Problemas Matemáticos Diversos

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59.	A população de uma cidade, atualmente de 200 000 ha-
bitantes, cresce 2% ao ano. Qual será a quantidade de 
habitantes dessa população daqui a 10 anos?
	60.	Considere a seguinte propriedade de PG: Em qualquer 
PG finita, o produto de termos equidistantes dos extre-
mos é igual ao produto dos termos extremos.
Verifique essa igualdade dos produtos a
1
 ? a
n
 e a
2
 ? a
n 2 1
, 
em uma PG de razão q.
	61.	Dados 3 termos consecutivos de uma PG, de razão q, 
mostre que o quadrado do termo intermediário é igual 
ao produto dos outros 2 termos.
Podemos representar três termos consecutivos de 
uma PG (», a
n 2 1
, a
n
, a
n 1 1
, ») em função do termo 
intermediário: a
n 2 1
 5 
x
q
, a
n
 5 x e a
n 1 1
 5 x ? q. 
Resolva a atividade usando essa estratégia!
Fique atento
	62.	Em uma sequência formada por círculos, as medidas de 
comprimento dos raios formam uma PG de razão k.
Então as medidas de área dos círculos, nessa ordem:
	a) formam uma PA de razão k.
	b) formam uma PG de razão k.
	c) formam uma PA de razão k2.
	d) formam uma PG de razão k2.
	e) não formam nem PA nem PG.
	63.	Mitose é um processo de divisão celular contínuo que 
acontece na maioria das células do corpo humano. A 
partir de uma célula inicial, formam-se 2 células idênti-
cas, cada uma com a mesma quantidade de cromosso-
mos. Ao levarmos em consideração o desenvolvimen-
to do embrião humano, percebemos que ele começa 
com a formação do zigoto, que se divide em 2 células, 
que, por sua vez, sofrem novamente mitose gerando 
4 células, que, após passarem por muitos ciclos de di-
visões celulares, vão se fixar nas paredes do útero.
Fonte de consulta: SEIXAS, Cristina F. B. Mitose e meiose: Os dois 
processos de divisão celular. UOL, 6 jan. 2014. Disponível em: 
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/biologia/mitose-e-meiose-
os-dois-processos-de-divisao-celular.htm. Acesso em: 22 abr. 2020.
Na mitose, uma célula (chamada célula-mãe) se divide 
em 2 células (chamadas células-filhas) que são idênticas 
à célula-mãe. Esse processo, com a citocinese (processo de 
divisão do citoplasma das células), dura menos de 1 hora.
Considerando esse processo de desenvolvimento de 
um embrião humano desde o primeiro ciclo, após 
quantos ciclos serão obtidas 8 192 células?
	64.	Considere uma caixa-d’água, que tem a forma de 
um paralelepípedo com medida de capacidade de 
64 000  litros. As laterais externas dessa caixa serão 
pintadas, com 2 demãos, usando um galão de tinta 
que é suficiente para pintar 80 m2. Sabendo que as 
medidas de comprimento das arestas dessa caixa es-
tão em PG, de razão q 5 2 m, quantos galões de tinta 
são necessários? 
	65.	A teoria malthusiana, criada em 1798 pelo economista 
britânico Thomas Robert Malthus (1766-1834), defen-
de que a quantidade de habitantes de uma população 
cresceria em progressão geométrica, enquanto a pro-
dução de alimentos no planeta cresceria em progressão 
aritmética, o que, com o passar dos anos causaria fome 
e caos no mundo inteiro. Felizmente, essa teoria é bas-
tante contestada, pois verifica-se atualmente uma esta-
bilização no crescimento populacional em diversos paí-
ses, principalmente nos mais desenvolvidos, bem como 
uma evolução na maneira de produzir os alimentos.
Fonte de consulta: TEORIA Malthusiana. Mundo Educação. 
Disponível em: https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/geografia/
teoria-malthusiana.htm. Acesso em: 22 abr. 2020.
Gravura 
pontilhada em 
cores de Thomas
Robert Malthus, 
século XIX.
	a) Se seguíssemos a linha de raciocínio de Malthus, 
então qual seria a quantidade de habitantes na 
população mundial em 2050 sabendo que, em 
1970, a população mundial tinha aproximadamente 
3 700 000 000 pessoas e a cada 5 anos ela cresceria 
de acordo com uma PG de razão 1,07? (Considere: 
1,0715 â 2,76.)
	b) Pesquise qual é a estimativa para a população mun-
dial em 2050, de acordo com a ONU, e compare 
com o valor obtido no item a.
	66.	Recorde as várias situações citadas neste capítulo e 
que são modeladas por progressões geométricas. As-
sim como você fez para a PA, pense em um contexto 
que envolva PG e elabore um problema. Depois você 
pode comparar com as criações dos colegas e obser-
var semelhanças e diferenças no tema, na estrutura do 
enunciado e na pergunta proposta.
243 800 habitantes.
60. A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual. 
Professor, essa igualdade pode ser demonstrada para quaisquer produtos de termos 
equidistantes a
1
 ? a
n
 e a
k
 ? a
n 2 k 1 1
 de uma PG finita.
Alternativa d.
K
a
te
ry
n
a
 K
o
n
/S
h
u
tt
e
rs
to
ck
14 ciclos.
2 galões.
T
h
e
 G
ra
n
g
e
r 
C
o
lle
c
ti
o
n
, 
N
e
w
 Y
o
rk
/F
o
to
a
re
n
a
Aproximadamente 10 212 000 000 pessoas.
65. b) Aproximadamente 9,8 bilhões de pessoas, o que 
corresponde a aproximadamente 1 bilhão de pessoas a menos 
(ou aproximadamente 10% a menos) do que o valor calculado 
no item a. 
Resposta pessoal.
Não escreva no livro.
61. Representando os 3 termos consecutivos em função do 
termo intermediário, a
n 2 1 5 
x
q
, a
n
 5 x e a
n 1 1
 5 x ? q, obtemos: 
a
n 2 1 ? an 1 1 5 
x
q
 ? x ? q 5 x2 5 (a
n
)2.
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
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Progressão geométrica e função
Já vimos que o termo geral de uma progressão geométrica é dado por a
n 
5
 
