Pwf μ re rw 
Petrobras 52,54 m3/d D kgf/cm2 kgf/cm2 cp m m 
Americano 7,08 bbl/d D psi psi cp ft ft 
Darcy 2 cm3/s D atm atm cp cm cm 
Lei de Darcy (Área de drenagem circular) 
𝑞𝑆𝑇𝐷 = 52,54 
𝑘 ℎ 𝑃𝑒 − 𝑃𝑤𝑓
𝜇 𝛽 𝑙𝑛
𝑟𝑒
𝑟𝑤
 
 O Índice de Produtividade de um poço é definido por: 
 𝐼𝑃 = 
𝑞𝑆𝑇𝐷
𝑃𝑒−𝑃𝑤𝑓
 
 
 Considerando a Lei de Darcy dada por: 
𝑞𝑆𝑇𝐷 = 𝐶 
𝑘 ℎ 𝑃𝑒 − 𝑃𝑤𝑓
𝜇 𝛽 𝑙𝑛
𝑟𝑒
𝑟𝑤
 
 Índice de Produtividade 
𝐼𝑃 = 𝐶 
𝑘 ℎ 
𝜇 𝛽 𝑙𝑛
𝑟𝑒
𝑟𝑤
 
 Determinação do IP: 
 
 Através das Propriedades dos Fluidos e do Reservatório 
 Através de dados de testes de produção: 
 01 teste + pressão estática 
 02 testes 
ESTIMATIVA DO ÍNDICE DE PRODUTIVIDADE (IP) UTILIZANDO 
INFORMAÇÕES DO RESERVATÓRIO E DE ANÁLISE PVT 
 
Um poço perfurado em um reservatório circular com um raio de 225,7metros 
possui as seguintes características: 
• Profundidade = 2750 m 
• Diâmetro do poço = 7 pol 
• Espessura da Formação 6,0 m 
• Pressão do Reservatório = 200 kgf/cm² 
• Pressão de Fluxo de Fundo = 134 kgf/cm² 
• Fluidos Produzidos: óleo e água 
• Permeabilidade efetiva ao óleo = 0,1 D 
• Viscosidade do óleo = 2 cp 
• Fator Volume de Formação do óleo = 1,25 
• Permeabilidade efetiva à água = 0,05 D 
• Viscosidade da água = 0,7 cp 
• Fator Volume de Formação da água = 1,03 
 
Pede-se: 
1. IP em relação ao óleo; 
2. IP total do poço; 
3. Vazão de óleo (em m³/dia e bbl/dia); 
4. Vazão de água (em m³/dia e bbl/dia); 
5. Potencial do poço (em m³/dia e bbl/dia); 
Solução: 
1. IP em relação ao óleo (IPo); 
𝐼𝑃 = 𝐶 
𝑘 ℎ 
𝜇 𝛽 𝑙𝑛
𝑟𝑒
𝑟𝑤
 
 
C = 52,54 
ko = 0,1 D 
h = 6,0 m 
o = 2 cp 
o = 1,25 
re = 225,7 m 
rw = 7 * 0,0254/2 = 0,0889 m 
𝐼𝑃𝑜 = 1,6 m³/d / (kgf/cm²) 
2. IP total do poço 
IP em relação à água: 
kw = 0,05 D 
w = 0,7 cp 
w = 1,03 
 
 
 
IP Total: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐼𝑃𝑤 = 2,8 m³/d / (kgf/cm²) 
𝐼𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 4,4 m³/d / (kgf/cm²) 
3. Vazão de óleo (em m³/dia e bbl/dia) 
 
 
 
 
 
 
4. Vazão de água (em m³/dia e bbl/dia) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐼𝑃 = 
𝑞
𝑃𝑒 − 𝑃𝑤𝑓
 
q= 105,6 m³/d ou 664,2 bbl/d 
q= 184,8 m³/d ou 1162,4 bbl/d 
5. Potencial (em m³/dia) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q max = 880 m³/d 
Desempenho de reservatório - IPR (Inflow Performance 
Relationship) linear 
– Equação da IPR linear 
 
 
 
– Gráfico da IPR linear 
 
wfPPe
q
P
q
IP




 
wfPPeIPq  . IPqPePwf /
Pwf > Psat 
IPR - INFLOW PERFORMANCE RELATIONSHIP 
Pe 
Vazão de líquido 
P
re
ss
ã
o
 f
u
n
d
o
 e
m
 f
lu
x
o
 
q máx 
IPR 
Pwf 
ql 
A curva (IPR) ao lado 
representa uma relação entre as 
vazões de líquido obtidas em 
condições de superfície e as 
correspondentes pressões de 
fundo em fluxo. 
O Índice de Produtividade, que 
representa a capacidade de 
produção do poço, pode ser, 
então, obtido pela fórmula: 
IP = tg a = ql/(Pe – Pwf) 
Curva de IPR – modelo linear 
a 
IP (m3/d/kgf/cm2); (bbl/d/psi); etc 
Desempenho do Reservatório (IP) - exemplo 
0
50
100
150
200
250
0 200 400 600 800 1000
vazão
p
re
s
s
ã
o
P = Pressão estática 
Q = A.O.F. 
Absolute Open Flow 
Pe = 200 kgf/cm2 
Pwf = 100 kgf/cm2 
Vazão = 400 m3/d 
Teste 1: 
Quando : Pwf < Psat 
• Gás começa a sair de solução 
• Aumenta a saturação de gás no reservatório 
• Quanto mais próximo do poço menores as pressões 
• Maior a expansão de gás livre 
O aumento da 
 saturação de gás : 
Aumento na permeabilidade relativa do gás 
Diminuição da permeabilidade relativa ao óleo 
Ocorre...variação da permeabilidade, 
da viscosidade e compressibilidade 
Índice de produtividade (IP) 
também varia 
Modelo linear x 
Modelo de Vogel 
• Determinou a curva de IPR para vários poços produzindo de reservatórios 
de gás em solução. 
• Traçou varias IPRs considerando: Variação de RGOs, viscosidades, 
diferentes espaçamentos entre poços. 
 
IPR – MÉTODO DE VOGEL 
Pe 
Vazão de líquido 
P
re
ss
ã
o
 f
u
n
d
o
 e
m
 f
lu
x
o
 
q máx 
IPR Pwf 
ql 
A curva (IPR), segundo o 
modelo de Vogel, representa a 
relação entre a Pwf e a vazão de 
líquido correspondente, para 
reservatórios cuja pressão 
estática está abaixo da pressão 
de saturação do óleo. Esta 
relação não é linear: 
 
2
max
8.02.01 
















e
wf
e
wfL
P
P
P
P
q
q
O registro de pressão de um poço durante uma parada de produção apresentou o 
seguinte resultado: 
– Pressão estática (Pe): 250 kgf/cm² 
– Pressão de Saturação (Psat): 145kgf/cm² 
 
E um teste de produção deste poço apresentou o seguinte resultado: 
– Pressão de fundo em fluxo (Pwf1): 200 kgf/cm2 
– Vazão de líquido (qL1): 1500 m3/d 
 