a
1 
? qn 2 1, com n . 1, e estuda-
mos que uma sequência de números reais é uma função F: N* ñ R tal que F(n) 5 a
n
. Vamos ver agora como 
é a lei da função associada a uma progressão geométrica.
1. Considere a PG (0,5; 1; 2; 4; 8; 16; »).
	a) Qual é o termo geral dessa PG?
	b) A qual função podemos associar essa PG?
2. Considere agora a PG ¯16, 8, 4, 2, 1, 
1
2
, »˘. 
	a) Qual é o termo geral dessa PG?
	b) A qual função podemos associar essa PG?
3. Observe a lei das funções que você obteve para as duas progressões geométricas dadas. O que elas têm em comum?
a
n
 5 0,5 ? 2n 2 1, com n . 1.
Função F: N* ñ R tal que F(n) 5 a
n
 5 0,5 ? 2n 2 1.
a
n
 5 16 ? 
2
1
2
n 1



 , com n . 1.
Função F: N* ñ R tal que F(n) 5 a
n
 5 16 ? 
2
1
2
n 1



 .
3. Exemplo de 
resposta: Ambas são 
da forma 
F(n) 5 b ? an 2 1, com 
a e b números reais 
e b = 0.
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
Podemos representar graficamente uma PG considerando a função associada a ela. Por exemplo, a PG 
(0,5; 1; 2; 4; 8; 16; ») é uma função F: N* ñ R, dada por F(n) 5 0,5 ? 2n 2 1.
Veja a seguir parte do gráfico dessa função.
2
3
1
2 4 6531
0
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
a
n
n
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Não podemos 
traçar uma curva 
unindo os pontos 
que representam a 
PG, pois o domínio 
da função associada 
à PG é N* e não R.
Fique atento
Como você viu no capítulo 1, a função F: R ñ R1* cuja lei é da forma F(x) 5 ax, 
com a real, a > 0 e a = 1 (ou quando é modificada por constantes reais da forma 
F(x) 5 b ? ax 1 c), é uma fun•‹o do tipo exponencial. 
Fique atento
2
3
1
2 4 6531
0
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
y
x
Esse conjunto de pontos pertence a uma curva exponencial. Nesse 
caso, os pontos pertencem à curva que é o gráfico da função R ñ *R1
dada por y 5 0,5 ? 2x 2 1. Veja ao lado o gráfico dessa função, de domí-
nio R, e compare-o com o gráfico acima, da função com domínio N*.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
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n
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