Trace a IPR linear e determine: 
 a) A vazão AOF do poço; 
 b) A vazão do poço se a Pwf for igual a 150 kgf/cm2; 
 b) Índice de produtividade do poço. 
EXERCÍCIO SOBRE IPR 
0
50
100
150
200
250
300
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Vazão (m
3
/d)
P
re
s
s
ã
o
 (
k
g
f/
c
m
2
)
Pe 
Pwf1 
qL1 
AOF 
Pwf2 
qL2 
IP = qL / (Pe – Pwf) 
= 7500 / 250 = 30 m3/d/kgf/cm2 
= 1500 / 50 = 30 m3/d/kgf/cm2 a 
qL2 = IP (Pe – Pwf2) 
= 30 (250 – 150 )= 3000 m3/d 
EXERCÍCIO SOBRE IPR 
DEPLEÇÃO, DANO E ESTIMULAÇÃO DE RESERVATÓRIO 
Pwf 
q a q d 
P 
Q 
Pwf 
q a q d 
P 
Q 
Pwf 
q a q d 
P 
Q 
DEPLEÇÃO DANO ESTIMULAÇÃO 
A depleção é a 
queda da pressão 
estática do 
reservatório. 
Resulta no declínio 
natural da vazão do 
poço para uma 
mesma pressão de 
fundo. 
O dano é uma 
deterioração das 
características 
(porosidade e 
permeabilidade) da 
rocha reservatório 
nas imediações do 
poço. 
A estimulação é uma 
operação (fraturamento, 
acidificação) que altera 
positivamente as 
características da rocha 
reservatório nas 
imediações do poço. 
Após a ocorrência de um Dano no Reservatório, o IP deste mesmo poço foi 
reduzido para 20 m3/d/kgf/cm2. 
Qual seria a nova vazão para Pwf2= 150 kgf/cm2? 
EXERCÍCIO SOBRE IPR - Dano 
0
50
100
150
200
250
300
0 1000 2000 30004000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Vazão (m
3
/d)
P
re
s
s
ã
o
 (
k
g
f/
c
m
2
)
Pwf2 
qL2 Nova qL2 
qL2 = IP (Pe – Pwf2) 
AOF = IP (Pe – 0) = 5000 m3/d 
Após algum tempo em produção, o registro de pressão dinâmica deste poço 
apresentou os seguintes resultados : 
 Pwf1 = 150 kgf/cm2 qL1= 1500 m3/d 
 Pwf2 = 100 kgf/cm2 qL2= 3000 m3/d 
 
Qual a nova pressão estática? 
EXERCÍCIO SOBRE IPR - Depleção 
0
50
100
150
200
250
300
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
Vazão (m
3
/d)
P
re
s
s
ã
o
 (
k
g
f/
c
m
2
)
Pwf1 
qL2 qL1 
Pwf2 
qL1 = IP (Pe – Pwf1) 
qL2 = IP (Pe – Pwf2) 
Pe = 200 kgf/cm2 
Pe 
Determinação da Curva IPR: 
 Medição Direta: 
 Produção a várias vazões e medindo as respectivas Pwfs 
 Produção em duas vazões, medindo as respectivas Pwf e 
aplicação de um dos modelos de IPR 
 Produção em uma vazão, medindo a respectiva Pwf e 
conhecendo a Pressão estática do reservatório 
 
 Utilizando simuladores de fluxo multifásico 
ETAPAS DE FLUXO 
(Fluxo na Coluna de Produção - Elevação) 
Corresponde ao deslocamento de fluidos desde os 
canhoneados até a ANM. 
O gradiente de pressão dentro da 
coluna de produção é o resultado 
da soma de três parcelas: 
• Gradiente devido a hidrostática 
• Gradiente devido à fricção 
• Gradiente devido à aceleração 
aceleraçãofricçãogravidade
total L
P
L
P
L
P
L
P
























d
d
d
d
d
d
d
d
Fluxo monofásico 
(incompressível) 
aceleraçãofricçãogravidade
total L
P
L
P
L
P
L
P
























d
d
d
d
d
d
d
d
zero 
Grandiente de pressão na coluna 
aceleraçãofricçãogravidade
total L
P
L
P
L
P
L
P
























d
d
d
d
d
d
d
d
Considerando: 
• a contínua variação de pressão desde o fundo do poço até a superfície 
• a composição das fases liquida e gasosa em cada ponto 
 
Bolha Golfada Transição Anular-Nevoeiro 
Dependendo das características dos fluidos é comum se verificar mais 
de um padrão de fluxo ocorrendo no mesmo poço 
Regimes de fluxo vertical multifásico 
• Fase contínua é o liquido 
• Fase gasosa presente apenas através de pequenas 
bolhas dispersas no meio do liquido 
• As paredes da coluna de produção estão sempre em 
contato com a fase líquida 
• Bolhas de gás se movem a diferentes velocidades 
• Fase gasosa tem pouca influencia no gradiente de 
pressão 
FLUXO TIPO BOLHA 
FLUXO TIPO GOLFADA 
• Fase contínua ainda é o liquido 
• A fase gasosa já esta mais pronunciada 
• As bolhas coalesceram e formaram bolsões de gás 
com diâmetro aproximadamente igual ao da tubulação 
viajando com velocidades superiores ao liquido 
• Próximo a parede da tubulação existe um filme de 
liquido que se move com velocidade menor do que as 
das golfadas 
• É o padrão de fluxo mais comum nos poços de 
petróleo 
• Tanto a fase liquida como a gasosa influenciam no 
gradiente de pressão 
FLUXO TIPO TRANSIÇÃO 
• A transição da fase liquida continua para uma fase 
gasosa continua ocorre neste regime 
• Bolsões de gás vão se juntando e as golfadas de líquido 
que existiam entre os bolsões de gás tendem a se 
dispersar no meio do gás formando bolhas de liquido. 
• A parede da tubulação continua sendo molhada pela 
fase líquida 
• Bolsões de gás vão se juntando e as golfadas de 
líquido que existiam entre os bolsões de gás tendem a 
se dispersar no meio do gás formando bolhas de 
liquido. 
FLUXO TIPO ANULAR 
• A fase gasosa é continua e se eleva pelo centro da 
tubulação 
• O liquido esta disperso no gás sob a forma de 
minúsculas gotículas. 
• A fase liquida tem pouco efeito no gradiente de pressão 
• Este regime de fluxo ocorre raramente em poços de 
petroleo 
Correlações para Cálculo do Gradiente de Pressão na coluna de 
produção 
São classificadas em 3 tipos: 
 Categoria “A” (ex: Poettman & Carpenter) 
 Categoria “B” (ex: Hagendorn & Brown) 
 Categoria “C” (ex: Beggs & Brill) 
 
• As correlações surgiram da inabilidade em se desenvolver um modelo 
teórico completo do fenômeno; 
• Assim centenas de correlações empíricas tornaram se disponíveis; 
• Elas diferem na maneira de calcular estes três componentes do gradiente 
total de pressão. 
aceleração gravitacional fricção 
Correlações de fluxo 
• Categoria A: Não consideram nem escorregamento entre 
fases e nem os padrões de fluxo existentes. 
Poettmann & Carpenter 
Baxendell & Thomas 
Fancher & Brown 
• Categoria A: 
- Poetmann & Carpenter: foi desenvolvida para escoamento vertical ascendente, a partir 
de dados de poços reais. Recomenda-se sua aplicação apenas para tubos de 2 ⅜”, 2 ⅞” ou 
3 ½”, viscosidades menores que 5cP, razões gás-líquido menores que 1500 scf/bbl (267 
m³/m³) e vazões maiores que 400 bpd (64 m³/d). Como todas de sua categoria só é válida 
para arranjo de fases bubble ou slug. 
- Baxendell & Thomas: Similar à de Poettmann & Carpenter, foi levantada com dados do 
campo de La Paz, na Venezuela. Envolveu uma faixa de vazões de líquido maior (20 m³/d a 
800 m³/d), mas uma faixa de razões gás-líquido bem mais restrita (10 m³/m³ a 20 m³/m³), 
conforme Szilas. 
- Fancher & Brown: para escoamento vertical ascendente, foi, contudo, levantada com 
dados experimentais em escoamento água-ar num tubo revestido com plástico de 8000 ft 
de comprimento num poço de teste. Brown considera que é uma das melhores para tubos 
de 2 ⅜”, podendo ser estendida com certo grau de confiança para 2 ⅞”. É mais adequada 
para vazões de líquido menores que 400 bbl (64 m³/d) e razões gás-líquido menores que 
5000 scf/bbl (890 m³/m³). 
• Categoria B: 
Consideram escorregamento entre fases, porém desprezam o regime 
de fluxo existentes. 
- Hagedorn & Brown: é recomendada para o escoamento vertical ascendente. É uma das 
correlações mais usadas entre nós em sua versão mais atualizada, incorporando 
contribuições de outros autores. Foi obtida num poço experimental de 1500 ft, com óleo 
e água fluindo com ar em tubos de 1”, 1 ¼” e 1 ½”. O holdup é um obtido indiretamente. 
Deve ser usada apenas em arranjo de fases bubble ou slug. 
- Dukler, Dukler & Eaton & Flanigan, Dukler & Minami I e II : É a correlação de Dukler 
(caso 2) com quatro opções de holdup: original, Eaton e Minami I e II. É utilizada para 
escoamento horizontal, tendo sido levantada a partir de um banco de dados de 
laboratório e de campo. Segundo Brown é a mais usada para uma grande variedade de 
condições. Dukler recomendou originalmente o uso da correlação de Hughmark para o 
holdup. Contudo, para holdups menores que 0.2, a correlação de Eaton se mostra mais 
adequada. É adequada para qualquer diâmetro embora apresente resultados 
ligeiramente melhores para grandes diâmetros. Parece apresentar bom desempenho 
independente da viscosidade. 
• Categoria C: 
Consideram escorregamento entre fases e consideram também os 
padrões de fluxo existentes. 
- Orkiszewski: escoamento vertical ascendente. Utilizou trabalhos anteriores, construindo 
sua correlação como extensão da de Griffith e Wallis para bubble e da de Dun e Ros para 
mist. Trabalhou com dados de campo para óleos pesados. É recomendada para arranjo 
bubble, slug ou mist. Certo cuidado deve ser exercido pois descontinuidades na 
correlação já foram detectadas. 
- Duns & Ros: para escoamento vertical ascendente, envolveu extenso levantamento 
experimental com ajustes a partir de dados de campo. Brown considera boa correlação 
para todas as faixas de vazões, diâmetros de tubos ou fluidos. Seu uso é restrito, contudo, 
a arranjo de fases bubble, slug ou mist. 
• Categoria C: 
- Aziz & Govier & Fogarasi: em base mecanicista, levando em conta os arranjos de fase 
em escoamento vertical ascendente. Para os arranjos bubble e slug desenvolveram 
correlação própria e para o mist adotaram Duns & Ros. Os autores concluem que sua 
correlaçãoapresenta a mesma precisão que a de Orkiszewski. 
• Mecanicistas: 
- OLGA-S 
- LEDA 
- TUFFP Unified Mechanistic Model 
• Efeito do diâmetro da coluna de produção 
Analise a pressão necessária no 
fundo no poço para diferentes 
diâmetros, considerando: 
- pressão na ANM fixa 
- vazão constante 
Parâmetros que influenciam o gradiente de pressão 
Parâmetros que influenciam o gradiente de pressão 
• Efeito da vazão de produção 
Parâmetros que influenciam o gradiente de pressão 
• Efeito da RGO/RGL 
Parâmetros que influenciam o gradiente de pressão 
• Efeito da densidade 
• Efeito da viscosidade 
Parâmetros que influenciam o gradiente de pressão 
Curvas mestras para fluxo vertical multifásico 
Curvas mestras para fluxo vertical multifásico 
Curvas mestras para fluxo vertical multifásico 
Um poço produz por surgência com as 
seguintes características: 
 Vazão de líquido: 160 m³/d (1000 BPD) 
 BSW: 50% 
 Diâmetro coluna de produção: 2 1/2” 
 RGL: 53 m³/m³ (300 SCF/BBL) 
 Pressão na ANM: 8,5 kgf/cm² (120 psig) 
 Profundidade dos canhoneados: 
1830m (6000 ft) 
Determinar a pressão de fluxo em frente 
aos canhoneados (Pwf), considerando 
que a figura se aplica ao poço: 
6
0
0
0
 p
és
 
Pwh Pwf 
Pwf = 1440 psig 
Próxima Aula: 
 
Elevação Natural – Curvas Mestras, Etapa de Fluxo de Coleta e 
 Introdução ao Gas Lift Contínuo.